1. Porcentaje como operador. Aumentos y descuentos

Porcentaje como operador. Aumentos y descuentos

Porcentaje como operador

Comenzamos una nueva unidad: matemática financiera. En esta primera página trabajaremos una idea fundamental: el porcentaje como operador.

Esto significa que un porcentaje no se mira solo como un número con símbolo %, sino como una herramienta que transforma una cantidad. Gracias a eso podemos calcular aumentos, descuentos y cambios de precio en contextos reales.

Por ejemplo, cuando una tienda anuncia un 20% de descuento o cuando un producto sube un 15%, en ambos casos el porcentaje está actuando sobre un valor inicial.

Objetivo de la página

Interpretar el porcentaje como un operador aplicado a una cantidad.
Calcular porcentajes de una cantidad dada.
Resolver problemas de aumentos porcentuales.
Resolver problemas de descuentos porcentuales.
Expresar aumentos y descuentos usando multiplicadores.
Usar el multiplicador en forma directa e inversa para encontrar valores iniciales, valores finales o porcentajes desconocidos.
Al finalizar esta página deberías poder:
- Calcular, por ejemplo, el 15% o el 30% de una cantidad.
- Aplicar un aumento porcentual a un precio o capital.
- Aplicar un descuento porcentual a un precio o capital.
- Reconocer el multiplicador asociado a un aumento o a un descuento.
- Encontrar el valor inicial cuando se conoce el valor final.

Porcentaje como operador

Aplicar un porcentaje a una cantidad significa multiplicarla por su equivalente decimal.

\[ p\% = \frac{p}{100} \]

Por ejemplo:

$20\% = 0{,}20$
$7\% = 0{,}07$
$125\% = 1{,}25$

Entonces, para calcular el $p\%$ de una cantidad $C$:

\[ p\%\text{ de }C = \frac{p}{100}\cdot C \]

Aumentos y descuentos

Si una cantidad inicial $C$ aumenta en $p\%$, el nuevo valor es:

\[ C\left(1+\frac{p}{100}\right) \]

Si una cantidad inicial $C$ disminuye o tiene un descuento de $p\%$, el nuevo valor es:

\[ C\left(1-\frac{p}{100}\right) \]

Estos factores se llaman multiplicadores.

Uso directo e inverso del multiplicador

Si llamamos $m$ al multiplicador, entonces:

\[ \text{Valor final}=\text{Valor inicial}\cdot m \]

Por lo tanto, si conocemos el valor final y necesitamos recuperar el valor inicial:

\[ \text{Valor inicial}=\frac{\text{Valor final}}{m} \]

También podemos encontrar el multiplicador comparando el valor final con el valor inicial:

\[ m=\frac{\text{Valor final}}{\text{Valor inicial}} \]

Idea clave

Un aumento del 12% no significa sumar 12, sino multiplicar por 1,12. Un descuento del 12% no significa restar 12, sino multiplicar por 0,88.

Error frecuente

Confundir “20% de descuento” con “restar 20 pesos” o “restar 20 unidades”. El descuento depende del valor inicial. Un 20% de 50 no es lo mismo que un 20% de 500.

Equivalencias útiles

Tabla de multiplicadores

Porcentaje	Decimal	Multiplicador si aumenta	Multiplicador si descuenta
5%	0,05	1,05	0,95
10%	0,10	1,10	0,90
20%	0,20	1,20	0,80
25%	0,25	1,25	0,75
30%	0,30	1,30	0,70
50%	0,50	1,50	0,50

Ejemplo guiado 1: calcular un porcentaje de una cantidad

Calcula el 15% de 80.

Primero convertimos el porcentaje a decimal:

\[ 15\% = 0{,}15 \]

Luego multiplicamos:

\[ 0{,}15\cdot 80 = 12 \]

Por lo tanto, el 15% de 80 es 12.

Ejemplo guiado 2: aumento porcentual

Un producto cuesta \$20.000 y sube un 8%.

Podemos resolverlo de dos maneras.

Método 1: calcular el aumento y luego sumar

\[ 8\% \text{ de } 20.000 = 0{,}08\cdot 20.000 = 1.600 \]

\[ 20.000 + 1.600 = 21.600 \]

Método 2: usar el multiplicador

\[ 1+0{,}08=1{,}08 \]

\[ 20.000\cdot 1{,}08 = 21.600 \]

El nuevo precio es \$21.600.

Ejemplo guiado 3: descuento porcentual

Una chaqueta cuesta \$36.000 y tiene un 25% de descuento.

Método 1: calcular el descuento y restar

\[ 25\% \text{ de } 36.000 = 0{,}25\cdot 36.000 = 9.000 \]

\[ 36.000 - 9.000 = 27.000 \]

Método 2: usar el multiplicador

\[ 1-0{,}25 = 0{,}75 \]

\[ 36.000\cdot 0{,}75 = 27.000 \]

El precio final es \$27.000.

Ejemplo guiado 4: encontrar el valor inicial

Después de un descuento de 20%, un televisor queda en \$224.000. ¿Cuál era su precio original?

Un descuento de 20% usa multiplicador:

\[1-0{,}20=0{,}80\]

El valor final corresponde al 80% del valor inicial:

\[224.000=\text{Valor inicial}\cdot 0{,}80\]

Usamos la fórmula inversa:

\[\text{Valor inicial}=\frac{224.000}{0{,}80}=280.000\]

El precio original era \$280.000.

¿Cuándo conviene usar multiplicador?

Cuando el problema pide el valor final, usar directamente el multiplicador suele ser más rápido.

Cuando el problema entrega el valor final y pide el valor inicial, conviene usar la fórmula en forma inversa, dividiendo por el multiplicador.

Aplicación en el mundo real

Los porcentajes aparecen en precios, descuentos de temporada, aumentos de arriendo, reajustes de planes, promociones y variaciones de ahorro. Entenderlos bien ayuda a tomar decisiones financieras más informadas.

Ejercicios

Estrategia para resolver

Antes de calcular, identifica qué dato falta: valor final, valor inicial, porcentaje o multiplicador. Si conoces el valor inicial, normalmente multiplicas. Si conoces el valor final y buscas el valor inicial, divides por el multiplicador.

Ejercicio 1

Calcula cada porcentaje:

El 18% de 350.
El 7,5% de 800.
El 125% de 64.
El 3,5% de 240.000.

Ejercicio 2

Completa la información en cada caso:

Aumento de 14%: multiplicador.
Descuento de 14%: multiplicador.
Multiplicador $1{,}35$: porcentaje y tipo de cambio.
Multiplicador $0{,}72$: porcentaje y tipo de cambio.
Un precio pasa de \$80.000 a \$104.000: multiplicador y porcentaje de cambio.

Ejercicio 3

Un notebook queda en \$459.000 después de aplicar un descuento de 15%.

Determina el precio original.
Calcula el descuento en pesos.
Verifica el resultado usando el multiplicador.

Ejercicio 4

Después de subir un 12%, una bicicleta queda en \$134.400. ¿Cuál era su precio antes del aumento?

Ejercicio 5

Un arriendo pasa de \$320.000 a \$368.000.

Calcula el aumento en pesos.
Determina el multiplicador asociado.
Calcula el porcentaje de aumento.

Ejercicio 6

Completa la tabla. En algunos casos falta el valor final, en otros falta el valor inicial, el porcentaje o el multiplicador.

Valor inicial	Porcentaje	Tipo de cambio	Multiplicador	Valor final
\$50.000	10%	Aumento	?	?
?	15%	Descuento	?	\$68.000
\$120.000	?	Aumento	?	\$150.000
\$72.000	?	Descuento	?	\$54.000
?	30%	Aumento	?	\$91.000

Fila 1:

Un aumento de 10% usa multiplicador $1{,}10$.

\[50.000\cdot 1{,}10=55.000\]

Fila 2:

Un descuento de 15% usa multiplicador $0{,}85$.

\[\text{Valor inicial}=\frac{68.000}{0{,}85}=80.000\]

Fila 3:

Calculamos el multiplicador:

\[\frac{150.000}{120.000}=1{,}25\]

Como $1{,}25-1=0{,}25$, corresponde a un aumento de 25%.

Fila 4:

Calculamos el multiplicador:

\[\frac{54.000}{72.000}=0{,}75\]

Como $1-0{,}75=0{,}25$, corresponde a un descuento de 25%.

Fila 5:

Un aumento de 30% usa multiplicador $1{,}30$.

\[\text{Valor inicial}=\frac{91.000}{1{,}30}=70.000\]

Valor inicial	Porcentaje	Tipo de cambio	Multiplicador	Valor final
\$50.000	10%	Aumento	1,10	\$55.000
\$80.000	15%	Descuento	0,85	\$68.000
\$120.000	25%	Aumento	1,25	\$150.000
\$72.000	25%	Descuento	0,75	\$54.000
\$70.000	30%	Aumento	1,30	\$91.000

Ejercicio 7

Un artículo cuesta \$80.000. Primero sube un 20% y luego se le aplica un descuento del 20% sobre el nuevo precio.

Calcula el precio final.
Determina si vuelve al precio original.
Expresa el cambio total como un porcentaje.
Explica por qué no basta con decir “sube 20% y baja 20%, entonces queda igual”.

Ejercicio 8

Una chaqueta cuesta \$60.000. La tienda ofrece tres promociones:

Promoción A: 20% de descuento y luego un cupón adicional de \$5.000.
Promoción B: 30% de descuento directo.
Promoción C: cupón de \$5.000 y luego 20% de descuento.

¿Cuál promoción conviene más y por cuánto respecto de la segunda mejor opción?

Ejercicios tipo PAES

PAES 1

Un producto queda en \$45.000 después de aplicar un descuento del 25%. ¿Qué operación permite calcular el precio original?

$45.000\cdot 0{,}75$
$\frac{45.000}{0{,}75}$
$\frac{45.000}{1{,}25}$
$45.000-0{,}25$

PAES 2

Un precio aumenta de \$80.000 a \$92.000. ¿Cuál fue el porcentaje de aumento?

12%
15%
20%
115%

PAES 3

Un artículo recibe dos descuentos sucesivos: primero 10% y luego 20%. ¿Cuál es el descuento único equivalente?

30%
28%
72%
2%

PAES 4

Después de un aumento de 12%, un artículo cuesta \$56.000. ¿Cuál era su precio antes del aumento?

\$50.000
\$49.280
\$62.720
\$44.800

PAES 5

Si una cantidad se multiplica por $0{,}65$, ¿qué cambio porcentual representa?

Aumento de 65%
Descuento de 65%
Aumento de 35%
Descuento de 35%

PAES 6

Un producto A cuesta \$50.000 y tiene 18% de descuento. Un producto B cuesta \$42.000 sin descuento. ¿Cuál afirmación es correcta?

El producto A queda en \$41.000, por lo tanto conviene más que el B.
El producto A queda en \$42.000, por lo tanto cuesta lo mismo que el B.
El producto A queda en \$59.000, por lo tanto conviene más el B.
El producto A queda en \$40.000, por lo tanto conviene más que el B.

PAES 7

Un producto aumenta 20% y luego se le aplica un descuento de 20% sobre el nuevo precio. ¿Cuál afirmación es correcta?

Vuelve exactamente al precio original.
Queda con un descuento total de 4% respecto del precio original.
Queda con un aumento total de 4% respecto del precio original.
Queda con un descuento total de 40% respecto del precio original.

PAES 8

Una cantidad pasa de \$90.000 a \$72.000. ¿Qué multiplicador permite pasar del valor inicial al valor final?

0,20
0,80
1,20
1,25

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Resumen de la página

En esta página aprendimos a interpretar el porcentaje como un operador que transforma cantidades. Vimos que puede representar aumentos, descuentos y cambios en valores iniciales.

Además, usamos multiplicadores en forma directa e inversa, lo que permite resolver problemas financieros de forma más rápida y organizada.

Para recordar

Calcular un porcentaje es multiplicar por su equivalente decimal.
Un aumento de $p\%$ usa el multiplicador $1+\frac{p}{100}$.
Un descuento de $p\%$ usa el multiplicador $1-\frac{p}{100}$.
Si se conoce el valor final y se necesita recuperar el valor inicial, se divide por el multiplicador.
Si se conocen el valor inicial y el valor final, el multiplicador se obtiene dividiendo $\frac{\text{valor final}}{\text{valor inicial}}$.
El porcentaje siempre actúa sobre el valor inicial correspondiente.

2. Crecimiento y decrecimiento porcentual constante

Crecimiento y decrecimiento porcentual constante

En la página anterior aprendimos a usar el porcentaje como operador para calcular aumentos y descuentos en una sola etapa.

Ahora daremos un paso más: estudiaremos situaciones en que ese cambio porcentual se aplica varias veces seguidas. A esto se le llama crecimiento porcentual constante o decrecimiento porcentual constante.

Este tipo de modelo aparece en contextos muy reales: ahorro, inflación, depreciación de objetos, crecimiento de una población, reajustes de precios y evolución de un capital.

Objetivo de la página

Comprender qué significa que un valor crezca o disminuya en un porcentaje constante.
Modelar situaciones de crecimiento y decrecimiento mediante multiplicadores.
Reconocer que el cambio porcentual constante es multiplicativo, no aditivo.
Resolver problemas en contexto usando potencias sencillas.
Usar la fórmula en forma directa e inversa para encontrar valor final, valor inicial, porcentaje o número de períodos en casos adecuados al nivel.
Al finalizar esta página deberías poder:
- Calcular el valor final de una cantidad que cambia en un mismo porcentaje durante varios períodos.
- Escribir el multiplicador asociado a un crecimiento o decrecimiento constante.
- Interpretar tablas y expresiones del tipo $C_0(1+r)^n$.
- Usar la fórmula para encontrar el valor final, el valor inicial, el porcentaje o el número de períodos en casos sencillos.
- Distinguir entre sumar repetidamente y multiplicar repetidamente.

Modelo de crecimiento porcentual constante

Si una cantidad inicial $C_0$ crece un $r\%$ en cada período, entonces en cada etapa se multiplica por:

\[ 1+\frac{r}{100} \]

Después de $n$ períodos, el valor es:

\[ C_n = C_0\left(1+\frac{r}{100}\right)^n \]

Modelo de decrecimiento porcentual constante

Si una cantidad inicial $C_0$ disminuye un $r\%$ en cada período, entonces en cada etapa se multiplica por:

\[ 1-\frac{r}{100} \]

Después de $n$ períodos, el valor es:

\[ C_n = C_0\left(1-\frac{r}{100}\right)^n \]

Uso directo e inverso del modelo

Si $m$ es el multiplicador por período, entonces el modelo general es:

\[C_n=C_0\cdot m^n\]

Para encontrar el valor inicial cuando se conoce el valor final:

\[C_0=\frac{C_n}{m^n}\]

Para encontrar el multiplicador cuando se conocen $C_0$, $C_n$ y $n$, en casos sencillos se busca un número $m$ que cumpla:

\[m^n=\frac{C_n}{C_0}\]

Para encontrar el número de períodos, se pueden probar potencias del multiplicador o completar una tabla.

Idea clave

Cuando el porcentaje se repite en cada período, no conviene sumar el mismo monto una y otra vez. Lo correcto es multiplicar repetidamente por el mismo factor.

Error frecuente

Si un capital crece un 10% cada mes durante 3 meses, no corresponde sumar 30% directamente para obtener el valor final. El 10% de cada mes se calcula sobre un valor que ya cambió.

Resumen de multiplicadores

Tabla de multiplicadores

Situación	Porcentaje	Multiplicador por período	Expresión después de $n$ períodos
Crecimiento	5%	1,05	$C_0(1{,}05)^n$
Crecimiento	12%	1,12	$C_0(1{,}12)^n$
Decrecimiento	8%	0,92	$C_0(0{,}92)^n$
Decrecimiento	20%	0,80	$C_0(0{,}80)^n$

Ejemplo guiado 1: crecimiento porcentual constante

Un capital inicial de \$100.000 crece un 10% mensual durante 3 meses.

El multiplicador mensual es:

\[ 1+0{,}10 = 1{,}10 \]

Después de 3 meses:

\[ C_3 = 100.000(1{,}10)^3 \]

\[ C_3 = 100.000\cdot 1{,}331 = 133.100 \]

El capital final es \$133.100.

Ejemplo guiado 2: decrecimiento porcentual constante

Un computador cuesta \$500.000 y pierde un 20% de su valor cada año durante 2 años.

El multiplicador anual es:

\[ 1-0{,}20 = 0{,}80 \]

Después de 2 años:

\[ C_2 = 500.000(0{,}80)^2 \]

\[ C_2 = 500.000\cdot 0{,}64 = 320.000 \]

El valor del computador después de 2 años es \$320.000.

Ejemplo guiado 3: crecimiento en tabla

Una población inicial de 200 bacterias aumenta un 50% por período.

El multiplicador es:

\[ 1+0{,}50 = 1{,}50 \]

Período	Cantidad
0	200
1	$200\cdot 1{,}5 = 300$
2	$300\cdot 1{,}5 = 450$
3	$450\cdot 1{,}5 = 675$

También puede escribirse directamente como:

\[ C_n = 200(1{,}5)^n \]

Ejemplo guiado 4: encontrar el valor inicial

Un capital crece un 10% mensual durante 3 meses y llega a \$133.100. ¿Cuál era el capital inicial?

El multiplicador mensual es:

\[1+0{,}10=1{,}10\]

Usamos el modelo:

\[C_3=C_0(1{,}10)^3\]

Reemplazamos el valor final:

\[133.100=C_0(1{,}10)^3\]

Como $(1{,}10)^3=1{,}331$, entonces:

\[C_0=\frac{133.100}{1{,}331}=100.000\]

El capital inicial era \$100.000.

Ejemplo guiado 5: encontrar el porcentaje por período

Un capital pasa de \$200.000 a \$242.000 en 2 períodos, creciendo siempre al mismo porcentaje. ¿Cuál fue el porcentaje de crecimiento por período?

Usamos el modelo:

\[C_2=C_0\cdot m^2\]

Reemplazamos:

\[242.000=200.000\cdot m^2\]

Dividimos por 200.000:

\[1{,}21=m^2\]

Como $1{,}10^2=1{,}21$, entonces:

\[m=1{,}10\]

Por lo tanto, el crecimiento fue de 10% por período.

¿Por qué aparece una potencia?

Porque el mismo multiplicador se aplica una y otra vez. Multiplicar tres veces por $1{,}10$ es lo mismo que multiplicar por $(1{,}10)^3$.

Usar la fórmula en distintos sentidos

La expresión $C_n=C_0\cdot m^n$, donde $m$ es el multiplicador, puede usarse para encontrar distintas cantidades.

Si se conoce $C_0$, $m$ y $n$, se puede calcular $C_n$.
Si se conoce $C_n$, $m$ y $n$, se puede calcular $C_0$ dividiendo.
Si se conoce $C_0$, $C_n$ y $n$, se puede encontrar el multiplicador en casos sencillos.
Si se conoce $C_0$, $C_n$ y $m$, se puede encontrar $n$ usando una tabla o probando potencias simples.

Aplicación en el mundo real

Los crecimientos y decrecimientos porcentuales constantes aparecen en ahorros, préstamos, depreciación de autos, reajustes de precios, crecimiento de seguidores en redes y variación del valor de algunos bienes.

Ejercicios

Ejercicio 1

Completa la información en cada caso:

Situación	Porcentaje por período	Multiplicador	Expresión para $n$ períodos
Crecimiento	6%	?	?
Decrecimiento	8%	?	?
Crecimiento	?	1,18	?
Decrecimiento	?	0,73	?

Ejercicio 2

Un capital de \$80.000 crece un 5% mensual durante 2 meses.

Escribe la expresión que modela la situación.
Calcula el capital final.
Calcula el aumento total en pesos.
Calcula el porcentaje total de aumento respecto del capital inicial.

Ejercicio 3

Un celular cuesta \$300.000 y pierde un 10% de su valor cada año durante 3 años.

Escribe la expresión del valor después de 3 años.
Calcula el valor final.
Determina cuánto dinero perdió en total.
Explica por qué no perdió exactamente \$30.000 cada año.

Ejercicio 4

Completa la tabla para un capital inicial de \$50.000 que crece un 20% por período. Luego determina el menor número de períodos necesarios para superar los \$100.000.

Período	Valor
0	\$50.000
1	?
2	?
3	?
4	?

El multiplicador es:

\[1+0{,}20=1{,}20\]

Calculamos período a período:

\[C_1=50.000\cdot 1{,}20=60.000\]

\[C_2=60.000\cdot 1{,}20=72.000\]

\[C_3=72.000\cdot 1{,}20=86.400\]

\[C_4=86.400\cdot 1{,}20=103.680\]

Período	Valor
0	\$50.000
1	\$60.000
2	\$72.000
3	\$86.400
4	\$103.680

El menor número de períodos para superar los \$100.000 es 4 períodos.

Ejercicio 5

Una población de 1.000 personas disminuye un 4% cada año.

Escribe el multiplicador anual.
Calcula la población después de 3 años.
Determina el porcentaje total de disminución respecto de la población inicial.

Ejercicio 6

Un estudiante dice: “Si algo aumenta 5% cada año durante 4 años, entonces aumenta 20% en total”.

¿Es correcta esa afirmación? Justifica.

Ejercicio 7

Una inversión sigue el modelo:

\[C_n=200.000(1{,}08)^n\]

¿Cuál es el capital inicial?
¿Cuál es el porcentaje de crecimiento por período?
Calcula el capital al cabo de 2 períodos.
¿Después de 2 períodos el aumento total es exactamente 16%? Justifica.

Ejercicio 8

El valor de una máquina se modela por:

\[V_n=1.200.000(0{,}85)^n\]

¿Se trata de crecimiento o decrecimiento?
¿Cuál es el porcentaje de cambio por período?
Calcula el valor después de 2 períodos.
Interpreta el resultado en contexto.

Ejercicio 9

Después de 2 períodos creciendo un 10% por período, un capital llega a \$121.000. ¿Cuál era el capital inicial?

Ejercicio 10

Una máquina pierde un 20% de su valor cada año. Después de 2 años vale \$384.000. ¿Cuál era su valor inicial?

Ejercicio 11

Un capital de \$100.000 llega a \$121.000 después de 2 períodos de crecimiento porcentual constante. ¿Cuál fue el porcentaje de crecimiento por período?

Ejercicio 12

Un objeto baja de \$500.000 a \$320.000 después de 2 años, con un decrecimiento porcentual constante. ¿Cuál fue el porcentaje de disminución anual?

Ejercicio 13

Un capital inicial de \$100.000 crece un 10% por período y llega a \$133.100. ¿Cuántos períodos pasaron?

Ejercicio 14

Un vehículo vale inicialmente \$800.000 y pierde un 50% de su valor por período. Después de cierto número de períodos vale \$100.000. ¿Cuántos períodos pasaron?

Ejercicio 15

Dos alternativas de inversión ofrecen las siguientes condiciones para un capital inicial de \$300.000:

Alternativa A: crecimiento de 8% por período durante 3 períodos.
Alternativa B: crecimiento de 25% total al final de los 3 períodos.

¿Cuál alternativa entrega mayor monto final? Justifica.

Ejercicios tipo PAES

PAES 1

Si una cantidad crece un 12% por período, ¿cuál es su multiplicador?

0,12
0,88
1,12
1,20

PAES 2

Una cantidad disminuye un 12% por período durante 2 períodos. ¿Cuál expresión representa correctamente el valor final si el valor inicial es $C_0$?

$C_0(1{,}12)^2$
$C_0(0{,}88)^2$
$C_0(0{,}12)^2$
$C_0(1-0{,}24)$

PAES 3

Una inversión de \$100.000 crece un 10% por período durante 2 períodos. ¿Cuál es el valor final?

\$110.000
\$120.000
\$121.000
\$130.000

PAES 4

Después de 2 años perdiendo un 10% de su valor cada año, un objeto vale \$243.000. ¿Cuál era su valor inicial?

\$196.830
\$270.000
\$300.000
\$303.750

PAES 5

Después de 2 períodos creciendo al mismo porcentaje, un capital pasa de \$200.000 a \$242.000. ¿Cuál fue el porcentaje de crecimiento por período?

5%
10%
21%
42%

PAES 6

Un capital de \$50.000 crece un 20% por período. ¿Después de cuántos períodos llega a \$72.000?

1 período
2 períodos
3 períodos
4 períodos

PAES 7

Un producto aumenta 10% en un período y luego vuelve a aumentar 10% en el período siguiente. ¿Cuál afirmación es correcta?

El aumento total es exactamente 20%.
El aumento total es 21%.
El aumento total es 10%.
El valor final es menor que el valor inicial.

PAES 8

Una máquina vale \$400.000 y después de 2 años vale \$256.000, perdiendo cada año el mismo porcentaje. ¿Cuál fue el porcentaje de disminución anual?

12%
18%
20%
36%

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Resumen de la página

En esta página trabajamos el crecimiento y el decrecimiento porcentual constante. Vimos que estos procesos se modelan multiplicando repetidamente por un mismo factor, lo que conduce naturalmente al uso de potencias.

Esta idea será muy importante en las siguientes páginas, cuando estudiemos tasas de variación e interés aplicado al ahorro y al crédito.

Para recordar

Un crecimiento constante de $r\%$ usa el factor $\left(1+\frac{r}{100}\right)$.
Un decrecimiento constante de $r\%$ usa el factor $\left(1-\frac{r}{100}\right)$.
Después de $n$ períodos se usa una potencia.
La fórmula puede usarse para encontrar $C_n$, $C_0$, $r$ o $n$, siempre que los datos permitan resolverlo con herramientas adecuadas al nivel.
Estos cambios son multiplicativos, no aditivos.

3. Tasa de variación y lectura de tasas en contexto

Tasa de variación y lectura de tasas en contexto

En la página anterior estudiamos situaciones en que una cantidad cambia por un mismo porcentaje en cada período. Ahora daremos un paso más: aprenderemos a calcular e interpretar la tasa de variación.

La tasa de variación permite describir cómo cambia una cantidad respecto de su valor inicial. En matemática financiera aparece al analizar aumentos de precios, descuentos, crecimiento de un ahorro, disminución del valor de un bien o variaciones de ingresos.

Por eso, no basta con saber que una cantidad cambió: también importa saber cuánto cambió en relación con el valor de partida.

Objetivo de la página

Comprender qué representa una tasa de variación.
Calcular tasas de variación en aumentos y disminuciones.
Interpretar tasas positivas y negativas en contexto.
Relacionar tasa de variación, porcentaje y multiplicador.
Usar la relación entre tasa y multiplicador en forma directa e inversa.
Al finalizar esta página deberías poder:
- Calcular la tasa de variación entre un valor inicial y uno final.
- Expresar una tasa en forma decimal y porcentual.
- Interpretar si una tasa representa crecimiento o decrecimiento.
- Leer tasas en problemas de precios, ahorro, sueldos y otros contextos financieros.
- Usar la relación entre tasa y multiplicador para encontrar el valor inicial, el valor final o la tasa en casos sencillos.

Tasa de variación

Si una cantidad pasa de un valor inicial $V_i$ a un valor final $V_f$, la tasa de variación se calcula como:

\[ \text{tasa de variación}=\frac{V_f-V_i}{V_i} \]

Si se quiere expresar como porcentaje, se multiplica por 100:

\[ \text{tasa porcentual}=\frac{V_f-V_i}{V_i}\cdot 100\% \]

Relación con el multiplicador

Si conocemos la tasa $r$ en forma decimal, entonces:

\[ V_f=V_i(1+r) \]

Por eso:

si $r>0$, hay crecimiento;
si $r<0$, hay decrecimiento.

Además, el multiplicador es:

\[ 1+r \]

Uso directo e inverso de la fórmula

La relación $V_f=V_i(1+r)$ puede usarse en distintos sentidos.

Para encontrar el valor final:

\[ V_f=V_i(1+r) \]

Para encontrar el valor inicial:

\[ V_i=\frac{V_f}{1+r} \]

Para encontrar la tasa:

\[ r=\frac{V_f-V_i}{V_i} \]

Para encontrar el multiplicador:

\[ 1+r=\frac{V_f}{V_i} \]

Idea clave

La tasa de variación compara el cambio con el valor inicial, no con el valor final. Por eso siempre debes fijarte bien desde qué cantidad estás partiendo.

Error frecuente

Confundir el cambio absoluto con la tasa de variación. Por ejemplo, pasar de $50.000 a $55.000 significa un cambio de $5.000, pero la tasa de variación no es 5.000: es $\frac{5.000}{50.000}=0{,}10$, es decir, 10%.

Resumen de interpretación

Tabla de interpretación

Situación	Tasa decimal	Tasa porcentual	Interpretación
Sube de 100 a 110	0,10	10%	Crecimiento de 10%
Baja de 100 a 90	-0,10	-10%	Disminución de 10%
Sube de 200 a 250	0,25	25%	Crecimiento de 25%
Baja de 80 a 60	-0,25	-25%	Disminución de 25%

Ejemplo guiado 1: aumento en contexto

El precio de un producto cambia de $40.000 a $46.000.

Primero calculamos el cambio:

\[ 46.000-40.000=6.000 \]

Luego dividimos por el valor inicial:

\[ \frac{6.000}{40.000}=0{,}15 \]

Como porcentaje:

\[ 0{,}15=15\% \]

La tasa de variación es 15%. Esto significa que el precio aumentó un 15% respecto del valor inicial.

Ejemplo guiado 2: disminución en contexto

El valor de una bicicleta baja de $120.000 a $96.000.

Calculamos el cambio:

\[ 96.000-120.000=-24.000 \]

Luego:

\[ \frac{-24.000}{120.000}=-0{,}20 \]

Como porcentaje:

\[ -0{,}20=-20\% \]

La tasa de variación es -20%. Esto significa que el valor de la bicicleta disminuyó un 20%.

Ejemplo guiado 3: relacionar tasa y multiplicador

Un capital aumenta de $80.000 a $92.000.

La tasa de variación es:

\[ \frac{92.000-80.000}{80.000}=\frac{12.000}{80.000}=0{,}15 \]

Entonces la tasa porcentual es 15%.

El multiplicador asociado es:

\[ 1+0{,}15=1{,}15 \]

Y efectivamente:

\[ 80.000\cdot 1{,}15=92.000 \]

Así, una tasa de variación de 15% corresponde a multiplicar por 1,15.

Ejemplo guiado 4: encontrar el valor inicial

Después de un aumento de 12%, un producto cuesta $56.000. ¿Cuál era su precio inicial?

La tasa es $r=0{,}12$, por lo tanto el multiplicador es:

\[1+r=1+0{,}12=1{,}12\]

Usamos la fórmula en forma inversa:

\[V_i=\frac{V_f}{1+r}\]

Reemplazamos:

\[V_i=\frac{56.000}{1{,}12}=50.000\]

El precio inicial era $50.000.

Ejemplo guiado 5: mismo cambio absoluto, distinta tasa

Dos productos aumentan $10.000:

Producto A: de $50.000 a $60.000.
Producto B: de $200.000 a $210.000.

Ambos aumentan $10.000, pero la tasa no es la misma.

Para el producto A:

\[ \frac{60.000-50.000}{50.000}=\frac{10.000}{50.000}=0{,}20=20\% \]

Para el producto B:

\[ \frac{210.000-200.000}{200.000}=\frac{10.000}{200.000}=0{,}05=5\% \]

El mismo cambio absoluto puede representar tasas distintas, porque la comparación siempre se hace con el valor inicial.

Tasa positiva y tasa negativa

Una tasa positiva indica crecimiento respecto del valor inicial. Una tasa negativa indica disminución. El signo importa mucho: $12\%$ y $-12\%$ no describen la misma situación.

Aplicación en el mundo real

Las tasas de variación se usan para describir inflación, reajustes salariales, variación del precio del dólar, crecimiento de un ahorro, disminución del valor de un auto o cambios en cuotas y costos financieros.

Ejercicios

Ejercicio 1

Calcula la tasa de variación y exprésala como porcentaje:

De $50.000 a $55.000.
De 80 a 92.
De 200 a 250.
De $90.000 a $81.000.
De 120 a 102.

Ejercicio 2

Completa la tabla. En cada caso determina la variación absoluta, la tasa porcentual y el multiplicador.

Valor inicial	Valor final	Variación absoluta	Tasa porcentual	Multiplicador
$300.000	$360.000	?	?	?
$400.000	$340.000	?	?	?
$75.000	$90.000	?	?	?

Fila 1:

\[360.000-300.000=60.000\]

\[r=\frac{60.000}{300.000}=0{,}20=20\%\]

Multiplicador: $1+0{,}20=1{,}20$.

Fila 2:

\[340.000-400.000=-60.000\]

\[r=\frac{-60.000}{400.000}=-0{,}15=-15\%\]

Multiplicador: $1-0{,}15=0{,}85$.

Fila 3:

\[90.000-75.000=15.000\]

\[r=\frac{15.000}{75.000}=0{,}20=20\%\]

Multiplicador: $1+0{,}20=1{,}20$.

Valor inicial	Valor final	Variación absoluta	Tasa porcentual	Multiplicador
$300.000	$360.000	$60.000	20%	1,20
$400.000	$340.000	-$60.000	-15%	0,85
$75.000	$90.000	$15.000	20%	1,20

Ejercicio 3

Un sueldo sube de $750.000 a $810.000.

Calcula la variación absoluta.
Calcula la tasa de variación.
Escribe el multiplicador asociado.
Interpreta el resultado en contexto.

Ejercicio 4

El valor de un computador baja de $600.000 a $510.000.

Calcula la variación absoluta.
Calcula la tasa de variación.
Escribe el multiplicador asociado.
Interpreta el resultado en contexto.

Ejercicio 5

Completa la siguiente tabla. En algunos casos debes encontrar la tasa, en otros el valor inicial o el valor final.

Valor inicial	Valor final	Tasa decimal	Multiplicador	Tasa porcentual
100	120	?	?	?
200	150	?	?	?
$40.000	?	0,10	?	?
?	$68.000	-0,15	?	?
$180.000	?	-0,25	?	?

Fila 1:

\[r=\frac{120-100}{100}=0{,}20\]

Multiplicador: $1+0{,}20=1{,}20$. Tasa porcentual: $20\%$.

Fila 2:

\[r=\frac{150-200}{200}=-0{,}25\]

Multiplicador: $1-0{,}25=0{,}75$. Tasa porcentual: $-25\%$.

Fila 3:

Si $r=0{,}10$, el multiplicador es $1{,}10$:

\[V_f=40.000\cdot 1{,}10=44.000\]

Fila 4:

Si $r=-0{,}15$, el multiplicador es $0{,}85$:

\[V_i=\frac{68.000}{0{,}85}=80.000\]

Fila 5:

Si $r=-0{,}25$, el multiplicador es $0{,}75$:

\[V_f=180.000\cdot 0{,}75=135.000\]

Valor inicial	Valor final	Tasa decimal	Multiplicador	Tasa porcentual
100	120	0,20	1,20	20%
200	150	-0,25	0,75	-25%
$40.000	$44.000	0,10	1,10	10%
$80.000	$68.000	-0,15	0,85	-15%
$180.000	$135.000	-0,25	0,75	-25%

Ejercicio 6

Relaciona cada tasa con su multiplicador. Indica si representa crecimiento o disminución.

$r=0{,}12$
$r=-0{,}08$
$r=0{,}25$
$r=-0{,}30$
$r=-0{,}045$

Ejercicio 7

Una inversión se modela por:

\[ C_1=C_0(1{,}06) \]

¿Cuál es la tasa de variación?
¿Corresponde a crecimiento o decrecimiento?
Si el capital inicial es $300.000, calcula el capital final.
Interpreta esa tasa en contexto.

Ejercicio 8

Después de un aumento de 12%, una bicicleta cuesta $112.000. ¿Cuál era su precio inicial?

Ejercicio 9

Después de una disminución de 15%, un computador cuesta $255.000. ¿Cuál era su valor inicial?

Ejercicio 10

Un producto vale inicialmente $75.000 y tiene una tasa de variación de $r=-0{,}20$.

¿La cantidad aumenta o disminuye?
¿Cuál es el multiplicador?
Calcula el valor final.
Calcula la variación absoluta.

Ejercicio 11

Dos productos aumentan $12.000.

Producto A: de $60.000 a $72.000.
Producto B: de $240.000 a $252.000.

Calcula la tasa de variación de cada producto.
¿En cuál producto el aumento fue mayor en términos porcentuales?
Explica por qué no basta con mirar solo el aumento en pesos.

Ejercicio 12

Un estudiante afirma: “Si la tasa de variación es $-0{,}12$, entonces la cantidad disminuyó 0,12 unidades”.

¿Es correcta esa afirmación? Justifica.

Ejercicio 13

Un producto tiene precio inicial desconocido. Después de una tasa de variación de $r=0{,}18$, su precio final es $141.600.

Determina el multiplicador asociado.
Calcula el precio inicial.
Calcula el aumento en pesos.

Ejercicios tipo PAES

PAES 1

Una cantidad cambia de 80 a 100. ¿Cuál es su tasa de variación porcentual?

20%
25%
15%
80%

PAES 2

Un precio baja de $50.000 a $45.000. ¿Cuál es la tasa de variación porcentual?

-5%
-10%
10%
5%

PAES 3

Si una cantidad tiene tasa de variación $r=0{,}08$, ¿cuál es el multiplicador asociado?

0,08
0,92
1,08
1,80

PAES 4

Después de una disminución de 20%, un producto cuesta $72.000. ¿Cuál era su precio inicial?

$57.600
$80.000
$90.000
$92.000

PAES 5

Después de un aumento de 15%, un artículo cuesta $92.000. ¿Cuál era su precio inicial?

$78.200
$80.000
$105.800
$107.000

PAES 6

Si el multiplicador asociado a una variación es $0{,}85$, ¿cuál es la tasa de variación?

85%
15%
-15%
-85%

PAES 7

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

Una tasa negativa indica crecimiento.
La tasa de variación se calcula dividiendo por el valor final.
Una tasa de 15% significa que la cantidad cambió en relación con el valor inicial.
La tasa de variación y la variación absoluta siempre coinciden.

PAES 8

Un producto A sube de $40.000 a $48.000 y un producto B sube de $100.000 a $108.000. ¿Cuál afirmación es correcta?

Ambos productos tienen la misma tasa de variación porque ambos suben $8.000.
El producto A tiene mayor tasa de variación que el producto B.
El producto B tiene mayor tasa de variación que el producto A.
Ambos productos disminuyen de precio.

Cierre

Resumen de la página

En esta página aprendimos a calcular e interpretar tasas de variación. Vimos que una tasa permite describir un cambio en relación con el valor inicial, y que puede expresarse en forma decimal, porcentual o mediante un multiplicador.

Esta idea será muy importante en las próximas páginas, porque servirá para entender mejor el interés aplicado al ahorro y el interés aplicado al crédito.

Para recordar

La tasa de variación compara el cambio con el valor inicial.
Una tasa positiva indica crecimiento.
Una tasa negativa indica disminución.
El multiplicador asociado es $1+r$.
La relación $V_f=V_i(1+r)$ puede usarse directamente para encontrar $V_f$ o en forma inversa para encontrar $V_i$.
Un mismo cambio absoluto puede representar tasas distintas si los valores iniciales son diferentes.

4. Interés aplicado al ahorro

Interés aplicado al ahorro

En las páginas anteriores trabajamos porcentajes, crecimiento porcentual constante y tasas de variación. Ahora aplicaremos esas ideas a un contexto financiero muy importante: el ahorro.

Cuando una persona deposita dinero en una cuenta de ahorro o en un instrumento financiero sencillo, puede recibir una ganancia llamada interés. Esa ganancia depende del capital inicial, de la tasa aplicada y del tiempo durante el cual el dinero permanece ahorrado.

En esta página aprenderemos a interpretar y calcular el interés en situaciones de ahorro, distinguiendo entre el capital inicial, el interés ganado y el monto final.

Objetivo de la página

Comprender qué significa interés en contextos de ahorro.
Identificar capital inicial, tasa de interés, interés ganado y monto final.
Calcular el monto acumulado en situaciones simples de ahorro.
Relacionar el ahorro con crecimiento porcentual constante.
Usar fórmulas de interés y monto de forma directa e inversa en situaciones sencillas.
Comparar alternativas de ahorro y fundamentar decisiones usando cálculos.
Al finalizar esta página deberías poder:
- Calcular el interés ganado en un período.
- Calcular el monto final después de uno o varios períodos.
- Interpretar una tasa de interés en contexto.
- Comparar alternativas sencillas de ahorro.
- Encontrar el capital inicial, la tasa o el número de períodos cuando los datos lo permitan.

Conceptos básicos

En problemas de ahorro usaremos estas ideas:

Capital inicial: dinero con el que se comienza a ahorrar.
Tasa de interés: porcentaje que gana el capital en cada período.
Interés: ganancia obtenida.
Monto final: capital inicial más interés ganado.

Interés y monto en un período

Si el capital inicial es $C$ y la tasa es $i$, entonces:

\[ I=C\cdot i \]

\[ M=C+I \]

Equivalentemente:

\[ M=C(1+i) \]

donde $i$ se expresa en forma decimal. Por ejemplo, $6\%=0{,}06$.

Monto después de varios períodos

Si la misma tasa se aplica en cada período y el dinero sigue ahorrado, entonces el monto evoluciona como un crecimiento porcentual constante:

\[ M_n=C_0(1+i)^n \]

donde:

$C_0$ es el capital inicial,
$i$ es la tasa por período,
$n$ es el número de períodos.

El interés total ganado después de $n$ períodos es:

\[ I_{\text{total}}=M_n-C_0 \]

Uso directo e inverso de las fórmulas

Las fórmulas de interés pueden usarse en distintos sentidos, según el dato que falte.

Para encontrar el interés en un período:

\[ I=C\cdot i \]

Para encontrar el capital inicial en un período:

\[ C=\frac{I}{i} \qquad \text{o} \qquad C=\frac{M}{1+i} \]

Para encontrar la tasa en un período:

\[ i=\frac{I}{C} \qquad \text{o} \qquad i=\frac{M}{C}-1 \]

Para encontrar el capital inicial en varios períodos:

\[ C_0=\frac{M_n}{(1+i)^n} \]

Idea clave

Ahorrar con interés significa que el dinero crece con el tiempo. Por eso, en muchos casos, el monto final se obtiene multiplicando por un mismo factor en cada período.

Error frecuente

No confundas interés ganado con monto final. El interés es solo la ganancia; el monto final incluye el capital inicial más esa ganancia.

Resumen de fórmulas

Tabla de fórmulas

Situación	Fórmula	Interpretación
Interés en un período	$I=C\cdot i$	Ganancia obtenida en un período
Monto en un período	$M=C(1+i)$	Capital inicial más interés
Monto en varios períodos	$M_n=C_0(1+i)^n$	Crecimiento del ahorro en el tiempo
Interés total	$I_{\text{total}}=M_n-C_0$	Ganancia acumulada

Ejemplo guiado 1: interés en un período

Una persona ahorra $200.000 a una tasa de 5% mensual durante 1 mes.

Primero expresamos la tasa en decimal:

\[5\%=0{,}05\]

Luego calculamos el interés:

\[I=200.000\cdot 0{,}05=10.000\]

El monto final es:

\[M=200.000+10.000=210.000\]

La persona gana $10.000 de interés y termina con $210.000.

Ejemplo guiado 2: ahorro durante varios meses

Un capital inicial de $100.000 se ahorra a una tasa de 4% mensual durante 3 meses.

El multiplicador mensual es:

\[1+0{,}04=1{,}04\]

Entonces:

\[M_3=100.000(1{,}04)^3\]

\[M_3=100.000\cdot 1{,}124864=112.486{,}4\]

El monto final es aproximadamente $112.486.

El interés total ganado es:

\[112.486{,}4-100.000=12.486{,}4\]

Es decir, aproximadamente $12.486.

Ejemplo guiado 3: comparar dos alternativas

Una persona puede ahorrar $300.000 en una de estas dos opciones durante 1 mes:

Opción A: 3% mensual.
Opción B: 4% mensual.

Opción A

\[M=300.000(1{,}03)=309.000\]

Opción B

\[M=300.000(1{,}04)=312.000\]

La opción B entrega un monto final mayor, porque la tasa de interés es más alta.

Ejemplo guiado 4: encontrar el capital inicial

Después de 2 meses con una tasa de 10% mensual, una cuenta de ahorro llega a $121.000. ¿Cuál fue el capital inicial?

El multiplicador mensual es:

\[1+0{,}10=1{,}10\]

Usamos la fórmula:

\[M_2=C_0(1{,}10)^2\]

Reemplazamos el monto final:

\[121.000=C_0(1{,}10)^2\]

Como $(1{,}10)^2=1{,}21$, entonces:

\[C_0=\frac{121.000}{1{,}21}=100.000\]

El capital inicial fue $100.000.

Ejemplo guiado 5: encontrar la tasa de interés

Una cuenta de ahorro pasa de $400.000 a $424.000 en un período. ¿Cuál fue la tasa de interés?

Primero calculamos el interés ganado:

\[I=424.000-400.000=24.000\]

Luego usamos:

\[i=\frac{I}{C}\]

\[i=\frac{24.000}{400.000}=0{,}06\]

La tasa de interés fue de 6% en ese período.

Relación con la clase anterior

El ahorro con interés usa exactamente la idea de crecimiento porcentual constante. La diferencia es que ahora la cantidad representa dinero y el contexto es financiero.

Aplicación en el mundo real

Las cuentas de ahorro, los depósitos a plazo y otros instrumentos financieros ofrecen tasas que permiten proyectar cuánto puede crecer un capital con el tiempo. Saber interpretar esas tasas ayuda a tomar mejores decisiones financieras.

Ejercicios

Ejercicio 1

Completa la información de cada situación de ahorro.

Situación	Capital inicial	Tasa por período	Número de períodos	Modelo
Se ahorran $150.000 al 6% mensual durante 1 mes.	?	?	?	?
Se depositan $500.000 al 3% anual durante 2 años.	?	?	?	?
Se invierten $80.000 al 4% mensual durante 5 meses.	?	?	?	?

Fila 1:

Capital inicial: $150.000; tasa: $6\%=0{,}06$; períodos: $1$.

\[M_1=150.000(1{,}06)^1\]

Fila 2:

Capital inicial: $500.000; tasa: $3\%=0{,}03$; períodos: $2$.

\[M_2=500.000(1{,}03)^2\]

Fila 3:

Capital inicial: $80.000; tasa: $4\%=0{,}04$; períodos: $5$.

\[M_5=80.000(1{,}04)^5\]

Capital inicial	Tasa por período	Número de períodos	Modelo
$150.000	6% mensual	1 mes	$M_1=150.000(1{,}06)^1$
$500.000	3% anual	2 años	$M_2=500.000(1{,}03)^2$
$80.000	4% mensual	5 meses	$M_5=80.000(1{,}04)^5$

Ejercicio 2

Una persona ahorra $250.000 a una tasa de 8% anual durante 1 año.

Calcula el interés ganado.
Calcula el monto final.
Verifica el monto usando el multiplicador.
Explica por qué el interés ganado no es lo mismo que el monto final.

Ejercicio 3

Una persona ganó $18.000 de interés en un período con una tasa de 6%.

¿Cuál fue el capital inicial?
¿Cuál fue el monto final?
Verifica que el interés corresponde al 6% del capital inicial.

Ejercicio 4

Una cuenta de ahorro tenía $400.000 y después de un período llegó a $424.000.

Calcula el interés ganado.
Calcula la tasa de interés del período.
Escribe el multiplicador asociado.
Si la misma tasa se aplica al período siguiente, calcula el nuevo monto.

Ejercicio 5

Un capital inicial de $120.000 se ahorra al 5% mensual durante 2 meses.

Escribe la expresión que modela el monto final.
Calcula el monto final.
Calcula el interés total ganado.
Calcula la tasa total de crecimiento respecto del capital inicial.

Ejercicio 6

Completa la tabla para un ahorro inicial de $100.000 al 10% por período.

Período	Monto	Interés ganado en el período
0	$100.000	-
1	?	?
2	?	?
3	?	?

Luego explica por qué el interés ganado en cada período no es siempre igual.

El multiplicador es:

\[1+0{,}10=1{,}10\]

Período 1:

\[100.000(1{,}10)=110.000\]

Interés del período: $110.000-100.000=10.000$.

Período 2:

\[110.000(1{,}10)=121.000\]

Interés del período: $121.000-110.000=11.000$.

Período 3:

\[121.000(1{,}10)=133.100\]

Interés del período: $133.100-121.000=12.100$.

Período	Monto	Interés ganado en el período
0	$100.000	-
1	$110.000	$10.000
2	$121.000	$11.000
3	$133.100	$12.100

El interés ganado en cada período aumenta, porque el 10% se calcula cada vez sobre un monto mayor.

Ejercicio 7

Una libreta de ahorro ofrece una tasa de 3% mensual. Si se depositan $400.000 y no se retira dinero durante 2 meses:

Calcula el monto final.
Calcula el interés total ganado.
Calcula cuánto habría ganado si se aplicara 3% solo una vez al final de los 2 meses.
Compara ambos resultados.

Ejercicio 8

Compara estas dos alternativas para ahorrar $200.000:

Alternativa A: 2% mensual durante 2 meses.
Alternativa B: 4% total al final de los 2 meses.

Calcula el monto final en cada caso y decide cuál conviene más.

Ejercicio 9

Una inversión se modela por:

\[M_n=500.000(1{,}04)^n\]

¿Cuál es el capital inicial?
¿Cuál es la tasa por período?
Calcula el monto al cabo de 2 períodos.
Calcula el interés total ganado en esos 2 períodos.
Explica si el interés total equivale exactamente a 8% del capital inicial.

Ejercicio 10

Después de 2 períodos a una tasa de 10% por período, un ahorro llega a $121.000.

¿Cuál fue el capital inicial?
¿Cuál fue el interés total ganado?
Verifica el resultado calculando el monto período a período.

Ejercicio 11

Un ahorro pasa de $100.000 a $121.000 después de 2 períodos con una tasa constante. ¿Cuál fue la tasa de interés por período?

Ejercicio 12

Un ahorro inicial de $100.000 crece a una tasa de 10% por período y llega a $133.100. ¿Cuántos períodos estuvo ahorrado?

Ejercicio 13

Un estudiante afirma: “Si una cuenta de ahorro paga 5% mensual, entonces en 3 meses basta con sumar 15% al capital inicial”.

¿Es correcta esa afirmación? Justifica.

Ejercicio 14

Una persona quiere tener $500.000 dentro de 2 períodos. Una cuenta ofrece una tasa de 5% por período.

¿Cuánto debe depositar hoy aproximadamente?
¿Cuánto interés total ganaría?
Verifica el resultado calculando el monto final.

Ejercicios tipo PAES

PAES 1

Una persona ahorra $100.000 a una tasa de 6% por un período. ¿Cuál es el interés ganado?

$6.000
$16.000
$106.000
$600

PAES 2

Una persona deposita $250.000 a una tasa de 4% por un período. ¿Cuál es el monto final?

$254.000
$260.000
$240.000
$275.000

PAES 3

Si un ahorro se modela por $M_n=C_0(1{,}03)^n$, entonces la tasa por período es:

0,03%
3%
30%
103%

PAES 4

Después de un período con una tasa de 8%, una cuenta de ahorro llega a $270.000. ¿Cuál fue el capital inicial?

$20.000
$250.000
$291.600
$278.000

PAES 5

Una cuenta pasa de $300.000 a $330.000 en un período. ¿Cuál fue la tasa de interés?

3%
10%
30%
110%

PAES 6

Un ahorro de $100.000 llega a $121.000 después de 2 períodos con una tasa constante. ¿Cuál fue la tasa por período?

5%
10%
21%
121%

PAES 7

Un capital de $50.000 se ahorra al 20% por período. ¿Después de cuántos períodos llega a $72.000?

1 período
2 períodos
3 períodos
4 períodos

PAES 8

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

El interés es igual al monto final.
El monto final se obtiene restando la tasa al capital.
En el ahorro, una tasa positiva hace crecer el capital.
El capital inicial siempre cambia de signo.

PAES 9

Una persona quiere obtener $242.000 después de 2 períodos. Si la tasa es 10% por período, ¿cuánto debe depositar inicialmente?

$200.000
$220.000
$266.200
$121.000

PAES 10

Un banco ofrece 5% por período durante 2 períodos. Otro banco ofrece 10% total al final de los 2 períodos. Para un capital inicial de $100.000, ¿cuál afirmación es correcta?

Ambos bancos entregan exactamente el mismo monto final.
El primer banco entrega $250 más que el segundo.
El segundo banco entrega $250 más que el primero.
El primer banco entrega menos que el capital inicial.

Cierre

Resumen de la página

En esta página aplicamos porcentajes y tasas al contexto del ahorro. Vimos cómo calcular interés, monto final e interés total ganado, y también cómo modelar el crecimiento del capital durante varios períodos.

La siguiente página trabajará una idea relacionada, pero desde otra perspectiva: el interés aplicado al crédito, donde ya no se analiza cuánto gana una persona por ahorrar, sino cuánto termina pagando al pedir dinero prestado.

Para recordar

El interés es la ganancia obtenida por ahorrar.
El monto final es capital inicial más interés.
Con tasa constante, el ahorro crece multiplicativamente.
El interés total se obtiene restando el capital inicial al monto final.
Las fórmulas pueden usarse directamente para encontrar el monto o el interés, e inversamente para encontrar el capital inicial, la tasa o el número de períodos en casos sencillos.
Al comparar alternativas de ahorro, no basta mirar solo la tasa: también importa el número de períodos y si la tasa se aplica una o varias veces.

5. Interés aplicado al crédito

Interés aplicado al crédito

En la página anterior estudiamos el interés aplicado al ahorro, donde una persona gana dinero por mantener un capital guardado durante un tiempo.

Ahora analizaremos la situación opuesta: el interés aplicado al crédito. Cuando una persona pide dinero prestado, normalmente debe devolver no solo el capital recibido, sino también un monto adicional llamado interés.

Por eso, al trabajar con crédito es muy importante distinguir entre el dinero prestado, el interés cobrado y el total que finalmente se paga.

Objetivo de la página

Comprender qué significa interés en contextos de crédito.
Identificar capital prestado, tasa de interés, interés cobrado y total a pagar.
Calcular el monto a pagar en situaciones simples de crédito.
Relacionar el crédito con crecimiento porcentual constante de una deuda.
Usar fórmulas de crédito en forma directa e inversa para encontrar capital, tasa, total a pagar o número de períodos en casos sencillos.
Comparar alternativas de crédito considerando el costo total.
Al finalizar esta página deberías poder:
- Calcular el interés cobrado en un período.
- Calcular el total a pagar después de uno o varios períodos.
- Interpretar una tasa de interés de crédito en contexto.
- Comparar créditos simples y justificar cuál tiene menor costo.
- Distinguir entre capital prestado, interés y deuda final.

Conceptos básicos

En problemas de crédito usaremos estas ideas:

Capital prestado: dinero que la persona recibe al inicio.
Tasa de interés: porcentaje que se cobra por período sobre la deuda.
Interés: monto adicional que se paga por usar ese dinero.
Total a pagar: capital prestado más interés.

Crédito en un período

Si se pide prestado un capital $C$ y la tasa por período es $i$, entonces:

\[ I=C\cdot i \]

\[ M=C+I \]

Equivalentemente:

\[ M=C(1+i) \]

donde $i$ se expresa en forma decimal. Por ejemplo, $6\%=0{,}06$.

Crédito durante varios períodos

Si la deuda no se paga y sigue creciendo con la misma tasa en cada período, entonces puede modelarse por:

\[ D_n=C_0(1+i)^n \]

donde:

$C_0$ es el capital inicialmente prestado,
$i$ es la tasa por período,
$n$ es el número de períodos.

El interés total acumulado después de $n$ períodos es:

\[ I_{\text{total}}=D_n-C_0 \]

Uso directo e inverso de las fórmulas

Las fórmulas de crédito pueden usarse en distintos sentidos, según el dato que falte.

Para encontrar el interés en un período:

\[ I=C\cdot i \]

Para encontrar el capital prestado en un período:

\[ C=\frac{I}{i} \qquad \text{o} \qquad C=\frac{M}{1+i} \]

Para encontrar la tasa en un período:

\[ i=\frac{I}{C} \qquad \text{o} \qquad i=\frac{M}{C}-1 \]

Para encontrar el capital prestado en varios períodos:

\[ C_0=\frac{D_n}{(1+i)^n} \]

Idea clave

En un crédito, el interés representa un costo. Mientras mayor sea la tasa o mayor sea el tiempo, normalmente mayor será el total a pagar.

Error frecuente

No confundas el capital prestado con el total a pagar. Si te prestan $200.000 y la tasa genera $20.000 de interés, entonces no se pagan $20.000 en total: se pagan $220.000.

Resumen de fórmulas

Tabla de fórmulas

Situación	Fórmula	Interpretación
Interés en un período	$I=C\cdot i$	Costo adicional del crédito en un período
Total a pagar en un período	$M=C(1+i)$	Capital más interés
Deuda en varios períodos	$D_n=C_0(1+i)^n$	Crecimiento de la deuda con tasa constante
Interés total acumulado	$D_n-C_0$	Diferencia entre deuda final y capital prestado

Ejemplo guiado 1: crédito en un período

Una persona pide un crédito de $300.000 con una tasa de 6% mensual por 1 mes.

Primero expresamos la tasa en decimal:

\[ 6\%=0{,}06 \]

Luego calculamos el interés:

\[ I=300.000\cdot 0{,}06=18.000 \]

El total a pagar es:

\[ M=300.000+18.000=318.000 \]

La persona debe pagar $18.000 de interés y el total a devolver es $318.000.

Ejemplo guiado 2: deuda que crece durante varios meses

Una deuda inicial de $100.000 crece a una tasa de 5% mensual durante 3 meses.

El multiplicador mensual es:

\[ 1+0{,}05=1{,}05 \]

Entonces:

\[ D_3=100.000(1{,}05)^3 \]

\[ D_3=100.000\cdot 1{,}157625=115.762{,}5 \]

La deuda final es aproximadamente $115.763.

El interés total acumulado es:

\[ 115.762{,}5-100.000=15.762{,}5 \]

Es decir, aproximadamente $15.763.

Ejemplo guiado 3: comparación básica de dos créditos

Una persona necesita pedir un crédito de $200.000 por 1 mes y tiene estas dos opciones:

Opción A: 4% mensual.
Opción B: 6% mensual.

Opción A

\[ M=200.000(1{,}04)=208.000 \]

Opción B

\[ M=200.000(1{,}06)=212.000 \]

La opción A conviene más, porque genera un menor total a pagar.

Ejemplo guiado 4: encontrar el capital prestado

Después de aplicar una tasa de 8% en un período, el total a pagar por un crédito es $270.000. ¿Cuál fue el capital prestado?

La tasa es $i=0{,}08$, por lo tanto el multiplicador es:

\[1+i=1{,}08\]

Usamos la fórmula inversa:

\[C=\frac{M}{1+i}\]

Reemplazamos:

\[C=\frac{270.000}{1{,}08}=250.000\]

El capital prestado fue $250.000.

Ejemplo guiado 5: encontrar la tasa de interés

Una persona recibe un crédito de $400.000 y debe pagar $424.000 al final de un período. ¿Cuál fue la tasa de interés?

Primero calculamos el interés:

\[I=424.000-400.000=24.000\]

Luego calculamos la tasa:

\[i=\frac{I}{C}=\frac{24.000}{400.000}=0{,}06\]

La tasa de interés fue de 6% en ese período.

Ahorro y crédito no se interpretan igual

En el ahorro, una tasa mayor suele ser conveniente porque hace crecer más rápido el capital. En cambio, en el crédito, una tasa mayor suele significar un mayor costo, porque hace crecer más rápido la deuda.

Aplicación en el mundo real

El interés aplicado al crédito aparece en préstamos, avances, compras financiadas y deudas que no se pagan de inmediato. Entenderlo permite interpretar mejor cuánto cuesta realmente pedir dinero prestado.

Ejercicios

Ejercicio 1

Completa la información de cada crédito.

Situación	Capital prestado	Tasa por período	Número de períodos	Modelo
Se pide un crédito de $150.000 al 5% mensual durante 1 mes.	?	?	?	?
Se reciben $500.000 con una tasa de 3% mensual durante 2 meses.	?	?	?	?
Se solicita un préstamo de $80.000 al 4% mensual durante 6 meses.	?	?	?	?

Fila 1:

Capital prestado: $150.000; tasa: $5\%=0{,}05$; períodos: $1$.

\[D_1=150.000(1{,}05)^1\]

Fila 2:

Capital prestado: $500.000; tasa: $3\%=0{,}03$; períodos: $2$.

\[D_2=500.000(1{,}03)^2\]

Fila 3:

Capital prestado: $80.000; tasa: $4\%=0{,}04$; períodos: $6$.

\[D_6=80.000(1{,}04)^6\]

Capital prestado	Tasa por período	Número de períodos	Modelo
$150.000	5% mensual	1 mes	$D_1=150.000(1{,}05)^1$
$500.000	3% mensual	2 meses	$D_2=500.000(1{,}03)^2$
$80.000	4% mensual	6 meses	$D_6=80.000(1{,}04)^6$

Ejercicio 2

Una persona pide un crédito de $250.000 a una tasa de 8% por 1 período.

Calcula el interés.
Calcula el total a pagar.
Verifica el total usando el multiplicador.
Explica por qué el interés no es lo mismo que el total a pagar.

Ejercicio 3

Una persona pagó $18.000 de interés en un período con una tasa de 6%.

¿Cuál fue el capital prestado?
¿Cuál fue el total a pagar?
Verifica que el interés corresponde al 6% del capital prestado.

Ejercicio 4

Después de un período con una tasa de 12%, el total a pagar por un crédito es $280.000.

Calcula el capital prestado.
Calcula el interés cobrado.
Verifica el resultado usando el multiplicador.

Ejercicio 5

Un crédito de $120.000 tiene una tasa de 5% mensual durante 2 meses, sin pago intermedio.

Escribe la expresión que modela la deuda final.
Calcula la deuda final.
Calcula el interés total acumulado.
Calcula el porcentaje total de aumento de la deuda respecto del capital prestado.

Ejercicio 6

Completa la tabla para una deuda inicial de $100.000 que crece un 10% por período.

Período	Deuda	Interés del período
0	$100.000	-
1	?	?
2	?	?
3	?	?

Luego explica por qué el interés del período no es siempre el mismo.

El multiplicador es:

\[1+0{,}10=1{,}10\]

Período 1:

\[100.000(1{,}10)=110.000\]

Interés del período: $110.000-100.000=10.000$.

Período 2:

\[110.000(1{,}10)=121.000\]

Interés del período: $121.000-110.000=11.000$.

Período 3:

\[121.000(1{,}10)=133.100\]

Interés del período: $133.100-121.000=12.100$.

Período	Deuda	Interés del período
0	$100.000	-
1	$110.000	$10.000
2	$121.000	$11.000
3	$133.100	$12.100

El interés del período aumenta porque el 10% se calcula cada vez sobre una deuda mayor.

Ejercicio 7

Un préstamo de $400.000 tiene una tasa de 3% mensual y no se paga durante 2 meses.

Calcula la deuda final.
Calcula el interés total acumulado.
Calcula cuánto se pagaría si el 3% se aplicara solo una vez al final de los 2 meses.
Compara ambos resultados.

Ejercicio 8

Compara estas dos alternativas para pedir un crédito de $200.000:

Alternativa A: 2% mensual durante 3 meses.
Alternativa B: 6% total al final de los 3 meses.

Calcula el total a pagar en cada caso y decide cuál conviene más.

Ejercicio 9

Una deuda se modela por:

\[ D_n=500.000(1{,}04)^n \]

¿Cuál es el capital inicial prestado?
¿Cuál es la tasa por período?
Calcula la deuda al cabo de 2 períodos.
Calcula el interés total acumulado en esos 2 períodos.
Explica si el interés total equivale exactamente a 8% del capital inicial.

Ejercicio 10

Después de 2 períodos a una tasa de 10% por período, una deuda llega a $121.000.

¿Cuál fue el capital inicialmente prestado?
¿Cuál fue el interés total acumulado?
Verifica el resultado calculando la deuda período a período.

Ejercicio 11

Una deuda pasa de $200.000 a $242.000 después de 2 períodos con una tasa constante. ¿Cuál fue la tasa de interés por período?

Ejercicio 12

Un crédito inicial de $50.000 crece a una tasa de 20% por período y llega a $72.000. ¿Cuántos períodos pasaron?

Ejercicio 13

Un estudiante afirma: “Si un crédito cobra 5% mensual, entonces en 3 meses basta con sumar 15% al capital inicial para saber cuánto se debe”.

¿Es correcta esa afirmación? Justifica.

Ejercicio 14

Una persona necesita recibir $300.000 hoy. Tiene dos alternativas:

Alternativa A: pagar $330.000 al final de 1 período.
Alternativa B: pagar $315.000 al final de 1 período más un cargo fijo de $12.000.

Calcula el total a pagar en cada alternativa.
Determina cuál alternativa tiene menor costo total.
Calcula el costo adicional respecto del capital recibido en cada alternativa.

Ejercicios tipo PAES

PAES 1

Una persona pide un crédito de $100.000 a una tasa de 6% por un período. ¿Cuál es el interés que debe pagar?

$6.000
$16.000
$106.000
$600

PAES 2

Una persona recibe $250.000 en un crédito a una tasa de 4% por un período. ¿Cuál es el total a pagar?

$254.000
$260.000
$240.000
$275.000

PAES 3

Si una deuda se modela por $D_n=C_0(1{,}03)^n$, entonces la tasa por período es:

0,03%
3%
30%
103%

PAES 4

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

En un crédito, una tasa más alta suele reducir el total a pagar.
El interés es el capital inicial.
En un crédito, una tasa positiva hace crecer la deuda.
El total a pagar siempre es menor que el capital prestado.

PAES 5

Después de un período con una tasa de 8%, una deuda llega a $270.000. ¿Cuál fue el capital prestado?

$20.000
$250.000
$291.600
$278.000

PAES 6

Una deuda pasa de $300.000 a $330.000 en un período. ¿Cuál fue la tasa de interés?

3%
10%
30%
110%

PAES 7

Un crédito de $100.000 llega a $121.000 después de 2 períodos con una tasa constante. ¿Cuál fue la tasa por período?

5%
10%
21%
121%

PAES 8

Un crédito de $50.000 crece al 20% por período. ¿Después de cuántos períodos llega a $72.000?

1 período
2 períodos
3 períodos
4 períodos

PAES 9

Una persona necesita recibir $200.000 y evalúa dos créditos:

Crédito A: pagar $210.000 al final del período.
Crédito B: pagar $208.000 al final del período más un cargo fijo de $5.000.

¿Cuál afirmación es correcta?

Conviene el crédito A, porque se paga menos en total.
Conviene el crédito B, porque $208.000 es menor que $210.000.
Ambos créditos cuestan exactamente lo mismo.
Conviene el crédito B, porque el cargo fijo no se suma al total.

PAES 10

Un crédito cobra 5% por período durante 2 períodos. Otro crédito cobra 10% total al final de los 2 períodos. Para un capital de $100.000, ¿cuál afirmación es correcta?

Ambos créditos generan exactamente el mismo total a pagar.
El crédito de 5% por período genera un total a pagar $250 mayor.
El crédito de 10% total genera un total a pagar $250 mayor.
El crédito de 5% por período genera un total menor que el capital prestado.

Cierre

Resumen de la página

En esta página aplicamos porcentajes y tasas al contexto del crédito. Vimos cómo calcular interés, total a pagar e interés acumulado, y también cómo modelar el crecimiento de una deuda durante varios períodos.

La siguiente página trabajará la lectura e interpretación de información financiera, especialmente cuotas, costo total y comparación de alternativas, para poder analizar situaciones más cercanas a decisiones reales.

Para recordar

El capital prestado es el dinero recibido al inicio.
El interés es el costo adicional por usar ese dinero.
El total a pagar es capital más interés.
Con tasa constante, la deuda crece multiplicativamente.
En créditos, normalmente conviene la alternativa con menor total a pagar.
Las fórmulas pueden usarse directamente para encontrar la deuda final o inversamente para encontrar capital, tasa o número de períodos.

6. Lectura e interpretación de información financiera: cuotas, costo total y comparación de alternativas

Lectura e interpretación de información financiera: cuotas, costo total y comparación de alternativas

Lectura e interpretación de información financiera

En las páginas anteriores trabajamos porcentaje, tasas, ahorro y crédito. Ahora daremos un paso muy importante: leer e interpretar información financiera en contextos cercanos a decisiones reales.

Cuando una tienda ofrece pagar “en 12 cuotas”, cuando un banco informa un monto final o cuando se comparan dos planes de pago, no basta con mirar un solo número. Es necesario observar con atención las cuotas, el costo total y las condiciones de cada alternativa.

En esta página aprenderemos a interpretar esa información para comparar opciones de manera razonada.

Objetivo de la página

Leer información financiera presentada en tablas, avisos o planes de pago.
Interpretar el significado de una cuota y del costo total.
Comparar alternativas de pago según distintos criterios.
Tomar decisiones justificadas a partir de datos financieros simples.
Usar fórmulas en forma directa e inversa para calcular cuota, número de cuotas, pago inicial o costo total.
Al finalizar esta página deberías poder:
- Calcular el total pagado cuando conoces el valor de la cuota y el número de cuotas.
- Distinguir entre valor al contado, monto financiado y costo total.
- Comparar dos o más alternativas de compra o crédito.
- Justificar cuál alternativa conviene más según el contexto.
- Calcular cuánto más se paga al financiar, en pesos y como porcentaje del valor contado.

Ideas básicas para leer un plan de pago

En esta página trabajaremos con tres conceptos muy importantes:

Cuota: monto que se paga en cada período.
Número de cuotas: cantidad de pagos que se realizarán.
Costo total: suma de todo lo que finalmente se paga.

Si no hay pago inicial o pie, entonces:

\[ \text{costo total} = \text{valor de la cuota}\cdot \text{número de cuotas} \]

Si además existe un pago inicial, entonces:

\[ \text{costo total} = \text{pago inicial} + (\text{valor de la cuota}\cdot \text{número de cuotas}) \]

Uso inverso de la información financiera

Las mismas relaciones pueden usarse para encontrar datos faltantes.

Si se conoce el costo total, el pago inicial y el número de cuotas, se puede calcular la cuota:

\[ \text{cuota}=\frac{\text{costo total}-\text{pago inicial}}{\text{número de cuotas}} \]

Si se conoce el costo total, el pago inicial y la cuota, se puede calcular el número de cuotas:

\[ \text{número de cuotas}=\frac{\text{costo total}-\text{pago inicial}}{\text{cuota}} \]

Comparación con el valor al contado

Si conocemos el valor al contado de un producto, podemos comparar cuánto más se paga al financiarlo:

\[ \text{diferencia} = \text{costo total financiado} - \text{valor al contado} \]

También podemos expresar esa diferencia como porcentaje del valor al contado:

\[ \text{porcentaje adicional}=\frac{\text{diferencia}}{\text{valor al contado}}\cdot 100\% \]

Si la diferencia es positiva, entonces financiar significa pagar más que al contado.

Idea clave

La cuota más baja no siempre significa la mejor alternativa. A veces una cuota pequeña se reparte en muchas mensualidades y termina dando un costo total mayor.

Error frecuente

Fijarse solo en “cuánto pago al mes” y olvidar “cuánto pago en total”. Para comparar planes, conviene mirar ambas cosas: la cuota y el costo total.

Resumen de lectura financiera

Tabla de conceptos

Dato	Qué indica	Pregunta útil
Valor al contado	Precio pagando de una vez	¿Cuánto cuesta sin financiamiento?
Cuota	Monto de cada pago	¿Cuánto debo pagar en cada período?
Número de cuotas	Cantidad de pagos	¿Durante cuánto tiempo pagaré?
Costo total	Suma final de todos los pagos	¿Cuánto terminaré pagando realmente?
Diferencia con contado	Sobreprecio por financiar	¿Cuánto más pago por no comprar al contado?

Ejemplo guiado 1: calcular costo total desde las cuotas

Una tienda ofrece un televisor en 8 cuotas de $32.000.

Como no se indica pago inicial, el costo total se obtiene multiplicando:

\[ 8\cdot 32.000 = 256.000 \]

Por lo tanto, el costo total del televisor en ese plan es $256.000.

Ejemplo guiado 2: comparar contado y financiamiento

Un refrigerador cuesta $300.000 al contado o 10 cuotas de $34.500.

Primero calculamos el costo total financiado:

\[ 10\cdot 34.500 = 345.000 \]

Luego comparamos con el contado:

\[ 345.000 - 300.000 = 45.000 \]

Esto significa que pagar en cuotas cuesta $45.000 más que pagar al contado.

Como porcentaje del valor contado:

\[ \frac{45.000}{300.000}=0{,}15=15\% \]

El financiamiento aumenta el costo en un 15% respecto del valor al contado.

Ejemplo guiado 3: comparar dos alternativas

Para comprar un notebook, una tienda ofrece estas opciones:

Alternativa	Condición
A	12 cuotas de $28.000
B	8 cuotas de $39.000

Alternativa A

\[ 12\cdot 28.000 = 336.000 \]

Alternativa B

\[ 8\cdot 39.000 = 312.000 \]

La alternativa B tiene mayor cuota, pero menor costo total.

Esto muestra que una cuota más baja no garantiza pagar menos en total.

Ejemplo guiado 4: encontrar la cuota

Un producto tendrá un costo total financiado de $220.000. Se paga un pie de $40.000 y el resto en 6 cuotas iguales. ¿Cuál será el valor de cada cuota?

Primero restamos el pago inicial al costo total:

\[220.000-40.000=180.000\]

Ese monto se reparte en 6 cuotas iguales:

\[\frac{180.000}{6}=30.000\]

Cada cuota será de $30.000.

¿Cuál alternativa conviene más?

No siempre existe una única respuesta automática. Si el criterio es pagar menos en total, suele convenir el menor costo total. Pero si la persona necesita una cuota más baja para que el pago mensual sea posible, podría elegir otra alternativa.

Aplicación en el mundo real

Al comprar electrodomésticos, pedir un crédito o contratar un plan, es común encontrar información como “sin pie”, “en cuotas”, “valor total” o “pago mensual”. Entender esos datos ayuda a evitar decisiones basadas solo en la publicidad o en el valor de una sola cuota.

Ejercicios

Ejercicio 1

Calcula el costo total en cada caso:

6 cuotas de $18.000.
10 cuotas de $12.500.
4 cuotas de $55.000.
Pago inicial de $30.000 y 8 cuotas de $14.500.

Ejercicio 2

Un celular cuesta $180.000 al contado o 9 cuotas de $22.000.

Calcula el costo total en cuotas.
¿Cuánto más se paga que al contado?
Calcula ese sobreprecio como porcentaje del valor contado.
Redacta una conclusión breve.

Ejercicio 3

Una lavadora tiene estas opciones:

Opción	Plan de pago
A	12 cuotas de $26.000
B	6 cuotas de $48.000

Calcula el costo total de cada opción.
¿Cuál tiene menor costo total?
¿Cuál tiene menor cuota?
Explica por qué la cuota más baja no coincide con el menor costo total.

Ejercicio 4

Un producto tiene un costo total financiado de $160.000. Se paga un pie de $40.000 y luego 8 cuotas iguales.

Calcula el monto que se pagará en cuotas.
Calcula el valor de cada cuota.
Explica qué papel cumple el pago inicial en el cálculo.

Ejercicio 5

Observa la siguiente oferta:

Producto	Contado	Financiado
Notebook	$420.000	10 cuotas de $46.000

Calcula el costo total financiado.
Calcula la diferencia con el contado.
Calcula la diferencia como porcentaje del valor contado.
Interpreta esa diferencia.

Ejercicio 6

Una persona puede comprar un mueble de estas dos formas:

Plan	Condición
A	$90.000 al contado
B	5 cuotas de $20.000
C	Pago inicial de $15.000 y 4 cuotas de $19.000

Calcula el costo total de cada plan.
Compara los planes.
¿Cuál conviene más si el criterio es pagar menos en total?
¿Cuál plan permite pagar menos en cada cuota?

Ejercicio 7

Un plan de pago tiene un costo total de $300.000. No tiene pago inicial y cada cuota es de $25.000.

¿Cuántas cuotas se deben pagar?
Si el valor al contado era $240.000, ¿cuánto más se paga al financiar?
Calcula ese sobreprecio como porcentaje del valor al contado.

Ejercicio 8

Un estudiante afirma: “Siempre conviene elegir la opción con menor cuota”.

¿Es correcta esa afirmación? Justifica con una explicación financiera breve y un ejemplo numérico.

Ejercicio 9

Compara las siguientes alternativas para comprar una cocina:

Alternativa	Condición
A	$240.000 al contado
B	12 cuotas de $22.000
C	Pago inicial de $30.000 y 8 cuotas de $27.000

Calcula el costo total de cada alternativa.
Ordénalas desde la de menor a la de mayor costo total.
Indica cuál tiene la cuota más baja.
Redacta una conclusión comparativa.

Ejercicio 10

Una persona puede pagar como máximo $30.000 por cuota. Quiere comprar un producto cuyo valor al contado es $260.000. Tiene estas alternativas:

Alternativa	Condición
A	9 cuotas de $32.000
B	12 cuotas de $28.000
C	Pago inicial de $40.000 y 8 cuotas de $29.000

Determina qué alternativas cumplen la restricción de cuota máxima.
Calcula el costo total de las alternativas que sí cumplen la restricción.
Entre las alternativas posibles, ¿cuál conviene más?

Ejercicios tipo PAES

PAES 1

Un artículo se vende en 8 cuotas de $15.000, sin pago inicial. ¿Cuál es su costo total?

$105.000
$110.000
$120.000
$125.000

PAES 2

Un producto cuesta $150.000 al contado o 6 cuotas de $28.000. ¿Cuánto más se paga en cuotas?

$12.000
$18.000
$22.000
$28.000

PAES 3

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

La cuota más baja siempre implica menor costo total.
El costo total se calcula sumando el número de cuotas con el valor de cada cuota.
Para comparar alternativas de pago conviene mirar cuota y costo total.
El valor al contado siempre es mayor que el valor financiado.

PAES 4

Un plan de pago exige un pie de $20.000 y luego 5 cuotas de $18.000. ¿Cuál es el costo total?

$90.000
$98.000
$100.000
$110.000

PAES 5

Un producto tiene un costo total de $240.000. Se paga un pie de $60.000 y el resto en 6 cuotas iguales. ¿Cuál es el valor de cada cuota?

$20.000
$25.000
$30.000
$40.000

PAES 6

Un producto cuesta $200.000 al contado y $250.000 financiado. ¿Cuál es el porcentaje adicional que se paga al financiar?

20%
25%
50%
80%

PAES 7

Una tienda ofrece dos planes para un producto:

Plan A: 10 cuotas de $18.000.
Plan B: 6 cuotas de $31.000.

¿Cuál afirmación es correcta?

El Plan A tiene menor cuota y menor costo total.
El Plan B tiene mayor cuota, pero menor costo total.
El Plan A y el Plan B tienen el mismo costo total.
El Plan B tiene menor cuota y mayor costo total.

PAES 8

Una persona puede pagar como máximo $25.000 por cuota. Tiene estas alternativas:

Plan A: 8 cuotas de $27.000.
Plan B: 10 cuotas de $24.000.
Plan C: pie de $30.000 y 6 cuotas de $25.000.

Si quiere respetar su cuota máxima y pagar el menor costo total posible, ¿qué plan debería elegir?

Plan A
Plan B
Plan C
No puede elegir ningún plan

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Resumen de la página

En esta página aprendimos a leer información financiera básica sobre cuotas, costo total y comparación de alternativas. Vimos que una decisión financiera razonable no depende solo del valor de la cuota, sino también del total que finalmente se paga.

Esta idea será clave en la siguiente página, donde trabajaremos con índices económicos usados en Chile en transacciones financieras.

Para recordar

La cuota indica cuánto se paga en cada período.
El costo total muestra cuánto se paga finalmente.
Si hay pago inicial, también debe incluirse en el total.
Para comparar alternativas, conviene mirar más de un dato.
La alternativa con menor cuota no siempre es la de menor costo total.
Al financiar, es útil calcular cuánto más se paga respecto del valor al contado, en pesos y como porcentaje.

7. Índices económicos usados en Chile en transacciones financieras

Índices económicos usados en Chile en transacciones financieras

En las páginas anteriores trabajamos porcentajes, tasas, ahorro, crédito y comparación de alternativas de pago. Ahora veremos cómo estas ideas aparecen en un contexto muy propio de Chile: el uso de índices y unidades de referencia en transacciones financieras.

En nuestro país es frecuente encontrar montos expresados no solo en pesos, sino también en UF, UTM y referencias al IPC. Por eso, para leer información financiera correctamente, es importante entender qué significa cada una de estas siglas y cómo se relacionan con situaciones reales.

En esta página no trabajaremos con valores reales del día, sino con valores entregados en cada ejercicio, para concentrarnos en la interpretación matemática y financiera.

Objetivo de la página

Reconocer algunos índices y unidades económicas usados en Chile.
Interpretar qué significa que un monto esté expresado en UF o en UTM.
Relacionar el IPC con la variación de precios.
Convertir montos expresados en UF o UTM a pesos, usando valores dados.
Usar conversiones directas e inversas para interpretar montos en pesos, UF o UTM.
Leer información financiera en contexto chileno.
Al finalizar esta página deberías poder:
- Distinguir entre UF, UTM e IPC.
- Calcular montos en pesos a partir de una cantidad de UF o UTM.
- Calcular cuántas UF o UTM representa un monto en pesos, usando un valor dado.
- Interpretar qué ocurre cuando una operación está expresada en una unidad reajustable.
- Leer avisos o situaciones financieras sencillas que usen estas referencias.

Ideas básicas

En esta página trabajaremos principalmente con estas referencias:

UF: unidad reajustable usada con frecuencia en créditos, arriendos, propiedades y algunos cobros financieros.
UTM: unidad usada en Chile en contextos tributarios, multas y algunos cobros regulados.
IPC: indicador que refleja variaciones en el nivel general de precios y se relaciona con la inflación.

Conversión a pesos

Si en un problema se entrega el valor de 1 UF en pesos, entonces:

\[ \text{monto en pesos} = (\text{cantidad de UF})\cdot(\text{valor de 1 UF en pesos}) \]

Si se entrega el valor de 1 UTM en pesos, entonces:

\[ \text{monto en pesos} = (\text{cantidad de UTM})\cdot(\text{valor de 1 UTM en pesos}) \]

Conversión inversa

También puede ocurrir que se conozca el monto en pesos y se quiera saber cuántas UF o UTM representa.

Para convertir pesos a UF:

\[ \text{cantidad de UF}=\frac{\text{monto en pesos}}{\text{valor de 1 UF en pesos}} \]

Para convertir pesos a UTM:

\[ \text{cantidad de UTM}=\frac{\text{monto en pesos}}{\text{valor de 1 UTM en pesos}} \]

Reajuste usando una variación porcentual

Si un valor se reajusta según una variación porcentual $r$, se puede usar el mismo modelo de porcentaje trabajado anteriormente:

\[ \text{valor reajustado}=\text{valor inicial}\left(1+\frac{r}{100}\right) \]

Por ejemplo, si un monto de $500.000 se reajusta en 2%, se multiplica por $1{,}02$.

Idea clave

La UF y la UTM no son montos fijos en pesos. Para saber cuánto representan, siempre hay que conocer el valor de esa unidad en el momento indicado o el valor dado en el ejercicio.

Error frecuente

Confundir “3 UF” con “$3”. La UF no es una cantidad de pesos por sí sola. Es una unidad de referencia, y para convertirla a dinero hay que multiplicar por el valor de 1 UF en pesos.

Resumen comparativo

UF, UTM e IPC

Sigla	Nombre	¿Para qué sirve?	Ejemplo de uso
UF	Unidad de Fomento	Expresar montos reajustables en operaciones financieras y comerciales	Arriendo, crédito hipotecario, venta de propiedades
UTM	Unidad Tributaria Mensual	Expresar ciertos cobros, multas y referencias tributarias	Multas, topes, pagos regulados
IPC	Índice de Precios al Consumidor	Medir variación general de precios	Inflación, reajustes, análisis económico

Ejemplo guiado 1: convertir UF a pesos

Supón que un arriendo cuesta 12 UF y que, en este ejercicio, se informa que:

\[ 1\ \text{UF} = $38.500 \]

Entonces el monto en pesos se obtiene multiplicando:

\[ 12\cdot 38.500 = 462.000 \]

Por lo tanto, el arriendo equivale a $462.000.

Ejemplo guiado 2: convertir UTM a pesos

Supón que una multa es de 1,5 UTM y que, en este ejercicio, se informa que:

\[ 1\ \text{UTM} = $65.000 \]

Entonces:

\[ 1{,}5\cdot 65.000 = 97.500 \]

La multa equivale a $97.500.

Ejemplo guiado 3: convertir pesos a UF

Un cobro mensual es de $312.000. En este ejercicio se informa que:

\[1\ \text{UF}=$39.000\]

Para saber cuántas UF representa, dividimos:

\[\frac{312.000}{39.000}=8\]

El cobro mensual equivale a 8 UF.

Ejemplo guiado 4: interpretar el IPC en contexto

Supón que en cierto período el IPC informa una variación de 2%.

Eso no significa que todos los productos subieron exactamente 2%, sino que, en términos generales, hubo una variación promedio del nivel de precios.

Si un pago de $500.000 se reajusta en 2%, entonces:

\[500.000(1{,}02)=510.000\]

El pago reajustado sería de $510.000.

UF e IPC están relacionados, pero no son lo mismo

El IPC es un índice que informa variaciones generales de precios. La UF es una unidad reajustable. En muchos contextos escolares se estudian juntas porque ambas aparecen al interpretar reajustes e información financiera en Chile, pero no cumplen exactamente la misma función.

Aplicación en el mundo real

En Chile es habitual ver créditos hipotecarios en UF, multas o topes expresados en UTM y noticias económicas que hablan de IPC e inflación. Comprender estas referencias ayuda a leer contratos, avisos, arriendos, cobros y noticias económicas con mayor claridad.

Ejercicios

Ejercicio 1

Relaciona cada sigla con su descripción:

UF
UTM
IPC

Descripciones:

Índice que se usa para describir variaciones generales de precios.
Unidad reajustable usada con frecuencia en operaciones financieras.
Unidad usada en contextos tributarios y algunas multas.

Ejercicio 2

En un ejercicio se indica que:

\[ 1\ \text{UF} = $39.200 \]

Convierte a pesos y luego responde la pregunta final.

5 UF
8 UF
12,5 UF
Si una persona tiene presupuestados $470.000, ¿le alcanza para pagar 12,5 UF?

Ejercicio 3

En un ejercicio se indica que:

\[ 1\ \text{UTM} = $64.500 \]

Convierte a pesos:

2 UTM
0,5 UTM
3,2 UTM
Una multa de 3,2 UTM se paga con $210.000. ¿Cuánto dinero sobra o falta?

Ejercicio 4

Un estacionamiento informa que el cobro mensual es de 4,5 UF. En este ejercicio se usa:

\[ 1\ \text{UF} = $38.000 \]

Calcula el valor mensual en pesos.
Calcula el costo total de 6 meses si el valor de la UF se mantiene igual durante todo el período.
Interpreta qué significa que el precio esté expresado en UF y no directamente en pesos.

Ejercicio 5

Una multa se fija en 2,3 UTM. En este ejercicio se informa que:

\[ 1\ \text{UTM} = $66.000 \]

Calcula el valor de la multa en pesos.
Si se paga con $160.000, ¿cuánto sobra?
Explica por qué en este caso conviene conocer el valor de la UTM antes de pagar.

Ejercicio 6

Un cobro equivale a $280.000. En este ejercicio se informa que:

\[1\ \text{UF}=$40.000\]

¿Cuántas UF representa el cobro?
Si el cobro sube a $300.000 y la UF sigue valiendo $40.000, ¿cuántas UF representa ahora?
Interpreta el cambio en UF.

Ejercicio 7

En una noticia económica se informa que el IPC de cierto período fue 1,2%.

¿Qué idea general transmite ese dato?
¿Significa necesariamente que todos los precios subieron exactamente 1,2%? Justifica.
Si un arriendo de $450.000 se reajusta en 1,2%, calcula el nuevo valor.

Ejercicio 8

Compara las siguientes situaciones, usando los valores dados:

Situación	Monto
Arriendo A	10 UF
Arriendo B	$395.000

Supón que:

\[ 1\ \text{UF} = $40.000 \]

Convierte el arriendo A a pesos.
Compara A y B.
Indica cuál es mayor y por cuánto.
Si la UF sube a $40.800, ¿cuánto sería el arriendo A?

Ejercicio 9

Un estudiante afirma: “Si un monto está expresado en UF, entonces su valor en pesos siempre será el mismo”.

¿Es correcta esa afirmación? Justifica con un ejemplo numérico.

Ejercicio 10

Una persona debe elegir entre dos formas de pagar un servicio anual:

Opción	Condición
A	Pago fijo de $480.000
B	12 UF

En este ejercicio se usa $1\ \text{UF}=$39.500$.

Convierte la opción B a pesos.
¿Cuál opción tiene menor costo?
¿Hasta qué valor de la UF la opción B sería igual o más conveniente que la opción A?

Ejercicios tipo PAES

PAES 1

Si en un ejercicio se indica que $1\ \text{UF}=$38.000$, ¿cuánto es 6 UF en pesos?

$198.000
$208.000
$228.000
$238.000

PAES 2

Si en un ejercicio se indica que $1\ \text{UTM}=$65.000$, ¿cuánto es 2,5 UTM en pesos?

$130.000
$152.500
$162.500
$175.000

PAES 3

¿Cuál de las siguientes descripciones corresponde mejor al IPC?

Es una unidad usada para convertir directamente arriendos en propiedades.
Es una unidad tributaria mensual usada para multas.
Es un indicador relacionado con la variación general de precios.
Es una moneda extranjera usada en Chile.

PAES 4

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

La UF siempre equivale al mismo monto en pesos.
Para convertir UF a pesos basta con sumar ambos valores.
La UTM y la UF se interpretan igual que si fueran pesos directos.
Para convertir un monto en UF o UTM a pesos se necesita conocer el valor de esa unidad en pesos.

PAES 5

Un arriendo cuesta 9 UF. Si $1\ \text{UF}=$41.000$, ¿cuál es el valor del arriendo en pesos?

$328.000
$369.000
$410.000
$450.000

PAES 6

Un cobro de $330.000 equivale a 8,25 UF. ¿Cuál es el valor de 1 UF usado en el ejercicio?

$38.000
$39.000
$40.000
$41.000

PAES 7

Un monto de $250.000 se reajusta en 4%. ¿Cuál es el nuevo monto?

$254.000
$260.000
$270.000
$290.000

PAES 8

Un producto cuesta 7 UF. En el mes A, $1\ \text{UF}=$38.000$. En el mes B, $1\ \text{UF}=$39.500$. ¿Cuánto aumenta el valor en pesos del producto?

$1.500
$7.000
$10.500
$276.500

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Resumen de la página

En esta página aprendimos a leer e interpretar referencias económicas usadas en Chile, especialmente UF, UTM e IPC. Vimos que estas siglas aparecen con frecuencia en información financiera y que para comprenderlas bien es necesario distinguir su función y, cuando corresponde, convertirlas a pesos usando valores dados.

La siguiente página corresponde a la evaluación de unidad y análisis de errores, donde integraremos porcentaje, tasas, ahorro, crédito, comparación de alternativas e índices económicos usados en Chile.

Para recordar

La UF y la UTM son unidades de referencia, no montos fijos en pesos.
El IPC se relaciona con la variación general de precios.
Para convertir UF o UTM a pesos se multiplica por el valor de la unidad.
Para convertir pesos a UF o UTM se divide por el valor de la unidad.
Leer bien el contexto es clave para interpretar información financiera en Chile.

8. Evaluación de unidad y análisis de errores

Evaluación de unidad y análisis de errores

En esta página cerrarás la unidad de matemática financiera con una evaluación que integra los contenidos trabajados:

Porcentaje como operador
Crecimiento y decrecimiento porcentual constante
Tasa de variación
Interés aplicado al ahorro
Interés aplicado al crédito
Lectura de cuotas, costo total y comparación de alternativas
Índices económicos usados en Chile: UF, UTM e IPC

Antes de comenzar, revisa este repaso muy breve.

Repaso muy breve

Ideas centrales de la unidad

Tema	Idea clave	Qué debes recordar
Porcentaje	Actúa como operador	Aplicar $p\%$ equivale a multiplicar por $\frac{p}{100}$
Aumentos y descuentos	Se usan multiplicadores	Aumento: $1+\frac{p}{100}$; descuento: $1-\frac{p}{100}$
Crecimiento constante	Es multiplicativo	Después de $n$ períodos: $C_0(1+r)^n$
Tasa de variación	Compara con el valor inicial	$\frac{V_f-V_i}{V_i}$
Ahorro y crédito	No significan lo mismo	En ahorro la tasa favorece el capital; en crédito aumenta el costo
Cuotas y costo total	No basta mirar la cuota	También hay que comparar el total pagado
UF, UTM, IPC	Son referencias distintas	UF y UTM se convierten a pesos con un valor dado; IPC se interpreta como variación general de precios

Antes de empezar

En esta evaluación conviene leer con calma qué representa cada dato: porcentaje, tasa, cuota, valor al contado o unidad económica. Muchas veces el error no está en el cálculo, sino en interpretar mal qué te están pidiendo comparar.

Errores frecuentes

Sumar porcentajes cuando corresponde multiplicar varias veces por un factor.
Confundir interés con monto final o total a pagar.
Fijarse solo en la cuota y no en el costo total.
Olvidar que UF y UTM no son pesos directos.
Usar la fórmula directa cuando el problema pide recuperar el valor inicial.

Ejercicios de desarrollo

Ejercicio 1

Un producto queda en $205.000 después de aplicar un 18% de descuento.

Determina el multiplicador asociado al descuento.
Calcula el precio original.
Calcula el valor del descuento.
Verifica el resultado usando el multiplicador.

Ejercicio 2

Una inversión inicial crece un 6% mensual durante 3 meses y llega aproximadamente a $142.922.

Escribe la expresión general que modela la situación.
Calcula el capital inicial aproximado.
Calcula el aumento total en pesos.
Explica por qué no basta con restar un 18% al monto final para recuperar el capital inicial.

Ejercicio 3

El valor de un equipo baja de $480.000 a $408.000.

Calcula la variación absoluta.
Calcula la tasa de variación.
Determina el multiplicador asociado.
Si otro equipo bajó también $72.000, pero desde $720.000, ¿tuvo la misma tasa de variación? Justifica.

Ejercicio 4

Una persona quiere tener $324.480 en una cuenta de ahorro después de 2 meses. La cuenta paga 4% mensual.

Calcula cuánto debe depositar inicialmente.
Calcula el interés total ganado.
Verifica el resultado calculando el monto final.
Explica qué significa el resultado en contexto.

Ejercicio 5

Una persona pide un crédito que, después de 2 meses con una tasa de 5% mensual, llega a una deuda final de $275.625.

Calcula el capital inicialmente prestado.
Calcula el interés total acumulado.
Determina el porcentaje total de aumento de la deuda.
Explica por qué esta situación no se interpreta igual que un ahorro.

Ejercicio 6

Una tienda ofrece un refrigerador con estas opciones:

Alternativa	Condición
A	$360.000 al contado
B	12 cuotas de $33.000
C	Pago inicial de $40.000 y 8 cuotas de $41.000

Calcula el costo total de B y C.
Ordénalas desde la de menor a la de mayor costo total.
Indica cuál tiene la cuota más baja.
Calcula cuánto más se paga en C respecto del contado.
Redacta una conclusión comparativa.

Ejercicio 7

En un ejercicio se indica que:

\[1\ \text{UF}=$39.500\]

y que un arriendo mensual es de 9,5 UF.

Convierte el arriendo a pesos.
Si otro arriendo cuesta $370.000, compáralos.
Indica cuál es mayor y por cuánto.
¿Cuál tendría que ser el valor de 1 UF para que 9,5 UF equivalgan exactamente a $370.000?

Ejercicio 8

Analiza la siguiente situación:

Un estudiante dice: “Si una multa es de 2 UTM y el IPC del mes fue 1%, entonces la multa sube exactamente 1% por ser UTM e IPC lo mismo”.

¿Es correcta esa afirmación?
Explica brevemente la diferencia entre UTM e IPC.
Indica qué información faltaría para convertir 2 UTM a pesos.
Si en el ejercicio $1\ \text{UTM}=$66.000$, calcula el valor de la multa.

Ejercicio 9

Una persona quiere comparar dos alternativas para recibir $400.000 hoy:

Alternativa	Condición
A	Pagar $424.000 al final de 1 período
B	Pagar 2 cuotas de $215.000

Calcula el costo adicional de cada alternativa respecto del dinero recibido.
Determina cuál tiene menor costo total.
Calcula la tasa de interés de la alternativa A.
Explica qué otra información sería importante considerar antes de decidir.

Ejercicio 10

Un monto de $600.000 se reajusta según una variación de IPC de 2,5%.

Calcula el monto reajustado.
Calcula el aumento en pesos.
Si después del reajuste el monto queda en $615.000, ¿cuál era el monto inicial?

Ejercicios tipo PAES

PAES 1

Después de un descuento de 20%, un producto queda en $96.000. ¿Cuál era su precio original?

$76.800
$100.000
$115.200
$120.000

PAES 2

Una cantidad crece un 10% por período durante 2 períodos. ¿Qué expresión la modela correctamente si parte en $C_0$?

$C_0+0{,}10\cdot 2$
$C_0(1{,}10)^2$
$C_0(0{,}10)^2$
$C_0(1{,}20)$

PAES 3

Una cantidad pasa de 200 a 230. ¿Cuál es su tasa de variación porcentual?

10%
12%
15%
20%

PAES 4

Una cantidad baja de 500 a 425. ¿Cuál es su tasa de variación porcentual?

$-10\%$
$-12\%$
$-15\%$
$-20\%$

PAES 5

Una persona ahorra $100.000 a una tasa de 5% por período durante 2 períodos. ¿Cuál es el monto final?

$105.000
$110.000
$110.250
$115.000

PAES 6

Después de un período con una tasa de 4%, una deuda queda en $208.000. ¿Cuál fue el capital prestado?

$196.000
$200.000
$204.000
$216.320

PAES 7

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

En ahorro y crédito una tasa alta siempre significa lo mismo para la persona.
En ahorro el interés es una ganancia; en crédito el interés es un costo.
El interés siempre coincide con el monto final.
El crédito disminuye con una tasa positiva.

PAES 8

Un producto cuesta $180.000 al contado o 6 cuotas de $32.000. ¿Cuánto más se paga al financiar?

$12.000
$18.000
$192.000
$372.000

PAES 9

En un plan se paga un pie de $30.000 y luego 4 cuotas de $20.000. Si el valor contado era $100.000, ¿cuánto más se paga con el plan?

$10.000
$30.000
$80.000
$110.000

PAES 10

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

La cuota más baja siempre implica menor costo total.
Para comparar alternativas de pago conviene observar cuota y costo total.
Si hay pago inicial, no se considera en el total.
El valor al contado siempre es mayor que el financiado.

PAES 11

Si en un ejercicio se indica que $1\ \text{UF}=$40.000$, ¿cuánto equivalen 7 UF?

$240.000
$260.000
$280.000
$300.000

PAES 12

Si en un ejercicio se indica que $1\ \text{UTM}=$66.000$, ¿cuánto equivalen 1,5 UTM?

$89.000
$96.000
$99.000
$109.000

PAES 13

Un arriendo cuesta 8 UF. Si en el ejercicio se informa que $1\ \text{UF}=$39.000$, ¿cuál es el valor del arriendo en pesos?

$302.000
$312.000
$318.000
$320.000

PAES 14

Un cobro de $330.000 equivale a 8,25 UF. ¿Cuál es el valor de 1 UF usado en el ejercicio?

$38.000
$39.000
$40.000
$41.000

PAES 15

¿Cuál de las siguientes descripciones corresponde mejor al IPC?

Unidad usada para multas y topes tributarios.
Índice relacionado con la variación general de precios.
Moneda extranjera usada en contratos.
Sinónimo de cuota mensual.

PAES 16

Un monto de $250.000 se reajusta en 4%. ¿Cuál es el nuevo monto?

$254.000
$260.000
$270.000
$290.000

Análisis de errores

Si tuviste dificultades con porcentajes y tasas

Revisa si convertiste correctamente el porcentaje a decimal y si identificaste bien el valor inicial. En problemas de tasa de variación, el error más común es dividir por el valor final en vez de dividir por el inicial.

Si tuviste dificultades con ahorro o crédito

Vuelve a distinguir entre interés y monto final. En ahorro, el interés se interpreta como ganancia; en crédito, como costo. También revisa si usaste bien el factor $(1+i)^n$ cuando había varios períodos.

Si tuviste dificultades con cuotas y costo total

No compares alternativas mirando solo la cuota. Calcula siempre el total pagado y, cuando corresponda, suma también el pie o pago inicial.

Si tuviste dificultades con UF, UTM e IPC

Recuerda que UF y UTM son unidades que se convierten a pesos usando un valor dado. En cambio, el IPC se interpreta como un índice relacionado con variaciones generales de precios, no como una cantidad directa de dinero.

Cierre de unidad

En esta unidad aprendiste a usar porcentajes y tasas para analizar aumentos, descuentos, ahorro, crédito, pagos en cuotas y referencias económicas usadas en Chile. Estas herramientas son clave para leer información financiera con más claridad y tomar decisiones mejor fundamentadas.

9. Ensayo prueba

Instrucciones

Marca una sola alternativa por pregunta.
Usa calculadora básica cuando sea necesario.
Trabaja los porcentajes como operadores: $p\%=\frac{p}{100}$.
En aumentos usa multiplicador $1+\frac{p}{100}$ y en descuentos usa $1-\frac{p}{100}$.
Cuando haya cambios porcentuales sucesivos, aplica multiplicadores en forma sucesiva.
En problemas financieros, distingue entre capital inicial, interés, monto final, cuota, costo total y valor al contado.
Para convertir UF o UTM a pesos, multiplica por el valor dado en el enunciado.
Cada pregunta vale 2 puntos.

El $18\%$ de $350.000$ es:

$63.000$
$53.000$
$68.000$
$72.000$

Un producto de $\$80.000$ aumenta un $15\%$. ¿Cuál es su nuevo precio?

$\$88.000$
$\$92.000$
$\$95.000$
$\$104.000$

Después de aplicar un $20\%$ de descuento, una chaqueta queda en $\$64.000$. ¿Cuál era su precio original?

$\$76.800$
$\$84.000$
$\$80.000$
$\$51.200$

Un artículo cuesta $\$120.000$. Primero sube un $10\%$ y luego se le aplica un descuento de $10\%$ sobre el nuevo precio. ¿Cuál es el precio final?

$\$120.000$
$\$118.800$
$\$132.000$
$\$108.000$

Un capital de $\$200.000$ crece un $5\%$ mensual durante $2$ meses. ¿Cuál es el monto final?

$\$210.000$
$\$220.000$
$\$220.500$
$\$205.000$

Un computador de $\$500.000$ pierde un $20\%$ de su valor cada año. ¿Cuál será su valor después de $2$ años?

$\$300.000$
$\$400.000$
$\$320.000$
$\$280.000$

Una cantidad se modela mediante $C_n=150.000(1{,}08)^n$. ¿Qué representa el $1{,}08$?

Un descuento de $8\%$ por período.
Un aumento de $8\%$ por período.
Un aumento de $\$8.000$ por período.
Un descuento de $\$8.000$ por período.

El valor de un equipo baja de $\$480.000$ a $\$408.000$. ¿Cuál es la tasa de variación porcentual?

$-12\%$
$-15\%$
$-18\%$
$-72\%$

Un arriendo pasa de $\$320.000$ a $\$368.000$. ¿Cuál fue el porcentaje de aumento?

$12\%$
$48\%$
$15\%$
$115\%$

Un precio cambia de $\$250.000$ a $\$275.000$. ¿Cuál afirmación interpreta correctamente el cambio?

Aumentó $\$25.000$, lo que corresponde a un $10\%$ del valor inicial.
Aumentó $\$25.000$, lo que corresponde a un $10\%$ del valor final.
Aumentó $25\%$, porque subió $\$25.000$.
Aumentó $110\%$, porque el multiplicador es $1{,}10$.

Una cuenta de ahorro tiene $\$300.000$ y gana $4\%$ en un período. ¿Cuál es el interés ganado?

$\$10.000$
$\$12.000$
$\$24.000$
$\$312.000$

Una persona deposita $\$100.000$ en una cuenta que crece al $10\%$ por período durante $2$ períodos. ¿Cuál es el monto final?

$\$110.000$
$\$120.000$
$\$121.000$
$\$130.000$

Una persona quiere obtener $\$242.000$ después de $2$ períodos en una cuenta de ahorro con tasa $10\%$ por período. ¿Cuánto debe depositar inicialmente?

$\$200.000$
$\$220.000$
$\$266.200$
$\$121.000$

Una persona pide un crédito de $\$200.000$ con interés de $6\%$ por un período. ¿Cuál es el total a pagar?

$\$12.000$
$\$206.000$
$\$212.000$
$\$220.000$

Una deuda inicial de $\$100.000$ crece al $5\%$ mensual durante $3$ meses. ¿Cuál es la deuda final aproximada?

$\$115.763$
$\$115.000$
$\$105.000$
$\$125.000$

Una persona recibe un crédito de $\$400.000$. La alternativa A exige pagar $\$424.000$ al final del período. La alternativa B exige pagar $2$ cuotas de $\$215.000$. ¿Cuál afirmación es correcta?

Conviene B, porque tiene cuotas menores que $\$424.000$.
Conviene A, porque su costo total es $\$424.000$, menor que $\$430.000$.
Ambas alternativas tienen el mismo costo total.
Conviene B, porque el costo total es $\$215.000$.

Un refrigerador cuesta $\$360.000$ al contado. En cuotas se ofrece pagar $12$ cuotas de $\$33.000$. ¿Cuánto más se paga financiado respecto del contado?

$\$24.000$
$\$36.000$
$\$396.000$
$\$33.000$

Una tienda ofrece dos planes para un producto. Plan A: $10$ cuotas de $\$18.000$. Plan B: $6$ cuotas de $\$31.000$. ¿Cuál afirmación es correcta?

El Plan A tiene menor cuota y menor costo total.
El Plan B tiene mayor cuota, pero menor costo total.
El Plan A y el Plan B tienen el mismo costo total.
El Plan B tiene menor cuota y mayor costo total.

Una persona puede pagar como máximo $\$25.000$ por cuota. Tiene estas alternativas: Plan A: $8$ cuotas de $\$27.000$; Plan B: $10$ cuotas de $\$24.000$; Plan C: pie de $\$30.000$ y $6$ cuotas de $\$25.000$. Si quiere respetar su cuota máxima y pagar el menor costo total posible, ¿qué plan debería elegir?

Plan A
Plan B
Plan C
No puede elegir ningún plan

Un arriendo cuesta $8$ UF. Si $1\ \text{UF}=\$39.000$, ¿cuál es el valor del arriendo en pesos?

$\$302.000$
$\$312.000$
$\$318.000$
$\$320.000$

¿Cuál de las siguientes descripciones corresponde mejor al IPC?

Unidad usada para multas y topes tributarios.
Unidad reajustable usada como monto fijo en pesos.
Índice relacionado con la variación general de precios.
Sinónimo de cuota mensual.

10. Pauta ensayo

Pauta de evaluación: Prueba de economía básica v1

Datos generales de corrección

Curso: 4° medio.
Unidad: Matemática financiera: economía básica.
Tiempo: 80 minutos.
Total de preguntas: 21.
Puntaje por pregunta: 2 puntos.
Puntaje total: 42 puntos.
Porcentaje de aprobación: 60%.
Puntaje mínimo de aprobación: 26 puntos.

Criterio de corrección

Cada pregunta tiene una única alternativa correcta. Se asigna 2 punto(s) por respuesta correcta y 0 puntos por respuesta incorrecta, omitida o con más de una alternativa marcada.

Distribución de habilidades evaluadas

Habilidad	Preguntas
Cálculo directo y reconocimiento de conceptos financieros básicos.	1, 2, 5, 8, 11, 14, 20
Aplicación de porcentajes, interés, crédito y cuotas en contexto.	3, 4, 6, 9, 12, 15, 17, 18
Interpretación, comparación y análisis simple de información financiera.	7, 10, 13, 16, 19, 21

Justificación: El IPC es un índice relacionado con la variación general de precios, por lo que se asocia a inflación y reajustes.

Resumen de claves correctas

1) A, 2) B, 3) C, 4) B, 5) C, 6) C, 7) B, 8) B, 9) C, 10) A, 11) B, 12) C, 13) A, 14) C, 15) A, 16) B, 17) B, 18) B, 19) C, 20) B, 21) C

Conteo de alternativas correctas

Alternativa	Cantidad
A	5
B	7
C	7
D	0

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Sitio:	MATEMÁTICAS × Profe Arauco
Curso:	Media 4
Libro:	2__economia basica

Imprimido por:	Invitado
Día:	domingo, 7 de junio de 2026, 17:16

Situación	Porcentaje	Multiplicador por período	Expresión después de \(n\) períodos
Crecimiento	5%	1,05	\(C_0(1{,}05)^n\)
Crecimiento	12%	1,12	\(C_0(1{,}12)^n\)
Decrecimiento	8%	0,92	\(C_0(0{,}92)^n\)
Decrecimiento	20%	0,80	\(C_0(0{,}80)^n\)

Período	Cantidad
0	200
1	\(200\cdot 1{,}5 = 300\)
2	\(300\cdot 1{,}5 = 450\)
3	\(450\cdot 1{,}5 = 675\)

Situación	Fórmula	Interpretación
Interés en un período	\(I=C\cdot i\)	Ganancia obtenida en un período
Monto en un período	\(M=C(1+i)\)	Capital inicial más interés
Monto en varios períodos	\(M_n=C_0(1+i)^n\)	Crecimiento del ahorro en el tiempo
Interés total	\(I_{\text{total}}=M_n-C_0\)	Ganancia acumulada

Tema	Idea clave	Qué debes recordar
Porcentaje	Actúa como operador	Aplicar \(p\%\) equivale a multiplicar por \(\frac{p}{100}\)
Aumentos y descuentos	Se usan multiplicadores	Aumento: \(1+\frac{p}{100}\); descuento: \(1-\frac{p}{100}\)
Crecimiento constante	Es multiplicativo	Después de \(n\) períodos: \(C_0(1+r)^n\)
Tasa de variación	Compara con el valor inicial	\(\frac{V_f-V_i}{V_i}\)
Ahorro y crédito	No significan lo mismo	En ahorro la tasa favorece el capital; en crédito aumenta el costo
Cuotas y costo total	No basta mirar la cuota	También hay que comparar el total pagado
UF, UTM, IPC	Son referencias distintas	UF y UTM se convierten a pesos con un valor dado; IPC se interpreta como variación general de precios

2__economia basica

Tabla de contenidos

1. Porcentaje como operador. Aumentos y descuentos

Porcentaje como operador. Aumentos y descuentos

Porcentaje como operador

Objetivo de la página

Porcentaje como operador

Aumentos y descuentos

Uso directo e inverso del multiplicador

Idea clave

Error frecuente

Equivalencias útiles

Tabla de multiplicadores

Ejemplo guiado 1: calcular un porcentaje de una cantidad

Ejemplo guiado 2: aumento porcentual

Ejemplo guiado 3: descuento porcentual

Ejemplo guiado 4: encontrar el valor inicial

¿Cuándo conviene usar multiplicador?

Aplicación en el mundo real

Ejercicios

Estrategia para resolver

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Ejercicio 4

Ejercicio 5

Ejercicio 6

Ejercicio 7

Ejercicio 8

Ejercicios tipo PAES

PAES 1

PAES 2

PAES 3

PAES 4

PAES 5

PAES 6

PAES 7

PAES 8

Cierre

Resumen de la página

Para recordar

2. Crecimiento y decrecimiento porcentual constante

Crecimiento y decrecimiento porcentual constante

Crecimiento y decrecimiento porcentual constante

Objetivo de la página

Modelo de crecimiento porcentual constante

Modelo de decrecimiento porcentual constante

Uso directo e inverso del modelo

Idea clave

Error frecuente

Resumen de multiplicadores

Tabla de multiplicadores

Ejemplo guiado 1: crecimiento porcentual constante

Ejemplo guiado 2: decrecimiento porcentual constante

Ejemplo guiado 3: crecimiento en tabla

Ejemplo guiado 4: encontrar el valor inicial

Ejemplo guiado 5: encontrar el porcentaje por período

¿Por qué aparece una potencia?

Usar la fórmula en distintos sentidos

Aplicación en el mundo real

Ejercicios

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Ejercicio 4

Ejercicio 5

Ejercicio 6

Ejercicio 7

Ejercicio 8

Ejercicio 9

Ejercicio 10

Ejercicio 11

Ejercicio 12

Ejercicio 13

Ejercicio 14

Ejercicio 15

Ejercicios tipo PAES

PAES 1

PAES 2

PAES 3