Libro del Crecimiento y el Decrecimiento Porcentual
| Sitio: | MATEMÁTICAS × Profe Arauco |
| Curso: | Media 2 |
| Libro: | Libro del Crecimiento y el Decrecimiento Porcentual |
| Imprimido por: | Invitado |
| Día: | jueves, 23 de julio de 2026, 20:03 |
Tabla de contenidos
- 1. Porcentaje y cambio porcentual simple
- 2. Crecimiento y decrecimiento porcentual en un período
- 3. Tasa y factor multiplicativo
- 4. Crecimiento y decrecimiento porcentual constante en varios períodos
- 5. Tabla, gráfico y fórmula general
- 6. Forma recursiva del cambio porcentual constante
- 7. Aplicaciones del crecimiento y decrecimiento porcentual
- 8. Errores frecuentes y comparación de modelos
1. Porcentaje y cambio porcentual simple
Objetivos de aprendizaje
- Comprender qué es un porcentaje, representarlo de distintas formas y aplicarlo en cambios porcentuales simples en contextos cotidianos.
¿Qué es un porcentaje?
Un porcentaje es una forma de expresar una cantidad como una parte de 100.
Por ejemplo, \(25\%\) significa 25 de cada 100, es decir:
\[ 25\%=\frac{25}{100}=0{,}25 \]
Porcentaje, fracción y decimal
Un porcentaje puede representarse de tres formas equivalentes:
| Porcentaje | Fracción | Decimal |
|---|---|---|
| \(5\%\) | \(\frac{5}{100}\) | \(0{,}05\) |
| \(10\%\) | \(\frac{10}{100}\) | \(0{,}10\) |
| \(25\%\) | \(\frac{25}{100}\) | \(0{,}25\) |
| \(80\%\) | \(\frac{80}{100}\) | \(0{,}80\) |
Idea clave
Trabajar con porcentajes no significa solo “poner el símbolo \(\%\)”.
Muchas veces conviene transformar el porcentaje a decimal para poder calcular con más facilidad.
Cambio porcentual simple
¿Qué significa cambiar una cantidad en un porcentaje?
Cuando una cantidad cambia en un porcentaje, ese cambio se calcula sobre el valor inicial.
Si la cantidad aumenta, hablamos de crecimiento. Si disminuye, hablamos de decrecimiento.
Reglas básicas
Si una cantidad aumenta en \(r\%\), el nuevo valor se obtiene sumando ese porcentaje al valor inicial.
\[ \text{Valor final}=\text{Valor inicial}+\text{aumento} \]
Si una cantidad disminuye en \(r\%\), el nuevo valor se obtiene restando ese porcentaje al valor inicial.
\[ \text{Valor final}=\text{Valor inicial}-\text{descuento} \]
Error frecuente
No se debe sumar o restar el número del porcentaje directamente.
Por ejemplo, aumentar \(500\) en \(10\%\) no es hacer \(500+10\), sino calcular el \(10\%\) de \(500\).
Ejemplo 1: calcular un porcentaje de una cantidad
Calcula el \(20\%\) de \(300\).
Primero transformamos el porcentaje a decimal:
\[ 20\%=0{,}20 \]
Luego multiplicamos:
\[ 300\cdot 0{,}20=60 \]
Respuesta: el \(20\%\) de \(300\) es \(60\).
Ejemplo 2: aumento porcentual simple
Un cuaderno cuesta \( \$4000 \) y su precio aumenta un \(15\%\).
Calculamos el aumento:
\[ 4000\cdot 0{,}15=600 \]
Ahora sumamos al valor inicial:
\[ 4000+600=4600 \]
Respuesta: el nuevo precio es \( \$4600 \).
Ejemplo 3: disminución porcentual simple
Una polera cuesta \( \$20\,000 \) y tiene un descuento del \(10\%\).
Calculamos el descuento:
\[ 20\,000\cdot 0{,}10=2000 \]
Restamos al valor inicial:
\[ 20\,000-2000=18\,000 \]
Respuesta: el precio final es \( \$18\,000 \).
¿Dónde aparecen los porcentajes?
Los porcentajes se usan en descuentos, reajustes de precios, resultados de encuestas, impuestos, intereses, crecimiento de poblaciones y muchas otras situaciones de la vida cotidiana.
Ejercicios
Ejercicio 1
Expresa \(30\%\) como fracción y como número decimal.
Como \(30\%\) significa 30 de cada 100, se escribe:
\[ 30\%=\frac{30}{100} \]
Luego, como número decimal:
\[ \frac{30}{100}=0{,}30 \]
Respuesta: \(30\%=\frac{30}{100}=0{,}30\).
Ejercicio 2
Expresa \(7\%\) como fracción y como número decimal.
Como \(7\%\) significa 7 de cada 100, se escribe:
\[ 7\%=\frac{7}{100} \]
Luego, como número decimal:
\[ \frac{7}{100}=0{,}07 \]
Respuesta: \(7\%=\frac{7}{100}=0{,}07\).
Ejercicio 3
Calcula el \(25\%\) de \(200\).
Primero transformamos el porcentaje a decimal:
\[ 25\%=0{,}25 \]
Luego calculamos el porcentaje de la cantidad:
\[ 200\cdot 0{,}25=50 \]
Respuesta: el \(25\%\) de \(200\) es \(50\).
Ejercicio 4
Calcula el \(12\%\) de \(500\).
Primero transformamos el porcentaje a decimal:
\[ 12\%=0{,}12 \]
Luego multiplicamos por la cantidad inicial:
\[ 500\cdot 0{,}12=60 \]
Respuesta: el \(12\%\) de \(500\) es \(60\).
Ejercicio 5
Un lápiz cuesta \( \$800 \) y su precio aumenta un \(25\%\). Calcula el nuevo precio.
Calculamos el aumento:
\[ 800\cdot 0{,}25=200 \]
Como es un aumento, sumamos al valor inicial:
\[ 800+200=1000 \]
Respuesta: el nuevo precio es \( \$1000 \).
Ejercicio 6
Una mochila cuesta \( \$12\,000 \) y tiene un descuento del \(20\%\). Calcula el precio final.
Calculamos el descuento:
\[ 12\,000\cdot 0{,}20=2400 \]
Como es un descuento, restamos al valor inicial:
\[ 12\,000-2400=9600 \]
Respuesta: el precio final es \( \$9600 \).
Ejercicio 7
Un estudiante dice que el \(10\%\) de \(300\) es \(30\).
Verifica si está en lo correcto.
Transformamos el porcentaje a decimal:
\[ 10\%=0{,}10 \]
Calculamos el \(10\%\) de \(300\):
\[ 300\cdot 0{,}10=30 \]
Respuesta: sí, está en lo correcto.
Ejercicio 8
Un estudiante dice que aumentar \(500\) en \(20\%\) es hacer \(500+20=520\).
Explica por qué ese procedimiento es incorrecto.
El procedimiento es incorrecto porque \(20\%\) no significa sumar 20 unidades, sino calcular el \(20\%\) del valor inicial.
Calculamos el aumento correcto:
\[ 500\cdot 0{,}20=100 \]
Entonces el nuevo valor es:
\[ 500+100=600 \]
Respuesta: el valor correcto después del aumento es \(600\), no \(520\).
Ejercicio 9
Completa:
a) \(40\%=\) ______ en decimal
b) \(0{,}08=\) ______ en porcentaje
a) Para pasar de porcentaje a decimal, dividimos por 100:
\[ 40\%=0{,}40 \]
b) Para pasar de decimal a porcentaje, multiplicamos por 100:
\[ 0{,}08=8\% \]
Respuesta: a) \(0{,}40\). b) \(8\%\).
Ejercicio 10
Una entrada al cine cuesta \( \$5000 \) y aumenta un \(10\%\).
Luego, en otra ocasión, tiene un descuento del \(10\%\).
Calcula el nuevo precio en cada caso.
Aumento del \(10\%\):
Calculamos el aumento:
\[ 5000\cdot 0{,}10=500 \]
Sumamos al precio inicial:
\[ 5000+500=5500 \]
Con aumento, el nuevo precio es \( \$5500 \).
Descuento del \(10\%\):
Calculamos el descuento:
\[ 5000\cdot 0{,}10=500 \]
Restamos al precio inicial:
\[ 5000-500=4500 \]
Respuesta: con aumento el precio es \( \$5500 \), y con descuento el precio es \( \$4500 \).
Para cerrar
Comprender qué representa un porcentaje y cómo se calcula un cambio porcentual simple es la base para estudiar después crecimiento, decrecimiento y cambios repetidos en varios períodos.
2. Crecimiento y decrecimiento porcentual en un período
Objetivos de aprendizaje
- Comprender cómo cambia una cantidad cuando aumenta o disminuye en un porcentaje en un solo período, interpretando correctamente el nuevo valor en distintos contextos.
Un cambio en un solo período
En muchas situaciones una cantidad cambia una sola vez: un precio sube, un producto tiene descuento, un salario aumenta o el valor de un objeto disminuye.
En todos esos casos hablamos de un cambio porcentual en un período.
Idea clave
Si una cantidad aumenta, el nuevo valor será mayor que el inicial.
Si una cantidad disminuye, el nuevo valor será menor que el inicial.
Regla para un aumento porcentual
Si una cantidad vale \(V\) y aumenta en \(r\%\), primero se calcula el porcentaje de aumento y luego se suma al valor inicial.
\[ \text{Aumento}=V\cdot \frac{r}{100} \]
\[ \text{Nuevo valor}=V+\text{aumento} \]
Regla para una disminución porcentual
Si una cantidad vale \(V\) y disminuye en \(r\%\), primero se calcula el porcentaje de disminución y luego se resta al valor inicial.
\[ \text{Disminución}=V\cdot \frac{r}{100} \]
\[ \text{Nuevo valor}=V-\text{disminución} \]
Error frecuente
Al hablar de aumento o disminución porcentual, el porcentaje siempre se calcula sobre el valor inicial de la cantidad.
No se debe sumar o restar el número del porcentaje como si fuera una cantidad fija.
Ejemplo 1: aumento en un período
El precio de una bicicleta es \( \$120\,000 \) y aumenta un \(10\%\).
Primero calculamos el aumento:
\[ 120\,000\cdot 0{,}10=12\,000 \]
Luego sumamos al valor inicial:
\[ 120\,000+12\,000=132\,000 \]
Respuesta: el nuevo precio es \( \$132\,000 \).
Ejemplo 2: disminución en un período
Una chaqueta cuesta \( \$40\,000 \) y tiene un descuento del \(15\%\).
Primero calculamos el descuento:
\[ 40\,000\cdot 0{,}15=6\,000 \]
Luego restamos al valor inicial:
\[ 40\,000-6\,000=34\,000 \]
Respuesta: el precio final es \( \$34\,000 \).
Ejemplo 3: interpretar el cambio
Un salario de \( \$500\,000 \) aumenta un \(8\%\).
Calculamos el aumento:
\[ 500\,000\cdot 0{,}08=40\,000 \]
Nuevo salario:
\[ 500\,000+40\,000=540\,000 \]
Interpretación: el salario sube porque el cambio es un aumento.
Respuesta: el nuevo salario es \( \$540\,000 \).
Situaciones reales
Los cambios porcentuales en un período aparecen en descuentos en tiendas, aumentos de sueldo, rebajas, variación de precios y muchos otros contextos cotidianos.
Ejercicios
Ejercicio 1
Un producto cuesta \( \$5000 \) y aumenta un \(20\%\). Calcula el nuevo precio.
Calculamos el aumento:
\[ 5000\cdot 0{,}20=1000 \]
Como el precio aumenta, sumamos al valor inicial:
\[ 5000+1000=6000 \]
Respuesta: el nuevo precio es \( \$6000 \).
Ejercicio 2
Una mochila cuesta \( \$18\,000 \) y tiene un descuento del \(10\%\). Calcula el precio final.
Calculamos el descuento:
\[ 18\,000\cdot 0{,}10=1800 \]
Como es un descuento, restamos al valor inicial:
\[ 18\,000-1800=16\,200 \]
Respuesta: el precio final es \( \$16\,200 \).
Ejercicio 3
Un sueldo de \( \$700\,000 \) aumenta un \(5\%\). ¿Cuál es el nuevo sueldo?
Calculamos el aumento:
\[ 700\,000\cdot 0{,}05=35\,000 \]
Sumamos el aumento al sueldo inicial:
\[ 700\,000+35\,000=735\,000 \]
Respuesta: el nuevo sueldo es \( \$735\,000 \).
Ejercicio 4
El valor de un teléfono es \( \$250\,000 \) y disminuye un \(12\%\). ¿Cuál es su nuevo valor?
Calculamos la disminución:
\[ 250\,000\cdot 0{,}12=30\,000 \]
Restamos al valor inicial:
\[ 250\,000-30\,000=220\,000 \]
Respuesta: el nuevo valor es \( \$220\,000 \).
Ejercicio 5
Una cantidad de \(900\) aumenta un \(15\%\). Calcula el nuevo valor.
Calculamos el aumento:
\[ 900\cdot 0{,}15=135 \]
Sumamos el aumento a la cantidad inicial:
\[ 900+135=1035 \]
Respuesta: el nuevo valor es \(1035\).
Ejercicio 6
Una cantidad de \(1500\) disminuye un \(8\%\). Calcula el nuevo valor.
Calculamos la disminución:
\[ 1500\cdot 0{,}08=120 \]
Restamos la disminución a la cantidad inicial:
\[ 1500-120=1380 \]
Respuesta: el nuevo valor es \(1380\).
Ejercicio 7
Indica si cada caso representa crecimiento o decrecimiento:
a) El precio de un producto sube un \(6\%\).
b) Una tienda aplica un descuento del \(25\%\).
c) Un salario aumenta un \(4\%\).
d) El valor de un objeto baja un \(9\%\).
a) El precio sube, por lo tanto representa crecimiento.
b) Un descuento reduce el precio, por lo tanto representa decrecimiento.
c) El salario aumenta, por lo tanto representa crecimiento.
d) El valor baja, por lo tanto representa decrecimiento.
Ejercicio 8
Un estudiante afirma que aumentar \(400\) en \(10\%\) es hacer \(400+10\).
Explica por qué está equivocado y corrige el resultado.
Está equivocado porque \(10\%\) no significa sumar 10 unidades, sino calcular el \(10\%\) de \(400\).
Calculamos el aumento correcto:
\[ 400\cdot 0{,}10=40 \]
Luego sumamos ese aumento al valor inicial:
\[ 400+40=440 \]
Respuesta: el resultado correcto es \(440\), no \(410\).
Ejercicio 9
Compara los resultados:
a) Aumentar \(1000\) en \(20\%\).
b) Disminuir \(1000\) en \(20\%\).
a) Calculamos el \(20\%\) de \(1000\):
\[ 1000\cdot 0{,}20=200 \]
Como es aumento:
\[ 1000+200=1200 \]
b) El \(20\%\) de \(1000\) también es \(200\), pero ahora se resta:
\[ 1000-200=800 \]
Comparación: aumentar da \(1200\), mientras que disminuir da \(800\).
Ejercicio 10
El valor de una entrada es \( \$6000 \).
Calcula el nuevo valor en cada caso:
a) Aumenta un \(5\%\).
b) Disminuye un \(5\%\).
Primero calculamos el \(5\%\) de \(6000\):
\[ 6000\cdot 0{,}05=300 \]
a) Si aumenta, sumamos:
\[ 6000+300=6300 \]
b) Si disminuye, restamos:
\[ 6000-300=5700 \]
Respuesta: con aumento queda en \( \$6300 \), y con disminución queda en \( \$5700 \).
Para cerrar
En un cambio porcentual en un período, el porcentaje se calcula sobre el valor inicial y luego se suma o se resta según corresponda. Esta idea será fundamental para estudiar después el factor multiplicativo y los cambios repetidos en varios períodos.
3. Tasa y factor multiplicativo
Objetivos de aprendizaje
- Distinguir entre tasa porcentual y factor multiplicativo, comprendiendo cuál se utiliza para calcular directamente el nuevo valor en situaciones de crecimiento y decrecimiento.
Dos formas de describir un cambio
Cuando una cantidad cambia en un porcentaje, podemos describir ese cambio de dos maneras:
- usando la tasa, que corresponde al porcentaje de cambio;
- o usando el factor multiplicativo, que permite calcular directamente el nuevo valor.
Tasa porcentual
La tasa es el porcentaje de cambio.
Por ejemplo:
\[ 10\% = 0{,}10 \]
Normalmente se representa en porcentaje, pero también puede representarse en forma decimal.
Factor multiplicativo
El factor multiplicativo es el número por el que se multiplica la cantidad inicial para obtener directamente el nuevo valor.
Crecimiento:
\[ 1 + \frac{r}{100} \]
Decrecimiento:
\[ 1 - \frac{r}{100} \]
Relación entre tasa y factor
El factor se obtiene a partir de la tasa.
Por ejemplo, si la tasa de crecimiento es \(10\%\):
\[ 10\% = 0{,}10 \]
Entonces el factor de crecimiento es:
\[ 1 + 0{,}10 = 1{,}10 \]
Idea clave
La tasa indica cuánto cambia una cantidad, mientras que el factor multiplicativo permite calcular directamente el nuevo valor.
Por eso, si se quiere obtener el valor final en un solo paso, se multiplica por el factor.
Error frecuente
Confundir tasa con factor puede producir resultados incorrectos.
Por ejemplo, si una cantidad aumenta un \(10\%\), multiplicar por \(0{,}10\) calcula solo el aumento, no el nuevo valor.
Para calcular directamente el nuevo valor, se debe multiplicar por \(1{,}10\).
Ejemplo 1: crecimiento
Una cantidad vale \(1000\) y aumenta un \(10\%\).
Usando tasa:
Primero calculamos el aumento:
\[ 1000 \cdot 0{,}10 = 100 \]
Luego sumamos al valor inicial:
\[ 1000 + 100 = 1100 \]
Usando factor:
Como el aumento es del \(10\%\), el factor es:
\[ 1+0{,}10=1{,}10 \]
Entonces:
\[ 1000 \cdot 1{,}10 = 1100 \]
Conclusión: ambos métodos dan el mismo resultado, pero el uso del factor es más directo.
Ejemplo 2: decrecimiento
Una cantidad vale \(2000\) y disminuye un \(20\%\).
Usando tasa:
Primero calculamos la disminución:
\[ 2000 \cdot 0{,}20 = 400 \]
Luego restamos al valor inicial:
\[ 2000 - 400 = 1600 \]
Usando factor:
Como la disminución es del \(20\%\), el factor es:
\[ 1-0{,}20=0{,}80 \]
Entonces:
\[ 2000 \cdot 0{,}80 = 1600 \]
Conclusión: el factor permite calcular directamente el nuevo valor.
Interpretación del factor
¿Qué significa el valor del factor?
El factor permite identificar rápidamente si hay crecimiento o decrecimiento:
- Si el factor es mayor que \(1\), hay crecimiento.
- Si el factor es menor que \(1\), hay decrecimiento.
- Si el factor es igual a \(1\), la cantidad no cambia.
Ejemplo 3: interpretar el factor
Considera los siguientes factores:
a) \(1{,}12\)
b) \(0{,}95\)
a) Como \(1{,}12 > 1\), representa crecimiento.
\[ 1{,}12 = 1 + 0{,}12 \]
Por lo tanto, corresponde a un crecimiento del \(12\%\).
b) Como \(0{,}95 < 1\), representa decrecimiento.
\[ 0{,}95 = 1 - 0{,}05 \]
Por lo tanto, corresponde a una disminución del \(5\%\).
Ejercicios
Ejercicio 1
Convierte las siguientes tasas a factores de crecimiento:
a) \(8\%\)
b) \(25\%\)
Para un crecimiento, el factor se calcula sumando la tasa decimal a \(1\).
a) Como \(8\%=0{,}08\):
\[ 1 + 0{,}08 = 1{,}08 \]
b) Como \(25\%=0{,}25\):
\[ 1 + 0{,}25 = 1{,}25 \]
Respuesta: los factores son \(1{,}08\) y \(1{,}25\).
Ejercicio 2
Convierte las siguientes tasas a factores de disminución:
a) \(10\%\)
b) \(30\%\)
Para una disminución, el factor se calcula restando la tasa decimal a \(1\).
a) Como \(10\%=0{,}10\):
\[ 1 - 0{,}10 = 0{,}90 \]
b) Como \(30\%=0{,}30\):
\[ 1 - 0{,}30 = 0{,}70 \]
Respuesta: los factores son \(0{,}90\) y \(0{,}70\).
Ejercicio 3
Indica si corresponde a crecimiento o decrecimiento:
a) \(1{,}05\)
b) \(0{,}92\)
a) Como \(1{,}05>1\), corresponde a crecimiento.
b) Como \(0{,}92<1\), corresponde a decrecimiento.
Ejercicio 4
¿Qué tasa porcentual representa el factor \(1{,}20\)?
Como el factor es mayor que \(1\), representa crecimiento.
Escribimos:
\[ 1{,}20 = 1 + 0{,}20 \]
El número \(0{,}20\) equivale a:
\[ 0{,}20=20\% \]
Respuesta: representa un aumento del \(20\%\).
Ejercicio 5
¿Qué tasa porcentual representa el factor \(0{,}85\)?
Como el factor es menor que \(1\), representa decrecimiento.
Escribimos:
\[ 0{,}85 = 1 - 0{,}15 \]
El número \(0{,}15\) equivale a:
\[ 0{,}15=15\% \]
Respuesta: representa una disminución del \(15\%\).
Ejercicio 6
Calcula usando el factor:
Una cantidad de \(2000\) aumenta un \(5\%\).
Como es un aumento del \(5\%\), el factor es:
\[ 1+0{,}05=1{,}05 \]
Multiplicamos la cantidad inicial por el factor:
\[ 2000 \cdot 1{,}05 = 2100 \]
Respuesta: el nuevo valor es \(2100\).
Ejercicio 7
Calcula usando el factor:
Una cantidad de \(1500\) disminuye un \(20\%\).
Como es una disminución del \(20\%\), el factor es:
\[ 1-0{,}20=0{,}80 \]
Multiplicamos la cantidad inicial por el factor:
\[ 1500 \cdot 0{,}80 = 1200 \]
Respuesta: el nuevo valor es \(1200\).
Ejercicio 8
Un estudiante usa \(10\%\) directamente en una multiplicación en lugar de \(1{,}10\) para calcular un aumento.
Explica por qué está equivocado.
Está equivocado porque \(10\%=0{,}10\) representa solo la tasa de cambio.
Si multiplica una cantidad por \(0{,}10\), obtiene solo el \(10\%\) de esa cantidad, no el nuevo valor.
Para calcular directamente el nuevo valor después de un aumento del \(10\%\), debe usar el factor:
\[ 1+0{,}10=1{,}10 \]
Respuesta: el factor correcto para un aumento del \(10\%\) es \(1{,}10\).
Ejercicio 9
Completa:
a) \(12\%\) de aumento → factor ______
b) \(0{,}90\) → tasa ______
a) Como es aumento:
\[ 1+0{,}12=1{,}12 \]
b) Como \(0{,}90<1\), representa disminución:
\[ 0{,}90=1-0{,}10 \]
\[ 0{,}10=10\% \]
Respuesta: a) \(1{,}12\). b) Disminución del \(10\%\).
Ejercicio 10
Explica con tus palabras la diferencia entre tasa y factor.
La tasa es el porcentaje de cambio. Por ejemplo, un aumento del \(15\%\) tiene tasa \(15\%=0{,}15\).
El factor es el número que se usa para multiplicar la cantidad inicial y obtener directamente el nuevo valor.
Por ejemplo, para un aumento del \(15\%\), el factor es:
\[ 1+0{,}15=1{,}15 \]
Respuesta: la tasa describe el cambio, mientras que el factor permite calcular el nuevo valor.
Para cerrar
El factor multiplicativo permite calcular directamente el nuevo valor y será fundamental para estudiar cambios en varios períodos.
4. Crecimiento y decrecimiento porcentual constante en varios períodos
Objetivos de aprendizaje
- Comprender cómo evoluciona una cantidad cuando el mismo cambio porcentual se repite en varios períodos, identificando el patrón de crecimiento o decrecimiento constante.
Del cambio único al cambio repetido
En las páginas anteriores estudiamos cambios porcentuales en un solo período y aprendimos a usar la tasa y el factor multiplicativo.
Ahora estudiaremos qué ocurre cuando ese mismo cambio se repite varias veces.
Idea clave
Si en cada período se repite el mismo porcentaje, entonces en cada paso se vuelve a multiplicar por el mismo factor.
Eso produce una evolución constante en términos porcentuales, aunque los aumentos o disminuciones no sean iguales en cantidad.
Regla del cambio repetido
Si una cantidad crece un \(r\%\) en cada período, en cada paso se multiplica por:
\[ 1+\frac{r}{100} \]
Si una cantidad disminuye un \(r\%\) en cada período, en cada paso se multiplica por:
\[ 1-\frac{r}{100} \]
Error frecuente
No se debe pensar que, porque el porcentaje es el mismo, la cantidad que se suma o se resta también es la misma.
En realidad, el porcentaje se calcula cada vez sobre un valor nuevo.
Ejemplo 1: crecimiento constante en varios períodos
Una inversión inicial de \( \$1000 \) crece un \(10\%\) mensual durante 3 meses.
El factor es:
\[ 1+\frac{10}{100}=1{,}10 \]
Calculamos paso a paso:
\[ \text{Mes 1: }1000\cdot 1{,}10=1100 \]
\[ \text{Mes 2: }1100\cdot 1{,}10=1210 \]
\[ \text{Mes 3: }1210\cdot 1{,}10=1331 \]
Conclusión: la inversión crece en cada período, pero el aumento no es siempre igual en cantidad.
Respuesta: después de 3 meses, la inversión es de \( \$1331 \).
Ejemplo 2: decrecimiento constante en varios períodos
El valor de una máquina es \( \$5000 \) y disminuye un \(20\%\) cada año durante 3 años.
El factor es:
\[ 1-\frac{20}{100}=0{,}80 \]
Calculamos paso a paso:
\[ \text{Año 1: }5000\cdot 0{,}80=4000 \]
\[ \text{Año 2: }4000\cdot 0{,}80=3200 \]
\[ \text{Año 3: }3200\cdot 0{,}80=2560 \]
Conclusión: la cantidad disminuye cada período, pero no restando siempre la misma cantidad.
Respuesta: después de 3 años, el valor es \( \$2560 \).
¿Qué patrón aparece?
Cuando el cambio porcentual se repite, los valores forman una secuencia en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por el mismo factor.
Ese patrón será la base para construir tablas, gráficos y fórmulas en la siguiente página.
Ejercicios
Ejercicio 1
Una inversión de \( \$2000 \) crece un \(5\%\) por período durante 3 períodos.
Calcula los valores correspondientes a los períodos 1, 2 y 3.
Como hay un crecimiento del \(5\%\), el factor es:
\[ 1+0{,}05=1{,}05 \]
Calculamos período a período:
\[ V_1=2000\cdot 1{,}05=2100 \]
\[ V_2=2100\cdot 1{,}05=2205 \]
\[ V_3=2205\cdot 1{,}05=2315{,}25 \]
Respuesta: los valores son \( \$2100 \), \( \$2205 \) y \( \$2315{,}25 \).
Ejercicio 2
Una cantidad de \(800\) disminuye un \(10\%\) por período durante 4 períodos.
Calcula los valores correspondientes a los períodos 1, 2, 3 y 4.
Como hay una disminución del \(10\%\), el factor es:
\[ 1-0{,}10=0{,}90 \]
Calculamos período a período:
\[ V_1=800\cdot 0{,}90=720 \]
\[ V_2=720\cdot 0{,}90=648 \]
\[ V_3=648\cdot 0{,}90=583{,}2 \]
\[ V_4=583{,}2\cdot 0{,}90=524{,}88 \]
Respuesta: los valores son \(720\), \(648\), \(583{,}2\) y \(524{,}88\).
Ejercicio 3
Una población inicial de \(1500\) individuos crece un \(8\%\) anual.
Calcula la población después de 2 años.
Como hay un crecimiento del \(8\%\), el factor es:
\[ 1+0{,}08=1{,}08 \]
Después del primer año:
\[ V_1=1500\cdot 1{,}08=1620 \]
Después del segundo año:
\[ V_2=1620\cdot 1{,}08=1749{,}6 \]
Respuesta: después de 2 años, la población es aproximadamente \(1750\) individuos.
Ejercicio 4
El valor de un aparato es \( \$12\,000 \) y pierde un \(15\%\) anual.
Calcula su valor después de 2 años.
Como hay una disminución del \(15\%\), el factor es:
\[ 1-0{,}15=0{,}85 \]
Después del primer año:
\[ V_1=12\,000\cdot 0{,}85=10\,200 \]
Después del segundo año:
\[ V_2=10\,200\cdot 0{,}85=8670 \]
Respuesta: después de 2 años, el valor es \( \$8670 \).
Ejercicio 5
Completa la tabla para una cantidad inicial de \(1000\) que crece un \(12\%\) por período.
| Período | Valor |
|---|---|
| 0 | \(1000\) |
| 1 | _____ |
| 2 | _____ |
| 3 | _____ |
Como hay un crecimiento del \(12\%\), el factor es:
\[ 1+0{,}12=1{,}12 \]
Calculamos período a período:
\[ V_1=1000\cdot 1{,}12=1120 \]
\[ V_2=1120\cdot 1{,}12=1254{,}4 \]
\[ V_3=1254{,}4\cdot 1{,}12=1404{,}928 \]
| Período | Valor |
|---|---|
| 0 | \(1000\) |
| 1 | \(1120\) |
| 2 | \(1254{,}4\) |
| 3 | \(1404{,}928\) |
Respuesta: los valores son \(1120\), \(1254{,}4\) y \(1404{,}928\).
Ejercicio 6
Completa la tabla para una cantidad inicial de \(3000\) que disminuye un \(5\%\) por período.
| Período | Valor |
|---|---|
| 0 | \(3000\) |
| 1 | _____ |
| 2 | _____ |
| 3 | _____ |
Como hay una disminución del \(5\%\), el factor es:
\[ 1-0{,}05=0{,}95 \]
Calculamos período a período:
\[ V_1=3000\cdot 0{,}95=2850 \]
\[ V_2=2850\cdot 0{,}95=2707{,}5 \]
\[ V_3=2707{,}5\cdot 0{,}95=2572{,}125 \]
| Período | Valor |
|---|---|
| 0 | \(3000\) |
| 1 | \(2850\) |
| 2 | \(2707{,}5\) |
| 3 | \(2572{,}125\) |
Respuesta: los valores son \(2850\), \(2707{,}5\) y \(2572{,}125\).
Ejercicio 7
Explica por qué una cantidad que crece un \(10\%\) durante 2 períodos no aumenta lo mismo que una cantidad que crece un \(20\%\) en un solo período.
En un crecimiento del \(10\%\) durante 2 períodos, el segundo aumento no se calcula sobre la cantidad inicial, sino sobre el valor que ya aumentó.
El factor para cada período es:
\[ 1+0{,}10=1{,}10 \]
Después de 2 períodos, el efecto total es:
\[ 1{,}10\cdot 1{,}10=(1{,}10)^2=1{,}21 \]
Esto equivale a un aumento total del \(21\%\), no del \(20\%\).
Respuesta: no es lo mismo, porque en el cambio repetido cada nuevo porcentaje se calcula sobre un valor actualizado.
Ejercicio 8
Una cantidad se multiplica cada período por \(1{,}03\).
¿Corresponde a crecimiento o decrecimiento? ¿De qué porcentaje?
Como \(1{,}03>1\), corresponde a crecimiento.
Escribimos el factor como:
\[ 1{,}03=1+0{,}03 \]
Luego:
\[ 0{,}03=3\% \]
Respuesta: corresponde a un crecimiento del \(3\%\) por período.
Ejercicio 9
Una cantidad se multiplica cada período por \(0{,}97\).
¿Corresponde a crecimiento o decrecimiento? ¿De qué porcentaje?
Como \(0{,}97<1\), corresponde a decrecimiento.
Escribimos el factor como:
\[ 0{,}97=1-0{,}03 \]
Luego:
\[ 0{,}03=3\% \]
Respuesta: corresponde a una disminución del \(3\%\) por período.
Ejercicio 10
Un estudiante dice: “Si una cantidad crece un \(10\%\) en cada período, entonces siempre aumenta lo mismo”.
Explica por qué esa afirmación es incorrecta.
La afirmación es incorrecta porque el \(10\%\) se calcula cada vez sobre un valor distinto.
Por ejemplo, si una cantidad inicial es \(1000\):
\[ \text{Primer aumento: }1000\cdot 0{,}10=100 \]
El nuevo valor es:
\[ 1000+100=1100 \]
El segundo aumento se calcula sobre \(1100\), no sobre \(1000\):
\[ \text{Segundo aumento: }1100\cdot 0{,}10=110 \]
Respuesta: aunque el porcentaje sea el mismo, la cantidad que aumenta cambia porque cambia el valor de referencia.
Para cerrar
Cuando un cambio porcentual se repite, el proceso deja de ser un cambio aislado y aparece un patrón multiplicativo que permite construir tablas, gráficos y fórmulas.
5. Tabla, gráfico y fórmula general
Objetivos de aprendizaje
- Representar el crecimiento y decrecimiento porcentual constante mediante tablas y gráficos, y relacionar esas representaciones con una fórmula general.
Distintas formas de representar una misma situación
Cuando una cantidad cambia en el mismo porcentaje en cada período, esa situación puede representarse de varias maneras.
Por ejemplo, se puede describir con una tabla, con un gráfico o con una fórmula.
Idea clave
La tabla permite observar los valores período a período, el gráfico muestra la tendencia y la fórmula permite calcular directamente cualquier valor.
Tabla de evolución
Ejemplo con tabla
Una inversión de \( \$1000 \) crece un \(15\%\) cada mes.
| Mes | Valor | Cálculo |
|---|---|---|
| 0 | \(1000\) | Valor inicial |
| 1 | \(1150\) | \(1000 \cdot 1{,}15\) |
| 2 | \(1322{,}5\) | \(1150 \cdot 1{,}15\) |
| 3 | \(1520{,}88\) | \(1322{,}5 \cdot 1{,}15\) |
| 4 | \(1749{,}01\) | \(1520{,}88 \cdot 1{,}15\) |
| 5 | \(2011{,}36\) | \(1749{,}01 \cdot 1{,}15\) |
| 6 | \(2313{,}06\) | \(2011{,}36 \cdot 1{,}15\) |
| 7 | \(2660{,}02\) | \(2313{,}06 \cdot 1{,}15\) |
| 8 | \(3059{,}02\) | \(2660{,}02 \cdot 1{,}15\) |
Observación importante
El aumento no es siempre el mismo. Cada vez se calcula sobre un valor mayor.
Por eso el crecimiento se hace cada vez más evidente con el paso del tiempo.
Representación gráfica
Interpretación del gráfico
Una forma clara de visualizar el crecimiento porcentual constante es mediante un gráfico de líneas.
En el eje horizontal se representa el tiempo y en el eje vertical el valor de la cantidad.
Ejemplo gráfico: inversión de \( \$1000 \) con crecimiento del \(15\%\) mensual
La evolución de la inversión durante 8 meses es la siguiente:
| Mes | Valor |
|---|---|
| 0 | \(1000\) |
| 1 | \(1150\) |
| 2 | \(1322{,}5\) |
| 3 | \(1520{,}88\) |
| 4 | \(1749{,}01\) |
| 5 | \(2011{,}36\) |
| 6 | \(2313{,}06\) |
| 7 | \(2660{,}02\) |
| 8 | \(3059{,}02\) |
En el gráfico se observa una tendencia ascendente cada vez más marcada.
Cada mes la inversión aumenta, pero no en una cantidad fija, porque el \(15\%\) se calcula siempre sobre el valor acumulado hasta ese momento.
Error común
No se debe pensar que el crecimiento es sumar siempre la misma cantidad. Eso correspondería a un crecimiento lineal, no a uno porcentual constante.
Fórmula general
Conexión importante
El factor multiplicativo es el número que aparece elevado a una potencia en la fórmula general.
Modelo general
Si una cantidad inicial es \(V_0\) y cambia en \(r\%\) cada período, entonces:
Crecimiento:
\[ V_n = V_0\left(1+\frac{r}{100}\right)^n \]
Decrecimiento:
\[ V_n = V_0\left(1-\frac{r}{100}\right)^n \]
Ejemplo 1: crecimiento con fórmula general
Una inversión de \( \$2000 \) crece un \(10\%\) anual durante 3 años.
La tasa es \(10\%\), por lo tanto el factor es \(1{,}10\).
Aplicamos la fórmula:
\[ V_3 = 2000\left(1+\frac{10}{100}\right)^3 = 2000(1{,}10)^3 \]
\[ V_3 = 2000 \cdot 1{,}331 = 2662 \]
Respuesta: el valor final es \( \$2662 \).
Ejemplo 2: decrecimiento con fórmula general
Un auto vale \( \$10\,000\,000 \) y pierde un \(20\%\) cada año durante 2 años.
La tasa es \(20\%\), por lo tanto el factor es \(0{,}80\).
Aplicamos la fórmula:
\[ V_2 = 10\,000\,000\left(1-\frac{20}{100}\right)^2 = 10\,000\,000(0{,}80)^2 \]
\[ V_2 = 10\,000\,000 \cdot 0{,}64 = 6\,400\,000 \]
Respuesta: el valor final es \( \$6\,400\,000 \).
Ejercicios
Ejercicio 1
Una inversión de \( \$1000 \) crece un \(5\%\) anual durante 2 años. Calcula el valor final.
Como es crecimiento, usamos el factor:
\[ 1+\frac{5}{100}=1{,}05 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ V_2 = 1000(1{,}05)^2 \]
\[ V_2 = 1000\cdot 1{,}1025=1102{,}5 \]
Respuesta: el valor final es \( \$1102{,}5 \).
Ejercicio 2
Una cantidad de \(500\) disminuye un \(10\%\) durante 3 períodos. Calcula el valor final.
Como es decrecimiento, usamos el factor:
\[ 1-\frac{10}{100}=0{,}90 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ V_3 = 500(0{,}90)^3 \]
\[ V_3 = 500\cdot 0{,}729=364{,}5 \]
Respuesta: el valor final es \(364{,}5\).
Ejercicio 3
Completa la tabla para un crecimiento del \(8\%\) partiendo en \(1000\) durante 3 períodos.
| Período | Valor |
|---|---|
| 0 | \(1000\) |
| 1 | _____ |
| 2 | _____ |
| 3 | _____ |
El factor de crecimiento es:
\[ 1+0{,}08=1{,}08 \]
Calculamos período a período:
\[ V_1=1000\cdot 1{,}08=1080 \]
\[ V_2=1080\cdot 1{,}08=1166{,}4 \]
\[ V_3=1166{,}4\cdot 1{,}08=1259{,}712 \]
| Período | Valor |
|---|---|
| 0 | \(1000\) |
| 1 | \(1080\) |
| 2 | \(1166{,}4\) |
| 3 | \(1259{,}712\) |
Ejercicio 4
Una cantidad se multiplica cada período por \(1{,}12\). ¿Qué porcentaje representa?
Como \(1{,}12>1\), corresponde a crecimiento.
Escribimos:
\[ 1{,}12 = 1 + 0{,}12 \]
\[ 0{,}12=12\% \]
Respuesta: representa un aumento del \(12\%\) por período.
Ejercicio 5
Una población de \(2000\) crece un \(3\%\) durante 4 años. Calcula el valor final.
Como es crecimiento, el factor es:
\[ 1+0{,}03=1{,}03 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ V_4 = 2000(1{,}03)^4 \]
\[ V_4 \approx 2000\cdot 1{,}1255 \approx 2251 \]
Respuesta: el valor final es aproximadamente \(2251\).
Ejercicio 6
Un valor disminuye un \(15\%\) durante 2 períodos desde \(800\). Calcula el valor final.
Como es decrecimiento, el factor es:
\[ 1-0{,}15=0{,}85 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ V_2 = 800(0{,}85)^2 \]
\[ V_2 = 800\cdot 0{,}7225=578 \]
Respuesta: el valor final es \(578\).
Ejercicio 7
Compara: aumentar un \(10\%\) durante 2 períodos versus aumentar un \(20\%\) una sola vez desde \(1000\).
Aumentar un \(10\%\) durante 2 períodos corresponde a multiplicar dos veces por \(1{,}10\):
\[ 1000(1{,}10)^2=1000\cdot 1{,}21=1210 \]
Aumentar un \(20\%\) una sola vez corresponde a multiplicar por \(1{,}20\):
\[ 1000(1{,}20)=1200 \]
Respuesta: no son iguales; el crecimiento repetido del \(10\%\) durante 2 períodos da \(1210\), mientras que el aumento único del \(20\%\) da \(1200\).
Ejercicio 8
Explica por qué el crecimiento porcentual no es lineal.
El crecimiento porcentual no es lineal porque el aumento no se calcula siempre sobre la misma cantidad.
En cada período, el porcentaje se aplica al valor actualizado.
Por ejemplo, si una cantidad crece un \(10\%\), el primer aumento desde \(1000\) es:
\[ 1000\cdot 0{,}10=100 \]
Pero si el nuevo valor es \(1100\), el siguiente aumento es:
\[ 1100\cdot 0{,}10=110 \]
Respuesta: no es lineal porque la cantidad que aumenta cambia en cada período.
Ejercicio 9
Si una cantidad se multiplica por \(0{,}95\) cada período, ¿qué ocurre?
Como \(0{,}95<1\), corresponde a decrecimiento.
Escribimos:
\[ 0{,}95 = 1 - 0{,}05 \]
\[ 0{,}05=5\% \]
Respuesta: la cantidad disminuye un \(5\%\) cada período.
Ejercicio 10
Calcula el valor final de \(1500\) que crece un \(4\%\) durante 3 períodos.
Como es crecimiento, el factor es:
\[ 1+0{,}04=1{,}04 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ V_3=1500(1{,}04)^3 \]
\[ V_3\approx 1500\cdot 1{,}124864=1687{,}296 \]
Respuesta: el valor final es aproximadamente \(1687{,}3\).
Ejercicio 11: completar la tabla y graficar
El valor de una máquina es de \( \$5000 \) y disminuye un \(10\%\) cada mes.
Completa la tabla para los primeros 5 meses y luego representa los datos en un gráfico de líneas.
Indica si corresponde a crecimiento o decrecimiento.
| Mes | Valor |
|---|---|
| 0 | \(5000\) |
| 1 | _____ |
| 2 | _____ |
| 3 | _____ |
| 4 | _____ |
| 5 | _____ |
Como la máquina disminuye un \(10\%\) cada mes, corresponde a un decrecimiento.
El factor es:
\[ 1-0{,}10=0{,}90 \]
Calculamos sucesivamente:
\[ 5000\cdot 0{,}90=4500 \]
\[ 4500\cdot 0{,}90=4050 \]
\[ 4050\cdot 0{,}90=3645 \]
\[ 3645\cdot 0{,}90=3280{,}5 \]
\[ 3280{,}5\cdot 0{,}90=2952{,}45 \]
La tabla completa queda:
| Mes | Valor |
|---|---|
| 0 | \(5000\) |
| 1 | \(4500\) |
| 2 | \(4050\) |
| 3 | \(3645\) |
| 4 | \(3280{,}5\) |
| 5 | \(2952{,}45\) |
El gráfico de líneas correspondiente es:
En el gráfico se observa una tendencia descendente.
La cantidad disminuye cada mes, pero no restando siempre lo mismo, sino multiplicándose sucesivamente por \(0{,}90\).
Para cerrar
Cuando un mismo porcentaje se repite, la situación puede representarse mediante una tabla, un gráfico y una fórmula general. Cada representación aporta una forma distinta de comprender el mismo fenómeno.
6. Forma recursiva del cambio porcentual constante
Objetivos de aprendizaje
- Comprender la forma recursiva del crecimiento y decrecimiento porcentual constante, relacionándola con tablas, factores multiplicativos y la evolución período a período.
Otra forma de describir el mismo proceso
En la página anterior vimos que una situación de crecimiento o decrecimiento porcentual constante puede representarse con una tabla, un gráfico y una fórmula general.
Ahora la describiremos de otra manera: calculando cada valor a partir del valor anterior.
Idea clave
En una relación recursiva, cada nuevo valor se obtiene usando el valor anterior.
En los cambios porcentuales constantes, eso se hace multiplicando siempre por el mismo factor.
Forma recursiva del crecimiento
Si una cantidad crece un \(r\%\) por período, entonces:
\[ V_{n+1}=V_n\left(1+\frac{r}{100}\right) \]
donde \(V_0\) representa el valor inicial.
Forma recursiva del decrecimiento
Si una cantidad disminuye un \(r\%\) por período, entonces:
\[ V_{n+1}=V_n\left(1-\frac{r}{100}\right) \]
donde \(V_0\) representa el valor inicial.
Error frecuente
No se debe confundir una relación recursiva con sumar o restar siempre la misma cantidad.
En el crecimiento o decrecimiento porcentual constante, cada nuevo valor se obtiene multiplicando por un factor, no sumando una cantidad fija.
Ejemplo 1: crecimiento recursivo
Una inversión inicial de \( \$1000 \) crece un \(15\%\) mensual.
La tasa es \(15\%\), por lo tanto el factor es:
\[ 1+\frac{15}{100}=1{,}15 \]
La relación recursiva es:
\[ V_{n+1}=V_n\cdot 1{,}15 \]
La condición inicial es:
\[ V_0=1000 \]
Calculamos los primeros valores:
\[ V_1=1000\cdot 1{,}15=1150 \]
\[ V_2=1150\cdot 1{,}15=1322{,}5 \]
\[ V_3=1322{,}5\cdot 1{,}15=1520{,}875\approx 1520{,}88 \]
Respuesta: los primeros valores son \( \$1150 \), \( \$1322{,}5 \) y aproximadamente \( \$1520{,}88 \).
Ejemplo 2: decrecimiento recursivo
El valor de una máquina es \( \$5000 \) y disminuye un \(10\%\) mensual.
La tasa es \(10\%\), por lo tanto el factor es:
\[ 1-\frac{10}{100}=0{,}90 \]
La relación recursiva es:
\[ V_{n+1}=V_n\cdot 0{,}90 \]
La condición inicial es:
\[ V_0=5000 \]
Calculamos los primeros valores:
\[ V_1=5000\cdot 0{,}90=4500 \]
\[ V_2=4500\cdot 0{,}90=4050 \]
\[ V_3=4050\cdot 0{,}90=3645 \]
Respuesta: los primeros valores son \( \$4500 \), \( \$4050 \) y \( \$3645 \).
Relación entre tabla, fórmula y recursión
La tabla muestra los valores paso a paso.
La fórmula general permite calcular directamente un valor lejano.
La relación recursiva, en cambio, permite construir la secuencia período a período.
Ejercicios
Ejercicio 1
Una inversión inicial de \( \$2000 \) crece un \(5\%\) mensual.
a) Determina el factor.
b) Escribe la relación recursiva.
c) Indica la condición inicial.
a) Como es crecimiento, el factor se obtiene sumando la tasa decimal a \(1\):
\[ 1+\frac{5}{100}=1+0{,}05=1{,}05 \]
b) La relación recursiva es:
\[ V_{n+1}=V_n\cdot 1{,}05 \]
c) La condición inicial corresponde al valor inicial:
\[ V_0=2000 \]
Respuesta: factor \(1{,}05\), relación \(V_{n+1}=V_n\cdot 1{,}05\) y condición inicial \(V_0=2000\).
Ejercicio 2
Una máquina vale \( \$8000 \) y disminuye un \(12\%\) anual.
a) Determina el factor.
b) Escribe la relación recursiva.
c) Indica la condición inicial.
a) Como es decrecimiento, el factor se obtiene restando la tasa decimal a \(1\):
\[ 1-\frac{12}{100}=1-0{,}12=0{,}88 \]
b) La relación recursiva es:
\[ V_{n+1}=V_n\cdot 0{,}88 \]
c) La condición inicial corresponde al valor inicial:
\[ V_0=8000 \]
Respuesta: factor \(0{,}88\), relación \(V_{n+1}=V_n\cdot 0{,}88\) y condición inicial \(V_0=8000\).
Ejercicio 3
Una población inicial de \(1500\) bacterias crece un \(20\%\) por período.
Calcula \(V_1\), \(V_2\) y \(V_3\) usando la forma recursiva.
Como es crecimiento, el factor es:
\[ 1+0{,}20=1{,}20 \]
Entonces la relación recursiva es:
\[ V_{n+1}=V_n\cdot 1{,}20 \]
Con \(V_0=1500\), calculamos:
\[ V_1=1500\cdot 1{,}20=1800 \]
\[ V_2=1800\cdot 1{,}20=2160 \]
\[ V_3=2160\cdot 1{,}20=2592 \]
Respuesta: \(V_1=1800\), \(V_2=2160\) y \(V_3=2592\).
Ejercicio 4
Un artículo cuesta \( \$6000 \) y pierde un \(15\%\) de su valor cada período.
Calcula \(V_1\), \(V_2\) y \(V_3\) usando la forma recursiva.
Como es decrecimiento, el factor es:
\[ 1-0{,}15=0{,}85 \]
Entonces la relación recursiva es:
\[ V_{n+1}=V_n\cdot 0{,}85 \]
Con \(V_0=6000\), calculamos:
\[ V_1=6000\cdot 0{,}85=5100 \]
\[ V_2=5100\cdot 0{,}85=4335 \]
\[ V_3=4335\cdot 0{,}85=3684{,}75 \]
Respuesta: \(V_1=5100\), \(V_2=4335\) y \(V_3=3684{,}75\).
Ejercicio 5
Completa la tabla para una inversión de \( \$1000 \) que crece un \(10\%\) mensual.
| Mes | Valor |
|---|---|
| 0 | \(1000\) |
| 1 | _____ |
| 2 | _____ |
| 3 | _____ |
| 4 | _____ |
Como es crecimiento, el factor es:
\[ 1+0{,}10=1{,}10 \]
Calculamos período a período:
\[ V_1=1000\cdot 1{,}10=1100 \]
\[ V_2=1100\cdot 1{,}10=1210 \]
\[ V_3=1210\cdot 1{,}10=1331 \]
\[ V_4=1331\cdot 1{,}10=1464{,}1 \]
| Mes | Valor |
|---|---|
| 0 | \(1000\) |
| 1 | \(1100\) |
| 2 | \(1210\) |
| 3 | \(1331\) |
| 4 | \(1464{,}1\) |
Respuesta: los valores son \(1100\), \(1210\), \(1331\) y \(1464{,}1\).
Ejercicio 6
Completa la tabla para una cantidad inicial de \(4000\) que disminuye un \(5\%\) mensual.
| Mes | Valor |
|---|---|
| 0 | \(4000\) |
| 1 | _____ |
| 2 | _____ |
| 3 | _____ |
| 4 | _____ |
Como es decrecimiento, el factor es:
\[ 1-0{,}05=0{,}95 \]
Calculamos período a período:
\[ V_1=4000\cdot 0{,}95=3800 \]
\[ V_2=3800\cdot 0{,}95=3610 \]
\[ V_3=3610\cdot 0{,}95=3429{,}5 \]
\[ V_4=3429{,}5\cdot 0{,}95=3258{,}025\approx 3258{,}03 \]
| Mes | Valor |
|---|---|
| 0 | \(4000\) |
| 1 | \(3800\) |
| 2 | \(3610\) |
| 3 | \(3429{,}5\) |
| 4 | \(3258{,}03\) |
Respuesta: los valores son \(3800\), \(3610\), \(3429{,}5\) y aproximadamente \(3258{,}03\).
Ejercicio 7
Una relación recursiva está dada por:
\[ V_{n+1}=V_n\cdot 1{,}08,\qquad V_0=500 \]
Indica si representa crecimiento o decrecimiento y calcula \(V_1\) y \(V_2\).
Como \(1{,}08>1\), representa crecimiento.
Además:
\[ 1{,}08=1+0{,}08 \]
Por lo tanto, corresponde a un crecimiento del \(8\%\) por período.
Calculamos los valores:
\[ V_1=500\cdot 1{,}08=540 \]
\[ V_2=540\cdot 1{,}08=583{,}2 \]
Respuesta: representa crecimiento; \(V_1=540\) y \(V_2=583{,}2\).
Ejercicio 8
Una relación recursiva está dada por:
\[ V_{n+1}=V_n\cdot 0{,}93,\qquad V_0=2000 \]
Indica si representa crecimiento o decrecimiento y calcula \(V_1\) y \(V_2\).
Como \(0{,}93<1\), representa decrecimiento.
Además:
\[ 0{,}93=1-0{,}07 \]
Por lo tanto, corresponde a una disminución del \(7\%\) por período.
Calculamos los valores:
\[ V_1=2000\cdot 0{,}93=1860 \]
\[ V_2=1860\cdot 0{,}93=1729{,}8 \]
Respuesta: representa decrecimiento; \(V_1=1860\) y \(V_2=1729{,}8\).
Ejercicio 9
Explica con tus palabras qué significa la relación:
\[ V_{n+1}=V_n\cdot 1{,}12 \]
La relación significa que en cada período el nuevo valor se obtiene multiplicando el valor anterior por \(1{,}12\).
Como \(1{,}12>1\), representa crecimiento.
Además:
\[ 1{,}12=1+0{,}12 \]
Respuesta: corresponde a un crecimiento del \(12\%\) por período.
Ejercicio 10
Un estudiante dice que la relación
\[ V_{n+1}=V_n+200 \]
representa un crecimiento porcentual constante.
Explica si está en lo correcto o no.
No está en lo correcto.
La expresión \(V_{n+1}=V_n+200\) representa sumar siempre la misma cantidad, es decir, un crecimiento lineal.
En cambio, el crecimiento porcentual constante se modela multiplicando por un mismo factor en cada período.
Por ejemplo, un crecimiento del \(10\%\) se escribiría como:
\[ V_{n+1}=V_n\cdot 1{,}10 \]
Respuesta: no corresponde a crecimiento porcentual constante, porque suma una cantidad fija en lugar de multiplicar por un factor.
Para cerrar
La forma recursiva permite describir paso a paso un cambio porcentual constante. En lugar de calcular directamente un valor lejano, muestra cómo se construye cada valor a partir del anterior.
7. Aplicaciones del crecimiento y decrecimiento porcentual
Objetivos de aprendizaje
- Aplicar los modelos de crecimiento y decrecimiento porcentual constante en situaciones reales, interpretando adecuadamente la tasa, el factor y la evolución de una cantidad en el tiempo.
De la matemática al contexto
Los cambios porcentuales constantes no aparecen solo en ejercicios abstractos.
También se usan para describir fenómenos reales como inversiones, descuentos repetidos, depreciación de objetos, crecimiento de una población o variación de precios.
Idea clave
En todos estos contextos, lo importante es identificar si la cantidad crece o disminuye, cuál es la tasa porcentual y cuál es el factor multiplicativo que se repite en cada período.
Error frecuente
No todos los contextos reales usan crecimiento.
Algunas situaciones corresponden a decrecimiento, por ejemplo la depreciación del valor de un vehículo o la pérdida de población.
Aplicación 1: interés compuesto
¿Qué es el interés compuesto?
El interés compuesto es un proceso en el cual una cantidad de dinero crece porque en cada período se aplica una tasa sobre el monto acumulado.
Esto significa que los intereses también generan nuevos intereses.
Modelo del interés compuesto
\[ M=C\left(1+\frac{r}{100}\right)^n \]
donde:
- \(C\): capital inicial.
- \(r\): tasa de interés por período.
- \(n\): número de períodos.
- \(M\): monto final.
Ejemplo 1: interés compuesto
Se invierten \( \$1000 \) con una tasa del \(10\%\) anual durante 3 años.
La tasa es \(10\%\), por lo tanto el factor es:
\[ 1+\frac{10}{100}=1{,}10 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ M=1000(1{,}10)^3 \]
\[ M=1000\cdot 1{,}331=1331 \]
Respuesta: el monto final es \( \$1331 \).
Aplicación 2: depreciación
¿Qué significa depreciación?
La depreciación ocurre cuando el valor de un objeto disminuye con el tiempo.
Por ejemplo, un auto o una máquina pueden perder un cierto porcentaje de su valor cada año.
Ejemplo 2: depreciación de un vehículo
Un automóvil vale \( \$12\,000\,000 \) y pierde un \(15\%\) de su valor cada año durante 2 años.
El factor de decrecimiento es:
\[ 1-\frac{15}{100}=0{,}85 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ V_2=12\,000\,000(0{,}85)^2 \]
\[ V_2=12\,000\,000\cdot 0{,}7225=8\,670\,000 \]
Respuesta: el valor final es \( \$8\,670\,000 \).
Aplicación 3: crecimiento de población
Poblaciones que cambian en porcentaje
En algunos contextos, una población puede crecer o disminuir cada cierto tiempo en un mismo porcentaje.
Eso también se modela usando un factor multiplicativo constante.
Ejemplo 3: crecimiento de una población
Una colonia de bacterias tiene inicialmente \(2000\) individuos y crece un \(5\%\) por período durante 4 períodos.
El factor es:
\[ 1+\frac{5}{100}=1{,}05 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ V_4=2000(1{,}05)^4 \]
\[ V_4\approx 2431{,}01 \]
Respuesta: la población final es aproximadamente \(2431\) individuos.
Otras aplicaciones reales
Los cambios porcentuales constantes también aparecen en reajustes de precios, inflación, descuentos sucesivos, crecimiento económico y evolución de ciertos fenómenos naturales.
Ejercicios
Ejercicio 1
Se invierten \( \$2000 \) al \(5\%\) anual durante 4 años.
Calcula el monto final con interés compuesto.
Como es interés compuesto, usamos el modelo:
\[ M=C\left(1+\frac{r}{100}\right)^n \]
En este caso, \(C=2000\), \(r=5\) y \(n=4\). Entonces:
\[ M=2000\left(1+\frac{5}{100}\right)^4 \]
\[ M=2000(1{,}05)^4 \]
\[ M\approx 2000\cdot 1{,}2155\approx 2431{,}01 \]
Respuesta: el monto final es aproximadamente \( \$2431{,}01 \).
Ejercicio 2
Se invierten \( \$1500 \) al \(8\%\) anual durante 3 años.
Calcula el monto final con interés compuesto.
El capital inicial es \(1500\), la tasa es \(8\%\) y el tiempo es de 3 años.
El factor de crecimiento es:
\[ 1+\frac{8}{100}=1{,}08 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ M=1500(1{,}08)^3 \]
\[ M=1500\cdot 1{,}259712=1889{,}568 \]
Respuesta: el monto final es aproximadamente \( \$1889{,}57 \).
Ejercicio 3
Un auto vale \( \$10\,000\,000 \) y pierde un \(10\%\) de su valor cada año durante 3 años.
Calcula su valor final.
Como el valor disminuye un \(10\%\), el factor de decrecimiento es:
\[ 1-\frac{10}{100}=0{,}90 \]
Aplicamos el modelo:
\[ V_3=10\,000\,000(0{,}90)^3 \]
\[ V_3=10\,000\,000\cdot 0{,}729=7\,290\,000 \]
Respuesta: el valor final del auto es \( \$7\,290\,000 \).
Ejercicio 4
Una máquina cuesta \( \$5000 \) y disminuye un \(12\%\) por período durante 2 períodos.
Calcula su valor final.
Como hay una disminución del \(12\%\), el factor es:
\[ 1-\frac{12}{100}=0{,}88 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ V_2=5000(0{,}88)^2 \]
\[ V_2=5000\cdot 0{,}7744=3872 \]
Respuesta: el valor final es \( \$3872 \).
Ejercicio 5
Una población inicial de \(3000\) individuos crece un \(4\%\) por período durante 5 períodos.
Calcula la población final.
Como la población crece un \(4\%\), el factor es:
\[ 1+\frac{4}{100}=1{,}04 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ V_5=3000(1{,}04)^5 \]
\[ V_5\approx 3000\cdot 1{,}21665\approx 3649{,}96 \]
Respuesta: la población final es aproximadamente \(3650\) individuos.
Ejercicio 6
Una población inicial de \(1200\) individuos disminuye un \(3\%\) por período durante 4 períodos.
Calcula la población final.
Como la población disminuye un \(3\%\), el factor es:
\[ 1-\frac{3}{100}=0{,}97 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ V_4=1200(0{,}97)^4 \]
\[ V_4\approx 1200\cdot 0{,}88529281\approx 1062{,}35 \]
Respuesta: la población final es aproximadamente \(1062\) individuos.
Ejercicio 7
Indica si cada situación corresponde a crecimiento o decrecimiento:
a) Una inversión gana un \(6\%\) por período.
b) Un vehículo pierde un \(18\%\) por año.
c) Una población aumenta un \(2\%\).
d) Un producto baja un \(7\%\).
a) Si la inversión gana valor, corresponde a crecimiento.
b) Si el vehículo pierde valor, corresponde a decrecimiento.
c) Si la población aumenta, corresponde a crecimiento.
d) Si el producto baja de precio, corresponde a decrecimiento.
Ejercicio 8
Explica con tus palabras qué significa que “los intereses generan nuevos intereses”.
Significa que en cada período la tasa se aplica sobre el monto acumulado, no solo sobre el capital inicial.
Por ejemplo, si una inversión crece, el interés del segundo período se calcula sobre el capital inicial más los intereses obtenidos en el primer período.
Respuesta: los intereses generan nuevos intereses porque pasan a formar parte del monto sobre el cual se calcula el crecimiento siguiente.
Ejercicio 9
Una cantidad se modela por:
\[ V_n=5000(0{,}92)^n \]
a) ¿Corresponde a crecimiento o decrecimiento?
b) ¿Cuál es la tasa porcentual?
a) El factor es \(0{,}92\).
Como \(0{,}92<1\), corresponde a decrecimiento.
b) Para encontrar la tasa, escribimos el factor como:
\[ 0{,}92=1-0{,}08 \]
Luego:
\[ 0{,}08=8\% \]
Respuesta: corresponde a un decrecimiento del \(8\%\) por período.
Ejercicio 10
Una inversión inicial de \( \$1000 \) crece un \(12\%\) durante 2 períodos.
Calcula el monto final e interpreta el resultado.
Como hay crecimiento del \(12\%\), el factor es:
\[ 1+\frac{12}{100}=1{,}12 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ M=1000(1{,}12)^2 \]
\[ M=1000\cdot 1{,}2544=1254{,}4 \]
Respuesta: el monto final es \( \$1254{,}4 \).
Interpretación: la inversión aumenta desde \( \$1000 \) hasta \( \$1254{,}4 \), porque el crecimiento del \(12\%\) se repite en cada período.
Para cerrar
Los modelos de crecimiento y decrecimiento porcentual permiten describir muchas situaciones reales. Entender la tasa, el factor y la evolución de una cantidad ayuda a interpretar correctamente estos fenómenos.
8. Errores frecuentes y comparación de modelos
Objetivos de aprendizaje
- Identificar errores frecuentes en el trabajo con porcentajes y distinguir entre un modelo lineal y un modelo porcentual multiplicativo en distintos contextos.
¿Por qué revisar errores?
En este tema no basta con saber calcular. También es importante interpretar correctamente la situación y escoger el modelo adecuado.
Muchos errores aparecen por confundir porcentaje con cantidad, tasa con factor, o crecimiento lineal con crecimiento porcentual multiplicativo.
Errores frecuentes
Error 1: confundir porcentaje con cantidad
Aumentar \(500\) en \(10\%\) no significa hacer \(500+10\).
El \(10\%\) representa una parte de la cantidad inicial, no una cantidad fija.
Ejemplo 1
Para aumentar \(500\) en \(10\%\), primero calculamos el aumento:
\[ 500\cdot 0{,}10=50 \]
Luego sumamos ese aumento al valor inicial:
\[ 500+50=550 \]
Respuesta: aumentar \(500\) en \(10\%\) da como resultado \(550\).
Error 2: confundir tasa con factor
La tasa es el porcentaje de cambio, mientras que el factor es el número por el que se multiplica para obtener directamente el nuevo valor.
Si se usa la tasa decimal, se calcula solo el cambio. Si se usa el factor, se calcula el valor final.
Ejemplo 2
Si una cantidad aumenta un \(10\%\), la tasa es:
\[ 10\%=0{,}10 \]
Con esa tasa se calcula solo el aumento.
El factor de crecimiento es:
\[ 1+0{,}10=1{,}10 \]
Por eso, para hallar directamente el nuevo valor, se multiplica por \(1{,}10\).
Error 3: pensar que un porcentaje constante produce siempre el mismo aumento
En un crecimiento porcentual constante, el porcentaje es el mismo, pero la cantidad que se suma cambia porque se calcula sobre un valor que va variando.
Ejemplo 3
Si una cantidad crece un \(10\%\) por período desde \(1000\), se obtiene:
\[ 1000 \to 1100 \to 1210 \]
Los aumentos no son iguales:
\[ 1100-1000=100 \]
\[ 1210-1100=110 \]
Conclusión: el porcentaje es el mismo, pero la cantidad aumentada cambia porque se calcula sobre un nuevo valor.
Comparación de modelos
No todos los cambios siguen el mismo modelo
Algunas situaciones se describen mejor sumando siempre la misma cantidad.
Otras se describen mejor multiplicando siempre por el mismo factor.
Advertencia de lenguaje
La frase “aumenta un \(5\%\) cada período” normalmente se interpreta como un crecimiento porcentual sobre el valor acumulado, es decir, un modelo porcentual multiplicativo.
Si el \(5\%\) se calcula siempre sobre el valor inicial, entonces se trata de un modelo lineal, como ocurre en el interés simple.
Por eso, en problemas de interés simple conviene decir explícitamente: “se calcula sobre el capital inicial”.
Modelo lineal
En este modelo se suma siempre la misma cantidad en cada período.
Eso ocurre, por ejemplo, en el interés simple, donde el interés de cada período se calcula sobre el capital inicial.
\[ V_{n+1}=V_n+c \]
Importante: aunque se use un porcentaje para calcular el interés simple, el crecimiento del monto es lineal, porque en cada período se suma siempre la misma cantidad.
Modelo porcentual multiplicativo
En este modelo se multiplica siempre por el mismo factor en cada período.
Eso ocurre, por ejemplo, en el interés compuesto, donde la tasa se aplica sobre el monto acumulado.
\[ V_{n+1}=V_n\cdot k \]
Ejemplo 4: comparación entre dos modelos
Partimos desde \(1000\).
Modelo lineal: se suma \(100\) cada período.
\[ 1000 \to 1100 \to 1200 \to 1300 \]
Modelo porcentual multiplicativo: se aumenta un \(10\%\) por período.
\[ 1000 \to 1100 \to 1210 \to 1331 \]
En el modelo lineal se suma siempre lo mismo.
En el modelo porcentual multiplicativo se multiplica siempre por el mismo factor.
Idea clave
Si en cada período se suma siempre la misma cantidad, el modelo es lineal.
Si en cada período se multiplica siempre por el mismo factor, el modelo es porcentual multiplicativo.
Ejercicios
Ejercicio 1
Un estudiante afirma que aumentar \(800\) en \(20\%\) es hacer \(800+20\).
Explica el error y corrige el resultado.
El error es confundir el porcentaje con una cantidad fija.
Aumentar en \(20\%\) significa calcular el \(20\%\) de \(800\), no sumar \(20\) unidades.
\[ 800\cdot 0{,}20=160 \]
Luego sumamos el aumento al valor inicial:
\[ 800+160=960 \]
Respuesta: el resultado correcto es \(960\), no \(820\).
Ejercicio 2
Indica si cada caso corresponde a un modelo lineal o a un modelo porcentual multiplicativo:
a) Se suma \(50\) cada período.
b) Se multiplica por \(1{,}05\).
a) Si se suma siempre la misma cantidad, corresponde a un modelo lineal.
b) Si se multiplica siempre por el mismo factor, corresponde a un modelo porcentual multiplicativo.
Ejercicio 3
La relación
\[ V_{n+1}=V_n+200 \]
¿Qué tipo de modelo representa?
Representa un modelo lineal, porque en cada período se suma siempre la misma cantidad.
En este caso, cada nuevo valor se obtiene sumando \(200\) al valor anterior.
Respuesta: es un modelo lineal.
Ejercicio 4
La relación
\[ V_{n+1}=V_n\cdot 1{,}08 \]
¿Qué tipo de modelo representa?
Representa un modelo porcentual multiplicativo, porque en cada período se multiplica por el mismo factor.
Además:
\[ 1{,}08=1+0{,}08 \]
Por lo tanto, representa un crecimiento del \(8\%\) por período.
Respuesta: es un modelo porcentual multiplicativo.
Ejercicio 5
Explica por qué el crecimiento porcentual constante no produce siempre el mismo aumento en cantidad.
El crecimiento porcentual constante no produce siempre el mismo aumento en cantidad porque el porcentaje se calcula en cada período sobre un valor distinto.
Por ejemplo, el \(10\%\) de \(1000\) es:
\[ 1000\cdot 0{,}10=100 \]
Pero si el nuevo valor es \(1100\), el \(10\%\) ahora es:
\[ 1100\cdot 0{,}10=110 \]
Respuesta: la cantidad que se suma cambia porque cambia el valor sobre el cual se calcula el porcentaje.
Ejercicio 6
Un capital inicial de \( \$1000 \) gana cada período un \(10\%\) del capital inicial.
¿Corresponde a un modelo lineal o a un modelo porcentual multiplicativo? Explica.
Corresponde a un modelo lineal.
Aunque se usa un porcentaje, este se calcula siempre sobre el capital inicial.
El \(10\%\) de \(1000\) es:
\[ 1000\cdot 0{,}10=100 \]
Entonces, en cada período se suma la misma cantidad: \(100\).
Respuesta: es un modelo lineal, porque se suma siempre una cantidad fija.
Ejercicio 7
Un capital de \( \$1000 \) crece un \(10\%\) en cada período sobre el monto acumulado.
¿Corresponde a un modelo lineal o a un modelo porcentual multiplicativo? Explica.
Corresponde a un modelo porcentual multiplicativo.
El porcentaje se aplica sobre el valor acumulado, por lo que en cada período se multiplica por el mismo factor.
Para un crecimiento del \(10\%\), el factor es:
\[ 1+0{,}10=1{,}10 \]
Entonces el modelo puede escribirse como:
\[ V_{n+1}=V_n\cdot 1{,}10 \]
Respuesta: es un modelo porcentual multiplicativo.
Ejercicio 8
Un estudiante dice: “Multiplicar por \(1{,}10\) es lo mismo que sumar \(10\)”.
¿Es correcto? Explica.
No es correcto.
Multiplicar por \(1{,}10\) significa aumentar un \(10\%\), no sumar \(10\) unidades.
Por ejemplo, si la cantidad inicial es \(200\):
\[ 200\cdot 1{,}10=220 \]
En este caso el aumento fue \(20\), no \(10\).
Respuesta: no es lo mismo, porque \(1{,}10\) representa un aumento porcentual.
Ejercicio 9
Corrige el error:
\[ 1000\cdot 10\% = 1100 \]
El error está en confundir el cálculo del porcentaje con el nuevo valor.
Primero, \(10\%=0{,}10\). Entonces:
\[ 1000\cdot 0{,}10=100 \]
Eso calcula solo el \(10\%\) de \(1000\), no el valor aumentado.
Para aumentar \(1000\) en \(10\%\), se debe sumar el aumento:
\[ 1000+100=1100 \]
Otra forma correcta es usar directamente el factor:
\[ 1000\cdot 1{,}10=1100 \]
Respuesta: \(1000\cdot 10\%=100\); para obtener \(1100\) se debe usar \(1000+100\) o \(1000\cdot 1{,}10\).
Ejercicio 10
Explica con tus palabras la diferencia entre un modelo lineal y un modelo porcentual multiplicativo.
En el modelo lineal se suma o se resta siempre la misma cantidad en cada período.
Por ejemplo:
\[ V_{n+1}=V_n+50 \]
En el modelo porcentual multiplicativo se multiplica siempre por el mismo factor.
Por ejemplo:
\[ V_{n+1}=V_n\cdot 1{,}05 \]
Respuesta: en el modelo lineal cambia una cantidad fija; en el modelo porcentual multiplicativo cambia un porcentaje aplicado al valor actualizado.
Para cerrar la unidad
Comprender la diferencia entre tasa, factor, modelo lineal y modelo porcentual multiplicativo permite interpretar correctamente muchos fenómenos de la vida real y evitar errores frecuentes.