Elementos de la Circunferencia

Circunferencia vs. Círculo

Es importante distinguir entre:

• Circunferencia: La *línea curva* cerrada que delimita el círculo. Es el *borde*.
• Círculo: La *superficie plana* delimitada por la circunferencia. Es el *área* interior.

(En Moodle, insertar una imagen que muestre claramente la diferencia entre circunferencia y círculo).

Elementos de la Circunferencia

En una circunferencia, podemos identificar los siguientes elementos:

(En Moodle, insertar una imagen de una circunferencia con *todos* los elementos claramente etiquetados: centro, radio, diámetro, cuerda, arco, secante, tangente, punto de tangencia).

Centro (O):

Punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia.

Radio (r):

Segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia. Todos los radios de una misma circunferencia tienen la misma longitud.

Diámetro (d):

Segmento que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro. El diámetro es igual a dos veces el radio (d = 2r).

Cuerda:

Segmento que une dos puntos *cualquiera* de la circunferencia. El diámetro es la cuerda de mayor longitud.

Arco:

Una *parte* de la circunferencia, delimitada por dos puntos (los extremos del arco). Se denota con un símbolo curvo sobre las letras que representan los extremos (ej: \(\overarc{AB}\)).

Recta Secante:

Recta que corta la circunferencia en *dos* puntos.

Recta Tangente:

Recta que toca la circunferencia en *un solo* punto, llamado *punto de tangencia*. La tangente es perpendicular al radio en el punto de tangencia.

Recta exterior:

Es aquella recta que no intersecta en ningun punto a la circunferencia.

Ejercicios

Ejercicio 1:

(En Moodle, insertar una imagen de una circunferencia con varios elementos marcados con letras: radios, cuerdas, secantes, tangentes, arcos mayores y menores, etc. Asegúrate de que haya *suficientes* elementos para todos los ítems, y de que algunos elementos se puedan clasificar de *varias* formas - por ejemplo, un diámetro también es una cuerda).

Identifica en la figura:

1. Tres radios diferentes.
2. Dos diámetros diferentes.
3. Tres cuerdas (que no sean diámetros).
4. Un arco menor (nómbralo usando los puntos extremos).
5. Un arco mayor (nómbralo usando los puntos extremos).
6. Una semicircunferencia.
7. Dos rectas secantes.
8. Dos rectas tangentes.
9. Dos puntos de tangencia.
10. Dos angulos (sin dar nombre).
11. Un segmento que sea a la vez radio y parte de un diámetro.

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Ángulos en la Circunferencia: Central, Inscrito y Semi-inscrito

Tipos de Ángulos

Hay varios tipos de ángulos importantes relacionados con la circunferencia:

(En Moodle, insertar imágenes separadas para cada tipo de ángulo, mostrando claramente el ángulo y los elementos de la circunferencia que lo definen).

Ángulo Central:

Su vértice está en el *centro* de la circunferencia, y sus lados son radios. La medida de un ángulo central es *igual* a la medida del arco que subtiende (el arco que "abarca").

Ángulo Inscrito:

Su vértice está en la *circunferencia*, y sus lados son cuerdas. La medida de un ángulo inscrito es *la mitad* de la medida del arco que subtiende (o la mitad del ángulo central correspondiente).

Ángulo Semi-inscrito:

Su vértice está en la circunferencia, un lado es una cuerda y el otro es una recta tangente a la circunferencia en el vértice. La medida de un ángulo semi-inscrito es la *mitad* de la medida del arco que subtiende.

Teorema del Ángulo Central

Teorema: La medida de un ángulo central es *igual* a la medida del arco que subtiende (el arco que "abarca").

\[ \angle AOB = \overarc{AB} \]

(En Moodle, insertar una imagen que muestre un ángulo central AOB y el arco AB).

Ejemplo: Si un ángulo central mide 70 grados, el arco que subtiende también mide 70 grados.

Teorema del Ángulo Inscrito

Teorema: La medida de un ángulo inscrito es *la mitad* de la medida del arco que subtiende (o la mitad del ángulo central correspondiente).

\[ \angle ACB = \frac{1}{2} \overarc{AB} = \frac{1}{2} \angle AOB \]

(En Moodle, insertar una imagen que muestre un ángulo inscrito ACB, el arco AB, y el ángulo central AOB correspondiente).

Ejemplo: Si un ángulo inscrito mide 30 grados, el arco que subtiende mide 60 grados, y el ángulo central correspondiente también mide 60 grados.

Demostración (o Justificación Visual) de los Teoremas

Teorema del Ángulo Central: La demostración formal del teorema del ángulo central depende de la definición de medida de un arco (que suele definirse como la medida del ángulo central correspondiente). Por lo tanto, en este nivel, la "demostración" es más bien una *justificación* basada en la definición.

Teorema del Ángulo Inscrito: Aquí presentaremos una justificación visual y un esbozo de la demostración (la demostración completa se puede hacer en clase, o dejar como un desafío para los estudiantes más avanzados). Hay varios casos a considerar, mostramos 1:

(En Moodle, insertar imágenes para cada paso de la demostración)

• Caso 1: Uno de los lados del ángulo inscrito es un diámetro.
  • Dibuja una circunferencia, un diámetro, y un ángulo inscrito ACB donde AB es el diámetro.
  • Dibuja el radio OC.
  • El triángulo AOC es isósceles (OA y OC son radios).
  • Por lo tanto, los ángulos OAC y OCA son iguales. Llamémoslos *x*.
  • El ángulo central AOB es un ángulo llano (180 grados).
  • El ángulo COB es el ángulo exterior del triángulo AOC, por lo que es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes: ∠COB = x + x = 2x.
  • El arco AB es una semicircunferencia (mide 180 grados), y el arco CB es el arco que subtiende el ángulo inscrito. El ángulo central que subtiende el arco CB es COB.
  • Por el teorema del ángulo central, arco CB = ∠COB = 2x.
  • El ángulo inscrito ACB mide x (porque x = OAC, que es lo mismo que el ángulo inscrito).
  • Por lo tanto, el ángulo inscrito ACB (que mide x) es la mitad del arco CB (que mide 2x).
• Caso 2: El centro de la circunferencia está *dentro* del ángulo inscrito (se puede demostrar usando el Caso 1).
• Caso 3: El centro de la circunferencia está *fuera* del ángulo inscrito (se puede demostrar usando el Caso 1).

La demostración completa cubre todos los casos, y en todos ellos se llega a la misma conclusión: el ángulo inscrito es la mitad del arco que subtiende.

Corolarios Importantes

De los teoremas anteriores, se derivan los siguientes corolarios (consecuencias):

1. Ángulos inscritos que subtienden el mismo arco son iguales.

   (En Moodle, insertar imagen)

2. Un ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.

   (En Moodle, insertar imagen)

Ejercicios

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Otros Ángulos en la Circunferencia (y relación con cuerdas)

Repaso: Ángulos Central e Inscrito

Recordemos que un ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y un ángulo inscrito tiene su vértice en la circunferencia.

Ángulo Semi-inscrito

Un ángulo semi-inscrito tiene su vértice en la circunferencia, un lado es una cuerda y el otro lado es una tangente a la circunferencia en el punto donde se encuentra el vértice.

Teorema: La medida de un ángulo semi-inscrito es igual a la mitad de la medida del arco comprendido entre sus lados.

(Insertar imagen en Moodle: Circunferencia, ángulo semi-inscrito, arco correspondiente claramente marcado).

Ejemplo: Si el arco comprendido entre los lados de un ángulo semi-inscrito mide 100°, entonces el ángulo semi-inscrito mide 50°.

Ángulo Interior

Un ángulo interior es un ángulo formado por dos cuerdas que se cortan *dentro* de la circunferencia.

(Insertar imagen en Moodle: Circunferencia, dos cuerdas que se cortan dentro, ángulo interior marcado).

Teorema: La medida de un ángulo interior es igual a la *semisuma* de las medidas de los arcos interceptados por el ángulo y por su ángulo verticalmente opuesto.

\[ \angle AEB = \frac{1}{2} (\stackrel{\frown}{AB} + \stackrel{\frown}{CD}) \]

(Insertar imagen en Moodle: misma figura, con los arcos AB y CD marcados).

Ejemplo: Si el arco AB mide 80° y el arco CD mide 40°, entonces el ángulo interior AEB mide (80° + 40°) / 2 = 60°.

Ángulo Exterior

Un ángulo exterior es un ángulo formado por:

• Dos secantes que se cortan *fuera* de la circunferencia.
• Dos tangentes que se cortan *fuera* de la circunferencia.
• Una secante y una tangente que se cortan *fuera* de la circunferencia.

(Insertar en Moodle *tres* imágenes separadas, una para cada caso: dos secantes, dos tangentes, una secante y una tangente).

Teorema: La medida de un ángulo exterior es igual a la *semidiferencia* de las medidas de los arcos interceptados.

\[ \angle A = \frac{1}{2} (\stackrel{\frown}{BC} - \stackrel{\frown}{DE}) \]

(Insertar imagen en Moodle: circunferencia, ángulo exterior A formado por dos secantes, arcos BC (mayor) y DE (menor) marcados).

Ejemplo: Si el arco mayor BC mide 110° y el arco menor DE mide 30°, entonces el ángulo exterior A mide (110° - 30°) / 2 = 40°.

Teorema de la Intersección de Dos Cuerdas

Si dos cuerdas de una circunferencia se intersectan en un punto P (interior a la circunferencia), se cumple que:

\[ PA \cdot PB = PC \cdot PD \]

Ejemplo: Si dos cuerdas, AB y CD, se intersectan en un punto P dentro de una circunferencia, y se sabe que PA = 8, PB = 3 y PC = 4, podemos encontrar la longitud de PD utilizando el Teorema de la Intersección de Dos Cuerdas. El teorema establece que \( PA \cdot PB = PC \cdot PD \). Dado que PA = 8, PB = 3 y PC = 4, podemos sustituir estos valores en la ecuación: \(8 \cdot 3 = 4 \cdot PD \) \(24 = 4 \cdot PD \) \( PD = 6\)

Ejercicios

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