Nivelacion - Funciones y Conceptos Clave
| Sitio: | MATEMÁTICAS × Profe Arauco |
| Curso: | Media 3 |
| Libro: | Nivelacion - Funciones y Conceptos Clave |
| Imprimido por: | Invitado |
| Día: | jueves, 23 de julio de 2026, 20:03 |
1. Introducción a las Funciones
Introducción a las funciones
¿Qué es una función?
Una función es una relación especial entre dos conjuntos, llamados dominio y codominio. A cada elemento del dominio, la función le asigna uno y solo un elemento del codominio.
Podemos pensar en una función como una máquina que toma un valor de entrada del dominio y produce un valor de salida en el codominio.
Notación
Usamos letras como \(f\), \(g\) o \(h\) para representar funciones. Si \(f\) es una función, \(x\) es un valor de entrada y \(y\) es el valor de salida correspondiente, escribimos:
Esto se lee “\(y\) es igual a \(f\) de \(x\)”, y significa que \(y\) es el valor que la función \(f\) le asigna a \(x\).
Representaciones de funciones
Formas de representar una función
Las funciones se pueden representar de varias maneras:
- Verbalmente: con una descripción en palabras.
- Algebraicamente: con una fórmula, por ejemplo \(f(x)=x^2\).
- Numéricamente: con una tabla de valores.
- Gráficamente: con un gráfico en un sistema de coordenadas.
Ejemplo: cuatro representaciones de la función “elevar al cuadrado”
Representación verbal: la función toma un número y lo eleva al cuadrado.
Representación algebraica:
\[ f(x)=x^2 \]
Representación numérica:
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| \(-2\) | \(4\) |
| \(-1\) | \(1\) |
| \(0\) | \(0\) |
| \(1\) | \(1\) |
| \(2\) | \(4\) |
Representación gráfica: la gráfica de esta función es una parábola con vértice en el origen.
Dominio, codominio y recorrido
- Dominio: conjunto de todos los valores de entrada permitidos para la función.
- Codominio: conjunto donde se declaran los valores de salida posibles.
- Recorrido: conjunto de valores de salida que la función realmente produce. El recorrido es siempre un subconjunto del codominio.
Por ejemplo, para \(f(x)=\sqrt{x}\), trabajando en los números reales:
- el dominio es \(x\ge 0\), porque no se calcula raíz cuadrada real de un número negativo;
- el recorrido es \(f(x)\ge 0\), porque la raíz cuadrada principal nunca es negativa.
Modelo matemático
Un modelo matemático es una representación simplificada de un fenómeno del mundo real usando lenguaje matemático. Las funciones son una herramienta fundamental para construir estos modelos.
Por ejemplo, la distancia que recorre un auto a velocidad constante se puede modelar con una función lineal:
\[ d(t)=v\cdot t \]
donde la distancia depende del tiempo.
Ejercicios
Ejercicio 1
¿Cuál de las siguientes relaciones no es una función? Explica por qué.
- A cada persona se le asigna su número de RUT.
- A cada número se le asigna su doble.
- A cada número positivo se le asigna su raíz cuadrada principal.
- A cada madre se le asigna su hijo/a.
Una relación es función si cada entrada tiene una única salida.
Analicemos cada caso:
- a) Es función, porque a cada persona se le asigna un único RUT.
- b) Es función, porque a cada número le corresponde un único doble.
- c) Es función si se considera la raíz cuadrada principal. Por ejemplo, a \(9\) se le asigna \(3\).
- d) No necesariamente es función, porque una madre puede tener más de un hijo o hija.
La relación que no es función es la alternativa d.
Ejercicio 2
Dada la función \(f(x)=2x+3\), completa la siguiente tabla de valores:
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| \(-2\) | ? |
| \(-1\) | ? |
| \(0\) | ? |
| \(1\) | ? |
| \(2\) | ? |
Evaluamos la función \(f(x)=2x+3\) en cada valor de \(x\):
\[ f(-2)=2(-2)+3=-4+3=-1 \]
\[ f(-1)=2(-1)+3=-2+3=1 \]
\[ f(0)=2(0)+3=3 \]
\[ f(1)=2(1)+3=5 \]
\[ f(2)=2(2)+3=7 \]
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| \(-2\) | \(-1\) |
| \(-1\) | \(1\) |
| \(0\) | \(3\) |
| \(1\) | \(5\) |
| \(2\) | \(7\) |
Los valores de salida son \(-1\), \(1\), \(3\), \(5\) y \(7\).
Ejercicio 3
Para cada función, identifica su dominio y recorrido:
- La función que asigna a cada persona su edad en años cumplidos.
- La función \(f(x)=\sqrt{x-1}\), considerando números reales.
-
Si la función asigna a cada persona viva su edad en años cumplidos, entonces:
- Dominio: conjunto de personas vivas consideradas.
- Recorrido: edades enteras no negativas que efectivamente aparecen en ese conjunto.
-
Para \(f(x)=\sqrt{x-1}\), el radicando debe ser no negativo:
\[ x-1\ge 0 \]
\[ x\ge 1 \]
Entonces:
- Dominio: \(x\ge 1\).
- Recorrido: \(f(x)\ge 0\).
Ejercicio 4
Determina si la siguiente tabla representa una función.
| \(x\) | \(y\) |
|---|---|
| \(1\) | \(5\) |
| \(2\) | \(10\) |
| \(1\) | \(7\) |
| \(3\) | \(15\) |
Para que la tabla represente una función, cada valor de entrada \(x\) debe tener una única salida \(y\).
En la tabla, el valor \(x=1\) aparece dos veces:
- una vez asociado a \(y=5\),
- otra vez asociado a \(y=7\).
No representa una función, porque una misma entrada tiene dos salidas diferentes.
2. Potencias y Exponentes
Potencias y exponentes: propiedades y operaciones
¿Qué son las potencias?
Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación repetida de un mismo número, llamado base, por sí mismo. El número de veces que se multiplica la base se llama exponente.
- \(b\): base, el número que se multiplica.
- \(n\): exponente, indica cuántas veces se multiplica la base cuando \(n\) es natural.
Por ejemplo:
\[ 2^3=2\cdot 2\cdot 2=8 \]
Propiedades fundamentales de las potencias
Estas propiedades son esenciales para trabajar con expresiones algebraicas, funciones exponenciales y logarítmicas.
- Producto de potencias de igual base: \[ b^m\cdot b^n=b^{m+n} \]
Ejemplo: \(2^3\cdot 2^2=2^5=32\).
- Cociente de potencias de igual base: \[ \frac{b^m}{b^n}=b^{m-n}, \qquad b\neq 0 \]
Ejemplo: \(\frac{5^4}{5^2}=5^2=25\).
- Potencia de una potencia: \[ (b^m)^n=b^{m\cdot n} \]
Ejemplo: \((3^2)^3=3^6=729\).
- Exponente cero: \[ b^0=1, \qquad b\neq 0 \]
Ejemplo: \(7^0=1\).
- Exponente negativo: \[ b^{-n}=\frac{1}{b^n}, \qquad b\neq 0 \]
Ejemplo: \(2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}\).
- Exponente fraccionario: \[ b^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{b^m} \]
Ejemplo: \(8^{\frac{2}{3}}=(\sqrt[3]{8})^2=2^2=4\).
- Potencia de un producto: \[ (a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n \]
Ejemplo: \((2\cdot 5)^3=2^3\cdot 5^3=1000\).
- Potencia de un cociente: \[ \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}, \qquad b\neq 0 \]
Ejemplo: \(\left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{8}{27}\).
Ejercicios
Ejercicio 1
Simplifica \(5^2\cdot 5^3\).
Como las potencias tienen la misma base, sumamos los exponentes:
\[ 5^2\cdot 5^3=5^{2+3}=5^5 \]
\[ 5^5=3125 \]
El resultado es \(3125\).
Ejercicio 2
Simplifica \(\dfrac{7^6}{7^4}\).
Como las potencias tienen igual base, restamos los exponentes:
\[ \frac{7^6}{7^4}=7^{6-4}=7^2 \]
\[ 7^2=49 \]
El resultado es \(49\).
Ejercicio 3
Simplifica \((3^4)^2\).
Aplicamos la propiedad de potencia de una potencia:
\[ (3^4)^2=3^{4\cdot 2}=3^8 \]
\[ 3^8=6561 \]
El resultado es \(6561\).
Ejercicio 4
Calcula \(12^0\).
Todo número distinto de cero elevado a \(0\) es \(1\).
\[ 12^0=1 \]
El resultado es \(1\).
Ejercicio 5
Simplifica \(4^{-2}\).
Un exponente negativo indica el inverso de la potencia:
\[ 4^{-2}=\frac{1}{4^2} \]
\[ 4^{-2}=\frac{1}{16} \]
El resultado es \(\frac{1}{16}\).
Ejercicio 6
Calcula \(25^{\frac{1}{2}}\).
El exponente \(\frac{1}{2}\) representa una raíz cuadrada:
\[ 25^{\frac{1}{2}}=\sqrt{25} \]
\[ \sqrt{25}=5 \]
El resultado es \(5\).
Ejercicio 7
Calcula \(8^{\frac{2}{3}}\).
El denominador \(3\) indica raíz cúbica y el numerador \(2\) indica potencia:
\[ 8^{\frac{2}{3}}=(\sqrt[3]{8})^2 \]
\[ \sqrt[3]{8}=2 \]
\[ 2^2=4 \]
El resultado es \(4\).
Ejercicio 8
Simplifica \((2x)^3\).
Aplicamos la potencia a cada factor del producto:
\[ (2x)^3=2^3\cdot x^3 \]
\[ 2^3\cdot x^3=8x^3 \]
El resultado es \(8x^3\).
Ejercicio 9
Simplifica \(\left(\dfrac{3}{4}\right)^2\).
Aplicamos la potencia al numerador y al denominador:
\[ \left(\frac{3}{4}\right)^2=\frac{3^2}{4^2} \]
\[ \frac{3^2}{4^2}=\frac{9}{16} \]
El resultado es \(\frac{9}{16}\).
Ejercicio 10
Simplifica \(\dfrac{x^7}{x^5}\), con \(x\neq 0\).
Como las potencias tienen igual base, restamos los exponentes:
\[ \frac{x^7}{x^5}=x^{7-5} \]
\[ x^{7-5}=x^2 \]
El resultado es \(x^2\).
Ejercicio 11
Simplifica \((a^2b^3)^4\).
Aplicamos la potencia a cada factor:
\[ (a^2b^3)^4=(a^2)^4(b^3)^4 \]
Multiplicamos los exponentes:
\[ a^{2\cdot 4}b^{3\cdot 4}=a^8b^{12} \]
El resultado es \(a^8b^{12}\).
Ejercicio 12
Simplifica \(5^{-3}\).
Usamos la propiedad del exponente negativo:
\[ 5^{-3}=\frac{1}{5^3} \]
\[ 5^3=125 \]
El resultado es \(\frac{1}{125}\).
Ejercicio 13
Simplifica \(\dfrac{x^4y^2}{x^2y^5}\), con \(x\neq 0\) e \(y\neq 0\).
Restamos exponentes de bases iguales:
\[ \frac{x^4y^2}{x^2y^5}=x^{4-2}y^{2-5} \]
\[ x^{4-2}y^{2-5}=x^2y^{-3} \]
Escribimos con exponentes positivos:
\[ x^2y^{-3}=\frac{x^2}{y^3} \]
El resultado es \(\frac{x^2}{y^3}\).
Ejercicio 14
Simplifica \((9x^6)^{\frac{1}{2}}\).
El exponente \(\frac{1}{2}\) corresponde a raíz cuadrada:
\[ (9x^6)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{9x^6} \]
Separando factores:
\[ \sqrt{9x^6}=\sqrt{9}\sqrt{x^6} \]
\[ \sqrt{9}=3 \]
En los reales, \(\sqrt{x^6}=|x^3|\). Por lo tanto:
\[ (9x^6)^{\frac{1}{2}}=3|x^3| \]
El resultado es \(3|x^3|\). Si se asume \(x\ge 0\), se escribe \(3x^3\).
Ejercicio 15
Simplifica \(\dfrac{1}{x^{-4}}\), con \(x\neq 0\).
Usamos que \(x^{-4}=\frac{1}{x^4}\):
\[ \frac{1}{x^{-4}}=\frac{1}{\frac{1}{x^4}} \]
\[ \frac{1}{\frac{1}{x^4}}=x^4 \]
El resultado es \(x^4\).
Ejercicio 16
Simplifica \((3x^2y^{-1})^2(2xy^3)\), con \(y\neq 0\).
Primero elevamos el primer factor al cuadrado:
\[ (3x^2y^{-1})^2=3^2(x^2)^2(y^{-1})^2 \]
\[ (3x^2y^{-1})^2=9x^4y^{-2} \]
Ahora multiplicamos por \(2xy^3\):
\[ (9x^4y^{-2})(2xy^3)=18x^{4+1}y^{-2+3} \]
\[ 18x^{5}y^{1}=18x^5y \]
El resultado es \(18x^5y\).
Ejercicio 17
Simplifica \(\sqrt[4]{x^8}\), con \(x\ge 0\).
Escribimos la raíz como exponente fraccionario:
\[ \sqrt[4]{x^8}=(x^8)^{\frac{1}{4}} \]
Multiplicamos exponentes:
\[ (x^8)^{\frac{1}{4}}=x^{8\cdot \frac{1}{4}}=x^2 \]
El resultado es \(x^2\).
Ejercicio 18
Simplifica \(\dfrac{4a^3b^{-2}}{2a^{-1}b}\), con \(a\neq 0\) y \(b\neq 0\).
Primero simplificamos los coeficientes:
\[ \frac{4}{2}=2 \]
Luego restamos exponentes de bases iguales:
\[ \frac{4a^3b^{-2}}{2a^{-1}b} = 2a^{3-(-1)}b^{-2-1} \]
\[ 2a^{4}b^{-3} \]
Escribimos con exponentes positivos:
\[ 2a^4b^{-3}=\frac{2a^4}{b^3} \]
El resultado es \(\frac{2a^4}{b^3}\).
Ejercicio 19
Simplifica \((x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{2}{3}})^6\).
Aplicamos la potencia a cada factor:
\[ (x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{2}{3}})^6 = x^{\frac{1}{2}\cdot 6}y^{\frac{2}{3}\cdot 6} \]
Calculamos los exponentes:
\[ \frac{1}{2}\cdot 6=3 \qquad\text{y}\qquad \frac{2}{3}\cdot 6=4 \]
\[ x^3y^4 \]
El resultado es \(x^3y^4\).
Ejercicio 20
Simplifica \(\sqrt[5]{32x^{10}y^{15}}\).
Escribimos cada factor como potencia compatible con raíz quinta:
\[ 32=2^5,\qquad x^{10}=(x^2)^5,\qquad y^{15}=(y^3)^5 \]
Entonces:
\[ \sqrt[5]{32x^{10}y^{15}} = \sqrt[5]{(2x^2y^3)^5} \]
\[ \sqrt[5]{(2x^2y^3)^5}=2x^2y^3 \]
El resultado es \(2x^2y^3\).
Ejercicio 21
Simplifica \(\dfrac{x^{-2}+y^{-2}}{x^{-1}y^{-1}}\), con \(x\neq 0\) e \(y\neq 0\).
Primero escribimos los exponentes negativos como fracciones:
\[ \frac{x^{-2}+y^{-2}}{x^{-1}y^{-1}} = \frac{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}}{\frac{1}{xy}} \]
Sumamos las fracciones del numerador:
\[ \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2} = \frac{y^2+x^2}{x^2y^2} \]
Entonces:
\[ \frac{\frac{x^2+y^2}{x^2y^2}}{\frac{1}{xy}} = \frac{x^2+y^2}{x^2y^2}\cdot xy \]
Simplificamos:
\[ \frac{x^2+y^2}{x^2y^2}\cdot xy = \frac{x^2+y^2}{xy} \]
El resultado es \(\frac{x^2+y^2}{xy}\).
Ejercicio 22
Simplifica \(\sqrt[3]{27x^6y^9}\).
Escribimos cada factor como potencia cúbica:
\[ 27=3^3,\qquad x^6=(x^2)^3,\qquad y^9=(y^3)^3 \]
Entonces:
\[ \sqrt[3]{27x^6y^9} = \sqrt[3]{(3x^2y^3)^3} \]
\[ \sqrt[3]{(3x^2y^3)^3}=3x^2y^3 \]
El resultado es \(3x^2y^3\).
Problemas de aplicación
Ejercicio 23
La población de una bacteria se duplica cada hora. Si inicialmente hay \(100\) bacterias, ¿cuántas habrá después de \(5\) horas?
Si la población se duplica cada hora, se multiplica por \(2\) en cada período.
Después de \(5\) horas, el factor de crecimiento es:
\[ 2^5=32 \]
Entonces:
\[ 100\cdot 2^5=100\cdot 32=3200 \]
Después de \(5\) horas habrá \(3200\) bacterias.
Ejercicio 24
Un material radiactivo se reduce a la mitad cada \(10\) años. Si inicialmente hay \(1000\) gramos, ¿cuántos gramos quedarán después de \(30\) años?
En \(30\) años hay \(3\) períodos de \(10\) años:
\[ \frac{30}{10}=3 \]
Como se reduce a la mitad en cada período, multiplicamos por \(\left(\frac{1}{2}\right)^3\):
\[ 1000\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 1000\cdot \frac{1}{8} \]
\[ 1000\cdot \frac{1}{8}=125 \]
Después de \(30\) años quedarán \(125\) gramos.
Ejercicio 25
El área de un cuadrado es \(x^6\). ¿Cuál es la longitud de su lado?
La longitud del lado de un cuadrado se obtiene calculando la raíz cuadrada del área:
\[ \text{lado}=\sqrt{x^6} \]
En los reales:
\[ \sqrt{x^6}=|x^3| \]
Como una longitud no puede ser negativa, esta forma asegura que el lado sea positivo o cero.
La longitud del lado es \(|x^3|\). Si \(x\ge 0\), se escribe simplemente \(x^3\).
3. Introducción a las Tasas de Cambio
Introducción a las tasas de cambio
Cambio constante vs. cambio variable
En el mundo real, muchas cantidades cambian. Algunas lo hacen a un ritmo constante, como un auto que se mueve a velocidad fija, mientras que otras lo hacen a un ritmo variable, como el crecimiento de una planta.
Entender esta diferencia es importante para el modelado matemático, porque permite reconocer cuándo una situación puede representarse con una función lineal y cuándo requiere otro tipo de modelo.
Ejemplo de cambio constante: función lineal
Un automóvil viaja a \(60\) km/h. Cada hora, la distancia aumenta en exactamente \(60\) km.
Por ejemplo:
| Tiempo |
Distancia (km) |
|---|---|
| \(0\) | \(0\) |
| \(1\) | \(60\) |
| \(2\) | \(120\) |
| \(3\) | \(180\) |
Como la distancia aumenta siempre en la misma cantidad por cada hora, el cambio es constante y su gráfico corresponde a una recta.
Ejemplo de cambio variable: función no lineal
El crecimiento de una planta puede ser variable. Por ejemplo, puede crecer \(1\) cm el primer día, \(2\) cm el segundo día y \(3\) cm el tercer día.
En este caso, el ritmo de crecimiento no es el mismo cada día.
Como la cantidad de cambio no se mantiene constante, el fenómeno no se modela con una función lineal simple. Su gráfico puede tener forma curva.
Tasa de cambio promedio
La tasa de cambio promedio mide cuánto cambia una cantidad respecto de otra en un intervalo determinado.
Si se consideran dos puntos \((x_1,y_1)\) y \((x_2,y_2)\), se calcula como:
Interpretación gráfica
En un gráfico, la tasa de cambio promedio entre dos puntos \((x_1,y_1)\) y \((x_2,y_2)\) corresponde a la pendiente de la recta secante que une esos dos puntos.
- Tasa positiva: la recta secante sube, por lo que la función crece en ese intervalo.
- Tasa negativa: la recta secante baja, por lo que la función decrece en ese intervalo.
- Tasa cero: la recta secante es horizontal, por lo que no hay cambio neto en ese intervalo.
Ejercicios
Ejercicio 1
La tabla muestra la distancia recorrida por un ciclista:
| Tiempo (min) | Distancia (m) |
|---|---|
| \(0\) | \(0\) |
| \(10\) | \(500\) |
| \(20\) | \(1000\) |
| \(30\) | \(1500\) |
- Calcula la tasa de cambio promedio entre \(0\) y \(10\) minutos.
- Calcula la tasa de cambio promedio entre \(10\) y \(20\) minutos.
- ¿La tasa de cambio es constante? ¿Qué tipo de función representa?
-
Entre \(0\) y \(10\) minutos:
\[ \frac{500-0}{10-0} = \frac{500}{10} = 50 \]
La tasa de cambio promedio es \(50\) m/min.
-
Entre \(10\) y \(20\) minutos:
\[ \frac{1000-500}{20-10} = \frac{500}{10} = 50 \]
La tasa de cambio promedio es \(50\) m/min.
-
La tasa de cambio es la misma en ambos intervalos.
Sí, la tasa de cambio es constante. La situación representa una función lineal.
Ejercicio 2
La tabla muestra la temperatura de una taza de café:
| Tiempo (min) | Temperatura (°C) |
|---|---|
| \(0\) | \(90\) |
| \(5\) | \(70\) |
| \(10\) | \(55\) |
| \(15\) | \(45\) |
- Calcula la tasa de cambio promedio entre \(0\) y \(5\) minutos.
- Calcula la tasa de cambio promedio entre \(10\) y \(15\) minutos.
- ¿La tasa de cambio es constante?
-
Entre \(0\) y \(5\) minutos:
\[ \frac{70-90}{5-0} = \frac{-20}{5} = -4 \]
La tasa de cambio promedio es \(-4\) °C/min.
-
Entre \(10\) y \(15\) minutos:
\[ \frac{45-55}{15-10} = \frac{-10}{5} = -2 \]
La tasa de cambio promedio es \(-2\) °C/min.
-
Las tasas obtenidas son distintas: \(-4\) °C/min y \(-2\) °C/min.
No, la tasa de cambio no es constante. El café se enfría, pero cada vez más lentamente, por lo que corresponde a una situación no lineal.
Ejercicio 3
Un gráfico muestra la altura de un cohete de juguete. En el segundo \(1\) está a \(10\) metros, en el segundo \(3\) alcanza su altura máxima de \(50\) metros y, luego, en el segundo \(5\), cae de vuelta al suelo.
- ¿Cuál es la tasa de cambio promedio durante el ascenso, entre \(t=1\) y \(t=3\)?
- ¿Cuál es la tasa de cambio promedio durante el descenso, entre \(t=3\) y \(t=5\)?
-
Durante el ascenso se consideran los puntos \((1,10)\) y \((3,50)\):
\[ \frac{50-10}{3-1} = \frac{40}{2} = 20 \]
La tasa de cambio promedio durante el ascenso es \(20\) m/s.
-
Durante el descenso se consideran los puntos \((3,50)\) y \((5,0)\):
\[ \frac{0-50}{5-3} = \frac{-50}{2} = -25 \]
La tasa de cambio promedio durante el descenso es \(-25\) m/s. El signo negativo indica que la altura disminuye.
4. Ejercicios de Selección Múltiple - Repaso de Funciones
Ejercicios de selección múltiple - Repaso de funciones
¡A probar tus conocimientos!
Has llegado al final de la unidad. Es hora de repasar los conceptos básicos de funciones, potencias y tasas de cambio. Lee cada pregunta con calma y elige la alternativa que consideres correcta.
Mucho éxito.
Ejercicio 1
¿Cuál de las siguientes relaciones no es una función?
- A cada estudiante se le asigna su promedio final.
- A cada número entero se le asigna su sucesor.
- A cada persona se le asigna su color favorito.
- A cada rectángulo se le asigna su área.
- A cada número real se le asigna su valor absoluto y su opuesto.
Una relación es función si cada entrada tiene una única salida.
En la alternativa e), a un mismo número real se le asignan dos valores: su valor absoluto y su opuesto.
Por ejemplo, para \(5\):
\[ |5|=5 \qquad\text{y}\qquad -5=-5 \]
La misma entrada tendría dos salidas distintas.
Alternativa correcta: e.
Ejercicio 2
Si \(f(x)=2x-3\), ¿cuál es el valor de \(f(-1)\)?
- \(-5\)
- \(-1\)
- \(1\)
- \(5\)
- \(-6\)
Reemplazamos \(x=-1\) en la función:
\[ f(-1)=2(-1)-3 \]
\[ f(-1)=-2-3=-5 \]
Alternativa correcta: a.
Ejercicio 3
¿Cuál es el dominio de la función \(f(x)=\sqrt{x-2}\)?
- Todos los números reales.
- \(x>2\)
- \(x\geq 2\)
- \(x\leq 2\)
- \(x\neq 2\)
Para que una raíz cuadrada esté definida en los números reales, el radicando debe ser mayor o igual que cero.
\[ x-2\geq 0 \]
Despejamos:
\[ x\geq 2 \]
Alternativa correcta: c.
Ejercicio 4
¿Cuál es el recorrido de la función \(f(x)=x^2+1\)?
- Todos los números reales.
- Reales positivos.
- Reales no negativos.
- \(y\geq 1\)
- \(y\leq 1\)
Para todo número real \(x\), se cumple que:
\[ x^2\geq 0 \]
Entonces:
\[ x^2+1\geq 1 \]
El valor mínimo de la función es \(1\), cuando \(x=0\).
Alternativa correcta: d.
Ejercicio 5
Simplifica \(3^2\cdot 3^4\cdot 3^{-3}\).
- \(3^{-24}\)
- \(3^3\)
- \(3^9\)
- \(3^{-1}\)
- \(27^3\)
Como las potencias tienen igual base, sumamos los exponentes:
\[ 3^2\cdot 3^4\cdot 3^{-3}=3^{2+4+(-3)} \]
\[ 2+4-3=3 \]
\[ 3^2\cdot 3^4\cdot 3^{-3}=3^3 \]
Alternativa correcta: b.
Ejercicio 6
Simplifica \(\dfrac{x^8}{x^{-2}}\), con \(x\neq 0\).
- \(x^6\)
- \(x^{10}\)
- \(x^{-6}\)
- \(\dfrac{1}{x^6}\)
- \(\dfrac{1}{x^{10}}\)
En un cociente de potencias de igual base, se restan los exponentes:
\[ \frac{x^8}{x^{-2}}=x^{8-(-2)} \]
\[ 8-(-2)=10 \]
\[ \frac{x^8}{x^{-2}}=x^{10} \]
Alternativa correcta: b.
Ejercicio 7
Simplifica \((2a^3b^{-2})^3\).
- \(2a^6b^{-5}\)
- \(8a^9b^{-6}\)
- \(6a^6b^{-6}\)
- \(8a^6b^{-5}\)
- \(6a^9b^{-6}\)
Elevamos cada factor a la potencia \(3\):
\[ (2a^3b^{-2})^3=2^3(a^3)^3(b^{-2})^3 \]
Aplicamos potencia de una potencia:
\[ 2^3a^{3\cdot 3}b^{-2\cdot 3} \]
\[ 8a^9b^{-6} \]
Alternativa correcta: b.
Ejercicio 8
Expresa \(\sqrt[4]{x^3}\) usando un exponente fraccionario.
- \(x^{\frac{4}{3}}\)
- \(x^{\frac{3}{4}}\)
- \(x^1\)
- \(x^7\)
- \(4x^3\)
Una raíz puede escribirse como exponente fraccionario:
\[ \sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}} \]
En este caso, el exponente del radicando es \(3\) y el índice es \(4\):
\[ \sqrt[4]{x^3}=x^{\frac{3}{4}} \]
Alternativa correcta: b.
Ejercicio 9
Simplifica \(25^{-\frac{1}{2}}\).
- \(-5\)
- \(5\)
- \(\frac{1}{5}\)
- \(-\frac{1}{5}\)
- \(25\)
El exponente negativo indica inverso:
\[ 25^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{25^{\frac{1}{2}}} \]
El exponente \(\frac{1}{2}\) corresponde a raíz cuadrada:
\[ \frac{1}{25^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{25}} \]
\[ \frac{1}{\sqrt{25}}=\frac{1}{5} \]
Alternativa correcta: c.
Ejercicio 10
¿Cuál es la tasa de cambio promedio de \(f(x)=x^2\) entre \(x=1\) y \(x=3\)?
- \(1\)
- \(2\)
- \(3\)
- \(4\)
- \(5\)
La tasa de cambio promedio es:
\[ \frac{f(3)-f(1)}{3-1} \]
Calculamos:
\[ f(3)=3^2=9 \qquad\text{y}\qquad f(1)=1^2=1 \]
Entonces:
\[ \frac{9-1}{3-1} = \frac{8}{2} = 4 \]
Alternativa correcta: d.
Ejercicio 11
Según la tabla, ¿cuál es la tasa de cambio promedio de la población entre \(2005\) y \(2015\)?
| Año | Población |
|---|---|
| \(2000\) | \(10000\) |
| \(2005\) | \(12000\) |
| \(2010\) | \(14000\) |
| \(2015\) | \(16000\) |
- \(200\) hab/año
- \(400\) hab/año
- \(1000\) hab/año
- \(2000\) hab/año
- \(4000\) hab/año
Entre \(2005\) y \(2015\), la población cambia de \(12000\) a \(16000\).
Aplicamos la fórmula de tasa de cambio promedio:
\[ \frac{16000-12000}{2015-2005} \]
\[ \frac{4000}{10}=400 \]
Alternativa correcta: b.
Ejercicio 12
Si la tasa de cambio promedio de una función entre dos puntos es cero, ¿qué se puede concluir?
- La función es creciente.
- La función es decreciente.
- La función es constante.
- La función tiene el mismo valor en ambos puntos.
- No se puede concluir nada.
La tasa de cambio promedio se calcula como:
\[ \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \]
Si esta tasa es \(0\), entonces el numerador debe ser \(0\):
\[ y_2-y_1=0 \]
Por lo tanto:
\[ y_2=y_1 \]
Esto significa que la función tiene el mismo valor en ambos puntos. No necesariamente significa que sea constante en todo el intervalo.
Alternativa correcta: d.
Ejercicio 13
¿Qué gráfica representa una función con tasa de cambio promedio positiva entre los puntos A y B?
- Una donde B está más arriba y a la derecha que A.
- Una donde B está más abajo y a la derecha que A.
- Una donde B está a la misma altura que A.
- Una donde B está a la izquierda de A.
Una tasa de cambio promedio positiva significa que, al aumentar \(x\), también aumenta \(y\) en promedio.
Gráficamente, esto se observa cuando el punto B está más arriba que A y hacia la derecha de A.
Alternativa correcta: a.
Ejercicio 14
La tasa de cambio promedio de \(f(x)\) entre \(x=a\) y \(x=b\) es \(5\). Si \(f(a)=10\), ¿cuál es el valor de \(f(b)\)?
- No se puede determinar.
- \(15\)
- \(5\)
- \(10+5(b-a)\)
- \(10+5(a-b)\)
Usamos la fórmula de tasa de cambio promedio:
\[ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=5 \]
Como \(f(a)=10\), reemplazamos:
\[ \frac{f(b)-10}{b-a}=5 \]
Multiplicamos por \(b-a\):
\[ f(b)-10=5(b-a) \]
Despejamos \(f(b)\):
\[ f(b)=10+5(b-a) \]
Alternativa correcta: d.
Ejercicio 15
¿Cuál de las siguientes opciones describe una función cuadrática?
- \(f(x)=5x\)
- \(f(x)=5^x\)
- \(f(x)=x^5\)
- \(f(x)=5x^2+3x-1\)
- \(f(x)=\log(x)\)
Una función cuadrática tiene la forma general:
\[ f(x)=ax^2+bx+c \qquad\text{con}\qquad a\neq 0 \]
La alternativa d) tiene término cuadrático \(5x^2\) y su mayor exponente es \(2\).
Alternativa correcta: d.