Usamos:

\[ \sqrt{-a}=\sqrt{a}\,i \]

1. \[ \sqrt{-1}=i \]

2. \[ \sqrt{-9}=\sqrt{9}\,i=3i \]

3. \[ \sqrt{-36}=\sqrt{36}\,i=6i \]

4. \[ \sqrt{-64}=\sqrt{64}\,i=8i \]

5. \[ \sqrt{-121}=\sqrt{121}\,i=11i \]

6. \[ \sqrt{-50}=\sqrt{50}\,i \]

   \[ \sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2} \]

   Por lo tanto:

   \[ \sqrt{-50}=5\sqrt{2}i \]

Un número imaginario puro tiene la forma \(bi\), es decir, no tiene parte real distinta de cero.

1. \(7i\) sí es imaginario puro.
2. \(-3i\) sí es imaginario puro.
3. \(4+2i\) no es imaginario puro, porque tiene parte real \(4\).
4. \(0+5i=5i\), sí es imaginario puro.
5. \(-8\) no es imaginario puro; es un número real.
6. \(\sqrt{6}i\) sí es imaginario puro.

Recordemos el ciclo:

\[ i,\quad -1,\quad -i,\quad 1 \]

1. \[ i^2=-1 \]

2. \[ i^3=-i \]

3. \[ i^4=1 \]

4. \[ i^5=i^4\cdot i=1\cdot i=i \]

5. \[ i^8=(i^4)^2=1^2=1 \]

6. Dividimos \(15\) entre \(4\):

   \[ 15=4\cdot 3+3 \]

   El resto es \(3\), entonces:

   \[ i^{15}=i^3=-i \]

1. \[ 2i+6i=8i \]

2. \[ 9i-4i=5i \]

3. \[ (3i)(5i)=15i^2 \]

   Como \(i^2=-1\):

   \[ 15i^2=15(-1)=-15 \]

4. \[ (-2i)(7i)=-14i^2 \]

   Como \(i^2=-1\):

   \[ -14i^2=-14(-1)=14 \]

5. \[ \frac{12i}{3i}=4 \]

   Se puede simplificar \(i\), porque \(i\neq 0\).

1. \[ x^2+4=0 \]

   \[ x^2=-4 \]

   \[ x=\pm\sqrt{-4}=\pm 2i \]

2. \[ x^2+25=0 \]

   \[ x^2=-25 \]

   \[ x=\pm\sqrt{-25}=\pm 5i \]

3. \[ x^2+49=0 \]

   \[ x^2=-49 \]

   \[ x=\pm\sqrt{-49}=\pm 7i \]

4. \[ 4x^2+36=0 \]

   \[ 4x^2=-36 \]

   \[ x^2=-9 \]

   \[ x=\pm\sqrt{-9}=\pm 3i \]

5. \[ -x^2=81 \]

   Multiplicamos por \(-1\):

   \[ x^2=-81 \]

   \[ x=\pm\sqrt{-81}=\pm 9i \]

Para simplificar \(i^n\), dividimos el exponente por \(4\) y observamos el resto.

1. \[ 7=4\cdot 1+3 \]

   Resto \(3\), entonces:

   \[ i^7=i^3=-i \]

2. \[ 18=4\cdot 4+2 \]

   Resto \(2\), entonces:

   \[ i^{18}=i^2=-1 \]

3. \[ 36=4\cdot 9+0 \]

   Resto \(0\), entonces:

   \[ i^{36}=1 \]

4. \[ 37=4\cdot 9+1 \]

   Resto \(1\), entonces:

   \[ i^{37}=i \]

5. \[ 122=4\cdot 30+2 \]

   Resto \(2\), entonces:

   \[ i^{122}=-1 \]

6. \[ 999=4\cdot 249+3 \]

   Resto \(3\), entonces:

   \[ i^{999}=-i \]

7. \[ 2025=4\cdot 506+1 \]

   Resto \(1\), entonces:

   \[ i^{2025}=i \]

8. Como \(10^{44}\) termina en dos ceros, es divisible por \(4\).

   Por lo tanto, el resto al dividir \(10^{44}\) por \(4\) es \(0\), y:

   \[ i^{10^{44}}=1 \]

Para exponentes negativos, podemos usar:

\[ i^{-n}=\frac{1}{i^n} \]

También podemos reducir el exponente usando el ciclo de período \(4\).

1. \[ i^{-1}=\frac{1}{i} \]

   Racionalizamos:

   \[ \frac{1}{i}\cdot\frac{i}{i}=\frac{i}{i^2}=\frac{i}{-1}=-i \]

   \[ i^{-1}=-i \]

2. \[ i^{-2}=\frac{1}{i^2}=\frac{1}{-1}=-1 \]

3. \[ i^{-3}=\frac{1}{i^3} \]

   Como \(i^3=-i\), entonces:

   \[ i^{-3}=\frac{1}{-i}=i \]

4. Como \(-7=4\cdot(-2)+1\), el resto equivalente es \(1\):

   \[ i^{-7}=i \]

5. Como \(-12=4\cdot(-3)+0\), el resto es \(0\):

   \[ i^{-12}=1 \]

6. Como \(-25=4\cdot(-7)+3\), el resto equivalente es \(3\):

   \[ i^{-25}=i^3=-i \]

7. Como \(-50=4\cdot(-13)+2\), el resto equivalente es \(2\):

   \[ i^{-50}=i^2=-1 \]

8. Como \(-101=4\cdot(-26)+3\), el resto equivalente es \(3\):

   \[ i^{-101}=i^3=-i \]

Usamos:

\[ \sqrt{-a}=\sqrt{a}\,i \]

1. \[ \sqrt{-72}=\sqrt{72}\,i \]

   \[ \sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2} \]

   \[ \sqrt{-72}=6\sqrt{2}i \]

2. \[ \sqrt{-48}=\sqrt{48}\,i \]

   \[ \sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3} \]

   \[ \sqrt{-48}=4\sqrt{3}i \]

3. \[ \sqrt{-147}=\sqrt{147}\,i \]

   \[ \sqrt{147}=\sqrt{49\cdot 3}=7\sqrt{3} \]

   \[ \sqrt{-147}=7\sqrt{3}i \]

4. \[ \sqrt{-200}=\sqrt{200}\,i \]

   \[ \sqrt{200}=\sqrt{100\cdot 2}=10\sqrt{2} \]

   \[ \sqrt{-200}=10\sqrt{2}i \]

5. \[ \sqrt{-\frac{25}{9}}=\sqrt{\frac{25}{9}}\,i \]

   \[ \sqrt{\frac{25}{9}}=\frac{5}{3} \]

   \[ \sqrt{-\frac{25}{9}}=\frac{5}{3}i \]

6. \[ \sqrt{-\frac{3}{4}}=\sqrt{\frac{3}{4}}\,i \]

   \[ \sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2} \]

   \[ \sqrt{-\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}i \]

1. \[ (-3)^2=9 \]

   \[ \sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3 \]

2. \[ -3^2=-(3^2)=-9 \]

   \[ \sqrt{-3^2}=\sqrt{-9}=3i \]

3. \[ (-2)^4=16 \]

   \[ \sqrt{(-2)^4}=\sqrt{16}=4 \]

4. \[ -2^4=-(2^4)=-16 \]

   \[ \sqrt{-2^4}=\sqrt{-16}=4i \]

5. \[ -(5^2)=-25 \]

   \[ \sqrt{-(5^2)}=\sqrt{-25}=5i \]

6. \[ (-5)^2=25 \]

   \[ \sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5 \]

1. Sumamos los coeficientes de \(i\):

   \[ 8i-13i+4i=(8-13+4)i=-i \]

2. \[ (-6i)+15i-2i=(-6+15-2)i=7i \]

3. \[ (4i)(-7i)=-28i^2 \]

   Como \(i^2=-1\):

   \[ -28i^2=-28(-1)=28 \]

4. \[ (-3i)(-5i)=15i^2 \]

   \[ 15i^2=15(-1)=-15 \]

5. \[ \frac{18i}{-6i}=-3 \]

   Se puede simplificar \(i\), porque \(i\neq 0\).

6. \[ \frac{-24i}{8i}=-3 \]

   Se puede simplificar \(i\), porque \(i\neq 0\).

1. Simplificamos cada potencia:

   \[ i^{15}=i^3=-i \]

   \[ i^{-2}=-1 \]

   Entonces:

   \[ i^{15}+i^{-2}=-i-1=-1-i \]

2. \[ (i^7)(i^4)=i^{7+4}=i^{11} \]

   \[ i^{11}=i^3=-i \]

3. \[ i^{30}=i^2=-1 \]

   \[ i^{29}=i \]

   Entonces:

   \[ i^{30}-i^{29}=-1-i \]

4. \[ \frac{i^{12}}{i^5}=i^{12-5}=i^7 \]

   \[ i^7=i^3=-i \]

5. \[ (2i)(3i)(4i)=24i^3 \]

   \[ 24i^3=24(-i)=-24i \]

6. Primero:

   \[ (5i)^2=25i^2=-25 \]

   Además:

   \[ i^4=1 \]

   Entonces:

   \[ (5i)^2-3i^4=-25-3(1)=-28 \]

Usaremos que \(\sqrt{-a}=\sqrt{a}i\) y que \(\frac{1}{i}=-i\).

1. \[ \frac{1}{\sqrt{-50}}=\frac{1}{5\sqrt{2}i} \]

   \[ =-\frac{i}{5\sqrt{2}} \]

   Racionalizamos:

   \[ -\frac{i}{5\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = -\frac{i\sqrt{2}}{10} \]

2. \[ \frac{3}{\sqrt{-18}}=\frac{3}{3\sqrt{2}i} \]

   \[ =\frac{1}{\sqrt{2}i} \]

   \[ =-\frac{i}{\sqrt{2}} \]

   Racionalizamos:

   \[ -\frac{i}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = -\frac{i\sqrt{2}}{2} \]

3. \[ \frac{4}{\sqrt{-12}}=\frac{4}{2\sqrt{3}i} \]

   \[ =\frac{2}{\sqrt{3}i} \]

   \[ =-\frac{2i}{\sqrt{3}} \]

   Racionalizamos:

   \[ -\frac{2i}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = -\frac{2i\sqrt{3}}{3} \]

4. \[ \frac{5}{\sqrt{-16}}=\frac{5}{4i} \]

   \[ \frac{5}{4i}=-\frac{5i}{4} \]

5. \[ \frac{7}{\sqrt{-2}}=\frac{7}{\sqrt{2}i} \]

   \[ =-\frac{7i}{\sqrt{2}} \]

   Racionalizamos:

   \[ -\frac{7i}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = -\frac{7i\sqrt{2}}{2} \]

6. \[ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{-4}}=\frac{\sqrt{3}}{2i} \]

   \[ =-\frac{\sqrt{3}i}{2} \]

1. \[ x^2+16=0 \]

   \[ x^2=-16 \]

   \[ x=\pm\sqrt{-16}=\pm 4i \]

2. \[ x^2+81=0 \]

   \[ x^2=-81 \]

   \[ x=\pm\sqrt{-81}=\pm 9i \]

3. \[ x^2+5=0 \]

   \[ x^2=-5 \]

   \[ x=\pm\sqrt{-5}=\pm\sqrt{5}i \]

4. \[ x^2+11=0 \]

   \[ x^2=-11 \]

   \[ x=\pm\sqrt{-11}=\pm\sqrt{11}i \]

5. \[ 4x^2+100=0 \]

   \[ 4x^2=-100 \]

   \[ x^2=-25 \]

   \[ x=\pm 5i \]

6. \[ 9x^2+45=0 \]

   \[ 9x^2=-45 \]

   \[ x^2=-5 \]

   \[ x=\pm\sqrt{5}i \]

1. \[ 3x^2+12=0 \]

   \[ 3x^2=-12 \]

   \[ x^2=-4 \]

   \[ x=\pm 2i \]

2. \[ -2x^2=50 \]

   Dividimos por \(-2\):

   \[ x^2=-25 \]

   \[ x=\pm 5i \]

3. \[ 5x^2+45=0 \]

   \[ 5x^2=-45 \]

   \[ x^2=-9 \]

   \[ x=\pm 3i \]

4. \[ \frac{x^2}{4}+9=0 \]

   \[ \frac{x^2}{4}=-9 \]

   Multiplicamos por \(4\):

   \[ x^2=-36 \]

   \[ x=\pm 6i \]

5. \[ 2x^2+18=0 \]

   \[ 2x^2=-18 \]

   \[ x^2=-9 \]

   \[ x=\pm 3i \]

6. \[ -x^2+64=0 \]

   \[ -x^2=-64 \]

   \[ x^2=64 \]

   \[ x=\pm 8 \]

   En este caso las soluciones son reales, no imaginarias.

Recordemos que si \(z=a+bi\), entonces \(a\) es la parte real y \(b\) es la parte imaginaria.

1. \(z=-1+4i\): parte real \(-1\), parte imaginaria \(4\).
2. \(z=\sqrt{2}-i=\sqrt{2}-1i\): parte real \(\sqrt{2}\), parte imaginaria \(-1\).
3. \(z=-9i=0-9i\): parte real \(0\), parte imaginaria \(-9\).
4. \(z=12=12+0i\): parte real \(12\), parte imaginaria \(0\).
5. \(z=0{,}5+1{,}2i\): parte real \(0{,}5\), parte imaginaria \(1{,}2\).
6. \(z=-\frac{3}{4}i=0-\frac{3}{4}i\): parte real \(0\), parte imaginaria \(-\frac{3}{4}\).

Usamos la forma binomial \(z=a+bi\), donde \(a\) es la parte real y \(b\) es la parte imaginaria.

1. \(a=-2\), \(b=5\), entonces \(z=-2+5i\).
2. \(a=0\), \(b=-1\), entonces \(z=0-i=-i\).
3. \(a=\frac{1}{2}\), \(b=-\sqrt{3}\), entonces \(z=\frac{1}{2}-\sqrt{3}i\).
4. \(a=-4\), \(b=0\), entonces \(z=-4+0i=-4\).
5. \(a=\pi\), \(b=-2{,}7\), entonces \(z=\pi-2{,}7i\).
6. \(a=-\frac{2}{5}\), \(b=\frac{1}{3}\), entonces \(z=-\frac{2}{5}+\frac{1}{3}i\).

Usamos que las potencias de \(i\) se repiten cada cuatro: \(i^1=i\), \(i^2=-1\), \(i^3=-i\), \(i^4=1\).

1. \[ 10=4\cdot 2+2 \]

   El resto es \(2\), entonces:

   \[ i^{10}=i^2=-1 \]

2. \[ 25=4\cdot 6+1 \]

   El resto es \(1\), entonces:

   \[ i^{25}=i \]

3. \[ 100=4\cdot 25+0 \]

   El resto es \(0\), entonces:

   \[ i^{100}=1 \]

4. \[ 39=4\cdot 9+3 \]

   El resto es \(3\), entonces:

   \[ i^{39}=i^3=-i \]

5. Como \(i^{-1}=\frac{1}{i}\), racionalizamos:

   \[ i^{-1}=\frac{1}{i}\cdot\frac{i}{i}=\frac{i}{i^2}=\frac{i}{-1}=-i \]

6. \[ 50=4\cdot 12+2 \]

   El resto es \(2\), entonces:

   \[ i^{50}=i^2=-1 \]

7. \[ 123=4\cdot 30+3 \]

   El resto es \(3\), entonces:

   \[ i^{123}=i^3=-i \]

8. Primero calculamos \(i^{14}\):

   \[ 14=4\cdot 3+2 \]

   Entonces \(i^{14}=i^2=-1\). Por lo tanto:

   \[ i^{-14}=\frac{1}{i^{14}}=\frac{1}{-1}=-1 \]

9. Separamos la potencia:

   \[ i^{4n+3}=i^{4n}\cdot i^3 \]

   Como \(i^4=1\), entonces:

   \[ i^{4n}=(i^4)^n=1^n=1 \]

   Por lo tanto:

   \[ i^{4n+3}=1\cdot i^3=-i \]

Para resolver, escribimos cada lado en forma \(a+bi\) e igualamos partes reales e imaginarias.

1. \[ 3x+2yi=9-4i \]

   Parte real:

   \[ 3x=9 \Rightarrow x=3 \]

   Parte imaginaria:

   \[ 2y=-4 \Rightarrow y=-2 \]

   Por lo tanto, \(x=3\) e \(y=-2\).

2. \[ (x-1)+(y+2)i=0+0i \]

   Parte real:

   \[ x-1=0 \Rightarrow x=1 \]

   Parte imaginaria:

   \[ y+2=0 \Rightarrow y=-2 \]

   Por lo tanto, \(x=1\) e \(y=-2\).

3. Reordenamos el lado izquierdo:

   \[ 2xi-y=-y+2xi \]

   Entonces:

   \[ -y+2xi=4+yi \]

   Parte real:

   \[ -y=4 \Rightarrow y=-4 \]

   Parte imaginaria:

   \[ 2x=y \]

   Como \(y=-4\), se tiene:

   \[ 2x=-4 \Rightarrow x=-2 \]

   Por lo tanto, \(x=-2\) e \(y=-4\).

4. Sumamos los complejos del lado izquierdo:

   \[ (x+yi)+(2-3i)=(x+2)+(y-3)i \]

   Entonces:

   \[ (x+2)+(y-3)i=5+i \]

   Parte real:

   \[ x+2=5 \Rightarrow x=3 \]

   Parte imaginaria:

   \[ y-3=1 \Rightarrow y=4 \]

   Por lo tanto, \(x=3\) e \(y=4\).

5. Desarrollamos:

   \[ (1+i)x+(1-i)y=x+xi+y-yi \]

   Agrupamos parte real e imaginaria:

   \[ (x+y)+(x-y)i=2+0i \]

   Igualamos partes:

   \[ x+y=2 \]

   \[ x-y=0 \]

   De \(x-y=0\), se obtiene \(x=y\). Reemplazando en \(x+y=2\):

   \[ y+y=2 \]

   \[ 2y=2 \Rightarrow y=1 \]

   Entonces \(x=1\). Por lo tanto, \(x=1\) e \(y=1\).

6. Desarrollamos el lado derecho:

   \[ 2i(x+iy)=2ix+2i^2y \]

   Como \(i^2=-1\), queda:

   \[ 2ix+2i^2y=2xi-2y \]

   Entonces:

   \[ x-iy=-2y+2xi \]

   Igualamos partes reales:

   \[ x=-2y \]

   Igualamos partes imaginarias:

   \[ -y=2x \]

   Equivalentemente:

   \[ x+2y=0 \]

   \[ 2x+y=0 \]

   De \(x=-2y\), reemplazamos en \(2x+y=0\):

   \[ 2(-2y)+y=0 \]

   \[ -4y+y=0 \]

   \[ -3y=0 \Rightarrow y=0 \]

   Entonces \(x=-2(0)=0\). Por lo tanto, \(x=0\) e \(y=0\).

Para representar cada número, se identifica su parte real y su parte imaginaria. Si \(z=a+bi\), entonces se ubica el punto \((a,b)\).

Si un punto es \((a,b)\), entonces el número complejo correspondiente es \(z=a+bi\).

1. \((2,-1)\): \(z=2-i\).
2. \((-3,4)\): \(z=-3+4i\).
3. \((0,3)\): \(z=0+3i=3i\).
4. \((-2,0)\): \(z=-2+0i=-2\).
5. \(\left(\frac{1}{2},\frac{5}{2}\right)\): \(z=\frac{1}{2}+\frac{5}{2}i\).
6. \((-\sqrt{2},-\sqrt{3})\): \(z=-\sqrt{2}-\sqrt{3}i\).

Primero representamos cada número complejo como punto y como vector desde el origen.

1. \(z=2+i\) tiene parte real \(2\) y parte imaginaria \(1\), por lo tanto se representa por el punto \((2,1)\) y por el vector desde \((0,0)\) hasta \((2,1)\).
2. \(w=-1+3i\) tiene parte real \(-1\) y parte imaginaria \(3\), por lo tanto se representa por el punto \((-1,3)\) y por el vector desde \((0,0)\) hasta \((-1,3)\).
3. Para sumar gráficamente, se suman las componentes: \[ (2,1)+(-1,3)=(2+(-1),1+3)=(1,4) \] Por lo tanto: \[ z+w=(2+i)+(-1+3i)=1+4i \] El vector resultante va desde el origen hasta \((1,4)\), y representa el número complejo \(1+4i\).

El conjugado de \(z=a+bi\) es \(\overline{z}=a-bi\). En el plano complejo, esto cambia el punto \((a,b)\) por \((a,-b)\).

1. \[ z=3+2i \]

   Se representa por el punto \((3,2)\). Su conjugado es:

   \[ \overline{z}=3-2i \]

   Se representa por el punto \((3,-2)\).

2. \[ z=-1-4i \]

   Se representa por el punto \((-1,-4)\). Su conjugado es:

   \[ \overline{z}=-1+4i \]

   Se representa por el punto \((-1,4)\).

3. \[ z=5i=0+5i \]

   Se representa por el punto \((0,5)\). Su conjugado es:

   \[ \overline{z}=-5i \]

   Se representa por el punto \((0,-5)\).

4. \[ z=-2=-2+0i \]

   Se representa por el punto \((-2,0)\). Su conjugado es:

   \[ \overline{z}=-2 \]

   Se representa por el mismo punto \((-2,0)\), porque los números reales son sus propios conjugados.

Si \(z\) se representa por \((a,b)\), entonces:

\[ z=a+bi \]

Su conjugado es:

\[ \overline{z}=a-bi \]

Por lo tanto, la parte real se mantiene igual y la parte imaginaria cambia de signo. El punto asociado es:

\[ (a,-b) \]

Respuesta correcta: c) \((a,-b)\).

Un número imaginario puro tiene la forma:

\[ z=bi \]

Esto también puede escribirse como:

\[ z=0+bi \]

Por lo tanto, su punto asociado es:

\[ (0,b) \]

Como la coordenada real es \(0\), el punto está sobre el eje imaginario.

Respuesta correcta: b) Está sobre el eje imaginario.

Si:

\[ z=a+bi \]

Entonces:

\[ -z=-(a+bi)=-a-bi \]

El punto asociado a \(z\) es \((a,b)\), mientras que el punto asociado a \(-z\) es:

\[ (-a,-b) \]

Geométricamente, esto corresponde al vector opuesto al vector que representa a \(z\). Es decir, representa el inverso aditivo de \(z\).

Respuesta correcta: b) El inverso aditivo de \(z\).

En cada caso, se operan por separado las partes reales y las partes imaginarias.

1. \[ (2+5i)+(1+3i)=(2+1)+(5+3)i \]

   \[ =3+8i \]

2. \[ (-3+i)+(4-2i)=(-3+4)+(1-2)i \]

   \[ =1-i \]

3. \[ (6-i)-(2+4i)=(6-2)+(-1-4)i \]

   \[ =4-5i \]

4. \[ (-1-i)-(-3-2i)=(-1+3)+(-1+2)i \]

   \[ =2+i \]

5. \[ (0{,}5+1{,}2i)+(2{,}3-0{,}8i)=(0{,}5+2{,}3)+(1{,}2-0{,}8)i \]

   \[ =2{,}8+0{,}4i \]

6. \[ \left(\frac{1}{2}+\frac{3}{4}i\right)+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}i\right) = \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\right)i \]

   \[ =\frac{3}{4}+\frac{1}{4}i \]

Para la representación gráfica, cada número complejo \(a+bi\) se interpreta como el vector desde \((0,0)\) hasta \((a,b)\).

1. Para \(z_1=3+i\) y \(z_2=1+2i\):

   \[ z_1+z_2=(3+1)+(1+2)i=4+3i \]

   El vector suma va desde \((0,0)\) hasta \((4,3)\).

   \[ z_1-z_2=(3-1)+(1-2)i=2-i \]

   El vector resta va desde \((0,0)\) hasta \((2,-1)\).

2. Para \(z_1=-2+3i\) y \(z_2=4+i\):

   \[ z_1+z_2=(-2+4)+(3+1)i=2+4i \]

   El vector suma va desde \((0,0)\) hasta \((2,4)\).

   \[ z_1-z_2=(-2-4)+(3-1)i=-6+2i \]

   El vector resta va desde \((0,0)\) hasta \((-6,2)\).

3. Para \(z_1=1-i\) y \(z_2=-3-2i\):

   \[ z_1+z_2=(1+(-3))+(-1+(-2))i=-2-3i \]

   El vector suma va desde \((0,0)\) hasta \((-2,-3)\).

   \[ z_1-z_2=(1-(-3))+(-1-(-2))i=4+i \]

   El vector resta va desde \((0,0)\) hasta \((4,1)\).

1. \[ z+(2-i)=5+3i \]

   Restamos \((2-i)\) en ambos lados:

   \[ z=(5+3i)-(2-i) \]

   \[ z=(5-2)+(3-(-1))i \]

   \[ z=3+4i \]

2. \[ (4+2i)-z=1-i \]

   Sumamos \(z\) en ambos lados:

   \[ 4+2i=(1-i)+z \]

   Restamos \((1-i)\) en ambos lados:

   \[ z=(4+2i)-(1-i) \]

   \[ z=(4-1)+(2-(-1))i \]

   \[ z=3+3i \]

3. \[ 2z+(1+i)=3-2i \]

   Restamos \((1+i)\) en ambos lados:

   \[ 2z=(3-2i)-(1+i) \]

   \[ 2z=(3-1)+(-2-1)i \]

   \[ 2z=2-3i \]

   Dividimos por \(2\):

   \[ z=1-\frac{3}{2}i \]

Primero calculamos los conjugados de \(z_1\) y \(z_2\):

\[ \overline{z_1}=a-bi \]

\[ \overline{z_2}=c-di \]

Sumamos los conjugados:

\[ \overline{z_1}+\overline{z_2}=(a-bi)+(c-di) \]

\[ \overline{z_1}+\overline{z_2}=(a+c)-(b+d)i \]

Ahora calculamos la suma original:

\[ z_1+z_2=(a+bi)+(c+di) \]

\[ z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i \]

Su conjugado es:

\[ \overline{z_1+z_2}=(a+c)-(b+d)i \]

Como ambos resultados son iguales, se cumple que:

\[ \overline{z_1}+\overline{z_2}=\overline{z_1+z_2} \]

1. \[ (1+i)(3-2i)=3-2i+3i-2i^2 \]

   \[ =3+i-2(-1) \]

   \[ =5+i \]

2. \[ (4-3i)(2+i)=8+4i-6i-3i^2 \]

   \[ =8-2i-3(-1) \]

   \[ =11-2i \]

3. \[ (-2+i)(-1-i)=2+2i-i-i^2 \]

   \[ =2+i-(-1) \]

   \[ =3+i \]

4. \[ (5i)(3+2i)=15i+10i^2 \]

   \[ =15i+10(-1) \]

   \[ =-10+15i \]

5. \[ 4(1-i)=4\cdot 1-4\cdot i \]

   \[ =4-4i \]

6. \[ (0{,}5+i)(2-0{,}4i)=1-0{,}2i+2i-0{,}4i^2 \]

   \[ =1+1{,}8i-0{,}4(-1) \]

   \[ =1{,}4+1{,}8i \]

7. \[ \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\right)\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\right) \]

   \[ =\frac{1}{4}+\frac{1}{4}i-\frac{1}{4}i-\frac{1}{4}i^2 \]

   \[ =\frac{1}{4}-\frac{1}{4}(-1) \]

   \[ =\frac{1}{4}+\frac{1}{4} \]

   \[ =\frac{1}{2} \]

8. \[ (1+\sqrt{2}i)(1-\sqrt{2}i)=1-\sqrt{2}i+\sqrt{2}i-2i^2 \]

   \[ =1-2(-1) \]

   \[ =3 \]

9. \[ (a+bi)(a-bi)=a^2-abi+abi-b^2i^2 \]

   Los términos \(-abi\) y \(abi\) se cancelan:

   \[ =a^2-b^2i^2 \]

   Como \(i^2=-1\):

   \[ =a^2-b^2(-1) \]

   \[ =a^2+b^2 \]

   Este resultado es importante: el producto de un número complejo por su conjugado es un número real.

1. \[ (1+i)^2=(1+i)(1+i) \]

   \[ =1+i+i+i^2 \]

   \[ =1+2i-1 \]

   \[ =2i \]

2. Usamos el resultado anterior, \((1+i)^2=2i\):

   \[ (1+i)^3=(1+i)(1+i)^2 \]

   \[ =(1+i)(2i) \]

   \[ =2i+2i^2 \]

   \[ =2i-2 \]

   \[ =-2+2i \]

3. Usamos nuevamente que \((1+i)^2=2i\):

   \[ (1+i)^4=(1+i)^2(1+i)^2 \]

   \[ =(2i)(2i) \]

   \[ =4i^2 \]

   \[ =-4 \]

Primero expandimos el producto del lado izquierdo:

\[ (2+3i)(x+yi)=2x+2yi+3xi+3yi^2 \]

Como \(i^2=-1\):

\[ =2x+2yi+3xi-3y \]

Agrupamos parte real e imaginaria:

\[ =(2x-3y)+(2y+3x)i \]

Entonces:

\[ (2x-3y)+(2y+3x)i=1+i \]

Igualamos partes reales e imaginarias:

\[ 2x-3y=1 \]

\[ 3x+2y=1 \]

Resolvemos el sistema por eliminación. Multiplicamos la primera ecuación por \(2\):

\[ 4x-6y=2 \]

Multiplicamos la segunda ecuación por \(3\):

\[ 9x+6y=3 \]

Sumamos ambas ecuaciones:

\[ 13x=5 \]

\[ x=\frac{5}{13} \]

Sustituimos en \(2x-3y=1\):

\[ 2\left(\frac{5}{13}\right)-3y=1 \]

\[ \frac{10}{13}-3y=1 \]

\[ -3y=1-\frac{10}{13} \]

\[ -3y=\frac{3}{13} \]

\[ y=-\frac{1}{13} \]

Por lo tanto:

\[ x=\frac{5}{13}, \qquad y=-\frac{1}{13} \]

Para encontrar el conjugado, se mantiene la parte real y se cambia el signo de la parte imaginaria.

1. \(\overline{4+5i}=4-5i\)
2. \(\overline{-2-3i}=-2+3i\)
3. \(\overline{6i}=-6i\)
4. \(\overline{-7}=-7\)
5. \(\overline{1-\sqrt{2}i}=1+\sqrt{2}i\)

1. El conjugado de \(2-i\) es \(2+i\):

   \[ \frac{1+i}{2-i}\cdot\frac{2+i}{2+i} \]

   \[ =\frac{(1+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)} \]

   \[ =\frac{2+i+2i+i^2}{4-i^2} \]

   \[ =\frac{2+3i-1}{4-(-1)} \]

   \[ =\frac{1+3i}{5} \]

   \[ =\frac{1}{5}+\frac{3}{5}i \]

2. El conjugado de \(1+i\) es \(1-i\):

   \[ \frac{3-2i}{1+i}\cdot\frac{1-i}{1-i} \]

   \[ =\frac{(3-2i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} \]

   \[ =\frac{3-3i-2i+2i^2}{1-i^2} \]

   \[ =\frac{3-5i+2(-1)}{1-(-1)} \]

   \[ =\frac{1-5i}{2} \]

   \[ =\frac{1}{2}-\frac{5}{2}i \]

3. El conjugado de \(2+3i\) es \(2-3i\):

   \[ \frac{4i}{2+3i}\cdot\frac{2-3i}{2-3i} \]

   \[ =\frac{4i(2-3i)}{(2+3i)(2-3i)} \]

   \[ =\frac{8i-12i^2}{4-9i^2} \]

   \[ =\frac{8i-12(-1)}{4-9(-1)} \]

   \[ =\frac{12+8i}{13} \]

   \[ =\frac{12}{13}+\frac{8}{13}i \]

4. Multiplicamos por \(\frac{-i}{-i}\):

   \[ \frac{5}{i}\cdot\frac{-i}{-i} \]

   \[ =\frac{-5i}{-i^2} \]

   Como \(i^2=-1\), entonces \(-i^2=1\):

   \[ \frac{-5i}{1}=-5i \]

5. El conjugado de \(2-i\) es \(2+i\):

   \[ \frac{2+i}{2-i}\cdot\frac{2+i}{2+i} \]

   \[ =\frac{(2+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)} \]

   \[ =\frac{4+2i+2i+i^2}{4-i^2} \]

   \[ =\frac{4+4i-1}{4-(-1)} \]

   \[ =\frac{3+4i}{5} \]

   \[ =\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i \]

1. \[ \frac{z}{1+i}=2-i \]

   Multiplicamos ambos lados por \(1+i\):

   \[ z=(2-i)(1+i) \]

   Desarrollamos:

   \[ z=2+2i-i-i^2 \]

   \[ z=2+i-(-1) \]

   \[ z=3+i \]

2. \[ (3-i)z=2+4i \]

   Dividimos por \(3-i\):

   \[ z=\frac{2+4i}{3-i} \]

   Multiplicamos por el conjugado del denominador:

   \[ z=\frac{2+4i}{3-i}\cdot\frac{3+i}{3+i} \]

   \[ z=\frac{(2+4i)(3+i)}{(3-i)(3+i)} \]

   \[ z=\frac{6+2i+12i+4i^2}{9-i^2} \]

   \[ z=\frac{6+14i+4(-1)}{9-(-1)} \]

   \[ z=\frac{2+14i}{10} \]

   \[ z=\frac{1}{5}+\frac{7}{5}i \]

Calculamos cada término por separado:

\[ \frac{1}{i}=-i \]

Porque:

\[ \frac{1}{i}\cdot\frac{i}{i}=\frac{i}{i^2}=\frac{i}{-1}=-i \]

Luego:

\[ \frac{1}{i^2}=\frac{1}{-1}=-1 \]

Como \(i^3=-i\):

\[ \frac{1}{i^3}=\frac{1}{-i} \]

Multiplicamos por \(\frac{i}{i}\):

\[ \frac{1}{-i}\cdot\frac{i}{i}=\frac{i}{-i^2} \]

Como \(i^2=-1\):

\[ \frac{i}{-(-1)}=\frac{i}{1}=i \]

Además:

\[ \frac{1}{i^4}=\frac{1}{1}=1 \]

Sumamos:

\[ -i-1+i+1=0 \]

Por lo tanto:

\[ \frac{1}{i}+\frac{1}{i^2}+\frac{1}{i^3}+\frac{1}{i^4}=0 \]

Como \(z=2-3i\), entonces:

\[ \frac{1}{z}=\frac{1}{2-3i} \]

Multiplicamos por el conjugado del denominador:

\[ \frac{1}{2-3i}\cdot\frac{2+3i}{2+3i} \]

\[ =\frac{2+3i}{(2-3i)(2+3i)} \]

En el denominador usamos el producto de conjugados:

\[ (2-3i)(2+3i)=2^2+3^2=4+9=13 \]

Entonces:

\[ \frac{1}{z}=\frac{2+3i}{13} \]

Finalmente:

\[ \frac{1}{z}=\frac{2}{13}+\frac{3}{13}i \]

Usamos la fórmula:

\[ |a+bi|=\sqrt{a^2+b^2} \]

1. Para \(z=1+i\), se tiene \(a=1\) y \(b=1\):

   \[ |z|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} \]

2. Para \(z=-3+4i\), se tiene \(a=-3\) y \(b=4\):

   \[ |z|=\sqrt{(-3)^2+4^2} \]

   \[ |z|=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5 \]

3. Para \(z=2-2i\), se tiene \(a=2\) y \(b=-2\):

   \[ |z|=\sqrt{2^2+(-2)^2} \]

   \[ |z|=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2} \]

4. Para \(z=-5i\), escribimos \(z=0-5i\), por lo tanto \(a=0\) y \(b=-5\):

   \[ |z|=\sqrt{0^2+(-5)^2} \]

   \[ |z|=\sqrt{25}=5 \]

5. Para \(z=7\), escribimos \(z=7+0i\), por lo tanto \(a=7\) y \(b=0\):

   \[ |z|=\sqrt{7^2+0^2} \]

   \[ |z|=\sqrt{49}=7 \]

6. Para \(z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\), se tiene \(a=\frac{1}{2}\) y \(b=\frac{\sqrt{3}}{2}\):

   \[ |z|=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} \]

   \[ |z|=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=\sqrt{1}=1 \]

Para verificarlo, se representa cada número complejo \(a+bi\) como el punto \((a,b)\) y se dibuja el segmento desde el origen \((0,0)\) hasta ese punto.

En cada caso, la distancia desde \((0,0)\) hasta el punto coincide con el módulo calculado mediante la fórmula \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\).

El módulo representa la distancia desde el origen hasta el punto que representa a \(z\).

Entonces, la condición:

\[ |z|=5 \]

significa que todos los puntos están a \(5\) unidades del origen.

Por lo tanto, los posibles valores de \(z\) describen un círculo con centro en el origen \((0,0)\) y radio \(5\).

Si \(\operatorname{Re}(z)=0\), entonces \(z\) tiene la forma:

\[ z=bi \]

Su módulo es:

\[ |z|=|bi|=\sqrt{0^2+b^2}=\sqrt{b^2}=|b| \]

Como \(|z|=1\), se cumple:

\[ |b|=1 \]

Entonces:

\[ b=1 \quad \text{o} \quad b=-1 \]

Por lo tanto, los números complejos son:

\[ z=i \quad \text{y} \quad z=-i \]

Gráficamente, corresponden a los puntos \((0,1)\) y \((0,-1)\), que están sobre el eje imaginario y a distancia \(1\) del origen.

Por definición:

\[ |z|=\sqrt{a^2+b^2} \]

Elevamos al cuadrado ambos lados:

\[ |z|^2=\left(\sqrt{a^2+b^2}\right)^2 \]

Por lo tanto:

\[ |z|^2=a^2+b^2 \]

Si \(z=a+bi\), entonces su conjugado es:

\[ \overline{z}=a-bi \]

Multiplicamos:

\[ z\cdot\overline{z}=(a+bi)(a-bi) \]

Desarrollamos:

\[ (a+bi)(a-bi)=a^2-abi+abi-b^2i^2 \]

Los términos \(-abi\) y \(abi\) se cancelan:

\[ =a^2-b^2i^2 \]

Como \(i^2=-1\):

\[ =a^2-b^2(-1) \]

\[ =a^2+b^2 \]

Por otra parte:

\[ |z|^2=\left(\sqrt{a^2+b^2}\right)^2=a^2+b^2 \]

Como ambos resultados son iguales, se concluye que:

\[ z\cdot\overline{z}=|z|^2 \]

Para encontrar el conjugado, mantenemos la parte real y cambiamos el signo de la parte imaginaria.

1. \[ \overline{5+2i}=5-2i \]
2. \[ \overline{-3-i}=-3+i \]
3. \[ \overline{4i}=-4i \]
4. \[ \overline{-6}=-6 \]
5. \[ \overline{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i} = \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \]

1. Si \(z=2+i\), entonces \(\overline{z}=2-i\).

   \[ z\cdot\overline{z}=(2+i)(2-i) \]

   \[ =4-2i+2i-i^2=4+1=5 \]

   Por otra parte:

   \[ |z|^2=\left(\sqrt{2^2+1^2}\right)^2=(\sqrt{5})^2=5 \]

   Por lo tanto, \(z\cdot\overline{z}=|z|^2\).

2. Si \(z=-3+4i\), entonces \(\overline{z}=-3-4i\).

   \[ z\cdot\overline{z}=(-3+4i)(-3-4i) \]

   \[ =9+12i-12i-16i^2 \]

   \[ =9-16(-1)=25 \]

   Por otra parte:

   \[ |z|^2=\left(\sqrt{(-3)^2+4^2}\right)^2=(\sqrt{25})^2=25 \]

   Por lo tanto, \(z\cdot\overline{z}=|z|^2\).

3. Si \(z=1-i\), entonces \(\overline{z}=1+i\).

   \[ z\cdot\overline{z}=(1-i)(1+i) \]

   \[ =1+i-i-i^2=1+1=2 \]

   Por otra parte:

   \[ |z|^2=\left(\sqrt{1^2+(-1)^2}\right)^2=(\sqrt{2})^2=2 \]

   Por lo tanto, \(z\cdot\overline{z}=|z|^2\).

Usamos la fórmula:

\[ \operatorname{Distancia}(z_1,z_2)=|z_1-z_2| \]

1. \[ z_1-z_2=(1+2i)-(4+6i) \]

   \[ =(1-4)+(2-6)i=-3-4i \]

   \[ |z_1-z_2|=|-3-4i| \]

   \[ =\sqrt{(-3)^2+(-4)^2} \]

   \[ =\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5 \]

2. \[ z_1-z_2=(-2+i)-(3-4i) \]

   \[ =(-2-3)+(1-(-4))i=-5+5i \]

   \[ |z_1-z_2|=|-5+5i| \]

   \[ =\sqrt{(-5)^2+5^2} \]

   \[ =\sqrt{25+25}=\sqrt{50}=5\sqrt{2} \]

3. \[ z_1-z_2=5i-(-2i) \]

   \[ =7i \]

   \[ |z_1-z_2|=|7i| \]

   \[ =\sqrt{0^2+7^2}=\sqrt{49}=7 \]

Primero sumamos \(z_1\) y \(z_2\):

\[ z_1+z_2=(a+bi)+(c+di) \]

\[ z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i \]

Ahora calculamos su conjugado:

\[ \overline{z_1+z_2}=(a+c)-(b+d)i \]

Por otra parte, calculamos los conjugados por separado:

\[ \overline{z_1}=a-bi \]

\[ \overline{z_2}=c-di \]

Sumamos esos conjugados:

\[ \overline{z_1}+\overline{z_2}=(a-bi)+(c-di) \]

\[ \overline{z_1}+\overline{z_2}=(a+c)-(b+d)i \]

Como ambos resultados son iguales, se concluye que:

\[ \overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2} \]

Usamos el discriminante:

\[ \Delta=b^2-4ac \]

1. Para \(x^2-4x+3=0\), se tiene \(a=1\), \(b=-4\), \(c=3\):

   \[ \Delta=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 3 \]

   \[ \Delta=16-12=4 \]

   Como \(\Delta>0\), tiene dos soluciones reales y distintas.

2. Para \(x^2+2x+1=0\), se tiene \(a=1\), \(b=2\), \(c=1\):

   \[ \Delta=2^2-4\cdot 1\cdot 1 \]

   \[ \Delta=4-4=0 \]

   Como \(\Delta=0\), tiene una solución real repetida.

3. Para \(x^2+x+1=0\), se tiene \(a=1\), \(b=1\), \(c=1\):

   \[ \Delta=1^2-4\cdot 1\cdot 1 \]

   \[ \Delta=1-4=-3 \]

   Como \(\Delta<0\), tiene dos soluciones complejas conjugadas.

4. Para \(2x^2-x+3=0\), se tiene \(a=2\), \(b=-1\), \(c=3\):

   \[ \Delta=(-1)^2-4\cdot 2\cdot 3 \]

   \[ \Delta=1-24=-23 \]

   Como \(\Delta<0\), tiene dos soluciones complejas conjugadas.

1. \[ x^2-6x+9=0 \]

   Factorizamos:

   \[ (x-3)^2=0 \]

   Por lo tanto:

   \[ x=3 \]

   Es una solución real repetida.

2. \[ x^2+4=0 \]

   \[ x^2=-4 \]

   \[ x=\pm\sqrt{-4} \]

   \[ x=\pm 2i \]

3. Para \(x^2-2x+2=0\), se tiene \(a=1\), \(b=-2\), \(c=2\):

   \[ x=\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot 1\cdot 2}}{2\cdot 1} \]

   \[ x=\frac{2\pm\sqrt{4-8}}{2} \]

   \[ x=\frac{2\pm\sqrt{-4}}{2} \]

   \[ x=\frac{2\pm 2i}{2} \]

   \[ x=1\pm i \]

4. Para \(2x^2-x+1=0\), se tiene \(a=2\), \(b=-1\), \(c=1\):

   \[ x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot 2\cdot 1}}{2\cdot 2} \]

   \[ x=\frac{1\pm\sqrt{1-8}}{4} \]

   \[ x=\frac{1\pm\sqrt{-7}}{4} \]

   \[ x=\frac{1\pm i\sqrt{7}}{4} \]

   En forma binomial:

   \[ x=\frac{1}{4}\pm\frac{\sqrt{7}}{4}i \]

5. \[ x^2+9=0 \]

   \[ x^2=-9 \]

   \[ x=\pm\sqrt{-9} \]

   \[ x=\pm 3i \]

6. Para \(x^2-4x+5=0\), se tiene \(a=1\), \(b=-4\), \(c=5\):

   \[ x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot 1\cdot 5}}{2\cdot 1} \]

   \[ x=\frac{4\pm\sqrt{16-20}}{2} \]

   \[ x=\frac{4\pm\sqrt{-4}}{2} \]

   \[ x=\frac{4\pm 2i}{2} \]

   \[ x=2\pm i \]

7. Para \(3x^2+2x+1=0\), se tiene \(a=3\), \(b=2\), \(c=1\):

   \[ x=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot 3\cdot 1}}{2\cdot 3} \]

   \[ x=\frac{-2\pm\sqrt{4-12}}{6} \]

   \[ x=\frac{-2\pm\sqrt{-8}}{6} \]

   Como \(\sqrt{-8}=2\sqrt{2}i\), queda:

   \[ x=\frac{-2\pm 2\sqrt{2}i}{6} \]

   Simplificando:

   \[ x=-\frac{1}{3}\pm\frac{\sqrt{2}}{3}i \]

8. Para \(x^2+x+1=0\), se tiene \(a=1\), \(b=1\), \(c=1\):

   \[ x=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot 1}}{2\cdot 1} \]

   \[ x=\frac{-1\pm\sqrt{1-4}}{2} \]

   \[ x=\frac{-1\pm\sqrt{-3}}{2} \]

   \[ x=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2} \]

   En forma binomial:

   \[ x=-\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}i \]

Si las soluciones de una ecuación cuadrática son \(r_1\) y \(r_2\), entonces una ecuación posible es:

\[ (x-r_1)(x-r_2)=0 \]

1. Soluciones: \(2+i\) y \(2-i\).

   \[ (x-(2+i))(x-(2-i))=0 \]

   \[ (x-2-i)(x-2+i)=0 \]

   Esto es un producto de conjugados:

   \[ (x-2)^2-i^2=0 \]

   \[ (x-2)^2+1=0 \]

   \[ x^2-4x+4+1=0 \]

   \[ x^2-4x+5=0 \]

2. Soluciones: \(-1+3i\) y \(-1-3i\).

   \[ (x-(-1+3i))(x-(-1-3i))=0 \]

   \[ (x+1-3i)(x+1+3i)=0 \]

   Producto de conjugados:

   \[ (x+1)^2-(3i)^2=0 \]

   \[ (x+1)^2-9i^2=0 \]

   \[ (x+1)^2+9=0 \]

   \[ x^2+2x+1+9=0 \]

   \[ x^2+2x+10=0 \]

3. Soluciones: \(i\) y \(-i\).

   \[ (x-i)(x+i)=0 \]

   \[ x^2-i^2=0 \]

   \[ x^2+1=0 \]

4. Soluciones: \(2i\) y \(-2i\).

   \[ (x-2i)(x+2i)=0 \]

   \[ x^2-(2i)^2=0 \]

   \[ x^2-4i^2=0 \]

   \[ x^2+4=0 \]

5. Soluciones: \(1+\sqrt{2}i\) y \(1-\sqrt{2}i\).

   \[ (x-(1+\sqrt{2}i))(x-(1-\sqrt{2}i))=0 \]

   \[ (x-1-\sqrt{2}i)(x-1+\sqrt{2}i)=0 \]

   Producto de conjugados:

   \[ (x-1)^2-(\sqrt{2}i)^2=0 \]

   \[ (x-1)^2-2i^2=0 \]

   \[ (x-1)^2+2=0 \]

   \[ x^2-2x+1+2=0 \]

   \[ x^2-2x+3=0 \]

6. Soluciones: \(-3+\frac{1}{2}i\) y \(-3-\frac{1}{2}i\).

   \[ \left(x-\left(-3+\frac{1}{2}i\right)\right) \left(x-\left(-3-\frac{1}{2}i\right)\right)=0 \]

   \[ \left(x+3-\frac{1}{2}i\right) \left(x+3+\frac{1}{2}i\right)=0 \]

   Producto de conjugados:

   \[ (x+3)^2-\left(\frac{1}{2}i\right)^2=0 \]

   \[ (x+3)^2-\frac{1}{4}i^2=0 \]

   \[ (x+3)^2+\frac{1}{4}=0 \]

   \[ x^2+6x+9+\frac{1}{4}=0 \]

   \[ x^2+6x+\frac{37}{4}=0 \]

   Una ecuación equivalente con coeficientes enteros es:

   \[ 4x^2+24x+37=0 \]

No es posible.

Si una ecuación cuadrática con coeficientes reales tiene una solución compleja no real, entonces también tiene como solución a su conjugada.

Esto se observa en la fórmula cuadrática:

\[ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]

Cuando \(b^2-4ac<0\), la raíz produce una parte imaginaria. El símbolo \(\pm\) genera dos soluciones:

\[ p+qi \quad \text{y} \quad p-qi \]

Por eso, las soluciones complejas no reales de una ecuación cuadrática con coeficientes reales siempre aparecen en pares conjugados.

Como los componentes están en serie, se suman sus impedancias:

\[ Z_{\text{total}}=Z_R+Z_L \]

La resistencia tiene impedancia:

\[ Z_R=50\,\Omega \]

El inductor tiene impedancia:

\[ Z_L=30j\,\Omega \]

Por lo tanto:

\[ Z_{\text{total}}=50+30j\,\Omega \]

Como las impedancias están en serie, se suman directamente:

\[ Z_{\text{total}}=Z_R+Z_C \]

Reemplazamos:

\[ Z_{\text{total}}=200+(-50j) \]

\[ Z_{\text{total}}=200-50j\,\Omega \]

Para impedancias en paralelo:

\[ \frac{1}{Z_{\text{total}}}=\frac{1}{Z_1}+\frac{1}{Z_2} \]

Reemplazamos:

\[ \frac{1}{Z_{\text{total}}}=\frac{1}{100}+\frac{1}{200j} \]

Como \(\frac{1}{j}=-j\), se tiene:

\[ \frac{1}{200j}=-\frac{j}{200} \]

Entonces:

\[ \frac{1}{Z_{\text{total}}}=\frac{1}{100}-\frac{j}{200} \]

Con denominador común \(200\):

\[ \frac{1}{Z_{\text{total}}}=\frac{2-j}{200} \]

Invertimos:

\[ Z_{\text{total}}=\frac{200}{2-j} \]

Multiplicamos por el conjugado del denominador:

\[ Z_{\text{total}}=\frac{200}{2-j}\cdot\frac{2+j}{2+j} \]

\[ Z_{\text{total}}=\frac{400+200j}{4+1} \]

\[ Z_{\text{total}}=\frac{400+200j}{5} \]

\[ Z_{\text{total}}=80+40j\,\Omega \]

Cada impedancia se representa como un punto o vector en el plano de Gauss:

• \(Z_1=20+40j\) corresponde al punto \((20,40)\).
• \(Z_2=-60-10j\) corresponde al punto \((-60,-10)\).

Sumamos las impedancias:

\[ Z_1+Z_2=(20+40j)+(-60-10j) \]

\[ Z_1+Z_2=(20-60)+(40-10)j \]

\[ Z_1+Z_2=-40+30j \]

La resultante corresponde al punto \((-40,30)\) o al vector desde el origen hasta \((-40,30)\).

Calculamos primero las potencias de \(1+i\):

1. \[ (1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i \]

   \[ (1+i)^3=(1+i)(2i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i \]

   \[ (1+i)^4=(2i)^2=4i^2=-4 \]

   \[ (1+i)^5=(1+i)(-4)=-4-4i \]

   Los resultados son:

   \[ 2i,\quad -2+2i,\quad -4,\quad -4-4i \]

2. Ahora calculamos las potencias de \(1-i\):

   \[ (1-i)^2=1-2i+i^2=1-2i-1=-2i \]

   \[ (1-i)^3=(1-i)(-2i)=-2i+2i^2=-2i-2=-2-2i \]

   \[ (1-i)^4=(-2i)^2=4i^2=-4 \]

   \[ (1-i)^5=(1-i)(-4)=-4+4i \]

   Los resultados son:

   \[ -2i,\quad -2-2i,\quad -4,\quad -4+4i \]

3. Al representar los resultados en el plano complejo, se observa que las potencias se van alejando del origen y van cambiando de dirección.

   Las potencias de \(1+i\) giran en un sentido, mientras que las potencias de \(1-i\) giran en el sentido contrario.

4. Una conjetura razonable es que, al aumentar \(n\), las potencias de \(1+i\) y \(1-i\) seguirán alejándose del origen, ya que su módulo es mayor que \(1\).

   Además, sus direcciones seguirán cambiando de manera regular, formando un patrón parecido a una espiral.

5. Esta parte es más avanzada. La idea principal es que:

   \[ |1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} \]

   Además, el vector que representa a \(1+i\) forma un ángulo de \(45^\circ\) con el eje real.

   Al elevar \(1+i\) a la potencia \(n\), el módulo se eleva a \(n\) y la dirección va rotando de forma regular.

   Por eso las potencias de \(1+i\) se alejan del origen y giran en el plano complejo.

Una posible exploración puede usar, por ejemplo, los números \(2+i\), \(-3+4i\), \(5i\) y \(-6\).

Al calcular en varios casos, se observa que:

\[ z\cdot\overline{z}=|z|^2 \]

Demostremos esta conjetura en general.

Sea:

\[ z=a+bi \]

Entonces:

\[ \overline{z}=a-bi \]

Multiplicamos:

\[ z\cdot\overline{z}=(a+bi)(a-bi) \]

\[ =a^2-abi+abi-b^2i^2 \]

Los términos \(-abi\) y \(abi\) se cancelan:

\[ =a^2-b^2i^2 \]

Como \(i^2=-1\):

\[ =a^2-b^2(-1) \]

\[ =a^2+b^2 \]

Por otra parte:

\[ |z|=\sqrt{a^2+b^2} \]

Entonces:

\[ |z|^2=a^2+b^2 \]

Por lo tanto:

\[ z\cdot\overline{z}=|z|^2 \]

1. Los números complejos que tienen el mismo módulo están a la misma distancia del origen.

   Por ejemplo, si \(|z|=2\), todos esos puntos están a distancia \(2\) del origen.

   Por lo tanto, se ubican sobre una circunferencia con centro en el origen y radio \(2\).

2. Si varios números complejos tienen la misma parte real, entonces todos tienen la misma coordenada horizontal.

   Por ejemplo, los números:

   \[ 3+i,\quad 3+4i,\quad 3-2i \]

   se representan por los puntos:

   \[ (3,1),\quad (3,4),\quad (3,-2) \]

   Estos puntos están sobre una misma recta vertical.

3. Si varios números complejos tienen la misma parte imaginaria, entonces todos tienen la misma coordenada vertical.

   Por ejemplo, los números:

   \[ 1+2i,\quad -3+2i,\quad 5+2i \]

   se representan por los puntos:

   \[ (1,2),\quad (-3,2),\quad (5,2) \]

   Estos puntos están sobre una misma recta horizontal.

4. Una forma sencilla de obtener un producto real es multiplicar un número complejo por su conjugado.

   Por ejemplo:

   \[ (2+3i)(2-3i)=2^2+3^2=13 \]

   Geométricamente, \(2+3i\) y \(2-3i\) son puntos simétricos respecto del eje real.

   En general, si dos números complejos son conjugados, sus vectores tienen la misma distancia al origen y están reflejados respecto del eje real. Al multiplicarlos, el resultado es real y no negativo.

   También puede ocurrir que el producto sea real en otros casos, por ejemplo cuando uno de los números es un múltiplo real del inverso de la dirección del otro. La condición algebraica para que el producto de \(a+bi\) y \(c+di\) sea real es que su parte imaginaria sea cero.

   Como:

   \[ (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i \]

   El producto es real cuando:

   \[ ad+bc=0 \]

Las potencias de \(i\) se repiten cada \(4\):

\[ i^1=i,\qquad i^2=-1,\qquad i^3=-i,\qquad i^4=1 \]

Dividimos \(12345\) por \(4\):

\[ 12345=4\cdot 3086+1 \]

El resto es \(1\), por lo tanto:

\[ i^{12345}=i^1=i \]