Probabilidades y Est ...

El Modelo A tiene \(r=0{,}91\), lo que indica una relación lineal positiva fuerte entre acceso a internet fijo y uso educativo de plataformas digitales.

El Modelo B tiene \(r=0{,}78\), lo que también indica una relación lineal positiva relativamente fuerte, aunque menor que la del Modelo A.

En el Modelo A, la pendiente \(0{,}72\) indica que, por cada aumento de \(1\) punto porcentual en acceso a internet fijo, el índice estimado de uso educativo aumenta aproximadamente \(0{,}72\) puntos.

En el Modelo B, la pendiente \(9\) indica que, por cada hora semanal adicional de uso guiado en el colegio, el índice estimado aumenta aproximadamente \(9\) puntos.

No basta con escoger automáticamente el Modelo A solo porque tiene mayor \(r\). Aunque su correlación es más alta, mezcla comunas urbanas y rurales, lo que puede introducir diferencias estructurales importantes. El Modelo B tiene menor \(r\), pero se construyó con colegios en condiciones tecnológicas similares, por lo que podría tener una interpretación más controlada para ciertas decisiones educativas.

Antes de decidir, sería importante conocer el tamaño de la muestra, la dispersión de los datos, si hay datos atípicos, el rango de valores de \(x\), la forma de la nube de puntos y si existen variables externas como nivel socioeconómico, disponibilidad de dispositivos, capacitación docente o conectividad real en el colegio.

Respuesta: el Modelo A tiene mayor correlación, pero no necesariamente es automáticamente mejor; la elección debe considerar \(r\), contexto, comparabilidad de los datos y posibles variables externas.

Con el Modelo A:

\[ \hat{y}=-4\cdot 20+96=-80+96=16 \]

Con el Modelo B:

\[ \hat{y}=-2{,}5\cdot 20+82=-50+82=32 \]

El Modelo A estima \(16\) puntos y el Modelo B estima \(32\) puntos.

Sin embargo, el Modelo A fue construido con esperas entre \(3\) y \(12\) minutos. Usarlo para \(20\) minutos es una extrapolación.

El Modelo B fue construido con esperas entre \(10\) y \(28\) minutos. Como \(20\) está dentro de ese rango, usar el Modelo B corresponde a una interpolación.

Aunque el Modelo A tiene mayor \(|r|\), para \(x=20\) sería más prudente usar el Modelo B, porque predice dentro del rango observado.

Respuesta: Modelo A estima \(16\), Modelo B estima \(32\). Para \(x=20\), conviene usar el Modelo B porque realiza una interpolación.

El valor \(r=0{,}79\) indica una relación lineal positiva relativamente fuerte entre la superficie de la vivienda y el índice de consumo eléctrico mensual.

La pendiente \(5\) significa que, según el modelo, por cada aumento de una decena de metros cuadrados, el índice de consumo estimado aumenta aproximadamente \(5\) puntos.

El intercepto \(18\) correspondería al índice estimado cuando \(x=0\), es decir, para una vivienda de \(0\) m². Esa interpretación no tiene sentido práctico y además está fuera del rango observado.

Para una vivienda de \(100\) m², se usa \(x=10\):

\[ \hat{y}=5\cdot 10+18=50+18=68 \]

Como \(x=10\) está dentro del rango observado \([4,14]\), la predicción es una interpolación.

Respuesta: \(r\) indica relación positiva relativamente fuerte; la pendiente indica \(5\) puntos más por cada 10 m²; el intercepto no tiene interpretación práctica clara; para \(100\) m² se estima un índice de \(68\).

El Grupo A presenta una relación lineal negativa más fuerte que el Grupo B, porque \(|-0{,}82|=0{,}82\) es mayor que \(|-0{,}41|=0{,}41\).

La pendiente del Grupo A es \(-0{,}9\). Esto significa que, según el modelo, por cada hora adicional de sueño, el nivel de cansancio estimado disminuye aproximadamente \(0{,}9\) puntos.

Para \(x=7\) en el Grupo A:

\[ \hat{y}=-0{,}9\cdot 7+12{,}4=-6{,}3+12{,}4=6{,}1 \]

El nivel de cansancio estimado es \(6{,}1\).

Usar el modelo del Grupo A para \(x=3\) sería riesgoso porque los datos observados estaban entre \(5\) y \(9\) horas de sueño. Por lo tanto, \(x=3\) corresponde a una extrapolación fuera del rango observado.

Respuesta: el Grupo A tiene relación más fuerte; su pendiente indica una baja de \(0{,}9\) puntos de cansancio por hora adicional de sueño; para \(7\) horas se estima \(6{,}1\); usar \(x=3\) sería extrapolación.

Usando el modelo:

Para \(x=10\):

\[ \hat{y}=2\cdot 10+10=20+10=30 \]

Para \(x=20\):

\[ \hat{y}=2\cdot 20+10=40+10=50 \]

El cálculo es correcto: el modelo estima \(30\%\) para 10 millones y \(50\%\) para 20 millones.

Sin embargo, la palabra “exactamente” no es adecuada, porque una recta de regresión entrega valores estimados, no resultados seguros.

Además, \(r=0{,}69\) indica una relación lineal positiva moderada a fuerte, pero no demuestra por sí solo causalidad. Podrían influir otras variables, como infraestructura de reciclaje, educación ambiental previa, normativa local, ingresos comunales o disponibilidad de puntos limpios.

Respuesta: el cálculo del modelo es correcto, pero la interpretación es demasiado fuerte; las predicciones son estimadas y la correlación no demuestra causalidad.

La variable más recomendable para un primer modelo lineal simple es la distancia entre hogar y colegio.

Primero, tiene el mayor coeficiente de correlación con el tiempo de traslado: \(r=0{,}84\), lo que indica una relación lineal positiva fuerte.

Segundo, tiene sentido contextual directo: mientras mayor es la distancia, mayor tiende a ser el tiempo de traslado.

El número de semáforos también tiene una correlación positiva relativamente fuerte, pero es un dato más variable y depende de la ruta tomada.

El número de integrantes del hogar tiene una correlación baja y no parece tener una relación directa clara con el tiempo de traslado.

Respuesta: elegiría distancia entre hogar y colegio, porque tiene mayor \(r\), sentido contextual directo y una interpretación más clara para un modelo lineal simple.

Reemplazamos \(x=16\) en el modelo:

\[ \hat{y}=4{,}5\cdot 16+38 \]

\[ \hat{y}=72+38=110 \]

El modelo estima un índice de \(110\), pero la escala del índice va de \(0\) a \(100\). Esto ya muestra una limitación importante del uso del modelo fuera del rango observado.

Como los datos originales corresponden a estudiantes que se prepararon entre \(2\) y \(10\) semanas, usar \(x=16\) es una extrapolación lejana.

El valor \(r=0{,}87\) indica una relación lineal positiva fuerte dentro de los datos observados. Sin embargo, no garantiza que la relación siga siendo lineal para valores muy alejados del rango usado para construir el modelo.

Una conclusión cuidadosa sería:

“Dentro del rango observado, existe una relación lineal positiva fuerte entre semanas de preparación e índice de rendimiento. Sin embargo, usar el modelo para \(16\) semanas no es confiable, porque corresponde a una extrapolación lejana y produce un valor fuera de la escala del índice”.

Respuesta: \(\hat{y}=110\), pero la predicción no es confiable porque extrapola fuera del rango observado y supera la escala máxima del índice.