Imprimir el Libro CompletoImprimir el Libro Completo

Ecuaciones Logaritmicas

Sitio: PROFEARAUCO.CL
Curso: Media 3
Libro: Ecuaciones Logaritmicas
Imprimido por: Invitado
Día: sábado, 6 de septiembre de 2025, 12:46

Descripción

 

Tabla de contenidos

1. Nivel 1: Definición y Ecuaciones Básicas

Ecuaciones Logarítmicas – Nivel 1: Definición y Ecuaciones Básicas

¡Bienvenido/a a la unidad de ecuaciones logarítmicas! En este primer nivel, abordaremos el tipo más fundamental de ecuación, donde la clave para resolverla es entender y aplicar la definición de logaritmo.

💡 La Definición Clave (El Círculo del Logaritmo)

Un logaritmo es simplemente la operación inversa a una potencia. La expresión \(\log_b(y) = x\) es exactamente lo mismo que decir \(b^x = y\).

Un truco para recordarlo es "el círculo": La base elevada al resultado es igual al argumento.
\(\log_{\color{blue}{b}}({\color{red}{y}}) = {\color{green}{x}} \iff {\color{blue}{b}}^{\color{green}{x}} = {\color{red}{y}}\)

📐 Procedimiento
  1. Identifica la base, el argumento y el resultado del logaritmo.
  2. Aplica la definición para reescribir la ecuación en su forma exponencial.
  3. Resuelve la ecuación resultante para encontrar el valor de \(x\).
⚠️ Restricciones del Logaritmo

Recuerda que en \(\log_b(y)\), la base \(b\) y el argumento \(y\) tienen reglas:

  • La base \(b\) debe ser siempre positiva y distinta de 1 (\(b > 0, b \neq 1\)).
  • El argumento \(y\) debe ser siempre positivo (\(y > 0\)).

¡Ten esto en cuenta al resolver ecuaciones, sobre todo si la \(x\) está en la base o en el argumento!

Ejemplos resueltos paso a paso

🧪 Ejemplo A: \(\log_2(x) = 5\)
1. Aplicar definición: La base (2) elevada al resultado (5) es igual al argumento (\(x\)).
\(2^5 = x\)

2. Calcular:
\(x = 32\)
🧪 Ejemplo B: \(\log_x(49) = 2\)
1. Aplicar definición:
\(x^2 = 49\)

2. Calcular:
\(x = \pm\sqrt{49} \;\Rightarrow\; x = 7 \text{ o } x = -7\)

3. Aplicar restricciones:
Como la base de un logaritmo (\(x\)) debe ser positiva y distinta de 1, descartamos la solución \(x = -7\).
Por lo tanto, la única solución válida es \(x = 7\).
🧪 Ejemplo C: \(\log_3(2x+1) = 4\)
1. Aplicar definición:
\(3^4 = 2x+1\)

2. Calcular y despejar:
\(81 = 2x+1\)
\(80 = 2x\)
\(x = 40\)

Ejercicios propuestos

Pulsa el botón al lado del enunciado para mostrar u ocultar la solución.

1. \(\log_4(x) = 3\)
2. \(\log_5(x) = 2\)
3. \(\log_x(100) = 2\)
4. \(\log_{10}(x+1) = 3\)
5. \(\log_2(32) = x\)
6. \(\log_x(81) = 4\)
7. \(\log_7(x) = 1\)
8. \(\log_3(2x-1) = 2\)
9. \(\log_x(64) = 3\)
10. \(\log(x) = -2\)

2. Nivel 2: Aplicación de Propiedades

Ecuaciones Logarítmicas – Nivel 2: Aplicación de Propiedades

En este nivel, las ecuaciones contienen más de un término logarítmico. Para resolverlas, primero debemos usar las propiedades de los logaritmos para combinar estos términos en un solo logaritmo.

💡 El Kit de Herramientas: Las Propiedades

El objetivo es usar estas reglas para simplificar la ecuación. Generalmente, querrás combinar varios logaritmos en uno solo.

  • Suma a Producto: \(\log_b(A) + \log_b(B) = \log_b(A \cdot B)\)
  • Resta a Cociente: \(\log_b(A) - \log_b(B) = \log_b\left(\frac{A}{B}\right)\)
  • Coeficiente a Potencia: \(n \cdot \log_b(A) = \log_b(A^n)\)
📐 Procedimiento
  1. Usa las propiedades para combinar todos los términos logarítmicos en uno solo a cada lado de la ecuación.
  2. Resuelve la ecuación simplificada, ya sea usando la definición (Nivel 1) o igualando argumentos (ver abajo).
  3. Verifica TODAS tus soluciones: Asegúrate de que los argumentos de todos los logaritmos en la ecuación original sean positivos. Descarta cualquier solución que no cumpla esta condición.
⚠️ ¡Verificar no es opcional!

Al usar propiedades como \(\log(A) + \log(B) = \log(A \cdot B)\), a veces se introducen "soluciones extrañas". Una solución puede ser válida para la ecuación simplificada, pero inválida para la original (porque hace que el argumento de un logaritmo sea negativo). Por eso, siempre debes comprobar tus resultados en la ecuación inicial.

Ejemplos resueltos paso a paso

🧪 Ejemplo A (Suma): \(\log_2(x) + \log_2(x-2) = 3\)
1. Combinar logaritmos:
\(\log_2(x(x-2)) = 3 \;\Rightarrow\; \log_2(x^2 - 2x) = 3\)

2. Aplicar definición y resolver:
\(x^2 - 2x = 2^3 \;\Rightarrow\; x^2 - 2x - 8 = 0\)
Factorizando: \((x-4)(x+2) = 0\). Soluciones posibles: \(x=4\) y \(x=-2\).

3. Verificar:
• Para \(x=4\): \(\log_2(4)\) y \(\log_2(4-2)=\log_2(2)\). Ambos argumentos son positivos. ✔️
• Para \(x=-2\): \(\log_2(-2)\). El argumento es negativo. ❌
La única solución correcta es \(x=4\).
🤓 Propiedad de Igualación: Si tienes un solo logaritmo de la misma base a cada lado, \(\log_b(A) = \log_b(B)\), puedes simplificar la ecuación igualando los argumentos: \(A=B\).
🧪 Ejemplo B (Resta e Igualación): \(\log(x+6) - \log(x) = \log(5)\)
1. Combinar logaritmos:
\(\log\left(\frac{x+6}{x}\right) = \log(5)\)

2. Igualar argumentos y resolver:
\(\frac{x+6}{x} = 5 \;\Rightarrow\; x+6 = 5x \;\Rightarrow\; 6 = 4x \;\Rightarrow\; x = 1.5\)

3. Verificar:
• Para \(x=1.5\): \(\log(1.5+6)\) y \(\log(1.5)\). Ambos argumentos son positivos. ✔️
La solución es \(x=1.5\).

Ejercicios propuestos

Pulsa el botón al lado del enunciado para mostrar u ocultar la solución.

11. \(\log(x) + \log(3) = \log(6)\)
12. \(\ln(x+1) - \ln(x) = \ln(2)\)
13. \(2\log(x) = \log(25)\)
14. \(\log_4(x) + \log_4(x-6) = 2\)
15. \(\log_6(2x-3) = \log_6(12) - \log_6(3)\)
16. \(3\ln(x) = \ln(8)\)
17. \(\log(x+21) + \log(x) = 2\)
18. \(\log_2(x^2) - \log_2(x-2) = 3\)
19. \(\log_5(x+1) + \log_5(x-3) = 1\)
20. \(\frac{\log(x^3)}{\log(x)} = 3\)

3. Nivel 3: Logaritmos en Ambos Lados

Ecuaciones Logarítmicas – Nivel 3: Propiedad de Igualdad

En este nivel nos encontramos con ecuaciones que, tras simplificarlas, toman la forma \(\log_b(P) = \log_b(Q)\). Son las más directas de resolver una vez que se, alcanza esa estructura.

💡 La Propiedad de Igualdad de Logaritmos

Si dos logaritmos con la misma base son iguales, entonces sus argumentos tienen que ser necesariamente iguales.

Si \(\log_b(P) = \log_b(Q)\), entonces \(P = Q\).

Esto nos permite "eliminar" los logaritmos y resolver una ecuación mucho más sencilla.

📐 Procedimiento
  1. Usa las propiedades del Nivel 2 si es necesario para obtener un solo logaritmo a cada lado de la ecuación.
  2. Una vez que tengas la forma \(\log_b(P) = \log_b(Q)\), iguala los argumentos: \(P = Q\).
  3. Resuelve la ecuación resultante para \(x\).
  4. Verifica tus soluciones: Acostúmbrate a comprobar siempre la respuesta en la ecuación original.
⚠️ Un Buen Hábito se Practica Siempre

Aunque los ejercicios de este nivel están diseñados para que todas las soluciones que encuentres sean válidas, es fundamental que te acostumbres a verificar tus respuestas desde ya. Tomar el hábito ahora hará que en los niveles más avanzados, donde sí aparecen soluciones extrañas, este paso te resulte natural y te salve de cometer errores.

Ejemplos resueltos paso a paso

🧪 Ejemplo A (Simple): \(\ln(3x-1) = \ln(x+5)\)
1. Igualar argumentos:
\(3x-1 = x+5\)

2. Resolver la ecuación:
\(2x = 6 \;\Rightarrow\; x = 3\)

3. Verificar en la original (buena práctica):
• Argumento 1: \(3(3)-1 = 8\) (Positivo ✔️)
• Argumento 2: \(3+5 = 8\) (Positivo ✔️)
La solución \(x=3\) es válida.
🧪 Ejemplo B (Con Propiedades): \(\log(x) + \log(3) = \log(x+4)\)
1. Combinar logaritmos:
\(\log(3x) = \log(x+4)\)

2. Igualar argumentos y resolver:
\(3x = x+4 \;\Rightarrow\; 2x = 4 \;\Rightarrow\; x = 2\)

3. Verificar en la original (buena práctica):
Los argumentos en la ecuación original son \(x\), \(3\), y \(x+4\).
• Para \(x=2\): Los argumentos son 2, 3, y 6. Todos positivos. ✔️
La solución \(x=2\) es válida.

Ejercicios propuestos

Pulsa el botón al lado del enunciado para mostrar u ocultar la solución.

21. \(\log_5(2x+3) = \log_5(11)\)
22. \(\log(4x) = \log(x+9)\)
23. \(\ln(x^2+3) = \ln(4x)\)
24. \(\log(x+5) + \log(2) = \log(3x+1)\)
25. \(2\log(x) = \log(4x-4)\)
26. \(\log_7(6x-2) = \log_7(2x+6)\)
27. \(\log_2(x+1) - \log_2(x) = \log_2(3/2)\)
28. \(\ln(x) + \ln(2) = \ln(x+1)\)
29. \(\log_8(x^2+6) = \log_8(5x)\)
30. \(\log(4x) - \log(2) = \log(x+1)\)
31. \(\log_3(5x-1) = \log_3(3x+5)\)
32. \(\ln(x+1) = \ln(2x)\)
33. \(\log(x^2+8) = \log(6x)\)
34. \(\log_2(x)+\log_2(4) = \log_2(3x+2)\)
35. \(\log_5(x^2) = \log_5(6x-5)\)
36. \(2\ln(x+1) = \ln(x^2+3)\)
37. \(\log(4x-3) - \log(x) = \log(3)\)
38. \(\log_9(4x) = \log_9(x+6)\)
39. \(\log(x+1)+\log(3) = \log(2x+5)\)
40. \(\log_4(x^2+1) = \log_4(x+1)\)

4. Nivel 4: Verificación y Soluciones Extrañas

Ecuaciones Logarítmicas – Nivel 4: Verificación y Soluciones Extrañas

Has llegado al último nivel y al paso más crucial en la resolución de ecuaciones logarítmicas: la verificación. A veces, al resolver una ecuación, obtenemos soluciones que son algebraicamente correctas, pero que no son válidas en el contexto de la ecuación original. A estas se les llama soluciones extrañas.

💡 La Regla de Oro: El Dominio del Logaritmo

La regla fundamental que causa la aparición de soluciones extrañas es esta: el argumento de un logaritmo SIEMPRE debe ser positivo.

En \(\log_b(P)\), se debe cumplir que \(P > 0\).

Por esta razón, la verificación de las soluciones no es opcional, ¡es una parte obligatoria del proceso!

📐 Procedimiento Final
  1. Resuelve la ecuación logarítmica usando las técnicas de los niveles anteriores hasta encontrar las posibles soluciones para \(x\).
  2. Sustituye cada solución encontrada en la ecuación original.
  3. Comprueba que los argumentos de todos los logaritmos sean números positivos.
  4. Descarta cualquier solución que haga que un argumento sea cero o negativo. ¡Esa es una solución extraña!

Ejemplos resueltos paso a paso

🧪 Ejemplo A (Una solución válida y una extraña): \(\log(x-3) + \log(x) = \log(4)\)
1. Resolver:
\(\log(x(x-3)) = \log(4) \;\Rightarrow\; x^2 - 3x = 4 \;\Rightarrow\; x^2 - 3x - 4 = 0\)
Factorizando: \((x-4)(x+1) = 0\). Soluciones posibles: \(x=4\) y \(x=-1\).

2. Verificar:
• Para \(x=4\): Argumentos originales \((4-3)=1\) y \(4\). Ambos positivos. ✔️
• Para \(x=-1\): Argumento original \((-1-3)=-4\). Negativo. ❌

La única solución final es \(x=4\).
🧪 Ejemplo B (Dos soluciones válidas): \(\log(x^2+8) = \log(6x)\)
1. Resolver:
\(x^2+8 = 6x \;\Rightarrow\; x^2-6x+8=0\)
Factorizando: \((x-2)(x-4) = 0\). Soluciones posibles: \(x=2\) y \(x=4\).

2. Verificar:
• Para \(x=2\): Argumentos originales \((2^2+8)=12\) y \(6(2)=12\). Ambos positivos. ✔️
• Para \(x=4\): Argumentos originales \((4^2+8)=24\) y \(6(4)=24\). Ambos positivos. ✔️

Ambas soluciones, \(x=2\) y \(x=4\), son válidas.
🧪 Ejemplo C (Sin solución): \(\log(x) = \log(-x-2)\)
1. Resolver:
\(x = -x-2 \;\Rightarrow\; 2x = -2 \;\Rightarrow\; x=-1\)
La única solución posible es \(x=-1\).

2. Verificar:
• Para \(x=-1\): Argumento original \(\log(-1)\). No está definido. ❌

Como la única solución algebraica es extraña, la ecuación no tiene solución.

🌍 Verificación en el Mundo Real

Este proceso de descartar soluciones es similar al "chequeo de la realidad" en la ciencia y la ingeniería. Un cálculo puede darte dos respuestas, una positiva y una negativa, pero si estás calculando una distancia o un tiempo, ¡la respuesta negativa no tiene sentido físico! En matemáticas, el dominio de una función es nuestro "sentido físico".

Ejercicios propuestos

Pulsa el botón al lado del enunciado para mostrar u ocultar la solución.

41. \(\log_2(x) + \log_2(x-4) = 5\)
42. \(\ln(x-1) + \ln(x+2) = \ln(4)\)
43. \(\log_3(x+5) - \log_3(x-1) = 1\)
44. \(2\log(x) = \log(2x+8)\)
45. \(\log_6(x+4) + \log_6(x-1) = 2\)
46. \(\log_4(x) = 1 - \log_4(x-3)\)
47. \(\ln(x) + \ln(x-2) = \ln(3)\)
48. \(\log_2(x+1) + \log_2(x-1) = 3\)
49. \(\log_5(3x+1) = 1 + \log_5(x-1)\)
50. \(\log(2) - \log(x+1) = \log(x)\)

5. Aplicaciones de Ecuaciones Logarítmicas

Aplicaciones y Modelado: Ecuaciones y Escalas Logarítmicas

Mientras que las funciones exponenciales modelan cosas que crecen muy rápido, los logaritmos nos ayudan a "comprimir" rangos de valores gigantescos en una escala manejable. Esto es increíblemente útil para medir fenómenos como terremotos, sonidos o niveles de acidez.

💡 ¿Qué es una Escala Logarítmica?

Una escala logarítmica no mide el valor de algo, sino su orden de magnitud (es decir, a qué potencia de 10 se parece más). Por eso, un pequeño cambio en la escala (de 6 a 7, por ejemplo) representa un cambio enorme (10 veces más) en la cantidad real.

🌍 Aplicación 1: La Escala de Richter (Sismología)

La magnitud de un terremoto no crece de forma lineal. Un terremoto de magnitud 7 no es un poco más fuerte que uno de 6; ¡es 10 veces más intenso en términos de amplitud de onda!

La Fórmula Clave:

\(M = \log\left(\frac{I}{S}\right)\)

Donde:
• \(M\): Magnitud en la escala de Richter.
• \(I\): Intensidad de la onda sísmica medida.
• \(S\): Intensidad de un sismo estándar de referencia.

Ejemplo: ¿Cuántas veces fue más intenso el terremoto de Valdivia (M=9.5) que el de Los Ángeles (M=6.7)?
1. Despejar Intensidad (I):
Para Valdivia: \(I_V = S \cdot 10^{9.5}\)
Para Los Ángeles: \(I_{LA} = S \cdot 10^{6.7}\)

2. Calcular la razón:
\(\frac{I_V}{I_{LA}} = \frac{S \cdot 10^{9.5}}{S \cdot 10^{6.7}} = 10^{2.8} \approx 631\)

El terremoto de Valdivia fue aproximadamente 631 veces más intenso.

🧪 Aplicación 2: La Escala de pH (Química)

La escala de pH mide qué tan ácida o alcalina es una disolución. Un pequeño cambio en el pH significa un gran cambio en la concentración de iones de hidrógeno.

La Fórmula Clave:

\(pH = -\log[H^+]\)

Donde:
• \(pH\): El valor del pH (0-14).
• \([H^+]\): La concentración de iones de hidrógeno (moles/litro).

Ejemplo: El café (pH=5) es más ácido que el amoníaco (pH=11). ¿Cuántas veces mayor es su concentración de H⁺?
1. Despejar [H⁺]:
Café: \([H^+_C] = 10^{-5}\)
Amoníaco: \([H^+_A] = 10^{-11}\)

2. Calcular la razón:
\(\frac{[H^+_C]}{[H^+_A]} = \frac{10^{-5}}{10^{-11}} = 10^6\)

El café tiene una concentración de H⁺ 1.000.000 de veces mayor.

🔊 Aplicación 3: La Escala de Decibelios (Sonido)

La intensidad del sonido también se mide en una escala logarítmica. Un aumento de 10 decibelios (dB) representa un sonido 10 veces más intenso.

La Fórmula Clave:

\(dB = 10 \cdot \log\left(\frac{I}{I_0}\right)\)

Donde:
• \(dB\): Nivel de sonido en decibelios.
• \(I\): Intensidad del sonido.
• \(I_0\): Intensidad del sonido más bajo que un humano puede oír.

Ejemplo: El motor de un avión (140 dB) es más ruidoso que una conversación normal (60 dB). ¿Cuántas veces es más intenso?
La diferencia es de \(140 - 60 = 80\) dB.
\(80 = 10 \cdot \log(\text{Razón}) \;\Rightarrow\; 8 = \log(\text{Razón})\)
\(\text{Razón} = 10^8\)

El motor del avión es 100.000.000 de veces más intenso.

Ejercicios propuestos

Pulsa el botón al lado del enunciado para mostrar u ocultar la solución.

1. Un sismo tiene una intensidad 500 veces mayor que la del sismo estándar (I = 500S). ¿Cuál es su magnitud?
2. ¿Cuántas veces más intenso es un terremoto de magnitud 7.5 que uno de 5.5?
3. La sangre humana tiene un pH de 7.4. ¿Cuál es la concentración de iones \([H^+]\)?
4. El jugo de naranja tiene una concentración de H⁺ de \(10^{-3.5}\) M. ¿Cuál es su pH?
5. Una biblioteca tiene 40 dB y una calle con tráfico 80 dB. ¿Cuántas veces es más intenso el sonido de la calle?
6. Si un sismo es 25.000 veces más intenso que el de referencia, ¿cuál es su magnitud?
7. Una sustancia A tiene un pH de 3 y una B tiene un pH de 6. ¿Cuántas veces es más ácida la sustancia A?
8. El umbral del dolor por sonido es de 130 dB. Si \(I_0 = 10^{-12} W/m^2\), ¿cuál es la intensidad del sonido?
9. El terremoto de San Francisco de 1906 (M=7.9) vs. el de Napa de 2014 (M=6.0). ¿Cuántas veces más intenso fue el de 1906?
10. Si la lluvia ácida tiene un pH de 4.5, ¿cuál es su concentración de \([H^+]\)?