El Círculo y la Circunferencia

Círculo: Es la región del plano formada por todos los puntos cuya distancia a un punto fijo (el centro) es menor o igual que cierta longitud llamada radio.

Circunferencia: Es la frontera o perímetro del círculo, compuesta por todos los puntos cuya distancia al centro es exactamente el radio.

• Centro (O): Punto equidistante de cualquier punto de la circunferencia.
• Radio (r): Distancia desde el centro hasta cualquier punto de la circunferencia.
• Diámetro (d): Cuerda que pasa por el centro. Es la mayor distancia posible entre dos puntos de la circunferencia y cumple \(d = 2r\).
• Cuerda: Segmento que une dos puntos de la circunferencia (el diámetro es un caso particular de cuerda).

Observa la siguiente representación en la que se muestran algunos de estos elementos:

Ejercicios: Identificación de Elementos

Ejercicio 1 (Nivel Básico - Enteros)

Observa la circunferencia de radio 5 (unidades). Supongamos que su centro es \(O\) y un punto sobre la circunferencia es \(A\).
a) ¿Cuál es la longitud del segmento \(OA\)?
b) Si trazamos un punto \(B\) en la circunferencia, ¿cómo se llama el segmento \(AB\)?

Ejercicio 2 (Nivel Intermedio - Racionales)

Sea una circunferencia con centro \(O\) y radio \(\tfrac{7}{2}\) unidades.
a) Nombra un diámetro sobre esta circunferencia. (Sugerencia: usa puntos \(A\) y \(B\)).
b) Explica por qué el segmento \(AB\) es un diámetro y no solo una cuerda.
c) ¿cuánto mide \(AB\)?

Ejercicio 3 (Nivel Avanzado - Expresiones con Factores Literales)

Sea un círculo de centro \(O\) y radio \(r\). Sean \(A\) y \(B\) dos puntos cualesquiera de la circunferencia.
a) Escribe el nombre que recibe el segmento \(OA\).
b) Escribe el nombre que recibe el segmento \(AB\).
c) Si \(AB\) pasa por \(O\), ¿cómo se llama y cuál es su longitud en función de \(r\)?

En la próxima página, profundizaremos en las fórmulas (longitud de la circunferencia y luego el área del círculo) para así completar la comprensión de este importante concepto geométrico.

Área y Perímetro de una Circunferencia

Explicaciones

Una circunferencia es una figura geométrica plana y cerrada que se caracteriza porque todos los puntos que la conforman se encuentran a la misma distancia del centro. Esta distancia se denomina radio.

El diámetro de una circunferencia es el segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro. El diámetro es igual a dos veces el radio.

Deducción de las Fórmulas

Perímetro

El perímetro de una circunferencia, también llamado longitud de la circunferencia, se puede deducir intuitivamente. Imagina que "cortas" la circunferencia en un punto y la "extiendes" como una línea recta. La longitud de esa línea es el perímetro.

Desde la antigüedad, se observó que la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro era siempre la misma, sin importar el tamaño de la circunferencia. Esta constante se denominó \( \pi \). Por lo tanto, la longitud de la circunferencia (perímetro) es igual a \( \pi \) multiplicado por el diámetro:

\[ P = \pi \bullet d \]
Como el diámetro es dos veces el radio (\( d = 2r \)), también podemos expresar el perímetro en términos del radio:
\[ P = 2 \bullet \pi \bullet r \]

Área

Para deducir la fórmula del área de un círculo, podemos imaginar que dividimos el círculo en una gran cantidad de sectores circulares iguales, como si fueran rebanadas de una pizza. Luego, reorganizamos estos sectores para formar una figura que se aproxime a un paralelogramo.

Cuanto mayor sea la cantidad de sectores en que dividamos el círculo, más se asemejará la figura resultante a un paralelogramo. La base de este paralelogramo será aproximadamente la mitad de la longitud de la circunferencia (\( \frac{1}{2}P = \pi \bullet r \)), y la altura será aproximadamente igual al radio (\( r \)).

El área de un paralelogramo se calcula multiplicando la base por la altura. Por lo tanto, el área aproximada del círculo será:
\[ A \approx (\pi \bullet r) \bullet r = \pi \bullet r^2 \]
A medida que aumentamos el número de sectores, la aproximación se vuelve más precisa, y en el límite, cuando el número de sectores tiende a infinito, obtenemos la fórmula exacta del área del círculo:
\[ A = \pi \bullet r^2 \]
También podemos expresarla utilizando el diámetro, si \( d=2r \), entonces \( r = \frac{d}{2} \), y reemplazando en la formula:
\[ A = \pi \bullet (\frac{d}{2})^2 = \pi \bullet \frac{d^2}{4} = \frac{\pi \bullet d^2}{4} \]

Fórmulas

Resumiendo, para calcular el área y el perímetro de una circunferencia, utilizamos las siguientes fórmulas:

Perímetro (P) (Valor exacto):
\[ P = 2 \bullet \pi \bullet r \]
\[ P = \pi \bullet d \]
Donde:

• \( P \) es el perímetro.
• \( \pi \) es una constante matemática aproximadamente igual a 3.14159.
• \( r \) es el radio de la circunferencia.
• \( d \) es el diámetro de la circunferencia.

Área (A) (Valor exacto):
\[ A = \pi \bullet r^2 \]
\[ A = \frac{\pi \bullet d^2}{4} \]
Donde:

• \( A \) es el área.
• \( \pi \) es una constante matemática aproximadamente igual a 3.14159.
• \( r \) es el radio de la circunferencia.
• \( d \) es el diámetro de la circunferencia.

Ejercicios

Nivel 1: Cálculos directos

Números Naturales

1. Calcula el perímetro exacto y el área exacta de una circunferencia con radio OA = 5. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Perímetro: \[ P = 2 \bullet \pi \bullet r = 2 \bullet \pi \bullet (5) = 10 \bullet \pi \]
   Área: \[ A = \pi \bullet r^2 = \pi \bullet (5)^2 = 25 \bullet \pi \]
2. Calcula el perímetro exacto y el área exacta de una circunferencia con diámetro AB = 14. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Si el diámetro es 14, el radio es \[ r = \frac{d}{2} = \frac{14}{2} = 7 \].
   Perímetro: \[ P = 2 \bullet \pi \bullet r = 2 \bullet \pi \bullet (7) = 14 \bullet \pi \]
   Área: \[ A = \pi \bullet r^2 = \pi \bullet (7)^2 = 49 \bullet \pi \]
3. Calcula el perímetro exacto y el área exacta de una circunferencia con radio OA = 8. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Perímetro: \[ P = 2 \bullet \pi \bullet r = 2 \bullet \pi \bullet (8) = 16 \bullet \pi \]
   Área: \[ A = \pi \bullet r^2 = \pi \bullet (8)^2 = 64 \bullet \pi \]
4. Calcula el perímetro exacto y el área exacta de una circunferencia con diámetro AB = 20. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Si el diámetro es 20, el radio es \[ r = \frac{d}{2} = \frac{20}{2} = 10 \].
   Perímetro: \[ P = 2 \bullet \pi \bullet r = 2 \bullet \pi \bullet (10) = 20 \bullet \pi \]
   Área: \[ A = \pi \bullet r^2 = \pi \bullet (10)^2 = 100 \bullet \pi \]

Números Racionales (Decimales)

1. Calcula el perímetro exacto y el área exacta de una circunferencia con radio OA = 3.5. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Perímetro: \[ P = 2 \bullet \pi \bullet r = 2 \bullet \pi \bullet (3.5) = 7 \bullet \pi \]
   Área: \[ A = \pi \bullet r^2 = \pi \bullet (3.5)^2 = 12.25 \bullet \pi \]
2. Calcula el perímetro exacto y el área exacta de una circunferencia con diámetro AB = 8.2. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Si el diámetro es 8.2, el radio es \[ r = \frac{d}{2} = \frac{8.2}{2} = 4.1 \].
   Perímetro: \[ P = 2 \bullet \pi \bullet r = 2 \bullet \pi \bullet (4.1) = 8.2 \bullet \pi \]
   Área: \[ A = \pi \bullet r^2 = \pi \bullet (4.1)^2 = 16.81 \bullet \pi \]
3. Calcula el perímetro exacto y el área exacta de una circunferencia con radio OA = 2.1. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Perímetro: \[ P = 2 \bullet \pi \bullet r = 2 \bullet \pi \bullet (2.1) = 4.2 \bullet \pi \]
   Área: \[ A = \pi \bullet r^2 = \pi \bullet (2.1)^2 = 4.41 \bullet \pi \]
4. Calcula el perímetro exacto y el área exacta de una circunferencia con diámetro AB = 5.6. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Si el diámetro es 5.6, el radio es \[ r = \frac{d}{2} = \frac{5.6}{2} = 2.8 \].
   Perímetro: \[ P = 2 \bullet \pi \bullet r = 2 \bullet \pi \bullet (2.8) = 5.6 \bullet \pi \]
   Área: \[ A = \pi \bullet r^2 = \pi \bullet (2.8)^2 = 7.84 \bullet \pi \]

Números Racionales (Fracciones)

1. Calcula el perímetro exacto y el área exacta de una circunferencia con radio OA = 2/3. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Perímetro: \[ P = 2 \bullet \pi \bullet r = 2 \bullet \pi \bullet (\frac{2}{3}) = \frac{4}{3} \bullet \pi \]
   Área: \[ A = \pi \bullet r^2 = \pi \bullet (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9} \bullet \pi \]
2. Calcula el perímetro exacto y el área exacta de una circunferencia con diámetro AB = 5/4. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Si el diámetro es 5/4, el radio es \[ r = \frac{d}{2} = \frac{\frac{5}{4}}{2} = \frac{5}{8} \].
   Perímetro: \[ P = 2 \bullet \pi \bullet r = 2 \bullet \pi \bullet (\frac{5}{8}) = \frac{5}{4} \bullet \pi \]
   Área: \[ A = \pi \bullet r^2 = \pi \bullet (\frac{5}{8})^2 = \frac{25}{64} \bullet \pi \]
3. Calcula el perímetro exacto y el área exacta de una circunferencia con radio OA = 1/2. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Perímetro: \[ P = 2 \bullet \pi \bullet r = 2 \bullet \pi \bullet (\frac{1}{2}) = \pi \]
   Área: \[ A = \pi \bullet r^2 = \pi \bullet (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} \bullet \pi \]
4. Calcula el perímetro exacto y el área exacta de una circunferencia con diámetro AB = 7/3. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Si el diámetro es 7/3, el radio es \[ r = \frac{d}{2} = \frac{\frac{7}{3}}{2} = \frac{7}{6} \].
   Perímetro: \[ P = 2 \bullet \pi \bullet r = 2 \bullet \pi \bullet (\frac{7}{6}) = \frac{7}{3} \bullet \pi \]
   Área: \[ A = \pi \bullet r^2 = \pi \bullet (\frac{7}{6})^2 = \frac{49}{36} \bullet \pi \]

Factores literales

1. Calcula el perímetro exacto y el área exacta de una circunferencia con radio OA = a. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Perímetro: \[ P = 2 \bullet \pi \bullet r = 2 \bullet \pi \bullet a \]
   Área: \[ A = \pi \bullet r^2 = \pi \bullet a^2 \]
2. Calcula el perímetro exacto y el área exacta de una circunferencia con diámetro AB = 6b. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Si el diámetro es 6b, el radio es \[ r = \frac{d}{2} = \frac{6b}{2} = 3b \].
   Perímetro: \[ P = 2 \bullet \pi \bullet r = 2 \bullet \pi \bullet (3b) = 6b \bullet \pi \]
   Área: \[ A = \pi \bullet r^2 = \pi \bullet (3b)^2 = 9b^2 \bullet \pi \]
3. Calcula el perímetro exacto y el área exacta de una circunferencia con radio OA = 2x. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Perímetro: \[ P = 2 \bullet \pi \bullet r = 2 \bullet \pi \bullet (2x) = 4x \bullet \pi \]
   Área: \[ A = \pi \bullet r^2 = \pi \bullet (2x)^2 = 4x^2 \bullet \pi \]
4. Calcula el perímetro exacto y el área exacta de una circunferencia con diámetro AB = 5y. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Si el diámetro es 5y, el radio es \[ r = \frac{d}{2} = \frac{5y}{2} \].
   Perímetro: \[ P = 2 \bullet \pi \bullet r = 2 \bullet \pi \bullet (\frac{5y}{2}) = 5y \bullet \pi \]
   Área: \[ A = \pi \bullet r^2 = \pi \bullet (\frac{5y}{2})^2 = \frac{25y^2}{4} \bullet \pi \]

Nivel 2: Problemas Inversos

Determinar radio o diámetro a partir del perímetro

1. El perímetro exacto de una circunferencia es \( 20 \pi \). Determina el radio OA. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Usamos la fórmula del perímetro: \[ P = 2 \bullet \pi \bullet r \] \[ 20 \pi = 2 \bullet \pi \bullet r \] \[ r = \frac{20 \pi}{2 \pi} = 10 \]
2. El perímetro exacto de una circunferencia es \( 15 \pi \). Determina el diámetro AB. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Usamos la fórmula del perímetro: \[ P = 2 \bullet \pi \bullet r \] \[ 15 \pi = 2 \bullet \pi \bullet r \] \[ r = \frac{15 \pi}{2 \pi} = 7.5 \] \[ d = 2 \bullet r = 2 \bullet (7.5) = 15 \]
3. El perímetro exacto de una circunferencia es \( 8 \pi \). Determina el radio OA. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Usamos la fórmula del perímetro: \[ P = 2 \bullet \pi \bullet r \] \[ 8 \pi = 2 \bullet \pi \bullet r \] \[ r = \frac{8 \pi}{2 \pi} = 4 \]
4. El perímetro exacto de una circunferencia es \( 25 \pi \). Determina el diámetro AB. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Usamos la fórmula del perímetro: \[ P = 2 \bullet \pi \bullet r \] \[ 25 \pi = 2 \bullet \pi \bullet r \] \[ r = \frac{25 \pi}{2 \pi} = 12.5 \] \[ d = 2 \bullet r = 2 \bullet (12.5) = 25 \]
5. El perímetro exacto de una circunferencia es \( \frac{5}{2} \pi \). Determina el radio OA. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Usamos la fórmula del perímetro: \[ P = 2 \bullet \pi \bullet r \] \[ \frac{5}{2} \pi = 2 \bullet \pi \bullet r \] \[ r = \frac{\frac{5}{2} \pi}{2 \pi} = \frac{5}{4} = 1.25 \]
6. El perímetro exacto de una circunferencia es \( 6x \pi \). Determina el radio OA. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Usamos la fórmula del perímetro: \[ P = 2 \bullet \pi \bullet r \] \[ 6x \pi = 2 \bullet \pi \bullet r \] \[ r = \frac{6x \pi}{2 \pi} = 3x \]

Determinar radio o diámetro a partir del área

19. El área exacta de una circunferencia es \( 36 \pi \). Determina el radio OA. Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Usamos la fórmula del área: \[ A = \pi \bullet r^2 \] \[ 36 \pi = \pi \bullet r^2 \] \[ r^2 = \frac{36 \pi}{\pi} = 36 \] \[ r = \sqrt{36} = 6 \]
20. El área exacta de una circunferencia es \( 16 \pi \). Determina el diámetro AB. Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Usamos la fórmula del área: \[ A = \pi \bullet r^2 \] \[ 16 \pi = \pi \bullet r^2 \] \[ r^2 = \frac{16 \pi}{\pi} = 16 \] \[ r = \sqrt{16} = 4 \] \[ d = 2r = 2(4) = 8 \]
21. El área exacta de una circunferencia es \( 9 \pi \). Determina el radio OA. Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Usamos la fórmula del área: \[ A = \pi \bullet r^2 \] \[ 9 \pi = \pi \bullet r^2 \] \[ r^2 = \frac{9 \pi}{\pi} = 9 \] \[ r = \sqrt{9} = 3 \]
22. El área exacta de una circunferencia es \( 121 \pi \). Determina el diámetro AB. Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Usamos la fórmula del área: \[ A = \pi \bullet r^2 \] \[ 121 \pi = \pi \bullet r^2 \] \[ r^2 = \frac{121 \pi}{\pi} = 121 \] \[ r = \sqrt{121} = 11 \] \[ d = 2r = 2(11) = 22 \]
23. El área exacta de una circunferencia es \( \frac{9}{4} \pi \). Determina el radio OA. Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Usamos la fórmula del área: \[ A = \pi \bullet r^2 \] \[ \frac{9}{4} \pi = \pi \bullet r^2 \] \[ r^2 = \frac{\frac{9}{4} \pi}{\pi} = \frac{9}{4} \] \[ r = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2} = 1.5 \]
24. El área exacta de una circunferencia es \( 4x^2 \pi \). Determina el radio OA. Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Usamos la fórmula del área: \[ A = \pi \bullet r^2 \] \[ 4x^2 \pi = \pi \bullet r^2 \] \[ r^2 = \frac{4x^2 \pi}{\pi} = 4x^2 \] \[ r = \sqrt{4x^2} = 2x \]

Determinar área a partir del perímetro

25. El perímetro exacto de una circunferencia es \( 12 \pi \). Determina su área exacta. Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Primero, encontramos el radio a partir del perímetro: \[ P = 2 \bullet \pi \bullet r \] \[ 12 \pi = 2 \bullet \pi \bullet r \] \[ r = \frac{12 \pi}{2 \pi} = 6 \]
    Luego, calculamos el área: \[ A = \pi \bullet r^2 = \pi \bullet (6)^2 = 36 \pi \]
26. El perímetro exacto de una circunferencia es \( 18 \pi \). Determina su área exacta. Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Primero, encontramos el radio a partir del perímetro: \[ P = 2 \bullet \pi \bullet r \] \[ 18 \pi = 2 \bullet \pi \bullet r \] \[ r = \frac{18 \pi}{2 \pi} = 9 \]
    Luego, calculamos el área: \[ A = \pi \bullet r^2 = \pi \bullet (9)^2 = 81 \pi \]
27. El perímetro exacto de una circunferencia es \( 7 \pi \). Determina su área exacta. Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Primero, encontramos el radio a partir del perímetro: \[ P = 2 \bullet \pi \bullet r \] \[ 7 \pi = 2 \bullet \pi \bullet r \] \[ r = \frac{7 \pi}{2 \pi} = 3.5 \]
    Luego, calculamos el área: \[ A = \pi \bullet r^2 = \pi \bullet (3.5)^2 = 12.25 \pi \]
28. El perímetro exacto de una circunferencia es \( 4y \pi \). Determina su área exacta. Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Primero, encontramos el radio a partir del perímetro: \[ P = 2 \bullet \pi \bullet r \] \[ 4y \pi = 2 \bullet \pi \bullet r \] \[ r = \frac{4y \pi}{2 \pi} = 2y \]
    Luego, calculamos el área: \[ A = \pi \bullet r^2 = \pi \bullet (2y)^2 = 4y^2 \pi \]

Determinar perímetro a partir del área

29. El área exacta de una circunferencia es \( 64 \pi \). Determina su perímetro exacto. Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Primero, encontramos el radio a partir del área: \[ A = \pi \bullet r^2 \] \[ 64 \pi = \pi \bullet r^2 \] \[ r^2 = \frac{64 \pi}{\pi} = 64 \] \[ r = \sqrt{64} = 8 \]
    Luego, calculamos el perímetro: \[ P = 2 \bullet \pi \bullet r = 2 \bullet \pi \bullet (8) = 16 \pi \]
30. El área exacta de una circunferencia es \( 4 \pi \). Determina su perímetro exacto. Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Primero, encontramos el radio a partir del área: \[ A = \pi \bullet r^2 \] \[ 4 \pi = \pi \bullet r^2 \] \[ r^2 = \frac{4 \pi}{\pi} = 4 \] \[ r = \sqrt{4} = 2 \]
    Luego, calculamos el perímetro: \[ P = 2 \bullet \pi \bullet r = 2 \bullet \pi \bullet (2) = 4 \pi \]
31. El área exacta de una circunferencia es \( \frac{25}{4} \pi \). Determina su perímetro exacto. Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Primero, encontramos el radio a partir del área: \[ A = \pi \bullet r^2 \] \[ \frac{25}{4} \pi = \pi \bullet r^2 \] \[ r^2 = \frac{\frac{25}{4} \pi}{\pi} = \frac{25}{4} \] \[ r = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2} = 2.5 \]
    Luego, calculamos el perímetro: \[ P = 2 \bullet \pi \bullet r = 2 \bullet \pi \bullet (\frac{5}{2}) = 5 \pi \]
32. El área exacta de una circunferencia es \( 9a^2 \pi \). Determina su perímetro exacto. Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Primero, encontramos el radio a partir del área: \[ A = \pi \bullet r^2 \] \[ 9a^2 \pi = \pi \bullet r^2 \] \[ r^2 = \frac{9a^2 \pi}{\pi} = 9a^2 \] \[ r = \sqrt{9a^2} = 3a \]
    Luego, calculamos el perímetro: \[ P = 2 \bullet \pi \bullet r = 2 \bullet \pi \bullet (3a) = 6a \pi \]

Nivel 3: Problemas

1. Un jardinero quiere bordear una fuente circular con una valla. Si la fuente tiene un diámetro de 4 metros, ¿cuántos metros de valla necesitará? (Considera el valor exacto) Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   El problema nos pide calcular el perímetro de la fuente circular.
   Si el diámetro es 4 metros, el radio es: \[ r = \frac{d}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]
   Dado que el radio es 2 metros, usamos la fórmula del perímetro: \[ P = 2 \bullet \pi \bullet r = 2 \bullet \pi \bullet (2) = 4 \pi \]
   El jardinero necesitará \( 4 \pi \) metros de valla.
2. Se desea pintar la tapa de un tambor que tiene forma circular. Si el radio de la tapa es de 0.6 metros, ¿cuánta área se deberá pintar? (Considera el valor exacto) Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   El problema nos pide calcular el área de la tapa circular del tambor.
   Dado que el radio es 0.6 metros, usamos la fórmula del área: \[ A = \pi \bullet r^2 = \pi \bullet (0.6)^2 = 0.36 \pi \]
   Se deberá pintar un área de \( 0.36 \pi \) metros cuadrados.
3. Una cabra está atada a un poste en el centro de un campo circular. Si la cuerda que la ata mide 5 metros de largo, ¿cuál es el área máxima que la cabra puede pastar? (Considera el valor exacto) Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   El área máxima que la cabra puede pastar corresponde al área del círculo con radio igual a la longitud de la cuerda.
   Dado que la cuerda mide 5 metros, usamos la fórmula del área: \[ A = \pi \bullet r^2 = \pi \bullet (5)^2 = 25 \pi \]
   La cabra puede pastar un área máxima de \( 25 \pi \) metros cuadrados.
4. Un reloj circular tiene una manecilla de minutos que mide 10 cm de largo. ¿Qué distancia recorre la punta de la manecilla en una hora? (Considera el valor exacto) Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   En una hora, la manecilla de minutos da una vuelta completa alrededor del reloj, describiendo una circunferencia.
   La distancia que recorre la punta de la manecilla es igual al perímetro de esta circunferencia, donde el radio es la longitud de la manecilla.
   Dado que la manecilla mide 10 cm, usamos la fórmula del perímetro: \[ P = 2 \bullet \pi \bullet r = 2 \bullet \pi \bullet (10) = 20 \pi \]
   La punta de la manecilla recorre \( 20 \pi \) cm en una hora.
5. Un disco de vinilo tiene un diámetro de 30 cm. Si el disco gira a una velocidad de 33 1/3 revoluciones por minuto (RPM), ¿qué distancia recorre un punto en el borde del disco en un minuto? (Considera el valor exacto) Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Primero, necesitamos encontrar el perímetro del disco. Si el diámetro es 30 cm, el radio es: \[ r = \frac{d}{2} = \frac{30}{2} = 15 \] cm.
   El perímetro es: \[ P = 2 \bullet \pi \bullet r = 2 \bullet \pi \bullet (15) = 30 \pi \] cm.
   Si el disco gira a 33 1/3 RPM, en un minuto un punto en el borde recorre: \[ 30 \pi \bullet 33\frac{1}{3} = 30 \pi \bullet \frac{100}{3} = 1000 \pi \] cm.
6. Se quiere construir una valla circular alrededor de un jardín. Si el área del jardín es de \( 16 \pi \) metros cuadrados, ¿cuántos metros de valla se necesitarán? (Considera el valor exacto) Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Primero, necesitamos encontrar el radio del jardín a partir de su área: \[ A = \pi \bullet r^2 \] \[ 16 \pi = \pi \bullet r^2 \] \[ r^2 = \frac{16 \pi}{\pi} = 16 \] \[ r = \sqrt{16} = 4 \] metros.
   Ahora, calculamos el perímetro (longitud de la valla) usando la fórmula: \[ P = 2 \bullet \pi \bullet r = 2 \bullet \pi \bullet (4) = 8 \pi \]
   Se necesitarán \( 8 \pi \) metros de valla.

Área y Perímetro de una Circunferencia (Aproximado)

Explicaciones

Una circunferencia es una figura geométrica plana y cerrada que se caracteriza porque todos los puntos que la conforman se encuentran a la misma distancia del centro. Esta distancia se denomina radio.

El diámetro de una circunferencia es el segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro. El diámetro es igual a dos veces el radio.

El número π (Pi) y sus aproximaciones

El número \( \pi \) (pi) es una constante matemática que representa la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Es un número irracional, lo que significa que tiene infinitas cifras decimales que no se repiten en un patrón. Por lo tanto, cualquier valor que usemos para \( \pi \) en cálculos prácticos será una aproximación.

Algunas aproximaciones comunes de \( \pi \) son:

• 3: Es una aproximación muy general, útil para cálculos mentales rápidos o estimaciones.
• 3.1: Una aproximación con un decimal, adecuada para algunos cálculos sencillos.
• 3.14: La aproximación más frecuente, con dos decimales, que ofrece un buen equilibrio entre precisión y facilidad de uso.
• 3.1416: Una aproximación con 4 decimales, adecuada para calculos de mayor precision.
• 22/7: Una aproximación racional usada frecuentemente, con un error del 0.04%

En esta página, usaremos estas aproximaciones para calcular el área y el perímetro de circunferencias. Recuerda que los resultados serán valores aproximados.

Reglas de Aproximación

Cuando se nos pide dar una respuesta con un número determinado de decimales, debemos seguir estas reglas de aproximación por redondeo:

1. Identificar el dígito a aproximar:
   • Si se pide a 0 decimales es el dígito de las unidades
   • Si se pide a 1 decimal es el dígito de las décimas
   • Si se pide a 2 decimales es el dígito de las centésimas
   • y así sucesivamente
2. Mirar el dígito a la derecha del dígito a aproximar:
   • Si es 0, 1, 2, 3 o 4, el dígito a aproximar se mantiene igual.
   • Si es 5, 6, 7, 8 o 9, el dígito a aproximar aumenta en 1.
3. Eliminar los dígitos a la derecha del dígito aproximado

Ejemplos:

• Aproximar 4.536 a 2 decimales: El dígito a aproximar es 3 (centésimas). El dígito a la derecha es 6 (mayor que 5), entonces 3 aumenta a 4. Resultado: 4.54
• Aproximar 12.814 a 1 decimal: El dígito a aproximar es 8 (décimas). El dígito a la derecha es 1 (menor que 5), entonces 8 se mantiene. Resultado: 12.8
• Aproximar 25.6 a 0 decimales: El dígito a aproximar es 5 (unidades). El dígito a la derecha es 6 (mayor que 5), entonces 5 aumenta a 6. Resultado: 26

Fórmulas

Para calcular el área y el perímetro de una circunferencia, utilizamos las siguientes fórmulas:

Perímetro (P) (Valor aproximado):
\[ P = 2 \bullet \pi \bullet r \]
\[ P = \pi \bullet d \]
Donde:

• \( P \) es el perímetro.
• \( \pi \) es una constante matemática que aproximaremos a 3, 3.1, o 3.14.
• \( r \) es el radio de la circunferencia.
• \( d \) es el diámetro de la circunferencia.

Área (A) (Valor aproximado):
\[ A = \pi \bullet r^2 \]
\[ A = \frac{\pi \bullet d^2}{4} \]
Donde:

• \( A \) es el área.
• \( \pi \) es una constante matemática que aproximaremos a 3, 3.1, o 3.14.
• \( r \) es el radio de la circunferencia.
• \( d \) es el diámetro de la circunferencia.

Ejercicios

Nivel 1: Cálculos directos

1. Calcula el perímetro aproximado de una circunferencia con radio OA = 6, usando \( \pi \approx 3 \). Redondea a 0 decimales. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   \[ P = 2 \bullet \pi \bullet r = 2 \bullet 3 \bullet (6) = 36 \]
   Respuesta: 36
2. Calcula el área aproximada de una circunferencia con radio OA = 4, usando \( \pi \approx 3.1 \). Redondea a 1 decimal. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   \[ A = \pi \bullet r^2 = 3.1 \bullet (4)^2 = 3.1 \bullet 16 = 49.6 \]
   Respuesta: 49.6
3. Calcula el perímetro aproximado de una circunferencia con diámetro AB = 10, usando \( \pi \approx 3.14 \). Redondea a 2 decimales. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Si el diámetro es 10, el radio es \[ r = \frac{d}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]. \[ P = 2 \bullet \pi \bullet r = 2 \bullet 3.14 \bullet (5) = 31.4 \]
   Respuesta: 31.40
4. Calcula el área aproximada de una circunferencia con diámetro AB = 7.2, usando \( \pi \approx 3.14 \). Redondea a 2 decimales. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Si el diámetro es 7.2, el radio es \[ r = \frac{d}{2} = \frac{7.2}{2} = 3.6 \]. \[ A = \pi \bullet r^2 = 3.14 \bullet (3.6)^2 = 3.14 \bullet 12.96 = 40.6944 \]
   Respuesta: 40.69
5. Calcula el perímetro aproximado de una circunferencia con radio OA = 2/3, usando \( \pi \approx 3.14 \). Redondea a 2 decimales. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   \[ P = 2 \bullet \pi \bullet r = 2 \bullet 3.14 \bullet (\frac{2}{3}) = 4.18666... \]
   Respuesta: 4.19
6. Calcula el área aproximada de una circunferencia con radio OA = 2y, usando \( \pi \approx 3 \). Redondea a 0 decimales. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   \[ A = \pi \bullet r^2 = 3 \bullet (2y)^2 = 3 \bullet 4y^2 = 12y^2 \]
   Respuesta: \(12y^2\)

Nivel 2: Problemas Inversos

1. El perímetro aproximado de una circunferencia es \( 18.6 \) (usando \( \pi \approx 3.1 \)). Determina el radio OA redondeado a 1 decimal. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Usamos la fórmula del perímetro: \[ P = 2 \bullet \pi \bullet r \] \[ 18.6 = 2 \bullet 3.1 \bullet r \] \[ r = \frac{18.6}{2 \bullet 3.1} = \frac{18.6}{6.2} = 3 \]
   Respuesta: 3.0
2. El área aproximada de una circunferencia es \( 78.5 \) (usando \( \pi \approx 3.14 \)). Determina el diámetro AB redondeado a 2 decimales. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Usamos la fórmula del área: \[ A = \pi \bullet r^2 \] \[ 78.5 = 3.14 \bullet r^2 \] \[ r^2 = \frac{78.5}{3.14} = 25 \] \[ r = \sqrt{25} = 5 \] \[ d = 2 \bullet r = 2 \bullet 5 = 10 \]
   Respuesta: 10.00
3. El perímetro aproximado de una circunferencia es \( 15.7 \) (usando \( \pi \approx 3.14 \)). Determina el área aproximada redondeada a 2 decimales. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Primero, encontramos el radio a partir del perímetro: \[ P = 2 \bullet \pi \bullet r \] \[ 15.7 = 2 \bullet 3.14 \bullet r \] \[ r = \frac{15.7}{2 \bullet 3.14} = 2.5 \]
   Luego, calculamos el área: \[ A = \pi \bullet r^2 = 3.14 \bullet (2.5)^2 = 19.625 \]
   Respuesta: 19.63
4. El área aproximada de una circunferencia es \( 12y^2 \) (usando \( \pi \approx 3 \)). Determina el perímetro aproximado redondeado a 0 decimales. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Primero, encontramos el radio a partir del área: \[ A = \pi \bullet r^2 \] \[ 12y^2 = 3 \bullet r^2 \] \[ r^2 = \frac{12y^2}{3} = 4y^2 \] \[ r = \sqrt{4y^2} = 2y \]
   Luego, calculamos el perímetro: \[ P = 2 \bullet \pi \bullet r = 2 \bullet 3 \bullet (2y) = 12y \]
   Respuesta: \(12y\)

Nivel 3: Problemas

1. Un jardinero quiere bordear una fuente circular con una valla. Si la fuente tiene un diámetro de 5 metros, ¿cuántos metros de valla necesitará aproximadamente? (Usa \( \pi \approx 3.14 \) y redondea a 2 decimales) Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   El problema nos pide calcular el perímetro de la fuente circular.
   Si el diámetro es 5 metros, el radio es: \[ r = \frac{d}{2} = \frac{5}{2} = 2.5 \]
   Dado que el radio es 2.5 metros, usamos la fórmula del perímetro: \[ P = 2 \bullet \pi \bullet r = 2 \bullet 3.14 \bullet (2.5) = 15.7 \]
   Respuesta: 15.70 metros
2. Se desea pintar la tapa de un tambor que tiene forma circular. Si el radio de la tapa es de 0.8 metros, ¿cuánta área se deberá pintar aproximadamente? (Usa \( \pi \approx 3.1 \) y redondea a 1 decimal) Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   El problema nos pide calcular el área de la tapa circular del tambor.
   Dado que el radio es 0.8 metros, usamos la fórmula del área: \[ A = \pi \bullet r^2 = 3.1 \bullet (0.8)^2 = 3.1 \bullet 0.64 = 1.984 \]
   Respuesta: 2.0 metros cuadrados

Sectores Circulares

¿Qué es un Sector Circular?

Un sector circular es una porción de un círculo delimitada por dos radios y el arco comprendido entre ellos. Imagina una pizza, cada rebanada es un sector circular.

Ángulo Central

El ángulo central de un sector circular es el ángulo formado por los dos radios que delimitan el sector. Este ángulo se mide en grados y su vértice está en el centro del círculo.

Dividiendo un Círculo en Sectores Iguales

Podemos dividir un círculo en sectores iguales, es decir, en sectores que tienen el mismo ángulo central y, por lo tanto, abarcan la misma área. La clave para dividir un círculo en sectores iguales es entender la relación entre el ángulo central y la fracción del círculo que representa cada sector.

Un círculo completo tiene 360 grados (360°). Para dividirlo en "n" sectores iguales, dividimos 360° entre "n" para obtener el ángulo central de cada sector.

Ejemplos:

2 Sectores Iguales (Ángulo central de 180°)

Para dividir un círculo en 2 sectores iguales, cada sector tendrá un ángulo central de: \[ \frac{360°}{2} = 180° \] Cada sector representa la mitad del círculo. Un ángulo de 180° se conoce como ángulo llano y forma un semicírculo.

3 Sectores Iguales (Ángulo central de 120°)

Para dividir un círculo en 3 sectores iguales, cada sector tendrá un ángulo central de: \[ \frac{360°}{3} = 120° \] Cada sector representa un tercio del círculo.

4 Sectores Iguales (Ángulo central de 90°)

Para dividir un círculo en 4 sectores iguales, cada sector tendrá un ángulo central de: \[ \frac{360°}{4} = 90° \] Cada sector representa un cuarto del círculo. Un ángulo de 90° se conoce como ángulo recto.

6 Sectores Iguales (Ángulo central de 60°)

Para dividir un círculo en 6 sectores iguales, cada sector tendrá un ángulo central de: \[ \frac{360°}{6} = 60° \] Cada sector representa un sexto del círculo.

Relación entre el Número de Sectores y el Ángulo Central

Como hemos visto en los ejemplos, existe una relación inversa entre el número de sectores iguales en que dividimos un círculo y la medida del ángulo central de cada sector:

• A mayor número de sectores, menor es el ángulo central de cada sector.
• A menor número de sectores, mayor es el ángulo central de cada sector.

Esta relación se resume en la fórmula: \[ \text{Ángulo central} = \frac{360°}{\text{Número de sectores}} \]

Entender esta relación es fundamental para trabajar con sectores circulares y resolver problemas que involucren fracciones de un círculo.

Ejercicios

Nivel 1: Determinar el ángulo central

1. Si dividimos un círculo en 12 sectores iguales, ¿cuál es el ángulo central de cada sector? Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   \[ \text{Ángulo central} = \frac{360°}{12} = 30° \]
   Respuesta: 30°
2. Si dividimos un círculo en 8 sectores iguales, ¿cuál es el ángulo central de cada sector? Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   \[ \text{Ángulo central} = \frac{360°}{8} = 45° \]
   Respuesta: 45°
3. Si dividimos un círculo en 5 sectores iguales, ¿cuál es el ángulo central de cada sector? Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   \[ \text{Ángulo central} = \frac{360°}{5} = 72° \]
   Respuesta: 72°
4. Si dividimos un círculo en n sectores iguales, ¿cuál es el ángulo central de cada sector en función de n? Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   \[ \text{Ángulo central} = \frac{360°}{n} \]
   Respuesta: \(\frac{360°}{n}\)
5. Si dividimos un círculo en 6n sectores iguales, ¿cuál es el ángulo central de cada sector en función de n? Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   \[ \text{Ángulo central} = \frac{360°}{6n} = \frac{60°}{n} \]
   Respuesta: \(\frac{60°}{n}\)

Nivel 2: Determinar el número de sectores

6. Si el ángulo central de un sector es de 15°, ¿en cuántos sectores iguales se ha dividido el círculo? Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Usamos la fórmula: \[ \text{Número de sectores} = \frac{360°}{\text{Ángulo central}} \] \[ \text{Número de sectores} = \frac{360°}{15°} = 24 \]
   Respuesta: 24 sectores
7. Si el ángulo central de un sector es de 22.5°, ¿en cuántos sectores iguales se ha dividido el círculo? Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Usamos la fórmula: \[ \text{Número de sectores} = \frac{360°}{\text{Ángulo central}} \] \[ \text{Número de sectores} = \frac{360°}{22.5°} = 16 \]
   Respuesta: 16 sectores
8. Si el ángulo central de un sector es de \(3 \bullet a \)°, ¿en cuántos sectores iguales se ha dividido el círculo en función de a? Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Usamos la fórmula: \[ \text{Número de sectores} = \frac{360°}{\text{Ángulo central}} \] \[ \text{Número de sectores} = \frac{360°}{3 \bullet a°} = \frac{120}{a} \]
   Respuesta: \(\frac{120}{a}\) sectores

Proporciones entre Ángulo Central, Área y Longitud de Arco en Sectores Circulares

En un sector circular, existe una relación muy importante entre el ángulo central, el área del sector y la longitud del arco que lo delimita. Esta relación se basa en la proporcionalidad directa.

Proporcionalidad entre Área del Sector y Ángulo Central

El área de un sector circular es directamente proporcional a su ángulo central (\( \alpha \)). Esto significa que si aumentamos el ángulo central, el área del sector aumenta en la misma proporción. De manera similar, si disminuimos el ángulo central, el área del sector disminuye proporcionalmente.

Esta proporcionalidad se puede expresar de la siguiente manera:

Explicación: Un círculo completo tiene un ángulo central de 360°. Un sector circular con un ángulo central de \( \alpha \) grados representa una fracción (\( \frac{\alpha}{360°} \)) del círculo completo. Por lo tanto, el área del sector será esa misma fracción del área total del círculo (\( \pi r^2 \)).

Tabla de Ejemplo (Área del Sector)

Consideremos un círculo de radio \( r \). Veamos cómo cambia el área del sector en función de su ángulo central:

Observación: Puedes notar que a medida que el ángulo central se reduce a la mitad, el área del sector también se reduce a la mitad.

Proporcionalidad entre Longitud del Arco y Ángulo Central

De manera similar, la longitud del arco de un sector circular es directamente proporcional a su ángulo central.

Esta proporcionalidad se expresa como:

Explicación: La longitud del arco es una porción de la circunferencia total del círculo (perímetro = \( 2 \pi r \)). La fracción de la circunferencia que representa el arco es la misma que la fracción que representa el ángulo central con respecto a 360°.

Tabla de Ejemplo (Longitud del Arco)

Veamos cómo cambia la longitud del arco en función del ángulo central, manteniendo un radio \( r \):

Observación: Al igual que con el área, la longitud del arco disminuye proporcionalmente al ángulo central.

Fórmulas

A partir de estas proporciones, podemos escribir las fórmulas para calcular el área del sector y la longitud del arco:

Área del sector: \[ A_\text{sector} = \frac{\alpha}{360°} \bullet \pi r^2 \]

Longitud del arco: \[ L_\text{arco} = \frac{\alpha}{360°} \bullet 2 \pi r \]

Donde:

• \(A_\text{sector}\) es el área del sector.
• \(L_\text{arco}\) es la longitud del arco.
• \(\alpha\) es el ángulo central en grados.
• \(r\) es el radio del círculo.

Ejercicios para Practicar

Intenta completar las siguientes tablas para diferentes valores de radio y ángulo central, aplicando las proporciones y fórmulas que hemos aprendido.

Tabla 1: Radio = 5 cm

Tabla 2: Radio = 8 cm

Tabla 3: Ángulo Central = 60°

Tabla 4: Ángulo Central = 225°

(Puedes usar la aproximación \( \pi \approx 3.14 \) para tus cálculos o expresar los resultados en términos de \( \pi \))

Fórmula del Área de un Sector Circular

Deducción de la Fórmula

Vamos a deducir la fórmula para calcular el área de un sector circular. Para ello, partiremos de un ejemplo concreto y luego generalizaremos el razonamiento.

Ejemplo: Sector Circular de 60°

Imagina un círculo dividido en 6 sectores iguales. Como un círculo completo tiene 360°, cada uno de estos sectores tendrá un ángulo central de: \[ \frac{360°}{6} = 60° \]

El sector con un ángulo central de 60° representa \( \frac{60°}{360°} = \frac{1}{6} \) (un sexto) del círculo completo. Por lo tanto, su área será la sexta parte del área total del círculo.

Si el radio del círculo es \( r \), el área del círculo completo es \( \pi r^2 \). Entonces, el área del sector de 60° es: \[ A_\text{sector} = \frac{1}{6} \pi r^2 \]

Generalización a Otros Ángulos

Podemos aplicar el mismo razonamiento a sectores con otros ángulos centrales:

• 90°: Un sector de 90° representa \( \frac{90°}{360°} = \frac{1}{4} \) del círculo. Su área será \( \frac{1}{4} \pi r^2 \).
• 120°: Un sector de 120° representa \( \frac{120°}{360°} = \frac{1}{3} \) del círculo. Su área será \( \frac{1}{3} \pi r^2 \).
• 180°: Un sector de 180° representa \( \frac{180°}{360°} = \frac{1}{2} \) del círculo. Su área será \( \frac{1}{2} \pi r^2 \).

Fórmula General

A partir de estos ejemplos, podemos generalizar la fórmula para calcular el área de un sector circular con cualquier ángulo central (\( \alpha \)):

\[ A_\text{sector} = \frac{\alpha}{360°} \bullet \pi r^2 \]

Donde:

• \( A_\text{sector} \) es el área del sector circular.
• \( \alpha \) es el ángulo central del sector en grados.
• \( r \) es el radio del círculo.

Ejercicios y Problemas

Nivel 1: Aplicación Directa de la Fórmula

1. Calcula el área de un sector circular con un ángulo central de 45° y un radio de 8 cm. (Usa \( \pi \approx 3.14 \)) Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   \[ A_\text{sector} = \frac{45°}{360°} \bullet 3.14 \bullet (8)^2 = \frac{1}{8} \bullet 3.14 \bullet 64 = 25.12 \]
   Respuesta: Área ≈ 25.12 cm²
2. Un sector circular tiene un ángulo central de 150° y un radio de 12 cm. Calcula su área aproximada usando \( \pi \approx 3.14 \) y redondeando a un decimal. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   \[ A_\text{sector} = \frac{150°}{360°} \bullet 3.14 \bullet (12)^2 = \frac{5}{12} \bullet 3.14 \bullet 144 = 188.4 \]
   Respuesta: Área ≈ 188.4 cm²
3. Calcula el área de un sector circular con un ángulo central de 240° y un radio de 9 cm. Expresa el resultado en términos de \( \pi \). Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   \[ A_\text{sector} = \frac{240°}{360°} \bullet \pi \bullet (9)^2 = \frac{2}{3} \bullet \pi \bullet 81 = 54\pi \]
   Respuesta: Área = \( 54\pi \) cm²
4. Un sector circular tiene un ángulo central de \( \theta \)° y un radio de \( R \). Escribe la fórmula para calcular el área del sector en términos de \( \theta \) y \( R \). Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   \[ A_\text{sector} = \frac{\theta}{360°} \bullet \pi \bullet R^2 \]
   Respuesta: \[ A_\text{sector} = \frac{\theta}{360°} \bullet \pi \bullet R^2 \]
5. Calcula el área de un sector circular con un ángulo central de 120° y un radio de 6 cm. (Expresa el resultado en términos de \( \pi \)) Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   \[ A_\text{sector} = \frac{120°}{360°} \bullet \pi \bullet (6)^2 = \frac{1}{3} \bullet \pi \bullet 36 = 12\pi \]
   Respuesta: Área = \( 12\pi \) cm²
6. Un sector circular tiene un ángulo central de 300° y un radio de 5 cm. Calcula su área. Usa \( \pi \approx 3.14 \) y redondea a dos decimales. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   \[ A_\text{sector} = \frac{300°}{360°} \bullet 3.14 \bullet (5)^2 = \frac{5}{6} \bullet 3.14 \bullet 25 = 65.4166...\]
   Respuesta: Área ≈ 65.42 cm²
7. Calcula el área de un sector circular con un ángulo central de 75° y un radio de 4 cm. Usa \( \pi \approx 3.14 \) y redondea a dos decimales. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   \[ A_\text{sector} = \frac{75°}{360°} \bullet 3.14 \bullet (4)^2 = \frac{5}{24} \bullet 3.14 \bullet 16 = 10.4666... \]
   Respuesta: Área ≈ 10.47 cm²
8. Un sector circular tiene un ángulo central de \( 2\alpha \)° y un radio de \( 3R \). Escribe la fórmula para calcular el área del sector en términos de \( \alpha \) y \( R \). Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   \[ A_\text{sector} = \frac{2\alpha}{360°} \bullet \pi \bullet (3R)^2 = \frac{\alpha}{180°} \bullet \pi \bullet 9R^2 = \frac{\alpha}{20} \bullet \pi \bullet R^2 \]
   Respuesta: \[ A_\text{sector} = \frac{\alpha}{20} \bullet \pi \bullet R^2 \]

Nivel 2: Problemas Inversos

9. El área de un sector circular es de \( 40\pi \) cm² y su ángulo central es de 72°. Calcula el radio del círculo. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Usamos la fórmula del área del sector: \[ A_\text{sector} = \frac{\alpha}{360°} \bullet \pi \bullet r^2 \] \[ 40\pi = \frac{72°}{360°} \bullet \pi \bullet r^2 \] \[ 40 = \frac{1}{5} \bullet r^2 \] \[ r^2 = 40 \bullet 5 = 200 \] \[ r = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \]
   Respuesta: \( r = 10\sqrt{2} \) cm
10. El área de un sector circular es de 15.7 cm² y su radio es de 5 cm. Calcula el ángulo central del sector. (Usa \( \pi \approx 3.14 \)) Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Usamos la fórmula del área del sector: \[ A_\text{sector} = \frac{\alpha}{360°} \bullet \pi \bullet r^2 \] \[ 15.7 = \frac{\alpha}{360°} \bullet 3.14 \bullet (5)^2 \] \[ 15.7 = \frac{\alpha}{360°} \bullet 3.14 \bullet 25 \] \[ \alpha = \frac{15.7 \bullet 360°}{3.14 \bullet 25} = 72 \]
    Respuesta: Ángulo central = 72°
11. El área de un sector circular es de \( 27\pi \) cm² y su ángulo central es de 120°. Calcula el radio del círculo. Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Usamos la fórmula del área del sector: \[ A_\text{sector} = \frac{\alpha}{360°} \bullet \pi \bullet r^2 \] \[ 27\pi = \frac{120°}{360°} \bullet \pi \bullet r^2 \] \[ 27 = \frac{1}{3} \bullet r^2 \] \[ r^2 = 27 \bullet 3 = 81 \] \[ r = \sqrt{81} = 9 \]
    Respuesta: r = 9 cm
12. El área de un sector circular es de 10.47 cm² y su radio es de 4 cm. Calcula el ángulo central del sector. (Usa \( \pi \approx 3.14 \) y redondea a 0 decimales) Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Usamos la fórmula del área del sector: \[ A_\text{sector} = \frac{\alpha}{360°} \bullet \pi \bullet r^2 \] \[ 10.47 = \frac{\alpha}{360°} \bullet 3.14 \bullet (4)^2 \] \[ 10.47 = \frac{\alpha}{360°} \bullet 3.14 \bullet 16 \] \[ \alpha = \frac{10.47 \bullet 360°}{3.14 \bullet 16} = 75.01...\]
    Respuesta: Ángulo central ≈ 75°
13. El área de un sector circular es de \( \frac{16}{3} \pi \) cm² y su radio es de 4 cm. Calcula el ángulo central del sector. Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Usamos la fórmula del área del sector: \[ A_\text{sector} = \frac{\alpha}{360°} \bullet \pi \bullet r^2 \] \[ \frac{16}{3} \pi = \frac{\alpha}{360°} \bullet \pi \bullet (4)^2 \] \[ \frac{16}{3} = \frac{\alpha}{360°} \bullet 16 \] \[ \alpha = \frac{\frac{16}{3} \bullet 360°}{16} = 120 \]
    Respuesta: Ángulo central = 120°
14. El área de un sector circular es de \( \frac{9}{8} \pi \) cm² y su ángulo central es de 45°. Calcula el radio del círculo. Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Usamos la fórmula del área del sector: \[ A_\text{sector} = \frac{\alpha}{360°} \bullet \pi \bullet r^2 \] \[ \frac{9}{8} \pi = \frac{45°}{360°} \bullet \pi \bullet r^2 \] \[ \frac{9}{8} = \frac{1}{8} \bullet r^2 \] \[ r^2 = \frac{9}{8} \bullet 8 = 9 \] \[ r = \sqrt{9} = 3 \]
    Respuesta: r = 3 cm

Nivel 3: Problemas de Aplicación

15. Un aspersor de riego cubre un sector circular con un ángulo de 100° y un radio de alcance de 12 metros. ¿Qué área del jardín riega el aspersor? Usa \( \pi \approx 3.14 \) y redondea a un decimal. Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Usamos la fórmula del área del sector: \[ A_\text{sector} = \frac{\alpha}{360°} \bullet \pi \bullet r^2 \] \[ A_\text{sector} = \frac{100°}{360°} \bullet 3.14 \bullet (12)^2 = \frac{5}{18} \bullet 3.14 \bullet 144 = 125.6 \]
    Respuesta: El aspersor riega aproximadamente 125.6 m².
16. Un limpiaparabrisas de 30 cm de longitud se mueve describiendo un ángulo de 150°. ¿Cuál es el área que limpia el parabrisas? Expresa el resultado en términos de \( \pi \). Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Usamos la fórmula del área del sector: \[ A_\text{sector} = \frac{150°}{360°} \bullet \pi \bullet (30)^2 = \frac{5}{12} \bullet \pi \bullet 900 = 375\pi \]
    Respuesta: El área que limpia el parabrisas es de \( 375\pi \) cm².
17. Un faro proyecta un haz de luz que cubre un sector circular con un ángulo de 135°. Si el alcance del haz de luz es de 25 millas, ¿cuál es el área iluminada por el faro? Usa \( \pi \approx 3.14 \) y redondea a dos decimales. Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Usamos la fórmula del área del sector: \[ A_\text{sector} = \frac{135°}{360°} \bullet 3.14 \bullet (25)^2 = \frac{3}{8} \bullet 3.14 \bullet 625 = 735.9375 \]
    Respuesta: El área iluminada por el faro es de aproximadamente 735.94 millas cuadradas.
18. Se quiere pintar un abanico que tiene forma de sector circular. El radio del abanico es de 40 cm y el ángulo central es de 160°. ¿Qué área se debe pintar? Usa \( \pi \approx 3.14 \) y redondea a un decimal. Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Usamos la fórmula del área del sector: \[ A_\text{sector} = \frac{160°}{360°} \bullet 3.14 \bullet (40)^2 = \frac{4}{9} \bullet 3.14 \bullet 1600 = 2232.888... \]
    Respuesta: Se debe pintar aproximadamente 2232.9 cm².
19. Una porción de pizza tiene forma de sector circular con un ángulo central de 50° y un radio de 20 cm. ¿Cuál es el área de la porción de pizza? Expresa el resultado en términos de \( \pi \). Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Usamos la fórmula del área del sector: \[ A_\text{sector} = \frac{50°}{360°} \bullet \pi \bullet (20)^2 = \frac{5}{36} \bullet \pi \bullet 400 = \frac{500}{9} \pi \]
    Respuesta: El área de la porción de pizza es de \( \frac{500}{9} \pi \) cm².
20. Un parque tiene forma de círculo con un radio de 50 metros. Se quiere destinar una sección del parque para un jardín de flores, con forma de sector circular y un ángulo central de 80°. ¿Cuál será el área del jardín de flores? Usa \( \pi \approx 3.14 \) y redondea a un decimal. Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Usamos la fórmula del área del sector: \[ A_\text{sector} = \frac{80°}{360°} \bullet 3.14 \bullet (50)^2 = \frac{2}{9} \bullet 3.14 \bullet 2500 = 1743.333... \]
    Respuesta: El área del jardín de flores será de aproximadamente 1743.3 m².

Fórmula del Perímetro de un Sector Circular

¿Qué es el Perímetro de un Sector Circular?

El perímetro de un sector circular es la suma de las longitudes de todos sus lados. Un sector circular tiene tres lados: dos radios y un arco.

Deducción de la Fórmula

Para calcular el perímetro de un sector circular, necesitamos sumar la longitud de los dos radios y la longitud del arco.

Los dos radios tienen la misma longitud, que es el radio del círculo (\(r\)). Entonces, la suma de los dos radios es \(2r\).

Calculando la Longitud del Arco

La longitud del arco se calcula en los siguientes pasos:

1. Primero, encuentra la circunferencia de todo el círculo: La circunferencia de un círculo completo es \( C = 2 \pi r \), donde \( r \) es el radio del círculo.
2. Luego, calcula qué fracción del círculo representa el sector: Para ello, dividimos el ángulo central (\( \alpha \)) del sector entre 360°, que es el ángulo de un círculo completo. La fracción será \( \frac{\alpha}{360°} \).
3. Finalmente, multiplica la circunferencia de todo el círculo por esta fracción: Esto nos dará la longitud del arco, que es la parte proporcional de la circunferencia. \[ L_\text{arco} = \frac{\alpha}{360°} \bullet 2 \pi r \]

Fórmula General del Perímetro de un Sector Circular

Sumando la longitud de los dos radios y la longitud del arco, obtenemos la fórmula general para el perímetro de un sector circular:

\[ P_\text{sector} = 2r + L_\text{arco} \] \[ P_\text{sector} = 2r + \frac{\alpha}{360°} \bullet 2 \pi r \]

Donde:

• \( P_\text{sector} \) es el perímetro del sector circular.
• \( r \) es el radio del círculo.
• \( L_\text{arco} \) es la longitud del arco.
• \( \alpha \) es el ángulo central del sector en grados.

Ejercicios y Problemas

Nivel 1: Aplicación Directa de la Fórmula

1. Calcula el perímetro de un sector circular con un ángulo central de 60° y un radio de 10 cm. (Usa \( \pi \approx 3.14 \)) Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Primero, calculamos la longitud del arco: \[ L_\text{arco} = \frac{60°}{360°} \bullet 2 \bullet 3.14 \bullet 10 = \frac{1}{6} \bullet 62.8 = 10.466... \] Luego, calculamos el perímetro: \[ P_\text{sector} = 2 \bullet 10 + 10.466... = 20 + 10.466... = 30.466... \]
   Respuesta: Perímetro ≈ 30.47 cm
2. Un sector circular tiene un ángulo central de 90° y un radio de 5 cm. Calcula su perímetro aproximado usando \( \pi \approx 3.14 \) y redondeando a dos decimales. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Primero, calculamos la longitud del arco: \[ L_\text{arco} = \frac{90°}{360°} \bullet 2 \bullet 3.14 \bullet 5 = \frac{1}{4} \bullet 31.4 = 7.85 \] Luego, calculamos el perímetro: \[ P_\text{sector} = 2 \bullet 5 + 7.85 = 10 + 7.85 = 17.85 \]
   Respuesta: Perímetro ≈ 17.85 cm
3. Calcula el perímetro de un sector circular con un ángulo central de 240° y un radio de 9 cm. Expresa el resultado en términos de \( \pi \). Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Primero, calculamos la longitud del arco: \[ L_\text{arco} = \frac{240°}{360°} \bullet 2 \bullet \pi \bullet 9 = \frac{2}{3} \bullet 18\pi = 12\pi \] Luego, calculamos el perímetro: \[ P_\text{sector} = 2 \bullet 9 + 12\pi = 18 + 12\pi \]
   Respuesta: Perímetro = \( 18 + 12\pi \) cm
4. Un sector circular tiene un ángulo central de \( \theta \)° y un radio de \( R \). Escribe la fórmula para calcular el perímetro del sector en términos de \( \theta \) y \( R \). Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   \[ P_\text{sector} = 2R + \frac{\theta}{360°} \bullet 2 \pi R \]
   Respuesta: \[ P_\text{sector} = 2R + \frac{\theta}{360°} \bullet 2 \pi R \]
5. Calcula el perímetro de un sector circular con un ángulo central de 120° y un radio de 6 cm. (Expresa el resultado en términos de \( \pi \)) Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Primero, calculamos la longitud del arco: \[ L_\text{arco} = \frac{120°}{360°} \bullet 2 \bullet \pi \bullet 6 = \frac{1}{3} \bullet 12 \pi = 4\pi \] Luego, calculamos el perímetro: \[ P_\text{sector} = 2 \bullet 6 + 4\pi = 12 + 4\pi \]
   Respuesta: Perímetro = \( 12 + 4\pi \) cm
6. Un sector circular tiene un ángulo central de 300° y un radio de 5 cm. Calcula su perímetro. Usa \( \pi \approx 3.14 \) y redondea a dos decimales. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Primero, calculamos la longitud del arco: \[ L_\text{arco} = \frac{300°}{360°} \bullet 2 \bullet 3.14 \bullet 5 = \frac{5}{6} \bullet 31.4 = 26.166... \] Luego, calculamos el perímetro: \[ P_\text{sector} = 2 \bullet 5 + 26.166... = 10 + 26.166... = 36.166... \]
   Respuesta: Perímetro ≈ 36.17 cm
7. Calcula el perímetro de un sector circular con un ángulo central de 75° y un radio de 4 cm. Usa \( \pi \approx 3.14 \) y redondea a dos decimales. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Primero, calculamos la longitud del arco: \[ L_\text{arco} = \frac{75°}{360°} \bullet 2 \bullet 3.14 \bullet 4 = \frac{5}{24} \bullet 25.12 = 5.2333... \] Luego, calculamos el perímetro: \[ P_\text{sector} = 2 \bullet 4 + 5.2333... = 8 + 5.2333... = 13.2333... \]
   Respuesta: Perímetro ≈ 13.23 cm
8. Un sector circular tiene un ángulo central de \( 2\alpha \)° y un radio de \( 3R \). Escribe la fórmula para calcular el perímetro del sector en términos de \( \alpha \) y \( R \). Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   \[ P_\text{sector} = 2 \bullet (3R) + \frac{2\alpha}{360°} \bullet 2 \pi (3R) = 6R + \frac{\alpha}{360°} \bullet 12 \pi R = 6R + \frac{\alpha}{30°} \bullet \pi R \]
   Respuesta: \[ P_\text{sector} = 6R + \frac{\alpha}{30°} \bullet \pi R \]

Nivel 2: Problemas Inversos

9. El perímetro de un sector circular es de 28 cm y su radio es de 8 cm. Calcula el ángulo central del sector. (Usa \( \pi \approx 3.14 \)) Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Primero, planteamos la ecuación del perímetro: \[ P_\text{sector} = 2r + \frac{\alpha}{360°} \bullet 2 \pi r \] \[ 28 = 2 \bullet 8 + \frac{\alpha}{360°} \bullet 2 \bullet 3.14 \bullet 8 \] \[ 28 = 16 + \frac{\alpha}{360°} \bullet 50.24 \] \[ 12 = \frac{\alpha}{360°} \bullet 50.24 \] \[ \alpha = \frac{12 \bullet 360°}{50.24} = 86.006... \]
   Respuesta: Ángulo central ≈ 86°
10. La longitud del arco de un sector circular es de 15.7 cm y el radio es de 10 cm. Calcula el ángulo central del sector. (Usa \( \pi \approx 3.14 \)) Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Usamos la fórmula de la longitud del arco: \[ L_\text{arco} = \frac{\alpha}{360°} \bullet 2 \pi r \] \[ 15.7 = \frac{\alpha}{360°} \bullet 2 \bullet 3.14 \bullet 10 \] \[ 15.7 = \frac{\alpha}{360°} \bullet 62.8 \] \[ \alpha = \frac{15.7 \bullet 360°}{62.8} = 90 \]
    Respuesta: Ángulo central = 90°
11. El perímetro de un sector circular es de \( 18 + 12\pi \) cm y su ángulo central es de 240°. Calcula el radio del círculo. Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Primero, planteamos la ecuación del perímetro: \[ P_\text{sector} = 2r + \frac{\alpha}{360°} \bullet 2 \pi r \] \[ 18 + 12\pi = 2r + \frac{240°}{360°} \bullet 2 \pi r \] \[ 18 + 12\pi = 2r + \frac{2}{3} \bullet 2 \pi r \] \[ 18 + 12\pi = 2r + \frac{4}{3} \pi r \] \[ 18 + 12\pi = r(2 + \frac{4}{3} \pi) \] \[ r = \frac{18 + 12\pi}{2 + \frac{4}{3} \pi} \] Podemos multiplicar el numerador y el denominador por 3 para simplificar: \[ r = \frac{54 + 36\pi}{6 + 4\pi} \] Y luego dividir por 2: \[ r = \frac{27 + 18\pi}{3 + 2\pi} = 9 \]
    Respuesta: r = 9 cm
12. La longitud del arco de un sector circular es de 5.23 cm y el radio es de 4 cm. Calcula el ángulo central del sector. (Usa \( \pi \approx 3.14 \) y redondea a 0 decimales) Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Usamos la fórmula de la longitud del arco: \[ L_\text{arco} = \frac{\alpha}{360°} \bullet 2 \pi r \] \[ 5.23 = \frac{\alpha}{360°} \bullet 2 \bullet 3.14 \bullet 4 \] \[ 5.23 = \frac{\alpha}{360°} \bullet 25.12 \] \[ \alpha = \frac{5.23 \bullet 360°}{25.12} = 74.96... \]
    Respuesta: Ángulo central ≈ 75°
13. El perímetro de un sector circular es de \( 8 + \frac{8}{3} \pi \) cm y su radio es de 4 cm. Calcula el ángulo central del sector. Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Primero, planteamos la ecuación del perímetro: \[ P_\text{sector} = 2r + \frac{\alpha}{360°} \bullet 2 \pi r \] \[ 8 + \frac{8}{3} \pi = 2 \bullet 4 + \frac{\alpha}{360°} \bullet 2 \pi (4) \] \[ 8 + \frac{8}{3} \pi = 8 + \frac{\alpha}{360°} \bullet 8 \pi \] \[ \frac{8}{3} \pi = \frac{\alpha}{360°} \bullet 8 \pi \] \[ \frac{1}{3} = \frac{\alpha}{360°} \] \[ \alpha = \frac{360°}{3} = 120 \]
    Respuesta: Ángulo central = 120°
14. La longitud del arco de un sector circular es de \( 4\pi \) cm y el radio es de 6 cm. Calcula el ángulo central del sector. Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Usamos la fórmula de la longitud del arco: \[ L_\text{arco} = \frac{\alpha}{360°} \bullet 2 \pi r \] \[ 4\pi = \frac{\alpha}{360°} \bullet 2 \bullet \pi \bullet 6 \] \[ 4 = \frac{\alpha}{360°} \bullet 12 \] \[ \alpha = \frac{4 \bullet 360°}{12} = 120 \]
    Respuesta: Ángulo central = 120°

Nivel 3: Problemas de Aplicación

17. Un aspersor de riego cubre un sector circular con un ángulo de 100° y un radio de alcance de 12 metros. Además del área regada, se quiere saber la longitud del borde exterior de la zona regada (longitud del arco). Usa \( \pi \approx 3.14 \) y redondea a un decimal. Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Calculamos la longitud del arco: \[ L_\text{arco} = \frac{100°}{360°} \bullet 2 \bullet 3.14 \bullet 12 = \frac{5}{18} \bullet 75.36 = 20.933... \]
    Respuesta: La longitud del arco es aproximadamente 20.9 m.
18. Un limpiaparabrisas de 30 cm de longitud se mueve describiendo un ángulo de 150°. ¿Cuál es la longitud del arco que describe el extremo del limpiaparabrisas? Expresa el resultado en términos de \( \pi \). Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Usamos la fórmula de la longitud del arco: \[ L_\text{arco} = \frac{150°}{360°} \bullet 2 \bullet \pi \bullet 30 = \frac{5}{12} \bullet 60 \pi = 25\pi \]
    Respuesta: La longitud del arco es de \( 25\pi \) cm.
19. Un faro proyecta un haz de luz que cubre un sector circular con un ángulo de 135°. Si el alcance del haz de luz es de 25 millas, ¿cuál es la longitud del borde exterior del área iluminada (longitud del arco)? Usa \( \pi \approx 3.14 \) y redondea a dos decimales. Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Calculamos la longitud del arco: \[ L_\text{arco} = \frac{135°}{360°} \bullet 2 \bullet 3.14 \bullet 25 = \frac{3}{8} \bullet 157 = 58.875 \]
    Respuesta: La longitud del arco es aproximadamente 58.88 millas.
20. Se quiere vallar una parcela de terreno que tiene forma de sector circular. El ángulo central es de 70° y el radio es de 50 metros. ¿Cuántos metros de valla se necesitan? Usa \( \pi \approx 3.14 \) y redondea a un decimal. Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Primero, calculamos la longitud del arco: \[ L_\text{arco} = \frac{70°}{360°} \bullet 2 \bullet 3.14 \bullet 50 = \frac{7}{36} \bullet 314 = 61.055... \] Luego, calculamos el perímetro: \[ P_\text{sector} = 2 \bullet 50 + 61.055... = 100 + 61.055... = 161.055... \]
    Respuesta: Se necesitan aproximadamente 161.1 metros de valla.
21. Una porción de pizza tiene forma de sector circular con un ángulo central de 50° y un radio de 20 cm. Además del área de la porción, se quiere saber la longitud de la corteza (longitud del arco). Expresa el resultado en términos de \( \pi \). Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Calculamos la longitud del arco: \[ L_\text{arco} = \frac{50°}{360°} \bullet 2 \bullet \pi \bullet 20 = \frac{5}{36} \bullet 40 \pi = \frac{50}{9} \pi \]
    Respuesta: La longitud de la corteza es de \( \frac{50}{9} \pi \) cm.
22. Un parque tiene forma de círculo con un radio de 50 metros. Se quiere destinar una sección del parque para un jardín de flores, con forma de sector circular y un ángulo central de 80°. Se quiere rodear el jardín de flores con una pequeña valla. ¿Cuál será la longitud de la valla? Usa \( \pi \approx 3.14 \) y redondea a un decimal. Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Primero, calculamos la longitud del arco: \[ L_\text{arco} = \frac{80°}{360°} \bullet 2 \bullet 3.14 \bullet 50 = \frac{2}{9} \bullet 314 = 69.777... \] Luego, calculamos el perímetro: \[ P_\text{sector} = 2 \bullet 50 + 69.777... = 100 + 69.777... = 169.777... \]
    Respuesta: La longitud de la valla será de aproximadamente 169.8 m.

Segmentos Circulares

¿Qué es un Segmento Circular?

Un segmento circular es una región de un círculo delimitada por una cuerda y el arco que subtiende dicha cuerda. En términos más sencillos, es como una "rebanada" de un círculo, pero en lugar de que el corte llegue al centro, se queda en una línea recta (la cuerda).

Relación entre Segmentos, Sectores y Triángulos

Para entender cómo calcular el área de un segmento circular, es fundamental relacionarlo con los conceptos de sector circular y triángulo.

Imagina un sector circular (como una rebanada de pizza). Si trazas una línea recta (una cuerda) uniendo los dos extremos del arco del sector, obtienes un triángulo. El área que queda entre la cuerda y el arco es el segmento circular.

Por lo tanto, podemos decir que: Área del segmento circular = Área del sector circular - Área del triángulo

Cálculo del Área de un Segmento Circular

Para calcular el área de un segmento circular, seguimos estos pasos:

1. Calcular el área del sector circular: Usamos la fórmula que ya conocemos: \[ A_\text{sector} = \frac{\alpha}{360°} \bullet \pi r^2 \] donde \( \alpha \) es el ángulo central del sector y \( r \) es el radio del círculo.
2. Calcular el área del triángulo: Esto dependerá del tipo de triángulo formado.
   • Si el ángulo central es de 90°, el triángulo es rectángulo y el área se calcula fácilmente como \(\frac{1}{2} \bullet \text{base} \bullet \text{altura}\), donde la base y la altura son iguales al radio.
   • Si el ángulo central es de 60°, el triángulo es equilátero, y se proporciona información adicional o se puede calcular con la fórmula \( A_\text{triangulo} = \frac{\sqrt{3}}{4} \bullet \text{lado}^2 \), donde el lado es igual al radio.
   • Para otros ángulos, se proporcionará la información necesaria para calcular el área del triángulo, como la base y la altura, o se darán indicaciones para aproximar el área.
3. Restar el área del triángulo al área del sector: \[ A_\text{segmento} = A_\text{sector} - A_\text{triangulo} \]

Ejemplo 1:

Supongamos que tenemos un sector circular con un ángulo central de 90° y un radio de 10 cm. La cuerda que une los extremos del arco forma un triángulo rectángulo con los dos radios.

1. Área del sector: \[ A_\text{sector} = \frac{90°}{360°} \bullet \pi \bullet (10)^2 = \frac{1}{4} \bullet 100\pi = 25\pi \text{ cm}^2 \]
2. Área del triángulo: \[ A_\text{triangulo} = \frac{1}{2} \bullet 10 \bullet 10 = 50 \text{ cm}^2 \]
3. Área del segmento: \[ A_\text{segmento} = 25\pi - 50 \text{ cm}^2 \]

Usando \(\pi \approx 3.14\) , el área del segmento circular es aproximadamente \(25 \bullet 3.14 - 50 = 28.5 \text{ cm}^2\)

Ejemplo 2:

Supongamos que tenemos un sector circular con un ángulo central de 60° y un radio de 6 cm. En este caso, el triángulo formado es equilátero.

1. Área del sector: \[ A_\text{sector} = \frac{60°}{360°} \bullet \pi \bullet (6)^2 = \frac{1}{6} \bullet 36\pi = 6\pi \text{ cm}^2 \]
2. Área del triángulo: \[ A_\text{triangulo} = \frac{\sqrt{3}}{4} \bullet 6^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \bullet 36 = 9\sqrt{3} \text{ cm}^2 \]
3. Área del segmento: \[ A_\text{segmento} = 6\pi - 9\sqrt{3} \text{ cm}^2 \]

Ejercicios de Cálculo del Área de Segmentos Circulares

Nivel 1: Aplicación Directa de la Fórmula

1. Calcula el área de un segmento circular con un ángulo central de 90° y un radio de 8 cm, si la cuerda que lo delimita junto con el arco forman un triangulo rectangulo de catetos iguales al radio. (Usa \( \pi \approx 3.14 \)) Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Área del sector: \[ A_\text{sector} = \frac{90°}{360°} \bullet 3.14 \bullet (8)^2 = \frac{1}{4} \bullet 3.14 \bullet 64 = 50.24 \text{ cm}^2 \] Área del triángulo: \[ A_\text{triangulo} = \frac{1}{2} \bullet 8 \bullet 8 = 32 \text{ cm}^2 \] Área del segmento: \[ A_\text{segmento} = 50.24 - 32 = 18.24 \text{ cm}^2 \] Respuesta: Área ≈ 18.24 cm²
2. Un segmento circular tiene un ángulo central de 60° y un radio de 10 cm. La cuerda que lo delimita junto con el arco forman un triangulo equilatero de lado igual al radio. Calcula su área aproximada usando \( \pi \approx 3.14 \) y redondeando a dos decimales. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Área del sector: \[ A_\text{sector} = \frac{60°}{360°} \bullet 3.14 \bullet (10)^2 = \frac{1}{6} \bullet 3.14 \bullet 100 = 52.333... \text{ cm}^2 \] Área del triángulo: \[ A_\text{triangulo} = \frac{\sqrt{3}}{4} \bullet 10^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \bullet 100 = 25\sqrt{3} \approx 43.30 \text{ cm}^2 \] Área del segmento: \[ A_\text{segmento} \approx 52.33 - 43.30 = 9.03 \text{ cm}^2 \] Respuesta: Área ≈ 9.03 cm²
3. Calcula el área de un segmento circular con un ángulo central de 120° y un radio de 6 cm. El triangulo formado por los radios y la cuerda tiene una altura de 3 cm. Expresa el resultado en términos de \( \pi \) y luego usa \( \pi \approx 3.14 \) y redondea a un decimal. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Área del sector: \[ A_\text{sector} = \frac{120°}{360°} \bullet \pi \bullet (6)^2 = \frac{1}{3} \bullet \pi \bullet 36 = 12\pi \text{ cm}^2 \] Área del triángulo: Se nos da la altura (h=3cm) y sabemos que la base es el radio (6 cm) \[ A_\text{triangulo} = \frac{1}{2} \bullet 6 \bullet 3 = 9 \text{ cm}^2 \] Área del segmento: \[ A_\text{segmento} = 12\pi - 9 \text{ cm}^2 \] Usando la aproximación y el redondeo: \[ A_\text{segmento} \approx 12(3.14) - 9 = 37.68 - 9 = 28.68 \text{ cm}^2 \] Respuesta: Área = \( 12\pi - 9 \) cm² ≈ 28.7 cm²
4. Un segmento circular tiene un ángulo central de \( \alpha \)° y un radio de \( R \). Escribe la fórmula para calcular el área del segmento en términos de \( \alpha \) y \( R \), la longitud de la cuerda que delimita el segemento es c y la altura del triangulo formado por la cuerda y los dos radios es h. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Área del sector: \[ A_\text{sector} = \frac{\alpha}{360°} \bullet \pi \bullet R^2 \] Área del triángulo: \[ A_\text{triangulo} = \frac{1}{2} \bullet R \bullet h \] Área del segmento: \[ A_\text{segmento} = \frac{\alpha}{360°} \bullet \pi \bullet R^2 - \frac{1}{2} \bullet R \bullet h\] Respuesta: \[ A_\text{segmento} = \frac{\alpha}{360°} \bullet \pi \bullet R^2 - \frac{1}{2} \bullet R \bullet h\]
5. Calcula el área de un segmento circular con un ángulo central de 180° y un radio de 5 cm. (Expresa el resultado en términos de \( \pi \)) Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Área del sector: \[ A_\text{sector} = \frac{180°}{360°} \bullet \pi \bullet (5)^2 = \frac{1}{2} \bullet \pi \bullet 25 = 12.5\pi \text{ cm}^2 \] Área del triángulo: El ángulo central de 180° indica que el segmento circular es un semicírculo. En este caso, el triángulo formado es un triángulo degenerado, donde la cuerda es un diámetro del círculo y la altura del triángulo es cero, por lo que el área del triángulo es cero \[ A_\text{triangulo} = 0 \] Área del segmento: \[ A_\text{segmento} = 12.5\pi - 0 = 12.5\pi \text{ cm}^2 \] Respuesta: Área = \( 12.5\pi \) cm²
6. Un segmento circular tiene un ángulo central de 270° y un radio de 7 cm. El triangulo formado por la cuerda y los dos radios es rectangulo. Calcula su área aproximada usando \( \pi \approx 3.14 \) y redondeando a dos decimales. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Área del sector: \[ A_\text{sector} = \frac{270°}{360°} \bullet 3.14 \bullet (7)^2 = \frac{3}{4} \bullet 3.14 \bullet 49 = 115.395 \text{ cm}^2 \] Área del triángulo: El ángulo central de 270° abarca las tres cuartas partes de un círculo. El triangulo es rectangulo con base y altura igual a al radio \[ A_\text{triangulo} = \frac{1}{2} \bullet 7 \bullet 7= 24.5 \text{ cm}^2 \] Área del segmento: \[ A_\text{segmento} = 115.395 +24.5 = 139.895 \text{ cm}^2 \] Respuesta: Área ≈ 139.90 cm²

Nivel 2: Problemas Inversos

7. El área de un segmento circular es de \( 10\pi - 25 \) cm² y su ángulo central es de 90°. El triangulo formado por la cuerda y los dos radios es rectangulo. Calcula el radio del círculo. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Sabemos que el área del segmento es la diferencia entre el área del sector y el área del triángulo. En este caso, el ángulo central es de 90°, lo que significa que el sector es un cuarto de círculo y el triángulo es rectángulo con catetos iguales al radio.
   Área del sector: \[ A_\text{sector} = \frac{90°}{360°} \bullet \pi \bullet r^2 = \frac{1}{4} \pi r^2 \] Área del triángulo: \[ A_\text{triangulo} = \frac{1}{2} \bullet r \bullet r = \frac{1}{2} r^2 \] Área del segmento: \[ A_\text{segmento} = A_\text{sector} - A_\text{triangulo} = \frac{1}{4} \pi r^2 - \frac{1}{2} r^2 \] Se nos da que el área del segmento es \( 10\pi - 25 \) cm². Entonces: \[ 10\pi - 25 = \frac{1}{4} \pi r^2 - \frac{1}{2} r^2 \] \[ 40\pi - 100 = \pi r^2 - 2r^2 \] \[ 40\pi - 100 = r^2 (\pi - 2) \] \[ r^2 = \frac{40\pi - 100}{\pi - 2} \] \[ r^2 = \frac{40(\pi - 2.5)}{\pi - 2} \approx 22.46 \] \[ r \approx \sqrt{22.46} \approx 4.74 \] Sin aproximar: \[ r = \sqrt{\frac{40(\pi - 2.5)}{\pi - 2}} \] \[ r = \sqrt{\frac{40\pi - 100}{\pi - 2}} \] \[ r = \sqrt{\frac{40(\pi - 2.5)}{\pi - 2}} \]
   Respuesta: \( r = \sqrt{\frac{40(\pi - 2.5)}{\pi - 2}} \) cm ≈ 4.74 cm
8. El área de un segmento circular es aproximadamente 4.09 cm² y su radio es de 3 cm, la altura del triangulo formado por la cuerda que delimita el segmento y los dos radios es de 2.25 cm . Calcula el ángulo central del sector. (Usa \( \pi \approx 3.14 \) y redondea a un decimal) Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Usamos la fórmula del área del segmento: \[ A_\text{segmento} = A_\text{sector} - A_\text{triangulo} \] \[ 4.09 = \frac{\alpha}{360°} \bullet 3.14 \bullet (3)^2 - \frac{1}{2} \bullet 3 \bullet 2.25 \] \[ 4.09 = \frac{\alpha}{360°} \bullet 28.26 - 3.375 \] \[ 7.465 = \frac{\alpha}{360°} \bullet 28.26 \] \[ \alpha = \frac{7.465 \bullet 360°}{28.26} \approx 95.2 \]
   Respuesta: Ángulo central ≈ 95.2°
9. El área de un segmento circular es de \( 24 - \frac{9\sqrt{3}}{2} \) cm² y el ángulo central es de 60°. Calcula el radio del círculo. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Usamos la fórmula del área del segmento: \[ A_\text{segmento} = A_\text{sector} - A_\text{triangulo} \] El área del sector es: \[ A_\text{sector} = \frac{60°}{360°} \bullet \pi \bullet r^2 = \frac{1}{6} \pi r^2 \] El área del triángulo, al ser un triángulo equilátero con lados iguales al radio, es: \[ A_\text{triangulo} = \frac{\sqrt{3}}{4} r^2 \] Sustituyendo en la fórmula del área del segmento: \[ 24 - \frac{9\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{6} \pi r^2 - \frac{\sqrt{3}}{4} r^2 \] \[ 24 - \frac{9\sqrt{3}}{2} = r^2 \left( \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4} \right) \] \[ r^2 = \frac{24 - \frac{9\sqrt{3}}{2}}{\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}} \approx 36 \] \[ r = \sqrt{36} = 6 \]
   Respuesta: r = 6 cm
10. El área de un segmento circular es aproximadamente 4.19 cm² y su radio es de 2 cm. Calcula el ángulo central del sector. (Usa \( \pi \approx 3.14 \) y asume que la cuerda es igual al radio) Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    \[ A_\text{segmento} = A_\text{sector} - A_\text{triangulo} \] Si la cuerda es igual al radio, el triangulo es equilatero y su area es: \[ A_\text{triangulo} = \frac{\sqrt{3}}{4} \bullet 2^2 = \sqrt{3} \] \[ 4.19 = \frac{\alpha}{360°} \bullet 3.14 \bullet (2)^2 - \sqrt{3} \] \[ 4.19 + \sqrt{3} = \frac{\alpha}{360°} \bullet 12.56 \] \[\alpha = \frac{(4.19 + \sqrt{3}) \bullet 360°}{12.56} \]
    Suponiendo que la cuerda es igual al radio, entonces el triangulo es equilatero y el angulo es 60°
    Respuesta: Ángulo central = 60°

Nivel 3: Problemas de Aplicación

17. Se quiere construir una ventana con forma de segmento circular. El ángulo central del sector circular correspondiente es de 90° y el radio del círculo es de 1 metro. Si el costo del material es proporcional al área, calcula el área del segmento circular para estimar el costo del material. (Usa \( \pi \approx 3.14 \) y asume que la cuerda es igual a la raiz cuadrada de 2 multiplicado por el radio, y redondea a dos decimales). Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Área del sector: \[ A_\text{sector} = \frac{90°}{360°} \bullet 3.14 \bullet (1)^2 = \frac{1}{4} \bullet 3.14 = 0.785 \text{ m}^2 \] Área del triángulo: \[ A_\text{triangulo} = \frac{1}{2} \bullet 1 \bullet 1 = 0.5 \text{ m}^2 \] Área del segmento: \[ A_\text{segmento} = 0.785 - 0.5 = 0.285 \text{ m}^2 \]
    Respuesta: El área del segmento circular es aproximadamente 0.29 m².
18. Un logotipo tiene la forma de un segmento circular con un ángulo central de 120° y un radio de 5 cm. Calcula el área del logotipo. (Expresa el resultado en términos de \( \pi \) y luego usa 3.14 y redondea a un decimal). Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Área del sector: \[ A_\text{sector} = \frac{120°}{360°} \bullet \pi \bullet (5)^2 = \frac{1}{3} \bullet 25\pi = \frac{25}{3}\pi \text{ cm}^2 \] Área del triángulo: Se nos da la altura. La base del triangulo es igual al radio. \[ A_\text{triangulo} = \frac{1}{2} \bullet 5 \bullet 5\sqrt{3}/2 = \frac{25\sqrt{3}}{4} \text{ cm}^2 \] Área del segmento: \[ A_\text{segmento} = \frac{25}{3}\pi - \frac{25\sqrt{3}}{4} \text{ cm}^2 \] Usando la aproximación y redondeando: \[ A_\text{segmento} \approx \frac{25}{3}(3.14) - \frac{25(1.73)}{4} = 26.17 - 10.81 = 15.36 \text{ cm}^2 \]
    Respuesta: El área del logotipo es aproximadamente \( \frac{25}{3}\pi - \frac{25\sqrt{3}}{4} \) cm² ≈ 15.4 cm².
19. Un espejo en forma de segmento circular tiene un ángulo central de 60° y un radio de 12 cm. Calcula el área del espejo. (Expresa el resultado en términos de \( \pi \)) Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Área del sector: \[ A_\text{sector} = \frac{60°}{360°} \bullet \pi \bullet (12)^2 = \frac{1}{6} \bullet 144\pi = 24\pi \text{ cm}^2 \] Área del triángulo: Al ser el ángulo de 60°, el triángulo formado es equilátero. \[ A_\text{triangulo} = \frac{\sqrt{3}}{4} \bullet 12^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \bullet 144 = 36\sqrt{3} \text{ cm}^2 \] Área del segmento: \[ A_\text{segmento} = 24\pi - 36\sqrt{3} \text{ cm}^2 \]
    Respuesta: El área del espejo es \( 24\pi - 36\sqrt{3} \) cm².
20. Una mesa tiene una superficie en forma de segmento circular con un ángulo central de 90° y un radio de 80 cm. Se quiere barnizar la superficie de la mesa. Calcula la cantidad de barniz necesaria, sabiendo que 1 litro de barniz cubre 10 m² (10000 cm²). (Usa \( \pi \approx 3.14 \) y redondea a tres decimales). Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Área del sector: \[ A_\text{sector} = \frac{90°}{360°} \bullet 3.14 \bullet (80)^2 = \frac{1}{4} \bullet 3.14 \bullet 6400 = 5024 \text{ cm}^2 \] Área del triángulo: \[ A_\text{triangulo} = \frac{1}{2} \bullet 80 \bullet 80 = 3200 \text{ cm}^2 \] Área del segmento: \[ A_\text{segmento} = 5024 - 3200 = 1824 \text{ cm}^2 \] Cantidad de barniz necesaria: \[ \text{Barniz} = \frac{1824}{10000} = 0.1824 \text{ litros} \]
    Respuesta: Se necesitan aproximadamente 0.182 litros de barniz.

Perímetro de un Segmento Circular

El perímetro de un segmento circular se calcula sumando la longitud del arco que lo delimita y la longitud de la cuerda que forma la base del segmento.

Perímetro del segmento circular = Longitud del arco + Longitud de la cuerda

Ya sabemos cómo calcular la longitud del arco: \[ L_\text{arco} = \frac{\alpha}{360°} \bullet 2 \pi r \] Para la longitud de la cuerda, en casos donde no se puede usar trigonometria, se puede dar como aproximación la siguiente formula, donde h es la altura del triangulo asociado al segmento circular. \[ c = \sqrt{2h(2r - h)} \]

Ejemplo

Considera un segmento circular con un ángulo central de 60° y un radio de 10 cm.

Longitud del arco: \[ L_\text{arco} = \frac{60°}{360°} \bullet 2 \bullet \pi \bullet 10 = \frac{1}{6} \bullet 20\pi = \frac{10}{3}\pi \text{ cm} \]

Longitud de la cuerda: Dado que el ángulo es de 60 grados, el triángulo es equilátero, por lo que la cuerda es igual al radio. \[ c = 10 \text{ cm} \]

Perímetro del segmento: \[ P_\text{segmento} = \frac{10}{3}\pi + 10 \text{ cm} \]

Ejercicios de Cálculo del Perímetro de Segmentos Circulares

Nivel 1: Aplicación Directa de la Fórmula

1. Calcula el perímetro de un segmento circular con un ángulo central de 60° y un radio de 10 cm. (Usa \( \pi \approx 3.14 \), considera que la cuerda tiene la misma longitud que el radio) Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Longitud del arco: \[ L_\text{arco} = \frac{60°}{360°} \bullet 2 \bullet 3.14 \bullet 10 = \frac{1}{6} \bullet 62.8 = 10.47 \text{ cm} \] Longitud de la cuerda: Al ser el triangulo equilatero, la cuerda es igual al radio \[ c = 10 \text{ cm} \] Perímetro del segmento: \[ P_\text{segmento} = 10.47 + 10 = 20.47 \text{ cm} \]
   Respuesta: Perímetro ≈ 20.47 cm
2. Un segmento circular tiene un ángulo central de 90° y un radio de 5 cm. Calcula su perímetro aproximado usando \( \pi \approx 3.14 \) y redondeando a dos decimales. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Longitud del arco: \[ L_\text{arco} = \frac{90°}{360°} \bullet 2 \bullet 3.14 \bullet 5 = \frac{1}{4} \bullet 31.4 = 7.85 \text{ cm} \] Longitud de la cuerda: En este caso asumimos que la cuerda es \( c = \sqrt{2 \bullet 5^2} = \sqrt{50} \approx 7.07 \text{ cm} \) Perímetro del segmento: \[ P_\text{segmento} \approx 7.85 + 7.07 = 14.92 \text{ cm} \]
   Respuesta: Perímetro ≈ 14.92 cm
3. Calcula el perímetro de un segmento circular con un ángulo central de 120° y un radio de 8 cm. La altura del triangulo formado por los radios y la cuerda que delimita el segmento es de 4 cm . Expresa el resultado en términos de \( \pi \). Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Longitud del arco: \[ L_\text{arco} = \frac{120°}{360°} \bullet 2 \bullet \pi \bullet 8 = \frac{1}{3} \bullet 16\pi = \frac{16}{3}\pi \text{ cm} \] Longitud de la cuerda: se aproxima usando la altura del triangulo asociado (4 cm) \[ c = \sqrt{2 \bullet 4 \bullet (2 \bullet 8 - 4)} = \sqrt{8 \bullet 12} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6} \text{ cm} \] Perímetro del segmento: \[ P_\text{segmento} = \frac{16}{3}\pi + 4\sqrt{6} \text{ cm} \]
   Respuesta: Perímetro = \( \frac{16}{3}\pi + 4\sqrt{6} \) cm
4. Un segmento circular tiene un ángulo central de \( \alpha \)° y un radio de \( R \). Escribe la fórmula para calcular el perímetro del segmento en términos de \( \alpha \) y \( R \), la altura del triangulo formado por la cuerda y los radios es h. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Longitud del arco: \[ L_\text{arco} = \frac{\alpha}{360°} \bullet 2 \pi R \] Longitud de la cuerda: se aproxima usando la altura h \[ c \approx \sqrt{2h(2R - h)} \] Perímetro del segmento: \[ P_\text{segmento} = \frac{\alpha}{360°} \bullet 2 \pi R + \sqrt{2h(2R - h)} \]
   Respuesta: \[ P_\text{segmento} = \frac{\alpha}{360°} \bullet 2 \pi R + \sqrt{2h(2R - h)} \]
5. Calcula el perímetro de un segmento circular con un ángulo central de 180° y un radio de 7 cm. (Expresa el resultado en términos de \( \pi \)) Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Longitud del arco: \[ L_\text{arco} = \frac{180°}{360°} \bullet 2 \bullet \pi \bullet 7 = \frac{1}{2} \bullet 14\pi = 7\pi \text{ cm} \] Longitud de la cuerda: Cuando el ángulo central es 180°, la cuerda es un diámetro. \[ c = 2 \bullet 7 = 14 \text{ cm} \] Perímetro del segmento: \[ P_\text{segmento} = 7\pi + 14 \text{ cm} \]
   Respuesta: Perímetro = \( 7\pi + 14 \) cm
6. Un segmento circular tiene un ángulo central de 90° y un radio de 4 cm. Calcula su perímetro aproximado usando \( \pi \approx 3.14 \) y redondeando a dos decimales. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Longitud del arco: \[ L_\text{arco} = \frac{90°}{360°} \bullet 2 \bullet 3.14 \bullet 4 = \frac{1}{4} \bullet 25.12 = 6.28 \text{ cm} \] Longitud de la cuerda: Asumimos que es el cateto de un triangulo rectangulo de lados iguales al radio. \[ c = \sqrt{2 \bullet 4^2} = \sqrt{32} \approx 5.66 \text{ cm} \] Perímetro del segmento: \[ P_\text{segmento} \approx 6.28 + 5.66 = 11.94 \text{ cm} \]
   Respuesta: Perímetro ≈ 11.94 cm

Nivel 2: Problemas Inversos

15. El perímetro de un segmento circular es de 51.4 cm y su radio es de 15 cm. El triangulo asociado es rectangulo isosceles de catetos iguales al radio. Calcula el ángulo central del sector. (Usa \( \pi \approx 3.14 \) y redondea a un decimal). Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Longitud de la cuerda: Al ser un triangulo rectangulo isosceles la cuerda se calcula como: \[ c = \sqrt{2 \bullet 15^2} = 15\sqrt{2} \approx 21.2 \text{ cm} \]
    \[ P_\text{segmento} = L_\text{arco} + c \] \[ 51.4 = \frac{\alpha}{360°} \bullet 2 \bullet 3.14 \bullet 15 + 21.2 \] \[ 30.2 = \frac{\alpha}{360°} \bullet 94.2 \] \[ \alpha = \frac{30.2 \bullet 360°}{94.2} \approx 115.2 \]
    Respuesta: Ángulo central ≈ 115.2°
16. La longitud del arco de un segmento circular es de 23.55 cm y el radio es de 15 cm. Calcula el ángulo central del sector. (Usa \( \pi \approx 3.14 \) y redondea a un decimal). Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Usamos la fórmula de la longitud del arco: \[ L_\text{arco} = \frac{\alpha}{360°} \bullet 2 \pi r \] \[ 23.55 = \frac{\alpha}{360°} \bullet 2 \bullet 3.14 \bullet 15 \] \[ 23.55 = \frac{\alpha}{360°} \bullet 94.2 \] \[ \alpha = \frac{23.55 \bullet 360°}{94.2} = 90 \]
    Respuesta: Ángulo central = 90.0°
17. El perímetro de un segmento circular es de \( 20 + \frac{8\pi}{3} \) cm y su ángulo central es de 120°. Calcula el radio del círculo. Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Primero, planteamos la ecuación del perímetro: \[ P_\text{segmento} = 2r + \frac{\alpha}{360°} \bullet 2 \pi r \] \[ 20 + \frac{8\pi}{3} = 2r + \frac{120°}{360°} \bullet 2 \pi r \] \[ 20 + \frac{8\pi}{3} = 2r + \frac{1}{3} \bullet 2 \pi r \] \[ 20 + \frac{8\pi}{3} = 2r + \frac{2\pi}{3} r \] \[ 20 + \frac{8\pi}{3} = r(2 + \frac{2\pi}{3}) \] \[ r = \frac{20 + \frac{8\pi}{3}}{2 + \frac{2\pi}{3}} \] Simplificando: \[ r = \frac{60 + 8\pi}{6 + 2\pi} = \frac{30 + 4\pi}{3 + \pi} \] \[ r = \frac{4(7.5 + \pi)}{3 + \pi} \]
    Respuesta: \( r = \frac{4(7.5 + \pi)}{3 + \pi} \) cm

Nivel 3: Problemas de Aplicación

18. Un limpiaparabrisas de 25 cm de longitud se mueve describiendo un ángulo de 150°. La altura del triangulo asociado es de 12.5 cm ¿Cuál es el perímetro de la región que limpia el limpiaparabrisas? Usa \( \pi \approx 3.14 \) y redondea a un decimal. Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Longitud del arco: \[ L_\text{arco} = \frac{150°}{360°} \bullet 2 \bullet 3.14 \bullet 25 = \frac{5}{12} \bullet 157 = 65.42 \text{ cm} \] Longitud de la cuerda: se aproxima usando la altura \[ c = \sqrt{2 \bullet 12.5 \bullet (2 \bullet 25 - 12.5)} = \sqrt{25 \bullet 37.5} = \sqrt{937.5} \approx 30.6 \text{ cm} \] Perímetro del segmento: \[ P_\text{segmento} \approx 65.42 + 30.6 = 96.02 \text{ cm} \]
    Respuesta: El perímetro es aproximadamente 96.0 cm
19. Se quiere cercar un jardín con forma de segmento circular. El ángulo central del sector es de 75° y el radio es de 15 metros. ¿Cuántos metros de cerca se necesitan? Usa \( \pi \approx 3.14 \) y redondea a un decimal. Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Longitud del arco: \[ L_\text{arco} = \frac{75°}{360°} \bullet 2 \bullet 3.14 \bullet 15 = \frac{5}{24} \bullet 94.2 = 19.625 \text{ m} \] Longitud de la cuerda: se proporciona como dato, 28 metros Perímetro del segmento: \[ P_\text{segmento} = 19.625 + 28 = 47.625 \text{ m} \]
    Respuesta: Se necesitan aproximadamente 47.6 metros de cerca.
20. Calcula el perímetro de un banderín que tiene forma de segmento circular con un ángulo central de 100° y un radio de 20 cm. La cuerda que delimita el segmento mide 30.6 cm. Usa \( \pi \approx 3.14 \) y redondea a un decimal. Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Longitud del arco: \[ L_\text{arco} = \frac{100°}{360°} \bullet 2 \bullet 3.14 \bullet 20 = \frac{5}{18} \bullet 125.6 = 34.888... \text{ cm} \] Longitud de la cuerda: se da como dato, 30.6 cm Perímetro del segmento: \[ P_\text{segmento} \approx 34.89 + 30.6 = 65.49 \text{ cm} \]
    Respuesta: El perímetro del banderín es aproximadamente 65.5 cm.
21. Se quiere construir un espejo en forma de segmento circular. El ángulo central del sector circular correspondiente es de 60° y el radio del círculo es de 80 cm. ¿Cuál es el perímetro del espejo? (Expresa el resultado en términos de \( \pi \)) Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Longitud del arco: \[ L_\text{arco} = \frac{60°}{360°} \bullet 2 \bullet \pi \bullet 80 = \frac{1}{6} \bullet 160\pi = \frac{80}{3}\pi \text{ cm} \] Longitud de la cuerda: Al ser el ángulo de 60°, la cuerda es igual al radio. \[ c = 80 \text{ cm} \] Perímetro del segmento: \[ P_\text{segmento} = \frac{80}{3}\pi + 80 \text{ cm} \]
    Respuesta: El perímetro del espejo es \( \frac{80}{3}\pi + 80 \) cm.