Logaritmos
| Sitio: | MATEMÁTICAS × Profe Arauco |
| Curso: | Media 2 |
| Libro: | Logaritmos |
| Imprimido por: | Invitado |
| Día: | jueves, 23 de abril de 2026, 10:44 |
Tabla de contenidos
- 1. Definición del Logaritmo
- 2. Casos Fundamentales del Logaritmo
- 3. Propiedad del Producto
- 4. Propiedad del Cociente
- 5. Propiedad de la Potencia
- 6. Logaritmo de una Raíz
- 7. Cambio de Base
- 8. Bases Potencia y Bases Raíz
- 9. Potencias en la Base y en el Argumento
- 10. Cancelación entre Potencia y Logaritmo
- 11. Errores Frecuentes y Restricciones
- 12. Usos y Aplicaciones de los Logaritmos
- 13. Interpretación Gráfica del Logaritmo
- 14. Ejercicios Integrados de Logaritmos
1. Definición del Logaritmo
Objetivo de aprendizaje
Comprender qué es un logaritmo como operación inversa de la potenciación, identificando sus elementos y condiciones de existencia.
\[ \log_a(c)=b \iff a^b=c \]
Un logaritmo responde a la pregunta: ¿a qué exponente debo elevar la base para obtener el argumento?
- Base: \(a\)
- Argumento: \(c\)
- Valor del logaritmo: \(b\)
El logaritmo es la operación inversa de la potencia.
Si: \[ a^b=c \] entonces: \[ \log_a(c)=b \]
- La base debe ser positiva: \(a>0\)
- La base no puede ser 1: \(a\neq 1\)
- El argumento debe ser positivo: \(c>0\)
Ejemplo 1: interpretación del logaritmo
\[ \log_5(25)=2 \]
Esto significa que:
\[ 5^2=25 \]
Es decir, debemos elevar 5 al exponente 2 para obtener 25.
Ejemplo 2: otro caso
\[ \log_2(16)=4 \]
Porque:
\[ 2^4=16 \]
Ejercicio 1
Completa los siguientes logaritmos:
\(\log_3(9)=\_\_\_\_\)
\(\log_{10}(100)=\_\_\_\_\)
\(\log_2(8)=\_\_\_\_\)
\[ \log_3(9)=2 \quad \text{porque } 3^2=9 \]
\[ \log_{10}(100)=2 \quad \text{porque } 10^2=100 \]
\[ \log_2(8)=3 \quad \text{porque } 2^3=8 \]
Ejercicio 2
Determina el valor de \(x\):
\(\log_4(64)=x\)
\[ 4^x=64 \]
Como \(4^3=64\), entonces:
\[ x=3 \]
El logaritmo permite transformar una potencia en una pregunta sobre exponentes. Dominar esta relación es clave para todo el resto de la unidad.
2. Casos Fundamentales del Logaritmo
Objetivo de aprendizaje
Reconocer y aplicar los casos básicos de logaritmos que se derivan directamente de la definición y permiten calcular valores de forma inmediata.
Los casos fundamentales provienen directamente de la definición:
\[ \log_a(c)=b \iff a^b=c \]
\[ \log_a(1)=0 \]
Porque: \[ a^0=1 \]
\[ \log_a(a)=1 \]
Porque: \[ a^1=a \]
\[ \log_a\left(\frac{1}{a}\right)=-1 \]
Porque: \[ a^{-1}=\frac{1}{a} \]
Todos estos resultados se obtienen aplicando la definición de logaritmo y recordando propiedades de las potencias:
- \(a^0=1\)
- \(a^1=a\)
- \(a^{-1}=\frac{1}{a}\)
Ejemplo 1
\[ \log_7(1)=0 \]
Porque:
\[ 7^0=1 \]
Ejemplo 2
\[ \log_3(3)=1 \]
Porque:
\[ 3^1=3 \]
Ejemplo 3
\[ \log_5\left(\frac{1}{5}\right)=-1 \]
Porque:
\[ 5^{-1}=\frac{1}{5} \]
Ejercicio 1
Calcula:
\(\log_2(1)\)
\(\log_9(9)\)
\(\log_4\left(\frac{1}{4}\right)\)
\(\log_2(1)=0\)
\(\log_9(9)=1\)
\(\log_4\left(\frac{1}{4}\right)=-1\)
Ejercicio 2
Completa:
\(\log_6(1)=\_\_\_\_\)
\(\log_8(8)=\_\_\_\_\)
\(\log_3\left(\frac{1}{3}\right)=\_\_\_\_\)
\(\log_6(1)=0\)
\(\log_8(8)=1\)
\(\log_3\left(\frac{1}{3}\right)=-1\)
Estos casos solo funcionan si se cumplen las condiciones del logaritmo:
- Base positiva y distinta de 1
- Argumento positivo
Los casos fundamentales permiten resolver rápidamente muchos logaritmos sin aplicar propiedades más complejas.
3. Propiedad del Producto
Objetivo de aprendizaje
Aplicar la propiedad del producto de los logaritmos para transformar el logaritmo de una multiplicación en una suma de logaritmos.
Si \(a>0\), \(a\neq 1\), \(b>0\) y \(c>0\), entonces:
\[ \log_a(bc)=\log_a(b)+\log_a(c) \]
El logaritmo de un producto se puede separar como una suma de logaritmos, siempre que ambos factores sean positivos.
Esta propiedad permite simplificar expresiones y también desarrollar cálculos paso a paso con mayor claridad.
Cuando dentro del logaritmo hay una multiplicación, afuera aparece una suma.
\[ \log_a(bc)\rightarrow \log_a(b)+\log_a(c) \]
Esta propiedad sirve para el producto, no para la suma.
En general:
\[ \log_a(b+c)\neq \log_a(b)+\log_a(c) \]
Ejemplo 1: aplicación directa
Simplifiquemos:
\[ \log_2(8\cdot 4) \]
Aplicamos la propiedad del producto:
\[ \log_2(8\cdot 4)=\log_2(8)+\log_2(4) \]
Ahora calculamos cada logaritmo:
\[ \log_2(8)=3 \qquad \log_2(4)=2 \]
Entonces:
\[ \log_2(8\cdot 4)=3+2=5 \]
Ejemplo 2: usando letras
Simplifiquemos:
\[ \log_a(xy) \]
Aplicamos la propiedad:
\[ \log_a(xy)=\log_a(x)+\log_a(y) \]
Esta igualdad es válida solo si \(x>0\) e \(y>0\).
Ejemplo 3: verificación con potencias
Observemos:
\[ \log_3(9\cdot 27)=\log_3(243) \]
Como \(243=3^5\), se tiene:
\[ \log_3(243)=5 \]
Por la propiedad del producto:
\[ \log_3(9)+\log_3(27)=2+3=5 \]
Se obtiene el mismo resultado.
Ejercicio 1
Aplica la propiedad del producto y calcula:
\(\log_2(2\cdot 8)\)
\(\log_5(5\cdot 25)\)
\(\log_3(3\cdot 9)\)
\[ \log_2(2\cdot 8)=\log_2(2)+\log_2(8)=1+3=4 \]
\[ \log_5(5\cdot 25)=\log_5(5)+\log_5(25)=1+2=3 \]
\[ \log_3(3\cdot 9)=\log_3(3)+\log_3(9)=1+2=3 \]
Ejercicio 2
Reescribe usando suma de logaritmos:
\(\log_a(mn)\)
\(\log_7(xy)\)
\(\log_b(uv)\)
\[ \log_a(mn)=\log_a(m)+\log_a(n) \]
\[ \log_7(xy)=\log_7(x)+\log_7(y) \]
\[ \log_b(uv)=\log_b(u)+\log_b(v) \]
Ejercicio 3
Decide si la transformación es correcta o incorrecta:
\(\log_4(2\cdot 8)=\log_4(2)+\log_4(8)\)
\(\log_6(3+2)=\log_6(3)+\log_6(2)\)
La primera transformación es correcta, porque corresponde a un producto.
La segunda transformación es incorrecta, porque la propiedad no se aplica a una suma.
La propiedad del producto transforma multiplicaciones en sumas de logaritmos. Es una de las herramientas más importantes para simplificar expresiones logarítmicas.
4. Propiedad del Cociente
Objetivo de aprendizaje
Aplicar la propiedad del cociente de los logaritmos para transformar el logaritmo de una división en una resta de logaritmos.
Si \(a>0\), \(a\neq 1\), \(b>0\) y \(c>0\), entonces:
\[ \log_a\left(\frac{b}{c}\right)=\log_a(b)-\log_a(c) \]
El logaritmo de un cociente se puede separar como una resta de logaritmos, siempre que el numerador y el denominador sean positivos.
Esta propiedad permite descomponer expresiones y simplificar cálculos paso a paso.
Cuando dentro del logaritmo hay una división, afuera aparece una resta.
\[ \log_a\left(\frac{b}{c}\right)\rightarrow \log_a(b)-\log_a(c) \]
Para aplicar esta propiedad, tanto \(b\) como \(c\) deben ser positivos.
Además, \(c\neq 0\), porque no se puede dividir por cero.
Ejemplo 1: aplicación directa
Simplifiquemos:
\[ \log_2\left(\frac{8}{4}\right) \]
Aplicamos la propiedad del cociente:
\[ \log_2\left(\frac{8}{4}\right)=\log_2(8)-\log_2(4) \]
Ahora calculamos cada logaritmo:
\[ \log_2(8)=3 \qquad \log_2(4)=2 \]
Entonces:
\[ \log_2\left(\frac{8}{4}\right)=3-2=1 \]
Ejemplo 2: usando letras
Simplifiquemos:
\[ \log_a\left(\frac{x}{y}\right) \]
Aplicamos la propiedad:
\[ \log_a\left(\frac{x}{y}\right)=\log_a(x)-\log_a(y) \]
Esta igualdad es válida solo si \(x>0\) e \(y>0\).
Ejemplo 3: consecuencia útil
A partir de la propiedad del cociente, se cumple que:
\[ \log_a\left(\frac{x}{y}\right)=\log_a(x)-\log_a(y) \]
y también:
\[ \log_a\left(\frac{y}{x}\right)=\log_a(y)-\log_a(x) \]
Por lo tanto:
\[ \log_a\left(\frac{x}{y}\right)=-\log_a\left(\frac{y}{x}\right) \]
Ejercicio 1
Aplica la propiedad del cociente y calcula:
\(\log_2\left(\frac{8}{2}\right)\)
\(\log_5\left(\frac{25}{5}\right)\)
\(\log_3\left(\frac{27}{9}\right)\)
\[ \log_2\left(\frac{8}{2}\right)=\log_2(8)-\log_2(2)=3-1=2 \]
\[ \log_5\left(\frac{25}{5}\right)=\log_5(25)-\log_5(5)=2-1=1 \]
\[ \log_3\left(\frac{27}{9}\right)=\log_3(27)-\log_3(9)=3-2=1 \]
Ejercicio 2
Reescribe usando resta de logaritmos:
\(\log_a\left(\frac{m}{n}\right)\)
\(\log_7\left(\frac{x}{y}\right)\)
\(\log_b\left(\frac{u}{v}\right)\)
\[ \log_a\left(\frac{m}{n}\right)=\log_a(m)-\log_a(n) \]
\[ \log_7\left(\frac{x}{y}\right)=\log_7(x)-\log_7(y) \]
\[ \log_b\left(\frac{u}{v}\right)=\log_b(u)-\log_b(v) \]
Ejercicio 3
Completa:
\(\log_a\left(\frac{x}{y}\right)=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\)
\(\log_a\left(\frac{y}{x}\right)=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\)
\(-\log_a\left(\frac{y}{x}\right)=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\)
\[ \log_a\left(\frac{x}{y}\right)=\log_a(x)-\log_a(y) \]
\[ \log_a\left(\frac{y}{x}\right)=\log_a(y)-\log_a(x) \]
\[ -\log_a\left(\frac{y}{x}\right)=\log_a(x)-\log_a(y)=\log_a\left(\frac{x}{y}\right) \]
La propiedad del cociente transforma divisiones en restas de logaritmos. Junto con la propiedad del producto, permite reescribir muchas expresiones de forma más simple y ordenada.
5. Propiedad de la Potencia
Objetivo de aprendizaje
Aplicar la propiedad de la potencia en logaritmos para simplificar expresiones y reconocer el exponente como un factor que puede salir del logaritmo.
Si \(a>0\), \(a\neq 1\), \(b>0\) y \(c\in\mathbb{R}\), entonces:
\[ \log_a\left(b^c\right)=c\log_a(b) \]
Cuando el argumento del logaritmo está elevado a una potencia, ese exponente puede pasar adelante multiplicando.
Esta propiedad es muy útil para simplificar expresiones y también para trabajar con raíces, ya que una raíz puede escribirse como una potencia fraccionaria.
Si el exponente está dentro del logaritmo, puede salir multiplicando.
\[ \log_a\left(b^c\right)\rightarrow c\log_a(b) \]
La propiedad de la potencia actúa sobre el argumento completo.
Por ejemplo:
\[ \log_a\left(x^3\right)=3\log_a(x) \]
pero no se puede inventar una potencia si el exponente no está realmente en el argumento.
Ejemplo 1: potencia entera
Simplifiquemos:
\[ \log_2\left(8^2\right) \]
Aplicamos la propiedad de la potencia:
\[ \log_2\left(8^2\right)=2\log_2(8) \]
Como:
\[ \log_2(8)=3 \]
entonces:
\[ \log_2\left(8^2\right)=2\cdot 3=6 \]
Ejemplo 2: potencia con variable
Simplifiquemos:
\[ \log_a\left(x^5\right) \]
Aplicamos la propiedad:
\[ \log_a\left(x^5\right)=5\log_a(x) \]
Esta expresión es válida cuando \(x>0\).
Ejemplo 3: caso con raíz
Recordemos que una raíz puede escribirse como potencia:
\[ \sqrt[3]{x}=x^{1/3} \]
Entonces:
\[ \log_a\left(\sqrt[3]{x}\right)=\log_a\left(x^{1/3}\right) \]
Aplicamos la propiedad:
\[ \log_a\left(x^{1/3}\right)=\frac{1}{3}\log_a(x) \]
Como: \[ \sqrt[c]{b}=b^{1/c} \]
se obtiene: \[ \log_a\left(\sqrt[c]{b}\right)=\log_a\left(b^{1/c}\right)=\frac{1}{c}\log_a(b) \]
Ejercicio 1
Aplica la propiedad de la potencia y calcula:
\(\log_2(4^3)\)
\(\log_3(9^2)\)
\(\log_5(25^2)\)
\[ \log_2(4^3)=3\log_2(4)=3\cdot 2=6 \]
\[ \log_3(9^2)=2\log_3(9)=2\cdot 2=4 \]
\[ \log_5(25^2)=2\log_5(25)=2\cdot 2=4 \]
Ejercicio 2
Reescribe usando la propiedad de la potencia:
\(\log_a(m^7)\)
\(\log_4(x^3)\)
\(\log_b(y^n)\)
\[ \log_a(m^7)=7\log_a(m) \]
\[ \log_4(x^3)=3\log_4(x) \]
\[ \log_b(y^n)=n\log_b(y) \]
Ejercicio 3
Escribe cada raíz como potencia y luego aplica la propiedad:
\(\log_a(\sqrt{x})\)
\(\log_2(\sqrt[3]{8})\)
\(\log_b(\sqrt[4]{m})\)
\[ \log_a(\sqrt{x})=\log_a(x^{1/2})=\frac{1}{2}\log_a(x) \]
\[ \log_2(\sqrt[3]{8})=\log_2(8^{1/3})=\frac{1}{3}\log_2(8)=\frac{1}{3}\cdot 3=1 \]
\[ \log_b(\sqrt[4]{m})=\log_b(m^{1/4})=\frac{1}{4}\log_b(m) \]
La propiedad de la potencia permite sacar exponentes del argumento y convertirlos en factores. Esto simplifica mucho el trabajo con potencias y raíces dentro de los logaritmos.
6. Logaritmo de una Raíz
Objetivo de aprendizaje
Relacionar el logaritmo de una raíz con la propiedad de la potencia, reescribiendo raíces como potencias de exponente fraccionario para simplificar expresiones logarítmicas.
Una raíz puede escribirse como una potencia con exponente fraccionario:
\[ \sqrt[c]{b}=b^{1/c} \]
Por eso, el logaritmo de una raíz se resuelve aplicando la propiedad de la potencia.
Si \(a>0\), \(a\neq 1\), \(b>0\) y \(c\in\mathbb{N}\), entonces:
\[ \log_a\left(\sqrt[c]{b}\right)=\log_a\left(b^{1/c}\right)=\frac{1}{c}\log_a(b) \]
Primero se transforma la raíz en potencia:
\[ \sqrt[c]{b}=b^{1/c} \]
Luego se aplica la propiedad:
\[ \log_a\left(b^{1/c}\right)=\frac{1}{c}\log_a(b) \]
Así, el índice de la raíz pasa a ser el denominador de una fracción que multiplica al logaritmo.
Aunque aparezca una raíz, el argumento del logaritmo debe seguir siendo positivo.
En este contexto trabajaremos con expresiones donde:
- \(a>0\)
- \(a\neq 1\)
- \(b>0\)
Ejemplo 1: raíz cuadrada
Simplifiquemos:
\[ \log_3(\sqrt{9}) \]
Escribimos la raíz como potencia:
\[ \sqrt{9}=9^{1/2} \]
Entonces:
\[ \log_3(\sqrt{9})=\log_3(9^{1/2})=\frac{1}{2}\log_3(9) \]
Como:
\[ \log_3(9)=2 \]
se obtiene:
\[ \log_3(\sqrt{9})=\frac{1}{2}\cdot 2=1 \]
Ejemplo 2: raíz cúbica
Simplifiquemos:
\[ \log_2(\sqrt[3]{8}) \]
Reescribimos:
\[ \sqrt[3]{8}=8^{1/3} \]
Aplicamos la propiedad:
\[ \log_2(8^{1/3})=\frac{1}{3}\log_2(8) \]
Como:
\[ \log_2(8)=3 \]
entonces:
\[ \log_2(\sqrt[3]{8})=\frac{1}{3}\cdot 3=1 \]
Ejemplo 3: expresión literal
Simplifiquemos:
\[ \log_a(\sqrt[5]{x}) \]
Escribimos la raíz como potencia:
\[ \sqrt[5]{x}=x^{1/5} \]
Luego:
\[ \log_a(\sqrt[5]{x})=\log_a(x^{1/5})=\frac{1}{5}\log_a(x) \]
Esta expresión es válida para \(x>0\).
\[ \log_a(\sqrt{b})=\frac{1}{2}\log_a(b) \]
\[ \log_a(\sqrt[3]{b})=\frac{1}{3}\log_a(b) \]
\[ \log_a(\sqrt[4]{b})=\frac{1}{4}\log_a(b) \]
Ejercicio 1
Escribe cada raíz como potencia y luego simplifica:
\(\log_5(\sqrt{25})\)
\(\log_2(\sqrt[3]{8})\)
\(\log_4(\sqrt{16})\)
\[ \log_5(\sqrt{25})=\log_5(25^{1/2})=\frac{1}{2}\log_5(25)=\frac{1}{2}\cdot 2=1 \]
\[ \log_2(\sqrt[3]{8})=\log_2(8^{1/3})=\frac{1}{3}\log_2(8)=\frac{1}{3}\cdot 3=1 \]
\[ \log_4(\sqrt{16})=\log_4(16^{1/2})=\frac{1}{2}\log_4(16)=\frac{1}{2}\cdot 2=1 \]
Ejercicio 2
Reescribe usando un coeficiente delante del logaritmo:
\(\log_a(\sqrt{x})\)
\(\log_b(\sqrt[3]{m})\)
\(\log_7(\sqrt[4]{y})\)
\[ \log_a(\sqrt{x})=\frac{1}{2}\log_a(x) \]
\[ \log_b(\sqrt[3]{m})=\frac{1}{3}\log_b(m) \]
\[ \log_7(\sqrt[4]{y})=\frac{1}{4}\log_7(y) \]
Ejercicio 3
Completa:
\(\log_a(\sqrt[6]{x})=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\)
\(\log_3(\sqrt[2]{9})=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\)
\(\log_b(\sqrt[n]{m})=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\)
\[ \log_a(\sqrt[6]{x})=\frac{1}{6}\log_a(x) \]
\[ \log_3(\sqrt[2]{9})=\frac{1}{2}\log_3(9)=\frac{1}{2}\cdot 2=1 \]
\[ \log_b(\sqrt[n]{m})=\frac{1}{n}\log_b(m) \]
El logaritmo de una raíz se resuelve transformando la raíz en potencia. Así, el índice de la raíz pasa a ser un divisor del logaritmo.
7. Cambio de Base
Objetivo de aprendizaje
Aplicar la propiedad de cambio de base para reescribir logaritmos en una base más conveniente y simplificar cálculos.
A veces un logaritmo está escrito en una base poco cómoda para calcularlo directamente. En esos casos, se puede transformar a otra base equivalente.
Si \(a>0\), \(a\neq 1\), \(b>0\), \(c>0\) y \(c\neq 1\), entonces:
\[ \log_a(b)=\frac{\log_c(b)}{\log_c(a)} \]
Aquí, \(c\) es una nueva base que elegimos para reescribir el logaritmo.
Esta propiedad permite expresar un logaritmo en otra base más conocida o más fácil de trabajar.
Por ejemplo, se puede cambiar a base \(10\) o a base \(e\), según convenga.
Usando base \(10\):
\[ \log_a(b)=\frac{\log(b)}{\log(a)} \]
donde \(\log\) representa el logaritmo decimal.
También se cumple:
\[ \log_a(b)=\frac{1}{\log_b(a)} \]
En el cambio de base, la nueva base \(c\) también debe cumplir las condiciones del logaritmo:
- \(c>0\)
- \(c\neq 1\)
Además, no se debe olvidar que el argumento sigue siendo positivo.
Ejemplo 1: cambio a base 10
Reescribamos:
\[ \log_2(8) \]
Aplicamos cambio de base con \(c=10\):
\[ \log_2(8)=\frac{\log(8)}{\log(2)} \]
Sabemos que el valor del logaritmo es \(3\), porque:
\[ 2^3=8 \]
Por lo tanto:
\[ \frac{\log(8)}{\log(2)}=3 \]
Ejemplo 2: cambio de base general
Reescribamos:
\[ \log_4(7) \]
Usamos cambio de base con \(c=10\):
\[ \log_4(7)=\frac{\log(7)}{\log(4)} \]
Esta forma permite calcular el valor con calculadora.
Ejemplo 3: propiedad recíproca
Observemos:
\[ \log_2(8)=3 \]
Entonces:
\[ \log_8(2)=\frac{1}{3} \]
Esto coincide con:
\[ \log_a(b)=\frac{1}{\log_b(a)} \]
ya que:
\[ \log_2(8)=\frac{1}{\log_8(2)} \]
Ejercicio 1
Reescribe usando cambio de base decimal:
\(\log_3(5)\)
\(\log_7(2)\)
\(\log_4(11)\)
\[ \log_3(5)=\frac{\log(5)}{\log(3)} \]
\[ \log_7(2)=\frac{\log(2)}{\log(7)} \]
\[ \log_4(11)=\frac{\log(11)}{\log(4)} \]
Ejercicio 2
Aplica la propiedad:
\(\log_2(5)=\dfrac{1}{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}\)
\(\log_3(9)=\dfrac{1}{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}\)
\(\log_a(b)=\dfrac{1}{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}\)
\[ \log_2(5)=\frac{1}{\log_5(2)} \]
\[ \log_3(9)=\frac{1}{\log_9(3)} \]
\[ \log_a(b)=\frac{1}{\log_b(a)} \]
Ejercicio 3
Calcula usando cambio de base o razonamiento directo:
\(\log_2(8)\)
\(\log_9(3)\)
\(\log_5(25)\)
\[ \log_2(8)=3 \]
\[ \log_9(3)=\frac{1}{2} \]
\[ \log_5(25)=2 \]
El cambio de base permite transformar un logaritmo a otra base equivalente. Es una herramienta muy útil para calcular, comparar y simplificar expresiones logarítmicas.
8. Bases Potencia y Bases Raíz
Objetivo de aprendizaje
Aplicar propiedades de logaritmos cuando la base está escrita como potencia o como raíz de otra base conocida.
A veces la base de un logaritmo no aparece de forma simple, sino como una potencia o como una raíz.
En esos casos, conviene expresar todo en función de una misma base para reconocer el exponente buscado.
Si \(a>0\), \(a\neq 1\) y \(b\neq 0\), entonces:
\[ \log_{a^b}(a)=\frac{1}{b} \]
Esto ocurre porque buscamos el exponente \(x\) tal que:
\[ (a^b)^x=a \]
Entonces:
\[ a^{bx}=a^1 \quad \Rightarrow \quad bx=1 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{1}{b} \]
Como: \[ \sqrt[b]{a}=a^{1/b} \]
se obtiene:
\[ \log_{\sqrt[b]{a}}(a)=b \]
En efecto, si buscamos \(x\) tal que:
\[ \left(a^{1/b}\right)^x=a \]
entonces:
\[ a^{x/b}=a^1 \quad \Rightarrow \quad \frac{x}{b}=1 \quad \Rightarrow \quad x=b \]
En ambos casos se trabaja con la misma base \(a\), pero escrita de manera distinta.
La estrategia consiste en transformar la expresión para comparar exponentes y resolver la igualdad.
No se debe confundir:
\[ \log_{a^b}(a)=\frac{1}{b} \]
con la expresión incorrecta:
\[ \log_{a^b}(a)=\frac{1}{a} \]
El denominador correcto es el exponente \(b\), no la base \(a\).
Ejemplo 1: base potencia
Calculemos:
\[ \log_{2^3}(2) \]
Aplicamos la propiedad:
\[ \log_{2^3}(2)=\frac{1}{3} \]
Verificación:
\[ (2^3)^{1/3}=2 \]
Ejemplo 2: base raíz
Calculemos:
\[ \log_{\sqrt{5}}(5) \]
Como \(\sqrt{5}=5^{1/2}\), se tiene:
\[ \log_{5^{1/2}}(5)=2 \]
Verificación:
\[ \left(5^{1/2}\right)^2=5 \]
Ejemplo 3: otra base raíz
Calculemos:
\[ \log_{\sqrt[3]{7}}(7) \]
Como:
\[ \sqrt[3]{7}=7^{1/3} \]
resulta:
\[ \log_{7^{1/3}}(7)=3 \]
Ejercicio 1
Calcula:
\(\log_{3^2}(3)\)
\(\log_{5^4}(5)\)
\(\log_{10^3}(10)\)
\[ \log_{3^2}(3)=\frac{1}{2} \]
\[ \log_{5^4}(5)=\frac{1}{4} \]
\[ \log_{10^3}(10)=\frac{1}{3} \]
Ejercicio 2
Calcula:
\(\log_{\sqrt{2}}(2)\)
\(\log_{\sqrt[4]{3}}(3)\)
\(\log_{\sqrt[5]{11}}(11)\)
\[ \log_{\sqrt{2}}(2)=2 \]
\[ \log_{\sqrt[4]{3}}(3)=4 \]
\[ \log_{\sqrt[5]{11}}(11)=5 \]
Ejercicio 3
Completa:
\(\log_{a^b}(a)=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\)
\(\log_{\sqrt[b]{a}}(a)=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\)
\(\log_{a^{1/7}}(a)=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\)
\[ \log_{a^b}(a)=\frac{1}{b} \]
\[ \log_{\sqrt[b]{a}}(a)=b \]
\[ \log_{a^{1/7}}(a)=7 \]
Cuando la base aparece como potencia o como raíz, conviene reescribirla en función de una misma base para comparar exponentes y reconocer rápidamente el valor del logaritmo.
9. Potencias en la Base y en el Argumento
Objetivo de aprendizaje
Aplicar propiedades de logaritmos cuando tanto la base como el argumento aparecen escritos como potencias, simplificando expresiones al comparar exponentes.
Cuando la base y el argumento están expresados como potencias, conviene reescribir todo usando una misma base o aplicar cambio de base de forma ordenada.
Si \(a>0\), \(a\neq 1\) y \(b\neq 0\), entonces:
\[ \log_{a^b}(a^c)=\frac{c}{b} \]
En efecto, si:
\[ \log_{a^b}(a^c)=x \]
entonces:
\[ (a^b)^x=a^c \]
y por propiedades de potencias:
\[ a^{bx}=a^c \]
Por lo tanto:
\[ bx=c \quad \Rightarrow \quad x=\frac{c}{b} \]
Si \(a>0\), \(a\neq 1\), \(c>0\), \(d\in\mathbb{R}\) y \(b\neq 0\), entonces:
\[ \log_{a^b}(c^d)=\frac{d}{b}\log_a(c) \]
Esta propiedad puede obtenerse usando cambio de base:
\[ \log_{a^b}(c^d)=\frac{\log_a(c^d)}{\log_a(a^b)} \]
Luego:
\[ \log_a(c^d)=d\log_a(c) \qquad \text{y} \qquad \log_a(a^b)=b \]
Entonces:
\[ \log_{a^b}(c^d)=\frac{d\log_a(c)}{b}=\frac{d}{b}\log_a(c) \]
No se debe confundir:
\[ \log_{a^b}(c^d)=\frac{d}{b}\log_a(c) \]
con una expresión incorrecta como:
\[ \frac{d}{c}\log_a(c) \]
El denominador correcto es \(b\), porque proviene del exponente de la base \(a^b\).
Estas fórmulas son útiles cuando aparecen logaritmos más complejos y queremos simplificarlos rápidamente sin desarrollar demasiado.
También ayudan a reconocer patrones y a conectar cambio de base, potencia y cancelación.
Ejemplo 1: base y argumento con la misma base
Calculemos:
\[ \log_{2^3}(2^6) \]
Aplicamos la propiedad:
\[ \log_{2^3}(2^6)=\frac{6}{3}=2 \]
Verificación:
\[ (2^3)^2=2^6 \]
Ejemplo 2: otro caso directo
Calculemos:
\[ \log_{5^2}(5^7) \]
Usamos la propiedad:
\[ \log_{5^2}(5^7)=\frac{7}{2} \]
Ejemplo 3: base y argumento distintos
Simplifiquemos:
\[ \log_{2^3}(8^2) \]
Como \(8=2^3\), se tiene:
\[ 8^2=(2^3)^2=2^6 \]
Entonces:
\[ \log_{2^3}(8^2)=\log_{2^3}(2^6)=\frac{6}{3}=2 \]
Ejemplo 4: uso de la fórmula general
Simplifiquemos:
\[ \log_{3^2}(7^4) \]
Aplicamos:
\[ \log_{3^2}(7^4)=\frac{4}{2}\log_3(7) \]
Por lo tanto:
\[ \log_{3^2}(7^4)=2\log_3(7) \]
Ejercicio 1
Calcula:
\(\log_{3^2}(3^8)\)
\(\log_{10^4}(10^2)\)
\(\log_{7^3}(7^6)\)
\[ \log_{3^2}(3^8)=\frac{8}{2}=4 \]
\[ \log_{10^4}(10^2)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \]
\[ \log_{7^3}(7^6)=\frac{6}{3}=2 \]
Ejercicio 2
Simplifica:
\(\log_{a^b}(a^c)\)
\(\log_{m^2}(m^5)\)
\(\log_{x^7}(x^3)\)
\[ \log_{a^b}(a^c)=\frac{c}{b} \]
\[ \log_{m^2}(m^5)=\frac{5}{2} \]
\[ \log_{x^7}(x^3)=\frac{3}{7} \]
Ejercicio 3
Aplica la fórmula general:
\(\log_{2^2}(5^3)\)
\(\log_{a^4}(c^2)\)
\(\log_{7^5}(m^10)\)
\[ \log_{2^2}(5^3)=\frac{3}{2}\log_2(5) \]
\[ \log_{a^4}(c^2)=\frac{2}{4}\log_a(c)=\frac{1}{2}\log_a(c) \]
\[ \log_{7^5}(m^{10})=\frac{10}{5}\log_7(m)=2\log_7(m) \]
Cuando la base y el argumento aparecen como potencias, se pueden comparar exponentes o aplicar cambio de base para simplificar la expresión. Esto permite resolver logaritmos complejos de forma más rápida y ordenada.
10. Cancelación entre Potencia y Logaritmo
Objetivo de aprendizaje
Reconocer y aplicar la relación inversa entre la potenciación y el logaritmo para simplificar expresiones de forma directa y correcta.
La potenciación y el logaritmo son operaciones inversas cuando trabajan con la misma base.
Por eso, en ciertas expresiones se produce una cancelación directa.
Si \(a>0\), \(a\neq 1\), entonces:
\[ \log_a(a^b)=b \]
Esto ocurre porque el logaritmo responde a la pregunta: ¿a qué exponente hay que elevar la base \(a\) para obtener \(a^b\)?
La respuesta es justamente \(b\).
Si \(a>0\), \(a\neq 1\) y \(b>0\), entonces:
\[ a^{\log_a(b)}=b \]
En este caso, el exponente \(\log_a(b)\) indica exactamente cuánto hay que elevar la base \(a\) para obtener \(b\).
La definición de logaritmo dice:
\[ \log_a(c)=x \iff a^x=c \]
Entonces, si dentro del logaritmo aparece una potencia de base \(a\), o si un exponente es un logaritmo en base \(a\), ambas operaciones se deshacen entre sí.
La cancelación solo funciona cuando la base es la misma.
Por ejemplo:
\[ \log_2(2^5)=5 \]
pero no se puede cancelar directamente en:
\[ \log_2(3^5) \]
porque la base del logaritmo es \(2\) y la base de la potencia es \(3\).
Ejemplo 1: cancelación directa en un logaritmo
Simplifiquemos:
\[ \log_3(3^4) \]
Como la base del logaritmo y la base de la potencia son iguales, se cancela:
\[ \log_3(3^4)=4 \]
Ejemplo 2: cancelación en una potencia
Simplifiquemos:
\[ 5^{\log_5(7)} \]
Como la base es la misma, se cancela:
\[ 5^{\log_5(7)}=7 \]
Ejemplo 3: con una expresión algebraica
Simplifiquemos:
\[ a^{\log_a(x)} \]
Aplicando la cancelación:
\[ a^{\log_a(x)}=x \]
Esta igualdad es válida si \(a>0\), \(a\neq 1\) y \(x>0\).
Ejemplo 4: cuando no hay cancelación directa
Observemos:
\[ \log_2(8^2) \]
Aquí no se puede cancelar directamente, porque la base del logaritmo es \(2\) y la potencia está en base \(8\).
Sin embargo, como \(8=2^3\), se puede reescribir:
\[ \log_2(8^2)=\log_2\left((2^3)^2\right)=\log_2(2^6)=6 \]
Ejercicio 1
Simplifica aplicando cancelación directa:
\(\log_2(2^7)\)
\(\log_5(5^{-1})\)
\(\log_7(7^{3/2})\)
\[ \log_2(2^7)=7 \]
\[ \log_5(5^{-1})=-1 \]
\[ \log_7(7^{3/2})=\frac{3}{2} \]
Ejercicio 2
Simplifica:
\(2^{\log_2(9)}\)
\(10^{\log(4)}\)
\(a^{\log_a(m)}\)
\[ 2^{\log_2(9)}=9 \]
\[ 10^{\log(4)}=4 \]
\[ a^{\log_a(m)}=m \]
Ejercicio 3
Decide si hay cancelación directa. Si la hay, simplifica.
\(\log_3(3^x)\)
\(\log_4(2^x)\)
\(7^{\log_7(y)}\)
\[ \log_3(3^x)=x \]
En \(\log_4(2^x)\) no hay cancelación directa, porque las bases son distintas.
\[ 7^{\log_7(y)}=y \]
Cuando la base del logaritmo y la base de la potencia coinciden, ambas operaciones se anulan entre sí. Reconocer esta cancelación permite simplificar muchas expresiones de manera inmediata.
11. Errores Frecuentes y Restricciones
Objetivo de aprendizaje
Reconocer las restricciones de existencia de los logaritmos y evitar errores frecuentes al aplicar sus propiedades.
Para que \(\log_a(x)\) exista en los números reales, deben cumplirse estas condiciones:
\[ a>0,\qquad a\neq 1,\qquad x>0 \]
- La base debe ser positiva.
- La base no puede ser \(1\), porque \(1^n=1\) para todo exponente y no permite definir un logaritmo útil.
- El argumento debe ser positivo.
Las siguientes expresiones no existen en los números reales:
\[ \log_2(-3) \]
\[ \log_{-4}(7) \]
\[ \log_1(9) \]
Estas igualdades son falsas en general:
\[ \log_a(x+y)\neq \log_a(x)+\log_a(y) \]
\[ \log_a(x-y)\neq \log_a(x)-\log_a(y) \]
Las propiedades correctas son para:
- producto,
- cociente,
- potencia.
- Primero revisa si la base y el argumento cumplen las restricciones.
- Después identifica qué operación aparece dentro del logaritmo.
- Aplica propiedades solo si hay producto, cociente o potencia.
- No inventes propiedades para sumas o restas.
Ejemplo 1: argumento negativo
Analicemos:
\[ \log_3(-9) \]
Esta expresión no existe en \(\mathbb{R}\), porque el argumento del logaritmo es negativo.
En efecto, no existe ningún número real \(x\) tal que:
\[ 3^x=-9 \]
ya que una potencia de base positiva nunca da un resultado negativo.
Ejemplo 2: base negativa
Analicemos:
\[ \log_{-2}(8) \]
Esta expresión no se considera definida en los números reales dentro del estudio usual de logaritmos, porque la base debe ser positiva.
Ejemplo 3: una igualdad falsa
Revisemos si es cierto que:
\[ \log_2(2+2)=\log_2(2)+\log_2(2) \]
Lado izquierdo:
\[ \log_2(4)=2 \]
Lado derecho:
\[ \log_2(2)+\log_2(2)=1+1=2 \]
En este caso particular da el mismo resultado, pero eso ocurre por coincidencia numérica.
Ejemplo 4: por qué no es una propiedad
Probemos con otro ejemplo:
\[ \log_2(2+6)\stackrel{?}{=}\log_2(2)+\log_2(6) \]
Lado izquierdo:
\[ \log_2(8)=3 \]
Lado derecho:
\[ \log_2(2)+\log_2(6)=1+\log_2(6) \]
Como \(\log_2(6)\neq 2\), el resultado no es \(3\).
Por lo tanto:
\[ \log_2(2+6)\neq \log_2(2)+\log_2(6) \]
Ejercicio 1
Indica si cada logaritmo existe o no existe en \(\mathbb{R}\):
\(\log_4(16)\)
\(\log_2(-5)\)
\(\log_{-3}(9)\)
\(\log_1(7)\)
\(\log_4(16)\) sí existe, porque la base es positiva, distinta de 1, y el argumento es positivo.
\(\log_2(-5)\) no existe en \(\mathbb{R}\), porque el argumento es negativo.
\(\log_{-3}(9)\) no existe en el estudio usual de logaritmos reales, porque la base es negativa.
\(\log_1(7)\) no existe, porque la base no puede ser 1.
Ejercicio 2
Decide si cada igualdad es correcta o incorrecta:
\(\log_a(xy)=\log_a(x)+\log_a(y)\)
\(\log_a(x+y)=\log_a(x)+\log_a(y)\)
\(\log_a\left(\frac{x}{y}\right)=\log_a(x)-\log_a(y)\)
\(\log_a(x-y)=\log_a(x)-\log_a(y)\)
\(\log_a(xy)=\log_a(x)+\log_a(y)\) es correcta.
\(\log_a(x+y)=\log_a(x)+\log_a(y)\) es incorrecta.
\(\log_a\left(\frac{x}{y}\right)=\log_a(x)-\log_a(y)\) es correcta.
\(\log_a(x-y)=\log_a(x)-\log_a(y)\) es incorrecta.
Ejercicio 3
Explica cuál es el error en cada caso:
\(\log_3(5+4)=\log_3(5)+\log_3(4)\)
\(\log_{-2}(8)=3\)
\(\log_7(0)\)
En \(\log_3(5+4)=\log_3(5)+\log_3(4)\), el error es aplicar una propiedad a una suma. Esa propiedad no existe.
En \(\log_{-2}(8)=3\), el error es usar una base negativa. La base de un logaritmo real debe ser positiva.
\(\log_7(0)\) no existe en \(\mathbb{R}\), porque el argumento debe ser estrictamente positivo.
Antes de aplicar propiedades, siempre conviene revisar si el logaritmo existe. Respetar las restricciones y evitar propiedades falsas es clave para trabajar correctamente con logaritmos.
12. Usos y Aplicaciones de los Logaritmos
Objetivo de aprendizaje
Reconocer algunas aplicaciones de los logaritmos en situaciones reales, interpretando su utilidad para contar dígitos, comparar magnitudes y representar escalas logarítmicas.
Los logaritmos son útiles cuando una cantidad crece o disminuye muy rápido, o cuando necesitamos comparar números muy grandes o muy pequeños.
También permiten resumir información y trabajar con escalas donde un mismo aumento no representa una suma fija, sino una multiplicación.
Si \(n\) es un número natural y \(n\geq 1\), entonces la cantidad de dígitos de \(n\) se puede calcular con:
\[ \lfloor \log_{10}(n)\rfloor+1 \]
Aquí, \(\lfloor x\rfloor\) representa la parte entera de \(x\).
Los números de 1 dígito están entre \(1\) y \(9\), es decir, entre \(10^0\) y \(10^1\).
Los números de 2 dígitos están entre \(10\) y \(99\), es decir, entre \(10^1\) y \(10^2\).
Los números de 3 dígitos están entre \(100\) y \(999\), es decir, entre \(10^2\) y \(10^3\).
Por eso, el logaritmo en base 10 permite identificar el orden de magnitud de un número, y al sumar 1 obtenemos la cantidad de dígitos.
Ejemplo 1: cantidad de dígitos de 357
Calculemos:
\[ \lfloor \log(357)\rfloor+1 \]
Como:
\[ \log(357)\approx 2,55 \]
entonces:
\[ \lfloor 2,55\rfloor+1=2+1=3 \]
Por lo tanto, \(357\) tiene 3 dígitos.
Ejemplo 2: cantidad de dígitos de 1125
Aplicamos la fórmula:
\[ \lfloor \log(1125)\rfloor+1 \]
Como:
\[ \log(1125)\approx 3,05 \]
se obtiene:
\[ \lfloor 3,05\rfloor+1=3+1=4 \]
Entonces, \(1125\) tiene 4 dígitos.
Ejemplo 3: cantidad de dígitos de 32757
Calculamos:
\[ \lfloor \log(32757)\rfloor+1 \]
Como:
\[ \log(32757)\approx 4,51 \]
resulta:
\[ \lfloor 4,51\rfloor+1=4+1=5 \]
Por lo tanto, \(32757\) tiene 5 dígitos.
Algunas escalas reales usan logaritmos porque permiten comparar magnitudes que cambian muchísimo.
Un ejemplo conocido es la escala Richter, usada para describir terremotos.
En una escala logarítmica, un aumento de 1 unidad no significa sumar una cantidad fija, sino multiplicar por un mismo factor.
En base 10, aumentar 1 unidad en el logaritmo significa multiplicar por 10 la cantidad original.
Ejemplo 4: interpretar una escala logarítmica
Si dos cantidades tienen logaritmos decimales que difieren en 1 unidad, entonces una de ellas es 10 veces mayor que la otra.
Por ejemplo, si una cantidad tiene logaritmo \(3\) y otra tiene logaritmo \(4\), entonces:
\[ 10^4=10\cdot 10^3 \]
Por eso, la segunda cantidad es 10 veces mayor.
Cuando los números son muy grandes, los logaritmos ayudan a compararlos más fácilmente.
En vez de trabajar directamente con los valores completos, podemos comparar sus órdenes de magnitud.
Esto resulta útil en contextos como población, distancias astronómicas, intensidad de señales o clasificación de páginas y datos.
Ejemplo 5: comparar órdenes de magnitud
Consideremos los números:
\[ 1000 \qquad \text{y} \qquad 100000 \]
Sus logaritmos decimales son:
\[ \log(1000)=3 \qquad \text{y} \qquad \log(100000)=5 \]
Esto muestra que el segundo número está dos órdenes de magnitud por encima del primero.
Ejercicio 1
Calcula la cantidad de dígitos de cada número usando la fórmula:
\(58\)
\(999\)
\(12000\)
\[ \lfloor \log(58)\rfloor+1=\lfloor 1,76\rfloor+1=1+1=2 \]
Entonces, \(58\) tiene 2 dígitos.
\[ \lfloor \log(999)\rfloor+1=\lfloor 2,99\rfloor+1=2+1=3 \]
Entonces, \(999\) tiene 3 dígitos.
\[ \lfloor \log(12000)\rfloor+1=\lfloor 4,08\rfloor+1=4+1=5 \]
Entonces, \(12000\) tiene 5 dígitos.
Ejercicio 2
Completa:
Si \(\log(x)=2\), entonces \(x=\_\_\_\_\)
Si \(\log(x)=5\), entonces \(x=\_\_\_\_\)
Si dos cantidades difieren en 1 unidad de logaritmo decimal, una es \(\_\_\_\_\) veces la otra.
Si \(\log(x)=2\), entonces: \[ x=10^2=100 \]
Si \(\log(x)=5\), entonces: \[ x=10^5=100000 \]
Si dos cantidades difieren en 1 unidad de logaritmo decimal, una es 10 veces la otra.
Ejercicio 3
Responde:
¿Cuántos dígitos tiene \(1000000\)?
¿Cuál tiene mayor orden de magnitud: \(10^3\) o \(10^6\)?
¿Por qué las escalas logarítmicas son útiles para magnitudes muy grandes?
\(1000000\) tiene 7 dígitos.
\(10^6\) tiene mayor orden de magnitud que \(10^3\).
Las escalas logarítmicas son útiles porque permiten representar y comparar cantidades que cambian mucho, resumiendo grandes diferencias en una escala más manejable.
Los logaritmos no solo sirven para simplificar expresiones algebraicas. También ayudan a interpretar cantidades grandes, comparar órdenes de magnitud y construir escalas útiles en distintos contextos reales.
13. Interpretación Gráfica del Logaritmo
Objetivo de aprendizaje
Interpretar gráficamente la función logarítmica, reconociendo su dominio, algunos puntos clave y su relación con la función exponencial.
El logaritmo responde a la pregunta: ¿a qué exponente debo elevar la base para obtener un número?
Por eso, la gráfica de una función logarítmica se relaciona directamente con la función exponencial.
En esta página observaremos principalmente la función:
\[ y=\log_{10}(x) \]
También la compararemos con:
\[ y=10^x \]
- La función logarítmica solo está definida para \(x>0\).
- Pasa por el punto \((1,0)\), porque \(\log_{10}(1)=0\).
- Pasa por \((10,1)\), porque \(\log_{10}(10)=1\).
- Pasa por \((100,2)\), porque \(\log_{10}(100)=2\).
- Crece, pero lo hace lentamente.
Ejemplo 1: gráfica de \(y=\log_{10}(x)\)
En la siguiente gráfica se muestran algunos puntos clave de la función logarítmica decimal.
Observa que la curva está solo a la derecha del eje \(y\), porque no existe \(\log_{10}(x)\) para \(x\leq 0\).
Ejemplo 2: lectura de puntos importantes
De la gráfica anterior se puede leer:
\[ \log_{10}(1)=0,\qquad \log_{10}(10)=1,\qquad \log_{10}(100)=2 \]
Esto muestra que cuando el número se multiplica por 10, el valor del logaritmo aumenta en 1 unidad.
La función logarítmica crece, pero muy lentamente.
Por ejemplo, para pasar de \(y=1\) a \(y=2\), el valor de \(x\) debe pasar de \(10\) a \(100\).
Para pasar de \(y=2\) a \(y=3\), \(x\) debe pasar de \(100\) a \(1000\).
Ejemplo 3: comparación con la exponencial
Ahora comparemos la función logarítmica con la función exponencial:
La función exponencial y la función logarítmica son inversas entre sí.
Una transforma exponentes en números y la otra transforma números en exponentes.
Si: \[ y=10^x \] entonces su inversa es: \[ y=\log_{10}(x) \]
Por eso, ambas funciones expresan la misma relación, pero desde puntos de vista distintos.
En la función logarítmica:
- no se puede reemplazar \(x=0\),
- no se puede reemplazar \(x<0\),
- la gráfica no corta el eje \(y\).
Ejercicio 1
Observando la función \(y=\log_{10}(x)\), completa:
\(\log_{10}(1)=\_\_\_\_\)
\(\log_{10}(10)=\_\_\_\_\)
\(\log_{10}(100)=\_\_\_\_\)
\[ \log_{10}(1)=0 \]
\[ \log_{10}(10)=1 \]
\[ \log_{10}(100)=2 \]
Ejercicio 2
Responde:
¿Para qué valores de \(x\) existe \(y=\log_{10}(x)\)?
¿La función logarítmica crece o decrece?
¿Pasa por el punto \((1,0)\)?
La función existe solo para: \[ x>0 \]
La función logarítmica crece.
Sí, pasa por: \[ (1,0) \] porque: \[ \log_{10}(1)=0 \]
Ejercicio 3
Explica con tus palabras:
¿Por qué la función \(y=\log_{10}(x)\) crece lentamente?
¿Qué relación tiene con \(y=10^x\)?
La función crece lentamente porque para aumentar poco el valor del logaritmo, el número \(x\) debe aumentar mucho.
Se relaciona con \(y=10^x\) porque ambas funciones son inversas: una trabaja con potencias y la otra con logaritmos.
La gráfica del logaritmo ayuda a entender que esta función transforma números en exponentes. Su crecimiento lento y su relación con la exponencial permiten interpretar mejor el sentido de los logaritmos.
14. Ejercicios Integrados de Logaritmos
Objetivo de aprendizaje
Aplicar de manera integrada la definición, propiedades, cambio de base, cancelaciones y restricciones de los logaritmos en ejercicios de distinto nivel de complejidad.
- Revisa primero si el logaritmo existe.
- Identifica si conviene usar definición, propiedad, cambio de base o cancelación.
- Escribe cada paso con orden.
- Verifica si el resultado obtenido tiene sentido.
Recuerda estas ideas clave:
- \(a>0\), \(a\neq 1\) y el argumento debe ser positivo.
- El producto se transforma en suma.
- El cociente se transforma en resta.
- La potencia sale multiplicando.
- La suma y la resta dentro del logaritmo no tienen propiedad directa.
Ejercicio 1: casos fundamentales
Calcula:
\(\log_7(1)\)
\(\log_4(4)\)
\(\log_9\left(\frac{1}{9}\right)\)
\[ \log_7(1)=0 \] porque \(7^0=1\).
\[ \log_4(4)=1 \] porque \(4^1=4\).
\[ \log_9\left(\frac{1}{9}\right)=-1 \] porque \(9^{-1}=\frac{1}{9}\).
Ejercicio 2: propiedad del producto
Simplifica y calcula:
\(\log_2(4\cdot 8)\)
\(\log_3(3\cdot 27)\)
\[ \log_2(4\cdot 8)=\log_2(4)+\log_2(8)=2+3=5 \]
\[ \log_3(3\cdot 27)=\log_3(3)+\log_3(27)=1+3=4 \]
Ejercicio 3: propiedad del cociente
Simplifica y calcula:
\(\log_5\left(\frac{125}{5}\right)\)
\(\log_2\left(\frac{32}{4}\right)\)
\[ \log_5\left(\frac{125}{5}\right)=\log_5(125)-\log_5(5)=3-1=2 \]
\[ \log_2\left(\frac{32}{4}\right)=\log_2(32)-\log_2(4)=5-2=3 \]
Ejercicio 4: propiedad de la potencia
Simplifica:
\(\log_3(9^2)\)
\(\log_a(x^5)\)
\[ \log_3(9^2)=2\log_3(9)=2\cdot 2=4 \]
\[ \log_a(x^5)=5\log_a(x) \]
Ejercicio 5: logaritmo de una raíz
Reescribe y simplifica:
\(\log_2(\sqrt[3]{8})\)
\(\log_b(\sqrt{m})\)
\[ \log_2(\sqrt[3]{8})=\log_2(8^{1/3})=\frac{1}{3}\log_2(8)=\frac{1}{3}\cdot 3=1 \]
\[ \log_b(\sqrt{m})=\log_b(m^{1/2})=\frac{1}{2}\log_b(m) \]
Ejercicio 6: cambio de base
Reescribe usando logaritmo decimal:
\(\log_7(3)\)
\(\log_4(11)\)
\[ \log_7(3)=\frac{\log(3)}{\log(7)} \]
\[ \log_4(11)=\frac{\log(11)}{\log(4)} \]
Ejercicio 7: bases potencia y bases raíz
Calcula:
\(\log_{2^4}(2)\)
\(\log_{\sqrt[3]{5}}(5)\)
\[ \log_{2^4}(2)=\frac{1}{4} \]
\[ \log_{\sqrt[3]{5}}(5)=3 \]
Ejercicio 8: potencias en base y argumento
Simplifica:
\(\log_{3^2}(3^8)\)
\(\log_{a^4}(c^2)\)
\[ \log_{3^2}(3^8)=\frac{8}{2}=4 \]
\[ \log_{a^4}(c^2)=\frac{2}{4}\log_a(c)=\frac{1}{2}\log_a(c) \]
Ejercicio 9: cancelación
Simplifica:
\(\log_5(5^7)\)
\(3^{\log_3(11)}\)
\[ \log_5(5^7)=7 \]
\[ 3^{\log_3(11)}=11 \]
Ejercicio 10: restricciones
Indica cuáles expresiones existen en \(\mathbb{R}\):
\(\log_2(16)\)
\(\log_4(-1)\)
\(\log_{-3}(9)\)
\(\log_1(5)\)
\(\log_2(16)\) sí existe.
\(\log_4(-1)\) no existe, porque el argumento es negativo.
\(\log_{-3}(9)\) no existe en el estudio usual de logaritmos reales, porque la base es negativa.
\(\log_1(5)\) no existe, porque la base no puede ser \(1\).
Ejercicio 11: verdadero o falso
Indica si cada afirmación es verdadera o falsa:
\(\log_a(xy)=\log_a(x)+\log_a(y)\)
\(\log_a(x+y)=\log_a(x)+\log_a(y)\)
\(\log_a\left(\frac{x}{y}\right)=\log_a(x)-\log_a(y)\)
\(\log_a(x^n)=n\log_a(x)\)
La primera afirmación es verdadera.
La segunda afirmación es falsa.
La tercera afirmación es verdadera.
La cuarta afirmación es verdadera.
Ejercicio 12: desarrollo mixto
Simplifica al máximo:
\[ \log_2\left(\frac{8^2\cdot 4}{2}\right) \]
Primero reescribimos todo en base 2:
\[ 8^2=(2^3)^2=2^6,\qquad 4=2^2 \]
Entonces:
\[ \log_2\left(\frac{8^2\cdot 4}{2}\right)=\log_2\left(\frac{2^6\cdot 2^2}{2}\right) \]
\[ =\log_2\left(2^{6+2-1}\right)=\log_2(2^7) \]
\[ =7 \]
Ejercicio 13: problema de aplicación
Usa la fórmula de cantidad de dígitos para determinar cuántos dígitos tiene el número \(54321\).
Aplicamos:
\[ \lfloor \log(54321)\rfloor+1 \]
Como:
\[ \log(54321)\approx 4,73 \]
se obtiene:
\[ \lfloor 4,73\rfloor+1=4+1=5 \]
Entonces, \(54321\) tiene 5 dígitos.
Resolver ejercicios integrados permite conectar todas las ideas de la unidad: definición, propiedades, restricciones, cambio de base, cancelaciones y aplicaciones. Esa conexión es la mejor señal de comprensión del tema.