Buscamos el número no negativo cuyo cuadrado corresponde a cada radicando.

Como \(6^2=36\), entonces:

\[ \sqrt{36}=6. \]

Como \(9^2=81\), entonces:

\[ \sqrt{81}=9. \]

Como \(10^2=100\), entonces:

\[ \sqrt{100}=10. \]

Por lo tanto:

\[ \sqrt{36}=6,\qquad \sqrt{81}=9,\qquad \sqrt{100}=10. \]

La ecuación \(x^2=64\) pregunta por todos los números cuyo cuadrado es \(64\).

Como

\[ 8^2=64 \]

y también

\[ (-8)^2=64, \]

la ecuación tiene dos soluciones:

\[ x=8 \quad \text{y} \quad x=-8. \]

En cambio,

\[ \sqrt{64}=8 \]

porque la raíz cuadrada principal entrega únicamente el valor no negativo.

En un cuadrado, el área se calcula multiplicando lado por lado:

\[ A=l^2. \]

Si el área es \(49\text{ m}^2\), entonces:

\[ l^2=49. \]

Como una longitud no puede ser negativa, tomamos la raíz cuadrada principal:

\[ l=\sqrt{49}=7. \]

Por lo tanto, un lado del terreno mide \(7\text{ m}\).

La afirmación es falsa.

Primero resolvemos el lado izquierdo:

\[ \sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8. \]

Ahora resolvemos el lado derecho:

\[ \sqrt{100}-\sqrt{36}=10-6=4. \]

Como

\[ 8\neq 4, \]

se concluye que:

\[ \sqrt{100 - 36}\neq\sqrt{100}-\sqrt{36}. \]

Por lo tanto, no se pueden separar restas dentro de una raíz cuadrada.

1. Un cuadrado perfecto es un número que resulta de multiplicar un número entero por sí mismo. Por ejemplo:

\[ 16=4^2 \]

y

\[ 81=9^2. \]

2. Calcular \( \sqrt{25} \) entrega un solo resultado:

\[ \sqrt{25}=5, \]

porque la raíz cuadrada principal siempre es no negativa. En cambio, resolver \(x^2=25\) busca todos los números cuyo cuadrado es \(25\). Por eso:

\[ x=5 \quad \text{y} \quad x=-5. \]

3. En los números reales, ningún número elevado al cuadrado da como resultado un número negativo. Por ejemplo:

\[ 3^2=9 \quad \text{y} \quad (-3)^2=9. \]

Por eso, \( \sqrt{-9} \) no tiene solución en \( \mathbb{R} \).

Analizamos cada caso:

\( \frac{3}{5} \) es racional, porque ya está escrito como fracción de enteros.

\(0{,}125\) es racional, porque es un decimal finito. De hecho:

\[ 0{,}125=\frac{125}{1000}=\frac{1}{8}. \]

\(0{,}7777\ldots\) es racional, porque es un decimal periódico.

\( \sqrt{2} \) es irracional, porque \(2\) no es un cuadrado perfecto y su raíz cuadrada no puede escribirse como fracción de enteros.

\( \sqrt{5} \) es irracional, porque \(5\) no es un cuadrado perfecto y su raíz cuadrada tampoco puede escribirse como fracción de enteros.

a) \( \sqrt{10} \):

Buscamos cuadrados perfectos cercanos a \(10\):

\[ 3^2=9 \qquad \text{y} \qquad 4^2=16. \]

Como \(9<10<16\), entonces:

\[ 3<\sqrt{10}<4. \]

b) \( \sqrt{20} \):

Buscamos cuadrados perfectos cercanos a \(20\):

\[ 4^2=16 \qquad \text{y} \qquad 5^2=25. \]

Como \(16<20<25\), entonces:

\[ 4<\sqrt{20}<5. \]

c) \( \sqrt{50} \):

Buscamos cuadrados perfectos cercanos a \(50\):

\[ 7^2=49 \qquad \text{y} \qquad 8^2=64. \]

Como \(49<50<64\), entonces:

\[ 7<\sqrt{50}<8. \]

a) \( \sqrt{3} \):

Primero ubicamos la raíz entre enteros:

\[ 1^2=1 \qquad \text{y} \qquad 2^2=4. \]

Como \(1<3<4\), entonces \(1<\sqrt{3}<2\).

Probamos con decimales:

\[ 1{,}7^2=2{,}89 \]

\[ 1{,}8^2=3{,}24. \]

Como \(2{,}89<3<3{,}24\), se concluye que:

\[ 1{,}7<\sqrt{3}<1{,}8. \]

b) \( \sqrt{80} \):

Primero ubicamos la raíz entre enteros:

\[ 8^2=64 \qquad \text{y} \qquad 9^2=81. \]

Como \(64<80<81\), entonces \(8<\sqrt{80}<9\).

Probamos con un decimal cercano a \(9\):

\[ 8{,}9^2=79{,}21 \]

\[ 9{,}0^2=81. \]

Como \(79{,}21<80<81\), se concluye que:

\[ 8{,}9<\sqrt{80}<9{,}0. \]

Buscamos cuadrados perfectos cercanos a \(15\):

\[ 3^2=9 \qquad \text{y} \qquad 4^2=16. \]

Como \(9<15<16\), entonces:

\[ 3<\sqrt{15}<4. \]

Además, \(15\) está más cerca de \(16\) que de \(9\), por lo que \( \sqrt{15} \) estará más cerca de \(4\) que de \(3\).

Si afinamos la aproximación:

\[ 3{,}8^2=14{,}44 \]

\[ 3{,}9^2=15{,}21. \]

Por lo tanto:

\[ 3{,}8<\sqrt{15}<3{,}9. \]

Una aproximación razonable es:

\[ \sqrt{15}\approx 3{,}87. \]

1. El número \(0{,}12123123412345\dots\) es irracional, porque su desarrollo decimal continúa sin formar un periodo fijo que se repita indefinidamente.

2. Buscamos cuadrados perfectos cercanos a \(20\):

\[ 4^2=16 \qquad \text{y} \qquad 5^2=25. \]

Como \(16<20<25\), entonces:

\[ 4<\sqrt{20}<5. \]

Por lo tanto, el lado mide entre \(4\text{ cm}\) y \(5\text{ cm}\).

3. La diagonal de un cuadrado de lado \(1\) mide \( \sqrt{2} \). Ese número es irracional, por lo tanto no puede escribirse como una fracción de enteros.

a) Buscamos un número que elevado a \(3\) dé \(27\):

\[ 3^3=27. \]

Por lo tanto:

\[ \sqrt[3]{27}=3. \]

b) Buscamos un número no negativo que elevado a \(4\) dé \(81\):

\[ 3^4=81. \]

Por lo tanto:

\[ \sqrt[4]{81}=3. \]

c) Buscamos un número que elevado a \(5\) dé \(32\):

\[ 2^5=32. \]

Por lo tanto:

\[ \sqrt[5]{32}=2. \]

a) \( \sqrt[4]{100} \): el índice es par y el radicando es positivo. Por lo tanto, sí existe en \( \mathbb{R} \), y su resultado es positivo.

b) \( \sqrt[6]{-64} \): el índice es par y el radicando es negativo. Por lo tanto, no existe en \( \mathbb{R} \).

c) \( \sqrt[7]{-128} \): el índice es impar y el radicando es negativo. Por lo tanto, sí existe en \( \mathbb{R} \), y su resultado es negativo.

d) \( \sqrt[5]{0} \): el radicando es \(0\). Por lo tanto, sí existe y su resultado es:

\[ \sqrt[5]{0}=0. \]

Como el índice es impar, el signo negativo puede salir de la raíz:

\[ \sqrt[3]{-1000}=-\sqrt[3]{1000}. \]

Ahora calculamos la raíz cúbica positiva:

\[ \sqrt[3]{1000}=10 \]

porque

\[ 10^3=1000. \]

Entonces:

\[ \sqrt[3]{-1000}=-10. \]

a) Falsa. El índice es par y el radicando es negativo, por lo tanto \( \sqrt[4]{-81} \) no existe en \( \mathbb{R} \).

b) Verdadera, porque:

\[ (-3)^3=-27. \]

Entonces:

\[ \sqrt[3]{-27}=-3. \]

c) Verdadera. Si el índice es impar, una raíz con radicando negativo sí puede existir en \( \mathbb{R} \).

d) Falsa. Como el índice es par y el radicando es positivo, la raíz existe, pero el símbolo radical representa el valor no negativo. De hecho:

\[ \sqrt[6]{64}=2 \]

porque \(2^6=64\).

En particular:

\[ \sqrt[8]{256}=2 \]

porque \(2^8=256\), y

\[ \sqrt[5]{-243}=-3 \]

porque \((-3)^5=-243\).

1. \( \sqrt[3]{-125} \) existe porque el índice \(3\) es impar, y una potencia impar puede dar como resultado un número negativo. De hecho:

\[ (-5)^3=-125. \]

En cambio, \( \sqrt[4]{-125} \) no existe en \( \mathbb{R} \), porque el índice \(4\) es par y ninguna potencia par de un número real puede dar un número negativo.

2. Para que una raíz de índice par exista en los números reales, el radicando debe ser positivo o cero. Es decir, debe ser mayor o igual que cero.

3. Si el índice es impar y el radicando es negativo, el resultado tendrá signo negativo.

1. Como el índice es par:

   \[ \sqrt{x^2}=|x|. \]

2. Separamos el factor numérico y el literal:

   \[ \sqrt{9x^2}=3|x|. \]

3. Como el índice es impar, el signo se conserva:

   \[ \sqrt[3]{x^3}=x. \]

4. \[ \sqrt[3]{8x^3}=2x \]

   porque \(2^3=8\) y \(\sqrt[3]{x^3}=x\).

5. \[ \sqrt[3]{27x^3}=3x \]

   porque \(3^3=27\).

6. Como el índice es impar:

   \[ \sqrt[5]{x^5}=x. \]

7. \[ \sqrt{4x^2}=2|x|. \]

8. \[ \sqrt{16x^2}=4|x|. \]

9. \[ \sqrt{25x^2}=5|x|. \]

10. \[ \sqrt[3]{64x^3}=4x \]

    porque \(4^3=64\).

11. \[ \sqrt[3]{-8x^3}=-2x \]

    porque \((-2)^3=-8\) y el índice es impar.

12. \[ \sqrt[3]{-27x^3}=-3x \]

    porque \((-3)^3=-27\).

13. \[ \sqrt{x^2y^2}=\sqrt{(xy)^2}=|xy|. \]

14. \[ \sqrt{4x^2y^2}=2|xy|. \]

    También puede escribirse como \(2|x||y|\), ya que \(|xy|=|x||y|\).

15. \[ \sqrt{9x^2y^2}=3|xy|. \]

    También puede escribirse como \(3|x||y|\).

16. Como el índice es impar:

    \[ \sqrt[3]{x^3y^3}=xy. \]

17. \[ \sqrt[3]{8x^3y^3}=2xy. \]

18. \[ \sqrt[3]{-8x^3y^3}=-2xy. \]

19. Como el índice es par:

    \[ \sqrt[4]{x^4}=|x|. \]

20. \[ \sqrt[4]{16x^4}=2|x| \]

    porque \(2^4=16\) y \(\sqrt[4]{x^4}=|x|\).

21. \[ \sqrt[4]{x^8}=\sqrt[4]{(x^2)^4}=|x^2|=x^2. \]

22. Como el índice es par:

    \[ \sqrt[6]{x^6}=|x|. \]

23. \[ \sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3. \]

24. \[ \sqrt[3]{(-2)^3}=\sqrt[3]{-8}=-2. \]

25. En \(\mathbb{R}\), una raíz cuadrada solo existe si el radicando es mayor o igual que \(0\).

    Como \(x^2\ge 0\), entonces:

    \[ -4x^2\le 0. \]

    La expresión \(-4x^2\) es negativa para todo \(x\neq 0\), y vale \(0\) solo cuando \(x=0\).

    Por tanto, \(\sqrt{-4x^2}\) no existe en \(\mathbb{R}\) para \(x\neq 0\), y solo existe cuando \(x=0\).

1. Si usamos \(x\), queda:

   \[ \sqrt{x^2}=|x|. \]

   Aparece valor absoluto porque el índice es par.

2. Si usamos \(x\), queda:

   \[ \sqrt[3]{x^3}=x. \]

   No aparece valor absoluto porque el índice es impar.

3. Como \(\sqrt{9}=3\) y \(\sqrt{x^2}=|x|\):

   \[ \sqrt{9x^2}=3|x|. \]

   Por lo tanto, el espacio se completa con \(|x|\).

4. Como \(\sqrt[3]{8}=2\) y \(\sqrt[3]{x^3}=x\):

   \[ \sqrt[3]{8x^3}=2x. \]

   Por lo tanto, el espacio se completa con \(x\).

No siempre es correcta.

Lo correcto es:

\[ \sqrt{x^2}=|x|. \]

Esto ocurre porque en una raíz de índice par la salida siempre es positiva o cero.

Por ejemplo, si \(x=-5\), entonces:

\[ \sqrt{x^2}=\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5, \]

pero \(x=-5\). Por eso no sería correcto afirmar que \(\sqrt{x^2}=x\) para todo \(x\in\mathbb{R}\).

1. \[ \sqrt{3}\cdot \sqrt{7}=\sqrt{21} \]

2. \[ \sqrt{2}\cdot \sqrt{6}=\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3} \]

3. \[ \sqrt{5}\cdot \sqrt{20}=\sqrt{100}=10 \]

4. \[ \sqrt{3}\cdot \sqrt{15}=\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot 5}=3\sqrt{5} \]

5. \[ \sqrt{6}\cdot \sqrt{8}=\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3} \]

6. \[ \sqrt{5}\cdot \sqrt{10}=\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2} \]

7. \[ \sqrt[3]{4}\cdot \sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{8}=2 \]

8. \[ \sqrt[3]{10}\cdot \sqrt[3]{-25} =\sqrt[3]{-250} =\sqrt[3]{-125\cdot 2} =-5\sqrt[3]{2} \]

9. \[ \sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[3]{6}=\sqrt[3]{12} \]

10. \[ \sqrt[3]{-2}\cdot \sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{-8}=-2 \]

11. \[ \sqrt[3]{-3}\cdot \sqrt[3]{9}=\sqrt[3]{-27}=-3 \]

12. \[ \sqrt[5]{-2}\cdot \sqrt[5]{8}=\sqrt[5]{-16} \]

13. Para que exista en \(\mathbb{R}\), debe cumplirse \(x\ge 0\).

    \[ \sqrt{2x}\cdot \sqrt{8x} =\sqrt{16x^2} =4|x| \]

    Como \(x\ge 0\), entonces:

    \[ \sqrt{2x}\cdot \sqrt{8x}=4x. \]

14. Para que exista en \(\mathbb{R}\), debe cumplirse \(x\ge 0\).

    \[ \sqrt{3x}\cdot \sqrt{12x} =\sqrt{36x^2} =6|x| =6x \]

15. Para que exista en \(\mathbb{R}\), debe cumplirse \(x\ge 0\).

    \[ \sqrt{5x}\cdot \sqrt{20x} =\sqrt{100x^2} =10|x| =10x \]

16. Para que exista en \(\mathbb{R}\), debe cumplirse \(x\ge 0\).

    \[ \sqrt{6x}\cdot \sqrt{24x} =\sqrt{144x^2} =12|x| =12x \]

17. \[ \sqrt[3]{3x}\cdot \sqrt[3]{9x^2} =\sqrt[3]{27x^3} =3x \]

18. \[ \sqrt[3]{4x}\cdot \sqrt[3]{16x^2} =\sqrt[3]{64x^3} =4x \]

19. \[ \sqrt[3]{-x^2}\cdot \sqrt[3]{x} =\sqrt[3]{-x^3} =-x \]

20. \[ \sqrt[3]{-2x}\cdot \sqrt[3]{4x^2} =\sqrt[3]{-8x^3} =-2x \]

21. Para que exista en \(\mathbb{R}\), debe cumplirse \(xy\ge 0\).

    \[ \sqrt{xy}\cdot \sqrt{9xy} =\sqrt{9x^2y^2} =3|xy| \]

    Como \(xy\ge 0\), entonces:

    \[ \sqrt{xy}\cdot \sqrt{9xy}=3xy. \]

22. Para que exista en \(\mathbb{R}\), debe cumplirse \(y\ge 0\), ya que \(4x^2y\ge 0\) y \(y\ge 0\).

    \[ \sqrt{4x^2y}\cdot \sqrt{y} =\sqrt{4x^2y^2} =2|xy| \]

    Como \(y\ge 0\), entonces \(|xy|=|x|y\). Por lo tanto:

    \[ \sqrt{4x^2y}\cdot \sqrt{y}=2|x|y. \]

23. Para que exista en \(\mathbb{R}\), debe cumplirse \(y\ge 0\), ya que \(x^2y\ge 0\) y \(9y\ge 0\).

    \[ \sqrt{x^2y}\cdot \sqrt{9y} =\sqrt{9x^2y^2} =3|xy| \]

    Como \(y\ge 0\), entonces \(|xy|=|x|y\). Por lo tanto:

    \[ \sqrt{x^2y}\cdot \sqrt{9y}=3|x|y. \]

24. \[ \sqrt[3]{2x^2y}\cdot \sqrt[3]{4xy^2} =\sqrt[3]{8x^3y^3} =2xy \]

25. En \(\mathbb{R}\), ambas raíces deben existir por separado.

    Para \(\sqrt{x}\), se necesita:

    \[ x\ge 0. \]

    Para \(\sqrt{-4x}\), se necesita:

    \[ -4x\ge 0 \Rightarrow x\le 0. \]

    Ambas condiciones se cumplen al mismo tiempo solo cuando \(x=0\).

    Por tanto, \(\sqrt{-4x}\cdot \sqrt{x}\) solo existe en \(\mathbb{R}\) cuando \(x=0\).

1. Usamos la propiedad:

   \[ \sqrt{2}\cdot \sqrt{\square}=\sqrt{2\cdot \square} \]

   Para que sea \(\sqrt{72}\), debe cumplirse:

   \[ 2\cdot \square =72 \Rightarrow \square =36. \]

2. \[ 5\cdot \square =40 \Rightarrow \square =8. \]

3. \[ 4\cdot \square =32 \Rightarrow \square =8. \]

4. \[ 3\cdot \square =48 \Rightarrow \square =16. \]

No se puede aplicar en \(\mathbb{R}\).

La razón es que \(\sqrt{-3}\) y \(\sqrt{-12}\) no existen en los números reales, pues son raíces de índice par con radicando negativo.

Por eso sería incorrecto escribir:

\[ \sqrt{-3}\cdot \sqrt{-12}=\sqrt{36}=6. \]

Ese procedimiento no es válido en \(\mathbb{R}\), porque las raíces originales no existen como números reales.

1. \[ \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5. \]

2. \[ \frac{\sqrt{24}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{24}{2}} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}. \]

3. \[ \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5. \]

4. \[ \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{45}{5}} = \sqrt{9} = 3. \]

5. \[ \frac{\sqrt{54}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{54}{6}} = \sqrt{9} = 3. \]

6. \[ \frac{\sqrt{80}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{80}{5}} = \sqrt{16} = 4. \]

7. \[ \frac{\sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{\frac{16}{2}} = \sqrt[3]{8} = 2. \]

8. \[ \frac{\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{\frac{54}{2}} = \sqrt[3]{27} = 3. \]

9. \[ \frac{\sqrt[3]{24}}{\sqrt[3]{6}} = \sqrt[3]{\frac{24}{6}} = \sqrt[3]{4}. \]

10. \[ \frac{\sqrt[3]{-81}}{\sqrt[3]{3}} = \sqrt[3]{\frac{-81}{3}} = \sqrt[3]{-27} = -3. \]

11. \[ \frac{\sqrt[5]{-16}}{\sqrt[5]{2}} = \sqrt[5]{\frac{-16}{2}} = \sqrt[5]{-8}. \]

12. \[ \frac{\sqrt[5]{-96}}{\sqrt[5]{3}} = \sqrt[5]{\frac{-96}{3}} = \sqrt[5]{-32} = -2. \]

13. Para que exista en \(\mathbb{R}\), debe cumplirse \(x>0\).

    \[ \frac{\sqrt{x^5}}{\sqrt{x^3}} = \sqrt{\frac{x^5}{x^3}} = \sqrt{x^2} = |x|. \]

    Como \(x>0\), entonces:

    \[ \frac{\sqrt{x^5}}{\sqrt{x^3}}=x. \]

14. El denominador no puede ser cero, por lo tanto \(x\neq 0\).

    \[ \frac{\sqrt{9x^4}}{\sqrt{x^2}} = \sqrt{\frac{9x^4}{x^2}} = \sqrt{9x^2} = 3|x|. \]

15. Para que exista en \(\mathbb{R}\), debe cumplirse \(a>0\), porque el radicando del denominador \(5ab^2\) debe ser positivo. Además, esto hace que \(b\neq 0\).

    \[ \frac{\sqrt{20a^3b^4}}{\sqrt{5ab^2}} = \sqrt{\frac{20a^3b^4}{5ab^2}} = \sqrt{4a^2b^2} = 2|ab|. \]

    Como \(a>0\), entonces \(|ab|=a|b|\). Por lo tanto:

    \[ \frac{\sqrt{20a^3b^4}}{\sqrt{5ab^2}}=2a|b|. \]

16. Para que exista en \(\mathbb{R}\), debe cumplirse \(x>0\), porque el denominador \(\sqrt{2x}\) debe existir y no puede ser cero.

    \[ \frac{\sqrt{18x^3}}{\sqrt{2x}} = \sqrt{\frac{18x^3}{2x}} = \sqrt{9x^2} = 3|x|. \]

    Como \(x>0\), entonces:

    \[ \frac{\sqrt{18x^3}}{\sqrt{2x}}=3x. \]

17. El denominador no puede ser cero, por lo tanto \(mn\neq 0\).

    \[ \frac{\sqrt[3]{m^7n^5}}{\sqrt[3]{m^4n^2}} = \sqrt[3]{m^{7-4}n^{5-2}} = \sqrt[3]{m^3n^3} = mn. \]

18. El denominador no puede ser cero, por lo tanto \(x\neq 0\).

    \[ \frac{\sqrt[3]{-16x^7}}{\sqrt[3]{2x^4}} = \sqrt[3]{\frac{-16x^7}{2x^4}} = \sqrt[3]{-8x^3} = -2x. \]

19. El denominador no puede ser cero, por lo tanto \(mn\neq 0\).

    \[ \frac{\sqrt[3]{-m^4n^5}}{\sqrt[3]{mn^2}} = \sqrt[3]{\frac{-m^4n^5}{mn^2}} = \sqrt[3]{-m^3n^3} = -mn. \]

20. El denominador no puede ser cero, por lo tanto \(ab\neq 0\).

    \[ \frac{\sqrt[5]{-96a^8b^6}}{\sqrt[5]{3a^3b}} = \sqrt[5]{\frac{-96a^8b^6}{3a^3b}} = \sqrt[5]{-32a^5b^5} = -2ab. \]

21. Debe cumplirse \(y\neq 0\), porque el denominador \(\sqrt{y^2}=|y|\) no puede ser cero.

    \[ \frac{\sqrt{x^2y^2}}{\sqrt{y^2}} = \frac{|xy|}{|y|} = |x|. \]

22. Debe cumplirse \(x\neq 0\), porque el denominador \(\sqrt{x^2}=|x|\) no puede ser cero.

    \[ \frac{\sqrt{49x^2}}{\sqrt{x^2}} = \frac{7|x|}{|x|} = 7. \]

23. Debe cumplirse \(y\neq 0\), porque el denominador \(\sqrt{y^2}=|y|\) no puede ser cero.

    \[ \frac{\sqrt{9x^2y^4}}{\sqrt{y^2}} = \frac{3|xy^2|}{|y|} = \frac{3|x|y^2}{|y|} = 3|x||y|. \]

    También se puede obtener así:

    \[ \sqrt{\frac{9x^2y^4}{y^2}} = \sqrt{9x^2y^2} = 3|xy| = 3|x||y|. \]

24. El denominador no puede ser cero, por lo tanto \(mn\neq 0\).

    \[ \frac{\sqrt[6]{m^9n^8}}{\sqrt[6]{m^3n^2}} = \sqrt[6]{m^6n^6} = |mn|. \]

25. No existe en \(\mathbb{R}\).

    \(\sqrt{-8}\) y \(\sqrt{-2}\) no existen en los números reales porque son raíces de índice par con radicando negativo.

    Por eso no se puede aplicar la propiedad en este caso.

1. Usamos la propiedad:

   \[ \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{\square}} = \sqrt{\frac{72}{\square}}. \]

   Para que sea \(\sqrt{2}\), debe cumplirse:

   \[ \frac{72}{\square}=2. \]

   Entonces:

   \[ \square=36. \]

2. \[ \frac{45}{\square}=5 \Rightarrow \square=9. \]

3. \[ \frac{54}{\square}=2 \Rightarrow \square=27. \]

4. \[ \frac{48}{\square}=3 \Rightarrow \square=16. \]

En esta expresión, para que las raíces existan y el denominador no sea cero, debe cumplirse \(x>0\).

Dividimos los radicandos:

\[ \frac{\sqrt{x^7}}{\sqrt{x^5}} = \sqrt{\frac{x^7}{x^5}} = \sqrt{x^2} = |x|. \]

Como la expresión original exige \(x>0\), entonces \(|x|=x\).

Por lo tanto, la igualdad es correcta dentro de su dominio:

\[ \frac{\sqrt{x^7}}{\sqrt{x^5}}=x, \qquad \text{con } x>0. \]

1. \[ \sqrt{\sqrt{16}} = \sqrt[4]{16} = 2. \]

2. \[ \sqrt{\sqrt{81}} = \sqrt[4]{81} = 3. \]

3. \[ \sqrt[3]{\sqrt{64}} = \sqrt[6]{64} = 2. \]

4. \[ \sqrt{\sqrt[3]{64}} = \sqrt[6]{64} = 2. \]

5. \[ \sqrt[5]{\sqrt{32}} = \sqrt[10]{32}. \]

   Como \(32=2^5\), no se simplifica como raíz exacta de índice \(10\).

6. \[ \sqrt[3]{\sqrt[3]{-512}} = \sqrt[9]{-512}. \]

   Como \((-2)^9=-512\), entonces:

   \[ \sqrt[9]{-512}=-2. \]

7. \[ \sqrt{\sqrt[3]{x^6}} = \sqrt[6]{x^6} = |x|. \]

8. \[ \sqrt[3]{\sqrt{x^6}} = \sqrt[6]{x^6} = |x|. \]

9. \[ \sqrt{\sqrt{x^8}} = \sqrt[4]{x^8} = \sqrt[4]{(x^2)^4} = |x^2| = x^2. \]

10. \[ \sqrt[3]{\sqrt[5]{x^{15}}} = \sqrt[15]{x^{15}} = x. \]

    Como el índice final es impar, no aparece valor absoluto.

11. \[ \sqrt{\sqrt[4]{x^8}} = \sqrt[8]{x^8} = |x|. \]

12. \[ \sqrt[4]{\sqrt{x^8}} = \sqrt[8]{x^8} = |x|. \]

13. \[ \sqrt[3]{\sqrt{729x^6}} = \sqrt[6]{729x^6} = 3|x|. \]

14. \[ \sqrt[3]{\sqrt[4]{x^{12}}} = \sqrt[12]{x^{12}} = |x|. \]

15. \[ \sqrt[5]{\sqrt{x^{10}}} = \sqrt[10]{x^{10}} = |x|. \]

16. \[ \sqrt{\sqrt[5]{x^{10}}} = \sqrt[10]{x^{10}} = |x|. \]

17. \[ \sqrt[3]{\sqrt{x^6y^6}} = \sqrt[6]{x^6y^6} = |xy|. \]

18. \[ \sqrt{\sqrt{x^4y^4}} = \sqrt[4]{x^4y^4} = |xy|. \]

19. \[ \sqrt[3]{\sqrt[3]{-64}} = \sqrt[9]{-64}. \]

    Esta raíz existe en \(\mathbb{R}\), porque el índice final es impar, pero no es una raíz exacta entera.

20. \[ \sqrt{\sqrt[3]{64x^6}} = \sqrt[6]{64x^6}. \]

    Como \(64=2^6\), entonces:

    \[ \sqrt[6]{64x^6}=2|x|. \]

21. \[ \sqrt[3]{\sqrt{64x^6}} = \sqrt[6]{64x^6} = 2|x|. \]

22. \[ \sqrt[4]{\sqrt[3]{x}} = \sqrt[12]{x}. \]

    Para que exista en \(\mathbb{R}\), debe cumplirse \(\sqrt[3]{x}\ge 0\), por lo tanto \(x\ge 0\).

23. \[ \sqrt{\sqrt[5]{10}} = \sqrt[10]{10}. \]

24. \[ \sqrt[3]{\sqrt{x^6y^3}} = \sqrt[6]{x^6y^3}. \]

    Para que la raíz interior exista, se necesita \(x^6y^3\ge 0\). Si \(x\neq 0\), esto equivale a \(y\ge 0\); si \(x=0\), la expresión existe porque el radicando interior vale \(0\).

25. En \(\mathbb{R}\), la raíz interior \(\sqrt{-4x^2}\) debe existir primero.

    Como \(x^2\ge 0\), entonces:

    \[ -4x^2\le 0. \]

    La raíz \(\sqrt{-4x^2}\) existe solo cuando:

    \[ -4x^2=0. \]

    Esto ocurre únicamente cuando \(x=0\).

    Por tanto, \(\sqrt{\sqrt{-4x^2}}\) solo existe en \(\mathbb{R}\) cuando \(x=0\).

1. Los índices son \(2\) y \(2\). Entonces:

   \[ \sqrt{\sqrt{x}}=\sqrt[4]{x}. \]

2. Los índices son \(3\) y \(2\). Entonces:

   \[ \sqrt[3]{\sqrt{x}}=\sqrt[6]{x}. \]

3. Los índices son \(2\) y \(5\). Entonces:

   \[ \sqrt{\sqrt[5]{x}}=\sqrt[10]{x}. \]

4. Los índices son \(4\) y \(3\). Entonces:

   \[ \sqrt[4]{\sqrt[3]{x}}=\sqrt[12]{x}. \]

No siempre es correcta.

Primero reunimos las raíces multiplicando índices:

\[ \sqrt{\sqrt{x^2}} = \sqrt[4]{x^2}. \]

No se puede simplificar directamente a \(x\), porque el exponente \(2\) no coincide con el índice final \(4\).

Además, por ejemplo, si \(x=16\), entonces:

\[ \sqrt{\sqrt{16^2}} = \sqrt{\sqrt{256}} = \sqrt{16} = 4, \]

pero \(x=16\). Por lo tanto, la igualdad no es correcta en general.

1. \[ 3\sqrt{2} = \sqrt{3^2\cdot 2} = \sqrt{18}. \]

2. \[ 2\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{2^3\cdot 5} = \sqrt[3]{40}. \]

3. \[ 4\sqrt{3} = \sqrt{4^2\cdot 3} = \sqrt{48}. \]

4. Si \(a\ge 0\) y \(b\ge 0\), entonces:

   \[ a\sqrt{b} = \sqrt{a^2b}. \]

5. Como el índice es impar:

   \[ x\sqrt[3]{y} = \sqrt[3]{x^3y}. \]

6. \[ \sqrt{50} = \sqrt{25\cdot 2} = 5\sqrt{2}. \]

7. \[ \sqrt{27} = \sqrt{9\cdot 3} = 3\sqrt{3}. \]

8. \[ \sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{8\cdot 3} = 2\sqrt[3]{3}. \]

9. \[ \sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27\cdot 2} = 3\sqrt[3]{2}. \]

10. \[ \sqrt{72} = \sqrt{36\cdot 2} = 6\sqrt{2}. \]

11. Para que exista en \(\mathbb{R}\), debe cumplirse \(a\ge 0\).

    \[ \sqrt{a^3} = \sqrt{a^2\cdot a} = |a|\sqrt{a} = a\sqrt{a}. \]

12. Para que exista en \(\mathbb{R}\), debe cumplirse \(x\ge 0\).

    \[ \sqrt{x^5} = \sqrt{x^4\cdot x} = x^2\sqrt{x}. \]

13. \[ \sqrt{x^5y^2} = \sqrt{x^4\cdot x\cdot y^2} = x^2|y|\sqrt{x}. \]

    La expresión existe cuando \(x^5y^2\ge 0\).

14. \[ \sqrt{a^3b^4} = \sqrt{a^2\cdot a\cdot b^4} = |a|b^2\sqrt{a}. \]

    Para que exista en \(\mathbb{R}\), debe cumplirse \(a^3b^4\ge 0\).

15. \[ \sqrt[3]{x^4} = \sqrt[3]{x^3\cdot x} = x\sqrt[3]{x}. \]

16. \[ \sqrt[3]{x^7y^3} = \sqrt[3]{x^6\cdot x\cdot y^3} = x^2y\sqrt[3]{x}. \]

17. \[ \sqrt{16x^2} = 4|x|. \]

18. \[ \sqrt{36x^4} = 6\sqrt{(x^2)^2} = 6|x^2| = 6x^2. \]

19. \[ \sqrt[4]{16x^5} = \sqrt[4]{2^4\cdot x^4\cdot x} = 2|x|\sqrt[4]{x}. \]

    Para que exista en \(\mathbb{R}\), debe cumplirse \(x\ge 0\). Por eso también puede escribirse como:

    \[ 2x\sqrt[4]{x}. \]

20. \[ \sqrt[4]{81x^8} = \sqrt[4]{3^4\cdot (x^2)^4} = 3|x^2| = 3x^2. \]

21. \[ \sqrt{x^2y^4} = \sqrt{x^2\cdot (y^2)^2} = |x|y^2. \]

22. \[ \sqrt[3]{-54} = \sqrt[3]{-27\cdot 2} = -3\sqrt[3]{2}. \]

23. \[ \sqrt[3]{-16x^3} = \sqrt[3]{-8\cdot 2\cdot x^3} = -2x\sqrt[3]{2}. \]

24. \[ \sqrt{200} = \sqrt{100\cdot 2} = 10\sqrt{2}. \]

25. No existe en \(\mathbb{R}\).

    La raíz cuadrada solo existe en los números reales si el radicando es mayor o igual que \(0\).

    Como \(-18<0\), entonces \(\sqrt{-18}\) no es un número real.

1. El \(5\) entra a la raíz cuadrada como \(5^2=25\):

   \[ 5\sqrt{2} = \sqrt{25\cdot 2} = \sqrt{50}. \]

2. El \(2\) entra a la raíz cúbica como \(2^3=8\):

   \[ 2\sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{8\cdot 3} = \sqrt[3]{24}. \]

3. Buscamos un cuadrado perfecto dentro de \(18\):

   \[ \sqrt{18} = \sqrt{9\cdot 2} = 3\sqrt{2}. \]

4. Buscamos un cubo perfecto dentro de \(54\):

   \[ \sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27\cdot 2} = 3\sqrt[3]{2}. \]

No siempre es correcta.

Lo correcto es:

\[ \sqrt{a^2}=|a|. \]

Esto ocurre porque en una raíz de índice par el resultado siempre es positivo o cero.

Por ejemplo, si \(a=-4\):

\[ \sqrt{a^2} = \sqrt{(-4)^2} = \sqrt{16} = 4, \]

pero \(a=-4\). Por eso no es correcto afirmar que \(\sqrt{a^2}=a\) para todo número real.

1. \[ \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}. \]

2. \[ \frac{3}{\sqrt{5}}\cdot\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}. \]

3. \[ \frac{2}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}. \]

4. \[ \frac{5}{\sqrt{7}}\cdot\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} = \frac{5\sqrt{7}}{7}. \]

5. Completamos una potencia cúbica:

   \[ \frac{1}{\sqrt[3]{2}}\cdot\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{4}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}. \]

6. \[ \frac{1}{\sqrt[3]{3}}\cdot\frac{\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{9}} = \frac{\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{\sqrt[3]{9}}{3}. \]

7. \[ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}. \]

8. \[ \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=2, \]

   porque \(\sqrt{5}\neq 0\).

9. Usamos el conjugado \(2-\sqrt{3}\):

   \[ \frac{1}{2+\sqrt{3}}\cdot\frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} = \frac{2-\sqrt{3}}{4-3} = 2-\sqrt{3}. \]

10. Usamos el conjugado \(2+\sqrt{3}\):

    \[ \frac{1}{2-\sqrt{3}}\cdot\frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = 2+\sqrt{3}. \]

11. Usamos el conjugado \(1-\sqrt{2}\):

    \[ \frac{3}{1+\sqrt{2}}\cdot\frac{1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}} = \frac{3(1-\sqrt{2})}{1-2}. \]

    Entonces:

    \[ \frac{3(1-\sqrt{2})}{-1} = -3+3\sqrt{2}. \]

12. Usamos el conjugado \(1+\sqrt{2}\):

    \[ \frac{3}{1-\sqrt{2}}\cdot\frac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} = \frac{3(1+\sqrt{2})}{1-2} = -3-3\sqrt{2}. \]

13. Usamos el conjugado \(3-\sqrt{5}\):

    \[ \frac{2}{3+\sqrt{5}}\cdot\frac{3-\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}} = \frac{2(3-\sqrt{5})}{9-5}. \]

    Entonces:

    \[ \frac{2(3-\sqrt{5})}{4} = \frac{3-\sqrt{5}}{2}. \]

14. Usamos el conjugado \(2+\sqrt{7}\):

    \[ \frac{4}{2-\sqrt{7}}\cdot\frac{2+\sqrt{7}}{2+\sqrt{7}} = \frac{4(2+\sqrt{7})}{4-7}. \]

    Entonces:

    \[ \frac{4(2+\sqrt{7})}{-3} = -\frac{4(2+\sqrt{7})}{3}. \]

15. Para que exista y el denominador no sea cero, se necesita \(x>0\).

    \[ \frac{1}{\sqrt{x}}\cdot\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}}{x}. \]

16. Para que exista y el denominador no sea cero, se necesita \(a>0\).

    \[ \frac{2}{\sqrt{a}}\cdot\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} = \frac{2\sqrt{a}}{a}. \]

17. Usamos el conjugado \(x-\sqrt{y}\):

    \[ \frac{1}{x+\sqrt{y}}\cdot\frac{x-\sqrt{y}}{x-\sqrt{y}} = \frac{x-\sqrt{y}}{x^2-y}. \]

    Se requiere que las raíces existan y que los denominadores involucrados no sean cero.

18. Usamos el conjugado \(x+\sqrt{y}\):

    \[ \frac{1}{x-\sqrt{y}}\cdot\frac{x+\sqrt{y}}{x+\sqrt{y}} = \frac{x+\sqrt{y}}{x^2-y}. \]

    Se requiere que las raíces existan y que los denominadores involucrados no sean cero.

19. Para que exista y el denominador no sea cero, se necesita \(y>0\) y \(x\ge 0\).

    \[ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}\cdot\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}} = \frac{\sqrt{xy}}{y}. \]

20. Usamos el conjugado \(\sqrt{x}-\sqrt{y}\):

    \[ \frac{3}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\cdot\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} = \frac{3(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{x-y}. \]

    Se requiere \(x\ge 0\), \(y\ge 0\) y que las expresiones usadas en el denominador no sean cero.

21. Usamos el conjugado \(\sqrt{x}+\sqrt{y}\):

    \[ \frac{5}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}\cdot\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} = \frac{5(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{x-y}. \]

    Se requiere \(x\ge 0\), \(y\ge 0\) y \(x\neq y\).

22. Para que el denominador no sea cero, se necesita \(x\neq 0\).

    Completamos una potencia cúbica:

    \[ \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}\cdot\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}} = \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x^3}} = \frac{\sqrt[3]{x}}{x}. \]

23. Para que el denominador no sea cero, se necesita \(x\neq 0\).

    \[ \frac{2}{\sqrt[3]{x}}\cdot\frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{x^2}} = \frac{2\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{x^3}} = \frac{2\sqrt[3]{x^2}}{x}. \]

24. Usamos el conjugado \(2-\sqrt{3}\):

    \[ \frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\cdot\frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}(2-\sqrt{3})}{4-3}. \]

    Por lo tanto:

    \[ \frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}-3. \]

25. No se puede racionalizar en \(\mathbb{R}\).

    La expresión \(\sqrt{-2}\) no existe en los números reales, porque es una raíz cuadrada de un número negativo.

    Por tanto, la fracción \(\dfrac{1}{\sqrt{-2}}\) no está definida en \(\mathbb{R}\).

1. Se multiplica por la misma raíz:

   \[ \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}. \]

2. Se multiplica por el conjugado:

   \[ \frac{1}{2+\sqrt{3}}\cdot\frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}. \]

3. Se completa una potencia cúbica:

   \[ \frac{1}{\sqrt[3]{2}}\cdot\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{4}}. \]

4. Se multiplica por el conjugado:

   \[ \frac{1}{x+\sqrt{y}}\cdot\frac{x-\sqrt{y}}{x-\sqrt{y}}. \]

No es correcta.

No se pueden sumar directamente \(2\) y \(\sqrt{3}\) para convertir el denominador en \(5\).

Lo correcto es racionalizar usando el conjugado:

\[ \frac{1}{2+\sqrt{3}}\cdot\frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} = \frac{2-\sqrt{3}}{4-3} = 2-\sqrt{3}. \]

Por lo tanto:

\[ \frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}. \]

1. \[ 2\sqrt{3}+5\sqrt{3}=7\sqrt{3}. \]

2. \[ 7\sqrt{5}-2\sqrt{5}=5\sqrt{5}. \]

3. \[ 4\sqrt{2}+3\sqrt{2}=7\sqrt{2}. \]

4. \[ 9\sqrt[3]{7}-4\sqrt[3]{7}=5\sqrt[3]{7}. \]

5. \[ 3\sqrt{2}+4\sqrt{5} \]

   No se puede reducir, porque los radicales no son semejantes.

6. \[ 2\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{5} \]

   No se puede reducir, porque los radicandos son distintos.

7. Primero simplificamos:

   \[ \sqrt{12}=2\sqrt{3} \qquad \sqrt{27}=3\sqrt{3}. \]

   Entonces:

   \[ \sqrt{12}+\sqrt{27} = 2\sqrt{3}+3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}. \]

8. \[ \sqrt{50}=5\sqrt{2} \qquad \sqrt{8}=2\sqrt{2}. \]

   Entonces:

   \[ \sqrt{50}-\sqrt{8} = 5\sqrt{2}-2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}. \]

9. \[ \sqrt{45}=3\sqrt{5} \qquad \sqrt{20}=2\sqrt{5}. \]

   Entonces:

   \[ \sqrt{45}+\sqrt{20} = 3\sqrt{5}+2\sqrt{5} = 5\sqrt{5}. \]

10. \[ \sqrt{18}=3\sqrt{2} \qquad \sqrt{8}=2\sqrt{2}. \]

    Entonces:

    \[ \sqrt{18}+\sqrt{8} = 3\sqrt{2}+2\sqrt{2} = 5\sqrt{2}. \]

11. \[ \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8\cdot 2} = 2\sqrt[3]{2}. \]

    \[ \sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27\cdot 2} = 3\sqrt[3]{2}. \]

    Entonces:

    \[ \sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{54} = 2\sqrt[3]{2}+3\sqrt[3]{2} = 5\sqrt[3]{2}. \]

12. \[ \sqrt[3]{128} = \sqrt[3]{64\cdot 2} = 4\sqrt[3]{2}. \]

    \[ \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8\cdot 2} = 2\sqrt[3]{2}. \]

    Entonces:

    \[ \sqrt[3]{128}-\sqrt[3]{16} = 4\sqrt[3]{2}-2\sqrt[3]{2} = 2\sqrt[3]{2}. \]

13. \[ 3x\sqrt{5}-x\sqrt{5}=2x\sqrt{5}. \]

14. \[ 5a\sqrt{2}+2a\sqrt{2}=7a\sqrt{2}. \]

15. \[ \sqrt{4x^2}+\sqrt{9x^2} = 2|x|+3|x| = 5|x|. \]

16. \[ \sqrt{16y^2}-\sqrt{y^2} = 4|y|-|y| = 3|y|. \]

17. \[ \sqrt{x^2y^2} = |xy| \]

    y

    \[ \sqrt{4x^2y^2} = 2|xy|. \]

    Entonces:

    \[ \sqrt{x^2y^2}+\sqrt{4x^2y^2} = |xy|+2|xy| = 3|xy|. \]

18. \[ \sqrt[3]{8x^3}=2x \qquad \sqrt[3]{27x^3}=3x. \]

    Entonces:

    \[ \sqrt[3]{8x^3}+\sqrt[3]{27x^3} = 2x+3x = 5x. \]

19. \[ \sqrt[3]{16x^3} = \sqrt[3]{8\cdot 2\cdot x^3} = 2x\sqrt[3]{2}. \]

    \[ \sqrt[3]{54x^3} = \sqrt[3]{27\cdot 2\cdot x^3} = 3x\sqrt[3]{2}. \]

    Entonces:

    \[ \sqrt[3]{16x^3}-\sqrt[3]{54x^3} = 2x\sqrt[3]{2}-3x\sqrt[3]{2} = -x\sqrt[3]{2}. \]

20. \[ 2\sqrt{12}+\sqrt{27} = 2(2\sqrt{3})+3\sqrt{3}. \]

    \[ 4\sqrt{3}+3\sqrt{3}=7\sqrt{3}. \]

21. \[ 3\sqrt{8}-\sqrt{18} = 3(2\sqrt{2})-3\sqrt{2}. \]

    \[ 6\sqrt{2}-3\sqrt{2}=3\sqrt{2}. \]

22. \[ \sqrt{75} = \sqrt{25\cdot 3} = 5\sqrt{3}. \]

    Entonces:

    \[ \sqrt{75}-2\sqrt{3} = 5\sqrt{3}-2\sqrt{3} = 3\sqrt{3}. \]

23. \[ \sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{8\cdot 3} = 2\sqrt[3]{3}. \]

    \[ \sqrt[3]{81} = \sqrt[3]{27\cdot 3} = 3\sqrt[3]{3}. \]

    Entonces:

    \[ \sqrt[3]{24}+\sqrt[3]{81} = 2\sqrt[3]{3}+3\sqrt[3]{3} = 5\sqrt[3]{3}. \]

24. \[ \sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27\cdot 2} = 3\sqrt[3]{2}. \]

    Entonces:

    \[ \sqrt[3]{54}-2\sqrt[3]{2} = 3\sqrt[3]{2}-2\sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{2}. \]

25. No se puede reducir.

    Las raíces \(\sqrt{2}\) y \(\sqrt{3}\) no son semejantes porque tienen distinto radicando.

1. \[ \sqrt{12} = \sqrt{4\cdot 3} = 2\sqrt{3}. \]

2. \[ \sqrt{27} = \sqrt{9\cdot 3} = 3\sqrt{3}. \]

3. \[ \sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27\cdot 2} = 3\sqrt[3]{2}. \]

4. Primero simplificamos:

   \[ \sqrt{50}=5\sqrt{2} \qquad \sqrt{8}=2\sqrt{2}. \]

   Entonces:

   \[ \sqrt{50}-\sqrt{8} = 5\sqrt{2}-2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}. \]

No es correcta.

No se suman los radicandos directamente. Primero se debe simplificar:

\[ \sqrt{12} = \sqrt{4\cdot 3} = 2\sqrt{3}. \]

Entonces:

\[ \sqrt{12}+\sqrt{3} = 2\sqrt{3}+\sqrt{3} = 3\sqrt{3}. \]

Por lo tanto:

\[ \sqrt{12}+\sqrt{3}\neq \sqrt{15}. \]

Buscamos un cuadrado perfecto dentro de \(24\):

\[ 24=4\cdot 6. \]

Entonces:

\[ \sqrt{24} = \sqrt{4\cdot 6} = \sqrt{4}\sqrt{6} = 2\sqrt{6}. \]

Buscamos un cuadrado perfecto dentro de \(44\):

\[ 44=4\cdot 11. \]

Entonces:

\[ \sqrt{44} = \sqrt{4\cdot 11} = \sqrt{4}\sqrt{11} = 2\sqrt{11}. \]

Buscamos un cuadrado perfecto dentro de \(52\):

\[ 52=4\cdot 13. \]

Entonces:

\[ \sqrt{52} = \sqrt{4\cdot 13} = \sqrt{4}\sqrt{13} = 2\sqrt{13}. \]

Primero simplificamos \(\sqrt{12}\):

\[ \sqrt{12} = \sqrt{4\cdot 3} = 2\sqrt{3}. \]

Reemplazamos en la expresión:

\[ \sqrt{12}+3\sqrt{3} = 2\sqrt{3}+3\sqrt{3}. \]

Como son radicales semejantes, sumamos los coeficientes:

\[ 2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}. \]

Simplificamos cada raíz:

\[ \sqrt{50} = \sqrt{25\cdot 2} = 5\sqrt{2}. \]

\[ \sqrt{18} = \sqrt{9\cdot 2} = 3\sqrt{2}. \]

Ahora restamos radicales semejantes:

\[ \sqrt{50}-\sqrt{18} = 5\sqrt{2}-3\sqrt{2} = 2\sqrt{2}. \]

Simplificamos cada radical:

\[ \sqrt{20} = \sqrt{4\cdot 5} = 2\sqrt{5}. \]

\[ \sqrt{27} = \sqrt{9\cdot 3} = 3\sqrt{3}. \]

\[ \sqrt{45} = \sqrt{9\cdot 5} = 3\sqrt{5}. \]

\[ \sqrt{75} = \sqrt{25\cdot 3} = 5\sqrt{3}. \]

Reemplazamos:

\[ \sqrt{20}+\sqrt{27}-\sqrt{45}-\sqrt{75} = 2\sqrt{5}+3\sqrt{3}-3\sqrt{5}-5\sqrt{3}. \]

Agrupamos radicales semejantes:

\[ (2\sqrt{5}-3\sqrt{5})+(3\sqrt{3}-5\sqrt{3}). \]

Reducimos:

\[ -\sqrt{5}-2\sqrt{3}. \]

Multiplicamos numerador y denominador por \(\sqrt{5}\):

\[ \frac{1}{\sqrt{5}}\cdot\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}. \]

El denominador ya no tiene raíz.

Multiplicamos numerador y denominador por \(\sqrt{2}\):

\[ \frac{3}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}. \]

Multiplicamos numerador y denominador por \(\sqrt{7}\):

\[ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\cdot\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7}. \]

El exponente \(\frac{1}{2}\) representa raíz cuadrada:

\[ 25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5. \]

El exponente \(\frac{1}{3}\) representa raíz cúbica:

\[ 27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3. \]

Usamos la raíz cuadrada y luego elevamos al cubo:

\[ 4^{\frac{3}{2}} = \left(\sqrt{4}\right)^3. \]

Como \(\sqrt{4}=2\), entonces:

\[ \left(\sqrt{4}\right)^3 = 2^3 = 8. \]

Usamos la raíz cúbica y luego elevamos al cuadrado:

\[ 8^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2. \]

Como \(\sqrt[3]{8}=2\), entonces:

\[ \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4. \]

Primero calculamos la potencia:

\[ 3^2=9. \]

Luego reemplazamos:

\[ 3^2\cdot \sqrt{3} = 9\sqrt{3}. \]

Primero escribimos \(5^{\frac{3}{2}}\) usando raíz cuadrada:

\[ 5^{\frac{3}{2}} = 5^1\cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5\sqrt{5}. \]

Entonces:

\[ \frac{5^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{5}}. \]

Como \(\sqrt{5}\neq 0\), simplificamos:

\[ \frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 5. \]

Usamos que \(2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}\):

\[ \frac{2\cdot 2^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}. \]

Como \(\sqrt{2}\neq 0\), simplificamos:

\[ \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2. \]

1. \[ \sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}} \qquad (x\ge 0). \]

2. \[ \sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}. \]

3. \[ \sqrt[4]{x^3}=x^{\frac{3}{4}} \qquad (x\ge 0). \]

4. \[ \sqrt[5]{a^2}=a^{\frac{2}{5}}. \]

5. \[ x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x} \qquad (x\ge 0). \]

6. \[ x^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{x}. \]

7. \[ x^{\frac{3}{2}} = \left(\sqrt{x}\right)^3 \qquad (x\ge 0). \]

8. \[ x^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{x}\right)^2. \]

9. \[ a^{\frac{5}{4}} = \left(\sqrt[4]{a}\right)^5 \qquad (a\ge 0). \]

10. \[ 16^{\frac{1}{2}}=\sqrt{16}=4. \]

11. \[ 27^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{27}=3. \]

12. \[ 32^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{32}=2. \]

13. \[ 8^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4. \]

14. \[ 16^{\frac{3}{4}} = \left(\sqrt[4]{16}\right)^3 = 2^3 = 8. \]

15. \[ 81^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{81}=3. \]

16. \[ x^{\frac{1}{2}}\cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}} = x^1 = x \qquad (x\ge 0). \]

17. \[ \left(x^{\frac{1}{2}}\right)^3 = x^{\frac{1}{2}\cdot 3} = x^{\frac{3}{2}} \qquad (x\ge 0). \]

18. \[ \left(a^{\frac{1}{3}}\right)^2 = a^{\frac{2}{3}}. \]

19. \[ \sqrt{\sqrt{x}} = \left(x^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{x} \qquad (x\ge 0). \]

20. \[ \sqrt[3]{\sqrt{x}} = \left(x^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{x} \qquad (x\ge 0). \]

21. \[ \sqrt[4]{\sqrt[3]{x}} = \left(x^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{4}} = x^{\frac{1}{12}} = \sqrt[12]{x}. \]

    Para que exista en \(\mathbb{R}\), se requiere \(x\ge 0\), porque la raíz exterior tiene índice par.

22. \[ x^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{x} \qquad (x\ge 0). \]

23. \[ x^{\frac{1}{6}}=\sqrt[6]{x} \qquad (x\ge 0). \]

24. \[ x^{\frac{3}{4}} = \left(\sqrt[4]{x}\right)^3 \qquad (x\ge 0). \]

25. Una primera forma es:

    \[ x^{\frac{3}{2}} = \left(\sqrt{x}\right)^3. \]

    Como trabajamos con \(x\ge 0\), también puede escribirse como:

    \[ x^{\frac{3}{2}} = \sqrt{x^3}. \]

1. La raíz cuadrada corresponde al exponente \(\frac{1}{2}\):

   \[ \sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}. \]

2. La raíz cúbica corresponde al exponente \(\frac{1}{3}\):

   \[ \sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}. \]

3. El numerador \(3\) indica la potencia aplicada al resultado de la raíz:

   \[ x^{\frac{3}{2}} = \left(\sqrt{x}\right)^3. \]

4. El índice \(4\) queda en el denominador y el exponente \(3\) en el numerador:

   \[ \sqrt[4]{x^3}=x^{\frac{3}{4}}. \]

No es correcta.

Como son términos semejantes, se suman los coeficientes:

\[ x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{2}} = 2x^{\frac{1}{2}}. \]

Como \(x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}\), también se puede escribir:

\[ 2x^{\frac{1}{2}}=2\sqrt{x}. \]

Por lo tanto:

\[ x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{2}}\neq x. \]

1. Como el denominador es \(3\), que es impar:

   \[ (-8)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{-8} = -2. \]

2. Como el denominador es \(3\), que es impar:

   \[ (-8)^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{-8}\right)^2 = (-2)^2 = 4. \]

3. Primero reducimos el exponente racional:

   \[ \frac{2}{6}=\frac{1}{3}. \]

   Entonces:

   \[ (-8)^{\frac{2}{6}} = (-8)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{-8} = -2. \]

4. No existe en \(\mathbb{R}\).

   \[ (-16)^{\frac{3}{4}} \notin \mathbb{R} \]

   porque el denominador reducido es \(4\), que es par, y eso exigiría una raíz cuarta de un número negativo.

5. Como el denominador es \(5\), que es impar:

   \[ (-32)^{\frac{4}{5}} = \left(\sqrt[5]{-32}\right)^4 = (-2)^4 = 16. \]

6. No siempre son iguales.

   Por una parte:

   \[ x^{\frac{2}{2}}=x^1=x. \]

   Pero:

   \[ \sqrt{x^2}=|x|. \]

   Si \(x<0\), entonces \(x\) y \(|x|\) no coinciden.

7. Porque \(\sqrt[6]{-8}\) no existe en \(\mathbb{R}\).

   Una raíz de índice par de un número negativo no es real, por lo tanto no se puede elevar al cuadrado una expresión que no está definida en \(\mathbb{R}\).

8. Porque \(\sqrt[6]{(-8)^2}\) representa otra operación.

   En efecto:

   \[ \sqrt[6]{(-8)^2} = \sqrt[6]{64} = 2. \]

   Pero el exponente racional debe interpretarse primero:

   \[ (-8)^{\frac{2}{6}} = (-8)^{\frac{1}{3}} = -2. \]

   Por eso, la transformación mecánica con la fracción no reducida induce error.

1. racional.

2. \(\mathbb{R}\).

3. \(\mathbb{R}\).

4. par o improcedente según la fracción no reducida.

El error está en usar mecánicamente la fracción \(\frac{2}{6}\) para fabricar una raíz sexta.

Como exponente racional:

\[ \frac{2}{6}=\frac{1}{3}. \]

Entonces:

\[ (-8)^{\frac{2}{6}} = (-8)^{\frac{1}{3}} = -2. \]

La expresión \(\sqrt[6]{(-8)^2}\) representa otra operación y entrega otro valor.