funciones Inversas
| Sitio: | MATEMÁTICAS × Profe Arauco |
| Curso: | Media 2 |
| Libro: | funciones Inversas |
| Imprimido por: | Invitado |
| Día: | jueves, 23 de abril de 2026, 10:44 |
Tabla de contenidos
- 1. Par ordenado, producto cartesiano y relaciones
- 2. La función como relación
- 3. Funciones en tablas y en el plano cartesiano
- 4. Función inyectiva
- 5. Sobreyectividad y biyectividad
- 6. La función inversa como proceso inverso
- 7. Función lineal y cuadrática: estudio de la inversa
- 8. Consolidación y ejercitación de la unidad
1. Par ordenado, producto cartesiano y relaciones
Objetivo de aprendizaje
Reconocer el significado de un par ordenado, construir productos cartesianos y describir relaciones entre conjuntos por extensión y mediante diagramas sagitales, identificando dominio, recorrido, imágenes y preimágenes.
- Comprender qué es un par ordenado y por qué el orden importa.
- Construir el producto cartesiano de dos conjuntos finitos.
- Describir una relación por extensión.
- Representar y leer relaciones mediante diagramas sagitales.
- Identificar dominio, recorrido, imágenes y preimágenes de una relación.
En muchos contextos necesitamos vincular elementos de dos conjuntos. Por ejemplo, se puede relacionar el conjunto de estudiantes con el conjunto de talleres, el conjunto de países con el de capitales o el conjunto de números con el de sus cuadrados.
Para describir esas asociaciones con claridad, usaremos pares ordenados, producto cartesiano y diagramas sagitales.
Un par ordenado es una expresión de la forma \((a,b)\).
El primer elemento ocupa la primera posición y el segundo elemento ocupa la segunda posición.
Por eso, en general:
\[ (a,b)\neq (b,a) \]
Dos pares ordenados son iguales solo si coinciden en el mismo orden:
\[ (a,b)=(c,d)\iff a=c \text{ y } b=d \]
Ejemplo 1: interpretar pares ordenados
Consideremos el par ordenado \((2,5)\).
Su primera componente es \(2\) y su segunda componente es \(5\).
En cambio, \((5,2)\) representa otro par distinto, porque cambió el orden.
Por eso:
\[ (2,5)\neq (5,2) \]
En un par ordenado, el orden no se puede cambiar libremente. La primera componente y la segunda componente cumplen roles distintos.
Si \(A\) y \(B\) son conjuntos, su producto cartesiano es:
\[ A\times B=\{(a,b)\mid a\in A \text{ y } b\in B\} \]
En palabras simples, \(A\times B\) es el conjunto de todas las combinaciones posibles donde el primer elemento sale de \(A\) y el segundo sale de \(B\).
Si \(A\) y \(B\) son conjuntos finitos, entonces:
\[ |A\times B|=|A|\cdot |B| \]
Ejemplo 2: construir un producto cartesiano
Sean \(A=\{1,2\}\) y \(B=\{a,b,c\}\).
Entonces:
\[ A\times B=\{(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)\} \]
Cada par tiene primera componente en \(A\) y segunda componente en \(B\).
Además, como \(A\) tiene 2 elementos y \(B\) tiene 3 elementos, resulta:
\[ |A\times B|=2\cdot 3=6 \]
Una relación entre dos conjuntos \(A\) y \(B\) es cualquier subconjunto de \(A\times B\).
Eso significa que una relación puede contener algunos pares ordenados del producto cartesiano, no necesariamente todos.
Cuando una relación se escribe listando todos sus pares, decimos que está escrita por extensión.
Ejemplo 3: relación escrita por extensión
Sean \(A=\{1,2,3\}\) y \(B=\{a,b,c\}\).
La relación
\[ R=\{(1,a),(1,c),(2,b),(3,c)\} \]
está escrita por extensión, porque aparecen todos sus pares ordenados uno a uno.
Como cada par pertenece a \(A times B\), entonces \(R\) es una relación entre \(A\) y \(B\).
Sea \(R\) una relación entre \(A\) y \(B\).
- Dominio: conjunto de las primeras componentes que aparecen en la relación.
- Recorrido: conjunto de las segundas componentes que aparecen en la relación.
- Imagen de un elemento \(x\): conjunto de elementos con los que \(x\) está relacionado.
- Preimagen de un elemento \(y\): conjunto de elementos que se relacionan con \(y\).
Por ejemplo, si
\[ R=\{(1,a),(1,c),(2,b),(3,c)\} \]
entonces:
\[ \mathrm{Dom}(R)=\{1,2,3\} \]
\[ \mathrm{Rec}(R)=\{a,b,c\} \]
\[ \mathrm{Im}(1)=\{a,c\} \]
\[ \mathrm{Preim}(c)=\{1,3\} \]
Ejemplo 4: leer una relación desde un diagrama sagital
Observa el siguiente diagrama sagital:
La relación escrita por extensión es:
\[ R=\{(1,a),(1,c),(2,b),(4,c)\} \]
De aquí se obtiene:
\[ \mathrm{Dom}(R)=\{1,2,4\} \]
\[ \mathrm{Rec}(R)=\{a,b,c\} \]
\[ \mathrm{Im}(1)=\{a,c\} \]
\[ \mathrm{Preim}(c)=\{1,4\} \]
Ejemplo 5: pasar de extensión a diagrama sagital
Sea la relación
\[ S=\{(x,2),(x,4),(y,4),(z,6)\} \]
con \(A=\{x,y,z\}\) y \(B=\{2,4,6\}\).
Para representarla en un diagrama sagital, se dibuja una flecha por cada par ordenado:
- de \(x\) a \(2\),
- de \(x\) a \(4\),
- de \(y\) a \(4\),
- de \(z\) a \(6\).
- No confundir \((a,b)\) con \((b,a)\).
- No confundir \(A\times B\) con \(B\times A\).
- No creer que una relación debe contener todos los pares del producto cartesiano.
- No confundir recorrido con el segundo conjunto completo.
- No olvidar que una imagen o una preimagen pueden tener varios elementos.
Ejercicio 1: distinguir pares ordenados
Explica por qué \((3,7)\) y \((7,3)\) no representan el mismo par ordenado.
En un par ordenado, el orden importa.
En \((3,7)\), la primera componente es \(3\) y la segunda es \(7\).
En \((7,3)\), la primera componente es \(7\) y la segunda es \(3\).
Como cambiaron las posiciones, los pares son distintos.
\[ (3,7)\neq (7,3) \]
Ejercicio 2: pertenencia al producto cartesiano
Sean \(A=\{1,2\}\) y \(B=\{m,n,p\}\). Determina cuáles de los siguientes pares pertenecen a \(A\times B\):
\[ (1,m),\quad (m,1),\quad (2,p),\quad (2,2) \]
Un par pertenece a \(A\times B\) si su primera componente está en \(A\) y su segunda componente está en \(B\).
\((1,m)\): sí pertenece.
\((m,1)\): no pertenece.
\((2,p)\): sí pertenece.
\((2,2)\): no pertenece, porque \(2\notin B\).
Entonces, los pares que pertenecen a \(A\times B\) son:
\[ (1,m)\quad \text{y}\quad (2,p) \]
Ejercicio 3: construir un producto cartesiano
Sean \(A=\{1,2\}\) y \(B=\{x,y,z\}\). Escribe \(A\times B\).
Se combinan todos los elementos de \(A\) con todos los de \(B\):
\[ A\times B=\{(1,x),(1,y),(1,z),(2,x),(2,y),(2,z)\} \]
Ejercicio 4: cantidad de pares ordenados
Si \(A=\{a,b,c,d\}\) y \(B=\{1,2,3\}\), ¿cuántos elementos tiene \(A\times B\)?
\(A\) tiene 4 elementos y \(B\) tiene 3 elementos.
Entonces:
\[ |A\times B|=4\cdot 3=12 \]
El producto cartesiano tiene 12 pares ordenados.
Ejercicio 5: relación por extensión
Sean \(A=\{1,2,3\}\) y \(B=\{2,3,4,5\}\). Escribe por extensión la relación \(R\) dada por la condición “el segundo número es uno más que el primero”.
La condición es \(y=x+1\).
Probamos con cada elemento de \(A\):
si \(x=1\), aparece \((1,2)\);
si \(x=2\), aparece \((2,3)\);
si \(x=3\), aparece \((3,4)\).
Por lo tanto:
\[ R=\{(1,2),(2,3),(3,4)\} \]
Ejercicio 6: dominio y recorrido
Sea
\[ R=\{(1,a),(1,c),(2,b),(4,c)\} \]
Determina el dominio y el recorrido de \(R\).
El dominio se obtiene con las primeras componentes:
\[ \mathrm{Dom}(R)=\{1,2,4\} \]
El recorrido se obtiene con las segundas componentes que aparecen:
\[ \mathrm{Rec}(R)=\{a,b,c\} \]
Ejercicio 7: imágenes y preimágenes
Sea
\[ R=\{(x,2),(x,4),(y,4),(z,6)\} \]
Determina:
a) \(\mathrm{Im}(x)\)
b) \(\mathrm{Im}(y)\)
c) \(\mathrm{Preim}(4)\)
d) \(\mathrm{Preim}(6)\)
Se revisan los pares ordenados de la relación.
\[ \mathrm{Im}(x)=\{2,4\} \]
\[ \mathrm{Im}(y)=\{4\} \]
\[ \mathrm{Preim}(4)=\{x,y\} \]
\[ \mathrm{Preim}(6)=\{z\} \]
Ejercicio 8: de diagrama sagital a extensión
Escribe por extensión la relación representada en el siguiente diagrama. Luego determina su dominio y su recorrido.
Un par ordenado por cada flecha:
\[ R=\{(1,b),(2,a),(2,c),(3,c)\} \]
\[ \mathrm{Dom}(R)=\{1,2,3\} \]
\[ \mathrm{Rec}(R)=\{a,b,c\} \]
Ejercicio 9: de extensión a diagrama sagital
Representa en un diagrama sagital la relación
\[ S=\{(p,1),(p,3),(q,2),(r,3)\} \]
con \(A=\{p,q,r\}\) y \(B=\{1,2,3\}\).
Se dibuja una flecha por cada par ordenado:
- de \(p\) a \(1\),
- de \(p\) a \(3\),
- de \(q\) a \(2\),
- de \(r\) a \(3\).
Ejercicio 10: síntesis contextual
Sea el conjunto \(A=\{\text{Ana},\text{Bruno},\text{Carla}\}\) y el conjunto \(B=\{\text{Teatro},\text{Música},\text{Ajedrez}\}\).
La relación \(R\) indica “participa en” y está dada por:
\[ R=\{(\text{Ana},\text{Teatro}),(\text{Ana},\text{Música}),(\text{Bruno},\text{Ajedrez})\} \]
Determina:
a) \(\mathrm{Dom}(R)\)
b) \(\mathrm{Rec}(R)\)
c) \(\mathrm{Im}(\text{Ana})\)
d) \(\mathrm{Preim}(\text{Ajedrez})\)
El dominio son las primeras componentes que aparecen:
\[ \mathrm{Dom}(R)=\{\text{Ana},\text{Bruno}\} \]
El recorrido son las segundas componentes que aparecen:
\[ \mathrm{Rec}(R)=\{\text{Teatro},\text{Música},\text{Ajedrez}\} \]
La imagen de Ana es:
\[ \mathrm{Im}(\text{Ana})=\{\text{Teatro},\text{Música}\} \]
La preimagen de Ajedrez es:
\[ \mathrm{Preim}(\text{Ajedrez})=\{\text{Bruno}\} \]
En esta página estudiamos cómo se construyen pares ordenados, cómo se forma el producto cartesiano y cómo se describen relaciones por extensión y mediante diagramas sagitales.
También aprendimos a identificar dominio, recorrido, imágenes y preimágenes dentro de una relación.
2. La función como relación
Objetivo de aprendizaje
Comprender que una función es una relación especial entre dos conjuntos, identificándola mediante pares ordenados, tablas y diagramas sagitales.
- Reconocer cuándo una relación corresponde a una función.
- Distinguir dominio, codominio e imagen en una función.
- Leer funciones representadas por extensión y mediante diagramas sagitales.
- Identificar relaciones que no son funciones y justificar por qué.
- Representar funciones simples a partir de información dada.
Una función puede pensarse como una regla que asigna a cada elemento de un conjunto de partida un único elemento de un conjunto de llegada. Por ejemplo, a cada estudiante de un curso se le puede asociar su número de lista, o a cada mes del año su cantidad de días en un año no bisiesto.
La idea central es que cada elemento del conjunto inicial debe quedar asociado de manera clara y única.
Sean \(A\) y \(B\) dos conjuntos. Una función de \(A\) en \(B\) es una relación que cumple estas dos condiciones:
- Cada elemento de \(A\) debe tener imagen.
- Cada elemento de \(A\) debe tener una sola imagen en \(B\).
Si \(f\) es una función de \(A\) en \(B\), se escribe:
\[ f:A\to B \]
En una función \(f:A\to B\):
- Dominio: es el conjunto de partida \(A\).
- Codominio: es el conjunto de llegada \(B\).
- Imagen de un elemento: es el valor de \(B\) que le corresponde.
- Imagen de la función: es el conjunto de valores de \(B\) que realmente reciben al menos una flecha.
En una función, todo elemento del dominio debe tener exactamente una imagen, pero no todo elemento del codominio tiene que ser usado.
Ejemplo 1: una relación que sí es función
Sean \(A=\{1,2,3\}\) y \(B=\{a,b,c,d\}\). Consideremos la relación:
\[ f=\{(1,a),(2,c),(3,d)\} \]
Cada elemento de \(A\) aparece una vez y con una sola imagen. Por eso, esta relación sí es una función.
En este caso:
\[ \mathrm{Dom}(f)=\{1,2,3\} \]
\[ \mathrm{Cod}(f)=\{a,b,c,d\} \]
\[ \mathrm{Im}(f)=\{a,c,d\} \]
Ejemplo 2: una relación que no es función porque una entrada tiene dos imágenes
Sean \(A=\{1,2,3\}\) y \(B=\{a,b,c\}\). Consideremos la relación:
\[ R=\{(1,a),(1,c),(2,b),(3,c)\} \]
El elemento \(1\) del conjunto \(A\) queda relacionado con dos elementos distintos: \(a\) y \(c\).
Por eso, esta relación no es función.
Ejemplo 3: una relación que no es función porque falta una imagen
Sean \(A=\{x,y,z\}\) y \(B=\{2,4,6\}\). Consideremos la relación:
\[ S=\{(x,2),(y,4)\} \]
El elemento \(z\) del dominio no tiene imagen. Por eso, la relación no es función.
- Mira cada elemento del conjunto de partida.
- Verifica que todos tengan flecha.
- Comprueba que cada uno tenga solo una flecha de salida.
Lo importante está en lo que ocurre con los elementos del dominio.
No hay que mirar primero si en el conjunto de llegada se repiten valores.
Dos elementos distintos del dominio pueden llegar al mismo valor y seguir formando una función.
Lo que no puede ocurrir es que un mismo elemento del dominio tenga dos imágenes distintas, o que no tenga ninguna.
Ejemplo 4: dos elementos distintos pueden tener la misma imagen
Sean \(A=\{1,2,3\}\) y \(B=\{a,b\}\). Consideremos:
\[ g=\{(1,a),(2,b),(3,b)\} \]
Aunque \(2\) y \(3\) tienen la misma imagen \(b\), la relación sí es función, porque cada elemento del dominio tiene exactamente una imagen.
Ejemplo 5: leer una función desde un diagrama sagital
Observa el siguiente diagrama:
La función escrita por extensión es:
\[ h=\{(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4)\} \]
Entonces:
\[ \mathrm{Dom}(h)=\{-1,0,1,2\} \]
\[ \mathrm{Cod}(h)=\{0,1,4,5\} \]
\[ \mathrm{Im}(h)=\{0,1,4\} \]
Además, la imagen de \(-1\) es \(1\), y la imagen de \(2\) es \(4\).
Ejercicio 1: reconocer una función por extensión
Decide si la relación
\[ R=\{(1,a),(2,b),(3,c)\} \]
es una función de \(A=\{1,2,3\}\) en \(B=\{a,b,c,d\}\).
Sí es función.
Cada elemento de \(A\) aparece exactamente una vez y con una sola imagen:
\(1\to a\), \(2\to b\), \(3\to c\).
El hecho de que \(d\) no reciba flecha no impide que sea función.
Ejercicio 2: una entrada con dos imágenes
Decide si la relación
\[ R=\{(1,a),(1,b),(2,c)\} \]
es una función de \(A=\{1,2\}\) en \(B=\{a,b,c\}\).
No es función.
El elemento \(1\) del dominio tiene dos imágenes distintas: \(a\) y \(b\).
Eso contradice la condición de unicidad.
Ejercicio 3: falta una imagen
Sea \(A=\{x,y,z\}\), \(B=\{2,4,6\}\) y la relación
\[ S=\{(x,2),(z,6)\} \]
¿Es una función de \(A\) en \(B\)?
No es función.
El elemento \(y\) del dominio no tiene imagen.
En una función, cada elemento del dominio debe tener una imagen.
Ejercicio 4: dominio, codominio e imagen
Sea la función
\[ f=\{(1,m),(2,n),(3,n),(4,p)\} \]
de \(A=\{1,2,3,4\}\) en \(B=\{m,n,p,q\}\).
Determina:
a) el dominio,
b) el codominio,
c) la imagen de la función,
d) la imagen de \(3\).
a) El dominio es \(A\), por lo tanto:
\[ \mathrm{Dom}(f)=\{1,2,3,4\} \]
b) El codominio es \(B\):
\[ \mathrm{Cod}(f)=\{m,n,p,q\} \]
c) La imagen de la función está formada por los valores que realmente aparecen como salida:
\[ \mathrm{Im}(f)=\{m,n,p\} \]
d) La imagen de \(3\) es:
\[ f(3)=n \]
Ejercicio 5: construir una función por extensión
Sean \(A=\{1,2,3,4\}\) y \(B=\{2,4,6,8,10\}\). Escribe por extensión la función \(f\) dada por \(f(x)=2x\).
Calculamos el doble de cada elemento del dominio:
\(f(1)=2\), \(f(2)=4\), \(f(3)=6\), \(f(4)=8\).
Entonces:
\[ f=\{(1,2),(2,4),(3,6),(4,8)\} \]
Ejercicio 6: leer una función desde un diagrama
Observa el siguiente diagrama sagital y responde:
a) escribe la función por extensión,
b) indica si es función,
c) determina su imagen.
a) La función por extensión es:
\[ f=\{(1,b),(2,d),(3,b)\} \]
b) Sí es función, porque cada elemento del dominio tiene exactamente una imagen.
c) La imagen de la función es:
\[ \mathrm{Im}(f)=\{b,d\} \]
Ejercicio 7: decidir desde un diagrama si hay función
Observa el siguiente diagrama sagital y decide si representa una función.
No representa una función.
El elemento \(x\) tiene dos imágenes distintas: \(1\) y \(2\).
Eso basta para que la relación no sea función.
Ejercicio 8: representar una función en diagrama sagital
Representa en un diagrama sagital la función
\[ g=\{(p,2),(q,2),(r,5)\} \]
de \(A=\{p,q,r\}\) en \(B=\{2,3,5\}\).
Se dibuja una flecha por cada par ordenado:
- de \(p\) a \(2\),
- de \(q\) a \(2\),
- de \(r\) a \(5\).
Ejercicio 9: contexto cotidiano
Sea el conjunto de estudiantes \(A=\{\text{Ana},\text{Bruno},\text{Carla}\}\) y el conjunto de casilleros \(B=\{1,2,3,4\}\).
La relación
\[ R=\{(\text{Ana},1),(\text{Bruno},3),(\text{Carla},4)\} \]
indica qué casillero usa cada estudiante. ¿Representa una función de \(A\) en \(B\)? Justifica.
Sí representa una función.
Cada estudiante del conjunto \(A\) tiene asignado exactamente un casillero.
El casillero \(2\) queda libre, pero eso no impide que la relación sea función.
Ejercicio 10: síntesis final
Sean \(A=\{-1,0,1,2\}\) y \(B=\{0,1,4,5\}\). Considera la relación
\[ h=\{(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4)\} \]
Determina:
a) si es función,
b) su dominio,
c) su codominio,
d) su imagen,
e) la imagen de \(2\).
a) Sí es función, porque cada elemento de \(A\) tiene exactamente una imagen.
b) El dominio es:
\[ \mathrm{Dom}(h)=\{-1,0,1,2\} \]
c) El codominio es:
\[ \mathrm{Cod}(h)=\{0,1,4,5\} \]
d) La imagen es:
\[ \mathrm{Im}(h)=\{0,1,4\} \]
e) La imagen de \(2\) es:
\[ h(2)=4 \]
En esta página vimos que una función es una relación especial en la que cada elemento del dominio tiene exactamente una imagen.
También distinguimos dominio, codominio e imagen, y analizamos funciones a partir de pares ordenados y diagramas sagitales.
3. Funciones en tablas y en el plano cartesiano
Objetivo de aprendizaje
Relacionar la definición de función con sus representaciones en tablas, pares ordenados y gráficos en el plano cartesiano, identificando cuándo un gráfico representa una función.
- Construir pares ordenados a partir de una tabla de valores.
- Representar una función en el plano cartesiano.
- Interpretar información desde el gráfico de una función.
- Reconocer cuándo un gráfico no representa una función.
- Aplicar el criterio de la recta vertical en casos simples.
Cuando una situación depende de otra, podemos organizar la información en una tabla, escribir pares ordenados o dibujar un gráfico en el plano cartesiano. Por ejemplo, si a cada número se le asocia su doble, esa relación puede verse en una lista de valores, en pares ordenados como \((1,2)\), \((2,4)\), \((3,6)\), y también como puntos sobre una recta.
Aprender a pasar de una representación a otra ayuda a entender mejor cómo se comporta una función.
Si una función asigna a cada valor \(x\) un valor \(y\), podemos escribir esa información como pares ordenados:
\[ (x,y) \]
Cada par ordenado se representa como un punto en el plano cartesiano.
Si la regla es \(y=f(x)\), entonces el gráfico está formado por todos los puntos \((x,f(x))\).
Un gráfico representa una función si para cada valor de \(x\) aparece un solo valor de \(y\).
Una forma rápida de revisarlo es usar el criterio de la recta vertical:
si una recta vertical corta al gráfico en más de un punto, entonces ese gráfico no representa una función.
Ejemplo 1: desde una tabla a pares ordenados
Consideremos la siguiente tabla:
| \(x\) | \(y\) |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 3 |
| 2 | 5 |
| 3 | 7 |
Los pares ordenados correspondientes son:
\[ (0,1),\ (1,3),\ (2,5),\ (3,7) \]
Cada fila de la tabla entrega un valor de \(x\) y su imagen correspondiente.
Ejemplo 2: representar esos pares en el plano cartesiano
Si ubicamos los pares ordenados \((0,1)\), \((1,3)\), \((2,5)\) y \((3,7)\), obtenemos puntos que pertenecen a la recta \(y=2x+1\).
Observamos que para cada valor de \(x\) aparece un único valor de \(y\). Por eso, el gráfico representa una función.
Ejemplo 3: un gráfico que sí representa una función
Consideremos el gráfico de \(y=x^2\).
Aunque algunos valores de \(y\) se repiten, cada valor de \(x\) tiene una sola imagen. Por eso, este gráfico sí representa una función.
Ejemplo 4: un gráfico que no representa una función
Ahora observemos la relación dada por la circunferencia \(x^2+y^2=4\).
Si tomamos, por ejemplo, \(x=1\), aparecen dos valores de \(y\):
\[ y=\sqrt{3}\quad \text{y} \quad y=-\sqrt{3} \]
Por eso, este gráfico no representa una función de \(x\).
- Imagina una recta vertical \(x=k\).
- Revisa cuántas veces corta al gráfico.
- Si lo corta una sola vez, no hay problema en ese valor de \(x\).
- Si alguna recta vertical lo corta dos o más veces, el gráfico no representa una función.
No hay que confundir “dos valores de \(x\) distintos con la misma imagen” con “un mismo valor de \(x\) con dos imágenes”.
Lo primero puede ocurrir en una función. Lo segundo no puede ocurrir.
Ejemplo 5: leer información desde un gráfico
Observa el gráfico de la función \(y=-x+3\).
Desde el gráfico podemos leer, por ejemplo:
\[ f(0)=3,\qquad f(1)=2,\qquad f(3)=0 \]
Eso significa que las imágenes de \(0\), \(1\) y \(3\) son \(3\), \(2\) y \(0\), respectivamente.
Ejercicio 1: de tabla a pares ordenados
Escribe los pares ordenados que corresponden a la siguiente tabla:
| \(x\) | \(y\) |
|---|---|
| -1 | 0 |
| 0 | 2 |
| 1 | 4 |
| 2 | 6 |
Cada fila entrega un par ordenado:
\[ (-1,0),\ (0,2),\ (1,4),\ (2,6) \]
Ejercicio 2: reconocer la regla desde una tabla
Observa la tabla:
| \(x\) | \(y\) |
|---|---|
| 0 | 2 |
| 1 | 4 |
| 2 | 6 |
| 3 | 8 |
Escribe una regla simple que relacione \(x\) con \(y\).
En cada caso, el valor de \(y\) es dos unidades mayor que el doble de \(x\) o, de forma más simple, se cumple:
\[ y=2x+2 \]
Se verifica porque:
\(2(0)+2=2\), \(2(1)+2=4\), \(2(2)+2=6\), \(2(3)+2=8\).
Ejercicio 3: ubicar puntos en el plano
Indica cuáles son los puntos que se deben ubicar para representar la tabla:
\[ x: 0,1,2,3 \qquad y: 1,3,5,7 \]
Los puntos son:
\[ (0,1),\ (1,3),\ (2,5),\ (3,7) \]
Ejercicio 4: leer imágenes desde un gráfico
Observa el gráfico de \(y=x+2\) y determina \(f(0)\), \(f(2)\) y \(f(4)\).
Se reemplaza cada valor de \(x\) o se lee directamente desde el gráfico:
\[ f(0)=2,\qquad f(2)=4,\qquad f(4)=6 \]
Ejercicio 5: decidir si un gráfico representa una función
Observa el gráfico y responde si representa una función de \(x\).
Sí representa una función.
Cada valor de \(x\) tiene una sola imagen \(y\).
Aunque algunos valores de \(y\) se repiten, eso no impide que sea función.
Ejercicio 6: reconocer un gráfico que no es función
Observa el siguiente gráfico y decide si representa una función.
No representa una función de \(x\).
Por ejemplo, para \(x=0\) aparecen dos valores:
\[ y=2 \quad \text{y} \quad y=-2 \]
Una recta vertical corta al gráfico en dos puntos.
Ejercicio 7: completar una tabla desde una regla
Completa los valores de \(y\) si \(y=3x-1\) y \(x=0,1,2,3\).
Reemplazamos cada valor de \(x\):
\[ y(0)=3(0)-1=-1 \]
\[ y(1)=3(1)-1=2 \]
\[ y(2)=3(2)-1=5 \]
\[ y(3)=3(3)-1=8 \]
La tabla queda:
\[ (0,-1),\ (1,2),\ (2,5),\ (3,8) \]
Ejercicio 8: de tabla a gráfico
La tabla siguiente corresponde a una función:
| \(x\) | \(y\) |
|---|---|
| -2 | 4 |
| -1 | 1 |
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 4 |
Escribe los puntos que se deben ubicar y menciona qué forma general sugiere el gráfico.
Los puntos son:
\[ (-2,4),\ (-1,1),\ (0,0),\ (1,1),\ (2,4) \]
Estos puntos sugieren la forma de una parábola, correspondiente a la regla \(y=x^2\).
Ejercicio 9: aplicar el criterio de la recta vertical
Explica por qué la circunferencia \(x^2+y^2=9\) no representa una función de \(x\).
Para algunos valores de \(x\), aparecen dos valores de \(y\).
Por ejemplo, si \(x=0\), entonces:
\[ y=3 \quad \text{y} \quad y=-3 \]
Una recta vertical corta a la circunferencia en dos puntos, por eso no representa una función de \(x\).
Ejercicio 10: síntesis final
Considera la regla \(y=2x-1\).
Determina:
a) los pares ordenados correspondientes a \(x=0,1,2,3\),
b) la imagen de \(0\) y de \(3\),
c) si el gráfico representa una función.
a) Reemplazamos:
\[ y(0)=2(0)-1=-1, \]
\[ y(1)=2(1)-1=1, \]
\[ y(2)=2(2)-1=3, \]
\[ y(3)=2(3)-1=5 \]
Entonces los pares son:
\[ (0,-1),\ (1,1),\ (2,3),\ (3,5) \]
b) Las imágenes pedidas son:
\[ f(0)=-1,\qquad f(3)=5 \]
c) Sí, su gráfico representa una función, porque cada valor de \(x\) determina un único valor de \(y\).
En esta página vinculamos tablas, pares ordenados y gráficos en el plano cartesiano.
También aprendimos a reconocer cuándo un gráfico representa una función y cuándo no, usando la idea de que a cada valor de \(x\) le debe corresponder una sola imagen.
4. Función inyectiva
Objetivo de aprendizaje
Comprender qué significa que una función sea inyectiva, reconociéndola mediante pares ordenados, diagramas sagitales y gráficos en el plano cartesiano.
- Definir inyectividad en lenguaje claro y formal.
- Identificar funciones inyectivas en diagramas sagitales.
- Distinguir funciones inyectivas de funciones que no lo son.
- Relacionar la inyectividad con la idea de imágenes no repetidas.
- Interpretar la inyectividad en gráficos sencillos.
Imagina que en un colegio cada estudiante recibe un casillero distinto. Si dos estudiantes diferentes no comparten el mismo casillero, entonces mirando el casillero se puede saber exactamente a qué estudiante corresponde.
Esa idea de “salidas no repetidas” ayuda a entender qué significa que una función sea inyectiva.
Sea \(f:A\to B\). Decimos que \(f\) es inyectiva cuando elementos distintos del dominio tienen imágenes distintas.
En lenguaje simbólico:
\[ x_1\neq x_2 \Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2) \]
De manera equivalente, si dos elementos tienen la misma imagen, entonces deben ser el mismo elemento:
\[ f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2 \]
En una función inyectiva no se repiten imágenes. Eso significa que en el diagrama sagital no puede haber dos flechas distintas que lleguen al mismo elemento del codominio.
En el plano cartesiano, una función no es inyectiva cuando una recta horizontal corta su gráfico en más de un punto. Por eso, para funciones sencillas, la inyectividad puede revisarse con la idea de la recta horizontal.
Ejemplo 1: una función inyectiva en diagrama sagital
Sea \(f:A\to B\) con:
\[ f=\{(1,a),(2,b),(3,d)\} \]
donde \(A=\{1,2,3\}\) y \(B=\{a,b,c,d\}\).
Las imágenes son \(a\), \(b\) y \(d\), y ninguna se repite.
Por eso, la función es inyectiva.
Ejemplo 2: una función que no es inyectiva
Sea \(g:A\to B\) con:
\[ g=\{(1,a),(2,c),(3,c)\} \]
donde \(A=\{1,2,3\}\) y \(B=\{a,b,c\}\).
Los elementos \(2\) y \(3\) tienen la misma imagen: \(c\).
Como hay una imagen repetida, la función no es inyectiva.
Para revisar si una función es inyectiva en un diagrama sagital, conviene mirar el conjunto de llegada y preguntar:
¿Hay algún elemento que reciba dos flechas?
Si la respuesta es sí, entonces la función no es inyectiva.
Ejemplo 3: inyectividad en una tabla de valores
Consideremos la función dada por la tabla:
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| -1 | 0 |
| 0 | 2 |
| 1 | 4 |
| 2 | 6 |
Las imágenes son \(0\), \(2\), \(4\) y \(6\).
Ninguna se repite, por lo tanto la función es inyectiva.
Ejemplo 4: una tabla que no corresponde a una función inyectiva
Ahora observemos:
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| -2 | 4 |
| -1 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 4 |
Aquí la imagen \(1\) se repite y la imagen \(4\) también se repite.
Por lo tanto, la función no es inyectiva.
Ejemplo 5: lectura gráfica de una función inyectiva
Observa el gráfico de la función \(y=2x+1\).
Cualquier recta horizontal corta al gráfico a lo más en un punto.
Por eso, esta función es inyectiva.
Ejemplo 6: lectura gráfica de una función que no es inyectiva
Observa ahora el gráfico de \(y=x^2\).
La recta horizontal \(y=4\), por ejemplo, corta al gráfico en dos puntos: uno cuando \(x=2\) y otro cuando \(x=-2\).
Por eso, esta función no es inyectiva.
No basta con que todos los elementos del dominio tengan imagen. Para que una función sea inyectiva, además esas imágenes no deben repetirse.
Ejercicio 1: decidir si una función es inyectiva
Determina si la función
\[ f=\{(1,a),(2,b),(3,c)\} \]
es inyectiva.
Sí es inyectiva.
Las imágenes son \(a\), \(b\) y \(c\), y ninguna se repite.
Ejercicio 2: detectar imagen repetida
Determina si la función
\[ g=\{(1,m),(2,n),(3,n),(4,p)\} \]
es inyectiva.
No es inyectiva.
Los elementos \(2\) y \(3\) tienen la misma imagen \(n\).
Ejercicio 3: inyectividad en un diagrama sagital
Observa el diagrama y decide si representa una función inyectiva.
Sí representa una función inyectiva.
Cada elemento del dominio tiene una sola imagen y ninguna imagen se repite.
Ejercicio 4: una función que no es inyectiva en sagital
Observa el diagrama y decide si la función es inyectiva.
No es inyectiva.
Los elementos \(2\) y \(3\) llegan al mismo valor \(c\).
Ejercicio 5: revisar una tabla
Determina si la función dada por la tabla es inyectiva.
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| 0 | 2 |
| 1 | 5 |
| 2 | 8 |
| 3 | 11 |
Sí es inyectiva.
Las imágenes son \(2\), \(5\), \(8\) y \(11\), y todas son distintas.
Ejercicio 6: tabla con imágenes repetidas
Determina si la función dada por la tabla es inyectiva.
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| -2 | 4 |
| -1 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 4 |
No es inyectiva.
La imagen \(1\) se repite y la imagen \(4\) también se repite.
Ejercicio 7: lectura gráfica de una recta
Observa el gráfico de \(y=-x+2\) y decide si la función es inyectiva.
Sí es inyectiva.
Cualquier recta horizontal corta al gráfico a lo más una vez.
Ejercicio 8: lectura gráfica de una parábola
Observa el gráfico de \(y=x^2\) y decide si la función es inyectiva.
No es inyectiva.
La recta horizontal \(y=4\) corta al gráfico en dos puntos, correspondientes a \(x=-2\) y \(x=2\).
Ejercicio 9: justificar con imágenes
La función \(f\) cumple:
\[ f(1)=3,\quad f(2)=5,\quad f(3)=7,\quad f(4)=9 \]
Explica si es inyectiva.
Sí es inyectiva.
Las imágenes son \(3\), \(5\), \(7\) y \(9\), y todas son distintas.
Por lo tanto, elementos distintos del dominio tienen imágenes distintas.
Ejercicio 10: síntesis final
Sean \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) y la función \(f(x)=x^2\).
Determina:
a) las imágenes de los elementos de \(A\),
b) si la función es inyectiva en ese dominio.
a) Calculamos:
\[ f(-2)=4,\quad f(-1)=1,\quad f(0)=0,\quad f(1)=1,\quad f(2)=4 \]
b) No es inyectiva, porque hay imágenes repetidas.
Por ejemplo, \(f(-1)=1\) y \(f(1)=1\), además \(f(-2)=4\) y \(f(2)=4\).
En esta página aprendimos que una función es inyectiva cuando no repite imágenes.
También vimos cómo reconocer esa propiedad en diagramas sagitales, tablas y gráficos en el plano cartesiano.
5. Sobreyectividad y biyectividad
Objetivo de aprendizaje
Comprender qué significa que una función sea sobreyectiva o biyectiva, identificándolo mediante diagramas sagitales, pares ordenados, tablas y gráficos sencillos.
- Distinguir entre codominio e imagen.
- Reconocer cuándo una función es sobreyectiva.
- Reconocer cuándo una función es biyectiva.
- Comparar funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas.
- Interpretar estas propiedades en representaciones sagitales y cartesianas simples.
Imagina que un grupo de estudiantes ocupa casilleros. Si todos los casilleros disponibles quedan ocupados, entonces no sobra ninguno. Esa idea ayuda a entender la sobreyectividad: todos los elementos del codominio reciben al menos una flecha.
Si además cada estudiante ocupa un casillero distinto, entonces la asignación es perfecta: no sobra ningún casillero y no se repite ninguno. Esa es la idea de biyectividad.
Sea \(f:A\to B\).
- Codominio: es el conjunto de llegada \(B\).
- Imagen de la función: es el conjunto de valores de \(B\) que realmente reciben al menos una flecha.
Siempre se cumple:
\[ \mathrm{Im}(f)\subseteq B \]
La función es sobreyectiva cuando la imagen coincide con el codominio:
\[ \mathrm{Im}(f)=B \]
Una función \(f:A\to B\) es sobreyectiva si todo elemento del codominio tiene al menos una preimagen.
Una función \(f:A\to B\) es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo.
En un diagrama sagital:
- sobreyectiva: ningún elemento del codominio queda sin flecha,
- biyectiva: ningún elemento del codominio queda sin flecha y, además, ninguna imagen se repite.
Ejemplo 1: función sobreyectiva, pero no inyectiva
Sea \(f:A\to B\) dada por:
\[ f=\{(1,a),(2,b),(3,c),(4,c)\} \]
con \(A=\{1,2,3,4\}\) y \(B=\{a,b,c\}\).
Todos los elementos del codominio reciben al menos una flecha, por lo tanto la función es sobreyectiva.
Sin embargo, \(3\) y \(4\) tienen la misma imagen \(c\), así que no es inyectiva.
Ejemplo 2: función que no es sobreyectiva
Sea \(g:A\to B\) dada por:
\[ g=\{(1,a),(2,c),(3,d)\} \]
con \(A=\{1,2,3\}\) y \(B=\{a,b,c,d\}\).
El elemento \(b\) del codominio no recibe ninguna flecha.
Por eso, la función no es sobreyectiva.
Ejemplo 3: función biyectiva
Sea \(h:A\to B\) dada por:
\[ h=\{(-1,p),(0,q),(1,r)\} \]
con \(A=\{-1,0,1\}\) y \(B=\{p,q,r\}\).
Cada elemento del codominio recibe una flecha y ninguna imagen se repite.
Por eso, la función es biyectiva.
- Mira el codominio completo.
- Verifica si todos sus elementos reciben al menos una flecha.
- Si alguno queda libre, la función no es sobreyectiva.
- Si todos reciben flecha y además no hay imágenes repetidas, la función es biyectiva.
Ejemplo 4: sobreyectividad en una tabla
Sea una función de \(A=\{1,2,3,4\}\) en \(B=\{m,n,p\}\) dada por la tabla:
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| 1 | m |
| 2 | n |
| 3 | p |
| 4 | p |
La imagen de la función es:
\[ \mathrm{Im}(f)=\{m,n,p\} \]
Como coincide con el codominio, la función es sobreyectiva.
No es biyectiva porque la imagen \(p\) se repite.
Ejemplo 5: lectura gráfica sencilla
Consideremos la función \(f(x)=x+1\) con dominio \(A=\{-1,0,1,2\}\) y codominio \(B=\{0,1,2,3\}\).
La imagen es \(\{0,1,2,3\}\), que coincide con el codominio, y además no hay imágenes repetidas.
Por eso, en este contexto, la función es biyectiva.
No confundir codominio con imagen.
El codominio es el conjunto de llegada que se declara desde el principio. La imagen está formada solo por los valores que realmente aparecen como salida.
Una función es sobreyectiva solo cuando ambos conjuntos coinciden.
Ejercicio 1: decidir si una función es sobreyectiva
Sea \(f:A\to B\) con \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{a,b,c\}\) y
\[ f=\{(1,a),(2,b),(3,c),(4,c)\} \]
Determina si la función es sobreyectiva.
Sí es sobreyectiva.
La imagen es \(\{a,b,c\}\), que coincide con el codominio \(B\).
Ejercicio 2: detectar que no es sobreyectiva
Sea \(g:A\to B\) con \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{m,n,p,q\}\) y
\[ g=\{(1,m),(2,p),(3,q)\} \]
¿Es sobreyectiva?
No es sobreyectiva.
La imagen es \(\{m,p,q\}\), pero el codominio es \(\{m,n,p,q\}\).
El elemento \(n\) no recibe ninguna flecha.
Ejercicio 3: clasificación desde un diagrama sagital
Observa el diagrama y decide si la función es sobreyectiva, biyectiva o ninguna de las dos.
Es biyectiva.
Todos los elementos del codominio reciben una flecha y ninguna imagen se repite.
Ejercicio 4: sobreyectiva pero no biyectiva
Observa el diagrama y clasifica la función.
Es sobreyectiva, pero no biyectiva.
Es sobreyectiva porque \(1\), \(2\) y \(3\) reciben al menos una flecha.
No es biyectiva porque la imagen \(3\) se repite.
Ejercicio 5: comparar codominio e imagen
Sea \(f:A\to B\) con \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{a,b,c,d\}\) y
\[ f=\{(1,a),(2,c),(3,c)\} \]
Determina:
a) el codominio,
b) la imagen,
c) si la función es sobreyectiva.
a) El codominio es:
\[ B=\{a,b,c,d\} \]
b) La imagen es:
\[ \mathrm{Im}(f)=\{a,c\} \]
c) No es sobreyectiva, porque \(\{a,c\}\neq\{a,b,c,d\}\).
Ejercicio 6: tabla sobreyectiva
La función de \(A=\{1,2,3,4\}\) en \(B=\{m,n,p\}\) está dada por la tabla:
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| 1 | m |
| 2 | n |
| 3 | p |
| 4 | p |
Determina si es sobreyectiva y si es biyectiva.
La imagen es \(\{m,n,p\}\).
Como coincide con el codominio, la función es sobreyectiva.
No es biyectiva porque la imagen \(p\) se repite.
Ejercicio 7: tabla biyectiva
La función de \(A=\{-1,0,1\}\) en \(B=\{2,3,4\}\) está dada por la tabla:
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| -1 | 2 |
| 0 | 3 |
| 1 | 4 |
Clasifica la función.
Es biyectiva.
Es inyectiva porque las imágenes \(2\), \(3\) y \(4\) son distintas.
Es sobreyectiva porque la imagen coincide con el codominio.
Ejercicio 8: clasificación desde un gráfico discreto
Observa los puntos del gráfico correspondiente a una función con dominio \(A=\{-1,0,1,2\}\) y codominio \(B=\{0,1,2,3\}\).
Determina si la función es sobreyectiva y si es biyectiva.
La imagen es \(\{0,1,2,3\}\), que coincide con el codominio.
Además, las imágenes no se repiten.
Por lo tanto, la función es biyectiva.
Ejercicio 9: decidir si es sobreyectiva
Sea \(f:A\to B\) con \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{2,4,6,8,10\}\) y regla \(f(x)=2x\).
Determina la imagen de la función y decide si es sobreyectiva.
Calculamos:
\[ f(1)=2,\quad f(2)=4,\quad f(3)=6,\quad f(4)=8 \]
Entonces:
\[ \mathrm{Im}(f)=\{2,4,6,8\} \]
No es sobreyectiva, porque el codominio es \(\{2,4,6,8,10\}\) y el valor \(10\) no aparece como imagen.
Ejercicio 10: síntesis final
Sea \(h:A\to B\) con \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{a,b,c\}\) y
\[ h=\{(1,b),(2,a),(3,c)\} \]
Determina:
a) la imagen de la función,
b) si es inyectiva,
c) si es sobreyectiva,
d) si es biyectiva.
a) La imagen es:
\[ \mathrm{Im}(h)=\{a,b,c\} \]
b) Es inyectiva porque ninguna imagen se repite.
c) Es sobreyectiva porque la imagen coincide con el codominio.
d) Entonces es biyectiva.
En esta página vimos que una función es sobreyectiva cuando todos los elementos del codominio reciben al menos una flecha.
También aprendimos que una función es biyectiva cuando es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo.
6. La función inversa como proceso inverso
Objetivo de aprendizaje
Comprender la función inversa como el proceso que deshace una función, interpretándola mediante diagramas sagitales, pares ordenados y gráficos en el plano cartesiano.
- Entender la idea de “hacer” y “deshacer” un proceso.
- Reconocer cuándo una función puede tener inversa.
- Relacionar una función y su inversa en diagramas sagitales.
- Identificar la simetría entre una función y su inversa respecto de la recta \(y=x\).
- Construir la relación inversa en ejemplos simples.
Muchas acciones cotidianas pueden invertirse. Si una receta dice “agregar 3”, el proceso inverso sería “restar 3”. Si una máquina duplica una cantidad, el proceso inverso consiste en dividir por 2.
La idea de función inversa aparece cuando una función puede deshacerse sin producir ambigüedades.
Sea \(f:A\to B\). Si existe una función que permite volver desde las imágenes hasta los elementos originales, esa función se llama función inversa y se denota por \(f^{-1}\).
Su acción principal es:
\[ f^{-1}(f(x))=x \]
En palabras simples, primero se aplica \(f\) y luego se aplica \(f^{-1}\), recuperando el valor inicial.
Para que una función tenga inversa, debe ser posible identificar sin dudas cuál fue el valor de partida a partir de la imagen.
Por eso, una función tiene inversa cuando es biyectiva: no repite imágenes y además usa todo el codominio.
Si dos elementos distintos del dominio llegan al mismo valor, entonces no se puede “deshacer” de manera única.
Ejemplo 1: una función y su proceso inverso en un diagrama sagital
Sea la función \(f:A\to B\) dada por:
\[ f=\{(1,a),(2,b),(3,c)\} \]
La función inversa se obtiene invirtiendo las flechas:
\[ f^{-1}=\{(a,1),(b,2),(c,3)\} \]
Como la función original es biyectiva, el proceso inverso también queda bien definido.
Ejemplo 2: una función que no puede tener inversa
Consideremos la función
\[ g=\{(1,a),(2,b),(3,b)\} \]
de \(A=\{1,2,3\}\) en \(B=\{a,b\}\).
Si tratamos de invertir la relación, obtenemos:
\[ \{(a,1),(b,2),(b,3)\} \]
Pero ahora el elemento \(b\) quedaría asociado a dos valores distintos, \(2\) y \(3\). Por eso, la inversa no queda definida como función.
Para saber si una función puede tener inversa, conviene revisar dos cosas:
- que no repita imágenes,
- que todos los elementos del codominio reciban flecha.
Si ambas condiciones se cumplen, la función es biyectiva y puede tener inversa.
Si una función está escrita por extensión, su inversa se obtiene intercambiando las posiciones en cada par ordenado.
Por ejemplo, si
\[ f=\{(1,a),(2,b),(3,c)\} \]
entonces
\[ f^{-1}=\{(a,1),(b,2),(c,3)\} \]
Es importante recordar que esto solo da una función inversa cuando la función original es biyectiva.
Ejemplo 3: pares ordenados en una función y su inversa
Sea
\[ h=\{(-1,2),(0,3),(1,4) \}
Entonces su inversa es:
\[ h^{-1}=\{(2,-1),(3,0),(4,1)\} \]
Observa que en cada par se intercambiaron la primera y la segunda componente.
Ejemplo 4: relación gráfica entre una función y su inversa
Consideremos la función \(f(x)=x+2\) y su inversa \(f^{-1}(x)=x-2\).
Los gráficos de una función y su inversa son simétricos respecto de la recta \(y=x\).
Ejemplo 5: verificar una composición sencilla
Si \(f(x)=x+2\) y \(f^{-1}(x)=x-2\), entonces:
\[ f^{-1}(f(5))=f^{-1}(7)=5 \]
También:
\[ f(f^{-1}(3))=f(1)=3 \]
Esto muestra que ambas funciones se deshacen mutuamente.
No toda función tiene inversa.
Antes de invertir pares ordenados o de pensar en “deshacer” una regla, hay que revisar si la función original es biyectiva.
Ejercicio 1: construir la relación inversa
Sea \(f=\{(1,a),(2,b),(3,c)\}\). Escribe \(f^{-1}\).
Se intercambian las posiciones en cada par ordenado:
\[ f^{-1}=\{(a,1),(b,2),(c,3)\} \]
Ejercicio 2: decidir si puede tener inversa
Sea \(g=\{(1,m),(2,n),(3,n)\}\). ¿Puede tener función inversa? Justifica.
No puede tener función inversa.
Los elementos \(2\) y \(3\) tienen la misma imagen \(n\), por lo que la función no es inyectiva.
Al invertir los pares, \(n\) quedaría asociado a dos valores distintos.
Ejercicio 3: revisar biyectividad
Sea \(h:A\to B\) con \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{a,b,c\}\) y
\[ h=\{(1,b),(2,a),(3,c)\} \]
Determina si puede tener función inversa.
Sí puede tener función inversa.
La función es biyectiva: no repite imágenes y todos los elementos del codominio aparecen.
Ejercicio 4: invertir pares ordenados
Sea \(r=\{(-2,1),(-1,2),(0,3) \}\). Escribe \(r^{-1}\).
Intercambiamos cada par ordenado:
\[ r^{-1}=\{(1,-2),(2,-1),(3,0)\} \]
Ejercicio 5: leer una inversa desde un diagrama
Observa la función del diagrama y escribe su inversa.
La inversa se obtiene invirtiendo las flechas:
\[ f^{-1}=\{(2,p),(4,q),(6,r)\} \]
Ejercicio 6: función con imágenes repetidas
Sea la función \(s=\{(1,a),(2,b),(3,b),(4,c)\}\). Explica por qué no tiene función inversa.
No tiene función inversa porque no es inyectiva.
Los elementos \(2\) y \(3\) tienen la misma imagen \(b\).
Al invertir la relación, \(b\) quedaría asociado a dos valores distintos.
Ejercicio 7: interpretar una composición
Sea \(f(x)=x+3\) y \(f^{-1}(x)=x-3\). Calcula:
a) \(f^{-1}(f(2))\)
b) \(f(f^{-1}(10))\)
a)
\[ f(2)=2+3=5 \]
Luego:
\[ f^{-1}(5)=5-3=2 \]
Por lo tanto:
\[ f^{-1}(f(2))=2 \]
b)
\[ f^{-1}(10)=10-3=7 \]
Luego:
\[ f(7)=7+3=10 \]
Entonces:
\[ f(f^{-1}(10))=10 \]
Ejercicio 8: identificar la recta de simetría
En los gráficos de una función y su inversa, ¿respecto de qué recta aparece la simetría?
La simetría aparece respecto de la recta:
\[ y=x \]
Ejercicio 9: decidir si la inversa queda bien definida
Sea \(t=\{(1,2),(2,4),(3,6),(4,8)\}\). Escribe la inversa y explica si queda definida como función.
La inversa es:
\[ t^{-1}=\{(2,1),(4,2),(6,3),(8,4)\} \]
Sí queda definida como función, porque la función original no repite imágenes y cada valor de llegada aparece una sola vez.
Ejercicio 10: síntesis final
Sea \(u:A\to B\) con \(A=\{-1,0,1\}\), \(B=\{2,3,4\}\) y
\[ u=\{(-1,2),(0,3),(1,4)\} \]
Determina:
a) si puede tener inversa,
b) su inversa por extensión,
c) el dominio de \(u^{-1}\),
d) el codominio de \(u^{-1}\).
a) Sí puede tener inversa, porque la función es biyectiva.
b) La inversa es:
\[ u^{-1}=\{(2,-1),(3,0),(4,1)\} \]
c) El dominio de \(u^{-1}\) es el conjunto \(B\):
\[ \{2,3,4\} \]
d) El codominio de \(u^{-1}\) es el conjunto \(A\):
\[ \{-1,0,1\} \]
En esta página entendimos la función inversa como el proceso que deshace una función.
También vimos que una función puede tener inversa solo cuando es biyectiva, y que sus gráficos son simétricos respecto de la recta \(y=x\).
7. Función lineal y cuadrática: estudio de la inversa
Objetivo de aprendizaje
Aplicar la idea de función inversa al caso lineal y analizar el caso cuadrático, comprendiendo cuándo la inversa existe como función y cuándo es necesario restringir el dominio.
- Hallar la inversa de funciones lineales sencillas.
- Verificar una inversa mediante composición.
- Interpretar gráficamente la simetría entre una función y su inversa.
- Reconocer por qué \(y=x^2\) no tiene inversa como función en todo \(\mathbb{R}\).
- Entender la restricción de dominio en el caso cuadrático.
Si una máquina transforma un número sumándole 5, el proceso inverso consiste en restar 5. Si lo multiplica por 3, el proceso inverso consiste en dividir por 3. En una función lineal, estas acciones se pueden deshacer con claridad cuando el coeficiente de \(x\) es distinto de cero.
En cambio, con una regla como \(x^2\), la situación cambia: el mismo resultado puede venir de dos números distintos. Por eso el caso cuadrático exige más cuidado.
Sea la función lineal:
\[ f(x)=mx+n \qquad \text{con } m\neq 0 \]
Para hallar su inversa, seguimos este procedimiento:
- Escribir \(y=mx+n\).
- Intercambiar \(x\) e \(y\).
- Despejar \(y\).
Así:
\[ y=mx+n \]
\[ x=my+n \]
\[ x-n=my \]
\[ y=\frac{x-n}{m} \]
Por lo tanto:
\[ f^{-1}(x)=\frac{x-n}{m} \]
Ejemplo 1: hallar la inversa de \(f(x)=2x+1\)
Partimos con:
\[ y=2x+1 \]
Intercambiamos \(x\) e \(y\):
\[ x=2y+1 \]
Despejamos \(y\):
\[ x-1=2y \]
\[ y=\frac{x-1}{2} \]
Entonces:
\[ f^{-1}(x)=\frac{x-1}{2} \]
Ejemplo 2: verificar la inversa por composición
Sea \(f(x)=2x+1\) y \(f^{-1}(x)=\dfrac{x-1}{2}\).
Verificamos:
\[ f^{-1}(f(x))=f^{-1}(2x+1)=\frac{(2x+1)-1}{2}=\frac{2x}{2}=x \]
También:
\[ f(f^{-1}(x))=f\left(\frac{x-1}{2}\right)=2\left(\frac{x-1}{2}\right)+1=x-1+1=x \]
Como ambas composiciones devuelven \(x\), la inversa es correcta.
Ejemplo 3: gráfico de una función lineal y su inversa
Observa el gráfico de \(f(x)=2x+1\), su inversa \(f^{-1}(x)=\dfrac{x-1}{2}\) y la recta \(y=x\).
Los gráficos son simétricos respecto de la recta \(y=x\).
Si \(m\neq 0\), la función lineal no repite imágenes y puede deshacerse. Por eso tiene inversa.
Si \(m=0\), la función sería constante y ya no podría tener inversa como función, porque todos los valores del dominio tendrían la misma imagen.
Consideremos la función:
\[ f(x)=x^2 \]
Si trabajamos en todo \(\mathbb{R}\), esta función no es inyectiva porque:
\[ f(2)=4 \qquad \text{y} \qquad f(-2)=4 \]
Como dos valores distintos tienen la misma imagen, no puede tener inversa como función en todo \(\mathbb{R}\).
Ejemplo 4: por qué \(y=x^2\) no tiene inversa en todo \(\mathbb{R}\)
Observa el gráfico de \(y=x^2\):
La recta horizontal \(y=4\) corta al gráfico en dos puntos: \((-2,4)\) y \((2,4)\).
Eso muestra que la función no es inyectiva y, por lo tanto, no puede tener inversa como función en todo \(\mathbb{R}\).
Si restringimos el dominio de \(f(x)=x^2\) a \(x\ge 0\), entonces cada imagen positiva proviene de un único valor del dominio.
En ese caso, la función sí puede tener inversa.
Partimos con:
\[ y=x^2 \qquad \text{con } x\ge 0 \]
Intercambiamos \(x\) e \(y\):
\[ x=y^2 \]
Despejamos usando la raíz principal:
\[ y=\sqrt{x} \]
Entonces, para \(x\ge 0\):
\[ f^{-1}(x)=\sqrt{x} \]
Ejemplo 5: la rama derecha de la parábola y su inversa
Observa la parte de la parábola correspondiente a \(x\ge 0\), junto con \(y=\sqrt{x}\) y la recta \(y=x\).
La curva \(y=\sqrt{x}\) es la inversa de \(y=x^2\) cuando se trabaja con la restricción \(x\ge 0\).
No se puede decir que la inversa de \(x^2\) es simplemente \(\pm\sqrt{x}\).
La inversa de una función debe volver a ser una función. Por eso, al restringir el dominio a \(x\ge 0\), la inversa correcta es \(\sqrt{x}\).
Ejercicio 1: hallar una inversa lineal
Halla la inversa de \(f(x)=3x+2\).
Escribimos:
\[ y=3x+2 \]
Intercambiamos \(x\) e \(y\):
\[ x=3y+2 \]
Despejamos \(y\):
\[ x-2=3y \]
\[ y=\frac{x-2}{3} \]
Entonces:
\[ f^{-1}(x)=\frac{x-2}{3} \]
Ejercicio 2: hallar otra inversa lineal
Halla la inversa de \(g(x)=5x-4\).
Partimos con:
\[ y=5x-4 \]
Intercambiamos \(x\) e \(y\):
\[ x=5y-4 \]
Despejamos:
\[ x+4=5y \]
\[ y=\frac{x+4}{5} \]
Entonces:
\[ g^{-1}(x)=\frac{x+4}{5} \]
Ejercicio 3: verificar por composición
Sea \(f(x)=2x-3\) y \(f^{-1}(x)=\dfrac{x+3}{2}\). Verifica que una composición devuelve \(x\).
Calculamos:
\[ f^{-1}(f(x))=f^{-1}(2x-3)=\frac{(2x-3)+3}{2}=\frac{2x}{2}=x \]
Por lo tanto, la composición devuelve \(x\).
Ejercicio 4: interpretar una recta y su inversa
La función es \(f(x)=x+4\). Escribe su inversa y señala respecto de qué recta son simétricos sus gráficos.
Partimos con:
\[ y=x+4 \]
Intercambiamos \(x\) e \(y\):
\[ x=y+4 \]
Despejamos:
\[ y=x-4 \]
Entonces:
\[ f^{-1}(x)=x-4 \]
Los gráficos son simétricos respecto de:
\[ y=x \]
Ejercicio 5: decidir si una función lineal tiene inversa
Explica por qué la función \(f(x)=7x+1\) tiene inversa.
Tiene inversa porque es una función lineal con coeficiente de \(x\) distinto de cero.
Eso hace que no repita imágenes y que pueda deshacerse mediante una regla inversa.
Ejercicio 6: justificar el caso cuadrático
Explica por qué \(f(x)=x^2\) no tiene inversa como función en todo \(\mathbb{R}\).
No tiene inversa como función en todo \(\mathbb{R}\) porque no es inyectiva.
Por ejemplo:
\[ f(2)=4 \qquad \text{y} \qquad f(-2)=4 \]
Dos valores distintos del dominio tienen la misma imagen.
Ejercicio 7: restricción de dominio
¿Qué restricción de dominio se usa habitualmente para que \(f(x)=x^2\) tenga inversa?
Se restringe el dominio a:
\[ x\ge 0 \]
Así se considera solo la rama derecha de la parábola y la función pasa a ser inyectiva.
Ejercicio 8: inversa del cuadrado restringido
Si \(f(x)=x^2\) con \(x\ge 0\), escribe su inversa.
Partimos con:
\[ y=x^2 \qquad \text{con } x\ge 0 \]
Intercambiamos \(x\) e \(y\):
\[ x=y^2 \]
Despejamos usando la raíz principal:
\[ y=\sqrt{x} \]
Entonces:
\[ f^{-1}(x)=\sqrt{x} \]
Ejercicio 9: composición en un caso lineal
Sea \(g(x)=x-5\) y \(g^{-1}(x)=x+5\). Calcula:
a) \(g^{-1}(g(8))\)
b) \(g(g^{-1}(2))\)
a)
\[ g(8)=8-5=3 \]
Luego:
\[ g^{-1}(3)=3+5=8 \]
Entonces:
\[ g^{-1}(g(8))=8 \]
b)
\[ g^{-1}(2)=2+5=7 \]
Luego:
\[ g(7)=7-5=2 \]
Por lo tanto:
\[ g(g^{-1}(2))=2 \]
Ejercicio 10: síntesis final
Considera la función \(f(x)=4x-1\).
Determina:
a) su inversa,
b) la imagen de \(3\),
c) el valor de \(f^{-1}(11)\).
a) Hallamos la inversa:
\[ y=4x-1 \]
Intercambiamos:
\[ x=4y-1 \]
Despejamos:
\[ x+1=4y \]
\[ y=\frac{x+1}{4} \]
Entonces:
\[ f^{-1}(x)=\frac{x+1}{4} \]
b) La imagen de \(3\) es:
\[ f(3)=4(3)-1=11 \]
c) Ahora evaluamos la inversa:
\[ f^{-1}(11)=\frac{11+1}{4}=\frac{12}{4}=3 \]
En esta página aplicamos la idea de función inversa al caso lineal y analizamos el caso cuadrático.
Vimos que las funciones lineales con \(m\neq 0\) tienen inversa, mientras que \(x^2\) solo puede tener inversa como función cuando se restringe su dominio.
8. Consolidación y ejercitación de la unidad
Objetivo de aprendizaje
Integrar los contenidos de la unidad sobre relaciones, funciones y función inversa, aplicándolos en ejercicios de análisis, clasificación, representación y resolución.
- Relacionar par ordenado, producto cartesiano y relación.
- Identificar dominio, recorrido, imagen y preimagen.
- Reconocer funciones, funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas.
- Decidir cuándo una función tiene inversa.
- Aplicar la inversa en casos lineales y analizar el caso cuadrático.
Durante esta unidad hemos visto que una misma idea puede aparecer de varias formas: como pares ordenados, como diagrama sagital, como tabla, como gráfico o como regla algebraica.
Consolidar significa poder pasar de una representación a otra y decidir con fundamento qué propiedades cumple una relación o una función.
- Una relación es un subconjunto del producto cartesiano.
- Una función asigna a cada elemento del dominio una única imagen.
- Una función es inyectiva si no repite imágenes.
- Una función es sobreyectiva si su imagen coincide con el codominio.
- Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.
- Una función tiene inversa cuando es biyectiva.
- Los gráficos de una función y su inversa son simétricos respecto de \(y=x\).
- Primero identifica qué tipo de objeto estás estudiando: relación o función.
- Luego revisa si aparecen dominio, codominio, imagen o recorrido.
- Después clasifica: inyectiva, sobreyectiva, biyectiva o ninguna.
- Solo al final preguntes por inversa, verifica antes si la función es biyectiva.
Ejercicio 1: producto cartesiano y relación
Sean \(A=\{1,2,3\}\) y \(B=\{a,b\}\).
a) Escribe \(A\times B\).
b) Escribe una relación \(R\) entre \(A\) y \(B\) que tenga exactamente 3 pares ordenados.
a) El producto cartesiano es:
\[ A\times B=\{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)\} \]
b) Una relación posible es:
\[ R=\{(1,a),(2,b),(3,a)\} \]
Hay muchas respuestas correctas, siempre que los pares pertenezcan a \(A\times B\) y sean exactamente tres.
Ejercicio 2: dominio, recorrido, imagen y preimagen
Sea la relación
\[ R=\{(1,c),(2,a),(2,b),(4,c)\} \]
Determina:
a) \(\mathrm{Dom}(R)\)
b) \(\mathrm{Rec}(R)\)
c) \(\mathrm{Im}(2)\)
d) \(\mathrm{Preim}(c)\)
a) El dominio es:
\[ \mathrm{Dom}(R)=\{1,2,4\} \]
b) El recorrido es:
\[ \mathrm{Rec}(R)=\{a,b,c\} \]
c) La imagen de \(2\) es:
\[ \mathrm{Im}(2)=\{a,b\} \]
d) La preimagen de \(c\) es:
\[ \mathrm{Preim}(c)=\{1,4\} \]
Ejercicio 3: decidir si una relación es función
Determina si la relación
\[ S=\{(x,2),(x,4),(y,4),(z,6)\} \]
es una función. Justifica.
No es función.
El elemento \(x\) aparece con dos imágenes distintas: \(2\) y \(4\).
Eso contradice la condición de unicidad que debe cumplir una función.
Ejercicio 4: clasificación en un diagrama sagital
Observa el siguiente diagrama y clasifica la función como inyectiva, sobreyectiva, biyectiva o ninguna de ellas.
La función es sobreyectiva, pero no inyectiva.
Es sobreyectiva porque todos los elementos del codominio \(\{a,b,c\}\) reciben al menos una flecha.
No es inyectiva porque \(3\) y \(4\) tienen la misma imagen \(c\).
Por lo tanto, no es biyectiva.
Ejercicio 5: codominio e imagen
Sea \(f:A\to B\) con \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{m,n,p,q\}\) y
\[ f=\{(1,m),(2,p),(3,p)\} \]
Determina:
a) el codominio,
b) la imagen,
c) si la función es sobreyectiva.
a) El codominio es:
\[ \{m,n,p,q\} \]
b) La imagen es:
\[ \mathrm{Im}(f)=\{m,p\} \]
c) No es sobreyectiva, porque la imagen no coincide con el codominio.
Los elementos \(n\) y \(q\) no reciben flecha.
Ejercicio 6: lectura desde una tabla
La función está dada por la tabla:
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| -1 | 1 |
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 4 |
Determina si la función es inyectiva.
No es inyectiva.
La imagen \(1\) se repite, ya que:
\[ f(-1)=1 \qquad \text{y} \qquad f(1)=1 \]
Por lo tanto, dos elementos distintos del dominio tienen la misma imagen.
Ejercicio 7: gráfico y criterio de la recta horizontal
Observa el gráfico de \(y=x^2\) y decide si la función es inyectiva.
No es inyectiva.
La recta horizontal \(y=4\) corta al gráfico en dos puntos, uno con \(x=-2\) y otro con \(x=2\).
Eso muestra que la función repite imágenes.
Ejercicio 8: decidir si puede tener inversa
Sea \(g:A\to B\) con \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{a,b,c\}\) y
\[ g=\{(1,b),(2,a),(3,c)\} \]
Determina si puede tener función inversa y justifica.
Sí puede tener función inversa.
La función es biyectiva:
- es inyectiva porque no repite imágenes,
- es sobreyectiva porque la imagen coincide con el codominio.
Por eso puede tener inversa.
Ejercicio 9: construir una inversa por extensión
Sea \(h=\{(-1,2),(0,3),(1,4)\}\). Escribe \(h^{-1}\).
Se intercambian las posiciones en cada par ordenado:
\[ h^{-1}=\{(2,-1),(3,0),(4,1)\} \]
Ejercicio 10: inversa de una función lineal
Halla la inversa de \(f(x)=2x-5\).
Partimos con:
\[ y=2x-5 \]
Intercambiamos \(x\) e \(y\):
\[ x=2y-5 \]
Despejamos:
\[ x+5=2y \]
\[ y=\frac{x+5}{2} \]
Entonces:
\[ f^{-1}(x)=\frac{x+5}{2} \]
Ejercicio 11: composición para verificar una inversa
Sea \(f(x)=3x+1\) y \(f^{-1}(x)=\dfrac{x-1}{3}\). Verifica que \(f^{-1}(f(x))=x\).
Calculamos:
\[ f^{-1}(f(x))=f^{-1}(3x+1)=\frac{(3x+1)-1}{3}=\frac{3x}{3}=x \]
Por lo tanto, la composición devuelve \(x\).
Ejercicio 12: caso cuadrático
Explica por qué \(f(x)=x^2\) no tiene inversa como función en todo \(\mathbb{R}\).
No tiene inversa como función en todo \(\mathbb{R}\) porque no es inyectiva.
Por ejemplo:
\[ f(2)=4 \qquad \text{y} \qquad f(-2)=4 \]
Dos valores distintos del dominio tienen la misma imagen, así que no se puede deshacer de manera única.
Ejercicio 13: restricción de dominio
Si \(f(x)=x^2\) con restricción \(x\ge 0\), escribe su inversa.
Partimos con:
\[ y=x^2 \qquad \text{con } x\ge 0 \]
Intercambiamos \(x\) e \(y\):
\[ x=y^2 \]
Despejamos con la raíz principal:
\[ y=\sqrt{x} \]
Entonces:
\[ f^{-1}(x)=\sqrt{x} \]
Ejercicio 14: síntesis final de la unidad
Sea \(f:A\to B\) con \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{2,4,6,8\}\) y regla \(f(x)=2x\).
Determina:
a) la función por extensión,
b) si es inyectiva,
c) si es sobreyectiva,
d) si es biyectiva,
e) su inversa por extensión.
a) La función por extensión es:
\[ f=\{(1,2),(2,4),(3,6),(4,8)\} \]
b) Es inyectiva porque no repite imágenes.
c) Es sobreyectiva porque su imagen es:
\[ \mathrm{Im}(f)=\{2,4,6,8\} \]
y coincide con el codominio \(B\).
d) Entonces es biyectiva.
e) Su inversa por extensión es:
\[ f^{-1}=\{(2,1),(4,2),(6,3),(8,4)\} \]
En esta página de consolidación reunimos las ideas centrales de la unidad: relaciones, funciones, clasificación de funciones e inversa.
El objetivo final es que puedas reconocer estas ideas en diferentes representaciones y justificar cada respuesta con claridad matemática.