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¿Que tan probable es si....?

Sitio: PROFEARAUCO.CL
Curso: Media 3
Libro: ¿Que tan probable es si....?
Imprimido por: Invitado
Día: viernes, 4 de julio de 2025, 22:21

Tabla de contenidos

1. Introducción a la Probabilidad: Conceptos Básicos

Introducción a la Probabilidad: Conceptos Básicos

Introducción a la Probabilidad: Conceptos Básicos

¿Qué es la Probabilidad?

La probabilidad es una medida de la incertidumbre. Nos dice qué tan posible es que ocurra un evento. Se expresa como un número entre 0 y 1 (o un porcentaje entre 0% y 100%).

  • Probabilidad = 0 (o 0%): Evento imposible.
  • Probabilidad = 1 (o 100%): Evento seguro.
  • Probabilidad entre 0 y 1: Grado de posibilidad. Más cerca de 1, más probable.

Ejemplo 1: Moneda: P(cara) = 0.5 (50%), P(sello) = 0.5 (50%).

Ejemplo 2: 3 bolas rojas, 2 azules: P(roja) = 3/5 = 0.6 (60%).

Conceptos Fundamentales

Experimento Aleatorio

Proceso con resultado incierto. Repetible, con resultados posibles conocidos.

Ejemplos: Lanzar un dado, sacar una carta, medir tiempo de reacción.

Espacio Muestral (Ω)

Conjunto de *todos* los resultados posibles.

Ejemplos: Dado: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Dos monedas: Ω = {CC, CS, SC, SS}.

Evento (o Suceso)

Subconjunto del espacio muestral. Uno o más resultados posibles.

Ejemplos: Dado, par: A = {2, 4, 6}. Dos monedas, al menos una cara: B = {CC, CS, SC}.

  • Simple: Un solo resultado.
  • Compuesto: Más de un resultado.

Cálculo de Probabilidades

Enfoque Clásico (Laplace)

Si todos los resultados son *igualmente probables*:

Fórmula: \[ P(A) = \frac{\text{Casos favorables a A}}{\text{Casos posibles}} = \frac{\text{Número de elementos en A}}{\text{Número de elementos en Ω}} \]

Ejemplos: P(3 en un dado) = 1/6. P(par) = 3/6 = 1/2. P(corazón) = 13/52 = 1/4.

Enfoque Frecuentista (Frecuencia Relativa)

Si repetimos el experimento muchas veces:

Fórmula (aproximada): \[ P(A) \approx \frac{\text{Veces que ocurre A}}{\text{Repeticiones}} \]

Esta es la *frecuencia relativa* de A. Más repeticiones, mejor aproximación.

Ejemplo: 1000 lanzamientos, 512 caras. Frecuencia relativa ≈ 0.512.

Representación

Fracción (1/2), decimal (0.5), porcentaje (50%). Son equivalentes.

Ejercicios y Problemas (Ordenados por Dificultad)

Ejercicios (Nivel Básico)

Ejercicio 1: Describe el espacio muestral para:

  1. Lanzar un dado de diez caras (numeradas del 1 al 10).
  2. Elegir una vocal de la palabra "MURCIELAGO".
  3. Lanzar una moneda tres veces.

Ejercicio 2: Calcula la probabilidad (enfoque clásico):

  1. Obtener un número mayor que 4 al lanzar un dado de seis caras.
  2. Sacar una carta de espadas de una baraja de 52 cartas.
  3. Obtener al menos un sello al lanzar una moneda dos veces.

Ejercicio 3: Clasifica los siguientes eventos al lanzar un dado de seis caras como simples o compuestos:

  1. Obtener un 6.
  2. Obtener un número impar.
  3. Obtener un número mayor que 2.
  4. Obtener un 1.

Ejercicio 4: Expresa las siguientes probabilidades como fracción, decimal y porcentaje:

  1. La probabilidad de que llueva mañana es de 0.3.
  2. La probabilidad de ganar un premio es de 1/5.
  3. La probabilidad de que un estudiante apruebe un examen es del 80%.

Ejercicios (Nivel Intermedio)

Ejercicio 5: Se lanza una moneda 100 veces y se obtienen 45 caras. Calcula la frecuencia relativa de obtener cara y compárala con la probabilidad teórica.

Ejercicio 6: En una caja hay 6 bolas rojas, 4 bolas azules y 5 bolas verdes. Se extrae una bola al azar. Calcula la probabilidad de que:

  1. La bola sea roja.
  2. La bola sea azul.
  3. La bola no sea verde.
  4. La bola sea roja o azul.

Ejercicio 7: Se elige al azar una letra de la palabra "PROBABILIDAD". Calcula la probabilidad de que:

  1. Sea una vocal.
  2. Sea una consonante.
  3. Sea la letra "B".
  4. No sea la letra "A".

Problemas (Nivel Intermedio-Avanzado)

Problema 1: Se lanzan dos dados de seis caras. Calcula la probabilidad de que:

  1. La suma de los dos dados sea 5.
  2. La suma sea menor o igual a 4.
  3. Obtener al menos un 4.
  4. Obtener el mismo número en ambos dados.

Problema 2: En una clase, el 60% de los estudiantes son mujeres. Se elige un estudiante al azar. Si la probabilidad de que sea mujer *y* use lentes es del 20%, ¿cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar *no* use lentes, sabiendo que *sí* es mujer? (Esta pregunta introduce la *idea* de probabilidad condicional, pero se puede resolver con el enfoque clásico).

Problema 3: Se tienen dos urnas. La urna A contiene 3 bolas rojas y 2 bolas blancas. La urna B contiene 1 bola roja y 4 bolas blancas.

  1. Se elige una urna al azar y se extrae una bola. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola sea roja?
  2. Si se extraen 2 bolas de la urna A (sin reemplazo), ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean rojas?

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2. Probabilidad: Regla de la Suma y del Complemento

Probabilidad: Regla de la Suma y del Complemento

Repaso Rápido

Recordemos:

  • Experimento aleatorio: Resultado incierto.
  • Espacio muestral (Ω): Todos los resultados posibles.
  • Evento: Subconjunto del espacio muestral.
  • Probabilidad: Medida de la posibilidad de un evento (entre 0 y 1).
  • Probabilidad clásica: P(A) = Casos favorables / Casos posibles (si son equiprobables).

Regla de la Suma

Eventos Mutuamente Excluyentes

Dos eventos son *mutuamente excluyentes* si no pueden ocurrir *al mismo tiempo*.

Ejemplos:

  • Dado: "Obtener un 1" y "obtener un 6".
  • Carta: "Sacar un rey" y "sacar una reina".
  • Carrera: "Llegar primero" y "llegar segundo".

Fórmula (Mutuamente Excluyentes):

\[ P(A \text{ o } B) = P(A \cup B) = P(A) + P(B) \]

La probabilidad de A *o* B es la suma de sus probabilidades.

Eventos No Mutuamente Excluyentes

Dos eventos son *no mutuamente excluyentes* si *pueden* ocurrir al mismo tiempo.

Ejemplos:

  • Dado: "Obtener par" y "obtener número mayor que 3".
  • Carta: "Sacar corazón" y "sacar figura".
  • Encuesta: "Tener perro" y "tener gato".

Fórmula (Regla General de la Suma):

\[ P(A \text{ o } B) = P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \text{ y } B) \]

Se resta la probabilidad de que ocurran *ambos* (P(A y B)) para evitar doble conteo.

Diagramas de Venn (Introducción): (En Moodle, insertar imagen).

Ayudan a visualizar. Círculos representan eventos. La intersección es "A y B". La unión es "A o B".

Regla del Complemento

El *complemento* de un evento A (Ac, A', o \(\bar{A}\)) es el evento donde *no* ocurre A.

Ejemplos:

  • A = "par en un dado", Ac = "impar".
  • A = "sacar rey", Ac = "no sacar rey".
  • A = "al menos una cara (3 monedas)", Ac = "ninguna cara".

Fórmula:

\[ P(A^c) = 1 - P(A) \]

La probabilidad de que *no* ocurra A es 1 menos la probabilidad de que *sí* ocurra.

Ejercicios y Problemas (Ordenados por Dificultad)

Ejercicios (Nivel Básico)

Ejercicio 1: Clasifica los siguientes pares de eventos como mutuamente excluyentes (ME) o no mutuamente excluyentes (NME):

  1. Lanzar un dado: "Obtener un 2" y "obtener un número impar".
  2. Sacar una carta: "Sacar un trébol" y "sacar un 7".
  3. Elegir un estudiante: "Ser mujer" y "tener ojos azules".
  4. Lanzar dos monedas: "Obtener dos caras" y "obtener al menos un sello".

Ejercicio 2: Si P(A) = 0.4, P(B) = 0.5, y A y B son mutuamente excluyentes, calcula:

  1. P(A o B)
  2. P(Ac)
  3. P(Bc)

Ejercicio 3: Si P(A) = 0.6, P(B) = 0.3, y P(A y B) = 0.2, calcula P(A o B).

Ejercicios (Nivel Intermedio)

Ejercicio 4: Se lanza un dado de seis caras. Calcula la probabilidad de:

  1. Obtener un 3 o un 4.
  2. Obtener un número par o un número mayor que 4.
  3. No obtener un 2.
  4. Obtener un número que no sea ni 5 ni 6.

Ejercicio 5: En una urna hay 5 bolas rojas, 3 bolas azules y 2 bolas blancas. Se extrae una bola al azar. Calcula la probabilidad de:

  1. Sacar una bola roja o blanca.
  2. No sacar una bola azul.
  3. Sacar una bola que no sea ni roja ni blanca.

Problemas (Nivel Intermedio-Avanzado)

Problema 1: En un grupo de 100 personas, 60 leen el periódico A, 40 leen el periódico B y 15 leen ambos periódicos. Se elige una persona al azar. Calcula la probabilidad de que:

  1. Lea el periódico A o el periódico B.
  2. No lea ninguno de los dos periódicos.
  3. Lea solo el periódico A.

Problema 2: Se tienen dos eventos, A y B, tales que P(A) = 0.7, P(Bc) = 0.4, y P(A ∪ B) = 0.8. Calcula:

  1. P(B)
  2. P(A y B)
  3. P(Ac y Bc)

Problema 3: Demuestra que, para cualquier evento A, P(A) + P(Ac) = 1. Usa un diagrama de Venn y la definición de probabilidad para justificar tu respuesta.

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3. Probabilidad Condicional: Concepto y Cálculo

Probabilidad Condicional: Concepto y Cálculo

Probabilidad Condicional: Concepto y Cálculo

¿Qué es la Probabilidad Condicional?

La probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento *A*, *dado que* ya ha ocurrido otro evento *B*. Es un recálculo de la probabilidad de A, *teniendo en cuenta* la información de que B ha ocurrido.

Ejemplo intuitivo:

  • Bolsa con 5 bolas: 3 rojas y 2 azules.
  • P(roja en primer intento) = 3/5.
  • *Si ya sacaste una roja* (sin reemplazo), P(otra roja | ya sacaste una roja) = 2/4 = 1/2.

La información adicional cambia la probabilidad.

Notación

\[ P(A|B) \]

Se lee: "Probabilidad de A dado B".

Eventos Dependientes e Independientes

Eventos Dependientes

Dos eventos son *dependientes* si la ocurrencia de uno *afecta* la probabilidad del otro.

Ejemplos:

  • Sacar bolas sin reemplazo.
  • Clima: "Llueve hoy" y "Llueve mañana".

Eventos Independientes

Dos eventos son *independientes* si la ocurrencia de uno *no afecta* la probabilidad del otro.

Ejemplos:

  • Lanzar una moneda dos veces.
  • Lanzar dos dados.

Cálculo de la Probabilidad Condicional

Fórmula:

\[ P(A|B) = \frac{P(A \text{ y } B)}{P(B)} \]

Donde:

  • P(A|B): Probabilidad de A dado B.
  • P(A y B): Probabilidad de que *ambos* ocurran (probabilidad conjunta).
  • P(B): Probabilidad de B (mayor que 0).

Explicación intuitiva:

  • "Restringimos" el espacio muestral a B.
  • Dentro de ese espacio, calculamos la proporción de casos donde también ocurre A.

Ejemplo (paso a paso):

Clase: 60% mujeres. De las mujeres, 70% tiene cabello largo. 42% son mujeres con cabello largo.

Calcula la probabilidad de cabello largo, *dado que* es mujer.

  1. Eventos: A = "Cabello largo", B = "Ser mujer"
  2. Probabilidades: P(B) = 0.6, P(A y B) = 0.42
  3. Fórmula: P(A|B) = P(A y B) / P(B) = 0.42 / 0.6 = 0.7

Resultado: P(cabello largo | mujer) = 70%.

Caso Especial: Eventos Independientes

Si A y B son independientes, P(A|B) = P(A). La ocurrencia de B no afecta a A.

\[ P(A|B) = \frac{P(A \text{ y } B)}{P(B)} = \frac{P(A) \cdot P(B)}{P(B)} = P(A) \]

Y también:

\[P(A \text{ y } B) = P(A) \cdot P(B)\]

Ejercicios y Problemas

Ejercicios (Nivel Básico)

Ejercicio 1: Si P(A) = 0.6, P(B) = 0.3, y P(A y B) = 0.1, calcula:

  1. P(A|B)
  2. P(B|A)
  3. ¿Son A y B independientes?

Ejercicio 2: Se lanza un dado. A = "obtener un número par", B = "obtener un número menor que 4". Calcula:

  1. P(A)
  2. P(B)
  3. P(A y B)
  4. P(A|B)
  5. P(B|A)
  6. ¿Son A y B independientes?

Ejercicio 3: Si A y B son eventos independientes, con P(A) = 0.4 y P(B) = 0.6, calcula P(A y B).

Ejercicios (Nivel Intermedio)

Ejercicio 4: En una urna hay 4 bolas blancas y 6 bolas negras. Se extraen dos bolas *sin* reemplazo. Calcula la probabilidad de que:

  1. La primera bola sea blanca.
  2. La segunda bola sea negra, *dado que* la primera fue blanca.
  3. Ambas bolas sean blancas.
  4. La segunda bola sea blanca, *dado que* la primera fue negra.

Ejercicio 5: Se lanza un dado *dos veces*. Calcula la probabilidad de:

  1. Obtener un 5 en el primer lanzamiento.
  2. Obtener un 3 en el segundo lanzamiento, *dado que* se obtuvo un 5 en el primero.
  3. Obtener un 5 en el primer lanzamiento *y* un 3 en el segundo.
  4. Obtener un 5 *y* un 3 (en cualquier orden).

Problemas (Nivel Intermedio-Avanzado)

Problema 1: Una fábrica tiene dos máquinas, A y B, que producen el mismo tipo de pieza. La máquina A produce el 60% de las piezas y la máquina B el 40%. El 5% de las piezas producidas por A son defectuosas, y el 2% de las producidas por B son defectuosas. Se elige una pieza al azar.

  1. Calcula la probabilidad de que la pieza sea defectuosa.
  2. Si la pieza elegida es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido producida por la máquina A?
  3. Si la pieza elegida *no* es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido producida por la máquina B?

Problema 2: Se tienen tres monedas. La primera moneda es normal (una cara y un sello). La segunda moneda tiene dos caras. La tercera moneda está trucada de tal manera que la probabilidad de obtener cara es 1/3. Se elige una moneda al azar y se lanza.

  1. Calcula la probabilidad de obtener cara.
  2. Si el resultado del lanzamiento fue cara, ¿cuál es la probabilidad de que se haya elegido la moneda normal?

Problema 3: Demuestra que si A y B son eventos independientes, entonces Ac y Bc también son independientes.

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4. Tablas de Doble Entrada y Diagramas de Árbol

Tablas de Doble Entrada y Diagramas de Árbol

Repaso: Probabilidad Condicional

Recordemos: P(A|B) = P(A y B) / P(B). La probabilidad de A dado que B ya ocurrió.

Tablas de Doble Entrada (Tablas de Contingencia)

¿Qué son?

Las tablas de doble entrada (o tablas de contingencia) organizan información sobre *dos* variables categóricas (o eventos) al mismo tiempo. Muestran las frecuencias (o probabilidades) de las diferentes combinaciones de categorías.

Estructura

Una tabla de doble entrada típica tiene:

  • Filas: Representan las categorías de una variable (o los posibles resultados de un evento).
  • Columnas: Representan las categorías de la otra variable (o los posibles resultados de otro evento).
  • Celdas: Contienen la frecuencia (o probabilidad) de la *intersección* de las categorías correspondientes (es decir, la frecuencia/probabilidad de que ocurran *ambas* cosas a la vez).
  • Márgenes: Los totales de filas y columnas (frecuencias o probabilidades *marginales*).

Ejemplo: Encuesta sobre Hábito de Lectura y Género

Se encuesta a 100 personas sobre su género y si leen regularmente:

Lee Regularmente (L)No Lee Regularmente (Lc)Total
Hombre (H)203050
Mujer (M)351550
Total5545100

Cálculo de Probabilidades a partir de una Tabla de Doble Entrada

Usando la tabla anterior, podemos calcular:

  • Probabilidades Conjuntas (intersección) P(A y B):  Se encuentran directamente en las celdas *internas* de la tabla. *Ejemplo:* P(H y L) = 20/100 = 0.2
  • Probabilidades Marginales P(A) o P(B): Se calculan usando los *totales* de filas o columnas. *Ejemplo:* P(H) = 50/100 = 0.5, P(L) = 55/100 = 0.55
  • Probabilidades Condicionales P(A|B): Se usa la fórmula: P(A|B) = P(A y B) / P(B). *Ejemplo:* P(L|H) = P(L y H) / P(H) = (20/100) / (50/100) = 20/50 = 0.4

Diagramas de Árbol

¿Qué son?

Los diagramas de árbol son representaciones gráficas que muestran los posibles resultados de una secuencia de eventos, junto con sus probabilidades. Son especialmente útiles para visualizar probabilidades condicionales.

Estructura

  • Nodo inicial: Representa el punto de partida.
  • Ramas: Cada rama representa un posible resultado de un evento.
  • Probabilidades en las ramas: Cada rama tiene asociada una probabilidad (que puede ser condicional).
  • Nodos finales: Representan los resultados finales de la secuencia de eventos.

Ejemplo: Lanzar una Moneda Dos Veces

(Aquí, idealmente, se insertaría una imagen del diagrama de árbol. En HTML 3.2, lo describiré. En Moodle, puedes insertar una imagen).

Descripción del diagrama de árbol:

  • Nodo inicial: De él salen dos ramas:
    • Rama 1: "Cara (C)" con probabilidad 1/2.
    • Rama 2: "Sello (S)" con probabilidad 1/2.
  • Desde cada uno de estos nodos (C y S), salen dos ramas más:
    • Desde "Cara":
      • Rama: "Cara (CC)" con probabilidad 1/2.
      • Rama: "Sello (CS)" con probabilidad 1/2.
    • Desde "Sello":
      • Rama: "Cara (SC)" con probabilidad 1/2.
      • Rama: "Sello (SS)" con probabilidad 1/2.
  • Nodos finales: CC, CS, SC, SS (todos con probabilidad 1/4).

Cálculo de Probabilidades con Diagramas de Árbol

  • Regla del Producto: Para calcular la probabilidad de una secuencia de eventos (un camino específico en el árbol), se *multiplican* las probabilidades a lo largo de las ramas.
  • Probabilidad Total: Para calcular la probabilidad de un evento que puede ocurrir de varias maneras (varios caminos), se *suman* las probabilidades de los caminos que conducen a ese evento.

Ejemplo (usando el diagrama de árbol de la moneda):

  • P(dos caras) = P(CC) = (1/2) * (1/2) = 1/4
  • P(exactamente una cara) = P(CS) + P(SC) = (1/2)*(1/2) + (1/2)*(1/2) = 1/4 + 1/4 = 1/2

Comparación: Tablas vs. Árboles

  • Tablas de Doble Entrada
    • Mejores para: Mostrar *todas* las combinaciones posibles de dos eventos y sus frecuencias/probabilidades conjuntas. Calcular probabilidades marginales fácilmente.
    • Limitaciones: Se vuelven difíciles de manejar con más de dos eventos.
  • Diagramas de Árbol
    • Mejores para: Visualizar *secuencias* de eventos. Calcular probabilidades de eventos que ocurren en etapas.
    • Limitaciones: Pueden volverse muy grandes y complejos si hay muchos eventos o muchos resultados posibles en cada etapa.

Ejercicios y Problemas

Ejercicio 1: Completa la siguiente tabla de doble entrada sobre la preferencia de color (Rojo o Azul) y el género (Hombre o Mujer) de un grupo de personas:

RojoAzulTotal
Hombre40
Mujer30
Total50100

Ejercicio 2: Usando la tabla completa del Ejercicio 1, calcula:

  1. P(Hombre)
  2. P(Rojo)
  3. P(Hombre y Rojo)
  4. P(Hombre | Rojo)
  5. P(Rojo | Mujer)

Ejercicio 3: Dibuja un diagrama de árbol para representar el experimento de lanzar un dado de seis caras y luego lanzar una moneda. Calcula la probabilidad de obtener un número par en el dado y cara en la moneda.

Problema 1: Una empresa realiza una encuesta sobre la satisfacción de sus clientes con dos productos, A y B. Los resultados se muestran en la siguiente tabla:

Satisfecho (S)No Satisfecho (Sc)Total
Producto A12030150
Producto B18070250
Total300100400
  1. Calcula la probabilidad de que un cliente elegido al azar esté satisfecho.
  2. Calcula la probabilidad de que un cliente haya comprado el Producto A, dado que está satisfecho.
  3. Calcula la probabilidad de que un cliente esté satisfecho, dado que compró el Producto B.
  4. ¿Son los eventos "comprar el Producto A" y "estar satisfecho" independientes? Justifica tu respuesta.

Problema 2: Se tienen dos urnas. La Urna 1 contiene 2 bolas rojas y 3 bolas azules. La Urna 2 contiene 4 bolas rojas y 1 bola azul. Se elige una urna al azar y se extrae una bola.

  1. Dibuja un diagrama de árbol para representar este experimento.
  2. Calcula la probabilidad de que la bola extraída sea roja.
  3. Si la bola extraída es roja, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de la Urna 1?

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5. Toma de Decisiones con Probabilidad Condicional

Toma de Decisiones con Probabilidad Condicional

Repaso: Probabilidad Condicional

Recordemos: P(A|B) = P(A y B) / P(B). La probabilidad de A dado que B ya ocurrió. La información sobre B *modifica* la probabilidad de A.

Aplicaciones en la Toma de Decisiones

La probabilidad condicional es una herramienta *fundamental* para tomar decisiones informadas en situaciones de incertidumbre. Nos permite evaluar riesgos y beneficios, y elegir la opción más favorable (o menos riesgosa) en función de la información disponible.

Ejemplo 1: Pruebas Médicas (Diagnóstico)

Este es un ejemplo clásico y muy importante de aplicación de la probabilidad condicional.

Contexto:

  • Una prueba médica para detectar una enfermedad tiene una cierta *sensibilidad* (probabilidad de dar positivo si la persona *tiene* la enfermedad) y una cierta *especificidad* (probabilidad de dar negativo si la persona *no tiene* la enfermedad).
  • La *prevalencia* de la enfermedad en la población (la proporción de personas que la tienen) también es importante.

Ejemplo numérico:

  • Enfermedad: X
  • Prueba: T (positivo) o Tc (negativo)
  • Prevalencia de la enfermedad: P(X) = 0.01 (1% de la población)
  • Sensibilidad de la prueba: P(T|X) = 0.95 (95% de los enfermos dan positivo)
  • Especificidad de la prueba: P(Tc|Xc) = 0.90 (90% de los sanos dan negativo)

Pregunta clave: Si una persona da positivo en la prueba (T), ¿cuál es la probabilidad de que *realmente* tenga la enfermedad (P(X|T))?

Solución (usando el Teorema de Bayes, que se basa en la probabilidad condicional - no es necesario mencionar el nombre en este nivel, pero sí la lógica):

  1. Calculamos las probabilidades conjuntas:
    • P(X y T) = P(T|X) * P(X) = 0.95 * 0.01 = 0.0095 (Probabilidad de tener la enfermedad Y dar positivo)
    • P(Xc) = 1 - P(X) = 1- 0.01 = 0.99
      P(T| Xc) = 1- P(Tc|Xc) = 1-0.9 = 0.1
    • P(Xc y T) = P(T|Xc) * P(Xc) = 0.1 * 0.99 = 0.099 (Probabilidad de NO tener la enfermedad Y dar positivo).
      *Nota: a este resultado se le conoce como falso positivo*
  2. Calculamos la probabilidad total de dar positivo (P(T)):
    P(T) = P(X y T) + P(Xc y T) = 0.0095 + 0.099 = 0.1085
  3. Aplicamos la fórmula de probabilidad condicional: \[ P(X|T) = \frac{P(X \text{ y } T)}{P(T)} = \frac{0.0095}{0.1085} \approx 0.0876 \]

Resultado: P(X|T) ≈ 0.0876 (aproximadamente 8.76%).

Interpretación (fundamental): Aunque la prueba tiene una alta sensibilidad (95%) y especificidad (90%), la probabilidad de *realmente* tener la enfermedad, *dado que* se obtiene un resultado positivo, es *solo del 8.76%*! Esto se debe a que la enfermedad es *poco frecuente* en la población (baja prevalencia). Este resultado puede parecer sorprendente, pero es crucial para entender el significado de las pruebas diagnósticas.

Este ejemplo ilustra un punto clave: Un resultado positivo en una prueba *no* significa automáticamente que la persona tiene la enfermedad. La probabilidad condicional (P(enfermedad | positivo)) depende de la sensibilidad, la especificidad y, *muy importantemente*, de la prevalencia.

Ejemplo 2: Seguros

Las compañías de seguros usan la probabilidad condicional para evaluar el riesgo y establecer las primas (lo que cobran por el seguro).

Ejemplo:

  • A = "Tener un accidente automovilístico en un año"
  • B = "Ser un conductor joven (menor de 25 años)"

Las aseguradoras saben que P(A|B) > P(A) (la probabilidad de tener un accidente es *mayor* si eres joven). Por lo tanto, las primas de seguro para conductores jóvenes suelen ser más altas.

Ejemplo 3: Marketing y Publicidad

Las empresas usan la probabilidad condicional para segmentar a sus clientes y dirigir sus campañas de marketing de forma más efectiva.

Ejemplo:

  • A = "Comprar un producto"
  • B = "Haber hecho clic en un anuncio online"

Si P(A|B) es alta, significa que el anuncio es efectivo para generar compras. La empresa puede decidir invertir más en ese tipo de anuncio.

Introducción al Valor Esperado (Concepto Intuitivo)

El *valor esperado* es una especie de "promedio ponderado" de los posibles resultados de un evento incierto, donde cada resultado se pondera por su probabilidad.

Ejemplo (muy simple):

  • Juego: Lanzas un dado. Si sale 6, ganas $10. Si sale cualquier otro número, pierdes $1.
  • Probabilidades: P(6) = 1/6, P(no 6) = 5/6
  • Valor Esperado = (Ganancia si sale 6) * P(6) + (Pérdida si no sale 6) * P(no 6)
    Valor Esperado = ($10) * (1/6) + (-$1) * (5/6) = $10/6 - $5/6 = $5/6 ≈ $0.83

Interpretación: Si jugaras este juego *muchas veces*, esperarías ganar, *en promedio*, alrededor de $0.83 por cada juego.

Nota: El valor esperado no es necesariamente un resultado *posible* del juego (no puedes ganar exactamente $0.83 en un solo lanzamiento). Es un promedio a *largo plazo*.

El valor esperado se puede usar junto a la probabilidad condicional.

Ejercicios y Problemas

Ejercicio 1: Retomando el ejemplo de la prueba médica, supón que la prevalencia de la enfermedad es del 10% (P(X) = 0.1). La sensibilidad y especificidad de la prueba se mantienen igual (P(T|X) = 0.95, P(Tc|Xc) = 0.90). Calcula P(X|T) (la probabilidad de tener la enfermedad dado un resultado positivo) y compara el resultado con el del ejemplo original. ¿Qué conclusión puedes sacar?

Problema 1: Una compañía de seguros clasifica a sus clientes en dos grupos: de alto riesgo y de bajo riesgo. El 30% de los clientes son de alto riesgo. La probabilidad de que un cliente de alto riesgo tenga un accidente en un año es de 0.1, mientras que la probabilidad de que un cliente de bajo riesgo tenga un accidente es de 0.02.

  1. Si un cliente *no* tuvo un accidente el año pasado, ¿cuál es la probabilidad de que sea de alto riesgo?
  2. Si un cliente *sí* tuvo un accidente el año pasado, ¿cuál es la probabilidad de que sea de bajo riesgo?

Problema 2: (Adaptación del problema de Monty Hall - un problema clásico de probabilidad condicional). Estás en un concurso. Hay tres puertas: detrás de una hay un coche, y detrás de las otras dos hay cabras. Eliges una puerta (digamos, la Puerta 1). El presentador, *que sabe dónde está el coche*, abre una de las otras dos puertas y muestra una cabra (digamos, abre la Puerta 3). Ahora, el presentador te da la opción de *cambiar* tu elección a la puerta restante (la Puerta 2) o mantener tu elección original (Puerta 1). ¿Qué deberías hacer? ¿Cambiar de puerta aumenta tu probabilidad de ganar el coche? Justifica tu respuesta usando probabilidad condicional.

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6. Ejercicios de Selección Múltiple (Parte 1) - Probabilidad

Ejercicios de Selección Múltiple (Parte 1)

Subunidad 2: Probabilidad Condicional y Toma de Decisiones

Instrucciones: Elige la alternativa correcta. Haz clic en "Mostrar/Ocultar Solución" para ver la respuesta.

Ejercicio 1: Si lanzas una moneda justa, ¿cuál es la probabilidad de obtener cara?

  1. 0
  2. 0.25
  3. 0.5
  4. 0.75
  5. 1

Ejercicio 2: Si lanzas un dado de seis caras, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número par?

  1. 1/6
  2. 1/3
  3. 1/2
  4. 2/3
  5. 1

Ejercicio 3: Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, con P(A) = 0.3 y P(B) = 0.4, ¿cuál es P(A o B)?

  1. 0.12
  2. 0.7
  3. 0.1
  4. 0
  5. 1

Ejercicio 4: Si P(A) = 0.6, ¿cuál es P(Ac) (el complemento de A)?

  1. 0
  2. 0.4
  3. 0.6
  4. 1
  5. No se puede calcular.

Ejercicio 5: Si P(A) = 0.7, P(B) = 0.5, y P(A y B) = 0.3, ¿cuál es P(A o B)?

  1. 1.2
  2. 0.9
  3. 0.8
  4. 0.2
  5. 0.35

Ejercicio 6: Si P(A|B) = 0.6 y P(B) = 0.5, ¿cuál es P(A y B)?

  1. 0.1
  2. 0.9
  3. 0.3
  4. 1.2
  5. 1.1

Ejercicio 7: Si A y B son eventos independientes, y P(A) = 0.4 y P(B) = 0.2, ¿cuál es P(A y B)?

  1. 0.08
  2. 0.6
  3. 0.2
  4. 0.8
  5. 0.02

Ejercicio 8: Si A y B son eventos independientes, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es *siempre* verdadera?

  1. P(A|B) = 0
  2. P(A|B) = 1
  3. P(A|B) = P(A)
  4. P(A|B) = P(B)
  5. P(A|B) = P(A y B)

Ejercicio 9: Se lanza un dado. Sea A el evento "obtener un número impar" y B el evento "obtener un número menor que 4". ¿Cuál es P(A|B)?

  1. 1/6
  2. 1/3
  3. 1/2
  4. 2/3
  5. 1

Ejercicio 10: Se extrae una carta de una baraja estándar de 52 cartas. Sea A el evento "sacar un rey" y B el evento "sacar un corazón". ¿Cuál es P(A|B)?

  1. 1/4
  2. 1/13
  3. 4/52
  4. 1/52
  5. 0

Ejercicio 11: Se lanzan dos monedas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras, dado que al menos una de las monedas es cara?

  1. 1/4
  2. 1/3
  3. 1/2
  4. 2/3
  5. 3/4

Ejercicio 12: En una clase, el 40% de los estudiantes aprobaron matemáticas, el 50% aprobaron física y el 20% aprobaron ambas. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante que aprobó matemáticas también haya aprobado física?

  1. 0.1
  2. 0.2
  3. 0.4
  4. 0.5
  5. 0.8

Ejercicio 13: Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, ¿cuál es el valor de P(A|B)?

  1. P(A)
  2. P(B)
  3. P(A) + P(B)
  4. 0
  5. 1

Ejercicio 14: Si P(Ac) = 0.3 y P(B|A) = 0.6. ¿ Se puede hallar P(A y B)? De ser posible, halla su valor

  1. No se puede
  2. 0.18
  3. 0.42
  4. 0.7
  5. 0.6

Ejercicio 15: ¿Cuál de las siguientes expresiones *no* es equivalente a P(A o B)?

  1. P(A) + P(B) - P(A y B)
  2. P(A ∪ B)
  3. 1 - P(Ac y Bc)
  4. P(A) + P(B) (si A y B son mutuamente excluyentes)
  5. P(A) * P(B) (si A y B son independientes)

7. Ejercicios de Selección Múltiple (Parte 2) - Probabilidad

Ejercicios de Selección Múltiple (Parte 2)

Subunidad 2: Probabilidad Condicional y Toma de Decisiones

Instrucciones: Elige la alternativa correcta. Haz clic en "Mostrar/Ocultar Solución" para ver la respuesta.

Ejercicio 16: Se tiene la siguiente tabla de doble entrada sobre el género y el uso de lentes en un grupo:

Usa Lentes (L)No Usa Lentes (Lc)Total
Hombre (H)153550
Mujer (M)252550
Total4060100

Calcula P(H|L).

  1. 0.15
  2. 0.375
  3. 0.5
  4. 0.6
  5. 0.75

Ejercicio 17: Usando la misma tabla del Ejercicio 16, calcula P(L|M).

  1. 0.25
  2. 0.4
  3. 0.5
  4. 0.6
  5. 0.75

Ejercicio 18: Se extraen dos cartas *sin* reemplazo de una baraja estándar de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas cartas sean reyes?

  1. 1/13
  2. 1/169
  3. 1/221
  4. 4/52
  5. 1/4

Ejercicio 19:Se lanzan 3 monedas ¿ Cual es la probabilidad de obtener 3 caras?

  1. 1/2
  2. 1/3
  3. 1/4
  4. 1/8
  5. 1/9

Ejercicio 20: Si se tienen dos eventos independientes A y B, y se sabe que P(A)= 0.3 Y P(B)= 0.6. ¿ Cual es la probabilidad de P(AUB)?

  1. 0.9
  2. 0.18
  3. 0.72
  4. 0.6
  5. 0.8

Ejercicio 21:En una empresa, el 70% de los empleados son hombres (H) y el 30% son mujeres (M). De los hombres, el 80% tiene contrato indefinido (I), mientras que de las mujeres, el 60% tiene contrato indefinido. Si se elige un empleado al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga contrato indefinido?

  1. 0.74
  2. 0.7
  3. 0.8
  4. 0.46
  5. 0.56

Ejercicio 22: Se sabe que P(A) = 0.6, P(B) = 0.4, y P(A|B) = 0.5. ¿Cuál es P(B|A)?

  1. 0.2
  2. 0.3
  3. 0.333...
  4. 0.5
  5. No se puede calcular.

Ejercicio 23: Una prueba médica tiene una sensibilidad del 90% (P(Positivo|Enfermo) = 0.9) y una especificidad del 95% (P(Negativo|Sano) = 0.95). La enfermedad tiene una prevalencia del 2% (P(Enfermo) = 0.02). Si una persona da positivo, ¿cuál es la probabilidad *aproximada* de que realmente tenga la enfermedad?

  1. 90%
  2. 95%
  3. 2%
  4. 28%
  5. 50%

Ejercicio 24: ¿Cuál de los siguientes diagramas es *más adecuado* para representar la probabilidad condicional P(A|B)?

  1. Un histograma.
  2. Un diagrama de caja.
  3. Un diagrama de árbol.
  4. Un gráfico de barras.
  5. Un diagrama de dispersión.

Ejercicio 25: ¿Cuál de las siguientes es una característica de una tabla de doble entrada?

  1. Muestra la distribución de una sola variable.
  2. Muestra la relación entre dos variables categóricas.
  3. Es útil para representar secuencias de eventos.
  4. Siempre muestra probabilidades condicionales directamente.
  5. Solo se puede usar con datos numéricos.

Ejercicio 26: Una urna contiene 6 bolas rojas y 4 azules, si se extraen 2 bolas sin reposición, cual es la probabilidad de que ambas sean azules.

  1. 4/10
  2. 6/15
  3. 2/15
  4. 3/5
  5. 7/15

Ejercicio 27: Una urna contiene 6 bolas rojas y 4 azules, si se extraen 2 bolas con reposición, cual es la probabilidad de que ambas sean azules.

  1. 4/10
  2. 6/15
  3. 2/15
  4. 3/5
  5. 4/25

Ejercicio 28: En un colegio el 60% de los estudiantes son hombres, y el 40% mujeres, si el 10% de los hombres fuma y el 5% de las mujeres fuma. Si se elige un estudiante al azar, y este fuma, ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre?

  1. 1/3
  2. 5/6
  3. 6/7
  4. 1/6
  5. 2/3

Ejercicio 29: Si P(A) = 0.5, P(B) = 0.4, y P(A y B) = 0.2, calcula P(Ac o Bc)

  1. 0.1
  2. 0.9
  3. 0.8
  4. 0.2
  5. 0

Ejercicio 30: ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es *falsa* acerca de la probabilidad condicional?

  1. P(A|B) siempre es igual a P(B|A).
  2. P(A|B) puede ser mayor que P(A).
  3. P(A|B) puede ser menor que P(A).
  4. P(A|B) puede ser igual a P(A).
  5. P(A|B) es la probabilidad de A dado que B ha ocurrido.

8. prueba version 1

Prueba – Probabilidad Condicional (22 ítems)

Prueba de Selección Múltiple – Subunidad 2: Probabilidad Condicional y Toma de Decisiones

Curso: 3.º Medio  |  Instrucciones: Elige la alternativa correcta. Cuando termines, pulsa «Mostrar/Ocultar todas las soluciones» para verificar tus respuestas.

9. prueba version 2

Prueba – Probabilidad Condicional (22 ítems) – Versión B

Prueba de Selección Múltiple – Subunidad 2
Probabilidad Condicional y Toma de Decisiones
VERSIÓN B (fila B)

Curso: 3.º Medio  |  Instrucciones: Elige la alternativa correcta. Cuando termines, pulsa «Mostrar/Ocultar todas las soluciones» para verificar tus respuestas.