Homotecia - Página 6: Semejanza de Figuras

Introducción

Dos figuras son semejantes cuando una puede obtenerse de la otra mediante ampliaciones o reducciones (homotecias) y/o movimientos rígidos (rotaciones, traslaciones, reflexiones). Conservan la forma pero pueden cambiar de tamaño.

Definición de Semejanza

Figuras \(F\) y \(F'\) son semejantes si existe un factor \(|k|\neq 0\) tal que las longitudes se relacionan en proporción constante y los ángulos correspondientes son iguales.

Elementos Clave

• Ángulos Iguales: Un rasgo esencial en la semejanza.
• Razón de Lados: Si un lado mide \(a\) y su correspondiente \(a'\), entonces \(\frac{a'}{a} = k\) (el mismo \(k\) para todos los pares de lados).
• Criterios de Semejanza (triángulos): AA, LAL, LLL.

Ejemplos

Ejemplo 1: Un cuadrado de lado 2 y otro de lado 6 son semejantes con factor 3. Los ángulos (90°) son iguales y la razón de lados es 3.

Ejemplo 2: Triángulos con ángulos \(60^\circ, 40^\circ, 80^\circ\) y distintos tamaños son semejantes, pues comparten ángulos.

Práctica

Aquí tendrás 10 ejercicios (3 conceptuales, 7 prácticos) + 4 problemas.

Ejercicios

1. (Conceptual) ¿Por qué se dice que la semejanza mantiene la forma pero no el tamaño?

   Solución: Los ángulos se conservan (la forma no cambia), pero las longitudes se escalan por un factor \(|k|\) (el tamaño puede variar).

2. (Conceptual) Explica el rol de la homotecia en la definición de figuras semejantes.

   Solución: Una homotecia (más posibles giros/traslaciones) permite pasar de una figura a otra con ángulos idénticos y lados proporcionales, fundamento de la semejanza.

3. (Conceptual) ¿Cómo se relacionan la semejanza y la congruencia?

   Solución: La congruencia es un caso particular de semejanza con factor \(k=1\). Es decir, mismas dimensiones y misma forma.

4. (Práctica) Comprueba con un dibujo que dos triángulos con ángulos correspondientes iguales son semejantes. Mide sus lados para confirmar la misma razón.

   Solución (guía): - Dibuja 2 triángulos con ángulos (ej. 30°, 60°, 90°). - Mide sus lados para ver si \(\frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} = \frac{c'}{c}\). - Concluye que comparten forma.

5. (Práctica) Si un triángulo rectángulo tiene lados (3,4,5) y otro tiene (6,8,10), comprueba la semejanza midiendo la razón.

   Solución: La razón es 2: \(\frac{6}{3}=\frac{8}{4}=\frac{10}{5}=2\). Ángulos coinciden, por tanto son semejantes.

6. (Práctica) Menciona un caso en que dos figuras no sean semejantes. Dibuja un ejemplo.

   Solución: Un rectángulo 2×3 y otro 2×4 no guardan la misma razón de lados, no tienen la misma forma. Ángulos coinciden (rectos), pero la forma es distinta por la proporción de lados.

7. (Práctica) Si dos polígonos regulares (por ejemplo, hexágonos) difieren solo en tamaño, justifica que son semejantes.

   Solución: Polígonos regulares del mismo número de lados tienen ángulos iguales. Solo cambia la longitud de los lados, escalada por \(|k|\). Luego son semejantes.

8. (Práctica) Realiza un experimento con fotocopias: amplía una figura en 150% y mide los ángulos antes y después. ¿Qué observas?

   Solución: Los ángulos no cambian; los lados sí, se alargan 1.5 veces. Esto muestra una semejanza (homotecia) en la fotocopia ampliada.

9. (Práctica) Explica la relación entre el factor de semejanza y la proporción de perímetros en figuras semejantes.

   Solución: Si el factor es \(k\), cada lado se multiplica por \(k\). El perímetro total también se multiplica por \(k\).

10. (Práctica) ¿Qué le ocurre a las áreas en dos figuras semejantes con factor \(k\)?

    Solución: Las áreas se multiplican por \(k^2\). Esto se puede ver en triángulos, polígonos e incluso sólidos (donde el factor volumétrico sería \(k^3\)).

Problemas

1. Dos pentágonos regulares tienen lados 3 cm y 9 cm. ¿Cuál es la razón de semejanza? ¿En qué razón se transforman sus perímetros?

   Solución: La razón lineal es \(\frac{9}{3}=3\). Los perímetros también están en razón 3:1, pues cada lado se multiplica por 3.

2. Dos triángulos semejantes tienen áreas en razón 1:4. ¿Cuál es la razón de sus lados?

   Solución: Si \(\text{área}_2 = 4 \cdot \text{área}_1\), la razón lineal de lados es \(\sqrt{4}=2\). Por tanto \(k=2\).

3. Construye un ejemplo de dos figuras planas cualesquiera y demuestra (midiendo) que son semejantes (o que no lo son).

   Solución (pauta): - Dibuja dos polígonos. - Mide lados y ángulos. - Si \(\frac{l'_1}{l_1} = \frac{l'_2}{l_2} = ...\) y los ángulos correspondientes son iguales, son semejantes; de lo contrario, no.

4. Si duplicas cada dimensión de un rectángulo 2×3 para obtener 4×6, ¿cómo se relacionan perímetros y áreas? Verifícalo con números.

   Solución: - El perímetro pasa de \(2(2+3)=10\) a \(2(4+6)=20\) (factor 2). - El área pasa de \(2 \times 3=6\) a \(4 \times 6=24\) (factor 4 = \(2^2\)).

Homotecia - Página 7: Modelos a Escala

Introducción

Un modelo a escala representa un objeto real de modo semejante (aumentado o reducido). Por ejemplo, en maquetas, planos de arquitectura, mapas, etc.

Definición

La escala es la razón entre una medida en el modelo (maqueta, plano) y la medida correspondiente en el objeto real. Por ejemplo, 1:50 indica que 1 cm en el modelo equivale a 50 cm en la realidad.

Elementos Clave

• Factor de Reducción/Aumento (\(k\)): Si \(k>1\), es ampliación; si \(0, reducción.<="" li="">
• Áreas y Volúmenes: Se escalan con \(k^2\) y \(k^3\), respectivamente.

Ejemplos

Ejemplo 1: Una maqueta de un edificio a escala 1:100: 1 cm en la maqueta = 100 cm (1 m) en la realidad.

Ejemplo 2: Un mapa a escala 1:25.000: 1 cm en el mapa = 25.000 cm en el terreno = 250 m.

Práctica

Ahora, 10 ejercicios (3 conceptuales + 7 prácticos) y 4 problemas.

Ejercicios

1. (Conceptual) ¿Por qué los modelos a escala son un caso de homotecia con \(|k|<1\) (generalmente), y cómo se justifica que la forma se conserva?

   Solución: En la mayoría de casos, \(|k|<1\) pues se reduce. Se conserva la forma porque se multiplican todas las medidas lineales por el mismo factor, manteniendo los ángulos.

2. (Conceptual) Explica la relación “1:50” en un plano, indicando por qué se ve como un “factor de homotecia”.

   Solución: 1 cm en el plano equivale a 50 cm en la realidad. Es un factor de 1/50 si vas de la realidad al plano, y 50 si vas del plano a la realidad. La homotecia escalona todas las medidas lineales en esa razón.

3. (Conceptual) ¿Por qué se dice que las “leyendas” o “escalas gráficas” en un mapa también reflejan la idea de homotecia?

   Solución: Una barra dibujada (por ej. 1 cm = 100 km) es una forma visual de homotecia: cualquier distancia “x cm” en el mapa corresponde a “x*100 km” en la realidad.

4. (Práctica) Si la escala de un plano es 1:75, y en el plano un muro mide 4 cm, ¿cuál es la longitud real en metros?

   Solución: 4 cm * 75 = 300 cm = 3 m.

5. (Práctica) Una maqueta está hecha a escala 1:10. El edificio real mide 60 m de altura, ¿cuánto mide la maqueta?

   Solución: Primero pasa 60 m a 6000 cm, a escala 1:10 → 6000/10 = 600 cm = 6 m en la maqueta. (Ojo, es un “factor mayor a 1” si vas de la maqueta a la realidad, pero la escala se expresa 1:10 en el plano de la maqueta.)

6. (Práctica) Si tienes un auto de juguete con escala 1:25 que mide 20 cm de largo, halla la longitud del auto real.

   Solución: 20 cm * 25 = 500 cm = 5 m.

7. (Práctica) Explica por qué un “zoom digital” en una computadora también puede verse como homotecia en la pantalla.

   Solución: Todas las coordenadas (píxeles) se multiplican por un factor \(|k|\) que agranda o reduce la imagen, manteniendo la forma (proporcionalidad).

8. (Práctica) ¿Cómo obtienes la escala si conoces una medida del modelo y la medida real del objeto?

   Solución: Escala = (medida del modelo) : (medida real). Por ejemplo, si en el modelo son 2 cm y en la realidad 100 cm, es 1:50.

9. (Práctica) Describe la relación entre el factor lineal \(|k|\) y el factor de las áreas \(k^2\) en un plano arquitectónico.

   Solución: Si la escala es 1:n en longitud, las áreas reales se reducen en 1:n² en el plano. Por ejemplo, 1:100 hace que un área de 10000 cm² en plano represente 10000 × 100 = 1.000.000 cm² en la realidad.

10. (Práctica) Si un diseñador pasa de escala 1:100 a 1:50, ¿qué factor de ampliación está aplicando sobre el plano original?

    Solución: Se duplica cada dimensión. Pasar de 1:100 a 1:50 multiplica todas las medidas por 2.

Problemas

1. Un plano está a escala 1:200. Si un salón mide 4 cm en ese plano, ¿cuál es la medida real en metros?

   Solución: 4 cm * 200 = 800 cm = 8 m.

2. Necesitas dibujar un edificio de 25 m de alto en un plano donde 1 cm = 5 m. ¿Cuántos cm ocupará ese edificio en el papel?

   Solución: \(\frac{25 \text{ m}}{5 \text{ m/cm}}=5 \text{ cm}.\)

3. Diseña una actividad de clase para que los estudiantes construyan un “plano” de la sala de clases a escala 1:50.

   Solución (sugerencia): - Miden el largo y ancho reales con una huincha. - Convierten esas medidas a cm en el plano usando \(\frac{1}{50}\). - Dibujan puertas, ventanas, muebles, etc. manteniendo la escala.

4. Un diseñador de maquetas usa 1:25 para un auto que mide 5 m. Por algún error, la maqueta resultó de 18 cm. ¿Cuál debería haber sido la medida correcta? ¿En qué factor se equivocó?

   Solución: Debería ser \(5 \text{ m }=500 \text{ cm}\). Escala 1:25 \(\implies \frac{500}{25}=20\) cm. Construyó 18 cm en vez de 20. Se equivocó en un factor \(\frac{18}{20}=0.9\) (10% menos).

Homotecia - Página 8: Teorema de Euclides

Introducción

El Teorema de Euclides se refiere a la relación entre los catetos y sus proyecciones sobre la hipotenusa en un triángulo rectángulo. Se conecta con la homotecia y la semejanza de triángulos formados al trazar la altura sobre la hipotenusa.

Teorema de Euclides

En un triángulo rectángulo \(ABC\) con ángulo recto en \(C\), y altura desde \(C\) que intersecta \(\overline{AB}\) en \(D\), se tiene: \[ AC^2 = AD \cdot AB, \quad BC^2 = BD \cdot AB, \] y además \(\; AC^2 + BC^2 = AB^2\) (Pitágoras).

Elementos Clave

• Proyección: \(D\) es la proyección de \(C\) en \(\overline{AB}\).
• Semejanza: \(\triangle ABC\), \(\triangle ACD\), \(\triangle BCD\) comparten ángulos; la homotecia relaciona estos triángulos.

Ejemplos

Ejemplo 1: Un triángulo (3,4,5). Trazas la altura al lado de 5. Se cumple \(3^2 = AD \times 5\) y \(4^2=BD \times 5\).

Ejemplo 2: Triángulo rectángulo isósceles (45°-45°-90°). La altura parte la hipotenusa en dos partes iguales.

Práctica

Contamos con 10 ejercicios (3 conceptuales + 7 prácticos) y 4 problemas.

Ejercicios

1. (Conceptual) ¿Cómo se relaciona la homotecia con la demostración del Teorema de Euclides?

   Solución: Al trazar la altura, se forman triángulos semejantes (homotéticos). Las proporciones entre catetos e hipotenusa llevan a \(AC^2 = AD\cdot AB\) y \(BC^2=BD\cdot AB\).

2. (Conceptual) ¿Qué significa “la proyección de un cateto en la hipotenusa”?

   Solución: Es el segmento en la hipotenusa “directamente debajo” del cateto, es decir, la intersección de la perpendicular trazada desde el vértice del ángulo recto.

3. (Conceptual) ¿Por qué Euclides “engloba” también el Teorema de Pitágoras?

   Solución: Sumando las relaciones \(AC^2=AD\cdot AB\) y \(BC^2=BD\cdot AB\), se obtiene \(AC^2 + BC^2=(AD + BD)\cdot AB=AB^2.\)

4. (Práctica) Dibuja un triángulo rectángulo cualquiera. Traza la altura a la hipotenusa. Mide y comprueba \(AC^2 \approx AD \cdot AB\).

   Solución: - Identifica \(C\) como el ángulo recto, \(AB\) la hipotenusa. - Dibuja \(CD\) perpendicular a \(AB\). - Mide \(\overline{AC}\), \(\overline{AD}\), \(\overline{AB}\). - Verifica que \(\overline{AC}^2 \approx \overline{AD}\times \overline{AB}\) (pequeños errores por medición manual).

5. (Práctica) Explica la semejanza entre \(\triangle ABC\) y \(\triangle ACD\).

   Solución: Ambos comparten el ángulo en \(A\), y \(\angle ACB = 90^\circ\) corresponde a \(\angle ADC\) también recto. Tienen así dos ángulos iguales, luego son semejantes.

6. (Práctica) Considera un triángulo \((6,8,10)\). Traza la altura a la hipotenusa (10). ¿Cómo hallarías \(\overline{AD}\) y \(\overline{BD}\) de forma teórica?

   Solución: \(AC=6\implies AC^2=36=AD \cdot AB=AD\cdot 10\implies AD=3.6.\) \(BC=8\implies BC^2=64=BD\cdot 10\implies BD=6.4.\) Comprueba que \(AD+BD=10.\)

7. (Práctica) Dibuja un triángulo rectángulo isósceles \((45^\circ-45^\circ-90^\circ)\) y verifica que la altura parte la hipotenusa en dos partes iguales.

   Solución: Al medir, \(\overline{AD} = \overline{DB}\). También Euclides lo confirma: \(AC^2=AD\cdot AB\) y \(BC^2=BD\cdot AB\), pero \(AC=BC\), de ahí \(\overline{AD}=\overline{BD}\).

8. (Práctica) Explica por qué \(\triangle ACD\sim \triangle ABC\sim \triangle BCD\).

   Solución: Comparten ángulos: en cada uno hay un ángulo recto, y comparten otro ángulo con el triángulo grande. Dos ángulos iguales → triángulos semejantes.

9. (Práctica) ¿Cómo se relaciona Euclides con Pitágoras en forma de áreas?

   Solución: Por Euclides, sumando \(AC^2 = AD\cdot AB\) y \(BC^2=BD\cdot AB\), \(AC^2 + BC^2=(AD+BD)\cdot AB=AB^2\), que es Pitágoras.

10. (Práctica) Describe un método gráfico para “visualizar” Euclides en un triángulo usando polígonos en las proyecciones.

    Solución: Dibuja cuadrados sobre catetos y la hipotenusa, y usa las proyecciones. Observa que el área del cuadrado del cateto coincide con el rectángulo formado por la proyección y la hipotenusa, etc.

Problemas

1. Un triángulo rectángulo \((5,12,13)\). Encuentra la proyección de 5 y 12 sobre 13. Verifica que \(\overline{AD}+\overline{BD}=13\).

   Solución: \(AC=5\implies AC^2=25=AD\cdot 13\implies AD=\frac{25}{13}\approx 1.92.\) \(BC=12\implies BC^2=144=BD\cdot 13\implies BD=\frac{144}{13}\approx 11.08.\) Suma: \(\approx 13.\)

2. Verifica que en un triángulo rectángulo isósceles de cateto \(x\), la hipotenusa es \(x\sqrt{2}\) y cada proyección mide \(\frac{x\sqrt{2}}{2}\).

   Solución (síntesis): Hipotenusa = \(x\sqrt{2}\). Altura divide la hipotenusa en dos partes iguales, cada una \(\frac{x\sqrt{2}}{2}\). Se corrobora con Euclides y semejanza.

3. ¿Cómo demuestras pictóricamente (con un dibujo) que \(AC^2 = AD \cdot AB\) a partir de la semejanza de triángulos?

   Solución (guía): - Muestra \(\triangle ACD\sim \triangle ABC\). - Escribe \(\frac{AC}{AB} = \frac{AD}{AC}\). - Despeja \(AC^2=AD\cdot AB\). - Ese es el corazón de Euclides.

4. Un triángulo rectángulo (9,12,15). Calcula \(\overline{AD}\) y \(\overline{BD}\). ¿Cuánto vale \(\overline{CD}\)? (Altura).

   Solución: \(AC=9\implies 9^2=81=AD \cdot 15\implies AD=5.4.\) \(BC=12\implies 12^2=144=BD \cdot 15\implies BD=9.6.\) Verificar \(5.4+9.6=15.\) La altura \(CD\) se halla con área: \(\frac{1}{2}(AB)(CD)=\frac{1}{2}(AC)(BC)\implies CD=\frac{9\cdot 12}{15}=7.2.\)

Homotecia - Página 9: Vectores y Homotecia

Introducción

La homotecia puede verse como una operación vectorial: \(\overrightarrow{OP'} = k \cdot \overrightarrow{OP}\). Si \(\vec{v}=(x,y)\), al multiplicarlo por \(k\) obtenemos \((kx, ky)\). Aquí estudiamos la conexión entre vectores y homotecia.

Conceptos de Vectores

• Magnitud: \(\|\vec{v}\|\) es su “longitud”.
• Dirección y Sentido: Dónde apunta el vector en el plano.
• Multiplicación por \(k\): Escala la magnitud y puede invertir el sentido si \(k<0\).

Elementos Clave

• Centro en el Origen: Asumimos \((0,0)\) como centro \(O\).
• Coordenadas: \(\vec{OP}=(x,y)\rightarrow \vec{OP'}=(kx,ky)\).

Ejemplos

Ejemplo 1: \(P=(2,3)\). Con \(k=2\), \(P'=(4,6)\). La magnitud se duplica, la dirección se mantiene.

Ejemplo 2: \(P=(1,4)\). Con \(k=-1\), \(P'=(-1,-4)\). La magnitud sigue \(\|\vec{v}\|\), pero se invierte el sentido.

Práctica

Incluimos 10 ejercicios (3 conceptuales, 7 prácticos) + 4 problemas.

Ejercicios

1. (Conceptual) ¿Por qué \(\overrightarrow{OP'} = k \cdot \overrightarrow{OP}\) expresa una homotecia con centro en \(O\)?

   Solución: Multiplicar un vector por \(k\) significa escalar la distancia a \(O\) por \(|k|\) y, si \(k<0\), invertir la dirección. Esto coincide con la definición de homotecia.

2. (Conceptual) Explica la diferencia entre “magnitud” y “dirección” de un vector.

   Solución: La magnitud es el “largo” numérico, la distancia. La dirección es la línea sobre la que se ubica y el “ángulo” en el plano. El sentido especifica hacia qué lado de la línea apunta.

3. (Conceptual) ¿Qué ocurre con un vector si \(k=0\)?

   Solución: El vector resultante es \((0,0)\), se “colapsa” en el origen. Es una “homotecia degenerada”.

4. (Práctica) Si \(\overrightarrow{OP}=(3,5)\) y \(k=2\), halla \(\overrightarrow{OP'}\). ¿Cuál será su magnitud?

   Solución: \(P'=(6,10)\). Magnitud previa: \(\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{9+25}= \sqrt{34}\). Nueva magnitud: \(\sqrt{6^2+10^2}= \sqrt{36+100}= \sqrt{136}=2\sqrt{34}\).

5. (Práctica) Dibuja \(\vec{v}=(2,2)\) en un eje cartesiano y su imagen \(\vec{v}'\) tras aplicar \(k=-1\).

   Solución: \(\vec{v}'=(-2,-2)\). Se dibujan flechas: “\(\vec{v}\)” en el primer cuadrante, “\(\vec{v}'\)” en el tercero, mismo largo, dirección opuesta.

6. (Práctica) ¿Cómo verificar que un factor negativo invierte el sentido del vector en términos de ángulos?

   Solución: Si \(\vec{v}\) forma un ángulo \(\theta\) con el eje, al multiplicar por -1 pasa a formar \(\theta + 180^\circ\). O sea, apunta en la dirección contraria.

7. (Práctica) Si \(\vec{v}=(4,3)\) y al aplicar homotecia obtengo \(\vec{v}'=(2,1.5)\), ¿qué factor se usó? Explica tu cálculo.

   Solución: Comparando componentes: \(2=4k \implies k=0.5\). También \(\;1.5=3(0.5)\). Factor \(k=0.5\).

8. (Práctica) Describe un ejemplo en que multiplicar un vector por \(k\) suponga agrandar su representación en el plano cartesiano.

   Solución: Si \(\vec{v}=(1,3)\) y lo multiplico por 4, obtengo (4,12). Pasa de longitud \(\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}\) a \(\sqrt{4^2+12^2}=\sqrt{16+144}= \sqrt{160}=4\sqrt{10}\). Se ve claramente un “agrandamiento”.

9. (Práctica) Explica cómo se vería la homotecia vectorial en un software de dibujo cuando escalas toda una figura respecto del origen.

   Solución: Cada punto \((x,y)\) se convierte en \((kx,ky)\). Esto se ve como un “zoom” alrededor del (0,0). Si \(k<0\), la imagen se voltea atravesando el origen.

10. (Práctica) Menciona un contexto físico donde multiplicar un vector por un escalar sea interpretado como homotecia.

    Solución: Por ejemplo, escalas de fuerza o de velocidad. Si duplicas la magnitud de una fuerza (mismo ángulo), es una homotecia en el espacio vectorial de fuerzas.

Problemas

1. Si \(\overrightarrow{OP}=(2,5)\) y se aplica \(k=-3\), halla \(\overrightarrow{OP'}\). Interpreta el cambio de magnitud y dirección.

   Solución: \(P'=(-6,-15)\). La magnitud se triplica, la dirección se invierte (180° + el ángulo inicial).

2. Considera \(\vec{v}=(6,4)\). ¿Qué \(k\) hace que \(\vec{v}'=(9,6)\)? ¿Cuáles son las magnitudes de \(\vec{v}\) y \(\vec{v}'\)?

   Solución: \(9=6k \implies k=1.5\). \(\|\vec{v}\|=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{36+16}= \sqrt{52}.\) \(\|\vec{v}'\|= \sqrt{9^2+6^2}=\sqrt{81+36}= \sqrt{117}=\sqrt{52}\times 1.5.\)

3. Dibuja un polígono con vértices \((1,0)\), \((2,1)\), \((1,2)\). Aplica \(k=\frac{1}{2}\). Escribe las nuevas coordenadas y compáralas.

   Solución: \((0.5,0), (1,0.5), (0.5,1)\). Cada coordenada se redujo a la mitad, la figura se ve más cercana al origen y más pequeña.

4. Si un vector \(\vec{v}=(x,y)\) está en el primer cuadrante, ¿en qué cuadrante cae \(\vec{v}'\) si \(k<0\)? Pon un ejemplo numérico.

   Solución: Si \(x>0, y>0\), y \(k<0\), entonces \(kx<0, ky<0\). El vector cae en el tercer cuadrante. Ej: \((2,1)\) con \(k=-2 \to (-4,-2)\).

Homotecia - Página 10: Producto de un Vector por un Escalar

Introducción

El producto de un vector por un escalar (un número real) describe un escalamiento de su magnitud. Cuando el escalar es negativo, también hay inversión de sentido. Esta operación está en la base de la homotecia vectorial.

Definición

Dado un vector \(\vec{v}=(x,y)\) y un escalar real \(\alpha\), \(\alpha \vec{v} = (\alpha x, \alpha y)\). - \(|\alpha|>1\) alarga el vector. - \(0<|\alpha|<1\) lo acorta. - \(\alpha<0\) invierte el sentido.

Elementos Clave

• Magnitud resultante: \(\|\alpha \vec{v}\| = |\alpha|\cdot \|\vec{v}\|\).
• Dirección: Se mantiene si \(\alpha>0\), se invierte si \(\alpha<0\).

Ejemplos

Ejemplo 1: \(\alpha=2\), \(\vec{v}=(3,-1)\) \(\to 2\cdot (3,-1)=(6,-2)\). Se duplica la magnitud.

Ejemplo 2: \(\alpha=-\frac{1}{2}\), \(\vec{v}=(4,2)\) \(\to (-2,-1)\). Se reduce la longitud a la mitad y se invierte.

Práctica

Se incluyen 10 ejercicios (3 conceptuales + 7 prácticos) + 4 problemas.

Ejercicios

1. (Conceptual) ¿Por qué multiplicar un vector por un escalar \(\alpha\) es la misma idea que “aplicar una homotecia” en términos de vectores?

   Solución: Se está escalando la distancia desde el origen por \(|\alpha|\), con posible cambio de sentido si \(\alpha<0\). Eso coincide con la definición de homotecia (centro en el origen).

2. (Conceptual) Explica el efecto de \(\alpha=0\) en el vector.

   Solución: Se anula, convirtiéndose en \((0,0)\). Se “colapsa” en el origen sin dirección ni magnitud.

3. (Conceptual) ¿Por qué \(\alpha<0\) no solo cambia la longitud sino que invierte la dirección del vector?

   Solución: Multiplicar por un negativo hace que ambos componentes cambien de signo, apuntando 180° diferente en el plano.

4. (Práctica) Calcula \(\ 3\cdot (2,4)\). Indica la magnitud antes y después.

   Solución: \(\vec{v}=(2,4)\implies 3\cdot (2,4)=(6,12).\) \(\|\vec{v}\|= \sqrt{4+16}= \sqrt{20}.\) \(\|(6,12)\|= \sqrt{36+144}= \sqrt{180}= \sqrt{20}\times 3.\)

5. (Práctica) Si \(\alpha=-2\) y \(\vec{v}=(1,-3)\), halla \(\alpha\vec{v}\).

   Solución: \((-2)\cdot (1,-3)=(-2,6).\) Invertido (antes apuntaba con y<0, ahora y>0) y magnitud duplicada.

6. (Práctica) Menciona un ejemplo en que \(\alpha=\frac{1}{2}\). ¿Cómo interpretas eso geométricamente?

   Solución: Si \(\vec{v}=(6,2)\), \(\frac{1}{2}\vec{v}=(3,1)\). La longitud se reduce a la mitad, apuntando en la misma dirección.

7. (Práctica) Da un ejemplo donde \(0<\alpha<1\) y uno con \(|\alpha|>1\), ilustrando el cambio de magnitud.

   Solución: - \(\alpha=\frac{1}{3}\), \(\vec{v}=(3,0)\implies \vec{v}'=(1,0)\) (se reduce). - \(\alpha=2,\vec{v}=(3,2)\implies \vec{v}'=(6,4)\) (se duplica).

8. (Práctica) ¿Cómo comprobar que si \(\alpha\) es fraccionario, la magnitud se hace menor?

   Solución: \(\|\alpha\vec{v}\|=|\alpha|\|\vec{v}\|\). Si \(0<|\alpha|<1\), \(\|\alpha\vec{v}\|\) < \(\|\vec{v}\|\). Ejemplo: \(\alpha=\frac{1}{2}, \|\vec{v}\|=10\implies \|\alpha\vec{v}\|=5.\)

9. (Práctica) ¿Cómo representarías la operación \(\alpha \cdot \vec{v}\) en un diagrama geométrico?

   Solución: Dibuja la flecha \(\vec{v}\). Para \(\alpha>0\), alarga/acorta en la misma línea, multiplicando la longitud. Para \(\alpha<0\), la dibujas en la dirección opuesta. Magnitud = \(|\alpha|\|\vec{v}\|\).

10. (Práctica) Si \(\alpha\vec{v}=\vec{v}\), ¿qué significa geométricamente para \(\alpha\)?

    Solución: \(\alpha=1\). El vector no cambia ni en longitud ni en dirección, es la homotecia identidad (no hay transformación).

Problemas

1. Calcula \(\ 2.5\cdot(2,-2)\). ¿Qué pasa con la magnitud y la dirección?

   Solución: \(= (5, -5)\). Se multiplica el largo por 2.5; la dirección se mantiene (apunta donde \((2,-2)\) apuntaba) pues \(\alpha>0\).

2. Un vector \(\vec{v}=(x,y)\). ¿Qué \(\alpha\) hace que \(\alpha\vec{v}=(0.5x,\;0.5y)\)?

   Solución: \(\alpha=0.5\). Es la mitad. Se reduce la magnitud a la mitad.

3. Dibuja un triángulo con vértices representados por vectores \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\). Aplica \(\alpha=3\) a cada uno. ¿Cómo se ve la figura resultante?

   Solución: Multiplicas \(\vec{a}\to 3\vec{a}\), \(\vec{b}\to 3\vec{b}\), \(\vec{c}\to 3\vec{c}\). El triángulo se agranda al triple de distancia del origen, manteniendo la forma y ángulos.

4. Si \(\|\vec{v}\|=10\), y \(\alpha=-2\), ¿cuál es \(\|\alpha \vec{v}\|\)? ¿Cómo interpretas el resultado?

   Solución: \(\|\alpha \vec{v}\|=|-2|\times 10=20.\) Se duplica la magnitud y se invierte la dirección. El negativo no afecta el módulo, solo el sentido.

Homotecia - Página 11: Coordenadas de Vectores Transformados

Introducción

Cuando aplicamos una homotecia de factor \(k\) en el plano cartesiano con centro en el origen, todo punto \((x,y)\) pasa a \((kx,\; ky)\). Esta “regla” simplifica la construcción de figuras e imágenes transformadas.

Transformación en Coordenadas

Para \(P=(x,y)\) y la homotecia \(H_{O,k}\) con \(O=(0,0)\), tenemos \(P'=(kx,ky)\). Si \(k<0\), se añade la inversión de dirección respecto al origen.

Elementos Clave

• Figuras Completas: Basta transformar cada vértice para dibujar la imagen.
• Escala en Ejes: Multiplicar \(x,y\) por \(k\) es como un “zoom” isotrópico en el plano con centro (0,0).

Ejemplos

Ejemplo 1: Un cuadrado con vértices \((0,0)\), \((2,0)\), \((2,2)\), \((0,2)\). Si \(k=3\), los nuevos vértices son \((0,0)\), \((6,0)\), \((6,6)\), \((0,6)\).

Ejemplo 2: Un triángulo \((1,1), (2,1), (2,2)\). Con \(k=-1\), los vértices se vuelven \((-1,-1), (-2,-1), (-2,-2)\).

Práctica

Contamos con 10 ejercicios (3 conceptuales + 7 prácticos) y 4 problemas.

Ejercicios

1. (Conceptual) ¿Por qué aplicar \(H_{O,k}\) con \(O=(0,0)\) en un punto \((x,y)\) se reduce a \((kx,ky)\)?

   Solución: Porque \(\overrightarrow{OP'}=k\cdot \overrightarrow{OP}=(kx, ky)\), de acuerdo a la definición vectorial: \(\vec{v}=(x,y)\to(kx,ky)\).

2. (Conceptual) ¿Qué implica si \(k=0\) para todos los puntos \((x,y)\)?

   Solución: Todo se transforma en \((0,0)\). El plano “colapsa” en el origen.

3. (Conceptual) ¿Cómo distingues un “zoom en 2D” (homotecia) de un estiramiento “solo en x o solo en y”?

   Solución: Un zoom isotrópico multiplica ambos ejes por el mismo \(k\). Un estiramiento no uniforme podría ser \((x,y)\to(ax, by)\), con \(a\neq b\). Eso no es una homotecia pura.

4. (Práctica) Si \((x,y)\to (3x,3y)\), ¿qué factor de homotecia se aplica?

   Solución: \(k=3\). Se triplican las distancias al origen.

5. (Práctica) Dibuja el punto \((2,1)\) y su imagen con \(k=-2\). Escribe las coordenadas resultantes.

   Solución: \((2,1)\to(-4,-2)\). Se ve reflejado en el origen y multiplicado por 2 en magnitud.

6. (Práctica) Considera un rectángulo \((0,0), (4,0), (4,2), (0,2)\). Aplica \(k=0.5\). Escribe las nuevas coordenadas y describe el cambio.

   Solución: \((0,0)\to(0,0), (4,0)\to(2,0), (4,2)\to(2,1), (0,2)\to(0,1)\). Se reduce a la mitad, acercándose al origen.

7. (Práctica) Si en la gráfica una figura se “aleja” del origen, ¿qué puede decirse de \(|k|\)?

   Solución: \(|k|>1\). Se ha producido un agrandamiento en todas las direcciones con respecto al (0,0).

8. (Práctica) Si \((3,4)\) se transformó en \((1.5,2)\), deduce \(k\). Verifica con ambas coordenadas.

   Solución: \(1.5=3k\implies k=0.5.\) Verifica la segunda: \(2=4\times 0.5.\)

9. (Práctica) Describe cómo dibujar una figura homotética en un sistema de ejes si tienes las coordenadas de cada vértice.

   Solución: Para cada vértice \((x_i,y_i)\), calculas \((kx_i, ky_i)\). Unes los nuevos puntos en el mismo orden. Obtendrás la figura escalada (o invertida) respecto del origen.

10. (Práctica) Menciona un ejemplo donde el centro de homotecia no esté en (0,0). ¿Qué habría que hacer?

    Solución: Si el centro es \((x_0,y_0)\), primero trasladas el plano para que \((x_0,y_0)\) quede en el origen, aplicas la homotecia \((kx,ky)\), y luego regresas la traslación. No es solo multiplicar las coordenadas directamente.

Problemas

1. Un polígono con vértices \((0,0), (1,0), (1,2), (0,2)\) se homoteca con \(k=3\). Indica las nuevas coordenadas y describe el nuevo polígono.

   Solución: \((0,0)\to(0,0), (1,0)\to(3,0), (1,2)\to(3,6), (0,2)\to(0,6).\) Es un rectángulo 3 veces más ancho y 3 veces más alto, a 3 veces la distancia del origen.

2. Si \((2,5)\) pasó a \((4,10)\), halla \(k\). ¿Qué ocurre si un tercer punto \((3,5)\) se transformó en \((6,10)\)? ¿Refuerza la misma homotecia?

   Solución: De \((2,5)\) a \((4,10)\), \(4=2k\implies k=2, 10=5k\implies k=2.\) Luego \((3,5)\to(6,10)\) también sugiere \(k=2\). Confirma la misma homotecia.

3. Un triángulo \((1,0),(3,0),(3,2)\). Aplica \(k=-1\). Escribe las nuevas coordenadas. ¿Cómo se ve la figura?

   Solución: \((1,0)\to(-1,0), (3,0)\to(-3,0), (3,2)\to(-3,-2)\). El triángulo se refleja respecto al origen, manteniendo la forma y duplicando la posición en dirección opuesta (en este caso, factor -1 se conserva magnitud).

4. Describe un ejemplo donde \((x,y)\) se transforma en \((0.25x,\;0.25y)\). ¿Qué sucede si \((x,y)\) está en el cuadrante II, por ejemplo \((-4,2)\)?

   Solución: Esto es un factor \(k=0.25\). \((-4,2)\to(-1,0.5)\), se acerca más al origen, manteniendo la dirección (sigue en el cuadrante II), pero la magnitud se reduce a la cuarta parte.