Módulo de un Número Complejo

Repaso: Representación Gráfica

Recordemos que un número complejo z = a + bi se puede representar como un punto (a, b) en el plano complejo, o como un vector desde el origen hasta ese punto.

Definición Geométrica del Módulo

El *módulo* de un número complejo, denotado por |z|, es la *distancia* desde el origen (0, 0) hasta el punto (a, b) que representa al número complejo en el plano.

(En Moodle, aquí insertarías una imagen del plano complejo, mostrando un número complejo z = a + bi como un punto, y el segmento desde el origen hasta ese punto, etiquetado como |z|).

Definición Algebraica del Módulo

Usando el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo formado por la parte real, la parte imaginaria y el módulo (ver la imagen), podemos obtener una fórmula para calcular el módulo:

\[ |z| = |a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2} \]

Importante:

• El módulo de un número complejo es siempre un número real *no negativo*.
• El módulo representa una *distancia*, por lo que nunca puede ser negativo.
• El módulo de un número complejo *real* es simplemente su valor absoluto.

Ejemplo 1: Calcula el módulo de z = 3 + 4i

\[ |z| = |3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

Ejemplo 2: Calcula el módulo de z = -2 - i

\[ |z| = |-2 - i| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \]

Ejemplo 3: Calcula el módulo de z = 5i

\[ |z| = |5i| = |0 + 5i| = \sqrt{0^2 + 5^2} = \sqrt{25} = 5 \]

Ejemplo 4: Calcula el módulo de z = -3

\[ |z| = |-3| = |-3 + 0i| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3 \]

Ejercicios

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Conjugado y Distancia entre Números Complejos

Repaso: Conjugado

El *conjugado* de un número complejo \( z = a + bi \) se denota por \( \bar{z} \) (o a veces z*) y se obtiene cambiando el signo de la parte imaginaria:

\[ \bar{z} = a - bi \]

Geométricamente, el conjugado es una *reflexión* del número complejo original con respecto al eje real en el plano complejo.

Propiedades del Conjugado

El conjugado tiene varias propiedades importantes:

1. El conjugado del conjugado es el número original: \( \overline{(\bar{z})} = z \)
2. La suma de un número complejo y su conjugado es un número real: \( z + \bar{z} = (a + bi) + (a - bi) = 2a \) (el doble de la parte real).
3. La diferencia entre un número complejo y su conjugado es un número imaginario puro: \( z - \bar{z} = (a + bi) - (a - bi) = 2bi \) (el doble de la parte imaginaria multiplicada por *i*).
4. El producto de un número complejo y su conjugado es un número real y no negativo: \( z \cdot \bar{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2 = |z|^2 \) (esto lo vimos en la página anterior).
5. El conjugado de una suma es la suma de los conjugados: \( \overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2} \)
6. El conjugado de una resta es la resta de los conjugados: \( \overline{z_1 - z_2} = \overline{z_1} - \overline{z_2} \)
7. El conjugado de un producto es el producto de los conjugados: \( \overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2} \)
8. El conjugado de un cociente es el cociente de los conjugados: \( \overline{(\frac{z_1}{z_2})} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}} \) (siempre que \( z_2 \neq 0 \)).

Ejemplos:

• Si z = 2 + 3i, entonces \(\bar{z}\)= 2-3i, \( \overline{(\bar{z})} = 2 + 3i = z \)
• Si z = 2 + 3i, entonces \(z + \bar{z} = (2+3i) + (2-3i)= 4\)

Distancia entre Números Complejos

La distancia entre dos números complejos \( z_1 = a + bi \) y \( z_2 = c + di \) en el plano complejo se calcula como el *módulo de su diferencia*:

\[ \text{Distancia}(z_1, z_2) = |z_1 - z_2| = |(a + bi) - (c + di)| = |(a - c) + (b - d)i| = \sqrt{(a - c)^2 + (b - d)^2} \]

Esta fórmula es análoga a la fórmula de la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano.

(En Moodle, insertar una imagen que muestre dos números complejos en el plano, el segmento que los une, y la expresión \( |z_1 - z_2| \) para representar la distancia).

Ejemplo: Calcula la distancia entre z₁ = 1 + i y z₂ = 4 + 5i.

• \( z_1 - z_2 = (1 + i) - (4 + 5i) = (1 - 4) + (1 - 5)i = -3 - 4i \)
• \( |z_1 - z_2| = |-3 - 4i| = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)

La distancia entre los dos números complejos es 5.

Ejercicios

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Ejercicios de Selección Múltiple - Módulo, Conjugado y Distancia

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