1. 3 + 8i
2. 1 - i
3. 4 - 5i
4. 2 + i
5. 2.8 + 0.4i
6. 3/4 + 1/4i

(En Moodle, la solución ideal sería con gráficos. Aquí, describiré los resultados):

1. • Suma: \( z_1 + z_2 = (3+1) + (1+2)i = 4 + 3i \). El vector resultante va desde (0, 0) hasta (4, 3).
   • Resta: \( z_1 - z_2 = (3-1) + (1-2)i = 2 - i \). El vector resultante va desde (0, 0) hasta (2, -1).
2. • Suma: \( z_1 + z_2 = (-2 + 4) + (3 + 1)i = 2 + 4i \)
   • Resta: \( z_1 - z_2 = (-2 - 4) + (3 - 1)i = -6 + 2i \)
3. • Suma: \( z_1 + z_2 = (1 - 3) + (-1 - 2)i = -2 - 3i \)
   • Resta: \( z_1 - z_2 = (1 - (-3)) + (-1 - (-2))i = 4 + i \)

1. z= (5+3i)-(2-i) = (5-2) + (3-(-1))i= 3+4i
2. z= (4+2i) - (1-i)= (4-1) + (2-(-1))i= 3+3i
3. 2z= (3-2i) - (1+i)= (3-1) + (-2-1)i= 2-3i
   Luego z= 1-(3/2)i

• \( \overline{z_1} = a - bi \)
• \( \overline{z_2} = c - di \)
• \( \overline{z_1} + \overline{z_2} = (a - bi) + (c - di) = (a + c) - (b + d)i \)

• \( z_1 + z_2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i \)
• \( \overline{z_1 + z_2} = (a + c) - (b + d)i \)

Por lo tanto, \( \overline{z_1} + \overline{z_2} = \overline{z_1 + z_2} \)

1. \( (1 + i)(3 - 2i) = 3 - 2i + 3i - 2i^2 = 3 + i - 2(-1) = 5 + i \)
2. \( (4 - 3i)(2 + i) = 8 + 4i - 6i - 3i^2 = 8 - 2i - 3(-1) = 11 - 2i \)
3. \( (-2 + i)(-1 - i) = 2 + 2i - i - i^2 = 2 + i - (-1) = 3 + i \)
4. \( (5i)(3 + 2i) = 15i + 10i^2 = 15i + 10(-1) = -10 + 15i \)
5. \( 4(1 - i) = 4 - 4i \)
6. \( (0.5 + i)(2 - 0.4i) = 1 - 0.2i + 2i - 0.4i^2 = 1 + 1.8i - 0.4(-1) = 1.4 + 1.8i \)
7. \( (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i)(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}i - \frac{1}{4}i - \frac{1}{4}i^2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{4}(-1) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \)
8. \( (1 + \sqrt{2}i)(1 - \sqrt{2}i) = 1 - \sqrt{2}i + \sqrt{2}i - 2i^2 = 1 - 2(-1) = 1 + 2 = 3 \)
9. \( (a + bi)(a - bi) = a^2 - abi + abi - b^2i^2 = a^2 - b^2(-1) = a^2 + b^2 \) (Este es un resultado importante: el producto de un número complejo por su conjugado es un número real).

1. \((1 + i)^2 = (1 + i)(1 + i) = 1 + i + i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i \)
2. \((1 + i)^3 = (1 + i)(1 + i)^2 = (1 + i)(2i) = 2i + 2i^2 = 2i - 2 = -2 + 2i \)
3. \((1 + i)^4 = (1 + i)^2(1 + i)^2 = (2i)(2i) = 4i^2 = -4 \)

Primero, expandimos el producto en el lado izquierdo:

(2 + 3i)(x + yi) = 2x + 2yi + 3xi + 3yi² = (2x - 3y) + (2y + 3x)i

Ahora igualamos las partes reales e imaginarias con el lado derecho de la ecuación (1 + i):

• Parte real: 2x - 3y = 1
• Parte imaginaria: 3x + 2y = 1

Tenemos un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Podemos resolverlo por sustitución o eliminación. Aquí usaremos eliminación:

• Multiplicamos la primera ecuación por 2: 4x - 6y = 2
• Multiplicamos la segunda ecuación por 3: 9x + 6y = 3
• Sumamos las dos ecuaciones: 13x = 5 => x = 5/13
• Sustituimos x = 5/13 en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar y. Usando la primera ecuación:
  2(5/13) - 3y = 1
  10/13 - 3y = 1
  -3y = 1 - 10/13 = 3/13
  y = -1/13

Solución: x = 5/13, y = -1/13

1. 4 - 5i
2. -2 + 3i
3. -6i
4. -7
5. \( 1 + \sqrt{2}i \)

1. \( \frac{1+i}{2-i} \cdot \frac{2+i}{2+i} = \frac{2 + i + 2i + i^2}{4 - i^2} = \frac{2 + 3i - 1}{4 - (-1)} = \frac{1 + 3i}{5} = \frac{1}{5} + \frac{3}{5}i \)
2. \( \frac{3 - 2i}{1 + i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i} = \frac{3 - 3i - 2i + 2i^2}{1 - i^2} = \frac{3 - 5i - 2}{1 - (-1)} = \frac{1 - 5i}{2} = \frac{1}{2} - \frac{5}{2}i \)
3. \( \frac{4i}{2 + 3i} \cdot \frac{2 - 3i}{2 - 3i} = \frac{8i - 12i^2}{4 - 9i^2} = \frac{8i + 12}{4 + 9} = \frac{12 + 8i}{13} = \frac{12}{13} + \frac{8}{13}i \)
4. \( \frac{5}{i} \cdot \frac{-i}{-i} = \frac{-5i}{-i^2} = \frac{-5i}{1} = -5i \)
5. \( \frac{2 + i}{2 - i} \cdot \frac{2 + i}{2 + i} = \frac{4 + 2i + 2i + i^2}{4 - i^2} = \frac{4 + 4i - 1}{4 - (-1)} = \frac{3 + 4i}{5} = \frac{3}{5} + \frac{4}{5}i \)

1. \( z = (2 - i)(1 + i) = 2 + 2i - i - i^2 = 2 + i + 1 = 3 + i \)
2. \( z = \frac{2 + 4i}{3 - i} \cdot \frac{3 + i}{3 + i} = \frac{6 + 2i + 12i + 4i^2}{9 - i^2} = \frac{6 + 14i - 4}{9 + 1} = \frac{2 + 14i}{10} = \frac{1}{5} + \frac{7}{5}i \)

\( \frac{1}{i} = -i \)
\( \frac{1}{i^2} = \frac{1}{-1} = -1 \)
\( \frac{1}{i^3} = \frac{1}{-i} = \frac{1}{-i} \cdot \frac{i}{i} = \frac{i}{-i^2} = \frac{i}{1} = i \)
\( \frac{1}{i^4} = \frac{1}{1} = 1 \)
Sumando: -i - 1 + i + 1 = 0

\( \frac{1}{z} = \frac{1}{2 - 3i} = \frac{1}{2 - 3i} \cdot \frac{2 + 3i}{2 + 3i} = \frac{2 + 3i}{4 - 9i^2} = \frac{2 + 3i}{4 + 9} = \frac{2 + 3i}{13} = \frac{2}{13} + \frac{3}{13}i \)

Respuesta correcta: a) 3 - 2i

Desarrollo: (2 + 3i) + (1 - 5i) = (2 + 1) + (3 - 5)i = 3 - 2i

Respuesta correcta: b) 2 - 4i

Desarrollo: (4 - i) - (2 + 3i) = (4 - 2) + (-1 - 3)i = 2 - 4i

Respuesta correcta: b) 3 + i

Desarrollo: (1 + i)(2 - i) = 2 - i + 2i - i² = 2 + i - (-1) = 3 + i

Respuesta correcta: c) 13

Desarrollo: (3 - 2i)(3 + 2i) = 9 + 6i - 6i - 4i² = 9 - 4(-1) = 9 + 4 = 13

Respuesta correcta: b) 1-i

Desarrollo: \( \frac{1 + i}{i} \cdot \frac{-i}{-i} = \frac{-i - i^2}{-i^2} = \frac{-i + 1}{1} = 1 - i \)

Respuesta correcta: a) \( \frac{1}{2} - \frac{3}{2}i \)

Desarrollo: \( \frac{2 - i}{1 + i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i} = \frac{2 - 2i - i + i^2}{1 - i^2} = \frac{2 - 3i - 1}{1 - (-1)} = \frac{1 - 3i}{2} = \frac{1}{2} - \frac{3}{2}i \)

Respuesta correcta: b) -4 - 3i

Respuesta correcta: a) 4

Desarrollo: Si z = 2 - i, entonces \(\bar{z}\) = 2 + i. La suma es (2 - i) + (2 + i) = 4.

Respuesta correcta: d) 2i

Desarrollo: (1 + i)² = (1 + i)(1 + i) = 1 + i + i + i² = 1 + 2i - 1 = 2i

Respuesta correcta: c) 5

Desarrollo: |z| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5

Respuesta correcta: a) -2 - 2i

Desarrollo:

• z² = (1 - i)(1 - i) = 1 - i - i + i² = 1 - 2i - 1 = -2i
• z³ = z * z² = (1 - i)(-2i) = -2i + 2i² = -2i - 2 = -2 - 2i

Respuesta correcta: c) √5

Desarrollo: Distancia = |z₁ - z₂| = |(2 + i) - (1 - i)| = |1 + 2i| = √(1² + 2²) = √5

Respuesta correcta: b) Segundo cuadrante.

Explicación: La parte real es negativa (-3) y la parte imaginaria es positiva (4). Esto corresponde al segundo cuadrante.

Respuesta correcta: b) -5

Explicación: La distancia al origen es el módulo. Calculamos los módulos:

• |3 + 4i| = √(3² + 4²) = √25 = 5
• |-5| = 5
• |4i| = √(0² + 4²) = 4
• |-2 - 4i| = √((-2)² + (-4)²) = √20
• \(|1+i \cdot \sqrt{5} = \sqrt{1^2 + \sqrt{5}^2} = \sqrt{6} \)

Si bien a y b tienen el mismo modulo, solo b es un numero real.

Respuesta correcta: c) Un número complejo.

Explicación: La suma de dos números complejos se realiza sumando las partes reales y las partes imaginarias por separado, resultando en general otro número complejo (que podría ser real o imaginario puro como casos especiales).