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Aplicaciones y Resolución de Problemas

Sitio: PROFEARAUCO.CL
Curso: Media 3
Libro: Aplicaciones y Resolución de Problemas
Imprimido por: Invitado
Día: miércoles, 2 de julio de 2025, 21:17

Tabla de contenidos

1. Problemas Combinados: Relaciones Métricas en la Circunferencia

Problemas Combinados: Relaciones Métricas en la Circunferencia

Integrando los Conceptos

En las páginas anteriores, hemos estudiado varios teoremas y propiedades relacionados con ángulos, arcos, cuerdas, secantes y tangentes en la circunferencia. Ahora, vamos a aplicar estos conocimientos para resolver problemas más complejos, que requieren combinar varias de estas ideas.

Recuerda:

  • Ángulos: central, inscrito, semi-inscrito, interior, exterior, y sus relaciones con los arcos.
  • Cuerdas: Teorema de las cuerdas (intersección interior).
  • Secantes: Teorema de las secantes.
  • Tangentes: Teorema de la tangente y la secante.
  • Potencia de un punto.

A menudo, tendrás que *dibujar* segmentos auxiliares (radios, cuerdas) para poder aplicar los teoremas. ¡No tengas miedo de experimentar!

Ejercicios

Problema 1: (Insertar en Moodle una imagen de una circunferencia con un ángulo inscrito y un ángulo exterior que comparten parte del mismo arco. Dar *algunas* medidas (ángulos o arcos) y pedir calcular *otras*). Este problema debe requerir usar *tanto* el teorema del ángulo inscrito *como* el del ángulo exterior.

En la figura, calcula el valor de x.

Problema 2: (Insertar en Moodle una imagen de una circunferencia con dos cuerdas que se cortan *dentro*, y una secante que pasa por el punto de intersección de las cuerdas. Dar *algunas* longitudes y pedir calcular *otras*). Este problema debe requerir usar *tanto* el teorema de las cuerdas *como* el teorema de las secantes (o la potencia de un punto, si ya se introdujo).

En la figura, calcula el valor de x.

Problema 3: (Insertar en Moodle una imagen de una circunferencia con una tangente y una secante desde un punto exterior, y *también* una cuerda que conecta el punto de tangencia con uno de los puntos de intersección de la secante. Dar *algunas* medidas de ángulos y/o arcos, y pedir calcular *otras*). Este problema debe requerir usar el teorema de la tangente y la secante, *y también* teoremas de ángulos (inscrito, semi-inscrito, etc.).

En la figura, calcula el valor de x.

Problema 4: (Este problema es más de *demostración*):

Demuestra que si dos circunferencias son tangentes exteriormente (se tocan en un solo punto), entonces el segmento que une sus centros pasa por el punto de tangencia.

Problema 5: (Este problema no requiere una imagen):

Desde un punto P exterior a una circunferencia, se trazan dos rectas. Una es tangente a la circunferencia en el punto T, y la otra es secante y corta a la circunferencia en los puntos A y B (con A más cerca de P). Se sabe que PA = x, AB = x + 2, y PT = 6. Encuentra el valor de x.

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2. Aplicaciones en el Mundo Real y Evaluación de Modelos

Aplicaciones en el Mundo Real y Evaluación de Modelos

La Geometría en Nuestro Entorno

Las relaciones métricas en la circunferencia, aunque puedan parecer abstractas, tienen aplicaciones prácticas en muchos campos. Aquí veremos algunos ejemplos:

1. Construcción y Arquitectura

Los arcos y las circunferencias son elementos comunes en la arquitectura. Los teoremas sobre ángulos y cuerdas son útiles para:

  • Diseñar arcos y bóvedas.
  • Calcular las dimensiones de ventanas circulares.
  • Determinar la curvatura de cúpulas.
  • Construir puentes y túneles con secciones circulares.

(En Moodle, insertar imágenes de ejemplos arquitectónicos: arcos, cúpulas, ventanas circulares).

2. Astronomía y Navegación

Históricamente, las relaciones geométricas en la circunferencia fueron *fundamentales* para:

  • Medir distancias y ángulos en la esfera celeste.
  • Calcular la posición de los astros.
  • Determinar la latitud y longitud en la navegación.

(En Moodle, insertar una imagen de un astrolabio o un sextante, o un diagrama que muestre cómo se usaban los ángulos para determinar la posición de un barco).

3. Diseño y Fabricación

Muchos objetos que usamos a diario tienen formas circulares o se basan en propiedades de la circunferencia:

  • Engranajes y poleas.
  • Ruedas y neumáticos.
  • Lentes y espejos curvos.
  • Diseño de carreteras y vías férreas (curvas).
  • Fabricación de piezas circulares (tuberías, discos, etc.).

(En Moodle, insertar imágenes de ejemplos: engranajes, ruedas, lentes).

4. Cartografía

Al proyectar la superficie esférica de la Tierra en un mapa plano, se utilizan conceptos geométricos relacionados con la circunferencia y la esfera.

Evaluación de Modelos: Limitaciones y Suposiciones

Es importante recordar que los modelos matemáticos son *simplificaciones* de la realidad. Al aplicar teoremas geométricos a situaciones del mundo real, debemos ser conscientes de:

  • Suposiciones: ¿Qué suposiciones estamos haciendo? (ej: ¿estamos asumiendo que la Tierra es una esfera perfecta? ¿que un arco es perfectamente circular?).
  • Limitaciones: ¿Qué factores no estamos considerando? (ej: ¿estamos ignorando el grosor de una cuerda? ¿la irregularidad de una superficie?).
  • Precisión: ¿Con qué precisión podemos medir las cantidades involucradas? ¿Cómo afecta esto a la precisión de nuestros cálculos?

Ejercicios y Problemas

Problema 1: Un arquitecto está diseñando una ventana circular con un arco de 120 grados en la parte superior. Si el radio de la ventana es de 50 cm, ¿cuál es la longitud del arco?

Problema 2: Un puente tiene un arco en forma de semicircunferencia. La longitud del arco es de 50 metros. ¿Cuál es el diámetro del arco?

Problema 3: Un carpintero necesita cortar una pieza circular de madera. Tiene una tabla rectangular y quiere cortar el círculo más grande posible. Si la tabla mide 80 cm de largo y 60 cm de ancho, ¿cuál es el *radio* del círculo más grande que puede cortar?

Problema 4: Se quiere diseñar un sistema de riego para un jardín circular. Se coloca un aspersor en el centro del jardín, y se quiere que el agua llegue a todos los puntos de la circunferencia del jardín. Si el radio del jardín es de 15 metros, ¿cuál debe ser el alcance (radio de acción) del aspersor?

Pregunta de Análisis (Problema 5):

En el problema anterior (Problema 4), un estudiante propone la siguiente solución: "El área del jardín es πr² = π(15)² = 225π metros cuadrados. Por lo tanto, el aspersor debe tener un alcance de 225π metros."

¿Es correcta la solución del estudiante? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Qué error conceptual está cometiendo?

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3. Ejercicios de Selección Múltiple - Aplicaciones

Ejercicios de Selección Múltiple - Aplicaciones

Subunidad 3: Aplicaciones y Resolución de Problemas

Instrucciones: Elige la alternativa correcta. Haz clic en "Mostrar/Ocultar Solución" para ver la respuesta.

(Nota: Para varios de estos ejercicios, sería *esencial* incluir una imagen en Moodle. Aquí, describiré la imagen lo mejor posible. En un entorno real, estas descripciones serían reemplazadas por las imágenes correspondientes).

Ejercicio 1: (Imagen: Circunferencia con ángulo central AOB = 80° y ángulo inscrito ACB que subtiende el mismo arco AB). ¿Cuánto mide el ángulo ACB?

  1. 20°
  2. 40°
  3. 80°
  4. 100°
  5. 160°

Ejercicio 2: (Imagen: Circunferencia con diámetro AB y un punto C en la circunferencia. Ángulo ACB marcado como x). ¿Cuánto mide el ángulo x?

  1. No se puede determinar.
  2. Depende del radio.
  3. 45°
  4. 90°
  5. 180°

Ejercicio 3: (Imagen: Dos cuerdas AB y CD que se intersectan en un punto P *dentro* de la circunferencia. AP = 4, PB = 6, CP = 3, PD = x). Calcula x.

  1. 2
  2. 4
  3. 6
  4. 8
  5. 12

Ejercicio 4: (Imagen: Punto P *fuera* de la circunferencia, dos secantes PAB y PCD. PA = 5, AB = 3, PC = 4, CD = x). Calcula x.

  1. 2
  2. 3
  3. 4
  4. 5
  5. 6

Ejercicio 5: (Imagen: Punto P *fuera* de la circunferencia, tangente PT, secante PAB. PT = 6, PA = 3, AB = x). Calcula x.

  1. 3
  2. 6
  3. 9
  4. 12
  5. No se puede determinar.

Ejercicio 6: (Imagen: Circunferencia con un ángulo interior. Arco 1 = 70°, Arco 2 = 30°, ángulo interior = x). Calcula x.

  1. 20°
  2. 40°
  3. 50°
  4. 70°
  5. 100°

Ejercicio 7: (Imagen: Circunferencia con un ángulo exterior formado por dos secantes. Arco mayor = 100°, arco menor = 40°, ángulo exterior = x). Calcula x.

  1. 30°
  2. 40°
  3. 60°
  4. 70°
  5. 140°

Ejercicio 8: En una circunferencia, un ángulo semi-inscrito mide 55°. ¿Cuánto mide el arco comprendido entre sus lados?

  1. 27.5°
  2. 55°
  3. 110°
  4. 165°
  5. No se puede determinar.

Ejercicio 9: Una rueda de bicicleta tiene un radio de 30 cm. Si la rueda gira un ángulo de 120°, ¿qué distancia recorre un punto en el borde de la rueda?

  1. 10π cm
  2. 20π cm
  3. 30π cm
  4. 60π cm
  5. 120π cm

Ejercicio 10: Un reloj analógico marca las 4:00. ¿Cuál es la medida del *menor* ángulo formado por las manecillas del reloj?

  1. 60°
  2. 90°
  3. 120°
  4. 150°
  5. 180°

Ejercicio 11: Un aspersor de riego gira 90° y cubre un sector circular de un jardín. Si el radio del sector circular es de 10 metros, ¿cuál es el *área* del sector circular que riega el aspersor?

  1. 25π m²
  2. 50π m²
  3. 100π m²
  4. 10π m²
  5. 900π m²

Ejercicio 12: Desde un faro, se observa un barco con un ángulo de depresión de 30°. El haz de luz del faro que ilumina el barco es tangente a un islote circular en un punto T. Desde el faro (F) hasta el inicio del islote (A) hay 200 metros, y desde ese mismo punto hasta el barco (B) hay 500 metros. ¿Cuál es la distancia desde el faro hasta el punto de tangencia?

  1. 300 m
  2. 10000 m
  3. 100 m
  4. 1000 m
  5. No se puede calcular

Ejercicio 13:(Imagen: Circunferencia con dos cuerdas AB y CD que se intersectan en un punto P *dentro* de la circunferencia. AP = x, PB = 6, CP = 4, y PD = x + 1). Cuanto mide la cuerda AB

  1. 12
  2. 4
  3. 5
  4. 8
  5. 9

Ejercicio 14:(Imagen en Moodle: circunferencia, un punto exterior P, y *dos* tangentes a la circunferencia desde P, a los puntos T1 y T2). ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es *siempre* verdadera?

  1. PT1 > PT2
  2. PT1 < PT2
  3. PT1 = PT2
  4. PT1 = 2 * PT2
  5. No se puede determinar.

Ejercicio 15: ¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la potencia de un punto con respecto a una circunferencia es *falsa*?

  1. La potencia de un punto interior es igual al producto de los segmentos de cualquier cuerda que pase por ese punto.
  2. La potencia de un punto exterior es igual al cuadrado de la longitud del segmento tangente desde ese punto a la circunferencia.
  3. La potencia de un punto exterior es igual al producto de las longitudes de los segmentos de cualquier secante trazada desde ese punto.
  4. La potencia de un punto en la circunferencia es igual a cero.
  5. La potencia de un punto es siempre un número positivo.

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