En esta página, repasaremos los conceptos básicos de las ecuaciones lineales y su representación gráfica en el plano cartesiano. Esto nos servirá como base para comprender las relaciones lineales en dos variables que exploraremos en las siguientes secciones. Nos enfocaremos en dos formas de representar la ecuación de una recta: la forma general y la forma principal.

La Ecuación de la Recta: Forma Principal

Probablemente estés familiarizado con la forma principal de la ecuación de una recta:

donde:

• 'm' representa la pendiente de la recta, que indica su inclinación.
• 'n' representa la intersección con el eje y, que es el punto donde la recta corta al eje vertical.

Esta forma es muy útil para graficar una recta, ya que podemos identificar rápidamente su pendiente y su intersección con el eje y.

De la Forma Principal a la Forma ax + by = c

Sin embargo, también podemos expresar la ecuación de una recta en la forma:

donde a, b, y c son constantes. Esta forma es conocida como la forma general de la ecuación de una recta. Aunque no es tan directa para graficar como la forma principal, tiene sus propias ventajas, como veremos más adelante.

¿Cómo podemos pasar de la forma principal a la forma general? Veamos los pasos:

1. Partimos de la forma principal: \[y = mx + n\]
2. Multiplicamos ambos lados de la ecuación por 'b' (para eliminar el denominador en caso de que 'm' sea una fracción): \[by = b(mx + n)\]
3. Distribuimos 'b' en el lado derecho: \[by = bmx + bn\]
4. Movemos el término 'bmx' al lado izquierdo cambiando su signo: \[-bmx + by = bn\]
5. Ahora, podemos identificar: a = -bm, b = b, y c = bn. Por simplicidad, podemos renombrar -bm como 'a', y bn como 'c', llegando a la forma general: \[ax + by = c\]

Ejemplo:

Supongamos que tenemos la ecuación en forma principal: \[y = 2x + 3\].

Siguiendo los pasos anteriores:

1. \[y = 2x + 3\]
2. En este caso, no hay denominadores, así que podemos pasar directamente al siguiente paso.
3. \[y = 2x + 3\]
4. Movemos '2x' al lado izquierdo: \[-2x + y = 3\]
5. Aquí, a = -2, b = 1, y c = 3.

Por lo tanto, la forma general de la ecuación es: \[-2x + y = 3\].

De la Forma ax + by = c a la Forma Principal

También podemos realizar el proceso inverso y pasar de la forma general a la forma principal. Para ello, simplemente despejamos 'y' de la ecuación:

1. Partimos de la forma general: \[ax + by = c\]
2. Restamos 'ax' en ambos lados: \[by = -ax + c\]
3. Dividimos ambos lados entre 'b' (suponiendo que b ≠ 0): \[y = -\frac{a}{b}x + \frac{c}{b}\]

Ahora podemos identificar la pendiente \[m = -\frac{a}{b}\] y la intersección con el eje y \[n = \frac{c}{b}\].

Ejemplo:

Consideremos la ecuación en forma general: \[4x - 2y = 8\].

Siguiendo los pasos para despejar 'y':

1. \[4x - 2y = 8\]
2. Restamos 4x: \[-2y = -4x + 8\]
3. Dividimos entre -2: \[y = 2x - 4\]

Ahora podemos ver que la pendiente es m = 2 y la intersección con el eje y es n = -4.

Ejercicios

Nivel Básico (Enteros)

1. Convierte la ecuación \[y = -3x + 5\] a la forma general \[ax + by = c\].

   Respuesta:

   Siguiendo los pasos descritos, movemos -3x al lado izquierdo: \[3x + y = 5\]. Aquí, a = 3, b = 1, y c = 5.

2. Convierte la ecuación \[2x + 4y = 8\] a la forma principal \[y = mx + n\] y luego grafica la recta.

   Respuesta:

   Despejamos 'y': Restamos 2x a ambos lados: \[4y = -2x + 8\]. Dividimos entre 4: \[y = -\frac{1}{2}x + 2\]. Aquí, m = -1/2 y n = 2. Para graficar, ubicamos la intersección con el eje y en (0, 2) y usamos la pendiente para encontrar otro punto. Como la pendiente es -1/2, nos movemos 2 unidades a la derecha y 1 unidad hacia abajo desde (0, 2), llegando al punto (2, 1). Trazamos una línea recta que pase por estos dos puntos.

3. Dada la ecuación \[y = \frac{2}{3}x - 1\], encuentra los valores de 'a', 'b' y 'c' en la forma general y luego grafica la recta.

   Respuesta:

   Primero, multiplicamos toda la ecuación por 3 para eliminar el denominador: \[3y = 2x - 3\]. Luego, movemos 2x al lado izquierdo: \[-2x + 3y = -3\]. Entonces, a = -2, b = 3 y c = -3. Para graficar, podemos usar la forma principal: la intersección con el eje y es (0, -1), y la pendiente es 2/3. Desde (0, -1), nos movemos 3 unidades a la derecha y 2 unidades hacia arriba para encontrar otro punto, que sería (3, 1). Trazamos una línea recta que pase por estos dos puntos.

Nivel Intermedio (Racionales)

1. Convierte la ecuación \[y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{4}\] a la forma general \[ax + by = c\].

   Respuesta:

   Primero, multiplicamos toda la ecuación por 4 para eliminar los denominadores: \[4y = -2x + 3\]. Luego, movemos -2x al lado izquierdo: \[2x + 4y = 3\]. Aquí, a = 2, b = 4, y c = 3.

2. Convierte la ecuación \[\frac{2}{5}x - \frac{1}{3}y = 2\] a la forma principal \[y = mx + n\] y luego grafica la recta.

   Respuesta:

   Primero, sumamos \(\frac{1}{3}y\) a ambos lados: \[\frac{2}{5}x = \frac{1}{3}y + 2\]. Luego, restamos 2 a ambos lados: \[\frac{2}{5}x - 2 = \frac{1}{3}y\]. Finalmente, multiplicamos por 3 a ambos lados: \[y = \frac{6}{5}x - 6\]. Aquí, m = 6/5 y n = -6. Para graficar, ubicamos la intersección con el eje y en (0, -6) y usamos la pendiente para encontrar otro punto. Como la pendiente es 6/5, nos movemos 5 unidades a la derecha y 6 unidades hacia arriba desde (0, -6), llegando al punto (5, 0). Trazamos una línea recta que pase por estos dos puntos.

Nivel Avanzado (Factores Literales)

1. Expresa la ecuación \[y = mx + n\] en la forma general \[ax + by = c\], donde 'a', 'b' y 'c' están en términos de 'm' y 'n'.

   Respuesta:

   Movemos 'mx' al lado izquierdo: \[-mx + y = n\]. Entonces, a = -m, b = 1, y c = n.

2. Expresa la ecuación \[\frac{x}{p} + \frac{y}{q} = 1\] en la forma principal \[y = mx + n\], donde 'm' y 'n' están en términos de 'p' y 'q'.

   Respuesta:

   Primero, restamos \(\frac{x}{p}\) a ambos lados: \[\frac{y}{q} = -\frac{x}{p} + 1\]. Luego, multiplicamos ambos lados por 'q': \[y = -\frac{q}{p}x + q\]. Entonces, m = -q/p y n = q.

En la ecuación ax + by = c, el valor de 'c' tiene un efecto especial en la gráfica de la recta. Al mantener 'a' y 'b' fijos y variar 'c', generamos una familia de rectas paralelas. Cada recta representa un "nivel" diferente, por lo que a estas rectas también se les llama líneas de nivel.

Experimenta con el Applet Interactivo

A continuación, te presentamos un applet interactivo que te permitirá visualizar el efecto de 'c'.

¿Qué observas?

Al variar 'c', notarás que se generan rectas paralelas. Todas estas rectas tienen la misma pendiente, que está determinada por 'a' y 'b'. Lo que cambia es la intersección con el eje y, o, en términos más generales, el "nivel" que representa la recta.

Tabla de Valores

Para comprender mejor la relación entre 'c' y la posición de la recta, completa la siguiente tabla. Usa el applet para encontrar las coordenadas de dos puntos que pertenezcan a la recta para cada valor de 'c' dado. Puedes mover el punto azul en la recta.

Ejercicios

Nivel Básico (Enteros)

1. Considera la ecuación \[2x + y = c\]. Grafica la recta para c = -2, c = 0, y c = 2. ¿Qué observas?

   Respuesta:

   Las tres rectas son paralelas. Al aumentar el valor de 'c', la recta se desplaza hacia arriba en el plano cartesiano.

   Para c=-2, la ecuación queda: \[2x+y=-2\]. Dos puntos que pasan por la recta son: (0,-2), (-1,0).

   Para c=0, la ecuación queda: \[2x+y=0\]. Dos puntos que pasan por la recta son: (0,0), (1,-2).

   Para c=2, la ecuación queda: \[2x+y=2\]. Dos puntos que pasan por la recta son: (0,2), (1,0).

2. Considera la ecuación \[-3x + 2y = c\]. Grafica la recta para c = -3, c = 0, y c = 3. ¿Qué observas?

   Respuesta:

   Las tres rectas son paralelas. Al aumentar el valor de 'c', la recta se desplaza hacia arriba y a la derecha en el plano cartesiano.

   Para c=-3, la ecuación queda: \[-3x+2y=-3\]. Dos puntos que pasan por la recta son: (1,0), (-1,-3).

   Para c=0, la ecuación queda: \[-3x+2y=0\]. Dos puntos que pasan por la recta son: (0,0), (2,3).

   Para c=3, la ecuación queda: \[-3x+2y=3\]. Dos puntos que pasan por la recta son: (1,3), (-1,0).

Nivel Intermedio (Racionales)

1. Considera la ecuación \[\frac{1}{2}x + y = c\]. Grafica la recta para c = -1, c = 0.5, y c = 2. Describe el patrón que observas.

   Respuesta:

   Las tres rectas son paralelas. Al aumentar el valor de 'c', la recta se desplaza hacia arriba en el plano cartesiano.

   Para c=-1, la ecuación queda: \[\frac{1}{2}x + y = -1\]. Dos puntos que pasan por la recta son: (0,-1), (-2,0).

   Para c=0.5, la ecuación queda: \[\frac{1}{2}x + y = 0.5\]. Dos puntos que pasan por la recta son: (0,0.5), (1,0).

   Para c=2, la ecuación queda: \[\frac{1}{2}x + y = 2\]. Dos puntos que pasan por la recta son: (0,2), (4,0).

2. Considera la ecuación \[x - \frac{2}{3}y = c\]. Grafica la recta para c = -2, c = 0, y c = 2. Describe el patrón que observas.

   Respuesta:

   Las tres rectas son paralelas. Al aumentar el valor de 'c', la recta se desplaza hacia arriba y a la derecha en el plano cartesiano.

   Para c=-2, la ecuación queda: \[x - \frac{2}{3}y = -2\]. Dos puntos que pasan por la recta son: (0,3), (-2,0).

   Para c=0, la ecuación queda: \[x - \frac{2}{3}y = 0\]. Dos puntos que pasan por la recta son: (0,0), (2,3).

   Para c=2, la ecuación queda: \[x - \frac{2}{3}y = 2\]. Dos puntos que pasan por la recta son: (0,-3), (2,0).

Nivel Avanzado (Factores Literales)

1. Considera la ecuación \[ax + by = c\]. Manteniendo 'a' y 'b' constantes, ¿qué efecto tiene aumentar el valor de 'c' en la gráfica de la recta?

   Respuesta:

   Al aumentar el valor de 'c' mientras se mantienen 'a' y 'b' constantes, la recta se desplaza paralelamente a sí misma. La dirección del desplazamiento depende de los signos de 'a' y 'b'. Si 'a' y 'b' tienen el mismo signo, la recta se mueve en dirección opuesta al origen. Si 'a' y 'b' tienen signos opuestos, la recta se mueve hacia el origen.

2. ¿Para qué valor de 'c' la recta \[ax + by = c\] pasa por el origen?

   Respuesta:

   La recta pasa por el origen cuando c = 0. En este caso, la ecuación se convierte en \[ax + by = 0\], y el punto (0, 0) satisface la ecuación.

Ya hemos visto cómo el valor de 'c' afecta la posición de la recta en el plano. Ahora, nos centraremos en 'a' y 'b', los coeficientes que determinan la pendiente de la recta. La pendiente es una medida de la inclinación de la recta, y nos dice cuánto cambia la coordenada 'y' por cada unidad que cambia la coordenada 'x'.

Calculando la Pendiente

En la ecuación \[ax + by = c\], la pendiente de la recta se calcula como:

Este valor nos indica la razón de cambio entre 'y' y 'x'. Una pendiente positiva significa que la recta asciende de izquierda a derecha, mientras que una pendiente negativa indica que desciende. Una pendiente de cero corresponde a una recta horizontal, y una pendiente indefinida (cuando b = 0) corresponde a una recta vertical.

Interpretando la Pendiente en el Applet

En el applet que usamos en la página anterior, puedes observar la pendiente de la recta de dos maneras:

1. Visualmente: El triángulo rectángulo que se forma (con catetos rojo y azul) te da una idea de la inclinación. El cateto vertical (azul) representa el cambio en 'y', y el cateto horizontal (rojo) representa el cambio en 'x'.
2. Numéricamente: La ecuación de la recta se muestra en la forma \[y = mx + n\], donde 'm' es la pendiente. Este valor coincide con el cálculo de -a/b. En el applet de la página anterior, también se muestra el valor de -a/b.

Recuerda que la pendiente también se puede interpretar como "el cambio en y por cada unidad de cambio en x".

Ejercicios

Nivel Básico (Enteros)

1. Para la ecuación \[3x - 2y = 6\], calcula la pendiente e indica si la recta asciende o desciende de izquierda a derecha.

   Respuesta:

   La pendiente es \[-\frac{a}{b} = -\frac{3}{-2} = \frac{3}{2}\]. Como la pendiente es positiva, la recta asciende de izquierda a derecha.

2. Para la ecuación \[-x + 4y = 8\], calcula la pendiente e indica si la recta asciende o desciende de izquierda a derecha.

   Respuesta:

   La pendiente es \[-\frac{a}{b} = -\frac{-1}{4} = \frac{1}{4}\]. Como la pendiente es positiva, la recta asciende de izquierda a derecha.

Nivel Intermedio (Racionales)

1. Para la ecuación \[\frac{2}{3}x + \frac{1}{2}y = 1\], calcula la pendiente e indica si la recta asciende o desciende de izquierda a derecha.

   Respuesta:

   La pendiente es \[-\frac{a}{b} = -\frac{2/3}{1/2} = -\frac{4}{3}\]. Como la pendiente es negativa, la recta desciende de izquierda a derecha.

2. Para la ecuación \[-\frac{3}{4}x - \frac{1}{3}y = 2\], calcula la pendiente e indica si la recta asciende o desciende de izquierda a derecha.

   Respuesta:

   La pendiente es \[-\frac{a}{b} = -\frac{-3/4}{-1/3} = -\frac{9}{4}\]. Como la pendiente es negativa, la recta desciende de izquierda a derecha.

Nivel Avanzado (Factores Literales)

1. Considera la ecuación \[ax + by = c\]. Si 'a' y 'b' tienen el mismo signo, ¿la recta asciende o desciende de izquierda a derecha? ¿Y si tienen signos opuestos?

   Respuesta:

   La pendiente es -a/b. Si 'a' y 'b' tienen el mismo signo, entonces -a/b es negativo, y la recta desciende de izquierda a derecha. Si 'a' y 'b' tienen signos opuestos, entonces -a/b es positivo, y la recta asciende de izquierda a derecha.

2. ¿Qué relación deben tener 'a' y 'b' para que la recta \[ax + by = c\] tenga pendiente igual a 1? ¿Y para que tenga pendiente igual a -1?

   Respuesta:

   Para que la pendiente sea 1, necesitamos que -a/b = 1, lo que implica que a = -b. Para que la pendiente sea -1, necesitamos que -a/b = -1, lo que implica que a = b.

3. Si la recta \[ax + by = c\] es horizontal, ¿qué podemos decir sobre los valores de 'a' y 'b'? ¿Y si es vertical?

   Respuesta:

   Si la recta es horizontal, la pendiente es 0, lo que implica que a = 0 (y b ≠ 0). Si la recta es vertical, la pendiente es indefinida, lo que implica que b = 0 (y a ≠ 0).

Hasta ahora, hemos explorado las relaciones lineales en el plano cartesiano. Pero, ¿sabías que estas relaciones también pueden ayudarnos a entender objetos tridimensionales? En esta página, veremos cómo un modelo 3D simple puede proyectarse en un plano 2D, y cómo las líneas resultantes se relacionan con la pendiente del modelo original.

Imagina una Rampa Escalonada

Considera una rampa escalonada como la que usan los patinadores o ciclistas. Cada escalón tiene un ancho constante, pero la altura de los escalones aumenta progresivamente. Visualiza la rampa en tu mente. Piensa que la estás mirando de costado.

Proyectando al Plano (Vista Superior)

Ahora, imagina que miras la rampa directamente desde arriba. Esta es la proyección al plano 2D. Lo que verás serán una serie de líneas rectas, cada una representando el borde de un escalón.

Conectando con las Líneas de Nivel

¿Te recuerdas de las líneas de nivel que discutimos en páginas anteriores? Las líneas que ves en la proyección de la rampa son precisamente líneas de nivel. Cada línea corresponde a un valor constante de altura (que en la ecuación \[ax + by = c\] correspondería a 'c').

La Densidad de Líneas y la Pendiente

Observa la proyección (Figura 2) con atención. Notarás que en las secciones de la rampa donde los escalones son más altos (mayor pendiente), las líneas en la proyección están más juntas. En cambio, donde los escalones son más bajos (menor pendiente), las líneas están más separadas.

Esto nos lleva a una conclusión importante: la densidad de las líneas de nivel en la proyección 2D es proporcional a la pendiente del modelo 3D original.

Mayor densidad de líneas = Mayor pendiente

Menor densidad de líneas = Menor pendiente

Ejercicios

Nivel Básico

1. Dibuja la vista superior (proyección) de una rampa con 4 escalones, donde cada escalón tiene el mismo ancho, pero la altura se duplica con cada escalón. ¿Qué observas sobre la densidad de las líneas?

   Respuesta:

   Al dibujar la vista superior, verás que las líneas que representan los bordes de los escalones se van juntando cada vez más. Esto se debe a que la altura, y por lo tanto la pendiente, aumenta con cada escalón.

2. Imagina una montaña con una pendiente suave en un lado y una pendiente pronunciada en el otro. ¿Cómo se verían las líneas de nivel en la proyección de esta montaña?

   Respuesta:

   En el lado de la pendiente suave, las líneas de nivel estarían más separadas. En el lado de la pendiente pronunciada, las líneas de nivel estarían mucho más juntas.

Nivel Intermedio

1. Supón que la proyección de una rampa tiene líneas de nivel que se van separando cada vez más. ¿Qué te dice esto sobre la forma de la rampa?

   Respuesta:

   Si las líneas de nivel se van separando, significa que la pendiente de la rampa está disminuyendo. La rampa se vuelve cada vez menos empinada.

2. Piensa en las capas de una formación rocosa. La proyección de estas capas se asemeja a líneas. ¿Qué nos diría una mayor densidad de líneas sobre la inclinación de las capas?

   Respuesta:

   Una mayor densidad de líneas en la proyección de las capas rocosas indicaría una mayor inclinación de las capas. Es decir, las capas estarían más cerca de ser verticales.

Nivel Avanzado

1. Imagina que estás mirando un mapa topográfico con líneas de nivel. Un conjunto de líneas muy juntas entre sí representa una zona con una gran pendiente. Ahora, piensa en la ecuación \[ax + by = c\]. ¿Cómo se relaciona el concepto de "líneas muy juntas" con los valores de 'a' y 'b' en esta ecuación?

   Respuesta:

   Líneas muy juntas en un mapa topográfico significan una gran pendiente. En la ecuación \[ax + by = c\], la pendiente está relacionada con -a/b. Un valor grande de -a/b (ya sea positivo o negativo) indica una gran pendiente. Por lo tanto, líneas muy juntas se relacionan con valores grandes (en magnitud) de 'a' y/o valores pequeños (en magnitud) de 'b'.

2. Si pudieras ver la proyección 2D de un objeto 3D desconocido, y observaras que las líneas de nivel forman círculos concéntricos cada vez más juntos, ¿qué podrías inferir sobre la forma del objeto 3D?

   Respuesta:

   Si las líneas de nivel forman círculos concéntricos cada vez más juntos, podrías inferir que el objeto 3D tiene una forma similar a un cono o una montaña puntiaguda. La densidad creciente de las líneas indica que la pendiente aumenta a medida que te acercas al centro de los círculos, sugiriendo una forma que se vuelve más empinada hacia la cima.

En las páginas anteriores, hemos visto cómo la ecuación \[ax + by = c\] representa una línea recta en el plano cartesiano. También exploramos cómo el valor de 'c' afecta la posición de la recta, y cómo 'a' y 'b' determinan su pendiente. Ahora, vamos a profundizar en el concepto de "familias de rectas" y, en particular, en lo que se conoce como un haz de rectas.

¿Qué es un Haz de Rectas?

Un haz de rectas es un conjunto de rectas que comparten una característica común. En el contexto de la ecuación \[ax + by = c\], un haz de rectas se puede generar al mantener constantes los valores de 'a' y 'b' y variar el valor de 'c'. Esto produce un conjunto de rectas paralelas, ya que todas tienen la misma pendiente \[-a/b\].

Visualizando un Haz de Rectas con el Applet

Retomemos el applet interactivo que usamos en páginas anteriores. En él, si fijas los valores de 'a' y 'b' y luego mueves el deslizador para 'c', verás cómo se genera un haz de rectas paralelas.

Instrucciones para interactuar con el applet (si se incluye):

1. Fija los valores de 'a' y 'b' a tu elección (por ejemplo, a = -1.2 y b = 4 como en la imagen de referencia).
2. Mueve el deslizador de 'c' y observa cómo se desplaza la recta en el plano.
3. Presta atención a la ecuación de la recta que se muestra. Observa que 'a' y 'b' se mantienen constantes, mientras que 'c' varía.

Ejemplo: Un Haz de Rectas Paralelas

Considera la ecuación \[-2x + 3y = c\]. Si le damos a 'c' diferentes valores, como -3, 0, 3 y 6, obtenemos las siguientes ecuaciones:

• \[-2x + 3y = -3\]
• \[-2x + 3y = 0\]
• \[-2x + 3y = 3\]
• \[-2x + 3y = 6\]

Todas estas rectas tienen la misma pendiente (2/3), pero diferentes intersecciones con el eje y. Al graficarlas, verás que forman un haz de rectas paralelas.

Ejercicios

Nivel Básico

1. Describe cómo se vería el haz de rectas generado por la ecuación \[x + y = c\] para diferentes valores de 'c'. ¿Cuál es la pendiente de todas las rectas en este haz?

   Respuesta:

   El haz de rectas generado por la ecuación \[x + y = c\] sería un conjunto de rectas paralelas con pendiente -1. Al variar 'c', las rectas se desplazarían a lo largo del plano, manteniendo su inclinación constante.

2. ¿Qué valor de 'c' en la ecuación \[4x - 2y = c\] produce una recta que pasa por el origen?

   Respuesta:

   Para que la recta pase por el origen (0, 0), los valores x = 0 e y = 0 deben satisfacer la ecuación. Sustituyendo estos valores, obtenemos \[4(0) - 2(0) = c\], lo que implica que c = 0.

Nivel Intermedio

1. Considera el haz de rectas \[2x + 3y = c\]. Encuentra la ecuación de la recta que pertenece a este haz y que pasa por el punto (1, -2).

   Respuesta:

   Para que la recta pase por el punto (1, -2), estos valores deben satisfacer la ecuación. Sustituyendo x = 1 e y = -2, obtenemos \[2(1) + 3(-2) = c\], lo que implica que c = -4. Por lo tanto, la ecuación de la recta es \[2x + 3y = -4\].

2. ¿Cómo podrías modificar la ecuación \[ax + by = c\] para generar un haz de rectas que, en lugar de ser paralelas, todas se intersecten en un punto común?

   Respuesta:

   Para que las rectas se intersecten en un punto común, se podría modificar la ecuación de manera que 'c' no sea un valor constante, sino que dependa de 'a' y 'b' de una manera específica. Por ejemplo, si hacemos que 'c' sea igual a 'a' + 'b', para distintos valores de a y b, se obtendrían rectas que se intersecan en un punto.

Nivel Avanzado

1. Demuestra que todas las rectas de la forma \[ax + by = a + b\] pasan por el punto (1, 1), donde a y b son constantes, y a y b no son simultáneamente cero.

   Respuesta:

   Para demostrar que todas las rectas de la forma \[ax + by = a + b\] pasan por el punto (1, 1), sustituimos x = 1 e y = 1 en la ecuación:

   \[a(1) + b(1) = a + b\]

   \[a + b = a + b\]

   Como la igualdad se cumple, el punto (1, 1) satisface la ecuación para cualquier valor de 'a' y 'b' (no ambos cero), lo que significa que todas las rectas de esta forma pasan por el punto (1, 1).

2. ¿Qué se puede decir sobre el haz de rectas generado por la ecuación \[y = mx + 2\], donde 'm' es una constante que puede variar?

   Respuesta:

   El haz de rectas generado por la ecuación \[y = mx + 2\] es un conjunto de rectas que todas pasan por el punto (0, 2). En este caso, 'm' representa la pendiente de cada recta. Al variar 'm', se obtienen rectas con diferentes inclinaciones, pero todas ellas intersectan el eje y en el mismo punto, y = 2.

Las funciones lineales en dos variables, representadas por la ecuación \[f(x, y) = ax + by\], no solo son útiles en geometría, sino que también sirven como poderosas herramientas para modelar una gran variedad de fenómenos del mundo real. En esta página, exploraremos cómo estas funciones pueden ayudarnos a entender y resolver problemas en diferentes contextos.

Modelando con Funciones Lineales

Una función lineal en dos variables establece una relación entre dos variables, 'x' e 'y', y una variable dependiente, 'f(x, y)', que representa el resultado o la salida del modelo. Los coeficientes 'a' y 'b' determinan cómo las variables independientes influyen en el resultado.

Por ejemplo, en un mapa topográfico, las líneas de nivel conectan puntos de igual elevación. Estas líneas se pueden representar mediante la ecuación \[ax + by = c\], donde 'c' es la elevación, y 'x' e 'y' son las coordenadas en el mapa. En este caso, la función f(x, y) = ax + by nos daría la elevación en cualquier punto (x, y) del mapa.

Ejemplos de Aplicaciones

• Economía: El costo total de producción de un bien a menudo se puede modelar como una función lineal de dos variables: \[f(x, y) = ax + by\], donde 'x' es la cantidad de materia prima utilizada, 'y' es la cantidad de mano de obra empleada, 'a' es el costo unitario de la materia prima y 'b' es el costo unitario de la mano de obra.
• Física: La distancia recorrida por un objeto que se mueve a una velocidad constante en dos dimensiones se puede representar como \[f(x, y) = ax + by\], donde 'x' es el tiempo de movimiento en la dirección x, 'y' es el tiempo de movimiento en la dirección y, 'a' es la velocidad en la dirección x, y 'b' es la velocidad en la dirección y.
• Biología: El crecimiento de una población de bacterias en un medio con dos nutrientes limitantes se puede modelar como \[f(x, y) = ax + by\], donde 'x' es la cantidad del primer nutriente, 'y' es la cantidad del segundo nutriente, 'a' es la tasa de crecimiento por unidad del primer nutriente, y 'b' es la tasa de crecimiento por unidad del segundo nutriente.

Resolviendo Problemas con Funciones Lineales

Para resolver problemas usando funciones lineales, generalmente seguimos estos pasos:

1. Identificar las variables involucradas en el problema y asignarles las letras 'x', 'y', y 'f(x, y)' según corresponda.
2. Determinar los coeficientes 'a' y 'b' de la función lineal, basándose en la información proporcionada en el problema.
3. Escribir la ecuación de la función lineal: \[f(x, y) = ax + by\].
4. Usar la ecuación para responder preguntas específicas sobre el problema, como encontrar el valor de 'f(x, y)' para valores dados de 'x' e 'y', o encontrar los valores de 'x' e 'y' que producen un valor específico de 'f(x, y)'.

Ejercicios

Nivel Básico

1. Un mapa topográfico tiene líneas de nivel representadas por la ecuación \[2x + 3y = c\], donde 'c' es la elevación en metros. Si estás en el punto (3, 4) en el mapa, ¿cuál es tu elevación? Si te mueves al punto (6, 2), ¿habrás ascendido o descendido?

   Respuesta:

   En el punto (3, 4), la elevación es \[2(3) + 3(4) = 6 + 12 = 18\] metros. En el punto (6, 2), la elevación es \[2(6) + 3(2) = 12 + 6 = 18\] metros. Como la elevación es la misma en ambos puntos, no habrás ascendido ni descendido.

2. El costo total de producción de un bien está dado por la función \[f(x, y) = 5x + 10y\], donde 'x' es la cantidad de materia prima en kilogramos e 'y' es la cantidad de mano de obra en horas. Si se usan 20 kg de materia prima y 15 horas de mano de obra, ¿cuál es el costo total de producción?

   Respuesta:

   El costo total de producción es \[f(20, 15) = 5(20) + 10(15) = 100 + 150 = 250\] unidades monetarias.

3. Un artesano puede fabricar sillas y mesas. La función que relaciona la cantidad de sillas (x) y mesas que puede fabricar en una semana es \[f(x,y)= 2x+4y\]. Si en una semana fabrica 5 sillas, y quiere tener un total de producción de f(x,y)=30. ¿Cuántas mesas deberá fabricar?

   Respuesta:

   Si fabrica 5 sillas, entonces x=5. Queremos que f(x,y)=30. Reemplazamos en la función: \[30=2(5)+4y\] \[30=10+4y\] \[20=4y\] \[y=5\] Deberá fabricar 5 mesas.

4. Para entrar a un parque de diversiones, se debe pagar una entrada fija más un costo por cada juego al que se suba. La función es \[f(x,y)= 5000 + 1000x + 1500y\], donde x es la cantidad de juegos mecánicos e y es la cantidad de juegos de destreza. Si una persona subió a 3 juegos mecánicos y a 2 juegos de destreza, ¿cuánto pagó en total?

   Respuesta:

   Reemplazamos x=3 e y=2 en la función: \[f(3,2)= 5000 + 1000(3) + 1500(2)\] \[f(3,2)= 5000 + 3000 + 3000\] \[f(3,2)= 11000\] Pagó en total 11000.

Nivel Intermedio

1. Un avión se mueve en dos dimensiones. La distancia recorrida en la dirección x está dada por 4x, y la distancia recorrida en la dirección y está dada por 3y, donde 'x' e 'y' representan el tiempo en horas. Si el avión se mueve durante 2 horas en la dirección x y 3 horas en la dirección y, ¿cuál es la distancia total recorrida por el avión?

   Respuesta:

   La distancia total recorrida es la suma de las distancias en cada dirección: \[f(x, y) = 4x + 3y\]. Sustituyendo x = 2 e y = 3, obtenemos \[f(2, 3) = 4(2) + 3(3) = 8 + 9 = 17\] unidades de distancia.

2. Una población de bacterias crece a una tasa de 2 unidades por cada unidad del nutriente A y 3 unidades por cada unidad del nutriente B. Si la función de crecimiento es \[f(x, y) = 2x + 3y\], ¿cuántas unidades debe tener el nutriente B para que la población crezca 20 unidades, si se dispone de 4 unidades del nutriente A?

   Respuesta:

   Tenemos que f(x,y) = 20 y x = 4. Sustituyendo estos valores en la ecuación, obtenemos: \[20 = 2(4) + 3y\] \[20 = 8 + 3y\] \[12 = 3y\] \[y = 4\] Se necesitan 4 unidades del nutriente B.

3. El perímetro de un rectángulo se calcula como \[P(x, y) = 2x + 2y\], donde 'x' es el largo e 'y' es el ancho. Si el largo de un rectángulo es el doble que el ancho, y el perímetro es 30 cm, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo?

   Respuesta:

   Sabemos que x = 2y y P(x, y) = 30. Sustituyendo x = 2y en la ecuación del perímetro, obtenemos: \[30 = 2(2y) + 2y\] \[30 = 4y + 2y\] \[30 = 6y\] \[y = 5\] Entonces, el ancho es 5 cm. Como el largo es el doble del ancho, el largo es 10 cm.

4. Un vehículo tiene un rendimiento de combustible que depende de la velocidad a la que se conduce en carretera y en ciudad. En carretera, el rendimiento es de 15 km por litro, y en ciudad es de 10 km por litro. Si la función de rendimiento es \[f(x,y) = 15x + 10y\] donde 'x' son los litros de combustible gastados en carretera e 'y' en ciudad, ¿cuántos kilómetros puede recorrer el vehículo si gasta 5 litros en carretera y 8 en ciudad?

   Respuesta:

   Reemplazamos x=5 e y=8 en la función: \[f(5,8) = 15(5) + 10(8) = 75 + 80 = 155\] El vehículo puede recorrer 155 km.

Nivel Avanzado

1. Supón que la temperatura en un punto de una placa de metal está dada por la función \[T(x, y) = 20 + 2x + 3y\], donde 'x' e 'y' son las coordenadas en centímetros y T es la temperatura en grados Celsius. Si te mueves desde el punto (1, 2) hasta el punto (4, 6), ¿cuánto habrá cambiado la temperatura?

   Respuesta:

   En el punto (1, 2), la temperatura es \[T(1, 2) = 20 + 2(1) + 3(2) = 20 + 2 + 6 = 28\] grados Celsius. En el punto (4, 6), la temperatura es \[T(4, 6) = 20 + 2(4) + 3(6) = 20 + 8 + 18 = 46\] grados Celsius. El cambio de temperatura es 46 - 28 = 18 grados Celsius.

2. Una empresa produce dos tipos de productos, A y B, que requieren diferentes cantidades de dos recursos, R1 y R2. La función de producción es \[f(x, y) = 10x + 15y\], donde 'x' es la cantidad de R1 y 'y' es la cantidad de R2. Si la empresa tiene 50 unidades de R1 y 60 unidades de R2 disponibles, y se sabe que la producción debe ser de al menos 800 unidades, ¿es posible alcanzar este nivel de producción? ¿Qué combinación de recursos permitiría alcanzar la producción de 800 unidades a un costo mínimo?

   Respuesta:

   Con 50 unidades de R1 y 60 unidades de R2, la producción máxima es \[f(50, 60) = 10(50) + 15(60) = 500 + 900 = 1400\] unidades, por lo que sí es posible alcanzar las 800 unidades. Para minimizar el costo, necesitamos encontrar una combinación de 'x' e 'y' tal que \[10x + 15y = 800\]. Como el costo unitario de R2 es mayor, para minimizar el costo se debe usar la mayor cantidad posible de R1 sin exceder las 50 unidades. Estableciendo x = 50, tenemos: \[10(50) + 15y = 800\] \[500 + 15y = 800\] \[15y = 300\] \[y = 20\] Entonces, se deben usar 50 unidades de R1 y 20 unidades de R2. Esto utilizará todos los recursos de R1 y una parte de los recursos de R2.

3. La función de utilidad de un consumidor está dada por \[U(x,y) = ax + by\], donde 'x' e 'y' son las cantidades de dos bienes que consume, y 'a' y 'b' son constantes positivas que representan la utilidad marginal de cada bien. Si el consumidor tiene un ingreso limitado de 'I' unidades monetarias, y los precios de los bienes son 'p' y 'q' respectivamente, ¿cómo puede el consumidor maximizar su utilidad?

   Respuesta:

   El consumidor enfrenta una restricción presupuestaria dada por \[px + qy = I\]. Para maximizar su utilidad, el consumidor debe elegir 'x' e 'y' de manera que la razón de las utilidades marginales sea igual a la razón de los precios, es decir, \[\frac{a}{b} = \frac{p}{q}\]. Además, la combinación elegida debe satisfacer la restricción presupuestaria. Resolviendo este sistema de ecuaciones, se puede encontrar la combinación óptima de 'x' e 'y' que maximiza la utilidad del consumidor.

4. La temperatura en una región del espacio está dada por la función \[T(x, y) = a + bx + cy\], donde 'x' e 'y' son las coordenadas espaciales, y 'a', 'b' y 'c' son constantes. Si se sabe que la temperatura en el punto (1, 1) es 10 grados, en el punto (2, 3) es 15 grados, y en el punto (4, 1) es 20 grados, ¿cuáles son los valores de 'a', 'b' y 'c'?

   Respuesta:

   Tenemos tres puntos y tres incógnitas. Podemos plantear un sistema de tres ecuaciones:

   \[a + b(1) + c(1) = 10\]

   \[a + b(2) + c(3) = 15\]

   \[a + b(4) + c(1) = 20\]

   Resolviendo este sistema, se obtienen los valores de 'a', 'b' y 'c'. Restando la primera ecuación de la segunda y la tercera, obtenemos:

   \[b + 2c = 5\]

   \[3b = 10\]

   De la última ecuación, b = 10/3. Sustituyendo en la anterior, obtenemos: \[10/3 + 2c = 5\] \[2c = 5 - 10/3 = 5/3\] \[c = 5/6\]

   Finalmente, sustituyendo los valores de 'b' y 'c' en la primera ecuación, obtenemos:

   \[a + 10/3 + 5/6 = 10\]

   \[a = 10 - 10/3 - 5/6 = 35/6\]

   Por lo tanto, los valores son: a = 35/6, b = 10/3, c = 5/6.

En la página anterior, exploramos cómo las funciones lineales en dos variables nos permiten modelar una variedad de fenómenos. Ahora, profundizaremos en la interpretación de los parámetros 'a', 'b' y 'c' en la ecuación \[f(x, y) = ax + by\] en el contexto de ejemplos específicos del mundo real.

Ejemplo 1: Propagación de Ondas en el Mar

Imagina una ola que se propaga en el mar. La altura de la ola en un punto determinado puede representarse mediante una función lineal de dos variables:

donde:

• H(x, y) es la altura de la ola en el punto (x, y).
• x es la distancia en la dirección principal de propagación de la ola.
• y es la distancia perpendicular a la dirección principal de propagación.
• 'a' representa la pendiente de la ola en la dirección principal de propagación. Un valor mayor de 'a' indica una ola más empinada en esa dirección.
• 'b' representa la pendiente de la ola en la dirección perpendicular.

En este modelo, 'c' (que no aparece explícitamente en la ecuación) podría representar la altura inicial de la ola o el nivel del mar en calma. Al variar 'a' y 'b', podemos modelar diferentes formas de olas y patrones de propagación. Si 'b' es cero, la altura de la ola solo depende de 'x', lo que significa que la ola se propaga uniformemente en la dirección 'x'.

Pregunta: Si la función que describe la altura de una ola es H(x, y) = 0.5x + 0.2y, ¿cómo interpretarías los valores de 'a' y 'b'?

Ejemplo 2: Formación de Capas de Rocas

En geología, la formación de capas de rocas sedimentarias puede modelarse, en algunos casos, mediante funciones lineales. Supongamos que el espesor de una capa de roca en un punto determinado está dado por:

donde:

• E(x, y) es el espesor de la capa en el punto (x, y).
• x es la distancia horizontal a lo largo de una línea de referencia.
• y es la distancia perpendicular a la línea de referencia.
• 'a' representa la tasa de cambio del espesor de la capa en la dirección x. Un valor positivo de 'a' indica que el espesor aumenta a medida que nos movemos en la dirección x, mientras que un valor negativo indica que el espesor disminuye.
• 'b' representa la tasa de cambio del espesor de la capa en la dirección y.

En este modelo, 'c' podría representar el espesor inicial de la capa de roca en el punto de referencia (x=0, y=0). Al variar 'a' y 'b', podemos modelar diferentes inclinaciones y variaciones en el espesor de las capas de rocas.

Pregunta: Si la función que describe el espesor de una capa de roca es E(x, y) = -0.1x + 0.05y + 2, ¿cómo interpretarías los valores de 'a', 'b' y 'c'?

Ejercicios

En los siguientes ejercicios considera la ecuación \[f(x,y)=ax+by+c\]

Nivel Básico

1. Si a = 0, ¿cómo se interpreta la función f(x, y) en términos de su gráfica?

   Respuesta:

   Si a = 0, la función se convierte en f(x, y) = by + c. Esto significa que la función solo depende de la variable 'y'. Gráficamente, esto representa un plano paralelo al eje x, o una serie de líneas paralelas al eje x si se consideran las líneas de nivel de f(x,y)=k, donde k es una constante.

2. Si b = 0, ¿cómo se interpreta la función f(x, y) en términos de su gráfica?

   Respuesta:

   Si b = 0, la función se convierte en f(x, y) = ax + c. Esto significa que la función solo depende de la variable 'x'. Gráficamente, esto representa un plano paralelo al eje y, o una serie de líneas paralelas al eje y si se consideran las líneas de nivel de f(x,y)=k, donde k es una constante.

Nivel Intermedio

1. Si 'a' y 'b' son ambos positivos, ¿en qué dirección aumenta el valor de f(x, y)?

   Respuesta:

   Si 'a' y 'b' son positivos, f(x, y) aumenta a medida que 'x' e 'y' aumentan. Esto significa que el valor de la función aumenta a medida que nos movemos en la dirección positiva de 'x' y en la dirección positiva de 'y'.

2. ¿Qué se puede decir sobre la relación entre las líneas de nivel de f(x,y) cuando solo cambia el valor de c?

   Respuesta:

   Las líneas de nivel de f(x,y) son líneas rectas paralelas entre sí. Cuando solo cambia el valor de 'c', las líneas de nivel se desplazan paralelamente a sí mismas, sin cambiar su pendiente.

Nivel Avanzado

1. Si 'a' es positivo y 'b' es negativo, ¿en qué cuadrantes del plano (x, y) la función f(x, y) = ax + by + c tomará valores positivos?

   Respuesta:

   La función f(x, y) tomará valores positivos en los cuadrantes donde el término 'ax' sea mayor en magnitud que el término 'by', de manera que la suma de 'ax' y 'c' sea mayor que el valor absoluto de 'by'. Esto dependerá del valor específico de 'c'. Sin embargo, en general, como 'a' es positivo y 'b' es negativo, la función tendrá valores positivos en el primer cuadrante (donde 'x' e 'y' son ambos positivos) y en el tercer cuadrante (donde 'x' e 'y' son ambos negativos), y posiblemente en el segundo o cuarto cuadrante dependiendo de la magnitud relativa de 'a', 'b' y 'c'.

2. Si se sabe que f(x, y) representa la temperatura en un punto (x, y) de una placa, y que f(x, y) = 2x - 3y + 5, ¿en qué dirección deberías moverte desde el punto (1, 1) para que la temperatura disminuya lo más rápidamente posible?

   Respuesta:

   La temperatura disminuye más rápidamente en la dirección opuesta al gradiente de la función. El gradiente de f(x, y) está dado por el vector (a, b), que en este caso es (2, -3). Por lo tanto, para que la temperatura disminuya lo más rápidamente posible, deberías moverte en la dirección opuesta a (2, -3), es decir, en la dirección (-2, 3).

¡Has llegado a la última página de esta serie! Aquí encontrarás una colección de ejercicios para poner a prueba tus conocimientos y enlaces a herramientas que te ayudarán a seguir explorando el fascinante mundo de las relaciones lineales.

Ejercicios de Repaso

Pon a prueba tus habilidades con los siguientes ejercicios. Recuerda los conceptos clave que hemos aprendido:

• La ecuación de una recta en su forma general: \[ax + by = c\]
• La pendiente de la recta: \[m = -\frac{a}{b}\]
• El significado de 'a', 'b' y 'c' en diferentes contextos.
• Cómo graficar rectas a partir de su ecuación.
• Cómo interpretar las líneas de nivel y su relación con la pendiente.
• Cómo modelar fenómenos del mundo real con funciones lineales de dos variables.

Nivel Básico

1. Dada la ecuación \[3x - 2y = 6\], encuentra la pendiente y la intersección con el eje y. Luego, grafica la recta.

   Respuesta:

   La pendiente es m = -a/b = -3/-2 = 3/2. Para encontrar la intersección con el eje y, establecemos x = 0 y resolvemos para y: -2y = 6, entonces y = -3. La intersección con el eje y es (0, -3).

2. Escribe la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2, 1) y (4, 5) en la forma \[ax + by = c\].

   Respuesta:

   Primero, encontramos la pendiente: m = (5 - 1)/(4 - 2) = 4/2 = 2. Luego, usamos la forma punto-pendiente para encontrar la ecuación: y - 1 = 2(x - 2), que se simplifica a y = 2x - 3. En la forma requerida, la ecuación es \[-2x + y = -3\].

Nivel Intermedio

1. Un conjunto de líneas de nivel se describe mediante la ecuación \[-2x + y = c\]. Si una de las líneas de nivel pasa por el punto (3, 4), ¿cuál es el valor de 'c' para esa línea?

   Respuesta:

   Sustituimos x = 3 e y = 4 en la ecuación: -2(3) + 4 = c, entonces c = -2.

2. La temperatura en una placa de metal está dada por la función \[T(x, y) = 10 + 3x - 2y\]. Encuentra la ecuación de la línea de nivel que corresponde a una temperatura de 20 grados.

   Respuesta:

   Establecemos T(x, y) = 20 y resolvemos para la ecuación de la línea de nivel: 20 = 10 + 3x - 2y, que se simplifica a \[3x - 2y = 10\].

Nivel Avanzado

1. Considera la función \[f(x, y) = ax + by\], donde 'a' y 'b' son constantes. Si f(1, 0) = 2 y f(0, 1) = -3, ¿cuáles son los valores de 'a' y 'b'?

   Respuesta:

   Sustituyendo los puntos dados en la función, obtenemos dos ecuaciones: a(1) + b(0) = 2, que implica a = 2, y a(0) + b(1) = -3, que implica b = -3. Entonces, a = 2 y b = -3.

2. Un haz de rectas paralelas está dado por la ecuación \[2x - 5y = c\]. Encuentra la ecuación de la recta que pertenece a este haz y que es perpendicular a la recta \[x + 4y = 7\].

   Respuesta:

   La pendiente de la recta \[x + 4y = 7\] es -1/4. Una recta perpendicular a esta tendrá una pendiente de 4. La pendiente de las rectas en el haz \[2x - 5y = c\] es 2/5. Para que una recta del haz sea perpendicular a \[x + 4y = 7\], sus pendientes deben ser recíprocas negativas. Por lo tanto, necesitamos encontrar una recta con pendiente 4. Sin embargo el haz \[2x - 5y = c\] tiene pendiente 2/5. Se necesitaría modificar la ecuación del haz a una que permita una pendiente de 4. Esto significa que la recta perpendicular no pertenece al haz dado.

Herramientas para Seguir Aprendiendo

Aquí te dejamos algunos enlaces a herramientas que te pueden ser útiles:

• GeoGebra: Un software de matemáticas dinámicas que te permite graficar funciones, visualizar relaciones geométricas y mucho más. Puedes usarlo para crear tus propios applets interactivos y explorar las relaciones lineales.

• Khan Academy: Una plataforma de aprendizaje en línea con una gran cantidad de recursos sobre álgebra y otros temas matemáticos. Puedes encontrar lecciones y ejercicios sobre ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones y funciones.

• Wolfram Alpha: Un motor de conocimiento computacional que puede resolver ecuaciones, graficar funciones y realizar una gran variedad de cálculos matemáticos. Es una herramienta muy útil para verificar tus respuestas y explorar conceptos matemáticos más avanzados.

Recuerda reemplazar "URL de GeoGebra", "URL de Khan Academy" y "URL de Wolfram Alpha" con los enlaces reales a las páginas web correspondientes.

¡Esperamos que esta serie de páginas web te haya ayudado a comprender mejor las relaciones lineales en dos variables! Sigue practicando y explorando, y verás cómo estos conceptos se aplican en una gran variedad de situaciones.