Relaciones Métricas con Cuerdas, Secantes y Tangentes
| Sitio: | MATEMÁTICAS × Profe Arauco |
| Curso: | Media 3 |
| Libro: | Relaciones Métricas con Cuerdas, Secantes y Tangentes |
| Imprimido por: | Invitado |
| Día: | jueves, 23 de julio de 2026, 20:03 |
1. Teorema de las Cuerdas y Potencia de un Punto
Objetivos
- Aplicar el teorema de cuerdas que se intersectan en el interior.
- Resolver longitudes desconocidas mediante productos iguales.
- Interpretar la potencia de un punto interior.
Teorema de las cuerdas
Si las cuerdas \( \overline{AB} \) y \( \overline{CD} \) se intersectan en un punto interior \(P\), entonces:
\[ AP\cdot PB = CP\cdot PD \]
Idea clave
El punto de intersección divide cada cuerda en dos segmentos. La relación se arma multiplicando los dos tramos de una cuerda e igualando con el producto de los dos tramos de la otra.
Ejemplo directo
Si \(AP=6\), \(PB=4\) y \(CP=3\), calcula \(PD\).
Aplicamos: \[ AP\cdot PB = CP\cdot PD \] \[ 6\cdot 4 = 3\cdot PD \] \[ 24 = 3\cdot PD \] \[ PD=8 \]
Ejercicio 1
Si \(AP=5\), \(PB=8\) y \(CP=4\), calcula \(PD\).
\[ AP\cdot PB = CP\cdot PD \] \[ 5\cdot 8 = 4\cdot PD \] \[ 40 = 4\cdot PD \] \[ PD=10 \]
Ejercicio 2
Si \(AP=9\), \(PB=4\) y \(CP=6\), calcula \(PD\).
\[ 9\cdot 4 = 6\cdot PD \] \[ 36 = 6\cdot PD \] \[ PD=6 \]
Ejercicio 3
Dos cuerdas se intersectan en \(P\). Si \(AP=3\), \(PB=12\) y \(CP=4\), ¿cuánto mide \(PD\)?
\[ 3\cdot 12 = 4\cdot PD \] \[ 36 = 4\cdot PD \] \[ PD=9 \]
Ejercicio 4
Si \(MR=6\), \(RN=4\) y \(PR=RQ\), calcula \(PR\).
Sea \(x=PR=RQ\). Entonces: \[ MR\cdot RN = PR\cdot RQ \] \[ 6\cdot 4 = x\cdot x \] \[ 24=x^2 \] \[ x=\sqrt{24}=2\sqrt{6} \] Por lo tanto, \(PR=2\sqrt{6}\).
Ejercicio 5
Dos cuerdas tienen \(AB=10\), \(AP=4\), \(CD=11\) y \(CP>PD\). Calcula \(PB\), \(CP\) y \(PD\).
Como \(AB=10\) y \(AP=4\): \[ PB=10-4=6 \]
Luego: \[ AP\cdot PB=CP\cdot PD \] \[ 4\cdot 6=CP\cdot PD \] \[ CP\cdot PD=24 \]
Además: \[ CP+PD=11 \] Los números que suman \(11\) y multiplican \(24\) son \(8\) y \(3\). Como \(CP>PD\), entonces: \[ CP=8,\quad PD=3 \]
Ejercicio 6
Si \(AE=x\), \(EB=x+1\), \(CE=x-1\) y \(ED=x+3\), halla las longitudes.
Aplicamos: \[ AE\cdot EB = CE\cdot ED \] \[ x(x+1)=(x-1)(x+3) \]
Desarrollamos: \[ x^2+x=x^2+2x-3 \] \[ x=2x-3 \] \[ x=3 \]
Por lo tanto: \[ AE=3,\quad EB=4,\quad CE=2,\quad ED=6 \]
Ejercicio 7
Si \(AP=2x\), \(PB=5\), \(CP=4\) y \(PD=x+3\), calcula \(x\).
\[ AP\cdot PB = CP\cdot PD \] \[ (2x)\cdot 5 = 4(x+3) \] \[ 10x=4x+12 \] \[ 6x=12 \] \[ x=2 \]
Ejercicio 8
Dos cuerdas se intersectan en \(P\). Si \(AP=7\), \(PB=6\) y \(CP=3\), ¿cuánto mide la cuerda completa \(CD\)?
Primero calculamos \(PD\): \[ 7\cdot 6 = 3\cdot PD \] \[ 42 = 3\cdot PD \] \[ PD=14 \]
Como \(CD=CP+PD\): \[ CD=3+14=17 \]
Ejercicio 9
En una circunferencia, dos cuerdas se intersectan en \(P\). Se sabe que \(AP=12\), \(PB=3\), \(CP=9\) y \(PD=4\). ¿Se cumple el teorema de las cuerdas?
Revisamos ambos productos: \[ AP\cdot PB=12\cdot 3=36 \] \[ CP\cdot PD=9\cdot 4=36 \] Como los productos son iguales, sí se cumple el teorema.
Ejercicio 10
El punto \(P\) está dentro de una circunferencia. Una cuerda que pasa por \(P\) queda dividida en segmentos de \(4\) cm y \(9\) cm. Otra cuerda que también pasa por \(P\) queda dividida en un segmento de \(6\) cm y otro desconocido. Calcula el segmento desconocido.
La potencia del punto interior se mantiene: \[ 4\cdot 9 = 6\cdot x \] \[ 36=6x \] \[ x=6 \] El segmento desconocido mide \(6\) cm.
Ejercicio 11
Si \(AP=4\), \(PB=x+2\), \(CP=6\) y \(PD=x\), calcula \(x\).
\[ 4(x+2)=6x \] \[ 4x+8=6x \] \[ 8=2x \] \[ x=4 \]
Entonces \(PB=x+2=6\) y \(PD=x=4\).
Ejercicio 12
¿Cuál de las siguientes igualdades representa correctamente el teorema de las cuerdas si \( \overline{AB} \) y \( \overline{CD} \) se intersectan en \(P\)?
- \(AB\cdot CD=AP\cdot CP\)
- \(AP\cdot PB=CP\cdot PD\)
- \(AP+PB=CP+PD\)
- \(AP\cdot CP=PB\cdot PD\)
La alternativa correcta es B: \[ AP\cdot PB=CP\cdot PD \] Se multiplican los dos segmentos de una cuerda y se igualan con el producto de los dos segmentos de la otra cuerda.
Quedó más largo, pero pedagógicamente queda mejor: cada ejercicio tiene su propia escena, aunque varias compartan la misma e
2. Teorema de las Secantes y de la Secante-Tangente
Objetivos
- Aplicar el teorema de dos secantes desde un punto exterior.
- Diferenciar longitud exterior y longitud total de una secante.
- Usar potencia de un punto exterior.
Secantes desde un punto exterior
Si desde un punto exterior \(P\) salen dos secantes que cortan a la circunferencia en \(A\), \(B\), \(C\) y \(D\), entonces:
\[ PA\cdot PB = PC\cdot PD \]
En esta relación, \(PA\) y \(PC\) son las partes exteriores, mientras que \(PB\) y \(PD\) son las longitudes totales desde \(P\).
Idea clave
Si te dan la parte exterior y la parte interior de una secante, primero debes calcular la longitud total.
Por ejemplo, si \(PA=4\) y \(AB=5\), entonces: \[ PB=PA+AB=4+5=9 \]
Ejemplo con dos secantes
Desde \(P\), una secante tiene \(PA=4\) y \(AB=5\). Otra secante tiene \(PC=3\) y \(CD=x\).
Primero calculamos las longitudes totales: \[ PB=PA+AB=4+5=9 \] \[ PD=PC+CD=3+x \]
Luego aplicamos el teorema: \[ PA\cdot PB=PC\cdot PD \] \[ 4\cdot 9=3(3+x) \] \[ 36=9+3x \] \[ x=9 \]
Ejercicio 1
Desde \(P\), una secante tiene \(PA=4\) y \(AB=5\). Otra tiene \(PC=3\) y \(CD=x\). Calcula \(x\).
Primero: \[ PB=4+5=9 \] \[ PD=3+x \] Luego: \[ 4\cdot 9=3(3+x) \] \[ 36=9+3x \] \[ 27=3x \] \[ x=9 \]
Ejercicio 2
Si \(PA=5\), \(PB=12\) y \(PC=4\), calcula \(PD\).
Aquí \(PB\) y \(PD\) son longitudes totales: \[ PA\cdot PB=PC\cdot PD \] \[ 5\cdot 12=4\cdot PD \] \[ 60=4\cdot PD \] \[ PD=15 \]
Ejercicio 3
Una secante tiene parte exterior \(6\) y parte interior \(8\). Otra secante tiene parte exterior \(7\). Calcula su longitud total.
La primera secante tiene longitud total: \[ 6+8=14 \] Entonces: \[ 6\cdot 14=7\cdot L \] \[ 84=7L \] \[ L=12 \] La longitud total de la segunda secante es \(12\).
Ejercicio 4
Una secante tiene \(PA=6\) y \(AB=10\). Otra tiene \(PC=8\) y \(CD=x\). Calcula \(x\).
Calculamos las longitudes totales: \[ PB=6+10=16 \] \[ PD=8+x \] Aplicamos: \[ 6\cdot 16=8(8+x) \] \[ 96=64+8x \] \[ 32=8x \] \[ x=4 \]
Ejercicio 5
Desde un punto exterior \(P\), una secante tiene parte exterior \(3\) y parte interior \(9\). Otra secante tiene parte exterior \(4\). ¿Cuánto mide la parte interior de la segunda secante?
Primera secante: \[ \text{longitud total}=3+9=12 \] Segunda secante: \[ \text{longitud total}=4+x \] Entonces: \[ 3\cdot 12=4(4+x) \] \[ 36=16+4x \] \[ 20=4x \] \[ x=5 \] La parte interior mide \(5\).
Ejercicio 6
Si \(PA=7\), \(AB=5\), \(PC=4\) y \(CD=x\), calcula \(x\).
Primero: \[ PB=7+5=12 \] \[ PD=4+x \] Luego: \[ 7\cdot 12=4(4+x) \] \[ 84=16+4x \] \[ 68=4x \] \[ x=17 \]
Ejercicio 7
Desde \(P\), una secante tiene \(PA=2\) y \(PB=18\). Otra secante tiene \(PC=4\). Calcula \(PD\) y luego la parte interior \(CD\).
Aplicamos: \[ PA\cdot PB=PC\cdot PD \] \[ 2\cdot 18=4\cdot PD \] \[ 36=4\cdot PD \] \[ PD=9 \]
Como \(PD\) es la longitud total: \[ CD=PD-PC=9-4=5 \] Entonces \(CD=5\).
Ejercicio 8
Una secante tiene parte exterior \(5\) y longitud total \(20\). Otra secante tiene parte exterior \(x\) y longitud total \(x+15\). Calcula \(x\).
Aplicamos: \[ 5\cdot 20=x(x+15) \] \[ 100=x^2+15x \] \[ x^2+15x-100=0 \]
Factorizamos: \[ (x+20)(x-5)=0 \] Como una longitud no puede ser negativa: \[ x=5 \]
Ejercicio 9
Un estudiante resuelve así: si \(PA=4\), \(AB=5\), \(PC=3\) y \(CD=x\), escribe: \[ 4\cdot 5=3x \] ¿Cuál es el error?
El error es multiplicar la parte exterior por la parte interior. En el teorema de secantes se multiplica: \[ \text{parte exterior}\cdot \text{longitud total} \]
Lo correcto es: \[ 4(4+5)=3(3+x) \] \[ 4\cdot 9=3(3+x) \]
Ejercicio 10
Si \(PA=x\), \(AB=6\), \(PC=4\) y \(CD=8\), ¿cuánto vale \(x\)?
Las longitudes totales son: \[ PB=x+6 \] \[ PD=4+8=12 \] Entonces: \[ x(x+6)=4\cdot 12 \] \[ x^2+6x=48 \] \[ x^2+6x-48=0 \]
Factorizamos: \[ (x+12)(x-4)=0 \] Como una longitud no puede ser negativa: \[ x=4 \]
Ejercicio 11
¿Cuál igualdad representa correctamente el teorema de dos secantes desde un punto exterior \(P\)?
- \(PA\cdot AB=PC\cdot CD\)
- \(PA+PB=PC+PD\)
- \(PA\cdot PB=PC\cdot PD\)
- \(AB\cdot CD=PA\cdot PC\)
La alternativa correcta es C: \[ PA\cdot PB=PC\cdot PD \] donde \(PB\) y \(PD\) son longitudes totales desde \(P\).
Ejercicio 12
Una secante tiene parte exterior \(6\) y longitud total \(18\). Otra secante tiene parte exterior \(9\). ¿Cuál es la longitud total de la segunda secante?
Aplicamos el teorema: \[ 6\cdot 18=9\cdot L \] \[ 108=9L \] \[ L=12 \] La longitud total de la segunda secante es \(12\).
3. Teorema de la Tangente
Objetivos
- Aplicar la relación entre una tangente y una secante desde un punto exterior.
- Calcular longitudes desconocidas en problemas con tangente.
- Interpretar la perpendicularidad entre radio y tangente.
Tangente y secante
Si desde un punto exterior \(P\) se traza una tangente \( \overline{PT} \) y una secante \(PAB\), entonces:
\[ PT^2=PA\cdot PB \]
En esta relación, \(PA\) es la parte exterior de la secante y \(PB\) es la longitud total desde \(P\).
Dato geométrico útil
El radio trazado al punto de tangencia es perpendicular a la tangente: \[ OT\perp PT \]
Ejemplo
Si \(PT=6\) y \(PA=4\), calcula \(PB\).
Aplicamos: \[ PT^2=PA\cdot PB \] \[ 6^2=4\cdot PB \] \[ 36=4\cdot PB \] \[ PB=9 \]
Ejercicio 1
Desde \(P\), \(PT=8\) y \(PA=4\). Calcula \(PB\).
\[ PT^2=PA\cdot PB \] \[ 8^2=4\cdot PB \] \[ 64=4\cdot PB \] \[ PB=16 \]
Ejercicio 2
Si \(PT=12\) y \(PB=18\), calcula \(PA\).
\[ PT^2=PA\cdot PB \] \[ 12^2=PA\cdot 18 \] \[ 144=18PA \] \[ PA=8 \]
Ejercicio 3
Si \(PA=5\) y \(AB=11\), calcula \(PT\).
Primero calculamos la longitud total: \[ PB=PA+AB=5+11=16 \]
Luego: \[ PT^2=PA\cdot PB \] \[ PT^2=5\cdot 16=80 \] \[ PT=\sqrt{80}=4\sqrt{5} \]
Ejercicio 4
Si \(PT=10\), \(PA=5\) y \(AB=x\), calcula \(x\).
Como \(PB=PA+AB\), entonces: \[ PB=5+x \]
Aplicamos: \[ PT^2=PA\cdot PB \] \[ 10^2=5(5+x) \] \[ 100=25+5x \] \[ 75=5x \] \[ x=15 \]
Ejercicio 5
Si \(PA=3\) y \(PB=27\), calcula \(PT\).
\[ PT^2=PA\cdot PB \] \[ PT^2=3\cdot 27=81 \] \[ PT=9 \]
Ejercicio 6
Si \(PT=15\), \(PA=9\) y \(AB=x\), calcula \(x\).
Como \(PB=PA+AB\), entonces: \[ PB=9+x \]
Aplicamos: \[ 15^2=9(9+x) \] \[ 225=81+9x \] \[ 144=9x \] \[ x=16 \]
Ejercicio 7
Si \(PT=x\), \(PA=4\) y \(PB=16\), calcula \(x\).
\[ x^2=4\cdot 16 \] \[ x^2=64 \] Como \(x\) representa una longitud: \[ x=8 \]
Ejercicio 8
Si \(PT=x\), \(PA=6\) y \(AB=18\), calcula \(x\).
Primero: \[ PB=PA+AB=6+18=24 \]
Luego: \[ x^2=6\cdot 24 \] \[ x^2=144 \] \[ x=12 \]
Ejercicio 9
Explica por qué \(OT\) es perpendicular a \(PT\).
\(PT\) es tangente a la circunferencia en \(T\). El radio trazado al punto de tangencia siempre es perpendicular a la tangente. Por eso: \[ OT\perp PT \]
Ejercicio 10
Un estudiante resuelve así: si \(PA=4\), \(AB=5\), escribe \[ PT^2=4\cdot 5 \] ¿Cuál es el error?
El error es usar \(AB\), que es solo la parte interior de la secante. La fórmula usa \(PA\) y la longitud total \(PB\).
Como: \[ PB=PA+AB=4+5=9 \] Lo correcto sería: \[ PT^2=4\cdot 9 \]
Ejercicio 11
Si \(PA=x\), \(AB=5\) y \(PT=6\), calcula \(x\).
Como \(PB=PA+AB\): \[ PB=x+5 \]
Aplicamos: \[ PT^2=PA\cdot PB \] \[ 6^2=x(x+5) \] \[ 36=x^2+5x \] \[ x^2+5x-36=0 \]
Factorizamos: \[ (x+9)(x-4)=0 \] Como una longitud no puede ser negativa: \[ x=4 \]
Ejercicio 12
¿Cuál igualdad representa correctamente la relación entre tangente y secante desde un punto exterior?
- \(PT=PA\cdot PB\)
- \(PT^2=PA\cdot AB\)
- \(PT^2=PA\cdot PB\)
- \(OT^2=PA\cdot PB\)
La alternativa correcta es C: \[ PT^2=PA\cdot PB \] porque \(PT\) es la tangente, \(PA\) es la parte exterior de la secante y \(PB\) es la longitud total.
4. Selección Múltiple: Relaciones Métricas
Objetivos
- Practicar relaciones métricas de cuerdas, secantes y tangentes.
- Distinguir segmentos exteriores, interiores y totales.
- Resolver ecuaciones simples a partir de potencia de un punto.
- Elegir correctamente entre cuerdas interiores, dos secantes y tangente-secante.
Estrategia
Antes de calcular, identifica el tipo de figura:
- Cuerdas interiores: \(AP\cdot PB=CP\cdot PD\).
- Dos secantes exteriores: exterior por total: \(PA\cdot PB=PC\cdot PD\).
- Tangente y secante: \(PT^2=PA\cdot PB\).
- Dos tangentes desde un mismo punto: tienen igual longitud.
Ejercicio 1
Dos cuerdas se cortan en \(P\). Si \(AP=6\), \(PB=4\) y \(CP=8\), calcula \(PD\).
- \(PD=2\)
- \(PD=3\)
- \(PD=6\)
- \(PD=12\)
Usamos cuerdas interiores: \[ AP\cdot PB=CP\cdot PD \] \[ 6\cdot 4=8\cdot PD \] \[ 24=8PD \] \[ PD=3 \] La alternativa correcta es B.
Ejercicio 2
Desde \(P\), una secante tiene \(PA=5\) y \(AB=7\). Otra secante tiene \(PC=4\). Calcula \(PD\).
- \(PD=12\)
- \(PD=13\)
- \(PD=15\)
- \(PD=20\)
Primero calculamos la longitud total de la primera secante: \[ PB=PA+AB=5+7=12 \] Luego: \[ PA\cdot PB=PC\cdot PD \] \[ 5\cdot 12=4\cdot PD \] \[ 60=4PD \] \[ PD=15 \] La alternativa correcta es C.
Ejercicio 3
Si \(PT=8\) y \(PA=4\), calcula \(PB\).
- \(PB=8\)
- \(PB=12\)
- \(PB=16\)
- \(PB=32\)
Usamos tangente y secante: \[ PT^2=PA\cdot PB \] \[ 8^2=4\cdot PB \] \[ 64=4PB \] \[ PB=16 \] La alternativa correcta es C.
Ejercicio 4
En la relación \(PA\cdot PB=PC\cdot PD\), cuando se trabaja con dos secantes desde un punto exterior, ¿qué representa \(PB\)?
- La parte interior de la secante.
- La longitud total desde \(P\) hasta \(B\).
- La distancia entre los puntos interiores.
- El radio de la circunferencia.
\(PB\) representa la longitud total de la secante desde \(P\) hasta el segundo punto de corte \(B\). La alternativa correcta es B.
Ejercicio 5
Si \(PA=5\) y \(AB=11\), calcula \(PT\).
- \(PT=\sqrt{55}\)
- \(PT=16\)
- \(PT=20\)
- \(PT=4\sqrt{5}\)
Primero: \[ PB=PA+AB=5+11=16 \] Luego: \[ PT^2=PA\cdot PB \] \[ PT^2=5\cdot 16=80 \] \[ PT=\sqrt{80}=4\sqrt{5} \] La alternativa correcta es D.
Ejercicio 6
Dos cuerdas se cortan en \(P\). Si \(AP=2x\), \(PB=5\), \(CP=4\) y \(PD=x+3\), calcula \(x\).
- \(x=1\)
- \(x=2\)
- \(x=3\)
- \(x=4\)
Aplicamos: \[ AP\cdot PB=CP\cdot PD \] \[ (2x)\cdot 5=4(x+3) \] \[ 10x=4x+12 \] \[ 6x=12 \] \[ x=2 \] La alternativa correcta es B.
Ejercicio 7
Si \(PA=6\), \(AB=8\), \(PC=x\) y \(CD=10\), ¿cuál ecuación representa correctamente el problema?
- \(6\cdot 8=x\cdot 10\)
- \(6\cdot 14=x(x+10)\)
- \(6+14=x+10\)
- \(6^2=x(x+10)\)
La primera secante tiene longitud total: \[ PB=6+8=14 \] La segunda tiene longitud total: \[ PD=x+10 \] Entonces: \[ 6\cdot 14=x(x+10) \] La alternativa correcta es B.
Ejercicio 8
Si \(PT=12\) y \(PA=9\), calcula \(PB\).
- \(PB=12\)
- \(PB=15\)
- \(PB=16\)
- \(PB=21\)
\[ PT^2=PA\cdot PB \] \[ 12^2=9\cdot PB \] \[ 144=9PB \] \[ PB=16 \] La alternativa correcta es C.
Ejercicio 9
La potencia interior de un punto es \(24\). Si uno de los segmentos mide \(4\), ¿cuánto mide el otro segmento de esa misma cuerda?
- \(4\)
- \(6\)
- \(12\)
- \(24\)
Si la potencia interior es \(24\), entonces: \[ 4\cdot x=24 \] \[ x=6 \] La alternativa correcta es B.
Ejercicio 10
Desde un mismo punto exterior se trazan dos tangentes a una circunferencia. Si sus longitudes son \(3x+2\) y \(5x-6\), calcula \(x\).
- \(x=2\)
- \(x=3\)
- \(x=4\)
- \(x=6\)
Dos tangentes desde el mismo punto exterior tienen igual longitud: \[ 3x+2=5x-6 \] \[ 8=2x \] \[ x=4 \] La alternativa correcta es C.
Ejercicio 11
Un estudiante resuelve un problema de tangente y secante así: \[ PT^2=PA\cdot AB \] ¿Cuál es el error?
- Debe usar \(AB\) dos veces.
- Debe usar \(PA+AB\), porque la fórmula usa la longitud total \(PB\).
- Debe sumar \(PA+PT\).
- No hay error.
El error es usar \(AB\), que es solo la parte interior. La fórmula correcta es: \[ PT^2=PA\cdot PB \] y \(PB=PA+AB\). La alternativa correcta es B.
Ejercicio 12
Si \(PA=x\), \(AB=6\), \(PC=4\) y \(CD=8\), calcula \(x\).
- \(x=2\)
- \(x=3\)
- \(x=4\)
- \(x=8\)
Las longitudes totales son: \[ PB=x+6 \] \[ PD=4+8=12 \] Entonces: \[ x(x+6)=4\cdot 12 \] \[ x^2+6x=48 \] \[ x^2+6x-48=0 \] \[ (x+12)(x-4)=0 \] Como una longitud no puede ser negativa: \[ x=4 \] La alternativa correcta es C.
Ejercicio 13
Dos cuerdas se cortan en \(P\). Si \(AP=7\), \(PB=6\) y \(CP=3\), ¿cuánto mide la cuerda completa \(CD\)?
- \(CD=11\)
- \(CD=14\)
- \(CD=17\)
- \(CD=21\)
Primero calculamos \(PD\): \[ 7\cdot 6=3\cdot PD \] \[ 42=3PD \] \[ PD=14 \] Luego: \[ CD=CP+PD=3+14=17 \] La alternativa correcta es C.
Ejercicio 14
Una secante tiene parte exterior \(6\) y longitud total \(18\). Otra secante tiene parte exterior \(9\). ¿Cuál es la longitud total de la segunda secante?
- \(9\)
- \(12\)
- \(18\)
- \(27\)
Aplicamos: \[ 6\cdot 18=9\cdot L \] \[ 108=9L \] \[ L=12 \] La alternativa correcta es B.