Repaso de Funciones y Conceptos Clave
| Sitio: | PROFEARAUCO.CL |
| Curso: | Media 3 |
| Libro: | Repaso de Funciones y Conceptos Clave |
| Imprimido por: | Invitado |
| Día: | sábado, 6 de septiembre de 2025, 12:39 |
1. Introducción a las Funciones
Introducción a las Funciones
💡 ¿Qué es una Función?
Una función es una relación especial entre dos conjuntos, llamados dominio y codominio. A cada elemento del dominio, la función le asigna uno y solo un elemento del codominio.
Podemos pensar en una función como una "máquina" ⚙️ que toma un valor de entrada (del dominio) y produce un valor de salida (del codominio).
Notación
Usamos letras como \(f\), \(g\) o \(h\) para representar funciones. Si \(f\) es una función, \(x\) es un valor de entrada y \(y\) es el valor de salida correspondiente, escribimos:
\( y = f(x) \)
Esto se lee "y es igual a f de x", y significa que \(y\) es el valor que la función \(f\) le asigna a \(x\).
Representaciones de Funciones
Las funciones se pueden representar de varias maneras:
- Verbalmente: Con una descripción en palabras.
- Algebraicamente: Con una fórmula (ej: \( f(x) = x^2 \)).
- Numéricamente: Con una tabla de valores.
- Gráficamente: Con un gráfico en un sistema de coordenadas.
• Verbal: "La función toma un número y lo eleva al cuadrado".
• Algebraica: \( f(x) = x^2 \)
• Tabla de valores (Numérica):
| x | f(x) |
|---|---|
| -2 | 4 |
| -1 | 1 |
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 4 |
• Gráfica: La gráfica de esta función es una parábola con vértice en el origen.
🤓 Dominio, Codominio y Recorrido
- Dominio: El conjunto de todos los valores de entrada permitidos para la función.
- Codominio: El conjunto de todos los valores de salida posibles.
- Recorrido (o Rango): El conjunto de los valores de salida que la función realmente produce. El recorrido es siempre un subconjunto del codominio.
Por ejemplo, para \( f(x) = \sqrt{x} \):
- El Dominio es \(x \ge 0\), ya que no podemos calcular la raíz cuadrada de un número negativo en los reales.
- El Recorrido es \(f(x) \ge 0\), ya que el resultado de la raíz cuadrada principal nunca es negativo.
🌍 Modelo Matemático
Un modelo matemático es una representación simplificada de un fenómeno del mundo real usando lenguaje matemático. Las funciones son la herramienta fundamental para construir estos modelos.
Ejemplo: La distancia que recorre un auto a velocidad constante se puede modelar con una función lineal: \(d(t) = v \cdot t\), donde la distancia depende del tiempo.
Ejercicios
- A cada persona se le asigna su número de RUT.
- A cada número se le asigna su doble.
- A cada número positivo se le asigna su raíz cuadrada.
- A cada madre se le asigna su hijo/a.
Respuesta: c) y d).
Explicación:
- c) Un número positivo (ej: 9) tiene dos raíces cuadradas (3 y -3). Como a una entrada le corresponden dos salidas, no es función.
- d) Una madre puede tener más de un hijo. Como a una entrada (la madre) le puede corresponder más de una salida (los hijos), no es función.
| x | f(x) |
|---|---|
| -2 | ? |
| -1 | ? |
| 0 | ? |
| 1 | ? |
| 2 | ? |
f(-2) = 2(-2) + 3 = -1
f(-1) = 2(-1) + 3 = 1
f(0) = 2(0) + 3 = 3
f(1) = 2(1) + 3 = 5
f(2) = 2(2) + 3 = 7
La tabla completa es: -1, 1, 3, 5, 7.
- La función que asigna a cada persona su edad en años.
- La función \( f(x) = \sqrt{x-1} \)
- Dominio: Todas las personas vivas. Recorrido: Números enteros no negativos (ej: {0, 1, 2, ..., 120}).
- Dominio: Para que la raíz esté definida, \(x-1 \ge 0\), por lo tanto \(x \ge 1\). Recorrido: El resultado de la raíz siempre es no negativo, por lo tanto \(f(x) \ge 0\).
| x | y |
|---|---|
| 1 | 5 |
| 2 | 10 |
| 1 | 7 |
| 3 | 15 |
No es una función. Al valor de entrada x=1 le corresponden dos valores de salida diferentes (5 y 7), lo que viola la definición de función.
2. Potencias y Exponentes
Potencias y Exponentes: Propiedades y Operaciones
💡 ¿Qué son las Potencias?
Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación repetida de un mismo número (la base) por sí mismo. El número de veces que se multiplica la base se llama exponente.
Notación: \( b^n \)
- \( b \): base (el número que se multiplica).
- \( n \): exponente (cuántas veces se multiplica la base).
Ejemplo: \( 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \)
📐 Propiedades Fundamentales de las Potencias
Estas propiedades son esenciales para trabajar con funciones exponenciales y logarítmicas. ¡Asegúrate de dominarlas!
- Producto de potencias de igual base: \( b^m \cdot b^n = b^{m+n} \) (Se suman los exponentes).
Ejemplo: \( 2^3 \cdot 2^2 = 2^{5} = 32 \) - Cociente de potencias de igual base: \( \frac{b^m}{b^n} = b^{m-n} \) (Se restan los exponentes).
Ejemplo: \( 5^4 / 5^2 = 5^2 = 25 \) - Potencia de una potencia: \( (b^m)^n = b^{m \cdot n} \) (Se multiplican los exponentes).
Ejemplo: \( (3^2)^3 = 3^6 = 729 \) - Exponente cero: \( b^0 = 1 \) (para \(b \neq 0\)).
Ejemplo: \( 7^0 = 1 \) - Exponente negativo: \( b^{-n} = \frac{1}{b^n} \) (para \(b \neq 0\)).
Ejemplo: \( 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \) - Exponente fraccionario (raíces): \( b^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{b^m} \)
Ejemplo: \( 8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4 \) - Potencia de un producto: \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \)
Ejemplo: \( (2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3= 1000 \) - Potencia de un cociente: \( (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} \)
Ejemplo: \( (\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27} \)
Ejercicios
🌍 Problemas de Aplicación
Total = \(100 \cdot 2^5 = 100 \cdot 32 = 3200\) bacterias.
Total = \(1000 \cdot (\frac{1}{2})^3 = 1000 \cdot \frac{1}{8} = 125\) gramos.
Lado = \(\sqrt{x^6} = (x^6)^{\frac{1}{2}} = x^{3}\).
3. Introducción a las Tasas de Cambio
Introducción a las Tasas de Cambio
💡 Cambio Constante vs. Cambio Variable
En el mundo real, las cosas cambian. Algunas lo hacen a un ritmo constante (como un auto a velocidad fija), mientras que otras lo hacen a un ritmo variable (como el crecimiento de una planta). Entender la diferencia es crucial para el modelado matemático.
📐 Tasa de Cambio Promedio
Mide cuánto cambia una cantidad en relación a otra, en un intervalo determinado. Se calcula con la siguiente fórmula:
Tasa de Cambio Promedio = \(\frac{\text{Cambio en y}}{\text{Cambio en x}} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)
🤓 Interpretación Gráfica
En un gráfico, la tasa de cambio promedio entre dos puntos \((x_1, y_1)\) y \((x_2, y_2)\) es simplemente la pendiente de la recta secante que une esos dos puntos.
- Tasa positiva: La recta secante sube (la función crece en ese intervalo).
- Tasa negativa: La recta secante baja (la función decrece en ese intervalo).
- Tasa cero: La recta secante es horizontal (no hay cambio neto en ese intervalo).
Ejercicios
| Tiempo (min) | Distancia (m) |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 10 | 500 |
| 20 | 1000 |
| 30 | 1500 |
- Calcula la tasa de cambio promedio entre 0 y 10 minutos.
- Calcula la tasa de cambio promedio entre 10 y 20 minutos.
- ¿La tasa de cambio es constante? ¿Qué tipo de función es?
- Tasa = (500 - 0) / (10 - 0) = 50 m/min
- Tasa = (1000 - 500) / (20 - 10) = 50 m/min
- Sí, la tasa de cambio es constante. Representa una función lineal.
| Tiempo (min) | Temperatura (°C) |
|---|---|
| 0 | 90 |
| 5 | 70 |
| 10 | 55 |
| 15 | 45 |
- Calcula la tasa de cambio promedio entre 0 y 5 minutos.
- Calcula la tasa de cambio promedio entre 10 y 15 minutos.
- ¿La tasa de cambio es constante?
- Tasa = (70 - 90) / (5 - 0) = -4 °C/min (el café se enfría).
- Tasa = (45 - 55) / (15 - 10) = -2 °C/min (se enfría más lento).
- No, la tasa de cambio no es constante (el enfriamiento se desacelera). Es una función no lineal.
- ¿Cuál es la tasa de cambio promedio durante el ascenso (entre t=1 y t=3)?
- ¿Cuál es la tasa de cambio promedio durante el descenso (entre t=3 y t=5)?
- Tasa de ascenso = (50 - 10) / (3 - 1) = 40 / 2 = 20 m/s.
- Tasa de descenso = (0 - 50) / (5 - 3) = -50 / 2 = -25 m/s (el signo negativo indica que está bajando).
4. Ejercicios de Selección Múltiple - Repaso de Funciones
Ejercicios de Selección Múltiple - Repaso de Funciones
💡 ¡A Probar tus Conocimientos!
Has llegado al final de la unidad. Es hora de repasar los conceptos básicos de funciones, potencias y tasas de cambio. Lee cada pregunta con calma y elige la alternativa que consideres correcta.
¡Mucho éxito!
- A cada estudiante se le asigna su promedio final.
- A cada número entero se le asigna su sucesor.
- A cada persona se le asigna su color favorito.
- A cada rectángulo se le asigna su área.
- A cada número real se le asigna su valor absoluto y su opuesto.
Respuesta correcta: e)
Explicación: A una misma entrada (un número real como el 5) se le asignan dos salidas distintas (su valor absoluto, 5, y su opuesto, -5). Esto viola la regla fundamental de las funciones, que exige una única salida para cada entrada.
- -5
- -1
- 1
- 5
- -6
Respuesta correcta: a) -5
Desarrollo: \( f(-1) = 2(-1) - 3 = -2 - 3 = -5 \)
- Todos los números reales.
- \( x > 2 \)
- \( x \geq 2 \)
- \( x \leq 2 \)
- \( x \neq 2 \)
Respuesta correcta: c) \( x \geq 2 \)
Explicación: La raíz cuadrada solo está definida para valores no negativos. Por lo tanto, el argumento debe ser \(x - 2 \geq 0\), lo que implica \(x \geq 2\).
- Todos los números reales.
- Reales positivos.
- Reales no negativos.
- \( y \geq 1 \)
- \( y \leq 1 \)
Respuesta correcta: d) \( y \geq 1 \)
Explicación: El valor mínimo de \(x^2\) es 0. Por lo tanto, el valor mínimo de \(x^2 + 1\) es \(0 + 1 = 1\).
- \( 3^{-24} \)
- \( 3^3 \)
- \( 3^9 \)
- \( 3^{-1} \)
- \( 27^3 \)
Respuesta correcta: b) \( 3^3 \)
Desarrollo: Se suman los exponentes: \(2 + 4 + (-3) = 3\). El resultado es \(3^3\).
- \( x^6 \)
- \( x^{10} \)
- \( x^{-6} \)
- \( \frac{1}{x^6} \)
- \( \frac{1}{x^{10}} \)
Respuesta correcta: b) \( x^{10} \)
Desarrollo: Se restan los exponentes: \(8 - (-2) = 8 + 2 = 10\).
- \( 2a^6b^{-5} \)
- \( 8a^9b^{-6} \)
- \( 6a^6b^{-6} \)
- \( 8a^6b^{-5} \)
- \( 6a^9b^{-6} \)
Respuesta correcta: b) \( 8a^9b^{-6} \)
Desarrollo: \( 2^3 \cdot (a^3)^3 \cdot (b^{-2})^3 = 8a^{3 \cdot 3}b^{-2 \cdot 3} = 8a^9b^{-6} \).
- \( x^{\frac{4}{3}} \)
- \( x^{\frac{3}{4}} \)
- \( x^1 \)
- \( x^7 \)
- \( 4x^3 \)
Respuesta correcta: b) \( x^{\frac{3}{4}} \)
Explicación: El índice de la raíz (4) es el denominador y el exponente del radicando (3) es el numerador.
- -5
- 5
- 1/5
- -1/5
- 25
Respuesta correcta: c) 1/5
Desarrollo: \( 25^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{25^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{25}} = \frac{1}{5} \)
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
Respuesta correcta: d) 4
Desarrollo: \( \frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{3^2 - 1^2}{2} = \frac{9 - 1}{2} = \frac{8}{2} = 4 \).
| Año | Población |
|---|---|
| 2000 | 10000 |
| 2005 | 12000 |
| 2010 | 14000 |
| 2015 | 16000 |
- 200 hab/año
- 400 hab/año
- 1000 hab/año
- 2000 hab/año
- 4000 hab/año
Respuesta correcta: b) 400 personas/año
Desarrollo: \( \frac{16000 - 12000}{2015 - 2005} = \frac{4000}{10} = 400 \).
- La función es creciente.
- La función es decreciente.
- La función es constante.
- La función tiene el mismo valor en ambos puntos.
- No se puede concluir nada.
Respuesta correcta: d)
Explicación: Si \(\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = 0\), significa que el numerador \(y_2 - y_1 = 0\), por lo que \(y_2 = y_1\). La función puede subir y bajar entre los puntos, pero su valor inicial y final son iguales.
- Una donde B está más arriba y a la derecha que A.
- Una donde B está más abajo y a la derecha que A.
- Una donde B está a la misma altura que A.
- Una donde B está a la izquierda de A.
Respuesta correcta: a)
Explicación: Una tasa de cambio positiva significa que a medida que \(x\) aumenta, \(y\) también aumenta en promedio. Esto se visualiza con una pendiente positiva en la recta que une A y B.
- No se puede determinar.
- 15
- 5
- \(10 + 5(b - a)\)
- \(10 + 5(a - b)\)
Respuesta correcta: d)
Desarrollo: \( \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = 5 \;\Rightarrow\; \frac{f(b) - 10}{b - a} = 5 \;\Rightarrow\; f(b) - 10 = 5(b - a) \;\Rightarrow\; f(b) = 10 + 5(b - a) \).
- f(x) = 5x
- f(x)= 5x
- f(x)= x5
- f(x) = 5x2 + 3x -1
- f(x) = log(x)
Respuesta correcta: d)
Explicación: Una función cuadrática tiene la forma general \(f(x) = ax^2 + bx + c\), donde el término de mayor grado es \(x^2\).