Homotecia - Página 1: Introducción y Proporcionalidad

Introducción

La homotecia es una transformación geométrica que “amplía” o “reduce” figuras manteniendo su forma. Se define por un centro y un factor (\(k\)), y está asociada al concepto de proporcionalidad de segmentos.

Definición

Dada una homotecia \(H_{O,k}\), para cada punto \(P\) se define su imagen \(P'\) de modo que \(O, P, P'\) estén alineados y \(OP' = |k|\cdot OP\). Si \(k<0\), la figura se invierte con respecto al centro \(O\).

Elementos Clave

• Centro \(O\): Punto desde el cual “nace” la transformación.
• Factor \(k\): Escala las distancias; si \(|k|>1\), hay un agrandamiento; si \(|k|<1\), reducción.
• Conservación de Ángulos y Proporcionalidad: Los ángulos no cambian y las longitudes se multiplican por el mismo factor, conservando las razones entre segmentos.

Ejemplos

Ejemplo 1: Triángulo \(ABC\) con homotecia de centro \(O\) y factor \(k=2\). Cada lado se duplica.

Ejemplo 2: Si \(k=-\frac{1}{2}\), no solo se reduce a la mitad sino que también se “voltea” respecto de \(O\).

Práctica

En la siguiente sección encontrarás 10 ejercicios (los primeros 3 enfocados en conceptos y los siguientes 7 en la práctica concreta), más 4 problemas.

Ejercicios

1. (Conceptual) ¿En qué consiste el factor de homotecia? ¿Qué ocurre si es mayor que 1 o entre 0 y 1?

   Solución: El factor \(k\) indica cuánto se agranda o reduce la figura respecto del centro. Si \(|k|>1\), la figura se agranda; si \(0<|k|<1\), se reduce. Si \(k<0\), además se invierte la orientación.

2. (Conceptual) Explica por qué la homotecia conserva la forma de la figura original.

   Solución: Conserva los ángulos y la proporción entre los lados (todos se multiplican por la misma constante), por lo que la “forma” no cambia, solo el tamaño.

3. (Conceptual) ¿Qué significa que los puntos \(O, P, P'\) estén alineados en la definición de homotecia?

   Solución: Indica que \(P'\) se ubica en la prolongación del segmento \(OP\). Todo punto y su imagen se encuentran sobre la misma recta que pasa por el centro \(O\).

4. (Práctica) Dibuja (en tu cuaderno) un cuadrado de lado 2 cm. Aplica una homotecia de factor 3 y centro fuera de la figura. ¿Cuál es la medida del nuevo lado?

   Solución: El lado pasa a medir \(2 \times 3 = 6\) cm. El centro se ubica en cualquier punto, pero la distancia desde ese centro a cada vértice se triplica.

5. (Práctica) Menciona un objeto de la vida real que pueda verse como resultado de una homotecia con \(k>1\).

   Solución: Un proyector ampliando una imagen en la pared, o una lupa que agranda un objeto.

6. (Práctica) ¿Cómo construirías la imagen de un triángulo con factor \(\frac{1}{2}\) de forma manual (regla y compás)?

   Solución (pasos): - Elige centro \(O\). - Trazas semirrectas \(OA, OB, OC\). - Mides \(OA\) y llevas la mitad, obtienes \(A'\). - Repites con \(B, C\). - Unes \(A', B', C'\) para formar el triángulo reducido.

7. (Práctica) Si un punto \(P\) está a 5 cm de \(O\), y aplicas una homotecia con \(k=2\), ¿a qué distancia quedará \(P'\) de \(O\)?

   Solución: \(P'\) estará a \(5 \times 2 = 10\) cm de \(O\).

8. (Práctica) ¿Qué ocurre con una figura entera si \(\;k=0\;\)? Ilustra con un ejemplo simple.

   Solución: Todos los puntos “colapsan” en el centro \(O\). Por ejemplo, si un triángulo \(ABC\) tiene homotecia con \(k=0\), los puntos \(A', B', C'\) coinciden en \(O\).

9. (Práctica) Dibuja dos rectas cualesquiera que se corten en \(O\) y marca un punto \(P\) en una de ellas. Describe cómo encontrar el punto \(P'\) si se aplica un factor \(k=-2\).

   Solución: - Trazas el segmento \(OP\). - Mides \(OP\) y lo multiplicas por 2, pero en sentido opuesto (debido a \(k<0\)). - Marcas \(P' \) a esa distancia al otro lado de \(O\).

10. (Práctica) En un experimento con sombras, un bloque está a cierta distancia de la linterna (centro). ¿Qué variable determina el factor de homotecia de la sombra?

    Solución: La relación de distancias entre el bloque, la linterna y la pared (o superficie de proyección) determina el factor \(|k|\). Cuanto más lejos la pared o más cerca el objeto, mayor la sombra.

Problemas

1. Un triángulo \(ABC\) tiene sus vértices a 3 cm, 4 cm y 5 cm del centro \(O\). Si aplicas una homotecia con \(k=2\), ¿a qué distancias quedan los vértices de \(O\)?

   Solución: Cada vértice duplica su distancia a \(O\), quedando a 6, 8 y 10 cm respectivamente.

2. Diseña un ejemplo de homotecia con \(k=-3\) que muestre claramente la inversión de la figura y su ampliación.

   Solución (orientación): - Toma un cuadrado de lado 1 cm, con un centro \(O\) externo. - Mide cada vértice a \(O\) y multiplica por 3, en sentido opuesto, para marcar los nuevos vértices. - Se observará la figura “volteada” y ampliada al triple.

3. Un estudiante cree que “la homotecia cambia la forma de un rectángulo”. ¿Cómo lo refutarías con mediciones concretas?

   Solución: Mostrando que los lados mantienen la misma proporción y los ángulos siguen siendo rectos; solo se escala. Mides el rectángulo original (relación largo-ancho) y el resultado (todos los lados multiplicados por el mismo factor).

4. En un plano, el punto \(P\) está a 2,5 cm de \(O\). Se aplica una homotecia con \(k=4\). Luego otra con \(k=\frac{1}{4}\). ¿Dónde termina \(P\) finalmente?

   Solución: Primero pasa a \(10\) cm (por factor 4). Después, al multiplicar esa nueva distancia por \(\frac{1}{4}\), regresa a los 2,5 cm originales, es decir, vuelve a \(P\).

Homotecia - Página 2: Homotecia en la Vida Diaria

Introducción

La homotecia no es solo un concepto teórico; se manifiesta en diversos fenómenos cotidianos: en la perspectiva de un dibujo, en el funcionamiento de cámaras o incluso en la formación de imágenes en el ojo humano.

Observaciones sobre Homotecia en lo Cotidiano

- Cuando miramos a través de una lupa, el factor de homotecia \(|k|>1\) “agranda” la imagen. - En cambio, la imagen en la retina del ojo suele ser una versión reducida \((0<|k|<1)\), y además invertida (factor negativo si lo vemos como proyección geométrica). - Las proyecciones en paredes (luces y sombras) también responden a la idea de un punto de luz como centro de homotecia y la pared como plano de proyección.

Elementos Clave

• Centro: El ojo, el lente, o la fuente de luz actúan como un “centro”.
• Factor: Relacionado con las distancias entre objeto, foco y superficie de proyección.
• Aplicaciones: Cualquier escenario con “rayos” emanando desde un punto puede analizarse como una homotecia.

Ejemplos

Ejemplo 1: La lupa

Al acercar un objeto, su imagen se ve mayor en el ojo. El “centro” es la lente; \(|k|\) depende de la distancia al objeto.

Ejemplo 2: Perspectiva de dibujo

Las líneas parecen converger en uno (o más) puntos de fuga, interpretables como “centros” de proyección. Aunque la perspectiva no siempre es una homotecia pura, la idea central de “proyección desde un punto” sigue presente.

Práctica

A continuación, 10 ejercicios (3 conceptuales, 7 de práctica) y 4 problemas.

Ejercicios

1. (Conceptual) Explica por qué la formación de la imagen en el ojo puede verse como una homotecia (aunque invertida).

   Solución: Los rayos de luz convergen en la lente del ojo (centro), y la imagen se forma en la retina con un cierto factor de reducción (y en posición invertida respecto al objeto).

2. (Conceptual) ¿Qué rol cumple la “fuente de luz puntual” en la proyección de sombras interpretada como homotecia?

   Solución: Hace de centro de homotecia; todos los rayos parten de ese punto y proyectan el objeto sobre la pared.

3. (Conceptual) ¿Por qué el término “paralelismo” se mantiene en muchas aplicaciones prácticas de homotecia?

   Solución: Porque si dos líneas eran paralelas en el objeto, sus imágenes bajo la misma homotecia también lo son, lo cual se ve en lentes o proyecciones (salvo distorsiones secundarias).

4. (Práctica) Piensa en un experimento casero: una lámpara de escritorio y un objeto que proyecta sombra en la pared. Describe cómo observarás el cambio de tamaño de la sombra al mover el objeto.

   Solución: Al acercar el objeto a la lámpara, el factor \(|k|\) aumenta y la sombra se agranda; al alejarlo, \(|k|\) disminuye y la sombra se hace menor en la pared, confirmando la idea de homotecia.

5. (Práctica) ¿Cómo interpretarías la lente de un proyector de diapositivas en términos de homotecia?

   Solución: Es el centro de homotecia, desde donde se “lanza” la imagen al lienzo o pared, generalmente con \(|k|>1\) para ampliar la diapositiva.

6. (Práctica) Explica por qué una lupa puede generar distinta “ampliación” según la posición del objeto.

   Solución: El factor \(|k|\) depende de la distancia del objeto a la lente y la distancia al ojo, por lo que variando esa posición cambia la escala proyectada en la retina.

7. (Práctica) Describe un ejemplo donde la homotecia sea una reducción, no un agrandamiento, en la vida diaria.

   Solución: Una cámara fotográfica reduce la escena real a un pequeño sensor/negativo; es una homotecia con \(|k|<1\).

8. (Práctica) Si se desea que una sombra sea el doble del tamaño del objeto, ¿qué relación de distancias necesitarás entre el objeto, la fuente y la pantalla? (Responde en forma cualitativa).

   Solución: La distancia objeto-pantalla, en proporción a objeto-fuente, debe ajustarse para que \(|k|=2\). Cuanto más cerca el objeto esté del foco, más grande la sombra, y viceversa.

9. (Práctica) ¿En qué se diferencia la proyección de una linterna (fuente puntual) de la que produce el sol (rayos casi paralelos) respecto a la homotecia?

   Solución: Con el sol, los rayos se consideran paralelos, así que no hay un “centro” cercano. Con una linterna puntual, el centro es evidente y la sombra se puede analizar como homotecia con un solo foco. Con el sol, más bien se aplica Tales (rayos paralelos).

10. (Práctica) Si usas una cámara para tomar una foto, ¿cómo describirías el rol del diafragma en la “reducción” homotética?

    Solución: El diafragma limita la cantidad de luz, pero el factor \(|k|\) depende más de la posición de la lente y el sensor (o película). El diafragma no cambia la escala, sino la luz que entra; sin embargo, el centro sigue siendo el lente, reduciendo la escena al tamaño del sensor.

Problemas

1. Un proyector está situado a 2 m de la pared y la imagen proyectada mide 1 m de ancho. Si se quiere que mida 2 m de ancho, ¿dónde habría que colocar el proyector (asumiendo linealidad)?

   Solución: Si duplicamos el tamaño de la imagen, habría que duplicar la distancia a la pared, o sea ponerlo a 4 m.

2. Observa tu sombra en el suelo un día soleado (rayos casi paralelos) vs. una linterna en un cuarto oscuro. Contrasta con ejemplos concretos en qué difieren las proyecciones.

   Solución: - Con el sol, la sombra tiene un tamaño casi constante porque los rayos son paralelos. - Con linterna, la sombra varía mucho según la distancia objeto-fuente-pared (homotecia con centro cercano).

3. Diseña un pequeño experimento escolar para mostrar que una lupa produce una homotecia con \(|k|>1\).

   Solución: - Toma una regla y observa a través de la lupa a distinta distancia. - Mide visualmente la imagen ampliada. - Comprueba que la escala \(|k|\) es mayor a 1. - Ajusta la distancia y ve cómo cambia el factor.

4. En una cámara oscura (caja con orificio pequeño), la imagen se ve invertida en la pared interna. ¿Cómo describirías este efecto usando el lenguaje de la homotecia y el factor negativo?

   Solución: El orificio actúa como centro (approx.). \(|k|<1\) indica reducción, y \(k<0\) implica inversión de la imagen respecto al “centro” (proyección invertida).

Homotecia - Página 3: Construcción y Modelos Concretos

Introducción

En esta página combinamos dos focos: la construcción manual de homotecias (regla y compás) y ejemplos de modelos concretos (proyección de sombras, fuente de luz puntual, etc.).

Construcción Manual

Para construir la imagen de una figura \(F\) bajo homotecia de centro \(O\) y factor \(k\):

• Une \(O\) con cada vértice \(P\) de \(F\).
• Mide \(\overline{OP}\) y multiplícalo por \(|k|\). - Si \(k>0\), sigue la misma dirección. - Si \(k<0\), toma la dirección contraria.
• Marca el nuevo punto \(P'\). Repite con los demás vértices. Une estos nuevos puntos para formar \(F'\).

Modelos Concretos

• Sombras: Una lámpara (centro) proyecta un objeto en la pared, generando una figura homotética.
• Varillas y bloque: Permiten trazar la línea de proyección y comprobar la conservación de razones.

Ejemplos

Ejemplo de Construcción: Un triángulo \(ABC\) con centro \(O\) externo y factor \(k=1.5\): Mide \(OA\), \(\times 1.5\), marcas \(A'\). Igual con \(B\), \(C\). Une \(A', B', C'\).

Ejemplo de Sombras: Al acercar un bloque a la luz, la sombra se agranda; al alejarlo, se reduce.

Práctica

Incluimos 10 ejercicios (3 conceptuales + 7 prácticos) y 4 problemas.

Ejercicios

1. (Conceptual) ¿Por qué el paralelismo se mantiene en la construcción de la figura homotética?

   Solución: Las rectas correspondientes salen de un mismo centro y se escalan. Si dos rectas eran paralelas, sus imágenes seguirán siéndolo, pues cada punto se mueve proporcionalmente desde el mismo foco.

2. (Conceptual) Explica brevemente por qué la distancia \(OP\) en la construcción se multiplica por \(|k|\) y no se suma o divide.

   Solución: La definición de homotecia es un escalamiento por el factor \(k\). Todas las longitudes se multiplican por \(|k|\), de ahí que sea la operación fundamental.

3. (Conceptual) ¿En qué se diferencia una homotecia manual (regla y compás) de un dibujo con software de geometría dinámica?

   Solución: Manualmente, mides y transportas distancias; con software, a menudo usas herramientas automáticas para escalar figuras. Conceptualmente es lo mismo: la figura se construye escalando según el factor \(k\).

4. (Práctica) Dibuja un pentágono y su imagen homotética con \(k=2\). Describe tus pasos de medición en cada vértice.

   Solución (pasos resumidos): - Eliges un punto \(O\). - Para cada vértice \(P\), trazas \(OP\). - Mides \(\overline{OP}\) y llevas el doble (factor 2). - Marcas \(P'\). - Une los \(P'\) para formar el pentágono ampliado.

5. (Práctica) Explica un experimento con una linterna y un lápiz para ilustrar la homotecia mediante sombras.

   Solución: - Apunta la linterna (centro) hacia una pared. - Coloca el lápiz a distintas distancias de la linterna. - Observa que la sombra (imagen) se hace más grande cuando el lápiz se acerca al centro; se hace más pequeña cuando se aleja.

6. (Práctica) ¿Cómo construirías la imagen de un segmento con factor \(-3\)?

   Solución (resumen): - Escoger centro \(O\). - Trazar \(OA\) para un extremo, medir \(\times 3\) en dirección opuesta (porque \(k<0\)). - Repetir con el otro extremo. - Unir los dos puntos para obtener el segmento homotético invertido.

7. (Práctica) Al usar regla y compás, ¿cómo transportas una distancia “\(OP\) \(\times 2\)” al trazar?

   Solución: - Mides \(\overline{OP}\) con el compás, - luego desde \(O\) vuelves a “pinchar” la distancia \(\overline{OP}\) dos veces seguidas en la misma recta, - así obtienes la distancia doble.

8. (Práctica) Menciona un posible error común al construir homotecias manualmente y cómo corregirlo.

   Solución: - Error: no mantener la recta \(OP\) al prolongarla o no medir con exactitud la distancia multiplicada. - Corrección: usar el compás con cuidado y verificar la alineación en cada vértice.

9. (Práctica) Describe paso a paso cómo dibujar la sombra de un bloque usando un punto “foco” sobre el papel (centro) y una “pantalla” trazada.

   Solución (resumen): - Marca un punto \(O\) (fuente). - Dibuja el contorno del bloque en la posición dada. - Para cada vértice, traza la línea hacia \(O\). - Donde intersecta la “pantalla” (línea/plano), quedará la sombra homotética.

10. (Práctica) ¿Cómo verificarías que dos figuras son homotéticas mediante un experimento?

    Solución: Hallas un punto \(O\) desde el que los vértices de una figura y la otra “alineen” y midan distancias proporcionales con el mismo factor \(|k|\). Si se confirma, son homotéticas.

Problemas

1. Construye manualmente con regla y compás la homotecia de factor 2 para un cuadrilátero y describe los pasos con detalle.

   Solución (guía): - Marca \(O\). - Para cada vértice \(P\), traza \(OP\). - Mide \(OP\), transpórtalo dos veces para obtener \(P'\). - Une los vértices transformados, formándose el cuadrilátero homotético.

2. Diseña un experimento de sombras con una lámpara y un cubo, midiendo distancias reales y el tamaño de la sombra en la pared. ¿Cómo demostrarías que hay proporcionalidad homotética?

   Solución: - Mides la distancia cubo-lámpara, lámpara-pared, y la sombra “base” del cubo. - Verificas que la razón (tamaño sombra / tamaño real) se mantiene (o cambia predeciblemente) al modificar la distancia del cubo a la lámpara, confirmando un factor homotético.

3. ¿Cómo construirías la homotecia con factor \(\frac{1}{3}\) si el centro está dentro de la figura?

   Solución: - Misma técnica: Trazar semirrectas \(OP\). - Tomar \(\frac{1}{3}\) de la distancia \(OP\). - Localizar \(P'\). - Aunque el centro esté en el interior, la reducción se traza de igual modo.

4. Explica cómo usar varillas para “demostrar” que la sombra de un objeto en un punto focal se comporta como una homotecia.

   Solución: - Colocas varillas que indiquen la línea desde el foco a los vértices del objeto. - Donde se crucen con la “pantalla”, se forma la sombra homotética. - Se miden distancias para comprobar la escala uniforme.

Homotecia - Página 4: Homotecia y el Teorema de Tales

Introducción

El Teorema de Tales (en sus distintas versiones) establece la igualdad de razones cuando existen rectas paralelas que cortan transversales. La homotecia permite entender por qué las proporciones de segmentos se mantienen en esas configuraciones.

Teorema de Tales

En su forma más conocida (Tales n° 1), si dos rectas se cortan en un punto \(O\) y son atravesadas por rectas paralelas, entonces los segmentos determinados sobre cada recta guardan proporción.

En notación: si \(OA\) y \(OB\) se cortan en \(O\), y hay una recta paralela a \(AB\) que intersecta \(OA\) en \(A'\) y \(OB\) en \(B'\), entonces \[ \frac{OA'}{OA} = \frac{OB'}{OB}. \] La homotecia con centro \(O\) explica esta igualdad de razones.

Elementos Clave

• Paralelismo y Conservación de Razones: En una homotecia, las líneas correspondientes permanecen paralelas.
• Centro Común: El punto de intersección \(O\) actúa como centro de homotecia.
• Segmentos Proporcionales: \(\frac{OA'}{OA} = \frac{OB'}{OB} = k\).

Ejemplos

Ejemplo de Tales 1:

Si \(A'B'\) es paralelo a \(AB\), entonces \(\frac{OA'}{OA} = \frac{OB'}{OB}\).

Ejemplo de Tales 2:

Para triángulos rectángulos con ángulos iguales, se deducen razones similares.

Práctica

A continuación, 8 ejercicios y 4 problemas sobre la relación entre homotecia y Teorema de Tales.

Ejercicios

1. ¿Por qué la homotecia garantiza la igualdad de razones entre segmentos?

   Solución: Porque si un segmento mide \(x\) y otro \(y\), en la imagen miden \(kx\) y \(ky\); su razón \(\frac{x}{y}\) permanece igual a \(\frac{kx}{ky}\).

2. Explica con tus palabras el Teorema de Tales n° 1.

   Solución: Si tienes dos líneas que se cruzan en un punto \(O\) y dibujas una recta paralela a uno de los lados, los segmentos interceptados conservan la misma proporción.

3. ¿Por qué el paralelismo de ciertas rectas resulta clave en Tales?

   Solución: El paralelismo asegura que la transformación sea una homotecia, manteniendo la proporción de longitudes y la igualdad de ángulos.

4. Dibuja un ejemplo simple de Tales n° 1 en tu cuaderno e identifica el centro de homotecia.

   Solución (orientación): Traza dos líneas que se crucen en \(O\). Escoge un par de puntos \(A, B\) en cada línea. Dibuja una recta paralela a \(AB\) que cruce esas líneas en \(A', B'\). \(O\) es el centro de homotecia.

5. ¿Cómo relacionar la homotecia con el Teorema de Tales 2?

   Solución: Tales 2 habla de triángulos con ángulos fijos, lo cual implica paralelismo en ciertas líneas al proyectar; la homotecia justifica la conservación de proporciones.

6. ¿Qué ocurre si las rectas no son paralelas en la configuración de Tales n° 1?

   Solución: No hay igualdad de razones, y no se puede establecer la misma relación homotética.

7. Indica un ejemplo práctico de medición de alturas que use Tales.

   Solución: Comparar la sombra de un palo (cuya altura conocemos) con la sombra de un árbol; asumiendo rayos solares “paralelos”, se aplica Tales: \(\frac{\text{altura del palo}}{\text{altura del árbol}} = \frac{\text{long sombra del palo}}{\text{long sombra del árbol}}\).

8. ¿Cómo escribirías la razón entre dos pares de segmentos en Tales n° 1?

   Solución: Usualmente, \(\frac{OA'}{OA} = \frac{OB'}{OB}\) o \(\frac{A'B'}{AB} = k\), dependiendo de la configuración concreta.

Problemas

1. Dibuja un par de líneas que se crucen en \(O\), traza un segmento \(AB\) y una recta paralela a \(AB\). Mide los longitudes y verifica la igualdad de razones.

   Solución: Al medir, se debe cumplir \(\frac{OA'}{OA} = \frac{OB'}{OB}\). Las distancias dependen de tu dibujo, pero deben guardar la misma proporción.

2. Explica por qué se dice que Tales n° 1 es una “proyección” desde \(O\).

   Solución: Porque todo nace desde \(O\): las líneas se proyectan a través de un paralelismo, y la homotecia es la que preserva la razón de longitudes.

3. Aplica Tales para hallar la altura de un edificio usando la sombra de un palo de 1 m.

   Solución: Si el palo mide 1 m y su sombra es \(s\), y la sombra del edificio es \(S\), la altura \(H\) del edificio cumple \(\frac{1}{H} = \frac{s}{S} \implies H = \frac{S}{s}\).

4. Si en un dibujo, \(\frac{OA'}{OA} = \frac{1}{3}\) y \(OA = 9\) cm, ¿cuánto mide \(OA'\)? ¿Qué factor de homotecia representa?

   Solución: \(OA' = \frac{1}{3} \times 9 = 3\) cm. El factor de homotecia es \(k = \frac{OA'}{OA} = \frac{1}{3}\), o sea, una reducción a un tercio.

Homotecia - Página 5: Aplicaciones del Teorema de Tales

Introducción

El Teorema de Tales se usa para dividir segmentos en partes iguales, medir alturas inaccesibles con sombras, y resolver numerosos problemas geométricos y de la vida cotidiana.

Recordatorio

Tales n° 1: si tienes dos líneas que se cortan en \(O\) y dibujas una paralela a un segmento \(AB\) que cruza esas líneas, se forman proporciones de longitudes \(\frac{OA'}{OA} = \frac{OB'}{OB}\).

Elementos Prácticos

• Medición Indirecta: Uso de “rayos paralelos” (sol) para comparar sombras.
• División de Segmentos: Trazando un haz de rectas paralelas que interceptan el segmento.

Ejemplos

Ejemplo 1: Dividir un segmento en partes iguales sin usar la escala de la regla. Se dibuja una recta oblicua, se marcan \(n\) marcas equidistantes, se une la última con el otro extremo y se trazan paralelas.

Ejemplo 2: Medir la altura de un objeto grande comparándolo con la sombra de un objeto pequeño (palo).

Práctica

Aquí encontrarás 10 ejercicios (3 conceptuales, 7 prácticos) y 4 problemas.

Ejercicios

1. (Conceptual) ¿Por qué las rectas “solares” se consideran paralelas y permiten aplicar Tales?

   Solución: La distancia al sol es tan grande que sus rayos llegan casi paralelos a la Tierra, haciendo válida la suposición de “rayos paralelos” en problemas de sombras.

2. (Conceptual) Explica la diferencia entre “problemas geométricos” y “problemas de la vida diaria” que usan Tales.

   Solución: En los geométricos, se busca longitudes o relaciones abstractas en figuras dibujadas. En la vida diaria, se mide objetos reales (arboles, edificios) usando sombras o mapas con la misma base teórica.

3. (Conceptual) ¿Cómo interpretas la “inaccesibilidad” de una medida, y cómo Tales lo soluciona?

   Solución: “Inaccesible” significa que no podemos medir directamente (muy alto, ancho de un río, etc.). Tales permite trazar líneas paralelas y transferir la medida a un segmento más pequeño y manejable.

4. (Práctica) Describe cómo dividir un segmento de 8 cm en 4 partes iguales aplicando Tales y una recta auxiliar.

   Solución (pasos): - Trazas una recta oblicua desde un extremo. - Marcas 4 segmentos iguales en la recta oblicua (por ejemplo 1 cm cada uno). - Conectas el cuarto punto con el otro extremo del segmento original. - Trazas paralelas a esa unión desde los otros 3 puntos, cortando el segmento original en 4 partes de 2 cm cada una.

5. (Práctica) Si tienes un palo de 1 m y su sombra mide 0,8 m, mientras la sombra de un árbol mide 4 m, halla la altura del árbol usando Tales.

   Solución: \(\frac{1 \text{ m (palo)}}{H \text{ (árbol)}} = \frac{0.8 \text{ m (sombra palo)}}{4 \text{ m (sombra árbol)}} \implies H = \frac{4}{0.8} \times 1 = 5 \text{ m}.\)

6. (Práctica) Explica cómo usar Tales para dividir un ángulo en partes iguales (sugiere un método).

   Solución: - Desde el vértice del ángulo traza un segmento oblicuo. - Marca \(n\) partes iguales sobre esa semirrecta. - Conecta la última marca con el otro lado del ángulo. - Traza paralelas a esa línea desde las otras marcas, dividiendo así el ángulo en partes iguales.

7. (Práctica) Dibuja un croquis de “ancho de un río” y cómo lo medirías desde un solo lado usando Tales.

   Solución (esquema): - Marcas puntos a lo largo de la orilla. - Trazas paralelas hacia la otra orilla, de modo que la proporción te permita calcular el ancho real sin cruzar el río.

8. (Práctica) Da un ejemplo de problema en que uses Tales para escalas en un mapa.

   Solución: - “Si en el mapa la distancia entre dos ciudades es 3 cm y en la realidad 150 km, traza una recta paralela para ubicar otra ciudad y deducir su distancia real usando la misma proporción.”

9. (Práctica) ¿Cómo comprobarías experimentalmente que las razones de segmentos son iguales al mover las rectas paralelas?

   Solución: Con un software o en papel, mantén la paralela “fija”, desplaza los puntos en las transversales, midiendo en cada posición para ver que \(\frac{OA'}{OA}\) y \(\frac{OB'}{OB}\) siguen siendo iguales.

10. (Práctica) Menciona una utilidad de Tales para construir gráficas “a escala” de datos estadísticos.

    Solución: Al proyectar o agrandar ejes, se puede usar la idea de que las distancias en el eje vertical/horizontal mantienen la misma proporción, aplicando una “homotecia” en la elaboración de gráficos.

Problemas

1. Necesitas dividir un terreno en la proporción 2:3 (dos partes, no iguales). ¿Cómo aplicarías Tales para determinar el punto de división en un plano?

   Solución: - Trazas un segmento que represente el terreno. - Desde un extremo, dibujas una recta oblicua y marcas 5 partes (2+3). - Une la quinta marca con el otro extremo del terreno. - Paralelas desde las marcas 2 y 3 cortan el terreno en esa proporción 2:3.

2. Calcula la altura de un farol si un poste de 1,5 m produce una sombra de 1 m y el farol produce una sombra de 3,5 m (asumiendo rayos solares paralelos).

   Solución: \(\frac{1.5}{H}=\frac{1}{3.5} \implies H= \frac{3.5 \times 1.5}{1} = 5.25 \text{ m}.\)

3. Dibujar (en papel) un ejemplo real: un triángulo con base 6 cm y una recta paralela a dicha base que intercepte los lados. Verifica la razón de los segmentos formados.

   Solución: Tras el dibujo, mide la base y la “base paralela”. Se cumple que \(\frac{\text{base paralela}}{6} = \frac{\text{distancia al vértice}}{\text{distancia total}}\). El factor coincide en ambos lados.

4. Un ejercicio en clase pide agrandar un cuadrado 4 veces “por Tales” sin compás, solo usando una regla no graduada. Indica los pasos.

   Solución: - Dibuja una recta oblicua desde un vértice. - Marca 4 segmentos iguales en esa recta. - Une la 4.ª marca con el lado opuesto. - Trazas paralelas al “lado” desde las otras marcas. - Obtienes el cuadrado 4 veces mayor, aprovechando el factor \(\frac{OA'}{OA}=4\).

Homotecia - Página 6: Semejanza de Figuras

Introducción

Dos figuras son semejantes cuando una puede obtenerse de la otra mediante ampliaciones o reducciones (homotecias) y/o movimientos rígidos (rotaciones, traslaciones, reflexiones). Conservan la forma pero pueden cambiar de tamaño.

Definición de Semejanza

Figuras \(F\) y \(F'\) son semejantes si existe un factor \(|k|\neq 0\) tal que las longitudes se relacionan en proporción constante y los ángulos correspondientes son iguales.

Elementos Clave

• Ángulos Iguales: Un rasgo esencial en la semejanza.
• Razón de Lados: Si un lado mide \(a\) y su correspondiente \(a'\), entonces \(\frac{a'}{a} = k\) (el mismo \(k\) para todos los pares de lados).
• Criterios de Semejanza (triángulos): AA, LAL, LLL.

Ejemplos

Ejemplo 1: Un cuadrado de lado 2 y otro de lado 6 son semejantes con factor 3. Los ángulos (90°) son iguales y la razón de lados es 3.

Ejemplo 2: Triángulos con ángulos \(60^\circ, 40^\circ, 80^\circ\) y distintos tamaños son semejantes, pues comparten ángulos.

Práctica

Aquí tendrás 10 ejercicios (3 conceptuales, 7 prácticos) + 4 problemas.

Ejercicios

1. (Conceptual) ¿Por qué se dice que la semejanza mantiene la forma pero no el tamaño?

   Solución: Los ángulos se conservan (la forma no cambia), pero las longitudes se escalan por un factor \(|k|\) (el tamaño puede variar).

2. (Conceptual) Explica el rol de la homotecia en la definición de figuras semejantes.

   Solución: Una homotecia (más posibles giros/traslaciones) permite pasar de una figura a otra con ángulos idénticos y lados proporcionales, fundamento de la semejanza.

3. (Conceptual) ¿Cómo se relacionan la semejanza y la congruencia?

   Solución: La congruencia es un caso particular de semejanza con factor \(k=1\). Es decir, mismas dimensiones y misma forma.

4. (Práctica) Comprueba con un dibujo que dos triángulos con ángulos correspondientes iguales son semejantes. Mide sus lados para confirmar la misma razón.

   Solución (guía): - Dibuja 2 triángulos con ángulos (ej. 30°, 60°, 90°). - Mide sus lados para ver si \(\frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} = \frac{c'}{c}\). - Concluye que comparten forma.

5. (Práctica) Si un triángulo rectángulo tiene lados (3,4,5) y otro tiene (6,8,10), comprueba la semejanza midiendo la razón.

   Solución: La razón es 2: \(\frac{6}{3}=\frac{8}{4}=\frac{10}{5}=2\). Ángulos coinciden, por tanto son semejantes.

6. (Práctica) Menciona un caso en que dos figuras no sean semejantes. Dibuja un ejemplo.

   Solución: Un rectángulo 2×3 y otro 2×4 no guardan la misma razón de lados, no tienen la misma forma. Ángulos coinciden (rectos), pero la forma es distinta por la proporción de lados.

7. (Práctica) Si dos polígonos regulares (por ejemplo, hexágonos) difieren solo en tamaño, justifica que son semejantes.

   Solución: Polígonos regulares del mismo número de lados tienen ángulos iguales. Solo cambia la longitud de los lados, escalada por \(|k|\). Luego son semejantes.

8. (Práctica) Realiza un experimento con fotocopias: amplía una figura en 150% y mide los ángulos antes y después. ¿Qué observas?

   Solución: Los ángulos no cambian; los lados sí, se alargan 1.5 veces. Esto muestra una semejanza (homotecia) en la fotocopia ampliada.

9. (Práctica) Explica la relación entre el factor de semejanza y la proporción de perímetros en figuras semejantes.

   Solución: Si el factor es \(k\), cada lado se multiplica por \(k\). El perímetro total también se multiplica por \(k\).

10. (Práctica) ¿Qué le ocurre a las áreas en dos figuras semejantes con factor \(k\)?

    Solución: Las áreas se multiplican por \(k^2\). Esto se puede ver en triángulos, polígonos e incluso sólidos (donde el factor volumétrico sería \(k^3\)).

Problemas

1. Dos pentágonos regulares tienen lados 3 cm y 9 cm. ¿Cuál es la razón de semejanza? ¿En qué razón se transforman sus perímetros?

   Solución: La razón lineal es \(\frac{9}{3}=3\). Los perímetros también están en razón 3:1, pues cada lado se multiplica por 3.

2. Dos triángulos semejantes tienen áreas en razón 1:4. ¿Cuál es la razón de sus lados?

   Solución: Si \(\text{área}_2 = 4 \cdot \text{área}_1\), la razón lineal de lados es \(\sqrt{4}=2\). Por tanto \(k=2\).

3. Construye un ejemplo de dos figuras planas cualesquiera y demuestra (midiendo) que son semejantes (o que no lo son).

   Solución (pauta): - Dibuja dos polígonos. - Mide lados y ángulos. - Si \(\frac{l'_1}{l_1} = \frac{l'_2}{l_2} = ...\) y los ángulos correspondientes son iguales, son semejantes; de lo contrario, no.

4. Si duplicas cada dimensión de un rectángulo 2×3 para obtener 4×6, ¿cómo se relacionan perímetros y áreas? Verifícalo con números.

   Solución: - El perímetro pasa de \(2(2+3)=10\) a \(2(4+6)=20\) (factor 2). - El área pasa de \(2 \times 3=6\) a \(4 \times 6=24\) (factor 4 = \(2^2\)).

Homotecia - Página 7: Modelos a Escala

Introducción

Un modelo a escala representa un objeto real de modo semejante (aumentado o reducido). Por ejemplo, en maquetas, planos de arquitectura, mapas, etc.

Definición

La escala es la razón entre una medida en el modelo (maqueta, plano) y la medida correspondiente en el objeto real. Por ejemplo, 1:50 indica que 1 cm en el modelo equivale a 50 cm en la realidad.

Elementos Clave

• Factor de Reducción/Aumento (\(k\)): Si \(k>1\), es ampliación; si \(0, reducción.<="" li="">
• Áreas y Volúmenes: Se escalan con \(k^2\) y \(k^3\), respectivamente.

Ejemplos

Ejemplo 1: Una maqueta de un edificio a escala 1:100: 1 cm en la maqueta = 100 cm (1 m) en la realidad.

Ejemplo 2: Un mapa a escala 1:25.000: 1 cm en el mapa = 25.000 cm en el terreno = 250 m.

Práctica

Ahora, 10 ejercicios (3 conceptuales + 7 prácticos) y 4 problemas.

Ejercicios

1. (Conceptual) ¿Por qué los modelos a escala son un caso de homotecia con \(|k|<1\) (generalmente), y cómo se justifica que la forma se conserva?

   Solución: En la mayoría de casos, \(|k|<1\) pues se reduce. Se conserva la forma porque se multiplican todas las medidas lineales por el mismo factor, manteniendo los ángulos.

2. (Conceptual) Explica la relación “1:50” en un plano, indicando por qué se ve como un “factor de homotecia”.

   Solución: 1 cm en el plano equivale a 50 cm en la realidad. Es un factor de 1/50 si vas de la realidad al plano, y 50 si vas del plano a la realidad. La homotecia escalona todas las medidas lineales en esa razón.

3. (Conceptual) ¿Por qué se dice que las “leyendas” o “escalas gráficas” en un mapa también reflejan la idea de homotecia?

   Solución: Una barra dibujada (por ej. 1 cm = 100 km) es una forma visual de homotecia: cualquier distancia “x cm” en el mapa corresponde a “x*100 km” en la realidad.

4. (Práctica) Si la escala de un plano es 1:75, y en el plano un muro mide 4 cm, ¿cuál es la longitud real en metros?

   Solución: 4 cm * 75 = 300 cm = 3 m.

5. (Práctica) Una maqueta está hecha a escala 1:10. El edificio real mide 60 m de altura, ¿cuánto mide la maqueta?

   Solución: Primero pasa 60 m a 6000 cm, a escala 1:10 → 6000/10 = 600 cm = 6 m en la maqueta. (Ojo, es un “factor mayor a 1” si vas de la maqueta a la realidad, pero la escala se expresa 1:10 en el plano de la maqueta.)

6. (Práctica) Si tienes un auto de juguete con escala 1:25 que mide 20 cm de largo, halla la longitud del auto real.

   Solución: 20 cm * 25 = 500 cm = 5 m.

7. (Práctica) Explica por qué un “zoom digital” en una computadora también puede verse como homotecia en la pantalla.

   Solución: Todas las coordenadas (píxeles) se multiplican por un factor \(|k|\) que agranda o reduce la imagen, manteniendo la forma (proporcionalidad).

8. (Práctica) ¿Cómo obtienes la escala si conoces una medida del modelo y la medida real del objeto?

   Solución: Escala = (medida del modelo) : (medida real). Por ejemplo, si en el modelo son 2 cm y en la realidad 100 cm, es 1:50.

9. (Práctica) Describe la relación entre el factor lineal \(|k|\) y el factor de las áreas \(k^2\) en un plano arquitectónico.

   Solución: Si la escala es 1:n en longitud, las áreas reales se reducen en 1:n² en el plano. Por ejemplo, 1:100 hace que un área de 10000 cm² en plano represente 10000 × 100 = 1.000.000 cm² en la realidad.

10. (Práctica) Si un diseñador pasa de escala 1:100 a 1:50, ¿qué factor de ampliación está aplicando sobre el plano original?

    Solución: Se duplica cada dimensión. Pasar de 1:100 a 1:50 multiplica todas las medidas por 2.

Problemas

1. Un plano está a escala 1:200. Si un salón mide 4 cm en ese plano, ¿cuál es la medida real en metros?

   Solución: 4 cm * 200 = 800 cm = 8 m.

2. Necesitas dibujar un edificio de 25 m de alto en un plano donde 1 cm = 5 m. ¿Cuántos cm ocupará ese edificio en el papel?

   Solución: \(\frac{25 \text{ m}}{5 \text{ m/cm}}=5 \text{ cm}.\)

3. Diseña una actividad de clase para que los estudiantes construyan un “plano” de la sala de clases a escala 1:50.

   Solución (sugerencia): - Miden el largo y ancho reales con una huincha. - Convierten esas medidas a cm en el plano usando \(\frac{1}{50}\). - Dibujan puertas, ventanas, muebles, etc. manteniendo la escala.

4. Un diseñador de maquetas usa 1:25 para un auto que mide 5 m. Por algún error, la maqueta resultó de 18 cm. ¿Cuál debería haber sido la medida correcta? ¿En qué factor se equivocó?

   Solución: Debería ser \(5 \text{ m }=500 \text{ cm}\). Escala 1:25 \(\implies \frac{500}{25}=20\) cm. Construyó 18 cm en vez de 20. Se equivocó en un factor \(\frac{18}{20}=0.9\) (10% menos).

Homotecia - Página 8: Teorema de Euclides

Introducción

El Teorema de Euclides se refiere a la relación entre los catetos y sus proyecciones sobre la hipotenusa en un triángulo rectángulo. Se conecta con la homotecia y la semejanza de triángulos formados al trazar la altura sobre la hipotenusa.

Teorema de Euclides

En un triángulo rectángulo \(ABC\) con ángulo recto en \(C\), y altura desde \(C\) que intersecta \(\overline{AB}\) en \(D\), se tiene: \[ AC^2 = AD \cdot AB, \quad BC^2 = BD \cdot AB, \] y además \(\; AC^2 + BC^2 = AB^2\) (Pitágoras).

Elementos Clave

• Proyección: \(D\) es la proyección de \(C\) en \(\overline{AB}\).
• Semejanza: \(\triangle ABC\), \(\triangle ACD\), \(\triangle BCD\) comparten ángulos; la homotecia relaciona estos triángulos.

Ejemplos

Ejemplo 1: Un triángulo (3,4,5). Trazas la altura al lado de 5. Se cumple \(3^2 = AD \times 5\) y \(4^2=BD \times 5\).

Ejemplo 2: Triángulo rectángulo isósceles (45°-45°-90°). La altura parte la hipotenusa en dos partes iguales.

Práctica

Contamos con 10 ejercicios (3 conceptuales + 7 prácticos) y 4 problemas.

Ejercicios

1. (Conceptual) ¿Cómo se relaciona la homotecia con la demostración del Teorema de Euclides?

   Solución: Al trazar la altura, se forman triángulos semejantes (homotéticos). Las proporciones entre catetos e hipotenusa llevan a \(AC^2 = AD\cdot AB\) y \(BC^2=BD\cdot AB\).

2. (Conceptual) ¿Qué significa “la proyección de un cateto en la hipotenusa”?

   Solución: Es el segmento en la hipotenusa “directamente debajo” del cateto, es decir, la intersección de la perpendicular trazada desde el vértice del ángulo recto.

3. (Conceptual) ¿Por qué Euclides “engloba” también el Teorema de Pitágoras?

   Solución: Sumando las relaciones \(AC^2=AD\cdot AB\) y \(BC^2=BD\cdot AB\), se obtiene \(AC^2 + BC^2=(AD + BD)\cdot AB=AB^2.\)

4. (Práctica) Dibuja un triángulo rectángulo cualquiera. Traza la altura a la hipotenusa. Mide y comprueba \(AC^2 \approx AD \cdot AB\).

   Solución: - Identifica \(C\) como el ángulo recto, \(AB\) la hipotenusa. - Dibuja \(CD\) perpendicular a \(AB\). - Mide \(\overline{AC}\), \(\overline{AD}\), \(\overline{AB}\). - Verifica que \(\overline{AC}^2 \approx \overline{AD}\times \overline{AB}\) (pequeños errores por medición manual).

5. (Práctica) Explica la semejanza entre \(\triangle ABC\) y \(\triangle ACD\).

   Solución: Ambos comparten el ángulo en \(A\), y \(\angle ACB = 90^\circ\) corresponde a \(\angle ADC\) también recto. Tienen así dos ángulos iguales, luego son semejantes.

6. (Práctica) Considera un triángulo \((6,8,10)\). Traza la altura a la hipotenusa (10). ¿Cómo hallarías \(\overline{AD}\) y \(\overline{BD}\) de forma teórica?

   Solución: \(AC=6\implies AC^2=36=AD \cdot AB=AD\cdot 10\implies AD=3.6.\) \(BC=8\implies BC^2=64=BD\cdot 10\implies BD=6.4.\) Comprueba que \(AD+BD=10.\)

7. (Práctica) Dibuja un triángulo rectángulo isósceles \((45^\circ-45^\circ-90^\circ)\) y verifica que la altura parte la hipotenusa en dos partes iguales.

   Solución: Al medir, \(\overline{AD} = \overline{DB}\). También Euclides lo confirma: \(AC^2=AD\cdot AB\) y \(BC^2=BD\cdot AB\), pero \(AC=BC\), de ahí \(\overline{AD}=\overline{BD}\).

8. (Práctica) Explica por qué \(\triangle ACD\sim \triangle ABC\sim \triangle BCD\).

   Solución: Comparten ángulos: en cada uno hay un ángulo recto, y comparten otro ángulo con el triángulo grande. Dos ángulos iguales → triángulos semejantes.

9. (Práctica) ¿Cómo se relaciona Euclides con Pitágoras en forma de áreas?

   Solución: Por Euclides, sumando \(AC^2 = AD\cdot AB\) y \(BC^2=BD\cdot AB\), \(AC^2 + BC^2=(AD+BD)\cdot AB=AB^2\), que es Pitágoras.

10. (Práctica) Describe un método gráfico para “visualizar” Euclides en un triángulo usando polígonos en las proyecciones.

    Solución: Dibuja cuadrados sobre catetos y la hipotenusa, y usa las proyecciones. Observa que el área del cuadrado del cateto coincide con el rectángulo formado por la proyección y la hipotenusa, etc.

Problemas

1. Un triángulo rectángulo \((5,12,13)\). Encuentra la proyección de 5 y 12 sobre 13. Verifica que \(\overline{AD}+\overline{BD}=13\).

   Solución: \(AC=5\implies AC^2=25=AD\cdot 13\implies AD=\frac{25}{13}\approx 1.92.\) \(BC=12\implies BC^2=144=BD\cdot 13\implies BD=\frac{144}{13}\approx 11.08.\) Suma: \(\approx 13.\)

2. Verifica que en un triángulo rectángulo isósceles de cateto \(x\), la hipotenusa es \(x\sqrt{2}\) y cada proyección mide \(\frac{x\sqrt{2}}{2}\).

   Solución (síntesis): Hipotenusa = \(x\sqrt{2}\). Altura divide la hipotenusa en dos partes iguales, cada una \(\frac{x\sqrt{2}}{2}\). Se corrobora con Euclides y semejanza.

3. ¿Cómo demuestras pictóricamente (con un dibujo) que \(AC^2 = AD \cdot AB\) a partir de la semejanza de triángulos?

   Solución (guía): - Muestra \(\triangle ACD\sim \triangle ABC\). - Escribe \(\frac{AC}{AB} = \frac{AD}{AC}\). - Despeja \(AC^2=AD\cdot AB\). - Ese es el corazón de Euclides.

4. Un triángulo rectángulo (9,12,15). Calcula \(\overline{AD}\) y \(\overline{BD}\). ¿Cuánto vale \(\overline{CD}\)? (Altura).

   Solución: \(AC=9\implies 9^2=81=AD \cdot 15\implies AD=5.4.\) \(BC=12\implies 12^2=144=BD \cdot 15\implies BD=9.6.\) Verificar \(5.4+9.6=15.\) La altura \(CD\) se halla con área: \(\frac{1}{2}(AB)(CD)=\frac{1}{2}(AC)(BC)\implies CD=\frac{9\cdot 12}{15}=7.2.\)

Homotecia - Página 9: Vectores y Homotecia

Introducción

La homotecia puede verse como una operación vectorial: \(\overrightarrow{OP'} = k \cdot \overrightarrow{OP}\). Si \(\vec{v}=(x,y)\), al multiplicarlo por \(k\) obtenemos \((kx, ky)\). Aquí estudiamos la conexión entre vectores y homotecia.

Conceptos de Vectores

• Magnitud: \(\|\vec{v}\|\) es su “longitud”.
• Dirección y Sentido: Dónde apunta el vector en el plano.
• Multiplicación por \(k\): Escala la magnitud y puede invertir el sentido si \(k<0\).

Elementos Clave

• Centro en el Origen: Asumimos \((0,0)\) como centro \(O\).
• Coordenadas: \(\vec{OP}=(x,y)\rightarrow \vec{OP'}=(kx,ky)\).

Ejemplos

Ejemplo 1: \(P=(2,3)\). Con \(k=2\), \(P'=(4,6)\). La magnitud se duplica, la dirección se mantiene.

Ejemplo 2: \(P=(1,4)\). Con \(k=-1\), \(P'=(-1,-4)\). La magnitud sigue \(\|\vec{v}\|\), pero se invierte el sentido.

Práctica

Incluimos 10 ejercicios (3 conceptuales, 7 prácticos) + 4 problemas.

Ejercicios

1. (Conceptual) ¿Por qué \(\overrightarrow{OP'} = k \cdot \overrightarrow{OP}\) expresa una homotecia con centro en \(O\)?

   Solución: Multiplicar un vector por \(k\) significa escalar la distancia a \(O\) por \(|k|\) y, si \(k<0\), invertir la dirección. Esto coincide con la definición de homotecia.

2. (Conceptual) Explica la diferencia entre “magnitud” y “dirección” de un vector.

   Solución: La magnitud es el “largo” numérico, la distancia. La dirección es la línea sobre la que se ubica y el “ángulo” en el plano. El sentido especifica hacia qué lado de la línea apunta.

3. (Conceptual) ¿Qué ocurre con un vector si \(k=0\)?

   Solución: El vector resultante es \((0,0)\), se “colapsa” en el origen. Es una “homotecia degenerada”.

4. (Práctica) Si \(\overrightarrow{OP}=(3,5)\) y \(k=2\), halla \(\overrightarrow{OP'}\). ¿Cuál será su magnitud?

   Solución: \(P'=(6,10)\). Magnitud previa: \(\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{9+25}= \sqrt{34}\). Nueva magnitud: \(\sqrt{6^2+10^2}= \sqrt{36+100}= \sqrt{136}=2\sqrt{34}\).

5. (Práctica) Dibuja \(\vec{v}=(2,2)\) en un eje cartesiano y su imagen \(\vec{v}'\) tras aplicar \(k=-1\).

   Solución: \(\vec{v}'=(-2,-2)\). Se dibujan flechas: “\(\vec{v}\)” en el primer cuadrante, “\(\vec{v}'\)” en el tercero, mismo largo, dirección opuesta.

6. (Práctica) ¿Cómo verificar que un factor negativo invierte el sentido del vector en términos de ángulos?

   Solución: Si \(\vec{v}\) forma un ángulo \(\theta\) con el eje, al multiplicar por -1 pasa a formar \(\theta + 180^\circ\). O sea, apunta en la dirección contraria.

7. (Práctica) Si \(\vec{v}=(4,3)\) y al aplicar homotecia obtengo \(\vec{v}'=(2,1.5)\), ¿qué factor se usó? Explica tu cálculo.

   Solución: Comparando componentes: \(2=4k \implies k=0.5\). También \(\;1.5=3(0.5)\). Factor \(k=0.5\).

8. (Práctica) Describe un ejemplo en que multiplicar un vector por \(k\) suponga agrandar su representación en el plano cartesiano.

   Solución: Si \(\vec{v}=(1,3)\) y lo multiplico por 4, obtengo (4,12). Pasa de longitud \(\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}\) a \(\sqrt{4^2+12^2}=\sqrt{16+144}= \sqrt{160}=4\sqrt{10}\). Se ve claramente un “agrandamiento”.

9. (Práctica) Explica cómo se vería la homotecia vectorial en un software de dibujo cuando escalas toda una figura respecto del origen.

   Solución: Cada punto \((x,y)\) se convierte en \((kx,ky)\). Esto se ve como un “zoom” alrededor del (0,0). Si \(k<0\), la imagen se voltea atravesando el origen.

10. (Práctica) Menciona un contexto físico donde multiplicar un vector por un escalar sea interpretado como homotecia.

    Solución: Por ejemplo, escalas de fuerza o de velocidad. Si duplicas la magnitud de una fuerza (mismo ángulo), es una homotecia en el espacio vectorial de fuerzas.

Problemas

1. Si \(\overrightarrow{OP}=(2,5)\) y se aplica \(k=-3\), halla \(\overrightarrow{OP'}\). Interpreta el cambio de magnitud y dirección.

   Solución: \(P'=(-6,-15)\). La magnitud se triplica, la dirección se invierte (180° + el ángulo inicial).

2. Considera \(\vec{v}=(6,4)\). ¿Qué \(k\) hace que \(\vec{v}'=(9,6)\)? ¿Cuáles son las magnitudes de \(\vec{v}\) y \(\vec{v}'\)?

   Solución: \(9=6k \implies k=1.5\). \(\|\vec{v}\|=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{36+16}= \sqrt{52}.\) \(\|\vec{v}'\|= \sqrt{9^2+6^2}=\sqrt{81+36}= \sqrt{117}=\sqrt{52}\times 1.5.\)

3. Dibuja un polígono con vértices \((1,0)\), \((2,1)\), \((1,2)\). Aplica \(k=\frac{1}{2}\). Escribe las nuevas coordenadas y compáralas.

   Solución: \((0.5,0), (1,0.5), (0.5,1)\). Cada coordenada se redujo a la mitad, la figura se ve más cercana al origen y más pequeña.

4. Si un vector \(\vec{v}=(x,y)\) está en el primer cuadrante, ¿en qué cuadrante cae \(\vec{v}'\) si \(k<0\)? Pon un ejemplo numérico.

   Solución: Si \(x>0, y>0\), y \(k<0\), entonces \(kx<0, ky<0\). El vector cae en el tercer cuadrante. Ej: \((2,1)\) con \(k=-2 \to (-4,-2)\).

Homotecia - Página 10: Producto de un Vector por un Escalar

Introducción

El producto de un vector por un escalar (un número real) describe un escalamiento de su magnitud. Cuando el escalar es negativo, también hay inversión de sentido. Esta operación está en la base de la homotecia vectorial.

Definición

Dado un vector \(\vec{v}=(x,y)\) y un escalar real \(\alpha\), \(\alpha \vec{v} = (\alpha x, \alpha y)\). - \(|\alpha|>1\) alarga el vector. - \(0<|\alpha|<1\) lo acorta. - \(\alpha<0\) invierte el sentido.

Elementos Clave

• Magnitud resultante: \(\|\alpha \vec{v}\| = |\alpha|\cdot \|\vec{v}\|\).
• Dirección: Se mantiene si \(\alpha>0\), se invierte si \(\alpha<0\).

Ejemplos

Ejemplo 1: \(\alpha=2\), \(\vec{v}=(3,-1)\) \(\to 2\cdot (3,-1)=(6,-2)\). Se duplica la magnitud.

Ejemplo 2: \(\alpha=-\frac{1}{2}\), \(\vec{v}=(4,2)\) \(\to (-2,-1)\). Se reduce la longitud a la mitad y se invierte.

Práctica

Se incluyen 10 ejercicios (3 conceptuales + 7 prácticos) + 4 problemas.

Ejercicios

1. (Conceptual) ¿Por qué multiplicar un vector por un escalar \(\alpha\) es la misma idea que “aplicar una homotecia” en términos de vectores?

   Solución: Se está escalando la distancia desde el origen por \(|\alpha|\), con posible cambio de sentido si \(\alpha<0\). Eso coincide con la definición de homotecia (centro en el origen).

2. (Conceptual) Explica el efecto de \(\alpha=0\) en el vector.

   Solución: Se anula, convirtiéndose en \((0,0)\). Se “colapsa” en el origen sin dirección ni magnitud.

3. (Conceptual) ¿Por qué \(\alpha<0\) no solo cambia la longitud sino que invierte la dirección del vector?

   Solución: Multiplicar por un negativo hace que ambos componentes cambien de signo, apuntando 180° diferente en el plano.

4. (Práctica) Calcula \(\ 3\cdot (2,4)\). Indica la magnitud antes y después.

   Solución: \(\vec{v}=(2,4)\implies 3\cdot (2,4)=(6,12).\) \(\|\vec{v}\|= \sqrt{4+16}= \sqrt{20}.\) \(\|(6,12)\|= \sqrt{36+144}= \sqrt{180}= \sqrt{20}\times 3.\)

5. (Práctica) Si \(\alpha=-2\) y \(\vec{v}=(1,-3)\), halla \(\alpha\vec{v}\).

   Solución: \((-2)\cdot (1,-3)=(-2,6).\) Invertido (antes apuntaba con y<0, ahora y>0) y magnitud duplicada.

6. (Práctica) Menciona un ejemplo en que \(\alpha=\frac{1}{2}\). ¿Cómo interpretas eso geométricamente?

   Solución: Si \(\vec{v}=(6,2)\), \(\frac{1}{2}\vec{v}=(3,1)\). La longitud se reduce a la mitad, apuntando en la misma dirección.

7. (Práctica) Da un ejemplo donde \(0<\alpha<1\) y uno con \(|\alpha|>1\), ilustrando el cambio de magnitud.

   Solución: - \(\alpha=\frac{1}{3}\), \(\vec{v}=(3,0)\implies \vec{v}'=(1,0)\) (se reduce). - \(\alpha=2,\vec{v}=(3,2)\implies \vec{v}'=(6,4)\) (se duplica).

8. (Práctica) ¿Cómo comprobar que si \(\alpha\) es fraccionario, la magnitud se hace menor?

   Solución: \(\|\alpha\vec{v}\|=|\alpha|\|\vec{v}\|\). Si \(0<|\alpha|<1\), \(\|\alpha\vec{v}\|\) < \(\|\vec{v}\|\). Ejemplo: \(\alpha=\frac{1}{2}, \|\vec{v}\|=10\implies \|\alpha\vec{v}\|=5.\)

9. (Práctica) ¿Cómo representarías la operación \(\alpha \cdot \vec{v}\) en un diagrama geométrico?

   Solución: Dibuja la flecha \(\vec{v}\). Para \(\alpha>0\), alarga/acorta en la misma línea, multiplicando la longitud. Para \(\alpha<0\), la dibujas en la dirección opuesta. Magnitud = \(|\alpha|\|\vec{v}\|\).

10. (Práctica) Si \(\alpha\vec{v}=\vec{v}\), ¿qué significa geométricamente para \(\alpha\)?

    Solución: \(\alpha=1\). El vector no cambia ni en longitud ni en dirección, es la homotecia identidad (no hay transformación).

Problemas

1. Calcula \(\ 2.5\cdot(2,-2)\). ¿Qué pasa con la magnitud y la dirección?

   Solución: \(= (5, -5)\). Se multiplica el largo por 2.5; la dirección se mantiene (apunta donde \((2,-2)\) apuntaba) pues \(\alpha>0\).

2. Un vector \(\vec{v}=(x,y)\). ¿Qué \(\alpha\) hace que \(\alpha\vec{v}=(0.5x,\;0.5y)\)?

   Solución: \(\alpha=0.5\). Es la mitad. Se reduce la magnitud a la mitad.

3. Dibuja un triángulo con vértices representados por vectores \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\). Aplica \(\alpha=3\) a cada uno. ¿Cómo se ve la figura resultante?

   Solución: Multiplicas \(\vec{a}\to 3\vec{a}\), \(\vec{b}\to 3\vec{b}\), \(\vec{c}\to 3\vec{c}\). El triángulo se agranda al triple de distancia del origen, manteniendo la forma y ángulos.

4. Si \(\|\vec{v}\|=10\), y \(\alpha=-2\), ¿cuál es \(\|\alpha \vec{v}\|\)? ¿Cómo interpretas el resultado?

   Solución: \(\|\alpha \vec{v}\|=|-2|\times 10=20.\) Se duplica la magnitud y se invierte la dirección. El negativo no afecta el módulo, solo el sentido.

Homotecia - Página 11: Coordenadas de Vectores Transformados

Introducción

Cuando aplicamos una homotecia de factor \(k\) en el plano cartesiano con centro en el origen, todo punto \((x,y)\) pasa a \((kx,\; ky)\). Esta “regla” simplifica la construcción de figuras e imágenes transformadas.

Transformación en Coordenadas

Para \(P=(x,y)\) y la homotecia \(H_{O,k}\) con \(O=(0,0)\), tenemos \(P'=(kx,ky)\). Si \(k<0\), se añade la inversión de dirección respecto al origen.

Elementos Clave

• Figuras Completas: Basta transformar cada vértice para dibujar la imagen.
• Escala en Ejes: Multiplicar \(x,y\) por \(k\) es como un “zoom” isotrópico en el plano con centro (0,0).

Ejemplos

Ejemplo 1: Un cuadrado con vértices \((0,0)\), \((2,0)\), \((2,2)\), \((0,2)\). Si \(k=3\), los nuevos vértices son \((0,0)\), \((6,0)\), \((6,6)\), \((0,6)\).

Ejemplo 2: Un triángulo \((1,1), (2,1), (2,2)\). Con \(k=-1\), los vértices se vuelven \((-1,-1), (-2,-1), (-2,-2)\).

Práctica

Contamos con 10 ejercicios (3 conceptuales + 7 prácticos) y 4 problemas.

Ejercicios

1. (Conceptual) ¿Por qué aplicar \(H_{O,k}\) con \(O=(0,0)\) en un punto \((x,y)\) se reduce a \((kx,ky)\)?

   Solución: Porque \(\overrightarrow{OP'}=k\cdot \overrightarrow{OP}=(kx, ky)\), de acuerdo a la definición vectorial: \(\vec{v}=(x,y)\to(kx,ky)\).

2. (Conceptual) ¿Qué implica si \(k=0\) para todos los puntos \((x,y)\)?

   Solución: Todo se transforma en \((0,0)\). El plano “colapsa” en el origen.

3. (Conceptual) ¿Cómo distingues un “zoom en 2D” (homotecia) de un estiramiento “solo en x o solo en y”?

   Solución: Un zoom isotrópico multiplica ambos ejes por el mismo \(k\). Un estiramiento no uniforme podría ser \((x,y)\to(ax, by)\), con \(a\neq b\). Eso no es una homotecia pura.

4. (Práctica) Si \((x,y)\to (3x,3y)\), ¿qué factor de homotecia se aplica?

   Solución: \(k=3\). Se triplican las distancias al origen.

5. (Práctica) Dibuja el punto \((2,1)\) y su imagen con \(k=-2\). Escribe las coordenadas resultantes.

   Solución: \((2,1)\to(-4,-2)\). Se ve reflejado en el origen y multiplicado por 2 en magnitud.

6. (Práctica) Considera un rectángulo \((0,0), (4,0), (4,2), (0,2)\). Aplica \(k=0.5\). Escribe las nuevas coordenadas y describe el cambio.

   Solución: \((0,0)\to(0,0), (4,0)\to(2,0), (4,2)\to(2,1), (0,2)\to(0,1)\). Se reduce a la mitad, acercándose al origen.

7. (Práctica) Si en la gráfica una figura se “aleja” del origen, ¿qué puede decirse de \(|k|\)?

   Solución: \(|k|>1\). Se ha producido un agrandamiento en todas las direcciones con respecto al (0,0).

8. (Práctica) Si \((3,4)\) se transformó en \((1.5,2)\), deduce \(k\). Verifica con ambas coordenadas.

   Solución: \(1.5=3k\implies k=0.5.\) Verifica la segunda: \(2=4\times 0.5.\)

9. (Práctica) Describe cómo dibujar una figura homotética en un sistema de ejes si tienes las coordenadas de cada vértice.

   Solución: Para cada vértice \((x_i,y_i)\), calculas \((kx_i, ky_i)\). Unes los nuevos puntos en el mismo orden. Obtendrás la figura escalada (o invertida) respecto del origen.

10. (Práctica) Menciona un ejemplo donde el centro de homotecia no esté en (0,0). ¿Qué habría que hacer?

    Solución: Si el centro es \((x_0,y_0)\), primero trasladas el plano para que \((x_0,y_0)\) quede en el origen, aplicas la homotecia \((kx,ky)\), y luego regresas la traslación. No es solo multiplicar las coordenadas directamente.

Problemas

1. Un polígono con vértices \((0,0), (1,0), (1,2), (0,2)\) se homoteca con \(k=3\). Indica las nuevas coordenadas y describe el nuevo polígono.

   Solución: \((0,0)\to(0,0), (1,0)\to(3,0), (1,2)\to(3,6), (0,2)\to(0,6).\) Es un rectángulo 3 veces más ancho y 3 veces más alto, a 3 veces la distancia del origen.

2. Si \((2,5)\) pasó a \((4,10)\), halla \(k\). ¿Qué ocurre si un tercer punto \((3,5)\) se transformó en \((6,10)\)? ¿Refuerza la misma homotecia?

   Solución: De \((2,5)\) a \((4,10)\), \(4=2k\implies k=2, 10=5k\implies k=2.\) Luego \((3,5)\to(6,10)\) también sugiere \(k=2\). Confirma la misma homotecia.

3. Un triángulo \((1,0),(3,0),(3,2)\). Aplica \(k=-1\). Escribe las nuevas coordenadas. ¿Cómo se ve la figura?

   Solución: \((1,0)\to(-1,0), (3,0)\to(-3,0), (3,2)\to(-3,-2)\). El triángulo se refleja respecto al origen, manteniendo la forma y duplicando la posición en dirección opuesta (en este caso, factor -1 se conserva magnitud).

4. Describe un ejemplo donde \((x,y)\) se transforma en \((0.25x,\;0.25y)\). ¿Qué sucede si \((x,y)\) está en el cuadrante II, por ejemplo \((-4,2)\)?

   Solución: Esto es un factor \(k=0.25\). \((-4,2)\to(-1,0.5)\), se acerca más al origen, manteniendo la dirección (sigue en el cuadrante II), pero la magnitud se reduce a la cuarta parte.