Libro de los Logaritmos

1. \(\log_3(9)=2\), porque \(3^2=9\).
2. \(\log(100)=\log_{10}(100)=2\), porque \(10^2=100\).
3. \(\log_2(8)=3\), porque \(2^3=8\).

Usamos la definición:

\[ \log_4(64)=x \iff 4^x=64. \]

Como \(4^3=64\), entonces \(x=3\).

1. \(\log_3(27)\) existe, porque la base es positiva y distinta de \(1\), y el argumento es positivo.
2. \(\log_1(5)\) no existe como logaritmo real, porque la base no puede ser \(1\).
3. \(\log(-10)\) no existe en los reales, porque el argumento debe ser positivo.

Como \(2^6=64\), el exponente que falta es \(6\). Por lo tanto:

\[ \log_2(64)=6. \]

La base es \(3\), el argumento es \(81\) y el valor del logaritmo es \(4\). Entonces:

\[ 3^4=81. \]

Como \(\log(x)\) significa \(\log_{10}(x)\), buscamos el exponente de \(10\):

\[ 100000=10^5. \]

Por lo tanto, \(\log(100000)=5\).

Comparamos con potencias de \(3\):

\[ 3^2=9 \quad \text{y} \quad 3^3=27. \]

Como \(20\) está entre \(9\) y \(27\), entonces:

\[ 2<\log_3(20)<3. \]

Responde a la pregunta: ¿a qué exponente debo elevar \(5\) para obtener \(125\)?

Como \(5^3=125\), se tiene \(\log_5(125)=3\).

1. \(\log_2(1)=0\), porque \(2^0=1\).
2. \(\log_9(9)=1\), porque \(9^1=9\).
3. \(\log_4\left(\frac{1}{4}\right)=-1\), porque \(4^{-1}=\frac{1}{4}\).

1. \(\log(1)=0\), porque \(10^0=1\).
2. \(\log(10)=1\), porque \(10^1=10\).
3. \(\log(0.1)=-1\), porque \(0.1=\frac{1}{10}=10^{-1}\).

1. Verdadera, porque \(a^1=a\).
2. Falsa. \(\log_a(0)\) no existe en los reales porque el argumento debe ser positivo.
3. Verdadera, porque \(\log(100)=\log_{10}(100)=2\).

1. \(\log_2(2)+\log_2(8)=1+3=4\).
2. \(\log_5(5)+\log_5(25)=1+2=3\).
3. \(\log(10)+\log(100)=1+2=3\).

1. \(\log_a(xy)=\log_a(x)+\log_a(y)\).
2. \(\log_7(mn)=\log_7(m)+\log_7(n)\).
3. \(\log(uv)=\log(u)+\log(v)\), en base decimal.

1. Correcta: es la propiedad del producto.
2. Incorrecta: no existe propiedad para separar una suma dentro del logaritmo.
3. Correcta: es la propiedad del producto en base decimal.

1. \(\log_2(8)-\log_2(2)=3-1=2\).
2. \(\log_5(125)-\log_5(5)=3-1=2\).
3. \(\log(10000)-\log(100)=4-2=2\).

1. \(\log_a(m)-\log_a(n)\).
2. \(\log_7(x)-\log_7(y)\).
3. \(\log(u)-\log(v)\), en base decimal.

1. \(\log_a\left(\frac{x}{y}\right)=\log_a(x)-\log_a(y)\).
2. \(\log\left(\frac{100}{10}\right)=\log(10)=1\).

1. \(3\log_2(4)=3\cdot 2=6\).
2. \(2\log_3(9)=2\cdot 2=4\).
3. \(2\log(100)=2\cdot 2=4\).

1. \(\log_a(m^7)=7\log_a(m)\).
2. \(\log_4(x^3)=3\log_4(x)\).
3. \(\log(y^n)=n\log(y)\), en base decimal.

1. Correcta: es la propiedad de la potencia.
2. Incorrecta: \(2x\) es un producto, no una potencia \(x^2\).
3. Correcta: es la propiedad de la potencia en base decimal.

1. \(\log_5(\sqrt{25})=\frac{1}{2}\log_5(25)=1\).
2. \(\log_2(\sqrt[3]{8})=\frac{1}{3}\log_2(8)=1\).
3. \(\log(\sqrt{10000})=\frac{1}{2}\log(10000)=2\).

1. \(\log_a(\sqrt{x})=\frac{1}{2}\log_a(x)\).
2. \(\log_b(\sqrt[3]{m})=\frac{1}{3}\log_b(m)\).
3. \(\log(\sqrt[4]{y})=\frac{1}{4}\log(y)\), en base decimal.

1. \(\log_a(\sqrt[n]{x})=\frac{1}{n}\log_a(x)\).
2. \(\log(\sqrt{x})=\frac{1}{2}\log(x)\).

\[ \log_3(9x)=\log_3(9)+\log_3(x)=2+\log_3(x). \]

\[ \log_4\left(\frac{x^2}{16}\right)=\log_4(x^2)-\log_4(16)=2\log_4(x)-2. \]

Como tienen la misma base y están sumados:

\[ \log_2(a)+\log_2(b)=\log_2(ab). \]

\[ 3\log(x)=\log(x^3) \]

Entonces:

\[ 3\log(x)+\log(y)=\log(x^3y). \]

Es incorrecta porque la propiedad del producto separa multiplicaciones, no sumas:

\[ \log(2x)=\log(2)+\log(x), \]

pero no existe una propiedad que permita separar \(\log(2+x)\) de esa forma.

Conviene condensar porque hay suma y resta de logaritmos con la misma base.

\[ 2\log_3(y)=\log_3(y^2) \]

\[ \log_3(x)+2\log_3(y)-\log_3(z)=\log_3\left(\frac{xy^2}{z}\right). \]

1. \(\log_3(5)=\frac{\log(5)}{\log(3)}\).
2. \(\log_7(2)=\frac{\log(2)}{\log(7)}\).
3. \(\log_4(11)=\frac{\log(11)}{\log(4)}\).

1. \(\log_2(5)=\frac{1}{\log_5(2)}\).
2. \(\log_3(9)=\frac{1}{\log_9(3)}\).

1. \(\log_2(8)=3\), porque \(2^3=8\).
2. \(\log_9(3)=\frac{1}{2}\), porque \(9^{1/2}=3\).
3. \(\log_5(25)=2\), porque \(5^2=25\).

1. \(\log_{3^2}(3)=\frac{1}{2}\).
2. \(\log_{5^4}(5)=\frac{1}{4}\).
3. \(\log_{10^3}(10)=\frac{1}{3}\).

1. \(\log_{\sqrt{2}}(2)=2\).
2. \(\log_{\sqrt[4]{3}}(3)=4\).
3. \(\log_{\sqrt[5]{11}}(11)=5\).

1. \(\log_{a^m}(a)=\frac{1}{m}\).
2. \(\log_{\sqrt[m]{a}}(a)=m\).

1. \(\frac{8}{2}=4\).
2. \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\).
3. \(\frac{6}{3}=2\).

1. \(\log_{a^b}(a^c)=\frac{c}{b}\).
2. \(\log_{m^2}(m^5)=\frac{5}{2}\).
3. \(\log_{x^7}(x^3)=\frac{3}{7}\).

1. \(\log_{2^2}(5^3)=\frac{3}{2}\log_2(5)\).
2. \(\log_{a^4}(c^2)=\frac{2}{4}\log_a(c)=\frac{1}{2}\log_a(c)\).

1. \(\log_2(2^7)=7\).
2. \(\log_5(5^{-1})=-1\).
3. \(\log(10^4)=4\).

1. \(2^{\log_2(9)}=9\).
2. \(10^{\log(4)}=4\).
3. \(a^{\log_a(m)}=m\), si \(a>0\), \(a\neq 1\) y \(m>0\).

1. Sí: \(\log_3(3^x)=x\).
2. No hay cancelación directa porque las bases son distintas.
3. Sí: \(10^{\log(x)}=x\), con \(x>0\).

1. Existe.
2. No existe, porque la base es \(1\).
3. No existe en los reales, porque el argumento es negativo.

1. Correcta.
2. Incorrecta: no se separan sumas.
3. Correcta para logaritmos decimales, con \(x>0\) y \(y>0\).

1. \(x-2>0\), por lo tanto \(x>2\).
2. \(3x+6>0\), por lo tanto \(x>-2\).
3. \(4-x>0\), por lo tanto \(x<4\). Además, \(a>0\) y \(a\neq 1\).

1. \(543\) tiene \(3\) dígitos.
2. \(8900\) tiene \(4\) dígitos.
3. \(100000=10^5\) tiene \(6\) dígitos.

Si los logaritmos decimales difieren en \(1\), entonces las cantidades difieren por un factor \(10\).

1. \(10^6\) tiene mayor orden de magnitud.
2. Porque transforma multiplicaciones grandes en diferencias más manejables en la escala.

\[ \log(1)=0,\qquad \log(10)=1,\qquad \log(1000)=3. \]

1. Existe para \(x>0\).
2. Sí, porque \(\log(1)=0\).
3. Crece, aunque lentamente.

Son funciones inversas. Si \(\log(x)=y\), entonces \(10^y=x\). Una deshace la acción de la otra.

Estrategia: definición. Entonces \(x=5^3=125\).

Estrategia: expandir producto y potencia.

\[ \log_2(8x^4)=\log_2(8)+\log_2(x^4)=3+4\log_2(x). \]

Estrategia: condensar logaritmos decimales.

\[ \log(a)+\log(b)-\log(c)=\log\left(\frac{ab}{c}\right). \]

Restricción: \(x-2>0\), por lo tanto \(x>2\).

Como \(\log(x-2)=1\), entonces \(x-2=10^1=10\). Por lo tanto \(x=12\), que cumple la restricción.

\[ \log_6(11)=\frac{\log(11)}{\log(6)}. \]

1. Sí: \(\log_4(4^x)=x\).
2. Sí: \(10^{\log(x)}=x\), con \(x>0\).
3. No, porque las bases son distintas.

1. \(\log_6(1)=0\).
2. \(\log_6(6)=1\).
3. \(\log(1000)=3\).

\[ \log_2(4)+\log_2(8)=\log_2(32)=5. \]

\[ \log\left(\frac{10000}{10}\right)=\log(1000)=3. \]

\[ \log_3(9^4)=4\log_3(9)=4\cdot 2=8. \]

\[ \log(\sqrt{100})=\frac{1}{2}\log(100)=1. \]

\[ \log_7(12)=\frac{\log(12)}{\log(7)}. \]

Como \(\sqrt{3}=3^{1/2}\), entonces:

\[ \log_{\sqrt{3}}(3)=2. \]

\[ \log_{5^2}(5^7)=\frac{7}{2}. \]

1. \(\log_4(4^x)=x\).
2. \(10^{\log(m)}=m\), con \(m>0\).

El argumento debe ser positivo:

\[ x-5>0 \Rightarrow x>5. \]

1. Verdadera, con argumentos positivos.
2. Falsa en general: no se separan sumas.
3. Verdadera, con \(x>0\).

Reescribimos todo como potencia de \(2\):

\[ 8^2=(2^3)^2=2^6,\qquad 4=2^2. \]

Entonces:

\[ \frac{8^2\cdot 4}{2}=\frac{2^6\cdot 2^2}{2^1}=2^7. \]

Por lo tanto:

\[ \log_2(2^7)=7. \]

Como:

\[ 10000<54321<100000, \]

se cumple:

\[ 4<\log(54321)<5. \]

Entonces \(\lfloor \log(54321)\rfloor=4\), y el número tiene \(4+1=5\) dígitos.