Respuesta: la alternativa correcta es b.

Justificación: al lanzar un dado no se sabe con certeza qué número saldrá antes de realizar el experimento. En cambio, calcular \(3+4\), dibujar una figura siguiendo instrucciones o escribir divisores son acciones con resultado determinado.

Una posible respuesta:

• Experimento aleatorio: lanzar una moneda.
• Resultados posibles: cara y sello.
• Espacio muestral: \(\{\text{cara},\text{sello}\}\).
• Evento posible: obtener cara, que se puede representar como \(\{\text{cara}\}\).

• a) Resultado, porque describe una única salida concreta: \(2\).
• b) Evento, porque incluye varios resultados: \(\{2,4,6\}\).
• c) Evento, porque incluye varios resultados: \(\{1,2,3,4\}\).

Conclusión: solo “sale \(2\)” corresponde a un resultado individual.

El espacio muestral es:

\[ \{1,2,3,4,5,6\} \]

Los números impares son:

\[ \{1,3,5\} \]

Hay \(3\) casos favorables de \(6\) casos posibles. Por lo tanto:

\[ P(\text{impar})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \]

Primero calculamos el total de bolitas:

\[ 5+3=8 \]

a) Hay \(5\) bolitas rojas de \(8\) bolitas en total:

\[ P(\text{roja})=\frac{5}{8} \]

b) Hay \(3\) bolitas azules de \(8\) bolitas en total:

\[ P(\text{azul})=\frac{3}{8} \]

a) Los números mayores que \(7\) son \(8\), \(9\) y \(10\). Entonces:

\[ A=\{8,9,10\} \]

b) Hay \(3\) casos favorables de \(10\) posibles, por lo tanto:

\[ P(A)=\frac{3}{10} \]

Como la ruleta tiene \(8\) sectores iguales, todos los resultados son equiprobables.

a) Los múltiplos de \(2\) entre \(1\) y \(8\) son:

\[ \{2,4,6,8\} \]

Entonces:

\[ P(\text{múltiplo de }2)=\frac{4}{8}=\frac{1}{2} \]

b) Los números primos entre \(1\) y \(8\) son:

\[ \{2,3,5,7\} \]

Entonces:

\[ P(\text{primo})=\frac{4}{8}=\frac{1}{2} \]

Observación: el número \(1\) no es primo.

Respuesta correcta: c.

Los números impares son:

\[ \{1,3\} \]

Hay \(2\) casos favorables de \(4\) posibles:

\[ P(\text{impar})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \]

Revisión de distractores:

• a) Incorrecta, porque los pares son \(2\) y \(4\), entonces la probabilidad es \(\frac{2}{4}\), no \(\frac{1}{4}\).
• b) Incorrecta, porque todos los números son menores que \(5\), entonces la probabilidad es \(\frac{4}{4}=1\).
• d) Incorrecta, porque el \(5\) no está en la bolsa, así que la probabilidad es \(0\).

El error está en confundir evento con resultado.

“Obtener un número menor que \(5\)” es un evento, pero está formado por varios resultados:

\[ \{1,2,3,4\} \]

Por lo tanto, hay \(4\) casos favorables de \(6\) casos posibles:

\[ P(\text{menor que }5)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3} \]

La probabilidad correcta es \(\frac{2}{3}\), no \(\frac{1}{6}\).

Sí, puede modelarse con dos resultados posibles, porque solo interesa distinguir si ocurre o no ocurre el evento “sale cara”.

• Éxito: obtener cara.
• Fracaso: no obtener cara, es decir, obtener sello.

El fracaso es no responder correctamente la pregunta.

Esto incluye equivocarse o no responder, si el contexto del problema considera ambas situaciones como no correctas.

El espacio muestral del dado es:

\[ \{1,2,3,4,5,6\} \]

a) Los resultados de éxito son:

\[ \{2,4,6\} \]

b) Hay \(3\) casos favorables de \(6\) posibles:

\[ P(\text{éxito})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \]

c) La probabilidad de fracaso es:

\[ P(\text{fracaso})=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \]

Primero calculamos el total de fichas:

\[ 6+4=10 \]

a) Como hay \(4\) fichas azules, la probabilidad de éxito es:

\[ P(\text{éxito})=\frac{4}{10}=\frac{2}{5} \]

b) El fracaso es no obtener una ficha azul, es decir, obtener una ficha roja:

\[ P(\text{fracaso})=1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5} \]

Los resultados posibles son:

\[ \{1,2,3,4,5\} \]

a) Los números menores que \(3\) son:

\[ \{1,2\} \]

b) Hay \(2\) casos favorables de \(5\) posibles:

\[ P(\text{éxito})=\frac{2}{5} \]

c) La probabilidad de fracaso es:

\[ P(\text{fracaso})=1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5} \]

Los resultados posibles son los números del \(1\) al \(12\).

a) Los múltiplos de \(4\) entre \(1\) y \(12\) son:

\[ \{4,8,12\} \]

b) Hay \(3\) resultados de éxito de \(12\) posibles:

\[ P(\text{éxito})=\frac{3}{12}=\frac{1}{4} \]

c) La probabilidad de fracaso es:

\[ P(\text{fracaso})=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4} \]

a) Como \(2\) de \(20\) piezas son defectuosas:

\[ P(\text{éxito})=\frac{2}{20}=\frac{1}{10} \]

b) El fracaso corresponde a que la pieza no sea defectuosa:

\[ P(\text{fracaso})=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10} \]

a) Si encesta \(7\) de cada \(10\) lanzamientos, la probabilidad de éxito es:

\[ P(\text{éxito})=\frac{7}{10} \]

b) La probabilidad de fracaso es:

\[ P(\text{fracaso})=1-\frac{7}{10}=\frac{3}{10} \]

Esto significa que, en promedio, no encesta \(3\) de cada \(10\) lanzamientos.

Los números primos en un dado son:

\[ \{2,3,5\} \]

Hay \(3\) resultados favorables de \(6\) posibles:

\[ P(\text{éxito})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \]

Alternativa correcta: c.

El total de bolitas es:

\[ 3+5=8 \]

La probabilidad de éxito es sacar una bolita verde:

\[ P(\text{éxito})=\frac{3}{8} \]

Entonces, la probabilidad de fracaso es:

\[ P(\text{fracaso})=1-\frac{3}{8}=\frac{5}{8} \]

Alternativa correcta: b.

La situación que tiene dos categorías naturales es clasificar una respuesta como correcta o incorrecta.

Las otras situaciones tienen más de dos resultados posibles:

• Un dado puede entregar \(6\) números distintos.
• El mes de cumpleaños puede ser cualquiera de los \(12\) meses.
• Una carta puede clasificarse de distintas formas según el criterio usado.

Alternativa correcta: b.

Como éxito y fracaso son resultados complementarios:

\[ P(\text{fracaso})=1-P(\text{éxito}) \]

Reemplazamos:

\[ P(\text{fracaso})=1-\frac{2}{7}=\frac{7}{7}-\frac{2}{7}=\frac{5}{7} \]

Alternativa correcta: a.

El total de lápices es:

\[ 9+1=10 \]

El éxito es obtener un lápiz defectuoso, por lo tanto:

\[ P(\text{éxito})=\frac{1}{10} \]

El fracaso es no obtener un lápiz defectuoso, es decir, obtener uno en buen estado:

\[ P(\text{fracaso})=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10} \]

Alternativa correcta: b.

a) Como la moneda se lanza \(6\) veces, el número de ensayos es:

\[ n=6 \]

b) Como la moneda es equilibrada y el éxito es obtener cara:

\[ p=\frac{1}{2} \]

c) La variable aleatoria es:

\[ X=\text{número de caras obtenidas en 6 lanzamientos} \]

a) El éxito es que una ampolleta sea defectuosa.

b) Como se revisan \(10\) ampolletas:

\[ n=10 \]

c) La probabilidad de éxito está dada en el enunciado:

\[ p=0{,}03 \]

d) La probabilidad de fracaso es:

\[ 1-p=1-0{,}03=0{,}97 \]

a) Sí, puede modelarse con una distribución binomial, suponiendo que las respuestas se eligen al azar e independientemente.

Hay un número fijo de ensayos, \(n=8\), y cada pregunta tiene dos resultados posibles: correcta o incorrecta.

b) Como cada pregunta tiene dos opciones y responde al azar:

\[ p=\frac{1}{2} \]

c) La variable aleatoria es:

\[ X=\text{número de respuestas correctas en 8 preguntas} \]

En un dado equilibrado, los resultados posibles son:

\[ \{1,2,3,4,5,6\} \]

Los números mayores que \(4\) son \(5\) y \(6\).

a) Hay \(2\) casos favorables de \(6\) posibles:

\[ p=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \]

b) Como el dado se lanza \(5\) veces:

\[ n=5 \]

c) La variable \(X\) cuenta cuántas veces se obtiene un número mayor que \(4\). Por lo tanto, puede tomar los valores:

\[ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5 \]

a) Como se entrevista a \(20\) personas:

\[ n=20 \]

b) Como el éxito es responder “sí”:

\[ p=0{,}4 \]

c) La variable aleatoria es:

\[ X=\text{número de personas que responden sí entre las 20 entrevistadas} \]

d) La probabilidad de fracaso es:

\[ 1-p=1-0{,}4=0{,}6 \]

No corresponde a un modelo binomial.

La razón es que al extraer sin reposición cambia la composición de la caja, por lo que también cambia la probabilidad de éxito entre una extracción y otra.

Al inicio:

\[ P(\text{rojo})=\frac{4}{10} \]

Pero después de una extracción, quedan menos lápices en la caja y la probabilidad puede cambiar. Por eso no se cumple la independencia entre ensayos.

a) El éxito es atajar un penal.

b) Como enfrenta \(4\) penales:

\[ n=4 \]

c) La probabilidad de éxito es:

\[ p=0{,}25 \]

d) La variable aleatoria es:

\[ X=\text{número de penales atajados en la práctica} \]

a) Como se aplica el test a \(15\) personas:

\[ n=15 \]

b) El éxito es obtener resultado positivo, por lo tanto:

\[ p=0{,}12 \]

c) La probabilidad de fracaso es:

\[ 1-p=1-0{,}12=0{,}88 \]

d) La variable aleatoria es:

\[ X=\text{número de personas que obtienen resultado positivo entre las 15 evaluadas} \]

En \(7\) lanzamientos:

• el número de ensayos es \(n=7\),
• la probabilidad de éxito “obtener cara” es \(p=\frac{1}{2}\).

Alternativa correcta: b.

La situación que no puede modelarse binomialmente es la extracción sin reposición, porque cambia la probabilidad de éxito entre ensayos.

En cambio, lanzar dados, lanzar monedas o aplicar encuestas bajo supuestos de independencia e igual probabilidad sí pueden ajustarse a la lógica binomial.

Alternativa correcta: c.

En una distribución binomial, \(n\) representa el número de ensayos.

En este caso, como se realizan \(9\) ensayos independientes:

\[ n=9 \]

Alternativa correcta: c.

La probabilidad de fracaso se calcula como \(1-p\):

\[ P(\text{fracaso})=1-0{,}65=0{,}35 \]

Alternativa correcta: a.

En un modelo binomial, \(X\) representa el número de éxitos obtenidos en los \(n\) ensayos.

En este caso:

• \(n=30\), porque hay \(30\) estudiantes,
• \(p=0{,}7\), porque esa es la probabilidad de aprobar,
• el éxito es aprobar.

Por lo tanto, \(X\) representa el número de estudiantes que aprueban entre los \(30\).

Alternativa correcta: b.

Definimos éxito como obtener cara.

• \(n=4\)
• \(k=1\)
• \(p=\frac{1}{2}\)
• \(1-p=\frac{1}{2}\)

Aplicamos la fórmula:

\[ P(X=1)=\binom{4}{1}\left(\frac{1}{2}\right)^1\left(\frac{1}{2}\right)^3 \]

\[ P(X=1)=4\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{8} \]

\[ P(X=1)=\frac{4}{16}=\frac{1}{4} \]

La probabilidad de obtener exactamente \(1\) cara es \(\frac{1}{4}\).

Definimos éxito como obtener cara.

• \(n=5\)
• \(k=3\)
• \(p=\frac{1}{2}\)
• \(1-p=\frac{1}{2}\)

Aplicamos la fórmula:

\[ P(X=3)=\binom{5}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^3\left(\frac{1}{2}\right)^2 \]

Como \(\binom{5}{3}=10\):

\[ P(X=3)=10\cdot \frac{1}{8}\cdot \frac{1}{4} \]

\[ P(X=3)=\frac{10}{32}=\frac{5}{16} \]

La probabilidad de obtener exactamente \(3\) caras es \(\frac{5}{16}\).

Definimos éxito como obtener un \(6\).

• \(n=3\)
• \(k=1\)
• \(p=\frac{1}{6}\)
• \(1-p=\frac{5}{6}\)

Aplicamos la fórmula:

\[ P(X=1)=\binom{3}{1}\left(\frac{1}{6}\right)^1\left(\frac{5}{6}\right)^2 \]

\[ P(X=1)=3\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{25}{36} \]

\[ P(X=1)=\frac{75}{216}=\frac{25}{72} \]

La probabilidad de obtener exactamente un \(6\) es \(\frac{25}{72}\).

Definimos éxito como encestar.

• \(n=3\)
• \(k=2\)
• \(p=0{,}6\)
• \(1-p=0{,}4\)

Aplicamos la fórmula:

\[ P(X=2)=\binom{3}{2}(0{,}6)^2(0{,}4)^1 \]

\[ P(X=2)=3\cdot 0{,}36\cdot 0{,}4 \]

\[ P(X=2)=0{,}432 \]

La probabilidad de encestar exactamente \(2\) lanzamientos es \(0{,}432\).

Definimos éxito como que una pieza salga defectuosa.

• \(n=4\)
• \(k=2\)
• \(p=0{,}1\)
• \(1-p=0{,}9\)

Aplicamos la fórmula:

\[ P(X=2)=\binom{4}{2}(0{,}1)^2(0{,}9)^2 \]

\[ P(X=2)=6\cdot 0{,}01\cdot 0{,}81 \]

\[ P(X=2)=0{,}0486 \]

La probabilidad de que exactamente \(2\) piezas sean defectuosas es \(0{,}0486\).

Definimos éxito como responder “sí”.

• \(n=5\)
• \(k=0\)
• \(p=0{,}3\)
• \(1-p=0{,}7\)

Aplicamos la fórmula:

\[ P(X=0)=\binom{5}{0}(0{,}3)^0(0{,}7)^5 \]

Como \(\binom{5}{0}=1\) y \((0{,}3)^0=1\), queda:

\[ P(X=0)=0{,}7^5 \]

\[ P(X=0)=0{,}16807 \]

La probabilidad de que exactamente \(0\) personas respondan “sí” es \(0{,}16807\).

Definimos éxito como atajar un penal.

• \(n=4\)
• \(k=1\)
• \(p=0{,}25\)
• \(1-p=0{,}75\)

Aplicamos la fórmula:

\[ P(X=1)=\binom{4}{1}(0{,}25)^1(0{,}75)^3 \]

\[ P(X=1)=4\cdot 0{,}25\cdot 0{,}421875 \]

\[ P(X=1)=0{,}421875 \]

La probabilidad de atajar exactamente \(1\) penal es \(0{,}421875\).

Definimos éxito como obtener resultado positivo.

• \(n=3\)
• \(k=3\)
• \(p=0{,}2\)
• \(1-p=0{,}8\)

Aplicamos la fórmula:

\[ P(X=3)=\binom{3}{3}(0{,}2)^3(0{,}8)^0 \]

Como \(\binom{3}{3}=1\) y \((0{,}8)^0=1\):

\[ P(X=3)=1\cdot 0{,}008\cdot 1 \]

\[ P(X=3)=0{,}008 \]

La probabilidad de que exactamente \(3\) personas obtengan resultado positivo es \(0{,}008\).

En este caso:

• \(n=3\)
• \(k=2\)
• \(p=\frac{1}{2}\)

\[ P(X=2)=\binom{3}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right) \]

\[ P(X=2)=3\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{8} \]

Alternativa correcta: c.

En este caso:

• \(n=2\)
• \(k=1\)
• \(p=\frac{1}{6}\)
• \(1-p=\frac{5}{6}\)

\[ P(X=1)=\binom{2}{1}\left(\frac{1}{6}\right)\left(\frac{5}{6}\right) \]

\[ P(X=1)=2\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}=\frac{10}{36}=\frac{5}{18} \]

Alternativa correcta: a.

En este caso:

• \(n=4\)
• \(k=4\)
• \(p=0{,}5\)
• \(1-p=0{,}5\)

\[ P(X=4)=\binom{4}{4}(0{,}5)^4(0{,}5)^0 \]

\[ P(X=4)=1\cdot 0{,}0625\cdot 1=0{,}0625 \]

Alternativa correcta: d.

En cada pregunta de verdadero o falso respondida al azar:

\[ p=\frac{1}{2} \]

Además, \(n=3\) y \(k=1\). Entonces:

\[ P(X=1)=\binom{3}{1}\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)^2 \]

\[ P(X=1)=3\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}=\frac{3}{8} \]

Alternativa correcta: b.

Definimos éxito como que el artículo sea defectuoso.

• \(n=3\)
• \(k=2\)
• \(p=0{,}2\)
• \(1-p=0{,}8\)

Aplicamos la fórmula:

\[ P(X=2)=\binom{3}{2}(0{,}2)^2(0{,}8)^1 \]

\[ P(X=2)=3\cdot 0{,}04\cdot 0{,}8=0{,}096 \]

Alternativa correcta: a.

El valor \(P(X=2)=0{,}18\) significa que hay un 18% de probabilidad de que, en un lote de \(5\) piezas, salgan exactamente \(2\) piezas defectuosas.

No significa que siempre saldrán \(2\) piezas defectuosas, sino que ese evento tiene probabilidad \(0{,}18\).

a) Obtener \(0\) caras significa que los \(4\) lanzamientos son sellos:

\[ P(X=0)=\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16} \]

b) Para obtener exactamente \(2\) caras:

\[ P(X=2)=\binom{4}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)^2 \]

\[ P(X=2)=6\cdot\frac{1}{16}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8} \]

c) Comparamos:

\[ \frac{1}{16}<\frac{3}{8} \]

Es más probable obtener exactamente \(2\) caras que obtener 0 caras.

Esto significa que, al lanzar \(4\) veces una moneda equilibrada, es más esperable obtener una mezcla de caras y sellos que no obtener ninguna cara.

El valor \(P(X=3)=0{,}216\) significa que hay un 21,6% de probabilidad de que el arquero ataje los \(3\) penales.

No es un resultado seguro, porque la probabilidad no es \(1\).

Además, como \(0{,}216\) es menor que \(0{,}5\), puede ocurrir, pero no conviene describirlo como un resultado muy esperable.

Comparamos las probabilidades dadas:

\[ 0{,}36015>0{,}16807 \]

Por lo tanto, es más probable que respondan “sí” exactamente \(4\) personas que las \(5\) personas.

En este contexto, aunque la respuesta “sí” tiene alta probabilidad individual, sigue siendo más esperable que aparezca algún “no” antes que unanimidad total.

El evento \(X=4\) representa que el estudiante acierta exactamente \(4\) preguntas de las \(6\).

Como responde \(6\) preguntas en total, eso también significa que falla las otras \(2\) preguntas.

No necesariamente.

Que el valor numérico sea el mismo solo indica que ambos eventos tienen la misma probabilidad.

Sin embargo, podrían referirse a contextos distintos, con diferente cantidad de ensayos, distinta probabilidad de éxito o diferente significado del éxito.

No, la afirmación es incorrecta.

Que la probabilidad sea \(0{,}8\) significa que el evento es muy probable, pero no seguro.

Para que fuera seguro, la probabilidad tendría que ser \(1\). Como \(0{,}8<1\), todavía existe un \(0{,}2\) de probabilidad de que ocurra otra cosa.

Una conclusión posible es:

“Hay un \(51,2\%\) de probabilidad de que en una revisión de \(3\) piezas no aparezca ninguna defectuosa. Por lo tanto, es un resultado algo más probable que no encontrar fallas, aunque sigue existiendo un \(48,8\%\) de probabilidad de encontrar al menos una pieza defectuosa.”

Esta conclusión es útil porque no solo informa el número, sino también el significado del resultado para el control de calidad.

Como \(X\) representa la cantidad de caras obtenidas, \(P(X=1)\) se interpreta como la probabilidad de obtener exactamente \(1\) cara en los \(3\) lanzamientos.

No significa “al menos \(1\) cara”, porque eso incluiría \(1\), \(2\) o \(3\) caras.

Alternativa correcta: b.

Como la probabilidad de que una pieza sea buena es \(0{,}9\), la probabilidad de que no sea buena es \(0{,}1\).

Calculamos:

\[ P(X=2)=(0{,}9)^2=0{,}81 \]

\[ P(X=1)=\binom{2}{1}(0{,}9)(0{,}1)=0{,}18 \]

\[ P(X=0)=(0{,}1)^2=0{,}01 \]

El evento más probable es \(X=2\), es decir, que las \(2\) piezas sean buenas.

Alternativa correcta: c.

En un dado equilibrado, los números pares son \(2\), \(4\) y \(6\). Entonces:

\[ p=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \]

Para \(X=0\):

\[ P(X=0)=\binom{4}{0}\left(\frac{1}{2}\right)^0\left(\frac{1}{2}\right)^4 \]

\[ P(X=0)=\frac{1}{16} \]

Por lo tanto, la afirmación verdadera es la alternativa a.

Alternativa correcta: a.

El valor \(0{,}72\) corresponde a una probabilidad alta, por lo que el evento es bastante probable.

Sin embargo, no equivale a certeza, porque para que fuera seguro la probabilidad tendría que ser \(1\).

Además, \(X=3\) significa exactamente \(3\) éxitos, no que \(3\) sea la probabilidad de éxito.

Alternativa correcta: b.

La expresión \(P(X=2)\) significa la probabilidad de obtener exactamente \(2\) éxitos.

La estudiante escribió “al menos \(2\) éxitos”, lo que incluiría \(2\), \(3\), \(4\) o más éxitos, dependiendo del número total de ensayos.

Por lo tanto, el error es confundir \(P(X=2)\) con “al menos \(2\) éxitos”.

Alternativa correcta: b.

Contamos cuántas veces aparece cada edad:

La suma de las frecuencias es \(4+3+2+1=10\), que coincide con el total de datos.

Como el total de datos es \(20\), usamos:

\[ h_i=\frac{f_i}{20} \]

La suma de las frecuencias relativas es \(1\), como debe ocurrir.

El intervalo modal es el intervalo con mayor frecuencia.

En la tabla, la mayor frecuencia es \(5\), que corresponde al intervalo 60 a 70.

Eso significa que ese es el rango de puntajes donde se concentra la mayor cantidad de estudiantes.

El histograma debe tener \(4\) barras pegadas, con alturas \(1\), \(4\), \(6\) y \(3\).

La mayor frecuencia es \(6\), por lo tanto la mayor concentración de datos está en el intervalo 10 a 15.

Las marcas de clase se calculan como el punto medio de cada intervalo:

• \(\frac{0+5}{2}=2{,}5\)
• \(\frac{5+10}{2}=7{,}5\)
• \(\frac{10+15}{2}=12{,}5\)
• \(\frac{15+20}{2}=17{,}5\)

El gráfico poligonal une los puntos \((2{,}5,1)\), \((7{,}5,4)\), \((12{,}5,6)\) y \((17{,}5,3)\).

Primero sube, luego alcanza su punto más alto y finalmente baja.

El Curso A parece concentrarse en puntajes más altos.

En el Curso A, las mayores frecuencias están en los intervalos 60 a 70 y 70 a 80. En cambio, el Curso B concentra más estudiantes en intervalos más bajos, especialmente en 40 a 50.

Por eso, la distribución del Curso A está más desplazada hacia puntajes altos.

Dos conclusiones posibles son:

• La mayor concentración de estudiantes está entre 4 y 6 horas semanales, porque ese intervalo tiene la frecuencia más alta.
• Muy pocos estudiantes estudian entre 8 y 10 horas por semana, porque ese intervalo tiene la frecuencia más baja.

También se observa que la frecuencia aumenta hasta el intervalo \(4\) a \(6\) y luego disminuye.

Usamos los intervalos \([10,20)\), \([20,30)\), \([30,40)\) y \([40,50]\).

El intervalo con mayor concentración es 30 a 40, porque tiene frecuencia \(6\).

La marca de clase es el punto medio del intervalo:

\[ \frac{12+18}{2}=\frac{30}{2}=15 \]

Alternativa correcta: c.

Un histograma representa datos cuantitativos agrupados en intervalos numéricos contiguos.

Por eso, sus barras van pegadas cuando los intervalos son continuos.

Alternativa correcta: b.

El intervalo modal es el intervalo con mayor frecuencia.

La mayor frecuencia es \(7\), por lo tanto el intervalo modal es 20 a 30.

Alternativa correcta: c.

La frecuencia relativa indica qué proporción del total representa cada categoría o intervalo.

Por eso, al sumar todas las frecuencias relativas, se obtiene el total completo:

\[ 1 \]

Alternativa correcta: b.

En un gráfico poligonal se usa un punto por intervalo.

Ese punto se ubica horizontalmente en la marca de clase, que corresponde al punto medio del intervalo.

Alternativa correcta: c.

Como la bolita atraviesa \(5\) niveles, el número de ensayos es:

\[ n=5 \]

La probabilidad \(p\) representa la probabilidad de éxito, es decir:

\[ p=P(\text{desviarse hacia la derecha}) \]

La variable aleatoria puede definirse como:

\[ X=\text{número de desvíos hacia la derecha en 5 niveles} \]

Como hay \(4\) niveles, la bolita puede desviarse hacia la derecha desde \(0\) hasta \(4\) veces.

Por lo tanto, los valores posibles son:

\[ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4 \]

El valor \(X=3\) significa que la bolita se desvió \(3\) veces hacia la derecha.

Como hay \(4\) niveles en total, también significa que se desvió \(1\) vez hacia la izquierda.

Queremos trayectorias de \(3\) niveles con exactamente \(2\) desvíos hacia la derecha.

Usamos D para derecha e I para izquierda.

Las trayectorias posibles son:

• D, D, I;
• D, I, D;
• I, D, D.

Hay \(3\) trayectorias posibles. Esto coincide con:

\[ \binom{3}{2}=3 \]

Tenemos:

\[ n=4,\qquad p=\frac{1}{2},\qquad k=1 \]

Aplicamos la fórmula binomial:

\[ P(X=1)=\binom{4}{1}\left(\frac{1}{2}\right)^1\left(\frac{1}{2}\right)^{4-1} \]

\[ P(X=1)=4\cdot \frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 \]

\[ P(X=1)=4\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{8} \]

\[ P(X=1)=\frac{4}{16}=\frac{1}{4} \]

Por lo tanto, la probabilidad de obtener exactamente \(1\) desvío hacia la derecha es \(\frac{1}{4}\).

Queremos contar cuántas trayectorias tienen exactamente \(3\) desvíos hacia la derecha en \(5\) niveles.

Usamos el coeficiente binomial:

\[ \binom{5}{3} \]

Calculamos:

\[ \binom{5}{3}=\frac{5!}{3!(5-3)!} \]

\[ \binom{5}{3}=\frac{5!}{3!2!} \]

\[ \binom{5}{3}=\frac{5\cdot 4}{2\cdot 1}=10 \]

Por lo tanto, hay \(10\) trayectorias distintas que permiten terminar en la columna asociada a \(X=3\).

Tenemos:

\[ n=5,\qquad p=\frac{1}{2},\qquad k=3 \]

Aplicamos la fórmula binomial:

\[ P(X=3)=\binom{5}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^3\left(\frac{1}{2}\right)^{5-3} \]

\[ P(X=3)=10\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3\left(\frac{1}{2}\right)^2 \]

\[ P(X=3)=10\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5 \]

\[ P(X=3)=10\cdot \frac{1}{32}=\frac{10}{32}=\frac{5}{16} \]

Por lo tanto:

\[ P(X=3)=\frac{5}{16} \]

Las columnas centrales suelen recibir más bolitas porque hay más trayectorias distintas que llegan a ellas.

Por ejemplo, en una máquina con varios niveles, llegar a un extremo exige desviarse siempre hacia el mismo lado. Eso corresponde a muy pocas trayectorias.

En cambio, llegar a una columna central puede ocurrir con distintos órdenes de desvíos hacia la izquierda y hacia la derecha.

Por eso, aunque cada trayectoria individual tenga la misma probabilidad en una máquina simétrica, las columnas centrales acumulan mayor frecuencia.

Primero calculamos la probabilidad de \(X=0\):

\[ P(X=0)=\binom{4}{0}\left(\frac{1}{2}\right)^0\left(\frac{1}{2}\right)^4 \]

\[ P(X=0)=1\cdot 1\cdot \frac{1}{16}=\frac{1}{16} \]

Luego calculamos la probabilidad de \(X=2\):

\[ P(X=2)=\binom{4}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)^2 \]

\[ P(X=2)=6\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8} \]

Como \(\frac{3}{8}>\frac{1}{16}\), es más probable llegar a la columna central \(X=2\) que a la columna extrema \(X=0\).

Esto ocurre porque hay más trayectorias que producen exactamente \(2\) desvíos hacia la derecha.

Significa que los datos se concentran cerca de un valor central, que la distribución tiene una forma similar a una campana y que los valores muy alejados del centro aparecen con menor frecuencia.

Además, suele verse aproximadamente simétrica: al mirar ambos lados del centro, las frecuencias disminuyen de manera parecida.

Sí, se parece a una distribución normal.

La mayor frecuencia está en el centro, en el intervalo 60 a 70, y las frecuencias disminuyen de manera equilibrada hacia ambos extremos:

\[ 2,\ 5,\ 8,\ 5,\ 2 \]

Por eso tiene una forma aproximadamente simétrica y acampanada.

La distribución B tiene mayor dispersión.

Una distribución más ancha indica que los datos están más repartidos alrededor del centro. En cambio, una distribución más angosta indica que los datos están más agrupados cerca del centro.

Porque en una distribución normal la mayor concentración de datos está alrededor del centro.

A medida que uno se aleja de ese centro, los casos se vuelven menos comunes. Por eso los valores extremos aparecen con menor frecuencia.

Significa que los tiempos de reacción del grupo tienden a agruparse alrededor de 30 centésimas de segundo.

Ese valor representa el comportamiento central o típico de la distribución: muchos estudiantes tendrán tiempos cercanos a ese valor, aunque no todos tendrán exactamente \(30\) centésimas.

Aunque ambos cursos tienen un centro parecido, en el Curso A los puntajes están más agrupados cerca de \(65\).

En cambio, en el Curso B los puntajes están más repartidos: puede haber más estudiantes con puntajes bastante menores o bastante mayores que \(65\).

Por eso el Curso B muestra mayor variabilidad en sus resultados.

No, esa afirmación es incorrecta.

En una distribución normal los datos tienden a concentrarse cerca del centro, pero no son todos iguales.

Hay variación: algunos valores están cerca del centro y otros más alejados, aunque estos últimos aparecen con menor frecuencia.

a) El centro aproximado está en el intervalo 40 a 50, porque allí se concentra la mayor frecuencia.

b) No es completamente simétrica.

c) Se parece solo de manera parcial a una normal.

Tiene una concentración central clara, pero las frecuencias a ambos lados no disminuyen de forma equilibrada: hacia la izquierda aparecen \(7\), \(3\), \(1\), mientras que hacia la derecha aparecen \(6\), \(2\).

Una distribución aproximadamente normal tiene forma acampanada, es aproximadamente simétrica y concentra la mayor parte de los datos cerca del centro.

Alternativa correcta: b.

Con mayor dispersión, los datos están más extendidos alrededor del centro.

Por eso la curva se ve más ancha y más baja.

Alternativa correcta: a.

En una distribución normal los datos se concentran cerca del centro.

Los valores extremos pueden existir, pero aparecen con menor frecuencia.

Alternativa correcta: c.

La dispersión indica qué tan separados o repartidos están los datos respecto del centro.

Por eso, una mayor dispersión se observa como una distribución más ancha.

Alternativa correcta: c.

Las frecuencias aumentan hacia el centro y luego disminuyen de manera equilibrada:

\[ 1,\ 4,\ 9,\ 4,\ 1 \]

Esto corresponde a una forma aproximadamente acampanada y simétrica.

Alternativa correcta: a.

La media \(\mu\) representa el centro de la distribución, es decir, el valor alrededor del cual se agrupan los datos.

La desviación estándar \(\sigma\) representa qué tan dispersos están esos datos respecto del centro. Si \(\sigma\) es mayor, los datos tienden a estar más repartidos; si \(\sigma\) es menor, tienden a estar más concentrados cerca de la media.

a) Calculamos los extremos del intervalo:

\[ \mu-\sigma=160-4=156 \]

\[ \mu+\sigma=160+4=164 \]

Entonces:

\[ \mu\pm\sigma=[156,164] \]

b) El intervalo \([156,164]\) corresponde a estaturas cercanas al centro, por lo que valores en ese rango se interpretan como relativamente habituales dentro del grupo.

Comparamos la distancia de cada valor respecto de la media.

Para \(72\):

\[ |72-70|=2 \]

Como \(\sigma=5\), esta distancia es menor que una desviación estándar.

Para \(83\):

\[ |83-70|=13 \]

Como \(13\) es más que \(2\) desviaciones estándar, \(83\) está bastante más alejado del centro.

Por lo tanto, el valor 72 es más habitual porque está mucho más cerca de la media que \(83\).

a) Para \(\mu \pm \sigma\):

\[ 600-40=560,\qquad 600+40=640 \]

Entonces:

\[ \mu \pm \sigma=[560,640] \]

b) Para \(\mu \pm 2\sigma\), primero calculamos:

\[ 2\sigma=2\cdot 40=80 \]

Luego:

\[ 600-80=520,\qquad 600+80=680 \]

Entonces:

\[ \mu \pm 2\sigma=[520,680] \]

La distancia entre \(550\) y \(500\) es:

\[ 550-500=50 \]

Como la desviación estándar es \(25\), calculamos:

\[ \frac{50}{25}=2 \]

Por lo tanto, el valor \(550\) está a 2 desviaciones estándar sobre la media.

\(1005\) g: está a \(5\) g de la media.

\[ \frac{5}{20}=0{,}25 \]

Está a solo \(0{,}25\) desviaciones estándar, por lo que es un valor muy habitual.

\(1040\) g: está a \(40\) g de la media.

\[ \frac{40}{20}=2 \]

Está a \(2\) desviaciones estándar sobre la media, por lo que es menos habitual.

\(1065\) g: está a \(65\) g de la media.

\[ \frac{65}{20}=3{,}25 \]

Está a más de \(3\) desviaciones estándar, por lo que es un valor muy poco habitual dentro del modelo.

Sí, tienen una interpretación parecida.

Calculamos sus distancias respecto de la media:

\[ |420-450|=30 \]

\[ |480-450|=30 \]

Ambos están a \(30\) puntos de la media. Como \(\sigma=30\), ambos están a 1 desviación estándar de la media.

La diferencia es que \(420\) está una desviación estándar por debajo de la media y \(480\) está una desviación estándar por encima. En una distribución normal simétrica, ambos se interpretan como valores igualmente habituales.

No, la afirmación es incorrecta.

Un valor a \(3\) desviaciones estándar de la media puede aparecer, pero se interpreta como muy poco habitual dentro de la distribución normal.

Estar lejos del centro no significa ser imposible; solo significa que ocurre con menor frecuencia que los valores cercanos a la media.

La desviación estándar describe qué tan dispersos o extendidos están los datos respecto de la media.

Alternativa correcta: b.

Calculamos:

\[ 80-6=74 \]

\[ 80+6=86 \]

Entonces:

\[ \mu\pm\sigma=[74,86] \]

Alternativa correcta: a.

Dos desviaciones estándar equivalen a:

\[ 2\sigma=2\cdot 10=20 \]

Como se pide sobre la media:

\[ 100+20=120 \]

Alternativa correcta: c.

En una distribución normal, los valores cercanos a la media suelen aparecer con mayor frecuencia que los valores muy alejados.

Por eso, la afirmación verdadera es la alternativa a.

Alternativa correcta: a.

Calculamos la distancia entre el valor y la media:

\[ 250-200=50 \]

Como \(\sigma=25\):

\[ \frac{50}{25}=2 \]

Además, \(250\) está sobre la media porque es mayor que \(200\).

Alternativa correcta: b.

Aplicamos la fórmula:

\[ z=\frac{x-\mu}{\sigma} \]

Reemplazamos:

\[ z=\frac{95-80}{10}=\frac{15}{10}=1{,}5 \]

El valor \(95\) está a \(1{,}5\) desviaciones estándar sobre la media. Por lo tanto, está sobre el centro de la distribución, pero no corresponde a un valor extremadamente alejado.

Usamos:

\[ z=\frac{x-\mu}{\sigma} \]

Reemplazamos los datos:

\[ -2=\frac{x-120}{15} \]

Multiplicamos por \(15\):

\[ -30=x-120 \]

Sumamos \(120\):

\[ x=90 \]

El valor correspondiente es \(90\), que está \(2\) desviaciones estándar bajo la media.

Calculamos el puntaje \(z\) en cada grupo.

Para A:

\[ z_A=\frac{68-60}{4}=\frac{8}{4}=2 \]

Para B:

\[ z_B=\frac{75-65}{10}=\frac{10}{10}=1 \]

El dato del grupo A está más alejado de su media, porque su puntaje \(z\) tiene mayor valor absoluto.

Estandarizamos \(55\):

\[ z=\frac{55-50}{5}=\frac{5}{5}=1 \]

Entonces:

\[ P(X\leq 55)=P(Z\leq 1) \]

Usando la información entregada:

\[ P(Z\leq 1)\approx 0{,}8413 \]

La probabilidad aproximada es \(0{,}8413\), es decir, \(84{,}13\%\).

Para \(200\):

\[ z=\frac{200-200}{20}=0 \]

Para \(220\):

\[ z=\frac{220-200}{20}=1 \]

Entonces:

\[ P(200\leq X\leq 220)=P(0\leq Z\leq 1) \]

Usamos probabilidades acumuladas:

\[ P(0\leq Z\leq 1)=P(Z\leq 1)-P(Z\leq 0) \]

\[ P(0\leq Z\leq 1)\approx 0{,}8413-0{,}5000=0{,}3413 \]

La probabilidad aproximada es \(0{,}3413\), es decir, \(34{,}13\%\).

Si \(z=0\), entonces:

\[ 0=\frac{x-\mu}{\sigma} \]

Como \(\sigma\neq 0\), se cumple que:

\[ x-\mu=0 \]

Por lo tanto:

\[ x=\mu \]

El valor coincide con la media de la distribución.

Estandarizamos \(350\):

\[ z=\frac{350-300}{25}=\frac{50}{25}=2 \]

Por lo tanto:

\[ P(X\leq 350)=P(Z\leq 2) \]

Usando la información entregada:

\[ P(Z\leq 2)\approx 0{,}9772 \]

La probabilidad aproximada es \(0{,}9772\), es decir, \(97{,}72\%\).

El puntaje \(z=-1{,}5\) significa que el dato está a \(1{,}5\) desviaciones estándar bajo la media.

El signo negativo indica que está bajo el centro de la distribución.

Como \(|z|=1{,}5\), el dato está algo alejado del centro, pero no se interpreta como un valor extremo.

Aplicamos:

\[ z=\frac{x-\mu}{\sigma} \]

\[ z=\frac{140-100}{20}=\frac{40}{20}=2 \]

Alternativa correcta: b.

El signo negativo indica que el valor está bajo la media.

Como \(|z|=1\), está a una desviación estándar del centro.

Alternativa correcta: b.

Usamos:

\[ z=\frac{x-\mu}{\sigma} \]

Reemplazamos:

\[ 1{,}5=\frac{x-60}{12} \]

Multiplicamos por \(12\):

\[ 18=x-60 \]

Entonces:

\[ x=78 \]

Alternativa correcta: c.

Para calcular la probabilidad entre \(0\) y \(1\), restamos las probabilidades acumuladas:

\[ P(0\leq Z\leq 1)=P(Z\leq 1)-P(Z\leq 0) \]

\[ P(0\leq Z\leq 1)=0{,}8413-0{,}5000=0{,}3413 \]

Alternativa correcta: c.

Es más cercana a un modelo binomial.

Hay \(50\) repeticiones, cada persona entrega una respuesta dicotómica para este análisis: sí o no, y se cuenta el número de respuestas afirmativas.

Si las respuestas pudieran considerarse independientes y la probabilidad de responder “sí” fuera aproximadamente constante, podría modelarse como:

\[ X=\text{número de personas que responden sí} \]

Es más cercana a un modelo normal, si los datos se distribuyen aproximadamente con forma de campana.

La estatura es una variable continua y la pregunta se plantea sobre un intervalo, por ejemplo:

\[ P(a\leq X\leq b) \]

Por eso no corresponde contar éxitos discretos, sino estudiar valores dentro de un rango.

La variable \(X\) cuenta respuestas correctas, por lo tanto solo puede tomar valores enteros.

Como hay \(8\) preguntas, los valores posibles son:

\[ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8 \]

Es una variable discreta, porque cuenta la cantidad de respuestas correctas.

Esta situación se puede estudiar con un modelo binomial si se cumplen los supuestos del modelo.

Es más apropiada la pregunta:

\[ P(500\leq X\leq 550) \]

En una distribución normal, que es continua, se trabaja con probabilidades de intervalos.

La probabilidad de un valor puntual exacto, como \(P(X=550)\), se interpreta como \(0\) en el modelo continuo. Eso no significa que \(550\) sea imposible como puntaje observado, sino que el modelo asigna probabilidad a intervalos, no a puntos exactos.

Dos supuestos importantes son:

• que cada ampolleta pueda clasificarse en dos resultados para este análisis: falla o no falla antes del tiempo fijado;
• que la probabilidad de falla sea aproximadamente constante para cada ampolleta.

También conviene revisar si las observaciones pueden tratarse como independientes, es decir, que la falla de una ampolleta no cambie la probabilidad de falla de otra.

No es correcta.

Una distribución binomial puede tener un histograma con forma parecida a una campana cuando el número de ensayos es grande y los parámetros lo permiten.

Sin embargo, sigue siendo binomial porque la variable cuenta éxitos y toma valores discretos:

\[ 0,\ 1,\ 2,\ldots,n \]

La forma visual puede parecerse a la normal, pero el tipo de variable y el modelo de origen siguen siendo binomiales.

Un modelo binomial puede ayudar a estimar probabilidades relacionadas con la cantidad de estudiantes que responden “sí”, si se asume una probabilidad de apoyo y condiciones similares para las respuestas.

Por ejemplo, podría modelarse:

\[ X=\text{número de estudiantes que están de acuerdo} \]

Una limitación es que el modelo no explica por sí solo las razones de las respuestas ni garantiza que la muestra represente a todos los estudiantes.

Para tomar una decisión, habría que analizar también la calidad de los datos, el contexto escolar y si la forma de recoger las respuestas fue adecuada.