Libro de las Funciones cuadraticas

Comparando con \(f(x)=ax^2+bx+c\):

\[ a=2,\qquad b=7,\qquad c=-4. \]

Primero ordenamos:

\[ g(x)=x^2-3x+5. \]

Entonces \(a=1\), \(b=-3\) y \(c=5\).

No es cuadrática, porque no aparece un término de grado \(2\). Es una función lineal.

Sí. Se puede escribir como:

\[ f(x)=-x^2+0x+6. \]

Por lo tanto, \(a=-1\), \(b=0\), \(c=6\).

Usamos la forma general:

\[ f(x)=-2x^2+4x+3. \]

La primera es una ecuación: se buscan valores de \(x\) que hagan verdadera la igualdad. La segunda es una función: para cada valor de \(x\), entrega una imagen \(f(x)\).

\[ f(3)=3^2+2(3)+1=9+6+1=16. \]

\[ g(4)=2(4)^2-5(4)=32-20=12. \]

\[ h(0)=0^2-6(0)+5=5. \]

Este valor coincide con el coeficiente \(c\).

\[ p(-2)=-(-2)^2+3(-2)+2=-4-6+2=-8. \]

\[ f(-1)=3(-1)^2-2=3-2=1. \]

El par ordenado es \((-1,1)\).

\[ h(1)=-(1)^2+4(1)+1=-1+4+1=4. \]

Al segundo \(1\), la altura es \(4\) unidades.

Resolvemos \(x^2-4=0\):

\[ (x-2)(x+2)=0. \]

La preimagen de \(0\) es \(\{-2,2\}\).

Resolvemos:

\[ x^2+1=5 \Rightarrow x^2=4. \]

Entonces \(x=-2\) o \(x=2\). La preimagen es \(\{-2,2\}\).

Resolvemos \(x^2+3=1\), es decir:

\[ x^2=-2. \]

No existe solución real, porque el cuadrado de un número real no puede ser negativo.

Calcular \(f(2)\) significa que ya conocemos la entrada \(x=2\). Resolver \(f(x)=2\) significa buscar todas las entradas cuya imagen sea \(2\).

\[ x^2-6x+9=0 \Rightarrow (x-3)^2=0. \]

La única preimagen de \(0\) es \(x=3\).

\[ -x^2+4=3 \Rightarrow -x^2=-1 \Rightarrow x^2=1. \]

Entonces \(x=-1\) o \(x=1\).

Los valores son \(5,2,1,2,5\). Los pares son \((-2,5)\), \((-1,2)\), \((0,1)\), \((1,2)\), \((2,5)\).

\[ g(-2)=0,\qquad g(0)=-4,\qquad g(2)=0. \]

Los pares son \((-2,0)\), \((0,-4)\) y \((2,0)\).

La tabla es:

\[ 0,\ 3,\ 4,\ 3,\ 0. \]

La parábola se abre hacia abajo y tiene su valor mayor en \(x=0\).

Porque un solo punto no permite reconocer la forma de la gráfica. Varios puntos ayudan a observar la parábola, su dirección y su simetría.

\[ p(0)=0^2-2(0)=0,\qquad p(2)=2^2-2(2)=0. \]

Ambos valores son iguales porque están a la misma distancia del eje de simetría \(x=1\).

Representa que, al usar la entrada \(x\), la función entrega la imagen \(f(x)\). Por eso cada fila de la tabla corresponde a un punto de la gráfica.

\(a=3>0\), entonces se abre hacia arriba. Como \(c=-2\), corta el eje \(y\) en \((0,-2)\).

\(a=-4<0\), entonces se abre hacia abajo. Como \(c=1\), corta el eje \(y\) en \((0,1)\).

Una posibilidad es:

\[ f(x)=-x^2+6. \]

Aquí \(a=-1<0\) y \(c=6\).

El valor es \(c=-3\), porque el corte con el eje \(y\) es \((0,c)\).

No. Si \(a=0\), desaparece el término cuadrático y la función ya no tiene grado \(2\).

Ambas cortan el eje \(y\) en \((0,4)\). Difieren en la concavidad: \(f\) se abre hacia arriba y \(g\) hacia abajo.

\[ x_v=\frac{-(-6)}{2(1)}=3. \]

\[ f(3)=9-18+5=-4. \]

El vértice es \((3,-4)\).

\[ x_v=\frac{-2}{2(-1)}=1. \]

\[ g(1)=-1+2+8=9. \]

El vértice es \((1,9)\).

Es un mínimo, porque la parábola se abre hacia arriba y el vértice queda como punto más bajo.

\[ x_v=\frac{-8}{2(2)}=\frac{-8}{4}=-2. \]

Ordenamos: \(q(x)=x^2-4x+5\). Entonces:

\[ x_v=\frac{-(-4)}{2}=2,\qquad q(2)=4-8+5=1. \]

El vértice es \((2,1)\).

Porque el vértice es un punto del plano y necesita dos coordenadas. Después de calcular \(x_v\), se debe evaluar la función para encontrar \(y_v\).

\[ x=\frac{-(-8)}{2(1)}=4. \]

El eje es \(x=4\).

\[ x=\frac{-12}{2(-2)}=3. \]

El eje es \(x=3\).

La distancia de \(2\) a \(5\) es \(3\). Al otro lado está \(5+3=8\). El valor simétrico es \(x=8\).

El eje es \(x=3\). Los valores \(2\) y \(4\) están a distancia \(1\) del eje.

\[ p(2)=4-12+2=-6,\qquad p(4)=16-24+2=-6. \]

Para las funciones cuadráticas estudiadas aquí, la parábola tiene eje de simetría vertical, de la forma \(x=k\).

El eje de simetría siempre pasa por el vértice. Si el vértice es \((h,k)\), entonces el eje de simetría es \(x=h\).

Como \(a=1>0\), tiene mínimo. El valor mínimo es \(-4\).

Como \(a=-2<0\), tiene máximo. El valor máximo es \(9\).

\[ x_v=\frac{-(-2)}{2}=1. \]

\[ p(1)=1-2+5=4. \]

El valor mínimo es \(4\).

\[ x_v=\frac{-6}{2(-1)}=3. \]

\[ q(3)=-9+18-2=7. \]

El valor máximo es \(7\).

No tiene mínimo en todo \(\mathbb{R}\), porque sus ramas bajan indefinidamente. Sí tiene máximo en el vértice.

Representa la mayor altura que alcanza el objeto. Como \(a<0\), la parábola se abre hacia abajo y su vértice da el máximo.

Como se abre hacia arriba, el valor mínimo es \(-4\). El recorrido es \([-4,\infty)\).

Como se abre hacia abajo, el valor máximo es \(7\). El recorrido es \((-\infty,7]\).

El vértice es \((3,-4)\) y \(a>0\). Por lo tanto, el recorrido es \([-4,\infty)\).

\[ x_v=\frac{-4}{2(-1)}=2,\qquad g(2)=-4+8+1=5. \]

Como \(a<0\), el recorrido es \((-\infty,5]\).

En estas funciones cuadráticas, el dominio usual es \(\mathbb{R}\), es decir, los valores posibles de \(x\). El recorrido son los valores posibles de \(f(x)\), y queda limitado por el vértice.

El valor mínimo es \(2\), por lo que la coordenada \(y\) del vértice es \(2\). Además, la parábola se abre hacia arriba.

Los puntos son \((-1,0)\) y \((4,0)\), porque en el eje \(x\) la coordenada \(y\) vale \(0\).

\[ x^2-9=0 \Rightarrow (x-3)(x+3)=0. \]

Los ceros son \(x=-3\) y \(x=3\). La parábola corta el eje \(x\) en \((-3,0)\) y \((3,0)\).

La parábola toca el eje \(x\) en un solo punto. Ese punto corresponde al vértice y a un cero doble.

No tiene soluciones reales, porque no existe ningún valor de \(x\) para el cual \(f(x)=0\).

Porque son las soluciones de la ecuación \(f(x)=0\). En una ecuación cuadrática, esas soluciones suelen llamarse raíces.

Aquí \(a=1\), \(b=2\), \(c=5\).

\[ \Delta=b^2-4ac=2^2-4(1)(5)=4-20=-16. \]

Como \(\Delta<0\), no hay cortes reales con el eje \(x\).

\[ 5x^2=0 \Rightarrow x^2=0 \Rightarrow x=0. \]

\[ x^2-7x=x(x-7)=0. \]

Los ceros son \(x=0\) y \(x=7\).

\[ 3x^2+12x=3x(x+4)=0. \]

Los ceros son \(x=0\) y \(x=-4\).

\[ 2x^2-10x=2x(x-5)=0. \]

Los ceros son \(0\) y \(5\), por lo tanto los puntos son \((0,0)\) y \((5,0)\).

Si se divide por \(x\), se asume que \(x\neq 0\). Pero \(x=0\) sí es solución. Por eso conviene factorizar \(x(x-5)=0\).

Una opción es:

\[ f(x)=x(x-3)=x^2-3x. \]

\[ x^2-16=(x-4)(x+4). \]

Los ceros son \(x=4\) y \(x=-4\).

\[ x^2+8x+16=(x+4)^2. \]

El único cero es \(x=-4\), con multiplicidad doble.

Buscamos dos números que sumen \(1\) y multipliquen \(-12\): \(4\) y \(-3\).

\[ x^2+x-12=(x+4)(x-3). \]

Los ceros son \(x=-4\) y \(x=3\).

Por producto nulo, \(x-2=0\) o \(x+5=0\). Los ceros son \(x=2\) y \(x=-5\).

Significa que la parábola toca el eje \(x\) en un solo punto, sin cruzarlo. Ese punto corresponde al vértice.

Una opción es:

\[ f(x)=(x+1)(x-6). \]

Si se desarrolla, \(f(x)=x^2-5x-6\).

\[ a=1,\quad b=-2,\quad c=-3. \]

\[ \Delta=(-2)^2-4(1)(-3)=4+12=16. \]

\[ x=\frac{2\pm 4}{2}. \]

Los ceros son \(x=3\) y \(x=-1\).

\[ \Delta=6^2-4(1)(9)=36-36=0. \]

La función tiene un solo cero real y la parábola toca el eje \(x\).

\[ \Delta=1^2-4(2)(5)=1-40=-39. \]

Como \(\Delta<0\), no corta el eje \(x\).

\[ \Delta=(-5)^2-4(2)(2)=25-16=9. \]

\[ x=\frac{5\pm 3}{4}. \]

Los ceros son \(x=2\) y \(x=\frac{1}{2}\).

Porque este libro se centra en la función cuadrática y su interpretación gráfica. La demostración algebraica corresponde al libro de ecuación cuadrática.

Se espera ver dos intersecciones con el eje \(x\), porque hay dos ceros reales distintos.

Los ceros son \(-3\) y \(3\). Como \(a>0\), \(f(x)>0\) fuera del intervalo y \(f(x)<0\) entre los ceros.

Entonces \(f(x)>0\) si \(x<-3\) o \(x>3\), \(f(x)=0\) si \(x=\pm 3\), y \(f(x)<0\) si \(-3<x<3\).

Los ceros son \(-2\) y \(2\). Como \(a<0\), la función es positiva entre los ceros y negativa fuera.

\[ g(x)>0 \text{ si } -2<x<2. \]

Si no corta el eje \(x\) y se abre hacia arriba, toda la parábola está sobre el eje \(x\). Entonces \(f(x)>0\) para todo \(x\), suponiendo que su vértice está sobre el eje.

\((x-2)^2\) nunca es negativo. Por lo tanto, \(p(x)\geq 0\) para todo \(x\), y \(p(x)=0\) solo si \(x=2\).

Significa que la gráfica está bajo el eje \(x\), porque las imágenes de la función son negativas.

Buscamos ceros:

\[ -x^2+6x-5=0 \Rightarrow x^2-6x+5=0 \Rightarrow (x-1)(x-5)=0. \]

Los ceros son \(1\) y \(5\). Como la parábola se abre hacia abajo, \(G(x)>0\) si \(1<x<5\).

\(a=2>0\), se abre hacia arriba. \(c=6\), corta el eje \(y\) en \((0,6)\).

\[ x_v=\frac{-(-8)}{2(2)}=2. \]

\[ f(2)=8-16+6=-2. \]

El vértice es \((2,-2)\) y el eje es \(x=2\).

Como el vértice es \((2,-2)\) y la parábola se abre hacia arriba, el recorrido es \([-2,\infty)\).

\[ 2x^2-8x+6=0 \Rightarrow x^2-4x+3=0. \]

\[ (x-1)(x-3)=0. \]

Los ceros son \(x=1\) y \(x=3\).

Como se abre hacia arriba y tiene ceros \(1\) y \(3\), es positiva si \(x<1\) o \(x>3\), nula en \(x=1,3\), y negativa si \(1<x<3\).

Porque reúne las lecturas principales de una función cuadrática: coeficientes, gráfica, vértice, recorrido, ceros, signo e interpretación.

\[ f(4)=16-20+6=2. \]

\[ x_v=4,\qquad g(4)=16-32+7=-9. \]

El vértice es \((4,-9)\).

\[ x^2-1=(x-1)(x+1)=0. \]

Los ceros son \(x=1\) y \(x=-1\).

Como \(a=-1<0\), la función tiene máximo.

\[ x_v=\frac{-4}{2}=-2,\qquad q(-2)=4-8+6=2. \]

Como \(a>0\), el recorrido es \([2,\infty)\).

Con factorización se respondería: ¿cuáles son los ceros? Con vértice se respondería: ¿cuál es el valor mínimo o el eje de simetría?

\[ t_v=\frac{-6}{2(-1)}=3. \]

Alcanza su altura máxima a los \(3\) segundos.

\[ h(3)=-9+18=9. \]

La altura máxima es \(9\) unidades.

\[ -x^2+10x=-x(x-10). \]

Los ceros son \(0\) y \(10\). Como se abre hacia abajo, \(A(x)>0\) si \(0<x<10\).

\[ x^2-8x+12=(x-2)(x-6). \]

Como se abre hacia arriba, \(G(x)<0\) si \(2<x<6\).

El vértice ocurre en \(x=0\), porque no hay término lineal. Entonces \(C(0)=5\). El costo mínimo es \(5\) unidades monetarias.

Porque el resultado debe responder a la situación: hay que indicar unidades, interpretar si es tiempo, altura, ganancia, área u otra magnitud, y descartar valores sin sentido contextual si aparecen.

\[ A(x)=x(x+5)=x^2+5x. \]

Como el semiperímetro es \(15\), el otro lado mide \(15-x\).

\[ A(x)=x(15-x)=15x-x^2. \]

El modelo es \(h(t)=-t^2+5t+2\). El término \(-t^2\) indica concavidad hacia abajo, \(5t\) representa el efecto inicial de subida y \(2\) es la altura inicial.

Una función simple es:

\[ f(x)=(x-1)(x-4). \]

Una opción es usar forma canónica:

\[ f(x)=(x-2)^2+3. \]

Plantear consiste en construir el modelo matemático. Resolver ocurre después, cuando se usa ese modelo para responder una pregunta específica.

El vértice es \((4,2)\).

El vértice es \((-1,6)\). Como \(a=-1<0\), corresponde a un máximo.

\[ x^2-4x+1=(x^2-4x+4)-4+1=(x-2)^2-3. \]

El vértice es \((2,-3)\) y se abre hacia arriba. El recorrido es \([-3,\infty)\) y el eje es \(x=2\).

Se lee más rápido el vértice \((h,k)\), el eje de simetría \(x=h\), el valor máximo o mínimo y el recorrido.

Porque requiere manejar previamente evaluación, vértice, recorrido y ceros. La forma canónica organiza mejor ideas que ya fueron estudiadas.