Necesidad y Definición de los Números Complejos

¿Por qué necesitamos nuevos números?

Hasta ahora, has trabajado con números reales (enteros, fracciones, decimales, raíces, etc.). Pero hay ecuaciones que *no tienen solución* dentro del conjunto de los números reales. La más famosa es:

\[ x^2 = -1 \]

Ningún número real elevado al cuadrado puede dar un resultado negativo. Para resolver este tipo de ecuaciones, necesitamos un nuevo tipo de número: los *números imaginarios* y, a partir de ellos, los *números complejos*.

La Unidad Imaginaria (i)

Se define la *unidad imaginaria*, representada por la letra 'i', como la raíz cuadrada de -1:

\[ i = \sqrt{-1} \]

Y, por lo tanto:

\[ i^2 = -1 \]

Esta definición, aunque pueda parecer extraña al principio, es *perfectamente consistente* desde el punto de vista matemático y, como veremos, *extremadamente útil*.

Potencias de la Unidad Imaginaria

Las potencias de i son cíclicas, repitiéndose cada cuatro potencias:

• \( i^1 = i \)
• \( i^2 = -1 \)
• \( i^3 = i^2 \cdot i = -1 \cdot i = -i \)
• \( i^4 = i^2 \cdot i^2 = (-1)(-1) = 1 \)
• \( i^5 = i^4 \cdot i = 1 \cdot i = i \)
• \( i^6 = i^4 \cdot i^2 = 1 \cdot (-1) = -1 \)
• ... y así sucesivamente.

Regla general: Para calcular \( i^n \), divide *n* por 4. El *resto* de la división te dirá a qué es equivalente la potencia:

• Resto 0: \( i^n = 1 \)
• Resto 1: \( i^n = i \)
• Resto 2: \( i^n = -1 \)
• Resto 3: \( i^n = -i \)

Ejemplo 1: Simplificar \( i^{15} \)

Dividimos 15 entre 4: 15 ÷ 4 = 3 con resto 3. Por lo tanto, \( i^{15} = i^3 = -i \).

Ejemplo 2: Simplificar \( i^{26} \)

Dividimos 26 entre 4: 26 ÷ 4 = 6 con resto 2. Por lo tanto, \( i^{26} = i^2 = -1 \).

Números Complejos: Forma Binomial

Un número complejo es un número que se puede expresar en la forma:

\[ z = a + bi \]

Donde:

• \( a \) y \( b \) son números reales.
• \( i \) es la unidad imaginaria (\( i = \sqrt{-1} \)).
• \( a \) es la *parte real* de z (Re(z)).
• \( b \) es la *parte imaginaria* de z (Im(z)).

Esta es la forma binomial (o forma cartesiana).

Ejemplos:

• 2 + 3i (parte real = 2, parte imaginaria = 3)
• -5 + i (parte real = -5, parte imaginaria = 1)
• 4 (real = 4, imaginaria = 0. Los reales son un subconjunto de los complejos).
• -6i (real = 0, imaginaria = -6. Son *imaginarios puros*).
• 0 (real = 0, imaginaria = 0)

Igualdad de Números Complejos

Dos números complejos son iguales *si y solo si* sus partes reales son iguales *y* sus partes imaginarias son iguales.

Si \( z_1 = a + bi \) y \( z_2 = c + di \), entonces \( z_1 = z_2 \) si y solo si \( a = c \) y \( b = d \).

Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Identifica la parte real e imaginaria de \( z = -7 + \sqrt{3}i \).

Solución: Parte real = -7, Parte imaginaria = \(\sqrt{3}\).

Ejemplo 2: Escribe en forma binomial el número complejo con parte real 5 e imaginaria -2.

Solución: \( z = 5 - 2i \)

Ejemplo 3: Simplifica \( i^{33} \).

Solución: 33 ÷ 4 = 8, resto 1. Por lo tanto, \( i^{33} = i^1 = i \).

Ejemplo 4: Encuentra *x* e *y* reales tales que: \( (2x + 1) + 5i = 7 + (y - 2)i \)

Solución: Igualamos partes reales e imaginarias:

• 2x + 1 = 7 => 2x = 6 => x = 3
• 5 = y - 2 => y = 7

Ejercicios (Ordenados por Dificultad)

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Representación Gráfica de Números Complejos

El Plano Complejo (Plano de Argand)

Así como representamos los números reales en una recta numérica, podemos representar los números complejos en un *plano*, llamado el plano complejo o plano de Argand.

El plano complejo tiene:

• Un eje horizontal llamado eje real (Re).
• Un eje vertical llamado eje imaginario (Im).

Un número complejo z = a + bi se representa como un *punto* en este plano, donde:

• La coordenada horizontal (en el eje real) es la parte real, *a*.
• La coordenada vertical (en el eje imaginario) es la parte imaginaria, *b*.

Por lo tanto, el número complejo a + bi se representa por el punto (a, b) en el plano complejo.

Ejemplo:

• El número complejo 3 + 2i se representa por el punto (3, 2).
• El número complejo -1 - i se representa por el punto (-1, -1).
• El número real 4 (que es 4 + 0i) se representa por el punto (4, 0) (en el eje real).
• El número imaginario puro 5i (que es 0 + 5i) se representa por el punto (0, 5) (en el eje imaginario).

(En Moodle, aquí insertarías una imagen del plano complejo, con los ejes etiquetados, y algunos puntos de ejemplo representados).

Números Complejos como Vectores

También podemos representar un número complejo como un *vector* que parte del origen (0, 0) y termina en el punto (a, b) que representa al número complejo.

(En Moodle, aquí insertarías una imagen del plano complejo mostrando la representación de un número complejo como punto y como vector).

Esta representación como vector es útil para visualizar la suma y la resta de números complejos, como veremos más adelante.

Ejemplos

Ejemplo 1: Representa en el plano complejo los siguientes números: 2 + 3i, -1 + 2i, -3 - i, 4, -2i

(En Moodle, aquí insertarías una imagen del plano complejo con estos puntos marcados. Para el código HTML, solo describiremos la ubicación):

• 2 + 3i: Punto (2, 3)
• -1 + 2i: Punto (-1, 2)
• -3 - i: Punto (-3, -1)
• 4: Punto (4, 0) (en el eje real)
• -2i: Punto (0, -2) (en el eje imaginario)

Ejercicios

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Ejercicios de Selección Múltiple: Introducción a los Números Complejos

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