a)

\[ 18\%=0{,}18 \]

\[ 0{,}18\cdot 350=63 \]

El \(18\%\) de \(350\) es \(63\).

b)

\[ 7{,}5\%=0{,}075 \]

\[ 0{,}075\cdot 800=60 \]

El \(7{,}5\%\) de \(800\) es \(60\).

c)

\[ 125\%=1{,}25 \]

\[ 1{,}25\cdot 64=80 \]

El \(125\%\) de \(64\) es \(80\).

d)

\[ 3{,}5\%=0{,}035 \]

\[ 0{,}035\cdot 240.000=8.400 \]

El \(3{,}5\%\) de \(240.000\) es \(8.400\).

a) Un aumento de \(14\%\) usa:

\[ 1+0{,}14=1{,}14 \]

b) Un descuento de \(14\%\) usa:

\[ 1-0{,}14=0{,}86 \]

c) El multiplicador \(1{,}35\) es mayor que \(1\), por lo tanto representa un aumento:

\[ 1{,}35-1=0{,}35=35\% \]

Representa un aumento de \(35\%\).

d) El multiplicador \(0{,}72\) es menor que \(1\), por lo tanto representa un descuento:

\[ 1-0{,}72=0{,}28=28\% \]

Representa un descuento de \(28\%\).

e) Calculamos el multiplicador:

\[ \frac{104.000}{80.000}=1{,}30 \]

Como \(1{,}30-1=0{,}30\), el cambio corresponde a un aumento de \(30\%\).

a) Un descuento de \(15\%\) usa multiplicador:

\[ 1-0{,}15=0{,}85 \]

Como conocemos el precio final, dividimos por el multiplicador:

\[ \text{Precio original}=\frac{459.000}{0{,}85}=540.000 \]

El precio original era \(\$540.000\).

b) El descuento en pesos fue:

\[ 540.000-459.000=81.000 \]

El descuento fue de \(\$81.000\).

c) Verificamos:

\[ 540.000\cdot 0{,}85=459.000 \]

El resultado coincide con el precio final informado.

Como el precio subió un \(12\%\), el multiplicador fue:

\[ 1+0{,}12=1{,}12 \]

Sabemos que:

\[ \text{Valor final}=\text{Valor inicial}\cdot 1{,}12 \]

Usamos la fórmula en forma inversa:

\[ \text{Valor inicial}=\frac{134.400}{1{,}12}=120.000 \]

El precio antes del aumento era \(\$120.000\).

a) El aumento en pesos es:

\[ 368.000-320.000=48.000 \]

b) El multiplicador se obtiene dividiendo el valor final por el valor inicial:

\[ \frac{368.000}{320.000}=1{,}15 \]

c) Como el multiplicador es \(1{,}15\), el aumento porcentual es:

\[ 1{,}15-1=0{,}15=15\% \]

El arriendo aumentó en \(15\%\).

Fila 1:

Un aumento de \(10\%\) usa multiplicador \(1{,}10\).

\[ 50.000\cdot 1{,}10=55.000 \]

Fila 2:

Un descuento de \(15\%\) usa multiplicador \(0{,}85\).

\[ \text{Valor inicial}=\frac{68.000}{0{,}85}=80.000 \]

Fila 3:

Calculamos el multiplicador:

\[ \frac{150.000}{120.000}=1{,}25 \]

Como \(1{,}25-1=0{,}25\), corresponde a un aumento de \(25\%\).

Fila 4:

Calculamos el multiplicador:

\[ \frac{54.000}{72.000}=0{,}75 \]

Como \(1-0{,}75=0{,}25\), corresponde a un descuento de \(25\%\).

Fila 5:

Un aumento de \(30\%\) usa multiplicador \(1{,}30\).

\[ \text{Valor inicial}=\frac{91.000}{1{,}30}=70.000 \]

a) Primero aplicamos el aumento:

\[ 80.000\cdot 1{,}20=96.000 \]

Luego aplicamos el descuento de \(20\%\) al nuevo precio:

\[ 96.000\cdot 0{,}80=76.800 \]

El precio final es \(\$76.800\).

b) No vuelve al precio original, porque \(\$76.800\) es menor que \(\$80.000\).

c) El multiplicador total es:

\[ 1{,}20\cdot 0{,}80=0{,}96 \]

Esto significa que queda el \(96\%\) del valor inicial. Por lo tanto:

\[ 1-0{,}96=0{,}04=4\% \]

El cambio total equivale a un descuento de \(4\%\).

d) No basta con sumar \(+20\%\) y \(-20\%\), porque el segundo porcentaje se aplica sobre un nuevo valor, no sobre el valor inicial.

Promoción A:

Primero aplicamos el \(20\%\) de descuento:

\[ 60.000\cdot 0{,}80=48.000 \]

Luego aplicamos el cupón:

\[ 48.000-5.000=43.000 \]

Promoción B:

\[ 60.000\cdot 0{,}70=42.000 \]

Promoción C:

Primero aplicamos el cupón:

\[ 60.000-5.000=55.000 \]

Luego aplicamos el \(20\%\) de descuento:

\[ 55.000\cdot 0{,}80=44.000 \]

Los precios finales son:

• Promoción A: \(\$43.000\)
• Promoción B: \(\$42.000\)
• Promoción C: \(\$44.000\)

Conviene más la Promoción B. La segunda mejor opción es la Promoción A, por lo tanto la diferencia es:

\[ 43.000-42.000=1.000 \]

La Promoción B conviene por \(\$1.000\) respecto de la segunda mejor opción.

Un descuento de \(25\%\) usa multiplicador:

\[ 1-0{,}25=0{,}75 \]

Como el valor final se obtiene multiplicando por \(0{,}75\), para recuperar el valor original se divide por \(0{,}75\):

\[ \text{Precio original}=\frac{45.000}{0{,}75} \]

Alternativa correcta: b.

Primero calculamos el aumento en pesos:

\[ 92.000-80.000=12.000 \]

Luego comparamos ese aumento con el valor inicial:

\[ \frac{12.000}{80.000}=0{,}15=15\% \]

Alternativa correcta: b.

Un descuento de \(10\%\) usa multiplicador \(0{,}90\).

Un descuento de \(20\%\) usa multiplicador \(0{,}80\).

El multiplicador total es:

\[ 0{,}90\cdot 0{,}80=0{,}72 \]

Esto significa que queda el \(72\%\) del precio inicial. Por lo tanto, el descuento equivalente es:

\[ 1-0{,}72=0{,}28=28\% \]

Alternativa correcta: b.

Un aumento de \(12\%\) usa multiplicador:

\[ 1+0{,}12=1{,}12 \]

Como se conoce el valor final, dividimos por el multiplicador:

\[ \frac{56.000}{1{,}12}=50.000 \]

El precio antes del aumento era \(\$50.000\).

Alternativa correcta: a.

El multiplicador \(0{,}65\) indica que queda el \(65\%\) del valor inicial.

Para saber el descuento, calculamos:

\[ 1-0{,}65=0{,}35=35\% \]

Por lo tanto, representa un descuento de \(35\%\).

Alternativa correcta: d.

Un descuento de \(18\%\) usa multiplicador:

\[ 1-0{,}18=0{,}82 \]

Calculamos el precio final del producto A:

\[ 50.000\cdot 0{,}82=41.000 \]

Comparamos con el producto B:

\[ 42.000-41.000=1.000 \]

El producto A queda \(\$1.000\) más barato que el producto B.

Alternativa correcta: a.

Un aumento de \(20\%\) usa multiplicador \(1{,}20\).

Un descuento de \(20\%\) usa multiplicador \(0{,}80\).

El multiplicador total es:

\[ 1{,}20\cdot 0{,}80=0{,}96 \]

Esto significa que queda el \(96\%\) del precio original.

\[ 1-0{,}96=0{,}04=4\% \]

Por lo tanto, queda con un descuento total de \(4\%\).

Alternativa correcta: b.

Calculamos el multiplicador dividiendo el valor final por el valor inicial:

\[ \frac{72.000}{90.000}=0{,}80 \]

El multiplicador es \(0{,}80\).

Además, como \(1-0{,}80=0{,}20\), esto representa un descuento de \(20\%\).

Alternativa correcta: b.

Fila 1: crecimiento de \(6\%\).

\[ m=1+0{,}06=1{,}06 \]

Expresión:

\[ C_n=C_0(1{,}06)^n \]

Fila 2: decrecimiento de \(8\%\).

\[ m=1-0{,}08=0{,}92 \]

Expresión:

\[ C_n=C_0(0{,}92)^n \]

Fila 3: multiplicador \(1{,}18\).

\[ 1{,}18-1=0{,}18=18\% \]

Es un crecimiento de \(18\%\). Expresión:

\[ C_n=C_0(1{,}18)^n \]

Fila 4: multiplicador \(0{,}73\).

\[ 1-0{,}73=0{,}27=27\% \]

Es un decrecimiento de \(27\%\). Expresión:

\[ C_n=C_0(0{,}73)^n \]

a) El multiplicador mensual es:

\[ 1+0{,}05=1{,}05 \]

La expresión es:

\[ C_2=80.000(1{,}05)^2 \]

b) Calculamos:

\[ C_2=80.000\cdot 1{,}1025=88.200 \]

El capital final es \(\$88.200\).

c) El aumento total en pesos es:

\[ 88.200-80.000=8.200 \]

d) El porcentaje total de aumento es:

\[ \frac{8.200}{80.000}=0{,}1025=10{,}25\% \]

El capital aumentó un \(10{,}25\%\) en total.

a) El multiplicador anual es:

\[ 1-0{,}10=0{,}90 \]

La expresión es:

\[ C_3=300.000(0{,}90)^3 \]

b) Calculamos:

\[ C_3=300.000\cdot 0{,}729=218.700 \]

El valor final es \(\$218.700\).

c) La pérdida total es:

\[ 300.000-218.700=81.300 \]

Perdió \(\$81.300\) en total.

d) No pierde exactamente \(\$30.000\) cada año, porque el \(10\%\) se calcula cada vez sobre el valor actualizado del celular.

El multiplicador es:

\[ 1+0{,}20=1{,}20 \]

Calculamos período a período:

\[ C_1=50.000\cdot 1{,}20=60.000 \]

\[ C_2=60.000\cdot 1{,}20=72.000 \]

\[ C_3=72.000\cdot 1{,}20=86.400 \]

\[ C_4=86.400\cdot 1{,}20=103.680 \]

El menor número de períodos para superar los \(\$100.000\) es 4 períodos.

a) El multiplicador es:

\[ 1-0{,}04=0{,}96 \]

b) Después de \(3\) años:

\[ 1.000(0{,}96)^3=1.000\cdot 0{,}884736=884{,}736 \]

Aproximadamente, 885 personas.

c) El multiplicador total después de \(3\) años es \(0{,}884736\). Por lo tanto, la disminución total es:

\[ 1-0{,}884736=0{,}115264=11{,}5264\% \]

La población disminuyó aproximadamente un \(11{,}53\%\) en total.

No, la afirmación es incorrecta.

En un crecimiento porcentual constante, el porcentaje se aplica cada vez sobre un valor actualizado, no siempre sobre el valor inicial.

Después de \(4\) años, el factor correcto es:

\[ (1{,}05)^4=1{,}21550625 \]

Esto significa que el valor final es aproximadamente el \(121{,}55\%\) del valor inicial.

Por lo tanto, el aumento total es aproximadamente \(21{,}55\%\), no \(20\%\).

a) En el modelo, \(C_0\) es el número que multiplica a la potencia. Por lo tanto:

\[ C_0=200.000 \]

El capital inicial es \(\$200.000\).

b) El multiplicador es \(1{,}08\). Como:

\[ 1{,}08=1+0{,}08 \]

El crecimiento es de \(8\%\) por período.

c) Para \(2\) períodos:

\[ C_2=200.000(1{,}08)^2 \]

\[ C_2=200.000\cdot 1{,}1664=233.280 \]

El capital al cabo de \(2\) períodos es \(\$233.280\).

d) No es exactamente \(16\%\), porque:

\[ (1{,}08)^2=1{,}1664 \]

El aumento total es \(0{,}1664=16{,}64\%\), no \(16\%\).

a) Se trata de decrecimiento, porque el multiplicador \(0{,}85\) es menor que \(1\).

b) Como:

\[ 0{,}85=1-0{,}15 \]

El valor disminuye un \(15\%\) por período.

c) Para \(2\) períodos:

\[ V_2=1.200.000(0{,}85)^2 \]

\[ V_2=1.200.000\cdot 0{,}7225=867.000 \]

d) Después de \(2\) períodos, la máquina vale \(\$867.000\). Esto significa que ha perdido valor de manera porcentual constante en cada etapa.

Un crecimiento de \(10\%\) usa multiplicador:

\[ 1+0{,}10=1{,}10 \]

El modelo es:

\[ C_2=C_0(1{,}10)^2 \]

Reemplazamos el valor final:

\[ 121.000=C_0(1{,}10)^2 \]

Como \((1{,}10)^2=1{,}21\), entonces:

\[ C_0=\frac{121.000}{1{,}21}=100.000 \]

El capital inicial era \(\$100.000\).

Un decrecimiento de \(20\%\) usa multiplicador:

\[ 1-0{,}20=0{,}80 \]

El modelo es:

\[ C_2=C_0(0{,}80)^2 \]

Reemplazamos el valor final:

\[ 384.000=C_0(0{,}80)^2 \]

Como \((0{,}80)^2=0{,}64\), entonces:

\[ C_0=\frac{384.000}{0{,}64}=600.000 \]

El valor inicial de la máquina era \(\$600.000\).

Usamos el modelo:

\[ C_2=C_0(1+r)^2 \]

Reemplazamos los datos:

\[ 121.000=100.000(1+r)^2 \]

Dividimos por \(100.000\):

\[ \frac{121.000}{100.000}=(1+r)^2 \]

\[ 1{,}21=(1+r)^2 \]

Como:

\[ 1{,}10^2=1{,}21 \]

Entonces:

\[ 1+r=1{,}10 \]

\[ r=0{,}10=10\% \]

El porcentaje de crecimiento fue de \(10\%\) por período.

Como se trata de decrecimiento, usamos:

\[ C_2=C_0(1-r)^2 \]

Reemplazamos:

\[ 320.000=500.000(1-r)^2 \]

Dividimos por \(500.000\):

\[ \frac{320.000}{500.000}=(1-r)^2 \]

\[ 0{,}64=(1-r)^2 \]

Como:

\[ 0{,}80^2=0{,}64 \]

Entonces:

\[ 1-r=0{,}80 \]

\[ r=0{,}20=20\% \]

El porcentaje de disminución fue de \(20\%\) anual.

El multiplicador es:

\[ 1+0{,}10=1{,}10 \]

El modelo es:

\[ 133.100=100.000(1{,}10)^n \]

Dividimos por \(100.000\):

\[ 1{,}331=(1{,}10)^n \]

Probamos potencias sencillas:

\[ (1{,}10)^1=1{,}10 \]

\[ (1{,}10)^2=1{,}21 \]

\[ (1{,}10)^3=1{,}331 \]

Por lo tanto:

\[ n=3 \]

Pasaron 3 períodos.

Un decrecimiento de \(50\%\) usa multiplicador:

\[ 1-0{,}50=0{,}50 \]

El modelo es:

\[ 100.000=800.000(0{,}50)^n \]

Dividimos por \(800.000\):

\[ 0{,}125=(0{,}50)^n \]

Probamos potencias sencillas:

\[ (0{,}50)^1=0{,}50 \]

\[ (0{,}50)^2=0{,}25 \]

\[ (0{,}50)^3=0{,}125 \]

Por lo tanto:

\[ n=3 \]

Pasaron 3 períodos.

Alternativa A:

\[ 300.000(1{,}08)^3=300.000\cdot 1{,}259712=377.913{,}6 \]

El monto final aproximado es \(\$377.914\).

Alternativa B:

Un crecimiento total de \(25\%\) usa multiplicador \(1{,}25\):

\[ 300.000\cdot 1{,}25=375.000 \]

El monto final es \(\$375.000\).

Conviene más la Alternativa A, porque entrega aproximadamente:

\[ 377.914-375.000=2.914 \]

Es decir, alrededor de \(\$2.914\) más.

En un crecimiento, se suma el porcentaje decimal a \(1\):

\[ 1+0{,}12=1{,}12 \]

Alternativa correcta: c.

Una disminución de \(12\%\) usa multiplicador:

\[ 1-0{,}12=0{,}88 \]

Como ocurre durante \(2\) períodos, se eleva al cuadrado:

\[ C_0(0{,}88)^2 \]

Alternativa correcta: b.

El multiplicador es \(1{,}10\).

Después de \(2\) períodos:

\[ 100.000(1{,}10)^2=100.000\cdot 1{,}21=121.000 \]

Alternativa correcta: c.

Un decrecimiento de \(10\%\) usa multiplicador:

\[ 1-0{,}10=0{,}90 \]

El modelo es:

\[ 243.000=C_0(0{,}90)^2 \]

Como \((0{,}90)^2=0{,}81\), entonces:

\[ C_0=\frac{243.000}{0{,}81}=300.000 \]

Alternativa correcta: c.

Usamos el modelo:

\[ 242.000=200.000(1+r)^2 \]

Dividimos por \(200.000\):

\[ 1{,}21=(1+r)^2 \]

Como:

\[ 1{,}10^2=1{,}21 \]

Entonces:

\[ 1+r=1{,}10 \]

\[ r=0{,}10=10\% \]

Alternativa correcta: b.

El multiplicador es \(1{,}20\). El modelo es:

\[ 72.000=50.000(1{,}20)^n \]

Dividimos por \(50.000\):

\[ 1{,}44=(1{,}20)^n \]

Probamos potencias:

\[ (1{,}20)^1=1{,}20 \]

\[ (1{,}20)^2=1{,}44 \]

Entonces:

\[ n=2 \]

Alternativa correcta: b.

Cada aumento de \(10\%\) usa multiplicador \(1{,}10\).

Después de \(2\) períodos:

\[ (1{,}10)^2=1{,}21 \]

Esto significa que el valor final equivale al \(121\%\) del valor inicial.

Por lo tanto, el aumento total es:

\[ 1{,}21-1=0{,}21=21\% \]

Alternativa correcta: b.

Usamos el modelo:

\[ 256.000=400.000(1-r)^2 \]

Dividimos por \(400.000\):

\[ 0{,}64=(1-r)^2 \]

Como \(0{,}80^2=0{,}64\), entonces:

\[ 1-r=0{,}80 \]

\[ r=0{,}20=20\% \]

Alternativa correcta: c.

a)

\[ \frac{55.000-50.000}{50.000}=\frac{5.000}{50.000}=0{,}10 \]

Tasa: \(10\%\).

b)

\[ \frac{92-80}{80}=\frac{12}{80}=0{,}15 \]

Tasa: \(15\%\).

c)

\[ \frac{250-200}{200}=\frac{50}{200}=0{,}25 \]

Tasa: \(25\%\).

d)

\[ \frac{81.000-90.000}{90.000}=\frac{-9.000}{90.000}=-0{,}10 \]

Tasa: \(-10\%\). Representa una disminución de \(10\%\).

e)

\[ \frac{102-120}{120}=\frac{-18}{120}=-0{,}15 \]

Tasa: \(-15\%\). Representa una disminución de \(15\%\).

Fila 1:

\[ 360.000-300.000=60.000 \]

\[ r=\frac{60.000}{300.000}=0{,}20=20\% \]

Multiplicador: \(1+0{,}20=1{,}20\).

Fila 2:

\[ 340.000-400.000=-60.000 \]

\[ r=\frac{-60.000}{400.000}=-0{,}15=-15\% \]

Multiplicador: \(1-0{,}15=0{,}85\).

Fila 3:

\[ 90.000-75.000=15.000 \]

\[ r=\frac{15.000}{75.000}=0{,}20=20\% \]

Multiplicador: \(1+0{,}20=1{,}20\).

a)

\[ 810.000-750.000=60.000 \]

La variación absoluta es \(\$60.000\).

b)

\[ \frac{60.000}{750.000}=0{,}08 \]

La tasa es \(8\%\).

c)

\[ 1+r=1+0{,}08=1{,}08 \]

El multiplicador asociado es \(1{,}08\).

d) El sueldo aumentó en \(\$60.000\), lo que corresponde a un \(8\%\) respecto del sueldo inicial.

a)

\[ 510.000-600.000=-90.000 \]

La variación absoluta es \(-\$90.000\).

b)

\[ \frac{-90.000}{600.000}=-0{,}15 \]

La tasa es \(-15\%\).

c)

\[ 1+r=1+(-0{,}15)=0{,}85 \]

El multiplicador asociado es \(0{,}85\).

d) El computador disminuyó su valor en \(\$90.000\), lo que corresponde a una baja de \(15\%\) respecto del valor inicial.

Fila 1:

\[ r=\frac{120-100}{100}=0{,}20 \]

Multiplicador: \(1+0{,}20=1{,}20\). Tasa porcentual: \(20\%\).

Fila 2:

\[ r=\frac{150-200}{200}=-0{,}25 \]

Multiplicador: \(1-0{,}25=0{,}75\). Tasa porcentual: \(-25\%\).

Fila 3:

Si \(r=0{,}10\), el multiplicador es \(1{,}10\):

\[ V_f=40.000\cdot 1{,}10=44.000 \]

Fila 4:

Si \(r=-0{,}15\), el multiplicador es \(0{,}85\):

\[ V_i=\frac{68.000}{0{,}85}=80.000 \]

Fila 5:

Si \(r=-0{,}25\), el multiplicador es \(0{,}75\):

\[ V_f=180.000\cdot 0{,}75=135.000 \]

Como el multiplicador es \(1+r\):

a)

\[ 1+0{,}12=1{,}12 \]

Representa crecimiento de \(12\%\).

b)

\[ 1-0{,}08=0{,}92 \]

Representa disminución de \(8\%\).

c)

\[ 1+0{,}25=1{,}25 \]

Representa crecimiento de \(25\%\).

d)

\[ 1-0{,}30=0{,}70 \]

Representa disminución de \(30\%\).

e)

\[ 1-0{,}045=0{,}955 \]

Representa disminución de \(4{,}5\%\).

a) Como el multiplicador es \(1{,}06\), la tasa es:

\[ r=1{,}06-1=0{,}06 \]

Es decir, \(6\%\).

b) Corresponde a crecimiento, porque la tasa es positiva y el multiplicador es mayor que \(1\).

c)

\[ C_1=300.000(1{,}06)=318.000 \]

El capital final es \(\$318.000\).

d) La inversión aumenta un \(6\%\) respecto del valor inicial del período considerado.

La tasa es:

\[ r=0{,}12 \]

Entonces el multiplicador es:

\[ 1+r=1{,}12 \]

Usamos la fórmula inversa:

\[ V_i=\frac{V_f}{1+r} \]

Reemplazamos:

\[ V_i=\frac{112.000}{1{,}12}=100.000 \]

El precio inicial era \(\$100.000\).

La tasa es:

\[ r=-0{,}15 \]

Entonces el multiplicador es:

\[ 1+r=1-0{,}15=0{,}85 \]

Usamos la fórmula inversa:

\[ V_i=\frac{V_f}{1+r} \]

Reemplazamos:

\[ V_i=\frac{255.000}{0{,}85}=300.000 \]

El valor inicial era \(\$300.000\).

a) Como \(r=-0{,}20\), la cantidad disminuye. Representa una baja de \(20\%\).

b) El multiplicador es:

\[ 1+r=1-0{,}20=0{,}80 \]

c) Calculamos el valor final:

\[ V_f=75.000(0{,}80)=60.000 \]

El valor final es \(\$60.000\).

d) La variación absoluta es:

\[ 60.000-75.000=-15.000 \]

El producto bajó \(\$15.000\).

a) Producto A:

\[ r_A=\frac{72.000-60.000}{60.000}=\frac{12.000}{60.000}=0{,}20=20\% \]

Producto B:

\[ r_B=\frac{252.000-240.000}{240.000}=\frac{12.000}{240.000}=0{,}05=5\% \]

b) El aumento fue mayor en términos porcentuales en el producto A.

c) No basta con mirar solo el aumento en pesos, porque la tasa compara el cambio con el valor inicial. Aunque ambos aumentaron \(\$12.000\), ese aumento representa una proporción mayor para el producto A.

No, la afirmación es incorrecta.

La tasa \(-0{,}12\) no representa una disminución de \(0{,}12\) unidades, sino una disminución de \(12\%\) respecto del valor inicial.

La tasa de variación es una medida relativa, no un cambio absoluto.

Por ejemplo, si el valor inicial fuera \(100\):

\[ 100(1-0{,}12)=100(0{,}88)=88 \]

La cantidad bajaría \(12\) unidades en ese caso específico, pero si el valor inicial fuera otro, el cambio absoluto sería distinto.

a) El multiplicador es:

\[ 1+r=1+0{,}18=1{,}18 \]

b) Como se conoce el valor final, usamos la fórmula inversa:

\[ V_i=\frac{V_f}{1+r} \]

\[ V_i=\frac{141.600}{1{,}18}=120.000 \]

El precio inicial era \(\$120.000\).

c) El aumento en pesos fue:

\[ 141.600-120.000=21.600 \]

El aumento fue de \(\$21.600\).

\[ \frac{100-80}{80}=\frac{20}{80}=0{,}25 \]

La tasa es \(25\%\).

Alternativa correcta: b.

\[ \frac{45.000-50.000}{50.000}=\frac{-5.000}{50.000}=-0{,}10 \]

La tasa es \(-10\%\).

Alternativa correcta: b.

El multiplicador asociado es:

\[ 1+r=1+0{,}08=1{,}08 \]

Alternativa correcta: c.

Una disminución de \(20\%\) corresponde a \(r=-0{,}20\).

El multiplicador es:

\[ 1+r=1-0{,}20=0{,}80 \]

Usamos la fórmula inversa:

\[ V_i=\frac{72.000}{0{,}80}=90.000 \]

Alternativa correcta: c.

Un aumento de \(15\%\) corresponde a \(r=0{,}15\).

El multiplicador es:

\[ 1+r=1+0{,}15=1{,}15 \]

Usamos la fórmula inversa:

\[ V_i=\frac{92.000}{1{,}15}=80.000 \]

Alternativa correcta: b.

El multiplicador es \(1+r\), entonces:

\[ 1+r=0{,}85 \]

\[ r=0{,}85-1=-0{,}15 \]

La tasa de variación es \(-15\%\).

Alternativa correcta: c.

La tasa de variación compara el cambio con el valor inicial.

Por eso, una tasa de \(15\%\) significa que la cantidad cambió en relación con el valor inicial.

Alternativa correcta: c.

Para el producto A:

\[ r_A=\frac{48.000-40.000}{40.000}=\frac{8.000}{40.000}=0{,}20=20\% \]

Para el producto B:

\[ r_B=\frac{108.000-100.000}{100.000}=\frac{8.000}{100.000}=0{,}08=8\% \]

Aunque ambos suben \(\$8.000\), el producto A tiene mayor tasa de variación porque el aumento se compara con un valor inicial menor.

Alternativa correcta: b.

Fila 1:

Capital inicial: \(\$150.000\); tasa: \(6\%=0{,}06\); períodos: \(1\).

\[ M_1=150.000(1{,}06)^1 \]

Fila 2:

Capital inicial: \(\$500.000\); tasa: \(3\%=0{,}03\); períodos: \(2\).

\[ M_2=500.000(1{,}03)^2 \]

Fila 3:

Capital inicial: \(\$80.000\); tasa: \(4\%=0{,}04\); períodos: \(5\).

\[ M_5=80.000(1{,}04)^5 \]

a) Primero expresamos la tasa como decimal:

\[ 8\%=0{,}08 \]

Calculamos el interés:

\[ I=250.000\cdot 0{,}08=20.000 \]

El interés ganado es \(\$20.000\).

b) El monto final es:

\[ M=250.000+20.000=270.000 \]

El monto final es \(\$270.000\).

c) El multiplicador es:

\[ 1+0{,}08=1{,}08 \]

\[ M=250.000(1{,}08)=270.000 \]

Se obtiene el mismo monto final.

d) El interés ganado es solo la ganancia, es decir, \(\$20.000\). El monto final incluye el capital inicial más la ganancia: \(\$270.000\).

a) Usamos la fórmula del interés:

\[ I=C\cdot i \]

Sabemos que \(I=18.000\) e \(i=0{,}06\). Entonces:

\[ 18.000=C\cdot 0{,}06 \]

Despejamos el capital:

\[ C=\frac{18.000}{0{,}06}=300.000 \]

El capital inicial fue \(\$300.000\).

b) El monto final es capital más interés:

\[ M=300.000+18.000=318.000 \]

El monto final fue \(\$318.000\).

c) Verificamos:

\[ 300.000\cdot 0{,}06=18.000 \]

Por lo tanto, el interés sí corresponde al \(6\%\) del capital inicial.

a) El interés ganado es la diferencia entre el monto final y el capital inicial:

\[ I=424.000-400.000=24.000 \]

El interés ganado fue \(\$24.000\).

b) Usamos:

\[ i=\frac{I}{C} \]

\[ i=\frac{24.000}{400.000}=0{,}06 \]

La tasa fue de \(6\%\).

c) El multiplicador asociado es:

\[ 1+i=1+0{,}06=1{,}06 \]

d) Si la misma tasa se aplica al período siguiente:

\[ 424.000(1{,}06)=449.440 \]

El nuevo monto sería \(\$449.440\).

a) El multiplicador mensual es:

\[ 1+0{,}05=1{,}05 \]

La expresión es:

\[ M_2=120.000(1{,}05)^2 \]

b) Calculamos:

\[ M_2=120.000\cdot 1{,}1025=132.300 \]

El monto final es \(\$132.300\).

c) El interés total ganado es:

\[ 132.300-120.000=12.300 \]

El interés total ganado es \(\$12.300\).

d) La tasa total de crecimiento es:

\[ \frac{12.300}{120.000}=0{,}1025=10{,}25\% \]

El capital creció un \(10{,}25\%\) en total.

El multiplicador es:

\[ 1+0{,}10=1{,}10 \]

Período 1:

\[ 100.000(1{,}10)=110.000 \]

Interés del período:

\[ 110.000-100.000=10.000 \]

Período 2:

\[ 110.000(1{,}10)=121.000 \]

Interés del período:

\[ 121.000-110.000=11.000 \]

Período 3:

\[ 121.000(1{,}10)=133.100 \]

Interés del período:

\[ 133.100-121.000=12.100 \]

El interés ganado en cada período aumenta, porque el \(10\%\) se calcula cada vez sobre un monto mayor.

a) El multiplicador mensual es:

\[ 1+0{,}03=1{,}03 \]

Entonces:

\[ M_2=400.000(1{,}03)^2 \]

\[ M_2=400.000\cdot 1{,}0609=424.360 \]

El monto final es \(\$424.360\).

b) El interés total ganado es:

\[ 424.360-400.000=24.360 \]

El interés total ganado es \(\$24.360\).

c) Si se aplicara \(3\%\) solo una vez:

\[ 400.000(1{,}03)=412.000 \]

El interés sería:

\[ 412.000-400.000=12.000 \]

d) Al aplicar \(3\%\) mensual durante \(2\) meses, el ahorro gana \(\$24.360\). Si se aplicara \(3\%\) solo una vez, ganaría \(\$12.000\). La diferencia aparece porque en el primer caso el interés se aplica en cada período sobre un monto actualizado.

Alternativa A:

\[ M_A=200.000(1{,}02)^2 \]

\[ M_A=200.000\cdot 1{,}0404=208.080 \]

Alternativa B:

Un \(4\%\) total usa multiplicador \(1{,}04\):

\[ M_B=200.000(1{,}04)=208.000 \]

Conviene más la Alternativa A, porque entrega \(\$208.080\), mientras que la Alternativa B entrega \(\$208.000\).

La diferencia es:

\[ 208.080-208.000=80 \]

La Alternativa A entrega \(\$80\) más.

a) El capital inicial es el número que multiplica a la potencia:

\[ C_0=500.000 \]

El capital inicial es \(\$500.000\).

b) El multiplicador es \(1{,}04\), entonces:

\[ 1{,}04=1+0{,}04 \]

La tasa es \(4\%\) por período.

c)

\[ M_2=500.000(1{,}04)^2 \]

\[ M_2=500.000\cdot 1{,}0816=540.800 \]

El monto al cabo de \(2\) períodos es \(\$540.800\).

d)

\[ I_{\text{total}}=540.800-500.000=40.800 \]

El interés total ganado es \(\$40.800\).

e) No equivale exactamente a \(8\%\), porque:

\[ (1{,}04)^2=1{,}0816 \]

El crecimiento total es \(0{,}0816=8{,}16\%\), no \(8\%\) exacto.

a) El multiplicador por período es:

\[ 1+0{,}10=1{,}10 \]

Usamos:

\[ M_2=C_0(1{,}10)^2 \]

Reemplazamos:

\[ 121.000=C_0(1{,}10)^2 \]

Como \((1{,}10)^2=1{,}21\), entonces:

\[ C_0=\frac{121.000}{1{,}21}=100.000 \]

El capital inicial fue \(\$100.000\).

b) El interés total ganado fue:

\[ 121.000-100.000=21.000 \]

El interés total fue \(\$21.000\).

c) Verificamos período a período:

\[ 100.000(1{,}10)=110.000 \]

\[ 110.000(1{,}10)=121.000 \]

El resultado coincide con el monto final indicado.

Usamos el modelo:

\[ M_2=C_0(1+i)^2 \]

Reemplazamos:

\[ 121.000=100.000(1+i)^2 \]

Dividimos por \(100.000\):

\[ 1{,}21=(1+i)^2 \]

Como:

\[ 1{,}10^2=1{,}21 \]

Entonces:

\[ 1+i=1{,}10 \]

\[ i=0{,}10=10\% \]

La tasa de interés fue de \(10\%\) por período.

El multiplicador es:

\[ 1+0{,}10=1{,}10 \]

El modelo es:

\[ 133.100=100.000(1{,}10)^n \]

Dividimos por \(100.000\):

\[ 1{,}331=(1{,}10)^n \]

Probamos potencias sencillas:

\[ (1{,}10)^1=1{,}10 \]

\[ (1{,}10)^2=1{,}21 \]

\[ (1{,}10)^3=1{,}331 \]

Por lo tanto:

\[ n=3 \]

El dinero estuvo ahorrado durante 3 períodos.

No, la afirmación es incorrecta.

Cuando el ahorro gana interés cada período, el porcentaje vuelve a aplicarse sobre un monto actualizado.

Por eso corresponde multiplicar por \((1{,}05)^3\), no sumar directamente \(15\%\).

\[ (1{,}05)^3=1{,}157625 \]

Eso equivale a un crecimiento aproximado de \(15{,}76\%\), no exactamente \(15\%\).

a) El multiplicador por período es:

\[ 1+0{,}05=1{,}05 \]

Como se conoce el monto final, usamos la fórmula inversa:

\[ C_0=\frac{M_2}{(1{,}05)^2} \]

\[ C_0=\frac{500.000}{1{,}1025}\approx 453.514{,}7 \]

Debe depositar aproximadamente \(\$453.515\).

b) El interés total ganado sería:

\[ 500.000-453.514{,}7\approx 46.485{,}3 \]

Ganaría aproximadamente \(\$46.485\).

c) Verificamos:

\[ 453.514{,}7(1{,}05)^2\approx 500.000 \]

El resultado es coherente con la meta de ahorro.

El interés se calcula con:

\[ I=C\cdot i \]

\[ I=100.000\cdot 0{,}06=6.000 \]

Alternativa correcta: a.

El multiplicador es:

\[ 1+0{,}04=1{,}04 \]

Entonces:

\[ M=250.000(1{,}04)=260.000 \]

Alternativa correcta: b.

El factor \(1{,}03\) se puede escribir como:

\[ 1{,}03=1+0{,}03 \]

Por lo tanto, la tasa es:

\[ 0{,}03=3\% \]

Alternativa correcta: b.

La tasa es \(i=0{,}08\), por lo tanto el multiplicador es:

\[ 1+i=1{,}08 \]

Usamos la fórmula inversa:

\[ C=\frac{M}{1+i} \]

\[ C=\frac{270.000}{1{,}08}=250.000 \]

Alternativa correcta: b.

El interés ganado fue:

\[ 330.000-300.000=30.000 \]

La tasa es:

\[ i=\frac{30.000}{300.000}=0{,}10=10\% \]

Alternativa correcta: b.

Usamos:

\[ 121.000=100.000(1+i)^2 \]

Dividimos por \(100.000\):

\[ 1{,}21=(1+i)^2 \]

Como \(1{,}10^2=1{,}21\), entonces:

\[ 1+i=1{,}10 \]

\[ i=0{,}10=10\% \]

Alternativa correcta: b.

El multiplicador es:

\[ 1+0{,}20=1{,}20 \]

El modelo es:

\[ 72.000=50.000(1{,}20)^n \]

Dividimos por \(50.000\):

\[ 1{,}44=(1{,}20)^n \]

Probamos potencias sencillas:

\[ (1{,}20)^1=1{,}20 \]

\[ (1{,}20)^2=1{,}44 \]

Por lo tanto:

\[ n=2 \]

Alternativa correcta: b.

En el ahorro, una tasa positiva representa una ganancia sobre el capital, por lo que el capital crece.

El interés no es igual al monto final: el monto final incluye el capital inicial más el interés ganado.

Alternativa correcta: c.

El multiplicador por período es:

\[ 1+0{,}10=1{,}10 \]

Usamos la fórmula inversa:

\[ C_0=\frac{242.000}{(1{,}10)^2} \]

\[ C_0=\frac{242.000}{1{,}21}=200.000 \]

Alternativa correcta: a.

Primer banco:

\[ 100.000(1{,}05)^2=100.000\cdot 1{,}1025=110.250 \]

Segundo banco:

\[ 100.000(1{,}10)=110.000 \]

El primer banco entrega:

\[ 110.250-110.000=250 \]

Por lo tanto, entrega \(\$250\) más que el segundo.

Alternativa correcta: b.

Fila 1:

Capital prestado: \(\$150.000\); tasa: \(5\%=0{,}05\); períodos: \(1\).

\[ D_1=150.000(1{,}05)^1 \]

Fila 2:

Capital prestado: \(\$500.000\); tasa: \(3\%=0{,}03\); períodos: \(2\).

\[ D_2=500.000(1{,}03)^2 \]

Fila 3:

Capital prestado: \(\$80.000\); tasa: \(4\%=0{,}04\); períodos: \(6\).

\[ D_6=80.000(1{,}04)^6 \]

a) Calculamos el interés:

\[ I=250.000\cdot 0{,}08=20.000 \]

El interés es \(\$20.000\).

b) El total a pagar es:

\[ M=250.000+20.000=270.000 \]

El total a pagar es \(\$270.000\).

c) El multiplicador es:

\[ 1+0{,}08=1{,}08 \]

\[ 250.000(1{,}08)=270.000 \]

Se obtiene el mismo total.

d) El interés es solo el costo adicional, es decir, \(\$20.000\). El total a pagar incluye el capital prestado más ese interés: \(\$270.000\).

a) Usamos la fórmula:

\[ I=C\cdot i \]

Sabemos que \(I=18.000\) e \(i=0{,}06\). Entonces:

\[ 18.000=C\cdot 0{,}06 \]

\[ C=\frac{18.000}{0{,}06}=300.000 \]

El capital prestado fue \(\$300.000\).

b) El total a pagar fue:

\[ M=300.000+18.000=318.000 \]

El total a pagar fue \(\$318.000\).

c) Verificamos:

\[ 300.000\cdot 0{,}06=18.000 \]

El interés corresponde al \(6\%\) del capital prestado.

a) La tasa es \(i=0{,}12\), por lo tanto el multiplicador es:

\[ 1+i=1{,}12 \]

Como conocemos el total a pagar, usamos la fórmula inversa:

\[ C=\frac{M}{1+i} \]

\[ C=\frac{280.000}{1{,}12}=250.000 \]

El capital prestado fue \(\$250.000\).

b) El interés cobrado fue:

\[ 280.000-250.000=30.000 \]

El interés fue de \(\$30.000\).

c) Verificamos:

\[ 250.000(1{,}12)=280.000 \]

El resultado coincide con el total a pagar.

a) El multiplicador mensual es:

\[ 1+0{,}05=1{,}05 \]

La expresión es:

\[ D_2=120.000(1{,}05)^2 \]

b) Calculamos:

\[ D_2=120.000\cdot 1{,}1025=132.300 \]

La deuda final es \(\$132.300\).

c) El interés total acumulado es:

\[ 132.300-120.000=12.300 \]

El interés total acumulado es \(\$12.300\).

d) El porcentaje total de aumento es:

\[ \frac{12.300}{120.000}=0{,}1025=10{,}25\% \]

La deuda aumentó un \(10{,}25\%\) en total.

El multiplicador es:

\[ 1+0{,}10=1{,}10 \]

Período 1:

\[ 100.000(1{,}10)=110.000 \]

Interés del período:

\[ 110.000-100.000=10.000 \]

Período 2:

\[ 110.000(1{,}10)=121.000 \]

Interés del período:

\[ 121.000-110.000=11.000 \]

Período 3:

\[ 121.000(1{,}10)=133.100 \]

Interés del período:

\[ 133.100-121.000=12.100 \]

El interés del período aumenta porque el \(10\%\) se calcula cada vez sobre una deuda mayor.

a) Como la tasa se aplica durante \(2\) meses:

\[ D_2=400.000(1{,}03)^2 \]

\[ D_2=400.000\cdot 1{,}0609=424.360 \]

La deuda final es \(\$424.360\).

b) El interés total acumulado es:

\[ 424.360-400.000=24.360 \]

El interés total acumulado es \(\$24.360\).

c) Si el \(3\%\) se aplicara solo una vez:

\[ 400.000(1{,}03)=412.000 \]

El interés sería:

\[ 412.000-400.000=12.000 \]

d) Al aplicar \(3\%\) mensual durante \(2\) meses, la deuda aumenta \(\$24.360\). Si se aplicara \(3\%\) solo una vez, aumentaría \(\$12.000\). La diferencia aparece porque en el primer caso la tasa se aplica cada mes sobre una deuda actualizada.

Alternativa A:

\[ D_A=200.000(1{,}02)^3 \]

\[ D_A=200.000\cdot 1{,}061208=212.241{,}6 \]

El total a pagar es aproximadamente \(\$212.242\).

Alternativa B:

Un \(6\%\) total usa multiplicador \(1{,}06\):

\[ D_B=200.000(1{,}06)=212.000 \]

El total a pagar es \(\$212.000\).

Conviene más la Alternativa B, porque genera un menor total a pagar.

La diferencia aproximada es:

\[ 212.241{,}6-212.000=241{,}6 \]

La Alternativa B cuesta aproximadamente \(\$242\) menos.

a) El capital inicial prestado es el número que multiplica a la potencia:

\[ C_0=500.000 \]

El capital inicial prestado es \(\$500.000\).

b) El multiplicador es \(1{,}04\), entonces:

\[ 1{,}04=1+0{,}04 \]

La tasa es \(4\%\) por período.

c) Calculamos:

\[ D_2=500.000(1{,}04)^2 \]

\[ D_2=500.000\cdot 1{,}0816=540.800 \]

La deuda al cabo de \(2\) períodos es \(\$540.800\).

d) El interés total acumulado es:

\[ 540.800-500.000=40.800 \]

El interés total acumulado es \(\$40.800\).

e) No equivale exactamente a \(8\%\), porque:

\[ (1{,}04)^2=1{,}0816 \]

El aumento total de la deuda es \(0{,}0816=8{,}16\%\), no \(8\%\) exacto.

a) El multiplicador por período es:

\[ 1+0{,}10=1{,}10 \]

Usamos:

\[ D_2=C_0(1{,}10)^2 \]

Reemplazamos:

\[ 121.000=C_0(1{,}10)^2 \]

Como \((1{,}10)^2=1{,}21\), entonces:

\[ C_0=\frac{121.000}{1{,}21}=100.000 \]

El capital inicialmente prestado fue \(\$100.000\).

b) El interés total acumulado fue:

\[ 121.000-100.000=21.000 \]

El interés total fue \(\$21.000\).

c) Verificamos período a período:

\[ 100.000(1{,}10)=110.000 \]

\[ 110.000(1{,}10)=121.000 \]

El resultado coincide con la deuda final indicada.

Usamos el modelo:

\[ D_2=C_0(1+i)^2 \]

Reemplazamos:

\[ 242.000=200.000(1+i)^2 \]

Dividimos por \(200.000\):

\[ 1{,}21=(1+i)^2 \]

Como:

\[ 1{,}10^2=1{,}21 \]

Entonces:

\[ 1+i=1{,}10 \]

\[ i=0{,}10=10\% \]

La tasa de interés fue de \(10\%\) por período.

El multiplicador es:

\[ 1+0{,}20=1{,}20 \]

El modelo es:

\[ 72.000=50.000(1{,}20)^n \]

Dividimos por \(50.000\):

\[ 1{,}44=(1{,}20)^n \]

Probamos potencias sencillas:

\[ (1{,}20)^1=1{,}20 \]

\[ (1{,}20)^2=1{,}44 \]

Por lo tanto:

\[ n=2 \]

Pasaron 2 períodos.

No, la afirmación es incorrecta.

Cuando la deuda crece con interés cada período, el porcentaje vuelve a aplicarse sobre un monto actualizado.

Por eso corresponde multiplicar por \((1{,}05)^3\), no sumar directamente \(15\%\).

\[ (1{,}05)^3=1{,}157625 \]

Eso equivale a un crecimiento aproximado de \(15{,}76\%\), no exactamente \(15\%\).

a) En la Alternativa A, el total a pagar es:

\[ 330.000 \]

En la Alternativa B, se debe sumar el cargo fijo:

\[ 315.000+12.000=327.000 \]

El total a pagar en la Alternativa B es \(\$327.000\).

b) Conviene más la Alternativa B, porque \(\$327.000\) es menor que \(\$330.000\).

c) Costo adicional de la Alternativa A:

\[ 330.000-300.000=30.000 \]

Costo adicional de la Alternativa B:

\[ 327.000-300.000=27.000 \]

La Alternativa B tiene un costo adicional menor.

El interés se calcula con:

\[ I=C\cdot i \]

\[ I=100.000\cdot 0{,}06=6.000 \]

Alternativa correcta: a.

El multiplicador es:

\[ 1+0{,}04=1{,}04 \]

Entonces:

\[ M=250.000(1{,}04)=260.000 \]

Alternativa correcta: b.

El factor \(1{,}03\) se puede escribir como:

\[ 1{,}03=1+0{,}03 \]

Por lo tanto, la tasa es:

\[ 0{,}03=3\% \]

Alternativa correcta: b.

En un crédito, una tasa positiva representa un costo adicional, por lo que la deuda crece.

El interés no es el capital inicial: es el monto adicional que se paga por usar el dinero prestado.

Alternativa correcta: c.

La tasa es \(i=0{,}08\), por lo tanto el multiplicador es:

\[ 1+i=1{,}08 \]

Como conocemos el total a pagar, usamos la fórmula inversa:

\[ C=\frac{270.000}{1{,}08}=250.000 \]

Alternativa correcta: b.

El interés fue:

\[ 330.000-300.000=30.000 \]

La tasa es:

\[ i=\frac{30.000}{300.000}=0{,}10=10\% \]

Alternativa correcta: b.

Usamos:

\[ 121.000=100.000(1+i)^2 \]

Dividimos por \(100.000\):

\[ 1{,}21=(1+i)^2 \]

Como \(1{,}10^2=1{,}21\), entonces:

\[ 1+i=1{,}10 \]

\[ i=0{,}10=10\% \]

Alternativa correcta: b.

El multiplicador es:

\[ 1+0{,}20=1{,}20 \]

El modelo es:

\[ 72.000=50.000(1{,}20)^n \]

Dividimos por \(50.000\):

\[ 1{,}44=(1{,}20)^n \]

Como \((1{,}20)^2=1{,}44\), entonces:

\[ n=2 \]

Alternativa correcta: b.

En el Crédito A se paga:

\[ 210.000 \]

En el Crédito B se debe sumar el cargo fijo:

\[ 208.000+5.000=213.000 \]

Por lo tanto, conviene el Crédito A, porque \(\$210.000\) es menor que \(\$213.000\).

Alternativa correcta: a.

Crédito de \(5\%\) por período:

\[ 100.000(1{,}05)^2=100.000\cdot 1{,}1025=110.250 \]

Crédito de \(10\%\) total:

\[ 100.000(1{,}10)=110.000 \]

El crédito de \(5\%\) por período genera:

\[ 110.250-110.000=250 \]

Por lo tanto, genera un total a pagar \(\$250\) mayor.

Alternativa correcta: b.

a)

\[ 6\cdot 18.000=108.000 \]

El costo total es \(\$108.000\).

b)

\[ 10\cdot 12.500=125.000 \]

El costo total es \(\$125.000\).

c)

\[ 4\cdot 55.000=220.000 \]

El costo total es \(\$220.000\).

d)

\[ 30.000+8\cdot 14.500=30.000+116.000=146.000 \]

El costo total es \(\$146.000\).

a)

\[ 9\cdot 22.000=198.000 \]

El costo total en cuotas es \(\$198.000\).

b)

\[ 198.000-180.000=18.000 \]

Se pagan \(\$18.000\) más que al contado.

c)

\[ \frac{18.000}{180.000}=0{,}10=10\% \]

El sobreprecio corresponde al 10% del valor al contado.

d) Pagar en cuotas permite repartir el pago, pero hace que el celular cueste \(\$18.000\) más, es decir, un \(10\%\) adicional respecto del precio al contado.

a)

Opción A:

\[ 12\cdot 26.000=312.000 \]

Opción B:

\[ 6\cdot 48.000=288.000 \]

b) La opción con menor costo total es la B.

c) La opción con menor cuota es la A.

d) La opción A tiene menor cuota, pero se paga durante más períodos. Por eso, al multiplicar cuota por número de cuotas, su costo total resulta mayor.

a) Restamos el pie al costo total:

\[ 160.000-40.000=120.000 \]

El monto que se pagará en cuotas es \(\$120.000\).

b) Como son \(8\) cuotas iguales:

\[ \frac{120.000}{8}=15.000 \]

Cada cuota será de \(\$15.000\).

c) El pago inicial forma parte del total pagado, pero no se reparte en cuotas. Por eso se resta primero para saber cuánto falta por financiar.

a)

\[ 10\cdot 46.000=460.000 \]

El costo total financiado es \(\$460.000\).

b)

\[ 460.000-420.000=40.000 \]

La diferencia con el contado es \(\$40.000\).

c)

\[ \frac{40.000}{420.000}\approx 0{,}0952=9{,}52\% \]

La diferencia corresponde aproximadamente al 9,52% del valor contado.

d) Financiar el notebook hace que se paguen \(\$40.000\) adicionales respecto del valor al contado.

a)

Plan A:

\[ 90.000 \]

Plan B:

\[ 5\cdot 20.000=100.000 \]

Plan C:

\[ 15.000+4\cdot 19.000=15.000+76.000=91.000 \]

b) Los costos totales son:

• Plan A: \(\$90.000\)
• Plan C: \(\$91.000\)
• Plan B: \(\$100.000\)

c) Si el criterio es pagar menos en total, conviene más el plan A.

d) El plan C tiene la menor cuota, porque sus cuotas son de \(\$19.000\), aunque además exige un pago inicial.

a) Como no hay pago inicial:

\[ \text{número de cuotas}=\frac{300.000}{25.000}=12 \]

Se deben pagar 12 cuotas.

b)

\[ 300.000-240.000=60.000 \]

Se pagan \(\$60.000\) más que al contado.

c)

\[ \frac{60.000}{240.000}=0{,}25=25\% \]

El sobreprecio equivale al 25% del valor al contado.

No, la afirmación es incorrecta.

Una cuota menor puede venir acompañada de un mayor número de pagos, lo que puede producir un costo total más alto.

Por ejemplo:

• Plan A: 12 cuotas de \(\$10.000\), costo total \(12\cdot 10.000=120.000\).
• Plan B: 5 cuotas de \(\$22.000\), costo total \(5\cdot 22.000=110.000\).

El Plan A tiene menor cuota, pero el Plan B tiene menor costo total. Para decidir bien hay que mirar tanto la cuota como el total pagado.

a)

Alternativa A:

\[ 240.000 \]

Alternativa B:

\[ 12\cdot 22.000=264.000 \]

Alternativa C:

\[ 30.000+8\cdot 27.000 \]

\[ 30.000+216.000=246.000 \]

b) De menor a mayor costo total:

1. A: \(\$240.000\)
2. C: \(\$246.000\)
3. B: \(\$264.000\)

c) La cuota más baja es la de la alternativa B: \(\$22.000\).

d) Si el criterio es pagar menos en total, conviene la alternativa A. Si se necesita repartir el pago, la alternativa C cuesta menos que la B, aunque la B tenga la cuota más baja.

a) La cuota máxima permitida es \(\$30.000\).

• A tiene cuotas de \(\$32.000\), por lo tanto no cumple.
• B tiene cuotas de \(\$28.000\), por lo tanto sí cumple.
• C tiene cuotas de \(\$29.000\), por lo tanto sí cumple, aunque además exige pago inicial.

b) Calculamos el costo total de B y C:

Alternativa B:

\[ 12\cdot 28.000=336.000 \]

Alternativa C:

\[ 40.000+8\cdot 29.000=40.000+232.000=272.000 \]

c) Entre las alternativas posibles, conviene más la C, porque cumple la restricción de cuota y tiene menor costo total.

\[ 8\cdot 15.000=120.000 \]

Alternativa correcta: c.

\[ 6\cdot 28.000=168.000 \]

\[ 168.000-150.000=18.000 \]

Alternativa correcta: b.

La afirmación correcta es la alternativa c, porque una comparación financiera razonable debe considerar tanto el monto de cada cuota como el total que se terminará pagando.

Alternativa correcta: c.

\[ 20.000+5\cdot 18.000 \]

\[ 20.000+90.000=110.000 \]

Alternativa correcta: d.

Primero restamos el pie:

\[ 240.000-60.000=180.000 \]

Luego dividimos en 6 cuotas:

\[ \frac{180.000}{6}=30.000 \]

Alternativa correcta: c.

Primero calculamos la diferencia:

\[ 250.000-200.000=50.000 \]

Luego la comparamos con el valor contado:

\[ \frac{50.000}{200.000}=0{,}25=25\% \]

Alternativa correcta: b.

Plan A:

\[ 10\cdot 18.000=180.000 \]

Plan B:

\[ 6\cdot 31.000=186.000 \]

El Plan A tiene menor cuota y menor costo total.

Alternativa correcta: a.

El Plan A no cumple, porque su cuota es de \(\$27.000\), mayor que \(\$25.000\).

El Plan B sí cumple:

\[ 10\cdot 24.000=240.000 \]

El Plan C también cumple en cuanto a cuota:

\[ 30.000+6\cdot 25.000=30.000+150.000=180.000 \]

Entre los planes que cumplen la cuota máxima, el menor costo total es el Plan C.

Alternativa correcta: c.

a) UF: unidad reajustable usada con frecuencia en operaciones financieras.

b) UTM: unidad usada en contextos tributarios y algunas multas.

c) IPC: índice que se usa para describir variaciones generales de precios.

a)

\[ 5\cdot 39.200=196.000 \]

5 UF equivalen a \(\$196.000\).

b)

\[ 8\cdot 39.200=313.600 \]

8 UF equivalen a \(\$313.600\).

c)

\[ 12{,}5\cdot 39.200=490.000 \]

\(12{,}5\) UF equivalen a \(\$490.000\).

d)

Como \(\$490.000\) es mayor que \(\$470.000\), no le alcanza. Le faltan:

\[ 490.000-470.000=20.000 \]

Le faltan \(\$20.000\).

a)

\[ 2\cdot 64.500=129.000 \]

2 UTM equivalen a \(\$129.000\).

b)

\[ 0{,}5\cdot 64.500=32.250 \]

\(0{,}5\) UTM equivalen a \(\$32.250\).

c)

\[ 3{,}2\cdot 64.500=206.400 \]

\(3{,}2\) UTM equivalen a \(\$206.400\).

d)

\[ 210.000-206.400=3.600 \]

Sobran \(\$3.600\).

a)

\[ 4{,}5\cdot 38.000=171.000 \]

El valor mensual es \(\$171.000\).

b)

\[ 6\cdot 171.000=1.026.000 \]

El costo total de 6 meses sería de \(\$1.026.000\), bajo el supuesto de que la UF se mantiene en \(\$38.000\).

c) Significa que el cobro está expresado en una unidad reajustable. Por eso, si cambia el valor de la UF, también cambia el equivalente en pesos.

a)

\[ 2{,}3\cdot 66.000=151.800 \]

La multa equivale a \(\$151.800\).

b)

\[ 160.000-151.800=8.200 \]

Sobran \(\$8.200\).

c) Porque la UTM no representa una cantidad fija de pesos por sí sola. Para saber cuánto dinero corresponde pagar, es necesario conocer su valor en pesos.

a)

\[ \frac{280.000}{40.000}=7 \]

El cobro representa 7 UF.

b)

\[ \frac{300.000}{40.000}=7{,}5 \]

Ahora representa \(7{,}5\) UF.

c) El cobro aumentó de 7 UF a \(7{,}5\) UF, es decir, subió \(0{,}5\) UF. En pesos, ese aumento corresponde a \(\$20.000\).

a) Transmite la idea de que, en términos generales, hubo una variación de precios en la economía durante ese período.

b) No. No significa que todos los precios hayan subido exactamente \(1{,}2\%\). Se trata de una referencia general sobre la variación del nivel de precios, no de una subida idéntica en cada producto o servicio.

c) Un reajuste de \(1{,}2\%\) usa multiplicador:

\[ 1+0{,}012=1{,}012 \]

\[ 450.000(1{,}012)=455.400 \]

El nuevo valor sería de \(\$455.400\).

a)

\[ 10\cdot 40.000=400.000 \]

El arriendo A equivale a \(\$400.000\).

b) El arriendo A equivale a \(\$400.000\) y el B es \(\$395.000\).

c) El arriendo A es mayor por:

\[ 400.000-395.000=5.000 \]

Es decir, por \(\$5.000\).

d) Si \(1\ \text{UF}=\$40.800\), entonces:

\[ 10\cdot 40.800=408.000 \]

El arriendo A sería de \(\$408.000\).

No, la afirmación es incorrecta.

Un monto expresado en UF mantiene la cantidad de UF, pero su equivalente en pesos puede cambiar si cambia el valor de \(1\) UF.

Por ejemplo, 5 UF con \(1\ \text{UF}=\$38.000\) equivalen a:

\[ 5\cdot 38.000=190.000 \]

Pero 5 UF con \(1\ \text{UF}=\$40.000\) equivalen a:

\[ 5\cdot 40.000=200.000 \]

La cantidad de UF es la misma, pero el monto en pesos cambió.

a)

\[ 12\cdot 39.500=474.000 \]

La opción B equivale a \(\$474.000\).

b) Como \(\$474.000\) es menor que \(\$480.000\), tiene menor costo la opción B.

c) Para que la opción B sea igual a la opción A:

\[ 12\cdot \text{UF}=480.000 \]

\[ \text{UF}=\frac{480.000}{12}=40.000 \]

La opción B sería igual o más conveniente que A si el valor de \(1\) UF es \(\$40.000\) o menos.

\[ 6\cdot 38.000=228.000 \]

Alternativa correcta: c.

\[ 2{,}5\cdot 65.000=162.500 \]

Alternativa correcta: c.

El IPC es un indicador relacionado con la variación general de precios.

Alternativa correcta: c.

La UF y la UTM son unidades de referencia. Para convertirlas a pesos, se necesita conocer el valor de la unidad en pesos.

Alternativa correcta: d.

\[ 9\cdot 41.000=369.000 \]

El arriendo equivale a \(\$369.000\).

Alternativa correcta: b.

Para encontrar el valor de \(1\) UF, dividimos el monto en pesos por la cantidad de UF:

\[ \frac{330.000}{8{,}25}=40.000 \]

El valor usado fue \(\$40.000\) por UF.

Alternativa correcta: c.

Un reajuste de \(4\%\) usa multiplicador:

\[ 1+0{,}04=1{,}04 \]

\[ 250.000(1{,}04)=260.000 \]

Alternativa correcta: b.

Mes A:

\[ 7\cdot 38.000=266.000 \]

Mes B:

\[ 7\cdot 39.500=276.500 \]

Aumento:

\[ 276.500-266.000=10.500 \]

Alternativa correcta: c.

La cotización obligatoria corresponde al \(10\%\) de la renta imponible:

\[ 720.000\cdot 0{,}10=72.000 \]

La cotización obligatoria estimada es \(\$72.000\).

Un año tiene \(12\) meses. Entonces:

\[ 25.000\cdot 12=300.000 \]

El ahorro anual es \(\$300.000\), sin considerar rentabilidad.

Restamos las rentabilidades:

\[ 5{,}1\%-3{,}8\%=1{,}3\% \]

La diferencia es de \(1{,}3\) puntos porcentuales.

Se habla de puntos porcentuales porque se está comparando directamente dos porcentajes.

Debería considerar, por ejemplo:

• el plazo que le queda hasta jubilarse;
• el riesgo de pérdidas en un período corto;
• la estabilidad de la rentabilidad en el tiempo;
• su tolerancia personal al riesgo.

Una mayor rentabilidad pasada no garantiza una mayor rentabilidad futura. Por eso, la decisión no debe basarse solo en el resultado del último año.

Primero calculamos la cotización obligatoria:

\[ 500.000\cdot 0{,}10=50.000 \]

Luego sumamos el APV mensual:

\[ 50.000+30.000=80.000 \]

Destina \(\$80.000\) mensuales a ahorro previsional en total.

Porque la rentabilidad reciente no asegura resultados futuros. Además, una decisión previsional debe considerar riesgo, edad, plazo, costos, estabilidad laboral y objetivos personales.

El porcentaje de rentabilidad es una información importante, pero no suficiente para tomar una decisión fundamentada.

Calculamos primero el \(10\%\) mensual:

\[ 900.000\cdot 0{,}10=90.000 \]

La cotización obligatoria mensual es \(\$90.000\).

En un año:

\[ 90.000\cdot 12=1.080.000 \]

Durante el año se destinarían \(\$1.080.000\) a cotización obligatoria, bajo el supuesto indicado.

Sabemos que:

\[ \text{cotización obligatoria}=0{,}10\cdot \text{renta imponible} \]

Reemplazamos:

\[ 85.000=0{,}10\cdot \text{renta imponible} \]

Despejamos dividiendo por \(0{,}10\):

\[ \text{renta imponible}=\frac{85.000}{0{,}10}=850.000 \]

La renta imponible es \(\$850.000\).

Calculamos el \(10\%\) de \(\$680.000\):

\[ 680.000\cdot 0{,}10=68.000 \]

Alternativa correcta: b.

Un año tiene \(12\) meses:

\[ 35.000\cdot 12=420.000 \]

Alternativa correcta: c.

Restamos:

\[ 6{,}4\%-4{,}9\%=1{,}5\% \]

La diferencia es de \(1{,}5\) puntos porcentuales.

Alternativa correcta: a.

Una decisión previsional no depende solo de un porcentaje reciente. También deben considerarse el riesgo, el plazo, la edad, los costos y la situación personal.

Alternativa correcta: c.

Primero calculamos la cotización obligatoria:

\[ 750.000\cdot 0{,}10=75.000 \]

Luego sumamos el APV:

\[ 75.000+20.000=95.000 \]

Alternativa correcta: b.

Calculamos el pie:

\[ 3.500\cdot 0{,}10=350 \]

Luego calculamos el monto a financiar:

\[ 3.500-350=3.150 \]

El pie es 350 UF y el monto a financiar es 3.150 UF.

Primero convertimos años a meses:

\[ 25\cdot 12=300 \text{ meses} \]

Luego multiplicamos por el dividendo mensual:

\[ 9{,}8\cdot 300=2.940 \]

El costo total aproximado es 2.940 UF, sin considerar seguros, gastos u otras condiciones.

Para convertir de UF a pesos, multiplicamos por el valor de \(1\) UF:

\[ 8{,}6\cdot 37.000=318.200 \]

El pago mensual estimado es \(\$318.200\).

No es correcto porque el dividendo mensual no muestra por sí solo el costo total del crédito.

También importan el plazo, la CAE, los seguros, los gastos operacionales, las condiciones de prepago y el hecho de que muchos créditos estén expresados en UF.

Un dividendo menor puede estar asociado a un plazo más largo, lo que podría aumentar el total pagado durante toda la vida del crédito.

Una ventaja es que el pago mensual puede ser más fácil de asumir, porque el dividendo es menor.

Una desventaja es que, al pagar durante más tiempo, el costo total del crédito puede aumentar.

Por eso, antes de decidir conviene revisar tanto la cuota mensual como el costo total y las condiciones del crédito.

Pediría al menos:

• dividendo mensual;
• plazo del crédito;
• CAE;
• tasa de interés;
• costo total;
• seguros asociados;
• gastos operacionales;
• condiciones de prepago;
• si el crédito está expresado en UF o en pesos.

Con esa información se puede comparar de forma más fundamentada.

Banco A:

El plazo de \(20\) años equivale a:

\[ 20\cdot 12=240 \text{ meses} \]

Entonces:

\[ 12{,}1\cdot 240=2.904 \]

El total aproximado del Banco A es 2.904 UF.

Banco B:

El plazo de \(25\) años equivale a:

\[ 25\cdot 12=300 \text{ meses} \]

Entonces:

\[ 10{,}8\cdot 300=3.240 \]

El total aproximado del Banco B es 3.240 UF.

Aunque el Banco B tiene menor dividendo mensual, el Banco A tiene menor total pagado en UF bajo esta estimación simple.

a) Calculamos el pie:

\[ 4.200\cdot 0{,}15=630 \]

El pie es 630 UF.

b) El monto a financiar es:

\[ 4.200-630=3.570 \]

El monto a financiar es 3.570 UF.

c) Si además debe considerar \(45\) UF de gastos operacionales:

\[ 630+45=675 \]

Debe tener inicialmente 675 UF para cubrir pie y gastos operacionales, según los datos del ejercicio.

Calculamos el \(20\%\) de \(3.000\) UF:

\[ 3.000\cdot 0{,}20=600 \]

Alternativa correcta: c.

Primero convertimos el plazo a meses:

\[ 20\cdot 12=240 \]

Luego multiplicamos por el dividendo mensual:

\[ 10\cdot 240=2.400 \]

Alternativa correcta: d.

Convertimos UF a pesos:

\[ 9{,}5\cdot 38.000=361.000 \]

Alternativa correcta: b.

Para comparar créditos hipotecarios no basta mirar una sola variable. Es importante revisar dividendo, plazo, CAE, seguros, gastos operacionales, costo total y condiciones del contrato.

Alternativa correcta: c.

Primero calculamos el pie:

\[ 4.000\cdot 0{,}25=1.000 \]

Luego restamos al valor de la vivienda:

\[ 4.000-1.000=3.000 \]

Se solicita al banco 3.000 UF.

Alternativa correcta: c.