1. Recordatorio del plano cartesiano y lectura geométrica de rectas

Recordatorio del plano cartesiano y lectura geométrica de rectas

Antes de estudiar con más detalle la pendiente y las ecuaciones de la recta, conviene recordar algunas ideas fundamentales del plano cartesiano.

En esta página revisaremos cómo ubicar puntos, cómo leer coordenadas y cómo interpretar geométricamente una recta a partir de su posición, su dirección y su relación con los ejes.

Objetivo de la página

Recordar la estructura del plano cartesiano y la ubicación de puntos.
Interpretar geométricamente rectas en el plano.
Distinguir rectas crecientes, decrecientes, horizontales y verticales.
Relacionar la posición de una recta con información geométrica básica.

Al finalizar esta página deberías poder:

Ubicar correctamente puntos en el plano a partir de sus coordenadas.
Identificar cuadrantes y ejes.
Describir una recta a partir de su forma y orientación.
Reconocer si una recta sube, baja, es horizontal o es vertical.

📐 Recordatorio básico

En el plano cartesiano, cada punto se representa mediante un par ordenado:

\[ (x,y) \]

donde:

\(x\) indica la posición horizontal,
\(y\) indica la posición vertical.

El punto \((0,0)\) se llama origen.

📐 Cuadrantes

Los ejes dividen el plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes:

I cuadrante: \(x>0\) e \(y>0\)
II cuadrante: \(x<0\) e \(y>0\)
III cuadrante: \(x<0\) e \(y<0\)
IV cuadrante: \(x>0\) e \(y<0\)

💡 Idea clave

Una recta puede leerse geométricamente observando:

si sube o baja al avanzar hacia la derecha,
si corta a los ejes,
si es horizontal o vertical,
si pasa por ciertos puntos del plano.

⚠️ Error frecuente

No hay que confundir el orden de las coordenadas.

El punto \((2,3)\) no es lo mismo que el punto \((3,2)\).

Resumen conceptual

Elemento	Interpretación
Eje \(x\)	Eje horizontal
Eje \(y\)	Eje vertical
Origen	Punto \((0,0)\)
Recta creciente	Sube al avanzar hacia la derecha
Recta decreciente	Baja al avanzar hacia la derecha
Recta horizontal	Tiene altura constante
Recta vertical	Tiene valor de \(x\) constante

Ejemplo guiado 1: lectura de puntos en el plano

Consideremos los siguientes puntos:

\[ A(2,3),\qquad B(-3,2),\qquad C(-2,-3),\qquad D(3,-2) \]

Podemos leerlos así:

\(A(2,3)\): 2 unidades a la derecha y 3 hacia arriba.
\(B(-3,2)\): 3 unidades a la izquierda y 2 hacia arriba.
\(C(-2,-3)\): 2 unidades a la izquierda y 3 hacia abajo.
\(D(3,-2)\): 3 unidades a la derecha y 2 hacia abajo.

Punto	Cuadrante
\(A(2,3)\)	I
\(B(-3,2)\)	II
\(C(-2,-3)\)	III
\(D(3,-2)\)	IV

Esto permite recordar que el signo de cada coordenada indica en qué zona del plano se encuentra el punto.

Ejemplo guiado 2: primera lectura geométrica de una recta

Observemos la recta:

\[ y=x \]

Representación gráfica

La recta pasa por el origen y sube a medida que avanzamos hacia la derecha.

Geométricamente, eso significa que es una recta creciente.

Además, todo punto de la recta cumple que su coordenada horizontal y su coordenada vertical tienen el mismo valor.

Ejemplo guiado 3: comparar dos rectas

Comparemos las rectas:

\[ y=2x+1 \qquad\text{y}\qquad y=-x+2 \]

Comparación gráfica

La recta \(y=2x+1\) sube al avanzar hacia la derecha, por lo tanto es creciente.

La recta \(y=-x+2\) baja al avanzar hacia la derecha, por lo tanto es decreciente.

Además, ambas cortan al eje \(y\), pero en distintas alturas:

\(y=2x+1\) corta en \(1\),
\(y=-x+2\) corta en \(2\).

Ejemplo guiado 4: rectas horizontales y verticales

No todas las rectas “suben” o “bajan”. También existen rectas especiales.

Esquema geométrico

\(y=2\) \(x=2\) x y O

La recta \(y=2\) es horizontal: todos sus puntos tienen altura 2.
La recta \(x=2\) es vertical: todos sus puntos tienen coordenada horizontal 2.

Estas rectas también forman parte del estudio geométrico del plano.

🤓 Lectura geométrica de una recta

Cuando observamos una recta en el plano, podemos preguntarnos:

¿sube, baja o se mantiene a la misma altura?,
¿pasa por el origen?,
¿corta al eje \(x\) o al eje \(y\)?,
¿es horizontal o vertical?,
¿por qué puntos conocidos pasa?

Estas preguntas ayudan a interpretar rectas antes incluso de trabajar formalmente con pendiente y ecuaciones más avanzadas.

🌍 Aplicación en el mundo real

Las rectas aparecen cuando una magnitud cambia de manera uniforme respecto de otra. Por ejemplo, al estudiar distancia y tiempo en un movimiento con velocidad constante, o costo total y cantidad cuando el precio por unidad se mantiene fijo.

Ejercicios

Ejercicio 1

Indica en qué cuadrante se encuentra cada punto:

\[ A(4,2),\qquad B(-5,3),\qquad C(-2,-1),\qquad D(3,-4) \]

Ejercicio 2

Ubica mentalmente el punto \((-3,4)\) y descríbelo con palabras.

Ejercicio 3

Observa la recta \(y=x\). Indica si es creciente, decreciente, horizontal o vertical.

Ejercicio 4

Observa la recta \(y=-2x+1\). Sin dibujarla con exactitud, indica si sube o baja al avanzar hacia la derecha.

Ejercicio 5

¿Qué tienen en común todos los puntos de la recta \(y=3\)?

Ejercicio 6

¿Qué tienen en común todos los puntos de la recta \(x=-2\)?

Ejercicio 7

Explica una diferencia geométrica entre una recta horizontal y una recta vertical.

Ejercicio 8

Un estudiante afirma: “La recta \(y=2x+5\) es vertical porque tiene una \(x\)”. ¿Es correcta esa afirmación? Justifica.

Ejercicios tipo PAES

PAES 1

¿En qué cuadrante se encuentra el punto \((-4,5)\)?

I
II
III
IV

PAES 2

¿Cuál de las siguientes rectas es horizontal?

\(x=3\)
\(y=-2\)
\(y=x\)
\(y=2x+1\)

PAES 3

La recta \(x=-1\) es:

creciente
decreciente
horizontal
vertical

PAES 4

Si una recta sube al avanzar hacia la derecha, entonces geométricamente es:

horizontal
vertical
creciente
decreciente

Cierre

En esta página recordamos la estructura del plano cartesiano y la lectura geométrica básica de rectas.

Vimos cómo ubicar puntos, cómo identificar cuadrantes y cómo describir rectas según su orientación en el plano.

En la siguiente clase profundizaremos en una idea central para el estudio de rectas: la pendiente y su interpretación geométrica.

💡 Para recordar

Todo punto del plano se expresa como \((x,y)\).
El signo de las coordenadas ayuda a identificar el cuadrante.
Una recta puede ser creciente, decreciente, horizontal o vertical.
Leer geométricamente una recta significa interpretar su posición y su forma.

2. Pendiente e interpretación

Pendiente e interpretación

En la clase anterior recordamos el plano cartesiano y la lectura geométrica de rectas. Ahora profundizaremos en una idea central: la pendiente.

La pendiente permite describir qué tan inclinada está una recta y, sobre todo, interpretar cómo cambia una variable respecto de otra.

Objetivo de la página

Comprender la pendiente como medida de inclinación de una recta.
Calcular la pendiente a partir de dos puntos.
Interpretar el signo y el valor de la pendiente.
Relacionar pendiente con rectas crecientes, decrecientes y horizontales.

Al finalizar esta página deberías poder:

Calcular la pendiente usando coordenadas.
Explicar qué significa una pendiente positiva, negativa o nula.
Comparar rectas según su inclinación.
Interpretar la pendiente en situaciones simples de cambio.

📐 Definición

La pendiente de una recta se representa normalmente con la letra \(m\).

Si una recta pasa por dos puntos \(A(x_1,y_1)\) y \(B(x_2,y_2)\), su pendiente se calcula con:

\[ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \]

Es decir:

\[ m=\frac{\text{cambio vertical}}{\text{cambio horizontal}} \]

📐 Lectura intuitiva

Si \(m>0\), la recta es creciente.
Si \(m<0\), la recta es decreciente.
Si \(m=0\), la recta es horizontal.
Si la recta es vertical, su pendiente no está definida.

💡 Idea clave

La pendiente indica cuánto cambia \(y\) cuando \(x\) aumenta una unidad.

Por ejemplo, si \(m=2\), significa que por cada 1 unidad que avanza \(x\), la variable \(y\) aumenta 2 unidades.

⚠️ Error frecuente

No hay que restar “cruzado”.

Si en el numerador haces \(y_2-y_1\), en el denominador debes hacer \(x_2-x_1\), respetando el mismo orden.

Resumen conceptual

Tipo de recta	Pendiente	Interpretación
Creciente	\(m>0\)	Sube al avanzar hacia la derecha
Decreciente	\(m<0\)	Baja al avanzar hacia la derecha
Horizontal	\(m=0\)	La altura no cambia
Vertical	No definida	No hay avance horizontal

Ejemplo guiado 1: calcular la pendiente a partir de dos puntos

Consideremos los puntos \(A(1,1)\) y \(B(3,5)\).

Aplicamos la fórmula:

\[ m=\frac{5-1}{3-1}=\frac{4}{2}=2 \]

La pendiente es 2.

Esto significa que por cada 1 unidad que aumenta \(x\), la variable \(y\) aumenta 2 unidades.

Representación gráfica

Como la pendiente es positiva, la recta es creciente.

Ejemplo guiado 2: comparar pendientes

Comparemos las rectas:

\[ y=2x+1,\qquad y=\frac{1}{2}x+1,\qquad y=-x+1 \]

Comparación gráfica

\(y=2x+1\) tiene pendiente \(m=2\): sube rápido.
\(y=\frac{1}{2}x+1\) tiene pendiente \(m=\frac{1}{2}\): también sube, pero más lentamente.
\(y=-x+1\) tiene pendiente \(m=-1\): baja al avanzar hacia la derecha.

Entonces, el valor absoluto de la pendiente también ayuda a describir qué tan inclinada está una recta.

Ejemplo guiado 3: pendiente nula

Consideremos la recta:

\[ y=3 \]

Representación gráfica

En esta recta, aunque \(x\) cambie, el valor de \(y\) se mantiene siempre en 3.

Por eso su pendiente es:

\[ m=0 \]

Geométricamente, es una recta horizontal.

Ejemplo guiado 4: pendiente no definida

Consideremos ahora una recta vertical, por ejemplo:

\[ x=2 \]

En una recta vertical, el valor de \(x\) no cambia.

Eso significa que el cambio horizontal es 0, y en la fórmula de la pendiente aparecería una división por cero:

\[ m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta y}{0} \]

Como no se puede dividir por 0, la pendiente de una recta vertical no está definida.

\(x=2\) A B x y

Ejemplo guiado 5: interpretación en contexto

Supongamos que el costo total \(C\), en miles de pesos, de cierta compra está dado por:

\[ C(x)=4x+3 \]

donde \(x\) representa la cantidad de artículos comprados.

La pendiente es 4.

Eso significa que por cada artículo adicional, el costo total aumenta en 4 miles de pesos.

El número 3 indica un costo inicial fijo.

Aquí la pendiente ya no solo se interpreta como inclinación geométrica, sino también como tasa de cambio.

🤓 Lectura de la pendiente

Cuando veas una recta, puedes hacerte estas preguntas:

¿sube o baja?,
¿sube mucho o poco?,
¿se mantiene horizontal?,
¿es vertical?

Todas esas preguntas están relacionadas con la pendiente.

🌍 Aplicación en el mundo real

La pendiente puede representar velocidad, precio por unidad, variación de temperatura, altura ganada por unidad de recorrido y muchas otras tasas de cambio.

Ejercicios

Ejercicio 1

Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos \(A(2,1)\) y \(B(5,7)\).

Ejercicio 2

Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos \(A(-1,4)\) y \(B(3,2)\).

Ejercicio 3

Indica si una recta con pendiente \(m=3\) es creciente, decreciente, horizontal o vertical.

Ejercicio 4

Indica si una recta con pendiente \(m=-2\) es creciente, decreciente, horizontal o vertical.

Ejercicio 5

¿Cuál es la pendiente de la recta \(y=5\)? Explica brevemente.

Ejercicio 6

¿La recta \(x=-3\) tiene pendiente definida? Justifica.

Ejercicio 7

En una situación, la expresión \(y=6x+2\) modela el valor de una variable. Interpreta la pendiente en contexto.

Ejercicio 8

Un estudiante dice: “Si una recta tiene pendiente pequeña, entonces siempre es decreciente”. ¿Es correcta esa afirmación? Justifica.

Ejercicios tipo PAES

PAES 1

La pendiente de la recta que pasa por \((1,2)\) y \((3,6)\) es:

1
2
3
4

PAES 2

Si una recta tiene pendiente negativa, entonces:

sube al avanzar hacia la derecha
baja al avanzar hacia la derecha
es horizontal
es vertical

PAES 3

La recta \(y=4\) tiene pendiente:

\(-4\)
0
1
No definida

PAES 4

¿Cuál de las siguientes rectas tiene pendiente no definida?

\(y=-2\)
\(y=x+1\)
\(x=5\)
\(y=3x\)

Cierre

En esta página estudiamos la pendiente como medida de inclinación y como tasa de cambio.

Vimos cómo calcularla a partir de dos puntos y cómo interpretar su signo y su valor en distintos tipos de rectas.

En la siguiente clase relacionaremos esta idea con la ecuación de la recta y su vínculo con la función lineal y afín.

💡 Para recordar

\(m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)
Si \(m>0\), la recta es creciente.
Si \(m<0\), la recta es decreciente.
Si \(m=0\), la recta es horizontal.
Las rectas verticales no tienen pendiente definida.

3. Ecuación de la recta y relación con función lineal y afín

Ecuación de la recta y relación con función lineal y afín

En la clase anterior estudiamos la pendiente como medida de inclinación y como tasa de cambio. Ahora daremos un paso más: veremos cómo escribir una ecuación de la recta y cómo esta se relaciona con las funciones lineales y afines.

La idea central es que una recta no solo se puede observar en un gráfico, sino también describir mediante una expresión algebraica que permite reconocer su pendiente y su ubicación en el plano.

Objetivo de la página

Reconocer la ecuación de la recta en la forma \(y=mx+n\).
Relacionar la pendiente con el coeficiente \(m\).
Interpretar el coeficiente \(n\) como intersección con el eje \(y\).
Distinguir entre función lineal y función afín.

Al finalizar esta página deberías poder:

Identificar la pendiente y la intersección con el eje \(y\) en una recta.
Reconocer cuándo una recta corresponde a una función lineal o a una función afín.
Escribir la ecuación de una recta a partir de su pendiente y su corte con el eje \(y\).
Interpretar ecuaciones de rectas en forma gráfica y contextual.

📐 Forma de la ecuación de una recta

Una forma muy importante de escribir la ecuación de una recta es:

\[ y=mx+n \]

donde:

\(m\) representa la pendiente,
\(n\) representa la intersección con el eje \(y\).

📐 Lectura de los coeficientes

En la ecuación \(y=mx+n\):

el número \(m\) indica cuánto cambia \(y\) cuando \(x\) aumenta una unidad,
el número \(n\) indica el valor de \(y\) cuando \(x=0\).

Por eso, \(n\) corresponde al punto donde la recta corta al eje \(y\).

📐 Función lineal y función afín

Cuando una recta tiene ecuación:

\[ y=mx \]

decimos que corresponde a una función lineal. En este caso, la recta pasa por el origen.

Cuando la recta tiene ecuación:

\[ y=mx+n \qquad \text{con } n\neq 0 \]

decimos que corresponde a una función afín.

💡 Idea clave

La pendiente determina la inclinación de la recta, mientras que la intersección con el eje \(y\) determina dónde queda ubicada verticalmente en el plano.

⚠️ Error frecuente

No toda recta es una función lineal.

Solo las rectas que pasan por el origen tienen forma \(y=mx\). Si no pasan por el origen, corresponden a funciones afines.

Resumen conceptual

Expresión	Tipo	Interpretación
\(y=mx\)	Función lineal	Pasa por el origen
\(y=mx+n\)	Función afín	Corta al eje \(y\) en \(n\)
\(m\)	Pendiente	Indica inclinación o tasa de cambio
\(n\)	Coeficiente de posición	Indica intersección con el eje \(y\)

Ejemplo guiado 1: leer una ecuación de recta

Consideremos la recta:

\[ y=2x+3 \]

Comparando con la forma \(y=mx+n\), se observa que:

\[ m=2 \qquad\text{y}\qquad n=3 \]

La pendiente es 2, por lo tanto la recta es creciente.
La intersección con el eje \(y\) es 3.

Eso significa que cuando \(x=0\), se cumple:

\[ y=2\cdot 0+3=3 \]

Entonces la recta corta al eje \(y\) en el punto \((0,3)\).

Representación gráfica

Ejemplo guiado 2: función lineal y función afín

Comparemos las funciones:

\[ y=2x \qquad\text{y}\qquad y=2x+3 \]

Comparación gráfica

Ambas rectas tienen la misma pendiente:

\[ m=2 \]

Por eso tienen la misma inclinación.

Pero no están en la misma posición:

\(y=2x\) pasa por el origen, por lo tanto es una función lineal.
\(y=2x+3\) corta al eje \(y\) en 3, por lo tanto es una función afín.

Ejemplo guiado 3: construir la ecuación a partir de pendiente e intersección

Supongamos que una recta tiene pendiente \(m=-1\) y corta al eje \(y\) en 4.

Usamos la forma:

\[ y=mx+n \]

Reemplazando:

\[ y=-x+4 \]

Esa es la ecuación de la recta.

Representación gráfica

La recta baja al avanzar hacia la derecha porque su pendiente es negativa.

Además, corta al eje \(y\) en el punto \((0,4)\).

Ejemplo guiado 4: lectura desde una tabla

Observa la siguiente tabla:

\(x\)	0	1	2	3
\(y\)	5	8	11	14

Cuando \(x\) aumenta en 1, el valor de \(y\) aumenta en 3.

Por lo tanto, la pendiente es:

\[ m=3 \]

Además, cuando \(x=0\), se tiene \(y=5\). Entonces:

\[ n=5 \]

La ecuación de la recta es:

\[ y=3x+5 \]

Ejemplo guiado 5: interpretación en contexto

Supongamos que el costo total \(C\), en miles de pesos, de un servicio está dado por:

\[ C(x)=4x+2 \]

donde \(x\) representa la cantidad de horas utilizadas.

La pendiente es 4: por cada hora adicional, el costo aumenta en 4 miles de pesos.
La intersección con el eje \(y\) es 2: existe un cobro fijo inicial de 2 miles de pesos.

Entonces, la ecuación de la recta permite interpretar simultáneamente un cambio por unidad y un valor inicial.

🤓 Cómo leer una recta desde su ecuación

Al ver una ecuación como \(y=mx+n\), conviene preguntarse:

¿cuál es la pendiente?,
¿la recta sube o baja?,
¿dónde corta al eje \(y\)?,
¿pasa por el origen o no?

Estas preguntas ayudan a decidir si corresponde a una función lineal o afín y a interpretar su comportamiento gráfico.

🌍 Aplicación en el mundo real

Las ecuaciones de rectas aparecen en situaciones con cambio constante, como tarifas con cobro fijo y costo por unidad, temperatura que varía uniformemente, distancia recorrida con velocidad constante o consumo acumulado de recursos.

Ejercicios

Ejercicio 1

En la ecuación \(y=3x-2\), identifica:

la pendiente,
la intersección con el eje \(y\).

Ejercicio 2

Indica si la función \(y=-4x\) es lineal o afín. Justifica.

Ejercicio 3

Indica si la función \(y=5x+1\) es lineal o afín. Justifica.

Ejercicio 4

Escribe la ecuación de la recta que tiene pendiente 2 y corta al eje \(y\) en \(-3\).

Ejercicio 5

Escribe la ecuación de la recta que tiene pendiente \(-1\) y corta al eje \(y\) en 5.

Ejercicio 6

Observa la tabla y determina la ecuación de la recta.

\(x\)	0	1	2	3
\(y\)	-1	1	3	5

Ejercicio 7

En la expresión \(C(x)=7x+4\), interpreta el significado de 7 y de 4 en un contexto de costo.

Ejercicio 8

Un estudiante dice: “Toda recta de la forma \(y=mx+n\) es lineal”. ¿Es correcta esa afirmación? Justifica.

Ejercicios tipo PAES

PAES 1

En la ecuación \(y=-2x+5\), la pendiente es:

\(-2\)
5
2
\(-5\)

PAES 2

En la ecuación \(y=-2x+5\), la recta corta al eje \(y\) en:

\(-2\)
0
5
7

PAES 3

¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde a una función lineal?

\(y=3x+1\)
\(y=-x+4\)
\(y=2x\)
\(y=5\)

PAES 4

¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde a una función afín?

\(y=4x\)
\(y=-3x\)
\(y=x\)
\(y=2x-1\)

PAES 5

La recta con pendiente 3 e intersección con el eje \(y\) igual a \(-2\) tiene ecuación:

\(y=-2x+3\)
\(y=3x-2\)
\(y=2x-3\)
\(y=3x+2\)

PAES 6

Si una recta tiene ecuación \(y=-x+4\), entonces su pendiente indica que la recta es:

horizontal
vertical
creciente
decreciente

Cierre

En esta página estudiamos la ecuación de la recta en la forma \(y=mx+n\) y su relación con las funciones lineales y afines.

Vimos que la pendiente \(m\) describe la inclinación de la recta y que el coeficiente \(n\) indica dónde corta al eje \(y\).

En la siguiente clase trabajaremos con condiciones de paralelismo e intersección entre rectas, usando justamente estas ideas sobre pendiente y ecuación.

💡 Para recordar

\(y=mx+n\) es una forma importante de la ecuación de la recta.
\(m\) es la pendiente.
\(n\) es la intersección con el eje \(y\).
\(y=mx\) es función lineal.
\(y=mx+n\), con \(n\neq 0\), es función afín.

4. Condiciones de paralelismo e intersección entre rectas

Condiciones de paralelismo e intersección entre rectas

En la clase anterior estudiamos la ecuación de la recta en la forma \(y=mx+n\), identificando la pendiente y la intersección con el eje \(y\).

Ahora usaremos esas ideas para comparar rectas y decidir si son paralelas, si se intersectan o si, en realidad, representan la misma recta.

Objetivo de la página

Reconocer las condiciones de paralelismo entre rectas.
Determinar cuándo dos rectas se intersectan.
Encontrar el punto de intersección entre dos rectas.
Interpretar geométrica y algebraicamente la relación entre pendientes e intersecciones.

Al finalizar esta página deberías poder:

Decidir si dos rectas son paralelas comparando sus pendientes.
Reconocer que si dos rectas tienen pendientes distintas, entonces se cortan.
Identificar cuándo dos ecuaciones representan la misma recta.
Calcular el punto de intersección entre dos rectas sencillas.

📐 Condición de paralelismo

Si dos rectas tienen ecuaciones:

\[ y=m_1x+n_1 \qquad\text{y}\qquad y=m_2x+n_2 \]

entonces son paralelas si cumplen:

\[ m_1=m_2 \qquad\text{y}\qquad n_1\neq n_2 \]

Es decir, tienen la misma pendiente, pero cortan al eje \(y\) en puntos distintos.

📐 Condición de intersección

Dos rectas se intersectan si tienen pendientes distintas:

\[ m_1\neq m_2 \]

En ese caso existe un único punto en común.

📐 Misma recta

Si dos rectas tienen la misma pendiente y la misma intersección con el eje \(y\), entonces:

\[ m_1=m_2 \qquad\text{y}\qquad n_1=n_2 \]

no son dos rectas distintas, sino la misma recta.

💡 Idea clave

La pendiente decide la inclinación. Por eso:

si la inclinación es la misma, las rectas no se cruzan,
si la inclinación es distinta, en algún punto se cortan.

⚠️ Error frecuente

No basta con mirar solo el número independiente.

Para decidir si dos rectas son paralelas, primero hay que comparar sus pendientes. Dos rectas con números independientes distintos no siempre son paralelas.

Resumen conceptual

Relación entre rectas	Condición	Consecuencia geométrica
Paralelas	\(m_1=m_2\) y \(n_1\neq n_2\)	No se cortan
Secantes	\(m_1\neq m_2\)	Se cortan en un punto
Coincidentes	\(m_1=m_2\) y \(n_1=n_2\)	Son la misma recta

Ejemplo guiado 1: rectas paralelas

Comparemos las rectas:

\[ y=2x+1 \qquad\text{y}\qquad y=2x-3 \]

Ambas tienen pendiente 2:

\[ m_1=2 \qquad\text{y}\qquad m_2=2 \]

Pero sus intersecciones con el eje \(y\) son distintas:

\[ n_1=1 \qquad\text{y}\qquad n_2=-3 \]

Por lo tanto, son paralelas.

Representación gráfica

Se observa que tienen la misma inclinación y nunca se cruzan.

Ejemplo guiado 2: rectas que se intersectan

Comparemos ahora las rectas:

\[ y=2x+1 \qquad\text{y}\qquad y=-x+4 \]

Sus pendientes son distintas:

\[ m_1=2 \qquad\text{y}\qquad m_2=-1 \]

Por lo tanto, las rectas se intersectan en un único punto.

Para encontrarlo, igualamos ambas expresiones de \(y\):

\[ 2x+1=-x+4 \]

\[ 3x=3 \]

\[ x=1 \]

Reemplazando en una de las rectas:

\[ y=2(1)+1=3 \]

Entonces el punto de intersección es:

\[ (1,3) \]

Representación gráfica

Ejemplo guiado 3: misma recta escrita de dos formas

Consideremos las ecuaciones:

\[ y=3x-2 \qquad\text{y}\qquad y=3x-2 \]

En este caso, ambas ecuaciones son exactamente iguales.

Entonces tienen:

\[ m_1=m_2=3 \qquad\text{y}\qquad n_1=n_2=-2 \]

No representan dos rectas distintas, sino la misma recta.

Por eso no hablamos de paralelismo ni de intersección en un solo punto, sino de rectas coincidentes.

Ejemplo guiado 4: interpretación geométrica rápida

Si dos rectas tienen la misma pendiente, comparten la misma inclinación.

Eso produce tres posibilidades:

si cortan al eje \(y\) en puntos distintos, son paralelas,
si cortan al eje \(y\) en el mismo punto, son la misma recta,
si las pendientes son distintas, se cruzan.

Esta lectura permite decidir rápidamente la relación entre rectas sin necesidad de dibujarlas siempre.

Ejemplo guiado 5: interpretación en contexto

Supongamos dos planes de cobro:

\[ C_1(x)=3x+4 \qquad\text{y}\qquad C_2(x)=3x+1 \]

Ambos planes aumentan 3 unidades por cada unidad consumida, por eso tienen la misma pendiente.

Sin embargo, uno parte con costo fijo 4 y el otro con costo fijo 1.

Geométricamente, las rectas son paralelas; en contexto, eso significa que ambos planes crecen al mismo ritmo, pero parten desde valores iniciales distintos.

🤓 Cómo comparar dos rectas

Cuando tengas dos rectas de la forma \(y=mx+n\), revisa este orden:

compara las pendientes,
si son iguales, compara la intersección con el eje \(y\),
si son distintas, concluye que se intersectan.

🌍 Aplicación en el mundo real

Comparar rectas permite analizar tarifas, tendencias, ritmos de cambio y momentos en que dos situaciones alcanzan el mismo valor.

El punto de intersección puede representar, por ejemplo, el instante en que dos costos se igualan o cuando dos magnitudes tienen el mismo valor.

Ejercicios

Ejercicio 1

Determina si las rectas \(y=4x+1\) e \(y=4x-3\) son paralelas, secantes o coincidentes.

Ejercicio 2

Determina si las rectas \(y=-2x+5\) e \(y=x-1\) son paralelas, secantes o coincidentes.

Ejercicio 3

Calcula el punto de intersección entre las rectas:

\[ y=x+2 \qquad\text{y}\qquad y=-x+4 \]

Ejercicio 4

Determina si las ecuaciones \(y=2x-1\) e \(y=2x-1\) representan rectas paralelas, secantes o coincidentes.

Ejercicio 5

Explica por qué dos rectas con pendientes distintas no pueden ser paralelas.

Ejercicio 6

Dos rectas tienen ecuaciones \(y=5x+2\) e \(y=5x-4\). ¿Qué tienen en común y qué tienen de diferente?

Ejercicio 7

Encuentra el punto de intersección entre:

\[ y=3x \qquad\text{y}\qquad y=x+4 \]

Ejercicio 8

Un estudiante afirma: “Si dos rectas tienen el mismo número independiente, entonces siempre son paralelas”. ¿Es correcta esa afirmación? Justifica.

Ejercicios tipo PAES

PAES 1

¿Cuál es la condición para que dos rectas de la forma \(y=mx+n\) sean paralelas?

Tener el mismo número independiente
Tener pendientes distintas
Tener la misma pendiente y distinta intersección con el eje \(y\)
Cortar al eje \(x\) en el mismo punto

PAES 2

Las rectas \(y=2x+1\) e \(y=2x-5\) son:

secantes
paralelas
coincidentes
verticales

PAES 3

Las rectas \(y=-x+2\) e \(y=3x-1\) son:

paralelas
coincidentes
secantes
horizontales

PAES 4

El punto de intersección entre \(y=x+1\) e \(y=-x+5\) es:

\((1,4)\)
\((2,3)\)
\((3,2)\)
\((4,1)\)

Cierre

En esta página estudiamos las condiciones de paralelismo e intersección entre rectas.

Vimos que la pendiente es la herramienta principal para comparar rectas: si es igual, las rectas pueden ser paralelas o coincidentes; si es distinta, necesariamente se cortan.

En la siguiente clase trabajaremos el paso entre ecuación cartesiana y ecuación general de la recta.

💡 Para recordar

Si \(m_1=m_2\) y \(n_1\neq n_2\), las rectas son paralelas.
Si \(m_1\neq m_2\), las rectas se intersectan.
Si \(m_1=m_2\) y \(n_1=n_2\), son la misma recta.
El punto de intersección se obtiene igualando las ecuaciones.

5. Paso entre ecuación cartesiana y ecuación general de la recta

Paso entre ecuación cartesiana y ecuación general de la recta

En la clase anterior trabajamos la ecuación de la recta en la forma \(y=mx+n\), identificando la pendiente y la intersección con el eje \(y\).

Ahora aprenderemos a pasar entre dos formas habituales de escribir una recta:

la ecuación cartesiana, de la forma \(y=mx+n\),
la ecuación general, de la forma \(Ax+By+C=0\).

Ambas representan la misma recta, pero cada una resulta más útil en distintos contextos.

Objetivo de la página

Reconocer la ecuación cartesiana y la ecuación general de la recta.
Transformar una ecuación cartesiana en ecuación general.
Transformar una ecuación general en ecuación cartesiana, cuando sea posible.
Interpretar qué información geométrica aporta cada forma.

Al finalizar esta página deberías poder:

Identificar si una ecuación está en forma cartesiana o general.
Reescribir una recta de una forma a otra.
Reconocer cuándo una recta no puede escribirse como \(y=mx+n\).
Relacionar ambas expresiones con la misma recta en el plano.

📐 Dos formas de escribir una recta

Ecuación cartesiana:

\[ y=mx+n \]

donde:

\(m\) es la pendiente,
\(n\) es la intersección con el eje \(y\).

Ecuación general:

\[ Ax+By+C=0 \]

donde \(A\), \(B\) y \(C\) son números reales, con \(A\) y \(B\) no ambos nulos.

📐 ¿Cómo pasar de una forma a otra?

De cartesiana a general: se trasladan todos los términos a un solo lado de la igualdad.

Por ejemplo:

\[ y=2x+3 \]

\[ 2x-y+3=0 \]

De general a cartesiana: se despeja \(y\), siempre que el término en \(y\) no desaparezca.

Por ejemplo:

\[ 3x+2y-6=0 \]

\[ 2y=-3x+6 \]

\[ y=-\frac{3}{2}x+3 \]

💡 Idea clave

La ecuación cartesiana permite leer con facilidad la pendiente y el corte con el eje \(y\).

La ecuación general es más amplia, porque también permite representar rectas verticales, como por ejemplo:

\[ x-2=0 \]

⚠️ Error frecuente

Al pasar de una forma a otra, hay que cuidar los signos.

Por ejemplo, de \(y=2x+3\) no se obtiene \(2x+y+3=0\), sino:

\[ 2x-y+3=0 \]

porque al mover \(y\) al otro lado cambia de signo.

Resumen conceptual

Forma	Expresión	Ventaja principal
Cartesiana	\(y=mx+n\)	Permite leer pendiente e intersección con el eje \(y\)
General	\(Ax+By+C=0\)	Representa todas las rectas, incluidas las verticales

Ejemplo guiado 1: pasar de cartesiana a general

Consideremos la recta:

\[ y=2x+1 \]

Queremos escribirla en forma general. Para ello, trasladamos todo al mismo lado:

\[ y=2x+1 \]

\[ 2x-y+1=0 \]

Entonces, la ecuación general es:

\[ 2x-y+1=0 \]

Representación gráfica

Ambas expresiones, \(y=2x+1\) y \(2x-y+1=0\), representan exactamente la misma recta.

Ejemplo guiado 2: pasar de general a cartesiana

Consideremos ahora la ecuación:

\[ 3x+2y-4=0 \]

Despejamos \(y\):

\[ 3x+2y-4=0 \]

\[ 2y=-3x+4 \]

\[ y=-\frac{3}{2}x+2 \]

Entonces, la ecuación cartesiana es:

\[ y=-\frac{3}{2}x+2 \]

Ahora podemos leer con facilidad:

pendiente: \(-\dfrac{3}{2}\),
intersección con el eje \(y\): \(2\).

Ejemplo guiado 3: misma recta en dos escrituras

Comparemos:

\[ y=-x+4 \qquad\text{y}\qquad x+y-4=0 \]

Si despejamos \(y\) en la segunda ecuación:

\[ x+y-4=0 \]

\[ y=-x+4 \]

Obtenemos exactamente la primera.

Por lo tanto, ambas ecuaciones corresponden a la misma recta.

Representación gráfica

Ejemplo guiado 4: una recta vertical

Consideremos la ecuación:

\[ x-2=0 \]

Esta ecuación equivale a:

\[ x=2 \]

Representa una recta vertical.

En este caso no es posible despejarla en la forma \(y=mx+n\), porque la recta vertical no tiene pendiente definida.

Esto muestra una ventaja de la ecuación general: permite escribir rectas que no son funciones de \(x\).

\(x-2=0\) \(x=2\) x y

Ejemplo guiado 5: interpretación rápida de ambas formas

Si una recta está en forma cartesiana \(y=mx+n\), conviene leer:

la pendiente,
el corte con el eje \(y\).

Si está en forma general \(Ax+By+C=0\), conviene decidir si se puede despejar \(y\).

si se puede, se puede pasar a cartesiana y leer mejor la pendiente,
si no se puede, probablemente se trata de una recta vertical.

🤓 ¿Para qué sirve cambiar de forma?

Cambiar entre ecuación cartesiana y general permite adaptar la recta al tipo de análisis que queremos hacer.

Si queremos interpretar inclinación e intersección con el eje \(y\), suele convenir la forma cartesiana. Si queremos una expresión más general, conviene la forma \(Ax+By+C=0\).

🌍 Aplicación en el mundo real

En problemas geométricos y analíticos, una misma recta puede aparecer escrita de distintas maneras. Saber cambiar de forma ayuda a comparar rectas, estudiar intersecciones y resolver problemas con mayor flexibilidad.

Ejercicios

Ejercicio 1

Pasa la ecuación \(y=3x-2\) a forma general.

Ejercicio 2

Pasa la ecuación \(y=-2x+5\) a forma general.

Ejercicio 3

Pasa la ecuación \(4x+y-7=0\) a forma cartesiana.

Ejercicio 4

Pasa la ecuación \(2x-3y+6=0\) a forma cartesiana.

Ejercicio 5

Indica si la ecuación \(x+4=0\) puede escribirse en la forma \(y=mx+n\). Justifica.

Ejercicio 6

Escribe en forma general la recta \(y=\frac{1}{2}x+3\).

Ejercicio 7

Explica qué ventaja tiene la forma \(y=mx+n\) respecto de la forma general.

Ejercicio 8

Un estudiante afirma: “Toda ecuación general puede escribirse en forma cartesiana”. ¿Es correcta esa afirmación? Justifica.

Ejercicios tipo PAES

PAES 1

La forma general de la recta \(y=2x+3\) es:

\(2x+y+3=0\)
\(2x-y+3=0\)
\(2x-y-3=0\)
\(y-2x+3=0\)

PAES 2

La forma cartesiana de \(3x+y-5=0\) es:

\(y=3x-5\)
\(y=-3x+5\)
\(y=5x-3\)
\(y=-5x+3\)

PAES 3

¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa una recta vertical?

\(y=4\)
\(x=-2\)
\(y=-2x+1\)
\(y=\frac{1}{2}x\)

PAES 4

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

Toda ecuación general representa una parábola.
Toda recta vertical puede escribirse como \(y=mx+n\).
La forma general puede representar rectas verticales.
La forma cartesiana siempre es la única manera de escribir una recta.

Cierre

En esta página estudiamos el paso entre la ecuación cartesiana y la ecuación general de la recta.

Vimos que ambas expresiones pueden representar la misma recta, pero que la forma cartesiana facilita la lectura de la pendiente y del corte con el eje \(y\), mientras que la forma general permite describir también rectas verticales.

En la siguiente clase comenzaremos a trabajar con circunferencias en el plano, identificando su centro y su radio a partir de su ecuación.

💡 Para recordar

Forma cartesiana: \(y=mx+n\)
Forma general: \(Ax+By+C=0\)
Para pasar de cartesiana a general, se llevan todos los términos a un lado.
Para pasar de general a cartesiana, se despeja \(y\), cuando sea posible.
Las rectas verticales no pueden escribirse en la forma \(y=mx+n\).

6. Ecuación de la circunferencia y lectura de centro/radio

Ecuación de la circunferencia y lectura de centro/radio

En las clases anteriores trabajamos con rectas en el plano cartesiano. Ahora comenzaremos el estudio de otra figura muy importante en geometría analítica: la circunferencia.

En esta página aprenderemos a reconocer su ecuación y a leer, a partir de ella, dos elementos fundamentales:

su centro,
su radio.

La idea es relacionar la expresión algebraica con la figura geométrica en el plano.

Objetivo de la página

Reconocer la ecuación de una circunferencia en el plano.
Leer el centro y el radio a partir de su ecuación.
Distinguir el caso de centro en el origen y el caso de centro trasladado.
Construir la ecuación de una circunferencia a partir de su centro y su radio.

Al finalizar esta página deberías poder:

Identificar si una ecuación corresponde a una circunferencia.
Reconocer el centro y el radio en ecuaciones simples.
Escribir la ecuación de una circunferencia con datos geométricos dados.
Relacionar cambios en la ecuación con cambios en la posición de la circunferencia.

📐 ¿Qué es una circunferencia?

Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos del plano que están a una misma distancia fija de un punto llamado centro.

Esa distancia fija se llama radio.

📐 Caso 1: centro en el origen

Si el centro está en el origen \((0,0)\) y el radio es \(r\), la ecuación de la circunferencia es:

\[ x^2+y^2=r^2 \]

Por ejemplo, si \(r=3\), entonces:

\[ x^2+y^2=9 \]

📐 Caso 2: centro trasladado

Si el centro de la circunferencia es \((h,k)\) y el radio es \(r\), la ecuación es:

\[ (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 \]

En esta forma:

el centro es \((h,k)\),
el radio es \(r\).

💡 Idea clave

En la ecuación \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\), el centro se lee como \((h,k)\), pero hay que poner atención al signo dentro del paréntesis.

Por ejemplo:

\[ (x-2)^2+(y+3)^2=16 \]

tiene centro \((2,-3)\), no \((2,3)\).

⚠️ Error frecuente

Al leer el centro, los signos cambian respecto de lo que aparece dentro de los paréntesis.

Por ejemplo:

\[ (x+4)^2+(y-1)^2=25 \]

tiene centro \((-4,1)\).

Resumen conceptual

Ecuación	Centro	Radio
\(x^2+y^2=r^2\)	\((0,0)\)	\(r\)
\((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)	\((h,k)\)	\(r\)

Ejemplo guiado 1: circunferencia con centro en el origen

Consideremos la ecuación:

\[ x^2+y^2=16 \]

Aquí se reconoce directamente la forma:

\[ x^2+y^2=r^2 \]

Por lo tanto:

\[ r^2=16 \Rightarrow r=4 \]

Entonces, la circunferencia tiene:

centro en \((0,0)\),
radio \(4\).

Esquema geométrico

Ejemplo guiado 2: leer centro y radio en una ecuación trasladada

Consideremos la ecuación:

\[ (x-2)^2+(y+1)^2=9 \]

La comparamos con la forma general:

\[ (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 \]

Entonces:

\(h=2\),
\(k=-1\),
\(r^2=9\Rightarrow r=3\).

Por lo tanto, la circunferencia tiene:

centro \((2,-1)\),
radio \(3\).

Esquema geométrico

Ejemplo guiado 3: construir la ecuación a partir del centro y el radio

Supongamos que una circunferencia tiene:

centro \((3,2)\),
radio \(5\).

Usamos la forma:

\[ (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 \]

Reemplazando:

\[ (x-3)^2+(y-2)^2=25 \]

Esa es la ecuación de la circunferencia.

Ejemplo guiado 4: cuidado con los signos

Consideremos la ecuación:

\[ (x+4)^2+(y-2)^2=36 \]

Comparando con \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\), se obtiene:

\(h=-4\),
\(k=2\),
\(r=6\).

Por lo tanto, el centro es:

\[ (-4,2) \]

y no \((4,2)\).

Ejemplo guiado 5: interpretar cambios en la ecuación

Comparemos estas circunferencias:

\[ x^2+y^2=4 \qquad\text{y}\qquad (x-2)^2+y^2=4 \]

En la primera:

centro \((0,0)\),
radio \(2\).

En la segunda:

centro \((2,0)\),
radio \(2\).

Ambas tienen el mismo radio, pero la segunda está desplazada 2 unidades hacia la derecha.

🤓 Cómo leer rápidamente una circunferencia

Cuando veas una ecuación de circunferencia, conviene revisar:

dónde está el centro,
cuál es el radio,
si está en el origen o trasladada,
si el radio está dado directamente o hay que calcularlo a partir de \(r^2\).

🌍 Aplicación en el mundo real

Las circunferencias aparecen en ruedas, trayectorias circulares, zonas de cobertura, áreas de influencia y muchos problemas geométricos donde importa una distancia fija respecto de un centro.

Ejercicios

Ejercicio 1

Determina el centro y el radio de la circunferencia:

\[ x^2+y^2=25 \]

Ejercicio 2

Determina el centro y el radio de:

\[ (x-1)^2+(y-4)^2=16 \]

Ejercicio 3

Determina el centro y el radio de:

\[ (x+3)^2+(y+2)^2=49 \]

Ejercicio 4

Escribe la ecuación de la circunferencia con centro \((0,0)\) y radio \(6\).

Ejercicio 5

Escribe la ecuación de la circunferencia con centro \((2,-5)\) y radio \(3\).

Ejercicio 6

Explica qué diferencia geométrica existe entre:

\[ x^2+y^2=9 \qquad\text{y}\qquad x^2+y^2=25 \]

Ejercicio 7

Explica qué diferencia geométrica existe entre:

\[ x^2+y^2=16 \qquad\text{y}\qquad (x-2)^2+y^2=16 \]

Ejercicio 8

Un estudiante afirma: “La ecuación \((x+1)^2+(y-3)^2=4\) tiene centro \((1,3)\)”. ¿Es correcta esa afirmación? Justifica.

Ejercicios tipo PAES

PAES 1

La circunferencia de ecuación \((x-2)^2+(y+1)^2=25\) tiene centro en:

\((2,1)\)
\((-2,-1)\)
\((2,-1)\)
\((-2,1)\)

PAES 2

La circunferencia \(x^2+y^2=36\) tiene radio:

3
6
12
18

PAES 3

¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa una circunferencia con centro \((0,0)\)?

\((x-1)^2+y^2=9\)
\((x+2)^2+(y-3)^2=16\)
\(x^2+y^2=49\)
\((x-4)^2+(y+1)^2=25\)

PAES 4

La ecuación de la circunferencia con centro \((-2,3)\) y radio \(4\) es:

\((x-2)^2+(y-3)^2=16\)
\((x+2)^2+(y-3)^2=16\)
\((x+2)^2+(y+3)^2=16\)
\((x-2)^2+(y+3)^2=16\)

Cierre

En esta página estudiamos la ecuación de la circunferencia y aprendimos a leer su centro y su radio a partir de la expresión algebraica.

Vimos el caso de centro en el origen y el caso de centro trasladado, además de construir ecuaciones a partir de datos geométricos.

En la siguiente clase trabajaremos con traslaciones y movimientos de circunferencias en el plano.

💡 Para recordar

\(x^2+y^2=r^2\) representa una circunferencia con centro en el origen.
\((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\) representa una circunferencia con centro \((h,k)\).
El radio se obtiene desde \(r^2\).
Hay que tener cuidado con los signos al leer el centro.

7. Traslaciones y movimientos de circunferencias en el plano

Traslaciones y movimientos de circunferencias en el plano

En la clase anterior estudiamos la ecuación de la circunferencia y aprendimos a leer su centro y su radio. Ahora daremos un paso más: analizaremos cómo cambia una circunferencia cuando se traslada en el plano y qué movimientos pueden describirse a partir de su ecuación.

La idea central es observar cómo cambia la posición del centro sin perder de vista el radio, y cómo esos cambios se reflejan en la expresión algebraica.

Objetivo de la página

Comprender la traslación de circunferencias en el plano cartesiano.
Relacionar cambios en la ecuación con desplazamientos del centro.
Distinguir entre mover una circunferencia y cambiar su radio.
Interpretar movimientos horizontales y verticales de circunferencias.

Al finalizar esta página deberías poder:

Describir cómo se traslada una circunferencia a partir de su ecuación.
Reconocer cuándo una circunferencia mantiene su radio y solo cambia de posición.
Construir la nueva ecuación de una circunferencia después de una traslación.
Comparar geométricamente dos circunferencias a partir de sus ecuaciones.

📐 Recordatorio

La ecuación de una circunferencia con centro \((h,k)\) y radio \(r\) es:

\[ (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 \]

Por lo tanto, si cambia el centro, la circunferencia se mueve en el plano.

📐 Traslación

Una traslación es un movimiento que desplaza todos los puntos de una figura la misma cantidad y en la misma dirección.

En una circunferencia, una traslación mueve el centro, pero no cambia el radio.

💡 Idea clave

Si una circunferencia cambia de posición pero conserva su radio, entonces se trata de una traslación.

Si cambia el radio, ya no estamos frente al mismo movimiento, sino ante una modificación del tamaño.

⚠️ Error frecuente

No hay que confundir mover la circunferencia con agrandarla o achicarla.

Por ejemplo, pasar de \(x^2+y^2=9\) a \((x-2)^2+y^2=9\) es una traslación, pero pasar de \(x^2+y^2=9\) a \(x^2+y^2=16\) cambia el radio.

Resumen conceptual

Cambio en la ecuación	Interpretación geométrica
\((x-h)^2+y^2=r^2\)	Traslación horizontal del centro
\(x^2+(y-k)^2=r^2\)	Traslación vertical del centro
\((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)	Traslación horizontal y vertical
\((x-h)^2+(y-k)^2=R^2\), con \(R\neq r\)	Cambio de radio

Ejemplo guiado 1: traslación horizontal

Comparemos las circunferencias:

\[ x^2+y^2=4 \qquad\text{y}\qquad (x-3)^2+y^2=4 \]

En la primera circunferencia:

centro \((0,0)\),
radio \(2\).

En la segunda:

centro \((3,0)\),
radio \(2\).

Entonces la segunda es la misma circunferencia trasladada 3 unidades hacia la derecha.

Esquema geométrico

\(C_1(0,0)\) \(C_2(3,0)\) 3 unidades x y

Ejemplo guiado 2: traslación vertical

Comparemos ahora:

\[ x^2+y^2=9 \qquad\text{y}\qquad x^2+(y-2)^2=9 \]

La primera tiene centro \((0,0)\) y radio 3.

La segunda tiene centro \((0,2)\) y radio 3.

Por lo tanto, la segunda se obtuvo trasladando la primera 2 unidades hacia arriba.

El radio no cambió, así que se trata de un movimiento de traslación.

Ejemplo guiado 3: traslación horizontal y vertical

Consideremos la circunferencia:

\[ (x-2)^2+(y+1)^2=16 \]

Su centro es \((2,-1)\) y su radio es 4.

Esto significa que, respecto de la circunferencia \(x^2+y^2=16\), hubo una traslación:

2 unidades hacia la derecha,
1 unidad hacia abajo.

Esquema geométrico

\(C_1(0,0)\) \(C_2(2,-1)\) 2 1 x y

Ejemplo guiado 4: mover no es cambiar el radio

Comparemos estas dos circunferencias:

\[ (x-1)^2+(y-2)^2=9 \qquad\text{y}\qquad (x-1)^2+(y-2)^2=25 \]

Ambas tienen el mismo centro: \((1,2)\).

Pero sus radios son distintos:

en la primera, \(r=3\),
en la segunda, \(r=5\).

Entonces aquí no hubo traslación, porque el centro no cambió. Lo que cambió fue el tamaño de la circunferencia.

Ejemplo guiado 5: construir la ecuación después de una traslación

Supongamos una circunferencia con centro \((1,-2)\) y radio 3.

Su ecuación es:

\[ (x-1)^2+(y+2)^2=9 \]

Ahora se traslada 4 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba.

El nuevo centro será:

\[ (1+4,\,-2+2)=(5,0) \]

Como el radio no cambia, la nueva ecuación es:

\[ (x-5)^2+y^2=9 \]

🤓 Cómo leer movimientos en la ecuación

Para interpretar el movimiento de una circunferencia, conviene comparar:

el centro inicial,
el centro final,
el radio inicial y final.

Si el radio se mantiene y el centro cambia, hubo traslación.

Si el centro se mantiene y el radio cambia, no hubo traslación, sino cambio de tamaño.

🌍 Aplicación en el mundo real

Los movimientos de circunferencias aparecen al modelar ruedas, trayectorias circulares, zonas de cobertura móviles y desplazamientos de objetos cuyo borde mantiene una distancia fija respecto de un centro.

Ejercicios

Ejercicio 1

Describe el movimiento entre estas circunferencias:

\[ x^2+y^2=16 \qquad\text{y}\qquad (x-3)^2+y^2=16 \]

Ejercicio 2

Describe el movimiento entre:

\[ x^2+y^2=25 \qquad\text{y}\qquad x^2+(y+4)^2=25 \]

Ejercicio 3

Indica el centro y el radio de la circunferencia:

\[ (x-4)^2+(y-1)^2=36 \]

Ejercicio 4

Una circunferencia de centro \((0,0)\) y radio 2 se traslada 5 unidades hacia la izquierda y 3 unidades hacia arriba. Escribe su nueva ecuación.

Ejercicio 5

Una circunferencia tiene ecuación \((x-2)^2+(y+1)^2=9\). Se traslada 1 unidad hacia la izquierda y 4 unidades hacia abajo. Escribe la nueva ecuación.

Ejercicio 6

Explica la diferencia geométrica entre:

\[ (x-3)^2+(y-2)^2=9 \qquad\text{y}\qquad (x-3)^2+(y-2)^2=16 \]

Ejercicio 7

Indica si hubo traslación, cambio de radio o ambas cosas entre:

\[ (x-1)^2+y^2=4 \qquad\text{y}\qquad (x-4)^2+(y-2)^2=9 \]

Ejercicio 8

Un estudiante afirma: “Si cambia la ecuación de una circunferencia, entonces siempre cambia el radio”. ¿Es correcta esa afirmación? Justifica.

Ejercicios tipo PAES

PAES 1

La circunferencia \((x-2)^2+y^2=9\), respecto de \(x^2+y^2=9\), se ha trasladado:

2 unidades hacia la izquierda
2 unidades hacia la derecha
3 unidades hacia arriba
3 unidades hacia la derecha

PAES 2

¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa una circunferencia con centro \((0,-3)\) y radio 4?

\(x^2+(y+3)^2=16\)
\((x-3)^2+y^2=16\)
\(x^2+(y-3)^2=16\)
\((x+3)^2+y^2=16\)

PAES 3

Entre las circunferencias \(x^2+y^2=25\) y \((x-1)^2+(y-2)^2=25\), se mantiene:

el centro
el radio
la posición en el plano
la ecuación completa

PAES 4

Si una circunferencia tiene ecuación \((x+2)^2+(y-1)^2=9\), entonces su centro es:

\((2,1)\)
\((-2,1)\)
\((2,-1)\)
\((-2,-1)\)

Cierre

En esta página estudiamos traslaciones y movimientos de circunferencias en el plano, observando cómo cambian sus ecuaciones cuando el centro se desplaza.

Vimos que una traslación modifica la posición de la circunferencia, pero no su radio. También distinguimos ese caso de los cambios de tamaño.

En la siguiente clase resolveremos problemas integrados con rectas y circunferencias.

💡 Para recordar

Trasladar una circunferencia significa mover su centro.
En una traslación, el radio se mantiene constante.
Si cambia el radio, no se trata solo de una traslación.
La ecuación permite leer con claridad el movimiento realizado.

8. Problemas integrados con rectas y circunferencias

Problemas integrados con rectas y circunferencias

En las clases anteriores estudiamos por separado las rectas y las circunferencias en el plano. Ahora daremos un paso más: resolveremos problemas integrados en los que ambas figuras aparecen al mismo tiempo.

La idea es combinar lo aprendido sobre:

pendiente y ecuación de la recta,
paralelismo e intersección,
centro y radio de la circunferencia,
traslaciones y lectura geométrica en el plano.

En esta página trabajaremos problemas donde una recta y una circunferencia se relacionan en un mismo sistema de ejes, interpretando puntos, posiciones y ecuaciones.

Objetivo de la página

Integrar el estudio de rectas y circunferencias en el plano cartesiano.
Interpretar situaciones geométricas que involucren ambas figuras.
Resolver problemas sencillos de pertenencia, intersección y lectura gráfica.
Relacionar ecuaciones con configuraciones geométricas.

Al finalizar esta página deberías poder:

Decidir si un punto pertenece a una recta, a una circunferencia o a ambas.
Interpretar si una recta corta, toca o no alcanza una circunferencia.
Usar la ecuación de una recta y de una circunferencia en un mismo problema.
Resolver problemas geométricos integrando varias ideas de la unidad.

📐 Ideas que se integran

En esta clase conviene tener presentes dos formas fundamentales:

Recta:

\[ y=mx+n \]

Circunferencia:

\[ (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 \]

La primera nos permite leer inclinación y posición de la recta. La segunda nos permite leer centro y radio de la circunferencia.

💡 Idea clave

Un problema integrado no exige aprender una figura nueva, sino coordinar varias ideas ya conocidas dentro de una misma situación.

⚠️ Atención

Cuando trabajes con rectas y circunferencias a la vez, conviene revisar siempre:

qué información entrega cada ecuación,
qué representa cada punto,
si la pregunta es algebraica, geométrica o ambas.

Resumen conceptual

Elemento	Qué conviene observar
Recta	Pendiente, intersección con el eje \(y\), puntos por los que pasa
Circunferencia	Centro, radio, posición en el plano
Punto	Si satisface una ecuación, ambas o ninguna
Relación entre ambas figuras	Si la recta corta, toca o queda fuera de la circunferencia

Ejemplo guiado 1: un punto que pertenece a una recta y a una circunferencia

Consideremos:

\[ \text{Recta: } y=x \qquad\qquad \text{Circunferencia: } x^2+y^2=2 \]

Estudiemos el punto \(P(1,1)\).

Primero revisamos si pertenece a la recta:

\[ y=x \Rightarrow 1=1 \]

Sí pertenece a la recta.

Ahora revisamos si pertenece a la circunferencia:

\[ x^2+y^2=2 \Rightarrow 1^2+1^2=2 \Rightarrow 2=2 \]

También pertenece a la circunferencia.

Entonces, el punto \(P(1,1)\) pertenece a ambas figuras.

Esquema geométrico

\(y=x\) \(x^2+y^2=2\) x y

Ejemplo guiado 2: una recta secante a una circunferencia

Consideremos la circunferencia:

\[ x^2+y^2=9 \]

y la recta:

\[ y=1 \]

La circunferencia tiene centro \((0,0)\) y radio 3.

La recta \(y=1\) es horizontal y se ubica a una altura menor que el radio.

Geométricamente, eso sugiere que la recta corta a la circunferencia en dos puntos.

En este caso se dice que la recta es secante a la circunferencia.

Esquema geométrico

\(y=1\) \(x^2+y^2=9\) x y

Ejemplo guiado 3: una recta tangente a una circunferencia

Consideremos nuevamente la circunferencia:

\[ x^2+y^2=9 \]

y ahora la recta:

\[ y=3 \]

La circunferencia tiene radio 3 y centro en el origen.

La recta \(y=3\) está exactamente a la altura del radio máximo.

Geométricamente, toca a la circunferencia en un solo punto: \((0,3)\).

En este caso la recta es tangente a la circunferencia.

Esquema geométrico

\(y=3\) \((0,3)\) \(x^2+y^2=9\) x y

Ejemplo guiado 4: una recta exterior a una circunferencia

Tomemos otra vez:

\[ x^2+y^2=9 \qquad\text{y}\qquad y=5 \]

La recta \(y=5\) se encuentra por encima de la altura máxima de la circunferencia.

Por eso no la corta ni la toca.

En este caso decimos que la recta es exterior a la circunferencia.

Ejemplo guiado 5: problema integrado con centro, radio y una recta

Sea la circunferencia:

\[ (x-2)^2+(y-1)^2=4 \]

y la recta:

\[ x=2 \]

La circunferencia tiene:

centro \((2,1)\),
radio \(2\).

La recta \(x=2\) es una recta vertical que pasa justamente por la coordenada horizontal del centro.

Geométricamente, esa recta atraviesa la circunferencia pasando por su zona central, por lo que la corta en dos puntos.

Este ejemplo muestra cómo una recta y una circunferencia pueden relacionarse directamente a partir de la lectura de sus ecuaciones.

🤓 Cómo abordar un problema integrado

Cuando aparezcan una recta y una circunferencia en el mismo ejercicio, conviene:

leer primero la recta: pendiente, tipo y posición,
leer luego la circunferencia: centro y radio,
interpretar cómo están ubicadas una respecto de la otra,
revisar si la pregunta pide justificar con ecuaciones, con gráfica o con ambas.

🌍 Aplicación en el mundo real

Problemas de este tipo aparecen al estudiar trayectorias circulares cortadas por caminos rectos, ruedas respecto de superficies, zonas de alcance respecto de trayectorias lineales y muchas configuraciones geométricas en diseño, física y tecnología.

Ejercicios

Ejercicio 1

Determina si el punto \(A(3,4)\) pertenece a la circunferencia:

\[ x^2+y^2=25 \]

Ejercicio 2

Determina si el punto \(B(2,2)\) pertenece a la recta \(y=x\), a la circunferencia \(x^2+y^2=8\), o a ambas.

Ejercicio 3

Describe la relación entre la recta \(y=4\) y la circunferencia \(x^2+y^2=9\).

Ejercicio 4

Describe la relación entre la recta \(y=3\) y la circunferencia \(x^2+y^2=9\).

Ejercicio 5

Describe la relación entre la recta \(y=1\) y la circunferencia \(x^2+y^2=9\).

Ejercicio 6

La circunferencia \((x-1)^2+(y+2)^2=16\) tiene centro \((1,-2)\) y radio 4. Explica por qué la recta \(x=1\) la atraviesa.

Ejercicio 7

Escribe la ecuación de una recta horizontal que sea tangente a la circunferencia \(x^2+y^2=16\) por arriba.

Ejercicio 8

Un estudiante afirma: “Si una recta pasa por el centro de una circunferencia, entonces es tangente”. ¿Es correcta esa afirmación? Justifica.

Ejercicios tipo PAES

PAES 1

El punto \((3,4)\) pertenece a la circunferencia:

\(x^2+y^2=20\)
\(x^2+y^2=25\)
\(x^2+y^2=30\)
\(x^2+y^2=35\)

PAES 2

La recta \(y=3\) respecto de la circunferencia \(x^2+y^2=9\) es:

secante
tangente
exterior
vertical

PAES 3

La recta \(y=5\) respecto de la circunferencia \(x^2+y^2=9\) es:

tangente
secante
exterior
coincidente

PAES 4

Si una circunferencia tiene centro \((2,1)\), ¿cuál de las siguientes rectas verticales pasa por el centro?

\(x=1\)
\(x=2\)
\(y=1\)
\(y=2\)

Cierre

En esta página resolvimos problemas integrados con rectas y circunferencias, combinando varias ideas trabajadas en las clases anteriores.

Vimos cómo analizar puntos, relaciones geométricas e interpretaciones entre ambas figuras dentro del mismo plano cartesiano.

En la siguiente clase realizaremos la evaluación final integradora y cierre previo a la etapa PAES.

💡 Para recordar

Un punto puede pertenecer a una recta, a una circunferencia, a ambas o a ninguna.
Una recta puede ser secante, tangente o exterior respecto de una circunferencia.
Leer bien centro, radio y posición de la recta facilita mucho el análisis.
Los problemas integrados exigen conectar ideas, no aprender una figura nueva.

9. Evaluación final integradora: rectas y circunferencias en el plano

Evaluación final integradora: rectas y circunferencias en el plano

En esta evaluación integrarás los aprendizajes desarrollados en la unidad sobre rectas y circunferencias en el plano cartesiano.

Se evaluará tu capacidad para:

ubicar e interpretar puntos en el plano,
leer geométricamente rectas,
calcular e interpretar pendientes,
trabajar con ecuaciones de la recta,
analizar paralelismo e intersección,
pasar entre ecuación cartesiana y general,
leer centro y radio de una circunferencia,
resolver problemas integrados con rectas y circunferencias.

Objetivo de la evaluación

Integrar los contenidos del mes mediante ejercicios de desarrollo y preguntas tipo PAES, usando interpretación geométrica, algebraica y analítica.

Indicadores de evaluación

Reconoce puntos, cuadrantes y lectura geométrica de rectas.
Calcula e interpreta pendientes.
Identifica y construye ecuaciones de rectas.
Determina paralelismo, intersección y coincidencia entre rectas.
Transforma ecuaciones de rectas entre forma cartesiana y general.
Lee y construye ecuaciones de circunferencias.
Describe traslaciones de circunferencias.
Resuelve situaciones integradas con rectas y circunferencias.

⚠️ Instrucciones

Responde primero los ejercicios de desarrollo, mostrando tus procedimientos.
Luego responde las preguntas tipo PAES, marcando la alternativa correcta.
En las preguntas de desarrollo, justifica cuando se solicite explicación.

Parte I: Ejercicios de desarrollo

Desarrollo 1

Considera los puntos:

\[ A(3,2),\qquad B(-4,1),\qquad C(-2,-5),\qquad D(4,-3) \]

Indica en qué cuadrante se encuentra cada punto.
Describe con palabras la ubicación del punto \(B\).

Desarrollo 2

Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos \(P(1,2)\) y \(Q(5,10)\).

Calcula la pendiente.
Indica si la recta es creciente o decreciente.

Desarrollo 3

Una recta tiene pendiente \(-3\) y corta al eje \(y\) en 4.

Escribe su ecuación en forma cartesiana.
Indica si corresponde a una función lineal o afín.

Desarrollo 4

Considera las rectas:

\[ y=2x+1 \qquad\text{y}\qquad y=2x-5 \]

Determina si son paralelas, secantes o coincidentes.
Justifica tu respuesta usando pendiente e intersección con el eje \(y\).

Desarrollo 5

Encuentra el punto de intersección entre las rectas:

\[ y=x+3 \qquad\text{y}\qquad y=-x+5 \]

Desarrollo 6

Pasa la ecuación de la recta

\[ 2x+3y-6=0 \]

a forma cartesiana, e identifica su pendiente y su intersección con el eje \(y\).

Desarrollo 7

Considera la circunferencia:

\[ (x-2)^2+(y+3)^2=16 \]

Determina su centro y su radio.
Escribe la ecuación de la circunferencia que se obtiene al trasladarla 1 unidad hacia la izquierda y 2 unidades hacia arriba.

Desarrollo 8

Analiza la relación entre la recta \(y=4\) y la circunferencia \(x^2+y^2=16\).

Indica si la recta es secante, tangente o exterior.
Justifica geométricamente.

Parte II: Preguntas tipo PAES

PAES 1

¿En qué cuadrante se encuentra el punto \((-3,-2)\)?

I
II
III
IV

PAES 2

La recta \(y=5\) es:

vertical
horizontal
decreciente
secante

PAES 3

La pendiente de la recta que pasa por \((2,1)\) y \((4,5)\) es:

1
2
3
4

PAES 4

Si una recta tiene pendiente negativa, entonces:

sube al avanzar hacia la derecha
baja al avanzar hacia la derecha
es horizontal
es vertical

PAES 5

En la ecuación \(y=3x-4\), la intersección con el eje \(y\) es:

3
\(-4\)
4
\(-3\)

PAES 6

¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde a una función lineal?

\(y=2x+1\)
\(y=-x+3\)
\(y=4x\)
\(y=5\)

PAES 7

Las rectas \(y=-x+2\) e \(y=-x-3\) son:

paralelas
secantes
coincidentes
verticales

PAES 8

El punto de intersección entre \(y=x+1\) e \(y=-x+3\) es:

\((1,2)\)
\((2,1)\)
\((1,1)\)
\((2,2)\)

PAES 9

La forma general de la recta \(y=2x-5\) es:

\(2x+y-5=0\)
\(2x-y-5=0\)
\(2x-y+5=0\)
\(y-2x-5=0\)

PAES 10

La forma cartesiana de \(x+2y-6=0\) es:

\(y=-2x+3\)
\(y=-\frac{1}{2}x+3\)
\(y=\frac{1}{2}x-3\)
\(y=x-3\)

PAES 11

La circunferencia \((x-1)^2+(y+2)^2=9\) tiene centro en:

\((1,2)\)
\((-1,-2)\)
\((1,-2)\)
\((-1,2)\)

PAES 12

La circunferencia \(x^2+y^2=49\) tiene radio:

5
6
7
14

PAES 13

La ecuación de la circunferencia con centro \((0,0)\) y radio 3 es:

\(x^2+y^2=3\)
\(x^2+y^2=6\)
\(x^2+y^2=9\)
\(x^2+y^2=12\)

PAES 14

Si la circunferencia \(x^2+y^2=16\) se traslada 2 unidades hacia la derecha, su nueva ecuación es:

\((x+2)^2+y^2=16\)
\((x-2)^2+y^2=16\)
\(x^2+(y-2)^2=16\)
\(x^2+(y+2)^2=16\)

PAES 15

La recta \(y=4\) respecto de la circunferencia \(x^2+y^2=16\) es:

secante
tangente
exterior
coincidente

PAES 16

El punto \((2,2)\) pertenece simultáneamente a la recta \(y=x\) y a la circunferencia:

\(x^2+y^2=4\)
\(x^2+y^2=6\)
\(x^2+y^2=8\)
\(x^2+y^2=10\)

Cierre

Esta evaluación integró los contenidos centrales del mes: plano cartesiano, rectas, pendiente, ecuaciones, paralelismo, intersección, circunferencias, traslaciones y problemas combinados.

Con esto se cierra la unidad previa al trabajo más intensivo de preparación PAES, reforzando habilidades geométricas, algebraicas y de interpretación en el plano.

💡 Para recordar

Las rectas se pueden estudiar desde su pendiente, su ecuación y su posición en el plano.
Las circunferencias se interpretan desde su centro y su radio.
Las traslaciones cambian la posición, pero no el tamaño.
Los problemas integrados exigen conectar representaciones geométricas y algebraicas.

Sitio:	MATEMÁTICAS × Profe Arauco
Curso:	Media 4
Libro:	Rectas y circunferencias en el plano

Imprimido por:	Invitado
Día:	jueves, 23 de abril de 2026, 08:50

Rectas y circunferencias en el plano

Tabla de contenidos

1. Recordatorio del plano cartesiano y lectura geométrica de rectas

Recordatorio del plano cartesiano y lectura geométrica de rectas

Resumen conceptual

Ejemplo guiado 1: lectura de puntos en el plano

Ejemplo guiado 2: primera lectura geométrica de una recta

Ejemplo guiado 3: comparar dos rectas

Ejemplo guiado 4: rectas horizontales y verticales

Ejercicios

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Ejercicio 4

Ejercicio 5

Ejercicio 6

Ejercicio 7

Ejercicio 8

Ejercicios tipo PAES

PAES 1

PAES 2

PAES 3

PAES 4

Cierre

2. Pendiente e interpretación

Pendiente e interpretación

Resumen conceptual

Ejemplo guiado 1: calcular la pendiente a partir de dos puntos

Ejemplo guiado 2: comparar pendientes

Ejemplo guiado 3: pendiente nula

Ejemplo guiado 4: pendiente no definida

Ejemplo guiado 5: interpretación en contexto

Ejercicios

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Ejercicio 4

Ejercicio 5

Ejercicio 6

Ejercicio 7

Ejercicio 8

Ejercicios tipo PAES

PAES 1

PAES 2

PAES 3

PAES 4

Cierre

3. Ecuación de la recta y relación con función lineal y afín

Ecuación de la recta y relación con función lineal y afín

Resumen conceptual

Ejemplo guiado 1: leer una ecuación de recta

Ejemplo guiado 2: función lineal y función afín

Ejemplo guiado 3: construir la ecuación a partir de pendiente e intersección

Ejemplo guiado 4: lectura desde una tabla

Ejemplo guiado 5: interpretación en contexto

Ejercicios

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Ejercicio 4

Ejercicio 5

Ejercicio 6

Ejercicio 7

Ejercicio 8

Ejercicios tipo PAES

PAES 1

PAES 2

PAES 3

PAES 4

PAES 5

PAES 6

Cierre

4. Condiciones de paralelismo e intersección entre rectas

Condiciones de paralelismo e intersección entre rectas

Resumen conceptual

Ejemplo guiado 1: rectas paralelas

Ejemplo guiado 2: rectas que se intersectan

Ejemplo guiado 3: misma recta escrita de dos formas

Ejemplo guiado 4: interpretación geométrica rápida

Ejemplo guiado 5: interpretación en contexto