Estadistica
| Sitio: | MATEMÁTICAS × Profe Arauco |
| Curso: | Media 4 |
| Libro: | Estadistica |
| Imprimido por: | Invitado |
| Día: | jueves, 23 de abril de 2026, 08:50 |
Tabla de contenidos
- 1. Diagnostico
- 2. Situaciones de dos resultados posibles
- 3. Ensayos repetidos e independencia
- 4. Cálculo de probabilidades binomiales en casos simples
- 5. Interpretación de resultados binomiales en contexto
- 6. prepara la prueba nivel 1
- 7. prepara la prueba nivel 2
- 8. Organización de datos en tablas, histogramas y gráfico poligonal
- 9. Introducción intuitiva al modelo normal
- 10. Lectura e interpretación de valores cercanos o alejados del centro en una distribución normal
- 11. Evaluación de unidad y retroalimentación
1. Diagnostico
Página 1: Diagnóstico breve y repaso de probabilidad simple
En esta página comenzaremos con un repaso de ideas fundamentales de probabilidad. Trabajaremos con los conceptos de experimento aleatorio, resultado, evento y probabilidad simple, junto con algunas preguntas breves de diagnóstico para reconocer lo que ya sabes y lo que necesitamos reforzar.
Objetivo de la página
- Reconocer qué es un experimento aleatorio.
- Distinguir entre resultado y evento.
- Calcular probabilidades simples en contextos cotidianos.
- Detectar errores frecuentes de interpretación.
Al finalizar esta página deberías poder:
- Identificar el espacio muestral en experimentos sencillos.
- Describir eventos con palabras y también con resultados.
- Determinar probabilidades cuando todos los resultados son equiprobables.
- Experimento aleatorio: proceso cuyo resultado no se puede predecir con certeza antes de realizarlo.
- Resultado: cada posible salida concreta del experimento.
- Evento: conjunto de uno o más resultados que cumplen una condición.
- Probabilidad simple: si todos los resultados son igualmente posibles, \[ P(A)=\frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}} \]
Un resultado suele ser una sola posibilidad concreta; en cambio, un evento puede reunir varios resultados.
Por ejemplo, al lanzar un dado:
- Resultado: “sale 4”.
- Evento: “sale un número par”, que incluye 2, 4 y 6.
No confundas evento con resultado. Decir “obtener un número menor que 5” no es un solo resultado: es un evento formado por varios resultados posibles.
Resumen inicial
| Concepto | Qué significa | Ejemplo al lanzar un dado |
|---|---|---|
| Experimento aleatorio | Acción cuyo resultado no se conoce antes de realizarla | Lanzar un dado |
| Resultado | Una salida específica | Sale 3 |
| Evento | Conjunto de resultados que cumplen una condición | Sale un número impar: {1, 3, 5} |
| Probabilidad | Medida de qué tan posible es un evento | \(P(\text{impar})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\) |
Ejemplo guiado 1
Se lanza una moneda una vez.
Experimento aleatorio: lanzar una moneda.
Resultados posibles: cara, sello.
Evento: “obtener cara”.
Como hay 1 caso favorable y 2 casos posibles,
\[ P(\text{cara})=\frac{1}{2} \]
Ejemplo guiado 2
Se lanza un dado equilibrado de 6 caras. Queremos calcular la probabilidad del evento “obtener un número mayor que 4”.
Espacio muestral: \(\{1,2,3,4,5,6\}\)
Evento mayor que 4: \(\{5,6\}\)
Hay 2 casos favorables y 6 casos posibles, entonces:
\[ P(\text{número mayor que 4})=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \]
Esta fórmula se usa directamente cuando todos los resultados tienen la misma posibilidad de ocurrir, como al lanzar una moneda equilibrada, un dado equilibrado o al extraer una bolita al azar de una bolsa bien mezclada.
Diagnóstico breve
Pregunta 1
Indica cuál de las siguientes situaciones corresponde a un experimento aleatorio.
- Calcular \(3+4\).
- Lanzar un dado y observar el número obtenido.
- Dibujar un triángulo equilátero con regla.
- Escribir los divisores de 12.
Respuesta: La alternativa correcta es b, porque su resultado no se conoce con certeza antes de realizar el experimento.
Pregunta 2
Al lanzar una moneda una vez, escribe:
- el experimento aleatorio,
- los resultados posibles,
- un evento posible.
Una posible respuesta:
- Experimento aleatorio: lanzar una moneda.
- Resultados posibles: cara, sello.
- Evento posible: obtener cara.
Pregunta 3
En el experimento “lanzar un dado”, clasifica cada expresión como resultado o evento:
- “Sale 2”
- “Sale un número par”
- “Sale un número menor que 5”
- a) Resultado
- b) Evento
- c) Evento
Explicación: solo “sale 2” describe una única salida concreta.
Pregunta 4
Se lanza un dado equilibrado. Calcula la probabilidad de obtener un número impar.
Los números impares son \(\{1,3,5\}\).
Hay 3 casos favorables de 6 posibles, por lo tanto:
\[ P(\text{impar})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \]
Pregunta 5
En una bolsa hay 5 bolitas rojas y 3 bolitas azules. Se extrae una bolita al azar.
- ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bolita roja?
- ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bolita azul?
Total de bolitas: \(5+3=8\).
a) \[ P(\text{roja})=\frac{5}{8} \]
b) \[ P(\text{azul})=\frac{3}{8} \]
Pregunta 6
Se extrae al azar una carta de este conjunto: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
- Escribe el evento \(A\): “obtener un número mayor que 7”.
- Calcula \(P(A)\).
a) \(A=\{8,9,10\}\)
b) Hay 3 casos favorables de 10 posibles, entonces:
\[ P(A)=\frac{3}{10} \]
Pregunta 7
Una ruleta tiene 8 sectores iguales numerados del 1 al 8. Calcula la probabilidad de obtener:
- un múltiplo de 2,
- un número primo.
a) Múltiplos de 2: \(\{2,4,6,8\}\)
\[ P(\text{múltiplo de 2})=\frac{4}{8}=\frac{1}{2} \]
b) Números primos: \(\{2,3,5,7\}\)
\[ P(\text{primo})=\frac{4}{8}=\frac{1}{2} \]
Pregunta 8
Puente tipo PAES: En una bolsa hay 4 fichas numeradas: 1, 2, 3 y 4. Se extrae una ficha al azar.
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
- La probabilidad de obtener un número par es \(\frac{1}{4}\).
- La probabilidad de obtener un número menor que 5 es \(\frac{1}{2}\).
- La probabilidad de obtener un número impar es \(\frac{2}{4}\).
- La probabilidad de obtener el número 5 es \(\frac{1}{4}\).
Respuesta correcta: c
Los impares son \(\{1,3\}\), es decir, 2 casos favorables de 4 posibles:
\[ P(\text{impar})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \]
Revisión de distractores:
- a) Incorrecta, porque los pares son 2 y 4, entonces la probabilidad es \(\frac{2}{4}\).
- b) Incorrecta, porque todos los números son menores que 5, entonces la probabilidad es \(\frac{4}{4}=1\).
- d) Incorrecta, porque el 5 no está en la bolsa, así que la probabilidad es 0.
La probabilidad aparece cuando analizamos juegos de azar, pronósticos del tiempo, encuestas, controles de calidad, deportes y toma de decisiones en contextos de incertidumbre. Por eso es importante comenzar distinguiendo bien entre resultado, evento y probabilidad.
Cierre
En esta primera página repasamos las ideas base que necesitaremos para avanzar después hacia situaciones con dos resultados posibles, ensayos repetidos y modelo binomial.
- Primero identifica el experimento.
- Luego enumera los resultados posibles.
- Después define el evento que te piden.
- Finalmente calcula la probabilidad como razón entre casos favorables y posibles, si todos son equiprobables.
2. Situaciones de dos resultados posibles
Situaciones de dos resultados posibles
En muchas situaciones aleatorias, cada intento tiene solo dos resultados posibles. Por ejemplo: acertar o fallar, aprobar o no aprobar, encender o no encender, ganar o perder. A este tipo de situaciones las describiremos con las categorías éxito y fracaso.
Esta idea será la base para estudiar más adelante el modelo binomial. Por ahora, nos interesa reconocer cuándo una situación puede representarse con esos dos resultados y cómo describirla correctamente.
Objetivo de la página
- Reconocer situaciones con dos resultados posibles.
- Identificar qué se considera éxito y qué se considera fracaso según el contexto.
- Relacionar experiencias cotidianas con la lógica inicial del modelo binomial.
- Calcular probabilidades simples en ensayos de éxito/fracaso.
Al finalizar esta página deberías poder:
- Determinar si una situación puede modelarse con dos resultados posibles.
- Definir con claridad el éxito en un experimento.
- Calcular probabilidades simples asociadas a éxito o fracaso.
En un experimento de dos resultados posibles, cada ensayo se clasifica en una de estas dos categorías:
- Éxito: ocurre el resultado que nos interesa observar.
- Fracaso: no ocurre el resultado que nos interesa.
Si la probabilidad de éxito es \(p\), entonces la probabilidad de fracaso es:
\[ 1-p \]
Éxito no significa necesariamente “algo bueno”. En probabilidad, éxito es simplemente el resultado que decidimos estudiar.
Por ejemplo, al lanzar una moneda, si estamos interesados en obtener sello, entonces:
- Éxito: obtener sello.
- Fracaso: no obtener sello.
No confundas “éxito” con “resultado favorable en la vida real”. En matemáticas, éxito es solo la categoría que definimos como importante para el problema.
Situaciones cotidianas de éxito y fracaso
| Situación | Éxito | Fracaso |
|---|---|---|
| Lanzar una moneda | Obtener cara | No obtener cara |
| Responder una pregunta | Responder correctamente | Responder incorrectamente |
| Fabricar una pieza | La pieza no tiene defectos | La pieza tiene defecto |
| Lanzar un dado | Obtener un número par | No obtener un número par |
| Encestar en básquetbol | Encestar | No encestar |
Ejemplo guiado 1
Se lanza una moneda equilibrada y se define como éxito “obtener cara”.
Los resultados posibles son: cara o sello.
Si el éxito es obtener cara, entonces:
- \(P(\text{éxito})=P(\text{cara})=\frac{1}{2}\)
- \(P(\text{fracaso})=P(\text{sello})=\frac{1}{2}\)
Ejemplo guiado 2
Se lanza un dado equilibrado y se define como éxito “obtener un número mayor que 4”.
Espacio muestral: \(\{1,2,3,4,5,6\}\)
Éxito: obtener 5 o 6.
Entonces:
\[ P(\text{éxito})=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \]
La probabilidad de fracaso es:
\[ P(\text{fracaso})=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} \]
Ejemplo guiado 3
En una caja hay 7 ampolletas buenas y 3 defectuosas. Se extrae una al azar. Se define éxito como “extraer una ampolleta defectuosa”.
Total de ampolletas: \(7+3=10\)
Casos favorables al éxito: 3
\[ P(\text{éxito})=\frac{3}{10} \]
Entonces:
\[ P(\text{fracaso})=1-\frac{3}{10}=\frac{7}{10} \]
Porque en el modelo binomial se repite varias veces un mismo tipo de ensayo y en cada uno solo hay dos opciones: éxito o fracaso. En esta página todavía trabajamos con situaciones simples, pero ya estamos construyendo esa idea.
En encuestas, controles de calidad, medicina, deportes y estudios de opinión se analizan muchas veces variables de dos resultados: sí/no, aprueba/no aprueba, compra/no compra, presenta falla/no presenta falla. Por eso este modelo es tan importante.
Ejercicios
Ejercicio 1
Indica si la siguiente situación puede modelarse con dos resultados posibles:
“Se lanza una moneda y se observa si sale cara”.
Luego identifica el éxito y el fracaso.
Sí, puede modelarse con dos resultados posibles.
- Éxito: obtener cara.
- Fracaso: no obtener cara.
Ejercicio 2
En una prueba de selección múltiple se considera éxito “responder correctamente una pregunta”.
Escribe cuál sería el fracaso.
El fracaso es no responder correctamente la pregunta, es decir, equivocarse.
Ejercicio 3
Se lanza un dado equilibrado y se define como éxito “obtener un número par”.
- Escribe los resultados de éxito.
- Calcula la probabilidad de éxito.
- Calcula la probabilidad de fracaso.
a) Los resultados de éxito son \(\{2,4,6\}\).
b) \[ P(\text{éxito})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \]
c) \[ P(\text{fracaso})=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \]
Ejercicio 4
En una bolsa hay 6 fichas rojas y 4 fichas azules. Se extrae una ficha al azar. Se define éxito “obtener una ficha azul”.
- Calcula la probabilidad de éxito.
- Calcula la probabilidad de fracaso.
Total de fichas: \(6+4=10\)
a) \[ P(\text{éxito})=\frac{4}{10}=\frac{2}{5} \]
b) \[ P(\text{fracaso})=1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5} \]
Ejercicio 5
Una ruleta tiene 5 sectores iguales numerados del 1 al 5. Se define éxito “obtener un número menor que 3”.
- Escribe los resultados que corresponden al éxito.
- Calcula la probabilidad de éxito.
a) Los resultados son \(\{1,2\}\).
b) \[ P(\text{éxito})=\frac{2}{5} \]
Ejercicio 6
Se extrae al azar una carta numerada del 1 al 12. Se define éxito “obtener un múltiplo de 4”.
- ¿Cuáles son los resultados de éxito?
- ¿Cuál es la probabilidad de éxito?
- ¿Cuál es la probabilidad de fracaso?
a) Los múltiplos de 4 entre 1 y 12 son \(\{4,8,12\}\).
b) \[ P(\text{éxito})=\frac{3}{12}=\frac{1}{4} \]
c) \[ P(\text{fracaso})=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4} \]
Ejercicio 7
En una fábrica, una pieza puede salir defectuosa o sin defecto. En un lote pequeño se observa que 2 de 20 piezas son defectuosas.
- Si se define éxito “la pieza es defectuosa”, ¿cuál es la probabilidad de éxito?
- ¿Cuál es la probabilidad de fracaso?
a) \[ P(\text{éxito})=\frac{2}{20}=\frac{1}{10} \]
b) \[ P(\text{fracaso})=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10} \]
Ejercicio 8
En un lanzamiento de básquetbol se considera éxito “encestar”. Si una jugadora encesta 7 de cada 10 lanzamientos en promedio, responde:
- ¿Cuál es la probabilidad de éxito?
- ¿Cuál es la probabilidad de fracaso?
a) \[ P(\text{éxito})=\frac{7}{10} \]
b) \[ P(\text{fracaso})=1-\frac{7}{10}=\frac{3}{10} \]
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
Al lanzar un dado equilibrado, se define éxito “obtener un número primo”. ¿Cuál es la probabilidad de éxito?
- \(\frac{1}{6}\)
- \(\frac{2}{6}\)
- \(\frac{3}{6}\)
- \(\frac{4}{6}\)
Los números primos en un dado son \(\{2,3,5\}\), es decir, 3 resultados favorables.
\[ P(\text{éxito})=\frac{3}{6} \]
Alternativa correcta: c
PAES 2
En una bolsa hay 3 bolitas verdes y 5 bolitas amarillas. Se extrae una bolita al azar. Si el éxito es “sacar una bolita verde”, ¿cuál es la probabilidad de fracaso?
- \(\frac{3}{8}\)
- \(\frac{5}{8}\)
- \(\frac{1}{8}\)
- \(\frac{3}{5}\)
Total: \(3+5=8\)
\[ P(\text{éxito})=\frac{3}{8} \]
\[ P(\text{fracaso})=1-\frac{3}{8}=\frac{5}{8} \]
Alternativa correcta: b
PAES 3
¿En cuál de las siguientes situaciones se puede aplicar correctamente un modelo de dos resultados posibles?
- Registrar el número exacto que sale al lanzar un dado.
- Clasificar una respuesta como correcta o incorrecta.
- Identificar el mes de cumpleaños de una persona.
- Elegir una carta entre 52 distintas y anotar su pinta exacta.
La situación que tiene dos categorías naturales es correcta o incorrecta.
Alternativa correcta: b
PAES 4
Una situación se modela con éxito y fracaso. Si la probabilidad de éxito es \(\frac{2}{7}\), entonces la probabilidad de fracaso es:
- \(\frac{5}{7}\)
- \(\frac{2}{5}\)
- \(\frac{1}{7}\)
- \(\frac{9}{7}\)
\[ P(\text{fracaso})=1-\frac{2}{7}=\frac{5}{7} \]
Alternativa correcta: a
Cierre
En esta página estudiamos situaciones con dos resultados posibles y vimos que la elección de lo que se llama éxito depende de lo que interesa analizar. Esta idea será fundamental cuando avancemos hacia ensayos repetidos y lectura de parámetros del modelo binomial.
- Éxito y fracaso son categorías matemáticas.
- La probabilidad de fracaso se obtiene con \(1-p\).
- Estas situaciones preparan el estudio del modelo binomial.
3. Ensayos repetidos e independencia
Ensayos repetidos e independencia
En la página anterior trabajamos con situaciones de dos resultados posibles: éxito o fracaso. Ahora avanzaremos un paso más: estudiaremos qué ocurre cuando ese mismo tipo de experimento se repite varias veces.
Esta idea es la base del modelo binomial. Para usarlo correctamente, necesitamos reconocer tres elementos fundamentales:
- que haya un número fijo de ensayos,
- que en cada ensayo existan dos resultados posibles,
- y que los ensayos sean independientes.
Objetivo de la página
- Comprender qué significa repetir un ensayo aleatorio.
- Reconocer cuándo los ensayos son independientes.
- Identificar los parámetros principales del modelo binomial.
- Interpretar el significado de \(n\), \(p\), éxito y variable aleatoria en contexto.
Al finalizar esta página deberías poder:
- Decidir si una situación puede modelarse con una distribución binomial.
- Reconocer el número de ensayos \(n\).
- Reconocer la probabilidad de éxito \(p\).
- Interpretar la variable \(X\) como número de éxitos en \(n\) ensayos.
Una situación puede modelarse con una distribución binomial cuando cumple estas condiciones:
- Se repite un mismo experimento un número fijo de veces.
- Cada ensayo tiene solo dos resultados posibles: éxito o fracaso.
- La probabilidad de éxito es la misma en cada ensayo.
- Los ensayos son independientes.
Sus parámetros principales son:
- \(n\): número de ensayos.
- \(p\): probabilidad de éxito en cada ensayo.
- \(X\): número de éxitos obtenidos en los \(n\) ensayos.
En un modelo binomial no interesa tanto el orden en que ocurren los éxitos, sino cuántos éxitos se obtienen en total.
Por ejemplo, al lanzar 5 veces una moneda, nos puede interesar cuántas veces sale cara: 0, 1, 2, 3, 4 o 5.
Dos ensayos son independientes cuando el resultado de uno no cambia la probabilidad del siguiente.
Por ejemplo, al lanzar una moneda varias veces, que en un lanzamiento salga cara no cambia la probabilidad de obtener cara en el siguiente lanzamiento.
No toda repetición de un experimento forma un modelo binomial. Si al repetir el experimento la probabilidad de éxito cambia, entonces no corresponde usar este modelo.
Eso puede ocurrir, por ejemplo, cuando se extraen objetos sin reposición desde una bolsa pequeña.
Resumen de parámetros
| Elemento | Significado | Ejemplo |
|---|---|---|
| \(n\) | Número total de ensayos | Lanzar una moneda 6 veces \(\rightarrow n=6\) |
| \(p\) | Probabilidad de éxito en un ensayo | Éxito = cara \(\rightarrow p=\frac{1}{2}\) |
| \(1-p\) | Probabilidad de fracaso | \(1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\) |
| \(X\) | Número de éxitos | \(X\): cantidad de caras obtenidas |
Ejemplo guiado 1
Se lanza una moneda equilibrada 4 veces. Se define éxito como “obtener cara”.
Esta situación sí puede modelarse con una distribución binomial porque:
- hay un número fijo de ensayos: \(n=4\),
- en cada ensayo hay dos resultados posibles: cara o sello,
- la probabilidad de éxito es constante: \(p=\frac{1}{2}\),
- los lanzamientos son independientes.
La variable aleatoria puede definirse como:
\[ X=\text{número de caras obtenidas en 4 lanzamientos} \]
Entonces los posibles valores de \(X\) son:
\[ 0,1,2,3,4 \]
Ejemplo guiado 2
Una jugadora de básquetbol encesta un lanzamiento libre con probabilidad \(0{,}8\). Realiza 3 lanzamientos, considerando que cada uno es independiente.
Definimos éxito como “encestar”.
- \(n=3\)
- \(p=0{,}8\)
- \(1-p=0{,}2\)
La variable aleatoria es:
\[ X=\text{número de lanzamientos encestados} \]
Los posibles valores de \(X\) son \(0,1,2,3\).
Ejemplo guiado 3
En una bolsa hay 3 bolitas rojas y 2 azules. Se extraen 2 bolitas sin reposición. Se define éxito como “obtener una bolita roja”.
Aunque hay dos resultados posibles en cada extracción (roja o no roja), esta situación no es binomial si la extracción es sin reposición.
La razón es que la probabilidad cambia entre una extracción y otra.
Por ejemplo:
- al inicio, \(P(\text{roja})=\frac{3}{5}\),
- pero después de extraer una bolita, esa probabilidad puede cambiar.
Por eso no hay independencia entre ensayos.
Los modelos binomiales aparecen en encuestas, controles de calidad, diagnósticos médicos, deportes y sondeos. En todos esos casos interesa contar cuántas veces ocurre un resultado específico dentro de varios intentos.
Ejercicios
Ejercicio 1
Se lanza una moneda equilibrada 6 veces y se define éxito como “obtener cara”.
- Indica el valor de \(n\).
- Indica el valor de \(p\).
- Describe la variable aleatoria \(X\).
a) \(n=6\)
b) \(p=\frac{1}{2}\)
c) \(X=\) número de caras obtenidas en 6 lanzamientos.
Ejercicio 2
Una ampolleta sale defectuosa con probabilidad \(0{,}03\). Se revisan 10 ampolletas, suponiendo ensayos independientes.
- ¿Cuál es el éxito?
- ¿Cuál es el valor de \(n\)?
- ¿Cuál es el valor de \(p\)?
a) Éxito: que una ampolleta sea defectuosa.
b) \(n=10\)
c) \(p=0{,}03\)
Ejercicio 3
Un estudiante responde 8 preguntas de verdadero o falso al azar. Se define éxito como “responder correctamente”.
- ¿Puede modelarse con una distribución binomial?
- ¿Cuál es el valor de \(p\)?
- ¿Qué representa \(X\)?
a) Sí, puede modelarse con una distribución binomial.
b) Como hay dos opciones y responde al azar, \(p=\frac{1}{2}\).
c) \(X=\) número de respuestas correctas en 8 preguntas.
Ejercicio 4
Se lanza un dado equilibrado 5 veces. Se define éxito como “obtener un número mayor que 4”.
- Calcula \(p\).
- Indica \(n\).
- Escribe los valores posibles de \(X\).
Los números mayores que 4 son 5 y 6, por lo tanto:
a) \[ p=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \]
b) \(n=5\)
c) \(X\) puede tomar los valores \(0,1,2,3,4,5\).
Ejercicio 5
En una encuesta, cada persona puede responder “sí” o “no”. Se entrevista a 20 personas y se define éxito como “responder sí”. La probabilidad de responder sí es \(0{,}4\) para cada persona, de manera independiente.
- Indica \(n\).
- Indica \(p\).
- Explica qué representa \(X\).
a) \(n=20\)
b) \(p=0{,}4\)
c) \(X=\) número de personas que responden sí entre las 20 entrevistadas.
Ejercicio 6
En una caja hay 4 lápices rojos y 6 azules. Se extraen 3 lápices sin reposición. Se define éxito como “extraer un lápiz rojo”.
¿Corresponde a un modelo binomial? Justifica.
No corresponde a un modelo binomial.
La razón es que al extraer sin reposición cambia la composición de la caja, por lo que también cambia la probabilidad de éxito entre una extracción y otra. No hay independencia.
Ejercicio 7
Un arquero ataja un penal con probabilidad \(0{,}25\). En una práctica enfrenta 4 penales independientes.
- ¿Cuál es el éxito?
- ¿Cuál es \(n\)?
- ¿Cuál es \(p\)?
- ¿Qué representa \(X\)?
a) Éxito: atajar un penal.
b) \(n=4\)
c) \(p=0{,}25\)
d) \(X=\) número de penales atajados en la práctica.
Ejercicio 8
Para cierto test rápido, la probabilidad de que una persona obtenga resultado positivo es \(0{,}12\). Se aplica el test a 15 personas, considerando independencia.
- Indica el valor de \(n\).
- Indica el valor de \(p\).
- Indica el valor de \(1-p\).
- Describe la variable aleatoria \(X\).
a) \(n=15\)
b) \(p=0{,}12\)
c) \[ 1-p=1-0{,}12=0{,}88 \]
d) \(X=\) número de personas que obtienen resultado positivo entre las 15 evaluadas.
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
Se lanza una moneda equilibrada 7 veces y se define \(X\) como el número de veces que sale cara. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
- \(n=\frac{1}{2}\) y \(p=7\)
- \(n=7\) y \(p=\frac{1}{2}\)
- \(n=2\) y \(p=7\)
- \(n=7\) y \(p=1\)
En 7 lanzamientos:
- el número de ensayos es \(n=7\),
- la probabilidad de éxito “obtener cara” es \(p=\frac{1}{2}\).
Alternativa correcta: b
PAES 2
¿Cuál de las siguientes situaciones no puede modelarse binomialmente?
- Lanzar un dado 10 veces y registrar cuántas veces sale 6.
- Aplicar una encuesta a 12 personas y contar cuántas responden sí.
- Extraer 4 bolitas de una urna sin reposición y contar cuántas son rojas.
- Lanzar una moneda 8 veces y contar cuántas veces sale sello.
La situación que no puede modelarse binomialmente es la extracción sin reposición, porque cambia la probabilidad de éxito entre ensayos.
Alternativa correcta: c
PAES 3
Una variable aleatoria binomial \(X\) representa el número de éxitos en 9 ensayos independientes, con probabilidad de éxito \(0{,}3\). ¿Qué representa el valor 9?
- La probabilidad de fracaso
- El número de éxitos
- El número de ensayos
- La probabilidad de éxito
En una distribución binomial, el número 9 corresponde a \(n\), es decir, al número de ensayos.
Alternativa correcta: c
PAES 4
En cierto experimento binomial, la probabilidad de éxito es \(0{,}65\). Entonces, la probabilidad de fracaso es:
- \(0{,}35\)
- \(0{,}65\)
- \(1{,}65\)
- \(0\)
\[ P(\text{fracaso})=1-0{,}65=0{,}35 \]
Alternativa correcta: a
Cierre
En esta página aprendimos que el modelo binomial se usa cuando un mismo experimento se repite bajo condiciones estables: dos resultados posibles, igual probabilidad de éxito e independencia entre ensayos.
En la próxima página avanzaremos al cálculo de probabilidades binomiales en casos simples, es decir, comenzaremos a responder preguntas como: “¿cuál es la probabilidad de obtener exactamente 3 éxitos?”
- \(n\) indica cuántas veces se repite el experimento.
- \(p\) indica la probabilidad de éxito en cada ensayo.
- \(X\) cuenta cuántos éxitos se obtienen.
- Si no hay independencia, no corresponde usar modelo binomial.
4. Cálculo de probabilidades binomiales en casos simples
Cálculo de probabilidades binomiales en casos simples
En las páginas anteriores vimos situaciones de éxito y fracaso, y también aprendimos a reconocer cuándo un contexto puede modelarse con una distribución binomial. Ahora daremos el siguiente paso: calcular probabilidades binomiales en situaciones simples.
En particular, nos interesará responder preguntas como estas:
- ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 2 éxitos?
- ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 3 caras?
- ¿Cuál es la probabilidad de encestar exactamente 1 lanzamiento?
Para ello utilizaremos la fórmula de la distribución binomial y también haremos interpretaciones en lenguaje cotidiano.
Objetivo de la página
- Aplicar la fórmula binomial en casos simples.
- Identificar \(n\), \(p\), \(k\) y el evento a calcular.
- Calcular probabilidades de obtener exactamente cierta cantidad de éxitos.
- Interpretar el resultado en el contexto del problema.
Al finalizar esta página deberías poder:
- Reconocer cuándo usar la fórmula binomial.
- Calcular \(P(X=k)\) en ejemplos sencillos.
- Explicar con palabras qué significa la probabilidad obtenida.
Si una variable aleatoria \(X\) sigue una distribución binomial con parámetros \(n\) y \(p\), entonces la probabilidad de obtener exactamente \(k\) éxitos está dada por:
\[ P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \]
donde:
- \(n\): número de ensayos,
- \(k\): número de éxitos que queremos calcular,
- \(p\): probabilidad de éxito,
- \(1-p\): probabilidad de fracaso.
Este número indica de cuántas maneras se pueden ubicar los \(k\) éxitos dentro de los \(n\) ensayos.
Por ejemplo, si queremos exactamente 2 éxitos en 3 ensayos, esos éxitos pueden ocurrir en distintos órdenes:
- éxito, éxito, fracaso
- éxito, fracaso, éxito
- fracaso, éxito, éxito
Por eso aparece el factor combinatorio en la fórmula.
La fórmula binomial permite calcular la probabilidad de obtener una cantidad exacta de éxitos, no solo un éxito cualquiera.
No confundas:
- “exactamente 2 éxitos” con
- “a lo más 2 éxitos” o “al menos 2 éxitos”.
En esta página trabajaremos solo con exactamente.
Tabla de referencia
| Símbolo | Significado | Ejemplo |
|---|---|---|
| \(n\) | Número de ensayos | 4 lanzamientos de moneda |
| \(k\) | Número exacto de éxitos | 2 caras |
| \(p\) | Probabilidad de éxito | \(\frac{1}{2}\) |
| \(1-p\) | Probabilidad de fracaso | \(\frac{1}{2}\) |
| \(P(X=k)\) | Probabilidad de obtener exactamente \(k\) éxitos | \(P(X=2)\) |
Ejemplo guiado 1
Se lanza una moneda equilibrada 3 veces. Calcula la probabilidad de obtener exactamente 2 caras.
Definimos éxito = obtener cara.
- \(n=3\)
- \(k=2\)
- \(p=\frac{1}{2}\)
Aplicamos la fórmula:
\[ P(X=2)=\binom{3}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)^{1} \]
Como \(\binom{3}{2}=3\), resulta:
\[ P(X=2)=3\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2} \]
\[ P(X=2)=\frac{3}{8} \]
Ejemplo guiado 2
Una jugadora encesta un lanzamiento libre con probabilidad \(0{,}7\). Si realiza 4 lanzamientos independientes, ¿cuál es la probabilidad de encestar exactamente 3?
- \(n=4\)
- \(k=3\)
- \(p=0{,}7\)
- \(1-p=0{,}3\)
\[ P(X=3)=\binom{4}{3}(0{,}7)^3(0{,}3)^1 \]
\[ P(X=3)=4\cdot 0{,}343\cdot 0{,}3 \]
\[ P(X=3)=0{,}4116 \]
La probabilidad de encestar exactamente 3 de los 4 lanzamientos es 0,4116.
Ejemplo guiado 3
Un test rápido tiene probabilidad \(0{,}2\) de dar positivo en cierto grupo. Si se aplica a 5 personas independientes, calcula la probabilidad de que exactamente 1 obtenga resultado positivo.
- \(n=5\)
- \(k=1\)
- \(p=0{,}2\)
- \(1-p=0{,}8\)
\[ P(X=1)=\binom{5}{1}(0{,}2)^1(0{,}8)^4 \]
\[ P(X=1)=5\cdot 0{,}2\cdot 0{,}4096 \]
\[ P(X=1)=0{,}4096 \]
Este tipo de cálculo se usa cuando queremos estimar cuántas veces ocurrirá un resultado en varios intentos: cuántos productos pueden salir defectuosos, cuántos pacientes podrían dar positivo, cuántos tiros libres se encestarán o cuántas personas responderán de cierta manera en una encuesta.
Ejercicios
Ejercicio 1
Se lanza una moneda equilibrada 4 veces. Calcula la probabilidad de obtener exactamente 1 cara.
Definimos éxito = obtener cara.
- \(n=4\)
- \(k=1\)
- \(p=\frac{1}{2}\)
\[ P(X=1)=\binom{4}{1}\left(\frac{1}{2}\right)^1\left(\frac{1}{2}\right)^3 \]
\[ P(X=1)=4\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{8} \]
\[ P(X=1)=\frac{4}{16}=\frac{1}{4} \]
Ejercicio 2
Se lanza una moneda equilibrada 5 veces. Calcula la probabilidad de obtener exactamente 3 caras.
- \(n=5\)
- \(k=3\)
- \(p=\frac{1}{2}\)
\[ P(X=3)=\binom{5}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^3\left(\frac{1}{2}\right)^2 \]
\[ P(X=3)=10\cdot \frac{1}{8}\cdot \frac{1}{4} \]
\[ P(X=3)=\frac{10}{32}=\frac{5}{16} \]
Ejercicio 3
Un dado equilibrado se lanza 3 veces. Se define éxito como “obtener un 6”. Calcula la probabilidad de obtener exactamente 1 éxito.
Aquí:
- \(n=3\)
- \(k=1\)
- \(p=\frac{1}{6}\)
- \(1-p=\frac{5}{6}\)
\[ P(X=1)=\binom{3}{1}\left(\frac{1}{6}\right)^1\left(\frac{5}{6}\right)^2 \]
\[ P(X=1)=3\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{25}{36} \]
\[ P(X=1)=\frac{75}{216}=\frac{25}{72} \]
Ejercicio 4
Una jugadora encesta con probabilidad \(0{,}6\). Si realiza 3 lanzamientos independientes, calcula la probabilidad de encestar exactamente 2.
- \(n=3\)
- \(k=2\)
- \(p=0{,}6\)
- \(1-p=0{,}4\)
\[ P(X=2)=\binom{3}{2}(0{,}6)^2(0{,}4) \]
\[ P(X=2)=3\cdot 0{,}36\cdot 0{,}4 \]
\[ P(X=2)=0{,}432 \]
Ejercicio 5
La probabilidad de que una pieza salga defectuosa es \(0{,}1\). Se revisan 4 piezas independientes. Calcula la probabilidad de que exactamente 2 sean defectuosas.
- \(n=4\)
- \(k=2\)
- \(p=0{,}1\)
- \(1-p=0{,}9\)
\[ P(X=2)=\binom{4}{2}(0{,}1)^2(0{,}9)^2 \]
\[ P(X=2)=6\cdot 0{,}01\cdot 0{,}81 \]
\[ P(X=2)=0{,}0486 \]
Ejercicio 6
En una encuesta, la probabilidad de que una persona responda “sí” es \(0{,}3\). Se seleccionan 5 personas independientes. Calcula la probabilidad de que exactamente 0 respondan “sí”.
En este caso:
- \(n=5\)
- \(k=0\)
- \(p=0{,}3\)
- \(1-p=0{,}7\)
\[ P(X=0)=\binom{5}{0}(0{,}3)^0(0{,}7)^5 \]
Como \(\binom{5}{0}=1\) y \((0{,}3)^0=1\), queda:
\[ P(X=0)=0{,}7^5 \]
\[ P(X=0)=0{,}16807 \]
Ejercicio 7
Un arquero ataja un penal con probabilidad \(0{,}25\). Si enfrenta 4 penales independientes, calcula la probabilidad de atajar exactamente 1.
- \(n=4\)
- \(k=1\)
- \(p=0{,}25\)
- \(1-p=0{,}75\)
\[ P(X=1)=\binom{4}{1}(0{,}25)(0{,}75)^3 \]
\[ P(X=1)=4\cdot 0{,}25\cdot 0{,}421875 \]
\[ P(X=1)=0{,}421875 \]
Ejercicio 8
Un test detecta cierta condición con probabilidad \(0{,}2\) en una población específica. Si se aplica a 3 personas independientes, calcula la probabilidad de que exactamente 3 obtengan resultado positivo.
- \(n=3\)
- \(k=3\)
- \(p=0{,}2\)
- \(1-p=0{,}8\)
\[ P(X=3)=\binom{3}{3}(0{,}2)^3(0{,}8)^0 \]
\[ P(X=3)=1\cdot 0{,}008\cdot 1 \]
\[ P(X=3)=0{,}008 \]
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
Se lanza una moneda equilibrada 3 veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 2 caras?
- \(\frac{1}{8}\)
- \(\frac{2}{8}\)
- \(\frac{3}{8}\)
- \(\frac{4}{8}\)
\[ P(X=2)=\binom{3}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right) \]
\[ P(X=2)=3\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{8} \]
Alternativa correcta: c
PAES 2
Un dado equilibrado se lanza 2 veces. Se define éxito como “obtener un 6”. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente un éxito?
- \(\frac{5}{18}\)
- \(\frac{10}{36}\)
- \(\frac{1}{6}\)
- \(\frac{25}{36}\)
\[ P(X=1)=\binom{2}{1}\left(\frac{1}{6}\right)\left(\frac{5}{6}\right) \]
\[ P(X=1)=2\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}=\frac{10}{36}=\frac{5}{18} \]
Las alternativas a y b representan el mismo valor, así que esta pregunta, tal como está escrita, tendría dos respuestas equivalentes.
Corrección pedagógica: para evitar ambigüedad, conviene modificar una de esas alternativas. La respuesta esperada es \(\frac{5}{18}\).
PAES 3
Una variable binomial tiene parámetros \(n=4\) y \(p=0{,}5\). ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 4 éxitos?
- \(0{,}5\)
- \(0{,}25\)
- \(0{,}125\)
- \(0{,}0625\)
\[ P(X=4)=\binom{4}{4}(0{,}5)^4(0{,}5)^0 \]
\[ P(X=4)=1\cdot 0{,}0625\cdot 1=0{,}0625 \]
Alternativa correcta: d
PAES 4
Una estudiante responde 3 preguntas de verdadero o falso al azar. ¿Cuál es la probabilidad de responder correctamente exactamente 1?
- \(\frac{1}{8}\)
- \(\frac{3}{8}\)
- \(\frac{1}{2}\)
- \(\frac{3}{4}\)
Aquí \(p=\frac{1}{2}\), \(n=3\), \(k=1\).
\[ P(X=1)=\binom{3}{1}\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)^2 \]
\[ P(X=1)=3\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}=\frac{3}{8} \]
Alternativa correcta: b
Cierre
En esta página aprendimos a calcular probabilidades binomiales simples usando la fórmula:
\[ P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \]
La idea principal es identificar correctamente el número de ensayos, la probabilidad de éxito y la cantidad exacta de éxitos que queremos calcular.
- Primero identifica \(n\), \(k\) y \(p\).
- Luego aplica la fórmula con orden y cuidado.
- Finalmente interpreta el resultado en el contexto del problema.
5. Interpretación de resultados binomiales en contexto
Interpretación de resultados binomiales en contexto
Hasta ahora aprendimos a reconocer situaciones binomiales y a calcular probabilidades del tipo \(P(X=k)\). Pero en matemática no basta con obtener un número: también es importante interpretarlo correctamente en el contexto.
En esta página nos centraremos en leer, comparar y explicar probabilidades binomiales con sentido. Por ejemplo, responderemos preguntas como:
- ¿Qué significa que una probabilidad sea alta o baja?
- ¿Qué representa \(P(X=2)\) en una situación concreta?
- ¿Qué se puede concluir al comparar dos probabilidades?
Objetivo de la página
- Interpretar resultados binomiales en lenguaje cotidiano.
- Relacionar el valor de una probabilidad con el contexto del problema.
- Comparar distintas probabilidades binomiales simples.
- Explicar conclusiones sin limitarse a hacer un cálculo mecánico.
Al finalizar esta página deberías poder:
- Explicar qué significa una probabilidad binomial en una situación concreta.
- Decidir cuál de dos eventos es más probable.
- Redactar conclusiones usando el contexto del problema.
Si \(X\) sigue una distribución binomial, entonces:
\[ P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \]
Pero después de calcular esa probabilidad, debemos interpretar el resultado.
- \(P(X=2)=0{,}30\) significa que hay un 30% de probabilidad de obtener exactamente 2 éxitos.
- Una probabilidad cercana a 1 indica que el evento es bastante probable.
- Una probabilidad cercana a 0 indica que el evento es poco probable.
Interpretar una probabilidad no es solo leer el número. También implica decir qué evento representa y qué tan esperable es dentro de la situación.
Por ejemplo, no es lo mismo decir “la probabilidad es 0,12” que decir “hay un 12% de probabilidad de que exactamente 3 estudiantes aprueben”.
Una probabilidad alta no garantiza que el evento ocurrirá, y una probabilidad baja no significa que sea imposible. La probabilidad mide posibilidad, no certeza.
Resumen de lectura en contexto
| Expresión | Se lee como | Interpretación |
|---|---|---|
| \(P(X=0)\) | Probabilidad de 0 éxitos | No ocurre ningún éxito en los \(n\) ensayos |
| \(P(X=2)\) | Probabilidad de exactamente 2 éxitos | Ocurren 2 éxitos y los demás ensayos son fracasos |
| \(P(X=n)\) | Probabilidad de \(n\) éxitos | Todos los ensayos resultan exitosos |
| Valor cercano a 1 | Evento muy probable | Se espera que ocurra con bastante frecuencia |
| Valor cercano a 0 | Evento poco probable | Puede ocurrir, pero no es esperable con frecuencia |
Ejemplo guiado 1
Se lanza una moneda equilibrada 3 veces y \(X\) representa la cantidad de caras obtenidas. Se calcula que:
\[ P(X=2)=\binom{3}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{8} \]
\(\frac{3}{8}=0{,}375\).
Esto significa que hay un 37,5% de probabilidad de obtener exactamente 2 caras al lanzar la moneda 3 veces.
No significa “al menos 2 caras” ni “aproximadamente 2 caras”, sino exactamente 2.
Ejemplo guiado 2
En un control de calidad, la probabilidad de que una pieza salga defectuosa es \(0{,}1\). Se revisan 4 piezas y \(X\) representa la cantidad de defectuosas.
Se obtiene:
\[ P(X=0)=(0{,}9)^4=0{,}6561 \]
Esto significa que hay un 65,61% de probabilidad de que en ese grupo de 4 piezas no aparezca ninguna defectuosa.
Como esta probabilidad es mayor que 0,5, ese resultado es más bien esperable que raro.
Cuando te pidan interpretar, conviene responder con una frase completa:
“Hay una probabilidad de ... de que ocurra ... en este contexto”.
Eso muestra que entendiste qué representa la variable aleatoria y qué evento se está estudiando.
En salud, educación, encuestas, deportes y control de calidad no basta con calcular probabilidades: hay que decidir qué significan. Una empresa, por ejemplo, puede usar estas probabilidades para estimar cuántos lotes saldrán sin fallas o cuántos podrían requerir revisión adicional.
Ejercicios
Ejercicio 1
En un lote de 5 piezas, \(X\) representa la cantidad de piezas defectuosas. Se sabe que \(P(X=2)=0{,}18\).
Interpreta ese valor en el contexto del problema.
Significa que hay un 18% de probabilidad de que, en un lote de 5 piezas, salgan exactamente 2 piezas defectuosas.
Ejercicio 2
Se lanza una moneda equilibrada 4 veces. Sea \(X\) la cantidad de caras obtenidas.
- Calcula \(P(X=0)\).
- Calcula \(P(X=2)\).
- Indica cuál de los dos eventos es más probable y explica qué significa eso.
a) \[ P(X=0)=\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16} \]
b) \[ P(X=2)=\binom{4}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)^2 =6\cdot\frac{1}{16}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8} \]
c) Es más probable obtener exactamente 2 caras que obtener 0 caras.
Esto significa que, al lanzar 4 veces una moneda equilibrada, es mucho más esperable obtener una mezcla de caras y sellos que no obtener ninguna cara.
Ejercicio 3
Un arquero tiene probabilidad \(0{,}6\) de atajar un penal. Se lanzan 3 penales y \(X\) representa la cantidad de penales atajados.
Se sabe que \(P(X=3)=0{,}216\).
Interpreta este valor y comenta si se trata de un resultado seguro, probable o poco probable.
Significa que hay un 21,6% de probabilidad de que el arquero ataje los 3 penales.
No es un resultado seguro. Puede ocurrir, pero es bastante menos probable que 50%, así que no conviene describirlo como muy esperable.
Ejercicio 4
En una encuesta, cada persona tiene probabilidad \(0{,}7\) de responder “sí”. Se encuestan 5 personas.
Se sabe que:
\[ P(X=5)=0{,}16807 \]
\[ P(X=4)=0{,}36015 \]
¿Qué evento es más probable? Redacta una conclusión en contexto.
Es más probable que respondan “sí” exactamente 4 personas que las 5 personas.
En este contexto, aunque la respuesta “sí” tiene alta probabilidad individual, sigue siendo más esperable que aparezca algún “no” antes que unanimidad total.
Ejercicio 5
Un estudiante responde al azar 6 preguntas de verdadero o falso. Sea \(X\) la cantidad de respuestas correctas.
Explica con palabras qué representa el evento \(X=4\).
Representa que el estudiante acierta exactamente 4 preguntas de las 6, y falla las otras 2.
Ejercicio 6
En dos experimentos distintos se obtiene el mismo valor: \(P(X=1)=0{,}25\).
¿Significa eso que ambos experimentos describen la misma situación? Explica.
No necesariamente.
Que el valor numérico sea el mismo solo indica que ambos eventos tienen la misma probabilidad, pero podrían referirse a contextos distintos, con diferente cantidad de ensayos, distinta probabilidad de éxito o diferente significado del éxito.
Ejercicio 7
Un estudiante afirma: “Si \(P(X=2)=0{,}8\), entonces seguro se obtendrán exactamente 2 éxitos”.
¿Es correcta esa afirmación? Justifica.
No, la afirmación es incorrecta.
Que la probabilidad sea \(0{,}8\) significa que el evento es muy probable, pero no seguro. Todavía existe un \(0{,}2\) de probabilidad de que ocurra otra cosa.
Ejercicio 8
En una revisión rápida, cada pieza tiene probabilidad \(0{,}2\) de ser defectuosa. Se revisan 3 piezas y \(X\) representa la cantidad de defectuosas.
Se obtiene:
\[ P(X=0)=0{,}512 \]
Redacta una conclusión útil para una persona encargada del control de calidad.
Una conclusión posible es:
“Hay un 51,2% de probabilidad de que en una revisión de 3 piezas no aparezca ninguna defectuosa. Por lo tanto, es un resultado algo más probable que no encontrar fallas, aunque sigue existiendo un 48,8% de probabilidad de encontrar al menos una pieza defectuosa.”
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
Se lanza una moneda 3 veces y \(X\) representa la cantidad de caras obtenidas. ¿Cuál de las siguientes expresiones interpreta correctamente \(P(X=1)\)?
- La probabilidad de obtener al menos 1 cara.
- La probabilidad de obtener exactamente 1 cara.
- La probabilidad de obtener 1 sello.
- La probabilidad de que la primera tirada sea cara.
Alternativa correcta: b
\(P(X=1)\) se interpreta como la probabilidad de obtener exactamente 1 cara en los 3 lanzamientos.
PAES 2
Una máquina produce piezas buenas con probabilidad \(0{,}9\). Se observan 2 piezas y \(X\) representa la cantidad de piezas buenas.
¿Cuál de los siguientes eventos es más probable?
- \(X=0\)
- \(X=1\)
- \(X=2\)
- Todos tienen la misma probabilidad
\[ P(X=2)=(0{,}9)^2=0{,}81 \]
\[ P(X=1)=\binom{2}{1}(0{,}9)(0{,}1)=0{,}18 \]
\[ P(X=0)=(0{,}1)^2=0{,}01 \]
El evento más probable es \(X=2\).
Alternativa correcta: c
PAES 3
Se lanza un dado equilibrado 4 veces. Se define éxito como “obtener un número par” y \(X\) representa la cantidad de éxitos.
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
- \(P(X=0)=\frac{1}{16}\)
- \(P(X=4)=\frac{1}{4}\)
- \(P(X=2)=\frac{1}{4}\)
- \(P(X=1)=\frac{1}{2}\)
Como obtener número par tiene probabilidad \(p=\frac{1}{2}\), se tiene:
\[ P(X=0)=\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16} \]
Por lo tanto, la afirmación verdadera es la a.
Alternativa correcta: a
PAES 4
En cierto experimento binomial se obtiene \(P(X=3)=0{,}72\).
¿Cuál es la mejor interpretación de ese resultado?
- Es imposible obtener 3 éxitos.
- Obtener exactamente 3 éxitos es bastante probable, pero no seguro.
- Siempre se obtendrán exactamente 3 éxitos.
- El valor 3 corresponde a la probabilidad de éxito.
\(0{,}72\) es una probabilidad alta, así que el evento es bastante probable.
Sin embargo, no equivale a certeza.
Alternativa correcta: b
Cierre
En esta página vimos que una probabilidad binomial no debe quedarse como un número aislado. Hay que leerla en contexto, explicar qué evento describe y decidir si ese evento es más o menos esperable.
Este paso es muy importante, porque en situaciones reales la matemática no solo sirve para calcular, sino también para tomar decisiones e interpretar información.
- \(P(X=k)\) siempre significa exactamente \(k\) éxitos.
- Una probabilidad alta no garantiza que el evento ocurra.
- Interpretar bien exige nombrar el evento y explicar qué significa en la situación dada.
6. prepara la prueba nivel 1
Modelo binomial: ejercicios directos
Objetivos
- Identificar situaciones que se modelan con una distribución binomial.
- Aplicar la fórmula \(P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\).
- Calcular probabilidades de éxitos exactos, al menos y a lo más.
- Interpretar correctamente el significado de \(n\), \(p\), \(k\) y \(X\).
¿Cuándo se usa el modelo binomial?
Se usa cuando un experimento cumple estas condiciones:
- hay un número fijo de ensayos \(n\),
- cada ensayo tiene solo dos resultados posibles: éxito o fracaso,
- la probabilidad de éxito es constante y vale \(p\),
- los ensayos se consideran independientes.
Fórmula del modelo binomial
Si \(X\sim B(n,p)\), entonces la probabilidad de obtener exactamente \(k\) éxitos es:
\[ P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \]
donde \(\binom{n}{k}\) representa el número de formas de elegir \(k\) éxitos entre \(n\) ensayos.
Estrategia general
- Identifica el experimento, el éxito y el fracaso.
- Determina \(n\), \(p\) y el valor pedido de \(k\).
- Escribe la fórmula binomial correspondiente.
- Reemplaza los datos con cuidado.
- Si piden “al menos” o “a lo más”, suma las probabilidades necesarias o usa el complemento.
Ejemplo resuelto
Se lanza una moneda equilibrada \(4\) veces. Hallar la probabilidad de obtener exactamente \(3\) caras.
Aquí:
- \(n=4\)
- \(p=0,5\)
- \(k=3\)
Aplicamos la fórmula:
\[ P(X=3)=\binom{4}{3}(0,5)^3(0,5)^1 \]
\[ P(X=3)=4\cdot(0,5)^4=4\cdot 0,0625=0,25 \]
Por lo tanto, la probabilidad de obtener exactamente \(3\) caras es \(0,25\).
Ejercicios
Ejercicio 1
Se lanza una moneda equilibrada \(6\) veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente \(4\) caras?
Sea \(X\) el número de caras obtenidas. Entonces \(X\sim B(6,0,5)\).
\[ P(X=4)=\binom{6}{4}(0,5)^4(0,5)^2 \]
\[ P(X=4)=15(0,5)^6=15\cdot \frac{1}{64}=\frac{15}{64} \]
Resultado: \(\displaystyle P(X=4)=\frac{15}{64}\approx 0,234375\).
Ejercicio 2
Se lanza un dado \(8\) veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente \(2\) seises?
Sea \(X\) el número de seises. Entonces \(X\sim B(8,\tfrac{1}{6})\).
\[ P(X=2)=\binom{8}{2}\left(\frac{1}{6}\right)^2\left(\frac{5}{6}\right)^6 \]
\[ P(X=2)=28\cdot \frac{1}{36}\cdot \frac{15625}{46656} \]
Resultado: \(\displaystyle P(X=2)\approx 0,260476\).
Ejercicio 3
En una fábrica, la probabilidad de que una ampolleta salga defectuosa es \(0,03\). Si se revisan \(10\) ampolletas, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente \(1\) sea defectuosa?
Sea \(X\) el número de ampolletas defectuosas. Entonces \(X\sim B(10,0,03)\).
\[ P(X=1)=\binom{10}{1}(0,03)^1(0,97)^9 \]
\[ P(X=1)=10\cdot 0,03\cdot (0,97)^9 \]
\[ P(X=1)\approx 0,228044 \]
Resultado: \(\displaystyle P(X=1)\approx 0,228044\).
Ejercicio 4
Un estudiante responde al azar \(5\) preguntas de alternativa con \(4\) opciones cada una, de las cuales solo una es correcta. ¿Cuál es la probabilidad de acertar exactamente \(2\)?
La probabilidad de acertar una pregunta es \(p=\tfrac{1}{4}\). Entonces \(X\sim B(5,\tfrac{1}{4})\).
\[ P(X=2)=\binom{5}{2}\left(\frac{1}{4}\right)^2\left(\frac{3}{4}\right)^3 \]
\[ P(X=2)=10\cdot \frac{1}{16}\cdot \frac{27}{64}=\frac{270}{1024} \]
Resultado: \(\displaystyle P(X=2)=\frac{135}{512}\approx 0,263672\).
Ejercicio 5
La probabilidad de que una persona llegue atrasada al trabajo en un día cualquiera es \(0,2\). En \(7\) días laborales, ¿cuál es la probabilidad de que llegue atrasada exactamente \(3\) días?
Sea \(X\) el número de días con atraso. Entonces \(X\sim B(7,0,2)\).
\[ P(X=3)=\binom{7}{3}(0,2)^3(0,8)^4 \]
\[ P(X=3)=35\cdot 0,008\cdot 0,4096 \]
Resultado: \(\displaystyle P(X=3)\approx 0,114688\).
Ejercicio 6
Un arquero tiene probabilidad \(0,75\) de atajar un penal. Si enfrenta \(4\) penales, ¿cuál es la probabilidad de atajar exactamente \(3\)?
Sea \(X\) el número de penales atajados. Entonces \(X\sim B(4,0,75)\).
\[ P(X=3)=\binom{4}{3}(0,75)^3(0,25)^1 \]
\[ P(X=3)=4\cdot 0,421875\cdot 0,25 \]
Resultado: \(\displaystyle P(X=3)=0,421875\).
Ejercicio 7
La probabilidad de que un cliente compre un producto ofrecido es \(0,4\). Si se atiende a \(6\) clientes, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente \(2\) compren?
Sea \(X\) el número de clientes que compran. Entonces \(X\sim B(6,0,4)\).
\[ P(X=2)=\binom{6}{2}(0,4)^2(0,6)^4 \]
\[ P(X=2)=15\cdot 0,16\cdot 0,1296 \]
Resultado: \(\displaystyle P(X=2)=0,31104\).
Ejercicio 8
En una prueba de verdadero o falso, cada pregunta tiene probabilidad \(0,5\) de ser acertada al azar. Si un estudiante contesta al azar \(10\) preguntas, ¿cuál es la probabilidad de acertar exactamente \(7\)?
Sea \(X\) el número de respuestas correctas. Entonces \(X\sim B(10,0,5)\).
\[ P(X=7)=\binom{10}{7}(0,5)^{10} \]
\[ P(X=7)=120\cdot \frac{1}{1024} \]
Resultado: \(\displaystyle P(X=7)=\frac{15}{128}\approx 0,117188\).
Ejercicio 9
La probabilidad de que una semilla germine es \(0,8\). Si se plantan \(5\) semillas, ¿cuál es la probabilidad de que germinen exactamente \(4\)?
Sea \(X\) el número de semillas que germinan. Entonces \(X\sim B(5,0,8)\).
\[ P(X=4)=\binom{5}{4}(0,8)^4(0,2) \]
\[ P(X=4)=5\cdot 0,4096\cdot 0,2 \]
Resultado: \(\displaystyle P(X=4)=0,4096\).
Ejercicio 10
Un jugador de básquetbol encesta tiros libres con probabilidad \(0,7\). Si lanza \(9\) tiros libres, ¿cuál es la probabilidad de que enceste exactamente \(6\)?
Sea \(X\) el número de tiros encestados. Entonces \(X\sim B(9,0,7)\).
\[ P(X=6)=\binom{9}{6}(0,7)^6(0,3)^3 \]
\[ P(X=6)=84\cdot 0,117649\cdot 0,027 \]
Resultado: \(\displaystyle P(X=6)\approx 0,266828\).
Ejercicio 11
La probabilidad de que una llamada sea atendida antes de \(10\) segundos es \(0,65\). Si se observan \(12\) llamadas, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente \(8\) sean atendidas antes de \(10\) segundos?
Sea \(X\) el número de llamadas atendidas antes de \(10\) segundos. Entonces \(X\sim B(12,0,65)\).
\[ P(X=8)=\binom{12}{8}(0,65)^8(0,35)^4 \]
\[ P(X=8)=495\cdot (0,65)^8\cdot (0,35)^4 \]
Resultado: \(\displaystyle P(X=8)\approx 0,237477\).
Ejercicio 12
En cierto curso, la probabilidad de que un estudiante apruebe un control es \(0,85\). Si se eligen \(6\) estudiantes al azar, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente \(5\) aprueben?
Sea \(X\) el número de estudiantes que aprueban. Entonces \(X\sim B(6,0,85)\).
\[ P(X=5)=\binom{6}{5}(0,85)^5(0,15) \]
\[ P(X=5)=6\cdot (0,85)^5\cdot 0,15 \]
Resultado: \(\displaystyle P(X=5)\approx 0,399326\).
Ejercicio 13
Un sistema informático detecta correctamente un acceso sospechoso con probabilidad \(0,9\). Si se producen \(8\) intentos sospechosos, ¿cuál es la probabilidad de detectar exactamente \(7\)?
Sea \(X\) el número de detecciones correctas. Entonces \(X\sim B(8,0,9)\).
\[ P(X=7)=\binom{8}{7}(0,9)^7(0,1) \]
\[ P(X=7)=8\cdot 0,4782969\cdot 0,1 \]
Resultado: \(\displaystyle P(X=7)\approx 0,382638\).
Ejercicio 14
La probabilidad de que una persona vote en una elección local es \(0,6\). Si se seleccionan \(10\) personas, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente \(4\) hayan votado?
Sea \(X\) el número de personas que votaron. Entonces \(X\sim B(10,0,6)\).
\[ P(X=4)=\binom{10}{4}(0,6)^4(0,4)^6 \]
\[ P(X=4)=210\cdot 0,1296\cdot 0,004096 \]
Resultado: \(\displaystyle P(X=4)\approx 0,111477\).
Ejercicio 15
Un futbolista convierte un penal con probabilidad \(0,82\). Si patea \(5\) penales, ¿cuál es la probabilidad de convertir al menos \(4\)?
Sea \(X\) el número de penales convertidos. Entonces \(X\sim B(5,0,82)\).
“Al menos \(4\)” significa:
\[ P(X\ge 4)=P(X=4)+P(X=5) \]
\[ P(X=4)=\binom{5}{4}(0,82)^4(0,18)=5\cdot (0,82)^4\cdot 0,18 \]
\[ P(X=5)=(0,82)^5 \]
\[ P(X\ge 4)\approx 0,408542+0,370740 \]
Resultado: \(\displaystyle P(X\ge 4)\approx 0,779282\).
Ejercicio 16
La probabilidad de que un producto sea vendido en una tienda durante un día es \(0,25\). En \(8\) días independientes, ¿cuál es la probabilidad de que se venda exactamente \(3\) días?
Sea \(X\) el número de días en que se vende el producto. Entonces \(X\sim B(8,0,25)\).
\[ P(X=3)=\binom{8}{3}(0,25)^3(0,75)^5 \]
\[ P(X=3)=56\cdot 0,015625\cdot 0,2373046875 \]
Resultado: \(\displaystyle P(X=3)\approx 0,207642\).
Ejercicio 17
Se sabe que la probabilidad de que una persona prefiera transporte público es \(0,55\). Si se encuesta a \(9\) personas, ¿cuál es la probabilidad de que a lo más \(2\) prefieran transporte público?
Sea \(X\) el número de personas que prefieren transporte público. Entonces \(X\sim B(9,0,55)\).
“A lo más \(2\)” significa:
\[ P(X\le 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) \]
\[ P(X=0)=(0,45)^9\approx 0,000757 \]
\[ P(X=1)=\binom{9}{1}(0,55)(0,45)^8\approx 0,008332 \]
\[ P(X=2)=\binom{9}{2}(0,55)^2(0,45)^7\approx 0,040742 \]
\[ P(X\le 2)\approx 0,000757+0,008332+0,040742 \]
Resultado: \(\displaystyle P(X\le 2)\approx 0,049831\).
Ejercicio 18
La probabilidad de que un correo electrónico sea abierto por el destinatario es \(0,35\). Si se envían \(7\) correos, ¿cuál es la probabilidad de que al menos \(1\) sea abierto?
Sea \(X\) el número de correos abiertos. Entonces \(X\sim B(7,0,35)\).
Usamos el complemento:
\[ P(X\ge 1)=1-P(X=0) \]
\[ P(X=0)=(0,65)^7 \]
\[ P(X\ge 1)=1-(0,65)^7 \]
\[ P(X\ge 1)\approx 1-0,049022 \]
Resultado: \(\displaystyle P(X\ge 1)\approx 0,950978\).
Ejercicio 19
Un jugador de videojuegos gana una partida con probabilidad \(0,48\). Si juega \(11\) partidas, ¿cuál es la probabilidad de que gane exactamente \(5\)?
Sea \(X\) el número de partidas ganadas. Entonces \(X\sim B(11,0,48)\).
\[ P(X=5)=\binom{11}{5}(0,48)^5(0,52)^6 \]
\[ P(X=5)=462\cdot (0,48)^5\cdot (0,52)^6 \]
Resultado: \(\displaystyle P(X=5)\approx 0,235157\).
Ejercicio 20
La probabilidad de que una batería salga buena es \(0,92\). Si se eligen \(15\) baterías, ¿cuál es la probabilidad de que salgan al menos \(13\) buenas?
Sea \(X\) el número de baterías buenas. Entonces \(X\sim B(15,0,92)\).
“Al menos \(13\)” significa:
\[ P(X\ge 13)=P(X=13)+P(X=14)+P(X=15) \]
\[ P(X=13)=\binom{15}{13}(0,92)^{13}(0,08)^2 \]
\[ P(X=14)=\binom{15}{14}(0,92)^{14}(0,08) \]
\[ P(X=15)=(0,92)^{15} \]
\[ P(X\ge 13)\approx 0,256405+0,421966+0,286305 \]
Resultado: \(\displaystyle P(X\ge 13)\approx 0,964675\).
7. prepara la prueba nivel 2
Modelo binomial: ejercicios inversos
Objetivos
- Reconocer situaciones en que la fórmula binomial se usa en forma inversa.
- Determinar un dato faltante del modelo binomial a partir de una probabilidad conocida.
- Resolver ecuaciones sencillas asociadas a \(p\), \(n\) o a un caso particular.
- Relacionar el modelo binomial con procedimientos algebraicos.
¿Qué significa usar la fórmula en forma inversa?
En los ejercicios directos normalmente se conocen \(n\), \(p\) y \(k\), y se calcula una probabilidad.
En cambio, en ejercicios inversos se conoce una probabilidad y se pide encontrar un dato faltante, usualmente la probabilidad de éxito \(p\).
Fórmula base
Si \(X\sim B(n,p)\), entonces:
\[ P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \]
En estos ejercicios, esta fórmula se transforma en una ecuación que debemos resolver.
Estrategia general
- Identifica qué valor falta en el modelo.
- Escribe la probabilidad entregada usando la fórmula binomial.
- Reemplaza los datos conocidos.
- Resuelve la ecuación con orden.
- Comprueba si la solución encontrada tiene sentido como probabilidad.
Ejemplo resuelto
En un experimento binomial con \(n=4\), la probabilidad de obtener exactamente \(4\) éxitos es \(0,2401\). Hallar \(p\).
Sabemos que:
\[ P(X=4)=p^4 \]
Entonces:
\[ p^4=0,2401 \]
Como \(0,7^4=0,2401\), se obtiene:
\[ p=0,7 \]
Por lo tanto, la probabilidad de éxito en cada ensayo es \(0,7\).
Ejercicios
Ejercicio 1
En un experimento binomial de \(4\) ensayos, la probabilidad de obtener exactamente \(4\) éxitos es \(0,2401\). ¿Cuál es la probabilidad de éxito en cada ensayo?
Como \(P(X=4)=p^4\), se cumple:
\[ p^4=0,2401 \]
Observamos que:
\[ 0,7^4=0,2401 \]
Resultado: \(\displaystyle p=0,7\).
Ejercicio 2
En un experimento binomial de \(3\) ensayos, la probabilidad de obtener exactamente \(3\) éxitos es \(0,008\). ¿Cuál es la probabilidad de éxito en cada ensayo?
Como \(P(X=3)=p^3\), se tiene:
\[ p^3=0,008 \]
Entonces:
\[ p=0,2 \]
porque \(0,2^3=0,008\).
Resultado: \(\displaystyle p=0,2\).
Ejercicio 3
En un experimento binomial de \(5\) ensayos, la probabilidad de no obtener ningún éxito es \(0,16807\). ¿Cuál es la probabilidad de éxito en cada ensayo?
Como \(P(X=0)=(1-p)^5\), se cumple:
\[ (1-p)^5=0,16807 \]
Observamos que:
\[ 0,7^5=0,16807 \]
Entonces:
\[ 1-p=0,7 \]
\[ p=0,3 \]
Resultado: \(\displaystyle p=0,3\).
Ejercicio 4
Se sabe que en un modelo binomial con \(n=2\), la probabilidad de obtener exactamente \(1\) éxito es \(0,5\). ¿Cuál o cuáles pueden ser los valores de \(p\)?
Usamos:
\[ P(X=1)=\binom{2}{1}p(1-p)=0,5 \]
\[ 2p(1-p)=0,5 \]
\[ 2p-2p^2=0,5 \]
\[ 4p^2-4p+1=0 \]
Esta ecuación se factoriza como:
\[ (2p-1)^2=0 \]
\[ p=\frac{1}{2} \]
Resultado: \(\displaystyle p=0,5\).
Ejercicio 5
En un experimento binomial con \(n=2\), la probabilidad de obtener exactamente \(2\) éxitos es \(0,36\). ¿Cuál es la probabilidad de éxito en cada ensayo?
Como \(P(X=2)=p^2\), se tiene:
\[ p^2=0,36 \]
Como \(p\) debe ser una probabilidad entre \(0\) y \(1\), tomamos:
\[ p=0,6 \]
Resultado: \(\displaystyle p=0,6\).
Ejercicio 6
En un experimento binomial con \(n=3\), la probabilidad de obtener exactamente \(0\) éxitos es \(0,343\). ¿Cuál es la probabilidad de éxito?
Usamos:
\[ P(X=0)=(1-p)^3=0,343 \]
Como:
\[ 0,7^3=0,343 \]
entonces:
\[ 1-p=0,7 \]
\[ p=0,3 \]
Resultado: \(\displaystyle p=0,3\).
Ejercicio 7
En un experimento binomial con \(n=3\), la probabilidad de obtener exactamente \(3\) éxitos es \(0,729\). Determina la probabilidad de éxito en cada ensayo.
Como:
\[ P(X=3)=p^3=0,729 \]
y \(0,9^3=0,729\), se obtiene:
\[ p=0,9 \]
Resultado: \(\displaystyle p=0,9\).
Ejercicio 8
En un experimento binomial con \(n=4\), la probabilidad de obtener exactamente \(0\) éxitos es \(0,0625\). ¿Cuál es la probabilidad de éxito?
Usamos:
\[ (1-p)^4=0,0625 \]
Como:
\[ 0,5^4=0,0625 \]
entonces:
\[ 1-p=0,5 \]
\[ p=0,5 \]
Resultado: \(\displaystyle p=0,5\).
Ejercicio 9
En un experimento binomial con \(n=2\), la probabilidad de obtener exactamente \(1\) éxito es \(0,48\). Determina los posibles valores de \(p\).
Planteamos:
\[ 2p(1-p)=0,48 \]
\[ 2p-2p^2=0,48 \]
\[ 2p^2-2p+0,48=0 \]
Multiplicamos por \(100\) y simplificamos:
\[ 25p^2-25p+6=0 \]
Factorizamos:
\[ (5p-2)(5p-3)=0 \]
Entonces:
\[ p=\frac{2}{5}=0,4 \qquad \text{o} \qquad p=\frac{3}{5}=0,6 \]
Resultado: \(\displaystyle p=0,4\) o \(\displaystyle p=0,6\).
Ejercicio 10
En un experimento binomial con \(n=1\), la probabilidad de obtener exactamente \(1\) éxito es \(0,83\). ¿Cuál es la probabilidad de éxito?
Si \(n=1\), entonces:
\[ P(X=1)=p \]
Por lo tanto:
\[ p=0,83 \]
Resultado: \(\displaystyle p=0,83\).
Ejercicio 11
En un experimento binomial con \(n=3\), la probabilidad de obtener exactamente \(2\) éxitos es \(0,432\). Determina la probabilidad de éxito en cada ensayo.
Usamos la fórmula:
\[ P(X=2)=\binom{3}{2}p^2(1-p)=0,432 \]
\[ 3p^2(1-p)=0,432 \]
Probamos con \(p=0,6\):
\[ 3(0,6)^2(0,4)=3\cdot 0,36\cdot 0,4=0,432 \]
Por lo tanto, el valor pedido es:
\(\displaystyle p=0,6\).
Ejercicio 12
En un experimento binomial con \(n=4\), la probabilidad de obtener exactamente \(1\) éxito es \(0,2916\). Si la probabilidad de fracaso es \(1-p\), determina \(p\).
Planteamos:
\[ P(X=1)=\binom{4}{1}p(1-p)^3=0,2916 \]
\[ 4p(1-p)^3=0,2916 \]
Probamos con \(p=0,1\):
\[ 4(0,1)(0,9)^3=0,4\cdot 0,729=0,2916 \]
Resultado: \(\displaystyle p=0,1\).
Ejercicio 13
En un experimento binomial con \(n=5\), la probabilidad de obtener exactamente \(5\) éxitos es \(0,32768\). ¿Cuál es la probabilidad de éxito?
Como:
\[ P(X=5)=p^5=0,32768 \]
reconocemos que:
\[ 0,8^5=0,32768 \]
Resultado: \(\displaystyle p=0,8\).
Ejercicio 14
En un experimento binomial con \(n=4\), la probabilidad de obtener exactamente \(0\) éxitos es \(0,1296\). ¿Cuál es la probabilidad de éxito?
Usamos:
\[ (1-p)^4=0,1296 \]
Como:
\[ 0,6^4=0,1296 \]
entonces:
\[ 1-p=0,6 \]
\[ p=0,4 \]
Resultado: \(\displaystyle p=0,4\).
Ejercicio 15
En un experimento binomial con \(n=2\), la probabilidad de obtener exactamente \(1\) éxito es \(0,42\). Determina los posibles valores de \(p\).
Planteamos:
\[ 2p(1-p)=0,42 \]
\[ 2p-2p^2=0,42 \]
\[ 2p^2-2p+0,42=0 \]
Multiplicando por \(100\) y simplificando:
\[ 100p^2-100p+21=0 \]
Aplicamos fórmula general:
\[ p=\frac{100\pm \sqrt{10000-8400}}{200} =\frac{100\pm 40}{200} \]
\[ p=0,3 \qquad \text{o} \qquad p=0,7 \]
Resultado: \(\displaystyle p=0,3\) o \(\displaystyle p=0,7\).
Ejercicio 16
En un experimento binomial con \(n=6\), la probabilidad de obtener exactamente \(6\) éxitos es \(0,015625\). ¿Cuál es la probabilidad de éxito?
Como:
\[ p^6=0,015625 \]
y \(0,5^6=0,015625\), resulta:
\(\displaystyle p=0,5\).
Ejercicio 17
En un experimento binomial con \(n=3\), la probabilidad de obtener exactamente \(1\) éxito es \(0,384\). Determina la probabilidad de éxito \(p\).
Planteamos:
\[ P(X=1)=\binom{3}{1}p(1-p)^2=0,384 \]
\[ 3p(1-p)^2=0,384 \]
Probamos con \(p=0,2\):
\[ 3(0,2)(0,8)^2=0,6\cdot 0,64=0,384 \]
Resultado: \(\displaystyle p=0,2\).
Ejercicio 18
En un experimento binomial con \(n=4\), la probabilidad de obtener exactamente \(4\) éxitos es \(0,0625\). ¿Cuál es la probabilidad de éxito?
Como:
\[ p^4=0,0625 \]
y \(0,5^4=0,0625\), se tiene:
\(\displaystyle p=0,5\).
Ejercicio 19
En un experimento binomial con \(n=5\), la probabilidad de no obtener éxitos es \(0,59049\). Determina la probabilidad de éxito.
Usamos:
\[ (1-p)^5=0,59049 \]
Como:
\[ 0,9^5=0,59049 \]
entonces:
\[ 1-p=0,9 \]
\[ p=0,1 \]
Resultado: \(\displaystyle p=0,1\).
Ejercicio 20
En un experimento binomial con \(n=2\), la probabilidad de obtener exactamente \(1\) éxito es \(0,32\). Determina los posibles valores de \(p\).
Planteamos:
\[ 2p(1-p)=0,32 \]
\[ 2p-2p^2=0,32 \]
\[ 2p^2-2p+0,32=0 \]
Multiplicando por \(100\) y simplificando:
\[ 25p^2-25p+4=0 \]
Factorizamos:
\[ (5p-1)(5p-4)=0 \]
Entonces:
\[ p=0,2 \qquad \text{o} \qquad p=0,8 \]
Resultado: \(\displaystyle p=0,2\) o \(\displaystyle p=0,8\).
8. Organización de datos en tablas, histogramas y gráfico poligonal
Organización de datos en tablas, histogramas y gráfico poligonal
En estadística no basta con reunir datos: también es necesario organizarlos y representarlos de manera clara para poder interpretarlos.
En esta página trabajaremos con tres herramientas muy importantes:
- Tabla de frecuencias, para ordenar los datos.
- Histograma, para representar visualmente cómo se distribuyen.
- Gráfico poligonal, para observar la forma general de la distribución.
Objetivo de la página
- Organizar datos en tablas de frecuencias.
- Construir e interpretar histogramas con intervalos de igual amplitud.
- Construir e interpretar gráficos poligonales.
- Relacionar tablas y gráficos con conclusiones en contexto.
Al finalizar esta página deberías poder:
- Contar frecuencias absolutas y relativas en un conjunto de datos.
- Identificar intervalos con mayor o menor concentración de datos.
- Reconocer la forma general de una distribución a partir de un histograma o de un gráfico poligonal.
Elementos básicos
Cuando organizamos datos cuantitativos, usamos con frecuencia las siguientes ideas:
- Frecuencia absoluta (\(f_i\)): cantidad de datos que caen en un valor o intervalo.
- Frecuencia relativa (\(h_i\)): proporción del total que representa una frecuencia.
\[ h_i=\frac{f_i}{N} \]
donde \(N\) es el total de datos.
En un gráfico poligonal se unen con segmentos los puntos correspondientes a las marcas de clase.
Si un intervalo va de \(a\) a \(b\), su marca de clase es:
\[ \frac{a+b}{2} \]
Idea clave
La tabla ordena los datos; el histograma muestra dónde se concentran; el gráfico poligonal permite ver más fácilmente la forma general de la distribución.
Error frecuente
No confundas histograma con gráfico de barras. En el histograma las barras van pegadas, porque representan intervalos numéricos contiguos.
Importante
En esta página trabajaremos con histogramas usando intervalos de igual amplitud. En ese caso, comparar alturas de barras es correcto porque la frecuencia puede representarse directamente en el eje vertical.
Resumen comparativo
| Representación | ¿Para qué sirve? | ¿Qué se observa mejor? |
|---|---|---|
| Tabla de frecuencias | Ordenar datos | Valores o intervalos y cantidades exactas |
| Histograma | Visualizar distribución | Concentración y dispersión |
| Gráfico poligonal | Seguir la forma general | Subidas, bajadas y tendencia |
Ejemplo guiado 1: tabla de frecuencias
Los siguientes datos representan la cantidad de libros leídos por 12 estudiantes en un mes:
\[ 0,\ 1,\ 2,\ 1,\ 3,\ 2,\ 2,\ 4,\ 1,\ 3,\ 2,\ 0 \]
Contamos cuántas veces aparece cada valor:
| Libros leídos | Frecuencia absoluta | Frecuencia relativa |
|---|---|---|
| 0 | 2 | \(\frac{2}{12}=\frac{1}{6}\) |
| 1 | 3 | \(\frac{3}{12}=\frac{1}{4}\) |
| 2 | 4 | \(\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\) |
| 3 | 2 | \(\frac{2}{12}=\frac{1}{6}\) |
| 4 | 1 | \(\frac{1}{12}\) |
La mayor frecuencia corresponde a 2 libros, por lo tanto ese valor es el más frecuente del grupo.
Ejemplo guiado 2: histograma y gráfico poligonal
Se registraron los tiempos de traslado al colegio, en minutos, de 20 estudiantes. Los datos se agruparon así:
| Intervalo (min) | Frecuencia | Marca de clase |
|---|---|---|
| 10 a 20 | 3 | 15 |
| 20 a 30 | 7 | 25 |
| 30 a 40 | 6 | 35 |
| 40 a 50 | 4 | 45 |
Como todos los intervalos tienen la misma amplitud, podemos representar directamente las frecuencias en el histograma.
Histograma
Gráfico poligonal
La mayor concentración de estudiantes está entre 20 y 40 minutos, especialmente en el intervalo 20 a 30.
¿Por qué se usan marcas de clase en el gráfico poligonal?
Porque cada intervalo representa muchos valores posibles. Para dibujar un solo punto por intervalo, se usa su punto medio, que resume la posición del grupo dentro del eje horizontal.
Aplicación en el mundo real
Hospitales, colegios, empresas y centros deportivos organizan datos en tablas e histogramas para detectar concentraciones, comparar grupos y tomar decisiones. Por ejemplo, una escuela puede analizar tiempos de llegada, puntajes o asistencia para reconocer patrones del curso.
Ejercicios
Ejercicio 1
Las edades de 10 personas son:
\[ 14,\ 15,\ 14,\ 16,\ 15,\ 14,\ 17,\ 16,\ 15,\ 14 \]
Construye una tabla de frecuencias absolutas.
| Edad | Frecuencia |
|---|---|
| 14 | 4 |
| 15 | 3 |
| 16 | 2 |
| 17 | 1 |
Ejercicio 2
En una encuesta sobre cantidad de mascotas, se obtuvo la siguiente tabla incompleta:
| Mascotas | Frecuencia absoluta | Frecuencia relativa |
|---|---|---|
| 0 | 5 | \(\frac{5}{20}\) |
| 1 | 7 | \(?\) |
| 2 | 6 | \(?\) |
| 3 | 2 | \(?\) |
Completa las frecuencias relativas.
Como el total es \(20\):
- Para 1 mascota: \(\frac{7}{20}\)
- Para 2 mascotas: \(\frac{6}{20}=\frac{3}{10}\)
- Para 3 mascotas: \(\frac{2}{20}=\frac{1}{10}\)
Ejercicio 3
Los puntajes de 15 estudiantes se agrupan así:
| Intervalo | Frecuencia |
|---|---|
| 40 a 50 | 2 |
| 50 a 60 | 4 |
| 60 a 70 | 5 |
| 70 a 80 | 3 |
| 80 a 90 | 1 |
Indica cuál es el intervalo modal y explica qué significa.
El intervalo modal es 60 a 70, porque tiene la mayor frecuencia: 5.
Eso significa que ese es el rango de puntajes donde se concentra la mayor cantidad de estudiantes.
Ejercicio 4
Usa la tabla siguiente para construir un histograma:
| Intervalo | Frecuencia |
|---|---|
| 0 a 5 | 1 |
| 5 a 10 | 4 |
| 10 a 15 | 6 |
| 15 a 20 | 3 |
Luego responde: ¿en qué intervalo hay mayor concentración de datos?
El histograma debe tener 4 barras pegadas, con alturas 1, 4, 6 y 3.
La mayor concentración de datos está en el intervalo 10 a 15.
Ejercicio 5
Con la misma tabla del ejercicio anterior, determina las marcas de clase y describe cómo se vería el gráfico poligonal.
Las marcas de clase son:
- \(\frac{0+5}{2}=2{,}5\)
- \(\frac{5+10}{2}=7{,}5\)
- \(\frac{10+15}{2}=12{,}5\)
- \(\frac{15+20}{2}=17{,}5\)
El gráfico poligonal une los puntos \((2{,}5,1)\), \((7{,}5,4)\), \((12{,}5,6)\) y \((17{,}5,3)\).
Primero sube, luego alcanza su punto más alto y finalmente baja.
Ejercicio 6
Se comparan dos cursos.
| Intervalo de puntaje | Curso A | Curso B |
|---|---|---|
| 40 a 50 | 2 | 5 |
| 50 a 60 | 5 | 4 |
| 60 a 70 | 7 | 3 |
| 70 a 80 | 4 | 2 |
¿Cuál curso parece concentrarse en puntajes más altos? Justifica.
El Curso A parece concentrarse en puntajes más altos, porque sus mayores frecuencias están en los intervalos 60 a 70 y 70 a 80.
En cambio, el Curso B concentra más estudiantes en intervalos más bajos.
Ejercicio 7
Observa la siguiente información agrupada sobre horas de estudio semanales:
| Intervalo | Frecuencia |
|---|---|
| 0 a 2 | 3 |
| 2 a 4 | 6 |
| 4 a 6 | 8 |
| 6 a 8 | 5 |
| 8 a 10 | 2 |
Redacta dos conclusiones que podrían obtenerse a partir del histograma o del gráfico poligonal.
Dos conclusiones posibles son:
- La mayor concentración de estudiantes está entre 4 y 6 horas semanales.
- Muy pocos estudiantes estudian 8 a 10 horas por semana.
Ejercicio 8
En una sala de clases se registró el tiempo, en minutos, que tardan 16 estudiantes en llegar al colegio:
\[ 12,\ 18,\ 21,\ 25,\ 27,\ 29,\ 30,\ 31,\ 33,\ 35,\ 36,\ 39,\ 41,\ 43,\ 46,\ 48 \]
- Agrupa los datos en los intervalos 10 a 20, 20 a 30, 30 a 40 y 40 a 50.
- Construye la tabla de frecuencias.
- Indica qué intervalo concentra más datos.
a) y b)
| Intervalo | Frecuencia |
|---|---|
| 10 a 20 | 2 |
| 20 a 30 | 4 |
| 30 a 40 | 6 |
| 40 a 50 | 4 |
c) El intervalo con mayor concentración es 30 a 40.
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
Si un intervalo va de 12 a 18, ¿cuál es su marca de clase?
- 12
- 18
- 15
- 6
\[ \frac{12+18}{2}=15 \]
Alternativa correcta: c
PAES 2
¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe correctamente un histograma?
- Representa categorías separadas, por eso sus barras van con espacio.
- Representa intervalos numéricos, por eso sus barras van pegadas.
- Siempre usa puntos unidos por segmentos.
- Solo sirve para datos cualitativos.
La descripción correcta es la b.
Alternativa correcta: b
PAES 3
Una tabla presenta las siguientes frecuencias:
| Intervalo | Frecuencia |
|---|---|
| 0 a 10 | 2 |
| 10 a 20 | 5 |
| 20 a 30 | 7 |
| 30 a 40 | 4 |
¿Cuál es el intervalo modal?
- 0 a 10
- 10 a 20
- 20 a 30
- 30 a 40
La mayor frecuencia es 7, por lo tanto el intervalo modal es 20 a 30.
Alternativa correcta: c
PAES 4
En una tabla de frecuencias relativas, la suma de todas las frecuencias relativas debe ser:
- 0
- 1
- El número de datos
- La frecuencia mayor
La suma de todas las frecuencias relativas es 1.
Alternativa correcta: b
Cierre
En esta página organizamos datos en tablas y los representamos mediante histogramas y gráficos poligonales. Estas herramientas permiten ver de forma rápida dónde se concentran los datos y cómo se distribuyen.
Esto será muy útil en la siguiente página, porque nos preparará para reconocer distribuciones con forma aproximadamente acampanada y conectar esa lectura con la distribución normal.
Para recordar
- La tabla ordena.
- El histograma muestra concentración y dispersión.
- El gráfico poligonal permite seguir la forma general de la distribución.
- La marca de clase es el punto medio de cada intervalo.
9. Introducción intuitiva al modelo normal
Introducción intuitiva al modelo normal
En la página anterior organizamos datos con tablas, histogramas y gráficos poligonales. Ahora daremos un paso más: reconocer una forma de distribución que aparece con mucha frecuencia en estadística, la distribución normal.
Esta distribución también se conoce como curva normal o campana de Gauss. No se trata solo de una curva bonita: es un modelo que ayuda a describir muchas situaciones reales en las que los datos se agrupan cerca de un valor central y los valores muy alejados de ese centro aparecen con menos frecuencia.
Objetivo de la página
- Reconocer de manera intuitiva la forma de una distribución normal.
- Interpretar el centro de una distribución.
- Comprender la idea de dispersión en una curva normal.
- Relacionar histogramas y gráficos poligonales con una forma aproximadamente acampanada.
Al finalizar esta página deberías poder:
- Identificar si una distribución se parece o no a una normal.
- Describir el centro y la dispersión de un conjunto de datos.
- Comparar dos distribuciones según su forma, su centro y su dispersión.
De manera intuitiva, una distribución normal se caracteriza por:
- Tener una forma acampanada.
- Ser aproximadamente simétrica respecto de un valor central.
- Tener mayor concentración de datos cerca del centro.
- Tener menos datos en los extremos.
Para describirla se usan dos ideas importantes:
- Centro: suele representarse por la media, \(\mu\).
- Dispersión: indica qué tan separados están los datos del centro; suele representarse por \(\sigma\).
De manera cualitativa:
- Si la dispersión es pequeña, la curva es más angosta y alta.
- Si la dispersión es grande, la curva es más ancha y baja.
En una distribución normal, lo más habitual es encontrar valores cercanos al centro. Los valores muy pequeños o muy grandes son posibles, pero menos frecuentes.
Normal no significa “correcto”, “ideal” o “bueno”. En estadística, solo describe un tipo de forma que puede tener una distribución de datos.
Resumen visual e interpretativo
| Aspecto | Qué se observa | Cómo se interpreta |
|---|---|---|
| Forma | Campana aproximadamente simétrica | Los datos se distribuyen de manera equilibrada alrededor del centro |
| Centro | Punto medio de la distribución | Valor alrededor del cual se concentran los datos |
| Dispersión pequeña | Curva angosta y alta | Los datos están más agrupados |
| Dispersión grande | Curva ancha y baja | Los datos están más repartidos |
| Extremos | Poca frecuencia | Los valores muy alejados del centro son menos comunes |
Ejemplo guiado 1: reconocer una forma aproximadamente normal
Se agruparon las estaturas de un grupo de estudiantes en los siguientes intervalos:
| Intervalo de estatura (cm) | Frecuencia | Marca de clase |
|---|---|---|
| 140 a 150 | 2 | 145 |
| 150 a 160 | 5 | 155 |
| 160 a 170 | 9 | 165 |
| 170 a 180 | 5 | 175 |
| 180 a 190 | 2 | 185 |
Histograma aproximado
Gráfico poligonal aproximado
La distribución es aproximadamente simétrica y presenta una mayor concentración en el centro, cerca de 165 cm a 175 cm.
Por eso decimos que se parece a una distribución normal.
Ejemplo guiado 2: mismo centro, distinta dispersión
Las siguientes dos distribuciones tienen centro cercano a 50, pero distinta dispersión.
Distribución A
Distribución B
En ambas distribuciones el centro está cerca de 50.
Sin embargo, la distribución A es más angosta, por lo que tiene menor dispersión.
La distribución B es más ancha, por lo que tiene mayor dispersión.
Dos distribuciones pueden tener el mismo centro y, aun así, verse distintas si una tiene los datos más agrupados y la otra más extendidos. Por eso, para describir bien una distribución no basta con mirar solo el valor central.
La estatura de personas de una misma edad, algunos errores de medición, ciertos puntajes y muchas variables biológicas suelen presentar una forma aproximadamente normal. Esto permite resumir y comparar información de manera más clara.
Ejercicios
Ejercicio 1
Explica con tus palabras qué significa que una distribución tenga forma aproximadamente normal.
Significa que los datos se concentran cerca de un valor central, que la distribución tiene una forma similar a una campana y que los valores muy alejados del centro aparecen con menor frecuencia. Además, suele verse aproximadamente simétrica.
Ejercicio 2
Se observa una distribución de puntajes con frecuencias agrupadas así:
| Intervalo | Frecuencia |
|---|---|
| 40 a 50 | 2 |
| 50 a 60 | 5 |
| 60 a 70 | 8 |
| 70 a 80 | 5 |
| 80 a 90 | 2 |
Indica si esta distribución se parece a una normal y justifica.
Sí, se parece a una distribución normal, porque tiene una forma aproximadamente simétrica y la mayor frecuencia está en el centro, en el intervalo 60 a 70. Hacia ambos extremos las frecuencias disminuyen de manera parecida.
Ejercicio 3
Una distribución A y una distribución B tienen el mismo centro. La distribución A es más angosta y la B es más ancha.
¿Cuál tiene mayor dispersión? Explica.
La distribución B tiene mayor dispersión, porque sus datos están más repartidos alrededor del centro. Una curva más ancha representa una mayor separación respecto del valor central.
Ejercicio 4
En una distribución aproximadamente normal, ¿por qué los valores extremos aparecen con menos frecuencia que los cercanos al centro?
Porque en una distribución normal la mayor concentración de datos está alrededor del centro. A medida que uno se aleja de ese centro, los casos se vuelven menos comunes, por eso los extremos aparecen con menor frecuencia.
Ejercicio 5
Se sabe que los tiempos de reacción de un grupo de estudiantes presentan una forma aproximadamente normal, con centro cerca de 30 centésimas de segundo.
¿Qué significa, en contexto, que el centro esté cerca de 30?
Significa que los tiempos de reacción del grupo tienden a agruparse alrededor de 30 centésimas de segundo. Ese valor representa el comportamiento central o típico de la distribución.
Ejercicio 6
Compara estas dos situaciones:
- Curso A: puntajes centrados cerca de 65, con poca dispersión.
- Curso B: puntajes centrados cerca de 65, con mucha dispersión.
Escribe una diferencia importante entre ambas distribuciones.
Aunque ambos cursos tienen un centro parecido, en el Curso A los puntajes están más agrupados cerca de 65, mientras que en el Curso B están más repartidos. Por eso el Curso B muestra mayor variabilidad en sus resultados.
Ejercicio 7
Un estudiante dice: “Si una distribución es normal, entonces todos los datos deben ser casi iguales”.
¿Es correcta esa afirmación? Justifica.
No, esa afirmación es incorrecta.
En una distribución normal los datos tienden a concentrarse cerca del centro, pero no son todos iguales. Hay variación: algunos valores están cerca del centro y otros más alejados, aunque estos últimos aparecen con menor frecuencia.
Ejercicio 8
Observa la siguiente distribución agrupada:
| Intervalo | Frecuencia |
|---|---|
| 10 a 20 | 1 |
| 20 a 30 | 3 |
| 30 a 40 | 7 |
| 40 a 50 | 10 |
| 50 a 60 | 6 |
| 60 a 70 | 2 |
- Indica en qué intervalo está el centro aproximado.
- ¿La distribución parece simétrica?
- ¿Se parece mucho o poco a una normal? Explica.
a) El centro aproximado está en el intervalo 40 a 50, porque allí se concentra la mayor frecuencia.
b) No es completamente simétrica.
c) Se parece solo de manera parcial a una normal, porque tiene una concentración central clara, pero las frecuencias a ambos lados no disminuyen de forma bastante equilibrada.
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
¿Cuál de las siguientes características corresponde mejor a una distribución aproximadamente normal?
- Tiene una sola barra y no presenta dispersión.
- Es aproximadamente simétrica y concentra los datos cerca del centro.
- Todos los valores tienen la misma frecuencia.
- Los extremos son los valores más frecuentes.
La característica correcta es la b.
Alternativa correcta: b
PAES 2
Dos distribuciones tienen el mismo centro. Si una de ellas presenta mayor dispersión, entonces su curva será:
- Más ancha y más baja.
- Más angosta y más alta.
- Igual a la otra.
- Siempre asimétrica.
Con mayor dispersión, la curva se ve más extendida: más ancha y más baja.
Alternativa correcta: a
PAES 3
En una distribución aproximadamente normal, la mayor parte de los datos suele encontrarse:
- En los extremos.
- Lejos del centro.
- Cerca del centro.
- Solo en el lado izquierdo.
En una distribución normal los datos se concentran cerca del centro.
Alternativa correcta: c
PAES 4
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
- “Normal” significa que los datos son perfectos.
- Una distribución normal no tiene centro.
- La dispersión indica qué tan separados están los datos respecto del centro.
- En una distribución normal los extremos son más frecuentes que el centro.
La afirmación verdadera es la c.
Alternativa correcta: c
Cierre
En esta página introdujimos de manera intuitiva el modelo normal. Vimos que su forma es aproximadamente acampanada, que tiene un centro y que su dispersión puede cambiar sin que necesariamente cambie ese centro.
Esto será clave para la siguiente página, donde podremos interpretar con más precisión qué significa que un valor esté cerca o lejos del centro de una distribución normal.
- Una distribución normal tiene forma aproximadamente acampanada.
- El centro indica dónde se agrupan los datos.
- La dispersión muestra qué tan extendidos están los datos.
- No toda distribución simétrica es perfectamente normal, pero muchas pueden parecerse bastante.
10. Lectura e interpretación de valores cercanos o alejados del centro en una distribución normal
Uso de desviaciones estándar dadas para interpretar datos en distribución normal
En la página anterior vimos que una distribución normal tiene una forma aproximadamente acampanada, con un centro y una cierta dispersión.
En esta página avanzaremos un paso más: usaremos una desviación estándar ya dada para interpretar si un valor está cerca del centro, algo alejado o bastante alejado dentro de una distribución normal.
No trabajaremos aquí calculando la desviación estándar desde los datos, sino usándola como información entregada para interpretar resultados en contexto.
Objetivo de la página
- Interpretar datos en una distribución normal cuando se conoce la media y la desviación estándar.
- Relacionar la distancia al centro con la desviación estándar dada.
- Comparar qué tan habitual o poco habitual es un valor según cuántas desviaciones estándar lo separan del centro.
- Redactar conclusiones en contexto a partir de \(\mu\) y \(\sigma\).
Al finalizar esta página deberías poder:
- Interpretar qué representa la media \(\mu\) y la desviación estándar \(\sigma\).
- Reconocer intervalos como \(\mu \pm \sigma\) y \(\mu \pm 2\sigma\).
- Comparar dos valores según su distancia al centro medida en desviaciones estándar.
- Decidir si un valor es habitual, poco habitual o bastante alejado del centro.
En una distribución normal se usan con frecuencia dos parámetros:
- Media \(\mu\): indica el centro de la distribución.
- Desviación estándar \(\sigma\): indica qué tan dispersos están los datos alrededor del centro.
Cuando la desviación estándar está dada, podemos construir intervalos importantes:
\[ \mu - \sigma \quad \text{y} \quad \mu + \sigma \]
\[ \mu - 2\sigma \quad \text{y} \quad \mu + 2\sigma \]
\[ \mu - 3\sigma \quad \text{y} \quad \mu + 3\sigma \]
Estos intervalos ayudan a interpretar qué tan cerca o lejos está un valor del centro.
No basta con saber si un valor es grande o pequeño. Lo importante es ver cuántas desviaciones estándar lo separan de la media.
Que un valor esté a 2 o 3 desviaciones estándar del centro no significa que sea imposible. Solo indica que es menos habitual que un valor cercano a la media.
Lectura intuitiva de intervalos
| Ubicación del valor | Interpretación aproximada | Lectura cualitativa |
|---|---|---|
| Cerca de \(\mu\) | Muy habitual | Forma parte del comportamiento típico del grupo |
| Dentro de \(\mu \pm \sigma\) | Habitual | Está relativamente cerca del centro |
| Entre \(\mu \pm \sigma\) y \(\mu \pm 2\sigma\) | Menos habitual | Se aleja del centro, pero sigue siendo razonable |
| Más allá de \(\mu \pm 2\sigma\) | Poco habitual | Está bastante alejado del centro |
| Más allá de \(\mu \pm 3\sigma\) | Muy poco habitual | Es un valor muy extremo dentro del modelo |
Ejemplo guiado 1: interpretar \(\mu \pm \sigma\)
Las estaturas de un grupo de estudiantes siguen aproximadamente una distribución normal con:
\[ \mu = 170 \text{ cm}, \qquad \sigma = 5 \text{ cm} \]
Entonces:
\[ \mu - \sigma = 170 - 5 = 165 \]
\[ \mu + \sigma = 170 + 5 = 175 \]
El intervalo \([165,175]\) reúne estaturas cercanas al centro, por lo que valores como 168 cm, 170 cm o 174 cm se interpretan como bastante habituales.
En cambio, una estatura como 182 cm está más alejada del centro, por lo que sería menos habitual que 170 cm.
Ejemplo guiado 2: comparar cuántas desviaciones estándar separan un valor del centro
Supongamos una distribución normal de puntajes con:
\[ \mu = 500, \qquad \sigma = 50 \]
Comparemos los puntajes 550 y 650.
El valor 550 está a:
\[ 550 - 500 = 50 \]
Es decir, está a 1 desviación estándar sobre la media.
El valor 650 está a:
\[ 650 - 500 = 150 \]
Como \(150 = 3 \cdot 50\), está a 3 desviaciones estándar sobre la media.
Por lo tanto, 550 es un puntaje más habitual, mientras que 650 es un puntaje mucho más alejado del centro y, por eso, mucho menos habitual.
Porque no siempre basta con mirar la diferencia numérica. Una diferencia de 10 puede ser pequeña en una distribución y grande en otra. La desviación estándar nos ayuda a decidir si esa distancia es pequeña o grande en relación con la dispersión del grupo.
En pruebas estandarizadas, mediciones médicas, estaturas, tiempos de reacción o resultados financieros, conocer la media y la desviación estándar permite interpretar si un valor es típico del grupo o si se aleja bastante de lo esperado.
Resumen de interpretación
| Dato | Qué indica | Ejemplo de lectura |
|---|---|---|
| \(\mu\) | Centro | Valor típico alrededor del cual se agrupan los datos |
| \(\sigma\) | Dispersión | Qué tan agrupados o extendidos están los datos |
| \(\mu \pm \sigma\) | Zona cercana al centro | Valores habituales |
| \(\mu \pm 2\sigma\) | Zona más alejada | Valores menos habituales |
| \(\mu \pm 3\sigma\) | Zona extrema | Valores muy poco habituales |
Ejercicios
Ejercicio 1
Explica con tus palabras qué representa la media \(\mu\) y qué representa la desviación estándar \(\sigma\) en una distribución normal.
La media \(\mu\) representa el centro de la distribución, es decir, el valor alrededor del cual se agrupan los datos. La desviación estándar \(\sigma\) representa qué tan dispersos están esos datos respecto del centro.
Ejercicio 2
Las estaturas de cierto grupo siguen aproximadamente una distribución normal con:
\[ \mu = 160 \text{ cm}, \qquad \sigma = 4 \text{ cm} \]
- Calcula \(\mu - \sigma\) y \(\mu + \sigma\).
- Interpreta el intervalo obtenido.
a)
\[ \mu - \sigma = 160 - 4 = 156 \]
\[ \mu + \sigma = 160 + 4 = 164 \]
b) El intervalo \([156,164]\) corresponde a estaturas cercanas al centro, por lo que valores en ese rango se interpretan como relativamente habituales dentro del grupo.
Ejercicio 3
En una distribución normal se tiene:
\[ \mu = 70, \qquad \sigma = 5 \]
¿Cuál de los valores 72 y 83 es más habitual? Justifica.
\[ |72-70|=2 \]
\[ |83-70|=13 \]
El valor 72 es más habitual porque está mucho más cerca de la media que 83.
Ejercicio 4
Un grupo de puntajes sigue aproximadamente una distribución normal con:
\[ \mu = 600, \qquad \sigma = 40 \]
Determina los intervalos:
- \(\mu \pm \sigma\)
- \(\mu \pm 2\sigma\)
a)
\[ 600-40=560,\qquad 600+40=640 \]
Entonces, \(\mu \pm \sigma\) es \([560,640]\).
b)
\[ 600-2\cdot 40=520,\qquad 600+2\cdot 40=680 \]
Entonces, \(\mu \pm 2\sigma\) es \([520,680]\).
Ejercicio 5
En una distribución normal con \(\mu=500\) y \(\sigma=25\), ¿a cuántas desviaciones estándar de la media se encuentra el valor 550?
La distancia entre 550 y 500 es:
\[ 550-500=50 \]
Como \(50=2\cdot 25\), el valor 550 está a 2 desviaciones estándar sobre la media.
Ejercicio 6
Las masas de ciertos paquetes siguen aproximadamente una distribución normal con:
\[ \mu = 1000 \text{ g}, \qquad \sigma = 20 \text{ g} \]
Interpreta en contexto los siguientes valores:
- 1005 g
- 1040 g
- 1065 g
1005 g está muy cerca de la media, por lo que es un valor muy habitual.
1040 g está a 40 g de la media, es decir, a 2 desviaciones estándar, por lo que es menos habitual.
1065 g está a 65 g de la media, o sea, a más de 3 desviaciones estándar, por lo que es un valor muy poco habitual.
Ejercicio 7
En una prueba, los puntajes siguen aproximadamente una distribución normal con:
\[ \mu = 450, \qquad \sigma = 30 \]
Compara los puntajes 420 y 480. ¿Tienen una interpretación parecida? Explica.
Sí, tienen una interpretación parecida.
\[ |420-450|=30 \]
\[ |480-450|=30 \]
Ambos están a 1 desviación estándar de la media, uno por debajo y otro por encima. En una distribución normal simétrica, ambos se interpretan como valores igualmente habituales.
Ejercicio 8
Un estudiante afirma: “Si un valor está a 3 desviaciones estándar de la media, entonces nunca puede aparecer”.
¿Es correcta esa afirmación? Justifica.
No, la afirmación es incorrecta.
Un valor a 3 desviaciones estándar de la media puede aparecer, pero se interpreta como muy poco habitual dentro de la distribución normal.
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
En una distribución normal, la desviación estándar permite describir principalmente:
- El nombre del experimento.
- La dispersión de los datos respecto de la media.
- La cantidad total de datos.
- La probabilidad de éxito.
La desviación estándar describe la dispersión de los datos respecto de la media.
Alternativa correcta: b
PAES 2
Si una distribución normal tiene \(\mu=80\) y \(\sigma=6\), entonces el intervalo \(\mu \pm \sigma\) es:
- \([74,86]\)
- \([68,92]\)
- \([76,84]\)
- \([72,88]\)
\[ 80-6=74,\qquad 80+6=86 \]
Alternativa correcta: a
PAES 3
En una distribución normal con \(\mu=100\) y \(\sigma=10\), ¿cuál de los siguientes valores está a 2 desviaciones estándar sobre la media?
- 110
- 115
- 120
- 130
Dos desviaciones estándar sobre la media es:
\[ 100+2\cdot 10=120 \]
Alternativa correcta: c
PAES 4
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
- Un valor cercano a la media suele ser más habitual que uno muy alejado.
- La media y la desviación estándar significan lo mismo.
- Todo valor fuera de \(\mu \pm \sigma\) es imposible.
- Dos valores a distinta distancia de la media siempre se interpretan igual.
La afirmación verdadera es la a.
Alternativa correcta: a
Cierre
En esta página usamos la desviación estándar como una herramienta para interpretar qué tan cerca o lejos está un valor del centro en una distribución normal.
Vimos que conocer \(\mu\) y \(\sigma\) permite comparar datos, reconocer valores habituales y detectar valores poco habituales dentro de un contexto.
- \(\mu\) representa el centro.
- \(\sigma\) representa la dispersión.
- Un valor cercano a la media suele ser más habitual.
- Un valor a varias desviaciones estándar de la media es menos habitual, pero no imposible.
11. Evaluación de unidad y retroalimentación
Evaluación de unidad y retroalimentación
En esta página cerrarás la unidad con una evaluación que integra los principales contenidos trabajados:
- Modelo binomial
- Tablas de frecuencias, histogramas y gráfico poligonal
- Distribución normal e interpretación usando desviación estándar dada
Antes de comenzar, revisa este repaso muy breve.
Repaso muy breve
| Tema | Idea clave | Qué debes recordar |
|---|---|---|
| Modelo binomial | Cuenta éxitos en varios ensayos | Dos resultados posibles, ensayos independientes, misma probabilidad de éxito |
| Tablas e histogramas | Organizan y muestran la distribución de datos | El histograma usa intervalos y sus barras van pegadas |
| Gráfico poligonal | Muestra la forma general de la distribución | Se construye usando las marcas de clase |
| Distribución normal | Tiene forma aproximadamente acampanada | \(\mu\) es el centro y \(\sigma\) indica la dispersión |
En esta evaluación conviene leer con calma qué representa la variable en cada problema. Muchas veces el error no está en el cálculo, sino en interpretar mal qué significa el éxito, el intervalo o la distancia a la media.
- Confundir “exactamente” con “al menos”.
- Olvidar que en el histograma las barras van pegadas.
- Confundir media con desviación estándar.
Ejercicios de desarrollo
Ejercicio 1
Se lanza un dado equilibrado 5 veces. Se define éxito como “obtener un número par” y \(X\) representa la cantidad de éxitos.
- Explica por qué esta situación puede modelarse con una distribución binomial.
- Indica los parámetros \(n\) y \(p\).
a) Sí puede modelarse con una distribución binomial porque hay un número fijo de ensayos (\(5\) lanzamientos), en cada lanzamiento hay dos resultados respecto del evento definido (éxito: obtener número par; fracaso: obtener número impar), los ensayos son independientes y la probabilidad de éxito se mantiene constante.
b) Como hay 5 lanzamientos, se tiene:
\[ n=5 \]
Los números pares del dado son 2, 4 y 6, por lo tanto:
\[ p=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \]
Ejercicio 2
Un arquero tiene probabilidad \(0{,}7\) de atajar un penal. Se lanzan 3 penales y \(X\) representa la cantidad de penales atajados.
- Calcula \(P(X=2)\).
- Interpreta el resultado en contexto.
a)
\[ P(X=2)=\binom{3}{2}(0{,}7)^2(0{,}3) \]
\[ P(X=2)=3\cdot 0{,}49 \cdot 0{,}3=0{,}441 \]
b) Hay un 44,1% de probabilidad de que el arquero ataje exactamente 2 de los 3 penales.
Ejercicio 3
En una encuesta, cada persona tiene probabilidad \(0{,}7\) de responder “sí”. Se encuesta a 4 personas y \(X\) representa la cantidad de respuestas “sí”.
- Calcula \(P(X=4)\).
- Calcula \(P(X=3)\).
- Indica cuál de los dos eventos es más probable e interprétalo en contexto.
a)
\[ P(X=4)=(0{,}7)^4=0{,}2401 \]
b)
\[ P(X=3)=\binom{4}{3}(0{,}7)^3(0{,}3) \]
\[ P(X=3)=4\cdot 0{,}343 \cdot 0{,}3=0{,}4116 \]
c) Es más probable obtener exactamente 3 respuestas “sí” que obtener 4 respuestas “sí”.
En este contexto, aunque la respuesta “sí” es bastante probable, sigue siendo más esperable que aparezca al menos una respuesta distinta antes que unanimidad total.
Ejercicio 4
Los siguientes datos representan la cantidad de libros leídos por 15 estudiantes en un mes:
\[ 0,\ 1,\ 2,\ 1,\ 3,\ 2,\ 2,\ 4,\ 1,\ 0,\ 2,\ 3,\ 1,\ 2,\ 4 \]
- Construye una tabla de frecuencias absolutas.
- Agrega la frecuencia relativa de cada valor.
| Libros leídos | Frecuencia absoluta | Frecuencia relativa |
|---|---|---|
| 0 | 2 | \(\frac{2}{15}\) |
| 1 | 4 | \(\frac{4}{15}\) |
| 2 | 5 | \(\frac{5}{15}=\frac{1}{3}\) |
| 3 | 2 | \(\frac{2}{15}\) |
| 4 | 2 | \(\frac{2}{15}\) |
Ejercicio 5
Los tiempos de traslado de un grupo de estudiantes se agruparon en la siguiente tabla:
| Intervalo (min) | Frecuencia |
|---|---|
| 0 a 10 | 2 |
| 10 a 20 | 5 |
| 20 a 30 | 7 |
| 30 a 40 | 4 |
| 40 a 50 | 2 |
- Construye el histograma correspondiente.
- Indica cuál es el intervalo modal.
- Redacta una conclusión breve en contexto.
a) El histograma debe tener 5 barras pegadas, con alturas 2, 5, 7, 4 y 2.
b) El intervalo modal es 20 a 30, porque tiene la mayor frecuencia.
c) La mayor concentración de estudiantes tarda entre 20 y 30 minutos en llegar.
Ejercicio 6
Usando la misma tabla del ejercicio anterior:
- Determina las marcas de clase de cada intervalo.
- Indica los puntos que se usarían para construir el gráfico poligonal.
- Redacta dos conclusiones breves a partir del gráfico.
a) Las marcas de clase son:
- \(\frac{0+10}{2}=5\)
- \(\frac{10+20}{2}=15\)
- \(\frac{20+30}{2}=25\)
- \(\frac{30+40}{2}=35\)
- \(\frac{40+50}{2}=45\)
b) Los puntos son:
\[ (5,2),\ (15,5),\ (25,7),\ (35,4),\ (45,2) \]
c) Dos conclusiones posibles son:
- La distribución aumenta hasta el intervalo central y luego disminuye.
- Los tiempos extremos son menos frecuentes que los tiempos intermedios.
Ejercicio 7
Las estaturas de un grupo siguen aproximadamente una distribución normal con:
\[ \mu = 170 \text{ cm}, \qquad \sigma = 6 \text{ cm} \]
- Calcula el intervalo \(\mu \pm \sigma\).
- Calcula el intervalo \(\mu \pm 2\sigma\).
- Interpreta ambos intervalos.
a)
\[ 170-6=164,\qquad 170+6=176 \]
Entonces:
\[ \mu \pm \sigma = [164,176] \]
b)
\[ 170-2\cdot 6=158,\qquad 170+2\cdot 6=182 \]
Entonces:
\[ \mu \pm 2\sigma = [158,182] \]
c) El intervalo \([164,176]\) corresponde a valores cercanos al centro, por lo que reúne estaturas relativamente habituales. El intervalo \([158,182]\) es más amplio e incluye valores más alejados, aunque todavía razonables dentro de la distribución.
Ejercicio 8
Los puntajes de una prueba siguen aproximadamente una distribución normal con:
\[ \mu = 500, \qquad \sigma = 40 \]
- ¿Cuál es más habitual: 540 o 620? Justifica.
- Compara los puntajes 460 y 540.
- Interpreta el puntaje 620 en términos de desviaciones estándar.
a)
\[ |540-500|=40 \]
\[ |620-500|=120 \]
Como 540 está más cerca de la media, es más habitual que 620.
b)
\[ |460-500|=40,\qquad |540-500|=40 \]
Tienen una interpretación parecida, porque ambos están a la misma distancia de la media: 1 desviación estándar.
c)
\[ 620-500=120=3\cdot 40 \]
El puntaje 620 está a 3 desviaciones estándar sobre la media, por lo que se interpreta como un valor muy poco habitual dentro de esta distribución.
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
¿Cuál de las siguientes situaciones puede modelarse mejor con una distribución binomial?
- Registrar la temperatura cada hora durante un día.
- Lanzar una moneda 6 veces y contar cuántas veces sale cara.
- Medir la estatura de 20 estudiantes.
- Anotar el tiempo de traslado de una persona al colegio.
La situación binomial es la de lanzar una moneda 6 veces y contar éxitos.
Alternativa correcta: b
PAES 2
Se lanza un dado equilibrado 4 veces. Se define éxito como “obtener un número par”. ¿Cuáles son los parámetros del modelo binomial?
- \(n=4\), \(p=\frac{1}{2}\)
- \(n=6\), \(p=\frac{1}{4}\)
- \(n=4\), \(p=\frac{1}{3}\)
- \(n=2\), \(p=\frac{1}{2}\)
Hay 4 lanzamientos, por lo tanto \(n=4\). Los números pares son 2, 4 y 6, así que:
\[ p=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \]
Alternativa correcta: a
PAES 3
Se lanza una moneda equilibrada 2 veces y \(X\) representa la cantidad de caras obtenidas. ¿Cuál es el valor de \(P(X=0)\)?
- \(\frac{1}{2}\)
- \(\frac{1}{4}\)
- \(\frac{3}{4}\)
- \(\frac{2}{4}\)
\[ P(X=0)=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4} \]
Alternativa correcta: b
PAES 4
Una máquina produce piezas buenas con probabilidad \(0{,}9\). Se observan 3 piezas y \(X\) representa la cantidad de piezas buenas. ¿Cuál es \(P(X=2)\)?
- \(0{,}027\)
- \(0{,}243\)
- \(0{,}729\)
- \(0{,}300\)
\[ P(X=2)=\binom{3}{2}(0{,}9)^2(0{,}1) \]
\[ P(X=2)=3\cdot 0{,}81\cdot 0{,}1=0{,}243 \]
Alternativa correcta: b
PAES 5
En una encuesta, cada persona tiene probabilidad \(0{,}6\) de responder “sí”. Se encuesta a 4 personas. ¿Cuál evento es más probable?
- Exactamente 4 respuestas “sí”
- Exactamente 3 respuestas “sí”
- Exactamente 0 respuestas “sí”
- Todos tienen la misma probabilidad
\[ P(X=4)=(0{,}6)^4=0{,}1296 \]
\[ P(X=3)=\binom{4}{3}(0{,}6)^3(0{,}4)=4\cdot 0{,}216\cdot 0{,}4=0{,}3456 \]
El evento más probable es obtener exactamente 3 respuestas “sí”.
Alternativa correcta: b
PAES 6
Si en una situación binomial se obtiene \(P(X=2)=0{,}35\), ¿cuál es la mejor interpretación?
- Siempre ocurren 2 éxitos.
- Es imposible obtener 2 éxitos.
- Hay un 35% de probabilidad de obtener exactamente 2 éxitos.
- La probabilidad de éxito individual es 2.
\(P(X=2)\) se interpreta como la probabilidad de obtener exactamente 2 éxitos.
Alternativa correcta: c
PAES 7
En una tabla de frecuencias relativas, la suma de todas las frecuencias relativas debe ser:
- 0
- 1
- La frecuencia mayor
- El número de intervalos
La suma de todas las frecuencias relativas es 1.
Alternativa correcta: b
PAES 8
¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe correctamente un histograma?
- Sus barras representan categorías separadas y por eso van con espacio.
- Sus barras representan intervalos numéricos y por eso van pegadas.
- Siempre se construye uniendo puntos con segmentos.
- Solo puede usarse con datos cualitativos.
En el histograma las barras representan intervalos y van pegadas.
Alternativa correcta: b
PAES 9
Si un intervalo va de 12 a 18, ¿cuál es su marca de clase?
- 6
- 12
- 15
- 18
\[ \frac{12+18}{2}=15 \]
Alternativa correcta: c
PAES 10
Una tabla presenta las siguientes frecuencias:
| Intervalo | Frecuencia |
|---|---|
| 0 a 10 | 2 |
| 10 a 20 | 6 |
| 20 a 30 | 8 |
| 30 a 40 | 4 |
¿Cuál es el intervalo modal?
- 0 a 10
- 10 a 20
- 20 a 30
- 30 a 40
La mayor frecuencia es 8, por lo tanto el intervalo modal es 20 a 30.
Alternativa correcta: c
PAES 11
Si un gráfico poligonal sube hasta un punto central y luego baja, ¿qué sugiere eso sobre la distribución?
- Que la mayor concentración está en una zona intermedia.
- Que todos los intervalos tienen la misma frecuencia.
- Que solo existen datos extremos.
- Que no hay ningún intervalo modal.
Ese comportamiento sugiere que los datos se concentran más en una zona intermedia.
Alternativa correcta: a
PAES 12
En una distribución normal, la media \(\mu\) representa principalmente:
- La dispersión de los datos.
- La cantidad de datos del grupo.
- El centro de la distribución.
- La amplitud de los intervalos.
La media representa el centro de la distribución.
Alternativa correcta: c
PAES 13
En una distribución normal, la desviación estándar \(\sigma\) permite describir:
- La dispersión de los datos respecto de la media.
- El nombre del experimento.
- La frecuencia absoluta mayor.
- La cantidad de categorías.
La desviación estándar describe la dispersión de los datos respecto de la media.
Alternativa correcta: a
PAES 14
Si una distribución normal tiene \(\mu=80\) y \(\sigma=6\), entonces el intervalo \(\mu \pm \sigma\) es:
- \([68,92]\)
- \([74,86]\)
- \([76,84]\)
- \([72,88]\)
\[ 80-6=74,\qquad 80+6=86 \]
Alternativa correcta: b
PAES 15
En una distribución normal con \(\mu=100\) y \(\sigma=10\), ¿cuál de los siguientes valores sería más habitual?
- 82
- 95
- 120
- 130
El valor más cercano a la media 100 es 95.
Alternativa correcta: b
PAES 16
En una distribución aproximadamente normal con \(\mu=450\) y \(\sigma=30\), ¿qué se puede decir de los puntajes 420 y 480?
- 420 es más habitual.
- 480 es más habitual.
- Tienen una interpretación parecida, porque están a la misma distancia de la media.
- Ambos son imposibles.
\[ |420-450|=30,\qquad |480-450|=30 \]
Ambos están a 1 desviación estándar de la media, así que tienen una interpretación parecida.
Alternativa correcta: c
Retroalimentación general de la unidad
Revisa primero si la situación realmente tiene dos resultados posibles respecto del evento definido, si los ensayos son independientes y si la probabilidad de éxito se mantiene constante. Después fíjate bien si te piden “exactamente”, “al menos” o “a lo más”.
Vuelve a distinguir qué aporta cada representación: la tabla ordena, el histograma muestra concentración en intervalos y el gráfico poligonal permite ver la forma general. No olvides que las marcas de clase son los puntos medios de los intervalos.
Recuerda que \(\mu\) indica el centro y \(\sigma\) la dispersión. Un valor cercano a la media suele ser más habitual que uno muy alejado. Estar a varias desviaciones estándar de la media no significa ser imposible, sino menos frecuente.
En esta unidad trabajaste con tres ideas importantes: contar probabilidades en situaciones de éxito y fracaso, organizar datos para leer su distribución y comenzar a interpretar valores usando media y desviación estándar en el modelo normal.