Partimos de:

\[ y=-3x+5 \]

Para escribirla como \(ax+by=c\), movemos \(-3x\) al lado izquierdo. Al cambiar de lado, cambia de signo:

\[ 3x+y=5 \]

Entonces:

\[ a=3,\qquad b=1,\qquad c=5 \]

Resultado: la forma \(ax+by=c\) es \[ 3x+y=5. \]

Partimos de:

\[ 2x+4y=8 \]

Restamos \(2x\) en ambos lados:

\[ 4y=-2x+8 \]

Dividimos por \(4\):

\[ y=-\frac{1}{2}x+2 \]

Por lo tanto:

\[ m=-\frac{1}{2},\qquad n=2 \]

Para graficar, usamos el punto de intersección con el eje \(y\):

\[ (0,2) \]

Como la pendiente es \(-\frac{1}{2}\), desde \((0,2)\) avanzamos \(2\) unidades a la derecha y bajamos \(1\) unidad. Así obtenemos:

\[ (2,1) \]

Resultado: la forma principal es \[ y=-\frac{1}{2}x+2, \] y la recta se puede graficar usando los puntos \((0,2)\) y \((2,1)\).

Partimos de:

\[ y=\frac{2}{3}x-1 \]

Multiplicamos toda la ecuación por \(3\) para eliminar el denominador:

\[ 3y=2x-3 \]

Movemos \(2x\) al lado izquierdo:

\[ -2x+3y=-3 \]

Entonces:

\[ a=-2,\qquad b=3,\qquad c=-3 \]

Para graficar, usamos la forma principal. La intersección con el eje \(y\) es:

\[ (0,-1) \]

Como la pendiente es \(\frac{2}{3}\), desde \((0,-1)\) avanzamos \(3\) unidades a la derecha y subimos \(2\) unidades. Así obtenemos:

\[ (3,1) \]

Resultado: una forma \(ax+by=c\) es \[ -2x+3y=-3, \] y la recta puede graficarse usando \((0,-1)\) y \((3,1)\).

Partimos de:

\[ y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{4} \]

Multiplicamos toda la ecuación por \(4\), que elimina los denominadores \(2\) y \(4\):

\[ 4y=-2x+3 \]

Movemos \(-2x\) al lado izquierdo. Al cambiar de lado, queda positivo:

\[ 2x+4y=3 \]

Entonces:

\[ a=2,\qquad b=4,\qquad c=3 \]

Resultado: la forma \(ax+by=c\) es \[ 2x+4y=3. \]

Partimos de:

\[ \frac{2}{5}x-\frac{1}{3}y=2 \]

Restamos \(\frac{2}{5}x\) en ambos lados:

\[ -\frac{1}{3}y=-\frac{2}{5}x+2 \]

Multiplicamos por \(-3\):

\[ y=\frac{6}{5}x-6 \]

Entonces:

\[ m=\frac{6}{5},\qquad n=-6 \]

Para graficar, usamos el punto:

\[ (0,-6) \]

Como la pendiente es \(\frac{6}{5}\), desde \((0,-6)\) avanzamos \(5\) unidades a la derecha y subimos \(6\) unidades. Así obtenemos:

\[ (5,0) \]

Resultado: la forma principal es \[ y=\frac{6}{5}x-6, \] y la recta puede graficarse usando los puntos \((0,-6)\) y \((5,0)\).

Partimos de:

\[ y=mx+n \]

Movemos \(mx\) al lado izquierdo:

\[ -mx+y=n \]

Comparando con:

\[ ax+by=c \]

se obtiene:

\[ a=-m,\qquad b=1,\qquad c=n \]

Resultado: la forma \(ax+by=c\) es \[ -mx+y=n. \]

Partimos de:

\[ \frac{x}{p}+\frac{y}{q}=1 \]

Restamos \(\frac{x}{p}\) en ambos lados:

\[ \frac{y}{q}=1-\frac{x}{p} \]

Multiplicamos por \(q\):

\[ y=q-\frac{q}{p}x \]

Ordenamos en la forma \(y=mx+n\):

\[ y=-\frac{q}{p}x+q \]

Entonces:

\[ m=-\frac{q}{p},\qquad n=q \]

Resultado: la forma principal es \[ y=-\frac{q}{p}x+q. \]

La recta que crece más rápido es la de pendiente \(m=\frac{3}{2}\), porque por cada aumento de \(2\) unidades en \(x\), sube \(3\) unidades en \(y\).

La recta que desciende es la de pendiente \(m=-\frac{4}{3}\), ya que su pendiente es negativa.

La recta que mantiene siempre el mismo valor de \(y\) es la de pendiente \(m=0\), porque es horizontal.

Identificamos los coeficientes en la forma \(ax+by=c\):

\[ a=3,\qquad b=-2,\qquad c=6 \]

Como \(b\neq 0\), usamos:

\[ m=-\frac{a}{b} \]

Reemplazamos:

\[ m=-\frac{3}{-2} \]

\[ m=\frac{3}{2} \]

Como la pendiente es positiva, la recta asciende de izquierda a derecha.

Resultado: la pendiente es \(\frac{3}{2}\) y la recta asciende.

Identificamos los coeficientes:

\[ a=-1,\qquad b=4,\qquad c=8 \]

Usamos la fórmula:

\[ m=-\frac{a}{b} \]

Reemplazamos:

\[ m=-\frac{-1}{4} \]

\[ m=\frac{1}{4} \]

Como la pendiente es positiva, la recta asciende de izquierda a derecha.

Resultado: la pendiente es \(\frac{1}{4}\) y la recta asciende.

Identificamos:

\[ a=5,\qquad b=2 \]

Calculamos:

\[ m=-\frac{a}{b} \]

\[ m=-\frac{5}{2} \]

Como la pendiente es negativa, la recta desciende de izquierda a derecha.

Resultado: la pendiente es \(-\frac{5}{2}\) y la recta desciende.

Identificamos:

\[ a=\frac{2}{3},\qquad b=\frac{1}{2},\qquad c=1 \]

Calculamos la pendiente:

\[ m=-\frac{a}{b} \]

\[ m=-\frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{2}} \]

Dividir por \(\frac{1}{2}\) equivale a multiplicar por \(2\):

\[ m=-\left(\frac{2}{3}\cdot 2\right) \]

\[ m=-\frac{4}{3} \]

Como la pendiente es negativa, la recta desciende de izquierda a derecha.

Resultado: la pendiente es \(-\frac{4}{3}\) y la recta desciende.

Identificamos:

\[ a=-\frac{3}{4},\qquad b=-\frac{1}{3},\qquad c=2 \]

Calculamos la pendiente:

\[ m=-\frac{a}{b} \]

\[ m=-\frac{-\frac{3}{4}}{-\frac{1}{3}} \]

Primero resolvemos la división:

\[ \frac{-\frac{3}{4}}{-\frac{1}{3}} = \left(-\frac{3}{4}\right)(-3) = \frac{9}{4} \]

Luego aplicamos el signo negativo externo:

\[ m=-\frac{9}{4} \]

Como la pendiente es negativa, la recta desciende de izquierda a derecha.

Resultado: la pendiente es \(-\frac{9}{4}\) y la recta desciende.

Identificamos:

\[ a=-4,\qquad b=1 \]

Calculamos:

\[ m=-\frac{a}{b} \]

\[ m=-\frac{-4}{1}=4 \]

Esto significa que, por cada \(1\) unidad que avanzamos en \(x\), subimos \(4\) unidades en \(y\).

Resultado: la pendiente es \(4\), por lo tanto la recta asciende rápidamente de izquierda a derecha.

Si \(b\neq 0\), la pendiente es:

\[ m=-\frac{a}{b} \]

Si \(a\) y \(b\) tienen el mismo signo, entonces \(\frac{a}{b}\) es positivo. Al anteponer el signo negativo, se obtiene:

\[ -\frac{a}{b}<0 \]

Por lo tanto, la pendiente es negativa y la recta desciende de izquierda a derecha.

Si \(a\) y \(b\) tienen signos opuestos, entonces \(\frac{a}{b}\) es negativo. Al anteponer el signo negativo, se obtiene:

\[ -\frac{a}{b}>0 \]

Por lo tanto, la pendiente es positiva y la recta asciende de izquierda a derecha.

Conclusión: mismo signo produce pendiente negativa; signos opuestos producen pendiente positiva.

La pendiente es:

\[ m=-\frac{a}{b} \]

Para que la pendiente sea \(1\), debe cumplirse:

\[ -\frac{a}{b}=1 \]

Multiplicamos por \(b\), con \(b\neq 0\):

\[ -a=b \]

Entonces:

\[ a=-b \]

Para que la pendiente sea \(-1\), debe cumplirse:

\[ -\frac{a}{b}=-1 \]

Multiplicamos por \(b\):

\[ -a=-b \]

Entonces:

\[ a=b \]

Resultado: para \(m=1\), se requiere \(a=-b\). Para \(m=-1\), se requiere \(a=b\), considerando \(b\neq 0\).

Una recta horizontal tiene pendiente \(0\). Como:

\[ m=-\frac{a}{b}, \]

para que \(m=0\), debe cumplirse:

\[ a=0 \]

Además, debe cumplirse \(b\neq 0\), porque si \(b=0\) no se podría despejar \(y\).

Entonces, una recta horizontal se obtiene cuando:

\[ a=0,\qquad b\neq 0 \]

En cambio, una recta vertical ocurre cuando \(b=0\). En ese caso, la ecuación queda:

\[ ax=c \]

Si \(a\neq 0\), entonces:

\[ x=\frac{c}{a} \]

Esa es una recta vertical.

Resultado: si la recta es horizontal, \(a=0\) y \(b\neq 0\). Si la recta es vertical, \(b=0\) y \(a\neq 0\).

Primero despejamos \(y\):

\[ -1{,}2x+4y=c \]

\[ 4y=1{,}2x+c \]

\[ y=0{,}3x+\frac{c}{4} \]

Una forma simple de completar la tabla es elegir \(x_1=0\) y \(x_2=4\).

Si \(x=0\), entonces:

\[ y=\frac{c}{4} \]

Si \(x=4\), entonces:

\[ y=0{,}3(4)+\frac{c}{4}=1{,}2+\frac{c}{4} \]

Importante: esta no es la única tabla posible. Cada recta tiene infinitos puntos, por lo que podrían elegirse otros valores de \(x\).

Despejamos \(y\):

\[ 2x+y=c \]

\[ y=-2x+c \]

La pendiente siempre es \(m=-2\), por lo tanto las rectas son paralelas.

Para \(c=-2\):

\[ 2x+y=-2 \]

Dos puntos son \((0,-2)\) y \((-1,0)\), porque:

\[ 2(0)+(-2)=-2 \]

\[ 2(-1)+0=-2 \]

Para \(c=0\):

\[ 2x+y=0 \]

Dos puntos son \((0,0)\) y \((1,-2)\).

Para \(c=2\):

\[ 2x+y=2 \]

Dos puntos son \((0,2)\) y \((1,0)\).

Conclusión: las tres rectas son paralelas. Al aumentar \(c\), la intersección con el eje \(y\) aumenta.

Despejamos \(y\):

\[ -3x+2y=c \]

\[ 2y=3x+c \]

\[ y=\frac{3}{2}x+\frac{c}{2} \]

La pendiente siempre es \(m=\frac{3}{2}\), por lo tanto las rectas son paralelas.

Para \(c=-3\):

\[ -3x+2y=-3 \]

Dos puntos son \((1,0)\) y \((-1,-3)\).

Para \(c=0\):

\[ -3x+2y=0 \]

Dos puntos son \((0,0)\) y \((2,3)\).

Para \(c=3\):

\[ -3x+2y=3 \]

Dos puntos son \((1,3)\) y \((-1,0)\).

Conclusión: las tres rectas son paralelas. Al aumentar \(c\), la intersección con el eje \(y\) aumenta, porque \(n=\frac{c}{2}\).

Despejamos \(y\):

\[ \frac{1}{2}x+y=c \]

\[ y=-\frac{1}{2}x+c \]

La pendiente siempre es \(m=-\frac{1}{2}\), por lo tanto las rectas son paralelas.

Para \(c=-1\):

\[ \frac{1}{2}x+y=-1 \]

Dos puntos son \((0,-1)\) y \((-2,0)\).

Para \(c=0{,}5\):

\[ \frac{1}{2}x+y=0{,}5 \]

Dos puntos son \((0,0{,}5)\) y \((1,0)\).

Para \(c=2\):

\[ \frac{1}{2}x+y=2 \]

Dos puntos son \((0,2)\) y \((4,0)\).

Conclusión: al aumentar \(c\), la recta se desplaza hacia arriba, manteniendo la misma inclinación.

Despejamos \(y\):

\[ x-\frac{2}{3}y=c \]

Restamos \(x\) en ambos lados:

\[ -\frac{2}{3}y=c-x \]

Multiplicamos por \(-\frac{3}{2}\):

\[ y=\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}c \]

La pendiente siempre es \(m=\frac{3}{2}\), por lo tanto las rectas son paralelas.

Para \(c=-2\):

\[ x-\frac{2}{3}y=-2 \]

Dos puntos son \((0,3)\) y \((-2,0)\).

Para \(c=0\):

\[ x-\frac{2}{3}y=0 \]

Dos puntos son \((0,0)\) y \((2,3)\).

Para \(c=2\):

\[ x-\frac{2}{3}y=2 \]

Dos puntos son \((0,-3)\) y \((2,0)\).

Conclusión: al aumentar \(c\), la recta se desplaza paralelamente. En este caso, la intersección con el eje \(y\) disminuye, porque \(n=-\frac{3}{2}c\).

Si \(b\neq 0\), despejamos \(y\):

\[ ax+by=c \]

\[ by=-ax+c \]

\[ y=-\frac{a}{b}x+\frac{c}{b} \]

La pendiente es:

\[ m=-\frac{a}{b} \]

Como \(a\) y \(b\) se mantienen constantes, la pendiente no cambia.

El valor que sí cambia es:

\[ n=\frac{c}{b} \]

Por lo tanto, al aumentar \(c\), la recta se desplaza paralelamente a sí misma. Si \(b>0\), su intersección con el eje \(y\) aumenta; si \(b<0\), su intersección con el eje \(y\) disminuye.

Conclusión: cambiar \(c\) no cambia la inclinación de la recta, solo cambia su posición.

El origen es el punto \((0,0)\).

Para que la recta pase por el origen, el punto \((0,0)\) debe satisfacer la ecuación:

\[ ax+by=c \]

Reemplazamos \(x=0\) e \(y=0\):

\[ a(0)+b(0)=c \]

\[ 0=c \]

Por lo tanto:

\[ c=0 \]

Resultado: la recta pasa por el origen cuando \(c=0\).

Partimos de:

\[ x+y=c \]

Despejamos \(y\):

\[ y=-x+c \]

La pendiente de todas las rectas es:

\[ m=-1 \]

Como \(c\) cambia, también cambia la intersección con el eje \(y\), pero la inclinación se mantiene igual.

Resultado: el haz está formado por rectas paralelas de pendiente \(-1\).

El origen es el punto \((0,0)\).

Para que la recta pase por el origen, el punto debe satisfacer la ecuación:

\[ 4x-2y=c \]

Reemplazamos \(x=0\) e \(y=0\):

\[ 4(0)-2(0)=c \]

\[ 0=c \]

Resultado: la recta pasa por el origen cuando \(c=0\).

Reemplazamos cada valor de \(c\).

Para \(c=-2\):

\[ 3x+y=-2 \]

Para \(c=0\):

\[ 3x+y=0 \]

Para \(c=4\):

\[ 3x+y=4 \]

Despejamos la forma general:

\[ 3x+y=c \]

\[ y=-3x+c \]

Todas tienen pendiente \(-3\).

Resultado: las tres rectas son paralelas, porque tienen la misma pendiente.

Como la recta debe pertenecer al haz \[ 2x+3y=c, \] debemos encontrar el valor de \(c\).

La recta pasa por el punto \((1,-2)\), por lo tanto reemplazamos \(x=1\) e \(y=-2\):

\[ 2(1)+3(-2)=c \]

\[ 2-6=c \]

\[ -4=c \]

Entonces, la ecuación de la recta es:

\[ 2x+3y=-4 \]

Resultado: la recta buscada es \(2x+3y=-4\).

Comparamos las dos ecuaciones:

\[ -2x+3y=6 \]

\[ -2x+3y=-3 \]

En ambas, los coeficientes de \(x\) e \(y\) son los mismos:

\[ a=-2,\qquad b=3 \]

Solo cambia el valor de \(c\).

Por lo tanto, ambas rectas pertenecen a la familia:

\[ -2x+3y=c \]

Resultado: sí pertenecen al mismo haz de rectas paralelas.

En una ecuación de la forma:

\[ ax+by=c, \]

la pendiente es:

\[ m=-\frac{a}{b} \]

En este caso:

\[ a=5,\qquad b=-2 \]

Entonces:

\[ m=-\frac{5}{-2} \]

\[ m=\frac{5}{2} \]

Resultado: todas las rectas de la familia tienen pendiente \(\frac{5}{2}\).

Para que todas las rectas pasen por un punto común \((x_0,y_0)\), ese punto debe satisfacer todas las ecuaciones del haz.

Una forma general de lograrlo es:

\[ ax+by=ax_0+by_0 \]

donde \(a\) y \(b\) pueden variar, pero no pueden ser ambos cero.

Al reemplazar \(x=x_0\) e \(y=y_0\), se obtiene:

\[ a(x_0)+b(y_0)=ax_0+by_0 \]

La igualdad se cumple siempre. Por lo tanto, todas las rectas pasan por \((x_0,y_0)\).

Por ejemplo, si queremos que todas pasen por \((1,1)\), podemos usar:

\[ ax+by=a+b \]

Resultado: para generar un haz concurrente en \((x_0,y_0)\), se puede usar \(ax+by=ax_0+by_0\).

Para demostrar que todas las rectas pasan por \((1,1)\), reemplazamos \(x=1\) e \(y=1\) en la ecuación:

\[ ax+by=a+b \]

\[ a(1)+b(1)=a+b \]

\[ a+b=a+b \]

La igualdad se cumple para cualquier valor de \(a\) y \(b\), siempre que no sean ambos cero, porque si ambos fueran cero no se tendría una recta.

Conclusión: todas las rectas de la forma \(ax+by=a+b\) pasan por el punto \((1,1)\).

En la ecuación \[ y=mx+2, \] el número \(2\) representa la intersección con el eje \(y\).

Esto significa que todas las rectas pasan por el punto:

\[ (0,2) \]

Al variar \(m\), cambia la pendiente de cada recta. Por eso, las rectas no son paralelas entre sí, sino que giran alrededor del punto común \((0,2)\).

Resultado: es un haz de rectas concurrentes en el punto \((0,2)\).

Si las líneas representan aumentos iguales de altura, entonces su separación indica qué tan rápido cambia la altura.

Si las líneas aparecen más juntas, significa que la misma diferencia de altura ocurre en una distancia horizontal menor.

Por lo tanto, la pendiente es mayor.

Conclusión: líneas de nivel más juntas indican una zona más inclinada.

En el lado de pendiente suave, la altura cambia lentamente. Por eso, para alcanzar la siguiente línea de nivel hay que avanzar una distancia mayor.

Entonces, las líneas de nivel estarían más separadas.

En el lado de pendiente pronunciada, la altura cambia rápidamente. Por eso, las líneas de nivel estarían más juntas.

Resultado: pendiente suave se representa con líneas separadas; pendiente pronunciada se representa con líneas juntas.

Ambas zonas suben la misma altura.

La diferencia está en la distancia horizontal necesaria para subir esa altura.

La zona A necesita \(10\) metros horizontales, mientras que la zona B necesita solo \(5\) metros horizontales.

Como la zona B sube la misma altura en menos distancia, su inclinación es mayor.

Resultado: la zona B tiene mayor pendiente.

Si las líneas de nivel se van separando, significa que para lograr el mismo aumento de altura se necesita avanzar una distancia horizontal mayor.

Eso indica que la altura cambia cada vez más lentamente.

Por lo tanto, la pendiente de la rampa está disminuyendo.

Conclusión: la rampa se vuelve cada vez menos empinada.

Si las líneas aparecen muy juntas y representan cambios de nivel constantes, entonces la altura o inclinación cambia en poca distancia.

Esto indica que las capas están más inclinadas respecto del plano horizontal.

Resultado: una mayor densidad de líneas puede indicar una mayor inclinación de las capas.

En ambas zonas la diferencia de altura es la misma:

\[ 20\text{ metros} \]

En la primera zona, ese cambio ocurre en \(100\) metros horizontales.

En la segunda zona, ese mismo cambio ocurre en \(25\) metros horizontales.

Como \(25\) metros es una distancia menor, la altura cambia más rápido en la segunda zona.

Resultado: la segunda zona es más inclinada.

Las líneas

\[ ax+by=c \]

representan niveles distintos cuando \(c\) cambia.

Si comparamos líneas con el mismo salto de nivel, por ejemplo:

\[ ax+by=1,\qquad ax+by=2,\qquad ax+by=3, \]

entonces la cercanía entre las líneas indica qué tan rápido cambia el nivel al moverse en el plano.

Si las líneas están más juntas, el nivel cambia más rápido en menos distancia.

Si las líneas están más separadas, el nivel cambia más lentamente.

Atención: la pendiente de cada línea en el plano es \(-\frac{a}{b}\), pero la cercanía entre líneas de nivel no depende solo de ese cociente. También importa el tamaño de \(a\) y \(b\) en conjunto.

Si las líneas de nivel son círculos concéntricos, eso sugiere que la altura cambia alrededor de un centro.

Si además las líneas están cada vez más juntas hacia el centro, significa que la pendiente aumenta al acercarse a ese punto.

Por lo tanto, el objeto podría parecerse a una montaña, un cerro o una forma puntiaguda donde la zona central es más empinada.

Conclusión: círculos concéntricos cada vez más juntos hacia el centro sugieren una superficie que se eleva y se vuelve más inclinada cerca del centro.

Debemos cumplir:

\[ 5x+10y=150 \]

Una opción es tomar \(x=10\):

\[ 5(10)+10y=150 \]

\[ 50+10y=150 \]

\[ y=10 \]

Entonces un punto es \((10,10)\).

Otra opción es tomar \(x=20\):

\[ 5(20)+10y=150 \]

\[ 100+10y=150 \]

\[ y=5 \]

Otro punto es \((20,5)\).

Ambos puntos están sobre la misma recta \(c=150\), por eso representan combinaciones distintas con el mismo costo total.

La elevación está dada por:

\[ f(x,y)=2x+3y \]

En el punto \((3,4)\):

\[ f(3,4)=2(3)+3(4) \]

\[ f(3,4)=6+12=18 \]

La elevación es \(18\) metros.

En el punto \((6,2)\):

\[ f(6,2)=2(6)+3(2) \]

\[ f(6,2)=12+6=18 \]

Ambas elevaciones son iguales.

Resultado: no habrás ascendido ni descendido, porque en ambos puntos la elevación es \(18\) metros.

Reemplazamos \(x=20\) e \(y=15\):

\[ f(20,15)=5(20)+10(15) \]

\[ f(20,15)=100+150 \]

\[ f(20,15)=250 \]

Resultado: el costo total de producción es \(250\) unidades monetarias.

Sabemos que:

\[ x=5 \]

y queremos que:

\[ f(x,y)=30 \]

Reemplazamos:

\[ 30=2(5)+4y \]

\[ 30=10+4y \]

Restamos \(10\):

\[ 20=4y \]

Dividimos por \(4\):

\[ y=5 \]

Resultado: deberá fabricar \(5\) mesas.

En este caso:

\[ x=3,\qquad y=2 \]

Reemplazamos:

\[ f(3,2)=5000+1000(3)+1500(2) \]

\[ f(3,2)=5000+3000+3000 \]

\[ f(3,2)=11000 \]

Resultado: pagó en total \(\$11\,000\).

Reemplazamos:

\[ x=2,\qquad y=3 \]

Entonces:

\[ f(2,3)=4(2)+3(3) \]

\[ f(2,3)=8+9 \]

\[ f(2,3)=17 \]

Resultado: la distancia total recorrida es \(17\) unidades de distancia.

Sabemos que:

\[ f(x,y)=20,\qquad x=4 \]

Reemplazamos:

\[ 20=2(4)+3y \]

\[ 20=8+3y \]

Restamos \(8\):

\[ 12=3y \]

Dividimos por \(3\):

\[ y=4 \]

Resultado: se necesitan \(4\) unidades del nutriente B.

Sabemos que el largo es el doble del ancho:

\[ x=2y \]

Además:

\[ P(x,y)=30 \]

Usamos la fórmula:

\[ 30=2x+2y \]

Reemplazamos \(x=2y\):

\[ 30=2(2y)+2y \]

\[ 30=4y+2y \]

\[ 30=6y \]

\[ y=5 \]

Entonces:

\[ x=2(5)=10 \]

Resultado: el ancho mide \(5\) cm y el largo mide \(10\) cm.

Reemplazamos:

\[ x=5,\qquad y=8 \]

Entonces:

\[ f(5,8)=15(5)+10(8) \]

\[ f(5,8)=75+80 \]

\[ f(5,8)=155 \]

Resultado: el vehículo puede recorrer \(155\) km.

Calculamos primero la temperatura en \((1,2)\):

\[ T(1,2)=20+2(1)+3(2) \]

\[ T(1,2)=20+2+6=28 \]

Ahora calculamos la temperatura en \((4,6)\):

\[ T(4,6)=20+2(4)+3(6) \]

\[ T(4,6)=20+8+18=46 \]

El cambio de temperatura es:

\[ 46-28=18 \]

Resultado: la temperatura aumentó \(18^\circ\text{C}\).

Primero calculamos la producción usando todos los recursos disponibles:

\[ f(50,60)=10(50)+15(60) \]

\[ f(50,60)=500+900=1400 \]

Como \(1400\ge 800\), sí es posible alcanzar una producción de al menos \(800\) unidades.

Ahora buscamos una combinación que produzca exactamente \(800\):

\[ 10x+15y=800 \]

Podemos elegir \(x=50\). Entonces:

\[ 10(50)+15y=800 \]

\[ 500+15y=800 \]

\[ 15y=300 \]

\[ y=20 \]

Esta combinación usa \(50\) unidades de R1 y \(20\) unidades de R2, sin exceder los recursos disponibles.

Resultado: sí es posible. Una combinación posible es \(x=50\) e \(y=20\).

La restricción presupuestaria es:

\[ px+qy=I \]

Como la utilidad es lineal, conviene comparar cuánta utilidad entrega cada bien por unidad monetaria.

Para el bien \(x\), la utilidad por unidad monetaria es:

\[ \frac{a}{p} \]

Para el bien \(y\), la utilidad por unidad monetaria es:

\[ \frac{b}{q} \]

Si \[ \frac{a}{p}>\frac{b}{q}, \] conviene gastar el presupuesto en el bien \(x\).

Si \[ \frac{a}{p}<\frac{b}{q}, \] conviene gastar el presupuesto en el bien \(y\).

Si \[ \frac{a}{p}=\frac{b}{q}, \] cualquier combinación que use todo el presupuesto entrega la misma utilidad.

Conclusión: se debe comparar la utilidad por unidad monetaria gastada en cada bien.

Usamos los tres datos para formar un sistema de ecuaciones.

En \((1,1)\):

\[ a+b+c=10 \]

En \((2,3)\):

\[ a+2b+3c=15 \]

En \((4,1)\):

\[ a+4b+c=20 \]

Restamos la primera ecuación a la segunda:

\[ (a+2b+3c)-(a+b+c)=15-10 \]

\[ b+2c=5 \]

Restamos la primera ecuación a la tercera:

\[ (a+4b+c)-(a+b+c)=20-10 \]

\[ 3b=10 \]

Entonces:

\[ b=\frac{10}{3} \]

Sustituimos en \(b+2c=5\):

\[ \frac{10}{3}+2c=5 \]

\[ 2c=5-\frac{10}{3} \]

\[ 2c=\frac{5}{3} \]

\[ c=\frac{5}{6} \]

Finalmente, sustituimos en \(a+b+c=10\):

\[ a+\frac{10}{3}+\frac{5}{6}=10 \]

\[ a+\frac{20}{6}+\frac{5}{6}=10 \]

\[ a+\frac{25}{6}=10 \]

\[ a=10-\frac{25}{6} \]

\[ a=\frac{35}{6} \]

Resultado:

\[ a=\frac{35}{6},\qquad b=\frac{10}{3},\qquad c=\frac{5}{6} \]

Comparamos la función dada con la forma:

\[ H(x,y)=ax+by+c \]

En este caso:

\[ a=0{,}5,\qquad b=0{,}2,\qquad c=0 \]

El valor \(a=0{,}5\) indica que, por cada unidad que aumenta \(x\), la altura aumenta en \(0{,}5\) unidades, si \(y\) se mantiene constante.

El valor \(b=0{,}2\) indica que, por cada unidad que aumenta \(y\), la altura aumenta en \(0{,}2\) unidades, si \(x\) se mantiene constante.

Como \(0{,}5>0{,}2\), la altura cambia más rápidamente en la dirección asociada a \(x\).

Comparamos con:

\[ E(x,y)=ax+by+c \]

Entonces:

\[ a=-0{,}1,\qquad b=0{,}05,\qquad c=2 \]

El valor \(a=-0{,}1\) indica que, por cada unidad que aumenta \(x\), el espesor disminuye en \(0{,}1\) unidades, manteniendo \(y\) constante.

El valor \(b=0{,}05\) indica que, por cada unidad que aumenta \(y\), el espesor aumenta en \(0{,}05\) unidades, manteniendo \(x\) constante.

El valor \(c=2\) indica que el espesor en el punto de referencia \((0,0)\) es \(2\) unidades.

Calculamos la altura en \((4,10)\):

\[ H(4,10)=0{,}5(4)+0{,}2(10)=2+2=4. \]

Calculamos la altura en \((0,20)\):

\[ H(0,20)=0{,}5(0)+0{,}2(20)=0+4=4. \]

Ambos puntos tienen altura \(4\), por lo tanto pertenecen a la misma línea de nivel.

Interpretación: aunque los puntos están en lugares distintos del plano, el modelo les asigna la misma altura de ola.

Si \(a=0\), la función queda:

\[ f(x,y)=by+c \]

Esto significa que el valor de la función no depende de \(x\), sino solo de \(y\).

Por ejemplo, si dos puntos tienen el mismo valor de \(y\), tendrán el mismo valor de \(f(x,y)\), aunque sus valores de \(x\) sean distintos.

Resultado: si \(a=0\), la función depende solo de \(y\).

Si \(b=0\), la función queda:

\[ f(x,y)=ax+c \]

Esto significa que el valor de la función no depende de \(y\), sino solo de \(x\).

Por ejemplo, si dos puntos tienen el mismo valor de \(x\), tendrán el mismo valor de \(f(x,y)\), aunque sus valores de \(y\) sean distintos.

Resultado: si \(b=0\), la función depende solo de \(x\).

Si \(a>0\) y \(b>0\), entonces:

\[ f(x,y)=ax+by+c \]

aumenta cuando \(x\) aumenta, porque \(ax\) aumenta.

También aumenta cuando \(y\) aumenta, porque \(by\) aumenta.

Por lo tanto, si aumentan \(x\) e \(y\), el valor de la función también aumenta.

Resultado: cuando \(a\) y \(b\) son positivos, la función crece al aumentar ambas variables.

Reemplazamos \(x=2\) e \(y=4\) en la función:

\[ f(2,4)=3(2)+2(4)+5 \]

Calculamos:

\[ f(2,4)=6+8+5 \]

\[ f(2,4)=19 \]

Resultado: \(f(2,4)=19\).

Una línea de nivel se obtiene al fijar:

\[ f(x,y)=k \]

Como:

\[ f(x,y)=ax+by+c, \]

entonces:

\[ ax+by+c=k \]

\[ ax+by=k-c \]

Si \(a\) y \(b\) se mantienen constantes, la pendiente de las líneas de nivel no cambia.

Resultado: cuando solo cambia \(c\), las líneas de nivel se desplazan paralelamente sin cambiar su inclinación.

Si \(a>0\) y \(b<0\), entonces la función será positiva cuando:

\[ ax+by+c>0 \]

Esta desigualdad depende de los valores de \(a\), \(b\), \(c\), \(x\) e \(y\).

Por eso no basta con mirar solo el cuadrante donde está el punto.

La frontera entre valores positivos y negativos es la recta:

\[ ax+by+c=0 \]

A un lado de esa recta se cumple \(f(x,y)>0\), y al otro lado se cumple \(f(x,y)<0\).

Conclusión: la zona positiva es un semiplano determinado por la desigualdad \(ax+by+c>0\), no necesariamente un cuadrante completo.

Comparamos:

\[ f(x,y)=2x-3y+5 \]

con:

\[ f(x,y)=ax+by+c \]

Entonces:

\[ a=2,\qquad b=-3,\qquad c=5 \]

El valor \(a=2\) indica que, si \(x\) aumenta en \(1\) unidad y \(y\) se mantiene constante, la temperatura aumenta en \(2\) unidades.

El valor \(b=-3\) indica que, si \(y\) aumenta en \(1\) unidad y \(x\) se mantiene constante, la temperatura disminuye en \(3\) unidades.

Resultado: avanzar \(1\) unidad en \(x\) aumenta la temperatura en \(2\); avanzar \(1\) unidad en \(y\) disminuye la temperatura en \(3\).

Identificamos los coeficientes:

\[ a=3,\qquad b=-2,\qquad c=6 \]

La pendiente es:

\[ m=-\frac{a}{b} \]

Reemplazamos:

\[ m=-\frac{3}{-2}=\frac{3}{2} \]

Para encontrar la intersección con el eje \(y\), usamos \(x=0\):

\[ 3(0)-2y=6 \]

\[ -2y=6 \]

\[ y=-3 \]

Entonces, la recta corta al eje \(y\) en:

\[ (0,-3) \]

Como la pendiente es \(\frac{3}{2}\), desde \((0,-3)\) avanzamos \(2\) unidades a la derecha y subimos \(3\) unidades:

\[ (2,0) \]

Resultado: la pendiente es \(\frac{3}{2}\), la intersección con el eje \(y\) es \((0,-3)\), y se puede graficar usando los puntos \((0,-3)\) y \((2,0)\).

Primero despejamos \(y\):

\[ 2x+y=4 \]

\[ y=-2x+4 \]

La pendiente es:

\[ m=-2 \]

Como la pendiente es negativa, la recta desciende de izquierda a derecha.

Para encontrar puntos, podemos elegir valores de \(x\).

Si \(x=0\):

\[ y=-2(0)+4=4 \]

Entonces, un punto es \((0,4)\).

Si \(x=2\):

\[ y=-2(2)+4=0 \]

Entonces, otro punto es \((2,0)\).

Resultado: dos puntos de la recta son \((0,4)\) y \((2,0)\). La recta desciende de izquierda a derecha.

Primero calculamos la pendiente:

\[ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \]

Reemplazamos los puntos \((2,1)\) y \((4,5)\):

\[ m=\frac{5-1}{4-2} \]

\[ m=\frac{4}{2}=2 \]

Usamos la forma punto-pendiente con el punto \((2,1)\):

\[ y-1=2(x-2) \]

Distribuimos:

\[ y-1=2x-4 \]

Sumamos \(1\) en ambos lados:

\[ y=2x-3 \]

Para llevarla a la forma \(ax+by=c\), movemos \(2x\) al lado izquierdo:

\[ -2x+y=-3 \]

Resultado: la ecuación es \[ -2x+y=-3. \]

Como la línea pasa por el punto \((3,4)\), reemplazamos:

\[ x=3,\qquad y=4 \]

en la ecuación:

\[ -2x+y=c \]

Entonces:

\[ -2(3)+4=c \]

\[ -6+4=c \]

\[ -2=c \]

Resultado: el valor de \(c\) es \(-2\).

Una línea de nivel se obtiene fijando el valor de la función. En este caso:

\[ T(x,y)=20 \]

Reemplazamos en la función:

\[ 20=10+3x-2y \]

Restamos \(10\) en ambos lados:

\[ 10=3x-2y \]

Ordenamos:

\[ 3x-2y=10 \]

Resultado: la línea de nivel correspondiente a \(20^\circ\text{C}\) es \[ 3x-2y=10. \]

En una ecuación de la forma:

\[ ax+by=c, \]

la pendiente es:

\[ m=-\frac{a}{b} \]

Para la ecuación:

\[ 2x-5y=c \]

se tiene:

\[ a=2,\qquad b=-5 \]

Entonces:

\[ m=-\frac{2}{-5}=\frac{2}{5} \]

Como \(a\) y \(b\) se mantienen fijos, todas las rectas de la familia tienen la misma pendiente.

Resultado: todas las rectas tienen pendiente \(\frac{2}{5}\), por lo tanto son paralelas entre sí.

Usamos la función:

\[ f(x,y)=ax+by \]

Primero, como \(f(1,0)=2\), reemplazamos \(x=1\) e \(y=0\):

\[ a(1)+b(0)=2 \]

\[ a=2 \]

Luego, como \(f(0,1)=-3\), reemplazamos \(x=0\) e \(y=1\):

\[ a(0)+b(1)=-3 \]

\[ b=-3 \]

Resultado:

\[ a=2,\qquad b=-3 \]

Primero calculamos la pendiente de las rectas del haz:

\[ 2x-5y=c \]

Despejamos \(y\):

\[ -5y=-2x+c \]

Dividimos por \(-5\):

\[ y=\frac{2}{5}x-\frac{c}{5} \]

Entonces, todas las rectas del haz tienen pendiente:

\[ m_1=\frac{2}{5} \]

Ahora calculamos la pendiente de la recta:

\[ x+4y=7 \]

Despejamos \(y\):

\[ 4y=-x+7 \]

\[ y=-\frac{1}{4}x+\frac{7}{4} \]

Su pendiente es:

\[ m_2=-\frac{1}{4} \]

Para que dos rectas sean perpendiculares, el producto de sus pendientes debe ser \(-1\):

\[ m_1\cdot m_2=-1 \]

Pero:

\[ \frac{2}{5}\cdot\left(-\frac{1}{4}\right) = -\frac{2}{20} = -\frac{1}{10} \]

Como \(-\frac{1}{10}\neq -1\), ninguna recta de ese haz es perpendicular a \(x+4y=7\).

Resultado: no existe una recta del haz \(2x-5y=c\) que sea perpendicular a la recta \(x+4y=7\).

La recta descendente tiene pendiente negativa, por lo tanto corresponde a \(y=-x+4\).

Entre las dos rectas ascendentes, la más inclinada corresponde a \(y=2x-3\), porque su pendiente es \(2\).

La recta ascendente más suave corresponde a \(y=\frac{1}{2}x+1\).

Según la leyenda del gráfico:

• \(A: y=-x+4\)
• \(B: y=\frac{1}{2}x+1\)
• \(C: y=2x-3\)

La línea de mayor valor es \(f=14\), porque representa todos los puntos donde \(2x+y=14\).

Verificamos los puntos:

\[ f(2,6)=2(2)+6=10 \]

\[ f(4,2)=2(4)+2=10 \]

Ambos puntos tienen el mismo valor, por lo tanto están en la línea de nivel \(f=10\).

Calculamos la pendiente:

\[ m=\frac{5-2}{3-0}=\frac{3}{3}=1. \]

Como la recta pasa por \((0,2)\), su intersección con el eje \(y\) es \(n=2\).

Entonces la ecuación es:

\[ y=x+2. \]

En el plano cartesiano, esto significa que la recta sube una unidad por cada unidad que avanza hacia la derecha.