Sí, es una función cuadrática.

La expresión tiene la forma \(ax^2+bx+c\).

En este caso:

• \(a=3\)
• \(b=-1\)
• \(c=7\)

El mayor exponente de \(x\) es 2 y el coeficiente de \(x^2\) es distinto de 0. Por eso, sí corresponde a una función cuadrática.

Para identificar los coeficientes, no importa el orden en que estén escritos los términos.

Lo importante es reconocer cada tipo de término:

• el término cuadrático es \(-2x^2\), por lo tanto \(a=-2\);
• el término lineal es \(5x\), por lo tanto \(b=5\);
• el término independiente es \(-3\), por lo tanto \(c=-3\).

Entonces, los coeficientes son:

• \(a=-2\)
• \(b=5\)
• \(c=-3\)

No, no es una función cuadrática.

La expresión no tiene término con \(x^2\).

El mayor exponente de la variable es 1, así que corresponde a una función lineal, no a una función cuadrática.

Aunque la función no esté escrita en el orden usual, igual podemos identificar sus términos.

Reordenándola mentalmente, queda:

\[ f(x)=x^2-6x+0 \]

Ahora se reconocen los coeficientes:

• \(a=1\)
• \(b=-6\)
• \(c=0\)

El término independiente no aparece escrito, pero su valor es 0.

Usamos la forma general:

\[ f(x)=ax^2+bx+c \]

Sustituyendo los valores dados:

\[ f(x)=1x^2-2x+4 \]

Se puede escribir de forma más simple como:

\[ f(x)=x^2-2x+4 \]

Esa es una función cuadrática con los coeficientes solicitados.

En una función cuadrática de la forma \(f(x)=ax^2+bx+c\), el término independiente es \(c\).

Aunque la expresión esté desordenada, el término independiente sigue siendo el número que no tiene \(x\).

En este caso, ese término es 2, por lo tanto:

\[ c=2 \]

Además, el corte con el eje \(y\) se obtiene evaluando en \(x=0\):

\[ f(0)=2-3(0)+5(0)^2=2 \]

Por lo tanto, la función corta el eje \(y\) en el punto \((0,2)\).

Sí, es una ecuación cuadrática.

Una ecuación cuadrática es aquella cuyo mayor exponente de la variable es 2.

En \(3x^2-4x+1=0\), el mayor exponente de \(x\) es 2 y el coeficiente del término cuadrático es 3, que es distinto de 0.

Por eso, corresponde a una ecuación cuadrática.

Sustituimos \(x\) por 2:

\[ f(2)=3(2)^2-2(2)+1 \]

Calculamos la potencia:

\[ f(2)=3(4)-4+1 \]

Multiplicamos:

\[ f(2)=12-4+1 \]

Reducimos:

\[ f(2)=9 \]

Por lo tanto, la imagen de 2 es 9.

Sustituimos \(x\) por 1:

\[ f(1)=-(1)^2+5(1)-4 \]

Calculamos la potencia:

\[ f(1)=-1+5-4 \]

Reducimos:

\[ f(1)=0 \]

Por lo tanto, la imagen de 1 es 0.

Sustituimos \(x\) por 0:

\[ f(0)=4(0)^2-4(0)+1 \]

Calculamos:

\[ f(0)=0-0+1 \]

\[ f(0)=1 \]

Entonces, la imagen de 0 es 1.

Sustituimos \(x\) por \(-1\):

\[ f(-1)=2(-1)^2-3(-1)+7 \]

Calculamos la potencia:

\[ f(-1)=2(1)+3+7 \]

Reducimos:

\[ f(-1)=2+3+7=12 \]

Por lo tanto, la imagen de \(-1\) es 12.

Aunque la función no esté escrita en el orden usual, igual se puede evaluar directamente.

Sustituimos \(x\) por 2:

\[ f(2)=5-2+2(2)^2 \]

Calculamos la potencia:

\[ f(2)=5-2+2(4) \]

Multiplicamos:

\[ f(2)=5-2+8 \]

Reducimos:

\[ f(2)=11 \]

Entonces, la imagen de 2 es 11.

Sustituimos \(x\) por \(-3\):

\[ f(-3)=1+4(-3)-(-3)^2 \]

Calculamos la potencia:

\[ f(-3)=1-12-9 \]

Reducimos:

\[ f(-3)=-20 \]

Por lo tanto, la imagen de \(-3\) es \(-20\).

Sustituimos \(x\) por 3:

\[ f(3)=(3)^2-6(3)+4 \]

Calculamos la potencia:

\[ f(3)=9-18+4 \]

Reducimos:

\[ f(3)=-5 \]

Entonces, la imagen de 3 es \(-5\).

Buscamos los valores de \(x\) para los cuales \(f(x)=0\):

\[ 2x^2-8x+6=0 \]

Dividimos toda la ecuación por 2:

\[ x^2-4x+3=0 \]

Factorizamos:

\[ (x-1)(x-3)=0 \]

Entonces:

\[ x=1 \qquad \text{o} \qquad x=3 \]

Por lo tanto, la preimagen de 0 es \(x=1\) y \(x=3\).

Igualamos la función a 4:

\[ x^2-2x-3=4 \]

Llevamos todo al mismo lado:

\[ x^2-2x-7=0 \]

Aplicamos fórmula cuadrática:

\[ x=\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4(1)(-7)}}{2(1)} \]

\[ x=\frac{2\pm\sqrt{4+28}}{2} \]

\[ x=\frac{2\pm\sqrt{32}}{2} \]

\[ x=\frac{2\pm 4\sqrt{2}}{2} \]

\[ x=1\pm 2\sqrt{2} \]

Por lo tanto, la preimagen de 4 es \(x=1-2\sqrt{2}\) y \(x=1+2\sqrt{2}\).

Planteamos la ecuación:

\[ x^2+4x+4=-5 \]

Llevamos todo al mismo lado:

\[ x^2+4x+9=0 \]

Calculamos el discriminante:

\[ \Delta=4^2-4(1)(9)=16-36=-20 \]

Como el discriminante es negativo, no hay solución en los números reales.

Por lo tanto, \(-5\) no tiene preimagen real en esta función.

Igualamos la función a 3:

\[ x^2-2x+1=3 \]

Llevamos todo al mismo lado:

\[ x^2-2x-2=0 \]

Aplicamos fórmula cuadrática:

\[ x=\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4(1)(-2)}}{2(1)} \]

\[ x=\frac{2\pm\sqrt{4+8}}{2} \]

\[ x=\frac{2\pm\sqrt{12}}{2} \]

\[ x=\frac{2\pm 2\sqrt{3}}{2} \]

\[ x=1\pm\sqrt{3} \]

Por lo tanto, la preimagen de 3 es \(x=1-\sqrt{3}\) y \(x=1+\sqrt{3}\).

Igualamos la función a 7:

\[ -x^2+3x-2=7 \]

Llevamos todo al mismo lado:

\[ -x^2+3x-9=0 \]

Multiplicamos por \(-1\) para trabajar más cómodamente:

\[ x^2-3x+9=0 \]

Calculamos el discriminante:

\[ \Delta=(-3)^2-4(1)(9)=9-36=-27 \]

Como el discriminante es negativo, no hay solución real.

Por lo tanto, 7 no tiene preimagen real en esta función.

Aunque la función está escrita en otro orden, igual podemos trabajar con ella.

Planteamos la ecuación:

\[ -2+x+x^2=-2 \]

Reducimos:

\[ x+x^2=0 \]

Ordenamos:

\[ x^2+x=0 \]

Factorizamos:

\[ x(x+1)=0 \]

Entonces:

\[ x=0 \qquad \text{o} \qquad x=-1 \]

Por lo tanto, la preimagen de \(-2\) es \(x=0\) y \(x=-1\).

Igualamos la función a 2:

\[ 3x^2-x+1=2 \]

Llevamos todo al mismo lado:

\[ 3x^2-x-1=0 \]

Aplicamos fórmula cuadrática:

\[ x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4(3)(-1)}}{2(3)} \]

\[ x=\frac{1\pm\sqrt{1+12}}{6} \]

\[ x=\frac{1\pm\sqrt{13}}{6} \]

Por lo tanto, la preimagen de 2 es:

\[ x=\frac{1-\sqrt{13}}{6} \qquad \text{y} \qquad x=\frac{1+\sqrt{13}}{6} \]

Tomemos \(x=-2,-1,0,1,2\).

Los puntos son \((-2,5)\), \((-1,2)\), \((0,1)\), \((1,2)\) y \((2,5)\).

Al graficarlos se obtiene una parábola que se abre hacia arriba y está desplazada una unidad hacia arriba respecto de \(y=x^2\).

Tomemos \(x=-2,-1,0,1,2\).

Los puntos son \((-2,0)\), \((-1,-3)\), \((0,-4)\), \((1,-3)\) y \((2,0)\).

La gráfica es una parábola que se abre hacia arriba y está desplazada 4 unidades hacia abajo.

Tomemos \(x=-2,-1,0,1,2\).

Los puntos son \((-2,-4)\), \((-1,-1)\), \((0,0)\), \((1,-1)\) y \((2,-4)\).

Al unirlos con una curva suave se obtiene una parábola que se abre hacia abajo.

Tomemos \(x=-3,-2,-1,0,1\).

Los puntos son \((-3,3)\), \((-2,0)\), \((-1,-1)\), \((0,0)\) y \((1,3)\).

La gráfica es una parábola que se abre hacia arriba.

Tomemos \(x=-2,-1,0,1,2\).

Los puntos son \((-2,8)\), \((-1,2)\), \((0,0)\), \((1,2)\) y \((2,8)\).

La parábola se abre hacia arriba y es más estrecha que la de \(y=x^2\).

Tomemos \(x=-2,-1,0,1,2\).

Los puntos son \((-2,-3)\), \((-1,0)\), \((0,1)\), \((1,0)\) y \((2,-3)\).

Se obtiene una parábola que se abre hacia abajo y cuyo punto más alto es \((0,1)\).

Tomemos \(x=-1,0,1,2,3\).

Los puntos son \((-1,0)\), \((0,-3)\), \((1,-4)\), \((2,-3)\) y \((3,0)\).

La gráfica es una parábola que se abre hacia arriba. Además, se observa simetría respecto de \(x=1\).

En la función \(f(x)=2x^2-3x+5\), se tiene:

• \(a=2\)
• \(c=5\)

Como \(a=2>0\), la parábola se abre hacia arriba.

Además, como \(c=5\), el corte con el eje \(y\) es:

\[ (0,5) \]

En la función \(f(x)=-3x^2+x-4\), se tiene:

• \(a=-3\)
• \(c=-4\)

Como \(a=-3<0\), la parábola se abre hacia abajo.

Como \(c=-4\), el corte con el eje \(y\) es:

\[ (0,-4) \]

Aunque la función no está escrita en el orden habitual, igual se pueden identificar los coeficientes.

Reordenando mentalmente:

\[ f(x)=-x^2+4x+7 \]

Entonces:

• \(a=-1\)
• \(c=7\)

Como \(a=-1<0\), la parábola se abre hacia abajo.

Como \(c=7\), el corte con el eje \(y\) es:

\[ (0,7) \]

Comparamos con la forma general \(f(x)=ax^2+bx+c\):

\[ f(x)=x^2-6x+0 \]

Entonces:

• \(a=1\)
• \(c=0\)

Como \(a=1>0\), la parábola se abre hacia arriba.

Como \(c=0\), el corte con el eje \(y\) es:

\[ (0,0) \]

Reescribiendo la función:

\[ f(x)=-x^2+1 \]

Se obtiene:

• \(a=-1\)
• \(c=1\)

Como \(a<0\), la parábola se abre hacia abajo.

Como \(c=1\), el corte con el eje \(y\) es:

\[ (0,1) \]

Primero identificamos los coeficientes principales.

Para \(f(x)=x^2-3\):

• \(a=1\)
• \(c=-3\)

Para \(g(x)=-x^2-3\):

• \(a=-1\)
• \(c=-3\)

Se parecen en que ambas tienen el mismo corte con el eje \(y\):

\[ (0,-3) \]

Se diferencian en la concavidad:

• \(f(x)\) se abre hacia arriba porque \(a>0\);
• \(g(x)\) se abre hacia abajo porque \(a<0\).

Para que la parábola se abra hacia abajo, el coeficiente \(a\) debe ser negativo.

Para que corte el eje \(y\) en \((0,4)\), el valor de \(c\) debe ser 4.

Un ejemplo posible es:

\[ f(x)=-x^2+4 \]

Verificación:

• \(a=-1\), por eso se abre hacia abajo;
• \(c=4\), por eso corta el eje \(y\) en \((0,4)\).

También podrían existir otras respuestas correctas, por ejemplo:

\[ f(x)=-2x^2+3x+4 \]

o cualquier otra función cuadrática con \(a<0\) y \(c=4\).

Identificamos los coeficientes:

• \(a=1\)
• \(b=6\)
• \(c=8\)

Calculamos la coordenada \(x\) del vértice:

\[ x_v=\frac{-6}{2(1)}=\frac{-6}{2}=-3 \]

Ahora calculamos la coordenada \(y\):

\[ y_v=f(-3)=(-3)^2+6(-3)+8 \]

\[ y_v=9-18+8=-1 \]

Por lo tanto, el vértice es:

\[ (-3,-1) \]

Identificamos:

• \(a=-1\)
• \(b=2\)
• \(c=3\)

Calculamos \(x_v\):

\[ x_v=\frac{-2}{2(-1)}=\frac{-2}{-2}=1 \]

Luego calculamos \(y_v\):

\[ y_v=f(1)=-(1)^2+2(1)+3 \]

\[ y_v=-1+2+3=4 \]

Entonces, el vértice es:

\[ (1,4) \]

Identificamos los coeficientes:

• \(a=2\)
• \(b=-8\)
• \(c=5\)

Calculamos \(x_v\):

\[ x_v=\frac{-(-8)}{2(2)}=\frac{8}{4}=2 \]

Ahora calculamos \(y_v\):

\[ y_v=f(2)=2(2)^2-8(2)+5 \]

\[ y_v=2(4)-16+5 \]

\[ y_v=8-16+5=-3 \]

Por lo tanto, el vértice es:

\[ (2,-3) \]

Identificamos:

• \(a=-3\)
• \(b=12\)
• \(c=-7\)

Calculamos \(x_v\):

\[ x_v=\frac{-12}{2(-3)}=\frac{-12}{-6}=2 \]

Ahora calculamos \(y_v\):

\[ y_v=f(2)=-3(2)^2+12(2)-7 \]

\[ y_v=-3(4)+24-7 \]

\[ y_v=-12+24-7=5 \]

Por lo tanto, el vértice es:

\[ (2,5) \]

Primero reconocemos los coeficientes. Aunque la función esté desordenada, se puede reescribir como:

\[ f(x)=x^2-4x+6 \]

Entonces:

• \(a=1\)
• \(b=-4\)
• \(c=6\)

Calculamos \(x_v\):

\[ x_v=\frac{-(-4)}{2(1)}=\frac{4}{2}=2 \]

Calculamos \(y_v\):

\[ y_v=f(2)=6-4(2)+2^2 \]

\[ y_v=6-8+4=2 \]

Entonces, el vértice es:

\[ (2,2) \]

Queremos una parábola cuyo vértice esté en \((0,3)\).

Un ejemplo simple es:

\[ f(x)=x^2+3 \]

Verificación:

Aquí \(a=1\), \(b=0\), \(c=3\).

Calculamos la coordenada \(x\) del vértice:

\[ x_v=\frac{-0}{2(1)}=0 \]

Calculamos la coordenada \(y\):

\[ y_v=f(0)=0^2+3=3 \]

Por lo tanto, el vértice es:

\[ (0,3) \]

También podrían existir otras respuestas correctas, por ejemplo \(f(x)=2x^2+3\) o \(f(x)=-x^2+3\), aunque esa última se abriría hacia abajo.

Que el vértice esté en \((1,-2)\) significa que el punto central de la parábola se ubica en \(x=1\) y \(y=-2\).

Un ejemplo sencillo es:

\[ f(x)=(x-1)^2-2 \]

Si la desarrollamos:

\[ f(x)=x^2-2x+1-2 \]

\[ f(x)=x^2-2x-1 \]

Verificamos con la fórmula del vértice:

• \(a=1\)
• \(b=-2\)

\[ x_v=\frac{-(-2)}{2(1)}=\frac{2}{2}=1 \]

Ahora calculamos \(y_v\):

\[ y_v=f(1)=1^2-2(1)-1 \]

\[ y_v=1-2-1=-2 \]

Por lo tanto, sí cumple que el vértice es \((1,-2)\).

Partimos desde la expresión de la coordenada \(y\) del vértice:

\[ y_v=f\left(\frac{-b}{2a}\right) \]

Como \(f(x)=ax^2+bx+c\), reemplazamos \(x\) por \(\dfrac{-b}{2a}\):

\[ f\left(\frac{-b}{2a}\right)=a\left(\frac{-b}{2a}\right)^2+b\left(\frac{-b}{2a}\right)+c \]

Calculamos cada término:

\[ a\left(\frac{-b}{2a}\right)^2=a\left(\frac{b^2}{4a^2}\right)=\frac{b^2}{4a} \]

\[ b\left(\frac{-b}{2a}\right)=\frac{-b^2}{2a} \]

Entonces:

\[ f\left(\frac{-b}{2a}\right)=\frac{b^2}{4a}-\frac{b^2}{2a}+c \]

Expresamos todo con denominador común \(4a\):

\[ f\left(\frac{-b}{2a}\right)=\frac{b^2}{4a}-\frac{2b^2}{4a}+\frac{4ac}{4a} \]

Ahora reducimos:

\[ f\left(\frac{-b}{2a}\right)=\frac{b^2-2b^2+4ac}{4a} \]

\[ f\left(\frac{-b}{2a}\right)=\frac{4ac-b^2}{4a} \]

Por lo tanto, queda demostrado que:

\[ f\left(\frac{-b}{2a}\right)=\frac{4ac-b^2}{4a} \]

Identificamos:

• \(a=1\)
• \(b=6\)

Aplicamos la fórmula del eje de simetría:

\[ x=\frac{-6}{2(1)}=\frac{-6}{2}=-3 \]

Por lo tanto, el eje de simetría es:

\[ x=-3 \]

Identificamos:

• \(a=-1\)
• \(b=2\)

Aplicamos la fórmula:

\[ x=\frac{-2}{2(-1)}=\frac{-2}{-2}=1 \]

Entonces, el eje de simetría es:

\[ x=1 \]

Identificamos:

• \(a=2\)
• \(b=-8\)

Aplicamos la fórmula:

\[ x=\frac{-(-8)}{2(2)}=\frac{8}{4}=2 \]

Por lo tanto, el eje de simetría es:

\[ x=2 \]

Aunque la función esté escrita en otro orden, podemos reconocer sus coeficientes.

Reordenando mentalmente:

\[ f(x)=x^2-4x+6 \]

Entonces:

• \(a=1\)
• \(b=-4\)

Aplicamos la fórmula:

\[ x=\frac{-(-4)}{2(1)}=\frac{4}{2}=2 \]

Por lo tanto, el eje de simetría es:

\[ x=2 \]

Primero hallamos el eje de simetría.

Aquí:

• \(a=-3\)
• \(b=12\)

Aplicamos la fórmula:

\[ x=\frac{-12}{2(-3)}=\frac{-12}{-6}=2 \]

Entonces, el eje de simetría es:

\[ x=2 \]

La relación con el vértice es que esta recta pasa exactamente por él.

De hecho, en esta función el vértice tiene coordenada \(x=2\), por eso el eje de simetría es la recta vertical \(x=2\).

Para \(f(x)=x^2-4x+1\):

• \(a=1\)
• \(b=-4\)

\[ x=\frac{-(-4)}{2(1)}=\frac{4}{2}=2 \]

Entonces, el eje de simetría de \(f\) es:

\[ x=2 \]

Para \(g(x)=-x^2+4x+6\):

• \(a=-1\)
• \(b=4\)

\[ x=\frac{-4}{2(-1)}=\frac{-4}{-2}=2 \]

Entonces, el eje de simetría de \(g\) también es:

\[ x=2 \]

Comparación: ambas funciones tienen el mismo eje de simetría, aunque una se abre hacia arriba y la otra hacia abajo.

Queremos una función cuadrática cuyo eje de simetría sea:

\[ x=-1 \]

Un ejemplo simple es:

\[ f(x)=x^2+2x+3 \]

Verificamos:

• \(a=1\)
• \(b=2\)

Aplicamos la fórmula:

\[ x=\frac{-2}{2(1)}=\frac{-2}{2}=-1 \]

Entonces, esta función sí tiene eje de simetría \(x=-1\).

También podrían existir otras respuestas correctas, por ejemplo:

\[ f(x)=2x^2+4x-5 \]

ya que en ese caso:

\[ x=\frac{-4}{2(2)}=\frac{-4}{4}=-1 \]

Primero identificamos:

• \(a=1\)
• \(b=6\)

Como \(a=1>0\), la parábola se abre hacia arriba. Por lo tanto, tiene mínimo.

Calculamos el vértice:

\[ x_v=\frac{-6}{2(1)}=-3 \]

\[ y_v=f(-3)=(-3)^2+6(-3)+8=9-18+8=-1 \]

Entonces:

• el punto mínimo es \((-3,-1)\);
• el valor mínimo es \(-1\).

Identificamos:

• \(a=-1\)
• \(b=2\)

Como \(a<0\), la parábola se abre hacia abajo. Entonces tiene máximo.

Calculamos el vértice:

\[ x_v=\frac{-2}{2(-1)}=1 \]

\[ y_v=f(1)=-(1)^2+2(1)+3=-1+2+3=4 \]

Entonces:

• el punto máximo es \((1,4)\);
• el valor máximo es \(4\).

Identificamos:

• \(a=2\)
• \(b=-8\)

Como \(a>0\), la parábola se abre hacia arriba. Entonces tiene mínimo.

Calculamos el vértice:

\[ x_v=\frac{-(-8)}{2(2)}=\frac{8}{4}=2 \]

\[ y_v=f(2)=2(2)^2-8(2)+5=8-16+5=-3 \]

Por lo tanto:

• el punto mínimo es \((2,-3)\);
• el valor mínimo es \(-3\).

Identificamos:

• \(a=-3\)
• \(b=12\)

Como \(a<0\), la parábola se abre hacia abajo. Entonces tiene máximo.

Calculamos el vértice:

\[ x_v=\frac{-12}{2(-3)}=\frac{-12}{-6}=2 \]

\[ y_v=f(2)=-3(2)^2+12(2)-7=-12+24-7=5 \]

Por lo tanto:

• el punto máximo es \((2,5)\);
• el valor máximo es \(5\).

Reordenamos mentalmente:

\[ f(x)=x^2-4x+6 \]

Entonces:

• \(a=1\)
• \(b=-4\)

Como \(a>0\), la función tiene mínimo.

Calculamos el vértice:

\[ x_v=\frac{-(-4)}{2(1)}=2 \]

\[ y_v=f(2)=6-4(2)+2^2=6-8+4=2 \]

Por lo tanto:

• el punto mínimo es \((2,2)\);
• el valor mínimo es \(2\).

Que una función cuadrática tenga máximo igual a 3 significa que la parábola se abre hacia abajo y que su punto más alto tiene coordenada \(y=3\).

Eso quiere decir que el vértice está en algún punto \((x,3)\).

Por ejemplo, una función que cumple eso es:

\[ f(x)=-x^2+3 \]

En ese caso, el vértice es \((0,3)\) y el valor máximo es 3.

Queremos una parábola que se abra hacia arriba y cuyo vértice sea \((1,-2)\).

Un ejemplo sencillo es:

\[ f(x)=(x-1)^2-2 \]

Desarrollando:

\[ f(x)=x^2-2x+1-2 \]

\[ f(x)=x^2-2x-1 \]

Verificamos:

• \(a=1>0\), por eso la parábola tiene mínimo;
• su vértice es \((1,-2)\).

Entonces:

• el punto mínimo es \((1,-2)\);
• el valor mínimo es \(-2\).

Primero recordamos el vértice:

\[ x_v=\frac{-6}{2(1)}=-3 \]

\[ y_v=f(-3)=(-3)^2+6(-3)+8=9-18+8=-1 \]

Entonces, el vértice es:

\[ (-3,-1) \]

Como \(a=1>0\), la parábola se abre hacia arriba y por eso tiene mínimo en \(-1\).

Por lo tanto, el recorrido es:

\[ [-1,\infty) \]

Primero hallamos el vértice:

\[ x_v=\frac{-2}{2(-1)}=1 \]

\[ y_v=f(1)=-(1)^2+2(1)+3=-1+2+3=4 \]

Entonces, el vértice es:

\[ (1,4) \]

Como \(a=-1<0\), la parábola se abre hacia abajo y por eso tiene máximo en \(4\).

Por lo tanto, el recorrido es:

\[ (-\infty,4] \]

Calculamos el vértice:

\[ x_v=\frac{-(-8)}{2(2)}=\frac{8}{4}=2 \]

\[ y_v=f(2)=2(2)^2-8(2)+5=8-16+5=-3 \]

El vértice es:

\[ (2,-3) \]

Como \(a=2>0\), la parábola se abre hacia arriba, así que tiene mínimo en \(-3\).

Por lo tanto, el recorrido es:

\[ [-3,\infty) \]

Calculamos el vértice:

\[ x_v=\frac{-12}{2(-3)}=\frac{-12}{-6}=2 \]

\[ y_v=f(2)=-3(2)^2+12(2)-7=-12+24-7=5 \]

Entonces, el vértice es:

\[ (2,5) \]

Como \(a=-3<0\), la parábola se abre hacia abajo y por eso tiene máximo en \(5\).

Por lo tanto, el recorrido es:

\[ (-\infty,5] \]

Reordenamos mentalmente:

\[ f(x)=-x^2+2x+5 \]

Calculamos el vértice:

\[ x_v=\frac{-2}{2(-1)}=1 \]

\[ y_v=f(1)=5+2(1)-1^2=5+2-1=6 \]

El vértice es:

\[ (1,6) \]

Como \(a=-1<0\), la parábola se abre hacia abajo, así que tiene máximo en \(6\).

Por lo tanto, el recorrido es:

\[ (-\infty,6] \]

Que una función cuadrática tenga recorrido \([2,\infty)\) significa que:

• la parábola se abre hacia arriba;
• el valor más pequeño que toma la función es \(2\);
• la coordenada \(y\) del vértice es \(2\).

En otras palabras, la gráfica nunca baja de \(y=2\), pero sí puede tomar ese valor.

Un ejemplo de función con ese recorrido es:

\[ f(x)=x^2+2 \]

porque su vértice es \((0,2)\).

Queremos una parábola que:

• se abra hacia abajo;
• tenga valor máximo igual a \(3\).

Un ejemplo simple es:

\[ f(x)=-x^2+3 \]

Verificamos:

• \(a=-1<0\), por eso la parábola se abre hacia abajo;
• su vértice es \((0,3)\), así que el valor máximo es \(3\).

Por lo tanto, el recorrido es:

\[ (-\infty,3] \]

Planteamos:

\[ 5x^2=0 \]

Como \(5\neq 0\), dividimos por 5:

\[ x^2=0 \]

Entonces:

\[ x=0 \]

La función tiene un cero doble en \(x=0\).

Planteamos:

\[ x^2-7x=0 \]

Sacamos factor común:

\[ x(x-7)=0 \]

Aplicamos producto nulo:

\[ x=0 \qquad \text{o} \qquad x-7=0 \]

Entonces:

\[ x=0 \qquad \text{y} \qquad x=7 \]

Por lo tanto, los ceros son \(0\) y \(7\).

Planteamos:

\[ 4x^2+12x=0 \]

Sacamos factor común:

\[ 4x(x+3)=0 \]

Aplicamos producto nulo:

\[ 4x=0 \qquad \text{o} \qquad x+3=0 \]

Entonces:

\[ x=0 \qquad \text{y} \qquad x=-3 \]

Por lo tanto, los ceros de la función son \(0\) y \(-3\).

Reordenamos mentalmente:

\[ f(x)=2x^2+10x \]

Planteamos:

\[ 2x^2+10x=0 \]

Sacamos factor común:

\[ 2x(x+5)=0 \]

Aplicamos producto nulo:

\[ 2x=0 \qquad \text{o} \qquad x+5=0 \]

Entonces:

\[ x=0 \qquad \text{y} \qquad x=-5 \]

Por lo tanto, los ceros son \(0\) y \(-5\).

Reordenamos mentalmente:

\[ f(x)=3x^2-15x \]

Planteamos:

\[ 3x^2-15x=0 \]

Sacamos factor común:

\[ 3x(x-5)=0 \]

Aplicamos producto nulo:

\[ 3x=0 \qquad \text{o} \qquad x-5=0 \]

Entonces:

\[ x=0 \qquad \text{y} \qquad x=5 \]

Por lo tanto, los ceros son \(0\) y \(5\).

Planteamos:

\[ 8x^2=0 \]

Como \(8\neq 0\), dividimos por 8:

\[ x^2=0 \]

Entonces:

\[ x=0 \]

La función tiene un cero doble en \(x=0\).

Eso significa que la parábola toca al eje \(x\) en un solo punto:

\[ (0,0) \]

Planteamos:

\[ x^2+x=0 \]

Sacamos factor común:

\[ x(x+1)=0 \]

Aplicamos producto nulo:

\[ x=0 \qquad \text{o} \qquad x+1=0 \]

Entonces:

\[ x=0 \qquad \text{y} \qquad x=-1 \]

La parábola corta al eje \(x\) en dos puntos:

\[ (0,0) \qquad \text{y} \qquad (-1,0) \]

Planteamos:

\[ x^2-8x+16=0 \]

Reconocemos un cuadrado perfecto:

\[ x^2-8x+16=(x-4)^2 \]

Entonces:

\[ (x-4)^2=0 \]

\[ x-4=0 \]

\[ x=4 \]

La función tiene un cero doble en \(x=4\).

Planteamos:

\[ x^2-49=0 \]

Reconocemos una diferencia de cuadrados:

\[ x^2-49=x^2-7^2=(x-7)(x+7) \]

Entonces:

\[ (x-7)(x+7)=0 \]

Aplicamos producto nulo:

\[ x-7=0 \qquad \text{o} \qquad x+7=0 \]

Entonces:

\[ x=7 \qquad \text{y} \qquad x=-7 \]

Por lo tanto, los ceros son \(-7\) y \(7\).

Planteamos:

\[ 9x^2-24x+16=0 \]

Reconocemos un cuadrado perfecto:

\[ 9x^2-24x+16=(3x-4)^2 \]

Entonces:

\[ (3x-4)^2=0 \]

\[ 3x-4=0 \]

\[ x=\frac{4}{3} \]

La función tiene un cero doble en \(x=\dfrac{4}{3}\).

Planteamos:

\[ 25x^2-1=0 \]

Reconocemos una diferencia de cuadrados:

\[ 25x^2-1=(5x)^2-1^2=(5x-1)(5x+1) \]

Entonces:

\[ (5x-1)(5x+1)=0 \]

Aplicamos producto nulo:

\[ 5x-1=0 \qquad \text{o} \qquad 5x+1=0 \]

Entonces:

\[ x=\frac{1}{5} \qquad \text{y} \qquad x=-\frac{1}{5} \]

Por lo tanto, los ceros son \(-\dfrac{1}{5}\) y \(\dfrac{1}{5}\).

Reordenamos mentalmente:

\[ f(x)=x^2-12x+36 \]

Reconocemos un cuadrado perfecto:

\[ x^2-12x+36=(x-6)^2 \]

Entonces:

\[ (x-6)^2=0 \]

\[ x=6 \]

La función tiene un cero doble en \(x=6\).

Planteamos:

\[ 4-9x^2=0 \]

Escribimos como diferencia de cuadrados:

\[ 4-9x^2=2^2-(3x)^2=(2-3x)(2+3x) \]

Entonces:

\[ (2-3x)(2+3x)=0 \]

Aplicamos producto nulo:

\[ 2-3x=0 \qquad \text{o} \qquad 2+3x=0 \]

Entonces:

\[ x=\frac{2}{3} \qquad \text{y} \qquad x=-\frac{2}{3} \]

Por lo tanto, los ceros son \(-\dfrac{2}{3}\) y \(\dfrac{2}{3}\).

Planteamos:

\[ x^2+10x+25=0 \]

Reconocemos un cuadrado perfecto:

\[ x^2+10x+25=(x+5)^2 \]

Entonces:

\[ (x+5)^2=0 \]

\[ x+5=0 \]

\[ x=-5 \]

Como la raíz está repetida, la función tiene un cero doble.

Eso significa que la parábola toca al eje \(x\) en un solo punto:

\[ (-5,0) \]

Planteamos:

\[ x^2+7x+12=0 \]

Buscamos dos números que sumen \(7\) y multipliquen \(12\).

Esos números son \(3\) y \(4\).

Entonces:

\[ x^2+7x+12=(x+3)(x+4) \]

Aplicamos producto nulo:

\[ x+3=0 \qquad \text{o} \qquad x+4=0 \]

Entonces:

\[ x=-3 \qquad \text{y} \qquad x=-4 \]

Planteamos:

\[ x^2-9x+20=0 \]

Buscamos dos números que sumen \(-9\) y multipliquen \(20\).

Esos números son \(-4\) y \(-5\).

Entonces:

\[ x^2-9x+20=(x-4)(x-5) \]

Aplicamos producto nulo:

\[ x-4=0 \qquad \text{o} \qquad x-5=0 \]

Entonces:

\[ x=4 \qquad \text{y} \qquad x=5 \]

Planteamos:

\[ x^2+x-20=0 \]

Buscamos dos números que sumen \(1\) y multipliquen \(-20\).

Esos números son \(5\) y \(-4\).

Entonces:

\[ x^2+x-20=(x+5)(x-4) \]

Aplicamos producto nulo:

\[ x+5=0 \qquad \text{o} \qquad x-4=0 \]

Entonces:

\[ x=-5 \qquad \text{y} \qquad x=4 \]

Reordenamos mentalmente:

\[ f(x)=x^2-5x+6 \]

Planteamos:

\[ x^2-5x+6=0 \]

Buscamos dos números que sumen \(-5\) y multipliquen \(6\).

Esos números son \(-2\) y \(-3\).

Entonces:

\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]

Aplicamos producto nulo:

\[ x-2=0 \qquad \text{o} \qquad x-3=0 \]

Entonces:

\[ x=2 \qquad \text{y} \qquad x=3 \]

Planteamos:

\[ 2x^2+x-3=0 \]

Factorizamos:

\[ 2x^2+x-3=(2x+3)(x-1) \]

Aplicamos producto nulo:

\[ 2x+3=0 \qquad \text{o} \qquad x-1=0 \]

Entonces:

\[ x=-\frac{3}{2} \qquad \text{y} \qquad x=1 \]

Planteamos:

\[ 3x^2-2x-8=0 \]

Factorizamos:

\[ 3x^2-2x-8=(3x+4)(x-2) \]

Aplicamos producto nulo:

\[ 3x+4=0 \qquad \text{o} \qquad x-2=0 \]

Entonces:

\[ x=-\frac{4}{3} \qquad \text{y} \qquad x=2 \]

Planteamos:

\[ 2x^2-7x+3=0 \]

Factorizamos:

\[ 2x^2-7x+3=(2x-1)(x-3) \]

Aplicamos producto nulo:

\[ 2x-1=0 \qquad \text{o} \qquad x-3=0 \]

Entonces:

\[ x=\frac{1}{2} \qquad \text{y} \qquad x=3 \]

La parábola corta al eje \(x\) en los puntos:

\[ \left(\frac{1}{2},0\right) \qquad \text{y} \qquad (3,0) \]

Planteamos:

\[ x^2-6x+2=0 \]

Identificamos:

• \(a=1\)
• \(b=-6\)
• \(c=2\)

Calculamos el discriminante:

\[ \Delta=(-6)^2-4(1)(2)=36-8=28 \]

Aplicamos la fórmula:

\[ x=\frac{-(-6)\pm\sqrt{28}}{2(1)} \]

\[ x=\frac{6\pm 2\sqrt{7}}{2} \]

\[ x=3\pm \sqrt{7} \]

Por lo tanto, los ceros son:

\[ x=3-\sqrt{7} \qquad \text{y} \qquad x=3+\sqrt{7} \]

Planteamos:

\[ 3x^2+2x-1=0 \]

Identificamos:

• \(a=3\)
• \(b=2\)
• \(c=-1\)

Calculamos el discriminante:

\[ \Delta=2^2-4(3)(-1)=4+12=16 \]

Aplicamos la fórmula:

\[ x=\frac{-2\pm\sqrt{16}}{2(3)} \]

\[ x=\frac{-2\pm 4}{6} \]

Entonces:

\[ x=\frac{2}{6}=\frac13 \qquad \text{y} \qquad x=\frac{-6}{6}=-1 \]

Por lo tanto, los ceros son:

\[ x=\frac13 \qquad \text{y} \qquad x=-1 \]

Planteamos:

\[ 2x^2+4x+1=0 \]

Identificamos:

• \(a=2\)
• \(b=4\)
• \(c=1\)

Calculamos el discriminante:

\[ \Delta=4^2-4(2)(1)=16-8=8 \]

Aplicamos la fórmula:

\[ x=\frac{-4\pm\sqrt{8}}{4} \]

\[ x=\frac{-4\pm 2\sqrt{2}}{4} \]

\[ x=\frac{-2\pm \sqrt{2}}{2} \]

Por lo tanto, los ceros son:

\[ x=\frac{-2-\sqrt{2}}{2} \qquad \text{y} \qquad x=\frac{-2+\sqrt{2}}{2} \]

Identificamos:

• \(a=1\)
• \(b=-8\)
• \(c=16\)

Calculamos el discriminante:

\[ \Delta=(-8)^2-4(1)(16)=64-64=0 \]

Como \(\Delta=0\), la ecuación tiene una solución real doble.

Aplicamos la fórmula:

\[ x=\frac{-(-8)\pm\sqrt{0}}{2(1)} \]

\[ x=\frac{8}{2}=4 \]

Por lo tanto, la solución es:

\[ x=4 \]

Se trata de un cero doble.

Identificamos:

• \(a=1\)
• \(b=4\)
• \(c=8\)

Calculamos el discriminante:

\[ \Delta=4^2-4(1)(8)=16-32=-16 \]

Como \(\Delta<0\), la ecuación no tiene soluciones reales.

Por lo tanto, la función no tiene ceros reales.

Reordenamos mentalmente:

\[ f(x)=x^2-4x+5 \]

Planteamos:

\[ x^2-4x+5=0 \]

Identificamos:

• \(a=1\)
• \(b=-4\)
• \(c=5\)

Calculamos el discriminante:

\[ \Delta=(-4)^2-4(1)(5)=16-20=-4 \]

Como \(\Delta<0\), no tiene soluciones reales.

Por lo tanto, la función no tiene ceros reales.

Identificamos:

• \(a=2\)
• \(b=-5\)
• \(c=-3\)

Calculamos el discriminante:

\[ \Delta=(-5)^2-4(2)(-3)=25+24=49 \]

Como \(\Delta>0\), habrá dos soluciones reales distintas.

Aplicamos la fórmula:

\[ x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{49}}{2(2)} \]

\[ x=\frac{5\pm 7}{4} \]

Entonces:

\[ x=\frac{12}{4}=3 \qquad \text{y} \qquad x=\frac{-2}{4}=-\frac12 \]

Por lo tanto, la parábola corta al eje \(x\) en los puntos:

\[ \left(-\frac12,0\right) \qquad \text{y} \qquad (3,0) \]

Buscamos los ceros:

\[ x^2+6x+8=0 \]

\[ (x+2)(x+4)=0 \]

\[ x=-2 \qquad \text{y} \qquad x=-4 \]

Como \(a=1>0\), la parábola se abre hacia arriba.

Entonces:

• \(f(x)>0\) en \((-\infty,-4)\cup(-2,\infty)\)
• \(f(x)<0\) en \((-4,-2)\)
• \(f(x)=0\) en \(x=-4\) y \(x=-2\)

Hallamos los ceros:

\[ -x^2+2x+3=0 \]

\[ x^2-2x-3=0 \]

\[ (x-3)(x+1)=0 \]

\[ x=3 \qquad \text{y} \qquad x=-1 \]

Como \(a=-1<0\), la parábola se abre hacia abajo.

Entonces:

• \(f(x)>0\) en \((-1,3)\)
• \(f(x)<0\) en \((-\infty,-1)\cup(3,\infty)\)
• \(f(x)=0\) en \(x=-1\) y \(x=3\)

Buscamos los ceros:

\[ x^2-2x+1=0 \]

\[ (x-1)^2=0 \]

\[ x=1 \]

Como la raíz está repetida, la parábola toca el eje \(x\) en \(x=1\).

Además, como \(a=1>0\), la parábola se abre hacia arriba.

Entonces:

• \(f(x)>0\) en \((-\infty,1)\cup(1,\infty)\)
• no hay intervalos donde \(f(x)<0\)
• \(f(x)=0\) solo en \(x=1\)

Calculamos si tiene ceros reales:

\[ \Delta=4^2-4(1)(5)=16-20=-4 \]

Como el discriminante es negativo, no tiene ceros reales.

Además, como \(a=1>0\), la parábola se abre hacia arriba.

Calculamos el vértice:

\[ x_v=\frac{-4}{2(1)}=-2 \]

\[ y_v=f(-2)=(-2)^2+4(-2)+5=4-8+5=1 \]

El valor mínimo es 1, que es positivo.

Entonces:

• \(f(x)>0\) para todo \(x\in\mathbb{R}\)
• no hay intervalos donde \(f(x)<0\)
• no tiene ceros reales

Reordenamos mentalmente:

\[ f(x)=x^2-5x+6 \]

Buscamos los ceros:

\[ x^2-5x+6=0 \]

\[ (x-2)(x-3)=0 \]

\[ x=2 \qquad \text{y} \qquad x=3 \]

Como \(a=1>0\), la parábola se abre hacia arriba.

Entonces:

• \(f(x)>0\) en \((-\infty,2)\cup(3,\infty)\)
• \(f(x)<0\) en \((2,3)\)
• \(f(x)=0\) en \(x=2\) y \(x=3\)

Que una función cuadrática sea negativa en \((1,4)\) significa que, para todos los valores de \(x\) entre 1 y 4, la gráfica de la parábola está bajo el eje \(x\).

Es decir, en ese intervalo se cumple:

\[ f(x)<0 \]

Eso suele ocurrir cuando la parábola corta al eje \(x\) en \(x=1\) y en \(x=4\), y entre esos puntos queda bajo el eje.

Queremos una función cuadrática cuya gráfica quede completamente sobre el eje \(x\).

Un ejemplo simple es:

\[ f(x)=x^2+1 \]

Justificación:

• \(a=1>0\), por eso la parábola se abre hacia arriba;
• su vértice es \((0,1)\), así que el valor mínimo es \(1\), que es positivo.

Entonces, la función nunca toma valores negativos ni cero.

Por lo tanto:

\[ f(x)>0 \quad \text{para todo } x\in\mathbb{R} \]

Coeficientes: \(a=1\), \(b=6\), \(c=8\).

Concavidad: como \(a>0\), la parábola se abre hacia arriba.

Corte con el eje \(y\):

\[ f(0)=8 \Rightarrow (0,8) \]

Vértice:

\[ x_v=\frac{-6}{2(1)}=-3 \]

\[ y_v=f(-3)=(-3)^2+6(-3)+8=9-18+8=-1 \]

\[ V=(-3,-1) \]

Eje de simetría:

\[ x=-3 \]

Máximo o mínimo: tiene mínimo en \((-3,-1)\), y su valor mínimo es \(-1\).

Recorrido:

\[ [-1,\infty) \]

Ceros:

\[ x^2+6x+8=0 \]

\[ (x+2)(x+4)=0 \]

\[ x=-2 \qquad \text{y} \qquad x=-4 \]

Signo:

• \(f(x)>0\) en \((-\infty,-4)\cup(-2,\infty)\)
• \(f(x)<0\) en \((-4,-2)\)
• \(f(x)=0\) en \(x=-4\) y \(x=-2\)

Coeficientes: \(a=-1\), \(b=2\), \(c=3\).

Concavidad: como \(a<0\), la parábola se abre hacia abajo.

Corte con el eje \(y\):

\[ f(0)=3 \Rightarrow (0,3) \]

Vértice:

\[ x_v=\frac{-2}{2(-1)}=1 \]

\[ y_v=f(1)=-(1)^2+2(1)+3=-1+2+3=4 \]

\[ V=(1,4) \]

Eje de simetría:

\[ x=1 \]

Máximo o mínimo: tiene máximo en \((1,4)\), y su valor máximo es \(4\).

Recorrido:

\[ (-\infty,4] \]

Ceros:

\[ -x^2+2x+3=0 \]

\[ x^2-2x-3=0 \]

\[ (x-3)(x+1)=0 \]

\[ x=3 \qquad \text{y} \qquad x=-1 \]

Signo:

• \(f(x)>0\) en \((-1,3)\)
• \(f(x)<0\) en \((-\infty,-1)\cup(3,\infty)\)
• \(f(x)=0\) en \(x=-1\) y \(x=3\)

Coeficientes: \(a=2\), \(b=-8\), \(c=5\).

Concavidad: como \(a>0\), se abre hacia arriba.

Corte con el eje \(y\):

\[ f(0)=5 \Rightarrow (0,5) \]

Vértice:

\[ x_v=\frac{-(-8)}{2(2)}=2 \]

\[ y_v=f(2)=2(2)^2-8(2)+5=8-16+5=-3 \]

\[ V=(2,-3) \]

Eje de simetría:

\[ x=2 \]

Máximo o mínimo: tiene mínimo en \((2,-3)\), con valor mínimo \(-3\).

Recorrido:

\[ [-3,\infty) \]

Ceros:

\[ 2x^2-8x+5=0 \]

\[ x=\frac{4-\sqrt{6}}{2} \qquad \text{y} \qquad x=\frac{4+\sqrt{6}}{2} \]

Signo:

• \(f(x)>0\) fuera de sus ceros
• \(f(x)<0\) entre sus dos ceros

Reordenamos mentalmente:

\[ f(x)=x^2-4x+6 \]

Coeficientes: \(a=1\), \(b=-4\), \(c=6\).

Concavidad: se abre hacia arriba.

Corte con el eje \(y\):

\[ f(0)=6 \Rightarrow (0,6) \]

Vértice:

\[ x_v=\frac{-(-4)}{2(1)}=2 \]

\[ y_v=f(2)=6-4(2)+2^2=6-8+4=2 \]

\[ V=(2,2) \]

Eje de simetría:

\[ x=2 \]

Máximo o mínimo: tiene mínimo en \((2,2)\), con valor mínimo \(2\).

Recorrido:

\[ [2,\infty) \]

Ceros: no tiene ceros reales.

Signo:

\[ f(x)>0 \quad \text{para todo } x\in\mathbb{R} \]

Coeficientes: \(a=1\), \(b=-2\), \(c=1\).

Concavidad: se abre hacia arriba.

Corte con el eje \(y\):

\[ f(0)=1 \Rightarrow (0,1) \]

Vértice:

\[ x_v=\frac{-(-2)}{2(1)}=1 \]

\[ y_v=f(1)=1^2-2(1)+1=0 \]

\[ V=(1,0) \]

Eje de simetría:

\[ x=1 \]

Máximo o mínimo: tiene mínimo en \((1,0)\), con valor mínimo \(0\).

Recorrido:

\[ [0,\infty) \]

Ceros:

\[ (x-1)^2=0 \Rightarrow x=1 \]

Tiene un cero doble.

Signo:

• \(f(x)>0\) en \((-\infty,1)\cup(1,\infty)\)
• \(f(x)=0\) en \(x=1\)
• no tiene intervalos donde sea negativa

Un ejemplo es:

\[ f(x)=-x^2+2x+4 \]

Verificamos:

• \(a=-1<0\), por eso se abre hacia abajo;
• \(f(0)=4\), así que corta el eje \(y\) en \((0,4)\);
• \(x_v=\dfrac{-2}{2(-1)}=1\) y \(f(1)=-1+2+4=5\), entonces su vértice es \((1,5)\).

Entonces:

• eje de simetría: \(x=1\)
• máximo: \(5\)
• recorrido: \((-\infty,5]\)

Hallar solo el vértice no entrega toda la información sobre la función.

El vértice permite conocer el punto extremo y ayuda a obtener el recorrido, pero todavía faltan otras características importantes, por ejemplo:

• la concavidad;
• el corte con el eje \(y\);
• los ceros de la función;
• el signo;
• el eje de simetría.

Por eso, un análisis completo requiere estudiar varios aspectos de la parábola y no solamente uno de ellos.

Reemplazamos \(x\) por 2:

\[ f(2)=3(2)^2-2(2)+1 \]

\[ f(2)=3(4)-4+1 \]

\[ f(2)=12-4+1=9 \]

Por lo tanto:

\[ f(2)=9 \]

Reemplazamos \(x\) por 1:

\[ f(1)=-(1)^2+5(1)-4 \]

\[ f(1)=-1+5-4 \]

\[ f(1)=0 \]

Por lo tanto:

\[ f(1)=0 \]

Identificamos:

• \(a=1\)
• \(b=4\)

Calculamos la coordenada \(x\) del vértice:

\[ x_v=\frac{-4}{2(1)}=\frac{-4}{2}=-2 \]

Ahora calculamos la coordenada \(y\):

\[ y_v=f(-2)=(-2)^2+4(-2)+1 \]

\[ y_v=4-8+1=-3 \]

Entonces, el vértice es:

\[ (-2,-3) \]

Identificamos:

• \(a=-2\)
• \(b=8\)

Calculamos:

\[ x_v=\frac{-8}{2(-2)}=\frac{-8}{-4}=2 \]

Ahora evaluamos:

\[ y_v=f(2)=-2(2)^2+8(2)-3 \]

\[ y_v=-2(4)+16-3 \]

\[ y_v=-8+16-3=5 \]

Entonces, el vértice es:

\[ (2,5) \]

Planteamos:

\[ x^2-7x+12=0 \]

Factorizamos:

\[ (x-3)(x-4)=0 \]

Entonces:

\[ x=3 \qquad \text{y} \qquad x=4 \]

Por lo tanto, los ceros de la función son \(3\) y \(4\).

Reordenamos mentalmente:

\[ f(x)=x^2-5x+6 \]

Planteamos:

\[ x^2-5x+6=0 \]

Factorizamos:

\[ (x-2)(x-3)=0 \]

Entonces:

\[ x=2 \qquad \text{y} \qquad x=3 \]

Por lo tanto, los ceros de la función son \(2\) y \(3\).

1. Evaluación

\[ f(4)=4^2-2(4)-3 \]

\[ f(4)=16-8-3=5 \]

Entonces:

\[ f(4)=5 \]

2. Vértice

Aquí \(a=1\) y \(b=-2\).

\[ x_v=\frac{-(-2)}{2(1)}=\frac{2}{2}=1 \]

Ahora calculamos \(y_v\):

\[ y_v=f(1)=1^2-2(1)-3 \]

\[ y_v=1-2-3=-4 \]

Entonces, el vértice es:

\[ (1,-4) \]

3. Ceros

Planteamos:

\[ x^2-2x-3=0 \]

Factorizamos:

\[ (x-3)(x+1)=0 \]

Entonces:

\[ x=3 \qquad \text{y} \qquad x=-1 \]

Por lo tanto, los ceros de la función son \(-1\) y \(3\).

Altura inicial

La altura inicial se obtiene en \(t=0\):

\[ h(0)=-(0)^2+6(0)+2=2 \]

Entonces, la altura inicial es 2 metros.

Altura máxima

Como la parábola se abre hacia abajo, la altura máxima está en el vértice.

\[ t_v=\frac{-6}{2(-1)}=3 \]

\[ h(3)=-(3)^2+6(3)+2=-9+18+2=11 \]

Por lo tanto, la altura máxima es 11 metros y se alcanza a los 3 segundos.

La pelota toca el suelo cuando su altura vale 0, es decir, cuando:

\[ -t^2+5t=0 \]

Factorizamos:

\[ t(-t+5)=0 \]

Entonces:

\[ t=0 \qquad \text{ó} \qquad t=5 \]

El valor \(t=0\) representa el instante inicial de lanzamiento.

Por lo tanto, la pelota vuelve a tocar el suelo a los 5 segundos.

Como la parábola se abre hacia abajo, el área máxima está en el vértice.

\[ x_v=\frac{-10}{2(-1)}=5 \]

Ahora evaluamos:

\[ A(5)=-(5)^2+10(5) \]

\[ A(5)=-25+50=25 \]

Entonces, el área máxima es 25 m² y se obtiene cuando \(x=5\).

Como la parábola se abre hacia abajo, la ganancia máxima está en el vértice.

\[ x_v=\frac{-40}{2(-2)}=\frac{-40}{-4}=10 \]

Ahora evaluamos:

\[ G(10)=-2(10)^2+40(10)+50 \]

\[ G(10)=-200+400+50=250 \]

Por lo tanto, deben producirse 10 lotes para obtener la ganancia máxima, y esa ganancia es 250 miles de pesos.

El arco toca el suelo cuando \(h(x)=0\):

\[ -x^2+8x+9=0 \]

\[ x^2-8x-9=0 \]

Factorizamos:

\[ (x-9)(x+1)=0 \]

Entonces:

\[ x=9 \qquad \text{ó} \qquad x=-1 \]

Por lo tanto, el arco toca el suelo en \(x=-1\) y en \(x=9\).

Su ancho total a nivel del suelo es:

\[ 9-(-1)=10 \]

Entonces, el ancho total del arco es 10 metros.

Buscamos primero los ceros:

\[ -x^2+7x-10=0 \]

\[ x^2-7x+10=0 \]

\[ (x-5)(x-2)=0 \]

Entonces:

\[ x=2 \qquad \text{y} \qquad x=5 \]

Como la parábola se abre hacia abajo, la ganancia es positiva entre los ceros:

\[ 2<x<5 \]

Como \(x\) representa decenas de productos, la ganancia es positiva cuando se venden entre 20 y 50 productos, sin incluir los extremos.

1. Altura inicial

\[ h(0)=-(0)^2+6(0)+7=7 \]

La altura inicial es 7 metros.

2. Altura máxima

Como la parábola se abre hacia abajo, la altura máxima está en el vértice.

\[ t_v=\frac{-6}{2(-1)}=3 \]

\[ h(3)=-(3)^2+6(3)+7=-9+18+7=16 \]

Entonces, la altura máxima es 16 metros y se alcanza a los 3 segundos.

3. Instante en que toca el suelo

Buscamos cuándo \(h(t)=0\):

\[ -t^2+6t+7=0 \]

\[ t^2-6t-7=0 \]

\[ (t-7)(t+1)=0 \]

Entonces:

\[ t=7 \qquad \text{ó} \qquad t=-1 \]

Como el tiempo negativo no tiene sentido en este contexto, la respuesta válida es:

\[ t=7 \]

Por lo tanto, el dron toca el suelo a los 7 segundos.

La variable es \(x\), que representa la base del rectángulo.

La altura es \(x+5\).

Como el área de un rectángulo se calcula multiplicando base por altura, se obtiene:

\[ A(x)=x(x+5) \]

Desarrollamos:

\[ A(x)=x^2+5x \]

Por lo tanto, la función cuadrática es:

\[ A(x)=x^2+5x \]

La variable es \(x\), que representa uno de los lados del rectángulo.

El otro lado es \(12-x\).

Entonces, el área se modela por:

\[ A(x)=x(12-x) \]

Desarrollamos:

\[ A(x)=12x-x^2 \]

Ordenamos:

\[ A(x)=-x^2+12x \]

Por lo tanto, la función cuadrática es:

\[ A(x)=-x^2+12x \]

La variable es \(x\).

El área del rectángulo se calcula multiplicando largo por ancho:

\[ A(x)=(x+4)(x-1) \]

Desarrollamos:

\[ A(x)=x^2-x+4x-4 \]

\[ A(x)=x^2+3x-4 \]

Por lo tanto, la función cuadrática pedida es:

\[ A(x)=x^2+3x-4 \]

En este modelo, la variable es \(t\).

\(t\) representa el tiempo transcurrido, medido en segundos.

La función es \(h(t)\).

\(h(t)\) representa la altura de la pelota, medida en metros.

Por lo tanto, el planteo se interpreta así:

• \(t\): tiempo en segundos;
• \(h(t)\): altura en metros.

Una interpretación posible es la siguiente:

• \(x\) representa la cantidad de lotes producidos o vendidos;
• \(G(x)\) representa la ganancia obtenida, en miles de pesos.

Entonces, el modelo se puede leer como una función que entrega la ganancia según la cantidad producida o vendida.

No siempre el contexto fija una única interpretación exacta de \(x\), pero sí debe quedar claro que \(x\) es la variable independiente y \(G(x)\) la ganancia.

El área del rectángulo se calcula multiplicando base por altura:

\[ A(x)=(x+2)(x+7) \]

Desarrollamos:

\[ A(x)=x^2+7x+2x+14 \]

\[ A(x)=x^2+9x+14 \]

Por lo tanto, la función cuadrática es:

\[ A(x)=x^2+9x+14 \]

La variable es \(x\), que representa el ancho del rectángulo.

Entonces, el largo es \(15-x\).

El área se calcula multiplicando ancho por largo:

\[ A(x)=x(15-x) \]

Desarrollamos:

\[ A(x)=15x-x^2 \]

Ordenamos:

\[ A(x)=-x^2+15x \]

Por lo tanto, la función cuadrática es:

\[ A(x)=-x^2+15x \]

Interpretación:

• \(x\): ancho del rectángulo, en cm;
• \(A(x)\): área del rectángulo, en cm².

Llevamos el 12 al otro lado:

\[ x^2-8x=-12 \]

Completamos cuadrado agregando 16:

\[ x^2-8x+16=-12+16 \]

\[ (x-4)^2=4 \]

Extraemos raíz:

\[ x-4=\pm 2 \]

Entonces:

\[ x=6 \qquad \text{y} \qquad x=2 \]

Llevamos el 13 al otro lado:

\[ x^2+6x=-13 \]

Completamos cuadrado agregando 9:

\[ x^2+6x+9=-13+9 \]

\[ (x+3)^2=-4 \]

Como un cuadrado no puede ser negativo en \(\mathbb{R}\), la ecuación no tiene soluciones reales.

Llevamos el \(-8\) al otro lado:

\[ x^2-2x=8 \]

Completamos cuadrado agregando 1:

\[ x^2-2x+1=8+1 \]

\[ (x-1)^2=9 \]

Extraemos raíz:

\[ x-1=\pm 3 \]

Entonces:

\[ x=4 \qquad \text{y} \qquad x=-2 \]

Hacemos:

\[ u=x-3 \]

Entonces queda:

\[ u^2+4u=0 \]

Factorizamos:

\[ u(u+4)=0 \]

Entonces:

\[ u=0 \qquad \text{ó} \qquad u=-4 \]

Volvemos a \(x\):

Si \(u=0\):

\[ x-3=0 \Rightarrow x=3 \]

Si \(u=-4\):

\[ x-3=-4 \Rightarrow x=-1 \]

Por lo tanto, las soluciones son:

\[ x=3 \qquad \text{y} \qquad x=-1 \]

Hacemos:

\[ u=x+1 \]

Entonces la ecuación queda:

\[ u^2-3u-4=0 \]

Factorizamos:

\[ (u-4)(u+1)=0 \]

Entonces:

\[ u=4 \qquad \text{ó} \qquad u=-1 \]

Volvemos a \(x\):

Si \(u=4\):

\[ x+1=4 \Rightarrow x=3 \]

Si \(u=-1\):

\[ x+1=-1 \Rightarrow x=-2 \]

Por lo tanto, las soluciones son:

\[ x=3 \qquad \text{y} \qquad x=-2 \]

Hacemos:

\[ u=2x-1 \]

Entonces queda:

\[ u^2+5u=0 \]

Factorizamos:

\[ u(u+5)=0 \]

Entonces:

\[ u=0 \qquad \text{ó} \qquad u=-5 \]

Volvemos a \(x\):

Si \(u=0\):

\[ 2x-1=0 \Rightarrow 2x=1 \Rightarrow x=\frac12 \]

Si \(u=-5\):

\[ 2x-1=-5 \Rightarrow 2x=-4 \Rightarrow x=-2 \]

Por lo tanto, las soluciones son:

\[ x=\frac12 \qquad \text{y} \qquad x=-2 \]

Aquí conviene usar completación de cuadrados, porque la ecuación está en forma general simple.

\[ x^2+10x=-21 \]

Completamos cuadrado agregando 25:

\[ x^2+10x+25=-21+25 \]

\[ (x+5)^2=4 \]

Extraemos raíz:

\[ x+5=\pm 2 \]

Entonces:

\[ x=-3 \qquad \text{y} \qquad x=-7 \]