Introducción a las Funciones

¿Qué es una Función?

Una función es una relación especial entre dos conjuntos, llamados dominio y codominio (o rango). A cada elemento del dominio, la función le asigna uno y solo un elemento del codominio. Podemos pensar en una función como una "máquina" que toma un valor de entrada (del dominio) y produce un valor de salida (del codominio).

Ejemplo 1:

• Dominio: {1, 2, 3}
• Codominio: {2, 4, 6}
• Regla: Multiplicar cada elemento en el Dominio por dos, para obtener el elemento en el codominio.

En este caso al 1 le corresponde el 2, al 2 le corresponde el 4 y al 3 el 6

Ejemplo 2:

• Imagina una máquina expendedora de bebidas.
• Dominio: Los botones que puedes presionar (cada botón representa una bebida).
• Codominio: Las bebidas que la máquina puede dispensar.
• Función: La máquina misma. Tú presionas un botón (entrada), y la máquina te da *una* bebida específica (salida). No te da dos bebidas a la vez, ni te da una bebida al azar.

Notación

Usualmente usamos letras como "f", "g" o "h" para representar funciones. Si "f" es una función, "x" es un valor de entrada (del dominio), y "y" es el valor de salida correspondiente, escribimos:

\[ y = f(x) \]

Esto se lee: "y es igual a f de x". Significa que "y" es el valor que la función "f" asigna al valor "x".

Ejemplo: \( f(x) = 2x + 1 \) Esta función toma un número (x), lo multiplica por 2 y le suma 1.

• Si x = 3, entonces f(3) = 2 * 3 + 1 = 7.
• Si x = -1, entonces f(-1) = 2 * (-1) + 1 = -1.

Representaciones de Funciones

Las funciones se pueden representar de varias maneras:

1. Verbalmente: Con una descripción en palabras (como en los ejemplos anteriores).
2. Algebraicamente: Con una fórmula o ecuación (ej: \( f(x) = x^2 \)).
3. Numéricamente: Con una tabla de valores (que muestra pares de entrada y salida).
4. Gráficamente: Con un gráfico en un sistema de coordenadas (donde el eje horizontal suele representar la entrada "x" y el eje vertical la salida "y" o "f(x)").

Ejemplo (todas las representaciones):

• Verbal: "La función toma un número y lo eleva al cuadrado".
• Algebraica: \( f(x) = x^2 \)
• Tabla de valores:

  x	f(x)
  -2	4
  -1	1
  0	0
  1	1
  2	4

• Gráfica: (Aquí iría la gráfica de la función cuadrática. En HTML 3.2 no podemos dibujarla directamente, pero en Moodle sí se puede insertar).

Dominio, Codominio y Rango (Recorrido)

• Dominio: El conjunto de *todos* los valores de entrada posibles para la función.
• Codominio: El conjunto de *todos* los valores de salida *posibles*.
• Rango (o Recorrido): El conjunto de *todos* los valores de salida que la función *realmente toma*. El rango es un subconjunto del codominio.

Ejemplo:

• Considera la función \( f(x) = x^2 \), pero *restringimos* el dominio a los números enteros entre -2 y 2 (incluyéndolos): Dominio = {-2, -1, 0, 1, 2}.
• El *codominio* podrían ser todos los números reales (ya que, en principio, la función podría devolver cualquier número real).
• Pero el *rango* (los valores que *realmente* obtenemos) es {0, 1, 4}. Este es un subconjunto de los números reales.

Dominio de una función son todos los valores permitidos que puede tomar el elemento independiente, por ejemplo, si tenemos \( f(x) = \sqrt{x} \) el dominio serian todos los reales mayores o iguales a cero, ya que para valores negativos no estaría definida, el Codominio son todos los reales, y el rango o recorrido son todos los valores que toma la función, en este caso \( f(x) = \sqrt{x} \) el recorrido sería todos los reales mayores o iguales a cero.

Repaso Rápido: Funciones Lineales y Cuadráticas (Solo Conceptos Básicos)

• Función Lineal: Tiene la forma \( f(x) = mx + b \). Su gráfica es una línea recta. "m" es la pendiente (inclinación) y "b" es la intersección con el eje y.
• Función Cuadrática: Tiene la forma \( f(x) = ax^2 + bx + c \). Su gráfica es una parábola.

No entraremos en detalles sobre estas funciones ahora, pero es útil recordarlas como ejemplos de funciones que ya conoces.

Modelo Matemático

Un modelo matemático es una representación simplificada de una situación o fenómeno del mundo real, utilizando lenguaje y conceptos matemáticos. Las funciones son herramientas *fundamentales* para construir modelos matemáticos.

Ejemplo: Si un objeto se mueve a velocidad constante, la distancia recorrida en función del tiempo se puede modelar con una función lineal.

Ejercicios (Ordenados por Dificultad)

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Potencias y Exponentes: Propiedades y Operaciones

¿Qué son las Potencias?

Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación repetida de un mismo número (la *base*) por sí mismo. El número de veces que se multiplica la base se llama *exponente*.

Notación: \( b^n \)

• \( b \): base (el número que se multiplica).
• \( n \): exponente (cuántas veces se multiplica la base).

Ejemplo: \( 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \) (2 es la base, 3 es el exponente, 8 es el resultado)

Propiedades de las Potencias

Estas propiedades son *fundamentales* para trabajar con funciones exponenciales y logarítmicas. Es *esencial* que las comprendas y sepas aplicarlas.

1. Producto de potencias de igual base: \[ b^m \cdot b^n = b^{m+n} \]

   Cuando multiplicas potencias con la *misma base*, se *suman* los exponentes.

   Ejemplo: \( 2^3 \cdot 2^2 = 2^{3+2} = 2^5 = 32 \)

2. Cociente de potencias de igual base: \[ \frac{b^m}{b^n} = b^{m-n} \]

   Cuando divides potencias con la *misma base*, se *restan* los exponentes.

   Ejemplo: \( 5^4 / 5^2 = 5^{4-2} = 5^2 = 25 \)

3. Potencia de una potencia: \[ (b^m)^n = b^{m \cdot n} \]

   Cuando elevas una potencia a otra potencia, se *multiplican* los exponentes.

   Ejemplo: \( (3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6 = 729 \)

4. Exponente cero: \[ b^0 = 1 \quad (\text{siempre que } b \neq 0) \]

   Cualquier número (distinto de cero) elevado a la potencia cero es igual a 1.

   Ejemplo: \( 7^0 = 1 \), \( (-4)^0 = 1 \), \( (1/2)^0 = 1 \)

5. Exponentes negativos: \[ b^{-n} = \frac{1}{b^n} \quad (\text{siempre que } b \neq 0) \]

   Un exponente negativo indica el *recíproco* de la base elevada al exponente positivo.

   Ejemplo: \( 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \), \( 5^{-1} = \frac{1}{5} \)

6. Exponentes fraccionarios (raíces): \[ b^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{b^m} = (\sqrt[n]{b})^m \]

   Un exponente fraccionario representa una raíz. El denominador del exponente es el *índice* de la raíz, y el numerador es el exponente al que se eleva la base (o el resultado de la raíz).

   Ejemplo: \( 9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3 \), \( 8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4 \)

7. Potencia de un producto: \[ (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \]

   Cuando un *producto* se eleva a una potencia, se eleva *cada factor* a esa potencia.

   Ejemplo: \( (2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3= 8*125= 1000 \)

8. Potencia de un cociente: \[ (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} \]

   Cuando un *cociente* se eleva a una potencia, se eleva *cada factor* a esa potencia.

   Ejemplo: \( (\frac{2}{3})^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27} \)

Ejercicios (Graduados por Dificultad)

Ejercicio 1: \( 5^2 \cdot 5^3 \)

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Introducción a las Tasas de Cambio

Cambio Constante vs. Cambio Variable

En el mundo real, las cosas cambian. Algunas cambian a un ritmo *constante*, mientras que otras cambian a un ritmo *variable*. Entender la diferencia es crucial para modelar situaciones con funciones.

Ejemplo de Cambio Constante:

• Un automóvil que viaja a una velocidad constante de 60 km/h. Cada hora, recorre *exactamente* 60 km más.
• Tabla:

  Tiempo	Distancia (km)
  0	0
  1	60
  2	120
  3	180

• Gráfico: Una línea recta.

Ejemplo de Cambio Variable:

• El crecimiento de una planta. Al principio, puede crecer muy rápido, luego más lentamente, y eventualmente detenerse.
• Tabla:

  Dia	Altura(cm)
  0	1
  1	2
  2	4
  3	7
  4	9
  5	10

• Gráfico: Una curva (no una línea recta).

Tasa de Cambio Promedio

La *tasa de cambio promedio* mide *cuánto* cambia una cantidad (la variable dependiente) en relación con el cambio en otra cantidad (la variable independiente), en un *intervalo* determinado.

Fórmula:

\[ \text{Tasa de Cambio Promedio} = \frac{\text{Cambio en la variable dependiente}}{\text{Cambio en la variable independiente}} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]

Donde:

• \( \Delta y \) (delta y) representa el cambio en la variable dependiente (generalmente representada por "y").
• \( \Delta x \) (delta x) representa el cambio en la variable independiente (generalmente representada por "x").
• \((x_1, y_1)\) y \((x_2, y_2)\) son dos puntos en la relación (por ejemplo, dos puntos en una tabla de valores o en un gráfico).

Interpretación Gráfica:

En un gráfico, la tasa de cambio promedio es la *pendiente* de la *recta secante* que conecta dos puntos en la gráfica de la función.

(En Moodle, aquí insertarías una imagen que muestre una curva con dos puntos marcados y la recta secante que los une).

Ejemplo (usando la tabla de la planta):

• Calcula la tasa de cambio promedio de la altura de la planta entre el día 1 y el día 3.
  \( \Delta y = 7\text{ cm} - 2\text{ cm} = 5\text{ cm} \)
  \( \Delta x = 3\text{ días} - 1\text{ día} = 2\text{ días} \)
  Tasa de cambio promedio = \( \frac{5 \text{ cm}}{2 \text{ días}} = 2.5 \text{ cm/día} \)
• Interpretación: Entre el día 1 y el día 3, la planta creció, *en promedio*, 2.5 cm por día.

Casos Especiales:

• Tasa de cambio = 0: La variable dependiente no cambia (línea horizontal).
• Tasa de cambio positiva: La variable dependiente *aumenta* a medida que la variable independiente aumenta (línea o curva ascendente).
• Tasa de cambio negativa: La variable dependiente *disminuye* a medida que la variable independiente aumenta (línea o curva descendente).

Diferencia entre Función Lineal y No Lineal (Introducción)

Una función lineal tiene una *tasa de cambio constante*. Su gráfico es una línea recta. Una función *no lineal* tiene una *tasa de cambio variable*. Su gráfico es una curva.

Ejemplo (comparación):

• Función lineal: y = 2x + 1 (La tasa de cambio siempre es 2).
• Función no lineal: y = x² (La tasa de cambio depende del valor de x).

(Aquí, en Moodle, insertarías un gráfico que muestre una línea recta y una parábola, una al lado de la otra, para comparar).

En las siguientes páginas, exploraremos funciones no lineales (exponenciales y logarítmicas) que tienen tasas de cambio *muy* particulares.

Ejercicios

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Ejercicios de Selección Múltiple - Repaso de Funciones

Conceptos básicos de funciones, potencias y tasas de cambio.

Instrucciones: Elige la alternativa correcta. Haz clic en "Mostrar/Ocultar Solución" para ver la respuesta.

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