Aplicaciones y Resolución de Problemas
| Sitio: | MATEMÁTICAS × Profe Arauco |
| Curso: | Media 3 |
| Libro: | Aplicaciones y Resolución de Problemas |
| Imprimido por: | Invitado |
| Día: | jueves, 23 de julio de 2026, 19:57 |
1. Problemas Combinados: Relaciones Métricas en la Circunferencia
Objetivos
- Combinar relaciones angulares y métricas en una misma figura.
- Elegir el teorema adecuado según la configuración.
- Explicar el orden de resolución de un problema geométrico.
Integrar información
En estos problemas no basta con aplicar una fórmula de inmediato. Primero identifica qué elementos aparecen: ángulos, arcos, cuerdas, secantes o tangentes. Luego decide qué relación permite obtener el dato que falta.
Orden recomendado
- Reconoce la configuración geométrica.
- Decide si el problema es angular, métrico o mixto.
- Escribe la relación correcta.
- Reemplaza los datos y resuelve.
- Revisa si el resultado tiene sentido como longitud o como ángulo.
Problema 1
Dos secantes desde \(P\) interceptan arcos de \(140^\circ\) y \(60^\circ\). Calcula el ángulo exterior en \(P\).
Es un ángulo exterior formado por dos secantes. Por eso se usa semidiferencia de arcos: \[ \frac{140^\circ-60^\circ}{2} = \frac{80^\circ}{2} = 40^\circ \]
El ángulo exterior en \(P\) mide \(40^\circ\).
Problema 2
Dos cuerdas se cortan dentro de una circunferencia. Se sabe que \(AP=4\), \(PB=9\) y \(CP=6\). Calcula \(PD\).
Como son cuerdas que se intersectan dentro de la circunferencia: \[ AP\cdot PB=CP\cdot PD \] \[ 4\cdot 9=6\cdot PD \] \[ 36=6PD \] \[ PD=6 \]
Problema 3
Desde un punto exterior se traza una tangente de longitud \(10\) y una secante cuya parte exterior mide \(5\). Calcula la longitud total de la secante.
Se usa la relación tangente-secante: \[ PT^2=PA\cdot PB \] \[ 10^2=5\cdot PB \] \[ 100=5PB \] \[ PB=20 \]
La longitud total de la secante es \(20\).
Problema 4
Demuestra brevemente por qué dos tangentes trazadas desde un mismo punto exterior tienen igual longitud.
Los radios \(OT\) y \(OS\) llegan a los puntos de tangencia, por lo que: \[ OT\perp PT \quad \text{y} \quad OS\perp PS \]
Se forman dos triángulos rectángulos: \( \triangle OPT \) y \( \triangle OPS \). Ambos tienen la misma hipotenusa \(OP\) y un cateto igual al radio: \[ OT=OS \] Por congruencia de triángulos rectángulos, se concluye que: \[ PT=PS \]
Problema 5
Desde \(P\) se traza una tangente \(PT=6\) y una secante con \(PA=x\), \(AB=x+2\). Encuentra \(x\).
Primero expresamos la longitud total de la secante: \[ PB=PA+AB=x+(x+2)=2x+2 \]
Luego aplicamos: \[ PT^2=PA\cdot PB \] \[ 6^2=x(2x+2) \] \[ 36=2x^2+2x \] \[ x^2+x-18=0 \]
Usando la fórmula cuadrática: \[ x=\frac{-1+\sqrt{73}}{2} \] Como \(x\) representa una longitud: \[ x\approx 3{,}77 \]
Problema 6
Dos secantes desde \(P\) forman un ángulo exterior de \(35^\circ\). El arco mayor interceptado mide \(150^\circ\). Calcula el arco menor. Luego, si \(PA=6\), \(PB=14\) y \(PC=7\), calcula \(PD\).
Primero usamos la relación angular exterior. Sea \(x\) el arco menor: \[ 35^\circ=\frac{150^\circ-x}{2} \] \[ 70^\circ=150^\circ-x \] \[ x=80^\circ \]
Luego usamos la relación métrica de dos secantes: \[ PA\cdot PB=PC\cdot PD \] \[ 6\cdot 14=7\cdot PD \] \[ 84=7PD \] \[ PD=12 \]
El arco menor mide \(80^\circ\) y \(PD=12\).
Problema 7
Dos cuerdas se cortan dentro de una circunferencia. Los arcos interceptados miden \(110^\circ\) y \(50^\circ\). Además, \(AP=5\), \(PB=6\) y \(CP=3\). Calcula el ángulo interior y luego \(PD\).
Primero calculamos el ángulo interior. Como dos cuerdas se cruzan dentro, se usa semisuma: \[ \frac{110^\circ+50^\circ}{2} = \frac{160^\circ}{2} = 80^\circ \]
Luego calculamos \(PD\) con el teorema de cuerdas: \[ AP\cdot PB=CP\cdot PD \] \[ 5\cdot 6=3\cdot PD \] \[ 30=3PD \] \[ PD=10 \]
El ángulo interior mide \(80^\circ\) y \(PD=10\).
Problema 8
Desde un punto exterior \(P\) se traza una tangente \(PT\) y una secante \(PAB\). Si \(PA=2\), \(PB=18\) y el radio \(OT=4\), calcula \(PT\) y luego \(OP\).
Primero usamos tangente y secante: \[ PT^2=PA\cdot PB \] \[ PT^2=2\cdot 18=36 \] \[ PT=6 \]
Luego usamos que el radio al punto de tangencia es perpendicular a la tangente: \[ OT\perp PT \] Por lo tanto, \( \triangle OPT \) es rectángulo.
Aplicamos Pitágoras: \[ OP^2=OT^2+PT^2 \] \[ OP^2=4^2+6^2=16+36=52 \] \[ OP=\sqrt{52}=2\sqrt{13} \]
2. Aplicaciones en el Mundo Real y Evaluación de Modelos
Objetivos
- Aplicar circunferencias y arcos en contextos reales.
- Evaluar supuestos de modelos geométricos.
- Resolver problemas con longitudes de arco, diámetro, sectores y áreas.
Modelar con cuidado
Una rueda, una ventana circular, un puente o un aspersor pueden modelarse con circunferencias. Sin embargo, el modelo simplifica la realidad: el grosor del material, los errores de medición y la forma exacta pueden cambiar el resultado.
Arco y sector circular
Para un ángulo central \(\theta\) en grados y radio \(r\):
\[ L=\frac{\theta}{360^\circ}\cdot 2\pi r \qquad A=\frac{\theta}{360^\circ}\cdot \pi r^2 \]
\(L\) representa la longitud del arco y \(A\) representa el área del sector.
Problema 1
Una ventana circular tiene un arco superior de \(120^\circ\) y radio \(50\) cm. Calcula la longitud del arco.
Usamos la fórmula de longitud de arco: \[ L=\frac{120^\circ}{360^\circ}\cdot 2\pi\cdot 50 \] \[ L=\frac{1}{3}\cdot 100\pi \] \[ L=\frac{100\pi}{3} \]
Aproximadamente: \[ L\approx 104{,}7\text{ cm} \]
Problema 2
Un puente tiene un arco semicircular de longitud \(50\) m. ¿Cuál es el diámetro del arco?
Una semicircunferencia tiene longitud: \[ L=\pi r \] Como \(L=50\): \[ 50=\pi r \] \[ r=\frac{50}{\pi} \]
El diámetro es el doble del radio: \[ d=2r=\frac{100}{\pi} \] \[ d\approx 31{,}8\text{ m} \]
Problema 3
Una tabla rectangular mide \(80\) cm por \(60\) cm. ¿Cuál es el radio del círculo más grande que se puede cortar dentro de ella?
El círculo más grande queda limitado por el lado menor del rectángulo.
Como el lado menor mide \(60\) cm, ese será el diámetro máximo: \[ d=60\text{ cm} \] \[ r=\frac{60}{2}=30\text{ cm} \]
El radio máximo es \(30\) cm.
Problema 4
Un aspersor en el centro de un jardín circular debe llegar al borde. Si el radio del jardín es \(15\) m, ¿cuál debe ser su alcance mínimo?
Si el aspersor está en el centro, todos los puntos del borde están a una distancia igual al radio.
Por lo tanto, su alcance mínimo debe ser: \[ 15\text{ m} \]
Problema 5
Un aspersor cubre un sector de \(90^\circ\) con radio \(10\) m. Calcula el área regada.
Usamos el área de un sector: \[ A=\frac{90^\circ}{360^\circ}\cdot \pi(10)^2 \] \[ A=\frac{1}{4}\cdot 100\pi \] \[ A=25\pi \]
Aproximadamente: \[ A\approx 78{,}5\text{ m}^2 \]
Problema 6
Una rueda de observación tiene radio \(12\) m. Si una cabina avanza un arco correspondiente a \(75^\circ\), ¿qué distancia recorre aproximadamente?
La cabina recorre una longitud de arco: \[ L=\frac{75^\circ}{360^\circ}\cdot 2\pi(12) \] \[ L=\frac{75}{360}\cdot 24\pi \] \[ L=5\pi \]
Aproximadamente: \[ L\approx 15{,}7\text{ m} \]
Problema 7
Una porción de pizza puede modelarse como un sector circular de \(60^\circ\) y radio \(18\) cm. Calcula el área de la porción y la longitud del borde curvo.
Área del sector: \[ A=\frac{60^\circ}{360^\circ}\cdot \pi(18)^2 \] \[ A=\frac{1}{6}\cdot 324\pi \] \[ A=54\pi\text{ cm}^2 \]
Longitud del borde curvo: \[ L=\frac{60^\circ}{360^\circ}\cdot 2\pi(18) \] \[ L=\frac{1}{6}\cdot 36\pi \] \[ L=6\pi\text{ cm} \]
Problema 8
Una curva de una pista se modela como un arco circular de radio \(30\) m y ángulo central \(150^\circ\). Calcula la longitud de la curva.
Usamos longitud de arco: \[ L=\frac{150^\circ}{360^\circ}\cdot 2\pi(30) \] \[ L=\frac{5}{12}\cdot 60\pi \] \[ L=25\pi \]
Aproximadamente: \[ L\approx 78{,}5\text{ m} \]
3. Selección Múltiple: Aplicaciones
Objetivos
- Resolver problemas integrados de ángulos, arcos y potencia de un punto.
- Practicar cálculo rápido con alternativas.
- Justificar brevemente la alternativa correcta.
Revisión rápida
Si ves ángulos, piensa en arcos. Si ves cuerdas, secantes o tangentes con longitudes, piensa en productos. Antes de calcular, identifica qué relación corresponde.
Ejercicio 1
Un ángulo central mide \(80^\circ\). ¿Cuánto mide un ángulo inscrito que subtiende el mismo arco?
- \(20^\circ\)
- \(40^\circ\)
- \(80^\circ\)
- \(160^\circ\)
El ángulo inscrito mide la mitad del ángulo central que subtiende el mismo arco: \[ \frac{80^\circ}{2}=40^\circ \] La alternativa correcta es B.
Ejercicio 2
Un ángulo inscrito subtiende un diámetro de la circunferencia. ¿Cuánto mide?
- \(45^\circ\)
- \(60^\circ\)
- \(90^\circ\)
- \(180^\circ\)
Todo ángulo inscrito que subtiende una semicircunferencia es recto: \[ 90^\circ \] La alternativa correcta es C.
Ejercicio 3
Dos cuerdas se intersectan en \(P\). Si \(AP=4\), \(PB=6\), \(CP=3\) y \(PD=x\), calcula \(x\).
- \(x=6\)
- \(x=7\)
- \(x=10\)
- \(x=8\)
Por el teorema de cuerdas: \[ AP\cdot PB=CP\cdot PD \] \[ 4\cdot 6=3x \] \[ 24=3x \] \[ x=8 \] La alternativa correcta es D.
Ejercicio 4
Desde \(P\) salen dos secantes. En una, \(PA=5\) y \(AB=3\). En la otra, \(PC=4\) y \(CD=x\). Calcula \(x\).
- \(x=6\)
- \(x=8\)
- \(x=10\)
- \(x=12\)
Primero calculamos las longitudes totales: \[ PB=5+3=8 \] \[ PD=4+x \] Luego: \[ PA\cdot PB=PC\cdot PD \] \[ 5\cdot 8=4(4+x) \] \[ 40=16+4x \] \[ x=6 \] La alternativa correcta es A.
Ejercicio 5
Desde \(P\) se traza una tangente \(PT=6\) y una secante con \(PA=3\) y \(AB=x\). Calcula \(x\).
- \(x=6\)
- \(x=8\)
- \(x=9\)
- \(x=12\)
La longitud total de la secante es: \[ PB=PA+AB=3+x \] Aplicamos: \[ PT^2=PA\cdot PB \] \[ 6^2=3(3+x) \] \[ 36=9+3x \] \[ x=9 \] La alternativa correcta es C.
Ejercicio 6
Dos cuerdas se cortan dentro de una circunferencia. Los arcos opuestos interceptados miden \(70^\circ\) y \(30^\circ\). ¿Cuánto mide el ángulo interior?
- \(20^\circ\)
- \(50^\circ\)
- \(70^\circ\)
- \(100^\circ\)
Para un ángulo interior formado por dos cuerdas se usa semisuma: \[ \frac{70^\circ+30^\circ}{2} = \frac{100^\circ}{2} = 50^\circ \] La alternativa correcta es B.
Ejercicio 7
Dos secantes desde un punto exterior interceptan arcos de \(100^\circ\) y \(40^\circ\). ¿Cuánto mide el ángulo exterior?
- \(60^\circ\)
- \(50^\circ\)
- \(40^\circ\)
- \(30^\circ\)
Para un ángulo exterior se usa semidiferencia: \[ \frac{100^\circ-40^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ \] La alternativa correcta es D.
Ejercicio 8
Un ángulo semi-inscrito mide \(55^\circ\). ¿Cuánto mide el arco que intercepta?
- El arco mide \(55^\circ\).
- El arco mide \(110^\circ\).
- El arco mide \(27{,}5^\circ\).
- No se puede determinar.
El ángulo semi-inscrito mide la mitad del arco interceptado. Entonces: \[ \text{arco}=2\cdot 55^\circ=110^\circ \] La alternativa correcta es B.
Ejercicio 9
Una rueda de radio \(30\) cm gira \(120^\circ\). ¿Qué longitud de arco recorre un punto del borde?
- \(10\pi\) cm
- \(15\pi\) cm
- \(20\pi\) cm
- \(40\pi\) cm
Usamos longitud de arco: \[ L=\frac{120^\circ}{360^\circ}\cdot 2\pi(30) \] \[ L=\frac{1}{3}\cdot 60\pi \] \[ L=20\pi \] La alternativa correcta es C.
Ejercicio 10
En un reloj, ¿cuál es el ángulo menor formado por las manecillas a las 4:00?
- \(60^\circ\)
- \(90^\circ\)
- \(150^\circ\)
- \(120^\circ\)
Cada hora del reloj equivale a: \[ \frac{360^\circ}{12}=30^\circ \] A las 4:00 hay cuatro espacios desde las 12: \[ 4\cdot 30^\circ=120^\circ \] La alternativa correcta es D.
Ejercicio 11
Un sector circular tiene ángulo central \(90^\circ\) y radio \(10\) m. ¿Cuál es su área?
- \(25\pi\text{ m}^2\)
- \(50\pi\text{ m}^2\)
- \(100\pi\text{ m}^2\)
- \(400\pi\text{ m}^2\)
Usamos área de sector: \[ A=\frac{90^\circ}{360^\circ}\cdot \pi(10)^2 \] \[ A=\frac{1}{4}\cdot 100\pi \] \[ A=25\pi \] La alternativa correcta es A.
Ejercicio 12
Desde un faro \(F\) se traza una tangente \(FT\) a una zona circular y una secante \(FAB\). Si \(FA=200\) m y \(AB=500\) m, calcula \(FT\).
- \(100\sqrt{7}\) m
- \(100\sqrt{14}\) m
- \(200\sqrt{14}\) m
- \(700\) m
Primero calculamos la longitud total de la secante: \[ FB=FA+AB=200+500=700 \] Luego aplicamos tangente-secante: \[ FT^2=FA\cdot FB \] \[ FT^2=200\cdot 700=140000 \] \[ FT=\sqrt{140000}=100\sqrt{14} \] La alternativa correcta es B.