Libro sobre homotecias

Solución: El factor de homotecia, \(k\), es como el "control de zoom" de la transformación. Nos dice cuánto más grande o más pequeña será la figura transformada en comparación con la original.

• Si \(|k| > 1\), la figura se agranda. Es como usar una lupa.
• Si \(0 < |k| < 1\), la figura se reduce. Es como alejar un objeto: lo vemos más pequeño.
• Si \(k\) es negativo, la figura se invierte respecto al centro \(O\), además de agrandarse o achicarse. Imagina que la figura "cruza" el centro y se da vuelta.

Solución: La forma de una figura está determinada por sus ángulos y por las *proporciones* entre sus lados. La homotecia conserva los ángulos (los deja iguales) y, aunque cambia el tamaño de los lados, los cambia a todos *en la misma proporción* (todos se multiplican por el mismo número, \(|k|\)). Como las proporciones se mantienen, la forma general no cambia.

Solución: Que estén alineados significa que los tres puntos están sobre la misma línea recta. Esto es importante porque nos dice que la transformación se hace "directamente hacia afuera" o "directamente hacia adentro" desde el centro \(O\). Cada punto y su imagen están conectados por una línea que pasa por el centro.

Solución:

1. Desde el centro \(O\), traza líneas rectas que pasen por cada uno de los vértices del cuadrado original.
2. Mide la distancia desde \(O\) a cada vértice.
3. Multiplica cada una de esas distancias por 3 (porque \(k = 3\)).
4. Marca los nuevos vértices (las imágenes) a esas distancias *triplicadas*, sobre las líneas que ya dibujaste.
5. Une los nuevos vértices para formar el cuadrado ampliado.

El lado del nuevo cuadrado medirá \(2 \text{ cm} \times 3 = 6 \text{ cm}\).

Solución: Un proyector de diapositivas o de cine es un buen ejemplo. La imagen pequeña en la diapositiva (o en el archivo digital) se agranda mucho al proyectarse en la pantalla. La lámpara del proyector actúa como el centro de homotecia, y la distancia entre la lámpara y la pantalla determina el factor de ampliación. Otro ejemplo es una lupa: la lupa (centro de la homotecia) agranda la imagen del objeto que estás observando.

Solución:

1. Elige un punto cualquiera como centro \(O\).
2. Dibuja líneas rectas desde \(O\) hasta cada uno de los vértices del triángulo (llamémoslos \(A\), \(B\), y \(C\)).
3. Mide la distancia \(OA\).
4. Divide esa distancia entre 2 (porque \(k = \frac{1}{2}\)).
5. Marca un punto \(A'\) sobre la línea \(OA\), a la distancia \(OA/2\) de \(O\).
6. Repite los pasos 3, 4 y 5 para los puntos \(B\) y \(C\), obteniendo \(B'\) y \(C'\).
7. Une \(A'\), \(B'\), y \(C'\) para formar el triángulo reducido. Este triángulo será exactamente la mitad del tamaño del original, y estará en la misma orientación.

Solución: La distancia \(OP'\) será igual a la distancia \(OP\) multiplicada por \(|k|\). En este caso, \(OP' = 5 \text{ cm} \times 2 = 10 \text{ cm}\). El punto \(P'\) quedará a 10 cm de \(O\).

Solución: Si \(k = 0\), *todos* los puntos de la figura se transforman en el centro \(O\). La figura "desaparece" o, más precisamente, se colapsa en un solo punto. Por ejemplo, si tienes un triángulo \(ABC\) y aplicas una homotecia con centro \(O\) y \(k = 0\), los puntos \(A'\), \(B'\), y \(C'\) *todos* coincidirán con \(O\). El triángulo se convierte en un punto.

Solución:

1. Mide la distancia \(OP\).
2. Multiplica esa distancia por 2 (porque \(|k| = 2\)).
3. Como \(k\) es negativo, \(P'\) estará en la *dirección opuesta* a \(P\) respecto a \(O\). Es decir, \(P'\) estará en la misma línea que \(O\) y \(P\), pero *al otro lado* de \(O\).
4. Marca el punto \(P'\) a una distancia \(2 \cdot OP\) de \(O\), pero en el lado opuesto a \(P\).

Solución: En este experimento, la linterna es el centro de homotecia. El factor de homotecia está determinado por la *relación entre las distancias*. Específicamente:

• Distancia de la linterna al objeto (bloque).
• Distancia de la linterna a la pared.

Si llamamos \(d_1\) a la distancia de la linterna al objeto, y \(d_2\) a la distancia de la linterna a la pared, entonces el valor absoluto del factor de homotecia es \(|k| = \frac{d_2}{d_1}\). Si la pared está más lejos de la linterna que el objeto (\(d_2 > d_1\)), entonces \(|k| > 1\) y la sombra será más grande que el objeto. Si acercas el objeto a la linterna (disminuyendo \(d_1\)), la sombra también se agranda.

Solución: Como el factor de homotecia es 2, todas las distancias desde el centro se duplican. Por lo tanto:

• \(OA' = 2 \cdot OA = 2 \cdot 3 \text{ cm} = 6 \text{ cm}\)
• \(OB' = 2 \cdot OB = 2 \cdot 4 \text{ cm} = 8 \text{ cm}\)
• \(OC' = 2 \cdot OC = 2 \cdot 5 \text{ cm} = 10 \text{ cm}\)

Los vértices del triángulo transformado quedarán a 6 cm, 8 cm y 10 cm de \(O\), respectivamente.

Solución (Guía):

1. Dibuja un triángulo (o cuadrado) en tu cuaderno.
2. Elige un punto \(O\) como centro de homotecia. Puede estar dentro o fuera de la figura, pero para que la inversión se vea más clara, es mejor elegirlo fuera.
3. Dibuja líneas rectas desde \(O\) hasta cada uno de los vértices de la figura original.
4. Mide la distancia desde \(O\) a cada vértice.
5. Multiplica cada una de esas distancias por 3 (porque \(|k| = 3\)).
6. Como \(k\) es negativo, marca los nuevos vértices (las imágenes) a esas distancias *triplicadas*, pero *al otro lado* de \(O\), sobre las líneas que ya dibujaste.
7. Une los nuevos vértices para formar la figura transformada. Verás que la figura es tres veces más grande que la original y está "dada vuelta" con respecto a \(O\).

Solución: Para demostrar que la homotecia *no* cambia la forma, necesitamos mostrar que los ángulos se mantienen iguales y que las proporciones entre los lados también se mantienen. Podemos hacer lo siguiente:

1. Dibuja un rectángulo. Mide sus ángulos (todos deben ser de 90 grados). Mide la longitud de sus lados (largo y ancho).
2. Calcula la *razón* entre el largo y el ancho del rectángulo original (divide el largo entre el ancho).
3. Aplica una homotecia al rectángulo (elige un centro \(O\) y un factor \(k\), por ejemplo, \(k = 2\)).
4. Mide los ángulos del rectángulo transformado (deberían seguir siendo de 90 grados).
5. Mide los lados del rectángulo transformado.
6. Calcula la razón entre el largo y el ancho del rectángulo transformado. Esta razón debe ser *igual* a la razón que calculaste en el paso 2.

Si los ángulos se mantienen y la razón entre los lados se mantiene, entonces la forma no ha cambiado; solo el tamaño.

Solución:

*Primera homotecia:* Después de la primera homotecia, el punto \(P\) se transforma en un punto \(P'\) que está a una distancia \(OP' = 2.5 \text{ cm} \times 4 = 10 \text{ cm}\) de \(O\).

*Segunda homotecia:* Ahora, aplicamos una homotecia a \(P'\) con factor \(\frac{1}{4}\). El punto resultante, llamémoslo \(P''\), estará a una distancia \(OP'' = 10 \text{ cm} \times \frac{1}{4} = 2.5 \text{ cm}\) de \(O\).

¡El punto \(P''\) está en la misma posición que el punto original \(P\)! Esto sucede porque las dos homotecias "se cancelan" entre sí. Multiplicar por 4 y luego por \(\frac{1}{4}\) es lo mismo que multiplicar por 1.

Solución: El factor de homotecia, \(k\), es como el "control de zoom" de la transformación. Nos dice cuánto más grande o más pequeña será la figura transformada en comparación con la original.

• Si \(|k| > 1\), la figura se agranda. Es como usar una lupa.
• Si \(0 < |k| < 1\), la figura se reduce. Es como alejar un objeto: lo vemos más pequeño.
• Si \(k\) es negativo, la figura se invierte respecto al centro \(O\), además de agrandarse o achicarse. Imagina que la figura "cruza" el centro y se da vuelta.

Solución: La forma de una figura está determinada por sus ángulos y por las *proporciones* entre sus lados. La homotecia conserva los ángulos (los deja iguales) y, aunque cambia el tamaño de los lados, los cambia a todos *en la misma proporción* (todos se multiplican por el mismo número, \(|k|\)). Como las proporciones se mantienen, la forma general no cambia.

Solución: Que estén alíneados significa que los tres puntos están sobre la misma línea recta. Esto es importante porque nos dice que la transformación se hace "directamente hacia afuera" o "directamente hacia adentro" desde el centro \(O\). Cada punto y su imagen están conectados por una línea que pasa por el centro.

Solución:

1. Desde el centro \(O\), traza líneas rectas que pasen por cada uno de los vértices del cuadrado original.
2. Mide la distancia desde \(O\) a cada vértice.
3. Multiplica cada una de esas distancias por 3 (porque \(k = 3\)).
4. Marca los nuevos vértices (las imágenes) a esas distancias *triplicadas*, sobre las líneas que ya dibujaste.
5. Une los nuevos vértices para formar el cuadrado ampliado.

El lado del nuevo cuadrado medirá \(2 \text{ cm} \times 3 = 6 \text{ cm}\).

Solución: Un proyector de diapositivas o de cine es un buen ejemplo. La imagen pequeña en la diapositiva (o en el archivo digital) se agranda mucho al proyectarse en la pantalla. La lámpara del proyector actúa como el centro de homotecia, y la distancia entre la lámpara y la pantalla determina el factor de ampliación. Otro ejemplo es una lupa: la lupa (centro de la homotecia) agranda la imagen del objeto que estás observando.

Solución:

1. Elige un punto cualquiera como centro \(O\).
2. Dibuja líneas rectas desde \(O\) hasta cada uno de los vértices del triángulo (llamémoslos \(A\), \(B\), y \(C\)).
3. Mide la distancia \(OA\).
4. Divide esa distancia entre 2 (porque \(k = \frac{1}{2}\)).
5. Marca un punto \(A'\) sobre la línea \(OA\), a la distancia \(OA/2\) de \(O\).
6. Repite los pasos 3, 4 y 5 para los puntos \(B\) y \(C\), obteniendo \(B'\) y \(C'\).
7. Une \(A'\), \(B'\), y \(C'\) para formar el triángulo reducido. Este triángulo será exactamente la mitad del tamaño del original, y estará en la misma orientación.

Solución: La distancia \(OP'\) será igual a la distancia \(OP\) multiplicada por \(|k|\). En este caso, \(OP' = 5 \text{ cm} \times 2 = 10 \text{ cm}\). El punto \(P'\) quedará a 10 cm de \(O\).

Solución: Si \(k = 0\), *todos* los puntos de la figura se transforman en el centro \(O\). La figura "desaparece" o, más precisamente, se colapsa en un solo punto. Por ejemplo, si tienes un triángulo \(ABC\) y aplicas una homotecia con centro \(O\) y \(k = 0\), los puntos \(A'\), \(B'\), y \(C'\) *todos* coincidirán con \(O\). El triángulo se convierte en un punto.

Solución:

1. Mide la distancia \(OP\).
2. Multiplica esa distancia por 2 (porque \(|k| = 2\)).
3. Como \(k\) es negativo, \(P'\) estará en la *dirección opuesta* a \(P\) respecto a \(O\). Es decir, \(P'\) estará en la misma línea que \(O\) y \(P\), pero *al otro lado* de \(O\).
4. Marca el punto \(P'\) a una distancia \(2 \cdot OP\) de \(O\), pero en el lado opuesto a \(P\).

Solución: En este experimento, la linterna es el centro de homotecia. El factor de homotecia está determinado por la *relación entre las distancias*. Específicamente:

• Distancia de la linterna al objeto (bloque).
• Distancia de la linterna a la pared.

Si llamamos \(d_1\) a la distancia de la linterna al objeto, y \(d_2\) a la distancia de la linterna a la pared, entonces el valor absoluto del factor de homotecia es \(|k| = \frac{d_2}{d_1}\). Si la pared está más lejos de la linterna que el objeto (\(d_2 > d_1\)), entonces \(|k| > 1\) y la sombra será más grande que el objeto. Si acercas el objeto a la linterna (disminuyendo \(d_1\)), la sombra también se agranda.

Solución: Como el factor de homotecia es 2, todas las distancias desde el centro se duplican. Por lo tanto:

• \(OA' = 2 \cdot OA = 2 \cdot 3 \text{ cm} = 6 \text{ cm}\)
• \(OB' = 2 \cdot OB = 2 \cdot 4 \text{ cm} = 8 \text{ cm}\)
• \(OC' = 2 \cdot OC = 2 \cdot 5 \text{ cm} = 10 \text{ cm}\)

Los vértices del triángulo transformado quedarán a 6 cm, 8 cm y 10 cm de \(O\), respectivamente.

Solución (Guía):

1. Dibuja un triángulo (o cuadrado) en tu cuaderno.
2. Elige un punto \(O\) como centro de homotecia. Puede estar dentro o fuera de la figura, pero para que la inversión se vea más clara, es mejor elegirlo fuera.
3. Dibuja líneas rectas desde \(O\) hasta cada uno de los vértices de la figura original.
4. Mide la distancia desde \(O\) a cada vértice.
5. Multiplica cada una de esas distancias por 3 (porque \(|k| = 3\)).
6. Como \(k\) es negativo, marca los nuevos vértices (las imágenes) a esas distancias *triplicadas*, pero *al otro lado* de \(O\), sobre las líneas que ya dibujaste.
7. Une los nuevos vértices para formar la figura transformada. Verás que la figura es tres veces más grande que la original y está "dada vuelta" con respecto a \(O\).

Solución: Para demostrar que la homotecia *no* cambia la forma, necesitamos mostrar que los ángulos se mantienen iguales y que las proporciones entre los lados también se mantienen. Podemos hacer lo siguiente:

1. Dibuja un rectángulo. Mide sus ángulos (todos deben ser de 90 grados). Mide la longitud de sus lados (largo y ancho).
2. Calcula la *razón* entre el largo y el ancho del rectángulo original (divide el largo entre el ancho).
3. Aplica una homotecia al rectángulo (elige un centro \(O\) y un factor \(k\), por ejemplo, \(k = 2\)).
4. Mide los ángulos del rectángulo transformado (deberían seguir siendo de 90 grados).
5. Mide los lados del rectángulo transformado.
6. Calcula la razón entre el largo y el ancho del rectángulo transformado. Esta razón debe ser *igual* a la razón que calculaste en el paso 2.

Si los ángulos se mantienen y la razón entre los lados se mantiene, entonces la forma no ha cambiado; solo el tamaño.

Solución:

*Primera homotecia:* Después de la primera homotecia, el punto \(P\) se transforma en un punto \(P'\) que está a una distancia \(OP' = 2.5 \text{ cm} \times 4 = 10 \text{ cm}\) de \(O\).

*Segunda homotecia:* Ahora, aplicamos una homotecia a \(P'\) con factor \(\frac{1}{4}\). El punto resultante, llamémoslo \(P''\), estará a una distancia \(OP'' = 10 \text{ cm} \times \frac{1}{4} = 2.5 \text{ cm}\) de \(O\).

¡El punto \(P''\) está en la misma posición que el punto original \(P\)! Esto sucede porque las dos homotecias "se cancelan" entre sí. Multiplicar por 4 y luego por \(\frac{1}{4}\) es lo mismo que multiplicar por 1.

Solución: Los rayos de luz que provienen de un objeto entran en el ojo y son enfocados por el cristalino (que actúa como una lente convergente). Estos rayos convergen en la retina, formando una imagen. El cristalino actúa como el centro de homotecia. La imagen en la retina es más *pequeña* que el objeto real (por lo que \(0 < |k| < 1\)) y está *invertida* (por lo que \(k\) es negativo).

Solución: La linterna (más precisamente, la fuente de luz dentro de la linterna) actúa como el centro de homotecia. Los rayos de luz emanan de este punto, "golpean" el objeto y proyectan su sombra en la superficie (pared, suelo, etc.).

Solución: La percepción del paralelismo en una imagen depende del tipo de proyección utilizada. En una proyección ortogonal (como en planos técnicos o ciertos gráficos), las líneas paralelas en la realidad siguen siendo paralelas en la imagen. Esto ocurre porque los rayos de luz o las líneas de proyección son perpendiculares al plano de la imagen, lo que evita la convergencia. Sin embargo, en una proyección en perspectiva, como la que realiza una cámara o el ojo humano, las líneas paralelas parecen converger en un punto de fuga. Esto sucede porque los rayos de luz que provienen de objetos distantes entran al ojo o a la cámara desde un mismo punto de observación, generando el efecto de profundidad. Aunque en la realidad las líneas siguen siendo paralelas, la imagen proyectada en la retina o en un sensor digital las muestra convergiendo, lo que da la ilusión de tridimensionalidad. Este fenómeno explica por qué, por ejemplo, las vías del tren parecen juntarse en el horizonte, aunque sabemos que en la realidad son siempre paralelas.

Solución: Necesitas una lámpara de escritorio (o una linterna) y un objeto pequeño (como un lápiz, una figura de juguete, etc.).

1. Coloca la lámpara en un extremo de una mesa y una pared (o una hoja grande de papel) en el otro extremo.
2. Apaga las otras luces de la habitación para que la sombra sea más nítida.
3. Sostén el objeto entre la lámpara y la pared.
4. Acerca el objeto a la lámpara. Observa cómo la sombra se hace *más grande*.
5. Aleja el objeto de la lámpara (acercándolo a la pared). Observa cómo la sombra se hace *más pequeña*.

Esto demuestra que el factor de homotecia (y, por lo tanto, el tamaño de la sombra) depende de la distancia entre la fuente de luz y el objeto.

Solución: La fuente de luz dentro del proyector (la lámpara o el LED) actúa como el centro de homotecia. La imagen pequeña en la diapositiva (o en el chip digital) se amplía y se proyecta en la pantalla.

Solución: La lupa es el centro de homotecia. El factor de homotecia depende de la distancia entre el objeto y la lupa, y también de la distancia entre la lupa y tu ojo. Al cambiar estas distancias, cambias el factor de homotecia y, por lo tanto, el tamaño de la imagen que ves.

Solución: Una cámara fotográfica es un excelente ejemplo. La lente de la cámara toma una escena grande del mundo real y la reduce a una imagen pequeña que cabe en el sensor (o en la película, en las cámaras antiguas). El ojo humano funciona de la misma manera, reduciendo la imagen del mundo exterior a la retina.

Solución: Para que la sombra sea el doble de grande que el objeto, la distancia entre la fuente de luz y la superficie de proyección (por ejemplo, la pared) debe ser el *doble* de la distancia entre la fuente de luz y el objeto. Es decir la distancia entre el objeto y la pared/superficie debe ser igual a la distancia entre la fuente de luz y el objeto.

Solución:

• Sombras del sol: El sol está tan lejos de la Tierra que sus rayos llegan a nosotros prácticamente *paralelos*. Esto significa que la sombra de un objeto tiene casi el mismo tamaño y forma que el objeto mismo (no hay una ampliación o reducción significativa). No hay un centro de homotecia cercano y definido.
• Sombras de una linterna: La linterna es una fuente de luz *puntual* y *cercana*. Los rayos de luz divergen desde la linterna, creando una homotecia con la linterna como centro. El tamaño de la sombra depende mucho de las distancias entre la linterna, el objeto y la superficie donde se proyecta la sombra.

Solución: El factor de reducción, en este caso, está determinado principalmente por la distancia focal de la lente (objetivo) de la cámara y la distancia entre la lente y el sensor (o película).

Solución: Si queremos *duplicar* el tamaño de la imagen, necesitamos *duplicar* la distancia entre el proyector y la pared. Por lo tanto, deberíamos colocar el proyector a 4 metros de la pared.

Solución:

• Sombra del sol: Tu sombra en el suelo en un día soleado tendrá aproximadamente tu mismo tamaño y forma. Los rayos del sol son casi paralelos, por lo que no hay una ampliación o reducción significativa.
• Sombra de la linterna: La sombra de tu mano proyectada por la linterna será mucho más grande que tu mano, y su tamaño cambiará drásticamente si mueves tu mano o la linterna. La linterna es una fuente de luz puntual que actúa como centro de homotecia.

La principal diferencia es que, en el caso del sol, no hay un centro de homotecia cercano y definido, mientras que en el caso de la linterna, sí lo hay (la propia linterna).

Solución:

Materiales:

• Una lupa
• Una regla (con marcas de milímetros bien visibles)
• Una hoja de papel con un texto impreso pequeño (o una cuadrícula dibujada)

Pasos:

1. Coloca la hoja de papel con el texto (o la cuadrícula) sobre una mesa.
2. Sostén la lupa a una cierta distancia por encima de la hoja.
3. Mira a través de la lupa el texto (o la cuadrícula).
4. Observa que las letras (o los cuadrados de la cuadrícula) se ven más grandes a través de la lupa que a simple vista.
5. Usa la regla para medir *aproximadamente* el tamaño de una letra (o de un cuadrado de la cuadrícula) *sin* la lupa, y luego mide el tamaño de la *misma* letra (o cuadrado) *a través* de la lupa. (Las medidas no serán perfectas, pero servirán para tener una idea de la ampliación).
6. Compara las dos medidas. La medida a través de la lupa debería ser mayor que la medida sin la lupa. Esto demuestra que la lupa está produciendo una ampliación (\(|k| > 1\)).
7. (Opcional) Varía la distancia entre la lupa y la hoja, y observa cómo cambia el tamaño de la imagen.

Solución: La cámara oscura es un ejemplo clásico de homotecia.

• Centro de homotecia: El pequeño orificio por donde entra la luz actúa como el centro de homotecia.
• Factor de homotecia: La imagen que se forma en la pared opuesta de la caja es una versión *reducida* de la escena exterior (por lo que \(0 < |k| < 1\)). Además, la imagen está *invertida* (por lo que \(k\) es negativo).

Los rayos de luz viajan en línea recta desde los objetos de la escena exterior, pasan por el orificio (centro de homotecia) y se proyectan en la pared opuesta, formando la imagen invertida y reducida.

Solución: Los rayos de luz que provienen de un objeto entran en el ojo y son enfocados por el cristalino (que actúa como una lente convergente). Estos rayos convergen en la retina, formando una imagen. El cristalino actúa como el centro de homotecia. La imagen en la retina es más *pequeña* que el objeto real (por lo que \(0 < |k| < 1\)) y está *invertida* (por lo que \(k\) es negativo).

Solución: La linterna (más precisamente, la fuente de luz dentro de la linterna) actúa como el centro de homotecia. Los rayos de luz emanan de este punto, "golpean" el objeto y proyectan su sombra en la superficie (pared, suelo, etc.).

Solución: La percepción del paralelismo en una imagen depende del tipo de proyección utilizada. En una proyección ortogonal (como en planos técnicos o ciertos gráficos), las líneas paralelas en la realidad siguen siendo paralelas en la imagen. Esto ocurre porque los rayos de luz o las líneas de proyección son perpendiculares al plano de la imagen, lo que evita la convergencia. Sin embargo, en una proyección en perspectiva, como la que realiza una cámara o el ojo humano, las líneas paralelas parecen converger en un punto de fuga. Esto sucede porque los rayos de luz que provienen de objetos distantes entran al ojo o a la cámara desde un mismo punto de observación, generando el efecto de profundidad. Aunque en la realidad las líneas siguen siendo paralelas, la imagen proyectada en la retina o en un sensor digital las muestra convergiendo, lo que da la ilusión de tridimensionalidad. Este fenómeno explica por qué, por ejemplo, las vías del tren parecen juntarse en el horizonte, aunque sabemos que en la realidad son siempre paralelas.

Solución: Necesitas una lámpara de escritorio (o una linterna) y un objeto pequeño (como un lápiz, una figura de juguete, etc.).

1. Coloca la lámpara en un extremo de una mesa y una pared (o una hoja grande de papel) en el otro extremo.
2. Apaga las otras luces de la habitación para que la sombra sea más nítida.
3. Sostén el objeto entre la lámpara y la pared.
4. Acerca el objeto a la lámpara. Observa cómo la sombra se hace *más grande*.
5. Aleja el objeto de la lámpara (acercándolo a la pared). Observa cómo la sombra se hace *más pequeña*.

Esto demuestra que el factor de homotecia (y, por lo tanto, el tamaño de la sombra) depende de la distancia entre la fuente de luz y el objeto.

Solución: La fuente de luz dentro del proyector (la lámpara o el LED) actúa como el centro de homotecia. La imagen pequeña en la diapositiva (o en el chip digital) se amplía y se proyecta en la pantalla.

Solución: La lupa es el centro de homotecia. El factor de homotecia depende de la distancia entre el objeto y la lupa, y también de la distancia entre la lupa y tu ojo. Al cambiar estas distancias, cambias el factor de homotecia y, por lo tanto, el tamaño de la imagen que ves.

Solución: Una cámara fotográfica es un excelente ejemplo. La lente de la cámara toma una escena grande del mundo real y la reduce a una imagen pequeña que cabe en el sensor (o en la película, en las cámaras antiguas). El ojo humano funciona de la misma manera, reduciendo la imagen del mundo exterior a la retina.

Solución: Para que la sombra sea el doble de grande que el objeto, la distancia entre la fuente de luz y la superficie de proyección (por ejemplo, la pared) debe ser el *doble* de la distancia entre la fuente de luz y el objeto. Es decir la distancia entre el objeto y la pared/superficie debe ser igual a la distancia entre la fuente de luz y el objeto.

Solución:

• Sombras del sol: El sol está tan lejos de la Tierra que sus rayos llegan a nosotros prácticamente *paralelos*. Esto significa que la sombra de un objeto tiene casi el mismo tamaño y forma que el objeto mismo (no hay una ampliación o reducción significativa). No hay un centro de homotecia cercano y definido.
• Sombras de una linterna: La linterna es una fuente de luz *puntual* y *cercana*. Los rayos de luz divergen desde la linterna, creando una homotecia con la linterna como centro. El tamaño de la sombra depende mucho de las distancias entre la linterna, el objeto y la superficie donde se proyecta la sombra.

Solución: El factor de reducción, en este caso, está determinado principalmente por la distancia focal de la lente (objetivo) de la cámara y la distancia entre la lente y el sensor (o película).

Solución: Si queremos *duplicar* el tamaño de la imagen, necesitamos *duplicar* la distancia entre el proyector y la pared. Por lo tanto, deberíamos colocar el proyector a 4 metros de la pared.

Solución:

• Sombra del sol: Tu sombra en el suelo en un día soleado tendrá aproximadamente tu mismo tamaño y forma. Los rayos del sol son casi paralelos, por lo que no hay una ampliación o reducción significativa.
• Sombra de la linterna: La sombra de tu mano proyectada por la linterna será mucho más grande que tu mano, y su tamaño cambiará drásticamente si mueves tu mano o la linterna. La linterna es una fuente de luz puntual que actúa como centro de homotecia.

La principal diferencia es que, en el caso del sol, no hay un centro de homotecia cercano y definido, mientras que en el caso de la linterna, sí lo hay (la propia linterna).

Solución:

Materiales:

• Una lupa
• Una regla (con marcas de milímetros bien visibles)
• Una hoja de papel con un texto impreso pequeño (o una cuadrícula dibujada)

Pasos:

1. Coloca la hoja de papel con el texto (o la cuadrícula) sobre una mesa.
2. Sostén la lupa a una cierta distancia por encima de la hoja.
3. Mira a través de la lupa el texto (o la cuadrícula).
4. Observa que las letras (o los cuadrados de la cuadrícula) se ven más grandes a través de la lupa que a simple vista.
5. Usa la regla para medir *aproximadamente* el tamaño de una letra (o de un cuadrado de la cuadrícula) *sin* la lupa, y luego mide el tamaño de la *misma* letra (o cuadrado) *a través* de la lupa. (Las medidas no serán perfectas, pero servirán para tener una idea de la ampliación).
6. Compara las dos medidas. La medida a través de la lupa debería ser mayor que la medida sin la lupa. Esto demuestra que la lupa está produciendo una ampliación (\(|k| > 1\)).
7. (Opcional) Varía la distancia entre la lupa y la hoja, y observa cómo cambia el tamaño de la imagen.

Solución: La cámara oscura es un ejemplo clásico de homotecia.

• Centro de homotecia: El pequeño orificio por donde entra la luz actúa como el centro de homotecia.
• Factor de homotecia: La imagen que se forma en la pared opuesta de la caja es una versión *reducida* de la escena exterior (por lo que \(0 < |k| < 1\)). Además, la imagen está *invertida* (por lo que \(k\) es negativo).

Los rayos de luz viajan en línea recta desde los objetos de la escena exterior, pasan por el orificio (centro de homotecia) y se proyectan en la pared opuesta, formando la imagen invertida y reducida.