Crecimiento y Decrecimiento Porcentual
| Sitio: | MATEMÁTICAS × Profe Arauco |
| Curso: | Media 2 |
| Libro: | Crecimiento y Decrecimiento Porcentual |
| Imprimido por: | Invitado |
| Día: | jueves, 23 de abril de 2026, 11:09 |
Tabla de contenidos
- 1. Porcentaje y cambio porcentual simple
- 2. Crecimiento y decrecimiento porcentual en un período
- 3. Tasa y factor multiplicativo
- 4. Crecimiento y decrecimiento porcentual constante en varios períodos
- 5. Tabla, gráfico y fórmula general
- 6. Forma recursiva del cambio porcentual constante
- 7. Aplicaciones del crecimiento y decrecimiento porcentual
- 8. Errores frecuentes y comparación de modelos
1. Porcentaje y cambio porcentual simple
Objetivos de aprendizaje
Comprender qué es un porcentaje, representarlo de distintas formas y aplicarlo en cambios porcentuales simples en contextos cotidianos.
Un porcentaje es una forma de expresar una cantidad como una parte de 100.
Por ejemplo, \(25\%\) significa 25 de cada 100, es decir:
\[ 25\%=\frac{25}{100}=0{,}25 \]
Un porcentaje puede representarse de tres formas equivalentes:
| Porcentaje | Fracción | Decimal |
|---|---|---|
| \(5\%\) | \(\frac{5}{100}\) | \(0{,}05\) |
| \(10\%\) | \(\frac{10}{100}\) | \(0{,}10\) |
| \(25\%\) | \(\frac{25}{100}\) | \(0{,}25\) |
| \(80\%\) | \(\frac{80}{100}\) | \(0{,}80\) |
Trabajar con porcentajes no significa solo “poner el símbolo \(\%\)”.
Muchas veces conviene transformar el porcentaje a decimal para poder calcular con más facilidad.
Cambio porcentual simple
Cuando una cantidad cambia en un porcentaje, ese cambio se calcula sobre el valor inicial.
Si la cantidad aumenta, hablamos de crecimiento. Si disminuye, hablamos de decrecimiento.
Si una cantidad aumenta en \(r\%\), el nuevo valor se obtiene sumando ese porcentaje al valor inicial.
Si una cantidad disminuye en \(r\%\), el nuevo valor se obtiene restando ese porcentaje al valor inicial.
No se debe sumar o restar el número del porcentaje directamente.
Por ejemplo, aumentar \(500\) en \(10\%\) no es hacer \(500+10\), sino calcular el \(10\%\) de \(500\).
Ejemplo 1: calcular un porcentaje de una cantidad
Calcula el \(20\%\) de \(300\).
Primero transformamos el porcentaje a decimal:
\[ 20\%=0{,}20 \]
Luego multiplicamos:
\[ 300\cdot 0{,}20=60 \]
Respuesta: el \(20\%\) de \(300\) es \(60\).
Ejemplo 2: aumento porcentual simple
Un cuaderno cuesta \( \$4000 \) y su precio aumenta un \(15\%\).
Calculamos el aumento:
\[ 4000\cdot 0{,}15=600 \]
Ahora sumamos al valor inicial:
\[ 4000+600=4600 \]
Respuesta: el nuevo precio es \( \$4600 \).
Ejemplo 3: disminución porcentual simple
Una polera cuesta \( \$20\,000 \) y tiene un descuento del \(10\%\).
Calculamos el descuento:
\[ 20\,000\cdot 0{,}10=2000 \]
Restamos al valor inicial:
\[ 20\,000-2000=18\,000 \]
Respuesta: el precio final es \( \$18\,000 \).
Los porcentajes se usan en descuentos, reajustes de precios, resultados de encuestas, impuestos, intereses, crecimiento de poblaciones y muchas otras situaciones de la vida cotidiana.
Ejercicios
Ejercicio 1
Expresa \(30\%\) como fracción y como número decimal.
\[ 30\%=\frac{30}{100}=0{,}30 \]
Ejercicio 2
Expresa \(7\%\) como fracción y como número decimal.
\[ 7\%=\frac{7}{100}=0{,}07 \]
Ejercicio 3
Calcula el \(25\%\) de \(200\).
\[ 25\%=0{,}25 \]
\[ 200\cdot 0{,}25=50 \]
Ejercicio 4
Calcula el \(12\%\) de \(500\).
\[ 12\%=0{,}12 \]
\[ 500\cdot 0{,}12=60 \]
Ejercicio 5
Un lápiz cuesta \( \$800 \) y su precio aumenta un \(25\%\). Calcula el nuevo precio.
Calculamos el aumento:
\[ 800\cdot 0{,}25=200 \]
Sumamos al valor inicial:
\[ 800+200=1000 \]
Respuesta: el nuevo precio es \( \$1000 \).
Ejercicio 6
Una mochila cuesta \( \$12\,000 \) y tiene un descuento del \(20\%\). Calcula el precio final.
Calculamos el descuento:
\[ 12\,000\cdot 0{,}20=2400 \]
Restamos al valor inicial:
\[ 12\,000-2400=9600 \]
Respuesta: el precio final es \( \$9600 \).
Ejercicio 7
Un estudiante dice que el \(10\%\) de \(300\) es \(30\).
Verifica si está en lo correcto.
\[ 10\%=0{,}10 \]
\[ 300\cdot 0{,}10=30 \]
Sí, está en lo correcto.
Ejercicio 8
Un estudiante dice que aumentar \(500\) en \(20\%\) es hacer \(500+20=520\).
Explica por qué ese procedimiento es incorrecto.
Es incorrecto porque \(20\%\) no significa sumar 20 unidades, sino calcular el \(20\%\) de \(500\).
\[ 500\cdot 0{,}20=100 \]
Entonces el nuevo valor es:
\[ 500+100=600 \]
Ejercicio 9
Completa:
a) \(40\%=\) ______ en decimal
b) \(0{,}08=\) ______ en porcentaje
a)
\[ 40\%=0{,}40 \]
b)
\[ 0{,}08=8\% \]
Ejercicio 10
Una entrada al cine cuesta \( \$5000 \) y aumenta un \(10\%\).
Luego, en otra ocasión, tiene un descuento del \(10\%\).
Calcula el nuevo precio en cada caso.
Aumento del \(10\%\):
\[ 5000\cdot 0{,}10=500 \]
\[ 5000+500=5500 \]
Descuento del \(10\%\):
\[ 5000\cdot 0{,}10=500 \]
\[ 5000-500=4500 \]
Comprender qué representa un porcentaje y cómo se calcula un cambio porcentual simple es la base para estudiar después crecimiento, decrecimiento y cambios repetidos en varios períodos.
2. Crecimiento y decrecimiento porcentual en un período
Objetivos de aprendizaje
Comprender cómo cambia una cantidad cuando aumenta o disminuye en un porcentaje en un solo período, interpretando correctamente el nuevo valor en distintos contextos.
En muchas situaciones una cantidad cambia una sola vez: un precio sube, un producto tiene descuento, un salario aumenta o el valor de un objeto disminuye.
En todos esos casos hablamos de un cambio porcentual en un período.
Si una cantidad aumenta, el nuevo valor será mayor que el inicial.
Si una cantidad disminuye, el nuevo valor será menor que el inicial.
Si una cantidad vale \(V\) y aumenta en \(r\%\), primero se calcula el porcentaje de aumento y luego se suma al valor inicial.
Si una cantidad vale \(V\) y disminuye en \(r\%\), primero se calcula el porcentaje de disminución y luego se resta al valor inicial.
Al hablar de aumento o disminución porcentual, el porcentaje siempre se calcula sobre el valor inicial de la cantidad.
No se debe sumar o restar el número del porcentaje como si fuera una cantidad fija.
Ejemplo 1: aumento en un período
El precio de una bicicleta es \( \$120\,000 \) y aumenta un \(10\%\).
Primero calculamos el aumento:
\[ 120\,000\cdot 0{,}10=12\,000 \]
Luego sumamos al valor inicial:
\[ 120\,000+12\,000=132\,000 \]
Respuesta: el nuevo precio es \( \$132\,000 \).
Ejemplo 2: disminución en un período
Una chaqueta cuesta \( \$40\,000 \) y tiene un descuento del \(15\%\).
Primero calculamos el descuento:
\[ 40\,000\cdot 0{,}15=6\,000 \]
Luego restamos al valor inicial:
\[ 40\,000-6\,000=34\,000 \]
Respuesta: el precio final es \( \$34\,000 \).
Ejemplo 3: interpretar el cambio
Un salario de \( \$500\,000 \) aumenta un \(8\%\).
Calculamos el aumento:
\[ 500\,000\cdot 0{,}08=40\,000 \]
Nuevo salario:
\[ 500\,000+40\,000=540\,000 \]
Interpretación: el salario sube porque el cambio es un aumento.
Los cambios porcentuales en un período aparecen en descuentos en tiendas, aumentos de sueldo, rebajas, variación de precios y muchos otros contextos cotidianos.
Ejercicios
Ejercicio 1
Un producto cuesta \( \$5000 \) y aumenta un \(20\%\). Calcula el nuevo precio.
Calculamos el aumento:
\[ 5000\cdot 0{,}20=1000 \]
Sumamos al valor inicial:
\[ 5000+1000=6000 \]
Ejercicio 2
Una mochila cuesta \( \$18\,000 \) y tiene un descuento del \(10\%\). Calcula el precio final.
Calculamos el descuento:
\[ 18\,000\cdot 0{,}10=1800 \]
Restamos:
\[ 18\,000-1800=16\,200 \]
Ejercicio 3
Un sueldo de \( \$700\,000 \) aumenta un \(5\%\). ¿Cuál es el nuevo sueldo?
\[ 700\,000\cdot 0{,}05=35\,000 \]
\[ 700\,000+35\,000=735\,000 \]
Ejercicio 4
El valor de un teléfono es \( \$250\,000 \) y disminuye un \(12\%\). ¿Cuál es su nuevo valor?
\[ 250\,000\cdot 0{,}12=30\,000 \]
\[ 250\,000-30\,000=220\,000 \]
Ejercicio 5
Una cantidad de \(900\) aumenta un \(15\%\). Calcula el nuevo valor.
\[ 900\cdot 0{,}15=135 \]
\[ 900+135=1035 \]
Ejercicio 6
Una cantidad de \(1500\) disminuye un \(8\%\). Calcula el nuevo valor.
\[ 1500\cdot 0{,}08=120 \]
\[ 1500-120=1380 \]
Ejercicio 7
Indica si cada caso representa crecimiento o decrecimiento:
a) el precio de un producto sube un \(6\%\)
b) una tienda aplica un descuento del \(25\%\)
c) un salario aumenta un \(4\%\)
d) el valor de un objeto baja un \(9\%\)
a) crecimiento
b) decrecimiento
c) crecimiento
d) decrecimiento
Ejercicio 8
Un estudiante afirma que aumentar \(400\) en \(10\%\) es hacer \(400+10\).
Explica por qué está equivocado y corrige el resultado.
Está equivocado porque \(10\%\) no significa sumar 10 unidades, sino calcular el \(10\%\) de 400.
\[ 400\cdot 0{,}10=40 \]
\[ 400+40=440 \]
Ejercicio 9
Compara los resultados:
a) aumentar \(1000\) en \(20\%\)
b) disminuir \(1000\) en \(20\%\)
a)
\[ 1000\cdot 0{,}20=200 \]
\[ 1000+200=1200 \]
b)
\[ 1000\cdot 0{,}20=200 \]
\[ 1000-200=800 \]
Ejercicio 10
El valor de una entrada es \( \$6000 \).
Calcula el nuevo valor en cada caso:
a) aumenta un \(5\%\)
b) disminuye un \(5\%\)
a)
\[ 6000\cdot 0{,}05=300 \]
\[ 6000+300=6300 \]
b)
\[ 6000\cdot 0{,}05=300 \]
\[ 6000-300=5700 \]
En un cambio porcentual en un período, el porcentaje se calcula sobre el valor inicial y luego se suma o se resta según corresponda. Esta idea será fundamental para estudiar después el factor multiplicativo y los cambios repetidos en varios períodos.
3. Tasa y factor multiplicativo
Objetivos de aprendizaje
Distinguir entre tasa porcentual y factor multiplicativo, comprendiendo cuál se utiliza en los cálculos de crecimiento y decrecimiento.
Cuando una cantidad cambia en un porcentaje, podemos describir ese cambio de dos maneras:
- usando la tasa (el porcentaje),
- o usando el factor multiplicativo.
La tasa es el porcentaje de cambio.
Por ejemplo:
\[ 10\% = 0{,}10 \]
Normalmente se representa en porcentaje, pero puede representarse en forma decimal.
El factor es el número por el que se multiplica la cantidad.
Crecimiento:
\[ 1 + \frac{r}{100} \]
Decrecimiento:
\[ 1 - \frac{r}{100} \]
El factor se obtiene a partir de la tasa.
Por ejemplo, si la tasa es \(10\%\):
\[ 10\% = 0{,}10 \quad \Rightarrow \quad 1 + 0{,}10 = 1{,}10 \]
En los cálculos de crecimiento o decrecimiento porcentual, no se usa la tasa directamente.
Se utiliza el factor multiplicativo.
Confundir tasa con factor.
Por ejemplo, usar \(10\%\) en lugar de \(1{,}10\) en una multiplicación produce resultados incorrectos.
Ejemplo 1: crecimiento
Una cantidad vale \(1000\) y aumenta un \(10\%\).
Usando tasa:
\[ 1000 \cdot 0{,}10 = 100 \]
\[ 1000 + 100 = 1100 \]
Usando factor:
\[ 1000 \cdot 1{,}10 = 1100 \]
Conclusión: ambos métodos dan el mismo resultado, pero el uso del factor es más directo.
Ejemplo 2: decrecimiento
Una cantidad vale \(2000\) y disminuye un \(20\%\).
Usando tasa:
\[ 2000 \cdot 0{,}20 = 400 \]
\[ 2000 - 400 = 1600 \]
Usando factor:
\[ 2000 \cdot 0{,}80 = 1600 \]
Conclusión: el factor permite calcular directamente el nuevo valor.
Interpretación del factor
El factor permite identificar rápidamente si hay crecimiento o decrecimiento:
- Si el factor es mayor que \(1\), hay crecimiento.
- Si el factor es menor que \(1\), hay decrecimiento.
Ejemplo 3: interpretar el factor
Considera los siguientes factores:
a) \(1{,}12\)
b) \(0{,}95\)
a) \(1{,}12 > 1\), por lo tanto representa crecimiento del \(12\%\).
b) \(0{,}95 < 1\), por lo tanto representa una disminución del \(5\%\).
Ejercicios
Ejercicio 1
Convierte las siguientes tasas a factores:
a) \(8\%\)
b) \(25\%\)
a)
\[ 1 + 0{,}08 = 1{,}08 \]
b)
\[ 1 + 0{,}25 = 1{,}25 \]
Ejercicio 2
Convierte las siguientes tasas a factores de disminución:
a) \(10\%\)
b) \(30\%\)
a)
\[ 1 - 0{,}10 = 0{,}90 \]
b)
\[ 1 - 0{,}30 = 0{,}70 \]
Ejercicio 3
Indica si corresponde a crecimiento o decrecimiento:
a) \(1{,}05\)
b) \(0{,}92\)
a) crecimiento
b) decrecimiento
Ejercicio 4
¿Qué tasa porcentual representa el factor \(1{,}20\)?
\[ 1{,}20 = 1 + 0{,}20 \]
Corresponde a un aumento del \(20\%\).
Ejercicio 5
¿Qué tasa porcentual representa el factor \(0{,}85\)?
\[ 0{,}85 = 1 - 0{,}15 \]
Corresponde a una disminución del \(15\%\).
Ejercicio 6
Calcula usando el factor:
Una cantidad de \(2000\) aumenta un \(5\%\).
\[ 2000 \cdot 1{,}05 = 2100 \]
Ejercicio 7
Calcula usando el factor:
Una cantidad de \(1500\) disminuye un \(20\%\).
\[ 1500 \cdot 0{,}80 = 1200 \]
Ejercicio 8
Un estudiante usa \(10\%\) directamente en una multiplicación en lugar de \(1{,}10\).
Explica por qué está equivocado.
Porque \(10\%\) representa solo el cambio, no el valor total.
El cálculo correcto se hace con el factor \(1{,}10\).
Ejercicio 9
Completa:
a) \(12\%\) → factor ______
b) \(0{,}90\) → tasa ______
a) \(1{,}12\)
b) disminución del \(10\%\)
Ejercicio 10
Explica con tus palabras la diferencia entre tasa y factor.
La tasa es el porcentaje de cambio, mientras que el factor es el número que se usa para multiplicar y obtener el nuevo valor.
El factor multiplicativo permite calcular directamente el nuevo valor y será fundamental para estudiar cambios en varios períodos.
4. Crecimiento y decrecimiento porcentual constante en varios períodos
Objetivos de aprendizaje
Comprender cómo evoluciona una cantidad cuando el mismo cambio porcentual se repite en varios períodos, identificando el patrón de crecimiento o decrecimiento constante.
En las páginas anteriores estudiamos cambios porcentuales en un solo período y aprendimos a usar la tasa y el factor multiplicativo.
Ahora estudiaremos qué ocurre cuando ese mismo cambio se repite varias veces.
Si en cada período se repite el mismo porcentaje, entonces en cada paso se vuelve a multiplicar por el mismo factor.
Eso produce una evolución constante en términos porcentuales, aunque los aumentos o disminuciones no sean iguales en cantidad.
Si una cantidad crece un \(r\%\) en cada período, en cada paso se multiplica por:
\[ 1+\frac{r}{100} \]
Si una cantidad disminuye un \(r\%\) en cada período, en cada paso se multiplica por:
\[ 1-\frac{r}{100} \]
No se debe pensar que, porque el porcentaje es el mismo, la cantidad que se suma o se resta también es la misma.
En realidad, el porcentaje se calcula cada vez sobre un valor nuevo.
Ejemplo 1: crecimiento constante en varios períodos
Una inversión inicial de \(1000\) pesos crece un \(10\%\) mensual durante 3 meses.
El factor es:
\[ 1+\frac{10}{100}=1{,}10 \]
Calculamos paso a paso:
\[ \text{Mes 1: }1000\cdot 1{,}10=1100 \]
\[ \text{Mes 2: }1100\cdot 1{,}10=1210 \]
\[ \text{Mes 3: }1210\cdot 1{,}10=1331 \]
Conclusión: la inversión crece en cada período, pero el aumento no es siempre igual en cantidad.
Ejemplo 2: decrecimiento constante en varios períodos
El valor de una máquina es \(5000\) pesos y disminuye un \(20\%\) cada año durante 3 años.
El factor es:
\[ 1-\frac{20}{100}=0{,}80 \]
Calculamos paso a paso:
\[ \text{Año 1: }5000\cdot 0{,}80=4000 \]
\[ \text{Año 2: }4000\cdot 0{,}80=3200 \]
\[ \text{Año 3: }3200\cdot 0{,}80=2560 \]
Conclusión: la cantidad disminuye cada período, pero no restando siempre la misma cantidad.
Cuando el cambio porcentual se repite, los valores forman una secuencia en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por el mismo factor.
Ese patrón será la base para construir tablas, gráficos y fórmulas en la siguiente página.
Ejercicios
Ejercicio 1
Una inversión de \(2000\) pesos crece un \(5\%\) por período durante 3 períodos.
Calcula los valores correspondientes a los períodos 1, 2 y 3.
El factor es:
\[ 1{,}05 \]
\[ V_1=2000\cdot 1{,}05=2100 \]
\[ V_2=2100\cdot 1{,}05=2205 \]
\[ V_3=2205\cdot 1{,}05=2315{,}25 \]
Ejercicio 2
Una cantidad de \(800\) disminuye un \(10\%\) por período durante 4 períodos.
Calcula los valores correspondientes a los períodos 1, 2, 3 y 4.
El factor es:
\[ 0{,}90 \]
\[ V_1=800\cdot 0{,}90=720 \]
\[ V_2=720\cdot 0{,}90=648 \]
\[ V_3=648\cdot 0{,}90=583{,}2 \]
\[ V_4=583{,}2\cdot 0{,}90=524{,}88 \]
Ejercicio 3
Una población inicial de \(1500\) individuos crece un \(8\%\) anual.
Calcula la población después de 2 años.
El factor es \(1{,}08\).
\[ V_1=1500\cdot 1{,}08=1620 \]
\[ V_2=1620\cdot 1{,}08=1749{,}6 \]
Ejercicio 4
El valor de un aparato es \(12\,000\) pesos y pierde un \(15\%\) anual.
Calcula su valor después de 2 años.
El factor es \(0{,}85\).
\[ V_1=12\,000\cdot 0{,}85=10\,200 \]
\[ V_2=10\,200\cdot 0{,}85=8670 \]
Ejercicio 5
Completa la tabla para una cantidad inicial de \(1000\) que crece un \(12\%\) por período.
| Período | Valor |
|---|---|
| 0 | 1000 |
| 1 | |
| 2 | |
| 3 |
El factor es:
\[ 1{,}12 \]
\[ V_1=1120,\quad V_2=1254{,}4,\quad V_3=1404{,}93 \]
Ejercicio 6
Completa la tabla para una cantidad inicial de \(3000\) que disminuye un \(5\%\) por período.
| Período | Valor |
|---|---|
| 0 | 3000 |
| 1 | |
| 2 | |
| 3 |
El factor es:
\[ 0{,}95 \]
\[ V_1=2850,\quad V_2=2707{,}5,\quad V_3=2572{,}13 \]
Ejercicio 7
Explica por qué una cantidad que crece un \(10\%\) durante 2 períodos no aumenta lo mismo que una cantidad que crece un \(20\%\) en un solo período.
Porque en el crecimiento por varios períodos el segundo aumento se calcula sobre una cantidad nueva.
Por eso:
\[ (1{,}10)^2=1{,}21 \]
mientras que un aumento único de \(20\%\) corresponde a \(1{,}20\).
Ejercicio 8
Una cantidad se multiplica cada período por \(1{,}03\).
¿Corresponde a crecimiento o decrecimiento? ¿De qué porcentaje?
Como \(1{,}03>1\), corresponde a crecimiento.
\[ 1{,}03=1+0{,}03 \]
Corresponde a un crecimiento del \(3\%\) por período.
Ejercicio 9
Una cantidad se multiplica cada período por \(0{,}97\).
¿Corresponde a crecimiento o decrecimiento? ¿De qué porcentaje?
Como \(0{,}97<1\), corresponde a decrecimiento.
\[ 0{,}97=1-0{,}03 \]
Corresponde a una disminución del \(3\%\) por período.
Ejercicio 10
Un estudiante dice: “Si una cantidad crece un \(10\%\) en cada período, entonces siempre aumenta lo mismo”.
Explica por qué esa afirmación es incorrecta.
Es incorrecta porque el \(10\%\) se calcula cada vez sobre un valor distinto.
Por eso la cantidad que se suma cambia en cada período, aunque el porcentaje sea el mismo.
Cuando un cambio porcentual se repite, el proceso deja de ser un cambio aislado y aparece un patrón multiplicativo que permite construir tablas, gráficos y fórmulas.
5. Tabla, gráfico y fórmula general
Objetivos de aprendizaje
Representar el crecimiento y decrecimiento porcentual constante mediante tablas y gráficos, y relacionar esas representaciones con una fórmula general.
Cuando una cantidad cambia en el mismo porcentaje en cada período, esa situación puede representarse de varias maneras.
Por ejemplo, se puede describir con una tabla, con un gráfico o con una fórmula.
La tabla permite observar los valores período a período, el gráfico muestra la tendencia y la fórmula permite calcular directamente cualquier valor.
Tabla de evolución
Una inversión de \(1000\) pesos crece un \(15\%\) cada mes.
| Mes | Valor | Cálculo |
|---|---|---|
| 0 | 1000 | Valor inicial |
| 1 | 1150 | \(1000 \cdot 1{,}15\) |
| 2 | 1322,5 | \(1150 \cdot 1{,}15\) |
| 3 | 1520,88 | \(1322,5 \cdot 1{,}15\) |
| 4 | 1749,01 | \(1520,88 \cdot 1{,}15\) |
| 5 | 2011,36 | \(1749,01 \cdot 1{,}15\) |
| 6 | 2313,06 | \(2011,36 \cdot 1{,}15\) |
| 7 | 2660,02 | \(2313,06 \cdot 1{,}15\) |
| 8 | 3059,02 | \(2660,02 \cdot 1{,}15\) |
El aumento no es siempre el mismo. Cada vez se calcula sobre un valor mayor.
Por eso el crecimiento se hace cada vez más evidente con el paso del tiempo.
Representación gráfica
Una forma clara de visualizar el crecimiento porcentual constante es mediante un gráfico de líneas.
En el eje horizontal se representa el tiempo y en el eje vertical el valor de la cantidad.
Ejemplo gráfico: inversión de \(1000\) con crecimiento del \(15\%\) mensual
La evolución de la inversión durante 8 meses es la siguiente:
| Mes | Valor |
|---|---|
| 0 | 1000 |
| 1 | 1150 |
| 2 | 1322,5 |
| 3 | 1520,88 |
| 4 | 1749,01 |
| 5 | 2011,36 |
| 6 | 2313,06 |
| 7 | 2660,02 |
| 8 | 3059,02 |
En el gráfico se observa una tendencia ascendente cada vez más marcada.
Cada mes la inversión aumenta, pero no en una cantidad fija, porque el \(15\%\) se calcula siempre sobre el valor acumulado hasta ese momento.
No se debe pensar que el crecimiento es sumar siempre la misma cantidad. Eso correspondería a un crecimiento lineal, no a uno porcentual constante.
Fórmula general
El factor multiplicativo es el número que aparece elevado a una potencia en la fórmula general.
Si una cantidad inicial es \(V_0\) y cambia en \(r\%\) cada período, entonces:
Crecimiento:
\[ V_n = V_0\left(1+\frac{r}{100}\right)^n \]
Decrecimiento:
\[ V_n = V_0\left(1-\frac{r}{100}\right)^n \]
Ejemplo 1: crecimiento con fórmula general
Una inversión de \(2000\) pesos crece un \(10\%\) anual durante 3 años.
La tasa es \(10\%\), por lo tanto el factor es \(1{,}10\).
Aplicamos la fórmula:
\[ V_3 = 2000\left(1+\frac{10}{100}\right)^3 = 2000(1{,}10)^3 \]
\[ V_3 = 2000 \cdot 1{,}331 = 2662 \]
Respuesta: el valor final es \(2662\).
Ejemplo 2: decrecimiento con fórmula general
Un auto vale \(10\,000\,000\) y pierde un \(20\%\) cada año durante 2 años.
La tasa es \(20\%\), por lo tanto el factor es \(0{,}80\).
Aplicamos la fórmula:
\[ V_2 = 10\,000\,000\left(1-\frac{20}{100}\right)^2 = 10\,000\,000(0{,}80)^2 \]
\[ V_2 = 10\,000\,000 \cdot 0{,}64 = 6\,400\,000 \]
Respuesta: el valor final es \(6\,400\,000\).
Ejercicios
Ejercicio 1
Una inversión de \(1000\) crece un \(5\%\) anual durante 2 años. Calcula el valor final.
\[ V_2 = 1000\left(1+\frac{5}{100}\right)^2 = 1000(1{,}05)^2 = 1102,5 \]
Ejercicio 2
Una cantidad de \(500\) disminuye un \(10\%\) durante 3 períodos. Calcula el valor final.
\[ V_3 = 500\left(1-\frac{10}{100}\right)^3 = 500(0{,}90)^3 = 364,5 \]
Ejercicio 3
Completa la tabla para un crecimiento del \(8\%\) partiendo en \(1000\) durante 3 períodos.
El factor es \(1{,}08\).
\[ 1000 \to 1080 \to 1166{,}4 \to 1259{,}71 \]
Ejercicio 4
Una cantidad se multiplica cada período por \(1{,}12\). ¿Qué porcentaje representa?
\[ 1{,}12 = 1 + 0{,}12 \]
Representa un aumento del \(12\%\).
Ejercicio 5
Una población de \(2000\) crece un \(3\%\) durante 4 años. Calcula el valor final.
\[ V_4 = 2000\left(1+\frac{3}{100}\right)^4 = 2000(1{,}03)^4 \approx 2251 \]
Ejercicio 6
Un valor disminuye un \(15\%\) durante 2 períodos desde \(800\). Calcula el valor final.
\[ V_2 = 800\left(1-\frac{15}{100}\right)^2 = 800(0{,}85)^2 = 578 \]
Ejercicio 7
Compara: aumentar un \(10\%\) durante 2 períodos vs aumentar un \(20\%\) una sola vez desde 1000.
\[ 1000(1{,}10)^2 = 1210 \]
\[ 1000(1{,}20) = 1200 \]
No son iguales.
Ejercicio 8
Explica por qué el crecimiento porcentual no es lineal.
Porque el aumento se calcula sobre un valor que cambia en cada período.
Ejercicio 9
Si una cantidad se multiplica por \(0{,}95\) cada período, ¿qué ocurre?
\[ 0{,}95 = 1 - 0{,}05 \]
Disminuye un \(5\%\) cada período.
Ejercicio 10
Calcula el valor final de \(1500\) que crece un \(4\%\) durante 3 períodos.
\[ 1500\left(1+\frac{4}{100}\right)^3 = 1500(1{,}04)^3 \approx 1687 \]
Ejercicio 11: completar la tabla y graficar
El valor de una máquina es de \(5000\) pesos y cambia un \(10\%\) cada mes.
Completa la tabla para los primeros 5 meses y luego representa los datos en un gráfico de líneas.
Indica si corresponde a crecimiento o decrecimiento.
| Mes | Valor |
|---|---|
| 0 | 5000 |
| 1 | |
| 2 | |
| 3 | |
| 4 | |
| 5 |
Como la máquina disminuye un \(10\%\) cada mes, corresponde a un decrecimiento.
El factor es:
\[ 0{,}90 \]
Calculamos sucesivamente:
\[ 5000\cdot 0{,}90=4500 \]
\[ 4500\cdot 0{,}90=4050 \]
\[ 4050\cdot 0{,}90=3645 \]
\[ 3645\cdot 0{,}90=3280{,}5 \]
\[ 3280{,}5\cdot 0{,}90=2952{,}45 \]
La tabla completa queda:
| Mes | Valor |
|---|---|
| 0 | 5000 |
| 1 | 4500 |
| 2 | 4050 |
| 3 | 3645 |
| 4 | 3280,5 |
| 5 | 2952,45 |
El gráfico de líneas correspondiente es:
En el gráfico se observa una tendencia descendente.
La cantidad disminuye cada mes, pero no restando siempre lo mismo, sino multiplicándose sucesivamente por \(0{,}90\).
Cuando un mismo porcentaje se repite, la situación puede representarse mediante una tabla, un gráfico y una fórmula general. Cada representación aporta una forma distinta de comprender el mismo fenómeno.
6. Forma recursiva del cambio porcentual constante
Objetivos de aprendizaje
Comprender la forma recursiva del crecimiento y decrecimiento porcentual constante, relacionándola con tablas, factores multiplicativos y la evolución período a período.
En la página anterior vimos que una situación de crecimiento o decrecimiento porcentual constante puede representarse con una tabla, un gráfico y una fórmula general.
Ahora la describiremos de otra manera: calculando cada valor a partir del valor anterior.
En una relación recursiva, cada nuevo valor se obtiene usando el valor anterior.
En los cambios porcentuales constantes, eso se hace multiplicando siempre por el mismo factor.
Si una cantidad crece un \(r\%\) por período, entonces:
\[ V_{n+1}=V_n\left(1+\frac{r}{100}\right) \]
donde \(V_0\) representa el valor inicial.
Si una cantidad disminuye un \(r\%\) por período, entonces:
\[ V_{n+1}=V_n\left(1-\frac{r}{100}\right) \]
donde \(V_0\) representa el valor inicial.
No se debe confundir una relación recursiva con sumar o restar siempre la misma cantidad.
En el crecimiento o decrecimiento porcentual constante, cada nuevo valor se obtiene multiplicando por un factor, no sumando una cantidad fija.
Ejemplo 1: crecimiento recursivo
Una inversión inicial de \(1000\) pesos crece un \(15\%\) mensual.
La tasa es \(15\%\), por lo tanto el factor es:
\[ 1+\frac{15}{100}=1{,}15 \]
La relación recursiva es:
\[ V_{n+1}=V_n\cdot 1{,}15 \]
\[ V_0=1000 \]
Calculamos los primeros valores:
\[ V_1=1000\cdot 1{,}15=1150 \]
\[ V_2=1150\cdot 1{,}15=1322{,}5 \]
\[ V_3=1322{,}5\cdot 1{,}15=1520{,}88 \]
Ejemplo 2: decrecimiento recursivo
El valor de una máquina es \(5000\) pesos y disminuye un \(10\%\) mensual.
La tasa es \(10\%\), por lo tanto el factor es:
\[ 1-\frac{10}{100}=0{,}90 \]
La relación recursiva es:
\[ V_{n+1}=V_n\cdot 0{,}90 \]
\[ V_0=5000 \]
Calculamos los primeros valores:
\[ V_1=5000\cdot 0{,}90=4500 \]
\[ V_2=4500\cdot 0{,}90=4050 \]
\[ V_3=4050\cdot 0{,}90=3645 \]
La tabla muestra los valores paso a paso.
La fórmula general permite calcular directamente un valor lejano.
La relación recursiva, en cambio, permite construir la secuencia período a período.
Ejercicios
Ejercicio 1
Una inversión inicial de \(2000\) pesos crece un \(5\%\) mensual.
a) Determina el factor.
b) Escribe la relación recursiva.
c) Indica la condición inicial.
a)
\[ 1+\frac{5}{100}=1{,}05 \]
b)
\[ V_{n+1}=V_n\cdot 1{,}05 \]
c)
\[ V_0=2000 \]
Ejercicio 2
Una máquina vale \(8000\) pesos y disminuye un \(12\%\) anual.
a) Determina el factor.
b) Escribe la relación recursiva.
c) Indica la condición inicial.
a)
\[ 1-\frac{12}{100}=0{,}88 \]
b)
\[ V_{n+1}=V_n\cdot 0{,}88 \]
c)
\[ V_0=8000 \]
Ejercicio 3
Una población inicial de \(1500\) bacterias crece un \(20\%\) por período.
Calcula \(V_1\), \(V_2\) y \(V_3\) usando la forma recursiva.
El factor es \(1{,}20\).
\[ V_1=1500\cdot 1{,}20=1800 \]
\[ V_2=1800\cdot 1{,}20=2160 \]
\[ V_3=2160\cdot 1{,}20=2592 \]
Ejercicio 4
Un artículo cuesta \(6000\) pesos y pierde un \(15\%\) de su valor cada período.
Calcula \(V_1\), \(V_2\) y \(V_3\) usando la forma recursiva.
El factor es \(0{,}85\).
\[ V_1=6000\cdot 0{,}85=5100 \]
\[ V_2=5100\cdot 0{,}85=4335 \]
\[ V_3=4335\cdot 0{,}85=3684{,}75 \]
Ejercicio 5
Completa la tabla para una inversión de \(1000\) pesos que crece un \(10\%\) mensual.
| Mes | Valor |
|---|---|
| 0 | 1000 |
| 1 | |
| 2 | |
| 3 | |
| 4 |
El factor es \(1{,}10\).
\[ V_1=1100,\quad V_2=1210,\quad V_3=1331,\quad V_4=1464{,}1 \]
Ejercicio 6
Completa la tabla para una cantidad inicial de \(4000\) que disminuye un \(5\%\) mensual.
| Mes | Valor |
|---|---|
| 0 | 4000 |
| 1 | |
| 2 | |
| 3 | |
| 4 |
El factor es \(0{,}95\).
\[ V_1=3800,\quad V_2=3610,\quad V_3=3429{,}5,\quad V_4=3258{,}03 \]
Ejercicio 7
Una relación recursiva está dada por:
\[ V_{n+1}=V_n\cdot 1{,}08,\qquad V_0=500 \]
Indica si representa crecimiento o decrecimiento y calcula \(V_1\) y \(V_2\).
Como \(1{,}08>1\), representa crecimiento.
\[ V_1=500\cdot 1{,}08=540 \]
\[ V_2=540\cdot 1{,}08=583{,}2 \]
Ejercicio 8
Una relación recursiva está dada por:
\[ V_{n+1}=V_n\cdot 0{,}93,\qquad V_0=2000 \]
Indica si representa crecimiento o decrecimiento y calcula \(V_1\) y \(V_2\).
Como \(0{,}93<1\), representa decrecimiento.
\[ V_1=2000\cdot 0{,}93=1860 \]
\[ V_2=1860\cdot 0{,}93=1729{,}8 \]
Ejercicio 9
Explica con tus palabras qué significa la relación:
\[ V_{n+1}=V_n\cdot 1{,}12 \]
Significa que en cada período el nuevo valor se obtiene multiplicando el valor anterior por \(1{,}12\).
Corresponde a un crecimiento del \(12\%\) por período.
Ejercicio 10
Un estudiante dice que la relación
\[ V_{n+1}=V_n+200 \]
representa un crecimiento porcentual constante.
Explica si está en lo correcto o no.
No está en lo correcto.
La expresión \(V_{n+1}=V_n+200\) representa sumar siempre la misma cantidad, es decir, un crecimiento lineal.
En cambio, el crecimiento porcentual constante se modela multiplicando por un mismo factor en cada período.
La forma recursiva permite describir paso a paso un cambio porcentual constante. En lugar de calcular directamente un valor lejano, muestra cómo se construye cada valor a partir del anterior.
7. Aplicaciones del crecimiento y decrecimiento porcentual
Objetivos de aprendizaje
Aplicar los modelos de crecimiento y decrecimiento porcentual constante en situaciones reales, interpretando adecuadamente la tasa, el factor y la evolución de una cantidad en el tiempo.
Los cambios porcentuales constantes no aparecen solo en ejercicios abstractos.
También se usan para describir fenómenos reales como inversiones, descuentos repetidos, depreciación de objetos, crecimiento de una población o variación de precios.
En todos estos contextos, lo importante es identificar si la cantidad crece o disminuye, cuál es la tasa porcentual y cuál es el factor multiplicativo que se repite en cada período.
No todos los contextos reales usan crecimiento.
Algunas situaciones corresponden a decrecimiento, por ejemplo la depreciación del valor de un vehículo o la pérdida de población.
Aplicación 1: interés compuesto
El interés compuesto es un proceso en el cual una cantidad de dinero crece porque en cada período se aplica una tasa sobre el monto acumulado.
Esto significa que los intereses también generan nuevos intereses.
\[ M=C\left(1+\frac{r}{100}\right)^n \]
donde:
- \(C\): capital inicial
- \(r\): tasa de interés por período
- \(n\): número de períodos
- \(M\): monto final
Ejemplo 1: interés compuesto
Se invierten \(1000\) pesos con una tasa del \(10\%\) anual durante 3 años.
La tasa es \(10\%\), por lo tanto el factor es:
\[ 1+\frac{10}{100}=1{,}10 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ M=1000(1{,}10)^3 \]
\[ M=1331 \]
Respuesta: el monto final es \(1331\) pesos.
Aplicación 2: depreciación
La depreciación ocurre cuando el valor de un objeto disminuye con el tiempo.
Por ejemplo, un auto o una máquina pueden perder un cierto porcentaje de su valor cada año.
Ejemplo 2: depreciación de un vehículo
Un automóvil vale \(12\,000\,000\) de pesos y pierde un \(15\%\) de su valor cada año durante 2 años.
El factor de decrecimiento es:
\[ 1-\frac{15}{100}=0{,}85 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ V_2=12\,000\,000(0{,}85)^2 \]
\[ V_2=12\,000\,000\cdot 0{,}7225=8\,670\,000 \]
Respuesta: el valor final es \(8\,670\,000\) pesos.
Aplicación 3: crecimiento de población
En algunos contextos, una población puede crecer o disminuir cada cierto tiempo en un mismo porcentaje.
Eso también se modela usando un factor multiplicativo constante.
Ejemplo 3: crecimiento de una población
Una colonia de bacterias tiene inicialmente \(2000\) individuos y crece un \(5\%\) por período durante 4 períodos.
El factor es:
\[ 1+\frac{5}{100}=1{,}05 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ V_4=2000(1{,}05)^4 \]
\[ V_4 \approx 2431{,}01 \]
Respuesta: la población final es aproximadamente \(2431{,}01\).
Los cambios porcentuales constantes también aparecen en reajustes de precios, inflación, descuentos sucesivos, crecimiento económico y evolución de ciertos fenómenos naturales.
Ejercicios
Ejercicio 1
Se invierten \(2000\) pesos al \(5\%\) anual durante 4 años.
Calcula el monto final con interés compuesto.
\[ M=2000\left(1+\frac{5}{100}\right)^4=2000(1{,}05)^4 \approx 2431{,}01 \]
Ejercicio 2
Se invierten \(1500\) pesos al \(8\%\) anual durante 3 años.
Calcula el monto final con interés compuesto.
\[ M=1500\left(1+\frac{8}{100}\right)^3=1500(1{,}08)^3 \approx 1889{,}57 \]
Ejercicio 3
Un auto vale \(10\,000\,000\) de pesos y pierde un \(10\%\) de su valor cada año durante 3 años.
Calcula su valor final.
\[ V_3=10\,000\,000(0{,}90)^3 \]
\[ V_3=7\,290\,000 \]
Ejercicio 4
Una máquina cuesta \(5000\) pesos y disminuye un \(12\%\) por período durante 2 períodos.
Calcula su valor final.
\[ V_2=5000\left(1-\frac{12}{100}\right)^2=5000(0{,}88)^2 \]
\[ V_2=3872 \]
Ejercicio 5
Una población inicial de \(3000\) individuos crece un \(4\%\) por período durante 5 períodos.
Calcula la población final.
\[ V_5=3000(1{,}04)^5 \approx 3649{,}96 \]
Ejercicio 6
Una población inicial de \(1200\) individuos disminuye un \(3\%\) por período durante 4 períodos.
Calcula la población final.
\[ V_4=1200(0{,}97)^4 \approx 1062{,}62 \]
Ejercicio 7
Indica si cada situación corresponde a crecimiento o decrecimiento:
a) una inversión gana un \(6\%\) por período
b) un vehículo pierde un \(18\%\) por año
c) una población aumenta un \(2\%\)
d) un producto baja un \(7\%\)
a) crecimiento
b) decrecimiento
c) crecimiento
d) decrecimiento
Ejercicio 8
Explica con tus palabras qué significa que “los intereses generan nuevos intereses”.
Significa que en cada período la tasa se aplica sobre el monto acumulado, incluyendo los intereses obtenidos anteriormente.
Ejercicio 9
Una cantidad se modela por:
\[ V_n=5000(0{,}92)^n \]
a) ¿Corresponde a crecimiento o decrecimiento?
b) ¿Cuál es la tasa porcentual?
a) decrecimiento
b) como \(0{,}92=1-0{,}08\), la tasa es una disminución del \(8\%\).
Ejercicio 10
Una inversión inicial de \(1000\) pesos crece un \(12\%\) durante 2 períodos.
Calcula el monto final e interpreta el resultado.
\[ M=1000(1{,}12)^2=1254{,}4 \]
La inversión aumenta desde \(1000\) hasta \(1254{,}4\), porque el crecimiento del \(12\%\) se repite en cada período.
Los modelos de crecimiento y decrecimiento porcentual permiten describir muchas situaciones reales. Entender la tasa, el factor y la evolución de una cantidad ayuda a interpretar correctamente estos fenómenos.
8. Errores frecuentes y comparación de modelos
Objetivos de aprendizaje
Identificar errores frecuentes en el trabajo con porcentajes y distinguir entre un modelo lineal y un modelo porcentual multiplicativo en distintos contextos.
En este tema no basta con saber calcular. También es importante interpretar correctamente la situación y escoger el modelo adecuado.
Muchos errores aparecen por confundir porcentaje con cantidad, tasa con factor, o crecimiento lineal con crecimiento porcentual multiplicativo.
Errores frecuentes
Aumentar \(500\) en \(10\%\) no significa hacer \(500+10\).
El \(10\%\) representa una parte de la cantidad inicial, no una cantidad fija.
Ejemplo 1
Para aumentar \(500\) en \(10\%\), primero calculamos:
\[ 500\cdot 0{,}10=50 \]
Luego sumamos ese aumento:
\[ 500+50=550 \]
La tasa es el porcentaje de cambio, mientras que el factor es el número por el que se multiplica.
En los cálculos no se usa directamente la tasa, sino el factor.
Ejemplo 2
Si una cantidad aumenta un \(10\%\), la tasa es:
\[ 10\%=0{,}10 \]
y el factor es:
\[ 1+0{,}10=1{,}10 \]
Por eso, para hallar el nuevo valor, se multiplica por \(1{,}10\).
En un crecimiento porcentual constante, el porcentaje es el mismo, pero la cantidad que se suma cambia porque se calcula sobre un valor que va variando.
Ejemplo 3
Si una cantidad crece un \(10\%\) por período:
\[ 1000 \to 1100 \to 1210 \]
Los aumentos no son iguales:
\[ 1100-1000=100 \]
\[ 1210-1100=110 \]
Comparación de modelos
Algunas situaciones se describen mejor sumando siempre la misma cantidad. Otras se describen mejor multiplicando siempre por el mismo factor.
La frase “aumenta un \(5\%\) cada período” normalmente se interpreta como un crecimiento porcentual sobre el valor acumulado, es decir, un modelo porcentual multiplicativo.
Si el \(5\%\) se calcula siempre sobre el valor inicial, entonces se trata de un modelo lineal, como ocurre en el interés simple.
Por eso, en problemas de interés simple conviene decir explícitamente: “se calcula sobre el capital inicial”.
En este modelo se suma siempre la misma cantidad en cada período.
Eso ocurre, por ejemplo, en el interés simple, donde el interés de cada período se calcula sobre el capital inicial.
\[ V_{n+1}=V_n+c \]
Importante: aunque se use un porcentaje para calcular el interés simple, el crecimiento del monto es lineal, porque en cada período se suma siempre la misma cantidad.
En este modelo se multiplica siempre por el mismo factor en cada período.
Eso ocurre, por ejemplo, en el interés compuesto, donde la tasa se aplica sobre el monto acumulado.
\[ V_{n+1}=V_n\cdot k \]
Ejemplo 4: comparación entre dos modelos
Partimos desde \(1000\).
Modelo lineal (+100 cada período):
\[ 1000 \to 1100 \to 1200 \to 1300 \]
Modelo porcentual multiplicativo (10\% por período):
\[ 1000 \to 1100 \to 1210 \to 1331 \]
En el modelo lineal se suma siempre lo mismo. En el modelo porcentual multiplicativo se multiplica siempre por el mismo factor.
Si en cada período se suma siempre la misma cantidad, el modelo es lineal.
Si en cada período se multiplica siempre por el mismo factor, el modelo es porcentual multiplicativo.
Ejercicios
Ejercicio 1
Un estudiante afirma que aumentar \(800\) en \(20\%\) es hacer \(800+20\).
Explica el error y corrige el resultado.
El error es confundir el porcentaje con una cantidad fija.
\[ 800\cdot 0{,}20=160 \]
\[ 800+160=960 \]
Ejercicio 2
Indica si cada caso corresponde a un modelo lineal o a un modelo porcentual multiplicativo:
a) se suma 50 cada período
b) se multiplica por \(1{,}05\)
a) modelo lineal
b) modelo porcentual multiplicativo
Ejercicio 3
La relación
\[ V_{n+1}=V_n+200 \]
¿qué tipo de modelo representa?
Representa un modelo lineal, porque en cada período se suma siempre la misma cantidad.
Ejercicio 4
La relación
\[ V_{n+1}=V_n\cdot 1{,}08 \]
¿qué tipo de modelo representa?
Representa un modelo porcentual multiplicativo, porque en cada período se multiplica por el mismo factor.
Ejercicio 5
Explica por qué el crecimiento porcentual constante no produce siempre el mismo aumento en cantidad.
Porque el porcentaje se calcula en cada período sobre un valor distinto. Por eso la cantidad que se suma cambia con el tiempo.
Ejercicio 6
Un capital inicial de \(1000\) pesos gana cada período un \(10\%\) del capital inicial.
¿Corresponde a un modelo lineal o a un modelo porcentual multiplicativo? Explica.
Corresponde a un modelo lineal.
Aunque se usa un porcentaje, este se calcula siempre sobre el capital inicial, por lo que en cada período se suma la misma cantidad.
Ejercicio 7
Un capital de \(1000\) pesos crece un \(10\%\) en cada período sobre el monto acumulado.
¿Corresponde a un modelo lineal o a un modelo porcentual multiplicativo? Explica.
Corresponde a un modelo porcentual multiplicativo.
El porcentaje se aplica sobre el valor acumulado, por lo que en cada período se multiplica por el mismo factor.
Ejercicio 8
Un estudiante dice: “Multiplicar por \(1{,}10\) es lo mismo que sumar 10”.
¿Es correcto? Explica.
No es correcto.
Multiplicar por \(1{,}10\) significa aumentar un \(10\%\), no sumar 10 unidades.
Ejercicio 9
Corrige el error:
\[ 1000\cdot 10\% = 1100 \]
Primero:
\[ 1000\cdot 0{,}10=100 \]
Luego:
\[ 1000+100=1100 \]
Otra forma correcta es:
\[ 1000\cdot 1{,}10=1100 \]
Ejercicio 10
Explica con tus palabras la diferencia entre un modelo lineal y un modelo porcentual multiplicativo.
En el modelo lineal se suma siempre la misma cantidad. En el modelo porcentual multiplicativo se multiplica siempre por el mismo factor, por lo que la cantidad que cambia puede variar en cada período.
Comprender la diferencia entre tasa, factor, modelo lineal y modelo porcentual multiplicativo permite interpretar correctamente muchos fenómenos de la vida real y evitar errores frecuentes.