Capitulo 6 sistemas de ecuaciones
| Sitio: | MATEMÁTICAS × Profe Arauco |
| Curso: | Media 1 |
| Libro: | Capitulo 6 sistemas de ecuaciones |
| Imprimido por: | Invitado |
| Día: | jueves, 23 de julio de 2026, 21:01 |
Tabla de contenidos
- 1. Graficando Ecuaciones Lineales: ¡El Primer Paso! (cc)
- 2. Graficando Ecuaciones Lineales (Nivel 2): Despejando 'y' (cc)
- 3. Sistemas de Ecuaciones: Introducción y Método Gráfico
- 4. Sistemas de Ecuaciones: Método de Sustitución
- 5. Sistemas de Ecuaciones: Método de Igualación
- 6. Sistemas de Ecuaciones: Método de Reducción
- 7. Sistemas de Ecuaciones: ¿Qué Método Usar? La Estrategia
- 8. Resolviendo Problemas con Sistemas de Ecuaciones
- 9. Sistemas de Ecuaciones: Profundización con la Regla de Cramer
1. Graficando Ecuaciones Lineales: ¡El Primer Paso! (cc)
Graficando Ecuaciones Lineales: ¡El Primer Paso!
Objetivos
- Ubicar pares ordenados en el plano cartesiano.
- Construir una tabla de valores para una ecuación lineal.
- Reconocer que los puntos generados por una ecuación lineal forman una recta.
Idea central
Antes de estudiar sistemas de ecuaciones, es importante dominar una herramienta clave: graficar una ecuación lineal. Una ecuación puede verse como una regla que genera puntos, y esos puntos permiten construir una recta en el plano cartesiano.
Pares ordenados
Todo punto en el plano cartesiano tiene dos coordenadas: un valor en el eje horizontal, llamado coordenada \(x\), y un valor en el eje vertical, llamado coordenada \(y\). A esta pareja de valores la llamamos par ordenado y se escribe \((x,y)\).
Ejemplo 1: Ubicar puntos sueltos en el plano
Si tenemos puntos dados, los ubicamos según sus coordenadas. En este caso, los puntos no necesariamente siguen una misma regla.
| Punto | Coordenada \(x\) | Coordenada \(y\) | Par ordenado |
|---|---|---|---|
| A | 2 | 5 | \((2,5)\) |
| B | 3 | 4 | \((3,4)\) |
| C | -2 | 7 | \((-2,7)\) |
La ecuación como regla del juego
Una ecuación como \(y=2x+1\) es una instrucción precisa: para cada valor de \(x\), el valor de \(y\) será el doble de ese valor de \(x\), más uno.
Con una ecuación ya no trabajamos con puntos aislados: tenemos una regla que permite generar muchos puntos relacionados entre sí.
Procedimiento para graficar una ecuación lineal
- Escoge algunos valores simples para \(x\), por ejemplo \(-2,-1,0,1,2\).
- Reemplaza cada valor de \(x\) en la ecuación para calcular el valor correspondiente de \(y\).
- Forma los pares ordenados \((x,y)\).
- Ubica los puntos en el plano cartesiano.
- Une los puntos para observar la recta que representa la ecuación.
Ejemplo 2: Graficar \(y=2x+1\)
Aplicamos la regla \(y=2x+1\) a distintos valores de \(x\):
| Valor de \(x\) | Cálculo | Valor de \(y\) | Punto |
|---|---|---|---|
| -2 | \(y=2(-2)+1=-4+1\) | -3 | \((-2,-3)\) |
| -1 | \(y=2(-1)+1=-2+1\) | -1 | \((-1,-1)\) |
| 0 | \(y=2(0)+1=0+1\) | 1 | \((0,1)\) |
| 1 | \(y=2(1)+1=2+1\) | 3 | \((1,3)\) |
| 2 | \(y=2(2)+1=4+1\) | 5 | \((2,5)\) |
Al ubicar estos puntos, todos quedan sobre una misma línea recta. Esa recta es la gráfica de la ecuación \(y=2x+1\).
Un consejo útil
Para dibujar una recta bastan dos puntos, pero calcular un tercer punto ayuda a comprobar el trabajo. Si el tercer punto no queda en la misma línea, conviene revisar los cálculos.
Ejemplo 3: Graficar \(y=-x+3\)
Ahora la \(x\) tiene coeficiente negativo. Observa cómo eso cambia la dirección de la recta.
| Valor de \(x\) | Cálculo | Valor de \(y\) | Punto |
|---|---|---|---|
| -2 | \(y=-(-2)+3=2+3\) | 5 | \((-2,5)\) |
| -1 | \(y=-(-1)+3=1+3\) | 4 | \((-1,4)\) |
| 0 | \(y=-(0)+3=0+3\) | 3 | \((0,3)\) |
| 1 | \(y=-(1)+3=-1+3\) | 2 | \((1,2)\) |
| 2 | \(y=-(2)+3=-2+3\) | 1 | \((2,1)\) |
Al unir los puntos, la recta baja de izquierda a derecha. Esto ocurre por el signo negativo del coeficiente de \(x\).
Ejercicios propuestos
Ejercicio 1: \(y=3x+1\)
Construye una tabla con al menos tres valores de \(x\), forma los pares ordenados y grafica la recta.
Tomemos \(x=-1,0,1\).
| \(x\) | \(y=3x+1\) | Punto |
|---|---|---|
| -1 | \(3(-1)+1=-2\) | \((-1,-2)\) |
| 0 | \(3(0)+1=1\) | \((0,1)\) |
| 1 | \(3(1)+1=4\) | \((1,4)\) |
La recta sube de izquierda a derecha y es más inclinada que \(y=2x+1\), porque el coeficiente de \(x\) es mayor.
Ejercicio 2: \(y=-2x+2\)
Construye una tabla con al menos tres valores de \(x\), forma los pares ordenados y grafica la recta.
Tomemos \(x=-1,0,1\).
| \(x\) | \(y=-2x+2\) | Punto |
|---|---|---|
| -1 | \(-2(-1)+2=4\) | \((-1,4)\) |
| 0 | \(-2(0)+2=2\) | \((0,2)\) |
| 1 | \(-2(1)+2=0\) | \((1,0)\) |
La recta baja de izquierda a derecha, porque el coeficiente de \(x\) es negativo.
Ejercicio 3: \(y=\frac{x}{2}+2\)
Construye una tabla con valores convenientes de \(x\), forma los pares ordenados y grafica la recta.
Como aparece \(\frac{x}{2}\), conviene elegir valores pares para \(x\). Tomemos \(x=-2,0,2\).
| \(x\) | \(y=\frac{x}{2}+2\) | Punto |
|---|---|---|
| -2 | \(\frac{-2}{2}+2=-1+2=1\) | \((-2,1)\) |
| 0 | \(\frac{0}{2}+2=2\) | \((0,2)\) |
| 2 | \(\frac{2}{2}+2=1+2=3\) | \((2,3)\) |
La recta sube de izquierda a derecha, pero con menor inclinación, porque el coeficiente de \(x\) es \(\frac{1}{2}\).
Aplicaciones de las ecuaciones lineales
Las ecuaciones lineales modelan situaciones donde una cantidad cambia a ritmo constante. Por ejemplo, pueden representar el costo de un plan de celular con cargo fijo más un precio por consumo, la distancia recorrida por un vehículo a velocidad constante o el crecimiento regular de una planta.
2. Graficando Ecuaciones Lineales (Nivel 2): Despejando 'y' (cc)
Graficando Ecuaciones Lineales (Nivel 2): Despejando \(y\)
Objetivos
- Despejar la variable \(y\) en ecuaciones lineales de la forma \(ax+by=c\).
- Construir tablas de valores a partir de la ecuación despejada.
- Graficar rectas usando puntos obtenidos de una tabla.
Por qué despejar \(y\)
Para graficar una ecuación lineal conviene escribirla como \(y=mx+n\). Así, cada valor elegido para \(x\) produce directamente un valor de \(y\), y el par \((x,y)\) puede ubicarse en el plano cartesiano.
Procedimiento de despeje
- Mover al otro lado los términos que no contienen \(y\), usando la operación inversa.
- Si \(y\) queda multiplicada por un número, dividir toda la expresión por ese número.
- Simplificar y escribir la ecuación en la forma \(y=mx+n\).
Ejemplo 1: despeje directo
Grafiquemos la ecuación \(3x+y=5\).
Despejamos \(y\):
\[3x+y=5\]
\[y=5-3x\]
| \(x\) | \(y=5-3x\) | Punto |
|---|---|---|
| 0 | 5 | \((0,5)\) |
| 1 | 2 | \((1,2)\) |
| 2 | -1 | \((2,-1)\) |
Ejemplo 2: cuidado con el signo de \(y\)
Grafiquemos la ecuación \(6x-2y=4\).
Primero movemos (6x):
\[-2y=4-6x\]
Luego dividimos toda la expresión por \(-2\):
\[y=\frac{4-6x}{-2}=-2+3x\]
| \(x\) | \(y=-2+3x\) | Punto |
|---|---|---|
| -1 | -5 | \((-1,-5)\) |
| 0 | -2 | \((0,-2)\) |
| 1 | 1 | \((1,1)\) |
Error frecuente
En una ecuación como \(6x-2y=4\), el término completo es \(-2y\). Si se pierde ese signo negativo, la pendiente de la recta queda incorrecta.
Visualización
La ecuación \(6x-2y=4\) se transforma en \(y=3x-2\). La recta pasa por los puntos de la tabla anterior.
Ejercicios propuestos
Ejercicio 1
Despeja \(y\) y construye una tabla con tres puntos para \(4x+y=6\).
Restamos (4x) en ambos lados:
\[y=6-4x\]
| \(x\) | \(y\) | Punto |
|---|---|---|
| 0 | 6 | \((0,6)\) |
| 1 | 2 | \((1,2)\) |
| 2 | -2 | \((2,-2)\) |
Ejercicio 2
Despeja \(y\) y construye una tabla con tres puntos para \(y-3x=1\).
Sumamos (3x) en ambos lados:
\[y=1+3x\]
| \(x\) | \(y\) | Punto |
|---|---|---|
| -1 | -2 | \((-1,-2)\) |
| 0 | 1 | \((0,1)\) |
| 1 | 4 | \((1,4)\) |
Ejercicio 3
Despeja \(y\) y construye una tabla con tres puntos para \(2x-y=5\).
Restamos (2x): \(-y=5-2x\). Luego multiplicamos por \(-1\):
\[y=2x-5\]
| \(x\) | \(y\) | Punto |
|---|---|---|
| 0 | -5 | \((0,-5)\) |
| 1 | -3 | \((1,-3)\) |
| 2 | -1 | \((2,-1)\) |
3. Sistemas de Ecuaciones: Introducción y Método Gráfico
Sistemas de Ecuaciones: Introducción y Método Gráfico
¿Qué es un sistema de ecuaciones?
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones que deben cumplirse al mismo tiempo. En esta clase estudiaremos sistemas \(2 \times 2\): dos ecuaciones con dos incógnitas.
La forma general es:
\[ \begin{cases} ax+by=c\\ dx+ey=f \end{cases} \]
La solución: el punto exacto del sistema
La solución de un sistema es el par ordenado \((x,y)\) que hace verdaderas ambas ecuaciones al mismo tiempo.
Gráficamente, corresponde al punto donde se intersectan las rectas asociadas a las ecuaciones.
Interpretación gráfica
Cada ecuación lineal representa una recta en el plano cartesiano. Al graficar ambas rectas, pueden ocurrir tres casos:
| Caso posible | Descripción gráfica | Número de soluciones |
|---|---|---|
| Sistema compatible determinado | Las rectas se intersectan en un solo punto. | Una única solución. |
| Sistema incompatible | Las rectas son paralelas y no se intersectan. | Ninguna solución. |
| Sistema compatible indeterminado | Las rectas coinciden: una está exactamente sobre la otra. | Infinitas soluciones. |
Método gráfico
Procedimiento para resolver por método gráfico
- Despejar \(y\): escribe ambas ecuaciones en la forma \(y=mx+n\).
- Graficar la primera recta: usa su intercepto \(n\) y su pendiente \(m\).
- Graficar la segunda recta: repite el procedimiento en el mismo plano cartesiano.
- Identificar la intersección: si las rectas se cruzan, el punto de intersección es la solución.
- Verificar: reemplaza el par ordenado en ambas ecuaciones originales.
Ojo con la precisión
El método gráfico ayuda a comprender el significado de la solución, pero puede ser impreciso cuando el punto de intersección no tiene coordenadas enteras. Por eso, más adelante conviene complementar este método con procedimientos algebraicos.
Ejemplos
Ejemplo 1: solución única
Resolvamos el sistema:
\[ \begin{cases} 2x+y=5\\ x-y=1 \end{cases} \]
1. Despejamos \(y\):
\[ 2x+y=5 \Rightarrow y=-2x+5 \]
\[ x-y=1 \Rightarrow y=x-1 \]
2. Graficamos ambas rectas:
3. Identificamos la intersección: las rectas se cruzan en \((2,1)\).
4. Verificamos:
\[ 2(2)+1=5 \]
\[ 2-1=1 \]
Solución: el sistema tiene solución única \((2,1)\).
Ejemplo 2: sin solución
Resolvamos el sistema:
\[ \begin{cases} 2x+y=4\\ 2x+y=1 \end{cases} \]
1. Despejamos \(y\):
\[ 2x+y=4 \Rightarrow y=-2x+4 \]
\[ 2x+y=1 \Rightarrow y=-2x+1 \]
Ambas rectas tienen la misma pendiente, \(-2\), pero distinto intercepto. Por lo tanto, son paralelas.
Conclusión: como las rectas no se intersectan, no existe un par ordenado que satisfaga ambas ecuaciones.
Solución: el sistema no tiene solución.
Ejemplo 3: infinitas soluciones
Resolvamos el sistema:
\[ \begin{cases} x-y=3\\ 2x-2y=6 \end{cases} \]
1. Despejamos \(y\):
\[ x-y=3 \Rightarrow y=x-3 \]
\[ 2x-2y=6 \Rightarrow -2y=6-2x \Rightarrow y=x-3 \]
Las dos ecuaciones representan la misma recta.
Conclusión: todo punto de la recta \(y=x-3\) satisface ambas ecuaciones.
Solución: el sistema tiene infinitas soluciones.
Ejercicios
Parte 1: Identificación de soluciones
Ejercicio 1
¿Cuál de los siguientes pares ordenados es solución del sistema?
\[ \begin{cases} 3x-y=5\\ x+y=3 \end{cases} \]
- \((1,-2)\)
- \((2,1)\)
- \((3,4)\)
- \((-1,-8)\)
Respuesta: b) \((2,1)\).
Verificamos en la primera ecuación:
\[ 3(2)-1=6-1=5 \]
Verificamos en la segunda ecuación:
\[ 2+1=3 \]
Como el par ordenado cumple ambas ecuaciones, \((2,1)\) es solución del sistema.
Ejercicio 2
¿Es el punto \((0,3)\) una solución del sistema?
\[ \begin{cases} x+2y=6\\ 4x-y=-3 \end{cases} \]
- Sí
- No
Respuesta: a) Sí.
Reemplazamos \(x=0\) e \(y=3\) en la primera ecuación:
\[ 0+2(3)=6 \]
Reemplazamos en la segunda ecuación:
\[ 4(0)-3=-3 \]
Como ambas igualdades son verdaderas, \((0,3)\) sí es solución del sistema.
Ejercicio 3
¿Cuántas soluciones tiene un sistema cuyas rectas son paralelas?
- Una
- Dos
- Infinitas
- Ninguna
Respuesta: d) Ninguna.
Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente y distinto intercepto. Por eso no se intersectan en ningún punto.
Entonces, no existe un par ordenado \((x,y)\) que satisfaga ambas ecuaciones al mismo tiempo.
Parte 2: Resolución por método gráfico
Ejercicio 4
Resuelve gráficamente:
\[ \begin{cases} x+y=4\\ 2x-y=2 \end{cases} \]
1. Despejamos \(y\):
\[ x+y=4 \Rightarrow y=-x+4 \]
\[ 2x-y=2 \Rightarrow y=2x-2 \]
Las rectas se intersectan en \((2,2)\).
Solución: \((2,2)\).
Ejercicio 5
Resuelve gráficamente:
\[ \begin{cases} 2x-y=3\\ 4x-2y=6 \end{cases} \]
1. Despejamos \(y\):
\[ 2x-y=3 \Rightarrow y=2x-3 \]
\[ 4x-2y=6 \Rightarrow -2y=6-4x \Rightarrow y=2x-3 \]
Ambas ecuaciones representan la misma recta.
Solución: el sistema tiene infinitas soluciones.
Ejercicio 6
Resuelve gráficamente:
\[ \begin{cases} x+y=2\\ 2x+2y=6 \end{cases} \]
1. Despejamos \(y\):
\[ x+y=2 \Rightarrow y=-x+2 \]
\[ 2x+2y=6 \Rightarrow x+y=3 \Rightarrow y=-x+3 \]
Las rectas tienen la misma pendiente, \(-1\), pero distinto intercepto. Por lo tanto, son paralelas.
Solución: el sistema no tiene solución.
Ejercicio 7
Resuelve gráficamente:
\[ \begin{cases} x+y=3\\ x-y=1 \end{cases} \]
1. Despejamos \(y\):
\[ x+y=3 \Rightarrow y=-x+3 \]
\[ x-y=1 \Rightarrow y=x-1 \]
Las rectas se intersectan en \((2,1)\).
Solución: \((2,1)\).
4. Sistemas de Ecuaciones: Método de Sustitución
Sistemas de Ecuaciones: Método de Sustitución
¿Qué es el método de sustitución?
El método de sustitución es una técnica algebraica para resolver sistemas de ecuaciones. La idea consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y luego reemplazar esa expresión en la otra ecuación.
De esta manera, se obtiene una ecuación con una sola incógnita, que puede resolverse con procedimientos ya conocidos.
Procedimiento paso a paso
Pasos para resolver un sistema por sustitución
- Despejar una incógnita: elige una de las ecuaciones y despeja una de sus incógnitas.
- Sustituir: reemplaza la expresión obtenida en la otra ecuación. Es importante usar paréntesis cuando corresponda.
- Resolver: resuelve la nueva ecuación para encontrar el valor de una incógnita.
- Encontrar la segunda incógnita: reemplaza el valor encontrado en la ecuación despejada.
- Verificar: comprueba que el par ordenado obtenido satisface ambas ecuaciones originales.
Un tip de profe
Para facilitar el procedimiento, conviene despejar primero la incógnita que tenga coeficiente \(1\) o \(-1\). Por ejemplo, en el sistema \(2x+y=5\) y \(3x-4y=8\), es más sencillo despejar \(y\) desde la primera ecuación.
Ejemplos resueltos: método de sustitución
Ejemplo 1: despeje directo
Resolvamos el sistema:
\[ \begin{cases} 2x+y=7\\ x-y=2 \end{cases} \]
1. Despejar: la \(y\) de la primera ecuación está positiva y tiene coeficiente \(1\), por lo tanto es una buena opción para despejar.
\[ 2x+y=7 \Rightarrow y=7-2x \]
2. Sustituir: reemplazamos \(y=7-2x\) en la segunda ecuación.
\[ x-(7-2x)=2 \]
3. Resolver para \(x\):
\[ x-7+2x=2 \]
\[ 3x-7=2 \]
\[ 3x=9 \]
\[ x=3 \]
4. Encontrar \(y\): reemplazamos \(x=3\) en \(y=7-2x\).
\[ y=7-2(3) \]
\[ y=7-6=1 \]
Verificación gráfica: las rectas se intersectan en \((3,1)\).
Solución: el par ordenado \((3,1)\) es la solución del sistema.
Ejemplo 2: despejando \(x\)
Resolvamos el sistema:
\[ \begin{cases} x+3y=6\\ 5x-2y=13 \end{cases} \]
1. Despejar: en este caso, la \(x\) de la primera ecuación es la más sencilla de despejar.
\[ x+3y=6 \Rightarrow x=6-3y \]
2. Sustituir: reemplazamos \(x=6-3y\) en la segunda ecuación.
\[ 5(6-3y)-2y=13 \]
3. Resolver para \(y\):
\[ 30-15y-2y=13 \]
\[ 30-17y=13 \]
\[ -17y=-17 \]
\[ y=1 \]
4. Encontrar \(x\): reemplazamos \(y=1\) en \(x=6-3y\).
\[ x=6-3(1) \]
\[ x=3 \]
Verificación gráfica: al escribir ambas ecuaciones como funciones, se obtiene \(y=-\frac{1}{3}x+2\) y \(y=\frac{5}{2}x-\frac{13}{2}\).
Solución: el par ordenado \((3,1)\) es la solución del sistema.
Ejemplo 3: despeje con coeficientes
Resolvamos el sistema:
\[ \begin{cases} 2x+3y=1\\ 3x-4y=10 \end{cases} \]
1. Despejar: aquí ninguna incógnita está sola. Despejemos \(x\) desde la primera ecuación.
\[ 2x+3y=1 \]
\[ 2x=1-3y \]
\[ x=\frac{1-3y}{2} \]
2. Sustituir: reemplazamos \(x=\frac{1-3y}{2}\) en la segunda ecuación.
\[ 3\left(\frac{1-3y}{2}\right)-4y=10 \]
Tip para eliminar fracciones
Cuando aparece una fracción, se puede multiplicar toda la ecuación por el denominador común. En este caso, multiplicaremos por \(2\).
3. Resolver para \(y\):
\[ 2\cdot 3\left(\frac{1-3y}{2}\right)-2\cdot 4y=2\cdot 10 \]
\[ 3(1-3y)-8y=20 \]
\[ 3-9y-8y=20 \]
\[ 3-17y=20 \]
\[ -17y=17 \]
\[ y=-1 \]
4. Encontrar \(x\): reemplazamos \(y=-1\) en la expresión despejada.
\[ x=\frac{1-3(-1)}{2} \]
\[ x=\frac{1+3}{2}=\frac{4}{2}=2 \]
Verificación gráfica: al escribir ambas ecuaciones como funciones, se obtiene \(y=-\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}\) y \(y=\frac{3}{4}x-\frac{5}{2}\).
Solución: el par ordenado \((2,-1)\) es la solución del sistema.
Ejercicios propuestos
Parte 1: Ejercicios con números enteros y racionales
Ejercicio 1
Resuelve por sustitución:
\[ \begin{cases} x+y=5\\ 2x-y=4 \end{cases} \]
Despejamos \(y\) en la primera ecuación:
\[ y=5-x \]
Sustituimos en la segunda ecuación:
\[ 2x-(5-x)=4 \]
\[ 2x-5+x=4 \]
\[ 3x=9 \]
\[ x=3 \]
Ahora reemplazamos en \(y=5-x\):
\[ y=5-3=2 \]
Solución: \((3,2)\).
Ejercicio 2
Resuelve por sustitución:
\[ \begin{cases} 3x+y=7\\ 2x-3y=0 \end{cases} \]
Despejamos \(y\) en la primera ecuación:
\[ y=7-3x \]
Sustituimos en la segunda ecuación:
\[ 2x-3(7-3x)=0 \]
\[ 2x-21+9x=0 \]
\[ 11x=21 \]
\[ x=\frac{21}{11} \]
Ahora reemplazamos en \(y=7-3x\):
\[ y=7-3\left(\frac{21}{11}\right) \]
\[ y=\frac{77}{11}-\frac{63}{11}=\frac{14}{11} \]
Solución: \(\left(\frac{21}{11},\frac{14}{11}\right)\).
Ejercicio 3
Resuelve por sustitución:
\[ \begin{cases} x+2y=8\\ 3x-y=3 \end{cases} \]
Despejamos \(x\) en la primera ecuación:
\[ x=8-2y \]
Sustituimos en la segunda ecuación:
\[ 3(8-2y)-y=3 \]
\[ 24-6y-y=3 \]
\[ -7y=-21 \]
\[ y=3 \]
Ahora reemplazamos en \(x=8-2y\):
\[ x=8-2(3)=2 \]
Solución: \((2,3)\).
Ejercicio 4
Resuelve por sustitución:
\[ \begin{cases} \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=2\\ x-2y=-2 \end{cases} \]
Despejamos \(x\) en la segunda ecuación:
\[ x=2y-2 \]
Sustituimos en la primera ecuación:
\[ \frac{1}{2}(2y-2)+\frac{1}{3}y=2 \]
\[ y-1+\frac{1}{3}y=2 \]
\[ \frac{4}{3}y=3 \]
\[ y=\frac{9}{4} \]
Ahora reemplazamos en \(x=2y-2\):
\[ x=2\left(\frac{9}{4}\right)-2 \]
\[ x=\frac{9}{2}-2=\frac{9}{2}-\frac{4}{2}=\frac{5}{2} \]
Solución: \(\left(\frac{5}{2},\frac{9}{4}\right)\).
Ejercicio 5
Resuelve por sustitución:
\[ \begin{cases} 4x-y=11\\ 6x+2y=14 \end{cases} \]
Despejamos \(y\) en la primera ecuación:
\[ 4x-y=11 \]
\[ -y=11-4x \]
\[ y=4x-11 \]
Sustituimos en la segunda ecuación:
\[ 6x+2(4x-11)=14 \]
\[ 6x+8x-22=14 \]
\[ 14x=36 \]
\[ x=\frac{18}{7} \]
Ahora reemplazamos en \(y=4x-11\):
\[ y=4\left(\frac{18}{7}\right)-11 \]
\[ y=\frac{72}{7}-\frac{77}{7}=-\frac{5}{7} \]
Solución: \(\left(\frac{18}{7},-\frac{5}{7}\right)\).
Parte 2: Ejercicios con coeficientes literales
Ejercicio 6
Resuelve para \(x\) e \(y\):
\[ \begin{cases} x+y=a\\ x-y=b \end{cases} \]
Despejamos \(y\) en la primera ecuación:
\[ y=a-x \]
Sustituimos en la segunda ecuación:
\[ x-(a-x)=b \]
\[ x-a+x=b \]
\[ 2x-a=b \]
\[ 2x=a+b \]
\[ x=\frac{a+b}{2} \]
Ahora reemplazamos en \(y=a-x\):
\[ y=a-\frac{a+b}{2} \]
\[ y=\frac{2a-(a+b)}{2} \]
\[ y=\frac{a-b}{2} \]
Solución: \(\left(\frac{a+b}{2},\frac{a-b}{2}\right)\).
Ejercicio 7
Resuelve para \(x\) e \(y\), con \(ab\neq 1\):
\[ \begin{cases} ax+y=c\\ x+by=d \end{cases} \]
Despejamos \(y\) en la primera ecuación:
\[ y=c-ax \]
Sustituimos en la segunda ecuación:
\[ x+b(c-ax)=d \]
\[ x+bc-abx=d \]
Agrupamos los términos con \(x\):
\[ x-abx=d-bc \]
\[ x(1-ab)=d-bc \]
Como \(ab\neq 1\), entonces \(1-ab\neq 0\), por lo tanto podemos dividir:
\[ x=\frac{d-bc}{1-ab} \]
Ahora reemplazamos en \(y=c-ax\):
\[ y=c-a\left(\frac{d-bc}{1-ab}\right) \]
\[ y=\frac{c(1-ab)-a(d-bc)}{1-ab} \]
\[ y=\frac{c-abc-ad+abc}{1-ab} \]
\[ y=\frac{c-ad}{1-ab} \]
Solución: \(\left(\frac{d-bc}{1-ab},\frac{c-ad}{1-ab}\right)\).
5. Sistemas de Ecuaciones: Método de Igualación
Sistemas de Ecuaciones: Método de Igualación
¿Qué es el método de igualación?
El método de igualación es un procedimiento algebraico para resolver sistemas de ecuaciones. Su lógica es directa: si dos expresiones representan la misma incógnita, entonces esas expresiones deben ser iguales entre sí.
En un sistema, se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones y luego se igualan los resultados. Así se obtiene una ecuación con una sola incógnita.
Procedimiento paso a paso
Pasos para resolver un sistema por igualación
- Despejar la misma incógnita: elige una incógnita y despéjala en ambas ecuaciones.
- Igualar: forma una nueva ecuación igualando las dos expresiones obtenidas.
- Resolver: resuelve la nueva ecuación para encontrar el valor de una incógnita.
- Encontrar la segunda incógnita: reemplaza el valor encontrado en cualquiera de las ecuaciones despejadas.
- Verificar: comprueba que el par ordenado obtenido satisface ambas ecuaciones originales.
¿Cuándo conviene usar este método?
El método de igualación conviene especialmente cuando la misma incógnita ya está despejada en ambas ecuaciones o cuando es fácil despejarla en las dos.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: despejando \(y\) con una fracción
Resolvamos el sistema:
\[ \begin{cases} 3x+2y=8\\ x-y=1 \end{cases} \]
1. Despejar la misma incógnita: despejamos \(y\) en ambas ecuaciones.
\[ 3x+2y=8 \Rightarrow 2y=8-3x \Rightarrow y=\frac{8-3x}{2} \]
\[ x-y=1 \Rightarrow -y=1-x \Rightarrow y=x-1 \]
2. Igualar las expresiones:
\[ \frac{8-3x}{2}=x-1 \]
3. Resolver para \(x\):
\[ 8-3x=2(x-1) \]
\[ 8-3x=2x-2 \]
\[ 10=5x \]
\[ x=2 \]
4. Encontrar \(y\): reemplazamos \(x=2\) en \(y=x-1\).
\[ y=2-1=1 \]
Verificación gráfica: las rectas se intersectan en \((2,1)\).
Solución: \((2,1)\).
Ejemplo 2: despejando \(x\) de forma sencilla
Resolvamos el sistema:
\[ \begin{cases} x-2y=4\\ x+3y=9 \end{cases} \]
1. Despejar la misma incógnita: en este caso, conviene despejar \(x\) en ambas ecuaciones.
\[ x-2y=4 \Rightarrow x=4+2y \]
\[ x+3y=9 \Rightarrow x=9-3y \]
2. Igualar las expresiones:
\[ 4+2y=9-3y \]
3. Resolver para \(y\):
\[ 2y+3y=9-4 \]
\[ 5y=5 \]
\[ y=1 \]
4. Encontrar \(x\): reemplazamos \(y=1\) en \(x=4+2y\).
\[ x=4+2(1)=6 \]
Verificación gráfica: al escribir ambas ecuaciones como funciones, se obtiene \(y=\frac{x}{2}-2\) y \(y=-\frac{x}{3}+3\).
Solución: \((6,1)\).
Ejemplo 3: despeje con coeficientes en todas las incógnitas
Resolvamos el sistema:
\[ \begin{cases} 4x+3y=10\\ 2x-5y=-8 \end{cases} \]
1. Despejar la misma incógnita: despejamos \(x\) en ambas ecuaciones.
\[ 4x+3y=10 \Rightarrow 4x=10-3y \Rightarrow x=\frac{10-3y}{4} \]
\[ 2x-5y=-8 \Rightarrow 2x=5y-8 \Rightarrow x=\frac{5y-8}{2} \]
2. Igualar las expresiones:
\[ \frac{10-3y}{4}=\frac{5y-8}{2} \]
Tip para eliminar denominadores
Para resolver más fácilmente, se puede multiplicar toda la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores. En este caso, multiplicamos por \(4\).
3. Resolver para \(y\):
\[ 4\cdot \left(\frac{10-3y}{4}\right)=4\cdot \left(\frac{5y-8}{2}\right) \]
\[ 10-3y=2(5y-8) \]
\[ 10-3y=10y-16 \]
\[ 26=13y \]
\[ y=2 \]
4. Encontrar \(x\): reemplazamos \(y=2\) en \(x=\frac{5y-8}{2}\).
\[ x=\frac{5(2)-8}{2} \]
\[ x=\frac{10-8}{2}=\frac{2}{2}=1 \]
Verificación gráfica: al escribir ambas ecuaciones como funciones, se obtiene \(y=-\frac{4}{3}x+\frac{10}{3}\) y \(y=\frac{2}{5}x+\frac{8}{5}\).
Solución: \((1,2)\).
Ejercicios propuestos
Parte 1: Ejercicios con números enteros y racionales
Ejercicio 1
Resuelve por igualación:
\[ \begin{cases} x+y=7\\ x-y=3 \end{cases} \]
Despejamos \(x\) en ambas ecuaciones:
\[ x=7-y \]
\[ x=3+y \]
Igualamos ambas expresiones:
\[ 7-y=3+y \]
Resolvemos:
\[ 4=2y \]
\[ y=2 \]
Reemplazamos en \(x=7-y\):
\[ x=7-2=5 \]
Solución: \((5,2)\).
Ejercicio 2
Resuelve por igualación:
\[ \begin{cases} 3x-y=1\\ 2x+2y=10 \end{cases} \]
Despejamos \(y\) en ambas ecuaciones:
\[ 3x-y=1 \Rightarrow y=3x-1 \]
\[ 2x+2y=10 \Rightarrow 2y=10-2x \Rightarrow y=5-x \]
Igualamos:
\[ 3x-1=5-x \]
Resolvemos:
\[ 4x=6 \]
\[ x=\frac{3}{2} \]
Reemplazamos en \(y=5-x\):
\[ y=5-\frac{3}{2} \]
\[ y=\frac{10}{2}-\frac{3}{2}=\frac{7}{2} \]
Solución: \(\left(\frac{3}{2},\frac{7}{2}\right)\).
Ejercicio 3
Resuelve por igualación:
\[ \begin{cases} 5x-y=1\\ 2x+3y=8 \end{cases} \]
Despejamos \(y\) en ambas ecuaciones:
\[ 5x-y=1 \Rightarrow y=5x-1 \]
\[ 2x+3y=8 \Rightarrow 3y=8-2x \Rightarrow y=\frac{8-2x}{3} \]
Igualamos:
\[ 5x-1=\frac{8-2x}{3} \]
Multiplicamos por \(3\):
\[ 15x-3=8-2x \]
Resolvemos:
\[ 17x=11 \]
\[ x=\frac{11}{17} \]
Reemplazamos en \(y=5x-1\):
\[ y=5\left(\frac{11}{17}\right)-1 \]
\[ y=\frac{55}{17}-\frac{17}{17}=\frac{38}{17} \]
Solución: \(\left(\frac{11}{17},\frac{38}{17}\right)\).
Ejercicio 4
Resuelve por igualación:
\[ \begin{cases} \frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1\\ \frac{x}{4}-y=-\frac{7}{4} \end{cases} \]
Despejamos \(y\) en ambas ecuaciones:
\[ \frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1 \]
\[ \frac{y}{3}=1-\frac{x}{2} \]
\[ y=3-\frac{3x}{2} \]
Ahora despejamos \(y\) en la segunda ecuación:
\[ \frac{x}{4}-y=-\frac{7}{4} \]
\[ -y=-\frac{7}{4}-\frac{x}{4} \]
\[ y=\frac{x}{4}+\frac{7}{4} \]
Igualamos:
\[ 3-\frac{3x}{2}=\frac{x}{4}+\frac{7}{4} \]
Multiplicamos por \(4\):
\[ 12-6x=x+7 \]
Resolvemos:
\[ -7x=-5 \]
\[ x=\frac{5}{7} \]
Reemplazamos en \(y=\frac{x}{4}+\frac{7}{4}\):
\[ y=\frac{\frac{5}{7}}{4}+\frac{7}{4} \]
\[ y=\frac{5}{28}+\frac{49}{28}=\frac{54}{28}=\frac{27}{14} \]
Solución: \(\left(\frac{5}{7},\frac{27}{14}\right)\).
Parte 2: Ejercicios con coeficientes literales
Ejercicio 5
Resuelve para \(x\) e \(y\):
\[ \begin{cases} x+y=a\\ x-y=b \end{cases} \]
Despejamos \(x\) en ambas ecuaciones:
\[ x=a-y \]
\[ x=b+y \]
Igualamos:
\[ a-y=b+y \]
Resolvemos para \(y\):
\[ a-b=2y \]
\[ y=\frac{a-b}{2} \]
Reemplazamos en \(x=a-y\):
\[ x=a-\frac{a-b}{2} \]
\[ x=\frac{2a-(a-b)}{2} \]
\[ x=\frac{a+b}{2} \]
Solución: \(\left(\frac{a+b}{2},\frac{a-b}{2}\right)\).
Ejercicio 6
Resuelve para \(x\) e \(y\):
\[ \begin{cases} ax-y=1\\ x+ay=1 \end{cases} \]
Despejamos \(y\) en la primera ecuación:
\[ ax-y=1 \]
\[ -y=1-ax \]
\[ y=ax-1 \]
Sustituimos esta expresión en la segunda ecuación:
\[ x+a(ax-1)=1 \]
Resolvemos:
\[ x+a^2x-a=1 \]
\[ x(a^2+1)=a+1 \]
\[ x=\frac{a+1}{a^2+1} \]
Ahora reemplazamos en \(y=ax-1\):
\[ y=a\left(\frac{a+1}{a^2+1}\right)-1 \]
\[ y=\frac{a^2+a}{a^2+1}-\frac{a^2+1}{a^2+1} \]
\[ y=\frac{a^2+a-a^2-1}{a^2+1} \]
\[ y=\frac{a-1}{a^2+1} \]
Solución: \(\left(\frac{a+1}{a^2+1},\frac{a-1}{a^2+1}\right)\).
6. Sistemas de Ecuaciones: Método de Reducción
Sistemas de Ecuaciones: Método de Reducción
¿Qué es el método de reducción?
También conocido como método de suma y resta o eliminación, el método de reducción consiste en transformar una o ambas ecuaciones para que una incógnita tenga coeficientes opuestos.
Por ejemplo, si en una ecuación aparece \(+3y\) y en la otra aparece \(-3y\), al sumar ambas ecuaciones la incógnita \(y\) se elimina. Así queda una ecuación con una sola variable.
Procedimiento paso a paso
Pasos para resolver un sistema por reducción
- Preparar las ecuaciones: observa los coeficientes de \(x\) e \(y\). Decide qué incógnita quieres eliminar.
- Multiplicar si es necesario: multiplica una o ambas ecuaciones por números convenientes para que los coeficientes de una incógnita queden iguales y con signo contrario.
- Sumar las ecuaciones: suma verticalmente las ecuaciones modificadas. Si el procedimiento está bien hecho, una incógnita se cancela.
- Resolver: resuelve la ecuación resultante para encontrar el valor de una incógnita.
- Encontrar la segunda incógnita: reemplaza el valor encontrado en cualquiera de las ecuaciones originales.
- Verificar: comprueba que el par ordenado obtenido satisface ambas ecuaciones iniciales.
El truco del estratega
Este método suele ser rápido cuando los coeficientes ya son opuestos, como \(+2y\) y \(-2y\), o cuando uno es múltiplo del otro, como \(3x\) y \(6x\).
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: eliminación directa
Resolvamos el sistema:
\[ \begin{cases} x+y=5\\ x-y=1 \end{cases} \]
1. Preparar: no es necesario multiplicar. Los coeficientes de \(y\) ya son opuestos: \(+y\) y \(-y\).
2. Sumar las ecuaciones:
\[ (x+y)+(x-y)=5+1 \]
\[ 2x=6 \]
3. Resolver para \(x\):
\[ x=3 \]
4. Encontrar \(y\): reemplazamos \(x=3\) en la primera ecuación original.
\[ 3+y=5 \]
\[ y=2 \]
Verificación gráfica: las rectas se intersectan en \((3,2)\).
Solución: \((3,2)\).
Ejemplo 2: multiplicando una ecuación
Resolvamos el sistema:
\[ \begin{cases} 2x+3y=7\\ 4x-y=5 \end{cases} \]
1. Preparar: queremos eliminar \(y\). En la primera ecuación aparece \(+3y\), por lo tanto necesitamos \(-3y\) en la segunda.
Multiplicamos la segunda ecuación por \(3\):
\[ 3(4x-y)=3(5) \]
\[ 12x-3y=15 \]
El sistema equivalente queda:
\[ \begin{cases} 2x+3y=7\\ 12x-3y=15 \end{cases} \]
2. Sumar las ecuaciones:
\[ (2x+3y)+(12x-3y)=7+15 \]
\[ 14x=22 \]
3. Resolver para \(x\):
\[ x=\frac{22}{14}=\frac{11}{7} \]
4. Encontrar \(y\): reemplazamos \(x=\frac{11}{7}\) en la segunda ecuación original.
\[ 4\left(\frac{11}{7}\right)-y=5 \]
\[ \frac{44}{7}-y=5 \]
\[ -y=5-\frac{44}{7} \]
\[ -y=\frac{35}{7}-\frac{44}{7}=-\frac{9}{7} \]
\[ y=\frac{9}{7} \]
Verificación gráfica: al escribir ambas ecuaciones como funciones, se obtiene \(y=-\frac{2}{3}x+\frac{7}{3}\) y \(y=4x-5\).
Solución: \(\left(\frac{11}{7},\frac{9}{7}\right)\).
Ejemplo 3: multiplicando ambas ecuaciones
Resolvamos el sistema:
\[ \begin{cases} 3x+2y=8\\ 5x-3y=7 \end{cases} \]
1. Preparar: eliminemos \(y\). Como los coeficientes son \(2\) y \(-3\), buscamos \(+6y\) y \(-6y\).
Multiplicamos la primera ecuación por \(3\):
\[ 3(3x+2y)=3(8) \]
\[ 9x+6y=24 \]
Multiplicamos la segunda ecuación por \(2\):
\[ 2(5x-3y)=2(7) \]
\[ 10x-6y=14 \]
2. Sumar las ecuaciones:
\[ (9x+6y)+(10x-6y)=24+14 \]
\[ 19x=38 \]
3. Resolver para \(x\):
\[ x=2 \]
4. Encontrar \(y\): reemplazamos \(x=2\) en la primera ecuación original.
\[ 3(2)+2y=8 \]
\[ 6+2y=8 \]
\[ 2y=2 \]
\[ y=1 \]
Verificación gráfica: las rectas se intersectan en \((2,1)\).
Solución: \((2,1)\).
Ejercicios propuestos
Parte 1: Ejercicios con números enteros y racionales
Ejercicio 1
Resuelve por reducción:
\[ \begin{cases} x+3y=10\\ 2x-y=6 \end{cases} \]
Queremos eliminar \(y\). En la primera ecuación aparece \(+3y\) y en la segunda aparece \(-y\).
Multiplicamos la segunda ecuación por \(3\):
\[ 3(2x-y)=3(6) \]
\[ 6x-3y=18 \]
Sumamos con la primera ecuación:
\[ (x+3y)+(6x-3y)=10+18 \]
\[ 7x=28 \]
\[ x=4 \]
Reemplazamos en \(x+3y=10\):
\[ 4+3y=10 \]
\[ 3y=6 \]
\[ y=2 \]
Solución: \((4,2)\).
Ejercicio 2
Resuelve por reducción:
\[ \begin{cases} \frac{1}{2}x+y=3\\ x-2y=0 \end{cases} \]
Multiplicamos la primera ecuación por \(2\):
\[ 2\left(\frac{1}{2}x+y\right)=2(3) \]
\[ x+2y=6 \]
El sistema equivalente es:
\[ \begin{cases} x+2y=6\\ x-2y=0 \end{cases} \]
Sumamos ambas ecuaciones:
\[ (x+2y)+(x-2y)=6+0 \]
\[ 2x=6 \]
\[ x=3 \]
Reemplazamos en \(x-2y=0\):
\[ 3-2y=0 \]
\[ 3=2y \]
\[ y=\frac{3}{2} \]
Solución: \(\left(3,\frac{3}{2}\right)\).
Ejercicio 3
Resuelve por reducción:
\[ \begin{cases} x+\frac{y}{3}=2\\ 2x-3y=-5 \end{cases} \]
Primero eliminamos la fracción de la primera ecuación multiplicando por \(3\):
\[ 3\left(x+\frac{y}{3}\right)=3(2) \]
\[ 3x+y=6 \]
Ahora queremos eliminar \(y\). Multiplicamos esta ecuación por \(3\):
\[ 3(3x+y)=3(6) \]
\[ 9x+3y=18 \]
Sumamos con la segunda ecuación original:
\[ (9x+3y)+(2x-3y)=18+(-5) \]
\[ 11x=13 \]
\[ x=\frac{13}{11} \]
Reemplazamos en \(3x+y=6\):
\[ 3\left(\frac{13}{11}\right)+y=6 \]
\[ \frac{39}{11}+y=\frac{66}{11} \]
\[ y=\frac{27}{11} \]
Solución: \(\left(\frac{13}{11},\frac{27}{11}\right)\).
Parte 2: Ejercicios con coeficientes literales
Ejercicio 4
Resuelve para \(x\) e \(y\):
\[ \begin{cases} x+y=a\\ x-y=b \end{cases} \]
Sumamos ambas ecuaciones:
\[ (x+y)+(x-y)=a+b \]
\[ 2x=a+b \]
\[ x=\frac{a+b}{2} \]
Para encontrar \(y\), restamos la segunda ecuación a la primera:
\[ (x+y)-(x-y)=a-b \]
\[ 2y=a-b \]
\[ y=\frac{a-b}{2} \]
Solución: \(\left(\frac{a+b}{2},\frac{a-b}{2}\right)\).
Ejercicio 5
Resuelve para \(x\) e \(y\), con \(a^2\neq 1\):
\[ \begin{cases} ax+y=1\\ x+ay=1 \end{cases} \]
Queremos eliminar \(y\). Multiplicamos la primera ecuación por \(-a\):
\[ -a(ax+y)=-a(1) \]
\[ -a^2x-ay=-a \]
Sumamos esta ecuación con la segunda ecuación original:
\[ (-a^2x-ay)+(x+ay)=-a+1 \]
\[ x-a^2x=1-a \]
\[ x(1-a^2)=1-a \]
Como \(a^2\neq 1\), entonces \(1-a^2\neq 0\). Por lo tanto:
\[ x=\frac{1-a}{1-a^2} \]
Factorizamos el denominador:
\[ 1-a^2=(1-a)(1+a) \]
Entonces:
\[ x=\frac{1-a}{(1-a)(1+a)}=\frac{1}{1+a} \]
Reemplazamos en la segunda ecuación original:
\[ \frac{1}{1+a}+ay=1 \]
\[ ay=1-\frac{1}{1+a} \]
\[ ay=\frac{1+a}{1+a}-\frac{1}{1+a} \]
\[ ay=\frac{a}{1+a} \]
Como \(a^2\neq 1\), en particular \(a\neq 0\) no es necesario para la validez de la solución final, pero esta expresión permite ver que:
\[ y=\frac{1}{1+a} \]
Solución: \(\left(\frac{1}{a+1},\frac{1}{a+1}\right)\).
7. Sistemas de Ecuaciones: ¿Qué Método Usar? La Estrategia
Sistemas de Ecuaciones: ¿Qué Método Usar? La Estrategia
Ya conoces las herramientas, ahora elige estratégicamente
Ya aprendiste tres métodos algebraicos para resolver sistemas de ecuaciones: sustitución, igualación y reducción. Aunque la mayoría de los sistemas puede resolverse por distintos métodos, conviene elegir el camino más eficiente.
Elegir bien el método ayuda a ahorrar tiempo, reducir cálculos innecesarios y evitar errores.
Comparando nuestros métodos algebraicos
Guía rápida de elección
Cada método funciona mejor en ciertos tipos de sistemas. La siguiente tabla resume algunas pistas útiles:
| Método | Cuándo conviene usarlo | Ejemplo típico |
|---|---|---|
| Sustitución | Cuando una incógnita ya está despejada o cuando una incógnita tiene coeficiente \(1\) o \(-1\), por lo que es fácil despejarla. | \(y=3x-2\) \(5x+2y=7\) |
| Igualación | Cuando la misma incógnita está despejada en ambas ecuaciones o es fácil despejarla en las dos. | \(x=4y-1\) \(x=-2y+5\) |
| Reducción | Cuando los coeficientes de una incógnita son iguales, opuestos o múltiplos entre sí. | \(3x+2y=7\) \(5x-2y=1\) |
Ejercicios mixtos: elige, justifica y resuelve
Instrucción
Para cada sistema, primero identifica qué método parece más eficiente y justifica tu elección. Luego, resuelve el sistema.
Ejercicio 1
Resuelve el sistema y justifica el método elegido:
\[ \begin{cases} y=2x+5\\ 3x-2y=-8 \end{cases} \]
Método recomendado: sustitución.
Justificación: la incógnita \(y\) ya está despejada en la primera ecuación.
Sustituimos \(y=2x+5\) en la segunda ecuación:
\[ 3x-2(2x+5)=-8 \]
\[ 3x-4x-10=-8 \]
\[ -x-10=-8 \]
\[ -x=2 \]
\[ x=-2 \]
Ahora reemplazamos en \(y=2x+5\):
\[ y=2(-2)+5=1 \]
Solución: \((-2,1)\).
Ejercicio 2
Resuelve el sistema y justifica el método elegido:
\[ \begin{cases} 4x+5y=1\\ 3x-5y=13 \end{cases} \]
Método recomendado: reducción.
Justificación: los coeficientes de \(y\) son opuestos: \(+5y\) y \(-5y\).
Sumamos ambas ecuaciones:
\[ (4x+5y)+(3x-5y)=1+13 \]
\[ 7x=14 \]
\[ x=2 \]
Reemplazamos en la primera ecuación:
\[ 4(2)+5y=1 \]
\[ 8+5y=1 \]
\[ 5y=-7 \]
\[ y=-\frac{7}{5} \]
Solución: \(\left(2,-\frac{7}{5}\right)\).
Ejercicio 3
Resuelve el sistema y justifica el método elegido:
\[ \begin{cases} x=3y-7\\ x=-2y+8 \end{cases} \]
Método recomendado: igualación.
Justificación: la incógnita \(x\) ya está despejada en ambas ecuaciones.
Igualamos las dos expresiones para \(x\):
\[ 3y-7=-2y+8 \]
\[ 5y=15 \]
\[ y=3 \]
Reemplazamos en \(x=3y-7\):
\[ x=3(3)-7=2 \]
Solución: \((2,3)\).
Ejercicio 4
Resuelve el sistema y justifica el método elegido:
\[ \begin{cases} 2x+y=9\\ 4x-3y=13 \end{cases} \]
Método recomendado: sustitución o reducción.
Justificación: en la primera ecuación es fácil despejar \(y\), pero también se puede multiplicar la primera ecuación por \(3\) para eliminar \(y\). Resolveremos por sustitución.
Despejamos \(y\) en la primera ecuación:
\[ y=9-2x \]
Sustituimos en la segunda ecuación:
\[ 4x-3(9-2x)=13 \]
\[ 4x-27+6x=13 \]
\[ 10x=40 \]
\[ x=4 \]
Reemplazamos en \(y=9-2x\):
\[ y=9-2(4)=1 \]
Solución: \((4,1)\).
Ejercicio 5
Resuelve el sistema y justifica el método elegido:
\[ \begin{cases} x-6y=10\\ 3x+4y=1 \end{cases} \]
Método recomendado: sustitución.
Justificación: la incógnita \(x\) tiene coeficiente \(1\) en la primera ecuación, por lo que es fácil despejarla.
Despejamos \(x\):
\[ x=10+6y \]
Sustituimos en la segunda ecuación:
\[ 3(10+6y)+4y=1 \]
\[ 30+18y+4y=1 \]
\[ 22y=-29 \]
\[ y=-\frac{29}{22} \]
Reemplazamos en \(x=10+6y\):
\[ x=10+6\left(-\frac{29}{22}\right) \]
\[ x=10-\frac{87}{11} \]
\[ x=\frac{110}{11}-\frac{87}{11}=\frac{23}{11} \]
Solución: \(\left(\frac{23}{11},-\frac{29}{22}\right)\).
Ejercicio 6
Resuelve el sistema y justifica el método elegido:
\[ \begin{cases} 3x+4y=15\\ 5x-3y=11 \end{cases} \]
Método recomendado: reducción.
Justificación: ninguna incógnita está despejada y no hay coeficientes \(1\) o \(-1\). Reducción permite trabajar de forma ordenada.
Eliminemos \(y\). Multiplicamos la primera ecuación por \(3\):
\[ 9x+12y=45 \]
Multiplicamos la segunda ecuación por \(4\):
\[ 20x-12y=44 \]
Sumamos:
\[ 29x=89 \]
\[ x=\frac{89}{29} \]
Reemplazamos en la primera ecuación:
\[ 3\left(\frac{89}{29}\right)+4y=15 \]
\[ \frac{267}{29}+4y=\frac{435}{29} \]
\[ 4y=\frac{168}{29} \]
\[ y=\frac{42}{29} \]
Solución: \(\left(\frac{89}{29},\frac{42}{29}\right)\).
Ejercicio 7
Resuelve el sistema y justifica el método elegido:
\[ \begin{cases} \frac{1}{2}x+y=4\\ x-y=2 \end{cases} \]
Método recomendado: reducción.
Justificación: los coeficientes de \(y\) ya son opuestos: \(+y\) y \(-y\).
Sumamos ambas ecuaciones:
\[ \left(\frac{1}{2}x+y\right)+(x-y)=4+2 \]
\[ \frac{3}{2}x=6 \]
\[ x=6\cdot \frac{2}{3}=4 \]
Reemplazamos en \(x-y=2\):
\[ 4-y=2 \]
\[ y=2 \]
Solución: \((4,2)\).
Ejercicio 8
Resuelve el sistema y justifica el método elegido:
\[ \begin{cases} y=-4x+2\\ 3y=9-2x \end{cases} \]
Método recomendado: sustitución.
Justificación: \(y\) ya está despejada en la primera ecuación.
Sustituimos \(y=-4x+2\) en la segunda ecuación:
\[ 3(-4x+2)=9-2x \]
\[ -12x+6=9-2x \]
\[ -10x=3 \]
\[ x=-\frac{3}{10} \]
Reemplazamos en \(y=-4x+2\):
\[ y=-4\left(-\frac{3}{10}\right)+2 \]
\[ y=\frac{12}{10}+2=\frac{6}{5}+\frac{10}{5}=\frac{16}{5} \]
Solución: \(\left(-\frac{3}{10},\frac{16}{5}\right)\).
Ejercicio 9
Resuelve el sistema y justifica el método elegido:
\[ \begin{cases} 7x-2y=12\\ 5x+2y=12 \end{cases} \]
Método recomendado: reducción.
Justificación: los coeficientes de \(y\) son opuestos: \(-2y\) y \(+2y\).
Sumamos ambas ecuaciones:
\[ (7x-2y)+(5x+2y)=12+12 \]
\[ 12x=24 \]
\[ x=2 \]
Reemplazamos en la primera ecuación:
\[ 7(2)-2y=12 \]
\[ 14-2y=12 \]
\[ -2y=-2 \]
\[ y=1 \]
Solución: \((2,1)\).
Ejercicio 10
Resuelve el sistema y justifica el método elegido:
\[ \begin{cases} y=\frac{x}{2}+1\\ y=\frac{x}{3}+2 \end{cases} \]
Método recomendado: igualación.
Justificación: \(y\) ya está despejada en ambas ecuaciones.
Igualamos las expresiones:
\[ \frac{x}{2}+1=\frac{x}{3}+2 \]
Multiplicamos por \(6\):
\[ 3x+6=2x+12 \]
\[ x=6 \]
Reemplazamos en la primera ecuación:
\[ y=\frac{6}{2}+1=4 \]
Solución: \((6,4)\).
Ejercicio 11
Resuelve el sistema y justifica el método elegido:
\[ \begin{cases} 6x+5y=2\\ 2x-y=10 \end{cases} \]
Método recomendado: sustitución.
Justificación: es fácil despejar \(y\) desde la segunda ecuación.
Despejamos \(y\):
\[ 2x-y=10 \]
\[ -y=10-2x \]
\[ y=2x-10 \]
Sustituimos en la primera ecuación:
\[ 6x+5(2x-10)=2 \]
\[ 6x+10x-50=2 \]
\[ 16x=52 \]
\[ x=\frac{13}{4} \]
Reemplazamos en \(y=2x-10\):
\[ y=2\left(\frac{13}{4}\right)-10 \]
\[ y=\frac{13}{2}-\frac{20}{2}=-\frac{7}{2} \]
Solución: \(\left(\frac{13}{4},-\frac{7}{2}\right)\).
Ejercicio 12
Resuelve el sistema y justifica el método elegido:
\[ \begin{cases} 2x=5-3y\\ 4x=1-5y \end{cases} \]
Método recomendado: reducción.
Justificación: es fácil hacer que los coeficientes de \(x\) sean opuestos multiplicando la primera ecuación por \(-2\).
Primero escribimos el sistema en forma estándar:
\[ \begin{cases} 2x+3y=5\\ 4x+5y=1 \end{cases} \]
Multiplicamos la primera ecuación por \(-2\):
\[ -4x-6y=-10 \]
Sumamos con la segunda ecuación:
\[ (-4x-6y)+(4x+5y)=-10+1 \]
\[ -y=-9 \]
\[ y=9 \]
Reemplazamos en \(2x+3y=5\):
\[ 2x+3(9)=5 \]
\[ 2x+27=5 \]
\[ 2x=-22 \]
\[ x=-11 \]
Solución: \((-11,9)\).
Conclusión final
No hay un método único para resolver todos los sistemas de ecuaciones. Lo importante es observar la estructura del sistema y elegir el método que permita resolverlo con menos pasos y menor riesgo de error.
8. Resolviendo Problemas con Sistemas de Ecuaciones
Resolviendo Problemas con Sistemas de Ecuaciones
Las matemáticas en acción
Hasta ahora hemos practicado procedimientos para resolver sistemas. Ahora veremos para qué sirven: los sistemas de ecuaciones permiten modelar y resolver problemas en distintos contextos, como precios, edades, cantidades, mezclas y planificación financiera.
El mapa para resolver cualquier problema
Resolver problemas de planteo
Resolver problemas con sistemas puede parecer difícil al comienzo, pero si se sigue un método ordenado, el proceso se vuelve mucho más claro.
Pasos para resolver problemas con sistemas de ecuaciones
- Leer y comprender: identifica los datos entregados y lo que se pregunta.
- Definir las incógnitas: asigna una letra a cada cantidad desconocida. Por ejemplo, \(x=\) cantidad de conejos.
- Plantear el sistema: traduce las condiciones del problema al lenguaje algebraico.
- Resolver el sistema: elige un método adecuado: sustitución, igualación o reducción.
- Responder y verificar: escribe la respuesta en el contexto del problema y comprueba si tiene sentido.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: problema de números
La suma de dos números es \(25\) y su diferencia es \(5\). ¿Cuáles son los números?
1. Incógnitas:
\[ x=\text{primer número} \]
\[ y=\text{segundo número} \]
2. Sistema:
La suma de los números es \(25\):
\[ x+y=25 \]
La diferencia entre ellos es \(5\):
\[ x-y=5 \]
3. Resolución por reducción:
\[ (x+y)+(x-y)=25+5 \]
\[ 2x=30 \]
\[ x=15 \]
Reemplazamos en \(x+y=25\):
\[ 15+y=25 \]
\[ y=10 \]
4. Respuesta: los números son \(15\) y \(10\).
Ejemplo 2: problema de edades
La edad de un padre es el triple de la edad de su hijo. Hace \(5\) años, la suma de sus edades era \(46\). ¿Qué edad tiene cada uno?
1. Incógnitas:
\[ x=\text{edad actual del hijo} \]
\[ y=\text{edad actual del padre} \]
2. Sistema:
La edad del padre es el triple de la edad del hijo:
\[ y=3x \]
Hace \(5\) años, las edades eran \(x-5\) e \(y-5\). Como la suma era \(46\):
\[ (x-5)+(y-5)=46 \]
Simplificando:
\[ x+y=56 \]
3. Resolución por sustitución:
Sustituimos \(y=3x\) en \(x+y=56\):
\[ x+3x=56 \]
\[ 4x=56 \]
\[ x=14 \]
Reemplazamos en \(y=3x\):
\[ y=3(14)=42 \]
4. Respuesta: el hijo tiene \(14\) años y el padre tiene \(42\) años.
Paso clave: entender qué representa cada letra
Antes de resolver
Antes de aplicar un método algebraico, es fundamental interpretar qué representa cada incógnita y cada término del sistema.
Situación 1: cine
En un cine, las entradas de adulto cuestan \(\$5\) y las de niño cuestan \(\$3\). Se vendieron \(400\) entradas y se recaudaron \(\$1600\). El sistema es:
\[ \begin{cases} x+y=400\\ 5x+3y=1600 \end{cases} \]
¿Qué representan \(x\), \(y\), \(5x\) y \(3y\)?
\(x\) representa la cantidad de entradas de adulto vendidas.
\(y\) representa la cantidad de entradas de niño vendidas.
\(5x\) representa el dinero recaudado por las entradas de adulto.
\(3y\) representa el dinero recaudado por las entradas de niño.
La primera ecuación cuenta el total de entradas, mientras que la segunda cuenta el total de dinero recaudado.
Situación 2: ahorro
Se invierten \(\$10000\) en dos cuentas: una al \(5\%\) y otra al \(7\%\) de interés anual. En total se ganan \(\$580\). El sistema es:
\[ \begin{cases} x+y=10000\\ 0.05x+0.07y=580 \end{cases} \]
¿Qué representan \(x\), \(y\), \(0.05x\) y \(0.07y\)?
\(x\) representa el dinero invertido en la cuenta al \(5\%\).
\(y\) representa el dinero invertido en la cuenta al \(7\%\).
\(0.05x\) representa el interés ganado por la inversión al \(5\%\).
\(0.07y\) representa el interés ganado por la inversión al \(7\%\).
La primera ecuación representa el total invertido, y la segunda representa el total de intereses obtenidos.
Ahora, a resolver problemas
Ejercicio 1
En un corral hay conejos y gallinas. En total hay \(35\) cabezas y \(100\) patas. ¿Cuántos conejos y gallinas hay?
1. Incógnitas:
\[ c=\text{cantidad de conejos} \]
\[ g=\text{cantidad de gallinas} \]
2. Sistema:
Cada animal tiene una cabeza:
\[ c+g=35 \]
Cada conejo tiene \(4\) patas y cada gallina tiene \(2\):
\[ 4c+2g=100 \]
3. Resolución:
Multiplicamos la primera ecuación por \(-2\):
\[ -2c-2g=-70 \]
Sumamos con \(4c+2g=100\):
\[ 2c=30 \]
\[ c=15 \]
Reemplazamos en \(c+g=35\):
\[ 15+g=35 \]
\[ g=20 \]
Respuesta: hay \(15\) conejos y \(20\) gallinas.
Ejercicio 2
En una tienda, \(3\) kg de manzanas y \(2\) kg de naranjas cuestan \(\$8\). Además, \(2\) kg de manzanas y \(4\) kg de naranjas cuestan \(\$10\). ¿Cuál es el precio por kg de cada fruta?
1. Incógnitas:
\[ m=\text{precio de 1 kg de manzanas} \]
\[ n=\text{precio de 1 kg de naranjas} \]
2. Sistema:
\[ \begin{cases} 3m+2n=8\\ 2m+4n=10 \end{cases} \]
3. Resolución por reducción:
Multiplicamos la primera ecuación por \(2\):
\[ 6m+4n=16 \]
Restamos la segunda ecuación:
\[ (6m+4n)-(2m+4n)=16-10 \]
\[ 4m=6 \]
\[ m=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}=1.5 \]
Reemplazamos en \(2m+4n=10\):
\[ 2(1.5)+4n=10 \]
\[ 3+4n=10 \]
\[ 4n=7 \]
\[ n=\frac{7}{4}=1.75 \]
Respuesta: el kg de manzanas cuesta \(\$1.50\) y el kg de naranjas cuesta \(\$1.75\).
Ejercicio 3
Un químico necesita \(10\) litros de una solución al \(20\%\) de ácido. Tiene dos soluciones: una al \(15\%\) y otra al \(30\%\). ¿Cuántos litros de cada una debe mezclar?
1. Incógnitas:
\[ x=\text{litros de solución al }15\% \]
\[ y=\text{litros de solución al }30\% \]
2. Sistema:
La mezcla total debe tener \(10\) litros:
\[ x+y=10 \]
El \(20\%\) de \(10\) litros corresponde a \(2\) litros de ácido:
\[ 0.15x+0.30y=2 \]
3. Resolución:
Despejamos \(x\) en la primera ecuación:
\[ x=10-y \]
Sustituimos en la segunda:
\[ 0.15(10-y)+0.30y=2 \]
\[ 1.5-0.15y+0.30y=2 \]
\[ 0.15y=0.5 \]
\[ y=\frac{0.5}{0.15}=\frac{10}{3} \]
Entonces:
\[ x=10-\frac{10}{3}=\frac{20}{3} \]
Respuesta: debe mezclar \(\frac{20}{3}\) litros de solución al \(15\%\), es decir aproximadamente \(6.67\) litros, y \(\frac{10}{3}\) litros de solución al \(30\%\), es decir aproximadamente \(3.33\) litros.
9. Sistemas de Ecuaciones: Profundización con la Regla de Cramer
Sistemas de Ecuaciones: Profundización con la Regla de Cramer
Un método poderoso y diferente: los determinantes
Hasta ahora hemos resuelto sistemas de ecuaciones paso a paso mediante métodos como sustitución, igualación y reducción. La Regla de Cramer es distinta, porque permite encontrar la solución usando una fórmula directa basada en determinantes.
Para usarla correctamente, primero debemos aprender a calcular el determinante de una matriz \(2\times 2\).
El corazón del método: calcular un determinante \(2\times 2\)
Cálculo del determinante \(2\times 2\)
Dado el arreglo:
\[ \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} \]
Su determinante se escribe con barras verticales y se calcula así:
\[ \Delta= \begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix} =a\cdot d-b\cdot c \]
Es decir, se multiplica la diagonal principal y se resta el producto de la otra diagonal.
Ejemplo: cálculo de un determinante
Calculemos el determinante de:
\[ \begin{pmatrix} 5 & 2\\ 4 & 3 \end{pmatrix} \]
Aplicamos la fórmula:
\[ \Delta= \begin{vmatrix} 5 & 2\\ 4 & 3 \end{vmatrix} =(5)(3)-(2)(4) \]
\[ \Delta=15-8=7 \]
El determinante es \(7\).
La Regla de Cramer para sistemas \(2\times 2\)
Forma general
Para un sistema de la forma:
\[ \begin{cases} ax+by=c\\ dx+ey=f \end{cases} \]
se calculan tres determinantes:
Determinante del sistema:
\[ \Delta_S= \begin{vmatrix} a & b\\ d & e \end{vmatrix} \]
Determinante de \(x\): se reemplaza la columna de los coeficientes de \(x\) por la columna de resultados.
\[ \Delta_x= \begin{vmatrix} c & b\\ f & e \end{vmatrix} \]
Determinante de \(y\): se reemplaza la columna de los coeficientes de \(y\) por la columna de resultados.
\[ \Delta_y= \begin{vmatrix} a & c\\ d & f \end{vmatrix} \]
Finalmente:
\[ x=\frac{\Delta_x}{\Delta_S} \qquad y=\frac{\Delta_y}{\Delta_S} \]
Condición importante
La Regla de Cramer entrega una solución única solo cuando \(\Delta_S\neq 0\).
Si \(\Delta_S=0\), el sistema no tiene solución única. En ese caso, las rectas pueden ser paralelas o coincidentes, por lo que se debe analizar el sistema con otro método.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: aplicación de la Regla de Cramer
Resolvamos el sistema:
\[ \begin{cases} 2x+3y=8\\ 5x+4y=13 \end{cases} \]
1. Calculamos \(\Delta_S\):
\[ \Delta_S= \begin{vmatrix} 2 & 3\\ 5 & 4 \end{vmatrix} =(2)(4)-(3)(5) \]
\[ \Delta_S=8-15=-7 \]
2. Calculamos \(\Delta_x\):
\[ \Delta_x= \begin{vmatrix} 8 & 3\\ 13 & 4 \end{vmatrix} =(8)(4)-(3)(13) \]
\[ \Delta_x=32-39=-7 \]
3. Calculamos \(\Delta_y\):
\[ \Delta_y= \begin{vmatrix} 2 & 8\\ 5 & 13 \end{vmatrix} =(2)(13)-(8)(5) \]
\[ \Delta_y=26-40=-14 \]
4. Calculamos \(x\) e \(y\):
\[ x=\frac{\Delta_x}{\Delta_S} = \frac{-7}{-7}=1 \]
\[ y=\frac{\Delta_y}{\Delta_S} = \frac{-14}{-7}=2 \]
Solución: \((1,2)\).
Ejercicios propuestos
Ejercicio 1
Resuelve usando la Regla de Cramer:
\[ \begin{cases} 5x+2y=11\\ 3x-y=5 \end{cases} \]
1. Calculamos \(\Delta_S\):
\[ \Delta_S= \begin{vmatrix} 5 & 2\\ 3 & -1 \end{vmatrix} =(5)(-1)-(2)(3) \]
\[ \Delta_S=-5-6=-11 \]
2. Calculamos \(\Delta_x\):
\[ \Delta_x= \begin{vmatrix} 11 & 2\\ 5 & -1 \end{vmatrix} =(11)(-1)-(2)(5) \]
\[ \Delta_x=-11-10=-21 \]
3. Calculamos \(\Delta_y\):
\[ \Delta_y= \begin{vmatrix} 5 & 11\\ 3 & 5 \end{vmatrix} =(5)(5)-(11)(3) \]
\[ \Delta_y=25-33=-8 \]
4. Calculamos \(x\) e \(y\):
\[ x=\frac{\Delta_x}{\Delta_S} = \frac{-21}{-11} = \frac{21}{11} \]
\[ y=\frac{\Delta_y}{\Delta_S} = \frac{-8}{-11} = \frac{8}{11} \]
Solución: \(\left(\frac{21}{11},\frac{8}{11}\right)\).
Ejercicio 2
Resuelve usando la Regla de Cramer:
\[ \begin{cases} 4x-3y=10\\ 2x+5y=18 \end{cases} \]
1. Calculamos \(\Delta_S\):
\[ \Delta_S= \begin{vmatrix} 4 & -3\\ 2 & 5 \end{vmatrix} =(4)(5)-(-3)(2) \]
\[ \Delta_S=20+6=26 \]
2. Calculamos \(\Delta_x\):
\[ \Delta_x= \begin{vmatrix} 10 & -3\\ 18 & 5 \end{vmatrix} =(10)(5)-(-3)(18) \]
\[ \Delta_x=50+54=104 \]
3. Calculamos \(\Delta_y\):
\[ \Delta_y= \begin{vmatrix} 4 & 10\\ 2 & 18 \end{vmatrix} =(4)(18)-(10)(2) \]
\[ \Delta_y=72-20=52 \]
4. Calculamos \(x\) e \(y\):
\[ x=\frac{104}{26}=4 \]
\[ y=\frac{52}{26}=2 \]
Solución: \((4,2)\).
Ejercicio 3
Intenta resolver usando la Regla de Cramer:
\[ \begin{cases} 2x+6y=5\\ x+3y=1 \end{cases} \]
1. Calculamos \(\Delta_S\):
\[ \Delta_S= \begin{vmatrix} 2 & 6\\ 1 & 3 \end{vmatrix} =(2)(3)-(6)(1) \]
\[ \Delta_S=6-6=0 \]
Como \(\Delta_S=0\), la Regla de Cramer no entrega una solución única.
Analicemos las rectas:
\[ 2x+6y=5 \]
Dividimos por \(2\):
\[ x+3y=\frac{5}{2} \]
La segunda ecuación es:
\[ x+3y=1 \]
Ambas tienen el mismo lado izquierdo, pero resultados distintos. Por lo tanto, representan rectas paralelas.
Respuesta: el sistema no tiene solución.
¿De dónde viene esto?
La Regla de Cramer pertenece al álgebra lineal, una rama de la matemática que estudia matrices, vectores y sistemas de ecuaciones. En enseñanza media, la usamos como una forma ordenada de resolver sistemas \(2\times 2\), pero la idea puede extenderse a sistemas más grandes.