economia basica
| Sitio: | MATEMÁTICAS × Profe Arauco |
| Curso: | Media 4 |
| Libro: | economia basica |
| Imprimido por: | Invitado |
| Día: | jueves, 23 de abril de 2026, 08:50 |
Tabla de contenidos
- 1. Porcentaje como operador. Aumentos y descuentos
- 2. Crecimiento y decrecimiento porcentual constante
- 3. Tasa de variación y lectura de tasas en contexto
- 4. Interés aplicado al ahorro
- 5. Interés aplicado al crédito
- 6. Lectura e interpretación de información financiera: cuotas, costo total y comparación de alternativas
- 7. Índices económicos usados en Chile en transacciones financieras
- 8. Evaluación de unidad y análisis de errores
1. Porcentaje como operador. Aumentos y descuentos
Porcentaje como operador. Aumentos y descuentos
Comenzamos una nueva unidad: matemática financiera. En esta primera página trabajaremos una idea fundamental: el porcentaje como operador.
Esto significa que un porcentaje no se mira solo como un número con símbolo %, sino como una herramienta que transforma una cantidad. Gracias a eso podemos calcular aumentos, descuentos y cambios de precio en contextos reales.
Por ejemplo, cuando una tienda anuncia un 20% de descuento o cuando un producto sube un 15%, en ambos casos el porcentaje está actuando sobre un valor inicial.
Objetivo de la página
- Interpretar el porcentaje como un operador aplicado a una cantidad.
- Calcular porcentajes de una cantidad dada.
- Resolver problemas de aumentos porcentuales.
- Resolver problemas de descuentos porcentuales.
- Expresar aumentos y descuentos usando multiplicadores.
Al finalizar esta página deberías poder:
- Calcular, por ejemplo, el 15% o el 30% de una cantidad.
- Aplicar un aumento porcentual a un precio o capital.
- Aplicar un descuento porcentual a un precio o capital.
- Reconocer el multiplicador asociado a un aumento o a un descuento.
Aplicar un porcentaje a una cantidad significa multiplicarla por su equivalente decimal.
\[ p\% = \frac{p}{100} \]
Por ejemplo:
- \(20\% = 0{,}20\)
- \(7\% = 0{,}07\)
- \(125\% = 1{,}25\)
Entonces, para calcular el \(p\%\) de una cantidad \(C\):
\[ p\%\text{ de }C = \frac{p}{100}\cdot C \]
Si una cantidad inicial \(C\) aumenta en \(p\%\), el nuevo valor es:
\[ C\left(1+\frac{p}{100}\right) \]
Si una cantidad inicial \(C\) disminuye o tiene un descuento de \(p\%\), el nuevo valor es:
\[ C\left(1-\frac{p}{100}\right) \]
Estos factores se llaman multiplicadores.
Un aumento del 12% no significa sumar 12, sino multiplicar por 1,12. Un descuento del 12% no significa restar 12, sino multiplicar por 0,88.
Confundir “20% de descuento” con “restar 20 pesos” o “restar 20 unidades”. El descuento depende del valor inicial. Un 20% de 50 no es lo mismo que un 20% de 500.
Equivalencias útiles
| Porcentaje | Decimal | Multiplicador si aumenta | Multiplicador si descuenta |
|---|---|---|---|
| 5% | 0,05 | 1,05 | 0,95 |
| 10% | 0,10 | 1,10 | 0,90 |
| 20% | 0,20 | 1,20 | 0,80 |
| 25% | 0,25 | 1,25 | 0,75 |
| 30% | 0,30 | 1,30 | 0,70 |
| 50% | 0,50 | 1,50 | 0,50 |
Ejemplo guiado 1: calcular un porcentaje de una cantidad
Calcula el 15% de 80.
Primero convertimos el porcentaje a decimal:
\[ 15\% = 0{,}15 \]
Luego multiplicamos:
\[ 0{,}15\cdot 80 = 12 \]
Por lo tanto, el 15% de 80 es 12.
Ejemplo guiado 2: aumento porcentual
Un producto cuesta \$20.000 y sube un 8%.
Podemos resolverlo de dos maneras.
Método 1: calcular el aumento y luego sumar
\[ 8\% \text{ de } 20.000 = 0{,}08\cdot 20.000 = 1.600 \]
\[ 20.000 + 1.600 = 21.600 \]
Método 2: usar el multiplicador
\[ 1+0{,}08=1{,}08 \]
\[ 20.000\cdot 1{,}08 = 21.600 \]
El nuevo precio es \$21.600.
Ejemplo guiado 3: descuento porcentual
Una chaqueta cuesta \$36.000 y tiene un 25% de descuento.
Método 1: calcular el descuento y restar
\[ 25\% \text{ de } 36.000 = 0{,}25\cdot 36.000 = 9.000 \]
\[ 36.000 - 9.000 = 27.000 \]
Método 2: usar el multiplicador
\[ 1-0{,}25 = 0{,}75 \]
\[ 36.000\cdot 0{,}75 = 27.000 \]
El precio final es \$27.000.
Cuando el problema pide el valor final, usar directamente el multiplicador suele ser más rápido. Además, será muy útil en la próxima clase, cuando trabajemos crecimiento y decrecimiento porcentual constante.
Los porcentajes aparecen en precios, descuentos de temporada, aumentos de arriendo, reajustes de planes, promociones y variaciones de ahorro. Entenderlos bien ayuda a tomar decisiones financieras más informadas.
Ejercicios
Ejercicio 1
Calcula:
- El 10% de 250
- El 25% de 400
- El 5% de 1.200
a)
\[ 0{,}10\cdot 250 = 25 \]
b)
\[ 0{,}25\cdot 400 = 100 \]
c)
\[ 0{,}05\cdot 1.200 = 60 \]
Ejercicio 2
Escribe el multiplicador correspondiente a cada caso:
- Aumento de 12%
- Descuento de 12%
- Aumento de 30%
- Descuento de 30%
a) \(1{,}12\)
b) \(0{,}88\)
c) \(1{,}30\)
d) \(0{,}70\)
Ejercicio 3
Un polerón cuesta \$18.000 y tiene un descuento del 15%.
- Calcula el valor del descuento.
- Calcula el precio final.
a)
\[ 0{,}15\cdot 18.000 = 2.700 \]
El descuento es de \$2.700.
b)
\[ 18.000 - 2.700 = 15.300 \]
El precio final es \$15.300.
Ejercicio 4
Una bicicleta cuesta \$120.000 y sube un 10%.
- Calcula el aumento.
- Calcula el nuevo precio.
- Verifica el resultado usando el multiplicador.
a)
\[ 0{,}10\cdot 120.000 = 12.000 \]
b)
\[ 120.000 + 12.000 = 132.000 \]
c)
El multiplicador de aumento de 10% es \(1{,}10\).
\[ 120.000\cdot 1{,}10 = 132.000 \]
Ejercicio 5
En una tienda, un televisor cuesta \$280.000 y se ofrece con un 20% de descuento.
Resuelve usando el multiplicador.
El multiplicador de descuento de 20% es:
\[ 1-0{,}20 = 0{,}80 \]
Entonces:
\[ 280.000\cdot 0{,}80 = 224.000 \]
El precio final es \$224.000.
Ejercicio 6
Completa la tabla:
| Valor inicial | Porcentaje | Tipo de cambio | Valor final |
|---|---|---|---|
| \$50.000 | 10% | Aumento | ? |
| \$50.000 | 10% | Descuento | ? |
| \$80.000 | 25% | Descuento | ? |
| \$80.000 | 25% | Aumento | ? |
| Valor inicial | Porcentaje | Tipo de cambio | Valor final |
|---|---|---|---|
| \$50.000 | 10% | Aumento | \$55.000 |
| \$50.000 | 10% | Descuento | \$45.000 |
| \$80.000 | 25% | Descuento | \$60.000 |
| \$80.000 | 25% | Aumento | \$100.000 |
Ejercicio 7
Una estudiante dice: “Si un precio sube 30%, basta con multiplicar por 0,30”.
¿Es correcta su afirmación? Justifica.
No, la afirmación es incorrecta.
Multiplicar por \(0{,}30\) entrega solo el valor del 30% de la cantidad, no el valor final después del aumento.
Para un aumento de 30% se debe multiplicar por:
\[ 1+0{,}30 = 1{,}30 \]
Ejercicio 8
En una liquidación, una tienda ofrece estas promociones:
- Zapatillas: \$40.000 con 15% de descuento.
- Mochila: \$25.000 con 20% de descuento.
- Chaqueta: \$60.000 con 10% de descuento.
Calcula el precio final de cada producto y ordénalos desde el más barato al más caro.
Zapatillas
\[ 40.000\cdot 0{,}85 = 34.000 \]
Mochila
\[ 25.000\cdot 0{,}80 = 20.000 \]
Chaqueta
\[ 60.000\cdot 0{,}90 = 54.000 \]
Orden desde el más barato al más caro:
- Mochila: \$20.000
- Zapatillas: \$34.000
- Chaqueta: \$54.000
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
¿Cuál es el 20% de 150?
- 15
- 20
- 30
- 45
\[ 0{,}20\cdot 150 = 30 \]
Alternativa correcta: c
PAES 2
¿Cuál es el multiplicador asociado a un aumento del 18%?
- 0,18
- 1,18
- 0,82
- 1,80
\[ 1+0{,}18 = 1{,}18 \]
Alternativa correcta: b
PAES 3
¿Cuál es el multiplicador asociado a un descuento del 18%?
- 0,18
- 1,18
- 0,82
- 0,92
\[ 1-0{,}18 = 0{,}82 \]
Alternativa correcta: c
PAES 4
Un artículo cuesta \$50.000 y sube un 12%. ¿Cuál es su nuevo precio?
- \$56.000
- \$54.000
- \$62.000
- \$44.000
\[ 50.000\cdot 1{,}12 = 56.000 \]
Alternativa correcta: a
Cierre
En esta página aprendimos a interpretar el porcentaje como un operador que transforma cantidades. Vimos que puede representar aumentos, descuentos y cambios en valores iniciales.
Además, comenzamos a usar multiplicadores, una herramienta muy útil para resolver problemas financieros de forma más rápida y organizada.
- Calcular un porcentaje es multiplicar por su equivalente decimal.
- Un aumento de \(p\%\) usa el multiplicador \(1+\frac{p}{100}\).
- Un descuento de \(p\%\) usa el multiplicador \(1-\frac{p}{100}\).
- El porcentaje siempre actúa sobre el valor inicial.
2. Crecimiento y decrecimiento porcentual constante
Crecimiento y decrecimiento porcentual constante
En la página anterior aprendimos a usar el porcentaje como operador para calcular aumentos y descuentos en una sola etapa.
Ahora daremos un paso más: estudiaremos situaciones en que ese cambio porcentual se aplica varias veces seguidas. A esto se le llama crecimiento porcentual constante o decrecimiento porcentual constante.
Este tipo de modelo aparece en contextos muy reales: ahorro, inflación, depreciación de objetos, crecimiento de una población, reajustes de precios y evolución de un capital.
Objetivo de la página
- Comprender qué significa que un valor crezca o disminuya en un porcentaje constante.
- Modelar situaciones de crecimiento y decrecimiento mediante multiplicadores.
- Reconocer que el cambio porcentual constante es multiplicativo, no aditivo.
- Resolver problemas en contexto usando potencias sencillas.
Al finalizar esta página deberías poder:
- Calcular el valor final de una cantidad que cambia en un mismo porcentaje durante varios períodos.
- Escribir el multiplicador asociado a un crecimiento o decrecimiento constante.
- Interpretar tablas y expresiones del tipo \(C_0(1+r)^n\).
- Distinguir entre sumar repetidamente y multiplicar repetidamente.
Si una cantidad inicial \(C_0\) crece un \(r\%\) en cada período, entonces en cada etapa se multiplica por:
\[ 1+\frac{r}{100} \]
Después de \(n\) períodos, el valor es:
\[ C_n = C_0\left(1+\frac{r}{100}\right)^n \]
Si una cantidad inicial \(C_0\) disminuye un \(r\%\) en cada período, entonces en cada etapa se multiplica por:
\[ 1-\frac{r}{100} \]
Después de \(n\) períodos, el valor es:
\[ C_n = C_0\left(1-\frac{r}{100}\right)^n \]
Cuando el porcentaje se repite en cada período, no conviene sumar el mismo monto una y otra vez. Lo correcto es multiplicar repetidamente por el mismo factor.
Si un capital crece un 10% cada mes durante 3 meses, no corresponde sumar 30% directamente para obtener el valor final. El 10% de cada mes se calcula sobre un valor que ya cambió.
Resumen de multiplicadores
| Situación | Porcentaje | Multiplicador por período | Expresión después de \(n\) períodos |
|---|---|---|---|
| Crecimiento | 5% | 1,05 | \(C_0(1,05)^n\) |
| Crecimiento | 12% | 1,12 | \(C_0(1,12)^n\) |
| Decrecimiento | 8% | 0,92 | \(C_0(0,92)^n\) |
| Decrecimiento | 20% | 0,80 | \(C_0(0,80)^n\) |
Ejemplo guiado 1: crecimiento porcentual constante
Un capital inicial de \$100.000 crece un 10% mensual durante 3 meses.
El multiplicador mensual es:
\[ 1+0{,}10 = 1{,}10 \]
Después de 3 meses:
\[ C_3 = 100.000(1{,}10)^3 \]
\[ C_3 = 100.000\cdot 1{,}331 = 133.100 \]
El capital final es \$133.100.
Ejemplo guiado 2: decrecimiento porcentual constante
Un computador cuesta \$500.000 y pierde un 20% de su valor cada año durante 2 años.
El multiplicador anual es:
\[ 1-0{,}20 = 0{,}80 \]
Después de 2 años:
\[ C_2 = 500.000(0{,}80)^2 \]
\[ C_2 = 500.000\cdot 0{,}64 = 320.000 \]
El valor del computador después de 2 años es \$320.000.
Ejemplo guiado 3: crecimiento en tabla
Una población inicial de 200 bacterias aumenta un 50% por período.
El multiplicador es:
\[ 1+0{,}50 = 1{,}50 \]
| Período | Cantidad |
|---|---|
| 0 | 200 |
| 1 | \(200\cdot 1{,}5 = 300\) |
| 2 | \(300\cdot 1{,}5 = 450\) |
| 3 | \(450\cdot 1{,}5 = 675\) |
También puede escribirse directamente como:
\[ C_n = 200(1{,}5)^n \]
Porque el mismo multiplicador se aplica una y otra vez. Multiplicar tres veces por \(1{,}10\) es lo mismo que multiplicar por \((1{,}10)^3\).
Los crecimientos y decrecimientos porcentuales constantes aparecen en ahorros, préstamos, depreciación de autos, reajustes de precios, crecimiento de seguidores en redes y variación del valor de algunos bienes.
Ejercicios
Ejercicio 1
Escribe el multiplicador correspondiente a cada caso:
- Crecimiento de 6% por período
- Crecimiento de 15% por período
- Decrecimiento de 8% por período
- Decrecimiento de 25% por período
a) \(1{,}06\)
b) \(1{,}15\)
c) \(0{,}92\)
d) \(0{,}75\)
Ejercicio 2
Un capital de \$80.000 crece un 5% mensual durante 2 meses.
- Escribe la expresión que modela la situación.
- Calcula el capital final.
a)
\[ C_2 = 80.000(1{,}05)^2 \]
b)
\[ C_2 = 80.000\cdot 1{,}1025 = 88.200 \]
El capital final es \$88.200.
Ejercicio 3
Un celular cuesta \$300.000 y pierde un 10% de su valor cada año durante 3 años.
- Escribe la expresión del valor después de 3 años.
- Calcula el valor final.
a)
\[ C_3 = 300.000(0{,}90)^3 \]
b)
\[ C_3 = 300.000\cdot 0{,}729 = 218.700 \]
El valor final es \$218.700.
Ejercicio 4
Completa la tabla para un capital inicial de \$50.000 que crece un 20% por período.
| Período | Valor |
|---|---|
| 0 | \$50.000 |
| 1 | ? |
| 2 | ? |
| 3 | ? |
El multiplicador es \(1{,}20\).
| Período | Valor |
|---|---|
| 0 | \$50.000 |
| 1 | \$60.000 |
| 2 | \$72.000 |
| 3 | \$86.400 |
Ejercicio 5
Una población de 1.000 personas disminuye un 4% cada año.
- Escribe el multiplicador anual.
- Calcula la población después de 2 años.
- Calcula la población después de 3 años.
a) El multiplicador es:
\[ 1-0{,}04 = 0{,}96 \]
b)
\[ 1.000(0{,}96)^2 = 1.000\cdot 0{,}9216 = 921{,}6 \]
Aproximadamente, 922 personas.
c)
\[ 1.000(0{,}96)^3 = 1.000\cdot 0{,}884736 = 884{,}736 \]
Aproximadamente, 885 personas.
Ejercicio 6
Un estudiante dice: “Si algo aumenta 5% cada año durante 4 años, entonces aumenta 20% en total”.
¿Es correcta esa afirmación? Justifica.
No, la afirmación es incorrecta.
En un crecimiento porcentual constante, el porcentaje se aplica cada vez sobre un valor actualizado, no siempre sobre el valor inicial.
Después de 4 años, el factor correcto es:
\[ (1{,}05)^4 = 1{,}21550625 \]
Eso corresponde a un aumento de aproximadamente 21,55%, no de 20%.
Ejercicio 7
Una inversión sigue el modelo:
\[ C_n = 200.000(1{,}08)^n \]
- ¿Cuál es el capital inicial?
- ¿Cuál es el porcentaje de crecimiento por período?
- Calcula el capital al cabo de 2 períodos.
a) El capital inicial es \$200.000.
b) Como el multiplicador es \(1{,}08\), el crecimiento es de 8% por período.
c)
\[ C_2 = 200.000(1{,}08)^2 \]
\[ C_2 = 200.000\cdot 1{,}1664 = 233.280 \]
El capital al cabo de 2 períodos es \$233.280.
Ejercicio 8
El valor de una máquina se modela por:
\[ V_n = 1.200.000(0{,}85)^n \]
- ¿Se trata de crecimiento o decrecimiento?
- ¿Cuál es el porcentaje de cambio por período?
- Calcula el valor después de 2 períodos.
- Interpreta el resultado en contexto.
a) Se trata de decrecimiento, porque el multiplicador es menor que 1.
b) Como \(0{,}85 = 1-0{,}15\), el valor disminuye un 15% por período.
c)
\[ V_2 = 1.200.000(0{,}85)^2 \]
\[ V_2 = 1.200.000\cdot 0{,}7225 = 867.000 \]
d) Después de 2 períodos, la máquina vale \$867.000. Esto significa que ha perdido valor de manera porcentual constante en cada etapa.
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
Si una cantidad crece un 12% por período, ¿cuál es su multiplicador?
- 0,12
- 0,88
- 1,12
- 1,20
\[ 1+0{,}12 = 1{,}12 \]
Alternativa correcta: c
PAES 2
Si una cantidad disminuye un 12% por período, ¿cuál es su multiplicador?
- 1,12
- 0,88
- 0,12
- 1,88
\[ 1-0{,}12 = 0{,}88 \]
Alternativa correcta: b
PAES 3
Una inversión de \$100.000 crece un 10% por período durante 2 períodos. ¿Cuál es el valor final?
- \$110.000
- \$120.000
- \$121.000
- \$130.000
\[ 100.000(1{,}10)^2 = 100.000\cdot 1{,}21 = 121.000 \]
Alternativa correcta: c
PAES 4
Una máquina vale \$400.000 y pierde un 25% de su valor por año. ¿Cuál será su valor después de 1 año?
- \$300.000
- \$325.000
- \$350.000
- \$375.000
El multiplicador es \(0{,}75\).
\[ 400.000\cdot 0{,}75 = 300.000 \]
Alternativa correcta: a
Cierre
En esta página trabajamos el crecimiento y el decrecimiento porcentual constante. Vimos que estos procesos se modelan multiplicando repetidamente por un mismo factor, lo que conduce naturalmente al uso de potencias.
Esta idea será muy importante en las siguientes páginas, cuando estudiemos tasas de variación e interés aplicado al ahorro y al crédito.
- Un crecimiento constante de \(r\%\) usa el factor \(\left(1+\frac{r}{100}\right)\).
- Un decrecimiento constante de \(r\%\) usa el factor \(\left(1-\frac{r}{100}\right)\).
- Después de \(n\) períodos se usa una potencia.
- Estos cambios son multiplicativos, no aditivos.
3. Tasa de variación y lectura de tasas en contexto
Tasa de variación y lectura de tasas en contexto
En la página anterior estudiamos situaciones en que una cantidad cambia por un mismo porcentaje en cada período. Ahora daremos un paso más: aprenderemos a calcular e interpretar la tasa de variación.
La tasa de variación permite describir cómo cambia una cantidad respecto de su valor inicial. En matemática financiera aparece al analizar aumentos de precios, descuentos, crecimiento de un ahorro, disminución del valor de un bien o variaciones de ingresos.
Por eso, no basta con saber que una cantidad cambió: también importa saber cuánto cambió en relación con el valor de partida.
Objetivo de la página
- Comprender qué representa una tasa de variación.
- Calcular tasas de variación en aumentos y disminuciones.
- Interpretar tasas positivas y negativas en contexto.
- Relacionar tasa de variación, porcentaje y multiplicador.
Al finalizar esta página deberías poder:
- Calcular la tasa de variación entre un valor inicial y uno final.
- Expresar una tasa en forma decimal y porcentual.
- Interpretar si una tasa representa crecimiento o decrecimiento.
- Leer tasas en problemas de precios, ahorro, sueldos y otros contextos financieros.
Si una cantidad pasa de un valor inicial \(V_i\) a un valor final \(V_f\), la tasa de variación se calcula como:
\[ \text{tasa de variación}=\frac{V_f-V_i}{V_i} \]
Si se quiere expresar como porcentaje, se multiplica por 100:
\[ \text{tasa porcentual}=\frac{V_f-V_i}{V_i}\cdot 100\% \]
Si conocemos la tasa \(r\) en forma decimal, entonces:
\[ V_f=V_i(1+r) \]
Por eso:
- si \(r>0\), hay crecimiento;
- si \(r<0\), hay decrecimiento.
Además, el multiplicador es:
\[ 1+r \]
La tasa de variación compara el cambio con el valor inicial, no con el valor final. Por eso siempre debes fijarte bien desde qué cantidad estás partiendo.
Confundir el cambio absoluto con la tasa de variación. Por ejemplo, pasar de \$50.000 a \$55.000 significa un cambio de \$5.000, pero la tasa de variación no es 5.000: es \(\frac{5.000}{50.000}=0{,}10\), es decir, 10%.
Resumen de interpretación
| Situación | Tasa decimal | Tasa porcentual | Interpretación |
|---|---|---|---|
| Sube de 100 a 110 | 0,10 | 10% | Crecimiento de 10% |
| Baja de 100 a 90 | -0,10 | -10% | Disminución de 10% |
| Sube de 200 a 250 | 0,25 | 25% | Crecimiento de 25% |
| Baja de 80 a 60 | -0,25 | -25% | Disminución de 25% |
Ejemplo guiado 1: aumento en contexto
El precio de un producto cambia de \$40.000 a \$46.000.
Primero calculamos el cambio:
\[ 46.000-40.000=6.000 \]
Luego dividimos por el valor inicial:
\[ \frac{6.000}{40.000}=0{,}15 \]
Como porcentaje:
\[ 0{,}15=15\% \]
La tasa de variación es 15%. Esto significa que el precio aumentó un 15% respecto del valor inicial.
Ejemplo guiado 2: disminución en contexto
El valor de una bicicleta baja de \$120.000 a \$96.000.
Calculamos el cambio:
\[ 96.000-120.000=-24.000 \]
Luego:
\[ \frac{-24.000}{120.000}=-0{,}20 \]
Como porcentaje:
\[ -0{,}20=-20\% \]
La tasa de variación es -20%. Esto significa que el valor de la bicicleta disminuyó un 20%.
Ejemplo guiado 3: relacionar tasa y multiplicador
Un capital aumenta de \$80.000 a \$92.000.
La tasa de variación es:
\[ \frac{92.000-80.000}{80.000}=\frac{12.000}{80.000}=0{,}15 \]
Entonces la tasa porcentual es 15%.
El multiplicador asociado es:
\[ 1+0{,}15=1{,}15 \]
Y efectivamente:
\[ 80.000\cdot 1{,}15=92.000 \]
Así, una tasa de variación de 15% corresponde a multiplicar por 1,15.
Una tasa positiva indica crecimiento respecto del valor inicial. Una tasa negativa indica disminución. El signo importa mucho: \(12\%\) y \(-12\%\) no describen la misma situación.
Las tasas de variación se usan para describir inflación, reajustes salariales, variación del precio del dólar, crecimiento de un ahorro, disminución del valor de un auto o cambios en cuotas y costos financieros.
Ejercicios
Ejercicio 1
Calcula la tasa de variación y exprésala como porcentaje:
- De \$50.000 a \$55.000
- De 80 a 92
- De 200 a 250
a)
\[ \frac{55.000-50.000}{50.000}=\frac{5.000}{50.000}=0{,}10 \]
Tasa: 10%.
b)
\[ \frac{92-80}{80}=\frac{12}{80}=0{,}15 \]
Tasa: 15%.
c)
\[ \frac{250-200}{200}=\frac{50}{200}=0{,}25 \]
Tasa: 25%.
Ejercicio 2
Calcula la tasa de variación y exprésala como porcentaje:
- De \$90.000 a \$81.000
- De 120 a 102
- De 500 a 450
a)
\[ \frac{81.000-90.000}{90.000}=\frac{-9.000}{90.000}=-0{,}10 \]
Tasa: -10%.
b)
\[ \frac{102-120}{120}=\frac{-18}{120}=-0{,}15 \]
Tasa: -15%.
c)
\[ \frac{450-500}{500}=\frac{-50}{500}=-0{,}10 \]
Tasa: -10%.
Ejercicio 3
Un sueldo sube de \$750.000 a \$810.000.
- Calcula la variación absoluta.
- Calcula la tasa de variación.
- Interpreta el resultado en contexto.
a)
\[ 810.000-750.000=60.000 \]
b)
\[ \frac{60.000}{750.000}=0{,}08 \]
La tasa es 8%.
c) El sueldo aumentó en \$60.000, lo que corresponde a un 8% respecto del sueldo inicial.
Ejercicio 4
El valor de un computador baja de \$600.000 a \$510.000.
- Calcula la variación absoluta.
- Calcula la tasa de variación.
- Interpreta el resultado en contexto.
a)
\[ 510.000-600.000=-90.000 \]
b)
\[ \frac{-90.000}{600.000}=-0{,}15 \]
La tasa es -15%.
c) El computador disminuyó su valor en \$90.000, lo que corresponde a una baja de 15% respecto del valor inicial.
Ejercicio 5
Completa la siguiente tabla:
| Valor inicial | Valor final | Tasa decimal | Tasa porcentual |
|---|---|---|---|
| 100 | 120 | ? | ? |
| 200 | 150 | ? | ? |
| \$40.000 | \$44.000 | ? | ? |
| \$80.000 | \$68.000 | ? | ? |
| Valor inicial | Valor final | Tasa decimal | Tasa porcentual |
|---|---|---|---|
| 100 | 120 | 0,20 | 20% |
| 200 | 150 | -0,25 | -25% |
| \$40.000 | \$44.000 | 0,10 | 10% |
| \$80.000 | \$68.000 | -0,15 | -15% |
Ejercicio 6
Relaciona cada tasa con su multiplicador:
- \(r=0{,}12\)
- \(r=-0{,}08\)
- \(r=0{,}25\)
- \(r=-0{,}30\)
Escribe el multiplicador en cada caso.
Como el multiplicador es \(1+r\):
a) \(1+0{,}12=1{,}12\)
b) \(1-0{,}08=0{,}92\)
c) \(1+0{,}25=1{,}25\)
d) \(1-0{,}30=0{,}70\)
Ejercicio 7
Una inversión se modela por:
\[ C_1 = C_0(1{,}06) \]
- ¿Cuál es la tasa de variación?
- ¿Corresponde a crecimiento o decrecimiento?
- Interpreta esa tasa en contexto.
a) Como el multiplicador es \(1{,}06\), la tasa es:
\[ r=1{,}06-1=0{,}06 \]
Es decir, 6%.
b) Corresponde a crecimiento.
c) Significa que el capital aumenta un 6% respecto del valor inicial del período considerado.
Ejercicio 8
Un estudiante afirma: “Si la tasa de variación es \(-0{,}12\), entonces la cantidad disminuyó 0,12 unidades”.
¿Es correcta esa afirmación? Justifica.
No, la afirmación es incorrecta.
La tasa \(-0{,}12\) no representa una disminución de 0,12 unidades, sino una disminución de 12% respecto del valor inicial.
La tasa de variación es una medida relativa, no un cambio absoluto.
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
Una cantidad cambia de 80 a 100. ¿Cuál es su tasa de variación porcentual?
- 20%
- 25%
- 15%
- 80%
\[ \frac{100-80}{80}=\frac{20}{80}=0{,}25 \]
La tasa es 25%.
Alternativa correcta: b
PAES 2
Un precio baja de \$50.000 a \$45.000. ¿Cuál es la tasa de variación porcentual?
- -5%
- -10%
- 10%
- 5%
\[ \frac{45.000-50.000}{50.000}=\frac{-5.000}{50.000}=-0{,}10 \]
La tasa es -10%.
Alternativa correcta: b
PAES 3
Si una cantidad tiene tasa de variación \(r=0{,}08\), ¿cuál es el multiplicador asociado?
- 0,08
- 0,92
- 1,08
- 1,80
\[ 1+r=1+0{,}08=1{,}08 \]
Alternativa correcta: c
PAES 4
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
- Una tasa negativa indica crecimiento.
- La tasa de variación se calcula dividiendo por el valor final.
- Una tasa de 15% significa que la cantidad cambió en relación con el valor inicial.
- La tasa de variación y la variación absoluta siempre coinciden.
La afirmación correcta es la c.
Alternativa correcta: c
Cierre
En esta página aprendimos a calcular e interpretar tasas de variación. Vimos que una tasa permite describir un cambio en relación con el valor inicial, y que puede expresarse en forma decimal, porcentual o mediante un multiplicador.
Esta idea será muy importante en las próximas páginas, porque servirá para entender mejor el interés aplicado al ahorro y el interés aplicado al crédito.
- La tasa de variación compara el cambio con el valor inicial.
- Una tasa positiva indica crecimiento.
- Una tasa negativa indica disminución.
- El multiplicador asociado es \(1+r\).
4. Interés aplicado al ahorro
Interés aplicado al ahorro
En las páginas anteriores trabajamos porcentajes, crecimiento porcentual constante y tasas de variación. Ahora aplicaremos esas ideas a un contexto financiero muy importante: el ahorro.
Cuando una persona deposita dinero en una cuenta de ahorro o en un instrumento financiero sencillo, puede recibir una ganancia llamada interés. Esa ganancia depende del capital inicial, de la tasa aplicada y del tiempo durante el cual el dinero permanece ahorrado.
En esta página aprenderemos a interpretar y calcular el interés en situaciones de ahorro, distinguiendo entre el capital inicial, el interés ganado y el monto final.
Objetivo de la página
- Comprender qué significa interés en contextos de ahorro.
- Identificar capital inicial, tasa de interés, interés ganado y monto final.
- Calcular el monto acumulado en situaciones simples de ahorro.
- Relacionar el ahorro con crecimiento porcentual constante.
Al finalizar esta página deberías poder:
- Calcular el interés ganado en un período.
- Calcular el monto final después de uno o varios períodos.
- Interpretar una tasa de interés en contexto.
- Comparar alternativas sencillas de ahorro.
En problemas de ahorro usaremos estas ideas:
- Capital inicial: dinero con el que se comienza a ahorrar.
- Tasa de interés: porcentaje que gana el capital en cada período.
- Interés: ganancia obtenida.
- Monto final: capital inicial más interés ganado.
Si el capital inicial es \(C\) y la tasa es \(i\), entonces:
\[ I=C\cdot i \]
\[ M=C+I \]
Equivalentemente:
\[ M=C(1+i) \]
donde \(i\) se expresa en forma decimal. Por ejemplo, \(6\%=0{,}06\).
Si la misma tasa se aplica en cada período y el dinero sigue ahorrado, entonces el monto evoluciona como un crecimiento porcentual constante:
\[ M_n=C_0(1+i)^n \]
donde:
- \(C_0\) es el capital inicial,
- \(i\) es la tasa por período,
- \(n\) es el número de períodos.
El interés total ganado después de \(n\) períodos es:
\[ I_{\text{total}}=M_n-C_0 \]
Ahorrar con interés significa que el dinero crece con el tiempo. Por eso, en muchos casos, el monto final se obtiene multiplicando por un mismo factor en cada período.
No confundas interés ganado con monto final. El interés es solo la ganancia; el monto final incluye el capital inicial más esa ganancia.
Resumen de fórmulas
| Situación | Fórmula | Interpretación |
|---|---|---|
| Interés en un período | \(I=C\cdot i\) | Ganancia obtenida en un período |
| Monto en un período | \(M=C(1+i)\) | Capital inicial más interés |
| Monto en varios períodos | \(M_n=C_0(1+i)^n\) | Crecimiento del ahorro en el tiempo |
| Interés total | \(M_n-C_0\) | Ganancia acumulada |
Ejemplo guiado 1: interés en un período
Una persona ahorra \$200.000 a una tasa de 5% mensual durante 1 mes.
Primero expresamos la tasa en decimal:
\[ 5\%=0{,}05 \]
Luego calculamos el interés:
\[ I=200.000\cdot 0{,}05=10.000 \]
El monto final es:
\[ M=200.000+10.000=210.000 \]
La persona gana \$10.000 de interés y termina con \$210.000.
Ejemplo guiado 2: ahorro durante varios meses
Un capital inicial de \$100.000 se ahorra a una tasa de 4% mensual durante 3 meses.
El multiplicador mensual es:
\[ 1+0{,}04=1{,}04 \]
Entonces:
\[ M_3=100.000(1{,}04)^3 \]
\[ M_3=100.000\cdot 1{,}124864=112.486{,}4 \]
El monto final es aproximadamente \$112.486.
El interés total ganado es:
\[ 112.486{,}4-100.000=12.486{,}4 \]
Es decir, aproximadamente \$12.486.
Ejemplo guiado 3: comparar dos alternativas
Una persona puede ahorrar \$300.000 en una de estas dos opciones durante 1 mes:
- Opción A: 3% mensual
- Opción B: 4% mensual
Opción A
\[ M=300.000(1{,}03)=309.000 \]
Opción B
\[ M=300.000(1{,}04)=312.000 \]
La opción B entrega un monto final mayor, porque la tasa de interés es más alta.
El ahorro con interés usa exactamente la idea de crecimiento porcentual constante. La diferencia es que ahora la cantidad representa dinero y el contexto es financiero.
Las cuentas de ahorro, los depósitos a plazo y otros instrumentos financieros ofrecen tasas que permiten proyectar cuánto puede crecer un capital con el tiempo. Saber interpretar esas tasas ayuda a tomar mejores decisiones financieras.
Ejercicios
Ejercicio 1
Identifica en cada caso el capital inicial, la tasa de interés y el período:
- “Se ahorran \$150.000 al 6% mensual durante 1 mes”.
- “Se depositan \$500.000 al 3% anual durante 2 años”.
- “Se invierten \$80.000 al 4% mensual durante 5 meses”.
a) Capital inicial: \$150.000; tasa: 6% mensual; período: 1 mes.
b) Capital inicial: \$500.000; tasa: 3% anual; período: 2 años.
c) Capital inicial: \$80.000; tasa: 4% mensual; período: 5 meses.
Ejercicio 2
Una persona ahorra \$250.000 a una tasa de 8% anual durante 1 año.
- Calcula el interés ganado.
- Calcula el monto final.
a)
\[ I=250.000\cdot 0{,}08=20.000 \]
El interés ganado es \$20.000.
b)
\[ M=250.000+20.000=270.000 \]
El monto final es \$270.000.
Ejercicio 3
Un capital inicial de \$120.000 se ahorra al 5% mensual durante 2 meses.
- Escribe la expresión que modela el monto final.
- Calcula el monto final.
- Calcula el interés total ganado.
a)
\[ M_2=120.000(1{,}05)^2 \]
b)
\[ M_2=120.000\cdot 1{,}1025=132.300 \]
El monto final es \$132.300.
c)
\[ 132.300-120.000=12.300 \]
El interés total ganado es \$12.300.
Ejercicio 4
Completa la tabla para un ahorro inicial de \$100.000 al 10% por período.
| Período | Monto |
|---|---|
| 0 | \$100.000 |
| 1 | ? |
| 2 | ? |
| 3 | ? |
El multiplicador es \(1{,}10\).
| Período | Monto |
|---|---|
| 0 | \$100.000 |
| 1 | \$110.000 |
| 2 | \$121.000 |
| 3 | \$133.100 |
Ejercicio 5
Una libreta de ahorro ofrece una tasa de 3% mensual. Si se depositan \$400.000 y no se retira dinero durante 2 meses:
- Calcula el monto final.
- Calcula el interés total ganado.
- Interpreta el resultado en contexto.
a)
\[ M_2=400.000(1{,}03)^2 \]
\[ M_2=400.000\cdot 1{,}0609=424.360 \]
El monto final es \$424.360.
b)
\[ 424.360-400.000=24.360 \]
El interés total ganado es \$24.360.
c) Esto significa que, al dejar ahorrados los \$400.000 durante 2 meses a esa tasa, la persona aumenta su ahorro y obtiene una ganancia de \$24.360.
Ejercicio 6
Compara estas dos alternativas para ahorrar \$200.000 durante 1 mes:
- Alternativa A: 2% mensual
- Alternativa B: 3,5% mensual
Calcula el monto final en cada caso y decide cuál conviene más.
Alternativa A
\[ 200.000(1{,}02)=204.000 \]
Alternativa B
\[ 200.000(1{,}035)=207.000 \]
Conviene más la alternativa B, porque entrega un monto final mayor.
Ejercicio 7
Una inversión se modela por:
\[ M_n=500.000(1{,}04)^n \]
- ¿Cuál es el capital inicial?
- ¿Cuál es la tasa por período?
- Calcula el monto al cabo de 2 períodos.
a) El capital inicial es \$500.000.
b) La tasa es 4% por período.
c)
\[ M_2=500.000(1{,}04)^2 \]
\[ M_2=500.000\cdot 1{,}0816=540.800 \]
El monto al cabo de 2 períodos es \$540.800.
Ejercicio 8
Un estudiante afirma: “Si una cuenta de ahorro paga 5% mensual, entonces en 3 meses basta con sumar 15% al capital inicial”.
¿Es correcta esa afirmación? Justifica.
No, la afirmación es incorrecta.
Cuando el ahorro gana interés cada período, el porcentaje vuelve a aplicarse sobre un monto actualizado. Por eso corresponde multiplicar por \((1{,}05)^3\), no sumar directamente 15%.
\[ (1{,}05)^3=1{,}157625 \]
Eso equivale a un crecimiento aproximado de 15,76%, no exactamente 15%.
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
Una persona ahorra \$100.000 a una tasa de 6% por un período. ¿Cuál es el interés ganado?
- \$6.000
- \$16.000
- \$106.000
- \$600
\[ I=100.000\cdot 0{,}06=6.000 \]
Alternativa correcta: a
PAES 2
Una persona deposita \$250.000 a una tasa de 4% por un período. ¿Cuál es el monto final?
- \$254.000
- \$260.000
- \$240.000
- \$275.000
\[ M=250.000(1{,}04)=260.000 \]
Alternativa correcta: b
PAES 3
Si un ahorro se modela por \(M_n=C_0(1{,}03)^n\), entonces la tasa por período es:
- 0,03%
- 3%
- 30%
- 103%
El factor \(1{,}03\) corresponde a una tasa de 3%.
Alternativa correcta: b
PAES 4
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
- El interés es igual al monto final.
- El monto final se obtiene restando la tasa al capital.
- En el ahorro, una tasa positiva hace crecer el capital.
- El capital inicial siempre cambia de signo.
La afirmación verdadera es la c.
Alternativa correcta: c
Cierre
En esta página aplicamos porcentajes y tasas al contexto del ahorro. Vimos cómo calcular interés, monto final e interés total ganado, y también cómo modelar el crecimiento del capital durante varios períodos.
La siguiente página trabajará una idea relacionada, pero desde otra perspectiva: el interés aplicado al crédito, donde ya no se analiza cuánto gana una persona por ahorrar, sino cuánto termina pagando al pedir dinero prestado.
- El interés es la ganancia obtenida por ahorrar.
- El monto final es capital inicial más interés.
- Con tasa constante, el ahorro crece multiplicativamente.
- El interés total se obtiene restando el capital inicial al monto final.
5. Interés aplicado al crédito
Interés aplicado al crédito
En la página anterior estudiamos el interés aplicado al ahorro, donde una persona gana dinero por mantener un capital guardado durante un tiempo.
Ahora analizaremos la situación opuesta: el interés aplicado al crédito. Cuando una persona pide dinero prestado, normalmente debe devolver no solo el capital recibido, sino también un monto adicional llamado interés.
Por eso, al trabajar con crédito es muy importante distinguir entre el dinero prestado, el interés cobrado y el total que finalmente se paga.
Objetivo de la página
- Comprender qué significa interés en contextos de crédito.
- Identificar capital prestado, tasa de interés, interés cobrado y total a pagar.
- Calcular el monto a pagar en situaciones simples de crédito.
- Relacionar el crédito con crecimiento porcentual constante de una deuda.
Al finalizar esta página deberías poder:
- Calcular el interés cobrado en un período.
- Calcular el total a pagar después de uno o varios períodos.
- Interpretar una tasa de interés de crédito en contexto.
- Comparar de manera básica dos créditos simples.
En problemas de crédito usaremos estas ideas:
- Capital prestado: dinero que la persona recibe al inicio.
- Tasa de interés: porcentaje que se cobra por período sobre la deuda.
- Interés: monto adicional que se paga por usar ese dinero.
- Total a pagar: capital prestado más interés.
Si se pide prestado un capital \(C\) y la tasa por período es \(i\), entonces:
\[ I=C\cdot i \]
\[ M=C+I \]
Equivalentemente:
\[ M=C(1+i) \]
donde \(i\) se expresa en forma decimal.
Si la deuda no se paga y sigue creciendo con la misma tasa en cada período, entonces puede modelarse por:
\[ D_n=C_0(1+i)^n \]
donde:
- \(C_0\) es el capital inicialmente prestado,
- \(i\) es la tasa por período,
- \(n\) es el número de períodos.
El interés total acumulado después de \(n\) períodos es:
\[ I_{\text{total}}=D_n-C_0 \]
En un crédito, el interés representa un costo. Mientras mayor sea la tasa o mayor sea el tiempo, normalmente mayor será el total a pagar.
No confundas el capital prestado con el total a pagar. Si te prestan \$200.000 y la tasa genera \$20.000 de interés, entonces no se pagan \$20.000 en total: se pagan \$220.000.
Resumen de fórmulas
| Situación | Fórmula | Interpretación |
|---|---|---|
| Interés en un período | \(I=C\cdot i\) | Costo adicional del crédito en un período |
| Total a pagar en un período | \(M=C(1+i)\) | Capital más interés |
| Deuda en varios períodos | \(D_n=C_0(1+i)^n\) | Crecimiento de la deuda con tasa constante |
| Interés total acumulado | \(D_n-C_0\) | Diferencia entre deuda final y capital prestado |
Ejemplo guiado 1: crédito en un período
Una persona pide un crédito de \$300.000 con una tasa de 6% mensual por 1 mes.
Primero expresamos la tasa en decimal:
\[ 6\%=0{,}06 \]
Luego calculamos el interés:
\[ I=300.000\cdot 0{,}06=18.000 \]
El total a pagar es:
\[ M=300.000+18.000=318.000 \]
La persona debe pagar \$18.000 de interés y el total a devolver es \$318.000.
Ejemplo guiado 2: deuda que crece durante varios meses
Una deuda inicial de \$100.000 crece a una tasa de 5% mensual durante 3 meses.
El multiplicador mensual es:
\[ 1+0{,}05=1{,}05 \]
Entonces:
\[ D_3=100.000(1{,}05)^3 \]
\[ D_3=100.000\cdot 1{,}157625=115.762{,}5 \]
La deuda final es aproximadamente \$115.763.
El interés total acumulado es:
\[ 115.762{,}5-100.000=15.762{,}5 \]
Es decir, aproximadamente \$15.763.
Ejemplo guiado 3: comparación básica de dos créditos
Una persona necesita pedir un crédito de \$200.000 por 1 mes y tiene estas dos opciones:
- Opción A: 4% mensual
- Opción B: 6% mensual
Opción A
\[ M=200.000(1{,}04)=208.000 \]
Opción B
\[ M=200.000(1{,}06)=212.000 \]
La opción A conviene más, porque genera un menor total a pagar.
En el ahorro, una tasa mayor suele ser conveniente porque hace crecer más rápido el capital. En cambio, en el crédito, una tasa mayor suele significar un mayor costo, porque hace crecer más rápido la deuda.
El interés aplicado al crédito aparece en préstamos, avances, compras financiadas y deudas que no se pagan de inmediato. Entenderlo permite interpretar mejor cuánto cuesta realmente pedir dinero prestado.
Ejercicios
Ejercicio 1
Identifica en cada caso el capital prestado, la tasa y el período:
- “Se pide un crédito de \$150.000 al 5% mensual durante 1 mes”.
- “Se reciben \$500.000 con una tasa de 3% mensual durante 2 meses”.
- “Se solicita un préstamo de \$80.000 al 4% mensual durante 6 meses”.
a) Capital prestado: \$150.000; tasa: 5% mensual; período: 1 mes.
b) Capital prestado: \$500.000; tasa: 3% mensual; período: 2 meses.
c) Capital prestado: \$80.000; tasa: 4% mensual; período: 6 meses.
Ejercicio 2
Una persona pide un crédito de \$250.000 a una tasa de 8% por 1 período.
- Calcula el interés.
- Calcula el total a pagar.
a)
\[ I=250.000\cdot 0{,}08=20.000 \]
El interés es \$20.000.
b)
\[ M=250.000+20.000=270.000 \]
El total a pagar es \$270.000.
Ejercicio 3
Un crédito de \$120.000 tiene una tasa de 5% mensual durante 2 meses, sin pago intermedio.
- Escribe la expresión que modela la deuda final.
- Calcula la deuda final.
- Calcula el interés total acumulado.
a)
\[ D_2=120.000(1{,}05)^2 \]
b)
\[ D_2=120.000\cdot 1{,}1025=132.300 \]
La deuda final es \$132.300.
c)
\[ 132.300-120.000=12.300 \]
El interés total acumulado es \$12.300.
Ejercicio 4
Completa la tabla para una deuda inicial de \$100.000 que crece un 10% por período.
| Período | Deuda |
|---|---|
| 0 | \$100.000 |
| 1 | ? |
| 2 | ? |
| 3 | ? |
El multiplicador es \(1{,}10\).
| Período | Deuda |
|---|---|
| 0 | \$100.000 |
| 1 | \$110.000 |
| 2 | \$121.000 |
| 3 | \$133.100 |
Ejercicio 5
Un préstamo de \$400.000 tiene una tasa de 3% mensual y no se paga durante 2 meses.
- Calcula la deuda final.
- Calcula el interés total acumulado.
- Interpreta el resultado en contexto.
a)
\[ D_2=400.000(1{,}03)^2 \]
\[ D_2=400.000\cdot 1{,}0609=424.360 \]
La deuda final es \$424.360.
b)
\[ 424.360-400.000=24.360 \]
El interés total acumulado es \$24.360.
c) Esto significa que, al no pagar durante 2 meses, la deuda aumenta y la persona termina debiendo \$24.360 más que el capital originalmente prestado.
Ejercicio 6
Compara estas dos alternativas para pedir un crédito de \$200.000 por 1 período:
- Alternativa A: 2% mensual
- Alternativa B: 3,5% mensual
Calcula el total a pagar en cada caso y decide cuál conviene más.
Alternativa A
\[ 200.000(1{,}02)=204.000 \]
Alternativa B
\[ 200.000(1{,}035)=207.000 \]
Conviene más la alternativa A, porque genera un menor total a pagar.
Ejercicio 7
Una deuda se modela por:
\[ D_n=500.000(1{,}04)^n \]
- ¿Cuál es el capital inicial prestado?
- ¿Cuál es la tasa por período?
- Calcula la deuda al cabo de 2 períodos.
a) El capital inicial prestado es \$500.000.
b) La tasa es 4% por período.
c)
\[ D_2=500.000(1{,}04)^2 \]
\[ D_2=500.000\cdot 1{,}0816=540.800 \]
La deuda al cabo de 2 períodos es \$540.800.
Ejercicio 8
Un estudiante afirma: “Si un crédito cobra 5% mensual, entonces en 3 meses basta con sumar 15% al capital inicial para saber cuánto se debe”.
¿Es correcta esa afirmación? Justifica.
No, la afirmación es incorrecta.
Cuando la deuda crece con interés cada período, el porcentaje vuelve a aplicarse sobre un monto actualizado. Por eso corresponde multiplicar por \((1{,}05)^3\), no sumar directamente 15%.
\[ (1{,}05)^3=1{,}157625 \]
Eso equivale a un crecimiento aproximado de 15,76%, no exactamente 15%.
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
Una persona pide un crédito de \$100.000 a una tasa de 6% por un período. ¿Cuál es el interés que debe pagar?
- \$6.000
- \$16.000
- \$106.000
- \$600
\[ I=100.000\cdot 0{,}06=6.000 \]
Alternativa correcta: a
PAES 2
Una persona recibe \$250.000 en un crédito a una tasa de 4% por un período. ¿Cuál es el total a pagar?
- \$254.000
- \$260.000
- \$240.000
- \$275.000
\[ M=250.000(1{,}04)=260.000 \]
Alternativa correcta: b
PAES 3
Si una deuda se modela por \(D_n=C_0(1{,}03)^n\), entonces la tasa por período es:
- 0,03%
- 3%
- 30%
- 103%
El factor \(1{,}03\) corresponde a una tasa de 3%.
Alternativa correcta: b
PAES 4
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
- En un crédito, una tasa más alta suele reducir el total a pagar.
- El interés es el capital inicial.
- En un crédito, una tasa positiva hace crecer la deuda.
- El total a pagar siempre es menor que el capital prestado.
La afirmación verdadera es la c.
Alternativa correcta: c
Cierre
En esta página aplicamos porcentajes y tasas al contexto del crédito. Vimos cómo calcular interés, total a pagar e interés acumulado, y también cómo modelar el crecimiento de una deuda durante varios períodos.
La siguiente página trabajará la lectura e interpretación de información financiera, especialmente cuotas, costo total y comparación de alternativas, para poder analizar situaciones más cercanas a decisiones reales.
- El capital prestado es el dinero recibido al inicio.
- El interés es el costo adicional por usar ese dinero.
- El total a pagar es capital más interés.
- Con tasa constante, la deuda crece multiplicativamente.
6. Lectura e interpretación de información financiera: cuotas, costo total y comparación de alternativas
Lectura e interpretación de información financiera: cuotas, costo total y comparación de alternativas
En las páginas anteriores trabajamos porcentaje, tasas, ahorro y crédito. Ahora daremos un paso muy importante: leer e interpretar información financiera en contextos cercanos a decisiones reales.
Cuando una tienda ofrece pagar “en 12 cuotas”, cuando un banco informa un monto final o cuando se comparan dos planes de pago, no basta con mirar un solo número. Es necesario observar con atención las cuotas, el costo total y las condiciones de cada alternativa.
En esta página aprenderemos a interpretar esa información para comparar opciones de manera razonada.
Objetivo de la página
- Leer información financiera presentada en tablas, avisos o planes de pago.
- Interpretar el significado de una cuota y del costo total.
- Comparar alternativas de pago según distintos criterios.
- Tomar decisiones justificadas a partir de datos financieros simples.
Al finalizar esta página deberías poder:
- Calcular el total pagado cuando conoces el valor de la cuota y el número de cuotas.
- Distinguir entre valor al contado, monto financiado y costo total.
- Comparar dos o más alternativas de compra o crédito.
- Justificar cuál alternativa conviene más según el contexto.
En esta página trabajaremos con tres conceptos muy importantes:
- Cuota: monto que se paga en cada período.
- Número de cuotas: cantidad de pagos que se realizarán.
- Costo total: suma de todo lo que finalmente se paga.
Si no hay pago inicial o pie, entonces:
\[ \text{costo total} = \text{valor de la cuota}\cdot \text{número de cuotas} \]
Si además existe un pago inicial, entonces:
\[ \text{costo total} = \text{pago inicial} + (\text{valor de la cuota}\cdot \text{número de cuotas}) \]
Si conocemos el valor al contado de un producto, podemos comparar cuánto más se paga al financiarlo:
\[ \text{diferencia} = \text{costo total financiado} - \text{valor al contado} \]
Si la diferencia es positiva, entonces financiar significa pagar más que al contado.
La cuota más baja no siempre significa la mejor alternativa. A veces una cuota pequeña se reparte en muchas mensualidades y termina dando un costo total mayor.
Fijarse solo en “cuánto pago al mes” y olvidar “cuánto pago en total”. Para comparar planes, conviene mirar ambas cosas: la cuota y el costo total.
Resumen de lectura financiera
| Dato | Qué indica | Pregunta útil |
|---|---|---|
| Valor al contado | Precio pagando de una vez | ¿Cuánto cuesta sin financiamiento? |
| Cuota | Monto de cada pago | ¿Cuánto debo pagar en cada período? |
| Número de cuotas | Cantidad de pagos | ¿Durante cuánto tiempo pagaré? |
| Costo total | Suma final de todos los pagos | ¿Cuánto terminaré pagando realmente? |
| Diferencia con contado | Sobreprecio por financiar | ¿Cuánto más pago por no comprar al contado? |
Ejemplo guiado 1: calcular costo total desde las cuotas
Una tienda ofrece un televisor en 8 cuotas de \$32.000.
Como no se indica pago inicial, el costo total se obtiene multiplicando:
\[ 8\cdot 32.000 = 256.000 \]
Por lo tanto, el costo total del televisor en ese plan es \$256.000.
Ejemplo guiado 2: comparar contado y financiamiento
Un refrigerador cuesta \$300.000 al contado o 10 cuotas de \$34.500.
Primero calculamos el costo total financiado:
\[ 10\cdot 34.500 = 345.000 \]
Luego comparamos con el contado:
\[ 345.000 - 300.000 = 45.000 \]
Esto significa que pagar en cuotas cuesta \$45.000 más que pagar al contado.
Ejemplo guiado 3: comparar dos alternativas
Para comprar un notebook, una tienda ofrece estas opciones:
| Alternativa | Condición |
|---|---|
| A | 12 cuotas de \$28.000 |
| B | 8 cuotas de \$39.000 |
Alternativa A
\[ 12\cdot 28.000 = 336.000 \]
Alternativa B
\[ 8\cdot 39.000 = 312.000 \]
La alternativa B tiene mayor cuota, pero menor costo total.
Esto muestra que una cuota más baja no garantiza pagar menos en total.
No siempre existe una única respuesta automática. Si el criterio es pagar menos en total, suele convenir el menor costo total. Pero si la persona necesita una cuota más baja para que el pago mensual sea posible, podría elegir otra alternativa.
Al comprar electrodomésticos, pedir un crédito o contratar un plan, es común encontrar información como “sin pie”, “en cuotas”, “valor total” o “pago mensual”. Entender esos datos ayuda a evitar decisiones basadas solo en la publicidad o en el valor de una sola cuota.
Ejercicios
Ejercicio 1
Calcula el costo total en cada caso:
- 6 cuotas de \$18.000
- 10 cuotas de \$12.500
- 4 cuotas de \$55.000
a)
\[ 6\cdot 18.000 = 108.000 \]
b)
\[ 10\cdot 12.500 = 125.000 \]
c)
\[ 4\cdot 55.000 = 220.000 \]
Ejercicio 2
Un celular cuesta \$180.000 al contado o 9 cuotas de \$22.000.
- Calcula el costo total en cuotas.
- ¿Cuánto más se paga que al contado?
- Redacta una conclusión breve.
a)
\[ 9\cdot 22.000 = 198.000 \]
b)
\[ 198.000 - 180.000 = 18.000 \]
c) Pagar en cuotas permite repartir el pago, pero hace que el celular cueste \$18.000 más que al contado.
Ejercicio 3
Una lavadora tiene estas opciones:
| Opción | Plan de pago |
|---|---|
| A | 12 cuotas de \$26.000 |
| B | 6 cuotas de \$48.000 |
- Calcula el costo total de cada opción.
- ¿Cuál tiene menor costo total?
- ¿Cuál tiene menor cuota?
a)
Opción A:
\[ 12\cdot 26.000 = 312.000 \]
Opción B:
\[ 6\cdot 48.000 = 288.000 \]
b) La opción con menor costo total es la B.
c) La opción con menor cuota es la A.
Ejercicio 4
Un producto se ofrece con un pago inicial de \$40.000 y luego 8 cuotas de \$15.000.
- Calcula el costo total.
- Explica qué papel cumple el pago inicial en el cálculo.
a)
\[ 40.000 + 8\cdot 15.000 \]
\[ 40.000 + 120.000 = 160.000 \]
El costo total es \$160.000.
b) El pago inicial forma parte del total pagado, por eso debe sumarse al valor de todas las cuotas.
Ejercicio 5
Observa la siguiente oferta:
| Producto | Contado | Financiado |
|---|---|---|
| Notebook | \$420.000 | 10 cuotas de \$46.000 |
- Calcula el costo total financiado.
- Calcula la diferencia con el contado.
- Interpreta esa diferencia.
a)
\[ 10\cdot 46.000 = 460.000 \]
b)
\[ 460.000 - 420.000 = 40.000 \]
c) La diferencia indica que financiar el notebook hace que se paguen \$40.000 adicionales respecto del valor al contado.
Ejercicio 6
Una persona puede comprar un mueble de estas dos formas:
| Plan | Condición |
|---|---|
| A | \$90.000 al contado |
| B | 5 cuotas de \$20.000 |
- Calcula el costo total del plan B.
- Compara ambos planes.
- ¿Cuál conviene más si el criterio es pagar menos en total?
a)
\[ 5\cdot 20.000 = 100.000 \]
b) El plan A cuesta \$90.000 y el plan B cuesta \$100.000.
c) Si el criterio es pagar menos en total, conviene más el plan A.
Ejercicio 7
Un estudiante afirma: “Siempre conviene elegir la opción con menor cuota”.
¿Es correcta esa afirmación? Justifica con una explicación financiera breve.
No, la afirmación es incorrecta.
Una cuota menor puede venir acompañada de un mayor número de pagos, lo que puede producir un costo total más alto. Para decidir bien hay que mirar tanto la cuota como el total pagado.
Ejercicio 8
Compara las siguientes alternativas para comprar una cocina:
| Alternativa | Condición |
|---|---|
| A | \$240.000 al contado |
| B | 12 cuotas de \$22.000 |
| C | Pago inicial de \$30.000 y 8 cuotas de \$27.000 |
- Calcula el costo total de cada alternativa.
- Ordénalas desde la de menor a la de mayor costo total.
- Indica cuál tiene la cuota más baja.
- Redacta una conclusión comparativa.
a)
Alternativa A:
\[ 240.000 \]
Alternativa B:
\[ 12\cdot 22.000 = 264.000 \]
Alternativa C:
\[ 30.000 + 8\cdot 27.000 \]
\[ 30.000 + 216.000 = 246.000 \]
b) De menor a mayor costo total:
- A: \$240.000
- C: \$246.000
- B: \$264.000
c) La cuota más baja es la de la alternativa B: \$22.000.
d) Si el criterio es pagar menos en total, conviene la alternativa A. Si se necesita repartir el pago, la alternativa C cuesta menos que la B, aunque la B tenga la cuota más baja.
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
Un artículo se vende en 8 cuotas de \$15.000, sin pago inicial. ¿Cuál es su costo total?
- \$105.000
- \$110.000
- \$120.000
- \$125.000
\[ 8\cdot 15.000 = 120.000 \]
Alternativa correcta: c
PAES 2
Un producto cuesta \$150.000 al contado o 6 cuotas de \$28.000. ¿Cuánto más se paga en cuotas?
- \$12.000
- \$18.000
- \$22.000
- \$28.000
\[ 6\cdot 28.000 = 168.000 \]
\[ 168.000 - 150.000 = 18.000 \]
Alternativa correcta: b
PAES 3
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
- La cuota más baja siempre implica menor costo total.
- El costo total se calcula sumando el número de cuotas con el valor de cada cuota.
- Para comparar alternativas de pago conviene mirar cuota y costo total.
- El valor al contado siempre es mayor que el valor financiado.
La afirmación correcta es la c.
Alternativa correcta: c
PAES 4
Un plan de pago exige un pie de \$20.000 y luego 5 cuotas de \$18.000. ¿Cuál es el costo total?
- \$90.000
- \$98.000
- \$100.000
- \$110.000
\[ 20.000 + 5\cdot 18.000 \]
\[ 20.000 + 90.000 = 110.000 \]
Alternativa correcta: d
Cierre
En esta página aprendimos a leer información financiera básica sobre cuotas, costo total y comparación de alternativas. Vimos que una decisión financiera razonable no depende solo del valor de la cuota, sino también del total que finalmente se paga.
Esta idea será clave en la siguiente página, donde trabajaremos con índices económicos usados en Chile en transacciones financieras.
- La cuota indica cuánto se paga en cada período.
- El costo total muestra cuánto se paga finalmente.
- Si hay pago inicial, también debe incluirse en el total.
- Para comparar alternativas, conviene mirar más de un dato.
7. Índices económicos usados en Chile en transacciones financieras
Índices económicos usados en Chile en transacciones financieras
En las páginas anteriores trabajamos porcentajes, tasas, ahorro, crédito y comparación de alternativas de pago. Ahora veremos cómo estas ideas aparecen en un contexto muy propio de Chile: el uso de índices y unidades de referencia en transacciones financieras.
En nuestro país es frecuente encontrar montos expresados no solo en pesos, sino también en UF, UTM y referencias al IPC. Por eso, para leer información financiera correctamente, es importante entender qué significa cada una de estas siglas y cómo se relacionan con situaciones reales.
En esta página no trabajaremos con valores reales del día, sino con valores entregados en cada ejercicio, para concentrarnos en la interpretación matemática y financiera.
Objetivo de la página
- Reconocer algunos índices y unidades económicas usados en Chile.
- Interpretar qué significa que un monto esté expresado en UF o en UTM.
- Relacionar el IPC con la variación de precios.
- Convertir montos expresados en UF o UTM a pesos, usando valores dados.
- Leer información financiera en contexto chileno.
Al finalizar esta página deberías poder:
- Distinguir entre UF, UTM e IPC.
- Calcular montos en pesos a partir de una cantidad de UF o UTM.
- Interpretar qué ocurre cuando una operación está expresada en una unidad reajustable.
- Leer avisos o situaciones financieras sencillas que usen estas referencias.
En esta página trabajaremos principalmente con estas referencias:
- UF: unidad reajustable usada con frecuencia en créditos, arriendos, propiedades y algunos cobros financieros.
- UTM: unidad usada en Chile en contextos tributarios, multas y algunos cobros regulados.
- IPC: indicador que refleja variaciones en el nivel general de precios y se relaciona con la inflación.
Si en un problema se entrega el valor de 1 UF en pesos, entonces:
\[ \text{monto en pesos} = (\text{cantidad de UF})\cdot(\text{valor de 1 UF en pesos}) \]
Si se entrega el valor de 1 UTM en pesos, entonces:
\[ \text{monto en pesos} = (\text{cantidad de UTM})\cdot(\text{valor de 1 UTM en pesos}) \]
La UF y la UTM no son montos fijos en pesos. Para saber cuánto representan, siempre hay que conocer el valor de esa unidad en el momento indicado o el valor dado en el ejercicio.
Confundir “3 UF” con “\$3”. La UF no es una cantidad de pesos por sí sola. Es una unidad de referencia, y para convertirla a dinero hay que multiplicar por el valor de 1 UF en pesos.
Resumen comparativo
| Sigla | Nombre | ¿Para qué sirve? | Ejemplo de uso |
|---|---|---|---|
| UF | Unidad de Fomento | Expresar montos reajustables en operaciones financieras y comerciales | Arriendo, crédito hipotecario, venta de propiedades |
| UTM | Unidad Tributaria Mensual | Expresar ciertos cobros, multas y referencias tributarias | Multas, topes, pagos regulados |
| IPC | Índice de Precios al Consumidor | Medir variación general de precios | Inflación, reajustes, análisis económico |
Ejemplo guiado 1: convertir UF a pesos
Supón que un arriendo cuesta 12 UF y que, en este ejercicio, se informa que:
\[ 1\ \text{UF} = \$38.500 \]
Entonces el monto en pesos se obtiene multiplicando:
\[ 12\cdot 38.500 = 462.000 \]
Por lo tanto, el arriendo equivale a \$462.000.
Ejemplo guiado 2: convertir UTM a pesos
Supón que una multa es de 1,5 UTM y que, en este ejercicio, se informa que:
\[ 1\ \text{UTM} = \$65.000 \]
Entonces:
\[ 1{,}5\cdot 65.000 = 97.500 \]
La multa equivale a \$97.500.
Ejemplo guiado 3: interpretar el IPC en contexto
Supón que en cierto período el IPC informa una variación de 2%.
Eso no significa que todos los productos subieron exactamente 2%, sino que, en términos generales, hubo una variación promedio del nivel de precios.
En contexto financiero, esta información es importante porque ayuda a interpretar reajustes y cambios en valores expresados en unidades indexadas.
El IPC es un índice que informa variaciones generales de precios. La UF es una unidad reajustable. En muchos contextos escolares se estudian juntas porque ambas aparecen al interpretar reajustes e información financiera en Chile, pero no cumplen exactamente la misma función.
En Chile es habitual ver créditos hipotecarios en UF, multas o topes expresados en UTM y noticias económicas que hablan de IPC e inflación. Comprender estas referencias ayuda a leer contratos, avisos, arriendos, cobros y noticias económicas con mayor claridad.
Ejercicios
Ejercicio 1
Relaciona cada sigla con su descripción:
- UF
- UTM
- IPC
Descripciones:
- Índice que se usa para describir variaciones generales de precios.
- Unidad reajustable usada con frecuencia en operaciones financieras.
- Unidad usada en contextos tributarios y algunas multas.
a) UF: unidad reajustable usada con frecuencia en operaciones financieras.
b) UTM: unidad usada en contextos tributarios y algunas multas.
c) IPC: índice que se usa para describir variaciones generales de precios.
Ejercicio 2
En un ejercicio se indica que:
\[ 1\ \text{UF} = \$39.200 \]
Convierte a pesos:
- 5 UF
- 8 UF
- 12,5 UF
a)
\[ 5\cdot 39.200 = 196.000 \]
b)
\[ 8\cdot 39.200 = 313.600 \]
c)
\[ 12{,}5\cdot 39.200 = 490.000 \]
Ejercicio 3
En un ejercicio se indica que:
\[ 1\ \text{UTM} = \$64.500 \]
Convierte a pesos:
- 2 UTM
- 0,5 UTM
- 3,2 UTM
a)
\[ 2\cdot 64.500 = 129.000 \]
b)
\[ 0{,}5\cdot 64.500 = 32.250 \]
c)
\[ 3{,}2\cdot 64.500 = 206.400 \]
Ejercicio 4
Un estacionamiento informa que el cobro mensual es de 4,5 UF. En este ejercicio se usa:
\[ 1\ \text{UF} = \$38.000 \]
- Calcula el valor mensual en pesos.
- Interpreta qué significa que el precio esté expresado en UF y no directamente en pesos.
a)
\[ 4{,}5\cdot 38.000 = 171.000 \]
El valor mensual es \$171.000.
b) Significa que el cobro está expresado en una unidad reajustable. Por eso, si cambia el valor de la UF, también cambia el equivalente en pesos.
Ejercicio 5
Una multa se fija en 2,3 UTM. En este ejercicio se informa que:
\[ 1\ \text{UTM} = \$66.000 \]
- Calcula el valor de la multa en pesos.
- Explica por qué en este caso conviene conocer el valor de la UTM antes de pagar.
a)
\[ 2{,}3\cdot 66.000 = 151.800 \]
La multa equivale a \$151.800.
b) Porque la UTM no representa una cantidad fija de pesos por sí sola. Para saber cuánto dinero corresponde pagar, es necesario conocer su valor en pesos.
Ejercicio 6
En una noticia económica se informa que el IPC de cierto período fue 1,2%.
- ¿Qué idea general transmite ese dato?
- ¿Significa necesariamente que todos los precios subieron exactamente 1,2%? Justifica.
a) Transmite la idea de que, en términos generales, hubo una variación de precios en la economía durante ese período.
b) No. No significa que todos los precios hayan subido exactamente 1,2%. Se trata de una referencia general sobre la variación del nivel de precios, no de una subida idéntica en cada producto o servicio.
Ejercicio 7
Compara las siguientes situaciones, usando los valores dados:
| Situación | Monto |
|---|---|
| Arriendo A | 10 UF |
| Arriendo B | \$395.000 |
Supón que:
\[ 1\ \text{UF} = \$40.000 \]
- Convierte el arriendo A a pesos.
- Compara A y B.
- Indica cuál es mayor y por cuánto.
a)
\[ 10\cdot 40.000 = 400.000 \]
b) El arriendo A equivale a \$400.000 y el B es \$395.000.
c) El arriendo A es mayor por:
\[ 400.000 - 395.000 = 5.000 \]
Es decir, por \$5.000.
Ejercicio 8
Un estudiante afirma: “Si un monto está expresado en UF, entonces su valor en pesos siempre será el mismo”.
¿Es correcta esa afirmación? Justifica.
No, la afirmación es incorrecta.
Un monto expresado en UF mantiene la cantidad de UF, pero su equivalente en pesos puede cambiar si cambia el valor de 1 UF. Por eso no siempre corresponde al mismo monto en pesos.
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
Si en un ejercicio se indica que \(1\ \text{UF}=\$38.000\), ¿cuánto es 6 UF en pesos?
- \$198.000
- \$208.000
- \$228.000
- \$238.000
\[ 6\cdot 38.000 = 228.000 \]
Alternativa correcta: c
PAES 2
Si en un ejercicio se indica que \(1\ \text{UTM}=\$65.000\), ¿cuánto es 2,5 UTM en pesos?
- \$130.000
- \$152.500
- \$162.500
- \$175.000
\[ 2{,}5\cdot 65.000 = 162.500 \]
Alternativa correcta: c
PAES 3
¿Cuál de las siguientes descripciones corresponde mejor al IPC?
- Es una unidad usada para convertir directamente arriendos en propiedades.
- Es una unidad tributaria mensual usada para multas.
- Es un indicador relacionado con la variación general de precios.
- Es una moneda extranjera usada en Chile.
La descripción correcta es la c.
Alternativa correcta: c
PAES 4
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
- La UF siempre equivale al mismo monto en pesos.
- Para convertir UF a pesos basta con sumar ambos valores.
- La UTM y la UF se interpretan igual que si fueran pesos directos.
- Para convertir un monto en UF o UTM a pesos se necesita conocer el valor de esa unidad en pesos.
La afirmación verdadera es la d.
Alternativa correcta: d
Cierre
En esta página aprendimos a leer e interpretar referencias económicas usadas en Chile, especialmente UF, UTM e IPC. Vimos que estas siglas aparecen con frecuencia en información financiera y que para comprenderlas bien es necesario distinguir su función y, cuando corresponde, convertirlas a pesos usando valores dados.
La siguiente página corresponde a la evaluación de unidad y análisis de errores, donde integraremos porcentaje, tasas, ahorro, crédito, comparación de alternativas e índices económicos usados en Chile.
- La UF y la UTM son unidades de referencia, no montos fijos en pesos.
- El IPC se relaciona con la variación general de precios.
- Para convertir UF o UTM a pesos se multiplica por el valor de la unidad.
- Leer bien el contexto es clave para interpretar información financiera en Chile.
8. Evaluación de unidad y análisis de errores
Evaluación de unidad y análisis de errores
En esta página cerrarás la unidad de matemática financiera con una evaluación que integra los contenidos trabajados:
- Porcentaje como operador
- Crecimiento y decrecimiento porcentual constante
- Tasa de variación
- Interés aplicado al ahorro
- Interés aplicado al crédito
- Lectura de cuotas, costo total y comparación de alternativas
- Índices económicos usados en Chile: UF, UTM e IPC
Antes de comenzar, revisa este repaso muy breve.
Repaso muy breve
| Tema | Idea clave | Qué debes recordar |
|---|---|---|
| Porcentaje | Actúa como operador | Aplicar \(p\%\) equivale a multiplicar por \(\frac{p}{100}\) |
| Aumentos y descuentos | Se usan multiplicadores | Aumento: \(1+\frac{p}{100}\); descuento: \(1-\frac{p}{100}\) |
| Crecimiento constante | Es multiplicativo | Después de \(n\) períodos: \(C_0(1+r)^n\) |
| Tasa de variación | Compara con el valor inicial | \(\frac{V_f-V_i}{V_i}\) |
| Ahorro y crédito | No significan lo mismo | En ahorro la tasa favorece el capital; en crédito aumenta el costo |
| Cuotas y costo total | No basta mirar la cuota | También hay que comparar el total pagado |
| UF, UTM, IPC | Son referencias distintas | UF y UTM se convierten a pesos con un valor dado; IPC se interpreta como variación general de precios |
En esta evaluación conviene leer con calma qué representa cada dato: porcentaje, tasa, cuota, valor al contado o unidad económica. Muchas veces el error no está en el cálculo, sino en interpretar mal qué te están pidiendo comparar.
- Sumar porcentajes cuando corresponde multiplicar varias veces por un factor.
- Confundir interés con monto final o total a pagar.
- Fijarse solo en la cuota y no en el costo total.
- Olvidar que UF y UTM no son pesos directos.
Ejercicios de desarrollo
Ejercicio 1
Un producto cuesta \$250.000 y tiene un 18% de descuento.
- Calcula el valor del descuento.
- Calcula el precio final.
- Verifica usando el multiplicador correspondiente.
a)
\[ 0{,}18\cdot 250.000 = 45.000 \]
El descuento es de \$45.000.
b)
\[ 250.000 - 45.000 = 205.000 \]
El precio final es \$205.000.
c) El multiplicador de descuento es:
\[ 1-0{,}18 = 0{,}82 \]
\[ 250.000\cdot 0{,}82 = 205.000 \]
Ejercicio 2
Una inversión inicial de \$120.000 crece un 6% mensual durante 3 meses.
- Escribe la expresión que modela la situación.
- Calcula el monto final.
- Calcula el aumento total respecto del capital inicial.
a)
\[ M_3=120.000(1{,}06)^3 \]
b)
\[ (1{,}06)^3 = 1{,}191016 \]
\[ M_3=120.000\cdot 1{,}191016 = 142.921{,}92 \]
El monto final es aproximadamente \$142.922.
c)
\[ 142.921{,}92 - 120.000 = 22.921{,}92 \]
El aumento total es aproximadamente \$22.922.
Ejercicio 3
El valor de un equipo baja de \$480.000 a \$408.000.
- Calcula la variación absoluta.
- Calcula la tasa de variación.
- Interpreta el resultado en contexto.
a)
\[ 408.000 - 480.000 = -72.000 \]
b)
\[ \frac{408.000 - 480.000}{480.000}=\frac{-72.000}{480.000}=-0{,}15 \]
La tasa de variación es -15%.
c) El equipo disminuyó su valor en \$72.000, lo que equivale a una baja de 15% respecto del valor inicial.
Ejercicio 4
Una persona deposita \$300.000 en una cuenta de ahorro que paga 4% mensual durante 2 meses.
- Calcula el monto final.
- Calcula el interés total ganado.
- Explica qué significa el resultado en contexto.
a)
\[ M_2=300.000(1{,}04)^2 \]
\[ M_2=300.000\cdot 1{,}0816 = 324.480 \]
El monto final es \$324.480.
b)
\[ 324.480 - 300.000 = 24.480 \]
El interés total ganado es \$24.480.
c) Esto significa que, al dejar ese dinero ahorrado durante 2 meses a esa tasa, la persona aumenta su capital y gana \$24.480 por concepto de interés.
Ejercicio 5
Una persona pide un crédito de \$250.000 con una tasa de 5% mensual durante 2 meses, sin pago intermedio.
- Calcula la deuda final.
- Calcula el interés total acumulado.
- Explica por qué esta situación no se interpreta igual que un ahorro.
a)
\[ D_2=250.000(1{,}05)^2 \]
\[ D_2=250.000\cdot 1{,}1025 = 275.625 \]
La deuda final es \$275.625.
b)
\[ 275.625 - 250.000 = 25.625 \]
El interés total acumulado es \$25.625.
c) En un ahorro, el interés representa una ganancia para quien deposita dinero. En un crédito, el interés representa un costo, porque hace que la deuda crezca y que la persona deba devolver más de lo que recibió al inicio.
Ejercicio 6
Una tienda ofrece un refrigerador con estas opciones:
| Alternativa | Condición |
|---|---|
| A | \$360.000 al contado |
| B | 12 cuotas de \$33.000 |
| C | Pago inicial de \$40.000 y 8 cuotas de \$41.000 |
- Calcula el costo total de B y C.
- Ordénalas desde la de menor a la de mayor costo total.
- Indica cuál tiene la cuota más baja.
- Redacta una conclusión comparativa.
a)
Alternativa B:
\[ 12\cdot 33.000 = 396.000 \]
Alternativa C:
\[ 40.000 + 8\cdot 41.000 \]
\[ 40.000 + 328.000 = 368.000 \]
b) De menor a mayor costo total:
- A: \$360.000
- C: \$368.000
- B: \$396.000
c) La cuota más baja es la de la alternativa B: \$33.000.
d) Si el criterio es pagar menos en total, conviene la alternativa A. Si no se puede pagar al contado, la alternativa C cuesta menos que la B, aunque la B tenga la cuota mensual más baja.
Ejercicio 7
En un ejercicio se indica que:
\[ 1\ \text{UF} = \$39.500 \]
y que un arriendo mensual es de 9,5 UF.
- Convierte el arriendo a pesos.
- Si otro arriendo cuesta \$370.000, compáralos.
- Indica cuál es mayor y por cuánto.
a)
\[ 9{,}5\cdot 39.500 = 375.250 \]
El arriendo equivale a \$375.250.
b) El arriendo en UF equivale a \$375.250 y el otro arriendo es de \$370.000.
c)
\[ 375.250 - 370.000 = 5.250 \]
El arriendo expresado en UF es mayor por \$5.250.
Ejercicio 8
Analiza la siguiente situación:
Un estudiante dice: “Si una multa es de 2 UTM y el IPC del mes fue 1%, entonces la multa sube exactamente 1% por ser UTM e IPC lo mismo”.
- ¿Es correcta esa afirmación?
- Explica brevemente la diferencia entre UTM e IPC.
- Indica qué información faltaría para convertir 2 UTM a pesos.
a) No, la afirmación es incorrecta.
b) La UTM es una unidad usada en contextos tributarios y algunos cobros o multas. El IPC es un índice que describe variaciones generales de precios. No significan lo mismo ni se usan de la misma manera.
c) Para convertir 2 UTM a pesos hace falta conocer el valor de 1 UTM en pesos en el contexto del ejercicio.
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
¿Cuál es el 12% de \$80.000?
- \$8.000
- \$9.600
- \$10.200
- \$12.000
\[ 0{,}12\cdot 80.000 = 9.600 \]
Alternativa correcta: b
PAES 2
¿Cuál es el multiplicador asociado a un descuento del 25%?
- 1,25
- 0,25
- 0,75
- 1,75
\[ 1-0{,}25 = 0{,}75 \]
Alternativa correcta: c
PAES 3
Una cantidad crece un 10% por período durante 2 períodos. ¿Qué expresión la modela correctamente si parte en \(C_0\)?
- \(C_0+0{,}10\cdot 2\)
- \(C_0(1{,}10)^2\)
- \(C_0(0{,}10)^2\)
- \(C_0(1{,}20)\)
Un crecimiento de 10% por período se modela con el factor \(1{,}10\) repetido dos veces:
\[ C_0(1{,}10)^2 \]
Alternativa correcta: b
PAES 4
Una cantidad pasa de 200 a 230. ¿Cuál es su tasa de variación porcentual?
- 10%
- 12%
- 15%
- 20%
\[ \frac{230-200}{200}=\frac{30}{200}=0{,}15 \]
La tasa es 15%.
Alternativa correcta: c
PAES 5
Una cantidad baja de 500 a 425. ¿Cuál es su tasa de variación porcentual?
- \(-10\%\)
- \(-12\%\)
- \(-15\%\)
- \(-20\%\)
\[ \frac{425-500}{500}=\frac{-75}{500}=-0{,}15 \]
La tasa es -15%.
Alternativa correcta: c
PAES 6
Una persona ahorra \$100.000 a una tasa de 5% por un período. ¿Cuál es el monto final?
- \$95.000
- \$100.500
- \$105.000
- \$110.000
\[ 100.000(1{,}05)=105.000 \]
Alternativa correcta: c
PAES 7
Una persona pide un crédito de \$200.000 a una tasa de 4% por un período. ¿Cuál es el total a pagar?
- \$196.000
- \$204.000
- \$208.000
- \$214.000
\[ 200.000(1{,}04)=208.000 \]
Alternativa correcta: c
PAES 8
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
- En ahorro y crédito una tasa alta siempre significa lo mismo para la persona.
- En ahorro el interés es una ganancia; en crédito el interés es un costo.
- El interés siempre coincide con el monto final.
- El crédito disminuye con una tasa positiva.
La afirmación correcta es la b.
Alternativa correcta: b
PAES 9
Un producto cuesta \$180.000 al contado o 6 cuotas de \$32.000. ¿Cuál es el costo total financiado?
- \$182.000
- \$190.000
- \$192.000
- \$196.000
\[ 6\cdot 32.000 = 192.000 \]
Alternativa correcta: c
PAES 10
En un plan se paga un pie de \$30.000 y luego 4 cuotas de \$20.000. ¿Cuál es el costo total?
- \$80.000
- \$100.000
- \$110.000
- \$120.000
\[ 30.000 + 4\cdot 20.000 \]
\[ 30.000 + 80.000 = 110.000 \]
Alternativa correcta: c
PAES 11
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
- La cuota más baja siempre implica menor costo total.
- Para comparar alternativas de pago conviene observar cuota y costo total.
- Si hay pago inicial, no se considera en el total.
- El valor al contado siempre es mayor que el financiado.
La afirmación verdadera es la b.
Alternativa correcta: b
PAES 12
Si en un ejercicio se indica que \(1\ \text{UF}=\$40.000\), ¿cuánto equivalen 7 UF?
- \$240.000
- \$260.000
- \$280.000
- \$300.000
\[ 7\cdot 40.000 = 280.000 \]
Alternativa correcta: c
PAES 13
Si en un ejercicio se indica que \(1\ \text{UTM}=\$66.000\), ¿cuánto equivalen 1,5 UTM?
- \$89.000
- \$96.000
- \$99.000
- \$109.000
\[ 1{,}5\cdot 66.000 = 99.000 \]
Alternativa correcta: c
PAES 14
¿Cuál de las siguientes descripciones corresponde mejor al IPC?
- Unidad usada para multas y topes tributarios.
- Índice relacionado con la variación general de precios.
- Moneda extranjera usada en contratos.
- Sinónimo de cuota mensual.
La descripción correcta es la b.
Alternativa correcta: b
PAES 15
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
- La UF siempre tiene el mismo valor en pesos.
- La UTM y el IPC significan exactamente lo mismo.
- Para convertir UF o UTM a pesos se necesita conocer el valor de esa unidad en pesos.
- El IPC se calcula multiplicando la cantidad de UF por el valor del peso.
La afirmación verdadera es la c.
Alternativa correcta: c
PAES 16
Un arriendo cuesta 8 UF. Si en el ejercicio se informa que \(1\ \text{UF}=\$39.000\), ¿cuál es el valor del arriendo en pesos?
- \$302.000
- \$312.000
- \$318.000
- \$320.000
\[ 8\cdot 39.000 = 312.000 \]
Alternativa correcta: b
Análisis de errores
Revisa si convertiste correctamente el porcentaje a decimal y si identificaste bien el valor inicial. En problemas de tasa de variación, el error más común es dividir por el valor final en vez de dividir por el inicial.
Vuelve a distinguir entre interés y monto final. En ahorro, el interés se interpreta como ganancia; en crédito, como costo. También revisa si usaste bien el factor \((1+i)^n\) cuando había varios períodos.
No compares alternativas mirando solo la cuota. Calcula siempre el total pagado y, cuando corresponda, suma también el pie o pago inicial.
Recuerda que UF y UTM son unidades que se convierten a pesos usando un valor dado. En cambio, el IPC se interpreta como un índice relacionado con variaciones generales de precios, no como una cantidad directa de dinero.
En esta unidad aprendiste a usar porcentajes y tasas para analizar aumentos, descuentos, ahorro, crédito, pagos en cuotas y referencias económicas usadas en Chile. Estas herramientas son clave para leer información financiera con más claridad y tomar decisiones mejor fundamentadas.