Funciones potencias y trigonométricas
| Sitio: | MATEMÁTICAS × Profe Arauco |
| Curso: | Media 4 |
| Libro: | Funciones potencias y trigonométricas |
| Imprimido por: | Invitado |
| Día: | jueves, 23 de abril de 2026, 08:50 |
Tabla de contenidos
- 1. Introducción a modelos de crecimiento y decrecimiento con función potencia de exponente entero
- 2. Lectura y construcción de tablas para funciones potencia
- 3. Comparación de gráficos de funciones potencia
- 4. Variación de parámetros y efecto en el gráfico
- 5. Situaciones periódicas: necesidad de un nuevo tipo de modelo
- 6. Función seno como modelo de periodicidad
- 7. Función coseno como modelo de periodicidad
- 8. Relación entre seno, coseno, razones trigonométricas y circunferencia
- 9. Modelamiento matemático
- 10. Evaluación de unidad: funciones potencia y funciones trigonométricas
1. Introducción a modelos de crecimiento y decrecimiento con función potencia de exponente entero
Introducción a modelos de crecimiento y decrecimiento con función potencia de exponente entero
Comenzamos una nueva unidad, en la que estudiaremos modelos matemáticos que permiten describir cómo cambian ciertas cantidades.
En esta primera página trabajaremos con la función potencia de exponente entero, que aparece en muchas situaciones reales: áreas, volúmenes, tiempos de trabajo, intensidad de luz y otras relaciones entre magnitudes.
La idea central será reconocer cuándo una situación puede modelarse mediante una expresión del tipo:
\[ f(x)=a\cdot x^n \]
donde \(a\) es una constante y \(n\) es un número entero.
Objetivo de la página
- Reconocer la forma general de una función potencia de exponente entero.
- Interpretar situaciones de crecimiento y decrecimiento modeladas con funciones potencia.
- Distinguir entre exponentes enteros positivos y negativos en contextos sencillos.
- Relacionar un modelo algebraico con una situación real.
Al finalizar esta página deberías poder:
- Reconocer si una relación puede representarse con una función potencia.
- Escribir modelos sencillos del tipo \(f(x)=a\cdot x^n\).
- Calcular valores a partir de una función potencia.
- Interpretar si un modelo describe crecimiento o decrecimiento.
Una función potencia de exponente entero tiene la forma:
\[ f(x)=a\cdot x^n \]
donde:
- \(a\) es una constante distinta de 0,
- \(x\) es la variable,
- \(n\) es un número entero.
Ejemplos:
- \(f(x)=2x^2\)
- \(f(x)=5x^3\)
- \(f(x)=12x^{-1}\)
- \(f(x)=3x^{-2}\)
Si \(n\) es positivo, la función suele modelar situaciones de crecimiento cuando \(x>0\).
Por ejemplo:
\[ x^2,\quad x^3 \]
Si \(n\) es negativo, la función puede escribirse como una fracción y suele modelar situaciones de decrecimiento cuando \(x>0\).
Por ejemplo:
\[ x^{-1}=\frac{1}{x}, \qquad x^{-2}=\frac{1}{x^2} \]
Las funciones potencia no describen siempre el mismo tipo de cambio. Con exponente positivo pueden crecer muy rápido, y con exponente negativo pueden disminuir a medida que la variable aumenta.
No confundas una función potencia como \(x^2\) con una función lineal como \(2x\), ni con una exponencial como \(2^x\). Aunque se parezcan en la escritura, describen comportamientos distintos.
Resumen de modelos frecuentes
| Modelo | Tipo de exponente | Comportamiento para \(x>0\) | Ejemplo de contexto |
|---|---|---|---|
| \(x^2\) | Positivo | Crecimiento | Área de un cuadrado según su lado |
| \(x^3\) | Positivo | Crecimiento | Volumen de un cubo según su arista |
| \(x^{-1}\) | Negativo | Decrecimiento | Tiempo de trabajo según número de trabajadores, en un modelo simple |
| \(x^{-2}\) | Negativo | Decrecimiento | Intensidad de una magnitud según distancia, en modelos simplificados |
Ejemplo guiado 1: área de un cuadrado
Si un cuadrado tiene lado \(l\), entonces su área se calcula como:
\[ A(l)=l^2 \]
Este es un modelo de función potencia, porque tiene la forma \(x^n\) con exponente entero positivo.
Por ejemplo:
| Lado \(l\) | Área \(A(l)\) |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 4 |
| 3 | 9 |
| 4 | 16 |
Se observa que, al aumentar el lado, el área crece.
Ejemplo guiado 2: volumen de un cubo
Si un cubo tiene arista \(a\), entonces su volumen se calcula como:
\[ V(a)=a^3 \]
También es una función potencia con exponente entero positivo.
Por ejemplo:
| Arista \(a\) | Volumen \(V(a)\) |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 8 |
| 3 | 27 |
El volumen crece aún más rápido que en el caso cuadrático.
Ejemplo guiado 3: tiempo de trabajo en un modelo simple
Supón que una tarea tarda 24 horas si la realiza una sola persona y que el tiempo disminuye de forma inversamente proporcional al número de trabajadores \(n\).
Entonces:
\[ T(n)=\frac{24}{n}=24n^{-1} \]
Este también es un modelo de función potencia, pero ahora con exponente entero negativo.
Por ejemplo:
| Trabajadores \(n\) | Tiempo \(T(n)\) |
|---|---|
| 1 | 24 |
| 2 | 12 |
| 3 | 8 |
| 4 | 6 |
A medida que aumenta la cantidad de trabajadores, el tiempo disminuye.
Una buena pista es observar si la variable aparece elevada a un exponente entero, como \(x^2\), \(x^3\), \(x^{-1}\) o \(x^{-2}\). En contextos reales, esto suele ir acompañado de cambios que no son lineales.
Las funciones potencia permiten modelar áreas, volúmenes, relaciones inversas entre tiempo y cantidad de personas, y otras situaciones donde una magnitud cambia de manera no lineal. Por eso son una herramienta muy útil para describir fenómenos reales.
Ejercicios
Ejercicio 1
Indica cuáles de las siguientes expresiones corresponden a funciones potencia de exponente entero:
- \(f(x)=3x^2\)
- \(g(x)=2^x\)
- \(h(x)=5x^{-1}\)
- \(p(x)=4x+1\)
Corresponden a funciones potencia de exponente entero:
- \(f(x)=3x^2\)
- \(h(x)=5x^{-1}\)
No corresponden:
- \(g(x)=2^x\), porque es exponencial.
- \(p(x)=4x+1\), porque no tiene la forma \(a\cdot x^n\).
Ejercicio 2
El área de un cuadrado depende de la medida de su lado \(l\).
- Escribe la función que modela esta situación.
- Calcula el área si \(l=5\).
- Indica si el modelo representa crecimiento o decrecimiento.
a)
\[ A(l)=l^2 \]
b)
\[ A(5)=5^2=25 \]
c) Representa crecimiento, porque al aumentar \(l\), el área aumenta.
Ejercicio 3
El volumen de un cubo depende de la medida de su arista \(a\).
- Escribe la función que modela esta situación.
- Calcula el volumen si \(a=4\).
- Calcula el volumen si \(a=2\).
a)
\[ V(a)=a^3 \]
b)
\[ V(4)=4^3=64 \]
c)
\[ V(2)=2^3=8 \]
Ejercicio 4
Una tarea se modela por la función:
\[ T(n)=\frac{18}{n}=18n^{-1} \]
- Calcula \(T(1)\), \(T(2)\) y \(T(6)\).
- Indica si la función representa crecimiento o decrecimiento.
- Interpreta el resultado en contexto.
a)
\[ T(1)=18,\qquad T(2)=9,\qquad T(6)=3 \]
b) Representa decrecimiento.
c) A medida que aumenta el número de trabajadores, el tiempo necesario para completar la tarea disminuye.
Ejercicio 5
Completa la tabla para la función:
\[ f(x)=x^2 \]
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| 1 | ? |
| 2 | ? |
| 3 | ? |
| 5 | ? |
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 4 |
| 3 | 9 |
| 5 | 25 |
Ejercicio 6
Completa la tabla para la función:
\[ g(x)=\frac{12}{x}=12x^{-1} \]
| \(x\) | \(g(x)\) |
|---|---|
| 1 | ? |
| 2 | ? |
| 3 | ? |
| 6 | ? |
| \(x\) | \(g(x)\) |
|---|---|
| 1 | 12 |
| 2 | 6 |
| 3 | 4 |
| 6 | 2 |
Ejercicio 7
Para \(x>0\), compara el comportamiento de estas dos funciones:
\[ f(x)=x^2 \qquad\text{y}\qquad g(x)=x^{-1} \]
Redacta una diferencia importante entre ambas.
Una diferencia importante es que \(f(x)=x^2\) crece cuando \(x\) aumenta, mientras que \(g(x)=x^{-1}\) disminuye cuando \(x\) aumenta, para \(x>0\).
Ejercicio 8
Un estudiante afirma: “Si una función es de potencia, entonces cuando \(x\) se duplica, el valor de la función siempre se duplica”.
¿Es correcta esa afirmación? Justifica con un ejemplo.
No, la afirmación es incorrecta.
Por ejemplo, si \(f(x)=x^2\), entonces:
\[ f(2)=4 \]
y
\[ f(4)=16 \]
Aquí \(x\) se duplicó de 2 a 4, pero el valor de la función pasó de 4 a 16, no solo al doble.
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde a una función potencia de exponente entero?
- \(f(x)=3x^2\)
- \(f(x)=2^x\)
- \(f(x)=x+2\)
- \(f(x)=\sqrt{x}+1\)
La expresión correcta es:
\[ f(x)=3x^2 \]
Alternativa correcta: a
PAES 2
Si \(f(x)=x^3\), entonces \(f(2)\) es:
- 4
- 6
- 8
- 9
\[ f(2)=2^3=8 \]
Alternativa correcta: c
PAES 3
¿Cuál de las siguientes funciones representa un modelo de decrecimiento para \(x>0\)?
- \(f(x)=x^2\)
- \(f(x)=x^3\)
- \(f(x)=5x^{-1}\)
- \(f(x)=2x\)
Para \(x>0\), la función que decrece es:
\[ f(x)=5x^{-1} \]
Alternativa correcta: c
PAES 4
La expresión \(x^{-1}\) equivale a:
- \(-x\)
- \(\frac{1}{x}\)
- \(x+1\)
- \(\frac{x}{1}\)
\[ x^{-1}=\frac{1}{x} \]
Alternativa correcta: b
Cierre
En esta página comenzamos el estudio de las funciones potencia de exponente entero. Vimos que pueden modelar tanto crecimiento como decrecimiento, según el tipo de exponente y el contexto en que se usen.
En la siguiente página avanzaremos con la lectura y construcción de tablas para funciones potencia, para observar con más detalle cómo cambian sus valores.
- Una función potencia tiene la forma \(f(x)=a\cdot x^n\).
- Si \(n\) es positivo, suele modelar crecimiento para \(x>0\).
- Si \(n\) es negativo, puede modelar decrecimiento para \(x>0\).
- No toda función que tiene una \(x\) es una función potencia.
2. Lectura y construcción de tablas para funciones potencia
Lectura y construcción de tablas para funciones potencia
En la página anterior comenzamos a trabajar con funciones potencia de exponente entero. Ahora daremos un paso muy importante: leer y construir tablas de valores para este tipo de funciones.
Las tablas permiten observar cómo cambia una función cuando la variable toma distintos valores. Esto será muy útil más adelante, porque nos preparará para comparar gráficos y analizar con más detalle el efecto de los exponentes y de los parámetros.
En esta página trabajaremos con funciones como \(x^2\), \(x^3\), \(x^{-1}\) y \(x^{-2}\), construyendo tablas e interpretando la información que ellas muestran.
Objetivo de la página
- Construir tablas de valores para funciones potencia de exponente entero.
- Leer e interpretar la información que entrega una tabla.
- Reconocer diferencias entre exponentes positivos y negativos.
- Relacionar la tabla con el comportamiento de la función.
Al finalizar esta página deberías poder:
- Completar tablas de valores para funciones potencia.
- Elegir valores adecuados de \(x\) para construir una tabla.
- Interpretar si una función crece, decrece o cambia de signo a partir de una tabla.
- Reconocer cuándo un valor no está definido.
Una función potencia de exponente entero tiene la forma:
\[ f(x)=a\cdot x^n \]
Para construir una tabla, elegimos algunos valores de \(x\) y calculamos el valor correspondiente de \(f(x)\).
Por ejemplo, si:
\[ f(x)=x^2 \]
y tomamos \(x=1,2,3\), obtenemos:
\[ f(1)=1,\qquad f(2)=4,\qquad f(3)=9 \]
Cuando el exponente es negativo, conviene reescribir la función como fracción.
Por ejemplo:
\[ x^{-1}=\frac{1}{x} \qquad\text{y}\qquad x^{-2}=\frac{1}{x^2} \]
Eso facilita el cálculo al construir la tabla.
Una tabla no es solo una lista de cuentas: también permite descubrir patrones. Por ejemplo, puede mostrar si los valores aumentan, disminuyen, se repiten o cambian de signo.
Si la función tiene exponente negativo, no se puede evaluar en \(x=0\), porque aparecería una división por cero. Por ejemplo, \(\frac{1}{0}\) no está definido.
Resumen de lectura de tablas
| Función | Tipo de exponente | Qué conviene observar en la tabla | Detalle importante |
|---|---|---|---|
| \(x^2\) | Positivo par | Los valores son no negativos | \(f(-x)=f(x)\) |
| \(x^3\) | Positivo impar | Los signos se conservan | \(f(-x)=-f(x)\) |
| \(x^{-1}\) | Negativo impar | Disminuye para \(x>0\) | No está definida en \(x=0\) |
| \(x^{-2}\) | Negativo par | Siempre es positiva para \(x\neq 0\) | No está definida en \(x=0\) |
Ejemplo guiado 1: construir una tabla para \(f(x)=x^2\)
Tomemos los valores \(x=-2,-1,0,1,2\).
Calculamos:
\[ (-2)^2=4,\qquad (-1)^2=1,\qquad 0^2=0,\qquad 1^2=1,\qquad 2^2=4 \]
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)=x^2\) | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
La tabla muestra que los valores a izquierda y derecha de 0 se repiten de manera simétrica.
Ejemplo guiado 2: construir una tabla para \(g(x)=x^3\)
Tomemos los valores \(x=-2,-1,0,1,2\).
Calculamos:
\[ (-2)^3=-8,\qquad (-1)^3=-1,\qquad 0^3=0,\qquad 1^3=1,\qquad 2^3=8 \]
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(g(x)=x^3\) | -8 | -1 | 0 | 1 | 8 |
Aquí la tabla muestra que los signos negativos se conservan cuando \(x\) es negativo.
Ejemplo guiado 3: construir una tabla para \(h(x)=x^{-1}\)
Reescribimos la función como:
\[ h(x)=\frac{1}{x} \]
Tomemos los valores \(x=-2,-1,1,2,4\).
Calculamos:
\[ h(-2)=-\frac{1}{2},\qquad h(-1)=-1,\qquad h(1)=1,\qquad h(2)=\frac{1}{2},\qquad h(4)=\frac{1}{4} \]
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | 1 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(h(x)=x^{-1}\) | \(-\frac{1}{2}\) | -1 | 1 | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{4}\) |
Se observa que, para \(x>0\), los valores disminuyen a medida que \(x\) aumenta.
Al construir una tabla conviene escoger valores que faciliten el cálculo y permitan ver el comportamiento de la función. En exponentes negativos, muchas veces es útil usar \(1\), \(2\), \(4\) o fracciones sencillas, y evitar \(0\).
Las tablas son una herramienta muy usada en ciencias, economía e ingeniería para explorar modelos antes de graficarlos. Permiten detectar rápidamente patrones de crecimiento, decrecimiento y relaciones inversas entre variables.
Ejercicios
Ejercicio 1
Completa la tabla para la función:
\[ f(x)=x^2 \]
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
Ejercicio 2
Completa la tabla para la función:
\[ g(x)=x^3 \]
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(g(x)\) | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(g(x)\) | -8 | -1 | 0 | 1 | 8 | 27 |
Ejercicio 3
Completa la tabla para la función:
\[ h(x)=x^{-1}=\frac{1}{x} \]
| \(x\) | \(-4\) | \(-2\) | \(-1\) | 1 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(h(x)\) | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
| \(x\) | \(-4\) | \(-2\) | \(-1\) | 1 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(h(x)\) | \(-\frac{1}{4}\) | \(-\frac{1}{2}\) | -1 | 1 | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{4}\) |
Ejercicio 4
Completa la tabla para la función:
\[ p(x)=x^{-2}=\frac{1}{x^2} \]
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(p(x)\) | ? | ? | ? | ? | ? |
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(p(x)\) | \(\frac{1}{4}\) | 1 | 1 | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{9}\) |
Ejercicio 5
Observa la siguiente tabla:
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
- ¿Qué función potencia podría estar representada?
- ¿Qué patrón observas en los valores?
a) Una función posible es:
\[ f(x)=x^2 \]
b) Los valores son iguales para \(x\) y \(-x\). Además, todos los valores son no negativos.
Ejercicio 6
Observa la siguiente tabla:
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|
| \(g(x)\) | \(-\frac{1}{2}\) | -1 | 1 | \(\frac{1}{2}\) |
- ¿Qué función potencia podría estar representada?
- Explica por qué no aparece \(x=0\) en la tabla.
a) Una función posible es:
\[ g(x)=x^{-1}=\frac{1}{x} \]
b) No aparece \(x=0\) porque la función no está definida en ese valor, ya que implicaría dividir por cero.
Ejercicio 7
Compara, a partir de tablas sencillas, el comportamiento de:
\[ f(x)=x^2 \qquad\text{y}\qquad g(x)=x^3 \]
Redacta una diferencia importante entre ambas cuando se usan valores negativos de \(x\).
Una diferencia importante es que en \(f(x)=x^2\) los valores negativos de \(x\) producen resultados positivos, mientras que en \(g(x)=x^3\) los valores negativos de \(x\) producen resultados negativos.
Ejercicio 8
Un estudiante construye una tabla para \(q(x)=x^{-1}\) y escribe que \(q(0)=0\).
¿Es correcto? Justifica.
No, no es correcto.
Como:
\[ q(x)=x^{-1}=\frac{1}{x} \]
entonces en \(x=0\) se obtendría \(\frac{1}{0}\), que no está definido. Por eso \(q(0)\) no existe.
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
Si \(f(x)=x^2\), ¿cuál es el valor de \(f(-3)\)?
- \(-9\)
- 9
- \(-6\)
- 6
\[ f(-3)=(-3)^2=9 \]
Alternativa correcta: b
PAES 2
Si \(g(x)=x^3\), ¿cuál es el valor de \(g(-2)\)?
- 8
- \(-8\)
- 4
- \(-4\)
\[ g(-2)=(-2)^3=-8 \]
Alternativa correcta: b
PAES 3
Si \(h(x)=x^{-1}\), ¿cuál es el valor de \(h(4)\)?
- 4
- \(\frac{1}{4}\)
- \(-4\)
- 0
\[ h(4)=4^{-1}=\frac{1}{4} \]
Alternativa correcta: b
PAES 4
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
- La función \(x^{-1}\) está definida en \(x=0\).
- En la función \(x^2\), los valores de \(f(-2)\) y \(f(2)\) son iguales.
- En la función \(x^3\), los valores negativos de \(x\) dan resultados positivos.
- En \(x^{-2}\), todos los valores son negativos.
La afirmación correcta es la b.
Alternativa correcta: b
Cierre
En esta página aprendimos a construir y leer tablas de valores para funciones potencia de exponente entero. Vimos que las tablas permiten descubrir patrones importantes, como simetrías, cambios de signo, crecimiento, decrecimiento y valores no definidos.
En la siguiente página usaremos esta información para avanzar hacia la comparación de gráficos de funciones potencia.
- Una tabla ayuda a observar cómo cambia una función.
- En exponentes negativos conviene reescribir la función como fracción.
- Si aparece división por cero, el valor no está definido.
- Las tablas son una base importante para construir e interpretar gráficos.
3. Comparación de gráficos de funciones potencia
Comparación de gráficos de funciones potencia
En la página anterior construimos tablas para funciones potencia de exponente entero. Ahora daremos un paso más: comparar sus gráficos para reconocer semejanzas y diferencias importantes.
Esto nos permitirá observar mejor cómo influye el exponente en la forma del gráfico, en los signos de los valores y en el comportamiento de la función cuando \(x\) aumenta o se acerca a 0.
Trabajaremos principalmente con estas funciones:
\[ x^2,\qquad x^3,\qquad x^{-1}=\frac{1}{x},\qquad x^{-2}=\frac{1}{x^2} \]
Objetivo de la página
- Comparar gráficos de funciones potencia de exponente entero.
- Reconocer semejanzas y diferencias entre exponentes pares, impares, positivos y negativos.
- Interpretar el comportamiento de las funciones a partir de sus gráficos.
- Relacionar tablas y gráficos para describir crecimiento o decrecimiento.
Al finalizar esta página deberías poder:
- Distinguir visualmente entre gráficos de funciones como \(x^2\), \(x^3\), \(x^{-1}\) y \(x^{-2}\).
- Reconocer simetrías importantes en estos gráficos.
- Comparar el comportamiento de dos funciones potencia en distintos intervalos.
- Justificar comparaciones usando tablas, signos y forma del gráfico.
Al comparar gráficos de funciones potencia conviene observar al menos estas preguntas:
- ¿La función está definida en \(x=0\)?
- ¿Los valores son siempre positivos o pueden ser negativos?
- ¿El gráfico es simétrico respecto del eje \(y\) o del origen?
- ¿La función crece o decrece para \(x>0\)?
- ¿Qué ocurre cuando \(x\) es muy grande o cuando se acerca a 0?
Para exponentes positivos:
- \(x^2\) tiene exponente par y sus valores son no negativos.
- \(x^3\) tiene exponente impar y conserva el signo de \(x\).
Para exponentes negativos:
- \(x^{-1}=\frac{1}{x}\) cambia de signo según el signo de \(x\).
- \(x^{-2}=\frac{1}{x^2}\) siempre es positiva para \(x\neq 0\).
El exponente no solo cambia los números de la tabla: también cambia la forma general del gráfico, su simetría y la manera en que la función crece o decrece.
No basta con mirar un solo punto para comparar gráficos. Dos funciones pueden coincidir en algunos valores, por ejemplo en \(x=1\), y aun así tener comportamientos muy distintos en el resto del gráfico.
Resumen comparativo
| Función | Tipo de exponente | Simetría | Rasgo principal del gráfico |
|---|---|---|---|
| \(x^2\) | Positivo par | Respecto del eje \(y\) | Pasa por el origen y queda sobre el eje \(x\) |
| \(x^3\) | Positivo impar | Respecto del origen | Pasa por el origen y cambia de signo |
| \(x^{-1}\) | Negativo impar | Respecto del origen | No está definida en 0 y tiene dos ramas |
| \(x^{-2}\) | Negativo par | Respecto del eje \(y\) | No está definida en 0 y siempre toma valores positivos |
Ejemplo guiado 1: comparar \(f(x)=x^2\) y \(g(x)=x^3\)
Construimos una tabla con algunos valores:
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(x^2\) | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
| \(x^3\) | -8 | -1 | 0 | 1 | 8 |
Comparación gráfica
Ambas funciones pasan por el origen y por el punto \((1,1)\).
Sin embargo, \(x^2\) nunca toma valores negativos, mientras que \(x^3\) sí los toma cuando \(x\) es negativo.
Además, para \(x>1\), la función \(x^3\) crece más rápido que \(x^2\).
Ejemplo guiado 2: comparar \(h(x)=x^{-1}\) y \(p(x)=x^{-2}\)
Recordemos que:
\[ x^{-1}=\frac{1}{x} \qquad\text{y}\qquad x^{-2}=\frac{1}{x^2} \]
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|
| \(x^{-1}\) | \(-\frac{1}{2}\) | -1 | 1 | \(\frac{1}{2}\) |
| \(x^{-2}\) | \(\frac{1}{4}\) | 1 | 1 | \(\frac{1}{4}\) |
Comparación gráfica
Ambas funciones no están definidas en \(x=0\), por eso sus gráficos aparecen separados en dos ramas.
Además, para \(x>0\) disminuyen al aumentar \(x\).
Pero \(x^{-1}\) toma valores negativos cuando \(x\) es negativo, mientras que \(x^{-2}\) siempre toma valores positivos para \(x\neq 0\).
Ejemplo guiado 3: comparar \(x^2\) y \(x^3\) según el intervalo
Observemos algunos valores positivos pequeños y grandes:
| \(x\) | \(\frac{1}{2}\) | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| \(x^2\) | \(\frac{1}{4}\) | 1 | 4 |
| \(x^3\) | \(\frac{1}{8}\) | 1 | 8 |
Para \(0<x<1\), se cumple que \(x^3<x^2\).
Para \(x>1\), se cumple que \(x^3>x^2\).
Esto muestra que comparar gráficos también depende del intervalo donde se observe la función.
Cuando el exponente es par, aparecen simetrías respecto del eje \(y\), como en \(x^2\) y \(x^{-2}\). Cuando el exponente es impar, aparece simetría respecto del origen, como en \(x^3\) y \(x^{-1}\).
Comparar gráficos permite decidir qué modelo representa mejor una situación: algunos crecen muy rápido, otros decrecen al aumentar la variable, y otros cambian de signo según el contexto. Esta lectura es clave en ciencias, economía e ingeniería.
Ejercicios
Ejercicio 1
Completa la comparación entre \(f(x)=x^2\) y \(g(x)=x^3\) usando los valores \(x=-1,1,2\).
Indica en cada caso cuál función tiene mayor valor.
Para \(x=-1\):
\[ x^2=1,\qquad x^3=-1 \]
Entonces, \(x^2\) tiene mayor valor.
Para \(x=1\):
\[ x^2=1,\qquad x^3=1 \]
Tienen el mismo valor.
Para \(x=2\):
\[ x^2=4,\qquad x^3=8 \]
Entonces, \(x^3\) tiene mayor valor.
Ejercicio 2
Compara \(x^{-1}\) y \(x^{-2}\) en los valores \(x=-1,1,2\).
Redacta una diferencia importante entre ambas funciones.
Para \(x=-1\):
\[ x^{-1}=-1,\qquad x^{-2}=1 \]
Para \(x=1\):
\[ x^{-1}=1,\qquad x^{-2}=1 \]
Para \(x=2\):
\[ x^{-1}=\frac{1}{2},\qquad x^{-2}=\frac{1}{4} \]
Una diferencia importante es que \(x^{-1}\) puede tomar valores negativos, mientras que \(x^{-2}\) siempre es positiva para \(x\neq 0\).
Ejercicio 3
Indica cuáles de estas funciones son simétricas respecto del eje \(y\) y cuáles respecto del origen:
- \(x^2\)
- \(x^3\)
- \(x^{-1}\)
- \(x^{-2}\)
Simétricas respecto del eje \(y\):
- \(x^2\)
- \(x^{-2}\)
Simétricas respecto del origen:
- \(x^3\)
- \(x^{-1}\)
Ejercicio 4
Para \(x>0\), indica si cada función crece o decrece al aumentar \(x\):
- \(x^2\)
- \(x^3\)
- \(x^{-1}\)
- \(x^{-2}\)
Para \(x>0\):
- \(x^2\): crece
- \(x^3\): crece
- \(x^{-1}\): decrece
- \(x^{-2}\): decrece
Ejercicio 5
Compara \(x^2\) y \(x^3\) en los intervalos:
- \(0<x<1\)
- \(x>1\)
Indica cuál de las dos funciones toma mayores valores en cada caso.
a) Si \(0<x<1\), entonces:
\[ x^3<x^2 \]
Por lo tanto, \(x^2\) toma mayores valores.
b) Si \(x>1\), entonces:
\[ x^3>x^2 \]
Por lo tanto, \(x^3\) toma mayores valores.
Ejercicio 6
Explica por qué los gráficos de \(x^{-1}\) y \(x^{-2}\) no pasan por el origen.
Porque ambas funciones no están definidas en \(x=0\).
En efecto:
\[ x^{-1}=\frac{1}{x} \qquad\text{y}\qquad x^{-2}=\frac{1}{x^2} \]
Si \(x=0\), aparece una división por cero, que no está definida. Por eso sus gráficos no pasan por el origen.
Ejercicio 7
Un estudiante dice: “Los gráficos de \(x^2\) y \(x^{-2}\) son iguales porque ambos tienen exponente par”.
¿Es correcta esa afirmación? Justifica.
No, la afirmación es incorrecta.
Aunque ambos tienen exponente par y simetría respecto del eje \(y\), sus comportamientos son distintos. La función \(x^2\) está definida en \(x=0\) y crece cuando \(|x|\) aumenta, mientras que \(x^{-2}\) no está definida en \(x=0\) y sus valores se acercan a 0 cuando \(|x|\) crece.
Ejercicio 8
Redacta dos diferencias entre los gráficos de \(x^3\) y \(x^{-1}\).
Dos diferencias posibles son:
- \(x^3\) está definida en \(x=0\), mientras que \(x^{-1}\) no está definida en \(x=0\).
- Para \(x>0\), \(x^3\) crece al aumentar \(x\), mientras que \(x^{-1}\) decrece.
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
¿Cuál de las siguientes funciones es simétrica respecto del eje \(y\)?
- \(x^3\)
- \(x^{-1}\)
- \(x^2\)
- \(x\)
La función simétrica respecto del eje \(y\) es:
\[ x^2 \]
Alternativa correcta: c
PAES 2
¿Cuál de las siguientes funciones no está definida en \(x=0\)?
- \(x^2\)
- \(x^3\)
- \(x+1\)
- \(x^{-1}\)
La función que no está definida en \(x=0\) es:
\[ x^{-1} \]
Alternativa correcta: d
PAES 3
Para \(x>1\), ¿cuál de estas funciones toma mayores valores?
- \(x^2\) respecto de \(x^3\)
- \(x^3\) respecto de \(x^2\)
- \(x^{-1}\) respecto de \(x^2\)
- \(x^{-2}\) respecto de \(x^3\)
Para \(x>1\), se cumple:
\[ x^3>x^2 \]
Alternativa correcta: b
PAES 4
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
- \(x^{-2}\) toma valores negativos para todo \(x\neq 0\).
- \(x^3\) y \(x^2\) tienen el mismo comportamiento para \(x<0\).
- \(x^{-1}\) cambia de signo según el signo de \(x\).
- \(x^2\) no está definida en \(x=0\).
La afirmación correcta es la c.
Alternativa correcta: c
Cierre
En esta página comparamos gráficos de funciones potencia y observamos diferencias importantes según el tipo de exponente. Vimos que la simetría, el signo de los valores, la definición en \(x=0\) y el comportamiento de crecimiento o decrecimiento permiten distinguir con claridad unos gráficos de otros.
En la siguiente página avanzaremos con la variación de parámetros y su efecto en el gráfico, para ver cómo cambia una función potencia cuando se modifica el valor de la constante o del exponente.
- Los exponentes pares e impares producen comportamientos distintos.
- Los exponentes negativos generan funciones no definidas en \(x=0\).
- Comparar gráficos exige mirar más de un punto y más de una propiedad.
- El intervalo donde se observa la función también importa.
4. Variación de parámetros y efecto en el gráfico
Variación de parámetros y efecto en el gráfico
En la página anterior comparamos gráficos de funciones potencia de exponente entero. Ahora daremos un paso más: estudiar cómo cambia el gráfico cuando modificamos sus parámetros.
Trabajaremos con funciones de la forma:
\[ f(x)=a\cdot x^n \]
donde \(a\) es una constante y \(n\) es un exponente entero.
La idea será observar qué ocurre cuando cambia el valor de \(a\), cuando cambia su signo y cuando cambia el exponente \(n\).
Objetivo de la página
- Analizar cómo cambia el gráfico de una función potencia al modificar sus parámetros.
- Reconocer el efecto del valor y del signo de la constante \(a\).
- Comparar el efecto de distintos exponentes enteros en la forma del gráfico.
- Relacionar cambios algebraicos con cambios visuales en el plano cartesiano.
Al finalizar esta página deberías poder:
- Describir qué ocurre si en una función potencia el valor de \(a\) aumenta o disminuye.
- Reconocer cuándo un gráfico se refleja respecto del eje \(x\).
- Comparar funciones con distintos exponentes y explicar sus diferencias.
- Justificar cambios del gráfico usando tablas, expresiones y observación visual.
Una función potencia de exponente entero tiene la forma:
\[ f(x)=a\cdot x^n \]
En esta expresión podemos modificar principalmente dos cosas:
- la constante \(a\),
- el exponente entero \(n\).
Cada uno de esos cambios produce un efecto distinto en el gráfico.
- Si \(|a|>1\), el gráfico se ve más estirado verticalmente.
- Si \(0<|a|<1\), el gráfico se ve más aplanado o comprimido verticalmente.
- Si \(a<0\), el gráfico se refleja respecto del eje \(x\).
- Si cambia el exponente \(n\), puede cambiar la forma general, la rapidez de crecimiento, la simetría e incluso la definición en \(x=0\).
Cambiar la constante \(a\) suele modificar la altura del gráfico o su orientación, mientras que cambiar el exponente \(n\) puede modificar la forma completa de la función.
No siempre un cambio en la fórmula produce “el mismo tipo” de cambio en el gráfico. Por ejemplo, pasar de \(x^2\) a \(2x^2\) no tiene el mismo efecto que pasar de \(x^2\) a \(x^3\).
Resumen de efectos
| Cambio en la función | Efecto principal en el gráfico | Ejemplo |
|---|---|---|
| Aumentar \(|a|\) | Estiramiento vertical | \(x^2 \rightarrow 2x^2\) |
| Disminuir \(|a|\) con \(0<|a|<1\) | Compresión vertical | \(x^2 \rightarrow \frac{1}{2}x^2\) |
| Cambiar \(a\) a negativo | Reflexión respecto del eje \(x\) | \(x^2 \rightarrow -x^2\) |
| Cambiar el exponente positivo | Cambia la forma y la rapidez de crecimiento | \(x \rightarrow x^2 \rightarrow x^3\) |
| Cambiar a exponente negativo | Aparecen funciones no definidas en \(x=0\) | \(x^2 \rightarrow x^{-2}\) |
Ejemplo guiado 1: variar la constante positiva
Comparemos estas tres funciones:
\[ y=x^2,\qquad y=2x^2,\qquad y=\frac{1}{2}x^2 \]
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(x^2\) | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
| \(2x^2\) | 8 | 2 | 0 | 2 | 8 |
| \(\frac{1}{2}x^2\) | 2 | \(\frac{1}{2}\) | 0 | \(\frac{1}{2}\) | 2 |
Comparación gráfica
Las tres funciones pasan por el origen y mantienen la misma “abertura hacia arriba”.
Pero \(2x^2\) queda más alta que \(x^2\), por eso decimos que su gráfico está estirado verticalmente.
En cambio, \(\frac{1}{2}x^2\) queda más cerca del eje \(x\), por eso decimos que está comprimido verticalmente.
Ejemplo guiado 2: cambiar el signo de la constante
Comparemos ahora:
\[ y=x^2 \qquad\text{y}\qquad y=-x^2 \]
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(x^2\) | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
| \(-x^2\) | -4 | -1 | 0 | -1 | -4 |
Comparación gráfica
Al pasar de \(x^2\) a \(-x^2\), todos los valores cambian de signo.
Eso hace que el gráfico se refleje respecto del eje \(x\).
La forma general sigue siendo parabólica, pero ahora la abertura queda hacia abajo.
Ejemplo guiado 3: variar el exponente positivo
Observemos estas funciones:
\[ y=x,\qquad y=x^2,\qquad y=x^3 \]
| \(x\) | \(\frac{1}{2}\) | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| \(x\) | \(\frac{1}{2}\) | 1 | 2 |
| \(x^2\) | \(\frac{1}{4}\) | 1 | 4 |
| \(x^3\) | \(\frac{1}{8}\) | 1 | 8 |
Comparación gráfica
Cuando el exponente cambia, no solo cambian algunos valores: cambia la forma del gráfico.
Además, para \(0<x<1\), las potencias más altas dan valores más pequeños.
En cambio, para \(x>1\), las potencias más altas dan valores más grandes.
Ejemplo guiado 4: pasar de exponente positivo a negativo
Comparemos:
\[ y=x^2 \qquad\text{y}\qquad y=x^{-2}=\frac{1}{x^2} \]
Comparación gráfica
Ambas funciones tienen exponente par, por eso muestran simetría respecto del eje \(y\).
Sin embargo, no tienen el mismo comportamiento.
La función \(x^2\) está definida en \(x=0\) y pasa por el origen, mientras que \(x^{-2}\) no está definida en \(x=0\) y presenta dos ramas separadas.
Esto muestra que cambiar el signo del exponente puede transformar mucho más el gráfico que un simple cambio de escala.
Cuando varía la constante \(a\), conviene preguntarse:
- ¿el gráfico queda más alto o más bajo?,
- ¿se refleja respecto del eje \(x\)?,
- ¿mantiene su forma general?
Cuando cambia el exponente \(n\), conviene observar:
- si cambia la simetría,
- si cambia la rapidez de crecimiento o decrecimiento,
- si la función sigue estando definida en \(x=0\).
En muchos modelos reales, modificar parámetros cambia el comportamiento del fenómeno.
Por ejemplo, una constante puede representar una escala o intensidad, mientras que el exponente puede cambiar la manera en que una magnitud crece o disminuye. Por eso no basta con conocer la fórmula general: también hay que interpretar el efecto de sus parámetros.
Ejercicios
Ejercicio 1
Compara las funciones \(x^2\), \(2x^2\) y \(\frac{1}{2}x^2\).
Indica cuál toma mayor valor cuando \(x=2\) y cuál queda más cerca del eje \(x\).
Para \(x=2\):
\[ x^2=4,\qquad 2x^2=8,\qquad \frac{1}{2}x^2=2 \]
La función que toma mayor valor es \(2x^2\).
La que queda más cerca del eje \(x\) es \(\frac{1}{2}x^2\).
Ejercicio 2
Describe qué ocurre con el gráfico de \(x^2\) cuando se cambia por \(-x^2\).
El gráfico se refleja respecto del eje \(x\).
Esto ocurre porque todos los valores de la función cambian de signo.
Ejercicio 3
Para \(0<x<1\), ordena de mayor a menor los valores de:
\[ x,\qquad x^2,\qquad x^3 \]
Si \(0<x<1\), entonces:
\[ x>x^2>x^3 \]
Ejercicio 4
Para \(x>1\), ordena de menor a mayor los valores de:
\[ x,\qquad x^2,\qquad x^3 \]
Si \(x>1\), entonces:
\[ x<x^2<x^3 \]
Ejercicio 5
Completa la tabla para la función \(f(x)= -2x^2\).
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | ? | ? | ? | ? | ? |
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | -8 | -2 | 0 | -2 | -8 |
Ejercicio 6
Un estudiante dice: “Las funciones \(x^2\) y \(2x^2\) tienen la misma forma, por eso son exactamente el mismo gráfico”.
¿Es correcta esa afirmación? Justifica.
No, no es correcta.
Tienen una forma semejante, pero no son el mismo gráfico.
La función \(2x^2\) toma valores mayores que \(x^2\) para \(x\neq 0\), por lo que aparece más estirada verticalmente.
Ejercicio 7
Explica una diferencia importante entre \(x^2\) y \(x^{-2}\).
Una diferencia importante es que \(x^2\) está definida en \(x=0\) y pasa por el origen, mientras que \(x^{-2}\) no está definida en \(x=0\).
Ejercicio 8
Determina el efecto principal en el gráfico de \(x^2\) en cada caso:
- \(x^2 \rightarrow 3x^2\)
- \(x^2 \rightarrow \frac{1}{4}x^2\)
- \(x^2 \rightarrow -x^2\)
- \(x^2 \rightarrow x^3\)
- a) Estiramiento vertical.
- b) Compresión vertical.
- c) Reflexión respecto del eje \(x\).
- d) Cambio de forma por modificación del exponente.
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
¿Cuál de las siguientes funciones corresponde al reflejo del gráfico de \(y=x^2\) respecto del eje \(x\)?
- \(y=2x^2\)
- \(y=-x^2\)
- \(y=x^3\)
- \(y=x^{-2}\)
La función correcta es:
\[ y=-x^2 \]
Alternativa correcta: b
PAES 2
Para \(x>1\), ¿cuál de las siguientes funciones toma mayores valores?
- \(\frac{1}{2}x^2\)
- \(-x^2\)
- \(x^3\)
- \(x^{-1}\)
Para \(x>1\), la función que toma mayores valores es:
\[ x^3 \]
Alternativa correcta: c
PAES 3
¿Cuál de las siguientes funciones está definida para todo número real?
- \(x^{-2}\)
- \(x^{-1}\)
- \(-x^2\)
- \(\frac{3}{x}\)
La única función definida para todo número real es:
\[ -x^2 \]
Alternativa correcta: c
PAES 4
Si \(f(x)=a x^2\) y se sabe que \(f(2)=8\), entonces el valor de \(a\) es:
- \(\frac{1}{2}\)
- 1
- 2
- 4
Como:
\[ f(2)=a\cdot 2^2=4a \]
y se cumple que \(4a=8\), entonces:
\[ a=2 \]
Alternativa correcta: c
Cierre
En esta página estudiamos cómo cambian los gráficos de las funciones potencia cuando varían sus parámetros.
Vimos que modificar la constante puede estirar, comprimir o reflejar el gráfico, mientras que cambiar el exponente puede alterar la forma, la simetría y hasta la definición de la función en ciertos puntos.
En la siguiente página daremos un paso importante: veremos que, aunque estas funciones permiten modelar muchos fenómenos de crecimiento y decrecimiento, no sirven para describir bien situaciones periódicas. Eso nos llevará a la necesidad de un nuevo tipo de modelo.
- La constante \(a\) controla escala y orientación del gráfico.
- Si \(a<0\), aparece una reflexión respecto del eje \(x\).
- El exponente cambia la forma y el comportamiento global de la función.
- Los exponentes negativos generan funciones no definidas en \(x=0\).
5. Situaciones periódicas: necesidad de un nuevo tipo de modelo
Situaciones periódicas: necesidad de un nuevo tipo de modelo
En las páginas anteriores trabajamos con funciones potencia de exponente entero y vimos que permiten modelar situaciones de crecimiento y decrecimiento.
Sin embargo, no todos los fenómenos cambian siempre en una sola dirección. Existen situaciones en las que una magnitud sube y baja de manera repetida, volviendo a comportarse de forma semejante después de cierto tiempo.
En esta página estudiaremos ese tipo de situaciones y veremos por qué los modelos anteriores no son suficientes para describirlas.
Objetivo de la página
- Reconocer situaciones periódicas en distintos contextos.
- Distinguir entre comportamientos de crecimiento/decrecimiento y comportamientos repetitivos.
- Comprender por qué las funciones potencia no modelan adecuadamente fenómenos periódicos.
- Preparar el paso hacia un nuevo tipo de modelo matemático.
Al finalizar esta página deberías poder:
- Identificar cuándo una situación presenta repetición regular.
- Explicar por qué un gráfico de crecimiento no sirve para representar una oscilación.
- Reconocer que en fenómenos periódicos un mismo valor puede repetirse en distintos instantes.
- Justificar la necesidad de un nuevo modelo para describir estos comportamientos.
Una situación es periódica cuando su comportamiento se repite después de intervalos iguales de tiempo o de recorrido.
Por ejemplo:
- la temperatura durante el día,
- la altura de una cabina en una rueda de la fortuna,
- el movimiento de un péndulo,
- las mareas.
En una situación periódica, un valor no aparece una sola vez.
Puede repetirse en distintos momentos, porque el fenómeno vuelve a pasar por estados semejantes una y otra vez.
No toda situación que sube y luego baja es necesariamente periódica.
Para hablar de periodicidad debe existir una repetición regular del comportamiento.
Comparación general
| Tipo de comportamiento | Qué ocurre | Ejemplo |
|---|---|---|
| Crecimiento | La variable aumenta al avanzar la otra variable | \(x^2\), \(x^3\) para \(x>0\) |
| Decrecimiento | La variable disminuye al avanzar la otra variable | \(x^{-1}\), \(x^{-2}\) para \(x>0\) |
| Periodicidad | El comportamiento se repite después de cierto intervalo | temperatura diaria, mareas, rueda de la fortuna |
Ejemplo guiado 1: los modelos de crecimiento no repiten su forma
Recordemos dos funciones potencia ya estudiadas:
\[ y=x^2 \qquad\text{y}\qquad y=x^3 \]
Comparación gráfica
Estos gráficos pueden crecer o cambiar de forma, pero no repiten un ciclo.
Si seguimos avanzando en \(x\), no volvemos una y otra vez al mismo comportamiento de manera regular.
Por eso, aunque son útiles para muchas situaciones, no son adecuados para describir fenómenos que suben y bajan repetidamente.
Ejemplo guiado 2: temperatura a lo largo de un día
Imaginemos una temperatura que baja durante la madrugada, sube hacia el mediodía, vuelve a bajar en la tarde y luego el patrón comienza otra vez al día siguiente.
| Hora | 0 | 6 | 12 | 18 | 24 |
|---|---|---|---|---|---|
| Temperatura aproximada | 6 | 12 | 18 | 12 | 6 |
Representación gráfica
Aquí no vemos un crecimiento permanente ni un decrecimiento permanente.
Lo que aparece es un patrón que se repite: después de 24 horas, el fenómeno vuelve a un estado semejante.
Esto muestra que hace falta un modelo distinto de los usados antes.
Ejemplo guiado 3: una cabina de rueda de la fortuna pasa varias veces por la misma altura
Imaginemos una cabina en una rueda de la fortuna. A medida que pasa el tiempo, la cabina sube, llega a una altura máxima, luego baja y vuelve a subir.
Eso significa que una misma altura puede alcanzarse en distintos momentos.
Por ejemplo, una cabina puede estar a 10 metros de altura al subir y, más tarde, volver a estar a 10 metros al bajar. Si la rueda sigue girando, esa misma altura volverá a repetirse.
Representación gráfica
En este gráfico, el eje horizontal representa el tiempo y el eje vertical representa la altura de la cabina.
La recta horizontal correspondiente a la altura de 10 metros corta la curva en varios puntos.
Eso muestra que la cabina pasa por la misma altura en distintos instantes. Este comportamiento no corresponde a un crecimiento permanente ni a un decrecimiento permanente, sino a una repetición regular.
Justamente por eso necesitamos un nuevo tipo de modelo matemático para describir este tipo de fenómenos.
Las funciones potencia permiten modelar fenómenos como áreas, volúmenes o relaciones inversas. Pero en ellas no aparece de manera natural una repetición regular del comportamiento.
En cambio, las situaciones periódicas requieren un modelo que permita representar ciclos, oscilaciones y repeticiones.
Muchos fenómenos reales son periódicos: el día y la noche, las estaciones, las mareas, las ondas sonoras y el movimiento circular.
Por eso, en matemática no basta con estudiar solo modelos de crecimiento y decrecimiento: también necesitamos modelos que describan comportamientos repetitivos.
Ejercicios
Ejercicio 1
Indica cuáles de las siguientes situaciones son periódicas:
- El área de un cuadrado al aumentar la medida de su lado.
- La altura de una cabina en una rueda de la fortuna.
- La temperatura aproximada durante un día.
- El volumen de un cubo al aumentar su arista.
Son periódicas:
- b) La altura de una cabina en una rueda de la fortuna.
- c) La temperatura aproximada durante un día.
Las otras corresponden más bien a crecimiento, no a repetición regular.
Ejercicio 2
Explica por qué una función como \(y=x^2\) no es un buen modelo para describir las mareas.
Porque \(x^2\) no representa un comportamiento que suba y baje de manera repetida.
Las mareas son periódicas: alcanzan niveles altos y bajos varias veces, siguiendo un ciclo. Por eso se necesita un modelo que repita su comportamiento.
Ejercicio 3
Observa la siguiente tabla de un fenómeno:
| Tiempo | 0 | 4 | 8 | 12 | 16 |
|---|---|---|---|---|---|
| Valor | 5 | 9 | 5 | 1 | 5 |
¿Se puede sospechar que es una situación periódica? Justifica.
Sí, se puede sospechar.
El valor 5 se repite en distintos instantes y la tabla sugiere un patrón de subida y bajada. Eso hace pensar en un comportamiento periódico.
Ejercicio 4
Completa la frase:
“En una situación periódica, después de cierto intervalo, el fenómeno vuelve a __________”.
Una posible respuesta es:
“...volver a comportarse de manera semejante”
o bien
“...repetir su patrón”
Ejercicio 5
Un estudiante afirma: “Si una magnitud primero sube y después baja, entonces siempre es periódica”.
¿Es correcta esa afirmación? Justifica.
No, no siempre es correcta.
Para que una situación sea periódica, no basta con que suba y baje una vez. Debe existir una repetición regular del comportamiento.
Ejercicio 6
Menciona dos situaciones reales distintas de las ya nombradas en esta página que puedan considerarse periódicas.
Ejemplos posibles:
- el movimiento de un columpio,
- las vibraciones de una cuerda,
- las ondas de sonido,
- el ciclo de fases de un movimiento circular uniforme.
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
¿Cuál de las siguientes situaciones requiere con mayor claridad un modelo periódico?
- El área de un círculo según su radio.
- La altura del agua en una marea a lo largo del tiempo.
- El volumen de un cubo según su arista.
- La distancia recorrida por un automóvil que avanza sin detenerse.
La situación correcta es:
b) La altura del agua en una marea a lo largo del tiempo.
PAES 2
Si un fenómeno repite su comportamiento cada cierto intervalo fijo, entonces ese fenómeno es:
- lineal
- cuadrático
- periódico
- afín
Alternativa correcta: c
PAES 3
¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe mejor una diferencia entre una función potencia y un modelo periódico?
- La función potencia siempre toma valores negativos y el modelo periódico no.
- El modelo periódico puede repetir valores en distintos instantes y la función potencia no describe naturalmente esa repetición regular.
- La función potencia nunca se puede graficar y el modelo periódico sí.
- Todo modelo periódico es una función lineal.
Alternativa correcta: b
PAES 4
Un fenómeno presenta los siguientes valores:
| Tiempo | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|
| Valor | 3 | 7 | 3 | -1 | 3 |
La característica más importante que sugiere periodicidad es que:
- todos los valores son positivos
- el valor 3 se repite en distintos tiempos y hay un patrón de subida y bajada
- los datos están ordenados de menor a mayor
- el tiempo comienza en 0
Alternativa correcta: b
Cierre
En esta página vimos que existen fenómenos cuyo comportamiento no consiste solo en crecer o decrecer, sino en repetirse regularmente.
Eso nos obliga a pasar a un nuevo tipo de modelo matemático, capaz de representar ciclos y oscilaciones.
En la siguiente página estudiaremos una primera función especialmente útil para describir este tipo de situaciones: la función seno.
- Una situación periódica repite su comportamiento después de intervalos iguales.
- En ella, un mismo valor puede repetirse muchas veces.
- Las funciones potencia no describen naturalmente ese patrón repetitivo.
- Por eso se necesita un nuevo tipo de modelo.
6. Función seno como modelo de periodicidad
Función seno como modelo de periodicidad
En la página anterior vimos que existen fenómenos cuyo comportamiento se repite regularmente. Para modelar ese tipo de situaciones necesitamos una función que no solo crezca o decrezca, sino que oscile y vuelva a repetir su forma.
Una de las funciones más importantes para describir ese tipo de fenómenos es la función seno.
En esta página comenzaremos a estudiarla como un modelo de periodicidad, es decir, como una herramienta para representar situaciones que suben y bajan de manera repetida.
Objetivo de la página
- Reconocer la función seno como un modelo de comportamiento periódico.
- Interpretar su gráfico como una sucesión de subidas y bajadas regulares.
- Relacionar la función seno con contextos reales simples.
- Identificar ideas intuitivas de amplitud, valor medio y repetición.
Al finalizar esta página deberías poder:
- Reconocer visualmente un gráfico senoidal.
- Explicar por qué la función seno sirve para modelar periodicidad.
- Identificar máximos, mínimos y repeticiones en un gráfico de seno.
- Relacionar un modelo senoidal simple con una situación contextualizada.
La función seno básica se escribe como:
\[ y=\sin(x) \]
Su gráfico no sube para siempre ni baja para siempre.
En cambio, presenta un movimiento de subida y bajada repetida, por eso es una función adecuada para modelar fenómenos periódicos.
- Hay un valor máximo que la curva alcanza.
- Hay un valor mínimo al que la curva desciende.
- Entre ambos, la curva pasa por una zona media.
- Después de cierto recorrido horizontal, el patrón vuelve a repetirse.
La función seno es útil porque puede representar fenómenos en los que una magnitud vuelve una y otra vez a estados semejantes.
No toda curva que sube y baja una vez es un modelo seno.
Lo característico aquí es la repetición regular del patrón.
Observación inicial
| Aspecto | En la función seno |
|---|---|
| Comportamiento general | Sube y baja de manera regular |
| Tipo de situación que modela | Fenómenos periódicos |
| Ejemplos de contexto | temperatura diaria, rueda de la fortuna, olas, vibraciones |
| Característica importante | El patrón se repite |
Ejemplo guiado 1: primer vistazo al gráfico de \(y=\sin(x)\)
Observemos el gráfico de la función seno básica.
Representación gráfica
La curva parte desde 0, sube hasta un máximo, baja nuevamente, alcanza un mínimo y luego vuelve a repetir el mismo comportamiento.
Eso muestra que no estamos frente a una función de crecimiento permanente, sino frente a una función que oscila.
Esta repetición es precisamente lo que la hace adecuada para modelar situaciones periódicas.
Ejemplo guiado 2: una misma altura puede repetirse varias veces
En una situación periódica, un mismo valor puede aparecer en distintos momentos.
Representación gráfica
La recta horizontal correspondiente a \(y=0{,}5\) corta la curva en varios puntos.
Eso significa que el valor \(0{,}5\) se repite para distintos valores de \(x\).
Esta es una característica muy importante de los modelos periódicos: un mismo estado puede repetirse varias veces.
Ejemplo guiado 3: temperatura aproximada durante un día
Supongamos que la temperatura de un lugar, medida en grados Celsius, sigue aproximadamente un patrón diario: baja durante la madrugada, sube en la mañana, alcanza un máximo cerca del mediodía y vuelve a descender en la tarde y en la noche.
Una forma simple de modelar esta situación es:
\[ T(x)=12+6\sin\left(\frac{\pi}{12}x-\frac{\pi}{2}\right) \]
donde \(x\) representa el tiempo en horas.
| Hora | 0 | 6 | 12 | 18 | 24 |
|---|---|---|---|---|---|
| Temperatura aproximada | 6 | 12 | 18 | 12 | 6 |
Representación gráfica
En este modelo, la temperatura oscila alrededor de un valor medio de 12 grados.
El máximo se acerca a 18 grados y el mínimo a 6 grados, por lo que la variación alrededor del valor medio es de 6 grados.
Además, el comportamiento se repite cada 24 horas, por lo que se trata de un claro ejemplo de periodicidad.
Ejemplo guiado 4: lectura intuitiva de un modelo seno
En un modelo de la forma:
\[ y=a\sin(bx)+d \]
podemos hacer una lectura intuitiva sencilla:
- \(d\) indica el valor medio alrededor del cual oscila la situación.
- \(|a|\) indica cuánto se aleja el fenómeno de ese valor medio.
- \(b\) influye en la rapidez con que el patrón se repite.
No es necesario memorizar todo ahora. Lo importante en esta etapa es reconocer que la función seno permite describir fenómenos que se repiten y que sus parámetros modifican esa oscilación.
Su principal fortaleza es que representa de manera natural un movimiento de ida y vuelta, con máximos, mínimos y repeticiones regulares.
Por eso aparece con frecuencia en fenómenos vinculados con ondas, vibraciones, movimientos circulares y cambios cíclicos.
La función seno se usa para modelar la altura de una cabina en una rueda de la fortuna, la posición de un punto en un movimiento vibratorio, algunas variaciones de temperatura y muchos comportamientos ondulatorios.
Ejercicios
Ejercicio 1
Explica por qué la función seno puede servir para modelar una situación periódica.
Porque su gráfico sube y baja de manera regular y repite su forma después de cierto intervalo.
Ejercicio 2
Observa el gráfico de \(y=\sin(x)\). ¿La curva crece para siempre, decrece para siempre o repite un patrón?
La curva repite un patrón. No crece para siempre ni decrece para siempre.
Ejercicio 3
En el modelo de temperatura:
\[ T(x)=12+6\sin\left(\frac{\pi}{12}x-\frac{\pi}{2}\right) \]
indica:
- el valor medio,
- la temperatura máxima aproximada,
- la temperatura mínima aproximada.
a) El valor medio es 12.
b) La temperatura máxima aproximada es 18.
c) La temperatura mínima aproximada es 6.
Ejercicio 4
Si un fenómeno oscila alrededor de 20 y se aleja como máximo 3 unidades de ese valor medio, ¿cuál es su valor máximo y cuál es su valor mínimo?
Valor máximo: \(20+3=23\)
Valor mínimo: \(20-3=17\)
Ejercicio 5
Da un ejemplo de una situación real que pueda modelarse con una función seno y explica por qué.
Por ejemplo, la altura de una cabina en una rueda de la fortuna, porque sube y baja de manera repetida.
Ejercicio 6
Un estudiante dice: “La función seno sirve para modelar el volumen de un cubo según su arista”.
¿Es correcta esa afirmación? Justifica.
No.
El volumen de un cubo crece según una función potencia, no según un patrón periódico. La función seno es adecuada cuando hay repetición regular.
Ejercicio 7
Completa la idea:
“En un modelo seno, el valor medio corresponde al nivel alrededor del cual la situación __________”.
“...oscila”
Ejercicio 8
Observa la tabla:
| Tiempo | 0 | 6 | 12 | 18 | 24 |
|---|---|---|---|---|---|
| Valor | 4 | 10 | 16 | 10 | 4 |
¿La tabla parece corresponder a un fenómeno periódico? Explica por qué.
Sí.
Los valores suben y luego bajan, y además el valor inicial vuelve a aparecer al final, lo que sugiere repetición del patrón.
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
¿Cuál de las siguientes características describe mejor a la función seno cuando se usa como modelo?
- Representa solo crecimiento permanente.
- Representa solo decrecimiento permanente.
- Representa comportamientos periódicos.
- Representa únicamente relaciones inversas.
Alternativa correcta: c
PAES 2
Si un fenómeno oscila alrededor del valor 15 y se aleja como máximo 4 unidades de ese nivel, entonces su valor máximo es:
- 11
- 15
- 19
- 30
Valor máximo:
\[ 15+4=19 \]
Alternativa correcta: c
PAES 3
¿Qué aspecto de un gráfico senoidal muestra con mayor claridad la periodicidad?
- Que corta al eje vertical una sola vez.
- Que repite su forma después de cierto intervalo.
- Que siempre toma valores positivos.
- Que es una recta.
Alternativa correcta: b
PAES 4
En un modelo seno, el número que indica el nivel alrededor del cual oscila la situación corresponde al:
- valor medio
- mínimo absoluto obligatorio
- punto de corte único
- exponente
Alternativa correcta: a
Cierre
En esta página conocimos la función seno como un modelo matemático capaz de representar comportamientos periódicos.
Vimos que su gráfico oscila, repite su forma y permite describir fenómenos reales en los que una magnitud sube y baja regularmente.
En la siguiente página estudiaremos otra función importante para modelar periodicidad: la función coseno.
- La función seno sirve para modelar situaciones periódicas.
- Su gráfico repite un patrón de subida y bajada.
- En un modelo seno suele haber un valor medio, un máximo y un mínimo.
- La periodicidad se reconoce porque el comportamiento vuelve a repetirse.
7. Función coseno como modelo de periodicidad
Función coseno como modelo de periodicidad
En la página anterior estudiamos la función seno como modelo de periodicidad. Ahora veremos otra función muy importante para describir fenómenos que se repiten regularmente: la función coseno.
Al igual que la función seno, la función coseno permite representar comportamientos que suben y bajan de manera repetida. La diferencia principal, en esta primera aproximación, es la forma en que comienza su ciclo.
En esta página estudiaremos la función coseno como un modelo de fenómenos periódicos y aprenderemos a interpretar su gráfico de manera intuitiva.
Objetivo de la página
- Reconocer la función coseno como un modelo de periodicidad.
- Interpretar su gráfico como una oscilación regular.
- Relacionar la función coseno con contextos reales simples.
- Comparar intuitivamente la función coseno con la función seno.
Al finalizar esta página deberías poder:
- Reconocer visualmente un gráfico cosenoidal.
- Explicar por qué la función coseno sirve para modelar periodicidad.
- Identificar máximos, mínimos y repeticiones en un gráfico de coseno.
- Relacionar un modelo cosenoidal simple con una situación contextualizada.
La función coseno básica se escribe como:
\[ y=\cos(x) \]
Su gráfico también sube y baja de manera regular, por lo que es adecuado para modelar fenómenos periódicos.
Una diferencia importante con la función seno es que el coseno básico comienza en un valor máximo cuando \(x=0\).
- La curva parte en un valor alto.
- Luego desciende hasta un mínimo.
- Después vuelve a subir.
- Tras cierto recorrido horizontal, el patrón se repite.
La función coseno es especialmente útil cuando una situación periódica comienza en un valor máximo o en una posición extrema.
La función coseno y la función seno describen comportamientos muy parecidos, pero no parten del mismo punto del ciclo.
En esta etapa, más que memorizar fórmulas, importa reconocer cómo se ve e interpretar qué representa.
Observación inicial
| Aspecto | En la función coseno |
|---|---|
| Comportamiento general | Baja y sube de manera regular |
| Tipo de situación que modela | Fenómenos periódicos |
| Cómo parte el ciclo básico | Desde un valor máximo |
| Ejemplos de contexto | rueda de la fortuna, vibraciones, mareas, temperatura |
Ejemplo guiado 1: primer vistazo al gráfico de \(y=\cos(x)\)
Observemos el gráfico de la función coseno básica.
Representación gráfica
La curva comienza en 1, luego baja, cruza por valores intermedios, llega a un mínimo y después vuelve a subir.
Al avanzar más en \(x\), el mismo patrón vuelve a repetirse. Por eso la función coseno también es un modelo natural de periodicidad.
Ejemplo guiado 2: comparación intuitiva entre seno y coseno
Comparemos ahora los gráficos de \(y=\sin(x)\) y \(y=\cos(x)\).
Comparación gráfica
Ambas funciones son periódicas y tienen una forma ondulada muy parecida.
La diferencia principal, en esta lectura inicial, es que:
- \(\sin(x)\) comienza en 0,
- \(\cos(x)\) comienza en 1.
Eso hace que, en algunos contextos, convenga más usar seno y en otros, coseno.
Ejemplo guiado 3: altura de una cabina que comienza en la parte más alta
Imaginemos una cabina de rueda de la fortuna que, en el instante inicial, se encuentra en la altura máxima.
Como parte desde arriba, luego baja, después llega abajo y finalmente vuelve a subir, un modelo con coseno resulta muy natural.
Consideremos el modelo:
\[ h(x)=10+8\cos\left(\frac{\pi}{3}x\right) \]
donde \(x\) representa el tiempo y \(h(x)\) la altura de la cabina.
Representación gráfica
En este modelo, la cabina oscila alrededor de una altura media de 10 metros.
Su altura máxima es 18 metros y su altura mínima es 2 metros.
Como al inicio la cabina parte arriba, el coseno representa muy bien esta situación.
Ejemplo guiado 4: lectura intuitiva de un modelo coseno
En un modelo de la forma:
\[ y=a\cos(bx)+d \]
podemos interpretar de manera intuitiva:
- \(d\): el valor medio alrededor del cual oscila el fenómeno,
- \(|a|\): cuánto se aleja del valor medio,
- \(b\): qué tan rápido se repite el ciclo.
No hace falta profundizar todo ahora. Lo importante es reconocer que la función coseno también describe oscilaciones regulares y puede modelar situaciones periódicas reales.
La función coseno es especialmente cómoda cuando el fenómeno parte en un máximo, en un mínimo o en una posición extrema.
Por eso resulta útil en contextos donde el instante inicial coincide con un punto alto o bajo del ciclo.
La función coseno puede usarse para modelar la altura de una cabina que parte arriba, ciertos movimientos vibratorios y otras situaciones periódicas que comienzan en un extremo del ciclo.
Ejercicios
Ejercicio 1
Explica por qué la función coseno puede servir para modelar una situación periódica.
Porque su gráfico baja y sube de manera regular y repite su forma después de cierto intervalo.
Ejercicio 2
¿En qué valor comienza la función coseno básica cuando \(x=0\)?
Comienza en 1, porque \(\cos(0)=1\).
Ejercicio 3
En el modelo:
\[ h(x)=10+8\cos\left(\frac{\pi}{3}x\right) \]
indica:
- la altura media,
- la altura máxima,
- la altura mínima.
a) Altura media: 10.
b) Altura máxima: \(10+8=18\).
c) Altura mínima: \(10-8=2\).
Ejercicio 4
Completa la idea:
“La función coseno básica comienza su ciclo en un valor __________”.
“...máximo”
Ejercicio 5
¿Qué función parece más natural para modelar una situación que comienza en su valor más alto: seno o coseno? Justifica brevemente.
El coseno, porque en su forma básica comienza en un valor máximo cuando \(x=0\).
Ejercicio 6
Un estudiante dice: “La función coseno no es periódica porque primero baja”.
¿Es correcta esa afirmación? Justifica.
No.
Que primero baje no impide que sea periódica. Lo importante es que su comportamiento se repite regularmente.
Ejercicio 7
Si un fenómeno oscila alrededor de 15 y se aleja como máximo 4 unidades de ese valor medio, ¿cuál es su valor máximo y cuál es su valor mínimo?
Valor máximo: \(15+4=19\)
Valor mínimo: \(15-4=11\)
Ejercicio 8
Da un ejemplo de una situación real que pueda modelarse con una función coseno y explica por qué.
Por ejemplo, la altura de una cabina de rueda de la fortuna que comienza en la parte más alta, porque el fenómeno parte en un máximo y luego se repite regularmente.
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe mejor a la función coseno cuando se usa como modelo?
- Representa solo crecimiento permanente.
- Representa situaciones periódicas.
- Representa únicamente funciones lineales.
- Representa solo relaciones inversas.
Alternativa correcta: b
PAES 2
La principal diferencia visual entre las funciones básicas \(y=\sin(x)\) e \(y=\cos(x)\) es que:
- una es recta y la otra no.
- el seno comienza en 0 y el coseno comienza en 1.
- el coseno no repite su forma.
- el seno siempre es mayor que el coseno.
Alternativa correcta: b
PAES 3
En un modelo coseno, el número que indica el nivel alrededor del cual oscila la situación corresponde al:
- valor medio
- exponente
- único punto de corte
- dominio restringido
Alternativa correcta: a
PAES 4
Si un fenómeno comienza en su valor máximo y luego desciende de manera periódica, la función que parece más natural para modelarlo es:
- una función lineal
- una función cuadrática
- una función coseno
- una función recíproca
Alternativa correcta: c
Cierre
En esta página conocimos la función coseno como otro modelo matemático útil para representar comportamientos periódicos.
Vimos que su gráfico también oscila y repite su forma, pero en su versión básica comienza en un valor máximo.
De esta manera, tanto el seno como el coseno permiten modelar fenómenos periódicos, aunque cada uno puede resultar más natural según el punto en que comience el ciclo.
- La función coseno también modela periodicidad.
- Su gráfico repite un patrón de bajada y subida.
- En su forma básica comienza en un valor máximo.
- Es útil cuando el fenómeno parte en una posición extrema.
8. Relación entre seno, coseno, razones trigonométricas y circunferencia
Relación entre seno, coseno, razones trigonométricas y circunferencia
En las páginas anteriores estudiamos las funciones seno y coseno como modelos de periodicidad. Ahora daremos un paso muy importante: entender de dónde vienen estas funciones y cómo se relacionan con las razones trigonométricas y con la circunferencia.
La idea central es que seno y coseno no aparecen “de la nada”. Nacen del estudio de triángulos rectángulos y se comprenden de manera mucho más clara cuando se observan en la circunferencia unitaria.
Objetivo de la página
- Relacionar seno y coseno con las razones trigonométricas en triángulos rectángulos.
- Comprender el significado de seno y coseno en la circunferencia unitaria.
- Interpretar que, para un ángulo \(\theta\), el punto de la circunferencia tiene coordenadas \((\cos\theta,\sin\theta)\).
- Vincular esa interpretación geométrica con los gráficos de las funciones seno y coseno.
Al finalizar esta página deberías poder:
- Recordar las razones trigonométricas seno y coseno en un triángulo rectángulo.
- Reconocer que en la circunferencia unitaria el coseno corresponde a la coordenada horizontal y el seno a la coordenada vertical.
- Relacionar puntos de la circunferencia con valores de \(\sin(\theta)\) y \(\cos(\theta)\).
- Explicar por qué los gráficos de seno y coseno surgen del movimiento sobre una circunferencia.
Para un ángulo agudo \(\theta\) en un triángulo rectángulo, se cumple:
\[ \sin(\theta)=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}} \qquad\qquad \cos(\theta)=\frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}} \]
Estas razones comparan longitudes del triángulo y dependen solo del ángulo, no del tamaño total del triángulo.
Si trabajamos con una circunferencia de radio 1, entonces la hipotenusa vale 1.
Por eso, para un punto \(P\) de la circunferencia asociado a un ángulo \(\theta\), se obtiene:
\[ \cos(\theta)=x \qquad\qquad \sin(\theta)=y \]
Es decir, el punto tiene coordenadas:
\[ P=(\cos\theta,\sin\theta) \]
En la circunferencia unitaria, el coseno indica la posición horizontal del punto y el seno indica la posición vertical.
En triángulos rectángulos solemos trabajar con ángulos agudos. En la circunferencia, en cambio, seno y coseno se extienden a muchos más ángulos, permitiendo describir un giro completo y sus repeticiones.
Resumen conceptual
| Concepto | Interpretación |
|---|---|
| \(\sin(\theta)\) | Razón trigonométrica; en la circunferencia unitaria corresponde a la coordenada vertical |
| \(\cos(\theta)\) | Razón trigonométrica; en la circunferencia unitaria corresponde a la coordenada horizontal |
| \((\cos\theta,\sin\theta)\) | Coordenadas del punto asociado al ángulo \(\theta\) en la circunferencia unitaria |
| Gráficos de seno y coseno | Registran cómo cambian las coordenadas vertical y horizontal al variar el ángulo |
Ejemplo guiado 1: recordar seno y coseno desde un triángulo rectángulo
Supongamos un triángulo rectángulo en el que, respecto del ángulo \(\theta\), el cateto opuesto mide 3, el cateto adyacente mide 4 y la hipotenusa mide 5.
Entonces:
\[ \sin(\theta)=\frac{3}{5} \qquad\qquad \cos(\theta)=\frac{4}{5} \]
Esto muestra que seno y coseno nacen como razones entre lados.
Pero si ahora llevamos esa idea a una circunferencia de radio 1, la interpretación se vuelve todavía más simple: ya no comparamos con una hipotenusa cualquiera, sino con una hipotenusa igual a 1.
Ejemplo guiado 2: interpretación geométrica en la circunferencia unitaria
Observemos un punto \(P\) sobre una circunferencia de radio 1. Si el ángulo que forma con el eje horizontal es \(\theta\), entonces sus coordenadas son \((\cos\theta,\sin\theta)\).
Esquema geométrico
En este dibujo, la proyección horizontal del punto representa \(\cos(\theta)\) y la proyección vertical representa \(\sin(\theta)\).
Por eso la circunferencia unitaria conecta directamente las razones trigonométricas con la geometría del plano.
Ejemplo guiado 3: puntos notables de la circunferencia
Para algunos ángulos conocidos, las coordenadas del punto sobre la circunferencia son fáciles de leer.
| Ángulo | Punto en la circunferencia | \(\cos(\theta)\) | \(\sin(\theta)\) |
|---|---|---|---|
| \(0\) | \((1,0)\) | 1 | 0 |
| \(\frac{\pi}{2}\) | \((0,1)\) | 0 | 1 |
| \(\pi\) | \((-1,0)\) | -1 | 0 |
| \(\frac{3\pi}{2}\) | \((0,-1)\) | 0 | -1 |
| \(2\pi\) | \((1,0)\) | 1 | 0 |
La tabla muestra algo muy importante: al completar una vuelta, el punto vuelve a una posición anterior.
Por eso seno y coseno son funciones periódicas: los valores vuelven a repetirse cuando el giro completa ciclos.
Ejemplo guiado 4: del giro en la circunferencia al gráfico de seno y coseno
Cuando el ángulo \(\theta\) va aumentando, el punto recorre la circunferencia. Sus coordenadas horizontal y vertical van cambiando, y esos cambios son justamente los que registran los gráficos de coseno y seno.
Representación gráfica
En el gráfico se observa que:
- la curva del seno registra la coordenada vertical,
- la curva del coseno registra la coordenada horizontal.
Así, los gráficos no son otra cosa que una manera de anotar cómo cambian las coordenadas del punto mientras gira alrededor de la circunferencia.
Ejemplo guiado 5: una rueda en movimiento
Imaginemos un punto marcado en el borde de una rueda que gira. Si miramos su posición respecto del centro:
- su desplazamiento horizontal se puede modelar con coseno,
- su desplazamiento vertical se puede modelar con seno.
Por eso seno y coseno aparecen con tanta frecuencia en movimientos circulares, vibraciones y fenómenos periódicos.
La relación entre circunferencia y funciones trigonométricas permite pasar desde una interpretación geométrica concreta a un modelo funcional que se puede graficar, analizar y aplicar en contextos reales.
El triángulo rectángulo nos da la definición inicial de seno y coseno como razones trigonométricas.
La circunferencia unitaria amplía esa idea y permite interpretar seno y coseno como coordenadas de un punto que gira.
Finalmente, los gráficos de las funciones muestran cómo cambian esas coordenadas a medida que varía el ángulo.
Esta relación entre circunferencia y funciones trigonométricas es la base para modelar ruedas, ondas, vibraciones, movimientos repetitivos y muchos fenómenos periódicos en ciencias y tecnología.
Ejercicios
Ejercicio 1
Completa:
\[ \sin(\theta)=\frac{\underline{\hspace{3cm}}}{\underline{\hspace{3cm}}} \qquad\qquad \cos(\theta)=\frac{\underline{\hspace{3cm}}}{\underline{\hspace{3cm}}} \]
\[ \sin(\theta)=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}} \qquad\qquad \cos(\theta)=\frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}} \]
Ejercicio 2
En la circunferencia unitaria, si un punto asociado al ángulo \(\theta\) tiene coordenadas \((x,y)\), ¿qué representa \(x\) y qué representa \(y\)?
\(x=\cos(\theta)\) y \(y=\sin(\theta)\).
Ejercicio 3
Indica las coordenadas del punto de la circunferencia unitaria asociado a los ángulos:
- \(0\)
- \(\frac{\pi}{2}\)
- \(\pi\)
- \(\frac{3\pi}{2}\)
- a) \((1,0)\)
- b) \((0,1)\)
- c) \((-1,0)\)
- d) \((0,-1)\)
Ejercicio 4
Si \(\theta=0\), determina:
\[ \sin(0)\qquad\text{y}\qquad \cos(0) \]
\[ \sin(0)=0 \qquad\qquad \cos(0)=1 \]
Ejercicio 5
Explica por qué seno y coseno son funciones periódicas si se observan desde la circunferencia.
Porque al completar una vuelta el punto regresa a posiciones ya recorridas, de modo que sus coordenadas horizontal y vertical vuelven a repetirse.
Ejercicio 6
Un estudiante dice: “En la circunferencia unitaria, seno es la coordenada horizontal y coseno la vertical”.
¿Es correcta esa afirmación? Justifica.
No.
En la circunferencia unitaria, \(\cos(\theta)\) corresponde a la coordenada horizontal y \(\sin(\theta)\) a la coordenada vertical.
Ejercicio 7
Si un punto de la circunferencia unitaria está en \((0,1)\), ¿qué ángulo notable representa y cuáles son los valores de seno y coseno?
Representa el ángulo \(\frac{\pi}{2}\).
\[ \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 \qquad\qquad \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1 \]
Ejercicio 8
Relaciona cada función con la coordenada que representa en la circunferencia unitaria:
- \(\sin(\theta)\)
- \(\cos(\theta)\)
Opciones:
- coordenada horizontal
- coordenada vertical
- a) coordenada vertical
- b) coordenada horizontal
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
En la circunferencia unitaria, el punto asociado a un ángulo \(\theta\) tiene coordenadas:
- \((\sin\theta,\cos\theta)\)
- \((\cos\theta,\sin\theta)\)
- \((\theta,\sin\theta)\)
- \((\theta,\cos\theta)\)
Alternativa correcta: b
PAES 2
Si un punto de la circunferencia unitaria se encuentra en \((1,0)\), entonces:
- \(\sin(\theta)=1\) y \(\cos(\theta)=0\)
- \(\sin(\theta)=0\) y \(\cos(\theta)=1\)
- \(\sin(\theta)=-1\) y \(\cos(\theta)=0\)
- \(\sin(\theta)=0\) y \(\cos(\theta)=-1\)
Alternativa correcta: b
PAES 3
¿Qué registra el gráfico de \(y=\sin(x)\) cuando se interpreta desde la circunferencia unitaria?
- La coordenada horizontal del punto
- La coordenada vertical del punto
- El radio de la circunferencia
- El perímetro de la circunferencia
Alternativa correcta: b
PAES 4
La relación correcta entre triángulo rectángulo y circunferencia unitaria es que:
- en ambos casos seno y coseno dejan de depender del ángulo
- la circunferencia unitaria permite interpretar seno y coseno como coordenadas
- solo en la circunferencia existe el coseno
- solo en el triángulo rectángulo existe el seno
Alternativa correcta: b
Cierre
En esta página unimos varias ideas importantes: las razones trigonométricas, la circunferencia unitaria y los gráficos de seno y coseno.
Vimos que seno y coseno pueden entenderse primero como razones entre lados de un triángulo rectángulo, pero también como coordenadas de un punto que gira en una circunferencia.
Esa relación explica por qué estas funciones son tan útiles para modelar fenómenos periódicos.
- \(\sin(\theta)\) y \(\cos(\theta)\) nacen como razones trigonométricas.
- En la circunferencia unitaria, \((\cos\theta,\sin\theta)\) son las coordenadas del punto.
- El coseno corresponde a la coordenada horizontal y el seno a la vertical.
- Los gráficos de seno y coseno registran cómo cambian esas coordenadas al variar el ángulo.
9. Modelamiento matemático
Modelamiento matemático
En esta actividad final integrarás los aprendizajes de la unidad mediante el análisis de datos, la construcción de gráficos y la elección de un modelo matemático adecuado.
Tu tarea no consiste solo en obtener una fórmula, sino también en justificar por qué ese modelo parece razonable y en reflexionar críticamente sobre sus límites, sus márgenes de error y su grado de ajuste a la realidad.
Objetivo de la página
- Representar datos en tablas y gráficos.
- Seleccionar un modelo matemático coherente con el comportamiento observado.
- Construir un modelo de función potencia o trigonométrica según el caso.
- Analizar críticamente si el modelo es exacto o aproximado.
Al finalizar esta actividad deberías poder:
- Reconocer si un conjunto de datos sugiere crecimiento, decrecimiento o periodicidad.
- Escoger entre un modelo de función potencia o trigonométrica.
- Usar el modelo para estimar valores.
- Explicar por qué un modelo matemático puede tener limitaciones.
Modelar no significa copiar exactamente la realidad. Modelar significa representarla de manera útil para comprender tendencias, comparar comportamientos y hacer estimaciones.
En la realidad, los datos casi nunca siguen una fórmula perfecta. Por eso, una parte importante del modelamiento consiste en analizar si el modelo elegido es exacto, aproximado o insuficiente.
Ruta de trabajo
| Paso | Acción |
|---|---|
| 1 | Leer la tabla de datos y construir su gráfico. |
| 2 | Decidir si el comportamiento parece de crecimiento, decrecimiento o periodicidad. |
| 3 | Elegir un tipo de modelo y proponer una expresión matemática. |
| 4 | Usar el modelo para estimar un valor no dado en la tabla. |
| 5 | Redactar una conclusión crítica sobre la calidad del ajuste del modelo. |
Actividad 1: crecimiento o decrecimiento
Elige una de las siguientes dos situaciones y desarrolla todos los pasos de la ruta de trabajo.
Opción A: volumen de un cubo
La siguiente tabla muestra la relación entre la arista \(x\) de un cubo y su volumen \(V\).
| Arista \(x\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Volumen \(V\) | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 |
- Construye el gráfico de los datos.
- Indica si el comportamiento corresponde a crecimiento o decrecimiento.
- Propón un modelo de la forma \(V(x)=a\cdot x^n\).
- Usa tu modelo para estimar el volumen cuando \(x=6\).
- Escribe una conclusión crítica: ¿tu modelo es exacto para esta tabla o es una aproximación? ¿Por qué?
Una posible elección es:
\[ V(x)=x^3 \]
Entonces:
\[ V(6)=6^3=216 \]
Aquí el modelo es prácticamente exacto para los datos entregados, porque la tabla coincide con la regla del volumen de un cubo.
Opción B: intensidad de luz y distancia
La siguiente tabla muestra una situación idealizada en la que la intensidad de una luz disminuye al alejarse de la fuente.
| Distancia \(x\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|
| Intensidad \(I\) | 36 | 9 | 4 | 2,25 | 1 |
- Construye el gráfico de los datos.
- Indica si el comportamiento corresponde a crecimiento o decrecimiento.
- Propón un modelo de la forma \(I(x)=a\cdot x^n\).
- Usa tu modelo para estimar la intensidad cuando \(x=5\).
- Escribe una conclusión crítica: ¿crees que en la realidad una situación así se ajusta exactamente al modelo? Explica.
Una posible elección es:
\[ I(x)=\frac{36}{x^2}=36x^{-2} \]
Entonces:
\[ I(5)=\frac{36}{25}=1,44 \]
Este modelo puede ser muy útil, pero en una situación real la medición podría verse afectada por el ambiente, el instrumento usado o la presencia de otras fuentes de luz. Por eso suele interpretarse como una aproximación.
Actividad 2: fenómeno periódico
Marea a lo largo del día
La siguiente tabla representa una altura aproximada del mar, medida en metros, en distintos momentos del día.
| Tiempo (horas) | 0 | 6 | 12 | 18 | 24 |
|---|---|---|---|---|---|
| Altura del mar | 10 | 6 | 2 | 6 | 10 |
- Construye el gráfico de los datos.
- Explica por qué se trata de una situación periódica.
- Decide si un modelo con seno o con coseno parece más natural y justifica.
- Propón un modelo trigonométrico.
- Usa tu modelo para estimar la altura del mar en la hora 3.
- Escribe una conclusión crítica: ¿el modelo reproduce exactamente la realidad o solo una tendencia general?
Una posible elección es:
\[ h(x)=6+4\cos\left(\frac{\pi}{12}x\right) \]
Este modelo es razonable porque:
- oscila alrededor de 6,
- tiene amplitud 4,
- parte en un valor máximo, por eso el coseno resulta natural.
Para \(x=3\):
\[ h(3)=6+4\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) =6+4\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} =6+2\sqrt{2} \approx 8,83 \]
En la realidad, las mareas no dependen solo de un patrón perfecto. Pueden influir el clima, el viento, la geografía costera y otros factores. Por eso, el modelo debe entenderse como una representación útil, pero no exacta.
Reflexión final
Conclusión crítica
Responde en un párrafo breve:
- ¿Qué características te ayudaron a elegir tu modelo?
- ¿Qué tan bien representa el fenómeno?
- ¿En qué sentido podría tener márgenes de error?
- ¿Qué información adicional necesitarías para mejorar el modelo?
Una buena conclusión debería mencionar que el modelo se eligió por la forma de la tabla y del gráfico, pero que los datos reales pueden variar por muchos factores que el modelo no considera.
También debería reconocer que un modelo matemático puede ser muy útil para interpretar y estimar, aunque no describa exactamente cada dato de la realidad.
En algunos fenómenos reales, como crecimiento de bacterias o variables económicas, puede ocurrir que el ajuste no sea perfecto con los modelos trabajados en esta unidad. Detectar eso también es una habilidad matemática importante: a veces la mejor conclusión no es “mi modelo es exacto”, sino “mi modelo aproxima una tendencia, pero tiene límites”.
Modelar es una forma de pensar matemáticamente sobre el mundo. Un buen modelo no siempre es el más complicado, sino el que permite comprender el fenómeno, hacer estimaciones razonables y reconocer honestamente sus limitaciones.
10. Evaluación de unidad: funciones potencia y funciones trigonométricas
Evaluación de unidad: funciones potencia y funciones trigonométricas
En esta evaluación aplicarás los aprendizajes desarrollados en la unidad sobre funciones potencia de exponente entero y funciones trigonométricas como modelos de periodicidad.
Se evaluará tu capacidad para:
- modelar crecimiento y decrecimiento mediante funciones potencia,
- leer y construir tablas,
- comparar gráficos y analizar el efecto de parámetros,
- reconocer situaciones periódicas,
- interpretar seno y coseno como modelos de periodicidad,
- relacionar seno y coseno con razones trigonométricas y circunferencia unitaria.
Objetivo de la evaluación
Integrar los contenidos de la unidad mediante ejercicios de desarrollo y preguntas de alternativa, utilizando interpretación algebraica, tabular, gráfica y contextual.
Indicadores de evaluación
- Reconoce y modela crecimiento o decrecimiento con funciones potencia.
- Interpreta tablas y gráficos de funciones potencia.
- Analiza el efecto de parámetros en funciones de la forma \(f(x)=a\cdot x^n\).
- Distingue fenómenos periódicos de fenómenos no periódicos.
- Interpreta modelos básicos con seno y coseno.
- Relaciona seno y coseno con la circunferencia unitaria y las razones trigonométricas.
- Responde primero los ejercicios de desarrollo justificando tus procedimientos.
- Luego responde las preguntas tipo PAES, marcando la alternativa correcta.
- En los ejercicios de desarrollo, no basta con escribir solo la respuesta final cuando se pide explicación.
Parte I: Ejercicios de desarrollo
Desarrollo 1
Considera la función \(f(x)=x^3\).
- Completa la tabla para \(x=-2,-1,0,1,2\).
- Indica si la función modela crecimiento, decrecimiento o ninguno de los dos en todo \(\mathbb{R}\).
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | ? | ? | ? | ? | ? |
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(x^3\) | -8 | -1 | 0 | 1 | 8 |
La función es creciente en todo \(\mathbb{R}\), porque al aumentar \(x\), los valores de \(f(x)\) también aumentan.
Desarrollo 2
La función \(g(x)=x^{-1}=\dfrac{1}{x}\) modela una relación inversa.
- Completa la tabla para \(x=-2,-1,1,2,4\).
- Explica por qué esta función no está definida en \(x=0\).
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | 1 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(g(x)\) | ? | ? | ? | ? | ? |
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | 1 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\frac{1}{x}\) | \(-\frac{1}{2}\) | -1 | 1 | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{4}\) |
No está definida en \(x=0\) porque implicaría dividir por cero, y esa operación no está definida en los números reales.
Desarrollo 3
Compara las funciones \(y=x^2\) y \(y=x^{-2}=\dfrac{1}{x^2}\).
- Menciona una semejanza entre ambas.
- Menciona dos diferencias importantes.
Semejanza: ambas tienen exponente par, por lo que presentan simetría respecto del eje \(y\).
Diferencias:
- \(x^2\) está definida en \(x=0\), pero \(x^{-2}\) no.
- \(x^2\) pasa por el origen, mientras que \(x^{-2}\) tiene dos ramas y no corta el eje \(x\).
Desarrollo 4
Considera las funciones:
\[ y=x^2,\qquad y=3x^2,\qquad y=-x^2,\qquad y=\frac{1}{2}x^2 \]
Describe el efecto que produce cada cambio respecto del gráfico de \(y=x^2\).
- \(3x^2\): estiramiento vertical, porque los valores son mayores.
- \(-x^2\): reflexión respecto del eje \(x\).
- \(\frac{1}{2}x^2\): compresión vertical, porque los valores quedan más cerca del eje \(x\).
Desarrollo 5
Una magnitud presenta los siguientes valores:
| Tiempo | 0 | 6 | 12 | 18 | 24 |
|---|---|---|---|---|---|
| Valor | 8 | 14 | 20 | 14 | 8 |
- ¿Corresponde a una situación periódica? Justifica.
- ¿Qué tipo de función parece más adecuada para modelarla: potencia o trigonométrica? Explica.
Sí, sugiere una situación periódica, porque los valores suben y luego bajan volviendo al valor inicial, lo que indica repetición del patrón.
Una función trigonométrica, como seno o coseno, parece más adecuada, porque estas funciones modelan oscilaciones regulares.
Desarrollo 6
Considera el modelo:
\[ T(x)=15+4\sin\left(\frac{\pi}{12}x\right) \]
donde \(T(x)\) representa una temperatura en grados Celsius.
- ¿Cuál es el valor medio?
- ¿Cuál es la temperatura máxima?
- ¿Cuál es la temperatura mínima?
- Explica por qué este modelo es periódico.
Valor medio: 15.
Temperatura máxima: \(15+4=19\).
Temperatura mínima: \(15-4=11\).
Es periódico porque la función seno repite su comportamiento después de un cierto intervalo.
Desarrollo 7
Considera el modelo:
\[ h(x)=10+6\cos(x) \]
donde \(h(x)\) representa la altura de una cabina de rueda de la fortuna.
- ¿Cuál es la altura media?
- ¿Cuál es la altura máxima?
- ¿Cuál es la altura mínima?
- Explica por qué el coseno es natural si la cabina parte en la parte más alta.
Altura media: 10.
Altura máxima: \(10+6=16\).
Altura mínima: \(10-6=4\).
El coseno es natural porque en su forma básica comienza en un valor máximo cuando \(x=0\).
Desarrollo 8
En la circunferencia unitaria, el punto asociado a un ángulo \(\theta\) tiene coordenadas \((\cos\theta,\sin\theta)\).
- Determina las coordenadas correspondientes a los ángulos \(0\), \(\frac{\pi}{2}\), \(\pi\) y \(\frac{3\pi}{2}\).
- Explica cómo se relacionan esas coordenadas con los gráficos de seno y coseno.
- \(0 \rightarrow (1,0)\)
- \(\frac{\pi}{2} \rightarrow (0,1)\)
- \(\pi \rightarrow (-1,0)\)
- \(\frac{3\pi}{2} \rightarrow (0,-1)\)
El coseno corresponde a la coordenada horizontal y el seno a la coordenada vertical. Los gráficos muestran cómo cambian esas coordenadas cuando varía el ángulo.
Parte II: Preguntas tipo PAES
PAES 1
¿Cuál de las siguientes funciones representa una función potencia con exponente entero negativo?
- \(y=x^2\)
- \(y=x^3\)
- \(y=x^{-1}\)
- \(y=2x+1\)
Alternativa correcta: c
PAES 2
Para \(x=2\), el valor de \(x^3\) es:
- 4
- 6
- 8
- 9
\[ 2^3=8 \]
Alternativa correcta: c
PAES 3
¿Cuál de las siguientes tablas corresponde a la función \(f(x)=x^{-1}\)?
- \((1,1),(2,4),(4,16)\)
- \((1,1),(2,\frac{1}{2}),(4,\frac{1}{4})\)
- \((1,1),(2,2),(4,4)\)
- \((1,0),(2,1),(4,2)\)
Porque \(\frac{1}{1}=1\), \(\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\) y \(\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\).
Alternativa correcta: b
PAES 4
¿Cuál de las siguientes funciones está definida para todo número real?
- \(x^{-1}\)
- \(x^{-2}\)
- \(-x^2\)
- \(\frac{1}{x}\)
\(-x^2\) está definida para todo real. Las otras no están definidas en \(x=0\).
Alternativa correcta: c
PAES 5
Al pasar de \(y=x^2\) a \(y=-x^2\), el gráfico:
- se desplaza 2 unidades hacia arriba
- se refleja respecto del eje \(x\)
- se refleja respecto del eje \(y\)
- se comprime horizontalmente
Alternativa correcta: b
PAES 6
La función \(\frac{1}{2}x^2\), en comparación con \(x^2\), presenta principalmente:
- una reflexión respecto del eje \(x\)
- una compresión vertical
- una traslación horizontal
- un cambio de dominio
Alternativa correcta: b
PAES 7
Para \(0<x<1\), ¿cuál es el orden correcto?
- \(x^3>x^2>x\)
- \(x>x^2>x^3\)
- \(x^2>x>x^3\)
- \(x^2>x^3>x\)
Para \(0<x<1\), al aumentar el exponente entero positivo, el valor disminuye.
Alternativa correcta: b
PAES 8
¿Cuál de las siguientes situaciones requiere más claramente un modelo periódico?
- El volumen de un cubo según su arista
- La altura de una marea a lo largo del tiempo
- El área de un cuadrado según su lado
- La masa de un objeto fijo
Alternativa correcta: b
PAES 9
La principal característica de una situación periódica es que:
- siempre crece
- siempre decrece
- repite su comportamiento después de cierto intervalo
- siempre pasa por el origen
Alternativa correcta: c
PAES 10
En la función básica \(y=\sin(x)\), el gráfico:
- parte en 1 cuando \(x=0\)
- parte en 0 cuando \(x=0\)
- nunca toma valores negativos
- no es periódico
Porque \(\sin(0)=0\).
Alternativa correcta: b
PAES 11
En la función básica \(y=\cos(x)\), se cumple que:
- \(\cos(0)=0\)
- \(\cos(0)=1\)
- \(\cos(0)=-1\)
- \(\cos(0)=2\)
Alternativa correcta: b
PAES 12
Si un modelo es \(y=12+5\sin(x)\), entonces su valor medio es:
- 5
- 7
- 12
- 17
El valor medio corresponde al número alrededor del cual oscila la función.
Alternativa correcta: c
PAES 13
Si un fenómeno se modela por \(y=10+3\cos(x)\), entonces su valor máximo es:
- 7
- 10
- 13
- 30
\[ 10+3=13 \]
Alternativa correcta: c
PAES 14
En un triángulo rectángulo, \(\sin(\theta)\) corresponde a:
- \(\dfrac{\text{cateto adyacente}}{\text{cateto opuesto}}\)
- \(\dfrac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}}\)
- \(\dfrac{\text{hipotenusa}}{\text{cateto opuesto}}\)
- \(\dfrac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}}\)
Alternativa correcta: b
PAES 15
En la circunferencia unitaria, el punto asociado a un ángulo \(\theta\) tiene coordenadas:
- \((\sin\theta,\cos\theta)\)
- \((\cos\theta,\sin\theta)\)
- \((\theta,\sin\theta)\)
- \((\theta,\cos\theta)\)
Alternativa correcta: b
PAES 16
Si un punto de la circunferencia unitaria es \((0,1)\), entonces:
- \(\cos(\theta)=1\) y \(\sin(\theta)=0\)
- \(\cos(\theta)=0\) y \(\sin(\theta)=1\)
- \(\cos(\theta)=-1\) y \(\sin(\theta)=0\)
- \(\cos(\theta)=0\) y \(\sin(\theta)=-1\)
Alternativa correcta: b
Cierre
Esta evaluación integra los contenidos centrales de la unidad: funciones potencia de exponente entero, análisis de gráficos y parámetros, reconocimiento de periodicidad, y uso de las funciones seno y coseno en relación con la circunferencia unitaria y las razones trigonométricas.
- Las funciones potencia permiten modelar crecimiento, decrecimiento y relaciones inversas.
- Los parámetros modifican la forma, orientación o escala del gráfico.
- Las funciones seno y coseno modelan fenómenos periódicos.
- En la circunferencia unitaria, \((\cos\theta,\sin\theta)\) representa las coordenadas del punto asociado al ángulo.