ecuacion cuadratica
| Sitio: | MATEMÁTICAS × Profe Arauco |
| Curso: | Media 2 |
| Libro: | ecuacion cuadratica |
| Imprimido por: | Invitado |
| Día: | jueves, 23 de abril de 2026, 10:44 |
Tabla de contenidos
- 1. Introducción a la Ecuación Cuadrática
- 2. Demostración de la Fórmula Cuadrática
- 3. Discriminante y raíces de una ecuación cuadrática
- 4. Método para ecuaciones cuadráticas con \( b = 0 \)
- 5. Método para ecuaciones cuadráticas con \( c = 0 \)
- 6. Método de factorización directa para ecuaciones cuadráticas (\(a=1\))
- 7. Ecuaciones cuadráticas en formas no generales
- 8. Problemas con ecuaciones cuadráticas
- 9. Opcional: Método de factorización por agrupación para ecuaciones cuadráticas
- 10. Opcional pero Importante: Método de completación de cuadrados
- 11. Heehhe
- 12. Hxh
1. Introducción a la Ecuación Cuadrática
Introducción a la ecuación cuadrática
Objetivos de aprendizaje
- Reconocer qué es una ecuación cuadrática.
- Identificar su forma general y sus coeficientes.
- Comprender qué significa resolver una ecuación cuadrática.
- Relacionar este tipo de ecuaciones con situaciones matemáticas y reales.
Una ecuación cuadrática es una ecuación algebraica en la que la mayor potencia de la incógnita es 2.
Su forma general es:
\[ ax^2+bx+c=0 \]
donde \(a\), \(b\) y \(c\) son números reales, y se debe cumplir que \(a\neq 0\).
En la ecuación
\[ ax^2+bx+c=0, \]
cada término cumple una función:
- \(a\) es el coeficiente del término cuadrático \(x^2\),
- \(b\) es el coeficiente del término lineal \(x\),
- \(c\) es el término independiente.
Si \(a=0\), la ecuación deja de ser cuadrática y pasa a ser de otro tipo.
No toda expresión con una \(x^2\) es automáticamente una ecuación cuadrática completa. Para hablar de ecuación, debe haber una igualdad, y para que sea cuadrática, el mayor exponente de la incógnita debe ser 2.
¿Qué significa resolver una ecuación cuadrática?
Resolver una ecuación cuadrática significa encontrar los valores de \(x\) que hacen verdadera la igualdad.
Esos valores se llaman soluciones o raíces de la ecuación.
Dependiendo de la ecuación, puede ocurrir que tenga:
- dos soluciones reales distintas,
- una solución real doble,
- o ninguna solución real.
Más adelante estudiaremos cómo reconocer cada caso y qué información entrega el discriminante.
¿Dónde aparecen las ecuaciones cuadráticas?
Las ecuaciones cuadráticas aparecen en muchos temas de matemáticas y en situaciones del mundo real. Por ejemplo:
- en problemas de áreas y dimensiones,
- en trayectorias de objetos lanzados,
- en optimización de medidas, costos o ganancias,
- en relaciones numéricas entre suma, producto y diferencia.
Práctica guiada
En esta práctica no resolveremos ecuaciones. Solo aprenderemos a reconocer si una ecuación es cuadrática e identificar sus coeficientes.
Ejemplo 1: identificar \(a\), \(b\) y \(c\)
Observa la ecuación:
\[ 3x^2-2x+5=0 \]
La comparamos con la forma general:
\[ ax^2+bx+c=0 \]
Entonces:
\[ a=3,\qquad b=-2,\qquad c=5 \]
El coeficiente de \(x\) incluye su signo. Por eso aquí \(b=-2\), no \(b=2\).
Ejemplo 2: reconocer si una ecuación es cuadrática
Observa la ecuación:
\[ 4x-7=0 \]
Nos preguntamos: ¿el mayor exponente de \(x\) es 2?
No. Aquí el mayor exponente de \(x\) es 1.
Por lo tanto, no es una ecuación cuadrática. Es una ecuación lineal.
Para que una ecuación sea cuadrática, el mayor exponente de la incógnita debe ser 2 y el coeficiente de \(x^2\) debe ser distinto de 0.
¿Qué estudiaremos después?
En las siguientes secciones veremos distintos caminos para trabajar con ecuaciones cuadráticas.
- Primero estudiaremos cómo se obtiene la fórmula cuadrática.
- Luego analizaremos el discriminante y el tipo de raíces.
- Después revisaremos métodos especiales según la forma de la ecuación.
La fórmula cuadrática permite resolver ecuaciones de la forma
\[ ax^2+bx+c=0, \]
pero en esta sección solo la presentamos como una herramienta importante del tema. Su demostración y uso sistemático se desarrollan en las páginas siguientes.
Parte A: encontrar \(a\), \(b\) y \(c\)
Ejercicio 1
Identifica los coeficientes \(a\), \(b\) y \(c\) en la ecuación:
\[ 2x^2+5x-3=0 \]
Comparando con la forma general \(ax^2+bx+c=0\):
\[ a=2,\qquad b=5,\qquad c=-3 \]
Ejercicio 2
Identifica los coeficientes \(a\), \(b\) y \(c\) en la ecuación:
\[ x^2-7x+4=0 \]
Recordemos que cuando no se escribe un coeficiente, vale 1.
\[ a=1,\qquad b=-7,\qquad c=4 \]
Ejercicio 3
Identifica los coeficientes \(a\), \(b\) y \(c\) en la ecuación:
\[ -3x^2+8x=0 \]
Aunque no se vea término independiente, está presente como 0:
\[ a=-3,\qquad b=8,\qquad c=0 \]
Ejercicio 4
Identifica los coeficientes \(a\), \(b\) y \(c\) en la ecuación:
\[ 4x^2-9=0 \]
Aquí no aparece término lineal, por lo tanto su coeficiente es 0:
\[ a=4,\qquad b=0,\qquad c=-9 \]
Ejercicio 5
Ordena la ecuación en la forma general e identifica \(a\), \(b\) y \(c\):
\[ 6-2x+x^2=0 \]
Primero ordenamos:
\[ x^2-2x+6=0 \]
Entonces:
\[ a=1,\qquad b=-2,\qquad c=6 \]
Parte B: reconocer la ecuación cuadrática
Ejercicio 6
Indica si la siguiente ecuación es cuadrática o no. Justifica brevemente:
\[ 5x+2=0 \]
No es una ecuación cuadrática.
Es una ecuación lineal, porque el mayor exponente de \(x\) es 1.
Ejercicio 7
Indica si la siguiente ecuación es cuadrática o no. Justifica brevemente:
\[ 3x^2-4x+1=0 \]
Sí es una ecuación cuadrática.
El mayor exponente de \(x\) es 2 y el coeficiente de \(x^2\) es distinto de 0.
Ejercicio 8
Indica si la siguiente ecuación es cuadrática o no. Justifica brevemente:
\[ x^3-2x+1=0 \]
No es una ecuación cuadrática.
Es una ecuación cúbica, porque el mayor exponente de \(x\) es 3.
Ejercicio 9
Indica si la siguiente ecuación es cuadrática o no. Justifica brevemente:
\[ -x^2+7=0 \]
Sí es una ecuación cuadrática.
El mayor exponente de \(x\) es 2 y el coeficiente del término cuadrático es \(-1\), que es distinto de 0.
Ejercicio 10
Indica si la siguiente ecuación es cuadrática o no. Justifica brevemente:
\[ 0x^2+4x-3=0 \]
No es una ecuación cuadrática.
Aunque aparece \(x^2\), su coeficiente es 0, así que en realidad queda:
\[ 4x-3=0 \]
Eso corresponde a una ecuación lineal.
Ejercicio 11
Indica si la siguiente ecuación es cuadrática o no. Justifica brevemente:
\[ 7-3x+x^2=0 \]
Primero la ordenamos:
\[ x^2-3x+7=0 \]
Sí es una ecuación cuadrática, porque el mayor exponente de \(x\) es 2.
Ejercicio 12
Completa la tabla mentalmente e indica cuáles de las siguientes expresiones son ecuaciones cuadráticas:
\[ x^2+1=0,\qquad 4x-9=0,\qquad 2x^2+3x=5,\qquad x^4-x=0 \]
Analizamos una por una:
- \(x^2+1=0\): sí es cuadrática.
- \(4x-9=0\): no, es lineal.
- \(2x^2+3x=5\): sí, porque puede escribirse como \(2x^2+3x-5=0\).
- \(x^4-x=0\): no, es de cuarto grado.
Comprender qué es una ecuación cuadrática, cómo reconocerla y qué representan sus coeficientes es el primer paso antes de estudiar sus métodos de resolución.
2. Demostración de la Fórmula Cuadrática
Demostración de la fórmula cuadrática
Objetivo de aprendizaje
Comprender cómo se obtiene la fórmula cuadrática a partir de la ecuación general de segundo grado mediante el procedimiento de completar el cuadrado.
En la introducción vimos qué es una ecuación cuadrática y cómo reconocer su forma general. Ahora daremos un paso más: veremos de dónde sale la fórmula cuadrática.
La idea central no es memorizar una expresión, sino entender que la fórmula se obtiene transformando la ecuación en un cuadrado perfecto.
Partimos de la forma general:
\[ ax^2+bx+c=0, \qquad a\neq 0 \]
Queremos despejar \(x\) usando transformaciones algebraicas equivalentes.
Idea central: completar el cuadrado
Si logramos transformar una expresión cuadrática en una forma como
\[ (x+m)^2=n, \]
entonces podemos aplicar raíz cuadrada en ambos lados y despejar la incógnita.
Ese es el corazón de la demostración.
Cuando una expresión tiene la forma
\[ x^2+px, \]
el número que se agrega para formar un cuadrado perfecto es
\[ \left(\frac{p}{2}\right)^2. \]
Esto se debe a que
\[ (x+k)^2=x^2+2kx+k^2. \]
Demostración paso a paso
Obtención de la fórmula general
Paso 1: Partimos de la ecuación general:
\[ ax^2+bx+c=0 \]
Paso 2: Dividimos toda la ecuación por \(a\), para que el coeficiente de \(x^2\) sea 1:
\[ x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0 \]
Paso 3: Movemos el término independiente al lado derecho:
\[ x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a} \]
Paso 4: Completamos el cuadrado. El término que debemos agregar es:
\[ \left(\frac{1}{2}\cdot \frac{b}{a}\right)^2=\left(\frac{b}{2a}\right)^2 \]
Sumamos ese valor en ambos lados:
\[ x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2 \]
Paso 5: Reescribimos el lado izquierdo como un cuadrado perfecto:
\[ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2} \]
Paso 6: Escribimos el lado derecho con denominador común:
\[ -\frac{c}{a}=-\frac{4ac}{4a^2} \]
Entonces:
\[ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2} \]
Paso 7: Aplicamos raíz cuadrada en ambos lados:
\[ x+\frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} \]
\[ x+\frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]
Paso 8: Despejamos \(x\):
\[ x= -\frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]
Paso 9: Unificamos en una sola fracción:
\[ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]
Conclusión: así se obtiene la fórmula cuadrática.
Si
\[ ax^2+bx+c=0, \qquad a\neq 0, \]
entonces sus soluciones están dadas por:
\[ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]
- El símbolo \(\pm\) indica que pueden aparecer dos soluciones.
- La expresión \(b^2-4ac\) será muy importante después, porque permite analizar el tipo de raíces de la ecuación.
¿Qué muestra esta demostración?
La fórmula general no aparece por casualidad: se construye al transformar la ecuación en una expresión equivalente donde se puede aplicar raíz cuadrada.
Por eso, entender esta demostración ayuda a ver la fórmula como una consecuencia del álgebra, y no como una regla aislada para memorizar.
Ejemplo breve de aplicación
Aplicar la fórmula a \(x^2-5x+6=0\)
Identificamos los coeficientes:
\[ a=1,\qquad b=-5,\qquad c=6 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6}}{2\cdot 1} \]
\[ x=\frac{5\pm\sqrt{25-24}}{2} \]
\[ x=\frac{5\pm 1}{2} \]
\[ x=3 \qquad \text{y} \qquad x=2 \]
Soluciones: \(x=3\) y \(x=2\).
Ejercicios propuestos
Aplica la fórmula cuadrática en las siguientes ecuaciones. En cada caso, identifica primero los coeficientes \(a\), \(b\) y \(c\).
Ejercicio 1
Resuelve:
\[ x^2-5x+6=0 \]
Identificamos:
\[ a=1,\qquad b=-5,\qquad c=6 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6}}{2\cdot 1} \]
\[ x=\frac{5\pm\sqrt{25-24}}{2} \]
\[ x=\frac{5\pm 1}{2} \]
\[ x=3 \qquad \text{y} \qquad x=2 \]
Soluciones: \(x=3\) y \(x=2\).
Ejercicio 2
Resuelve:
\[ 2x^2-7x+3=0 \]
Identificamos:
\[ a=2,\qquad b=-7,\qquad c=3 \]
\[ x=\frac{-(-7)\pm\sqrt{(-7)^2-4\cdot 2\cdot 3}}{2\cdot 2} \]
\[ x=\frac{7\pm\sqrt{49-24}}{4} \]
\[ x=\frac{7\pm 5}{4} \]
\[ x=3 \qquad \text{y} \qquad x=\frac{1}{2} \]
Soluciones: \(x=3\) y \(x=\frac{1}{2}\).
Ejercicio 3
Resuelve:
\[ 3x^2+x-2=0 \]
Identificamos:
\[ a=3,\qquad b=1,\qquad c=-2 \]
\[ x=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot 3\cdot(-2)}}{2\cdot 3} \]
\[ x=\frac{-1\pm\sqrt{1+24}}{6} \]
\[ x=\frac{-1\pm 5}{6} \]
\[ x=\frac{2}{3} \qquad \text{y} \qquad x=-1 \]
Soluciones: \(x=\frac{2}{3}\) y \(x=-1\).
Ejercicio 4
Resuelve:
\[ x^2+4x+4=0 \]
Identificamos:
\[ a=1,\qquad b=4,\qquad c=4 \]
\[ x=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot 1\cdot 4}}{2} \]
\[ x=\frac{-4\pm\sqrt{16-16}}{2} \]
\[ x=\frac{-4\pm 0}{2} \]
\[ x=-2 \]
Solución: \(x=-2\) (raíz doble).
Ejercicio 5
Resuelve:
\[ x^2+4x+5=0 \]
Identificamos:
\[ a=1,\qquad b=4,\qquad c=5 \]
\[ x=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot 1\cdot 5}}{2} \]
\[ x=\frac{-4\pm\sqrt{16-20}}{2} \]
\[ x=\frac{-4\pm\sqrt{-4}}{2} \]
Como el discriminante es negativo, la ecuación no tiene soluciones reales.
Conclusión: no tiene solución en \(\mathbb{R}\).
Ejercicio 6
Resuelve:
\[ 5x^2-6x+1=0 \]
Identificamos:
\[ a=5,\qquad b=-6,\qquad c=1 \]
\[ x=\frac{-(-6)\pm\sqrt{(-6)^2-4\cdot 5\cdot 1}}{2\cdot 5} \]
\[ x=\frac{6\pm\sqrt{36-20}}{10} \]
\[ x=\frac{6\pm 4}{10} \]
\[ x=1 \qquad \text{y} \qquad x=\frac{1}{5} \]
Soluciones: \(x=1\) y \(x=\frac{1}{5}\).
Ejercicio 7
Resuelve:
\[ 4x^2+4x+1=0 \]
Identificamos:
\[ a=4,\qquad b=4,\qquad c=1 \]
\[ x=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot 4\cdot 1}}{2\cdot 4} \]
\[ x=\frac{-4\pm\sqrt{16-16}}{8} \]
\[ x=\frac{-4}{8} \]
\[ x=-\frac{1}{2} \]
Solución: \(x=-\frac{1}{2}\) (raíz doble).
Ejercicio 8
Resuelve:
\[ 6x^2+5x-6=0 \]
Identificamos:
\[ a=6,\qquad b=5,\qquad c=-6 \]
\[ x=\frac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot 6\cdot(-6)}}{2\cdot 6} \]
\[ x=\frac{-5\pm\sqrt{25+144}}{12} \]
\[ x=\frac{-5\pm 13}{12} \]
\[ x=\frac{2}{3} \qquad \text{y} \qquad x=-\frac{3}{2} \]
Soluciones: \(x=\frac{2}{3}\) y \(x=-\frac{3}{2}\).
En la próxima página estudiaremos la expresión \(b^2-4ac\), llamada discriminante, y veremos cómo permite anticipar el tipo de soluciones de una ecuación cuadrática.
3. Discriminante y raíces de una ecuación cuadrática
Discriminante y raíces de una ecuación cuadrática
Objetivos de aprendizaje
- Comprender qué es el discriminante de una ecuación cuadrática.
- Relacionar el valor del discriminante con el número y tipo de raíces.
- Analizar ecuaciones cuadráticas según su discriminante sin resolverlas completamente.
En la página anterior vimos cómo se obtiene la fórmula cuadrática. Ahora nos concentraremos en una parte específica de esa fórmula: la expresión que aparece dentro de la raíz cuadrada.
Esa expresión se llama discriminante y permite anticipar qué tipo de soluciones tendrá una ecuación cuadrática.
Si una ecuación tiene la forma
\[ ax^2+bx+c=0, \qquad a\neq 0, \]
entonces sus soluciones están dadas por:
\[ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]
El discriminante se define como:
\[ D=b^2-4ac \]
Su valor permite saber cuántas raíces reales tiene la ecuación y cómo son esas raíces.
¿Qué información entrega el discriminante?
El discriminante está dentro de una raíz cuadrada. Por eso, su signo determina si esa raíz puede calcularse en los números reales.
De ahí surge la clasificación del tipo de soluciones.
| Valor del discriminante | Tipo de raíces | Interpretación |
|---|---|---|
| \(D>0\) | Dos raíces reales distintas | La raíz cuadrada de \(D\) es un número real positivo, por lo que aparecen dos soluciones diferentes. |
| \(D=0\) | Una raíz real doble | La raíz cuadrada de \(D\) es 0, por lo que ambas soluciones coinciden. |
| \(D<0\) | No hay raíces reales | No es posible calcular la raíz cuadrada de un número negativo en \(\mathbb{R}\). |
Antes de resolver una ecuación cuadrática completa, puedes calcular primero el discriminante. Eso te permite anticipar si obtendrás dos soluciones reales, una sola o ninguna en \(\mathbb{R}\).
Un error muy común es sustituir mal los signos de \(b\) o \(c\), especialmente cuando uno de ellos es negativo.
Para evitar errores, conviene reemplazar usando paréntesis:
\[ D=(b)^2-4(a)(c) \]
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: discriminante positivo
Consideremos la ecuación:
\[ x^2-3x+2=0 \]
Identificamos los coeficientes:
\[ a=1,\qquad b=-3,\qquad c=2 \]
Calculamos el discriminante:
\[ D=(-3)^2-4\cdot 1\cdot 2 \]
\[ D=9-8=1 \]
Como \(D>0\), la ecuación tiene dos raíces reales distintas.
Ejemplo 2: discriminante igual a cero
Consideremos la ecuación:
\[ x^2-2x+1=0 \]
Identificamos los coeficientes:
\[ a=1,\qquad b=-2,\qquad c=1 \]
Calculamos el discriminante:
\[ D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 1 \]
\[ D=4-4=0 \]
Como \(D=0\), la ecuación tiene una raíz real doble.
Ejemplo 3: discriminante negativo
Consideremos la ecuación:
\[ x^2+x+1=0 \]
Identificamos los coeficientes:
\[ a=1,\qquad b=1,\qquad c=1 \]
Calculamos el discriminante:
\[ D=1^2-4\cdot 1\cdot 1 \]
\[ D=1-4=-3 \]
Como \(D<0\), la ecuación no tiene raíces reales.
Práctica guiada
En esta práctica no resolveremos completamente las ecuaciones. Solo calcularemos el discriminante y clasificaremos el tipo de raíces.
Ejemplo guiado 1
Analiza la ecuación:
\[ 2x^2+x-3=0 \]
Identificamos:
\[ a=2,\qquad b=1,\qquad c=-3 \]
Calculamos:
\[ D=1^2-4\cdot 2\cdot(-3) \]
\[ D=1+24=25 \]
Como \(D>0\), la ecuación tiene dos raíces reales distintas.
Ejemplo guiado 2
Analiza la ecuación:
\[ 4x^2+4x+1=0 \]
Identificamos:
\[ a=4,\qquad b=4,\qquad c=1 \]
Calculamos:
\[ D=4^2-4\cdot 4\cdot 1 \]
\[ D=16-16=0 \]
Como \(D=0\), la ecuación tiene una raíz real doble.
Ejercicios
Calcula el discriminante de cada ecuación y clasifica el tipo de raíces que tiene en \(\mathbb{R}\).
Ejercicio 1
Analiza la ecuación:
\[ x^2-5x+6=0 \]
\[ a=1,\qquad b=-5,\qquad c=6 \]
\[ D=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1 \]
Como \(D>0\), tiene dos raíces reales distintas.
Ejercicio 2
Analiza la ecuación:
\[ x^2+4x+4=0 \]
\[ a=1,\qquad b=4,\qquad c=4 \]
\[ D=4^2-4\cdot 1\cdot 4=16-16=0 \]
Como \(D=0\), tiene una raíz real doble.
Ejercicio 3
Analiza la ecuación:
\[ x^2+2x+5=0 \]
\[ a=1,\qquad b=2,\qquad c=5 \]
\[ D=2^2-4\cdot 1\cdot 5=4-20=-16 \]
Como \(D<0\), no tiene raíces reales.
Ejercicio 4
Analiza la ecuación:
\[ 3x^2+x-2=0 \]
\[ a=3,\qquad b=1,\qquad c=-2 \]
\[ D=1^2-4\cdot 3\cdot(-2)=1+24=25 \]
Como \(D>0\), tiene dos raíces reales distintas.
Ejercicio 5
Analiza la ecuación:
\[ 4x^2-4x+1=0 \]
\[ a=4,\qquad b=-4,\qquad c=1 \]
\[ D=(-4)^2-4\cdot 4\cdot 1=16-16=0 \]
Como \(D=0\), tiene una raíz real doble.
Ejercicio 6
Analiza la ecuación:
\[ 2x^2+3x+5=0 \]
\[ a=2,\qquad b=3,\qquad c=5 \]
\[ D=3^2-4\cdot 2\cdot 5=9-40=-31 \]
Como \(D<0\), no tiene raíces reales.
Ejercicio 7
Analiza la ecuación:
\[ 5x^2-6x+1=0 \]
\[ a=5,\qquad b=-6,\qquad c=1 \]
\[ D=(-6)^2-4\cdot 5\cdot 1=36-20=16 \]
Como \(D>0\), tiene dos raíces reales distintas.
Ejercicio 8
Analiza la ecuación:
\[ 6x^2+12x+6=0 \]
\[ a=6,\qquad b=12,\qquad c=6 \]
\[ D=12^2-4\cdot 6\cdot 6=144-144=0 \]
Como \(D=0\), tiene una raíz real doble.
El discriminante
\[ D=b^2-4ac \]
permite anticipar el tipo de raíces de una ecuación cuadrática sin necesidad de resolverla completamente.
El discriminante es una herramienta de lectura e interpretación. Antes de resolver una ecuación, conviene mirar esta expresión, porque entrega información valiosa sobre la naturaleza de sus soluciones.
4. Método para ecuaciones cuadráticas con \( b = 0 \)
Objetivo de aprendizaje
- Resolver ecuaciones cuadráticas de la forma \( ax^2+c=0 \) en los números reales.
- Reconocer cuándo una ecuación tiene dos soluciones reales, una solución real o ninguna solución real.
- Aplicar correctamente la raíz cuadrada al despejar una incógnita al cuadrado.
Cuando en una ecuación cuadrática el coeficiente de \(x\) es cero, la expresión queda en una forma más simple:
\[ ax^2+c=0 \]
En este caso no aparece término lineal, por lo que el procedimiento consiste en aislar \(x^2\) y luego extraer raíz cuadrada.
Una ecuación cuadrática con \( b=0 \) tiene la forma:
\[ ax^2+c=0, \qquad a\ne 0 \]
- Parte desde la ecuación:
\[ ax^2+c=0 \]
- Aísla el término cuadrático:
\[ ax^2=-c \]
- Divide por \(a\):
\[ x^2=-\frac{c}{a} \]
- Toma raíz cuadrada en ambos lados:
\[ x=\pm\sqrt{-\frac{c}{a}} \]
Si llegamos a
\[ x^2=-\frac{c}{a}, \]
entonces buscamos todos los números cuyo cuadrado sea \(-\frac{c}{a}\). Por eso, cuando el valor de la derecha es no negativo, las soluciones son
\[ x=\pm\sqrt{-\frac{c}{a}}. \]
El símbolo \(\pm\) aparece porque tanto un número positivo como su opuesto tienen el mismo cuadrado.
En los números reales, la raíz cuadrada solo existe si el radicando es mayor o igual que cero. Por eso:
\[ -\frac{c}{a}\ge 0 \quad \Rightarrow \quad \text{hay soluciones reales} \]
\[ -\frac{c}{a}<0 \quad \Rightarrow \quad \text{no hay soluciones reales} \]
No se debe transformar
\[ x^2+\frac{c}{a} \]
en
\[ \left(x+\frac{c}{a}\right)\left(x-\frac{c}{a}\right), \]
porque ese producto desarrolla
\[ x^2-\left(\frac{c}{a}\right)^2, \]
que no es lo mismo. En este método, la vía correcta es aislar \(x^2\) y luego aplicar raíz cuadrada.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: \( 2x^2-8=0 \)
Paso 1: Ecuación original.
\[ 2x^2-8=0 \]
Paso 2: Aislamos el término cuadrático.
\[ 2x^2=8 \]
Paso 3: Dividimos por 2.
\[ x^2=4 \]
Paso 4: Tomamos raíz cuadrada.
\[ x=\pm\sqrt{4} \]
\[ x=\pm 2 \]
Soluciones: \(x=2\) y \(x=-2\).
Ejemplo 2: \( 3x^2+12=0 \)
Paso 1: Ecuación original.
\[ 3x^2+12=0 \]
Paso 2: Aislamos el término cuadrático.
\[ 3x^2=-12 \]
Paso 3: Dividimos por 3.
\[ x^2=-4 \]
Paso 4: Analizamos la existencia de solución real.
Como \(-4\) es negativo, \(\sqrt{-4}\) no existe en \(\mathbb{R}\).
Conclusión: la ecuación no tiene soluciones reales.
¿Cuándo conviene usar este método?
- Cuando la ecuación cuadrática tiene la forma \(ax^2+c=0\).
- Cuando el coeficiente del término lineal es cero, es decir, \(b=0\).
- Cuando se puede aislar fácilmente \(x^2\) para luego extraer raíz cuadrada.
Ejercicios
Ejercicio 1
Resuelve la ecuación cuadrática:
\[ x^2-9=0 \]
Paso 1: Aislamos el término cuadrático:
\[ x^2=9 \]
Paso 2: Tomamos raíz cuadrada:
\[ x=\pm\sqrt{9} \]
\[ x=\pm 3 \]
Solución: \(x=3\) y \(x=-3\).
Ejercicio 2
Resuelve la ecuación cuadrática:
\[ x^2-16=0 \]
Paso 1: Aislamos el término cuadrático:
\[ x^2=16 \]
Paso 2: Tomamos raíz cuadrada:
\[ x=\pm\sqrt{16} \]
\[ x=\pm 4 \]
Solución: \(x=4\) y \(x=-4\).
Ejercicio 3
Resuelve la ecuación cuadrática:
\[ 4x^2-25=0 \]
Paso 1: Aislamos el término cuadrático:
\[ 4x^2=25 \]
Paso 2: Dividimos por 4:
\[ x^2=\frac{25}{4} \]
Paso 3: Tomamos raíz cuadrada:
\[ x=\pm\sqrt{\frac{25}{4}} \]
\[ x=\pm\frac{5}{2} \]
Solución: \(x=\frac{5}{2}\) y \(x=-\frac{5}{2}\).
Ejercicio 4
Resuelve la ecuación cuadrática:
\[ 3x^2-27=0 \]
Paso 1: Aislamos el término cuadrático:
\[ 3x^2=27 \]
Paso 2: Dividimos por 3:
\[ x^2=9 \]
Paso 3: Tomamos raíz cuadrada:
\[ x=\pm\sqrt{9} \]
\[ x=\pm 3 \]
Solución: \(x=3\) y \(x=-3\).
Ejercicio 5
Resuelve la ecuación cuadrática:
\[ 5x^2-20=0 \]
Paso 1: Aislamos el término cuadrático:
\[ 5x^2=20 \]
Paso 2: Dividimos por 5:
\[ x^2=4 \]
Paso 3: Tomamos raíz cuadrada:
\[ x=\pm\sqrt{4} \]
\[ x=\pm 2 \]
Solución: \(x=2\) y \(x=-2\).
Ejercicio 6
Resuelve la ecuación cuadrática:
\[ 2x^2+18=0 \]
Paso 1: Aislamos el término cuadrático:
\[ 2x^2=-18 \]
Paso 2: Dividimos por 2:
\[ x^2=-9 \]
Paso 3: Analizamos en \(\mathbb{R}\):
No existe número real cuyo cuadrado sea negativo.
Solución: no tiene solución en \(\mathbb{R}\).
Ejercicio 7
Resuelve la ecuación cuadrática:
\[ 6x^2-24=0 \]
Paso 1: Aislamos el término cuadrático:
\[ 6x^2=24 \]
Paso 2: Dividimos por 6:
\[ x^2=4 \]
Paso 3: Tomamos raíz cuadrada:
\[ x=\pm\sqrt{4} \]
\[ x=\pm 2 \]
Solución: \(x=2\) y \(x=-2\).
Ejercicio 8
Resuelve la ecuación cuadrática con factor literal, suponiendo \(a>0\):
\[ ax^2-16=0 \]
Paso 1: Aislamos el término cuadrático:
\[ ax^2=16 \]
Paso 2: Dividimos por \(a\):
\[ x^2=\frac{16}{a} \]
Paso 3: Tomamos raíz cuadrada:
\[ x=\pm\sqrt{\frac{16}{a}} \]
\[ x=\pm\frac{4}{\sqrt{a}} \]
Solución: \(x=\pm\sqrt{\frac{16}{a}}\).
Ejercicio 9
Resuelve la ecuación cuadrática con factores literales, suponiendo \(m>0\) y \(n\ge 0\):
\[ mx^2-9n=0 \]
Paso 1: Aislamos el término cuadrático:
\[ mx^2=9n \]
Paso 2: Dividimos por \(m\):
\[ x^2=\frac{9n}{m} \]
Paso 3: Tomamos raíz cuadrada:
\[ x=\pm\sqrt{\frac{9n}{m}} \]
\[ x=\pm 3\sqrt{\frac{n}{m}} \]
Solución: \(x=\pm 3\sqrt{\frac{n}{m}}\).
Ejercicio 10
Resuelve la ecuación cuadrática con factores literales, suponiendo \(p\ne 0\):
\[ p^2x^2-q^2=0 \]
Paso 1: Aislamos el término cuadrático:
\[ p^2x^2=q^2 \]
Paso 2: Dividimos por \(p^2\):
\[ x^2=\frac{q^2}{p^2} \]
Paso 3: Tomamos raíz cuadrada:
\[ x=\pm\sqrt{\frac{q^2}{p^2}} \]
\[ x=\pm\frac{q}{p} \]
Solución: \(x=\frac{q}{p}\) y \(x=-\frac{q}{p}\).
En este tipo de ecuaciones, la clave es despejar \(x^2\) y luego analizar si el valor obtenido permite extraer raíz cuadrada en los números reales. Si el resultado es positivo, aparecen dos soluciones opuestas; si es cero, hay una sola solución real; y si es negativo, no hay solución real.
5. Método para ecuaciones cuadráticas con \( c = 0 \)
Objetivo de aprendizaje
Resolver ecuaciones cuadráticas de la forma \(ax^2+bx=0\) mediante factorización, aplicando correctamente la propiedad del producto cero e identificando sus soluciones.
Cuando el término constante es cero, la ecuación cuadrática toma una forma especial:
\[ ax^2+bx=0 \]
En este caso, ambos términos tienen factor común \(x\), por lo que la ecuación se puede resolver de manera directa usando factorización.
Las ecuaciones cuadráticas con \(c=0\) tienen la forma:
\[ ax^2+bx=0, \qquad a\ne 0 \]
Procedimiento para resolver
- Partimos de la ecuación:
\[ ax^2+bx=0 \]
- Factorizamos el factor común \(x\):
\[ x(ax+b)=0 \]
- Aplicamos la propiedad del producto cero:
\[ x=0 \qquad \text{o} \qquad ax+b=0 \]
- Resolvemos la ecuación lineal:
\[ ax+b=0 \]
\[ ax=-b \]
\[ x=-\frac{b}{a} \]
Si una ecuación cuadrática tiene la forma \(ax^2+bx=0\), entonces sus soluciones son:
\[ x=0 \qquad \text{y} \qquad x=-\frac{b}{a} \]
Un error muy común es resolver solo la ecuación \(ax+b=0\) y olvidar que el factor \(x\) también puede ser cero.
Por eso, al factorizar:
\[ x(ax+b)=0 \]
deben considerarse ambos factores.
La propiedad del producto cero dice que si el producto de dos factores es cero, entonces al menos uno de ellos debe ser cero.
Por eso, si
\[ x(ax+b)=0, \]
entonces necesariamente se cumple:
\[ x=0 \qquad \text{o} \qquad ax+b=0. \]
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: \(2x^2+4x=0\)
Paso 1: Escribimos la ecuación original:
\[ 2x^2+4x=0 \]
Paso 2: Factorizamos el factor común:
\[ 2x(x+2)=0 \]
Paso 3: Aplicamos la propiedad del producto cero:
\[ 2x=0 \qquad \text{o} \qquad x+2=0 \]
Paso 4: Resolvemos cada ecuación:
\[ 2x=0 \Rightarrow x=0 \]
\[ x+2=0 \Rightarrow x=-2 \]
Soluciones: \(x=0\) y \(x=-2\).
Ejemplo 2: \(3x^2-9x=0\)
Paso 1: Escribimos la ecuación original:
\[ 3x^2-9x=0 \]
Paso 2: Factorizamos el factor común:
\[ 3x(x-3)=0 \]
Paso 3: Aplicamos la propiedad del producto cero:
\[ 3x=0 \qquad \text{o} \qquad x-3=0 \]
Paso 4: Resolvemos cada ecuación:
\[ 3x=0 \Rightarrow x=0 \]
\[ x-3=0 \Rightarrow x=3 \]
Soluciones: \(x=0\) y \(x=3\).
¿Cuándo conviene usar este método?
- Cuando la ecuación cuadrática tiene término constante igual a cero.
- Cuando la expresión puede factorizarse sacando factor común \(x\).
- Cuando se busca una resolución rápida y directa sin usar fórmula general.
Si la ecuación es
\[ ax^2+bx=0, \]
entonces se factoriza como
\[ x(ax+b)=0 \]
y sus soluciones son
\[ x=0 \qquad \text{y} \qquad x=-\frac{b}{a}. \]
Las ecuaciones cuadráticas con \(c=0\) son un caso especial muy importante, porque permiten resolver mediante factorización sin necesidad de usar procedimientos más largos. Reconocer esta forma ayuda a ganar rapidez y seguridad al resolver.
Ejercicios
Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas utilizando el método para \( c=0 \):
Ejercicio 1
Resuelve la ecuación:
\[ x^2+7x=0 \]
Paso 1: Factorizamos el factor común \(x\):
\[ x(x+7)=0 \]
Paso 2: Aplicamos la propiedad del producto cero:
\[ x=0 \quad \text{o} \quad x+7=0 \]
Paso 3: Resolvemos la segunda ecuación:
\[ x=-7 \]
Soluciones: \(x=0\) y \(x=-7\).
Ejercicio 2
Resuelve la ecuación:
\[ x^2-5x=0 \]
Paso 1: Factorizamos el factor común \(x\):
\[ x(x-5)=0 \]
Paso 2: Aplicamos la propiedad del producto cero:
\[ x=0 \quad \text{o} \quad x-5=0 \]
Paso 3: Resolvemos la segunda ecuación:
\[ x=5 \]
Soluciones: \(x=0\) y \(x=5\).
Ejercicio 3
Resuelve la ecuación:
\[ 4x^2+8x=0 \]
Paso 1: Factorizamos el factor común:
\[ 4x(x+2)=0 \]
Paso 2: Aplicamos la propiedad del producto cero:
\[ 4x=0 \quad \text{o} \quad x+2=0 \]
Paso 3: Resolvemos cada caso:
\[ x=0 \]
\[ x=-2 \]
Soluciones: \(x=0\) y \(x=-2\).
Ejercicio 4
Resuelve la ecuación:
\[ 3x^2-6x=0 \]
Paso 1: Factorizamos el factor común:
\[ 3x(x-2)=0 \]
Paso 2: Aplicamos la propiedad del producto cero:
\[ 3x=0 \quad \text{o} \quad x-2=0 \]
Paso 3: Resolvemos cada caso:
\[ x=0 \]
\[ x=2 \]
Soluciones: \(x=0\) y \(x=2\).
Ejercicio 5
Resuelve la ecuación:
\[ 5x^2+10x=0 \]
Paso 1: Factorizamos el factor común:
\[ 5x(x+2)=0 \]
Paso 2: Aplicamos la propiedad del producto cero:
\[ 5x=0 \quad \text{o} \quad x+2=0 \]
Paso 3: Resolvemos cada caso:
\[ x=0 \]
\[ x=-2 \]
Soluciones: \(x=0\) y \(x=-2\).
Ejercicio 6
Resuelve la ecuación:
\[ 2x^2-4x=0 \]
Paso 1: Factorizamos el factor común:
\[ 2x(x-2)=0 \]
Paso 2: Aplicamos la propiedad del producto cero:
\[ 2x=0 \quad \text{o} \quad x-2=0 \]
Paso 3: Resolvemos cada caso:
\[ x=0 \]
\[ x=2 \]
Soluciones: \(x=0\) y \(x=2\).
Ejercicio 7
Resuelve la ecuación:
\[ x^2+9x=0 \]
Paso 1: Factorizamos el factor común \(x\):
\[ x(x+9)=0 \]
Paso 2: Aplicamos la propiedad del producto cero:
\[ x=0 \quad \text{o} \quad x+9=0 \]
Paso 3: Resolvemos la segunda ecuación:
\[ x=-9 \]
Soluciones: \(x=0\) y \(x=-9\).
Ejercicio 8
Resuelve la ecuación:
\[ 6x^2-12x=0 \]
Paso 1: Factorizamos el factor común:
\[ 6x(x-2)=0 \]
Paso 2: Aplicamos la propiedad del producto cero:
\[ 6x=0 \quad \text{o} \quad x-2=0 \]
Paso 3: Resolvemos cada caso:
\[ x=0 \]
\[ x=2 \]
Soluciones: \(x=0\) y \(x=2\).
Ejercicio 9
Resuelve la ecuación:
\[ 7x^2+14x=0 \]
Paso 1: Factorizamos el factor común:
\[ 7x(x+2)=0 \]
Paso 2: Aplicamos la propiedad del producto cero:
\[ 7x=0 \quad \text{o} \quad x+2=0 \]
Paso 3: Resolvemos cada caso:
\[ x=0 \]
\[ x=-2 \]
Soluciones: \(x=0\) y \(x=-2\).
Ejercicio 10
Resuelve la ecuación:
\[ 8x^2-16x=0 \]
Paso 1: Factorizamos el factor común:
\[ 8x(x-2)=0 \]
Paso 2: Aplicamos la propiedad del producto cero:
\[ 8x=0 \quad \text{o} \quad x-2=0 \]
Paso 3: Resolvemos cada caso:
\[ x=0 \]
\[ x=2 \]
Soluciones: \(x=0\) y \(x=2\).
En las ecuaciones cuadráticas de la forma \(ax^2+bx=0\), siempre aparece el factor común \(x\). Por eso, una de las soluciones será \(x=0\), y la otra se obtiene resolviendo la ecuación lineal que queda después de factorizar.
6. Método de factorización directa para ecuaciones cuadráticas (\(a=1\))
Objetivo de aprendizaje
Resolver ecuaciones cuadráticas de la forma \(x^2+bx+c=0\) mediante factorización directa, identificando correctamente dos números que cumplan simultáneamente una condición de suma y una condición de producto.
Cuando una ecuación cuadrática tiene coeficiente principal igual a 1, es decir, cuando el término cuadrático es simplemente \(x^2\), muchas veces se puede reescribir como el producto de dos binomios.
La idea es transformar la ecuación
\[ x^2+bx+c=0 \]
en una expresión factorizada de la forma
\[ (x+m)(x+n)=0. \]
Luego, usando la propiedad del producto cero, se obtienen las soluciones de manera directa.
Trabajaremos con ecuaciones cuadráticas de la forma:
\[ x^2+bx+c=0 \]
donde el coeficiente de \(x^2\) es 1.
Idea clave del método
Para factorizar una ecuación de la forma \(x^2+bx+c\), buscamos dos números \(m\) y \(n\) tales que:
\[ m\cdot n=c \]
y además
\[ m+n=b. \]
Si encontramos esos números, entonces:
\[ x^2+bx+c=(x+m)(x+n). \]
No basta con que dos números multipliquen \(c\). También deben sumar exactamente \(b\).
Por eso conviene revisar primero los pares de factores de \(c\) y luego verificar cuál de ellos cumple la suma pedida.
Procedimiento para resolver
- Identifica los coeficientes \(b\) y \(c\) en la ecuación:
\[ x^2+bx+c=0 \]
- Busca dos números \(m\) y \(n\) tales que:
\[ m\cdot n=c \qquad \text{y} \qquad m+n=b \]
- Escribe la factorización:
\[ (x+m)(x+n)=0 \]
- Aplica la propiedad del producto cero:
\[ x+m=0 \qquad \text{o} \qquad x+n=0 \]
- Resuelve cada ecuación lineal:
\[ x=-m \qquad \text{y} \qquad x=-n \]
Al desarrollar el producto
\[ (x+m)(x+n), \]
obtenemos
\[ x^2+(m+n)x+mn. \]
Por eso, para que esa expresión sea igual a \(x^2+bx+c\), debe cumplirse que
\[ m+n=b \qquad \text{y} \qquad mn=c. \]
Un error común es elegir dos números que multiplican \(c\), pero que no suman \(b\).
Por ejemplo, si \(c=6\), los números 1 y 6 multiplican 6, pero suman 7. En cambio, 2 y 3 también multiplican 6, pero suman 5.
Ambas condiciones deben cumplirse al mismo tiempo.
Si \(c\) es positivo, los dos números tienen el mismo signo.
Si \(c\) es negativo, los dos números tienen signos opuestos.
Además, el signo de la suma debe coincidir con el signo de \(b\).
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: \(x^2+5x+6=0\)
Paso 1: Identificamos los coeficientes:
\[ b=5, \qquad c=6 \]
Paso 2: Buscamos dos números que multipliquen 6 y sumen 5.
\[ 2\cdot 3=6 \qquad \text{y} \qquad 2+3=5 \]
Paso 3: Factorizamos la ecuación:
\[ (x+2)(x+3)=0 \]
Paso 4: Aplicamos la propiedad del producto cero:
\[ x+2=0 \qquad \text{o} \qquad x+3=0 \]
Paso 5: Resolvemos:
\[ x=-2 \qquad \text{y} \qquad x=-3 \]
Soluciones: \(x=-2\) y \(x=-3\).
Ejemplo 2: \(x^2-4x+4=0\)
Paso 1: Identificamos los coeficientes:
\[ b=-4, \qquad c=4 \]
Paso 2: Buscamos dos números que multipliquen 4 y sumen \(-4\).
\[ (-2)\cdot(-2)=4 \qquad \text{y} \qquad (-2)+(-2)=-4 \]
Paso 3: Factorizamos la ecuación:
\[ (x-2)(x-2)=0 \]
Paso 4: Aplicamos la propiedad del producto cero:
\[ x-2=0 \]
Paso 5: Resolvemos:
\[ x=2 \]
Conclusión: la ecuación tiene una raíz doble.
Solución: \(x=2\).
¿Cuándo conviene usar este método?
- Cuando la ecuación tiene la forma \(x^2+bx+c=0\).
- Cuando es fácil encontrar dos números que cumplan las condiciones de producto y suma.
- Cuando la factorización puede hacerse de manera directa, sin usar fórmula general.
Este método es muy útil, pero no todas las ecuaciones cuadráticas con \(a=1\) se pueden factorizar fácilmente con números enteros.
En esos casos, puede ser necesario usar otros procedimientos, como completar el cuadrado o la fórmula general.
Si la ecuación es
\[ x^2+bx+c=0, \]
buscamos dos números \(m\) y \(n\) tales que
\[ m+n=b \qquad \text{y} \qquad mn=c. \]
Entonces:
\[ x^2+bx+c=(x+m)(x+n) \]
y las soluciones se obtienen resolviendo
\[ x+m=0 \qquad \text{y} \qquad x+n=0. \]
Ejercicios
Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas utilizando el método de factorización directa:
Ejercicio 1
Resuelve la ecuación:
\[ x^2+7x+10=0 \]
Paso 1: Identificamos los coeficientes:
\[ b=7, \qquad c=10 \]
Paso 2: Buscamos dos números que multipliquen \(10\) y sumen \(7\):
\[ 5\cdot 2=10 \qquad \text{y} \qquad 5+2=7 \]
Paso 3: Factorizamos:
\[ (x+5)(x+2)=0 \]
Paso 4: Aplicamos la propiedad del producto cero:
\[ x+5=0 \qquad \text{o} \qquad x+2=0 \]
Paso 5: Resolvemos:
\[ x=-5 \qquad \text{y} \qquad x=-2 \]
Soluciones: \(x=-5\) y \(x=-2\).
Ejercicio 2
Resuelve la ecuación:
\[ x^2-3x-10=0 \]
Paso 1: Identificamos los coeficientes:
\[ b=-3, \qquad c=-10 \]
Paso 2: Buscamos dos números que multipliquen \(-10\) y sumen \(-3\):
\[ (-5)\cdot 2=-10 \qquad \text{y} \qquad (-5)+2=-3 \]
Paso 3: Factorizamos:
\[ (x-5)(x+2)=0 \]
Paso 4: Aplicamos la propiedad del producto cero:
\[ x-5=0 \qquad \text{o} \qquad x+2=0 \]
Paso 5: Resolvemos:
\[ x=5 \qquad \text{y} \qquad x=-2 \]
Soluciones: \(x=5\) y \(x=-2\).
Ejercicio 3
Resuelve la ecuación:
\[ x^2+6x+9=0 \]
Paso 1: Identificamos los coeficientes:
\[ b=6, \qquad c=9 \]
Paso 2: Buscamos dos números que multipliquen \(9\) y sumen \(6\):
\[ 3\cdot 3=9 \qquad \text{y} \qquad 3+3=6 \]
Paso 3: Factorizamos:
\[ (x+3)(x+3)=0 \]
Paso 4: Resolvemos:
\[ x+3=0 \]
\[ x=-3 \]
Conclusión: la ecuación tiene una raíz doble.
Solución: \(x=-3\).
Ejercicio 4
Resuelve la ecuación:
\[ x^2-8x+15=0 \]
Paso 1: Identificamos los coeficientes:
\[ b=-8, \qquad c=15 \]
Paso 2: Buscamos dos números que multipliquen \(15\) y sumen \(-8\):
\[ (-3)\cdot(-5)=15 \qquad \text{y} \qquad (-3)+(-5)=-8 \]
Paso 3: Factorizamos:
\[ (x-3)(x-5)=0 \]
Paso 4: Aplicamos la propiedad del producto cero:
\[ x-3=0 \qquad \text{o} \qquad x-5=0 \]
Paso 5: Resolvemos:
\[ x=3 \qquad \text{y} \qquad x=5 \]
Soluciones: \(x=3\) y \(x=5\).
Ejercicio 5
Resuelve la ecuación:
\[ x^2+4x-12=0 \]
Paso 1: Identificamos los coeficientes:
\[ b=4, \qquad c=-12 \]
Paso 2: Buscamos dos números que multipliquen \(-12\) y sumen \(4\):
\[ 6\cdot(-2)=-12 \qquad \text{y} \qquad 6+(-2)=4 \]
Paso 3: Factorizamos:
\[ (x+6)(x-2)=0 \]
Paso 4: Aplicamos la propiedad del producto cero:
\[ x+6=0 \qquad \text{o} \qquad x-2=0 \]
Paso 5: Resolvemos:
\[ x=-6 \qquad \text{y} \qquad x=2 \]
Soluciones: \(x=-6\) y \(x=2\).
Ejercicio 6
Resuelve la ecuación:
\[ x^2+2x-8=0 \]
Paso 1: Identificamos los coeficientes:
\[ b=2, \qquad c=-8 \]
Paso 2: Buscamos dos números que multipliquen \(-8\) y sumen \(2\):
\[ 4\cdot(-2)=-8 \qquad \text{y} \qquad 4+(-2)=2 \]
Paso 3: Factorizamos:
\[ (x+4)(x-2)=0 \]
Paso 4: Aplicamos la propiedad del producto cero:
\[ x+4=0 \qquad \text{o} \qquad x-2=0 \]
Paso 5: Resolvemos:
\[ x=-4 \qquad \text{y} \qquad x=2 \]
Soluciones: \(x=-4\) y \(x=2\).
Ejercicio 7
Resuelve la ecuación:
\[ x^2-5x+6=0 \]
Paso 1: Identificamos los coeficientes:
\[ b=-5, \qquad c=6 \]
Paso 2: Buscamos dos números que multipliquen \(6\) y sumen \(-5\):
\[ (-2)\cdot(-3)=6 \qquad \text{y} \qquad (-2)+(-3)=-5 \]
Paso 3: Factorizamos:
\[ (x-2)(x-3)=0 \]
Paso 4: Aplicamos la propiedad del producto cero:
\[ x-2=0 \qquad \text{o} \qquad x-3=0 \]
Paso 5: Resolvemos:
\[ x=2 \qquad \text{y} \qquad x=3 \]
Soluciones: \(x=2\) y \(x=3\).
Ejercicio 8
Resuelve la ecuación:
\[ x^2-x-20=0 \]
Paso 1: Identificamos los coeficientes:
\[ b=-1, \qquad c=-20 \]
Paso 2: Buscamos dos números que multipliquen \(-20\) y sumen \(-1\):
\[ (-5)\cdot 4=-20 \qquad \text{y} \qquad (-5)+4=-1 \]
Paso 3: Factorizamos:
\[ (x-5)(x+4)=0 \]
Paso 4: Aplicamos la propiedad del producto cero:
\[ x-5=0 \qquad \text{o} \qquad x+4=0 \]
Paso 5: Resolvemos:
\[ x=5 \qquad \text{y} \qquad x=-4 \]
Soluciones: \(x=5\) y \(x=-4\).
Ejercicio 9
Resuelve la ecuación:
\[ x^2+9x+14=0 \]
Paso 1: Identificamos los coeficientes:
\[ b=9, \qquad c=14 \]
Paso 2: Buscamos dos números que multipliquen \(14\) y sumen \(9\):
\[ 7\cdot 2=14 \qquad \text{y} \qquad 7+2=9 \]
Paso 3: Factorizamos:
\[ (x+7)(x+2)=0 \]
Paso 4: Aplicamos la propiedad del producto cero:
\[ x+7=0 \qquad \text{o} \qquad x+2=0 \]
Paso 5: Resolvemos:
\[ x=-7 \qquad \text{y} \qquad x=-2 \]
Soluciones: \(x=-7\) y \(x=-2\).
Ejercicio 10
Resuelve la ecuación:
\[ x^2-10x+25=0 \]
Paso 1: Identificamos los coeficientes:
\[ b=-10, \qquad c=25 \]
Paso 2: Buscamos dos números que multipliquen \(25\) y sumen \(-10\):
\[ (-5)\cdot(-5)=25 \qquad \text{y} \qquad (-5)+(-5)=-10 \]
Paso 3: Factorizamos:
\[ (x-5)(x-5)=0 \]
Paso 4: Resolvemos:
\[ x-5=0 \]
\[ x=5 \]
Conclusión: la ecuación tiene una raíz doble.
Solución: \(x=5\).
La factorización directa permite resolver muchas ecuaciones cuadráticas de forma rápida y visual. Reconocer cuándo una expresión puede escribirse como producto de binomios es una habilidad clave para avanzar con seguridad en álgebra.
7. Ecuaciones cuadráticas en formas no generales
Objetivo de aprendizaje
Resolver ecuaciones cuadráticas que no están escritas inicialmente en la forma general \(ax^2+bx+c=0\), reconociendo la estrategia más conveniente en cada caso y avanzando progresivamente hacia ejercicios con factores literales.
Muchas ecuaciones cuadráticas no aparecen escritas directamente como
\[ ax^2+bx+c=0. \]
Antes de resolverlas, a veces es necesario desarrollar productos, trasladar términos, factorizar o reconocer cuadrados perfectos.
La idea de esta guía es que identifiques la forma de la ecuación y decidas cuál es el mejor camino para resolverla.
- Observa cómo está escrita la ecuación.
- Decide si conviene:
- tomar raíz cuadrada,
- aplicar producto cero,
- desarrollar y llevar a forma general,
- factorizar.
- Si es necesario, reorganiza la ecuación hasta obtener una forma conocida.
- Resuelve y verifica las soluciones.
En esta página los ejercicios están organizados desde los más directos hacia otros que exigen más manipulación algebraica. Al final se incorpora una sección especial con factores literales, para preparar el paso desde lo numérico hacia expresiones con parámetros.
No todas las ecuaciones deben resolverse del mismo modo. Si ya tienes un producto igualado a cero, normalmente conviene usar la propiedad del producto cero. Si aparece un cuadrado igualado a un número, suele ser más rápido usar raíz cuadrada.
Nivel 1: ecuaciones directas y cuadrados perfectos
Ejercicio 1
Resolver \((x+3)^2=25\).
\[ x+3=\pm 5 \]
\[ x=2 \quad \text{ó} \quad x=-8 \]
Soluciones: \(x=2\) y \(x=-8\).
Ejercicio 2
Resolver \(4x^2=16\).
\[ x^2=4 \]
\[ x=\pm 2 \]
Soluciones: \(x=2\) y \(x=-2\).
Ejercicio 3
Resolver \(x^2-9=0\).
\[ x^2=9 \]
\[ x=\pm 3 \]
Soluciones: \(x=3\) y \(x=-3\).
Ejercicio 4
Resolver \(2(x-1)^2=8\).
\[ (x-1)^2=4 \]
\[ x-1=\pm 2 \]
\[ x=3 \quad \text{ó} \quad x=-1 \]
Soluciones: \(x=3\) y \(x=-1\).
Ejercicio 5
Resolver \((2x+1)^2=49\).
\[ 2x+1=\pm 7 \]
\[ x=3 \quad \text{ó} \quad x=-4 \]
Soluciones: \(x=3\) y \(x=-4\).
Ejercicio 6
Resolver \(x^2=16\).
\[ x=\pm 4 \]
Soluciones: \(x=4\) y \(x=-4\).
Ejercicio 7
Resolver \((3x-2)^2=1\).
\[ 3x-2=\pm 1 \]
\[ 3x=3 \Rightarrow x=1 \]
\[ 3x=1 \Rightarrow x=\frac{1}{3} \]
Soluciones: \(x=1\) y \(x=\frac{1}{3}\).
Ejercicio 8
Resolver \(2(x+4)^2=18\).
\[ (x+4)^2=9 \]
\[ x+4=\pm 3 \]
\[ x=-1 \quad \text{ó} \quad x=-7 \]
Soluciones: \(x=-1\) y \(x=-7\).
Ejercicio 9
Resolver \(4x^2-16=0\).
\[ 4x^2=16 \]
\[ x^2=4 \]
\[ x=\pm 2 \]
Soluciones: \(x=2\) y \(x=-2\).
Ejercicio 10
Resolver \((2x+3)^2=36\).
\[ 2x+3=\pm 6 \]
\[ 2x=3 \Rightarrow x=\frac{3}{2} \]
\[ 2x=-9 \Rightarrow x=-\frac{9}{2} \]
Soluciones: \(x=\frac{3}{2}\) y \(x=-\frac{9}{2}\).
Ejercicio 11
Resolver \((x+2)^2=9\).
\[ x+2=\pm 3 \]
\[ x=1 \quad \text{ó} \quad x=-5 \]
Soluciones: \(x=1\) y \(x=-5\).
Ejercicio 12
Resolver \(3(x+2)^2=12\).
\[ (x+2)^2=4 \]
\[ x+2=\pm 2 \]
\[ x=0 \quad \text{ó} \quad x=-4 \]
Soluciones: \(x=0\) y \(x=-4\).
Ejercicio 13
Resolver \((x-2)^2=5\).
\[ x-2=\pm \sqrt{5} \]
\[ x=2+\sqrt{5} \quad \text{ó} \quad x=2-\sqrt{5} \]
Soluciones: \(x=2+\sqrt{5}\) y \(x=2-\sqrt{5}\).
Ejercicio 14
Resolver \((2x-3)^2=16\).
\[ 2x-3=\pm 4 \]
\[ 2x=7 \Rightarrow x=\frac{7}{2} \]
\[ 2x=-1 \Rightarrow x=-\frac{1}{2} \]
Soluciones: \(x=\frac{7}{2}\) y \(x=-\frac{1}{2}\).
Ejercicio 15
Resolver \((x+5)^2=12\).
\[ x+5=\pm \sqrt{12} \]
\[ x+5=\pm 2\sqrt{3} \]
\[ x=-5+2\sqrt{3} \quad \text{ó} \quad x=-5-2\sqrt{3} \]
Soluciones: \(x=-5+2\sqrt{3}\) y \(x=-5-2\sqrt{3}\).
Nivel 2: producto cero visible
Ejercicio 16
Resolver \((x-5)(x+1)=0\).
Aplicamos producto cero:
\[ x-5=0 \quad \text{ó} \quad x+1=0 \]
\[ x=5 \quad \text{ó} \quad x=-1 \]
Soluciones: \(x=5\) y \(x=-1\).
Ejercicio 17
Resolver \(x(x-7)=0\).
\[ x=0 \quad \text{ó} \quad x-7=0 \]
\[ x=0 \quad \text{ó} \quad x=7 \]
Soluciones: \(x=0\) y \(x=7\).
Ejercicio 18
Resolver \((x+6)(x-2)=0\).
\[ x+6=0 \quad \text{ó} \quad x-2=0 \]
\[ x=-6 \quad \text{ó} \quad x=2 \]
Soluciones: \(x=-6\) y \(x=2\).
Ejercicio 19
Resolver \((x-1)(x+5)=0\).
\[ x-1=0 \quad \text{ó} \quad x+5=0 \]
\[ x=1 \quad \text{ó} \quad x=-5 \]
Soluciones: \(x=1\) y \(x=-5\).
Ejercicio 20
Resolver \(2x^2-8x=0\).
Factorizamos:
\[ 2x(x-4)=0 \]
\[ x=0 \quad \text{ó} \quad x=4 \]
Soluciones: \(x=0\) y \(x=4\).
Ejercicio 21
Resolver \((3x+1)(x-4)=0\).
\[ 3x+1=0 \quad \text{ó} \quad x-4=0 \]
\[ x=-\frac{1}{3} \quad \text{ó} \quad x=4 \]
Soluciones: \(x=-\frac{1}{3}\) y \(x=4\).
Ejercicio 22
Resolver \(5x(x-3)=0\).
\[ x=0 \quad \text{ó} \quad x-3=0 \]
\[ x=0 \quad \text{ó} \quad x=3 \]
Soluciones: \(x=0\) y \(x=3\).
Ejercicio 23
Resolver \(4x(x+3)=0\).
\[ x=0 \quad \text{ó} \quad x+3=0 \]
\[ x=0 \quad \text{ó} \quad x=-3 \]
Soluciones: \(x=0\) y \(x=-3\).
Ejercicio 24
Resolver \((x-4)(x+6)=0\).
\[ x-4=0 \quad \text{ó} \quad x+6=0 \]
\[ x=4 \quad \text{ó} \quad x=-6 \]
Soluciones: \(x=4\) y \(x=-6\).
Nivel 3: llevar a forma general antes de resolver
Ejercicio 25
Resolver \(x(x+4)=12\).
Llevamos a forma general:
\[ x^2+4x-12=0 \]
Factorizamos:
\[ (x+6)(x-2)=0 \]
\[ x=-6 \quad \text{ó} \quad x=2 \]
Soluciones: \(x=-6\) y \(x=2\).
Ejercicio 26
Resolver \(x^2+6x=7\).
\[ x^2+6x-7=0 \]
\[ (x+7)(x-1)=0 \]
\[ x=-7 \quad \text{ó} \quad x=1 \]
Soluciones: \(x=-7\) y \(x=1\).
Ejercicio 27
Resolver \(3x(x-2)=6\).
\[ 3x^2-6x=6 \]
\[ 3x^2-6x-6=0 \]
Dividimos por 3:
\[ x^2-2x-2=0 \]
Aplicamos fórmula o completación:
\[ x=1\pm \sqrt{3} \]
Soluciones: \(x=1+\sqrt{3}\) y \(x=1-\sqrt{3}\).
Ejercicio 28
Resolver \(2x^2+3=5x\).
\[ 2x^2-5x+3=0 \]
\[ (2x-3)(x-1)=0 \]
\[ x=\frac{3}{2} \quad \text{ó} \quad x=1 \]
Soluciones: \(x=\frac{3}{2}\) y \(x=1\).
Ejercicio 29
Resolver \(5x^2=20x-15\).
\[ 5x^2-20x+15=0 \]
Dividimos por 5:
\[ x^2-4x+3=0 \]
\[ (x-1)(x-3)=0 \]
\[ x=1 \quad \text{ó} \quad x=3 \]
Soluciones: \(x=1\) y \(x=3\).
Ejercicio 30
Resolver \(x^2-5x=14\).
\[ x^2-5x-14=0 \]
\[ (x-7)(x+2)=0 \]
\[ x=7 \quad \text{ó} \quad x=-2 \]
Soluciones: \(x=7\) y \(x=-2\).
Ejercicio 31
Resolver \(x^2-4=21\).
\[ x^2=25 \]
\[ x=\pm 5 \]
Soluciones: \(x=5\) y \(x=-5\).
Ejercicio 32
Resolver \(x(x+1)=2\).
\[ x^2+x-2=0 \]
\[ (x+2)(x-1)=0 \]
\[ x=-2 \quad \text{ó} \quad x=1 \]
Soluciones: \(x=-2\) y \(x=1\).
Ejercicio 33
Resolver \(x^2-8x=9\).
\[ x^2-8x-9=0 \]
\[ (x-9)(x+1)=0 \]
\[ x=9 \quad \text{ó} \quad x=-1 \]
Soluciones: \(x=9\) y \(x=-1\).
Ejercicio 34
Resolver \(2x^2-3x=5\).
\[ 2x^2-3x-5=0 \]
\[ (2x-5)(x+1)=0 \]
\[ x=\frac{5}{2} \quad \text{ó} \quad x=-1 \]
Soluciones: \(x=\frac{5}{2}\) y \(x=-1\).
Nivel 4: ecuaciones cuadráticas ya en forma general
Ejercicio 35
Resolver \(x^2-4x-5=0\).
\[ (x-5)(x+1)=0 \]
\[ x=5 \quad \text{ó} \quad x=-1 \]
Soluciones: \(x=5\) y \(x=-1\).
Ejercicio 36
Resolver \(x^2+2x-3=0\).
\[ (x+3)(x-1)=0 \]
\[ x=-3 \quad \text{ó} \quad x=1 \]
Soluciones: \(x=-3\) y \(x=1\).
Ejercicio 37
Resolver \(x^2+3x+2=0\).
\[ (x+1)(x+2)=0 \]
\[ x=-1 \quad \text{ó} \quad x=-2 \]
Soluciones: \(x=-1\) y \(x=-2\).
Ejercicio 38
Resolver \(x^2+7x+10=0\).
\[ (x+5)(x+2)=0 \]
\[ x=-5 \quad \text{ó} \quad x=-2 \]
Soluciones: \(x=-5\) y \(x=-2\).
Ejercicio 39
Resolver \(x^2-10x+25=0\).
\[ (x-5)^2=0 \]
\[ x=5 \]
Solución: \(x=5\) (raíz doble).
Ejercicio 40
Resolver \(4x^2-9=0\).
\[ 4x^2=9 \]
\[ x^2=\frac{9}{4} \]
\[ x=\pm \frac{3}{2} \]
Soluciones: \(x=\frac{3}{2}\) y \(x=-\frac{3}{2}\).
Nivel 5: transición progresiva hacia factores literales
En estos ejercicios, además de la incógnita \(x\), aparecen otras letras que representan números. La lógica algebraica es la misma: cambian los símbolos, pero se mantienen las propiedades y los métodos.
Cuando una letra aparece como coeficiente, conviene indicar la condición correspondiente. Por ejemplo, si se divide por \(m\), entonces debe asumirse \(m\neq 0\).
Ejercicio 41
Resolver \((x+a)^2=16\).
\[ x+a=\pm 4 \]
\[ x=-a+4 \quad \text{ó} \quad x=-a-4 \]
Soluciones: \(x=-a+4\) y \(x=-a-4\).
Ejercicio 42
Resolver \(mx^2=9m\), suponiendo \(m\neq 0\).
Como \(m\neq 0\), dividimos por \(m\):
\[ x^2=9 \]
\[ x=\pm 3 \]
Soluciones: \(x=3\) y \(x=-3\).
Ejercicio 43
Resolver \(x(x+b)=0\).
Aplicamos producto cero:
\[ x=0 \quad \text{ó} \quad x+b=0 \]
\[ x=0 \quad \text{ó} \quad x=-b \]
Soluciones: \(x=0\) y \(x=-b\).
Ejercicio 44
Resolver \((x-p)(x+q)=0\).
\[ x-p=0 \quad \text{ó} \quad x+q=0 \]
\[ x=p \quad \text{ó} \quad x=-q \]
Soluciones: \(x=p\) y \(x=-q\).
Ejercicio 45
Resolver \(x^2+sx=0\).
Factorizamos:
\[ x(x+s)=0 \]
\[ x=0 \quad \text{ó} \quad x=-s \]
Soluciones: \(x=0\) y \(x=-s\).
Ejercicio 46
Resolver \(x^2-(m+n)x+mn=0\).
Reconocemos la factorización:
\[ x^2-(m+n)x+mn=(x-m)(x-n) \]
\[ (x-m)(x-n)=0 \]
\[ x=m \quad \text{ó} \quad x=n \]
Soluciones: \(x=m\) y \(x=n\).
Ejercicio 47
Resolver \(x^2+(a+b)x+ab=0\).
Reconocemos la factorización:
\[ x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) \]
\[ (x+a)(x+b)=0 \]
\[ x=-a \quad \text{ó} \quad x=-b \]
Soluciones: \(x=-a\) y \(x=-b\).
Ejercicio 48
Resolver \(r^2x^2-k^2=0\), suponiendo \(r\neq 0\).
Es una diferencia de cuadrados:
\[ r^2x^2-k^2=(rx-k)(rx+k) \]
\[ (rx-k)(rx+k)=0 \]
\[ rx-k=0 \Rightarrow x=\frac{k}{r} \]
\[ rx+k=0 \Rightarrow x=-\frac{k}{r} \]
Soluciones: \(x=\frac{k}{r}\) y \(x=-\frac{k}{r}\).
Pasar desde ejercicios numéricos a ejercicios con factores literales no cambia la lógica del álgebra: cambian los símbolos, pero se mantienen las propiedades de producto cero, raíz cuadrada, factorización y traslado de términos.
Reconocer la forma de una ecuación antes de resolverla permite elegir un método adecuado y trabajar con mayor seguridad. Esa es una habilidad central en el estudio de las ecuaciones cuadráticas.
8. Problemas con ecuaciones cuadráticas
Objetivo de aprendizaje
Formular y resolver ecuaciones cuadráticas a partir de situaciones problemáticas, distinguiendo con claridad la variable, el planteamiento algebraico, el cálculo y la interpretación final de la respuesta.
En estos problemas no basta con resolver una ecuación: primero hay que construirla a partir de la situación descrita.
Por eso, cada solución sigue siempre la misma estructura:
- Identificar variable(s)
- Plantear la ecuación
- Cálculo
- Respuesta
Una buena modelación matemática comienza definiendo correctamente la incógnita. Si la variable está bien elegida, el planteamiento de la ecuación resulta mucho más claro.
No siempre toda solución algebraica tiene sentido en el contexto. En problemas de longitudes, áreas, tiempos, edades o precios, las soluciones negativas suelen descartarse.
Problemas
Problema 1: rectángulo y área
La longitud de un rectángulo es 3 metros más que su ancho. Si el área del rectángulo es \(40\text{ m}^2\), ¿cuáles son sus dimensiones?
1. Identificar variable(s): Sea \(x\) el ancho del rectángulo, medido en metros.
2. Plantear la ecuación: Como la longitud es 3 metros más que el ancho, se representa por \(x+3\). El área de un rectángulo se calcula multiplicando ancho por largo, por eso: \[ x(x+3)=40 \]
3. Cálculo: \[ x(x+3)=40 \] \[ x^2+3x-40=0 \] \[ (x+8)(x-5)=0 \] \[ x=-8 \quad \text{o} \quad x=5 \] Como una dimensión no puede ser negativa, descartamos \(x=-8\). \[ x=5 \] Entonces la longitud es: \[ x+3=8 \]
4. Respuesta: El rectángulo mide 5 m de ancho y 8 m de largo.
Problema 2: suma y producto
Encuentra dos números cuyo producto sea 36 y cuya suma sea 13.
1. Identificar variable(s): Sea \(x\) uno de los números. Entonces el otro número debe cumplir que la suma sea 13, por lo que vale \(13-x\).
2. Plantear la ecuación: Como el producto de ambos números es 36: \[ x(13-x)=36 \]
3. Cálculo: \[ 13x-x^2=36 \] \[ x^2-13x+36=0 \] \[ (x-9)(x-4)=0 \] \[ x=9 \quad \text{o} \quad x=4 \] Por lo tanto, los números son 9 y 4.
4. Respuesta: Los números son 9 y 4.
Problema 3: proyectil lanzado hacia arriba
Un proyectil es lanzado hacia arriba desde una altura de 20 metros con una velocidad inicial de 30 m/s. Su altura después de \(t\) segundos está dada por \(h=-5t^2+30t+20\). ¿Cuánto tiempo tarda en alcanzar el suelo?
1. Identificar variable(s): Sea \(t\) el tiempo, medido en segundos.
2. Plantear la ecuación: El proyectil llega al suelo cuando su altura es 0. Por eso: \[ -5t^2+30t+20=0 \]
3. Cálculo: \[ -5t^2+30t+20=0 \] Dividimos por \(-5\): \[ t^2-6t-4=0 \] Aplicamos fórmula general: \[ t=\frac{6\pm\sqrt{36+16}}{2} \] \[ t=\frac{6\pm\sqrt{52}}{2}=3\pm\sqrt{13} \] Obtenemos: \[ t=3+\sqrt{13}\quad \text{o} \quad t=3-\sqrt{13} \] Como el tiempo negativo no tiene sentido físico, tomamos: \[ t=3+\sqrt{13}\approx 6{,}61 \]
4. Respuesta: El proyectil tarda aproximadamente \(6{,}6\) segundos en alcanzar el suelo.
Problema 4: diferencia y producto
Encuentra dos números positivos cuya diferencia sea 5 y cuyo producto sea 14.
1. Identificar variable(s): Sea \(x\) el número mayor. Entonces el menor es \(x-5\).
2. Plantear la ecuación: Como el producto de ambos números es 14: \[ x(x-5)=14 \]
3. Cálculo: \[ x^2-5x-14=0 \] \[ (x-7)(x+2)=0 \] \[ x=7 \quad \text{o} \quad x=-2 \] Como se piden números positivos, tomamos \(x=7\). Entonces el otro número es: \[ x-5=2 \]
4. Respuesta: Los números son 7 y 2.
Problema 5: triángulo y área
La base de un triángulo es 2 cm más que su altura. Si el área del triángulo es \(15\text{ cm}^2\), ¿cuáles son sus dimensiones?
1. Identificar variable(s): Sea \(h\) la altura del triángulo, en centímetros.
2. Plantear la ecuación: Como la base mide 2 cm más que la altura, la base es \(h+2\). El área de un triángulo es \(\frac{1}{2}\cdot \text{base}\cdot \text{altura}\), entonces: \[ \frac{1}{2}h(h+2)=15 \]
3. Cálculo: \[ h(h+2)=30 \] \[ h^2+2h-30=0 \] Aplicamos fórmula general: \[ h=\frac{-2\pm\sqrt{4+120}}{2} \] \[ h=\frac{-2\pm\sqrt{124}}{2}=-1\pm\sqrt{31} \] Tomamos la solución positiva: \[ h=-1+\sqrt{31}\approx 4{,}57 \] La base es: \[ h+2=1+\sqrt{31}\approx 6{,}57 \]
4. Respuesta: La altura mide aproximadamente \(4{,}57\) cm y la base aproximadamente \(6{,}57\) cm.
Problema 6: objeto dejado caer
Un objeto es dejado caer desde una altura de 100 metros. Su altura después de \(t\) segundos está dada por \(h=100-5t^2\). ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo?
1. Identificar variable(s): Sea \(t\) el tiempo en segundos.
2. Plantear la ecuación: El objeto toca el suelo cuando su altura vale 0. Por eso: \[ 100-5t^2=0 \]
3. Cálculo: \[ 100-5t^2=0 \] \[ 5t^2=100 \] \[ t^2=20 \] \[ t=\pm\sqrt{20}=\pm 2\sqrt{5} \] Como el tiempo no puede ser negativo, tomamos: \[ t=2\sqrt{5}\approx 4{,}47 \]
4. Respuesta: El objeto tarda aproximadamente \(4{,}47\) segundos en llegar al suelo.
Problema 7: suma y producto
Encuentra dos números tales que su suma sea 12 y su producto sea 32.
1. Identificar variable(s): Sea \(x\) uno de los números. Entonces el otro es \(12-x\).
2. Plantear la ecuación: Como el producto debe ser 32: \[ x(12-x)=32 \]
3. Cálculo: \[ 12x-x^2=32 \] \[ x^2-12x+32=0 \] \[ (x-8)(x-4)=0 \] \[ x=8 \quad \text{o} \quad x=4 \]
4. Respuesta: Los números son 8 y 4.
Problema 8: objeto lanzado desde un edificio
Un objeto es lanzado desde la parte superior de un edificio y sigue la ecuación \(h=-16t^2+64t+80\), donde \(h\) es la altura en pies y \(t\) el tiempo en segundos. ¿Cuánto tarda en tocar el suelo?
1. Identificar variable(s): Sea \(t\) el tiempo en segundos.
2. Plantear la ecuación: El objeto toca el suelo cuando la altura es 0: \[ -16t^2+64t+80=0 \]
3. Cálculo: \[ -16t^2+64t+80=0 \] Dividimos por \(-16\): \[ t^2-4t-5=0 \] \[ (t-5)(t+1)=0 \] \[ t=5 \quad \text{o} \quad t=-1 \] El tiempo negativo no es válido.
4. Respuesta: El objeto tarda 5 segundos en tocar el suelo.
Problema 9: rectángulo y área
La longitud de un rectángulo es 6 metros mayor que su ancho. Si el área es \(91\text{ m}^2\), ¿cuáles son sus dimensiones?
1. Identificar variable(s): Sea \(x\) el ancho del rectángulo.
2. Plantear la ecuación: Como la longitud es \(x+6\) y el área es 91: \[ x(x+6)=91 \]
3. Cálculo: \[ x^2+6x-91=0 \] \[ (x+13)(x-7)=0 \] \[ x=-13 \quad \text{o} \quad x=7 \] Tomamos la solución positiva.
4. Respuesta: El rectángulo mide 7 m de ancho y 13 m de largo.
Problema 10: velocidad del tren
Un tren viaja 200 km a una velocidad promedio \(v\). Si hubiera ido 20 km/h más rápido, el viaje habría tomado 1 hora menos. ¿Cuál es la velocidad promedio del tren?
1. Identificar variable(s): Sea \(v\) la velocidad promedio del tren, en km/h.
2. Plantear la ecuación: El tiempo se calcula como \(\text{distancia}/\text{velocidad}\). Entonces: \[ \frac{200}{v} \] es el tiempo normal, y \[ \frac{200}{v+20} \] es el tiempo si fuera 20 km/h más rápido. Como en ese caso el viaje tarda 1 hora menos: \[ \frac{200}{v}=\frac{200}{v+20}+1 \]
3. Cálculo: \[ \frac{200}{v}=\frac{200}{v+20}+1 \] Multiplicamos por \(v(v+20)\): \[ 200(v+20)=200v+v(v+20) \] \[ 200v+4000=200v+v^2+20v \] \[ v^2+20v-4000=0 \] Aplicamos fórmula general: \[ v=\frac{-20\pm\sqrt{400+16000}}{2} \] \[ v=\frac{-20\pm\sqrt{16400}}{2}=-10\pm 10\sqrt{41} \] Tomamos la raíz positiva: \[ v=-10+10\sqrt{41}\approx 54{,}03 \]
4. Respuesta: La velocidad promedio del tren es aproximadamente \(54{,}0\) km/h.
Problema 11: un número
Encuentra un número tal que el cuadrado del número menos el doble del número sea 24.
1. Identificar variable(s): Sea \(x\) el número buscado.
2. Plantear la ecuación: “El cuadrado del número menos el doble del número” se traduce como: \[ x^2-2x \] y eso debe ser igual a 24: \[ x^2-2x=24 \]
3. Cálculo: \[ x^2-2x-24=0 \] \[ (x-6)(x+4)=0 \] \[ x=6 \quad \text{o} \quad x=-4 \]
4. Respuesta: Los números que cumplen la condición son 6 y \(-4\).
Problema 12: un número
Encuentra un número tal que el cuadrado del número menos 4 veces el número sea 96.
1. Identificar variable(s): Sea \(x\) el número buscado.
2. Plantear la ecuación: La frase “el cuadrado del número menos 4 veces el número” se escribe: \[ x^2-4x \] y debe ser igual a 96: \[ x^2-4x=96 \]
3. Cálculo: \[ x^2-4x-96=0 \] \[ (x-12)(x+8)=0 \] \[ x=12 \quad \text{o} \quad x=-8 \]
4. Respuesta: Los números que cumplen la condición son 12 y \(-8\).
Problema 13: edad y producto
La edad de una persona multiplicada por la edad que tendrá en 3 años es 54. ¿Qué edad tiene actualmente?
1. Identificar variable(s): Sea \(x\) la edad actual de la persona.
2. Plantear la ecuación: Su edad actual es \(x\) y en 3 años será \(x+3\). Como el producto de ambas edades es 54: \[ x(x+3)=54 \]
3. Cálculo: \[ x^2+3x-54=0 \] \[ (x+9)(x-6)=0 \] \[ x=-9 \quad \text{o} \quad x=6 \] Una edad negativa no tiene sentido.
4. Respuesta: La persona tiene actualmente 6 años.
Problema 14: lanzamiento vertical desde el suelo
Un objeto es lanzado verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial de 50 m/s. La ecuación para su altura es \(h=-5t^2+50t\). ¿Cuánto tiempo tarda en regresar al suelo?
1. Identificar variable(s): Sea \(t\) el tiempo en segundos.
2. Plantear la ecuación: El objeto regresa al suelo cuando la altura es 0: \[ -5t^2+50t=0 \]
3. Cálculo: \[ -5t^2+50t=0 \] Factorizamos: \[ -5t(t-10)=0 \] \[ t=0 \quad \text{o} \quad t=10 \] El valor \(t=0\) corresponde al instante inicial del lanzamiento.
4. Respuesta: El objeto tarda 10 segundos en regresar al suelo.
Problema 15: rectángulo y área
El largo de un rectángulo es 2 cm mayor que el ancho. Si su área es \(48\text{ cm}^2\), ¿cuáles son sus dimensiones?
1. Identificar variable(s): Sea \(x\) el ancho del rectángulo.
2. Plantear la ecuación: Si el largo es \(x+2\) y el área es 48: \[ x(x+2)=48 \]
3. Cálculo: \[ x^2+2x-48=0 \] \[ (x+8)(x-6)=0 \] \[ x=-8 \quad \text{o} \quad x=6 \] Tomamos la solución positiva.
4. Respuesta: El rectángulo mide 6 cm de ancho y 8 cm de largo.
Problema 16: un número
Encuentra un número tal que el cuadrado del número menos 3 veces el número más 2 sea igual a cero.
1. Identificar variable(s): Sea \(x\) el número buscado.
2. Plantear la ecuación: La frase se traduce directamente como: \[ x^2-3x+2=0 \]
3. Cálculo: \[ (x-1)(x-2)=0 \] \[ x=1 \quad \text{o} \quad x=2 \]
4. Respuesta: Los números son 1 y 2.
Problema 17: lado de un cuadrado
El área de un cuadrado es numéricamente igual a 6 veces la medida de su lado. ¿Cuál es la longitud del lado?
1. Identificar variable(s): Sea \(x\) la medida del lado del cuadrado.
2. Plantear la ecuación: El área de un cuadrado es \(x^2\). Como esa área es igual a 6 veces el lado: \[ x^2=6x \]
3. Cálculo: \[ x^2-6x=0 \] \[ x(x-6)=0 \] \[ x=0 \quad \text{o} \quad x=6 \] Un lado no puede medir 0 en este contexto.
4. Respuesta: La longitud del lado es 6 cm.
Problema 18: triángulo rectángulo y área
La base de un triángulo rectángulo mide 4 cm menos que su altura. Si su área es \(48\text{ cm}^2\), ¿cuáles son sus dimensiones?
1. Identificar variable(s): Sea \(x\) la altura del triángulo. Entonces la base es \(x-4\).
2. Plantear la ecuación: El área de un triángulo es \(\frac{1}{2}\cdot \text{base}\cdot \text{altura}\). Entonces: \[ \frac{x(x-4)}{2}=48 \]
3. Cálculo: \[ x(x-4)=96 \] \[ x^2-4x-96=0 \] \[ (x-12)(x+8)=0 \] \[ x=12 \quad \text{o} \quad x=-8 \] Tomamos la solución positiva. La base es: \[ 12-4=8 \]
4. Respuesta: La base mide 8 cm y la altura 12 cm.
Problema 19: precios
El precio de un cuaderno es \(x\) pesos y el de un lápiz es \(x+20\) pesos. Si el producto de ambos precios es \(1200\), ¿cuánto cuesta cada uno?
1. Identificar variable(s): Sea \(x\) el precio del cuaderno. Entonces el lápiz cuesta \(x+20\).
2. Plantear la ecuación: Como el producto de ambos precios es 1200: \[ x(x+20)=1200 \]
3. Cálculo: \[ x^2+20x-1200=0 \] \[ (x+40)(x-30)=0 \] \[ x=-40 \quad \text{o} \quad x=30 \] Tomamos la solución positiva: \[ x=30 \] Entonces: \[ x+20=50 \]
4. Respuesta: El cuaderno cuesta 30 pesos y el lápiz 50 pesos.
Problema 20: números consecutivos
Encuentra dos números enteros consecutivos cuyo producto sea \(72\).
1. Identificar variable(s): Sea \(x\) el menor de los dos números. Entonces el siguiente es \(x+1\).
2. Plantear la ecuación: Como el producto de dos números consecutivos es 72: \[ x(x+1)=72 \]
3. Cálculo: \[ x^2+x-72=0 \] \[ (x+9)(x-8)=0 \] \[ x=-9 \quad \text{o} \quad x=8 \] Por lo tanto, las parejas correspondientes son: \[ (-9,-8) \quad \text{y} \quad (8,9) \]
4. Respuesta: Los números enteros consecutivos pueden ser 8 y 9, o también \(-9\) y \(-8\).
En los problemas con ecuaciones cuadráticas, resolver bien no es solo hacer cuentas: también implica elegir una variable adecuada, justificar el planteamiento y verificar si la respuesta tiene sentido en el contexto.
9. Opcional: Método de factorización por agrupación para ecuaciones cuadráticas
Objetivo de aprendizaje
Resolver ecuaciones cuadráticas de la forma \(ax^2+bx+c=0\), con \(a\neq 1\), mediante factorización por agrupación, identificando correctamente los números que permiten reescribir el término del medio y formar un binomio común.
Cuando una ecuación cuadrática no tiene coeficiente principal igual a 1, muchas veces no se puede factorizar de manera directa como en el caso \(x^2+bx+c\).
En esos casos, una estrategia útil es descomponer el término del medio en dos términos y luego agrupar para factorizar por partes.
Trabajaremos con ecuaciones de la forma:
\[ ax^2+bx+c=0 \]
Buscamos dos números \(m\) y \(n\) tales que:
\[ m\cdot n=a\cdot c \]
y además
\[ m+n=b. \]
Con esos números, reescribimos el término del medio:
\[ ax^2+bx+c=ax^2+mx+nx+c. \]
Procedimiento para resolver
- Identifica los coeficientes \(a\), \(b\) y \(c\) en la ecuación:
\[ ax^2+bx+c=0 \]
- Calcula el producto \(a\cdot c\).
- Busca dos números \(m\) y \(n\) que cumplan:
\[ m\cdot n=ac \qquad \text{y} \qquad m+n=b \]
- Reescribe el término del medio:
\[ ax^2+bx+c=ax^2+mx+nx+c \]
- Agrupa los términos:
\[ (ax^2+mx)+(nx+c)=0 \]
- Factoriza cada grupo por factor común.
- Factoriza el binomio común que aparece.
- Aplica la propiedad del producto cero para encontrar las soluciones.
El paso más importante es descomponer el término \(bx\) en dos términos cuya suma sea \(bx\), pero elegidos de manera que permitan agrupar y factorizar.
Si la elección de \(m\) y \(n\) es correcta, al factorizar cada grupo aparecerá un binomio común, y entonces la ecuación quedará factorizada.
No basta con encontrar dos números que multipliquen \(ac\). También deben sumar exactamente \(b\).
Además, al factorizar por agrupación no siempre se saca el mismo tipo de factor en todos los ejercicios. Lo correcto es factorizar el factor común de cada grupo hasta obtener un binomio común.
Antes de agrupar, conviene ordenar bien la ecuación y revisar si existe un factor común en los tres términos. Si lo hay, es recomendable extraerlo primero para simplificar el trabajo.
Ejemplo resuelto
Resolver \(2x^2+7x+3=0\)
Paso 1: Identificamos los coeficientes:
\[ a=2, \qquad b=7, \qquad c=3 \]
Paso 2: Calculamos el producto \(ac\):
\[ ac=2\cdot 3=6 \]
Paso 3: Buscamos dos números que multipliquen \(6\) y sumen \(7\).
\[ 6\cdot 1=6 \qquad \text{y} \qquad 6+1=7 \]
Por lo tanto, elegimos \(m=6\) y \(n=1\).
Paso 4: Reescribimos el término del medio:
\[ 2x^2+7x+3=2x^2+6x+x+3 \]
Paso 5: Agrupamos los términos:
\[ (2x^2+6x)+(x+3)=0 \]
Paso 6: Factorizamos cada grupo:
\[ 2x(x+3)+1(x+3)=0 \]
Paso 7: Factorizamos el binomio común:
\[ (2x+1)(x+3)=0 \]
Paso 8: Aplicamos la propiedad del producto cero:
\[ 2x+1=0 \qquad \text{o} \qquad x+3=0 \]
Paso 9: Resolvemos cada ecuación:
\[ 2x+1=0 \Rightarrow 2x=-1 \Rightarrow x=-\frac{1}{2} \]
\[ x+3=0 \Rightarrow x=-3 \]
Soluciones: \(x=-\frac{1}{2}\) y \(x=-3\).
¿Cuándo conviene usar este método?
- Cuando la ecuación cuadrática tiene la forma \(ax^2+bx+c=0\) con \(a\neq 1\).
- Cuando es posible encontrar dos números que multipliquen \(ac\) y sumen \(b\).
- Cuando la expresión puede reorganizarse para formar dos grupos con un binomio común.
Este método no siempre resulta sencillo en todos los ejercicios. En algunos casos puede no ser evidente la factorización, y entonces conviene usar otros procedimientos, como la fórmula general.
Ejercicios
Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas utilizando el método de factorización por agrupación:
Ejercicio 1
Resuelve la ecuación:
\[ 2x^2+8x+6=0 \]
Paso 1: Identificamos los coeficientes:
\[ a=2,\qquad b=8,\qquad c=6 \]
Paso 2: Calculamos \(ac\):
\[ ac=2\cdot 6=12 \]
Paso 3: Buscamos dos números que multipliquen \(12\) y sumen \(8\):
\[ 6 \text{ y } 2 \]
Paso 4: Reescribimos el término del medio:
\[ 2x^2+6x+2x+6=0 \]
Paso 5: Agrupamos:
\[ (2x^2+6x)+(2x+6)=0 \]
Paso 6: Factorizamos cada grupo:
\[ 2x(x+3)+2(x+3)=0 \]
Paso 7: Factorizamos el binomio común:
\[ (2x+2)(x+3)=0 \]
\[ 2(x+1)(x+3)=0 \]
Paso 8: Resolvemos:
\[ x+1=0 \Rightarrow x=-1 \]
\[ x+3=0 \Rightarrow x=-3 \]
Soluciones: \(x=-1\) y \(x=-3\).
Ejercicio 2
Resuelve la ecuación:
\[ 3x^2-5x-2=0 \]
Paso 1: Identificamos los coeficientes:
\[ a=3,\qquad b=-5,\qquad c=-2 \]
Paso 2: Calculamos \(ac\):
\[ ac=3\cdot(-2)=-6 \]
Paso 3: Buscamos dos números que multipliquen \(-6\) y sumen \(-5\):
\[ -6 \text{ y } 1 \]
Paso 4: Reescribimos el término del medio:
\[ 3x^2-6x+x-2=0 \]
Paso 5: Agrupamos:
\[ (3x^2-6x)+(x-2)=0 \]
Paso 6: Factorizamos cada grupo:
\[ 3x(x-2)+1(x-2)=0 \]
Paso 7: Factorizamos el binomio común:
\[ (3x+1)(x-2)=0 \]
Paso 8: Resolvemos:
\[ 3x+1=0 \Rightarrow x=-\frac{1}{3} \]
\[ x-2=0 \Rightarrow x=2 \]
Soluciones: \(x=-\frac{1}{3}\) y \(x=2\).
Ejercicio 3
Resuelve la ecuación:
\[ 4x^2+4x-8=0 \]
Paso 1: Identificamos los coeficientes:
\[ a=4,\qquad b=4,\qquad c=-8 \]
Paso 2: Calculamos \(ac\):
\[ ac=4\cdot(-8)=-32 \]
Paso 3: Buscamos dos números que multipliquen \(-32\) y sumen \(4\):
\[ 8 \text{ y } -4 \]
Paso 4: Reescribimos el término del medio:
\[ 4x^2+8x-4x-8=0 \]
Paso 5: Agrupamos:
\[ (4x^2+8x)+(-4x-8)=0 \]
Paso 6: Factorizamos cada grupo:
\[ 4x(x+2)-4(x+2)=0 \]
Paso 7: Factorizamos el binomio común:
\[ (4x-4)(x+2)=0 \]
\[ 4(x-1)(x+2)=0 \]
Paso 8: Resolvemos:
\[ x-1=0 \Rightarrow x=1 \]
\[ x+2=0 \Rightarrow x=-2 \]
Soluciones: \(x=1\) y \(x=-2\).
Ejercicio 4
Resuelve la ecuación:
\[ 5x^2-7x+2=0 \]
Paso 1: Identificamos los coeficientes:
\[ a=5,\qquad b=-7,\qquad c=2 \]
Paso 2: Calculamos \(ac\):
\[ ac=5\cdot 2=10 \]
Paso 3: Buscamos dos números que multipliquen \(10\) y sumen \(-7\):
\[ -5 \text{ y } -2 \]
Paso 4: Reescribimos el término del medio:
\[ 5x^2-5x-2x+2=0 \]
Paso 5: Agrupamos:
\[ (5x^2-5x)+(-2x+2)=0 \]
Paso 6: Factorizamos cada grupo:
\[ 5x(x-1)-2(x-1)=0 \]
Paso 7: Factorizamos el binomio común:
\[ (5x-2)(x-1)=0 \]
Paso 8: Resolvemos:
\[ 5x-2=0 \Rightarrow x=\frac{2}{5} \]
\[ x-1=0 \Rightarrow x=1 \]
Soluciones: \(x=\frac{2}{5}\) y \(x=1\).
Ejercicio 5
Resuelve la ecuación:
\[ 6x^2+2x-4=0 \]
Paso 1: Identificamos los coeficientes:
\[ a=6,\qquad b=2,\qquad c=-4 \]
Paso 2: Calculamos \(ac\):
\[ ac=6\cdot(-4)=-24 \]
Paso 3: Buscamos dos números que multipliquen \(-24\) y sumen \(2\):
\[ 6 \text{ y } -4 \]
Paso 4: Reescribimos el término del medio:
\[ 6x^2+6x-4x-4=0 \]
Paso 5: Agrupamos:
\[ (6x^2+6x)+(-4x-4)=0 \]
Paso 6: Factorizamos cada grupo:
\[ 6x(x+1)-4(x+1)=0 \]
Paso 7: Factorizamos el binomio común:
\[ (6x-4)(x+1)=0 \]
\[ 2(3x-2)(x+1)=0 \]
Paso 8: Resolvemos:
\[ 3x-2=0 \Rightarrow x=\frac{2}{3} \]
\[ x+1=0 \Rightarrow x=-1 \]
Soluciones: \(x=\frac{2}{3}\) y \(x=-1\).
Ejercicio 6
Resuelve la ecuación:
\[ 7x^2-17x+6=0 \]
Paso 1: Identificamos los coeficientes:
\[ a=7,\qquad b=-17,\qquad c=6 \]
Paso 2: Calculamos \(ac\):
\[ ac=7\cdot 6=42 \]
Paso 3: Buscamos dos números que multipliquen \(42\) y sumen \(-17\):
\[ -14 \text{ y } -3 \]
Paso 4: Reescribimos el término del medio:
\[ 7x^2-14x-3x+6=0 \]
Paso 5: Agrupamos:
\[ (7x^2-14x)+(-3x+6)=0 \]
Paso 6: Factorizamos cada grupo:
\[ 7x(x-2)-3(x-2)=0 \]
Paso 7: Factorizamos el binomio común:
\[ (7x-3)(x-2)=0 \]
Paso 8: Resolvemos:
\[ 7x-3=0 \Rightarrow x=\frac{3}{7} \]
\[ x-2=0 \Rightarrow x=2 \]
Soluciones: \(x=\frac{3}{7}\) y \(x=2\).
Ejercicio 7
Resuelve la ecuación:
\[ 8x^2+10x-3=0 \]
Paso 1: Identificamos los coeficientes:
\[ a=8,\qquad b=10,\qquad c=-3 \]
Paso 2: Calculamos \(ac\):
\[ ac=8\cdot(-3)=-24 \]
Paso 3: Buscamos dos números que multipliquen \(-24\) y sumen \(10\):
\[ 12 \text{ y } -2 \]
Paso 4: Reescribimos el término del medio:
\[ 8x^2+12x-2x-3=0 \]
Paso 5: Agrupamos:
\[ (8x^2+12x)+(-2x-3)=0 \]
Paso 6: Factorizamos cada grupo:
\[ 4x(2x+3)-1(2x+3)=0 \]
Paso 7: Factorizamos el binomio común:
\[ (4x-1)(2x+3)=0 \]
Paso 8: Resolvemos:
\[ 4x-1=0 \Rightarrow x=\frac{1}{4} \]
\[ 2x+3=0 \Rightarrow x=-\frac{3}{2} \]
Soluciones: \(x=\frac{1}{4}\) y \(x=-\frac{3}{2}\).
Ejercicio 8
Resuelve la ecuación:
\[ 9x^2-15x+6=0 \]
Paso 1: Identificamos los coeficientes:
\[ a=9,\qquad b=-15,\qquad c=6 \]
Paso 2: Calculamos \(ac\):
\[ ac=9\cdot 6=54 \]
Paso 3: Buscamos dos números que multipliquen \(54\) y sumen \(-15\):
\[ -9 \text{ y } -6 \]
Paso 4: Reescribimos el término del medio:
\[ 9x^2-9x-6x+6=0 \]
Paso 5: Agrupamos:
\[ (9x^2-9x)+(-6x+6)=0 \]
Paso 6: Factorizamos cada grupo:
\[ 9x(x-1)-6(x-1)=0 \]
Paso 7: Factorizamos el binomio común:
\[ (9x-6)(x-1)=0 \]
\[ 3(3x-2)(x-1)=0 \]
Paso 8: Resolvemos:
\[ 3x-2=0 \Rightarrow x=\frac{2}{3} \]
\[ x-1=0 \Rightarrow x=1 \]
Soluciones: \(x=\frac{2}{3}\) y \(x=1\).
Ejercicio 9
Resuelve la ecuación:
\[ 10x^2+5x-5=0 \]
Paso 1: Identificamos los coeficientes:
\[ a=10,\qquad b=5,\qquad c=-5 \]
Paso 2: Calculamos \(ac\):
\[ ac=10\cdot(-5)=-50 \]
Paso 3: Buscamos dos números que multipliquen \(-50\) y sumen \(5\):
\[ 10 \text{ y } -5 \]
Paso 4: Reescribimos el término del medio:
\[ 10x^2+10x-5x-5=0 \]
Paso 5: Agrupamos:
\[ (10x^2+10x)+(-5x-5)=0 \]
Paso 6: Factorizamos cada grupo:
\[ 10x(x+1)-5(x+1)=0 \]
Paso 7: Factorizamos el binomio común:
\[ (10x-5)(x+1)=0 \]
\[ 5(2x-1)(x+1)=0 \]
Paso 8: Resolvemos:
\[ 2x-1=0 \Rightarrow x=\frac{1}{2} \]
\[ x+1=0 \Rightarrow x=-1 \]
Soluciones: \(x=\frac{1}{2}\) y \(x=-1\).
Ejercicio 10
Resuelve la ecuación:
\[ 11x^2+13x+2=0 \]
Paso 1: Identificamos los coeficientes:
\[ a=11,\qquad b=13,\qquad c=2 \]
Paso 2: Calculamos \(ac\):
\[ ac=11\cdot 2=22 \]
Paso 3: Buscamos dos números que multipliquen \(22\) y sumen \(13\):
\[ 11 \text{ y } 2 \]
Paso 4: Reescribimos el término del medio:
\[ 11x^2+11x+2x+2=0 \]
Paso 5: Agrupamos:
\[ (11x^2+11x)+(2x+2)=0 \]
Paso 6: Factorizamos cada grupo:
\[ 11x(x+1)+2(x+1)=0 \]
Paso 7: Factorizamos el binomio común:
\[ (11x+2)(x+1)=0 \]
Paso 8: Resolvemos:
\[ 11x+2=0 \Rightarrow x=-\frac{2}{11} \]
\[ x+1=0 \Rightarrow x=-1 \]
Soluciones: \(x=-\frac{2}{11}\) y \(x=-1\).
La factorización por agrupación amplía las posibilidades de resolver ecuaciones cuadráticas sin recurrir inmediatamente a la fórmula general. La clave está en elegir correctamente los dos números que permiten descomponer el término del medio y construir una factorización útil.
10. Opcional pero Importante: Método de completación de cuadrados
Objetivo de aprendizaje
Resolver ecuaciones cuadráticas mediante completación de cuadrados, transformando una expresión cuadrática en un trinomio cuadrado perfecto para encontrar sus soluciones.
La completación de cuadrados es una técnica algebraica que permite transformar una ecuación cuadrática en una expresión del tipo
\[ (x+k)^2=r \]
o, en general, en una forma equivalente que puede resolverse tomando raíz cuadrada en ambos lados.
Este método es muy importante porque no solo permite resolver ecuaciones, sino también comprender de dónde surge la fórmula general.
Una ecuación cuadrática tiene la forma:
\[ ax^2+bx+c=0, \qquad a\neq 0 \]
Procedimiento general
- Partimos de la ecuación:
\[ ax^2+bx+c=0 \]
- Si \(a\neq 1\), dividimos toda la ecuación por \(a\):
\[ x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0 \]
- Movemos el término constante al lado derecho:
\[ x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a} \]
- Agregamos a ambos lados el término que completa el cuadrado:
\[ \left(\frac{b}{2a}\right)^2 \]
De este modo:
\[ x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2 \]
- El lado izquierdo se transforma en un cuadrado perfecto:
\[ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2 \]
- Tomamos raíz cuadrada en ambos lados y despejamos \(x\).
Si tienes una expresión de la forma
\[ x^2+px, \]
el número que permite formar un cuadrado perfecto es
\[ \left(\frac{p}{2}\right)^2. \]
Esto se debe a que
\[ (x+k)^2=x^2+2kx+k^2. \]
Por lo tanto, el coeficiente de \(x\) debe dividirse por 2 y luego elevarse al cuadrado.
Al completar el cuadrado, el término que agregas debe sumarse en ambos lados de la ecuación.
También es importante que, si \(a\neq 1\), primero dividas toda la ecuación por \(a\). Así el coeficiente de \(x^2\) queda igual a 1 y el procedimiento se simplifica.
Después de completar el cuadrado, puede ocurrir que el lado derecho sea negativo. En ese caso, la ecuación no tiene solución en \(\mathbb{R}\).
Ejemplo resuelto
Resolver \(x^2+6x+5=0\)
Paso 1: Movemos el término constante al lado derecho:
\[ x^2+6x=-5 \]
Paso 2: Calculamos el término que completa el cuadrado:
\[ \left(\frac{6}{2}\right)^2=3^2=9 \]
Paso 3: Sumamos 9 a ambos lados:
\[ x^2+6x+9=-5+9 \]
\[ (x+3)^2=4 \]
Paso 4: Tomamos raíz cuadrada:
\[ x+3=\pm 2 \]
Paso 5: Despejamos:
\[ x=-3\pm 2 \]
\[ x=-1 \qquad \text{y} \qquad x=-5 \]
Soluciones: \(x=-1\) y \(x=-5\).
Ejercicios
Resuelve las siguientes ecuaciones utilizando completación de cuadrados. En los ejercicios con \(a\neq 1\), conviene comenzar dividiendo toda la ecuación por \(a\).
Ejercicios con \(a=1\)
Ejercicio 1
Resolver \(x^2+4x+4=0\)
Paso 1: Movemos el término constante:
\[ x^2+4x=-4 \]
Paso 2: Completamos el cuadrado:
\[ \left(\frac{4}{2}\right)^2=4 \]
\[ x^2+4x+4=-4+4 \]
\[ (x+2)^2=0 \]
Paso 3: Resolvemos:
\[ x+2=0 \Rightarrow x=-2 \]
Solución: \(x=-2\) (raíz doble).
Ejercicio 2
Resolver \(x^2-2x-8=0\)
Paso 1: Movemos el término constante:
\[ x^2-2x=8 \]
Paso 2: Completamos el cuadrado:
\[ \left(\frac{-2}{2}\right)^2=1 \]
\[ x^2-2x+1=8+1 \]
\[ (x-1)^2=9 \]
Paso 3: Tomamos raíz cuadrada:
\[ x-1=\pm 3 \]
\[ x=1\pm 3 \]
\[ x=4 \qquad \text{y} \qquad x=-2 \]
Soluciones: \(x=4\) y \(x=-2\).
Ejercicio 3
Resolver \(x^2+10x+25=0\)
Paso 1: Movemos el término constante:
\[ x^2+10x=-25 \]
Paso 2: Completamos el cuadrado:
\[ \left(\frac{10}{2}\right)^2=25 \]
\[ x^2+10x+25=-25+25 \]
\[ (x+5)^2=0 \]
Paso 3: Resolvemos:
\[ x+5=0 \Rightarrow x=-5 \]
Solución: \(x=-5\) (raíz doble).
Ejercicio 4
Resolver \(x^2-6x+9=0\)
Paso 1: Movemos el término constante:
\[ x^2-6x=-9 \]
Paso 2: Completamos el cuadrado:
\[ \left(\frac{-6}{2}\right)^2=9 \]
\[ x^2-6x+9=-9+9 \]
\[ (x-3)^2=0 \]
Paso 3: Resolvemos:
\[ x-3=0 \Rightarrow x=3 \]
Solución: \(x=3\) (raíz doble).
Ejercicio 5
Resolver \(x^2+8x+16=0\)
Paso 1: Movemos el término constante:
\[ x^2+8x=-16 \]
Paso 2: Completamos el cuadrado:
\[ \left(\frac{8}{2}\right)^2=16 \]
\[ x^2+8x+16=-16+16 \]
\[ (x+4)^2=0 \]
Paso 3: Resolvemos:
\[ x+4=0 \Rightarrow x=-4 \]
Solución: \(x=-4\) (raíz doble).
Ejercicio 6
Resolver \(x^2-4x+3=0\)
Paso 1: Movemos el término constante:
\[ x^2-4x=-3 \]
Paso 2: Completamos el cuadrado:
\[ \left(\frac{-4}{2}\right)^2=4 \]
\[ x^2-4x+4=-3+4 \]
\[ (x-2)^2=1 \]
Paso 3: Tomamos raíz cuadrada:
\[ x-2=\pm 1 \]
\[ x=2\pm 1 \]
\[ x=3 \qquad \text{y} \qquad x=1 \]
Soluciones: \(x=3\) y \(x=1\).
Ejercicios con \(a\neq 1\)
Cuando \(a\neq 1\), primero divide toda la ecuación por \(a\). Luego completa el cuadrado usando el coeficiente lineal resultante.
Ejercicio 7
Resolver \(2x^2+8x+6=0\)
Paso 1: Dividimos por 2:
\[ x^2+4x+3=0 \]
Paso 2: Movemos el término constante:
\[ x^2+4x=-3 \]
Paso 3: Completamos el cuadrado:
\[ \left(\frac{4}{2}\right)^2=4 \]
\[ x^2+4x+4=-3+4 \]
\[ (x+2)^2=1 \]
Paso 4: Resolvemos:
\[ x+2=\pm 1 \]
\[ x=-1 \qquad \text{y} \qquad x=-3 \]
Soluciones: \(x=-1\) y \(x=-3\).
Ejercicio 8
Resolver \(3x^2-5x-2=0\)
Paso 1: Dividimos por 3:
\[ x^2-\frac{5}{3}x-\frac{2}{3}=0 \]
Paso 2: Movemos el término constante:
\[ x^2-\frac{5}{3}x=\frac{2}{3} \]
Paso 3: Completamos el cuadrado:
\[ \left(\frac{-5/3}{2}\right)^2=\left(-\frac{5}{6}\right)^2=\frac{25}{36} \]
\[ x^2-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} = \frac{2}{3}+\frac{25}{36} \]
\[ \left(x-\frac{5}{6}\right)^2=\frac{49}{36} \]
Paso 4: Tomamos raíz cuadrada:
\[ x-\frac{5}{6}=\pm \frac{7}{6} \]
\[ x=\frac{5}{6}\pm \frac{7}{6} \]
\[ x=2 \qquad \text{y} \qquad x=-\frac{1}{3} \]
Soluciones: \(x=2\) y \(x=-\frac{1}{3}\).
Ejercicio 9
Resolver \(4x^2+4x-8=0\)
Paso 1: Dividimos por 4:
\[ x^2+x-2=0 \]
Paso 2: Movemos el término constante:
\[ x^2+x=2 \]
Paso 3: Completamos el cuadrado:
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4} \]
\[ x^2+x+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4} \]
\[ \left(x+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{9}{4} \]
Paso 4: Resolvemos:
\[ x+\frac{1}{2}=\pm \frac{3}{2} \]
\[ x=1 \qquad \text{y} \qquad x=-2 \]
Soluciones: \(x=1\) y \(x=-2\).
Ejercicio 10
Resolver \(5x^2-7x+2=0\)
Paso 1: Dividimos por 5:
\[ x^2-\frac{7}{5}x+\frac{2}{5}=0 \]
Paso 2: Movemos el término constante:
\[ x^2-\frac{7}{5}x=-\frac{2}{5} \]
Paso 3: Completamos el cuadrado:
\[ \left(\frac{-7/5}{2}\right)^2=\left(-\frac{7}{10}\right)^2=\frac{49}{100} \]
\[ x^2-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100} = -\frac{2}{5}+\frac{49}{100} \]
\[ \left(x-\frac{7}{10}\right)^2=\frac{9}{100} \]
Paso 4: Resolvemos:
\[ x-\frac{7}{10}=\pm \frac{3}{10} \]
\[ x=1 \qquad \text{y} \qquad x=\frac{2}{5} \]
Soluciones: \(x=1\) y \(x=\frac{2}{5}\).
Ejercicio 11
Resolver \(6x^2+2x-4=0\)
Paso 1: Dividimos por 6:
\[ x^2+\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}=0 \]
Paso 2: Movemos el término constante:
\[ x^2+\frac{1}{3}x=\frac{2}{3} \]
Paso 3: Completamos el cuadrado:
\[ \left(\frac{1/3}{2}\right)^2=\left(\frac{1}{6}\right)^2=\frac{1}{36} \]
\[ x^2+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36} = \frac{2}{3}+\frac{1}{36} \]
\[ \left(x+\frac{1}{6}\right)^2=\frac{25}{36} \]
Paso 4: Resolvemos:
\[ x+\frac{1}{6}=\pm \frac{5}{6} \]
\[ x=\frac{2}{3} \qquad \text{y} \qquad x=-1 \]
Soluciones: \(x=\frac{2}{3}\) y \(x=-1\).
Ejercicio 12
Resolver \(7x^2-9x+3=0\)
Paso 1: Dividimos por 7:
\[ x^2-\frac{9}{7}x+\frac{3}{7}=0 \]
Paso 2: Movemos el término constante:
\[ x^2-\frac{9}{7}x=-\frac{3}{7} \]
Paso 3: Completamos el cuadrado:
\[ \left(\frac{-9/7}{2}\right)^2=\left(-\frac{9}{14}\right)^2=\frac{81}{196} \]
\[ x^2-\frac{9}{7}x+\frac{81}{196} = -\frac{3}{7}+\frac{81}{196} \]
\[ \left(x-\frac{9}{14}\right)^2=-\frac{3}{196} \]
Paso 4: Analizamos el resultado:
El lado izquierdo es un cuadrado, por lo tanto no puede ser negativo en \(\mathbb{R}\).
Conclusión: la ecuación no tiene solución real.
Completar el cuadrado consiste en transformar una ecuación cuadrática en una forma como
\[ (x+k)^2=r. \]
Desde ahí, resolver se vuelve más directo: se toma raíz cuadrada y luego se despeja la incógnita.
Este método ayuda a comprender la estructura de una ecuación cuadrática y permite resolverla incluso cuando no se factoriza fácilmente. Además, muestra con claridad cuándo una ecuación tiene dos soluciones reales, una solución doble o ninguna solución real.
11. Heehhe
- Marca una sola alternativa por pregunta.
- Resuelve las ecuaciones mostrando desarrollo en tu cuaderno si el profesor(a) lo solicita.
- Cuando corresponda, simplifica antes de resolver.
- Usa coma decimal en los resultados decimales.
- Cada pregunta vale 2 puntos.
¿Cuál es la solución de la ecuación \(x + 7 = 19\)?
- \(x=12\)
- \(x=26\)
- \(x=10\)
- \(x=11\)
Resuelve: \(3x=27\).
- \(x=6\)
- \(x=9\)
- \(x=8\)
- \(x=24\)
La solución de \(2x-5=9\) es:
- \(x=6\)
- \(x=8\)
- \(x=7\)
- \(x=2\)
Resuelve la ecuación \(5x+4=3x+18\).
- \(x=5\)
- \(x=6\)
- \(x=8\)
- \(x=7\)
¿Qué valor de \(x\) satisface \(\dfrac{x}{4}=3\)?
- \(x=7\)
- \(x=10\)
- \(x=12\)
- \(x=14\)
Resuelve: \(\dfrac{x-1}{3}=5\).
- \(x=14\)
- \(x=16\)
- \(x=15\)
- \(x=18\)
La ecuación \(4(x-2)=20\) tiene por solución:
- \(x=6\)
- \(x=7\)
- \(x=5\)
- \(x=8\)
Resuelve: \(2(x+3)=x+11\).
- \(x=7\)
- \(x=5\)
- \(x=8\)
- \(x=6\)
¿Cuál es la solución de \(7-2x=1\)?
- \(x=4\)
- \(x=2\)
- \(x=3\)
- \(x=-3\)
La edad de Ana es \(x\). Si el doble de su edad más \(3\) es \(19\), entonces \(x\) es:
- \(7\)
- \(8\)
- \(9\)
- \(11\)
Resuelve la ecuación \(x^2=49\).
- \(x=49\)
- \(x=\pm 6\)
- \(x=\pm 7\)
- \(x=7\)
¿Cuáles son las soluciones de \(x^2-9=0\)?
- \(x=9\)
- \(x=\pm 3\)
- \(x=3\)
- \(x=\pm 9\)
Resuelve: \(x^2-5x+6=0\).
- \(x=2\) y \(x=3\)
- \(x=-2\) y \(x=-3\)
- \(x=1\) y \(x=6\)
- \(x=2\) y \(x=-3\)
La ecuación \((x-4)(x+1)=0\) tiene como soluciones:
- \(x=4\) y \(x=1\)
- \(x=-4\) y \(x=1\)
- \(x=4\) y \(x=-1\)
- \(x=-4\) y \(x=-1\)
Un rectángulo tiene largo \(x+3\) y ancho \(x\). Si su área es \(40\), ¿qué ecuación permite determinar \(x\)?
- \(x+x+3=40\)
- \((x+3)^2=40\)
- \(2x+3=40\)
- \(x(x+3)=40\)
12. Hxh
- Cada pregunta correcta equivale a 2 puntos.
- Puntaje total: 30 puntos.
- Puntaje mínimo de aprobación: 18 puntos.
- En la pregunta 7, la alternativa correcta es B.
Hoja de respuestas
- A
- B
- C
- D
- C
- B
- B
- B
- C
- B
- C
- B
- A
- C
- D
Desarrollo breve de respuestas
- \(x+7=19\Rightarrow x=12\)
- \(3x=27\Rightarrow x=9\)
- \(2x-5=9\Rightarrow 2x=14\Rightarrow x=7\)
- \(5x+4=3x+18\Rightarrow 2x=14\Rightarrow x=7\)
- \(\dfrac{x}{4}=3\Rightarrow x=12\)
- \(\dfrac{x-1}{3}=5\Rightarrow x-1=15\Rightarrow x=16\)
- \(4(x-2)=20\Rightarrow x-2=5\Rightarrow x=7\)
- \(2(x+3)=x+11\Rightarrow 2x+6=x+11\Rightarrow x=5\)
- \(7-2x=1\Rightarrow -2x=-6\Rightarrow x=3\)
- \(2x+3=19\Rightarrow 2x=16\Rightarrow x=8\)
- \(x^2=49\Rightarrow x=\pm 7\)
- \(x^2-9=0\Rightarrow (x-3)(x+3)=0\Rightarrow x=\pm 3\)
- \(x^2-5x+6=0\Rightarrow (x-2)(x-3)=0\Rightarrow x=2\) y \(x=3\)
- \((x-4)(x+1)=0\Rightarrow x=4\) o \(x=-1\)
- Área del rectángulo: \(x(x+3)=40\)
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