Libro de Permutaciones y Combinatoria
2. Principio multiplicativo de conteo
Objetivos de la página
- Comprender el principio multiplicativo de conteo.
- Identificar etapas y opciones en un experimento compuesto.
- Calcular la cantidad total de resultados posibles sin listarlos uno por uno.
- Usar conteo para calcular probabilidades en situaciones equiprobables.
Contar por etapas
En un experimento compuesto, muchas veces las decisiones o resultados ocurren por etapas.
Por ejemplo, al elegir una polera y luego un pantalón, primero se elige una polera y después un pantalón.
Si cada opción de la primera etapa se puede combinar con cada opción de la segunda etapa, se puede contar multiplicando.
Principio multiplicativo
Si una etapa tiene \(n_1\) opciones, una segunda etapa tiene \(n_2\) opciones, una tercera etapa tiene \(n_3\) opciones, y así sucesivamente, entonces la cantidad total de resultados posibles es:
\[ n_1\cdot n_2\cdot n_3\cdots \]
En el caso de dos etapas:
\[ \text{total de resultados}=n_1\cdot n_2 \]
Conteo y probabilidad
Si todos los resultados posibles son igualmente probables, se puede calcular una probabilidad usando:
\[ P(A)=\frac{\text{número de casos favorables}}{\text{número de casos posibles}} \]
El principio multiplicativo permite calcular tanto los casos posibles como los casos favorables.
Ejemplo 1: elegir un menú
En un casino escolar se elige una bebida y un sándwich.
Hay \(3\) bebidas disponibles y \(4\) tipos de sándwich.
Como cada bebida se puede combinar con cada sándwich, la cantidad total de menús posibles es:
\[ 3\cdot 4=12 \]
Por lo tanto, hay \(12\) menús posibles.
Si una de las bebidas es jugo y todas las combinaciones son igualmente probables, la probabilidad de elegir jugo es:
Casos favorables: elegir jugo y cualquiera de los \(4\) sándwiches.
\[ 1\cdot 4=4 \]
Casos posibles:
\[ 3\cdot 4=12 \]
Entonces:
\[ P(\text{jugo})=\frac{4}{12}=\frac{1}{3} \]
Ejemplo 2: formar una clave
Una clave se forma con una letra y dos dígitos. La letra puede ser \(A\), \(B\), \(C\) o \(D\). Cada dígito puede ser cualquiera entre \(0\) y \(9\), y se permite repetir dígitos.
La clave tiene tres etapas:
- elegir la letra: \(4\) opciones;
- elegir el primer dígito: \(10\) opciones;
- elegir el segundo dígito: \(10\) opciones.
Por el principio multiplicativo:
\[ 4\cdot 10\cdot 10=400 \]
Hay \(400\) claves posibles.
Si se quiere calcular la probabilidad de que la clave comience con \(A\), los casos favorables son:
\[ 1\cdot 10\cdot 10=100 \]
Por lo tanto:
\[ P(\text{comienza con }A)=\frac{100}{400}=\frac{1}{4} \]
Ejemplo 3: recomendaciones de una plataforma
Una plataforma genera una recomendación eligiendo:
- un formato entre video, texto o actividad;
- un tema entre matemática, ciencias, lenguaje o historia;
- un nivel entre inicial o avanzado.
La cantidad total de recomendaciones posibles es:
\[ 3\cdot 4\cdot 2=24 \]
Si queremos calcular la probabilidad de que la recomendación sea un video de matemática, el nivel puede ser cualquiera de los \(2\).
Casos favorables:
\[ 1\cdot 1\cdot 2=2 \]
Casos posibles:
\[ 24 \]
Entonces:
\[ P(\text{video de matemática})=\frac{2}{24}=\frac{1}{12} \]
Error frecuente
No se deben sumar las opciones de etapas distintas cuando cada opción de una etapa se combina con cada opción de otra.
Por ejemplo, si hay \(3\) bebidas y \(4\) sándwiches, no hay \(3+4=7\) menús. Hay:
\[ 3\cdot 4=12 \]
Pregunta clave
Para usar el principio multiplicativo, pregúntate:
“¿Cuántas opciones hay en esta etapa por cada opción de la etapa anterior?”
Si cada opción se combina con las demás, corresponde multiplicar.
Ejercicio 1
Una persona elige una polera y un pantalón.
Hay \(4\) poleras disponibles y \(3\) pantalones disponibles.
a) ¿Cuántas tenidas posibles puede formar?
b) Si todas las tenidas son igualmente probables y solo una polera es azul, ¿cuál es la probabilidad de elegir una tenida con polera azul?
a) Hay \(4\) opciones de polera y \(3\) opciones de pantalón. Por el principio multiplicativo:
\[ 4\cdot 3=12 \]
Puede formar \(12\) tenidas posibles.
b) Para que la tenida tenga polera azul, la polera queda fija y el pantalón puede ser cualquiera de los \(3\):
\[ 1\cdot 3=3 \]
Hay \(3\) casos favorables de \(12\) posibles. Entonces:
\[ P(\text{polera azul})=\frac{3}{12}=\frac{1}{4} \]
Ejercicio 2
Para armar un desayuno se elige una bebida, un alimento principal y una fruta.
Hay \(2\) bebidas, \(3\) alimentos principales y \(4\) frutas.
a) ¿Cuántos desayunos distintos se pueden formar?
b) Si una de las frutas es manzana, ¿cuál es la probabilidad de que el desayuno incluya manzana?
a) Aplicamos el principio multiplicativo:
\[ 2\cdot 3\cdot 4=24 \]
Se pueden formar \(24\) desayunos distintos.
b) Para incluir manzana, la fruta queda fija. La bebida puede ser cualquiera de las \(2\), y el alimento principal cualquiera de los \(3\):
\[ 2\cdot 3\cdot 1=6 \]
Hay \(6\) casos favorables de \(24\) posibles. Por lo tanto:
\[ P(\text{manzana})=\frac{6}{24}=\frac{1}{4} \]
Ejercicio 3
Una clave se forma con una letra entre \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) y \(E\), seguida de un dígito entre \(0\) y \(9\).
a) ¿Cuántas claves posibles hay?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la clave comience con \(A\)?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el dígito sea \(7\)?
a) Hay \(5\) opciones de letra y \(10\) opciones de dígito:
\[ 5\cdot 10=50 \]
Hay \(50\) claves posibles.
b) Si la clave comienza con \(A\), la letra queda fija y el dígito puede ser cualquiera de los \(10\):
\[ 1\cdot 10=10 \]
Entonces:
\[ P(\text{comienza con }A)=\frac{10}{50}=\frac{1}{5} \]
c) Si el dígito es \(7\), la letra puede ser cualquiera de las \(5\):
\[ 5\cdot 1=5 \]
Entonces:
\[ P(\text{dígito }7)=\frac{5}{50}=\frac{1}{10} \]
Ejercicio 4
Se lanzan dos dados comunes, uno después del otro.
a) ¿Cuántos resultados posibles hay?
b) Calcula la probabilidad de que el primer dado muestre un número par.
c) Calcula la probabilidad de que el primer dado muestre un número par y el segundo dado sea mayor que \(4\).
a) Cada dado tiene \(6\) resultados posibles. Como se lanzan dos dados:
\[ 6\cdot 6=36 \]
Hay \(36\) resultados posibles.
b) En el primer dado, los números pares son \(2\), \(4\) y \(6\), es decir, \(3\) opciones. El segundo dado puede ser cualquiera de los \(6\):
\[ 3\cdot 6=18 \]
Entonces:
\[ P(\text{primer dado par})=\frac{18}{36}=\frac{1}{2} \]
c) Primer dado par: \(3\) opciones. Segundo dado mayor que \(4\): \(5\) o \(6\), es decir, \(2\) opciones.
Casos favorables:
\[ 3\cdot 2=6 \]
Entonces:
\[ P(\text{primer dado par y segundo mayor que }4)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6} \]
Ejercicio 5
Una etiqueta se forma eligiendo una vocal entre \(A\), \(E\), \(I\) y \(O\), un número entre \(1\), \(2\), \(3\), \(4\) y \(5\), y un color entre rojo, azul y verde.
a) ¿Cuántas etiquetas posibles hay?
b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener una etiqueta con la vocal \(E\) y color rojo?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el número sea par?
a) Hay \(4\) vocales, \(5\) números y \(3\) colores:
\[ 4\cdot 5\cdot 3=60 \]
Hay \(60\) etiquetas posibles.
b) Vocal \(E\): \(1\) opción. Color rojo: \(1\) opción. El número puede ser cualquiera de los \(5\):
\[ 1\cdot 5\cdot 1=5 \]
Entonces:
\[ P(\text{vocal }E\text{ y color rojo})=\frac{5}{60}=\frac{1}{12} \]
c) Los números pares son \(2\) y \(4\), es decir, \(2\) opciones. La vocal puede ser cualquiera de las \(4\) y el color cualquiera de los \(3\):
\[ 4\cdot 2\cdot 3=24 \]
Entonces:
\[ P(\text{número par})=\frac{24}{60}=\frac{2}{5} \]
Ejercicio 6
Una prueba tiene \(4\) preguntas de verdadero o falso.
a) ¿Cuántas formas distintas hay de responder la prueba?
b) Si todas las formas de responder son igualmente probables, ¿cuál es la probabilidad de responder verdadero en la primera pregunta?
c) ¿Cuál es la probabilidad de responder falso en todas las preguntas?
a) Cada pregunta tiene \(2\) opciones: verdadero o falso. Para \(4\) preguntas:
\[ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \]
Hay \(16\) formas distintas de responder.
b) Si la primera pregunta debe ser verdadera, queda fija. Las otras \(3\) preguntas tienen \(2\) opciones cada una:
\[ 1\cdot 2\cdot 2\cdot 2=8 \]
Entonces:
\[ P(\text{primera verdadera})=\frac{8}{16}=\frac{1}{2} \]
c) Responder falso en todas las preguntas corresponde a una sola forma:
\[ (F,F,F,F) \]
Por lo tanto:
\[ P(\text{todas falsas})=\frac{1}{16} \]
Ejercicio 7
Una clave se forma con dos letras y un dígito. Cada letra puede ser \(A\), \(B\) o \(C\), y el dígito puede ser \(0\), \(1\), \(2\), \(3\) o \(4\). Se permite repetir letras.
a) ¿Cuántas claves posibles hay?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera letra sea \(A\)?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el dígito sea mayor que \(2\)?
a) Primera letra: \(3\) opciones. Segunda letra: \(3\) opciones. Dígito: \(5\) opciones.
\[ 3\cdot 3\cdot 5=45 \]
Hay \(45\) claves posibles.
b) Si la primera letra es \(A\), queda fija. La segunda letra tiene \(3\) opciones y el dígito \(5\):
\[ 1\cdot 3\cdot 5=15 \]
Entonces:
\[ P(\text{primera letra }A)=\frac{15}{45}=\frac{1}{3} \]
c) Los dígitos mayores que \(2\) son \(3\) y \(4\), es decir, \(2\) opciones. Las letras tienen \(3\) opciones cada una:
\[ 3\cdot 3\cdot 2=18 \]
Entonces:
\[ P(\text{dígito mayor que }2)=\frac{18}{45}=\frac{2}{5} \]
Ejercicio 8
Un código de tres dígitos se forma usando los dígitos \(0\), \(1\), \(2\), \(3\) y \(4\), sin repetir dígitos.
a) ¿Cuántos códigos distintos se pueden formar?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el código comience con \(0\)?
a) Para el primer dígito hay \(5\) opciones. Como no se puede repetir, para el segundo quedan \(4\) opciones, y para el tercero quedan \(3\):
\[ 5\cdot 4\cdot 3=60 \]
Se pueden formar \(60\) códigos distintos.
b) Si el código comienza con \(0\), el primer dígito queda fijo. Para el segundo quedan \(4\) opciones y para el tercero quedan \(3\):
\[ 1\cdot 4\cdot 3=12 \]
Entonces:
\[ P(\text{comienza con }0)=\frac{12}{60}=\frac{1}{5} \]
Ejercicio 9
Para una salida escolar se elige un medio de transporte, un horario y una actividad.
Hay \(3\) medios de transporte, \(2\) horarios y \(4\) actividades posibles.
a) ¿Cuántas opciones completas de salida se pueden formar?
b) Si solo una actividad es visitar un museo, ¿cuál es la probabilidad de que la salida incluya museo?
c) Si solo un horario es en la tarde, ¿cuál es la probabilidad de que la salida sea en la tarde?
a) Aplicamos el principio multiplicativo:
\[ 3\cdot 2\cdot 4=24 \]
Se pueden formar \(24\) opciones completas de salida.
b) Si la actividad es museo, la actividad queda fija. El transporte tiene \(3\) opciones y el horario \(2\):
\[ 3\cdot 2\cdot 1=6 \]
Entonces:
\[ P(\text{museo})=\frac{6}{24}=\frac{1}{4} \]
c) Si la salida es en la tarde, el horario queda fijo. El transporte tiene \(3\) opciones y la actividad \(4\):
\[ 3\cdot 1\cdot 4=12 \]
Entonces:
\[ P(\text{tarde})=\frac{12}{24}=\frac{1}{2} \]
Ejercicio 10
Una persona elige una polera, un pantalón y un par de zapatillas.
Hay \(4\) poleras, \(3\) pantalones y \(2\) pares de zapatillas.
a) ¿Cuántas tenidas completas puede formar?
b) Si solo una polera es azul, ¿cuál es la probabilidad de elegir polera azul?
c) Si solo un pantalón es negro y solo un par de zapatillas es blanco, ¿cuál es la probabilidad de elegir pantalón negro y zapatillas blancas?
a) Hay \(4\) opciones de polera, \(3\) de pantalón y \(2\) de zapatillas:
\[ 4\cdot 3\cdot 2=24 \]
Puede formar \(24\) tenidas completas.
b) Polera azul: \(1\) opción. Pantalón: \(3\) opciones. Zapatillas: \(2\) opciones.
\[ 1\cdot 3\cdot 2=6 \]
Entonces:
\[ P(\text{polera azul})=\frac{6}{24}=\frac{1}{4} \]
c) Pantalón negro: \(1\) opción. Zapatillas blancas: \(1\) opción. La polera puede ser cualquiera de las \(4\):
\[ 4\cdot 1\cdot 1=4 \]
Entonces:
\[ P(\text{pantalón negro y zapatillas blancas})=\frac{4}{24}=\frac{1}{6} \]
Ejercicio 11
En una heladería se elige un sabor de helado y una cobertura.
Hay \(3\) sabores y \(4\) coberturas.
Un estudiante afirma que hay \(3+4=7\) combinaciones posibles.
a) Explica el error.
b) Calcula la cantidad correcta de combinaciones.
c) Si uno de los sabores es chocolate, calcula la probabilidad de elegir chocolate.
a) El error es sumar opciones de etapas distintas. Como cada sabor se puede combinar con cada cobertura, corresponde multiplicar.
b) La cantidad correcta de combinaciones es:
\[ 3\cdot 4=12 \]
c) Si el sabor es chocolate, el sabor queda fijo y la cobertura puede ser cualquiera de las \(4\):
\[ 1\cdot 4=4 \]
Entonces:
\[ P(\text{chocolate})=\frac{4}{12}=\frac{1}{3} \]
Ejercicio 12
Una plataforma genera una recomendación eligiendo:
- un formato entre video, texto o actividad;
- un tema entre \(5\) asignaturas distintas;
- un nivel entre inicial o avanzado.
a) ¿Cuántas recomendaciones posibles puede generar?
b) Si una de las asignaturas es matemática, ¿cuál es la probabilidad de que la recomendación sea de matemática?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que la recomendación sea video y de nivel avanzado?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que la recomendación no sea de matemática?
a) Hay \(3\) formatos, \(5\) asignaturas y \(2\) niveles:
\[ 3\cdot 5\cdot 2=30 \]
Puede generar \(30\) recomendaciones posibles.
b) Si la asignatura es matemática, el formato puede ser cualquiera de los \(3\) y el nivel cualquiera de los \(2\):
\[ 3\cdot 1\cdot 2=6 \]
Entonces:
\[ P(\text{matemática})=\frac{6}{30}=\frac{1}{5} \]
c) Si la recomendación es video y de nivel avanzado, el formato queda fijo y el nivel queda fijo. El tema puede ser cualquiera de las \(5\) asignaturas:
\[ 1\cdot 5\cdot 1=5 \]
Entonces:
\[ P(\text{video y avanzado})=\frac{5}{30}=\frac{1}{6} \]
d) Si la recomendación no es de matemática, hay \(4\) asignaturas posibles. El formato tiene \(3\) opciones y el nivel \(2\):
\[ 3\cdot 4\cdot 2=24 \]
Entonces:
\[ P(\text{no matemática})=\frac{24}{30}=\frac{4}{5} \]
Para continuar
En la próxima página se usarán diagramas de árbol para organizar visualmente los resultados posibles de experimentos compuestos.