1. Recordatorio del plano cartesiano y lectura geométrica de rectas

Recordatorio del plano cartesiano y lectura geométrica de rectas

Inicio

Antes de estudiar con más detalle la pendiente y las ecuaciones de la recta, conviene recordar algunas ideas fundamentales del plano cartesiano.

En esta página revisaremos cómo ubicar puntos, cómo leer coordenadas y cómo interpretar geométricamente una recta a partir de su posición, su dirección y su relación con los ejes.

Objetivo de la página

Recordar la estructura del plano cartesiano y la ubicación de puntos.
Interpretar geométricamente rectas en el plano.
Distinguir rectas crecientes, decrecientes, horizontales y verticales.
Relacionar la posición de una recta con información geométrica básica.

Al finalizar esta página deberías poder

Ubicar correctamente puntos en el plano a partir de sus coordenadas.
Identificar cuadrantes y ejes.
Describir una recta a partir de su forma y orientación.
Reconocer si una recta sube, baja, es horizontal o es vertical.

Recordatorio básico

En el plano cartesiano, cada punto se representa mediante un par ordenado:

\[ (x,y) \]

donde:

$x$ indica la posición horizontal.
$y$ indica la posición vertical.

El punto $(0,0)$ se llama origen.

Cuadrantes

Los ejes dividen el plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes:

I cuadrante: $x>0$ e $y>0$.
II cuadrante: $x<0$ e $y>0$.
III cuadrante: $x<0$ e $y<0$.
IV cuadrante: $x>0$ e $y<0$.

Si un punto está sobre un eje, entonces no pertenece a ningún cuadrante.

Idea clave

Una recta puede leerse geométricamente observando:

si sube o baja al avanzar hacia la derecha,
si corta a los ejes,
si es horizontal o vertical,
si pasa por ciertos puntos del plano.

Error frecuente

No hay que confundir el orden de las coordenadas.

El punto $(2,3)$ no es lo mismo que el punto $(3,2)$, porque el primer número indica la posición horizontal y el segundo número indica la posición vertical.

Resumen conceptual

Elemento	Interpretación
Eje $x$	Eje horizontal
Eje $y$	Eje vertical
Origen	Punto $(0,0)$
Recta creciente	Sube al avanzar hacia la derecha
Recta decreciente	Baja al avanzar hacia la derecha
Recta horizontal	Tiene altura constante: $y=k$
Recta vertical	Tiene valor de $x$ constante: $x=k$

Ejemplo guiado 1: lectura de puntos en el plano

Consideremos los siguientes puntos:

\[ A(2,3),\qquad B(-3,2),\qquad C(-2,-3),\qquad D(3,-2) \]

Podemos leerlos así:

$A(2,3)$: 2 unidades a la derecha y 3 hacia arriba.
$B(-3,2)$: 3 unidades a la izquierda y 2 hacia arriba.
$C(-2,-3)$: 2 unidades a la izquierda y 3 hacia abajo.
$D(3,-2)$: 3 unidades a la derecha y 2 hacia abajo.

Punto	Signo de $x$	Signo de $y$	Cuadrante
$A(2,3)$	Positivo	Positivo	I
$B(-3,2)$	Negativo	Positivo	II
$C(-2,-3)$	Negativo	Negativo	III
$D(3,-2)$	Positivo	Negativo	IV

Esto permite recordar que el signo de cada coordenada ayuda a identificar en qué zona del plano se encuentra el punto.

Ejemplo guiado 2: primera lectura geométrica de una recta

Observemos la recta:

\[ y=x \]

La recta pasa por el origen y sube a medida que avanzamos hacia la derecha.

Geométricamente, eso significa que es una recta creciente.

Ejemplo guiado 3: tipos de rectas según su orientación

Comparemos cuatro rectas:

\[ y=x,\qquad y=-x,\qquad y=2,\qquad x=2 \]

Recta	Lectura geométrica
$y=x$	Creciente: sube al avanzar hacia la derecha.
$y=-x$	Decreciente: baja al avanzar hacia la derecha.
$y=2$	Horizontal: mantiene siempre la misma altura.
$x=2$	Vertical: mantiene siempre el mismo valor de $x$.

Una recta vertical no se escribe como $y=f(x)$, porque para un mismo valor de $x$ tiene muchos valores posibles de $y$.

Ejercicios

Ejercicio 1: ubicación de puntos

Indica en qué cuadrante o eje se ubica cada punto:

\[ P(4,1),\qquad Q(-2,5),\qquad R(-3,-4),\qquad S(5,-2),\qquad T(0,3),\qquad U(-4,0) \]

Ejercicio 2: orden de las coordenadas

Explica por qué los puntos $(2,5)$ y $(5,2)$ no representan la misma ubicación.

Ejercicio 3: clasificación de rectas

Clasifica cada recta como creciente, decreciente, horizontal o vertical:

$y=3x-1$
$y=-2x+4$
$y=-3$
$x=5$

Ejercicio 4: lectura de rectas a partir de puntos

Para cada par de puntos, indica si la recta que pasa por ellos sube, baja, es horizontal o es vertical.

$A(-2,-1)$ y $B(3,4)$
$C(-1,3)$ y $D(4,-2)$
$E(-3,2)$ y $F(4,2)$
$G(1,-3)$ y $H(1,4)$

Ejercicio 5: interpretación de una gráfica

Observa la gráfica y responde:

¿Cuál recta es creciente?
¿Cuál recta es decreciente?
¿Cuál recta es horizontal?
¿Cuál recta es vertical?

2. Pendiente e interpretación

Pendiente e interpretación

Inicio

En la clase anterior recordamos el plano cartesiano y la lectura geométrica de rectas. Ahora profundizaremos en una idea central: la pendiente.

La pendiente permite describir qué tan inclinada está una recta y, sobre todo, interpretar cómo cambia una variable respecto de otra.

Objetivo de la página

Comprender la pendiente como medida de inclinación de una recta.
Calcular la pendiente a partir de dos puntos.
Interpretar el signo y el valor de la pendiente.
Relacionar pendiente con rectas crecientes, decrecientes y horizontales.

Al finalizar esta página deberías poder

Calcular la pendiente usando coordenadas.
Explicar qué significa una pendiente positiva, negativa o nula.
Comparar rectas según su inclinación.
Interpretar la pendiente en situaciones simples de cambio.

Definición

La pendiente de una recta se representa normalmente con la letra $m$.

Si una recta pasa por dos puntos $A(x_1,y_1)$ y $B(x_2,y_2)$, con $x_1\neq x_2$, su pendiente se calcula con:

\[ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \]

Es decir:

\[ m=\frac{\text{cambio vertical}}{\text{cambio horizontal}} \]

Lectura intuitiva

Si $m>0$, la recta es creciente.
Si $m<0$, la recta es decreciente.
Si $m=0$, la recta es horizontal.
Si la recta es vertical, su pendiente no está definida.

Idea clave

La pendiente indica cuánto cambia $y$ cuando $x$ aumenta una unidad.

Por ejemplo, si $m=2$, significa que por cada 1 unidad que avanza $x$, la variable $y$ aumenta 2 unidades.

Error frecuente

No hay que restar “cruzado”.

Si en el numerador haces $y_2-y_1$, en el denominador debes hacer $x_2-x_1$, respetando el mismo orden.

Por ejemplo, con $A(1,4)$ y $B(3,8)$, es correcto calcular $\dfrac{8-4}{3-1}$, pero no $\dfrac{8-4}{1-3}$, porque ahí se cambió el orden solo en el denominador.

Resumen conceptual

Tipo de recta	Pendiente	Interpretación
Creciente	$m>0$	Sube al avanzar hacia la derecha
Decreciente	$m<0$	Baja al avanzar hacia la derecha
Horizontal	$m=0$	La altura no cambia
Vertical	No definida	No hay avance horizontal

Ejemplo guiado 1: calcular la pendiente a partir de dos puntos

Consideremos los puntos $A(1,1)$ y $B(3,5)$.

Aplicamos la fórmula:

\[ m=\frac{5-1}{3-1}=\frac{4}{2}=2 \]

La pendiente es $2$.

Esto significa que por cada 1 unidad que aumenta $x$, la variable $y$ aumenta 2 unidades.

Como la pendiente es positiva, la recta es creciente.

Ejemplo guiado 2: comparar pendientes

Comparemos las rectas:

\[ y=2x+1,\qquad y=\frac{1}{2}x+1,\qquad y=-x+1 \]

$y=2x+1$ tiene pendiente $m=2$: sube rápido.
$y=\frac{1}{2}x+1$ tiene pendiente $m=\frac{1}{2}$: también sube, pero más lentamente.
$y=-x+1$ tiene pendiente $m=-1$: baja al avanzar hacia la derecha.

Entonces, el valor absoluto de la pendiente también ayuda a describir qué tan inclinada está una recta: mientras mayor sea $|m|$, mayor es la inclinación respecto del eje $x$.

Ejemplo guiado 3: pendiente nula

Consideremos la recta:

\[ y=3 \]

En esta recta, aunque $x$ cambie, el valor de $y$ se mantiene siempre en $3$.

Por eso su pendiente es:

\[ m=0 \]

Geométricamente, es una recta horizontal.

Ejemplo guiado 4: pendiente no definida

Consideremos ahora una recta vertical, por ejemplo:

\[ x=2 \]

En una recta vertical, el valor de $x$ no cambia.

Si tomamos dos puntos de esta recta, por ejemplo $A(2,-2)$ y $B(2,3)$, el cambio horizontal es:

\[ x_2-x_1=2-2=0 \]

Entonces, en la fórmula de la pendiente aparecería una división por cero:

\[ m=\frac{3-(-2)}{2-2}=\frac{5}{0} \]

Como no se puede dividir por $0$, la pendiente de una recta vertical no está definida.

Ejemplo guiado 5: interpretación en contexto

Supongamos que el costo total $C$, en miles de pesos, de cierta compra está dado por:

\[ C(x)=4x+3 \]

donde $x$ representa la cantidad de artículos comprados.

La pendiente es $4$.

Eso significa que por cada artículo adicional, el costo total aumenta en $4$ miles de pesos.

El número $3$ indica un costo inicial fijo de $3$ miles de pesos.

Aquí la pendiente ya no solo se interpreta como inclinación geométrica, sino también como tasa de cambio.

Lectura de la pendiente

Cuando veas una recta, puedes hacerte estas preguntas:

¿sube o baja?
¿sube mucho o poco?
¿se mantiene horizontal?
¿es vertical?

Todas esas preguntas están relacionadas con la pendiente.

Aplicación en el mundo real

La pendiente puede representar velocidad, precio por unidad, variación de temperatura, altura ganada por unidad de recorrido y muchas otras tasas de cambio.

Ejercicios

Ejercicio 1

Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos $A(2,1)$ y $B(5,7)$.

Ejercicio 2

Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos $A(-1,4)$ y $B(3,2)$.

Ejercicio 3

Indica si una recta con pendiente $m=3$ es creciente, decreciente, horizontal o vertical.

Ejercicio 4

Indica si una recta con pendiente $m=-2$ es creciente, decreciente, horizontal o vertical.

Ejercicio 5

¿Cuál es la pendiente de la recta $y=5$? Explica brevemente.

Ejercicio 6

¿La recta $x=-3$ tiene pendiente definida? Justifica.

Ejercicio 7

En una situación, la expresión $y=6x+2$ modela el valor de una variable. Interpreta la pendiente en contexto.

Ejercicio 8

Un estudiante dice: “Si una recta tiene pendiente pequeña, entonces siempre es decreciente”. ¿Es correcta esa afirmación? Justifica.

Ejercicio 9

Observa las rectas representadas y responde cuál tiene mayor pendiente.

Ejercicios tipo PAES

PAES 1

La pendiente de la recta que pasa por $(1,2)$ y $(3,6)$ es:

1
2
3
4

PAES 2

Si una recta tiene pendiente negativa, entonces:

sube al avanzar hacia la derecha
baja al avanzar hacia la derecha
es horizontal
es vertical

PAES 3

La recta $y=4$ tiene pendiente:

$-4$
0
1
No definida

PAES 4

¿Cuál de las siguientes rectas tiene pendiente no definida?

$y=-2$
$y=x+1$
$x=5$
$y=3x$

Cierre

Síntesis

En esta página estudiamos la pendiente como medida de inclinación y como tasa de cambio.

Vimos cómo calcularla a partir de dos puntos y cómo interpretar su signo y su valor en distintos tipos de rectas.

En la siguiente clase relacionaremos esta idea con la ecuación de la recta y su vínculo con la función lineal y afín.

Para recordar

$m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$, siempre que $x_1\neq x_2$.
Si $m>0$, la recta es creciente.
Si $m<0$, la recta es decreciente.
Si $m=0$, la recta es horizontal.
Las rectas verticales no tienen pendiente definida.

3. Ecuación de la recta y relación con función lineal y afín

Ecuación de la recta y relación con función lineal y afín

Inicio

En la clase anterior estudiamos la pendiente como medida de inclinación y como tasa de cambio. Ahora daremos un paso más: veremos cómo escribir una ecuación de la recta y cómo esta se relaciona con las funciones lineales y afines.

La idea central es que una recta no solo se puede observar en un gráfico, sino también describir mediante una expresión algebraica que permite reconocer su pendiente y su ubicación en el plano.

Objetivo de la página

Reconocer la ecuación de la recta en la forma $y=mx+n$.
Relacionar la pendiente con el coeficiente $m$.
Interpretar el coeficiente $n$ como intersección con el eje $y$.
Distinguir entre función lineal y función afín.

Al finalizar esta página deberías poder

Identificar la pendiente y la intersección con el eje $y$ en una recta.
Reconocer cuándo una recta corresponde a una función lineal o a una función afín.
Escribir la ecuación de una recta a partir de su pendiente y su corte con el eje $y$.
Interpretar ecuaciones de rectas en forma gráfica y contextual.

Forma de la ecuación de una recta

Una forma muy importante de escribir la ecuación de una recta es:

\[ y=mx+n \]

donde:

$m$ representa la pendiente,
$n$ representa la intersección con el eje $y$.

Lectura de los coeficientes

En la ecuación $y=mx+n$:

el número $m$ indica cuánto cambia $y$ cuando $x$ aumenta una unidad,
el número $n$ indica el valor de $y$ cuando $x=0$.

Por eso, $n$ corresponde al punto donde la recta corta al eje $y$:

\[ (0,n) \]

Función lineal y función afín

Cuando una recta tiene ecuación:

\[ y=mx \]

decimos que corresponde a una función lineal. En este caso, la recta pasa por el origen $(0,0)$.

Cuando la recta tiene ecuación:

\[ y=mx+n \qquad \text{con } n\neq 0 \]

decimos que corresponde a una función afín. En este caso, la recta no pasa por el origen.

Idea clave

La pendiente determina la inclinación de la recta, mientras que la intersección con el eje $y$ determina dónde queda ubicada verticalmente en el plano.

Error frecuente

No toda recta es una función lineal.

Solo las rectas que pasan por el origen tienen forma $y=mx$. Si una recta tiene forma $y=mx+n$ con $n\neq 0$, corresponde a una función afín.

Resumen conceptual

Expresión	Tipo o elemento	Interpretación
$y=mx$	Función lineal	Pasa por el origen
$y=mx+n$, con $n\neq 0$	Función afín	Corta al eje $y$ en $(0,n)$
$m$	Pendiente	Indica inclinación o tasa de cambio
$n$	Coeficiente de posición	Indica intersección con el eje $y$

Ejemplo guiado 1: leer una ecuación de recta

Consideremos la recta:

\[ y=2x+3 \]

Comparando con la forma $y=mx+n$, se observa que:

\[ m=2 \qquad\text{y}\qquad n=3 \]

La pendiente es $2$, por lo tanto la recta es creciente.
La intersección con el eje $y$ es $3$.

Eso significa que cuando $x=0$, se cumple:

\[ y=2\cdot 0+3=3 \]

Entonces la recta corta al eje $y$ en el punto $(0,3)$.

Ejemplo guiado 2: función lineal y función afín

Comparemos las funciones:

\[ y=2x \qquad\text{y}\qquad y=2x+3 \]

Ambas rectas tienen la misma pendiente:

\[ m=2 \]

Por eso tienen la misma inclinación.

Pero no están en la misma posición:

$y=2x$ pasa por el origen, por lo tanto es una función lineal.
$y=2x+3$ corta al eje $y$ en $3$, por lo tanto es una función afín.

Ejemplo guiado 3: construir la ecuación a partir de pendiente e intersección

Supongamos que una recta tiene pendiente $m=-1$ y corta al eje $y$ en $4$.

Usamos la forma:

\[ y=mx+n \]

Reemplazando $m=-1$ y $n=4$:

\[ y=-1x+4 \]

Como $-1x=-x$, la ecuación queda:

\[ y=-x+4 \]

La recta baja al avanzar hacia la derecha porque su pendiente es negativa.

Además, corta al eje $y$ en el punto $(0,4)$.

Ejemplo guiado 4: lectura desde una tabla

Observa la siguiente tabla:

$x$	0	1	2	3
$y$	5	8	11	14

Cuando $x$ aumenta en $1$, el valor de $y$ aumenta en $3$.

Por lo tanto, la pendiente es:

\[ m=3 \]

Además, cuando $x=0$, se tiene $y=5$. Entonces:

\[ n=5 \]

La ecuación de la recta es:

\[ y=3x+5 \]

Ejemplo guiado 5: interpretación en contexto

Supongamos que el costo total $C$, en miles de pesos, de un servicio está dado por:

\[ C(x)=4x+2 \]

donde $x$ representa la cantidad de horas utilizadas.

La pendiente es $4$: por cada hora adicional, el costo aumenta en $4$ miles de pesos.
La intersección con el eje $y$ es $2$: existe un cobro fijo inicial de $2$ miles de pesos.

Entonces, la ecuación de la recta permite interpretar simultáneamente un cambio por unidad y un valor inicial.

Cómo leer una recta desde su ecuación

Al ver una ecuación como $y=mx+n$, conviene preguntarse:

¿cuál es la pendiente?
¿la recta sube o baja?
¿dónde corta al eje $y$?
¿pasa por el origen o no?

Estas preguntas ayudan a decidir si corresponde a una función lineal o afín y a interpretar su comportamiento gráfico.

Aplicación en el mundo real

Las ecuaciones de rectas aparecen en situaciones con cambio constante, como tarifas con cobro fijo y costo por unidad, temperatura que varía uniformemente, distancia recorrida con velocidad constante o consumo acumulado de recursos.

Ejercicios

Ejercicio 1

En la ecuación $y=3x-2$, identifica:

la pendiente,
la intersección con el eje $y$.

Ejercicio 2

Indica si la función $y=-4x$ es lineal o afín. Justifica.

Ejercicio 3

Indica si la función $y=5x+1$ es lineal o afín. Justifica.

Ejercicio 4

Escribe la ecuación de la recta que tiene pendiente $2$ y corta al eje $y$ en $-3$.

Ejercicio 5

Escribe la ecuación de la recta que tiene pendiente $-1$ y corta al eje $y$ en $5$.

Ejercicio 6

Observa la tabla y determina la ecuación de la recta.

$x$	0	1	2	3
$y$	-1	1	3	5

Ejercicio 7

En la expresión $C(x)=7x+4$, interpreta el significado de $7$ y de $4$ en un contexto de costo.

Ejercicio 8

Un estudiante dice: “Toda recta de la forma $y=mx+n$ es lineal”. ¿Es correcta esa afirmación? Justifica.

Ejercicio 9

Observa las rectas y clasifica cada una como función lineal o función afín.

Ejercicios tipo PAES

PAES 1

En la ecuación $y=-2x+5$, la pendiente es:

$-2$
5
2
$-5$

PAES 2

En la ecuación $y=-2x+5$, la recta corta al eje $y$ en:

$-2$
0
5
7

PAES 3

¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde a una función lineal?

$y=3x+1$
$y=-x+4$
$y=2x$
$y=5$

PAES 4

¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde a una función afín?

$y=4x$
$y=-3x$
$y=x$
$y=2x-1$

PAES 5

La recta con pendiente $3$ e intersección con el eje $y$ igual a $-2$ tiene ecuación:

$y=-2x+3$
$y=3x-2$
$y=2x-3$
$y=3x+2$

PAES 6

Si una recta tiene ecuación $y=-x+4$, entonces su pendiente indica que la recta es:

horizontal
vertical
creciente
decreciente

Cierre

Síntesis

En esta página estudiamos la ecuación de la recta en la forma $y=mx+n$ y su relación con las funciones lineales y afines.

Vimos que la pendiente $m$ describe la inclinación de la recta y que el coeficiente $n$ indica dónde corta al eje $y$.

En la siguiente clase trabajaremos con condiciones de paralelismo e intersección entre rectas, usando justamente estas ideas sobre pendiente y ecuación.

Para recordar

$y=mx+n$ es una forma importante de la ecuación de la recta.
$m$ es la pendiente.
$n$ es la intersección con el eje $y$, es decir, el punto $(0,n)$.
$y=mx$ es función lineal.
$y=mx+n$, con $n\neq 0$, es función afín.

4. Costos, ingresos y punto de equilibrio con rectas

Objetivos

Modelar costos e ingresos mediante funciones afines.
Interpretar la intersección de dos rectas como punto de equilibrio.
Fundamentar decisiones usando información algebraica y gráfica.

Rectas para tomar decisiones

Una recta puede modelar situaciones donde una cantidad cambia a razón constante. En economía básica, los costos y los ingresos pueden representarse mediante funciones afines.

El punto donde la recta de ingresos se intersecta con la recta de costos se llama punto de equilibrio: allí no hay ganancia ni pérdida.

Modelos lineales frecuentes

Si $x$ representa la cantidad de productos, el costo puede modelarse como:

\[ C(x)=mx+b \]

donde $b$ es el costo fijo y $m$ es el costo variable por unidad.

El ingreso puede modelarse como:

\[ I(x)=px \]

donde $p$ es el precio de venta por unidad. La ganancia se puede estimar como:

\[ G(x)=I(x)-C(x) \]

En el punto de equilibrio se cumple:

\[ I(x)=C(x) \]

Ajuste de escala para graficar

Para que el gráfico sea más legible, representaremos el dinero en miles de pesos. Así, $\$30\,000$ se grafica como $30$, $\$55\,000$ como $55$, y así sucesivamente.

Ejemplo 1: punto de equilibrio

Un emprendimiento tiene un costo fijo de $\$30\,000$ y un costo variable de $\$500$ por producto. Cada producto se vende a $\$1\,100$. Determina el punto de equilibrio.

El costo es:

\[ C(x)=500x+30\,000 \]

El ingreso es:

\[ I(x)=1\,100x \]

En el punto de equilibrio:

\[ I(x)=C(x) \]

\[ 1\,100x=500x+30\,000 \]

\[ 600x=30\,000 \]

\[ x=50 \]

Para calcular el valor monetario en ese punto, reemplazamos $x=50$:

\[ I(50)=1\,100\cdot 50=55\,000 \]

\[ C(50)=500\cdot 50+30\,000=55\,000 \]

Para graficar en miles de pesos, usamos:

\[ C(x)=0{,}5x+30 \qquad\text{e}\qquad I(x)=1{,}1x \]

El punto de equilibrio es $(50,55)$ en el gráfico, es decir, $(50,55\,000)$ en pesos. Debe vender $50$ productos para no tener pérdida ni ganancia.

Ejemplo 2: interpretar ganancia

Usando los modelos anteriores, ¿hay ganancia o pérdida si se venden $80$ productos?

Ingreso:

\[ I(80)=1\,100\cdot 80=88\,000 \]

Costo:

\[ C(80)=500\cdot 80+30\,000=40\,000+30\,000=70\,000 \]

Ganancia:

\[ G(80)=I(80)-C(80) \]

\[ G(80)=88\,000-70\,000=18\,000 \]

En el gráfico, $88\,000$ pesos se representa como $88$ y $70\,000$ pesos se representa como $70$.

Hay una ganancia de $\$18\,000$, porque el ingreso es mayor que el costo.

Lectura gráfica

Antes del punto de equilibrio, la recta de costos está sobre la recta de ingresos: hay pérdida.

Después del punto de equilibrio, la recta de ingresos queda sobre la recta de costos: hay ganancia.

Ejercicio 1

Un taller tiene $C(x)=700x+42\,000$ e $I(x)=1\,400x$. Calcula el punto de equilibrio.

Ejercicio 2

Con los modelos del ejercicio anterior, determina si hay ganancia o pérdida al vender $50$ unidades.

Ejercicio 3

Una productora estima $C(x)=1\,200x+80\,000$ e $I(x)=2\,000x$. ¿Cuántas unidades debe vender para obtener una ganancia de $\$40\,000$?

Ejercicio 4

Explica por qué el punto de equilibrio corresponde a la intersección de dos rectas.

Ejercicio 5

Una persona afirma: “Si el ingreso por unidad es mayor que el costo variable, entonces siempre hay ganancia”. ¿Es correcta la afirmación?

Ejercicio 6

Da una interpretación en contexto de una pendiente mayor en la recta de ingresos.

Ejercicio 7

Una empresa tiene $C(x)=900x+36\,000$ e $I(x)=1\,500x$. Determina si al vender $40$, $60$ y $80$ unidades hay pérdida, equilibrio o ganancia.

Limitación del modelo

Estos modelos suponen que el costo variable y el precio de venta se mantienen constantes. En una situación real, pueden cambiar por descuentos, volumen de producción, impuestos, inflación o variación de demanda.

5. Condiciones de paralelismo e intersección entre rectas

Condiciones de paralelismo e intersección entre rectas

Inicio

En la clase anterior estudiamos la ecuación de la recta en la forma $y=mx+n$, identificando la pendiente y la intersección con el eje $y$.

Ahora usaremos esas ideas para comparar rectas y decidir si son paralelas, si se intersectan o si, en realidad, representan la misma recta.

Objetivo de la página

Reconocer las condiciones de paralelismo entre rectas.
Determinar cuándo dos rectas se intersectan.
Encontrar el punto de intersección entre dos rectas.
Interpretar geométrica y algebraicamente la relación entre pendientes e intersecciones.

Al finalizar esta página deberías poder

Decidir si dos rectas son paralelas comparando sus pendientes.
Reconocer que si dos rectas tienen pendientes distintas, entonces se cortan.
Identificar cuándo dos ecuaciones representan la misma recta.
Calcular el punto de intersección entre dos rectas sencillas.

Condición de paralelismo

Si dos rectas no verticales tienen ecuaciones:

\[ y=m_1x+n_1 \qquad\text{y}\qquad y=m_2x+n_2 \]

entonces son paralelas si cumplen:

\[ m_1=m_2 \qquad\text{y}\qquad n_1\neq n_2 \]

Es decir, tienen la misma pendiente, pero cortan al eje $y$ en puntos distintos.

Condición de intersección

Dos rectas no verticales se intersectan en un único punto si tienen pendientes distintas:

\[ m_1\neq m_2 \]

En ese caso, las rectas tienen inclinaciones distintas y se cruzan en un solo punto del plano.

Misma recta

Si dos rectas tienen la misma pendiente y la misma intersección con el eje $y$, entonces:

\[ m_1=m_2 \qquad\text{y}\qquad n_1=n_2 \]

no son dos rectas distintas, sino la misma recta. En ese caso se llaman rectas coincidentes.

Idea clave

La pendiente decide la inclinación. Por eso:

si las pendientes son iguales, las rectas tienen la misma inclinación;
si además tienen distinto corte con el eje $y$, son paralelas;
si las pendientes son distintas, las rectas se intersectan en un punto.

Error frecuente

No basta con mirar solo el número independiente.

Para decidir si dos rectas son paralelas, primero hay que comparar sus pendientes. Dos rectas con números independientes distintos no siempre son paralelas.

Resumen conceptual

Relación entre rectas

Relación entre rectas	Condición	Consecuencia geométrica
Paralelas	$m_1=m_2$ y $n_1\neq n_2$	No se cortan
Secantes	$m_1\neq m_2$	Se cortan en un punto
Coincidentes	$m_1=m_2$ y $n_1=n_2$	Son la misma recta

Ejemplo guiado 1: rectas paralelas

Comparemos las rectas:

\[ y=2x+1 \qquad\text{y}\qquad y=2x-3 \]

Ambas tienen pendiente $2$:

\[ m_1=2 \qquad\text{y}\qquad m_2=2 \]

Pero sus intersecciones con el eje $y$ son distintas:

\[ n_1=1 \qquad\text{y}\qquad n_2=-3 \]

Por lo tanto, cumplen:

\[ m_1=m_2 \qquad\text{y}\qquad n_1\neq n_2 \]

Las rectas son paralelas: tienen la misma inclinación y no se cruzan.

Ejemplo guiado 2: rectas que se intersectan

Comparemos ahora las rectas:

\[ y=2x+1 \qquad\text{y}\qquad y=-x+4 \]

Sus pendientes son distintas:

\[ m_1=2 \qquad\text{y}\qquad m_2=-1 \]

Por lo tanto, las rectas se intersectan en un único punto.

Para encontrarlo, igualamos ambas expresiones de $y$:

\[ 2x+1=-x+4 \]

\[ 3x=3 \]

\[ x=1 \]

Reemplazando en una de las rectas:

\[ y=2(1)+1=3 \]

El punto de intersección es $(1,3)$.

Ejemplo guiado 3: misma recta escrita de dos formas

Consideremos las ecuaciones:

\[ y=3x-2 \qquad\text{y}\qquad 2y=6x-4 \]

La segunda ecuación se puede simplificar dividiendo por $2$:

\[ 2y=6x-4 \]

\[ y=3x-2 \]

Entonces ambas ecuaciones representan la misma recta:

\[ m_1=m_2=3 \qquad\text{y}\qquad n_1=n_2=-2 \]

No son dos rectas distintas: son coincidentes.

Ejemplo guiado 4: interpretación geométrica rápida

Si dos rectas tienen la misma pendiente, comparten la misma inclinación.

Eso produce dos posibilidades:

si cortan al eje $y$ en puntos distintos, son paralelas;
si cortan al eje $y$ en el mismo punto, son la misma recta.

En cambio, si las pendientes son distintas, las rectas tienen inclinaciones distintas y se cruzan en un único punto.

Ejemplo guiado 5: interpretación en contexto

Supongamos dos planes de cobro:

\[ C_1(x)=3x+4 \qquad\text{y}\qquad C_2(x)=3x+1 \]

Ambos planes aumentan $3$ unidades por cada unidad consumida, por eso tienen la misma pendiente.

Sin embargo, uno parte con costo fijo $4$ y el otro con costo fijo $1$.

Geométricamente, las rectas son paralelas; en contexto, eso significa que ambos planes crecen al mismo ritmo, pero parten desde valores iniciales distintos.

Cómo comparar dos rectas

Cuando tengas dos rectas de la forma $y=mx+n$, revisa este orden:

compara las pendientes;
si son iguales, compara la intersección con el eje $y$;
si son distintas, concluye que se intersectan.

Aplicación en el mundo real

Comparar rectas permite analizar tarifas, tendencias, ritmos de cambio y momentos en que dos situaciones alcanzan el mismo valor.

El punto de intersección puede representar, por ejemplo, el instante en que dos costos se igualan o cuando dos magnitudes tienen el mismo valor.

Ejercicios

Ejercicio 1

Determina si las rectas $y=4x+1$ e $y=4x-3$ son paralelas, secantes o coincidentes.

Ejercicio 2

Determina si las rectas $y=-2x+5$ e $y=x-1$ son paralelas, secantes o coincidentes.

Ejercicio 3

Calcula el punto de intersección entre las rectas:

\[ y=x+2 \qquad\text{y}\qquad y=-x+4 \]

Ejercicio 4

Determina si las ecuaciones $y=2x-1$ e $y=2x-1$ representan rectas paralelas, secantes o coincidentes.

Ejercicio 5

Explica por qué dos rectas con pendientes distintas no pueden ser paralelas.

Ejercicio 6

Dos rectas tienen ecuaciones $y=5x+2$ e $y=5x-4$. ¿Qué tienen en común y qué tienen de diferente?

Ejercicio 7

Encuentra el punto de intersección entre:

\[ y=3x \qquad\text{y}\qquad y=x+4 \]

Ejercicio 8

Un estudiante afirma: “Si dos rectas tienen el mismo número independiente, entonces siempre son paralelas”. ¿Es correcta esa afirmación? Justifica.

Ejercicio 9

Observa las rectas del gráfico y determina si son paralelas, secantes o coincidentes.

Ejercicios tipo PAES

PAES 1

¿Cuál es la condición para que dos rectas de la forma $y=mx+n$ sean paralelas?

Tener el mismo número independiente.
Tener pendientes distintas.
Tener la misma pendiente y distinta intersección con el eje $y$.
Cortar al eje $x$ en el mismo punto.

PAES 2

Las rectas $y=2x+1$ e $y=2x-5$ son:

secantes
paralelas
coincidentes
verticales

PAES 3

Las rectas $y=-x+2$ e $y=3x-1$ son:

paralelas
coincidentes
secantes
horizontales

PAES 4

El punto de intersección entre $y=x+1$ e $y=-x+5$ es:

$(1,4)$
$(2,3)$
$(3,2)$
$(4,1)$

Cierre

Síntesis

En esta página estudiamos las condiciones de paralelismo e intersección entre rectas.

Vimos que la pendiente es la herramienta principal para comparar rectas: si es igual, las rectas pueden ser paralelas o coincidentes; si es distinta, necesariamente se cortan.

En la siguiente clase trabajaremos el paso entre ecuación cartesiana y ecuación general de la recta.

Para recordar

Si $m_1=m_2$ y $n_1\neq n_2$, las rectas son paralelas.
Si $m_1\neq m_2$, las rectas se intersectan en un único punto.
Si $m_1=m_2$ y $n_1=n_2$, son la misma recta.
El punto de intersección se obtiene igualando las ecuaciones.

6. Paso entre ecuación cartesiana y ecuación general de la recta

Paso entre ecuación cartesiana y ecuación general de la recta

Inicio

En la clase anterior trabajamos la ecuación de la recta en la forma $y=mx+n$, identificando la pendiente y la intersección con el eje $y$.

Ahora aprenderemos a pasar entre dos formas habituales de escribir una recta:

la ecuación cartesiana, de la forma $y=mx+n$,
la ecuación general, de la forma $Ax+By+C=0$.

Ambas representan la misma recta, pero cada una resulta más útil en distintos contextos.

Objetivo de la página

Reconocer la ecuación cartesiana y la ecuación general de la recta.
Transformar una ecuación cartesiana en ecuación general.
Transformar una ecuación general en ecuación cartesiana, cuando sea posible.
Interpretar qué información geométrica aporta cada forma.

Al finalizar esta página deberías poder

Identificar si una ecuación está en forma cartesiana o general.
Reescribir una recta de una forma a otra.
Reconocer cuándo una recta no puede escribirse como $y=mx+n$.
Relacionar ambas expresiones con la misma recta en el plano.

Dos formas de escribir una recta

Ecuación cartesiana:

\[ y=mx+n \]

donde:

$m$ es la pendiente,
$n$ es la intersección con el eje $y$.

Ecuación general:

\[ Ax+By+C=0 \]

donde $A$, $B$ y $C$ son números reales, con $A$ y $B$ no ambos nulos.

¿Cómo pasar de una forma a otra?

De cartesiana a general: se trasladan todos los términos a un solo lado de la igualdad.

Por ejemplo:

\[ y=2x+3 \]

\[ 2x-y+3=0 \]

De general a cartesiana: se despeja $y$, siempre que el término en $y$ no desaparezca.

Por ejemplo:

\[ 3x+2y-6=0 \]

\[ 2y=-3x+6 \]

\[ y=-\frac{3}{2}x+3 \]

Idea clave

La ecuación cartesiana permite leer con facilidad la pendiente y el corte con el eje $y$.

La ecuación general es más amplia, porque también permite representar rectas verticales, como por ejemplo:

\[ x-2=0 \]

Error frecuente

Al pasar de una forma a otra, hay que cuidar los signos.

Por ejemplo, de $y=2x+3$ no se obtiene $2x+y+3=0$, sino:

\[ 2x-y+3=0 \]

porque al llevar $y$ al otro lado cambia de signo.

Resumen conceptual

Comparación de formas

Forma	Expresión	Ventaja principal
Cartesiana	$y=mx+n$	Permite leer pendiente e intersección con el eje $y$
General	$Ax+By+C=0$	Representa todas las rectas, incluidas las verticales

Ejemplo guiado 1: pasar de cartesiana a general

Consideremos la recta:

\[ y=2x+1 \]

Queremos escribirla en forma general. Para ello, trasladamos todo al mismo lado:

\[ y=2x+1 \]

\[ y-2x-1=0 \]

Una forma equivalente, usualmente ordenada como $Ax+By+C=0$, es:

\[ 2x-y+1=0 \]

Ambas expresiones, $y=2x+1$ y $2x-y+1=0$, representan exactamente la misma recta.

Ejemplo guiado 2: pasar de general a cartesiana

Consideremos ahora la ecuación:

\[ 3x+2y-4=0 \]

Despejamos $y$:

\[ 3x+2y-4=0 \]

\[ 2y=-3x+4 \]

\[ y=-\frac{3}{2}x+2 \]

Ahora podemos leer con facilidad:

pendiente: $-\dfrac{3}{2}$,
intersección con el eje $y$: $2$.

Ejemplo guiado 3: misma recta en dos escrituras

Comparemos:

\[ y=-x+4 \qquad\text{y}\qquad x+y-4=0 \]

Si despejamos $y$ en la segunda ecuación:

\[ x+y-4=0 \]

\[ y=-x+4 \]

Obtenemos exactamente la primera ecuación. Por lo tanto, ambas ecuaciones corresponden a la misma recta.

Ejemplo guiado 4: una recta vertical

Consideremos la ecuación:

\[ x-2=0 \]

Esta ecuación equivale a:

\[ x=2 \]

Representa una recta vertical. En este caso no es posible despejarla en la forma $y=mx+n$, porque la recta vertical no tiene pendiente definida.

Esto muestra una ventaja de la ecuación general: permite escribir rectas que no son funciones de $x$.

Ejemplo guiado 5: interpretación rápida de ambas formas

Si una recta está en forma cartesiana $y=mx+n$, conviene leer:

la pendiente,
el corte con el eje $y$.

Si está en forma general $Ax+By+C=0$, conviene decidir si se puede despejar $y$.

si se puede, se puede pasar a cartesiana y leer mejor la pendiente;
si no se puede, se trata de una recta vertical.

¿Para qué sirve cambiar de forma?

Cambiar entre ecuación cartesiana y general permite adaptar la recta al tipo de análisis que queremos hacer.

Si queremos interpretar inclinación e intersección con el eje $y$, suele convenir la forma cartesiana. Si queremos una expresión más general, conviene la forma $Ax+By+C=0$.

Aplicación en el mundo real

En problemas geométricos y analíticos, una misma recta puede aparecer escrita de distintas maneras. Saber cambiar de forma ayuda a comparar rectas, estudiar intersecciones y resolver problemas con mayor flexibilidad.

Ejercicios

Ejercicio 1

Pasa la ecuación $y=3x-2$ a forma general.

Ejercicio 2

Pasa la ecuación $y=-2x+5$ a forma general.

Ejercicio 3

Pasa la ecuación $4x+y-7=0$ a forma cartesiana.

Ejercicio 4

Pasa la ecuación $2x-3y+6=0$ a forma cartesiana.

Ejercicio 5

Indica si la ecuación $x+4=0$ puede escribirse en la forma $y=mx+n$. Justifica.

Ejercicio 6

Escribe en forma general la recta $y=\frac{1}{2}x+3$.

Ejercicio 7

Explica qué ventaja tiene la forma $y=mx+n$ respecto de la forma general.

Ejercicio 8

Un estudiante afirma: “Toda ecuación general puede escribirse en forma cartesiana”. ¿Es correcta esa afirmación? Justifica.

Ejercicios tipo PAES

PAES 1

La forma general de la recta $y=2x+3$ es:

$2x+y+3=0$
$2x-y+3=0$
$2x-y-3=0$
$y-2x+3=0$

PAES 2

La forma cartesiana de $3x+y-5=0$ es:

$y=3x-5$
$y=-3x+5$
$y=5x-3$
$y=-5x+3$

PAES 3

¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa una recta vertical?

$y=4$
$x=-2$
$y=-2x+1$
$y=\frac{1}{2}x$

PAES 4

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

Toda ecuación general representa una parábola.
Toda recta vertical puede escribirse como $y=mx+n$.
La forma general puede representar rectas verticales.
La forma cartesiana siempre es la única manera de escribir una recta.

Cierre

Síntesis

En esta página estudiamos el paso entre la ecuación cartesiana y la ecuación general de la recta.

Vimos que ambas expresiones pueden representar la misma recta, pero que la forma cartesiana facilita la lectura de la pendiente y del corte con el eje $y$, mientras que la forma general permite describir también rectas verticales.

En la siguiente clase comenzaremos a trabajar con circunferencias en el plano, identificando su centro y su radio a partir de su ecuación.

Para recordar

Forma cartesiana: $y=mx+n$.
Forma general: $Ax+By+C=0$.
Para pasar de cartesiana a general, se llevan todos los términos a un lado.
Para pasar de general a cartesiana, se despeja $y$, cuando sea posible.
Las rectas verticales no pueden escribirse en la forma $y=mx+n$.

7. Distancia entre puntos y punto medio

Objetivos

Calcular la distancia entre dos puntos del plano cartesiano.
Determinar el punto medio de un segmento.
Usar distancia y punto medio para preparar el estudio de circunferencias y zonas de alcance.

Medir en el plano cartesiano

Para resolver problemas con rectas y circunferencias, muchas veces necesitamos medir la distancia entre dos puntos o ubicar el punto que queda justo al centro de un segmento.

Estas herramientas permiten interpretar radios, centros, trayectos, zonas de alcance y puntos de encuentro.

Distancia entre dos puntos

Si $A(x_1,y_1)$ y $B(x_2,y_2)$, entonces la distancia entre ellos es:

\[ d(A,B)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \]

Esta fórmula proviene del teorema de Pitágoras: el cambio horizontal y el cambio vertical forman los catetos de un triángulo rectángulo.

Punto medio

El punto medio del segmento que une $A(x_1,y_1)$ y $B(x_2,y_2)$ es:

\[ M=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right) \]

Es decir, se promedian las coordenadas $x$ y también se promedian las coordenadas $y$.

Ejemplo 1: distancia

Calcula la distancia entre $A(1,2)$ y $B(7,10)$.

Aplicamos la fórmula:

\[ d(A,B)=\sqrt{(7-1)^2+(10-2)^2} \]

\[ d(A,B)=\sqrt{6^2+8^2} \]

\[ d(A,B)=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10 \]

La distancia entre los puntos es $10$ unidades.

Ejemplo 2: punto medio

Determina el punto medio del segmento que une $A(-2,4)$ y $B(6,8)$.

Usamos la fórmula del punto medio:

\[ M=\left(\frac{-2+6}{2},\frac{4+8}{2}\right) \]

\[ M=\left(\frac{4}{2},\frac{12}{2}\right)=(2,6) \]

El punto medio es $M(2,6)$.

Relación con circunferencias

Una circunferencia está formada por todos los puntos que están a una misma distancia de un centro. Por eso, la fórmula de distancia es la base para comprender la ecuación de una circunferencia.

Si $C$ es el centro y $A$ está en la circunferencia, entonces la distancia $d(C,A)$ corresponde al radio.

Error frecuente

No calcules la distancia restando solo las coordenadas $x$ o solo las coordenadas $y$. En el plano, la distancia combina ambos cambios mediante el teorema de Pitágoras.

Ejercicios

Ejercicio 1

Calcula la distancia entre $P(0,0)$ y $Q(3,4)$.

Ejercicio 2

Determina la distancia entre $A(-1,5)$ y $B(5,-3)$.

Ejercicio 3

Calcula el punto medio entre $A(4,-2)$ y $B(10,6)$.

Ejercicio 4

Un centro de distribución está en $C(2,3)$ y una tienda está en $T(8,11)$. Si cada unidad representa $1$ km, ¿a qué distancia están?

Ejercicio 5

El diámetro de una circunferencia tiene extremos $A(-4,1)$ y $B(6,7)$. Determina el centro de la circunferencia.

Ejercicio 6

Explica por qué la distancia entre dos puntos nunca puede ser negativa.

Ejercicio 7

El diámetro de una circunferencia tiene extremos $A(2,-1)$ y $B(8,7)$. Determina el centro y el radio de la circunferencia.

8. Ecuación de la circunferencia y lectura de centro/radio

Ecuación de la circunferencia y lectura de centro/radio

Inicio

En las clases anteriores trabajamos con rectas en el plano cartesiano. Ahora comenzaremos el estudio de otra figura muy importante en geometría analítica: la circunferencia.

En esta página aprenderemos a reconocer su ecuación y a leer, a partir de ella, dos elementos fundamentales:

su centro,
su radio.

La idea es relacionar la expresión algebraica con la figura geométrica en el plano.

Objetivo de la página

Reconocer la ecuación de una circunferencia en el plano.
Leer el centro y el radio a partir de su ecuación.
Distinguir el caso de centro en el origen y el caso de centro trasladado.
Construir la ecuación de una circunferencia a partir de su centro y su radio.

Al finalizar esta página deberías poder

Identificar ecuaciones de circunferencia escritas en forma canónica.
Reconocer el centro y el radio en ecuaciones simples.
Escribir la ecuación de una circunferencia con datos geométricos dados.
Relacionar cambios en la ecuación con cambios en la posición de la circunferencia.

¿Qué es una circunferencia?

Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos del plano que están a una misma distancia fija de un punto llamado centro.

Esa distancia fija se llama radio.

Caso 1: centro en el origen

Si el centro está en el origen $(0,0)$ y el radio es $r$, la ecuación de la circunferencia es:

\[ x^2+y^2=r^2 \]

Por ejemplo, si $r=3$, entonces:

\[ x^2+y^2=9 \]

Caso 2: centro trasladado

Si el centro de la circunferencia es $(h,k)$ y el radio es $r$, la ecuación es:

\[ (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 \]

En esta forma:

el centro es $(h,k)$,
el radio es $r$.

Idea clave

En la ecuación $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$, el centro se lee como $(h,k)$, pero hay que poner atención al signo dentro del paréntesis.

Por ejemplo:

\[ (x-2)^2+(y+3)^2=16 \]

tiene centro $(2,-3)$, no $(2,3)$, porque $y+3=y-(-3)$.

Error frecuente

Al leer el centro, los signos cambian respecto de lo que aparece dentro de los paréntesis.

Por ejemplo:

\[ (x+4)^2+(y-1)^2=25 \]

tiene centro $(-4,1)$.

Resumen conceptual

Formas principales

Ecuación	Centro	Radio
$x^2+y^2=r^2$	$(0,0)$	$r$
$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$	$(h,k)$	$r$

Ejemplo guiado 1: circunferencia con centro en el origen

Consideremos la ecuación:

\[ x^2+y^2=16 \]

Aquí se reconoce directamente la forma:

\[ x^2+y^2=r^2 \]

Por lo tanto:

\[ r^2=16 \]

\[ r=\sqrt{16}=4 \]

Entonces, la circunferencia tiene:

centro en $(0,0)$,
radio $4$.

La circunferencia $x^2+y^2=16$ tiene centro $(0,0)$ y radio $4$.

Ejemplo guiado 2: leer centro y radio en una ecuación trasladada

Consideremos la ecuación:

\[ (x-2)^2+(y+1)^2=9 \]

La comparamos con la forma general:

\[ (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 \]

Entonces:

$h=2$, porque aparece $x-2$,
$k=-1$, porque $y+1=y-(-1)$,
$r^2=9$, por lo tanto $r=3$.

La circunferencia tiene centro $(2,-1)$ y radio $3$.

Ejemplo guiado 3: construir la ecuación a partir del centro y el radio

Supongamos que una circunferencia tiene:

centro $(3,2)$,
radio $5$.

Usamos la forma:

\[ (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 \]

Reemplazando $h=3$, $k=2$ y $r=5$:

\[ (x-3)^2+(y-2)^2=5^2 \]

\[ (x-3)^2+(y-2)^2=25 \]

La ecuación de la circunferencia es $(x-3)^2+(y-2)^2=25$.

Ejemplo guiado 4: cuidado con los signos

Consideremos la ecuación:

\[ (x+4)^2+(y-2)^2=36 \]

Comparando con $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$, se obtiene:

$x+4=x-(-4)$, entonces $h=-4$,
$y-2$, entonces $k=2$,
$r^2=36$, entonces $r=6$.

El centro es $(-4,2)$ y el radio es $6$. No es centro $(4,2)$.

Ejemplo guiado 5: interpretar cambios en la ecuación

Comparemos estas circunferencias:

\[ x^2+y^2=4 \qquad\text{y}\qquad (x-2)^2+y^2=4 \]

En la primera:

centro $(0,0)$,
radio $2$.

En la segunda:

centro $(2,0)$,
radio $2$.

Ambas tienen el mismo radio, pero la segunda está desplazada $2$ unidades hacia la derecha.

Cómo leer rápidamente una circunferencia

Cuando veas una ecuación de circunferencia, conviene revisar:

dónde está el centro,
cuál es el radio,
si está en el origen o trasladada,
si el radio está dado directamente o hay que calcularlo a partir de $r^2$.

Aplicación en el mundo real

Las circunferencias aparecen en ruedas, trayectorias circulares, zonas de cobertura, áreas de influencia y muchos problemas geométricos donde importa una distancia fija respecto de un centro.

Ejercicios

Ejercicio 1

Determina el centro y el radio de la circunferencia:

\[ x^2+y^2=25 \]

Ejercicio 2

Determina el centro y el radio de:

\[ (x-1)^2+(y-4)^2=16 \]

Ejercicio 3

Determina el centro y el radio de:

\[ (x+3)^2+(y+2)^2=49 \]

Ejercicio 4

Escribe la ecuación de la circunferencia con centro $(0,0)$ y radio $6$.

Ejercicio 5

Escribe la ecuación de la circunferencia con centro $(2,-5)$ y radio $3$.

Ejercicio 6

Explica qué diferencia geométrica existe entre:

\[ x^2+y^2=9 \qquad\text{y}\qquad x^2+y^2=25 \]

Ejercicio 7

Explica qué diferencia geométrica existe entre:

\[ x^2+y^2=16 \qquad\text{y}\qquad (x-2)^2+y^2=16 \]

Ejercicio 8

Un estudiante afirma: “La ecuación $(x+1)^2+(y-3)^2=4$ tiene centro $(1,3)$”. ¿Es correcta esa afirmación? Justifica.

Ejercicios tipo PAES

PAES 1

La circunferencia de ecuación $(x-2)^2+(y+1)^2=25$ tiene centro en:

$(2,1)$
$(-2,-1)$
$(2,-1)$
$(-2,1)$

PAES 2

La circunferencia $x^2+y^2=36$ tiene radio:

3
6
12
18

PAES 3

¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa una circunferencia con centro $(0,0)$?

$(x-1)^2+y^2=9$
$(x+2)^2+(y-3)^2=16$
$x^2+y^2=49$
$(x-4)^2+(y+1)^2=25$

PAES 4

La ecuación de la circunferencia con centro $(-2,3)$ y radio $4$ es:

$(x-2)^2+(y-3)^2=16$
$(x+2)^2+(y-3)^2=16$
$(x+2)^2+(y+3)^2=16$
$(x-2)^2+(y+3)^2=16$

Cierre

Síntesis

En esta página estudiamos la ecuación de la circunferencia y aprendimos a leer su centro y su radio a partir de la expresión algebraica.

Vimos el caso de centro en el origen y el caso de centro trasladado, además de construir ecuaciones a partir de datos geométricos.

En la siguiente clase trabajaremos con traslaciones y movimientos de circunferencias en el plano.

Para recordar

$x^2+y^2=r^2$ representa una circunferencia con centro en el origen.
$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ representa una circunferencia con centro $(h,k)$.
El radio se obtiene desde $r^2$.
Hay que tener cuidado con los signos al leer el centro.

9. Traslaciones y movimientos de circunferencias en el plano

Traslaciones y movimientos de circunferencias en el plano

Inicio

En la clase anterior estudiamos la ecuación de la circunferencia y aprendimos a leer su centro y su radio. Ahora daremos un paso más: analizaremos cómo cambia una circunferencia cuando se traslada en el plano y qué movimientos pueden describirse a partir de su ecuación.

La idea central es observar cómo cambia la posición del centro sin perder de vista el radio, y cómo esos cambios se reflejan en la expresión algebraica.

Objetivo de la página

Comprender la traslación de circunferencias en el plano cartesiano.
Relacionar cambios en la ecuación con desplazamientos del centro.
Distinguir entre mover una circunferencia y cambiar su radio.
Interpretar movimientos horizontales y verticales de circunferencias.

Al finalizar esta página deberías poder

Describir cómo se traslada una circunferencia a partir de su ecuación.
Reconocer cuándo una circunferencia mantiene su radio y solo cambia de posición.
Construir la nueva ecuación de una circunferencia después de una traslación.
Comparar geométricamente dos circunferencias a partir de sus ecuaciones.

Recordatorio

La ecuación de una circunferencia con centro $(h,k)$ y radio $r$ es:

\[ (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 \]

Por lo tanto, si cambia el centro, la circunferencia se mueve en el plano.

Traslación

Una traslación es un movimiento que desplaza todos los puntos de una figura la misma cantidad y en la misma dirección.

En una circunferencia, una traslación mueve el centro, pero no cambia el radio.

Idea clave

Si una circunferencia cambia de posición pero conserva su radio, entonces se trata de una traslación.

Si cambia el radio, ya no estamos frente al mismo movimiento, sino ante una modificación del tamaño.

Error frecuente

No hay que confundir mover la circunferencia con agrandarla o achicarla.

Por ejemplo, pasar de $x^2+y^2=9$ a $(x-2)^2+y^2=9$ es una traslación, pero pasar de $x^2+y^2=9$ a $x^2+y^2=16$ cambia el radio.

Resumen conceptual

Cambios en la ecuación

Cambio en la ecuación	Interpretación geométrica
$(x-h)^2+y^2=r^2$	Traslación horizontal del centro a $(h,0)$
$x^2+(y-k)^2=r^2$	Traslación vertical del centro a $(0,k)$
$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$	Traslación horizontal y vertical del centro a $(h,k)$
$(x-h)^2+(y-k)^2=R^2$, con $R\neq r$	Cambio de radio

Ejemplo guiado 1: traslación horizontal

Comparemos las circunferencias:

\[ x^2+y^2=4 \qquad\text{y}\qquad (x-3)^2+y^2=4 \]

En la primera circunferencia:

centro $(0,0)$,
radio $2$.

En la segunda:

centro $(3,0)$,
radio $2$.

{
  "version": 2,
  "meta": { "title": "Traslación horizontal de una circunferencia" },
  "view": { "xMin": -4, "xMax": 7, "yMin": -4, "yMax": 4, "showGrid": true, "showAxes": true, "lockAspect": true },
  "style": { "pointRadius": 5, "pointCaptureRadius": 14, "strokeWidth": 2, "fontSize": 14 },
  "objects": [
    { "id": "C1", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": 0, "y": 0 }, "label": "C1(0,0)" },
    { "id": "P1", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": 2, "y": 0 }, "label": "P1" },
    { "id": "circ1", "kind": "circle", "def": { "kind": "center-through-point", "center": "C1", "through": "P1" } },
    { "id": "C2", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": 3, "y": 0 }, "label": "C2(3,0)" },
    { "id": "P2", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": 5, "y": 0 }, "label": "P2" },
    { "id": "circ2", "kind": "circle", "def": { "kind": "center-through-point", "center": "C2", "through": "P2" } },
    { "id": "mov", "kind": "segment", "def": { "kind": "between-points", "p1": "C1", "p2": "C2" }, "label": "3 unidades" }
  ]
}

La segunda es la misma circunferencia trasladada $3$ unidades hacia la derecha.

Ejemplo guiado 2: traslación vertical

Comparemos ahora:

\[ x^2+y^2=9 \qquad\text{y}\qquad x^2+(y-2)^2=9 \]

La primera tiene centro $(0,0)$ y radio $3$.

La segunda tiene centro $(0,2)$ y radio $3$.

{
  "version": 2,
  "meta": { "title": "Traslación vertical de una circunferencia" },
  "view": { "xMin": -5, "xMax": 5, "yMin": -4, "yMax": 7, "showGrid": true, "showAxes": true, "lockAspect": true },
  "style": { "pointRadius": 5, "pointCaptureRadius": 14, "strokeWidth": 2, "fontSize": 14 },
  "objects": [
    { "id": "C1", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": 0, "y": 0 }, "label": "C1(0,0)" },
    { "id": "P1", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": 3, "y": 0 }, "label": "P1" },
    { "id": "circ1", "kind": "circle", "def": { "kind": "center-through-point", "center": "C1", "through": "P1" } },
    { "id": "C2", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": 0, "y": 2 }, "label": "C2(0,2)" },
    { "id": "P2", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": 3, "y": 2 }, "label": "P2" },
    { "id": "circ2", "kind": "circle", "def": { "kind": "center-through-point", "center": "C2", "through": "P2" } },
    { "id": "mov", "kind": "segment", "def": { "kind": "between-points", "p1": "C1", "p2": "C2" }, "label": "2 unidades" }
  ]
}

La segunda se obtuvo trasladando la primera $2$ unidades hacia arriba. El radio no cambió, así que se trata de una traslación.

Ejemplo guiado 3: traslación horizontal y vertical

Consideremos la circunferencia:

\[ (x-2)^2+(y+1)^2=16 \]

Su centro es $(2,-1)$ y su radio es $4$.

Esto significa que, respecto de la circunferencia $x^2+y^2=16$, hubo una traslación:

$2$ unidades hacia la derecha,
$1$ unidad hacia abajo.

{
  "version": 2,
  "meta": { "title": "Traslación horizontal y vertical" },
  "view": { "xMin": -5, "xMax": 8, "yMin": -6, "yMax": 5, "showGrid": true, "showAxes": true, "lockAspect": true },
  "style": { "pointRadius": 5, "pointCaptureRadius": 14, "strokeWidth": 2, "fontSize": 14 },
  "objects": [
    { "id": "C1", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": 0, "y": 0 }, "label": "C1(0,0)" },
    { "id": "P1", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": 4, "y": 0 }, "label": "P1" },
    { "id": "circ1", "kind": "circle", "def": { "kind": "center-through-point", "center": "C1", "through": "P1" } },
    { "id": "C2", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": 2, "y": -1 }, "label": "C2(2,-1)" },
    { "id": "P2", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": 6, "y": -1 }, "label": "P2" },
    { "id": "circ2", "kind": "circle", "def": { "kind": "center-through-point", "center": "C2", "through": "P2" } },
    { "id": "mov", "kind": "segment", "def": { "kind": "between-points", "p1": "C1", "p2": "C2" }, "label": "traslación" }
  ]
}

La circunferencia se trasladó desde el centro $(0,0)$ hasta el centro $(2,-1)$, manteniendo radio $4$.

Ejemplo guiado 4: mover no es cambiar el radio

Comparemos estas dos circunferencias:

\[ (x-1)^2+(y-2)^2=9 \qquad\text{y}\qquad (x-1)^2+(y-2)^2=25 \]

Ambas tienen el mismo centro:

\[ (1,2) \]

Pero sus radios son distintos:

en la primera, $r=3$,
en la segunda, $r=5$.

Aquí no hubo traslación, porque el centro no cambió. Lo que cambió fue el tamaño de la circunferencia.

Ejemplo guiado 5: construir la ecuación después de una traslación

Supongamos una circunferencia con centro $(1,-2)$ y radio $3$.

Su ecuación es:

\[ (x-1)^2+(y+2)^2=9 \]

Ahora se traslada $4$ unidades hacia la derecha y $2$ unidades hacia arriba.

El nuevo centro será:

\[ (1+4,\,-2+2)=(5,0) \]

Como el radio no cambia, la nueva ecuación es:

\[ (x-5)^2+y^2=9 \]

{
  "version": 2,
  "meta": { "title": "Nueva ecuación después de una traslación" },
  "view": { "xMin": -3, "xMax": 9, "yMin": -6, "yMax": 5, "showGrid": true, "showAxes": true, "lockAspect": true },
  "style": { "pointRadius": 5, "pointCaptureRadius": 14, "strokeWidth": 2, "fontSize": 14 },
  "objects": [
    { "id": "C1", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": 1, "y": -2 }, "label": "C1(1,-2)" },
    { "id": "P1", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": 4, "y": -2 }, "label": "P1" },
    { "id": "circ1", "kind": "circle", "def": { "kind": "center-through-point", "center": "C1", "through": "P1" } },
    { "id": "C2", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": 5, "y": 0 }, "label": "C2(5,0)" },
    { "id": "P2", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": 8, "y": 0 }, "label": "P2" },
    { "id": "circ2", "kind": "circle", "def": { "kind": "center-through-point", "center": "C2", "through": "P2" } },
    { "id": "mov", "kind": "segment", "def": { "kind": "between-points", "p1": "C1", "p2": "C2" }, "label": "+4, +2" }
  ]
}

La circunferencia trasladada tiene centro $(5,0)$, radio $3$ y ecuación $(x-5)^2+y^2=9$.

Cómo leer movimientos en la ecuación

Para interpretar el movimiento de una circunferencia, conviene comparar:

el centro inicial,
el centro final,
el radio inicial y final.

Si el radio se mantiene y el centro cambia, hubo traslación.

Si el centro se mantiene y el radio cambia, no hubo traslación, sino cambio de tamaño.

Aplicación en el mundo real

Los movimientos de circunferencias aparecen al modelar ruedas, trayectorias circulares, zonas de cobertura móviles y desplazamientos de objetos cuyo borde mantiene una distancia fija respecto de un centro.

Ejercicios

Ejercicio 1

Describe el movimiento entre estas circunferencias:

\[ x^2+y^2=16 \qquad\text{y}\qquad (x-3)^2+y^2=16 \]

Ejercicio 2

Describe el movimiento entre:

\[ x^2+y^2=25 \qquad\text{y}\qquad x^2+(y+4)^2=25 \]

Ejercicio 3

Indica el centro y el radio de la circunferencia:

\[ (x-4)^2+(y-1)^2=36 \]

Ejercicio 4

Una circunferencia de centro $(0,0)$ y radio $2$ se traslada $5$ unidades hacia la izquierda y $3$ unidades hacia arriba. Escribe su nueva ecuación.

Ejercicio 5

Una circunferencia tiene ecuación $(x-2)^2+(y+1)^2=9$. Se traslada $1$ unidad hacia la izquierda y $4$ unidades hacia abajo. Escribe la nueva ecuación.

Ejercicio 6

Explica la diferencia geométrica entre:

\[ (x-3)^2+(y-2)^2=9 \qquad\text{y}\qquad (x-3)^2+(y-2)^2=16 \]

Ejercicio 7

Indica si hubo traslación, cambio de radio o ambas cosas entre:

\[ (x-1)^2+y^2=4 \qquad\text{y}\qquad (x-4)^2+(y-2)^2=9 \]

Ejercicio 8

Un estudiante afirma: “Si cambia la ecuación de una circunferencia, entonces siempre cambia el radio”. ¿Es correcta esa afirmación? Justifica.

Ejercicios tipo PAES

PAES 1

La circunferencia $(x-2)^2+y^2=9$, respecto de $x^2+y^2=9$, se ha trasladado:

2 unidades hacia la izquierda
2 unidades hacia la derecha
3 unidades hacia arriba
3 unidades hacia la derecha

PAES 2

¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa una circunferencia con centro $(0,-3)$ y radio $4$?

$x^2+(y+3)^2=16$
$(x-3)^2+y^2=16$
$x^2+(y-3)^2=16$
$(x+3)^2+y^2=16$

PAES 3

Entre las circunferencias $x^2+y^2=25$ y $(x-1)^2+(y-2)^2=25$, se mantiene:

el centro
el radio
la posición en el plano
la ecuación completa

PAES 4

Si una circunferencia tiene ecuación $(x+2)^2+(y-1)^2=9$, entonces su centro es:

$(2,1)$
$(-2,1)$
$(2,-1)$
$(-2,-1)$

Cierre

Síntesis

En esta página estudiamos traslaciones y movimientos de circunferencias en el plano, observando cómo cambian sus ecuaciones cuando el centro se desplaza.

Vimos que una traslación modifica la posición de la circunferencia, pero no su radio. También distinguimos ese caso de los cambios de tamaño.

En la siguiente clase resolveremos problemas integrados con rectas y circunferencias.

Para recordar

Trasladar una circunferencia significa mover su centro.
En una traslación, el radio se mantiene constante.
Si cambia el radio, no se trata solo de una traslación.
La ecuación permite leer con claridad el movimiento realizado.

10. Puntos de encuentro con circunferencias

Objetivos

Interpretar circunferencias como zonas de alcance en el plano cartesiano.
Determinar si dos circunferencias tienen cero, uno o dos puntos de intersección.
Resolver problemas de puntos de encuentro usando centros, radios y distancia.

Circunferencias como zonas de alcance

Si una persona, robot o señal puede desplazarse o alcanzar todos los puntos que están a cierta distancia fija de un centro, esa frontera se puede representar con una circunferencia.

Cuando dos circunferencias se intersectan, sus puntos comunes representan lugares que cumplen simultáneamente ambas condiciones de distancia.

Criterio usando distancia entre centros

Sean dos circunferencias de radios $r_1$ y $r_2$, con centros separados por una distancia $d$.

Si $d>r_1+r_2$, no se intersectan.
Si $d=r_1+r_2$, son tangentes exteriormente y tienen un punto común.
Si $|r_1-r_2|<d<r_1+r_2$, tienen dos puntos de intersección.
Si $d=|r_1-r_2|$ y los radios son distintos, son tangentes interiormente y tienen un punto común.
Si $d<|r_1-r_2|$, una queda dentro de la otra sin intersección.

Si $d=0$ y $r_1=r_2$, entonces las circunferencias coinciden completamente: no hay solo uno o dos puntos comunes, sino infinitos.

Ejemplo 1: dos puntos de encuentro

Dos personas están en $A(0,0)$ y $B(6,0)$. Ambas pueden caminar $5$ km. ¿Existen lugares que estén a $5$ km de ambas?

Los centros están separados por:

\[ d=6 \]

Los radios son:

\[ r_1=5 \qquad\text{y}\qquad r_2=5 \]

Comparamos:

\[ |5-5|<6<5+5 \]

\[ 0<6<10 \]

{
  "version": 2,
  "meta": { "title": "Dos puntos de encuentro" },
  "view": { "xMin": -6, "xMax": 12, "yMin": -7, "yMax": 7, "showGrid": true, "showAxes": true, "lockAspect": true },
  "style": { "pointRadius": 5, "pointCaptureRadius": 14, "strokeWidth": 2, "fontSize": 14 },
  "objects": [
    { "id": "A", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": 0, "y": 0 }, "label": "A(0,0)" },
    { "id": "B", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": 6, "y": 0 }, "label": "B(6,0)" },
    { "id": "R1", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": 5, "y": 0 }, "label": "r=5" },
    { "id": "R2", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": 11, "y": 0 }, "label": "r=5" },
    { "id": "C1", "kind": "circle", "def": { "kind": "center-through-point", "center": "A", "through": "R1" } },
    { "id": "C2", "kind": "circle", "def": { "kind": "center-through-point", "center": "B", "through": "R2" } },
    { "id": "P1", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": 3, "y": 4 }, "label": "P1" },
    { "id": "P2", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": 3, "y": -4 }, "label": "P2" }
  ]
}

Las circunferencias tienen dos puntos de intersección. Existen dos posibles lugares que están a $5$ km de ambas personas.

Ejemplo 2: sin encuentro

Dos antenas están a $20$ km de distancia. Una tiene alcance $8$ km y la otra $7$ km. ¿Se superponen sus fronteras de alcance?

La suma de los radios es:

\[ 8+7=15 \]

Como la distancia entre centros es $20$ km:

\[ 20>15 \]

{
  "version": 2,
  "meta": { "title": "Circunferencias sin intersección" },
  "view": { "xMin": -9, "xMax": 29, "yMin": -10, "yMax": 10, "showGrid": true, "showAxes": true, "lockAspect": true },
  "style": { "pointRadius": 5, "pointCaptureRadius": 14, "strokeWidth": 2, "fontSize": 14 },
  "objects": [
    { "id": "A", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": 0, "y": 0 }, "label": "A" },
    { "id": "B", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": 20, "y": 0 }, "label": "B" },
    { "id": "R1", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": 8, "y": 0 }, "label": "r1=8" },
    { "id": "R2", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": 27, "y": 0 }, "label": "r2=7" },
    { "id": "C1", "kind": "circle", "def": { "kind": "center-through-point", "center": "A", "through": "R1" } },
    { "id": "C2", "kind": "circle", "def": { "kind": "center-through-point", "center": "B", "through": "R2" } },
    { "id": "AB", "kind": "segment", "def": { "kind": "between-points", "p1": "A", "p2": "B" }, "label": "d=20" }
  ]
}

Las circunferencias no se intersectan. No hay puntos que estén exactamente a ambas distancias dadas.

Interpretación

La intersección de circunferencias no es solo un cálculo: representa lugares posibles. Por eso conviene preguntar siempre qué significa cada centro, cada radio y cada punto común.

Ejercicio 1

Dos circunferencias tienen radios $4$ y $6$, y sus centros están a $9$ unidades. ¿Cuántos puntos de intersección tienen?

Ejercicio 2

Dos circunferencias tienen radios $3$ y $5$, y sus centros están a $8$ unidades. Clasifica su posición relativa.

Ejercicio 3

Una estación está en $A(1,2)$ y otra en $B(7,10)$. Calcula la distancia entre ellas.

Ejercicio 4

Usando la distancia del ejercicio anterior, si ambas estaciones tienen alcance $5$, ¿cuántos puntos comunes tienen sus circunferencias de alcance?

Ejercicio 5

Dos circunferencias tienen el mismo centro y radios $4$ y $9$. ¿Tienen puntos de intersección? Explica.

Ejercicio 6

En un problema de encuentro, ¿qué representa un punto de intersección de dos circunferencias?

Atención

La región interior de un círculo no es lo mismo que la circunferencia. La circunferencia representa puntos a distancia exacta del centro; el círculo incluye todos los puntos a distancia menor o igual al radio.

11. Recta y circunferencia: secante, tangente y exterior

Objetivos

Clasificar la posición de una recta respecto de una circunferencia.
Interpretar intersecciones entre rectas y circunferencias en contexto.
Reconocer la tangencia como un caso de un único punto común.

Una trayectoria y una zona circular

Una recta puede representar una trayectoria, un borde, una ruta o una barrera. Una circunferencia puede representar el límite de una zona de alcance, una zona segura o una zona de riesgo.

Comparar una recta con una circunferencia permite decidir si la trayectoria cruza la zona, toca su borde o queda fuera.

Tres posiciones posibles

Secante: la recta corta a la circunferencia en dos puntos.
Tangente: la recta toca a la circunferencia en un solo punto.
Exterior: la recta no tiene puntos comunes con la circunferencia.

Ejemplo 1: intersección algebraica

Clasifica la recta $y=0$ respecto de la circunferencia $x^2+y^2=9$.

Sustituimos $y=0$ en la circunferencia:

\[ x^2+0^2=9 \]

\[ x^2=9 \]

\[ x=-3 \quad \text{o} \quad x=3 \]

Hay dos puntos de intersección: $(-3,0)$ y $(3,0)$. Por lo tanto, la recta es secante.

Ejemplo 2: recta tangente

Clasifica la recta $y=3$ respecto de la circunferencia $x^2+y^2=9$.

Sustituimos $y=3$:

\[ x^2+3^2=9 \]

\[ x^2+9=9 \]

\[ x^2=0 \]

\[ x=0 \]

Hay un solo punto de intersección: $(0,3)$. Por lo tanto, la recta es tangente.

Interpretación con soluciones

Al sustituir la ecuación de la recta en la circunferencia, se obtiene una ecuación. La cantidad de soluciones reales permite clasificar la posición:

dos soluciones reales: recta secante;
una solución real: recta tangente;
ninguna solución real: recta exterior.

Ejercicio 1

Clasifica la recta $y=5$ respecto de la circunferencia $x^2+y^2=9$.

Ejercicio 2

Encuentra los puntos de intersección entre $y=2$ y $x^2+y^2=13$.

Ejercicio 3

Clasifica la recta $x=4$ respecto de la circunferencia $x^2+y^2=16$.

Ejercicio 4

Una zona de riesgo se modela por $x^2+y^2=25$. Una ruta se modela por $y=4$. ¿La ruta cruza la zona, toca el borde o queda fuera?

Ejercicio 5

Explica qué significa, en contexto, que una recta sea tangente a una circunferencia que representa una zona de seguridad.

Ejercicio 6

Una recta y una circunferencia no tienen puntos comunes. ¿Qué puede decirse de la recta respecto de la circunferencia?

Error frecuente

No basta mirar si la recta “parece cerca”. La clasificación depende de cuántos puntos comunes existen entre la recta y la circunferencia.

También es importante distinguir entre circunferencia y círculo: la circunferencia es solo el borde; el círculo incluye el interior.

12. Seguridad en el trabajo: tangente y zona segura

Objetivos

Modelar una zona de seguridad mediante una circunferencia.
Interpretar rectas tangentes como límites seguros.
Fundamentar decisiones usando distancia, radio y posición relativa.

Zona segura y límite

En algunos contextos de seguridad, una máquina, una grúa o una herramienta puede tener una zona de riesgo alrededor de un punto. Esa zona puede modelarse con una circunferencia o un círculo.

Una barrera o ruta será segura si no cruza el interior de la zona de riesgo. Si toca el borde en un solo punto, se interpreta como un límite tangente.

Tangente y radio

Una recta tangente a una circunferencia toca la circunferencia en un solo punto. En ese punto, el radio es perpendicular a la tangente.

Si la distancia desde el centro de la circunferencia a la recta es igual al radio, la recta es tangente.

Criterio de clasificación

Si una circunferencia tiene centro $C$, radio $r$, y la distancia desde el centro a la recta es $d$, entonces:

si $d<r$, la recta es secante;
si $d=r$, la recta es tangente;
si $d>r$, la recta es exterior.

Ejemplo 1: barrera horizontal

Una zona de riesgo se modela por la circunferencia $x^2+y^2=16$. Una barrera se ubica sobre la recta $y=4$. Clasifica la barrera respecto de la zona.

La circunferencia tiene centro $(0,0)$ y radio $4$.

La recta $y=4$ está a distancia $4$ del centro.

Como la distancia del centro a la recta coincide con el radio, la recta es tangente.

{
  "version": 2,
  "meta": { "title": "Barrera tangente a la zona de riesgo" },
  "view": { "xMin": -6, "xMax": 6, "yMin": -5, "yMax": 6, "showGrid": true, "showAxes": true, "lockAspect": true },
  "style": { "pointRadius": 5, "pointCaptureRadius": 14, "strokeWidth": 2, "fontSize": 14 },
  "objects": [
    { "id": "C", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": 0, "y": 0 }, "label": "C(0,0)" },
    { "id": "P", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": 4, "y": 0 }, "label": "r=4" },
    { "id": "T", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": 0, "y": 4 }, "label": "T(0,4)" },
    { "id": "L1", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": -6, "y": 4 }, "label": "" },
    { "id": "L2", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": 6, "y": 4 }, "label": "" },
    { "id": "circ", "kind": "circle", "def": { "kind": "center-through-point", "center": "C", "through": "P" } },
    { "id": "barrera", "kind": "line", "def": { "kind": "through-points", "p1": "L1", "p2": "L2" }, "label": "y=4" },
    { "id": "radio", "kind": "segment", "def": { "kind": "between-points", "p1": "C", "p2": "T" }, "label": "radio" }
  ]
}

La barrera toca el borde de la zona de riesgo en un solo punto. Por lo tanto, es tangente.

Ejemplo 2: ruta que cruza la zona

La misma zona de riesgo es $x^2+y^2=16$. Una ruta se modela por $y=2$. ¿Cruza la zona?

Sustituimos $y=2$:

\[ x^2+2^2=16 \]

\[ x^2+4=16 \]

\[ x^2=12 \]

Como $x^2=12$ tiene dos soluciones reales, la recta corta la circunferencia en dos puntos.

{
  "version": 2,
  "meta": { "title": "Ruta secante a la zona de riesgo" },
  "view": { "xMin": -6, "xMax": 6, "yMin": -5, "yMax": 6, "showGrid": true, "showAxes": true, "lockAspect": true },
  "style": { "pointRadius": 5, "pointCaptureRadius": 14, "strokeWidth": 2, "fontSize": 14 },
  "objects": [
    { "id": "C", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": 0, "y": 0 }, "label": "C(0,0)" },
    { "id": "P", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": 4, "y": 0 }, "label": "r=4" },
    { "id": "L1", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": -6, "y": 2 }, "label": "" },
    { "id": "L2", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": 6, "y": 2 }, "label": "" },
    { "id": "A", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": -3.464, "y": 2 }, "label": "A" },
    { "id": "B", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": 3.464, "y": 2 }, "label": "B" },
    { "id": "circ", "kind": "circle", "def": { "kind": "center-through-point", "center": "C", "through": "P" } },
    { "id": "ruta", "kind": "line", "def": { "kind": "through-points", "p1": "L1", "p2": "L2" }, "label": "y=2" }
  ]
}

La recta cruza la circunferencia y pasa por el interior de la zona de riesgo.

Decisión de seguridad

En un modelo de seguridad, una distancia exacta al borde puede no ser suficiente. En la práctica se suelen agregar márgenes extra, porque las mediciones, movimientos y condiciones reales pueden variar.

Ejercicio 1

Una zona de riesgo tiene centro $(0,0)$ y radio $6$. Clasifica la recta $y=6$.

Ejercicio 2

Para la misma zona de radio $6$, clasifica la recta $y=8$.

Ejercicio 3

Para la misma zona de radio $6$, clasifica la recta $y=3$.

Ejercicio 4

Una máquina está ubicada en $(2,1)$ y su radio de riesgo es $5$. Escribe la ecuación de la circunferencia que representa el borde de la zona de riesgo.

Ejercicio 5

Explica por qué, en un contexto de seguridad, puede ser insuficiente que una barrera sea tangente a la zona de riesgo.

Ejercicio 6

Una zona de riesgo se modela por $x^2+y^2=25$. ¿La recta $y=-5$ es tangente? Justifica.

Para recordar

La geometría analítica ayuda a justificar decisiones: una recta tangente, secante o exterior no solo es una clasificación, sino una interpretación sobre seguridad, alcance o trayectoria.

13. Problemas integrados con rectas y circunferencias

Problemas integrados con rectas y circunferencias

Inicio

En las clases anteriores estudiamos por separado las rectas y las circunferencias en el plano. Ahora daremos un paso más: resolveremos problemas integrados en los que ambas figuras aparecen al mismo tiempo.

La idea es combinar lo aprendido sobre:

pendiente y ecuación de la recta,
paralelismo e intersección,
centro y radio de la circunferencia,
traslaciones y lectura geométrica en el plano.

En esta página trabajaremos problemas donde una recta y una circunferencia se relacionan en un mismo sistema de ejes, interpretando puntos, posiciones y ecuaciones.

Objetivo de la página

Integrar el estudio de rectas y circunferencias en el plano cartesiano.
Interpretar situaciones geométricas que involucren ambas figuras.
Resolver problemas sencillos de pertenencia, intersección y lectura gráfica.
Relacionar ecuaciones con configuraciones geométricas.

Al finalizar esta página deberías poder

Decidir si un punto pertenece a una recta, a una circunferencia o a ambas.
Interpretar si una recta corta, toca o no alcanza una circunferencia.
Usar la ecuación de una recta y de una circunferencia en un mismo problema.
Resolver problemas geométricos integrando varias ideas de la unidad.

Ideas que se integran

En esta clase conviene tener presentes dos formas fundamentales:

Recta:

\[ y=mx+n \]

Circunferencia:

\[ (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 \]

La primera nos permite leer inclinación y posición de la recta. La segunda nos permite leer centro y radio de la circunferencia.

Idea clave

Un problema integrado no exige aprender una figura nueva, sino coordinar varias ideas ya conocidas dentro de una misma situación.

Atención

Cuando trabajes con rectas y circunferencias a la vez, conviene revisar siempre:

qué información entrega cada ecuación,
qué representa cada punto,
si la pregunta es algebraica, geométrica o ambas.

Resumen conceptual

Elementos a observar

Elemento	Qué conviene observar
Recta	Pendiente, intersección con el eje $y$, puntos por los que pasa
Circunferencia	Centro, radio, posición en el plano
Punto	Si satisface una ecuación, ambas o ninguna
Relación entre ambas figuras	Si la recta corta, toca o queda fuera de la circunferencia

Ejemplo guiado 1: un punto que pertenece a una recta y a una circunferencia

Consideremos:

\[ \text{Recta: } y=x \qquad\qquad \text{Circunferencia: } x^2+y^2=2 \]

Estudiemos el punto $P(1,1)$.

Primero revisamos si pertenece a la recta:

\[ y=x \Rightarrow 1=1 \]

Sí pertenece a la recta.

Ahora revisamos si pertenece a la circunferencia:

\[ x^2+y^2=2 \]

\[ 1^2+1^2=2 \]

\[ 2=2 \]

También pertenece a la circunferencia.

{
  "version": 2,
  "meta": { "title": "Punto común entre recta y circunferencia" },
  "view": { "xMin": -3, "xMax": 3, "yMin": -3, "yMax": 3, "showGrid": true, "showAxes": true, "lockAspect": true },
  "style": { "pointRadius": 5, "pointCaptureRadius": 14, "strokeWidth": 2, "fontSize": 14 },
  "objects": [
    { "id": "O", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": 0, "y": 0 }, "label": "O" },
    { "id": "P", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": 1, "y": 1 }, "label": "P(1,1)" },
    { "id": "Q", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": -1, "y": -1 }, "label": "Q" },
    { "id": "L1", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": -3, "y": -3 }, "label": "" },
    { "id": "L2", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": 3, "y": 3 }, "label": "" },
    { "id": "circ", "kind": "circle", "def": { "kind": "center-through-point", "center": "O", "through": "P" } },
    { "id": "recta", "kind": "line", "def": { "kind": "through-points", "p1": "L1", "p2": "L2" }, "label": "y=x" }
  ]
}

El punto $P(1,1)$ pertenece a ambas figuras.

Ejemplo guiado 2: una recta secante a una circunferencia

Consideremos la circunferencia:

\[ x^2+y^2=9 \]

y la recta:

\[ y=1 \]

La circunferencia tiene centro $(0,0)$ y radio $3$.

La recta $y=1$ es horizontal y se ubica a una distancia $1$ del centro, menor que el radio.

También podemos sustituir $y=1$:

\[ x^2+1^2=9 \]

\[ x^2=8 \]

Como hay dos soluciones reales, la recta corta a la circunferencia en dos puntos.

{
  "version": 2,
  "meta": { "title": "Recta secante a una circunferencia" },
  "view": { "xMin": -5, "xMax": 5, "yMin": -5, "yMax": 5, "showGrid": true, "showAxes": true, "lockAspect": true },
  "style": { "pointRadius": 5, "pointCaptureRadius": 14, "strokeWidth": 2, "fontSize": 14 },
  "objects": [
    { "id": "O", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": 0, "y": 0 }, "label": "O" },
    { "id": "R", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": 3, "y": 0 }, "label": "r=3" },
    { "id": "L1", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": -5, "y": 1 }, "label": "" },
    { "id": "L2", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": 5, "y": 1 }, "label": "" },
    { "id": "A", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": -2.828, "y": 1 }, "label": "A" },
    { "id": "B", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": 2.828, "y": 1 }, "label": "B" },
    { "id": "circ", "kind": "circle", "def": { "kind": "center-through-point", "center": "O", "through": "R" } },
    { "id": "recta", "kind": "line", "def": { "kind": "through-points", "p1": "L1", "p2": "L2" }, "label": "y=1" }
  ]
}

La recta es secante a la circunferencia.

Ejemplo guiado 3: una recta tangente a una circunferencia

Consideremos nuevamente la circunferencia:

\[ x^2+y^2=9 \]

y ahora la recta:

\[ y=3 \]

La circunferencia tiene radio $3$ y centro en el origen.

La recta $y=3$ está exactamente a una distancia $3$ del centro.

Sustituyendo:

\[ x^2+3^2=9 \]

\[ x^2=0 \]

\[ x=0 \]

{
  "version": 2,
  "meta": { "title": "Recta tangente a una circunferencia" },
  "view": { "xMin": -5, "xMax": 5, "yMin": -5, "yMax": 5, "showGrid": true, "showAxes": true, "lockAspect": true },
  "style": { "pointRadius": 5, "pointCaptureRadius": 14, "strokeWidth": 2, "fontSize": 14 },
  "objects": [
    { "id": "O", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": 0, "y": 0 }, "label": "O" },
    { "id": "R", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": 3, "y": 0 }, "label": "r=3" },
    { "id": "T", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": 0, "y": 3 }, "label": "T(0,3)" },
    { "id": "L1", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": -5, "y": 3 }, "label": "" },
    { "id": "L2", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": 5, "y": 3 }, "label": "" },
    { "id": "circ", "kind": "circle", "def": { "kind": "center-through-point", "center": "O", "through": "R" } },
    { "id": "recta", "kind": "line", "def": { "kind": "through-points", "p1": "L1", "p2": "L2" }, "label": "y=3" },
    { "id": "radio", "kind": "segment", "def": { "kind": "between-points", "p1": "O", "p2": "T" }, "label": "radio" }
  ]
}

La recta toca a la circunferencia en un solo punto: $(0,3)$. Por eso es tangente.

Ejemplo guiado 4: una recta exterior a una circunferencia

Tomemos otra vez:

\[ x^2+y^2=9 \qquad\text{y}\qquad y=5 \]

La circunferencia tiene centro $(0,0)$ y radio $3$.

La recta $y=5$ se encuentra a distancia $5$ del centro.

Como $5>3$, no la corta ni la toca.

La recta es exterior a la circunferencia.

Ejemplo guiado 5: problema integrado con centro, radio y una recta

Sea la circunferencia:

\[ (x-2)^2+(y-1)^2=4 \]

y la recta:

\[ x=2 \]

La circunferencia tiene:

centro $(2,1)$,
radio $2$.

La recta $x=2$ es una recta vertical que pasa justamente por la coordenada horizontal del centro.

Para encontrar sus puntos de intersección, sustituimos $x=2$:

\[ (2-2)^2+(y-1)^2=4 \]

\[ (y-1)^2=4 \]

\[ y-1=-2 \quad \text{o} \quad y-1=2 \]

\[ y=-1 \quad \text{o} \quad y=3 \]

{
  "version": 2,
  "meta": { "title": "Recta vertical y circunferencia trasladada" },
  "view": { "xMin": -2, "xMax": 6, "yMin": -3, "yMax": 5, "showGrid": true, "showAxes": true, "lockAspect": true },
  "style": { "pointRadius": 5, "pointCaptureRadius": 14, "strokeWidth": 2, "fontSize": 14 },
  "objects": [
    { "id": "C", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": 2, "y": 1 }, "label": "C(2,1)" },
    { "id": "R", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": 4, "y": 1 }, "label": "r=2" },
    { "id": "A", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": 2, "y": -1 }, "label": "A(2,-1)" },
    { "id": "B", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": 2, "y": 3 }, "label": "B(2,3)" },
    { "id": "L1", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": 2, "y": -3 }, "label": "" },
    { "id": "L2", "kind": "point", "def": { "kind": "free", "x": 2, "y": 5 }, "label": "" },
    { "id": "circ", "kind": "circle", "def": { "kind": "center-through-point", "center": "C", "through": "R" } },
    { "id": "recta", "kind": "line", "def": { "kind": "through-points", "p1": "L1", "p2": "L2" }, "label": "x=2" }
  ]
}

La recta corta a la circunferencia en dos puntos: $(2,-1)$ y $(2,3)$. Por lo tanto, es secante.

Cómo abordar un problema integrado

Cuando aparezcan una recta y una circunferencia en el mismo ejercicio, conviene:

leer primero la recta: pendiente, tipo y posición;
leer luego la circunferencia: centro y radio;
interpretar cómo están ubicadas una respecto de la otra;
revisar si la pregunta pide justificar con ecuaciones, con gráfica o con ambas.

Aplicación en el mundo real

Problemas de este tipo aparecen al estudiar trayectorias circulares cortadas por caminos rectos, ruedas respecto de superficies, zonas de alcance respecto de trayectorias lineales y muchas configuraciones geométricas en diseño, física y tecnología.

Ejercicios

Ejercicio 1

Determina si el punto $A(3,4)$ pertenece a la circunferencia:

\[ x^2+y^2=25 \]

Ejercicio 2

Determina si el punto $B(2,2)$ pertenece a la recta $y=x$, a la circunferencia $x^2+y^2=8$, o a ambas.

Ejercicio 3

Describe la relación entre la recta $y=4$ y la circunferencia $x^2+y^2=9$.

Ejercicio 4

Describe la relación entre la recta $y=3$ y la circunferencia $x^2+y^2=9$.

Ejercicio 5

Describe la relación entre la recta $y=1$ y la circunferencia $x^2+y^2=9$.

Ejercicio 6

La circunferencia $(x-1)^2+(y+2)^2=16$ tiene centro $(1,-2)$ y radio $4$. Explica por qué la recta $x=1$ la atraviesa.

Ejercicio 7

Escribe la ecuación de una recta horizontal que sea tangente a la circunferencia $x^2+y^2=16$ por arriba.

Ejercicio 8

Un estudiante afirma: “Si una recta pasa por el centro de una circunferencia, entonces es tangente”. ¿Es correcta esa afirmación? Justifica.

Ejercicios tipo PAES

PAES 1

El punto $(3,4)$ pertenece a la circunferencia:

$x^2+y^2=20$
$x^2+y^2=25$
$x^2+y^2=30$
$x^2+y^2=35$

PAES 2

La recta $y=3$ respecto de la circunferencia $x^2+y^2=9$ es:

secante
tangente
exterior
vertical

PAES 3

La recta $y=5$ respecto de la circunferencia $x^2+y^2=9$ es:

tangente
secante
exterior
coincidente

PAES 4

Si una circunferencia tiene centro $(2,1)$, ¿cuál de las siguientes rectas verticales pasa por el centro?

$x=1$
$x=2$
$y=1$
$y=2$

Cierre

Síntesis

En esta página resolvimos problemas integrados con rectas y circunferencias, combinando varias ideas trabajadas en las clases anteriores.

Vimos cómo analizar puntos, relaciones geométricas e interpretaciones entre ambas figuras dentro del mismo plano cartesiano.

En la siguiente clase realizaremos la evaluación final integradora y cierre previo a la etapa PAES.

Para recordar

Un punto puede pertenecer a una recta, a una circunferencia, a ambas o a ninguna.
Una recta puede ser secante, tangente o exterior respecto de una circunferencia.
Leer bien centro, radio y posición de la recta facilita mucho el análisis.
Los problemas integrados exigen conectar ideas, no aprender una figura nueva.

Sitio:	MATEMÁTICAS × Profe Arauco
Curso:	Media 4
Libro:	Libro de geometria analitica rectas y circunsferencia

Imprimido por:	Invitado
Día:	jueves, 23 de julio de 2026, 19:09

Ecuación	Centro	Radio
\(x^2+y^2=r^2\)	\((0,0)\)	\(r\)
\((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)	\((h,k)\)	\(r\)

Cambio en la ecuación	Interpretación geométrica
\((x-h)^2+y^2=r^2\)	Traslación horizontal del centro a \((h,0)\)
\(x^2+(y-k)^2=r^2\)	Traslación vertical del centro a \((0,k)\)
\((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)	Traslación horizontal y vertical del centro a \((h,k)\)
\((x-h)^2+(y-k)^2=R^2\), con \(R\neq r\)	Cambio de radio

Elemento	Interpretación
Eje \(x\)	Eje horizontal
Eje \(y\)	Eje vertical
Origen	Punto \((0,0)\)
Recta creciente	Sube al avanzar hacia la derecha
Recta decreciente	Baja al avanzar hacia la derecha
Recta horizontal	Tiene altura constante: \(y=k\)
Recta vertical	Tiene valor de \(x\) constante: \(x=k\)

Punto	Signo de \(x\)	Signo de \(y\)	Cuadrante
\(A(2,3)\)	Positivo	Positivo	I
\(B(-3,2)\)	Negativo	Positivo	II
\(C(-2,-3)\)	Negativo	Negativo	III
\(D(3,-2)\)	Positivo	Negativo	IV

Recta	Lectura geométrica
\(y=x\)	Creciente: sube al avanzar hacia la derecha.
\(y=-x\)	Decreciente: baja al avanzar hacia la derecha.
\(y=2\)	Horizontal: mantiene siempre la misma altura.
\(x=2\)	Vertical: mantiene siempre el mismo valor de \(x\).

Tipo de recta	Pendiente	Interpretación
Creciente	\(m>0\)	Sube al avanzar hacia la derecha
Decreciente	\(m<0\)	Baja al avanzar hacia la derecha
Horizontal	\(m=0\)	La altura no cambia
Vertical	No definida	No hay avance horizontal

Expresión	Tipo o elemento	Interpretación
\(y=mx\)	Función lineal	Pasa por el origen
\(y=mx+n\), con \(n\neq 0\)	Función afín	Corta al eje \(y\) en \((0,n)\)
\(m\)	Pendiente	Indica inclinación o tasa de cambio
\(n\)	Coeficiente de posición	Indica intersección con el eje \(y\)

Relación entre rectas	Condición	Consecuencia geométrica
Paralelas	\(m_1=m_2\) y \(n_1\neq n_2\)	No se cortan
Secantes	\(m_1\neq m_2\)	Se cortan en un punto
Coincidentes	\(m_1=m_2\) y \(n_1=n_2\)	Son la misma recta

Forma	Expresión	Ventaja principal
Cartesiana	\(y=mx+n\)	Permite leer pendiente e intersección con el eje \(y\)
General	\(Ax+By+C=0\)	Representa todas las rectas, incluidas las verticales

Elemento	Qué conviene observar
Recta	Pendiente, intersección con el eje \(y\), puntos por los que pasa
Circunferencia	Centro, radio, posición en el plano
Punto	Si satisface una ecuación, ambas o ninguna
Relación entre ambas figuras	Si la recta corta, toca o queda fuera de la circunferencia

Libro de geometria analitica rectas y circunsferencia

Tabla de contenidos

1. Recordatorio del plano cartesiano y lectura geométrica de rectas

Recordatorio del plano cartesiano y lectura geométrica de rectas

Inicio

Objetivo de la página

Al finalizar esta página deberías poder

Recordatorio básico

Cuadrantes

Idea clave

Error frecuente

Resumen conceptual

Ejemplo guiado 1: lectura de puntos en el plano

Ejemplo guiado 2: primera lectura geométrica de una recta

Ejemplo guiado 3: tipos de rectas según su orientación

Ejercicios

Ejercicio 1: ubicación de puntos

Ejercicio 2: orden de las coordenadas

Ejercicio 3: clasificación de rectas

Ejercicio 4: lectura de rectas a partir de puntos

Ejercicio 5: interpretación de una gráfica

2. Pendiente e interpretación

Pendiente e interpretación

Inicio

Objetivo de la página

Al finalizar esta página deberías poder

Definición

Lectura intuitiva

Idea clave

Error frecuente

Resumen conceptual

Ejemplo guiado 1: calcular la pendiente a partir de dos puntos

Ejemplo guiado 2: comparar pendientes

Ejemplo guiado 3: pendiente nula

Ejemplo guiado 4: pendiente no definida

Ejemplo guiado 5: interpretación en contexto

Lectura de la pendiente

Aplicación en el mundo real

Ejercicios

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Ejercicio 4

Ejercicio 5

Ejercicio 6

Ejercicio 7

Ejercicio 8

Ejercicio 9

Ejercicios tipo PAES

PAES 1

PAES 2

PAES 3

PAES 4

Cierre

Síntesis

Para recordar

3. Ecuación de la recta y relación con función lineal y afín

Ecuación de la recta y relación con función lineal y afín

Inicio

Objetivo de la página

Al finalizar esta página deberías poder

Forma de la ecuación de una recta

Lectura de los coeficientes

Función lineal y función afín

Idea clave

Error frecuente

Resumen conceptual

Ejemplo guiado 1: leer una ecuación de recta

Ejemplo guiado 2: función lineal y función afín

Ejemplo guiado 3: construir la ecuación a partir de pendiente e intersección

Ejemplo guiado 4: lectura desde una tabla

Ejemplo guiado 5: interpretación en contexto

Cómo leer una recta desde su ecuación

Aplicación en el mundo real

Ejercicios

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Ejercicio 4

Ejercicio 5