Corresponden a funciones potencia de exponente entero:

• \(f(x)=3x^2\), porque tiene la forma \(a\cdot x^n\), con \(a=3\) y \(n=2\).
• \(h(x)=5x^{-1}\), porque tiene la forma \(a\cdot x^n\), con \(a=5\) y \(n=-1\).

No corresponden:

• \(g(x)=2^x\), porque es exponencial: la variable está en el exponente.
• \(p(x)=4x+1\), porque no tiene la forma \(a\cdot x^n\), ya que incluye una suma.

a) El área de un cuadrado se obtiene elevando al cuadrado la medida del lado:

\[ A(l)=l^2 \]

b) Si \(l=5\), entonces:

\[ A(5)=5^2=25 \]

El área es 25 unidades cuadradas.

c) Representa crecimiento, porque al aumentar \(l\), el área \(A(l)\) también aumenta.

a) El volumen de un cubo se obtiene elevando al cubo la medida de la arista:

\[ V(a)=a^3 \]

b) Para \(a=4\):

\[ V(4)=4^3=64 \]

c) Para \(a=2\):

\[ V(2)=2^3=8 \]

El volumen aumenta rápidamente al aumentar la arista, porque el modelo tiene exponente \(3\).

a) Evaluamos la función:

\[ T(1)=\frac{18}{1}=18 \]

\[ T(2)=\frac{18}{2}=9 \]

\[ T(6)=\frac{18}{6}=3 \]

b) Representa decrecimiento para \(n>0\), porque al aumentar \(n\), el valor de \(T(n)\) disminuye.

c) En contexto, a medida que aumenta el número de trabajadores, el tiempo necesario para completar la tarea disminuye.

Evaluamos cada valor en \(f(x)=x^2\):

\[ f(1)=1^2=1,\qquad f(2)=2^2=4,\qquad f(3)=3^2=9,\qquad f(5)=5^2=25 \]

Evaluamos cada valor en \(g(x)=\frac{12}{x}\):

\[ g(1)=\frac{12}{1}=12,\qquad g(2)=\frac{12}{2}=6,\qquad g(3)=\frac{12}{3}=4,\qquad g(6)=\frac{12}{6}=2 \]

Una diferencia importante es que \(f(x)=x^2\) crece cuando \(x\) aumenta, mientras que \(g(x)=x^{-1}\) disminuye cuando \(x\) aumenta, para \(x>0\).

Por ejemplo:

\[ f(1)=1,\qquad f(2)=4,\qquad f(3)=9 \]

En cambio:

\[ g(1)=1,\qquad g(2)=\frac{1}{2},\qquad g(3)=\frac{1}{3} \]

No, la afirmación es incorrecta.

Por ejemplo, si \(f(x)=x^2\), entonces:

\[ f(2)=2^2=4 \]

y

\[ f(4)=4^2=16 \]

Aquí \(x\) se duplicó de \(2\) a \(4\), pero el valor de la función pasó de \(4\) a \(16\), no solo al doble.

La expresión correcta es:

\[ f(x)=3x^2 \]

Corresponde a una función potencia porque tiene la forma \(a\cdot x^n\), con \(a=3\) y \(n=2\).

Alternativa correcta: a.

Reemplazamos \(x=2\):

\[ f(2)=2^3=8 \]

Alternativa correcta: c.

Para \(x>0\), la función que decrece es:

\[ f(x)=5x^{-1}=\frac{5}{x} \]

Cuando \(x\) aumenta, el valor de \(\frac{5}{x}\) disminuye.

Alternativa correcta: c.

Por la propiedad de exponentes negativos:

\[ x^{-1}=\frac{1}{x} \]

Alternativa correcta: b.

Calculamos cada imagen elevando \(x\) al cuadrado:

\[ (-3)^2=9,\quad (-2)^2=4,\quad (-1)^2=1,\quad 0^2=0,\quad 1^2=1,\quad 2^2=4,\quad 3^2=9 \]

Los valores se repiten para números opuestos, por ejemplo \(f(-3)=f(3)\).

Calculamos cada imagen elevando \(x\) al cubo:

\[ (-2)^3=-8,\quad (-1)^3=-1,\quad 0^3=0,\quad 1^3=1,\quad 2^3=8,\quad 3^3=27 \]

En esta función, los valores negativos de \(x\) producen resultados negativos.

Usamos \(h(x)=\frac{1}{x}\):

\[ h(-4)=-\frac{1}{4},\quad h(-2)=-\frac{1}{2},\quad h(-1)=-1,\quad h(1)=1,\quad h(2)=\frac{1}{2},\quad h(4)=\frac{1}{4} \]

Para \(x>0\), los valores disminuyen a medida que \(x\) aumenta.

Usamos \(p(x)=\frac{1}{x^2}\):

\[ p(-2)=\frac{1}{(-2)^2}=\frac{1}{4},\quad p(-1)=\frac{1}{(-1)^2}=1,\quad p(1)=1,\quad p(2)=\frac{1}{4},\quad p(3)=\frac{1}{9} \]

La función toma valores positivos para \(x\neq 0\), porque el denominador \(x^2\) siempre es positivo.

a) Una función posible es:

\[ f(x)=x^2 \]

b) Los valores son iguales para \(x\) y \(-x\). Además, todos los valores son no negativos.

Por ejemplo:

\[ f(-2)=4 \quad \text{y} \quad f(2)=4 \]

a) Una función posible es:

\[ g(x)=x^{-1}=\frac{1}{x} \]

b) No aparece \(x=0\) porque la función no está definida en ese valor, ya que implicaría dividir por cero:

\[ \frac{1}{0} \]

Esta expresión no está definida.

Una diferencia importante es que en \(f(x)=x^2\) los valores negativos de \(x\) producen resultados positivos, mientras que en \(g(x)=x^3\) los valores negativos de \(x\) producen resultados negativos.

Por ejemplo:

\[ (-2)^2=4 \]

pero:

\[ (-2)^3=-8 \]

Esto ocurre porque \(2\) es un exponente par y \(3\) es un exponente impar.

No, no es correcto.

Como:

\[ q(x)=x^{-1}=\frac{1}{x} \]

entonces en \(x=0\) se obtendría:

\[ q(0)=\frac{1}{0} \]

La división por cero no está definida. Por eso \(q(0)\) no existe.

Reemplazamos \(x=-3\):

\[ f(-3)=(-3)^2=9 \]

Alternativa correcta: b.

Reemplazamos \(x=-2\):

\[ g(-2)=(-2)^3=-8 \]

Alternativa correcta: b.

Usamos la propiedad de exponente negativo:

\[ h(4)=4^{-1}=\frac{1}{4} \]

Alternativa correcta: b.

La afirmación correcta es la b, porque:

\[ (-2)^2=4 \]

y

\[ 2^2=4 \]

Por lo tanto, en \(f(x)=x^2\), se cumple que \(f(-2)=f(2)\).

Alternativa correcta: b.

Para \(x=-1\):

\[ x^2=(-1)^2=1,\qquad x^3=(-1)^3=-1 \]

Entonces, \(x^2\) tiene mayor valor.

Para \(x=1\):

\[ x^2=1^2=1,\qquad x^3=1^3=1 \]

Tienen el mismo valor.

Para \(x=2\):

\[ x^2=2^2=4,\qquad x^3=2^3=8 \]

Entonces, \(x^3\) tiene mayor valor.

Para \(x=-1\):

\[ x^{-1}=\frac{1}{-1}=-1,\qquad x^{-2}=\frac{1}{(-1)^2}=1 \]

Para \(x=1\):

\[ x^{-1}=1,\qquad x^{-2}=1 \]

Para \(x=2\):

\[ x^{-1}=\frac{1}{2},\qquad x^{-2}=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4} \]

Una diferencia importante es que \(x^{-1}\) puede tomar valores negativos, mientras que \(x^{-2}\) siempre es positiva para \(x\neq 0\).

Simétricas respecto del eje \(y\):

• \(x^2\), porque \((-x)^2=x^2\).
• \(x^{-2}\), porque \(\frac{1}{(-x)^2}=\frac{1}{x^2}\).

Simétricas respecto del origen:

• \(x^3\), porque \((-x)^3=-x^3\).
• \(x^{-1}\), porque \(\frac{1}{-x}=-\frac{1}{x}\).

Para \(x>0\):

• \(x^2\): crece, porque al aumentar \(x\), su cuadrado aumenta.
• \(x^3\): crece, porque al aumentar \(x\), su cubo aumenta.
• \(x^{-1}=\frac{1}{x}\): decrece, porque al aumentar \(x\), el denominador aumenta.
• \(x^{-2}=\frac{1}{x^2}\): decrece, porque al aumentar \(x\), el denominador \(x^2\) aumenta.

a) Si \(0<x<1\), entonces:

\[ x^3<x^2 \]

Por ejemplo, si \(x=\frac{1}{2}\):

\[ \left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8} \qquad\text{y}\qquad \left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4} \]

Por lo tanto, \(x^2\) toma mayores valores.

b) Si \(x>1\), entonces:

\[ x^3>x^2 \]

Por ejemplo, si \(x=2\):

\[ 2^3=8 \qquad\text{y}\qquad 2^2=4 \]

Por lo tanto, \(x^3\) toma mayores valores.

Porque ambas funciones no están definidas en \(x=0\).

En efecto:

\[ x^{-1}=\frac{1}{x} \qquad\text{y}\qquad x^{-2}=\frac{1}{x^2} \]

Si \(x=0\), aparece una división por cero:

\[ \frac{1}{0} \]

Esa expresión no está definida. Por eso sus gráficos no pasan por el origen.

No, la afirmación es incorrecta.

Aunque ambos tienen exponente par y simetría respecto del eje \(y\), sus comportamientos son distintos.

La función \(x^2\) está definida en \(x=0\) y:

\[ 0^2=0 \]

En cambio, \(x^{-2}\) no está definida en \(x=0\), porque:

\[ x^{-2}=\frac{1}{x^2} \]

Además, \(x^2\) crece cuando \(|x|\) aumenta, mientras que \(x^{-2}\) se acerca a \(0\) cuando \(|x|\) crece.

Dos diferencias posibles son:

• \(x^3\) está definida en \(x=0\), mientras que \(x^{-1}\) no está definida en \(x=0\).
• Para \(x>0\), \(x^3\) crece al aumentar \(x\), mientras que \(x^{-1}\) decrece.

Por ejemplo:

\[ x^3 \text{ pasa por } (0,0), \]

pero \(x^{-1}=\frac{1}{x}\) no tiene valor en \(x=0\).

La función simétrica respecto del eje \(y\) es:

\[ x^2 \]

Esto ocurre porque:

\[ (-x)^2=x^2 \]

Alternativa correcta: c.

La función que no está definida en \(x=0\) es:

\[ x^{-1}=\frac{1}{x} \]

Si \(x=0\), se obtiene \(\frac{1}{0}\), que no está definido.

Alternativa correcta: d.

Para \(x>1\), se cumple:

\[ x^3>x^2 \]

Por ejemplo, si \(x=2\):

\[ 2^3=8 \quad \text{y} \quad 2^2=4 \]

Alternativa correcta: b.

La afirmación correcta es la c.

Como:

\[ x^{-1}=\frac{1}{x} \]

si \(x>0\), entonces \(\frac{1}{x}>0\); y si \(x<0\), entonces \(\frac{1}{x}<0\).

Por lo tanto, \(x^{-1}\) cambia de signo según el signo de \(x\).

Alternativa correcta: c.

Para \(x=2\):

\[ x^2=2^2=4 \]

\[ 2x^2=2\cdot 2^2=8 \]

\[ \frac{1}{2}x^2=\frac{1}{2}\cdot 2^2=2 \]

La función que toma mayor valor es \(2x^2\).

La que queda más cerca del eje \(x\) es \(\frac{1}{2}x^2\).

El gráfico se refleja respecto del eje \(x\).

Esto ocurre porque todos los valores de la función cambian de signo:

\[ x^2 \rightarrow -x^2 \]

Por ejemplo, si \(x=2\), entonces \(x^2=4\), pero \(-x^2=-4\).

Si \(0<x<1\), entonces:

\[ x>x^2>x^3 \]

Por ejemplo, si \(x=\frac{1}{2}\), entonces:

\[ \frac{1}{2}>\frac{1}{4}>\frac{1}{8} \]

Por lo tanto, el orden de mayor a menor es \(x\), \(x^2\), \(x^3\).

Si \(x>1\), entonces:

\[ x<x^2<x^3 \]

Por ejemplo, si \(x=2\), entonces:

\[ 2<4<8 \]

Por lo tanto, el orden de menor a mayor es \(x\), \(x^2\), \(x^3\).

Evaluamos \(f(x)=-2x^2\):

\[ f(-2)=-2(-2)^2=-2\cdot 4=-8 \]

\[ f(-1)=-2(-1)^2=-2\cdot 1=-2 \]

\[ f(0)=-2\cdot 0^2=0 \]

\[ f(1)=-2\cdot 1^2=-2 \]

\[ f(2)=-2\cdot 2^2=-8 \]

El signo negativo refleja el gráfico respecto del eje \(x\), y el factor \(2\) lo estira verticalmente.

No, no es correcta.

Tienen una forma semejante, pero no son el mismo gráfico.

La función \(2x^2\) toma valores mayores que \(x^2\) para \(x\neq 0\), por lo que aparece más estirada verticalmente.

Por ejemplo, si \(x=2\):

\[ x^2=4,\qquad 2x^2=8 \]

Por lo tanto, no coinciden en todos sus puntos.

Una diferencia importante es que \(x^2\) está definida en \(x=0\) y pasa por el origen:

\[ 0^2=0 \]

En cambio, \(x^{-2}\) no está definida en \(x=0\), porque:

\[ x^{-2}=\frac{1}{x^2} \]

y al reemplazar \(x=0\) aparecería una división por cero.

a) \(x^2 \rightarrow 3x^2\): hay un estiramiento vertical, porque \(|a|=3>1\).

b) \(x^2 \rightarrow \frac{1}{4}x^2\): hay una compresión vertical, porque \(0<\left|\frac{1}{4}\right|<1\).

c) \(x^2 \rightarrow -x^2\): hay una reflexión respecto del eje \(x\), porque la constante pasa a ser negativa.

d) \(x^2 \rightarrow x^3\): hay un cambio de forma, porque se modifica el exponente.

Reflejar respecto del eje \(x\) significa cambiar el signo de todos los valores de \(y\).

Por eso, el reflejo de \(y=x^2\) es:

\[ y=-x^2 \]

Alternativa correcta: b.

Para \(x>1\), \(x^3\) crece más rápido que \(x^2\), mientras que \(\frac{1}{2}x^2\) queda por debajo de \(x^2\), \(-x^2\) es negativa y \(x^{-1}\) disminuye.

Por ejemplo, si \(x=2\):

\[ \frac{1}{2}x^2=2,\qquad -x^2=-4,\qquad x^3=8,\qquad x^{-1}=\frac{1}{2} \]

La función que toma mayor valor es:

\[ x^3 \]

Alternativa correcta: c.

Las funciones \(x^{-2}\), \(x^{-1}\) y \(\frac{3}{x}\) no están definidas en \(x=0\), porque implican división por cero.

La función \(-x^2\) sí está definida para todo número real.

Alternativa correcta: c.

Como \(f(x)=ax^2\), entonces:

\[ f(2)=a\cdot 2^2=4a \]

Se sabe que \(f(2)=8\), por lo tanto:

\[ 4a=8 \]

Despejamos:

\[ a=\frac{8}{4}=2 \]

Alternativa correcta: c.

Son periódicas:

• b) La altura de una cabina en una rueda de la fortuna.
• c) La temperatura aproximada durante un día, si se considera un patrón diario repetitivo.

Las otras corresponden más bien a crecimiento, no a repetición regular.

Porque \(y=x^2\) no representa un comportamiento que suba y baje de manera repetida.

Las mareas son periódicas: alcanzan niveles altos y bajos varias veces siguiendo un ciclo. Por eso se necesita un modelo que repita su comportamiento después de intervalos regulares.

Sí, se puede sospechar.

El valor \(5\) se repite en distintos instantes y la tabla sugiere un patrón de subida y bajada:

\[ 5,\ 9,\ 5,\ 1,\ 5 \]

Eso hace pensar en un comportamiento periódico, aunque para confirmarlo sería útil observar más datos.

Una posible respuesta es:

“...volver a comportarse de manera semejante”.

También podría completarse como:

“...repetir su patrón”.

No, no siempre es correcta.

Para que una situación sea periódica, no basta con que suba y baje una vez. Debe existir una repetición regular del comportamiento.

Por ejemplo, una pelota lanzada hacia arriba sube y luego baja, pero ese movimiento por sí solo no necesariamente se repite de manera regular.

Ejemplos posibles:

• el movimiento de un columpio;
• las vibraciones de una cuerda;
• las ondas de sonido;
• el movimiento de una rueda que gira de manera constante.

En todos estos casos aparece una repetición del comportamiento después de cierto intervalo.

La situación correcta es:

b) La altura del agua en una marea a lo largo del tiempo.

Las mareas suben y bajan siguiendo un patrón repetitivo, por eso requieren un modelo periódico.

Alternativa correcta: b.

Un fenómeno que repite su comportamiento después de intervalos iguales se llama periódico.

Alternativa correcta: c.

La afirmación correcta es la b.

Los modelos periódicos permiten representar ciclos o repeticiones regulares. En cambio, las funciones potencia estudiadas hasta ahora modelan mejor crecimiento, decrecimiento o relaciones de escala.

Alternativa correcta: b.

La característica más importante es que el valor \(3\) se repite en distintos tiempos y se observa un patrón de subida y bajada.

Alternativa correcta: b.

Aplicamos directamente las definiciones:

\[ \operatorname{sen}(\alpha)=\frac{CO}{hip}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5} \]

\[ \cos(\alpha)=\frac{CA}{hip}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5} \]

\[ \tan(\alpha)=\frac{CO}{CA}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4} \]

Por lo tanto:

\[ \operatorname{sen}(\alpha)=\frac{3}{5},\qquad \cos(\alpha)=\frac{4}{5},\qquad \tan(\alpha)=\frac{3}{4} \]

El orden de los ángulos es:

\[ 0^\circ,\;30^\circ,\;45^\circ,\;60^\circ,\;90^\circ \]

Para el seno se usan las raíces desde \(0\) hasta \(4\):

\[ \frac{\sqrt{0}}{2},\; \frac{\sqrt{1}}{2},\; \frac{\sqrt{2}}{2},\; \frac{\sqrt{3}}{2},\; \frac{\sqrt{4}}{2} \]

Como \(60^\circ\) está en el cuarto lugar:

\[ \operatorname{sen}(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2} \]

Para el coseno se usa el orden contrario:

\[ \frac{\sqrt{4}}{2},\; \frac{\sqrt{3}}{2},\; \frac{\sqrt{2}}{2},\; \frac{\sqrt{1}}{2},\; \frac{\sqrt{0}}{2} \]

Entonces:

\[ \cos(60^\circ)=\frac{\sqrt{1}}{2}=\frac{1}{2} \]

Finalmente:

\[ \tan(60^\circ)=\frac{\operatorname{sen}(60^\circ)}{\cos(60^\circ)} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3} \]

Primero, usamos la cotangente como inverso multiplicativo de la tangente:

\[ \tan(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{3} \quad \Rightarrow \quad \operatorname{ctg}(30^\circ)=\frac{3}{\sqrt{3}} \]

Racionalizando:

\[ \frac{3}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} \]

Luego, usamos la secante como inverso multiplicativo del coseno:

\[ \cos(60^\circ)=\frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad \sec(60^\circ)=\frac{2}{1}=2 \]

Finalmente, usamos la cosecante como inverso multiplicativo del seno:

\[ \operatorname{sen}(30^\circ)=\frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad \csc(30^\circ)=\frac{2}{1}=2 \]

Por lo tanto:

\[ \operatorname{ctg}(30^\circ)=\sqrt{3},\qquad \sec(60^\circ)=2,\qquad \csc(30^\circ)=2 \]

De la tabla de ángulos notables:

\[ \operatorname{sen}(30^\circ)=\frac{1}{2} \qquad \cos(60^\circ)=\frac{1}{2} \]

Reemplazamos:

\[ 2\operatorname{sen}(30^\circ)+\cos(60^\circ) = 2\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \]

\[ =1+\frac{1}{2} = \frac{3}{2} \]

El valor exacto de la expresión es \(\frac{3}{2}\).

De la tabla:

\[ \tan(60^\circ)=\sqrt{3} \qquad \operatorname{ctg}(30^\circ)=\sqrt{3} \]

Entonces:

\[ \tan(60^\circ)-\operatorname{ctg}(30^\circ) = \sqrt{3}-\sqrt{3} = 0 \]

El valor exacto es \(0\).

De la tabla:

\[ \cos(90^\circ)=0 \qquad \operatorname{sen}(90^\circ)=1 \]

La tangente se define como:

\[ \tan(\alpha)=\frac{\operatorname{sen}(\alpha)}{\cos(\alpha)} \]

Para \(90^\circ\):

\[ \tan(90^\circ)=\frac{\operatorname{sen}(90^\circ)}{\cos(90^\circ)} = \frac{1}{0} \]

Como no se puede dividir por cero, \(\tan(90^\circ)\) no existe.

La altura del poste es el cateto opuesto y la distancia al poste es el cateto adyacente.

Usamos la tangente:

\[ \tan(45^\circ)=\frac{CO}{CA} \]

Como \(\tan(45^\circ)=1\), entonces:

\[ 1=\frac{x}{20} \]

Multiplicando por \(20\):

\[ x=20 \]

Por lo tanto, la altura del poste es \(20\) metros.

La escalera corresponde a la hipotenusa y la altura en la pared corresponde al cateto opuesto al ángulo de \(60^\circ\).

Usamos el seno:

\[ \operatorname{sen}(60^\circ)=\frac{CO}{hip} \]

Como \(\operatorname{sen}(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}\), se tiene:

\[ \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{x}{10} \]

Multiplicando por \(10\):

\[ x=10\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3} \]

Por lo tanto, la escalera llega a una altura de \(5\sqrt{3}\) metros.

La altura del poste es el cateto opuesto y la distancia al poste es el cateto adyacente.

Usamos la tangente:

\[ \tan(45^\circ)=\frac{CO}{CA} \]

Como \(\tan(45^\circ)=1\), entonces:

\[ 1=\frac{x}{20} \]

Multiplicando por \(20\):

\[ x=20 \]

Por lo tanto, la altura del poste es \(20\) metros.

La escalera corresponde a la hipotenusa y la altura en la pared corresponde al cateto opuesto al ángulo de \(60^\circ\).

Usamos el seno:

\[ \operatorname{sen}(60^\circ)=\frac{CO}{hip} \]

Como \(\operatorname{sen}(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}\), se tiene:

\[ \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{x}{10} \]

Multiplicando por \(10\):

\[ x=10\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3} \]

Por lo tanto, la escalera llega a una altura de \(5\sqrt{3}\) metros.

La altura de la torre es el cateto opuesto y la distancia horizontal es el cateto adyacente.

Usamos la tangente:

\[ \tan(60^\circ)=\frac{x}{12} \]

Como \(\tan(60^\circ)=\sqrt{3}\), entonces:

\[ \sqrt{3}=\frac{x}{12} \]

Multiplicando por \(12\):

\[ x=12\sqrt{3} \]

Por lo tanto, la altura de la torre es \(12\sqrt{3}\) metros.

El hilo corresponde a la hipotenusa y la altura corresponde al cateto opuesto al ángulo de \(30^\circ\).

Usamos el seno:

\[ \operatorname{sen}(30^\circ)=\frac{x}{40} \]

Como \(\operatorname{sen}(30^\circ)=\frac{1}{2}\), se tiene:

\[ \frac{1}{2}=\frac{x}{40} \]

Multiplicando por \(40\):

\[ x=40\cdot \frac{1}{2}=20 \]

Por lo tanto, el volantín se encuentra a \(20\) metros de altura.

La rampa corresponde a la hipotenusa y la altura corresponde al cateto opuesto.

Usamos el seno:

\[ \operatorname{sen}(30^\circ)=\frac{x}{8} \]

Como \(\operatorname{sen}(30^\circ)=\frac{1}{2}\), entonces:

\[ \frac{1}{2}=\frac{x}{8} \]

Multiplicando por \(8\):

\[ x=4 \]

Por lo tanto, la rampa alcanza una altura de \(4\) metros.

El ángulo de depresión de \(45^\circ\) coincide con el ángulo de elevación desde la embarcación hacia la parte superior del faro.

La altura del faro es el cateto opuesto y la distancia horizontal es el cateto adyacente.

Usamos la tangente:

\[ \tan(45^\circ)=\frac{30}{x} \]

Como \(\tan(45^\circ)=1\), se tiene:

\[ 1=\frac{30}{x} \]

Multiplicando por \(x\):

\[ x=30 \]

Por lo tanto, la embarcación está a \(30\) metros de la base del faro.

La distancia al anclaje es el cateto adyacente y el cable corresponde a la hipotenusa.

Usamos el coseno:

\[ \cos(60^\circ)=\frac{9}{x} \]

Como \(\cos(60^\circ)=\frac{1}{2}\), se obtiene:

\[ \frac{1}{2}=\frac{9}{x} \]

Multiplicando por \(x\):

\[ \frac{x}{2}=9 \]

Multiplicando por \(2\):

\[ x=18 \]

Por lo tanto, el cable mide \(18\) metros.

La altura del edificio es el cateto opuesto y la distancia buscada es el cateto adyacente.

Usamos la tangente:

\[ \tan(30^\circ)=\frac{18}{x} \]

Como \(\tan(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{3}\), entonces:

\[ \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{18}{x} \]

Multiplicando por \(x\):

\[ \frac{x\sqrt{3}}{3}=18 \]

Multiplicando por \(3\):

\[ x\sqrt{3}=54 \]

Dividiendo por \(\sqrt{3}\):

\[ x=\frac{54}{\sqrt{3}} \]

Racionalizando:

\[ x=\frac{54\sqrt{3}}{3}=18\sqrt{3} \]

Por lo tanto, el observador está a \(18\sqrt{3}\) metros de la base del edificio.

La altura de la antena corresponde al cateto opuesto y la distancia horizontal al cateto adyacente.

Usamos la tangente:

\[ \tan(30^\circ)=\frac{x}{10\sqrt{3}} \]

Como \(\tan(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{3}\), entonces:

\[ \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{x}{10\sqrt{3}} \]

Multiplicando por \(10\sqrt{3}\):

\[ x=10\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \]

Como \(\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3\), se obtiene:

\[ x=10\cdot \frac{3}{3}=10 \]

Por lo tanto, la antena mide \(10\) metros.

La altura es el cateto opuesto y la escalera corresponde a la hipotenusa.

Usamos el seno:

\[ \operatorname{sen}(60^\circ)=\frac{12}{x} \]

Como \(\operatorname{sen}(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}\), entonces:

\[ \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{12}{x} \]

Multiplicando por \(x\):

\[ \frac{x\sqrt{3}}{2}=12 \]

Multiplicando por \(2\):

\[ x\sqrt{3}=24 \]

Dividiendo por \(\sqrt{3}\):

\[ x=\frac{24}{\sqrt{3}} \]

Racionalizando:

\[ x=\frac{24\sqrt{3}}{3}=8\sqrt{3} \]

Por lo tanto, la escalera mide \(8\sqrt{3}\) metros.

El ángulo de depresión de \(30^\circ\) coincide con el ángulo de elevación desde el objeto hacia el mirador.

La altura es el cateto opuesto y la distancia horizontal es el cateto adyacente.

Usamos la tangente:

\[ \tan(30^\circ)=\frac{27}{x} \]

Como \(\tan(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{3}\), entonces:

\[ \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{27}{x} \]

Multiplicando por \(x\):

\[ \frac{x\sqrt{3}}{3}=27 \]

Multiplicando por \(3\):

\[ x\sqrt{3}=81 \]

Dividiendo por \(\sqrt{3}\):

\[ x=\frac{81}{\sqrt{3}} \]

Racionalizando:

\[ x=\frac{81\sqrt{3}}{3}=27\sqrt{3} \]

Por lo tanto, el objeto está a \(27\sqrt{3}\) metros de la base del mirador.

Primero calculamos la altura desde el nivel de los ojos hasta la parte superior del árbol.

Esa altura parcial es el cateto opuesto y la distancia de \(6\) metros es el cateto adyacente.

Usamos la tangente:

\[ \tan(60^\circ)=\frac{x}{6} \]

Como \(\tan(60^\circ)=\sqrt{3}\), entonces:

\[ \sqrt{3}=\frac{x}{6} \]

Multiplicando por \(6\):

\[ x=6\sqrt{3} \]

Ahora se suma la altura de los ojos:

\[ 6\sqrt{3}+1{,}5 \]

Por lo tanto, la altura total del árbol es \(6\sqrt{3}+1{,}5\) metros.

El cable es la hipotenusa. Como el ángulo de \(30^\circ\) está entre el cable y la torre vertical, la distancia horizontal al anclaje es el cateto opuesto a ese ángulo.

Usamos el seno:

\[ \operatorname{sen}(30^\circ)=\frac{x}{16} \]

Como \(\operatorname{sen}(30^\circ)=\frac{1}{2}\), entonces:

\[ \frac{1}{2}=\frac{x}{16} \]

Multiplicando por \(16\):

\[ x=8 \]

Por lo tanto, el cable está anclado a \(8\) metros de la base de la torre.

El camino corresponde a la hipotenusa y la altura vertical corresponde al cateto opuesto al ángulo de \(45^\circ\).

Usamos el seno:

\[ \operatorname{sen}(45^\circ)=\frac{x}{14\sqrt{2}} \]

Como \(\operatorname{sen}(45^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}\), entonces:

\[ \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{x}{14\sqrt{2}} \]

Multiplicando por \(14\sqrt{2}\):

\[ x=14\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Como \(\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2\), se obtiene:

\[ x=14\cdot \frac{2}{2}=14 \]

Por lo tanto, se gana una altura vertical de \(14\) metros.

Restamos vueltas completas de \(360^\circ\):

\[ 750^\circ-360^\circ=390^\circ \]

Como aún es mayor que \(360^\circ\), restamos nuevamente:

\[ 390^\circ-360^\circ=30^\circ \]

Por lo tanto, un ángulo equivalente entre \(0^\circ\) y \(360^\circ\) es:

\[ 30^\circ \]

Como el ángulo es negativo, sumamos \(360^\circ\):

\[ -120^\circ+360^\circ=240^\circ \]

Por lo tanto, un ángulo equivalente entre \(0^\circ\) y \(360^\circ\) es:

\[ 240^\circ \]

El ángulo \(120^\circ\) está en el cuadrante II.

En el cuadrante II, el ángulo de referencia se obtiene restando el ángulo a \(180^\circ\):

\[ 180^\circ-120^\circ=60^\circ \]

Por lo tanto, el ángulo de referencia es:

\[ 60^\circ \]

El ángulo \(210^\circ\) está en el cuadrante III.

En el cuadrante III, el ángulo de referencia se calcula restando \(180^\circ\):

\[ 210^\circ-180^\circ=30^\circ \]

Por lo tanto, el ángulo de referencia es:

\[ 30^\circ \]

El ángulo \(315^\circ\) está en el cuadrante IV.

En el cuadrante IV, el ángulo de referencia se obtiene restando el ángulo a \(360^\circ\):

\[ 360^\circ-315^\circ=45^\circ \]

Por lo tanto, el ángulo de referencia es:

\[ 45^\circ \]

El ángulo \(120^\circ\) está en el cuadrante II.

Su ángulo de referencia es:

\[ 180^\circ-120^\circ=60^\circ \]

Usamos los valores de \(60^\circ\):

\[ \operatorname{sen}(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \cos(60^\circ)=\frac{1}{2}, \qquad \tan(60^\circ)=\sqrt{3} \]

En el cuadrante II, el seno es positivo, el coseno es negativo y la tangente es negativa.

Por lo tanto:

\[ \operatorname{sen}(120^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2} \]

\[ \cos(120^\circ)=-\frac{1}{2} \]

\[ \tan(120^\circ)=-\sqrt{3} \]

El ángulo \(210^\circ\) está en el cuadrante III.

Su ángulo de referencia es:

\[ 210^\circ-180^\circ=30^\circ \]

Usamos los valores de \(30^\circ\):

\[ \operatorname{sen}(30^\circ)=\frac{1}{2}, \qquad \cos(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \tan(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{3} \]

En el cuadrante III, el seno y el coseno son negativos, pero la tangente es positiva.

Por lo tanto:

\[ \operatorname{sen}(210^\circ)=-\frac{1}{2} \]

\[ \cos(210^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2} \]

\[ \tan(210^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{3} \]

El ángulo \(330^\circ\) está en el cuadrante IV.

Su ángulo de referencia es:

\[ 360^\circ-330^\circ=30^\circ \]

Usamos los valores de \(30^\circ\):

\[ \operatorname{sen}(30^\circ)=\frac{1}{2}, \qquad \cos(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \tan(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{3} \]

En el cuadrante IV, el seno es negativo, el coseno es positivo y la tangente es negativa.

Por lo tanto:

\[ \operatorname{sen}(330^\circ)=-\frac{1}{2} \]

\[ \cos(330^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2} \]

\[ \tan(330^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{3} \]

Primero buscamos un ángulo equivalente entre \(0^\circ\) y \(360^\circ\):

\[ 495^\circ-360^\circ=135^\circ \]

Entonces:

\[ \cos(495^\circ)=\cos(135^\circ) \]

El ángulo \(135^\circ\) está en el cuadrante II y su ángulo de referencia es:

\[ 180^\circ-135^\circ=45^\circ \]

En el cuadrante II, el coseno es negativo. Como \(\cos(45^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}\), se obtiene:

\[ \cos(495^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2} \]

Buscamos un ángulo positivo equivalente sumando \(360^\circ\):

\[ -60^\circ+360^\circ=300^\circ \]

Entonces:

\[ \tan(-60^\circ)=\tan(300^\circ) \]

El ángulo \(300^\circ\) está en el cuadrante IV y su ángulo de referencia es:

\[ 360^\circ-300^\circ=60^\circ \]

En el cuadrante IV, la tangente es negativa. Como \(\tan(60^\circ)=\sqrt{3}\), entonces:

\[ \tan(-60^\circ)=-\sqrt{3} \]

El ángulo \(240^\circ\) está en el cuadrante III.

Su ángulo de referencia es:

\[ 240^\circ-180^\circ=60^\circ \]

En el cuadrante III, el seno es negativo.

Como:

\[ \operatorname{sen}(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2} \]

Entonces:

\[ \operatorname{sen}(240^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2} \]

El ángulo de referencia sí es \(30^\circ\), porque:

\[ 180^\circ-150^\circ=30^\circ \]

Sin embargo, \(150^\circ\) está en el cuadrante II.

En el cuadrante II, el coseno es negativo.

Como:

\[ \cos(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2} \]

Entonces:

\[ \cos(150^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2} \]

Por lo tanto, la afirmación no está correcta: faltó considerar el signo según el cuadrante.

La función seno puede servir para modelar una situación periódica porque su gráfico sube y baja de manera regular.

Además, después de cierto intervalo, vuelve a repetir la misma forma. Esa repetición permite representar fenómenos que vuelven a estados semejantes una y otra vez.

La curva repite un patrón.

No crece para siempre ni decrece para siempre, porque alterna subidas y bajadas de manera regular.

El modelo tiene la forma \(T(x)=d+a\sin(\cdots)\), donde \(d=12\) y \(|a|=6\).

a) El valor medio es \(12\), porque la temperatura oscila alrededor de ese nivel.

b) La temperatura máxima aproximada es:

\[ 12+6=18 \]

c) La temperatura mínima aproximada es:

\[ 12-6=6 \]

El valor medio es \(20\) y la variación máxima respecto de ese valor es \(3\).

Valor máximo:

\[ 20+3=23 \]

Valor mínimo:

\[ 20-3=17 \]

Por lo tanto, el valor máximo es \(23\) y el valor mínimo es \(17\).

Un ejemplo es la altura de una cabina en una rueda de la fortuna.

Se puede modelar con una función seno porque la cabina sube y baja de manera repetida, alcanzando alturas máximas y mínimas en cada vuelta.

No, la afirmación no es correcta.

El volumen de un cubo se modela mediante una función potencia:

\[ V(x)=x^3 \]

Ese modelo describe crecimiento, no repetición regular. La función seno es adecuada cuando hay oscilación o periodicidad.

La palabra que completa la idea es:

oscila.

Por lo tanto:

“En un modelo seno, el valor medio corresponde al nivel alrededor del cual la situación oscila”.

Sí, la tabla parece corresponder a un fenómeno periódico.

Los valores suben de \(4\) a \(16\), luego bajan nuevamente hasta \(4\):

\[ 4,\ 10,\ 16,\ 10,\ 4 \]

El valor inicial vuelve a aparecer al final, lo que sugiere que el patrón podría repetirse.

La función seno se usa para representar comportamientos periódicos, porque su gráfico oscila y repite su forma.

Alternativa correcta: c.

El valor máximo se obtiene sumando la variación máxima al valor medio:

\[ 15+4=19 \]

Alternativa correcta: c.

La periodicidad se reconoce porque el gráfico repite su forma después de cierto intervalo.

Alternativa correcta: b.

El nivel alrededor del cual oscila una situación se llama valor medio.

Alternativa correcta: a.

La función coseno puede servir para modelar una situación periódica porque su gráfico baja y sube de manera regular.

Además, después de cierto intervalo, vuelve a repetir la misma forma. Esa repetición permite describir fenómenos que vuelven a estados semejantes.

La función coseno básica es:

\[ y=\cos(x) \]

Cuando \(x=0\):

\[ \cos(0)=1 \]

Por lo tanto, comienza en \(1\).

El modelo tiene la forma \(h(x)=d+a\cos(\cdots)\), donde \(d=10\) y \(|a|=8\).

a) La altura media es \(10\).

b) La altura máxima se obtiene sumando \(8\) al valor medio:

\[ 10+8=18 \]

c) La altura mínima se obtiene restando \(8\) al valor medio:

\[ 10-8=2 \]

La palabra que completa la idea es:

máximo.

Por lo tanto:

“La función coseno básica comienza su ciclo en un valor máximo”.

Parece más natural usar la función coseno.

Esto se debe a que, en su forma básica, la función coseno comienza en un valor máximo cuando \(x=0\):

\[ \cos(0)=1 \]

No, la afirmación no es correcta.

Que primero baje no impide que sea periódica. Lo importante es que su comportamiento se repite regularmente después de cierto intervalo.

La función coseno baja, luego sube y vuelve a repetir ese patrón.

El valor medio es \(15\) y la variación máxima respecto de ese valor es \(4\).

Valor máximo:

\[ 15+4=19 \]

Valor mínimo:

\[ 15-4=11 \]

Por lo tanto, el valor máximo es \(19\) y el valor mínimo es \(11\).

Un ejemplo es la altura de una cabina de rueda de la fortuna que comienza en la parte más alta.

Puede modelarse con una función coseno porque el fenómeno parte en un máximo, luego baja, alcanza un mínimo y vuelve a repetirse regularmente.

La función coseno se usa para representar situaciones periódicas, porque su gráfico oscila y repite su forma.

Alternativa correcta: b.

La diferencia visual inicial es que \(y=\sin(x)\) comienza en \(0\), mientras que \(y=\cos(x)\) comienza en \(1\).

Alternativa correcta: b.

El nivel alrededor del cual oscila una situación se llama valor medio.

Alternativa correcta: a.

La función coseno básica comienza en un valor máximo, ya que \(\cos(0)=1\).

Por eso resulta natural para modelar un fenómeno que comienza en su valor más alto y luego desciende periódicamente.

Alternativa correcta: c.

En un triángulo rectángulo, se completa así:

\[ \sin(\theta)=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}} \qquad\qquad \cos(\theta)=\frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}} \]

En la circunferencia unitaria, el punto asociado a \(\theta\) tiene coordenadas:

\[ (\cos\theta,\sin\theta) \]

Por lo tanto:

\[ x=\cos(\theta) \qquad\text{y}\qquad y=\sin(\theta) \]

Usamos que el punto asociado al ángulo \(\theta\) es \((\cos\theta,\sin\theta)\).

• a) Para \(0\): \((1,0)\).
• b) Para \(\frac{\pi}{2}\): \((0,1)\).
• c) Para \(\pi\): \((-1,0)\).
• d) Para \(\frac{3\pi}{2}\): \((0,-1)\).

En la circunferencia unitaria, el ángulo \(0\) corresponde al punto \((1,0)\).

Como \((\cos 0,\sin 0)=(1,0)\), entonces:

\[ \cos(0)=1 \qquad\text{y}\qquad \sin(0)=0 \]

Por lo tanto:

\[ \sin(0)=0 \qquad\qquad \cos(0)=1 \]

Al completar una vuelta, el punto de la circunferencia regresa a una posición ya recorrida.

Como seno y coseno corresponden a las coordenadas vertical y horizontal de ese punto, sus valores vuelven a repetirse.

Por eso seno y coseno son funciones periódicas.

No, la afirmación no es correcta.

En la circunferencia unitaria, el punto asociado a \(\theta\) se escribe como:

\[ (\cos\theta,\sin\theta) \]

Por lo tanto, \(\cos(\theta)\) corresponde a la coordenada horizontal y \(\sin(\theta)\) a la coordenada vertical.

El punto \((0,1)\) corresponde al ángulo \(\frac{\pi}{2}\).

Como el punto se escribe \((\cos\theta,\sin\theta)\), entonces:

\[ \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 \qquad\qquad \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1 \]

En la circunferencia unitaria:

• a) \(\sin(\theta)\): coordenada vertical.
• b) \(\cos(\theta)\): coordenada horizontal.

En la circunferencia unitaria, el coseno corresponde a la coordenada horizontal y el seno a la coordenada vertical.

Por eso el punto asociado a \(\theta\) es:

\[ (\cos\theta,\sin\theta) \]

Alternativa correcta: b.

El punto \((1,0)\) corresponde a:

\[ (\cos\theta,\sin\theta)=(1,0) \]

Por lo tanto:

\[ \cos(\theta)=1 \qquad\text{y}\qquad \sin(\theta)=0 \]

Alternativa correcta: b.

En la circunferencia unitaria, \(\sin(x)\) representa la coordenada vertical del punto asociado al ángulo \(x\).

Por eso el gráfico de \(y=\sin(x)\) registra cómo cambia esa coordenada vertical.

Alternativa correcta: b.

La circunferencia unitaria amplía la interpretación de seno y coseno: además de ser razones trigonométricas, pueden entenderse como coordenadas de un punto.

Alternativa correcta: b.

Los datos aumentan a medida que aumenta la arista, por lo tanto corresponden a un comportamiento de crecimiento.

La relación entre la arista de un cubo y su volumen se modela con:

\[ V(x)=x^3 \]

Gráfico del modelo y los datos

Para estimar el volumen cuando \(x=6\), reemplazamos:

\[ V(6)=6^3=216 \]

El volumen estimado es \(216\).

En este caso, el modelo es exacto para la tabla, porque los datos coinciden con la regla del volumen de un cubo.

Los datos disminuyen cuando aumenta la distancia, por lo tanto corresponden a un comportamiento de decrecimiento.

Una posible elección es un modelo inverso cuadrático:

\[ I(x)=\frac{36}{x^2}=36x^{-2} \]

Gráfico del modelo y los datos

Para estimar la intensidad cuando \(x=5\), reemplazamos:

\[ I(5)=\frac{36}{5^2}=\frac{36}{25}=1{,}44 \]

La intensidad estimada es \(1{,}44\).

Este modelo puede ser muy útil, pero en una situación real la medición podría verse afectada por el ambiente, el instrumento usado o la presencia de otras fuentes de luz. Por eso suele interpretarse como una aproximación.

Los datos muestran una bajada desde \(10\) hasta \(2\), y luego una subida hasta volver a \(10\). Esto sugiere un comportamiento periódico.

Como el fenómeno parte en un valor máximo, resulta natural usar un modelo con coseno.

La línea media es el promedio entre máximo y mínimo:

\[ \frac{10+2}{2}=6 \]

La amplitud es la mitad de la diferencia entre máximo y mínimo:

\[ \frac{10-2}{2}=4 \]

Un posible modelo es:

\[ h(x)=6+4\cos\left(\frac{\pi}{12}x\right) \]

Este modelo es razonable porque oscila alrededor de \(6\), tiene amplitud \(4\) y parte en un valor máximo.

Gráfico del modelo y los datos

Para \(x=3\):

\[ h(3)=6+4\cos\left(\frac{\pi}{12}\cdot 3\right) \]

Como \(\frac{\pi}{12}\cdot 3=\frac{\pi}{4}\), se obtiene:

\[ h(3)=6+4\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \]

\[ h(3)=6+4\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=6+2\sqrt{2}\approx 8{,}83 \]

La altura estimada en la hora \(3\) es aproximadamente \(8{,}83\) metros.

En la realidad, las mareas no dependen solo de un patrón perfecto. Pueden influir el clima, el viento, la geografía costera y otros factores. Por eso, el modelo debe entenderse como una representación útil, pero no exacta.

Una buena conclusión debería mencionar que el modelo se eligió observando la forma de la tabla y del gráfico.

Si los datos aumentan, disminuyen o se repiten, eso orienta la elección entre un modelo de crecimiento, decrecimiento o periodicidad.

También debería reconocer que los datos reales pueden variar por factores que el modelo no considera. Por eso, un modelo matemático puede ser muy útil para interpretar y estimar, aunque no describa exactamente cada detalle de la realidad.