Teorema de las Cuerdas y Potencia de un Punto (Interior)

Teorema de las Cuerdas

Teorema: Si dos cuerdas de una circunferencia se intersectan en un punto interior, el producto de las longitudes de los dos segmentos de una cuerda es igual al producto de las longitudes de los dos segmentos de la otra cuerda.

(Insertar imagen en Moodle: Circunferencia, dos cuerdas AB y CD que se intersectan en un punto P interno. Los segmentos AP, PB, CP y PD deben estar claramente etiquetados).

En la figura, se cumple que:

\[ AP \cdot PB = CP \cdot PD \]

Ejemplo: Si AP = 6, PB = 4, y CP = 3, entonces 6 * 4 = 3 * PD => PD = 8.

Demostración del Teorema de las Cuerdas

Aunque existen varias formas de demostrar este teorema, aquí presentaremos una demostración que utiliza triángulos semejantes:

(Insertar imagen en moodle, idealmente se vean los triangulos semejantes en otro color o sombreado)

1. Dibujar los triángulos: Considera la circunferencia con las cuerdas AB y CD intersectándose en P. Dibuja los segmentos AC y BD, formando los triángulos APC y BPD.
2. Ángulos inscritos: Observa que ∠CAP y ∠BDP subtienden el mismo arco BC, y que ∠ACP y ∠DBP subtienden el mismo arco AD. Por el teorema del ángulo inscrito, ángulos inscritos que subtienden el mismo arco son iguales. Por lo tanto:
   • ∠CAP = ∠BDP
   • ∠ACP = ∠DBP
3. Semejanza de triángulos: Los triángulos APC y BPD tienen dos ángulos iguales (por el paso anterior). Por el criterio de semejanza AA (ángulo-ángulo), estos triángulos son semejantes.
   ΔAPC ∼ ΔDPB
4. Proporcionalidad de lados: Como los triángulos son semejantes, sus lados correspondientes son proporcionales. En particular: \[ \frac{AP}{DP} = \frac{CP}{BP} \]
5. Producto cruzado: Multiplicando cruzado en la proporción anterior, obtenemos: \[ AP \cdot PB = CP \cdot PD \] Que es lo que queríamos demostrar.

Potencia de un Punto (respecto a una circunferencia)

El concepto de *potencia de un punto* generaliza el teorema de las cuerdas. Por ahora, consideraremos solo el caso en que el punto P está *dentro* de la circunferencia.

Definición: Si P es un punto *interior* a una circunferencia, y se trazan dos cuerdas AB y CD que pasan por P, entonces el producto AP * PB es *constante*, independientemente de la elección de las cuerdas. Este producto constante se llama la *potencia del punto P con respecto a la circunferencia*.

(Insertar imagen en Moodle: Circunferencia, punto P interior, varias cuerdas que pasan por P).

Es decir, si trazamos *cualquier* cuerda que pase por P, el producto de las longitudes de los dos segmentos en que P divide a la cuerda será *siempre el mismo*.

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Teorema de las Secantes y de la Secante-Tangente

Teorema de las Secantes

Teorema: Si desde un punto P exterior a una circunferencia se trazan dos rectas secantes, que intersectan a la circunferencia en los puntos A, B, C y D (como se muestra en la figura), entonces el producto de las longitudes de los segmentos desde P hasta los puntos de intersección de una secante es igual al producto de las longitudes de los segmentos desde P hasta los puntos de intersección de la otra secante.

(Insertar en Moodle una imagen: Circunferencia, punto P exterior, dos secantes PAB y PCD. Etiquetar claramente los segmentos PA, PB, PC y PD).

En la figura, se cumple:

\[ PA \cdot PB = PC \cdot PD \]

Ejemplo: Si PA = 10, PB = 4, y PC = 5, entonces 10 * 4 = 5 * PD => PD = 8.

Demostración: (En Moodle, insertar imágenes para cada paso de la demostración).

1. Dibujar los triángulos: Considera una circunferencia y un punto externo P. Dibuja dos rectas secantes PAB y PCD a la circunferencia. Dibuja los segmentos AD y BC para formar los triángulos PAD y PCB.
2. Ángulos inscritos y ángulos comunes: Observa que ∠DAB y ∠DCB son ángulos inscritos que subtienden el mismo arco DB. Por el teorema del ángulo inscrito, ángulos inscritos que subtienden el mismo arco son iguales. Además, ∠DPA es un ángulo común a ambos triángulos. Por lo tanto:
   • ∠PAD = ∠PCB
   • ∠DPA es común
3. Semejanza de triángulos: Los triángulos PAD y PCB tienen dos ángulos iguales. Por el criterio de semejanza AA (ángulo-ángulo), estos triángulos son semejantes.
   ΔPAD ∼ ΔPCB
4. Proporcionalidad de lados: Dado que los triángulos son semejantes, sus lados correspondientes son proporcionales. En particular: \[\frac{PA}{PC} = \frac{PD}{PB} \]
5. Producto cruzado: Multiplicando cruzado en la proporción anterior, obtenemos: \[ PA \cdot PB = PC \cdot PD \] Que es lo que queríamos demostrar.

Teorema de la Secante y la Tangente

Existe un teorema relacionado que involucra una secante y una tangente trazadas desde el mismo punto exterior:

Teorema:Si desde un punto P exterior a una circunferencia se trazan una recta secante PAB y una recta tangente PT (donde T es el punto de tangencia), entonces el cuadrado de la longitud del segmento tangente es igual al producto de las longitudes de los segmentos desde P hasta los puntos de intersección de la secante.

(Insertar en Moodle una imagen: Circunferencia, punto P exterior, secante PAB, tangente PT. Etiquetar los segmentos PA, PB y PT).

En la figura, se cumple:

\[ PT^2 = PA \cdot PB \]

Ejemplo: Si PA = 9, PB = 4, entonces PT² = 9*4 PT= 6

Demostración: (En Moodle, insertar imágenes para cada paso de la demostración).

1. Dibujar los triángulos: Considera una circunferencia, un punto externo P, una secante PAB y una tangente PT a la circunferencia en el punto T. Dibuja los segmentos TA y TB para formar los triángulos PTA y PTB.
2. Ángulos inscritos y ángulos semi-inscritos:
   • El ∠PTA es un ángulo semi-inscrito que subtiende el arco TA.
   • El ∠PBT es un ángulo inscrito que subtiende el arco TA.
   Por lo tanto, por el teorema del ángulo inscrito y semi-inscrito, ambos ángulos son iguales (miden la mitad del arco TA).
   Además, ∠TPB es un ángulo común a ambos triángulos.
   Por lo tanto:
   • ∠PTA = ∠PBT
   • ∠TPB es común
3. Semejanza de triángulos: Los triángulos PTA y PTB tienen dos ángulos iguales. Por el criterio de semejanza AA (ángulo-ángulo), estos triángulos son semejantes.
   ΔPTA ∼ ΔPBT
4. Proporcionalidad de lados: Dado que los triángulos son semejantes, sus lados correspondientes son proporcionales. En particular: \[ \frac{PT}{PB} = \frac{PA}{PT} \]
5. Producto cruzado: Multiplicando cruzado en la proporción anterior, obtenemos: \[ PT^2 = PA \cdot PB \] Que es lo que queríamos demostrar.

Potencia de un Punto (Exterior)

El concepto de *potencia de un punto* también se aplica cuando el punto P está *fuera* de la circunferencia. En este caso, la potencia de P es igual al producto PA * PB, donde PAB es una secante cualquiera que pasa por P. Y si PT es una tangente desde P, entonces la potencia de P también es igual a PT².

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Teorema de la Tangente

Repaso: Tangente y Secante desde un Punto Exterior

Recordemos:

• Una *tangente* a una circunferencia es una recta que toca la circunferencia en un solo punto (punto de tangencia).
• Una *secante* a una circunferencia es una recta que corta la circunferencia en dos puntos.

Si trazamos una tangente y una secante a una circunferencia desde el *mismo punto exterior*, se cumple una relación métrica importante.

Teorema de la Tangente y la Secante

Teorema: Si desde un punto P exterior a una circunferencia se traza una recta tangente PT (donde T es el punto de tangencia) y una recta secante PAB, entonces el cuadrado de la longitud del segmento tangente es igual al producto de las longitudes de los segmentos desde P hasta los puntos de intersección de la secante.

(Insertar en Moodle una imagen: Circunferencia, punto P exterior, tangente PT, secante PAB. Etiquetar los segmentos PA, PB y PT).

En la figura, se cumple:

\[ PT^2 = PA \cdot PB \]

Ejemplo: Si PT = 6 y PA = 4, entonces 6² = 4 * PB => 36 = 4 * PB => PB = 9.

Este teorema ya se presentó y demostró en la página anterior, ahora lo reforzaremos.

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