Ecuaciones Logaritmicas
| Sitio: | MATEMÁTICAS × Profe Arauco |
| Curso: | Media 3 |
| Libro: | Ecuaciones Logaritmicas |
| Imprimido por: | Invitado |
| Día: | jueves, 23 de julio de 2026, 20:04 |
Descripción
Tabla de contenidos
- 1. Restricciones antes de resolver ecuaciones logarítmicas
- 2. Nivel 1: Definición y Ecuaciones Básicas
- 3. Interpretación gráfica de ecuaciones logarítmicas
- 4. Nivel 2: Aplicación de Propiedades
- 5. Nivel 3: Logaritmos en Ambos Lados
- 6. Nivel 4: Verificación y Soluciones Extrañas
- 7. Aplicaciones de Ecuaciones Logarítmicas
1. Restricciones antes de resolver ecuaciones logarítmicas
Objetivos
- Determinar restricciones de dominio antes de resolver una ecuación logarítmica.
- Reconocer por qué pueden aparecer soluciones extrañas.
- Verificar soluciones en el contexto original de la ecuación.
Primero el dominio
En una ecuación logarítmica, cada argumento de logaritmo debe ser positivo. Por eso conviene escribir las restricciones antes de aplicar propiedades o transformar la ecuación.
Regla de trabajo
- Identifica cada argumento logarítmico.
- Exige que cada argumento sea positivo.
- Resuelve la ecuación.
- Verifica que las soluciones cumplan las restricciones.
Ejemplo 1: restricción simple
Resuelve \(\log(x-2)=1\).
Restricción:
\[ x-2>0 \Rightarrow x>2 \]
Resolución:
\[ \log(x-2)=1 \Rightarrow x-2=10^1 \]
\[ x=12 \]
Como \(12>2\), la solución es válida.
Ejemplo 2: una solución que se descarta
Considera la ecuación \(\log(x-1)+\log(x+2)=\log(4)\).
Restricciones:
\[ x-1>0 \Rightarrow x>1 \]
\[ x+2>0 \Rightarrow x>-2 \]
Ambas se resumen en \(x>1\).
Usando propiedades:
\[ \log((x-1)(x+2))=\log(4) \]
\[ (x-1)(x+2)=4 \]
\[ x^2+x-2=4 \]
\[ x^2+x-6=0 \]
\[ (x+3)(x-2)=0 \]
Las posibles soluciones son \(x=-3\) y \(x=2\). Pero solo \(x=2\) cumple \(x>1\). Por lo tanto, la solución válida es \(x=2\).
Ejercicio 1
Escribe la restricción de \(\log(x+7)=2\) y resuelve.
Restricción:
\[ x+7>0 \Rightarrow x>-7 \]
Resolución:
\[ x+7=10^2=100 \]
\[ x=93 \]
Como \(93>-7\), la solución es válida.
Ejercicio 2
Determina las restricciones de \(\log(x-4)+\log(x+1)=2\).
Se requiere:
\[ x-4>0 \Rightarrow x>4 \]
\[ x+1>0 \Rightarrow x>-1 \]
Ambas condiciones se resumen en \(x>4\).
Ejercicio 3
Resuelve \(\log(x)=\log(2x-3)\), indicando la restricción.
Restricciones:
\[ x>0,\qquad 2x-3>0 \Rightarrow x>\frac{3}{2} \]
Entonces \(x>\frac{3}{2}\).
Como los logaritmos tienen la misma base:
\[ x=2x-3 \]
\[ x=3 \]
Como \(3>\frac{3}{2}\), la solución es válida.
Ejercicio 4
Explica por qué no basta resolver algebraicamente una ecuación logarítmica sin verificar.
Porque al aplicar propiedades o transformar la ecuación pueden aparecer valores que no pertenecen al dominio original. Si algún argumento queda en cero o negativo, la solución debe descartarse.
Atención
Las propiedades de logaritmos solo se aplican cuando los argumentos involucrados son positivos. La restricción no es un detalle final: es parte de la ecuación original.
2. Nivel 1: Definición y Ecuaciones Básicas
Ecuaciones logarítmicas – Nivel 1: definición y ecuaciones básicas
Inicio
Bienvenido/a a la unidad de ecuaciones logarítmicas. En este primer nivel, abordaremos el tipo más fundamental de ecuación, donde la clave para resolverla es entender y aplicar la definición de logaritmo.
La definición clave
Un logaritmo es la operación inversa a una potencia. La expresión \(\log_b(y)=x\) es equivalente a decir que \(b^x=y\).
En palabras:
Es decir, la base elevada al resultado es igual al argumento.
Procedimiento
- Identifica la base, el argumento y el resultado del logaritmo.
- Aplica la definición para reescribir la ecuación en forma exponencial.
- Resuelve la ecuación resultante para encontrar el valor de \(x\).
- Verifica las restricciones del logaritmo.
Restricciones del logaritmo
En \(\log_b(y)\), la base \(b\) y el argumento \(y\) deben cumplir:
- La base debe ser positiva y distinta de \(1\): \(b>0\) y \(b\neq 1\).
- El argumento debe ser positivo: \(y>0\).
Esto es especialmente importante cuando la incógnita \(x\) aparece en la base o en el argumento.
Ejemplos resueltos paso a paso
Ejemplo A: \(\log_2(x)=5\)
Identificamos:
- base: \(2\),
- argumento: \(x\),
- resultado: \(5\).
Aplicamos la definición:
\[ \log_2(x)=5 \quad\Longleftrightarrow\quad 2^5=x \]
Calculamos:
\[ x=32 \]
La solución es \(x=32\).
Ejemplo B: \(\log_x(49)=2\)
En este caso, la incógnita está en la base del logaritmo.
Aplicamos la definición:
\[ \log_x(49)=2 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2=49 \]
Resolvemos:
\[ x=\pm\sqrt{49} \]
\[ x=7 \quad \text{o} \quad x=-7 \]
Como la base de un logaritmo debe ser positiva y distinta de \(1\), descartamos \(x=-7\).
La única solución válida es \(x=7\).
Ejemplo C: \(\log_3(2x+1)=4\)
Aplicamos la definición:
\[ \log_3(2x+1)=4 \quad\Longleftrightarrow\quad 3^4=2x+1 \]
Calculamos y despejamos:
\[ 81=2x+1 \]
\[ 80=2x \]
\[ x=40 \]
Verificamos la restricción del argumento:
\[ 2x+1>0 \]
Para \(x=40\):
\[ 2(40)+1=81>0 \]
La solución es \(x=40\).
Ejercicios propuestos
Ejercicio 1
Resuelve \(\log_4(x)=3\).
Aplicamos la definición de logaritmo:
\[ \log_4(x)=3 \quad\Longleftrightarrow\quad 4^3=x \]
Calculamos:
\[ x=64 \]
Como \(x=64>0\), el argumento es válido.
La solución es \(x=64\).
Ejercicio 2
Resuelve \(\log_5(x)=2\).
Aplicamos la definición:
\[ \log_5(x)=2 \quad\Longleftrightarrow\quad 5^2=x \]
Entonces:
\[ x=25 \]
La solución es \(x=25\).
Ejercicio 3
Resuelve \(\log_x(100)=2\).
Aplicamos la definición:
\[ \log_x(100)=2 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2=100 \]
Resolvemos:
\[ x=\pm 10 \]
Como \(x\) es la base del logaritmo, debe cumplir \(x>0\) y \(x\neq 1\). Por eso se descarta \(x=-10\).
La solución válida es \(x=10\).
Ejercicio 4
Resuelve \(\log_{10}(x+1)=3\).
Aplicamos la definición:
\[ \log_{10}(x+1)=3 \quad\Longleftrightarrow\quad 10^3=x+1 \]
Calculamos:
\[ 1000=x+1 \]
Despejamos:
\[ x=999 \]
Verificamos el argumento:
\[ x+1=1000>0 \]
La solución es \(x=999\).
Ejercicio 5
Resuelve \(\log_2(32)=x\).
Aplicamos la definición:
\[ \log_2(32)=x \quad\Longleftrightarrow\quad 2^x=32 \]
Escribimos \(32\) como potencia de \(2\):
\[ 32=2^5 \]
Entonces:
\[ 2^x=2^5 \]
Por lo tanto, \(x=5\).
Ejercicio 6
Resuelve \(\log_x(81)=4\).
Aplicamos la definición:
\[ \log_x(81)=4 \quad\Longleftrightarrow\quad x^4=81 \]
Como \(81=3^4\), las soluciones algebraicas son:
\[ x=3 \quad \text{o} \quad x=-3 \]
Pero \(x\) es base del logaritmo, por lo que debe ser positiva y distinta de \(1\). Descartamos \(x=-3\).
La solución válida es \(x=3\).
Ejercicio 7
Resuelve \(\log_7(x)=1\).
Aplicamos la definición:
\[ \log_7(x)=1 \quad\Longleftrightarrow\quad 7^1=x \]
Entonces:
\[ x=7 \]
La solución es \(x=7\).
Ejercicio 8
Resuelve \(\log_3(2x-1)=2\).
Aplicamos la definición:
\[ \log_3(2x-1)=2 \quad\Longleftrightarrow\quad 3^2=2x-1 \]
Calculamos:
\[ 9=2x-1 \]
Despejamos:
\[ 10=2x \]
\[ x=5 \]
Verificamos el argumento:
\[ 2(5)-1=9>0 \]
La solución es \(x=5\).
Ejercicio 9
Resuelve \(\log_x(64)=3\).
Aplicamos la definición:
\[ \log_x(64)=3 \quad\Longleftrightarrow\quad x^3=64 \]
Como \(64=4^3\), se obtiene:
\[ x=4 \]
Además, \(x=4\) cumple que la base es positiva y distinta de \(1\).
La solución es \(x=4\).
Ejercicio 10
Resuelve \(\log(x)=-2\).
Cuando aparece \(\log(x)\) sin base escrita, se entiende base \(10\):
\[ \log(x)=\log_{10}(x) \]
Aplicamos la definición:
\[ \log_{10}(x)=-2 \quad\Longleftrightarrow\quad 10^{-2}=x \]
Calculamos:
\[ x=\frac{1}{100}=0{,}01 \]
La solución es \(x=0{,}01\).
3. Interpretación gráfica de ecuaciones logarítmicas
Objetivos
- Interpretar ecuaciones logarítmicas como intersecciones de gráficas.
- Relacionar solución algebraica y solución gráfica.
- Usar la representación cartesiana para estimar o verificar soluciones.
Resolver también es intersectar
Una ecuación como \(\log_2(x)=3\) puede verse como una intersección entre dos gráficas:
- la curva \(y=\log_2(x)\);
- la recta horizontal \(y=3\).
La coordenada \(x\) del punto de intersección es la solución de la ecuación.
Visualización con Cartesiano
La solución de \(\log_2(x)=3\) aparece en el punto \((8,3)\).
Ejemplo 1: solución algebraica y gráfica
Resuelve \(\log_2(x)=3\).
Algebraicamente:
\[ \log_2(x)=3 \Longleftrightarrow x=2^3 \]
\[ x=8 \]
Gráficamente, esto coincide con la intersección de \(y=\log_2(x)\) e \(y=3\), que ocurre en \((8,3)\).
La solución es \(x=8\).
Ejemplo 2: ecuación con desplazamiento
Resuelve \(\log(x-1)=2\), donde \(\log\) es decimal.
Restricción:
\[ x-1>0 \]
\[ x>1 \]
Resolución:
\[ \log(x-1)=2 \Longleftrightarrow x-1=10^2 \]
\[ x-1=100 \]
\[ x=101 \]
Gráficamente, la solución es la coordenada \(x\) donde la curva \(y=\log(x-1)\) alcanza la altura \(2\).
La solución es \(x=101\), y cumple la restricción \(x>1\).
Ejercicio 1
Resuelve \(\log_3(x)=2\) e interpreta la solución como una intersección.
Usamos la equivalencia entre forma logarítmica y forma exponencial:
\[ \log_3(x)=2 \Longleftrightarrow x=3^2 \]
\[ x=9 \]
Gráficamente, la solución corresponde a la intersección entre \(y=\log_3(x)\) y la recta horizontal \(y=2\).
La intersección ocurre en el punto \((9,2)\), por lo tanto la solución es \(x=9\).
Ejercicio 2
Resuelve \(\log(x+4)=1\) e indica la restricción.
Restricción:
El argumento del logaritmo debe ser positivo:
\[ x+4>0 \]
\[ x>-4 \]
Resolución:
Como \(\log\) es decimal:
\[ \log(x+4)=1 \Longleftrightarrow x+4=10^1 \]
\[ x+4=10 \]
\[ x=6 \]
La solución es \(x=6\), y cumple la restricción \(x>-4\).
Ejercicio 3
¿Qué recta horizontal se usa para interpretar gráficamente la ecuación \(\log_5(x)=4\)?
En una ecuación de la forma:
\[ \log_5(x)=4 \]
se compara la curva \(y=\log_5(x)\) con la recta horizontal cuyo valor de \(y\) es \(4\).
\[ y=4 \]
Se usa la recta horizontal \(y=4\). La solución es la coordenada \(x\) donde \(y=\log_5(x)\) intersecta esa recta.
Ejercicio 4
Explica por qué la gráfica puede ayudar a detectar que una solución no pertenece al dominio.
Una función logarítmica solo existe cuando su argumento es positivo.
Por ejemplo, en una función como \(y=\log(x-1)\), se exige:
\[ x-1>0 \]
\[ x>1 \]
La gráfica muestra esta restricción porque solo aparece a un lado de su asíntota vertical. Si una solución algebraica queda fuera de esa zona, no pertenece al dominio de la función original.
La gráfica ayuda a verificar si la solución está dentro del dominio permitido.
Para recordar
Una ecuación logarítmica puede resolverse algebraicamente, pero la gráfica ayuda a interpretar qué significa la solución y a verificar si está en el dominio de la función.
4. Nivel 2: Aplicación de Propiedades
Ecuaciones logarítmicas – Nivel 2: aplicación de propiedades
Inicio
En este nivel, las ecuaciones contienen más de un término logarítmico. Para resolverlas, primero debemos usar las propiedades de los logaritmos para combinar estos términos en un solo logaritmo.
Propiedades de los logaritmos
El objetivo es usar estas reglas para simplificar la ecuación. Generalmente, conviene combinar varios logaritmos en uno solo.
- Suma a producto: \[ \log_b(A)+\log_b(B)=\log_b(A\cdot B) \]
- Resta a cociente: \[ \log_b(A)-\log_b(B)=\log_b\left(\frac{A}{B}\right) \]
- Coeficiente a potencia: \[ n\cdot \log_b(A)=\log_b(A^n) \]
Procedimiento
- Usa las propiedades para combinar los términos logarítmicos.
- Resuelve la ecuación simplificada, usando definición o igualación de argumentos.
- Verifica las soluciones en la ecuación original.
- Descarta cualquier valor que haga que algún argumento sea menor o igual que \(0\).
Verificar no es opcional
Al usar propiedades como \(\log(A)+\log(B)=\log(A\cdot B)\), pueden aparecer soluciones que sirven para la ecuación transformada, pero no para la ecuación original.
Por eso, siempre se deben comprobar los argumentos de los logaritmos en la ecuación inicial.
Ejemplos resueltos paso a paso
Ejemplo A: suma de logaritmos
Resuelve:
\[ \log_2(x)+\log_2(x-2)=3 \]
Primero, establecemos las restricciones:
\[ x>0 \qquad\text{y}\qquad x-2>0 \]
Por lo tanto:
\[ x>2 \]
Combinamos los logaritmos usando la propiedad de la suma:
\[ \log_2(x(x-2))=3 \]
\[ \log_2(x^2-2x)=3 \]
Aplicamos la definición de logaritmo:
\[ x^2-2x=2^3 \]
\[ x^2-2x=8 \]
\[ x^2-2x-8=0 \]
Factorizamos:
\[ (x-4)(x+2)=0 \]
Entonces:
\[ x=4 \qquad\text{o}\qquad x=-2 \]
Verificamos con la restricción \(x>2\):
- \(x=4\) es válido.
- \(x=-2\) no es válido, porque genera argumentos negativos.
La única solución es \(x=4\).
Propiedad de igualación
Si se tiene un solo logaritmo de la misma base a cada lado, entonces se pueden igualar los argumentos:
\[ \log_b(A)=\log_b(B) \quad\Longrightarrow\quad A=B \]
Esto se usa siempre verificando que los argumentos originales sean positivos.
Ejemplo B: resta e igualación
Resuelve:
\[ \log(x+6)-\log(x)=\log(5) \]
Primero, establecemos las restricciones:
\[ x+6>0 \qquad\text{y}\qquad x>0 \]
La condición más restrictiva es:
\[ x>0 \]
Combinamos usando la propiedad de la resta:
\[ \log\left(\frac{x+6}{x}\right)=\log(5) \]
Como hay un logaritmo de la misma base a cada lado, igualamos argumentos:
\[ \frac{x+6}{x}=5 \]
Resolvemos:
\[ x+6=5x \]
\[ 6=4x \]
\[ x=\frac{6}{4}=\frac{3}{2} \]
Verificamos:
\[ \frac{3}{2}>0 \]
\[ \frac{3}{2}+6=\frac{15}{2}>0 \]
La solución es \(x=\frac{3}{2}\).
Ejercicios propuestos
Ejercicio 11
Resuelve \(\log(x)+\log(3)=\log(6)\).
Restricción inicial:
\[ x>0 \]
Combinamos los logaritmos del lado izquierdo:
\[ \log(3x)=\log(6) \]
Igualamos argumentos:
\[ 3x=6 \]
\[ x=2 \]
Como \(2>0\), la solución cumple la restricción.
La solución es \(x=2\).
Ejercicio 12
Resuelve \(\ln(x+1)-\ln(x)=\ln(2)\).
Restricciones:
\[ x+1>0 \qquad\text{y}\qquad x>0 \]
Por lo tanto:
\[ x>0 \]
Aplicamos la propiedad de la resta:
\[ \ln\left(\frac{x+1}{x}\right)=\ln(2) \]
Igualamos argumentos:
\[ \frac{x+1}{x}=2 \]
\[ x+1=2x \]
\[ x=1 \]
Como \(1>0\), la solución es válida.
La solución es \(x=1\).
Ejercicio 13
Resuelve \(2\log(x)=\log(25)\).
Restricción inicial:
\[ x>0 \]
Usamos la propiedad del coeficiente:
\[ 2\log(x)=\log(x^2) \]
Entonces:
\[ \log(x^2)=\log(25) \]
Igualamos argumentos:
\[ x^2=25 \]
\[ x=5 \qquad\text{o}\qquad x=-5 \]
Como el argumento original es \(x\), debe cumplirse \(x>0\).
Se descarta \(x=-5\). La solución es \(x=5\).
Ejercicio 14
Resuelve \(\log_4(x)+\log_4(x-6)=2\).
Restricciones:
\[ x>0 \qquad\text{y}\qquad x-6>0 \]
Por lo tanto:
\[ x>6 \]
Combinamos los logaritmos:
\[ \log_4(x(x-6))=2 \]
\[ \log_4(x^2-6x)=2 \]
Aplicamos definición:
\[ x^2-6x=4^2 \]
\[ x^2-6x=16 \]
\[ x^2-6x-16=0 \]
Factorizamos:
\[ (x-8)(x+2)=0 \]
\[ x=8 \qquad\text{o}\qquad x=-2 \]
Verificamos con \(x>6\).
Se descarta \(x=-2\). La solución es \(x=8\).
Ejercicio 15
Resuelve \(\log_6(2x-3)=\log_6(12)-\log_6(3)\).
Restricción inicial:
\[ 2x-3>0 \]
\[ x>\frac{3}{2} \]
Combinamos los logaritmos del lado derecho:
\[ \log_6(12)-\log_6(3)=\log_6\left(\frac{12}{3}\right) \]
\[ \log_6(2x-3)=\log_6(4) \]
Igualamos argumentos:
\[ 2x-3=4 \]
\[ 2x=7 \]
\[ x=\frac{7}{2} \]
Como \(\frac{7}{2}>\frac{3}{2}\), la solución es válida.
La solución es \(x=\frac{7}{2}\).
Ejercicio 16
Resuelve \(3\ln(x)=\ln(8)\).
Restricción inicial:
\[ x>0 \]
Usamos la propiedad del coeficiente:
\[ 3\ln(x)=\ln(x^3) \]
Entonces:
\[ \ln(x^3)=\ln(8) \]
Igualamos argumentos:
\[ x^3=8 \]
\[ x=2 \]
Como \(2>0\), la solución es válida.
La solución es \(x=2\).
Ejercicio 17
Resuelve \(\log(x+21)+\log(x)=2\).
Como \(\log\) sin base escrita corresponde a base \(10\), se tiene:
\[ 2=\log(100) \]
Restricciones:
\[ x+21>0 \qquad\text{y}\qquad x>0 \]
Por lo tanto:
\[ x>0 \]
Combinamos:
\[ \log(x(x+21))=2 \]
Aplicamos definición:
\[ x(x+21)=10^2 \]
\[ x^2+21x=100 \]
\[ x^2+21x-100=0 \]
Factorizamos:
\[ (x+25)(x-4)=0 \]
\[ x=-25 \qquad\text{o}\qquad x=4 \]
Verificamos con \(x>0\).
Se descarta \(x=-25\). La solución es \(x=4\).
Ejercicio 18
Resuelve \(\log_2(x^2)-\log_2(x-2)=3\).
Restricciones:
\[ x^2>0 \qquad\text{y}\qquad x-2>0 \]
Por lo tanto:
\[ x>2 \]
Aplicamos la propiedad de la resta:
\[ \log_2\left(\frac{x^2}{x-2}\right)=3 \]
Aplicamos la definición:
\[ \frac{x^2}{x-2}=2^3 \]
\[ \frac{x^2}{x-2}=8 \]
\[ x^2=8(x-2) \]
\[ x^2=8x-16 \]
\[ x^2-8x+16=0 \]
\[ (x-4)^2=0 \]
\[ x=4 \]
Como \(4>2\), la solución es válida.
La solución es \(x=4\).
Ejercicio 19
Resuelve \(\log_5(x+1)+\log_5(x-3)=1\).
Restricciones:
\[ x+1>0 \qquad\text{y}\qquad x-3>0 \]
Por lo tanto:
\[ x>3 \]
Combinamos los logaritmos:
\[ \log_5((x+1)(x-3))=1 \]
Aplicamos definición:
\[ (x+1)(x-3)=5^1 \]
\[ x^2-2x-3=5 \]
\[ x^2-2x-8=0 \]
Factorizamos:
\[ (x-4)(x+2)=0 \]
\[ x=4 \qquad\text{o}\qquad x=-2 \]
Verificamos con \(x>3\).
Se descarta \(x=-2\). La solución es \(x=4\).
Ejercicio 20
Resuelve \(\dfrac{\log(x^3)}{\log(x)}=3\).
Primero revisamos las restricciones.
Para que \(\log(x^3)\) y \(\log(x)\) existan, debe cumplirse:
\[ x>0 \]
Además, como \(\log(x)\) está en el denominador, no puede ser cero:
\[ \log(x)\neq 0 \]
Esto implica:
\[ x\neq 1 \]
Usamos la propiedad de la potencia:
\[ \log(x^3)=3\log(x) \]
Entonces:
\[ \frac{\log(x^3)}{\log(x)} = \frac{3\log(x)}{\log(x)} \]
Como \(\log(x)\neq 0\), se puede simplificar:
\[ \frac{3\log(x)}{\log(x)}=3 \]
La ecuación se cumple para todo \(x>0\), con \(x\neq 1\).
5. Nivel 3: Logaritmos en Ambos Lados
Ecuaciones logarítmicas – Nivel 3: propiedad de igualdad
Inicio
En este nivel nos encontramos con ecuaciones que, tras simplificarlas, toman la forma \(\log_b(P)=\log_b(Q)\). Son directas de resolver una vez que se alcanza esa estructura.
Propiedad de igualdad de logaritmos
Si dos logaritmos con la misma base son iguales, entonces sus argumentos deben ser iguales.
Esto permite transformar una ecuación logarítmica en una ecuación algebraica más sencilla.
Procedimiento
- Usa propiedades si es necesario para obtener un solo logaritmo a cada lado.
- Una vez que tengas la forma \(\log_b(P)=\log_b(Q)\), iguala los argumentos: \(P=Q\).
- Resuelve la ecuación resultante para \(x\).
- Verifica las soluciones en la ecuación original.
Verificar sigue siendo necesario
Aunque la propiedad de igualdad permite resolver de forma rápida, siempre se deben revisar los argumentos de los logaritmos en la ecuación original.
Cada argumento debe ser positivo. Si una solución hace que algún argumento sea menor o igual que \(0\), debe descartarse.
Ejemplos resueltos paso a paso
Ejemplo A: igualdad directa
Resuelve:
\[ \ln(3x-1)=\ln(x+5) \]
Como ambos logaritmos tienen la misma base, igualamos argumentos:
\[ 3x-1=x+5 \]
Resolvemos:
\[ 2x=6 \]
\[ x=3 \]
Verificamos en la ecuación original:
- \(3(3)-1=8>0\),
- \(3+5=8>0\).
La solución válida es \(x=3\).
Ejemplo B: igualdad después de usar propiedades
Resuelve:
\[ \log(x)+\log(3)=\log(x+4) \]
Primero, combinamos los logaritmos del lado izquierdo:
\[ \log(3x)=\log(x+4) \]
Ahora igualamos argumentos:
\[ 3x=x+4 \]
Resolvemos:
\[ 2x=4 \]
\[ x=2 \]
Verificamos los argumentos originales:
- \(x=2>0\),
- \(3>0\),
- \(x+4=6>0\).
La solución válida es \(x=2\).
Ejercicios propuestos
Ejercicio 21
Resuelve \(\log_5(2x+3)=\log_5(11)\).
Como los logaritmos tienen la misma base, igualamos argumentos:
\[ 2x+3=11 \]
\[ 2x=8 \]
\[ x=4 \]
Verificamos:
\[ 2(4)+3=11>0 \]
La solución es \(x=4\).
Ejercicio 22
Resuelve \(\log(4x)=\log(x+9)\).
Igualamos argumentos:
\[ 4x=x+9 \]
\[ 3x=9 \]
\[ x=3 \]
Verificamos:
\[ 4(3)=12>0 \qquad\text{y}\qquad 3+9=12>0 \]
La solución es \(x=3\).
Ejercicio 23
Resuelve \(\ln(x^2+3)=\ln(4x)\).
Igualamos argumentos:
\[ x^2+3=4x \]
\[ x^2-4x+3=0 \]
Factorizamos:
\[ (x-1)(x-3)=0 \]
\[ x=1 \qquad\text{o}\qquad x=3 \]
Verificamos los argumentos:
- Para \(x=1\), \(x^2+3=4>0\) y \(4x=4>0\).
- Para \(x=3\), \(x^2+3=12>0\) y \(4x=12>0\).
Las soluciones son \(x=1\) y \(x=3\).
Ejercicio 24
Resuelve \(\log(x+5)+\log(2)=\log(3x+1)\).
Combinamos los logaritmos del lado izquierdo:
\[ \log(2(x+5))=\log(3x+1) \]
Igualamos argumentos:
\[ 2(x+5)=3x+1 \]
\[ 2x+10=3x+1 \]
\[ x=9 \]
Verificamos:
\[ 9+5=14>0 \qquad\text{y}\qquad 3(9)+1=28>0 \]
La solución es \(x=9\).
Ejercicio 25
Resuelve \(2\log(x)=\log(4x-4)\).
Usamos la propiedad del coeficiente:
\[ 2\log(x)=\log(x^2) \]
Entonces:
\[ \log(x^2)=\log(4x-4) \]
Igualamos argumentos:
\[ x^2=4x-4 \]
\[ x^2-4x+4=0 \]
\[ (x-2)^2=0 \]
\[ x=2 \]
Verificamos:
\[ x=2>0 \qquad\text{y}\qquad 4(2)-4=4>0 \]
La solución es \(x=2\).
Ejercicio 26
Resuelve \(\log_7(6x-2)=\log_7(2x+6)\).
Igualamos argumentos:
\[ 6x-2=2x+6 \]
\[ 4x=8 \]
\[ x=2 \]
Verificamos:
\[ 6(2)-2=10>0 \qquad\text{y}\qquad 2(2)+6=10>0 \]
La solución es \(x=2\).
Ejercicio 27
Resuelve \(\log_2(x+1)-\log_2(x)=\log_2\left(\frac{3}{2}\right)\).
Primero establecemos restricciones:
\[ x+1>0 \qquad\text{y}\qquad x>0 \]
Por lo tanto, \(x>0\).
Combinamos los logaritmos del lado izquierdo:
\[ \log_2\left(\frac{x+1}{x}\right)=\log_2\left(\frac{3}{2}\right) \]
Igualamos argumentos:
\[ \frac{x+1}{x}=\frac{3}{2} \]
\[ 2(x+1)=3x \]
\[ 2x+2=3x \]
\[ x=2 \]
Como \(2>0\), la solución es válida.
La solución es \(x=2\).
Ejercicio 28
Resuelve \(\ln(x)+\ln(2)=\ln(x+1)\).
Restricciones:
\[ x>0 \qquad\text{y}\qquad x+1>0 \]
La condición principal es \(x>0\).
Combinamos:
\[ \ln(2x)=\ln(x+1) \]
Igualamos argumentos:
\[ 2x=x+1 \]
\[ x=1 \]
Como \(1>0\), la solución es válida.
La solución es \(x=1\).
Ejercicio 29
Resuelve \(\log_8(x^2+6)=\log_8(5x)\).
Igualamos argumentos:
\[ x^2+6=5x \]
\[ x^2-5x+6=0 \]
Factorizamos:
\[ (x-2)(x-3)=0 \]
\[ x=2 \qquad\text{o}\qquad x=3 \]
Verificamos:
- Para \(x=2\), \(x^2+6=10>0\) y \(5x=10>0\).
- Para \(x=3\), \(x^2+6=15>0\) y \(5x=15>0\).
Las soluciones son \(x=2\) y \(x=3\).
Ejercicio 30
Resuelve \(\log(4x)-\log(2)=\log(x+1)\).
Restricción inicial:
\[ 4x>0 \qquad\text{y}\qquad x+1>0 \]
Por lo tanto, \(x>0\).
Combinamos los logaritmos del lado izquierdo:
\[ \log\left(\frac{4x}{2}\right)=\log(x+1) \]
\[ \log(2x)=\log(x+1) \]
Igualamos argumentos:
\[ 2x=x+1 \]
\[ x=1 \]
Como \(1>0\), la solución es válida.
La solución es \(x=1\).
Ejercicio 31
Resuelve \(\log_3(5x-1)=\log_3(3x+5)\).
Igualamos argumentos:
\[ 5x-1=3x+5 \]
\[ 2x=6 \]
\[ x=3 \]
Verificamos:
\[ 5(3)-1=14>0 \qquad\text{y}\qquad 3(3)+5=14>0 \]
La solución es \(x=3\).
Ejercicio 32
Resuelve \(\ln(x+1)=\ln(2x)\).
Restricciones:
\[ x+1>0 \qquad\text{y}\qquad 2x>0 \]
Por lo tanto, \(x>0\).
Igualamos argumentos:
\[ x+1=2x \]
\[ x=1 \]
Como \(1>0\), la solución es válida.
La solución es \(x=1\).
Ejercicio 33
Resuelve \(\log(x^2+8)=\log(6x)\).
Igualamos argumentos:
\[ x^2+8=6x \]
\[ x^2-6x+8=0 \]
Factorizamos:
\[ (x-2)(x-4)=0 \]
\[ x=2 \qquad\text{o}\qquad x=4 \]
Verificamos:
- Para \(x=2\), \(x^2+8=12>0\) y \(6x=12>0\).
- Para \(x=4\), \(x^2+8=24>0\) y \(6x=24>0\).
Las soluciones son \(x=2\) y \(x=4\).
Ejercicio 34
Resuelve \(\log_2(x)+\log_2(4)=\log_2(3x+2)\).
Restricciones:
\[ x>0 \qquad\text{y}\qquad 3x+2>0 \]
La condición principal es \(x>0\).
Combinamos el lado izquierdo:
\[ \log_2(4x)=\log_2(3x+2) \]
Igualamos argumentos:
\[ 4x=3x+2 \]
\[ x=2 \]
Como \(2>0\), la solución es válida.
La solución es \(x=2\).
Ejercicio 35
Resuelve \(\log_5(x^2)=\log_5(6x-5)\).
Igualamos argumentos:
\[ x^2=6x-5 \]
\[ x^2-6x+5=0 \]
Factorizamos:
\[ (x-1)(x-5)=0 \]
\[ x=1 \qquad\text{o}\qquad x=5 \]
Verificamos:
- Para \(x=1\), \(x^2=1>0\) y \(6x-5=1>0\).
- Para \(x=5\), \(x^2=25>0\) y \(6x-5=25>0\).
Las soluciones son \(x=1\) y \(x=5\).
Ejercicio 36
Resuelve \(2\ln(x+1)=\ln(x^2+3)\).
Primero usamos la propiedad del coeficiente:
\[ 2\ln(x+1)=\ln((x+1)^2) \]
Entonces:
\[ \ln((x+1)^2)=\ln(x^2+3) \]
Igualamos argumentos:
\[ (x+1)^2=x^2+3 \]
\[ x^2+2x+1=x^2+3 \]
\[ 2x=2 \]
\[ x=1 \]
Verificamos:
\[ x+1=2>0 \qquad\text{y}\qquad x^2+3=4>0 \]
La solución es \(x=1\).
Ejercicio 37
Resuelve \(\log(4x-3)-\log(x)=\log(3)\).
Restricciones:
\[ 4x-3>0 \qquad\text{y}\qquad x>0 \]
Por lo tanto, \(x>\frac{3}{4}\).
Combinamos los logaritmos del lado izquierdo:
\[ \log\left(\frac{4x-3}{x}\right)=\log(3) \]
Igualamos argumentos:
\[ \frac{4x-3}{x}=3 \]
\[ 4x-3=3x \]
\[ x=3 \]
Como \(3>\frac{3}{4}\), la solución es válida.
La solución es \(x=3\).
Ejercicio 38
Resuelve \(\log_9(4x)=\log_9(x+6)\).
Igualamos argumentos:
\[ 4x=x+6 \]
\[ 3x=6 \]
\[ x=2 \]
Verificamos:
\[ 4(2)=8>0 \qquad\text{y}\qquad 2+6=8>0 \]
La solución es \(x=2\).
Ejercicio 39
Resuelve \(\log(x+1)+\log(3)=\log(2x+5)\).
Combinamos los logaritmos del lado izquierdo:
\[ \log(3(x+1))=\log(2x+5) \]
Igualamos argumentos:
\[ 3(x+1)=2x+5 \]
\[ 3x+3=2x+5 \]
\[ x=2 \]
Verificamos:
\[ 2+1=3>0 \qquad\text{y}\qquad 2(2)+5=9>0 \]
La solución es \(x=2\).
Ejercicio 40
Resuelve \(\log_4(x^2+1)=\log_4(x+1)\).
Igualamos argumentos:
\[ x^2+1=x+1 \]
\[ x^2-x=0 \]
Factorizamos:
\[ x(x-1)=0 \]
\[ x=0 \qquad\text{o}\qquad x=1 \]
Verificamos los argumentos originales:
- Para \(x=0\), \(x^2+1=1>0\) y \(x+1=1>0\).
- Para \(x=1\), \(x^2+1=2>0\) y \(x+1=2>0\).
Las soluciones son \(x=0\) y \(x=1\).
6. Nivel 4: Verificación y Soluciones Extrañas
Ecuaciones logarítmicas – Nivel 4: verificación y soluciones extrañas
Verificación y soluciones extrañas
Has llegado al último nivel y al paso más crucial en la resolución de ecuaciones logarítmicas: la verificación. A veces, al resolver una ecuación, obtenemos soluciones que son algebraicamente correctas, pero que no son válidas en el contexto de la ecuación original. A estas se les llama soluciones extrañas.
La regla de oro: dominio del logaritmo
La regla fundamental que causa la aparición de soluciones extrañas es esta: el argumento de un logaritmo siempre debe ser positivo.
En \(\log_b(P)\), se debe cumplir:
Por esta razón, verificar las soluciones no es opcional: es una parte obligatoria del proceso.
Procedimiento final
- Resuelve la ecuación logarítmica usando las técnicas de los niveles anteriores.
- Sustituye cada solución encontrada en la ecuación original.
- Comprueba que los argumentos de todos los logaritmos sean positivos.
- Descarta cualquier solución que haga que un argumento sea cero o negativo.
Ejemplos resueltos paso a paso
Ejemplo A: una solución válida y una extraña
Resuelve:
\[ \log(x-3)+\log(x)=\log(4) \]
Primero, combinamos los logaritmos del lado izquierdo:
\[ \log(x(x-3))=\log(4) \]
Igualamos argumentos:
\[ x(x-3)=4 \]
\[ x^2-3x=4 \]
\[ x^2-3x-4=0 \]
Factorizamos:
\[ (x-4)(x+1)=0 \]
\[ x=4 \qquad\text{o}\qquad x=-1 \]
Verificamos en la ecuación original:
- Para \(x=4\): \(x-3=1>0\) y \(x=4>0\). Es válida.
- Para \(x=-1\): \(x-3=-4<0\). No es válida.
La única solución válida es \(x=4\).
Ejemplo B: dos soluciones válidas
Resuelve:
\[ \log(x^2+8)=\log(6x) \]
Igualamos argumentos:
\[ x^2+8=6x \]
\[ x^2-6x+8=0 \]
Factorizamos:
\[ (x-2)(x-4)=0 \]
\[ x=2 \qquad\text{o}\qquad x=4 \]
Verificamos en la ecuación original:
- Para \(x=2\): \(x^2+8=12>0\) y \(6x=12>0\).
- Para \(x=4\): \(x^2+8=24>0\) y \(6x=24>0\).
Ambas soluciones, \(x=2\) y \(x=4\), son válidas.
Ejemplo C: sin solución
Resuelve:
\[ \log(x)=\log(-x-2) \]
Igualamos argumentos:
\[ x=-x-2 \]
\[ 2x=-2 \]
\[ x=-1 \]
Verificamos en la ecuación original:
Para \(x=-1\), el argumento del primer logaritmo es:
\[ x=-1<0 \]
Por lo tanto, \(\log(-1)\) no está definido en los números reales.
Como la única solución algebraica es extraña, la ecuación no tiene solución.
Verificación en contextos reales
Este proceso de descartar soluciones se parece a un chequeo de coherencia en ciencias o ingeniería. Un cálculo puede entregar dos respuestas, pero no todas tienen sentido dentro del contexto del problema.
En ecuaciones logarítmicas, el dominio cumple ese papel: solo se aceptan valores que dejan todos los argumentos positivos.
Ejercicios propuestos
Ejercicio 41
Resuelve \(\log_2(x)+\log_2(x-4)=5\).
Restricciones:
\[ x>0 \qquad\text{y}\qquad x-4>0 \]
Por lo tanto, \(x>4\).
Combinamos:
\[ \log_2(x(x-4))=5 \]
Aplicamos definición:
\[ x(x-4)=2^5 \]
\[ x^2-4x=32 \]
\[ x^2-4x-32=0 \]
\[ (x-8)(x+4)=0 \]
\[ x=8 \qquad\text{o}\qquad x=-4 \]
Verificamos con \(x>4\).
Se descarta \(x=-4\). La solución válida es \(x=8\).
Ejercicio 42
Resuelve \(\ln(x-1)+\ln(x+2)=\ln(4)\).
Restricciones:
\[ x-1>0 \qquad\text{y}\qquad x+2>0 \]
Por lo tanto, \(x>1\).
Combinamos:
\[ \ln((x-1)(x+2))=\ln(4) \]
Igualamos argumentos:
\[ (x-1)(x+2)=4 \]
\[ x^2+x-2=4 \]
\[ x^2+x-6=0 \]
\[ (x+3)(x-2)=0 \]
\[ x=-3 \qquad\text{o}\qquad x=2 \]
Verificamos con \(x>1\).
Se descarta \(x=-3\). La solución válida es \(x=2\).
Ejercicio 43
Resuelve \(\log_3(x+5)-\log_3(x-1)=1\).
Restricciones:
\[ x+5>0 \qquad\text{y}\qquad x-1>0 \]
Por lo tanto, \(x>1\).
Combinamos usando la propiedad del cociente:
\[ \log_3\left(\frac{x+5}{x-1}\right)=1 \]
Aplicamos definición:
\[ \frac{x+5}{x-1}=3 \]
\[ x+5=3x-3 \]
\[ 8=2x \]
\[ x=4 \]
Como \(4>1\), la solución es válida.
La solución es \(x=4\).
Ejercicio 44
Resuelve \(2\log(x)=\log(2x+8)\).
Restricciones:
\[ x>0 \qquad\text{y}\qquad 2x+8>0 \]
La condición principal es \(x>0\).
Usamos la propiedad del coeficiente:
\[ 2\log(x)=\log(x^2) \]
Entonces:
\[ \log(x^2)=\log(2x+8) \]
Igualamos argumentos:
\[ x^2=2x+8 \]
\[ x^2-2x-8=0 \]
\[ (x-4)(x+2)=0 \]
\[ x=4 \qquad\text{o}\qquad x=-2 \]
Verificamos con \(x>0\).
Se descarta \(x=-2\). La solución válida es \(x=4\).
Ejercicio 45
Resuelve \(\log_6(x+4)+\log_6(x-1)=2\).
Restricciones:
\[ x+4>0 \qquad\text{y}\qquad x-1>0 \]
Por lo tanto, \(x>1\).
Combinamos:
\[ \log_6((x+4)(x-1))=2 \]
Aplicamos definición:
\[ (x+4)(x-1)=6^2 \]
\[ x^2+3x-4=36 \]
\[ x^2+3x-40=0 \]
\[ (x+8)(x-5)=0 \]
\[ x=-8 \qquad\text{o}\qquad x=5 \]
Verificamos con \(x>1\).
Se descarta \(x=-8\). La solución válida es \(x=5\).
Ejercicio 46
Resuelve \(\log_4(x)=1-\log_4(x-3)\).
Restricciones:
\[ x>0 \qquad\text{y}\qquad x-3>0 \]
Por lo tanto, \(x>3\).
Sumamos \(\log_4(x-3)\) a ambos lados:
\[ \log_4(x)+\log_4(x-3)=1 \]
Combinamos:
\[ \log_4(x(x-3))=1 \]
Aplicamos definición:
\[ x(x-3)=4^1 \]
\[ x^2-3x=4 \]
\[ x^2-3x-4=0 \]
\[ (x-4)(x+1)=0 \]
\[ x=4 \qquad\text{o}\qquad x=-1 \]
Verificamos con \(x>3\).
Se descarta \(x=-1\). La solución válida es \(x=4\).
Ejercicio 47
Resuelve \(\ln(x)+\ln(x-2)=\ln(3)\).
Restricciones:
\[ x>0 \qquad\text{y}\qquad x-2>0 \]
Por lo tanto, \(x>2\).
Combinamos:
\[ \ln(x(x-2))=\ln(3) \]
Igualamos argumentos:
\[ x(x-2)=3 \]
\[ x^2-2x=3 \]
\[ x^2-2x-3=0 \]
\[ (x-3)(x+1)=0 \]
\[ x=3 \qquad\text{o}\qquad x=-1 \]
Verificamos con \(x>2\).
Se descarta \(x=-1\). La solución válida es \(x=3\).
Ejercicio 48
Resuelve \(\log_2(x+1)+\log_2(x-1)=3\).
Restricciones:
\[ x+1>0 \qquad\text{y}\qquad x-1>0 \]
Por lo tanto, \(x>1\).
Combinamos:
\[ \log_2((x+1)(x-1))=3 \]
\[ \log_2(x^2-1)=3 \]
Aplicamos definición:
\[ x^2-1=2^3 \]
\[ x^2-1=8 \]
\[ x^2=9 \]
\[ x=3 \qquad\text{o}\qquad x=-3 \]
Verificamos con \(x>1\).
Se descarta \(x=-3\). La solución válida es \(x=3\).
Ejercicio 49
Resuelve \(\log_5(3x+1)=1+\log_5(x-1)\).
Restricciones:
\[ 3x+1>0 \qquad\text{y}\qquad x-1>0 \]
Por lo tanto, \(x>1\).
Escribimos \(1\) como logaritmo en base \(5\):
\[ 1=\log_5(5) \]
Entonces:
\[ \log_5(3x+1)=\log_5(5)+\log_5(x-1) \]
\[ \log_5(3x+1)=\log_5(5(x-1)) \]
Igualamos argumentos:
\[ 3x+1=5(x-1) \]
\[ 3x+1=5x-5 \]
\[ 6=2x \]
\[ x=3 \]
Como \(3>1\), la solución es válida.
La solución es \(x=3\).
Ejercicio 50
Resuelve \(\log(2)-\log(x+1)=\log(x)\).
Restricciones:
\[ x+1>0 \qquad\text{y}\qquad x>0 \]
Por lo tanto, \(x>0\).
Combinamos el lado izquierdo usando la propiedad del cociente:
\[ \log\left(\frac{2}{x+1}\right)=\log(x) \]
Igualamos argumentos:
\[ \frac{2}{x+1}=x \]
\[ 2=x(x+1) \]
\[ 2=x^2+x \]
\[ x^2+x-2=0 \]
\[ (x+2)(x-1)=0 \]
\[ x=-2 \qquad\text{o}\qquad x=1 \]
Verificamos con \(x>0\).
Se descarta \(x=-2\). La solución válida es \(x=1\).
7. Aplicaciones de Ecuaciones Logarítmicas
Aplicaciones y modelado: ecuaciones y escalas logarítmicas
Escalas logarítmicas
Mientras que las funciones exponenciales modelan fenómenos que crecen muy rápido, los logaritmos ayudan a comprimir rangos de valores gigantescos en una escala manejable.
Esto es útil para medir fenómenos como terremotos, sonidos o niveles de acidez, donde los valores reales pueden variar muchísimo.
¿Qué es una escala logarítmica?
Una escala logarítmica no mide directamente el valor de algo, sino su orden de magnitud. Es decir, permite comparar cantidades muy grandes usando potencias de \(10\).
Por eso, un cambio pequeño en la escala puede representar un cambio muy grande en la cantidad real. Por ejemplo, aumentar una unidad en una escala logarítmica de base \(10\) representa multiplicar por \(10\).
Aplicación 1: escala sísmica
La magnitud de un terremoto no crece de forma lineal. En este modelo, un terremoto de magnitud \(7\) no es solo un poco más intenso que uno de magnitud \(6\): es \(10\) veces más intenso en términos de amplitud de onda.
Fórmula clave:
Donde:
- \(M\) es la magnitud en la escala sísmica.
- \(I\) es la intensidad de la onda sísmica medida.
- \(S\) es la intensidad de un sismo estándar de referencia.
Ejemplo 1: comparación de intensidades sísmicas
¿Cuántas veces fue más intenso un terremoto de magnitud \(9{,}5\) que uno de magnitud \(6{,}7\)?
Usamos la relación:
\[ M=\log\left(\frac{I}{S}\right) \]
Para el terremoto de magnitud \(9{,}5\):
\[ I_1=S\cdot 10^{9{,}5} \]
Para el terremoto de magnitud \(6{,}7\):
\[ I_2=S\cdot 10^{6{,}7} \]
Calculamos la razón entre ambas intensidades:
\[ \frac{I_1}{I_2} = \frac{S\cdot 10^{9{,}5}}{S\cdot 10^{6{,}7}} \]
\[ \frac{I_1}{I_2}=10^{9{,}5-6{,}7}=10^{2{,}8} \]
\[ 10^{2{,}8}\approx 631 \]
El terremoto de magnitud \(9{,}5\) fue aproximadamente \(631\) veces más intenso que el de magnitud \(6{,}7\), según este modelo.
Aplicación 2: escala de pH
La escala de pH mide qué tan ácida o básica es una disolución. Un pequeño cambio en el pH significa un gran cambio en la concentración de iones de hidrógeno.
Fórmula clave:
Donde:
- \(pH\) es el valor que mide acidez o basicidad.
- \([H^+]\) es la concentración de iones de hidrógeno, medida en moles por litro.
Ejemplo 2: comparación de acidez
El café tiene \(pH=5\) y el amoníaco tiene \(pH=11\). ¿Cuántas veces mayor es la concentración de \([H^+]\) del café?
Usamos la relación:
\[ pH=-\log[H^+] \]
Entonces:
\[ [H^+]=10^{-pH} \]
Para el café:
\[ [H^+]_C=10^{-5} \]
Para el amoníaco:
\[ [H^+]_A=10^{-11} \]
Calculamos la razón:
\[ \frac{[H^+]_C}{[H^+]_A} = \frac{10^{-5}}{10^{-11}} \]
\[ \frac{[H^+]_C}{[H^+]_A}=10^{6} \]
El café tiene una concentración de \([H^+]\) \(1.000.000\) de veces mayor que el amoníaco.
Aplicación 3: escala de decibelios
La intensidad del sonido también se mide en una escala logarítmica. Un aumento de \(10\) decibelios representa un sonido \(10\) veces más intenso.
Fórmula clave:
Donde:
- \(dB\) es el nivel de sonido en decibelios.
- \(I\) es la intensidad del sonido.
- \(I_0\) es una intensidad de referencia.
Ejemplo 3: comparación de sonidos
Un motor de avión produce \(140\) dB y una conversación normal produce \(60\) dB. ¿Cuántas veces más intenso es el sonido del motor?
Calculamos la diferencia de decibelios:
\[ 140-60=80 \]
Como la fórmula tiene el factor \(10\), planteamos:
\[ 80=10\cdot \log(\text{razón}) \]
Dividimos por \(10\):
\[ 8=\log(\text{razón}) \]
Aplicamos la definición de logaritmo:
\[ \text{razón}=10^8 \]
El sonido del motor es \(100.000.000\) de veces más intenso que el de una conversación normal.
Ejercicios propuestos
Ejercicio 1
Un sismo tiene una intensidad \(500\) veces mayor que la del sismo estándar, es decir, \(I=500S\). ¿Cuál es su magnitud?
Usamos la fórmula:
\[ M=\log\left(\frac{I}{S}\right) \]
Como \(I=500S\), reemplazamos:
\[ M=\log\left(\frac{500S}{S}\right) \]
Simplificamos:
\[ M=\log(500) \]
Calculamos:
\[ \log(500)\approx 2{,}7 \]
La magnitud es aproximadamente \(2{,}7\).
Ejercicio 2
¿Cuántas veces más intenso es un terremoto de magnitud \(7{,}5\) que uno de magnitud \(5{,}5\)?
Calculamos la diferencia entre magnitudes:
\[ 7{,}5-5{,}5=2 \]
En una escala logarítmica de base \(10\), esa diferencia corresponde a:
\[ 10^2=100 \]
El terremoto de magnitud \(7{,}5\) es \(100\) veces más intenso.
Ejercicio 3
La sangre humana tiene un pH de \(7{,}4\). ¿Cuál es la concentración de iones \([H^+]\)?
Usamos:
\[ pH=-\log[H^+] \]
Reemplazamos \(pH=7{,}4\):
\[ 7{,}4=-\log[H^+] \]
Multiplicamos por \(-1\):
\[ \log[H^+]=-7{,}4 \]
Aplicamos la definición de logaritmo:
\[ [H^+]=10^{-7{,}4} \]
Calculamos una aproximación:
\[ [H^+]\approx 3{,}98\times 10^{-8} \]
La concentración es aproximadamente \(3{,}98\times 10^{-8}\) M.
Ejercicio 4
El jugo de naranja tiene una concentración de \([H^+]\) de \(10^{-3{,}5}\) M. ¿Cuál es su pH?
Usamos:
\[ pH=-\log[H^+] \]
Reemplazamos:
\[ pH=-\log(10^{-3{,}5}) \]
Como \(\log(10^{-3{,}5})=-3{,}5\), resulta:
\[ pH=-(-3{,}5) \]
\[ pH=3{,}5 \]
El pH del jugo de naranja es \(3{,}5\).
Ejercicio 5
Una biblioteca tiene \(40\) dB y una calle con tráfico tiene \(80\) dB. ¿Cuántas veces es más intenso el sonido de la calle?
Calculamos la diferencia:
\[ 80-40=40 \]
Planteamos:
\[ 40=10\log(\text{razón}) \]
Dividimos por \(10\):
\[ 4=\log(\text{razón}) \]
Aplicamos la definición:
\[ \text{razón}=10^4 \]
\[ 10^4=10.000 \]
El sonido de la calle es \(10.000\) veces más intenso.
Ejercicio 6
Si un sismo es \(25.000\) veces más intenso que el de referencia, ¿cuál es su magnitud?
Usamos:
\[ M=\log\left(\frac{I}{S}\right) \]
Si la intensidad es \(25.000\) veces la referencia, entonces:
\[ \frac{I}{S}=25000 \]
Por lo tanto:
\[ M=\log(25000) \]
Calculamos:
\[ M\approx 4{,}4 \]
La magnitud es aproximadamente \(4{,}4\).
Ejercicio 7
Una sustancia A tiene pH \(3\) y una sustancia B tiene pH \(6\). ¿Cuántas veces es más ácida la sustancia A?
La concentración de \([H^+]\) se calcula como:
\[ [H^+]=10^{-pH} \]
Para la sustancia A:
\[ [H^+]_A=10^{-3} \]
Para la sustancia B:
\[ [H^+]_B=10^{-6} \]
Calculamos la razón:
\[ \frac{[H^+]_A}{[H^+]_B} = \frac{10^{-3}}{10^{-6}} \]
\[ \frac{[H^+]_A}{[H^+]_B}=10^3=1000 \]
La sustancia A es \(1000\) veces más ácida que la sustancia B.
Ejercicio 8
El umbral del dolor por sonido es de \(130\) dB. Si \(I_0=10^{-12}\,\text{W/m}^2\), ¿cuál es la intensidad del sonido?
Usamos:
\[ dB=10\log\left(\frac{I}{I_0}\right) \]
Reemplazamos:
\[ 130=10\log\left(\frac{I}{10^{-12}}\right) \]
Dividimos por \(10\):
\[ 13=\log\left(\frac{I}{10^{-12}}\right) \]
Aplicamos la definición de logaritmo:
\[ 10^{13}=\frac{I}{10^{-12}} \]
Multiplicamos por \(10^{-12}\):
\[ I=10^{13}\cdot 10^{-12} \]
\[ I=10^1=10 \]
La intensidad del sonido es \(10\,\text{W/m}^2\).
Ejercicio 9
Un terremoto de magnitud \(7{,}9\) se compara con otro de magnitud \(6{,}0\). ¿Cuántas veces más intenso fue el primero?
Calculamos la diferencia de magnitudes:
\[ 7{,}9-6{,}0=1{,}9 \]
La razón de intensidades es:
\[ 10^{1{,}9} \]
Calculamos:
\[ 10^{1{,}9}\approx 79{,}4 \]
El primero fue aproximadamente \(79{,}4\) veces más intenso.
Ejercicio 10
Si la lluvia ácida tiene un pH de \(4{,}5\), ¿cuál es su concentración de \([H^+]\)?
Usamos la fórmula:
\[ pH=-\log[H^+] \]
Reemplazamos \(pH=4{,}5\):
\[ 4{,}5=-\log[H^+] \]
Entonces:
\[ \log[H^+]=-4{,}5 \]
Aplicamos la definición de logaritmo:
\[ [H^+]=10^{-4{,}5} \]
Calculamos:
\[ [H^+]\approx 3{,}16\times 10^{-5} \]
La concentración es aproximadamente \(3{,}16\times 10^{-5}\) M.