CAPITULO 8 SECTORES DE CÍRCULO
| Sitio: | MATEMÁTICAS × Profe Arauco |
| Curso: | Media 1 |
| Libro: | CAPITULO 8 SECTORES DE CÍRCULO |
| Imprimido por: | Invitado |
| Día: | jueves, 23 de julio de 2026, 20:04 |
Tabla de contenidos
- 1. 1. Círculo, circunferencia y elementos (cc)
- 2. 2. Longitud de circunferencia y área del círculo (cc)
- 3. 3. Sectores circulares como fracción del círculo (cc)
- 4. 4. Longitud de arco en sectores circulares (cc)
- 5. 5. Área de un sector circular (cc)
- 6. 6. Perímetro de un sector circular (cc)
- 7. 7. Problemas mixtos y segmento circular (cc)
1. 1. Círculo, circunferencia y elementos (cc)
Círculo, circunferencia y elementos principales
Objetivos
- Distinguir entre círculo y circunferencia.
- Reconocer radio, diámetro, cuerda, arco y sector circular.
- Usar un lenguaje geométrico preciso antes de aplicar fórmulas.
Dos ideas que no son lo mismo
El círculo es la región completa: incluye todos los puntos que están a distancia menor o igual que el radio desde el centro.
La circunferencia es solamente el borde del círculo: contiene los puntos que están exactamente a distancia \(r\) del centro.
Cuidado con el lenguaje
No diremos "área de una circunferencia". La circunferencia tiene longitud; el círculo tiene área.
Elementos principales
- Centro: punto fijo desde donde se mide el radio.
- Radio: segmento que une el centro con un punto de la circunferencia.
- Diámetro: cuerda que pasa por el centro. Mide \(d=2r\).
- Cuerda: segmento que une dos puntos de la circunferencia.
- Arco: parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos.
- Sector circular: región limitada por dos radios y un arco.
Representación
En la figura, \(O\) es el centro. El segmento \(OA\) es un radio, \(BC\) es una cuerda y el sector sombreado está limitado por dos radios y un arco.
Ejemplo: clasificar segmentos
Si \(O\) es el centro y \(A\) está en la circunferencia, entonces \(OA\) es un radio.
Si \(D\) y \(A\) están en la circunferencia y el segmento \(DA\) pasa por \(O\), entonces \(DA\) es un diámetro.
Si \(B\) y \(C\) están en la circunferencia, pero \(BC\) no pasa por el centro, entonces \(BC\) es una cuerda.
Ejercicio 1
Completa con "círculo" o "circunferencia".
- La longitud del borde corresponde a la __________.
- La región interior completa corresponde al __________.
- La zona que se pinta en una tapa circular corresponde al __________.
1. Circunferencia, porque se habla del borde.
2. Círculo, porque se habla de la región completa.
3. Círculo, porque pintar una tapa implica cubrir superficie.
Ejercicio 2
Una circunferencia tiene radio \(7\text{ cm}\). Determina la longitud del diámetro.
El diámetro mide el doble del radio:
\[ d=2r=2\cdot 7=14 \]
Por lo tanto, el diámetro mide \(14\text{ cm}\).
2. 2. Longitud de circunferencia y área del círculo (cc)
Longitud de la circunferencia y área del círculo
Objetivos
- Calcular la longitud de una circunferencia a partir del radio o del diámetro.
- Calcular el área de un círculo.
- Distinguir entre respuesta exacta y respuesta aproximada.
Exacto y aproximado
Cuando dejamos \(\pi\) escrito, obtenemos un valor exacto. Cuando reemplazamos \(\pi\) por \(3\), \(3.14\), \(3.1416\) o \(\frac{22}{7}\), obtenemos un valor aproximado.
Ambas respuestas pueden ser correctas, pero responden a necesidades distintas.
Fórmulas principales
Si \(r\) es el radio y \(d\) es el diámetro, entonces:
\[ C=2\pi r \qquad \text{y} \qquad C=\pi d \]
\[ A=\pi r^2 \]
Error frecuente
La expresión \(2\pi r\) calcula una longitud. La expresión \(\pi r^2\) calcula un área. No se deben intercambiar.
Ejemplo 1: respuesta exacta
Un círculo tiene radio \(6\text{ cm}\). Calculemos la longitud de su circunferencia y su área.
\[ C=2\pi r=2\pi\cdot 6=12\pi \]
\[ A=\pi r^2=\pi\cdot 6^2=36\pi \]
La longitud es \(12\pi\text{ cm}\) y el área es \(36\pi\text{ cm}^2\).
Ejemplo 2: respuesta aproximada
Si usamos \(\pi\approx 3.14\), entonces:
\[ C=12\pi\approx 12\cdot 3.14=37.68 \]
\[ A=36\pi\approx 36\cdot 3.14=113.04 \]
La longitud aproximada es \(37.68\text{ cm}\) y el área aproximada es \(113.04\text{ cm}^2\).
Ejercicio 1
Un círculo tiene radio \(4\text{ m}\). Calcula \(C\) y \(A\) en forma exacta.
\[ C=2\pi r=2\pi\cdot 4=8\pi \]
\[ A=\pi r^2=\pi\cdot 4^2=16\pi \]
La longitud es \(8\pi\text{ m}\) y el área es \(16\pi\text{ m}^2\).
Ejercicio 2
Una circunferencia tiene diámetro \(15\text{ cm}\). Calcula su longitud aproximada usando \(\pi\approx 3.14\).
Como se conoce el diámetro, usamos \(C=\pi d\).
\[ C\approx 3.14\cdot 15=47.1 \]
La longitud aproximada es \(47.1\text{ cm}\).
Ejercicio 3
El área de un círculo es \(49\pi\text{ cm}^2\). Determina su radio y su diámetro.
Usamos \(A=\pi r^2\):
\[ 49\pi=\pi r^2 \]
\[ 49=r^2 \]
\[ r=7 \]
Entonces \(d=2r=14\). El radio es \(7\text{ cm}\) y el diámetro es \(14\text{ cm}\).
3. 3. Sectores circulares como fracción del círculo (cc)
Sector circular como fracción del círculo
Objetivos
- Relacionar el ángulo central con la fracción del círculo que ocupa un sector.
- Determinar ángulos centrales en divisiones iguales del círculo.
- Preparar la idea proporcional que se usará en arcos y áreas.
La idea central
Un círculo completo corresponde a \(360^\circ\). Por eso, un sector de ángulo central \(\alpha\) representa la fracción:
\[ \frac{\alpha}{360^\circ} \]
del círculo completo.
Fracción de un sector
Si el ángulo central de un sector es \(\alpha\), entonces:
\[ \text{fraccion del circulo}=\frac{\alpha}{360^\circ} \]
Visualización
El sector sombreado tiene ángulo central de \(90^\circ\). Como \(90^\circ\) es la cuarta parte de \(360^\circ\), el sector representa \(\frac{1}{4}\) del círculo.
Ejemplo: sectores iguales
Si un círculo se divide en \(6\) sectores iguales, cada sector tiene ángulo central:
\[ \frac{360^\circ}{6}=60^\circ \]
Cada sector representa:
\[ \frac{60^\circ}{360^\circ}=\frac{1}{6} \]
del círculo.
Ejercicio 1
Determina qué fracción del círculo representa cada sector:
- \(180^\circ\)
- \(120^\circ\)
- \(45^\circ\)
\[ \frac{180^\circ}{360^\circ}=\frac{1}{2} \]
\[ \frac{120^\circ}{360^\circ}=\frac{1}{3} \]
\[ \frac{45^\circ}{360^\circ}=\frac{1}{8} \]
Ejercicio 2
Un círculo se divide en \(n\) sectores iguales. Escribe el ángulo central de cada sector.
Como el círculo completo tiene \(360^\circ\), al dividirlo en \(n\) partes iguales se obtiene:
\[ \alpha=\frac{360^\circ}{n} \]
4. 4. Longitud de arco en sectores circulares (cc)
Longitud de arco
Objetivos
- Comprender que un arco es una parte de la circunferencia.
- Calcular longitudes de arco usando proporcionalidad.
- Distinguir entre longitud de arco y perímetro del sector.
Arco como parte del borde
La longitud de arco no mide una región. Mide solo una parte del borde curvo de la circunferencia.
Si el sector ocupa la fracción \(\frac{\alpha}{360^\circ}\) del círculo, entonces su arco ocupa esa misma fracción de la circunferencia.
Fórmula de longitud de arco
Si \(r\) es el radio y \(\alpha\) el ángulo central en grados, entonces:
\[ L=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2\pi r \]
Visualización
El tramo destacado es un arco. Observa que no incluye los radios.
Ejemplo: arco de \(90^\circ\)
Un arco pertenece a una circunferencia de radio \(8\text{ cm}\) y tiene ángulo central de \(90^\circ\).
\[ L=\frac{90^\circ}{360^\circ}\cdot 2\pi\cdot 8 \]
\[ L=\frac{1}{4}\cdot 16\pi=4\pi \]
La longitud del arco es \(4\pi\text{ cm}\).
Ejercicio 1
Calcula la longitud de un arco de \(60^\circ\) en una circunferencia de radio \(12\text{ cm}\). Da la respuesta exacta.
\[ L=\frac{60^\circ}{360^\circ}\cdot 2\pi\cdot 12 \]
\[ L=\frac{1}{6}\cdot 24\pi=4\pi \]
La longitud del arco es \(4\pi\text{ cm}\).
Ejercicio 2
Un arco mide \(10\pi\text{ m}\) y pertenece a una circunferencia de radio \(15\text{ m}\). Determina el ángulo central.
Usamos la fórmula:
\[ 10\pi=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2\pi\cdot 15 \]
\[ 10\pi=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot 30\pi \]
Dividimos por \(30\pi\):
\[ \frac{10}{30}=\frac{\alpha}{360^\circ} \]
\[ \frac{1}{3}=\frac{\alpha}{360^\circ} \]
\[ \alpha=120^\circ \]
5. 5. Área de un sector circular (cc)
Área de un sector circular
Objetivos
- Interpretar el sector como una fracción del círculo.
- Calcular el área de un sector circular.
- Resolver problemas directos e inversos con área de sector.
La misma fracción, ahora aplicada al área
Si un sector ocupa \(\frac{\alpha}{360^\circ}\) del círculo, entonces su área es esa misma fracción del área total.
Fórmula del área de sector
Si \(r\) es el radio y \(\alpha\) el ángulo central en grados, entonces:
\[ A_{\text{sector}}=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot \pi r^2 \]
Visualización
El sector sombreado representa una parte del área total del círculo.
Ejemplo: sector de \(120^\circ\)
Un sector tiene radio \(6\text{ cm}\) y ángulo central de \(120^\circ\).
\[ A_{\text{sector}}=\frac{120^\circ}{360^\circ}\cdot \pi\cdot 6^2 \]
\[ A_{\text{sector}}=\frac{1}{3}\cdot 36\pi=12\pi \]
El área del sector es \(12\pi\text{ cm}^2\).
Ejercicio 1
Calcula el área de un sector de radio \(10\text{ m}\) y ángulo central \(72^\circ\). Da la respuesta exacta.
\[ A_{\text{sector}}=\frac{72^\circ}{360^\circ}\cdot \pi\cdot 10^2 \]
\[ A_{\text{sector}}=\frac{1}{5}\cdot 100\pi=20\pi \]
El área es \(20\pi\text{ m}^2\).
Ejercicio 2
Un sector tiene área \(18\pi\text{ cm}^2\) y radio \(9\text{ cm}\). Determina su ángulo central.
\[ 18\pi=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot \pi\cdot 9^2 \]
\[ 18\pi=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot 81\pi \]
Dividimos por \(81\pi\):
\[ \frac{18}{81}=\frac{\alpha}{360^\circ} \]
\[ \frac{2}{9}=\frac{\alpha}{360^\circ} \]
\[ \alpha=80^\circ \]
6. 6. Perímetro de un sector circular (cc)
Perímetro de un sector circular
Objetivos
- Reconocer las partes que forman el borde de un sector circular.
- Calcular el perímetro de un sector a partir del radio y el ángulo central.
- Distinguir entre arco, área y perímetro del sector.
El borde del sector tiene tres partes
El perímetro de un sector circular no es solo el arco. Está formado por dos radios y el arco comprendido entre ellos.
Fórmula del perímetro
Primero calculamos la longitud del arco:
\[ L=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2\pi r \]
Luego sumamos los dos radios:
\[ P_{\text{sector}}=2r+L \]
Error frecuente
Si el problema pide cercar, bordear o rodear un sector, se debe sumar el arco y los dos radios.
Visualización
El borde del sector incluye los dos segmentos rectos y el arco curvo.
Ejemplo: calcular arco y luego perímetro
Un sector tiene radio \(10\text{ cm}\) y ángulo central \(60^\circ\).
Calculamos primero el arco:
\[ L=\frac{60^\circ}{360^\circ}\cdot 2\pi\cdot 10 \]
\[ L=\frac{1}{6}\cdot 20\pi=\frac{10\pi}{3} \]
Luego, el perímetro:
\[ P_{\text{sector}}=2r+L=20+\frac{10\pi}{3} \]
Ejercicio 1
Calcula el perímetro exacto de un sector de radio \(6\text{ cm}\) y ángulo central \(90^\circ\).
Primero calculamos el arco:
\[ L=\frac{90^\circ}{360^\circ}\cdot 2\pi\cdot 6=\frac{1}{4}\cdot 12\pi=3\pi \]
Luego sumamos dos radios:
\[ P_{\text{sector}}=2\cdot 6+3\pi=12+3\pi \]
El perímetro es \(12+3\pi\text{ cm}\).
Ejercicio 2
Un sector tiene radio \(5\text{ m}\) y longitud de arco \(4\pi\text{ m}\). Determina su perímetro.
El perímetro del sector es:
\[ P_{\text{sector}}=2r+L \]
\[ P_{\text{sector}}=2\cdot 5+4\pi=10+4\pi \]
El perímetro es \(10+4\pi\text{ m}\).
7. 7. Problemas mixtos y segmento circular (cc)
Problemas mixtos y segmento circular
Objetivos
- Elegir la fórmula adecuada según lo que pide el problema.
- Resolver problemas que combinan arco, área y perímetro de sectores.
- Comprender el segmento circular como extensión del estudio de sectores.
Antes de calcular, decide qué se pide
- Si se pide borde curvo, se pide longitud de arco.
- Si se pide superficie cubierta, se pide área.
- Si se pide cercar o rodear el sector completo, se pide perímetro.
Resumen de fórmulas
\[ L=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2\pi r \]
\[ A_{\text{sector}}=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot \pi r^2 \]
\[ P_{\text{sector}}=2r+L \]
Ejemplo mixto: aspersor
Un aspersor riega un sector circular de radio \(12\text{ m}\) y ángulo central \(100^\circ\).
Si se pregunta por la superficie regada, calculamos área:
\[ A_{\text{sector}}=\frac{100^\circ}{360^\circ}\cdot \pi\cdot 12^2=\frac{5}{18}\cdot 144\pi=40\pi \]
Si se pregunta por el borde curvo de la zona regada, calculamos arco:
\[ L=\frac{100^\circ}{360^\circ}\cdot 2\pi\cdot 12=\frac{5}{18}\cdot 24\pi=\frac{20\pi}{3} \]
Desafío: segmento circular
Un segmento circular es la región limitada por una cuerda y el arco correspondiente.
Se puede obtener restando el área del triángulo al área del sector.
\[ A_{\text{segmento}}=A_{\text{sector}}-A_{\text{triangulo}} \]
Ejercicio 1
Un limpiaparabrisas mide \(30\text{ cm}\) y gira \(150^\circ\). Determina la longitud del arco que describe su extremo.
La longitud del limpiaparabrisas es el radio.
\[ L=\frac{150^\circ}{360^\circ}\cdot 2\pi\cdot 30 \]
\[ L=\frac{5}{12}\cdot 60\pi=25\pi \]
El extremo describe un arco de \(25\pi\text{ cm}\).
Ejercicio 2
Un jardín tiene forma de sector circular de radio \(20\text{ m}\) y ángulo central \(72^\circ\). Se quiere cercar todo su borde. Calcula cuántos metros de cerca se necesitan en forma exacta.
Como se quiere cercar todo el borde, se necesita el perímetro del sector.
Primero calculamos el arco:
\[ L=\frac{72^\circ}{360^\circ}\cdot 2\pi\cdot 20=\frac{1}{5}\cdot 40\pi=8\pi \]
Luego sumamos los dos radios:
\[ P_{\text{sector}}=2\cdot 20+8\pi=40+8\pi \]
Se necesitan \(40+8\pi\text{ m}\) de cerca.
Ejercicio 3: segmento circular
Un sector de radio \(10\text{ cm}\) tiene ángulo central \(90^\circ\). La cuerda que une los extremos del arco forma con los radios un triángulo rectángulo isósceles. Calcula el área del segmento circular.
Primero calculamos el área del sector:
\[ A_{\text{sector}}=\frac{90^\circ}{360^\circ}\cdot \pi\cdot 10^2=25\pi \]
El triángulo formado por los dos radios tiene catetos de \(10\text{ cm}\):
\[ A_{\text{triangulo}}=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 10=50 \]
Entonces:
\[ A_{\text{segmento}}=25\pi-50 \]
El área del segmento es \(25\pi-50\text{ cm}^2\).