Superficies
| Sitio: | MATEMÁTICAS × Profe Arauco |
| Curso: | Geometía 3d |
| Libro: | Superficies |
| Imprimido por: | Invitado |
| Día: | miércoles, 10 de junio de 2026, 17:13 |
Descripción
Ejercicios desarrollados en clases
1. 17 de abril
Área y volumen de ortoedros
Objetivo de aprendizaje
Calcular el área de superficie y el volumen de ortoedros y cubos, aplicando correctamente las fórmulas y relacionando sus medidas con situaciones geométricas y cotidianas.
Un ortoedro es un cuerpo geométrico cuyas caras son rectángulos. Sus tres dimensiones principales son largo, ancho y altura.
Si llamamos \(a\), \(b\) y \(h\) a sus dimensiones, entonces cada cara aparece en pares iguales.
Área de superficie de un ortoedro
\[ S=2ab+2ah+2bh \]
Volumen de un ortoedro
\[ V=a\cdot b\cdot h \]
Volumen de un cubo de arista \(a\)
\[ V=a^3 \]
Área de superficie de un cubo de arista \(a\)
\[ S=6a^2 \]
Para calcular la superficie de un ortoedro, se suman las áreas de sus 6 caras. Como las caras opuestas son iguales, basta calcular tres productos y multiplicarlos por 2.
No confundas superficie con volumen.
La superficie se mide en unidades cuadradas, por ejemplo \(m^2\).
El volumen se mide en unidades cúbicas, por ejemplo \(m^3\).
Ejemplo 1: superficie de un ortoedro
Si un ortoedro tiene dimensiones \(4\,m\), \(5\,m\) y \(15\,m\), su superficie es:
\[ S=2ab+2ah+2bh \]
\[ S=2(4\cdot 5)+2(4\cdot 15)+2(5\cdot 15) \]
\[ S=40+120+150=310 \]
Por lo tanto, la superficie es:
\[ 310\,m^2 \]
Ejemplo 2: volumen de un ortoedro
Si un ortoedro mide \(4\,m\), \(5\,m\) y \(6\,m\), entonces su volumen es:
\[ V=a\cdot b\cdot h \]
\[ V=4\cdot 5\cdot 6=120 \]
Por lo tanto, el volumen es:
\[ 120\,m^3 \]
Ejercicio 1
Calcula la superficie de un ortoedro de dimensiones \(4\,m\), \(5\,m\) y \(15\,m\).
Usamos la fórmula de superficie:
\[ S=2ab+2ah+2bh \]
Con \(a=4\), \(b=5\) y \(h=15\):
\[ S=2(4\cdot 5)+2(4\cdot 15)+2(5\cdot 15) \]
\[ S=2(20)+2(60)+2(75) \]
\[ S=40+120+150 \]
\[ S=310 \]
Respuesta:
\[ 310\,m^2 \]
Ejercicio 2
Calcula la superficie de un ortoedro de dimensiones \(3\,m\), \(3\,m\) y \(10\,m\).
Usamos la fórmula de superficie:
\[ S=2ab+2ah+2bh \]
Sustituimos los datos:
\[ S=2(3\cdot 3)+2(3\cdot 10)+2(3\cdot 10) \]
\[ S=2(9)+2(30)+2(30) \]
\[ S=18+60+60 \]
\[ S=138 \]
Respuesta:
\[ 138\,m^2 \]
Ejercicio 3
En un ortoedro se sabe que \(AD=2BA\), \(BC=3BA\) y \(BA=7\). Calcula su superficie.
Primero determinamos las dimensiones.
Como \(BA=7\), entonces:
\[ AD=2\cdot BA=2\cdot 7=14 \]
\[ BC=3\cdot BA=3\cdot 7=21 \]
Por lo tanto, las tres dimensiones son \(7\), \(14\) y \(21\).
Ahora aplicamos la fórmula:
\[ S=2ab+2ah+2bh \]
\[ S=2(14\cdot 7)+2(14\cdot 21)+2(7\cdot 21) \]
\[ S=2(98)+2(294)+2(147) \]
\[ S=196+588+294 \]
\[ S=1078 \]
Respuesta:
\[ 1078 \]
Si las medidas están en metros, la superficie es:
\[ 1078\,m^2 \]
Ejercicio 4
La base de un ortoedro es un cuadrado de lado \(8\,m\). Si la superficie es \(608\,m^2\), ¿qué altura tiene?
Como la base es un cuadrado de lado \(8\,m\), entonces:
\[ a=b=8 \]
Usamos la fórmula de superficie:
\[ S=2ab+2ah+2bh \]
Sustituimos:
\[ 608=2(8\cdot 8)+2(8\cdot h)+2(8\cdot h) \]
\[ 608=128+16h+16h \]
\[ 608=128+32h \]
Restamos 128 en ambos lados:
\[ 480=32h \]
Despejamos \(h\):
\[ h=\frac{480}{32}=15 \]
Respuesta:
\[ 15\,m \]
Ejercicio 5
El volumen de un cubo es \(125\,m^3\). ¿Cuánto mide su superficie?
En un cubo, el volumen se calcula con:
\[ V=a^3 \]
Entonces:
\[ a^3=125 \]
\[ a=5 \]
Ahora calculamos la superficie:
\[ S=6a^2 \]
\[ S=6\cdot 5^2 \]
\[ S=6\cdot 25 \]
\[ S=150 \]
Respuesta:
\[ 150\,m^2 \]
Ejercicio 6
La superficie de un ortoedro es \(440\,m^2\). La base es un cuadrado de arista \(10\,m\). ¿Qué volumen tiene el ortoedro?
Como la base es un cuadrado de lado \(10\), entonces:
\[ a=b=10 \]
La fórmula de superficie queda:
\[ S=2ab+2ah+2bh \]
\[ 440=2(10\cdot 10)+2(10\cdot h)+2(10\cdot h) \]
\[ 440=200+20h+20h \]
\[ 440=200+40h \]
\[ 240=40h \]
\[ h=6 \]
Ahora calculamos el volumen:
\[ V=a\cdot b\cdot h \]
\[ V=10\cdot 10\cdot 6 \]
\[ V=600 \]
Respuesta:
\[ 600\,m^3 \]
Ejercicio 7
Para pintar las paredes, el piso y el techo de un lugar con forma de ortoedro de dimensiones \(5\times 10\times 7\,m\), se usan tarros con capacidad para \(25\,m^2\). ¿Cuántos tarros se necesitan?
Como se pintan paredes, piso y techo, se debe calcular la superficie total del ortoedro:
\[ S=2ab+2ah+2bh \]
\[ S=2(5\cdot 10)+2(5\cdot 7)+2(10\cdot 7) \]
\[ S=2(50)+2(35)+2(70) \]
\[ S=100+70+140 \]
\[ S=310 \]
Cada tarro cubre \(25\,m^2\), por lo tanto:
\[ \frac{310}{25}=12{,}4 \]
No se pueden comprar \(12{,}4\) tarros, así que se redondea hacia arriba.
Respuesta:
\[ 13 \text{ tarros} \]
Ejercicio 8
Si duplico las dimensiones de una caja, ¿qué pasa con su superficie?
a) Queda igual
b) Se duplica
c) Se cuadruplica
d) Se multiplica 8 veces
Supongamos que las dimensiones originales son \(a\), \(b\) y \(h\).
Entonces su superficie es:
\[ S=2ab+2ah+2bh \]
Si duplicamos todas las dimensiones, obtenemos \(2a\), \(2b\) y \(2h\).
La nueva superficie será:
\[ S'=2(2a\cdot 2b)+2(2a\cdot 2h)+2(2b\cdot 2h) \]
\[ S'=2(4ab)+2(4ah)+2(4bh) \]
\[ S'=4(2ab+2ah+2bh) \]
\[ S'=4S \]
Por lo tanto, la superficie se multiplica por 4.
Respuesta correcta: c) Se cuadruplica.
Estos cálculos se usan en situaciones reales como pintar una sala, forrar una caja, construir recipientes o estimar capacidad de almacenamiento.
En los ortoedros, la superficie y el volumen describen aspectos distintos de un mismo cuerpo. La superficie indica cuánto recubrimiento se necesita; el volumen, en cambio, indica cuánto espacio ocupa.
2. 29nde abril
Ejercicios de superficie de cuerpos geométricos
Objetivos
- Calcular la superficie total de cubos, ortoedros, prismas rectos y cilindros.
- Identificar correctamente el área basal y el área lateral según el cuerpo geométrico.
- Aplicar fórmulas de superficie en contextos geométricos simples.
Recuerdo general
La superficie total de un cuerpo geométrico corresponde a la suma de las áreas de todas sus caras.
En prismas y cilindros se usa con frecuencia la idea:
\[ S_T=2A_b+A_L \]
donde \(A_b\) es el área de una base y \(A_L\) es el área lateral.
Cubos
Recuerdo de fórmula: cubo
Un cubo tiene 6 caras cuadradas iguales. Si la arista mide \(a\), entonces:
\[ S_T=6a^2 \]
Ejercicio 1: superficie de un cubo
Calcula la superficie total de un cubo cuya arista mide \(5\text{ cm}\).
Para un cubo se usa:
\[ S_T=6a^2 \]
Como \(a=5\), reemplazamos:
\[ S_T=6\cdot 5^2 \]
\[ S_T=6\cdot 25=150 \]
La superficie total del cubo es \(150\text{ cm}^2\).
Ejercicio 2: superficie de un cubo
Calcula la superficie total de un cubo cuya arista mide \(8\text{ m}\).
La fórmula de la superficie total de un cubo es:
\[ S_T=6a^2 \]
Como \(a=8\), se tiene:
\[ S_T=6\cdot 8^2 \]
\[ S_T=6\cdot 64=384 \]
La superficie total del cubo es \(384\text{ m}^2\).
Ejercicio 3: encontrar la superficie a partir de la arista
Una caja con forma de cubo tiene aristas de \(12\text{ cm}\). ¿Cuál es su superficie total?
Como la caja tiene forma de cubo, todas sus caras son cuadrados iguales.
Usamos:
\[ S_T=6a^2 \]
Con \(a=12\):
\[ S_T=6\cdot 12^2 \]
\[ S_T=6\cdot 144=864 \]
La superficie total de la caja es \(864\text{ cm}^2\).
Ortoedros
Recuerdo de fórmula: ortoedro
Un ortoedro es un prisma rectangular. Si sus dimensiones son largo \(l\), ancho \(w\) y alto \(h\), entonces:
\[ S_T=2lw+2lh+2wh \]
También se puede escribir como:
\[ S_T=2(lw+lh+wh) \]
Ejercicio 4: superficie de un ortoedro
Calcula la superficie total de un ortoedro de largo \(10\text{ cm}\), ancho \(4\text{ cm}\) y alto \(6\text{ cm}\).
Usamos la fórmula:
\[ S_T=2(lw+lh+wh) \]
Reemplazamos \(l=10\), \(w=4\) y \(h=6\):
\[ S_T=2(10\cdot4+10\cdot6+4\cdot6) \]
\[ S_T=2(40+60+24) \]
\[ S_T=2\cdot124=248 \]
La superficie total del ortoedro es \(248\text{ cm}^2\).
Ejercicio 5: superficie de una caja rectangular
Una caja rectangular mide \(15\text{ cm}\) de largo, \(8\text{ cm}\) de ancho y \(5\text{ cm}\) de alto. Calcula su superficie total.
La caja tiene forma de ortoedro, por lo tanto:
\[ S_T=2(lw+lh+wh) \]
Reemplazamos:
\[ S_T=2(15\cdot8+15\cdot5+8\cdot5) \]
\[ S_T=2(120+75+40) \]
\[ S_T=2\cdot235=470 \]
La superficie total de la caja es \(470\text{ cm}^2\).
Ejercicio 6: superficie de un ortoedro en metros
Calcula la superficie total de un ortoedro de dimensiones \(3\text{ m}\), \(2\text{ m}\) y \(7\text{ m}\).
Usamos:
\[ S_T=2(lw+lh+wh) \]
Reemplazamos \(l=3\), \(w=2\) y \(h=7\):
\[ S_T=2(3\cdot2+3\cdot7+2\cdot7) \]
\[ S_T=2(6+21+14) \]
\[ S_T=2\cdot41=82 \]
La superficie total del ortoedro es \(82\text{ m}^2\).
Prismas rectos con base triangular
Recuerdo de fórmula: prisma recto
En un prisma recto, la superficie total se calcula con:
\[ S_T=2A_b+P_b\cdot h \]
donde \(A_b\) es el área de la base, \(P_b\) es el perímetro de la base y \(h\) es la altura del prisma.
Si la base es un triángulo, se puede usar:
\[ A_b=\frac{b\cdot h_t}{2} \]
donde \(b\) es la base del triángulo y \(h_t\) es la altura del triángulo.
Ejercicio 7: prisma recto de base triangular
Un prisma recto tiene base triangular. El triángulo de la base tiene lados \(3\text{ cm}\), \(4\text{ cm}\) y \(5\text{ cm}\), y su área basal es \(6\text{ cm}^2\). Si la altura del prisma es \(10\text{ cm}\), calcula su superficie total.
Usamos:
\[ S_T=2A_b+P_b\cdot h \]
El área basal es:
\[ A_b=6 \]
El perímetro de la base es:
\[ P_b=3+4+5=12 \]
La altura del prisma es \(h=10\). Reemplazamos:
\[ S_T=2\cdot6+12\cdot10 \]
\[ S_T=12+120=132 \]
La superficie total del prisma es \(132\text{ cm}^2\).
Ejercicio 8: prisma triangular con área basal calculada
La base de un prisma recto es un triángulo de base \(8\text{ cm}\) y altura \(5\text{ cm}\). Los lados del triángulo miden \(8\text{ cm}\), \(6\text{ cm}\) y \(6\text{ cm}\). Si la altura del prisma es \(12\text{ cm}\), calcula la superficie total.
Primero calculamos el área basal:
\[ A_b=\frac{b\cdot h_t}{2} \]
\[ A_b=\frac{8\cdot5}{2}=\frac{40}{2}=20 \]
El perímetro de la base es:
\[ P_b=8+6+6=20 \]
Ahora usamos:
\[ S_T=2A_b+P_b\cdot h \]
\[ S_T=2\cdot20+20\cdot12 \]
\[ S_T=40+240=280 \]
La superficie total del prisma es \(280\text{ cm}^2\).
Ejercicio 9: prisma triangular en metros
Un prisma recto tiene base triangular de lados \(5\text{ m}\), \(5\text{ m}\) y \(6\text{ m}\). El área basal es \(12\text{ m}^2\) y la altura del prisma es \(9\text{ m}\). Calcula su superficie total.
La fórmula para un prisma recto es:
\[ S_T=2A_b+P_b\cdot h \]
Calculamos el perímetro basal:
\[ P_b=5+5+6=16 \]
Reemplazamos \(A_b=12\), \(P_b=16\) y \(h=9\):
\[ S_T=2\cdot12+16\cdot9 \]
\[ S_T=24+144=168 \]
La superficie total del prisma es \(168\text{ m}^2\).
Prismas rectos con base rectangular o cuadrada
Recuerdo de fórmula: prismas con base rectangular o cuadrada
Para cualquier prisma recto:
\[ S_T=2A_b+P_b\cdot h \]
Si la base es un rectángulo de largo \(l\) y ancho \(w\):
\[ A_b=l\cdot w \qquad P_b=2l+2w \]
Si la base es un cuadrado de lado \(a\):
\[ A_b=a^2 \qquad P_b=4a \]
Ejercicio 10: prisma recto de base rectangular
Un prisma recto tiene base rectangular de largo \(7\text{ cm}\) y ancho \(4\text{ cm}\). Si la altura del prisma es \(10\text{ cm}\), calcula su superficie total.
Calculamos el área basal:
\[ A_b=7\cdot4=28 \]
Calculamos el perímetro basal:
\[ P_b=2\cdot7+2\cdot4=14+8=22 \]
Usamos:
\[ S_T=2A_b+P_b\cdot h \]
\[ S_T=2\cdot28+22\cdot10 \]
\[ S_T=56+220=276 \]
La superficie total del prisma es \(276\text{ cm}^2\).
Ejercicio 11: prisma recto de base cuadrada
Un prisma recto tiene base cuadrada de lado \(6\text{ cm}\). Si la altura del prisma es \(15\text{ cm}\), calcula su superficie total.
Como la base es cuadrada:
\[ A_b=6^2=36 \]
\[ P_b=4\cdot6=24 \]
Usamos la fórmula:
\[ S_T=2A_b+P_b\cdot h \]
\[ S_T=2\cdot36+24\cdot15 \]
\[ S_T=72+360=432 \]
La superficie total del prisma es \(432\text{ cm}^2\).
Ejercicio 12: prisma rectangular en metros
Un prisma recto tiene base rectangular de \(9\text{ m}\) por \(3\text{ m}\). Su altura es \(5\text{ m}\). Calcula su superficie total.
Área basal:
\[ A_b=9\cdot3=27 \]
Perímetro basal:
\[ P_b=2\cdot9+2\cdot3=18+6=24 \]
Superficie total:
\[ S_T=2A_b+P_b\cdot h \]
\[ S_T=2\cdot27+24\cdot5 \]
\[ S_T=54+120=174 \]
La superficie total del prisma es \(174\text{ m}^2\).
Prismas rectos con base de más de 4 lados
Recuerdo de fórmula: prismas con bases de más de 4 lados
Cuando la base tiene más de 4 lados y el área basal está dada, se usa directamente:
\[ S_T=2A_b+P_b\cdot h \]
donde \(A_b\) es el área de una base, \(P_b\) es el perímetro de la base y \(h\) es la altura del prisma.
Ejercicio 13: prisma recto de base pentagonal
Un prisma recto tiene base pentagonal. Su área basal es \(35\text{ cm}^2\), el perímetro de la base es \(30\text{ cm}\) y la altura del prisma es \(8\text{ cm}\). Calcula su superficie total.
Usamos:
\[ S_T=2A_b+P_b\cdot h \]
Reemplazamos \(A_b=35\), \(P_b=30\) y \(h=8\):
\[ S_T=2\cdot35+30\cdot8 \]
\[ S_T=70+240=310 \]
La superficie total del prisma es \(310\text{ cm}^2\).
Ejercicio 14: prisma recto de base hexagonal
Un prisma recto tiene base hexagonal. El área basal es \(54\text{ cm}^2\), el perímetro basal es \(36\text{ cm}\) y la altura del prisma es \(11\text{ cm}\). Calcula su superficie total.
La fórmula para un prisma recto es:
\[ S_T=2A_b+P_b\cdot h \]
Reemplazamos:
\[ S_T=2\cdot54+36\cdot11 \]
\[ S_T=108+396=504 \]
La superficie total del prisma es \(504\text{ cm}^2\).
Ejercicio 15: prisma recto de base octagonal
Un prisma recto tiene base octagonal. Su área basal es \(120\text{ m}^2\), el perímetro de la base es \(48\text{ m}\) y la altura del prisma es \(6\text{ m}\). Calcula su superficie total.
Usamos:
\[ S_T=2A_b+P_b\cdot h \]
Reemplazamos los datos:
\[ S_T=2\cdot120+48\cdot6 \]
\[ S_T=240+288=528 \]
La superficie total del prisma es \(528\text{ m}^2\).
Cilindros
Recuerdo de fórmula: cilindro
La superficie total de un cilindro se calcula sumando las dos bases circulares y la superficie lateral:
\[ S_T=2\pi r^2+2\pi rh \]
También se puede factorizar como:
\[ S_T=2\pi r(r+h) \]
donde \(r\) es el radio de la base y \(h\) es la altura del cilindro.
Ejercicio 16: superficie de un cilindro
Calcula la superficie total de un cilindro de radio \(4\text{ cm}\) y altura \(10\text{ cm}\). Usa \(\pi\) en el resultado.
Usamos:
\[ S_T=2\pi r^2+2\pi rh \]
Reemplazamos \(r=4\) y \(h=10\):
\[ S_T=2\pi\cdot4^2+2\pi\cdot4\cdot10 \]
\[ S_T=2\pi\cdot16+80\pi \]
\[ S_T=32\pi+80\pi=112\pi \]
La superficie total del cilindro es \(112\pi\text{ cm}^2\).
Ejercicio 17: cilindro con radio y altura
Un cilindro tiene radio \(3\text{ m}\) y altura \(7\text{ m}\). Calcula su superficie total. Usa \(\pi\) en el resultado.
La fórmula es:
\[ S_T=2\pi r^2+2\pi rh \]
Reemplazamos \(r=3\) y \(h=7\):
\[ S_T=2\pi\cdot3^2+2\pi\cdot3\cdot7 \]
\[ S_T=18\pi+42\pi=60\pi \]
La superficie total del cilindro es \(60\pi\text{ m}^2\).
Ejercicio 18: cilindro con diámetro dado
Un cilindro tiene diámetro \(12\text{ cm}\) y altura \(9\text{ cm}\). Calcula su superficie total. Usa \(\pi\) en el resultado.
Primero encontramos el radio. Como el diámetro es el doble del radio:
\[ r=\frac{12}{2}=6 \]
Usamos la fórmula:
\[ S_T=2\pi r^2+2\pi rh \]
Reemplazamos \(r=6\) y \(h=9\):
\[ S_T=2\pi\cdot6^2+2\pi\cdot6\cdot9 \]
\[ S_T=72\pi+108\pi=180\pi \]
La superficie total del cilindro es \(180\pi\text{ cm}^2\).
Ejercicio 19: cilindro con aproximación decimal
Un cilindro tiene radio \(5\text{ cm}\) y altura \(8\text{ cm}\). Calcula su superficie total usando \(\pi\approx3{,}14\).
Usamos:
\[ S_T=2\pi r^2+2\pi rh \]
Reemplazamos \(r=5\), \(h=8\) y \(\pi\approx3{,}14\):
\[ S_T=2\cdot3{,}14\cdot5^2+2\cdot3{,}14\cdot5\cdot8 \]
\[ S_T=2\cdot3{,}14\cdot25+2\cdot3{,}14\cdot40 \]
\[ S_T=157+251{,}2=408{,}2 \]
La superficie total del cilindro es aproximadamente \(408{,}2\text{ cm}^2\).
Ejercicio 20: problema mixto
Compara la superficie total de un cubo de arista \(6\text{ cm}\) con la de un cilindro de radio \(3\text{ cm}\) y altura \(6\text{ cm}\). Usa \(\pi\approx3{,}14\). ¿Cuál tiene mayor superficie?
Primero calculamos la superficie del cubo:
\[ S_T=6a^2 \]
\[ S_T=6\cdot6^2=6\cdot36=216 \]
El cubo tiene superficie \(216\text{ cm}^2\).
Ahora calculamos la superficie del cilindro:
\[ S_T=2\pi r^2+2\pi rh \]
Con \(r=3\), \(h=6\) y \(\pi\approx3{,}14\):
\[ S_T=2\cdot3{,}14\cdot3^2+2\cdot3{,}14\cdot3\cdot6 \]
\[ S_T=2\cdot3{,}14\cdot9+2\cdot3{,}14\cdot18 \]
\[ S_T=56{,}52+113{,}04=169{,}56 \]
El cilindro tiene superficie aproximada \(169{,}56\text{ cm}^2\).
Comparamos:
\[ 216>169{,}56 \]
El cubo tiene mayor superficie total.
3. 30 abril
Ejercicios inversos de superficie de cuerpos geométricos
Objetivos
- Resolver ejercicios inversos de superficie total en cubos, ortoedros, prismas rectos y cilindros.
- Determinar medidas faltantes a partir de la superficie total y otros datos conocidos.
- Aplicar fórmulas de superficie junto con ecuaciones simples.
Recuerdo general
En un ejercicio inverso no se pide calcular directamente la superficie, sino encontrar una medida desconocida a partir de la superficie total.
La estrategia general es:
- Identificar la fórmula correspondiente.
- Reemplazar los datos conocidos.
- Plantear una ecuación.
- Resolver la ecuación para encontrar la medida faltante.
Error común
No basta con reemplazar datos: en estos ejercicios aparece una incógnita. Por eso, después de usar la fórmula, hay que resolver una ecuación.
Cubos
Recuerdo de fórmula: cubo
Si un cubo tiene arista \(a\), su superficie total es:
\[ S_T=6a^2 \]
Si se conoce \(S_T\), se puede encontrar la arista resolviendo:
\[ 6a^2=S_T \]
Ejercicio 1: encontrar la arista de un cubo
Un cubo tiene una superficie total de \(216\text{ cm}^2\). ¿Cuánto mide su arista?
Usamos la fórmula:
\[ S_T=6a^2 \]
Como la superficie total es \(216\text{ cm}^2\), reemplazamos:
\[ 216=6a^2 \]
Dividimos por 6:
\[ a^2=\frac{216}{6}=36 \]
Buscamos el número positivo cuyo cuadrado es 36:
\[ a=6 \]
La arista del cubo mide \(6\text{ cm}\).
Ejercicio 2: superficie conocida de un cubo
La superficie total de un cubo es \(486\text{ m}^2\). Calcula la medida de su arista.
Para un cubo:
\[ S_T=6a^2 \]
Reemplazamos \(S_T=486\):
\[ 486=6a^2 \]
Dividimos por 6:
\[ a^2=\frac{486}{6}=81 \]
Entonces:
\[ a=9 \]
La arista del cubo mide \(9\text{ m}\).
Ejercicio 3: cubo con superficie total dada
Un dado gigante tiene forma de cubo y su superficie total es \(864\text{ cm}^2\). ¿Cuánto mide cada arista?
Como el dado tiene forma de cubo, usamos:
\[ S_T=6a^2 \]
Reemplazamos:
\[ 864=6a^2 \]
Dividimos ambos lados por 6:
\[ a^2=144 \]
Por lo tanto:
\[ a=12 \]
Cada arista mide \(12\text{ cm}\).
Ortoedros
Recuerdo de fórmula: ortoedro
Un ortoedro tiene largo \(l\), ancho \(w\) y alto \(h\). Su superficie total es:
\[ S_T=2(lw+lh+wh) \]
En ejercicios inversos, una de las dimensiones puede ser desconocida.
Ejercicio 4: encontrar la altura de un ortoedro
Un ortoedro tiene largo \(10\text{ cm}\), ancho \(4\text{ cm}\) y superficie total \(248\text{ cm}^2\). ¿Cuál es su altura?
Usamos la fórmula:
\[ S_T=2(lw+lh+wh) \]
Reemplazamos \(S_T=248\), \(l=10\) y \(w=4\):
\[ 248=2(10\cdot4+10h+4h) \]
Calculamos y reducimos:
\[ 248=2(40+14h) \]
\[ 248=80+28h \]
Restamos 80:
\[ 168=28h \]
Dividimos por 28:
\[ h=6 \]
La altura del ortoedro es \(6\text{ cm}\).
Ejercicio 5: encontrar el ancho de una caja rectangular
Una caja rectangular tiene largo \(12\text{ cm}\), alto \(5\text{ cm}\) y superficie total \(376\text{ cm}^2\). ¿Cuál es su ancho?
Usamos:
\[ S_T=2(lw+lh+wh) \]
Reemplazamos \(S_T=376\), \(l=12\) y \(h=5\):
\[ 376=2(12w+12\cdot5+5w) \]
\[ 376=2(12w+60+5w) \]
\[ 376=2(17w+60) \]
\[ 376=34w+120 \]
Restamos 120:
\[ 256=34w \]
Dividimos por 34:
\[ w=\frac{256}{34}=\frac{128}{17} \]
El ancho de la caja es \(\frac{128}{17}\text{ cm}\), aproximadamente \(7{,}53\text{ cm}\).
Ejercicio 6: ortoedro con medida faltante
Un ortoedro tiene ancho \(3\text{ m}\), alto \(7\text{ m}\) y superficie total \(122\text{ m}^2\). ¿Cuál es su largo?
La fórmula es:
\[ S_T=2(lw+lh+wh) \]
Reemplazamos \(S_T=122\), \(w=3\) y \(h=7\):
\[ 122=2(3l+7l+3\cdot7) \]
\[ 122=2(10l+21) \]
\[ 122=20l+42 \]
Restamos 42:
\[ 80=20l \]
Dividimos por 20:
\[ l=4 \]
El largo del ortoedro es \(4\text{ m}\).
Prismas rectos con base triangular
Recuerdo de fórmula: prisma recto
Para un prisma recto:
\[ S_T=2A_b+P_b\cdot h \]
donde \(A_b\) es el área basal, \(P_b\) es el perímetro de la base y \(h\) es la altura del prisma.
Si se conoce la superficie total y se pide la altura del prisma, se despeja \(h\).
Ejercicio 7: encontrar la altura de un prisma triangular
Un prisma recto tiene base triangular. El área basal es \(6\text{ cm}^2\), el perímetro de la base es \(12\text{ cm}\) y la superficie total es \(132\text{ cm}^2\). ¿Cuál es la altura del prisma?
Usamos la fórmula:
\[ S_T=2A_b+P_b\cdot h \]
Reemplazamos \(S_T=132\), \(A_b=6\) y \(P_b=12\):
\[ 132=2\cdot6+12h \]
\[ 132=12+12h \]
Restamos 12:
\[ 120=12h \]
Dividimos por 12:
\[ h=10 \]
La altura del prisma es \(10\text{ cm}\).
Ejercicio 8: encontrar el perímetro basal
Un prisma recto de base triangular tiene área basal \(20\text{ cm}^2\), altura \(12\text{ cm}\) y superficie total \(280\text{ cm}^2\). ¿Cuál es el perímetro de la base?
Usamos:
\[ S_T=2A_b+P_b\cdot h \]
Reemplazamos \(S_T=280\), \(A_b=20\) y \(h=12\):
\[ 280=2\cdot20+P_b\cdot12 \]
\[ 280=40+12P_b \]
Restamos 40:
\[ 240=12P_b \]
Dividimos por 12:
\[ P_b=20 \]
El perímetro de la base es \(20\text{ cm}\).
Ejercicio 9: encontrar el área basal
Un prisma recto de base triangular tiene perímetro basal \(16\text{ m}\), altura \(9\text{ m}\) y superficie total \(168\text{ m}^2\). ¿Cuál es el área basal?
Usamos:
\[ S_T=2A_b+P_b\cdot h \]
Reemplazamos \(S_T=168\), \(P_b=16\) y \(h=9\):
\[ 168=2A_b+16\cdot9 \]
\[ 168=2A_b+144 \]
Restamos 144:
\[ 24=2A_b \]
Dividimos por 2:
\[ A_b=12 \]
El área basal es \(12\text{ m}^2\).
Prismas rectos con base rectangular o cuadrada
Recuerdo de fórmula: prismas con bases cuadriláteras
Para un prisma recto:
\[ S_T=2A_b+P_b\cdot h \]
Si la base es rectangular:
\[ A_b=l\cdot w \qquad P_b=2l+2w \]
Si la base es cuadrada:
\[ A_b=a^2 \qquad P_b=4a \]
Ejercicio 10: encontrar la altura de un prisma rectangular
Un prisma recto tiene base rectangular de \(6\text{ cm}\) por \(4\text{ cm}\). Su superficie total es \(188\text{ cm}^2\). ¿Cuál es la altura del prisma?
Primero calculamos el área basal:
\[ A_b=6\cdot4=24 \]
Calculamos el perímetro basal:
\[ P_b=2\cdot6+2\cdot4=12+8=20 \]
Usamos:
\[ S_T=2A_b+P_b\cdot h \]
Reemplazamos:
\[ 188=2\cdot24+20h \]
\[ 188=48+20h \]
Restamos 48:
\[ 140=20h \]
Dividimos por 20:
\[ h=7 \]
La altura del prisma es \(7\text{ cm}\).
Ejercicio 11: encontrar la altura de un prisma de base cuadrada
Un prisma recto tiene base cuadrada de lado \(5\text{ cm}\) y superficie total \(250\text{ cm}^2\). ¿Cuál es la altura del prisma?
Como la base es cuadrada:
\[ A_b=5^2=25 \]
\[ P_b=4\cdot5=20 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ S_T=2A_b+P_b\cdot h \]
Reemplazamos:
\[ 250=2\cdot25+20h \]
\[ 250=50+20h \]
Restamos 50:
\[ 200=20h \]
Dividimos por 20:
\[ h=10 \]
La altura del prisma es \(10\text{ cm}\).
Ejercicio 12: encontrar el perímetro de la base rectangular
Un prisma recto tiene área basal \(32\text{ cm}^2\), altura \(9\text{ cm}\) y superficie total \(244\text{ cm}^2\). ¿Cuál es el perímetro de su base?
Usamos la fórmula:
\[ S_T=2A_b+P_b\cdot h \]
Reemplazamos los datos:
\[ 244=2\cdot32+P_b\cdot9 \]
\[ 244=64+9P_b \]
Restamos 64:
\[ 180=9P_b \]
Dividimos por 9:
\[ P_b=20 \]
El perímetro de la base es \(20\text{ cm}\).
Prismas rectos con base de más de 4 lados
Recuerdo de fórmula: bases de más de 4 lados
Cuando la base tiene más de 4 lados, y el área basal está dada, se usa directamente:
\[ S_T=2A_b+P_b\cdot h \]
En estos ejercicios se puede despejar \(A_b\), \(P_b\) o \(h\), según la medida que falte.
Ejercicio 13: encontrar la altura de un prisma pentagonal
Un prisma recto tiene base pentagonal. Su área basal es \(35\text{ cm}^2\), su perímetro basal es \(30\text{ cm}\) y su superficie total es \(310\text{ cm}^2\). ¿Cuál es la altura del prisma?
Usamos:
\[ S_T=2A_b+P_b\cdot h \]
Reemplazamos:
\[ 310=2\cdot35+30h \]
\[ 310=70+30h \]
Restamos 70:
\[ 240=30h \]
Dividimos por 30:
\[ h=8 \]
La altura del prisma es \(8\text{ cm}\).
Ejercicio 14: encontrar el perímetro basal de un prisma hexagonal
Un prisma recto tiene base hexagonal. Su área basal es \(54\text{ cm}^2\), su altura es \(11\text{ cm}\) y su superficie total es \(504\text{ cm}^2\). ¿Cuál es el perímetro basal?
La fórmula es:
\[ S_T=2A_b+P_b\cdot h \]
Reemplazamos \(S_T=504\), \(A_b=54\) y \(h=11\):
\[ 504=2\cdot54+11P_b \]
\[ 504=108+11P_b \]
Restamos 108:
\[ 396=11P_b \]
Dividimos por 11:
\[ P_b=36 \]
El perímetro basal es \(36\text{ cm}\).
Ejercicio 15: encontrar el área basal de un prisma octagonal
Un prisma recto tiene base octagonal. Su perímetro basal es \(48\text{ m}\), su altura es \(6\text{ m}\) y su superficie total es \(528\text{ m}^2\). ¿Cuál es el área basal?
Usamos:
\[ S_T=2A_b+P_b\cdot h \]
Reemplazamos:
\[ 528=2A_b+48\cdot6 \]
\[ 528=2A_b+288 \]
Restamos 288:
\[ 240=2A_b \]
Dividimos por 2:
\[ A_b=120 \]
El área basal es \(120\text{ m}^2\).
Cilindros
Recuerdo de fórmula: cilindro
La superficie total de un cilindro es:
\[ S_T=2\pi r^2+2\pi rh \]
También puede escribirse como:
\[ S_T=2\pi r(r+h) \]
En ejercicios inversos, si se conoce el radio y la superficie total, se puede encontrar la altura.
Ejercicio 16: encontrar la altura de un cilindro
Un cilindro tiene radio \(4\text{ cm}\) y superficie total \(112\pi\text{ cm}^2\). ¿Cuál es su altura?
Usamos:
\[ S_T=2\pi r^2+2\pi rh \]
Reemplazamos \(S_T=112\pi\) y \(r=4\):
\[ 112\pi=2\pi\cdot4^2+2\pi\cdot4h \]
\[ 112\pi=32\pi+8\pi h \]
Restamos \(32\pi\):
\[ 80\pi=8\pi h \]
Dividimos por \(8\pi\):
\[ h=10 \]
La altura del cilindro es \(10\text{ cm}\).
Ejercicio 17: cilindro con superficie total dada
Un cilindro tiene radio \(3\text{ m}\) y superficie total \(60\pi\text{ m}^2\). ¿Cuál es su altura?
La fórmula es:
\[ S_T=2\pi r^2+2\pi rh \]
Reemplazamos:
\[ 60\pi=2\pi\cdot3^2+2\pi\cdot3h \]
\[ 60\pi=18\pi+6\pi h \]
Restamos \(18\pi\):
\[ 42\pi=6\pi h \]
Dividimos por \(6\pi\):
\[ h=7 \]
La altura del cilindro es \(7\text{ m}\).
Ejercicio 18: encontrar altura con diámetro dado
Un cilindro tiene diámetro \(12\text{ cm}\) y superficie total \(180\pi\text{ cm}^2\). ¿Cuál es su altura?
Primero encontramos el radio:
\[ r=\frac{12}{2}=6 \]
Usamos:
\[ S_T=2\pi r^2+2\pi rh \]
Reemplazamos \(S_T=180\pi\) y \(r=6\):
\[ 180\pi=2\pi\cdot6^2+2\pi\cdot6h \]
\[ 180\pi=72\pi+12\pi h \]
Restamos \(72\pi\):
\[ 108\pi=12\pi h \]
Dividimos por \(12\pi\):
\[ h=9 \]
La altura del cilindro es \(9\text{ cm}\).
Ejercicio 19: encontrar altura usando aproximación decimal
Un cilindro tiene radio \(5\text{ cm}\) y superficie total aproximada \(408{,}2\text{ cm}^2\). Usando \(\pi\approx3{,}14\), calcula su altura.
Usamos:
\[ S_T=2\pi r^2+2\pi rh \]
Reemplazamos \(S_T=408{,}2\), \(r=5\) y \(\pi\approx3{,}14\):
\[ 408{,}2=2\cdot3{,}14\cdot5^2+2\cdot3{,}14\cdot5h \]
\[ 408{,}2=157+31{,}4h \]
Restamos 157:
\[ 251{,}2=31{,}4h \]
Dividimos por \(31{,}4\):
\[ h=8 \]
La altura del cilindro es \(8\text{ cm}\).
Ejercicios mixtos
Estrategia para ejercicios mixtos
Antes de resolver, identifica el cuerpo geométrico y escribe su fórmula. Luego decide qué dato falta y despeja esa incógnita.
Ejercicio 20: elegir la fórmula correcta
Un cuerpo tiene forma de prisma recto con base rectangular de \(8\text{ cm}\) por \(3\text{ cm}\). Su superficie total es \(224\text{ cm}^2\). ¿Cuál es la altura del prisma?
Como es un prisma recto, usamos:
\[ S_T=2A_b+P_b\cdot h \]
Calculamos el área basal:
\[ A_b=8\cdot3=24 \]
Calculamos el perímetro basal:
\[ P_b=2\cdot8+2\cdot3=16+6=22 \]
Reemplazamos:
\[ 224=2\cdot24+22h \]
\[ 224=48+22h \]
Restamos 48:
\[ 176=22h \]
Dividimos por 22:
\[ h=8 \]
La altura del prisma es \(8\text{ cm}\).
Ejercicio 21: comparar medidas faltantes
Un cubo tiene superficie total \(600\text{ cm}^2\). Un cilindro tiene radio \(5\text{ cm}\) y superficie total \(150\pi\text{ cm}^2\). Calcula la arista del cubo y la altura del cilindro.
Primero calculamos la arista del cubo:
\[ S_T=6a^2 \]
\[ 600=6a^2 \]
\[ a^2=100 \]
\[ a=10 \]
La arista del cubo mide \(10\text{ cm}\).
Ahora calculamos la altura del cilindro:
\[ S_T=2\pi r^2+2\pi rh \]
Reemplazamos \(S_T=150\pi\) y \(r=5\):
\[ 150\pi=2\pi\cdot5^2+2\pi\cdot5h \]
\[ 150\pi=50\pi+10\pi h \]
Restamos \(50\pi\):
\[ 100\pi=10\pi h \]
Dividimos por \(10\pi\):
\[ h=10 \]
La arista del cubo mide \(10\text{ cm}\) y la altura del cilindro mide \(10\text{ cm}\).
Ejercicio 22: problema inverso con prisma y cilindro
Un prisma recto de base cuadrada tiene lado basal \(4\text{ cm}\) y superficie total \(160\text{ cm}^2\). Un cilindro tiene radio \(4\text{ cm}\) y superficie total \(96\pi\text{ cm}^2\). Calcula la altura de cada cuerpo.
Para el prisma de base cuadrada:
\[ A_b=4^2=16 \]
\[ P_b=4\cdot4=16 \]
Usamos:
\[ S_T=2A_b+P_b\cdot h \]
\[ 160=2\cdot16+16h \]
\[ 160=32+16h \]
\[ 128=16h \]
\[ h=8 \]
La altura del prisma es \(8\text{ cm}\).
Para el cilindro:
\[ S_T=2\pi r^2+2\pi rh \]
\[ 96\pi=2\pi\cdot4^2+2\pi\cdot4h \]
\[ 96\pi=32\pi+8\pi h \]
\[ 64\pi=8\pi h \]
\[ h=8 \]
Ambos cuerpos tienen altura \(8\text{ cm}\).
Ejercicio 23: desafío de cierre
Un prisma recto tiene área basal \(45\text{ cm}^2\), altura \(10\text{ cm}\) y superficie total \(390\text{ cm}^2\). ¿Cuál es el perímetro de su base?
Usamos la fórmula general del prisma recto:
\[ S_T=2A_b+P_b\cdot h \]
Reemplazamos \(S_T=390\), \(A_b=45\) y \(h=10\):
\[ 390=2\cdot45+10P_b \]
\[ 390=90+10P_b \]
Restamos 90:
\[ 300=10P_b \]
Dividimos por 10:
\[ P_b=30 \]
El perímetro de la base es \(30\text{ cm}\).
4. Superficie de la esfera
Objetivos
- Reconocer la fórmula de la superficie de una esfera.
- Calcular la superficie de una esfera a partir de su radio o diámetro.
- Resolver ejercicios directos e inversos relacionados con la superficie esférica.
¿Qué es la superficie de una esfera?
La superficie de una esfera corresponde al área total de su parte exterior.
Por ejemplo, si pensamos en una pelota, la superficie es toda la parte que se podría cubrir con pintura, papel o material exterior.
Fórmula de la superficie de una esfera
Si una esfera tiene radio \(r\), su superficie total se calcula con:
\[ S=4\pi r^2 \]
donde:
- \(S\) es la superficie de la esfera.
- \(r\) es el radio de la esfera.
- \(\pi\) puede dejarse indicado o aproximarse como \(3{,}14\), según indique el ejercicio.
Radio y diámetro
El diámetro es el doble del radio:
\[ d=2r \]
Por lo tanto, si el ejercicio entrega el diámetro, primero se debe calcular el radio:
\[ r=\frac{d}{2} \]
Ejemplo 1: superficie con radio dado
Calcula la superficie de una esfera de radio \(5\text{ cm}\).
Usamos:
\[ S=4\pi r^2 \]
Reemplazamos \(r=5\):
\[ S=4\pi\cdot 5^2 \]
\[ S=4\pi\cdot25=100\pi \]
La superficie de la esfera es \(100\pi\text{ cm}^2\).
Ejemplo 2: superficie con diámetro dado
Calcula la superficie de una esfera de diámetro \(12\text{ cm}\).
Primero calculamos el radio:
\[ r=\frac{12}{2}=6 \]
Luego usamos la fórmula:
\[ S=4\pi r^2 \]
\[ S=4\pi\cdot6^2 \]
\[ S=4\pi\cdot36=144\pi \]
La superficie de la esfera es \(144\pi\text{ cm}^2\).
Ejercicios directos
Recuerdo antes de resolver
Para calcular la superficie de una esfera se usa:
\[ S=4\pi r^2 \]
Si se entrega el diámetro, primero se calcula el radio con:
\[ r=\frac{d}{2} \]
Ejercicio 1: radio dado
Calcula la superficie de una esfera de radio \(3\text{ cm}\). Deja el resultado en función de \(\pi\).
Usamos la fórmula:
\[ S=4\pi r^2 \]
Como \(r=3\), reemplazamos:
\[ S=4\pi\cdot3^2 \]
\[ S=4\pi\cdot9=36\pi \]
La superficie de la esfera es \(36\pi\text{ cm}^2\).
Ejercicio 2: radio dado
Calcula la superficie de una esfera de radio \(7\text{ m}\). Deja el resultado en función de \(\pi\).
Aplicamos:
\[ S=4\pi r^2 \]
Reemplazamos \(r=7\):
\[ S=4\pi\cdot7^2 \]
\[ S=4\pi\cdot49=196\pi \]
La superficie de la esfera es \(196\pi\text{ m}^2\).
Ejercicio 3: radio dado
Una pelota tiene forma de esfera y radio \(10\text{ cm}\). Calcula su superficie exterior. Deja el resultado en función de \(\pi\).
La pelota tiene forma esférica, por lo tanto:
\[ S=4\pi r^2 \]
Como \(r=10\):
\[ S=4\pi\cdot10^2 \]
\[ S=4\pi\cdot100=400\pi \]
La superficie exterior de la pelota es \(400\pi\text{ cm}^2\).
Ejercicio 4: diámetro dado
Calcula la superficie de una esfera cuyo diámetro mide \(8\text{ cm}\). Deja el resultado en función de \(\pi\).
Primero calculamos el radio:
\[ r=\frac{d}{2}=\frac{8}{2}=4 \]
Ahora usamos la fórmula:
\[ S=4\pi r^2 \]
\[ S=4\pi\cdot4^2 \]
\[ S=4\pi\cdot16=64\pi \]
La superficie de la esfera es \(64\pi\text{ cm}^2\).
Ejercicio 5: diámetro dado
Una esfera tiene diámetro \(18\text{ m}\). Calcula su superficie. Deja el resultado en función de \(\pi\).
Calculamos el radio:
\[ r=\frac{18}{2}=9 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ S=4\pi r^2 \]
\[ S=4\pi\cdot9^2 \]
\[ S=4\pi\cdot81=324\pi \]
La superficie de la esfera es \(324\pi\text{ m}^2\).
Ejercicio 6: aproximación decimal
Calcula la superficie de una esfera de radio \(6\text{ cm}\), usando \(\pi\approx3{,}14\).
Usamos:
\[ S=4\pi r^2 \]
Reemplazamos \(r=6\) y \(\pi\approx3{,}14\):
\[ S=4\cdot3{,}14\cdot6^2 \]
\[ S=4\cdot3{,}14\cdot36 \]
\[ S=452{,}16 \]
La superficie de la esfera es aproximadamente \(452{,}16\text{ cm}^2\).
Ejercicio 7: aproximación decimal con diámetro
Una esfera tiene diámetro \(20\text{ cm}\). Calcula su superficie usando \(\pi\approx3{,}14\).
Primero calculamos el radio:
\[ r=\frac{20}{2}=10 \]
Luego:
\[ S=4\pi r^2 \]
\[ S=4\cdot3{,}14\cdot10^2 \]
\[ S=4\cdot3{,}14\cdot100 \]
\[ S=1256 \]
La superficie de la esfera es aproximadamente \(1256\text{ cm}^2\).
Ejercicios inversos
Recuerdo para ejercicios inversos
Si se conoce la superficie de la esfera y se pide el radio, se parte de:
\[ S=4\pi r^2 \]
Luego se despeja \(r\):
\[ r^2=\frac{S}{4\pi} \]
Finalmente, se busca el valor positivo de \(r\), porque una longitud no puede ser negativa.
Ejercicio 8: encontrar el radio
La superficie de una esfera es \(100\pi\text{ cm}^2\). ¿Cuál es su radio?
Usamos:
\[ S=4\pi r^2 \]
Reemplazamos \(S=100\pi\):
\[ 100\pi=4\pi r^2 \]
Dividimos por \(4\pi\):
\[ r^2=\frac{100\pi}{4\pi}=25 \]
Entonces:
\[ r=5 \]
El radio de la esfera mide \(5\text{ cm}\).
Ejercicio 9: encontrar el radio
Una esfera tiene superficie \(256\pi\text{ m}^2\). Calcula su radio.
Partimos de la fórmula:
\[ S=4\pi r^2 \]
Reemplazamos:
\[ 256\pi=4\pi r^2 \]
Dividimos por \(4\pi\):
\[ r^2=\frac{256\pi}{4\pi}=64 \]
Por lo tanto:
\[ r=8 \]
El radio de la esfera mide \(8\text{ m}\).
Ejercicio 10: encontrar el diámetro
La superficie de una esfera es \(144\pi\text{ cm}^2\). ¿Cuál es su diámetro?
Primero encontramos el radio usando:
\[ S=4\pi r^2 \]
Reemplazamos \(S=144\pi\):
\[ 144\pi=4\pi r^2 \]
Dividimos por \(4\pi\):
\[ r^2=\frac{144\pi}{4\pi}=36 \]
\[ r=6 \]
El diámetro es el doble del radio:
\[ d=2r=2\cdot6=12 \]
El diámetro de la esfera mide \(12\text{ cm}\).
Ejercicio 11: encontrar el radio con aproximación decimal
Una esfera tiene superficie aproximada \(314\text{ cm}^2\). Usando \(\pi\approx3{,}14\), calcula su radio.
Usamos:
\[ S=4\pi r^2 \]
Reemplazamos \(S=314\) y \(\pi\approx3{,}14\):
\[ 314=4\cdot3{,}14\cdot r^2 \]
\[ 314=12{,}56r^2 \]
Dividimos por \(12{,}56\):
\[ r^2=\frac{314}{12{,}56}=25 \]
\[ r=5 \]
El radio de la esfera mide \(5\text{ cm}\).
Problemas de aplicación
Estrategia
En problemas de contexto, primero identifica si el dato entregado es radio o diámetro. Luego aplica la fórmula de superficie de la esfera.
Ejercicio 12: pelota
Una pelota esférica tiene radio \(11\text{ cm}\). ¿Cuánta superficie exterior tiene? Deja el resultado en función de \(\pi\).
Como la pelota tiene forma de esfera:
\[ S=4\pi r^2 \]
Reemplazamos \(r=11\):
\[ S=4\pi\cdot11^2 \]
\[ S=4\pi\cdot121=484\pi \]
La superficie exterior de la pelota es \(484\pi\text{ cm}^2\).
Ejercicio 13: esfera decorativa
Una esfera decorativa tiene diámetro \(30\text{ cm}\). Calcula su superficie usando \(\pi\approx3{,}14\).
Como se entrega el diámetro, primero calculamos el radio:
\[ r=\frac{30}{2}=15 \]
Luego usamos:
\[ S=4\pi r^2 \]
\[ S=4\cdot3{,}14\cdot15^2 \]
\[ S=4\cdot3{,}14\cdot225 \]
\[ S=2826 \]
La superficie de la esfera decorativa es aproximadamente \(2826\text{ cm}^2\).
Ejercicio 14: pintura de una esfera
Se quiere pintar una esfera metálica de radio \(2\text{ m}\). ¿Qué superficie se debe pintar? Usa \(\pi\approx3{,}14\).
Se debe pintar toda la superficie exterior de la esfera:
\[ S=4\pi r^2 \]
Reemplazamos \(r=2\):
\[ S=4\cdot3{,}14\cdot2^2 \]
\[ S=4\cdot3{,}14\cdot4 \]
\[ S=50{,}24 \]
Se deben pintar aproximadamente \(50{,}24\text{ m}^2\).
Ejercicio 15: comparar dos esferas
Una esfera A tiene radio \(4\text{ cm}\) y una esfera B tiene radio \(8\text{ cm}\). Calcula la superficie de cada una y compara sus resultados. Deja las respuestas en función de \(\pi\).
Para la esfera A:
\[ S_A=4\pi\cdot4^2 \]
\[ S_A=4\pi\cdot16=64\pi \]
Para la esfera B:
\[ S_B=4\pi\cdot8^2 \]
\[ S_B=4\pi\cdot64=256\pi \]
Comparamos:
\[ 256\pi=4\cdot64\pi \]
La esfera B tiene una superficie 4 veces mayor que la esfera A.
Ejercicio 16: desafío de cierre
Una esfera tiene superficie \(900\pi\text{ cm}^2\). Calcula su radio y su diámetro.
Usamos la fórmula:
\[ S=4\pi r^2 \]
Reemplazamos \(S=900\pi\):
\[ 900\pi=4\pi r^2 \]
Dividimos por \(4\pi\):
\[ r^2=\frac{900\pi}{4\pi}=225 \]
Entonces:
\[ r=15 \]
El diámetro es:
\[ d=2r=2\cdot15=30 \]
El radio mide \(15\text{ cm}\) y el diámetro mide \(30\text{ cm}\).
Errores frecuentes
- Usar el diámetro en lugar del radio dentro de la fórmula.
- Olvidar elevar el radio al cuadrado.
- Escribir unidades lineales, como cm, en vez de unidades cuadradas, como \(\text{cm}^2\).
- Confundir la fórmula de superficie de la esfera con la del círculo.
5. prueba
- Marca una sola alternativa por pregunta.
- Cada pregunta tiene una única respuesta correcta.
- Cada pregunta vale 2 puntos. Puntaje total: 40 puntos.
- La superficie se expresa en unidades cuadradas, por ejemplo \(cm^2\), \(m^2\) o \(mm^2\).
- Si el enunciado indica «usa \(\pi=3{,}14\)», reemplázalo. En caso contrario, deja el resultado en función de \(\pi\).
- Cuando se pida superficie total, considera todas las caras o bases del cuerpo. Si se excluye alguna parte, el enunciado lo indicará.
- Fórmulas útiles: cubo \(S_T=6a^2\), ortoedro \(S_T=2(ab+ah+bh)\), prisma recto \(S_T=2A_b+P_b\cdot h\), cilindro cerrado \(S_T=2\pi r^2+2\pi rh\).
¿Cuál de las siguientes unidades corresponde a una superficie?
- \(cm\)
- \(cm^2\)
- \(cm^3\)
- \(cm^4\)
¿Cuál es la fórmula de la superficie total de un cubo de arista \(a\)?
- \(S_T=a^3\)
- \(S_T=4a^2\)
- \(S_T=3a^2\)
- \(S_T=6a^2\)
Para un prisma recto, si \(A_b\) es el área de una base, \(P_b\) el perímetro de la base y \(h\) la altura del prisma, ¿cuál expresión calcula su superficie total?
- \(S_T=2A_b+P_b\cdot h\)
- \(S_T=A_b+P_b\cdot h\)
- \(S_T=A_b\cdot h\)
- \(S_T=2P_b+A_b\cdot h\)
Un cilindro cerrado tiene radio \(r\) y altura \(h\). ¿Cuál fórmula representa su superficie total?
- \(S_T=\pi r^2h\)
- \(S_T=2\pi rh\)
- \(S_T=2\pi r^2+2\pi rh\)
- \(S_T=\pi r^2+2\pi rh\)
Un cubo tiene arista \(6\) cm. ¿Cuál es su superficie total?
- \(216\,cm^2\)
- \(36\,cm^2\)
- \(72\,cm^2\)
- \(108\,cm^2\)
Un ortoedro mide \(8\) cm de largo, \(5\) cm de ancho y \(4\) cm de alto. ¿Cuál es su superficie total?
- \(160\,cm^2\)
- \(170\,cm^2\)
- \(184\,cm^2\)
- \(320\,cm^2\)
Un prisma recto tiene área basal \(18\,cm^2\), perímetro basal \(21\) cm y altura \(10\) cm. ¿Cuál es su superficie total?
- \(210\,cm^2\)
- \(246\,cm^2\)
- \(420\,cm^2\)
- \(456\,cm^2\)
Un frasco cilíndrico cerrado para una solución química tiene radio \(4\) cm y altura \(12\) cm. ¿Cuál es su superficie total?
- \(64\pi\,cm^2\)
- \(96\pi\,cm^2\)
- \(112\pi\,cm^2\)
- \(128\pi\,cm^2\)
Un cubo tiene superficie total \(384\,cm^2\). ¿Cuánto mide su arista?
- \(6\) cm
- \(7\) cm
- \(8\) cm
- \(64\) cm
Un ortoedro tiene base cuadrada de lado \(10\) cm y superficie total \(520\,cm^2\). ¿Cuál es su altura?
- \(8\) cm
- \(10\) cm
- \(12\) cm
- \(16\) cm
Un prisma recto de base hexagonal tiene área basal \(54\,cm^2\), perímetro basal \(36\) cm y altura \(14\) cm. ¿Cuál es su superficie total?
- \(396\,cm^2\)
- \(504\,cm^2\)
- \(558\,cm^2\)
- \(612\,cm^2\)
Un cilindro cerrado tiene radio \(3\) m y superficie total \(66\pi\,m^2\). ¿Cuál es su altura?
- \(6\) m
- \(8\) m
- \(10\) m
- \(11\) m
Una bandeja prismática cerrada para material de laboratorio tiene base rectangular de \(12\) cm por \(5\) cm y altura \(4\) cm. ¿Cuál es su superficie total?
- \(196\,cm^2\)
- \(240\,cm^2\)
- \(256\,cm^2\)
- \(480\,cm^2\)
Un prisma recto de base cuadrada tiene lado basal \(7\) cm y altura \(20\) cm. Si se cubren solo sus caras laterales, sin cubrir las bases, ¿qué superficie se debe cubrir?
- \(560\,cm^2\)
- \(609\,cm^2\)
- \(658\,cm^2\)
- \(980\,cm^2\)
Un recipiente cilíndrico cerrado para almacenar una muestra tiene radio \(5\) cm y altura \(7\) cm. Usando \(\pi=3{,}14\), ¿cuál es su superficie total aproximada?
- \(157\,cm^2\)
- \(219{,}8\,cm^2\)
- \(314\,cm^2\)
- \(376{,}8\,cm^2\)
Un prisma recto de base pentagonal tiene área basal \(40\,cm^2\), perímetro basal \(32\) cm y superficie total \(400\,cm^2\). ¿Cuál es su altura?
- \(8\) cm
- \(10\) cm
- \(12\) cm
- \(15\) cm
Una incubadora con forma de ortoedro mide \(2\) m de largo, \(1{,}5\) m de ancho y \(1\) m de alto. Se desea cubrir sus cuatro paredes internas y el techo, pero no el piso. ¿Qué superficie se debe cubrir?
- \(10\,m^2\)
- \(7\,m^2\)
- \(13\,m^2\)
- \(16\,m^2\)
Si se duplican todas las dimensiones de una caja rectangular, ¿qué ocurre con su superficie total?
- Queda igual.
- Se duplica.
- Se triplica.
- Se cuadruplica.
Una cápsula cilíndrica abierta, sin tapa, tiene radio \(2\) cm y altura \(5\) cm. ¿Cuál es su superficie exterior, considerando una base y la superficie lateral?
- \(20\pi\,cm^2\)
- \(24\pi\,cm^2\)
- \(28\pi\,cm^2\)
- \(44\pi\,cm^2\)
Un cilindro cerrado de radio \(6\) cm tiene superficie total \(168\pi\,cm^2\). ¿Cuál es su altura?
- \(6\) cm
- \(7\) cm
- \(8\) cm
- \(10\) cm
6. pauta
Pauta de corrección: Superficie de cuerpos geométricos v2
- Curso: 4° medio electivo ciencias.
- Unidad: Superficie de cuerpos geométricos.
- Tiempo: 70 minutos.
- Total de preguntas: 20.
- Puntaje por pregunta: 2 puntos.
- Puntaje total: 40 puntos.
- Porcentaje de aprobación: 60%.
- Puntaje mínimo de aprobación: 24 puntos.
Criterio de corrección
| Respuesta del estudiante | Puntaje |
|---|---|
| Marca la alternativa correcta. | 2 puntos |
| Marca una alternativa incorrecta. | 0 puntos |
| No responde. | 0 puntos |
| Marca más de una alternativa. | 0 puntos |
Distribución de habilidades evaluadas
| Habilidad | Preguntas |
|---|---|
| Reconocer unidades, fórmulas y elementos asociados a la superficie de cuerpos geométricos. | 1, 2, 3, 4 |
| Calcular superficie total de cubos, ortoedros, prismas rectos y cilindros. | 5, 6, 7, 8, 11, 13, 15 |
| Resolver ejercicios inversos a partir de una superficie conocida. | 9, 10, 12, 16, 20 |
| Interpretar superficies parciales, laterales o contextos de cobertura. | 14, 17, 19 |
| Analizar el efecto de cambios proporcionales en las dimensiones de un cuerpo. | 18 |
Clave de respuestas con justificación
| Pregunta | Alternativa correcta | Respuesta o justificación breve |
|---|---|---|
| 1 | B | La superficie se expresa en unidades cuadradas, como \(cm^2\). |
| 2 | D | Un cubo tiene 6 caras cuadradas iguales, por eso \(S_T=6a^2\). |
| 3 | A | En un prisma recto se suman las dos bases y el área lateral: \(S_T=2A_b+P_b\cdot h\). |
| 4 | C | Un cilindro cerrado tiene dos bases circulares y superficie lateral: \(S_T=2\pi r^2+2\pi rh\). |
| 5 | A | \(S_T=6\cdot6^2=6\cdot36=216\). La superficie total es \(216\,cm^2\). |
| 6 | C | \(S_T=2(8\cdot5+8\cdot4+5\cdot4)=2(40+32+20)=184\). La superficie es \(184\,cm^2\). |
| 7 | B | \(S_T=2\cdot18+21\cdot10=36+210=246\). La superficie total es \(246\,cm^2\). |
| 8 | D | \(S_T=2\pi\cdot4^2+2\pi\cdot4\cdot12=32\pi+96\pi=128\pi\). La superficie es \(128\pi\,cm^2\). |
| 9 | C | \(384=6a^2\), entonces \(a^2=64\) y \(a=8\). La arista mide \(8\) cm. |
| 10 | A | Con base cuadrada de lado \(10\), \(520=2(10\cdot10+10h+10h)=200+40h\). Entonces \(h=8\) cm. |
| 11 | D | \(S_T=2\cdot54+36\cdot14=108+504=612\). La superficie total es \(612\,cm^2\). |
| 12 | B | \(66\pi=2\pi\cdot3^2+2\pi\cdot3h=18\pi+6\pi h\). Entonces \(h=8\) m. |
| 13 | C | \(S_T=2(12\cdot5+12\cdot4+5\cdot4)=2(60+48+20)=256\). La superficie es \(256\,cm^2\). |
| 14 | A | Solo se cubren las caras laterales. El perímetro basal es \(4\cdot7=28\), entonces \(A_L=28\cdot20=560\,cm^2\). |
| 15 | D | \(S_T=2\pi\cdot5^2+2\pi\cdot5\cdot7=50\pi+70\pi=120\pi\). Con \(\pi=3{,}14\), resulta \(376{,}8\,cm^2\). |
| 16 | B | \(400=2\cdot40+32h=80+32h\). Entonces \(320=32h\) y \(h=10\) cm. |
| 17 | A | Las cuatro paredes suman \(2\cdot2\cdot1+2\cdot1{,}5\cdot1=7\). El techo mide \(2\cdot1{,}5=3\). Total: \(10\,m^2\). |
| 18 | D | Al duplicar todas las dimensiones, cada área se multiplica por \(2^2=4\). La superficie se cuadruplica. |
| 19 | B | La cápsula no tiene tapa: \(S=\pi\cdot2^2+2\pi\cdot2\cdot5=4\pi+20\pi=24\pi\,cm^2\). |
| 20 | C | \(168\pi=2\pi\cdot6^2+2\pi\cdot6h=72\pi+12\pi h\). Entonces \(h=8\) cm. |
Resumen de claves correctas
1) B, 2) D, 3) A, 4) C, 5) A, 6) C, 7) B, 8) D, 9) C, 10) A, 11) D, 12) B, 13) C, 14) A, 15) D, 16) B, 17) A, 18) D, 19) B, 20) C
Conteo de alternativas correctas
| Alternativa | Cantidad |
|---|---|
| A | 5 |
| B | 5 |
| C | 5 |
| D | 5 |
7. v2
- Marca una sola alternativa por pregunta.
- Cada pregunta tiene una única respuesta correcta.
- Cada pregunta vale 2 puntos. Puntaje total: 40 puntos.
- La superficie se expresa en unidades cuadradas, por ejemplo \(cm^2\), \(m^2\) o \(mm^2\).
- Si el enunciado indica «usa \(\pi=3{,}14\)», reemplázalo. En caso contrario, deja el resultado en función de \(\pi\).
- Cuando se pida superficie total, considera todas las caras o bases del cuerpo. Si se excluye alguna parte, el enunciado lo indicará.
- Fórmulas útiles: cubo \(S_T=6a^2\), ortoedro \(S_T=2(ab+ah+bh)\), prisma recto \(S_T=2A_b+P_b\cdot h\), cilindro cerrado \(S_T=2\pi r^2+2\pi rh\).
¿Cuál de las siguientes unidades corresponde a una superficie?
- \(m\)
- \(m^3\)
- \(m^2\)
- \(m^4\)
Un ortoedro tiene dimensiones \(a\), \(b\) y \(h\). ¿Cuál fórmula permite calcular su superficie total?
- \(S_T=2(ab+ah+bh)\)
- \(S_T=ab+ah+bh\)
- \(S_T=a\cdot b\cdot h\)
- \(S_T=6a^2\)
En un prisma recto, si \(P_b\) es el perímetro de la base y \(h\) es la altura del prisma, ¿cuál expresión representa su área lateral?
- \(A_L=2A_b\)
- \(A_L=A_b\cdot h\)
- \(A_L=2A_b+P_b\cdot h\)
- \(A_L=P_b\cdot h\)
¿Cuál es la fórmula de la superficie total de un cilindro cerrado de radio \(r\) y altura \(h\)?
- \(S_T=\pi r^2h\)
- \(S_T=2\pi r^2+2\pi rh\)
- \(S_T=2\pi rh\)
- \(S_T=\pi r^2+2\pi rh\)
Un cubo tiene arista \(9\) cm. ¿Cuál es su superficie total?
- \(81\,cm^2\)
- \(324\,cm^2\)
- \(729\,cm^2\)
- \(486\,cm^2\)
Un ortoedro mide \(7\) cm de largo, \(4\) cm de ancho y \(3\) cm de alto. ¿Cuál es su superficie total?
- \(84\,cm^2\)
- \(122\,cm^2\)
- \(144\,cm^2\)
- \(168\,cm^2\)
Un prisma recto tiene área basal \(24\,cm^2\), perímetro basal \(26\) cm y altura \(8\) cm. ¿Cuál es su superficie total?
- \(256\,cm^2\)
- \(208\,cm^2\)
- \(232\,cm^2\)
- \(416\,cm^2\)
Un frasco cilíndrico cerrado tiene radio \(2\) cm y altura \(9\) cm. ¿Cuál es su superficie total?
- \(22\pi\,cm^2\)
- \(36\pi\,cm^2\)
- \(44\pi\,cm^2\)
- \(72\pi\,cm^2\)
Un cubo tiene superficie total \(294\,cm^2\). ¿Cuánto mide su arista?
- \(7\) cm
- \(14\) cm
- \(21\) cm
- \(49\) cm
Un ortoedro tiene base cuadrada de lado \(6\) cm y superficie total \(312\,cm^2\). ¿Cuál es su altura?
- \(6\) cm
- \(8\) cm
- \(9\) cm
- \(10\) cm
Un cilindro cerrado tiene radio \(4\) cm y superficie total \(88\pi\,cm^2\). ¿Cuál es su altura?
- \(5\) cm
- \(7\) cm
- \(9\) cm
- \(11\) cm
Un prisma recto de base pentagonal tiene área basal \(35\,cm^2\), perímetro basal \(30\) cm y superficie total \(370\,cm^2\). ¿Cuál es su altura?
- \(8\) cm
- \(9\) cm
- \(10\) cm
- \(12\) cm
Un envase prismático rectangular para muestras mide \(12\) cm de largo, \(6\) cm de ancho y \(5\) cm de alto. ¿Cuál es su superficie total?
- \(282\,cm^2\)
- \(300\,cm^2\)
- \(312\,cm^2\)
- \(324\,cm^2\)
Un prisma recto de base cuadrada tiene lado basal \(8\) cm y altura \(15\) cm. Si se cubren solo sus caras laterales, ¿qué superficie se debe cubrir?
- \(480\,cm^2\)
- \(544\,cm^2\)
- \(608\,cm^2\)
- \(960\,cm^2\)
Un recipiente cilíndrico cerrado para una muestra tiene radio \(6\) cm y altura \(4\) cm. Usando \(\pi=3{,}14\), ¿cuál es su superficie total aproximada?
- \(226{,}08\,cm^2\)
- \(301{,}44\,cm^2\)
- \(376{,}8\,cm^2\)
- \(452{,}16\,cm^2\)
Un prisma recto de base rectangular tiene base de \(9\) cm por \(4\) cm y altura \(6\) cm. ¿Cuál es su superficie total?
- \(156\,cm^2\)
- \(228\,cm^2\)
- \(264\,cm^2\)
- \(432\,cm^2\)
Una incubadora con forma de ortoedro mide \(3\) m de largo, \(2\) m de ancho y \(1{,}5\) m de alto. Se desea cubrir sus cuatro paredes internas y el techo, pero no el piso. ¿Qué superficie se debe cubrir?
- \(15\,m^2\)
- \(18\,m^2\)
- \(21\,m^2\)
- \(30\,m^2\)
Si se triplican todas las dimensiones de una caja rectangular, ¿qué ocurre con su superficie total?
- Se multiplica por \(9\).
- Se multiplica por \(3\).
- Se multiplica por \(6\).
- Se multiplica por \(27\).
Un tubo cilíndrico abierto por ambos extremos tiene radio \(3\) cm y altura \(10\) cm. ¿Cuál es su superficie lateral?
- \(30\pi\,cm^2\)
- \(39\pi\,cm^2\)
- \(78\pi\,cm^2\)
- \(60\pi\,cm^2\)
Un cilindro cerrado de radio \(5\) cm tiene superficie total \(150\pi\,cm^2\). ¿Cuál es su altura?
- \(8\) cm
- \(10\) cm
- \(12\) cm
- \(15\) cm
8. v2 pauta
Pauta de corrección: Superficie de cuerpos geométricos v3
- Curso: 4° medio electivo ciencias.
- Unidad: Superficie de cuerpos geométricos.
- Tiempo: 70 minutos.
- Total de preguntas: 20.
- Puntaje por pregunta: 2 puntos.
- Puntaje total: 40 puntos.
- Porcentaje de aprobación: 60%.
- Puntaje mínimo de aprobación: 24 puntos.
Criterio de corrección
| Respuesta del estudiante | Puntaje |
|---|---|
| Marca la alternativa correcta. | 2 puntos |
| Marca una alternativa incorrecta. | 0 puntos |
| No responde. | 0 puntos |
| Marca más de una alternativa. | 0 puntos |
Distribución de habilidades evaluadas
| Habilidad | Preguntas |
|---|---|
| Reconocer unidades, fórmulas y elementos asociados a la superficie de cuerpos geométricos. | 1, 2, 3, 4 |
| Calcular superficie total de cubos, ortoedros, prismas rectos y cilindros. | 5, 6, 7, 8, 13, 15, 16 |
| Resolver ejercicios inversos a partir de una superficie conocida. | 9, 10, 11, 12, 20 |
| Interpretar superficies parciales, laterales o contextos de cobertura. | 14, 17, 19 |
| Analizar el efecto de cambios proporcionales en las dimensiones de un cuerpo. | 18 |
Clave de respuestas con justificación
| Pregunta | Alternativa correcta | Respuesta o justificación breve |
|---|---|---|
| 1 | C | La superficie se mide en unidades cuadradas, como \(m^2\). |
| 2 | A | Un ortoedro tiene tres pares de caras iguales: \(S_T=2(ab+ah+bh)\). |
| 3 | D | El área lateral de un prisma recto corresponde al perímetro basal por la altura: \(A_L=P_b\cdot h\). |
| 4 | B | Un cilindro cerrado tiene dos bases circulares y superficie lateral: \(S_T=2\pi r^2+2\pi rh\). |
| 5 | D | \(S_T=6\cdot9^2=6\cdot81=486\). La superficie total es \(486\,cm^2\). |
| 6 | B | \(S_T=2(7\cdot4+7\cdot3+4\cdot3)=2(28+21+12)=122\). La superficie es \(122\,cm^2\). |
| 7 | A | \(S_T=2\cdot24+26\cdot8=48+208=256\). La superficie total es \(256\,cm^2\). |
| 8 | C | \(S_T=2\pi\cdot2^2+2\pi\cdot2\cdot9=8\pi+36\pi=44\pi\). La superficie es \(44\pi\,cm^2\). |
| 9 | A | \(294=6a^2\), entonces \(a^2=49\) y \(a=7\). La arista mide \(7\) cm. |
| 10 | D | Con base cuadrada de lado \(6\), \(312=2(6\cdot6+6h+6h)=72+24h\). Entonces \(h=10\) cm. |
| 11 | B | \(88\pi=2\pi\cdot4^2+2\pi\cdot4h=32\pi+8\pi h\). Entonces \(h=7\) cm. |
| 12 | C | \(370=2\cdot35+30h=70+30h\). Entonces \(h=10\) cm. |
| 13 | D | \(S_T=2(12\cdot6+12\cdot5+6\cdot5)=2(72+60+30)=324\). La superficie total es \(324\,cm^2\). |
| 14 | A | Solo se cubren las caras laterales. El perímetro basal es \(4\cdot8=32\), entonces \(A_L=32\cdot15=480\,cm^2\). |
| 15 | C | \(S_T=2\pi\cdot6^2+2\pi\cdot6\cdot4=72\pi+48\pi=120\pi\). Con \(\pi=3{,}14\), resulta \(376{,}8\,cm^2\). |
| 16 | B | \(S_T=2A_b+P_b\cdot h\). Como \(A_b=9\cdot4=36\) y \(P_b=26\), \(S_T=72+26\cdot6=228\,cm^2\). |
| 17 | C | Las paredes suman \(2\cdot3\cdot1{,}5+2\cdot2\cdot1{,}5=9+6=15\). El techo mide \(3\cdot2=6\). Total: \(21\,m^2\). |
| 18 | A | Al triplicar todas las dimensiones, cada área se multiplica por \(3^2=9\). |
| 19 | D | Como el tubo está abierto por ambos extremos, se considera solo el área lateral: \(A_L=2\pi\cdot3\cdot10=60\pi\,cm^2\). |
| 20 | B | \(150\pi=2\pi\cdot5^2+2\pi\cdot5h=50\pi+10\pi h\). Entonces \(h=10\) cm. |
Resumen de claves correctas
1) C, 2) A, 3) D, 4) B, 5) D, 6) B, 7) A, 8) C, 9) A, 10) D, 11) B, 12) C, 13) D, 14) A, 15) C, 16) B, 17) C, 18) A, 19) D, 20) B
Conteo de alternativas correctas
| Alternativa | Cantidad |
|---|---|
| A | 5 |
| B | 5 |
| C | 5 |
| D | 5 |