Libro de Permutaciones y Combinatoria
3. Diagramas de árbol para organizar resultados
Objetivos de la página
- Representar experimentos compuestos mediante diagramas de árbol.
- Organizar resultados posibles por etapas.
- Identificar caminos completos como resultados del experimento.
- Usar diagramas de árbol para calcular casos posibles, casos favorables y probabilidades.
¿Qué es un diagrama de árbol?
Un diagrama de árbol organiza los resultados de un experimento compuesto por etapas.
Cada rama representa una opción posible, y cada camino completo desde el inicio hasta el final representa un resultado posible del experimento.
Cómo leer un diagrama de árbol
- Identifica la primera etapa del experimento.
- Desde cada opción de la primera etapa, dibuja las opciones de la segunda etapa.
- Continúa del mismo modo si hay más etapas.
- Cada camino completo corresponde a un resultado posible.
- La cantidad de caminos completos permite contar los casos posibles.
Relación con el principio multiplicativo
El diagrama de árbol permite visualizar por qué se multiplican las opciones de cada etapa.
Si hay \(2\) opciones en la primera etapa y \(3\) opciones en la segunda, el árbol tiene:
\[ 2\cdot 3=6 \]
caminos completos.
Ejemplo 1: moneda y letra
Se lanza una moneda y luego se elige una letra entre \(A\), \(B\) y \(C\).
El experimento tiene dos etapas:
- Etapa 1: resultado de la moneda.
- Etapa 2: letra elegida.
Como la moneda tiene \(2\) resultados posibles y hay \(3\) letras, la cantidad de caminos completos es:
\[ 2\cdot 3=6 \]
Los resultados posibles son:
\[ (\text{cara},A),\quad (\text{cara},B),\quad (\text{cara},C) \]
\[ (\text{sello},A),\quad (\text{sello},B),\quad (\text{sello},C) \]
Ejemplo 2: dos preguntas de verdadero o falso
Una prueba tiene dos preguntas de verdadero o falso.
Cada pregunta tiene \(2\) opciones: \(V\) o \(F\).
Por lo tanto, la cantidad de formas posibles de responder es:
\[ 2\cdot 2=4 \]
Los caminos completos son:
\[ (V,V),\quad (V,F),\quad (F,V),\quad (F,F) \]
Observa que \((V,F)\) y \((F,V)\) son resultados distintos, porque el orden indica qué se respondió en cada pregunta.
Ejemplo 3: usar el árbol para calcular una probabilidad
Se lanza una moneda y luego un dado común.
Queremos calcular la probabilidad de obtener cara y un número par.
La moneda tiene \(2\) opciones y el dado tiene \(6\) opciones. Entonces:
\[ 2\cdot 6=12 \]
Hay \(12\) resultados posibles.
Para obtener cara y un número par:
- la moneda queda fija en cara: \(1\) opción;
- el dado puede ser \(2\), \(4\) o \(6\): \(3\) opciones.
Casos favorables:
\[ 1\cdot 3=3 \]
Por lo tanto:
\[ P(\text{cara y número par})=\frac{3}{12}=\frac{1}{4} \]
Error frecuente
No se debe contar solo las ramas finales sin considerar el camino completo.
En un diagrama de árbol, un resultado no es una rama aislada, sino un camino completo desde el inicio hasta el final.
Para construir un árbol
Primero identifica las etapas. Luego, en cada etapa, escribe todas las opciones posibles. Finalmente, cuenta los caminos completos.
Ejercicio 1
Se lanza una moneda y luego se elige una letra entre \(A\) y \(B\).
a) Identifica las etapas del experimento.
b) Representa los resultados posibles como caminos completos.
c) ¿Cuántos resultados posibles hay?
a) Las etapas son:
- Etapa 1: lanzar una moneda.
- Etapa 2: elegir una letra entre \(A\) y \(B\).
b) Los caminos completos son:
\[ (\text{cara},A),\quad (\text{cara},B),\quad (\text{sello},A),\quad (\text{sello},B) \]
c) Hay:
\[ 2\cdot 2=4 \]
resultados posibles.
Ejercicio 2
Una clave se forma eligiendo una letra entre \(A\), \(B\) y \(C\), y luego un número entre \(1\) y \(2\).
a) Lista todos los resultados posibles.
b) ¿Cuántos caminos completos tendría el diagrama de árbol?
c) Si todas las claves son igualmente probables, calcula la probabilidad de que la clave comience con \(B\).
a) Las claves posibles son:
\[ (A,1),\quad (A,2),\quad (B,1),\quad (B,2),\quad (C,1),\quad (C,2) \]
b) El árbol tendría:
\[ 3\cdot 2=6 \]
caminos completos.
c) Las claves que comienzan con \(B\) son:
\[ (B,1),\quad (B,2) \]
Hay \(2\) casos favorables de \(6\) posibles. Entonces:
\[ P(\text{comienza con }B)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \]
Ejercicio 3
Se responden tres preguntas de verdadero o falso.
a) ¿Cuántas etapas tiene el experimento?
b) ¿Cuántas opciones hay en cada etapa?
c) ¿Cuántas formas distintas hay de responder?
d) Si todas las formas son igualmente probables, calcula la probabilidad de responder \(V\) en todas las preguntas.
a) El experimento tiene \(3\) etapas, una por cada pregunta.
b) En cada etapa hay \(2\) opciones: \(V\) o \(F\).
c) Por el principio multiplicativo:
\[ 2\cdot 2\cdot 2=8 \]
Hay \(8\) formas distintas de responder.
d) Responder \(V\) en todas las preguntas corresponde a un solo camino:
\[ (V,V,V) \]
Entonces:
\[ P(V,V,V)=\frac{1}{8} \]
Ejercicio 4
Observa el siguiente árbol para una clave formada por una letra y un número.
a) ¿Cuántas letras posibles hay?
b) ¿Cuántos números posibles hay?
c) ¿Cuántos caminos completos tiene el árbol?
d) Si todos los caminos son igualmente probables, calcula la probabilidad de que la clave tenga la letra \(A\).
a) Hay \(3\) letras posibles: \(A\), \(B\) y \(C\).
b) Hay \(2\) números posibles: \(1\) y \(2\).
c) La cantidad de caminos completos es:
\[ 3\cdot 2=6 \]
d) Si la letra es \(A\), el número puede ser \(1\) o \(2\). Hay \(2\) casos favorables de \(6\) posibles:
\[ P(\text{letra }A)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \]
Ejercicio 5
Se lanza una moneda y luego un dado común.
a) ¿Cuántos resultados posibles hay?
b) Calcula la probabilidad de obtener sello y un número mayor que \(4\).
c) Calcula la probabilidad de obtener un número par en el dado.
a) La moneda tiene \(2\) opciones y el dado \(6\):
\[ 2\cdot 6=12 \]
Hay \(12\) resultados posibles.
b) Sello queda fijo: \(1\) opción. Número mayor que \(4\): \(5\) o \(6\), es decir, \(2\) opciones.
Casos favorables:
\[ 1\cdot 2=2 \]
Entonces:
\[ P(\text{sello y número mayor que }4)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6} \]
c) Número par en el dado puede ser \(2\), \(4\) o \(6\), es decir, \(3\) opciones. La moneda puede ser cara o sello: \(2\) opciones.
Casos favorables:
\[ 2\cdot 3=6 \]
Entonces:
\[ P(\text{número par})=\frac{6}{12}=\frac{1}{2} \]
Ejercicio 6
Una plataforma genera una recomendación eligiendo primero un formato y luego un tema.
Formatos: video, texto, actividad.
Temas: matemática, ciencias, lenguaje.
a) ¿Cuántos resultados posibles hay?
b) Lista los resultados que corresponden a matemática.
c) Calcula la probabilidad de que la recomendación sea de matemática.
a) Hay \(3\) formatos y \(3\) temas:
\[ 3\cdot 3=9 \]
Hay \(9\) resultados posibles.
b) Los resultados que corresponden a matemática son:
\[ (\text{video},\text{matemática}),\quad (\text{texto},\text{matemática}),\quad (\text{actividad},\text{matemática}) \]
c) Hay \(3\) casos favorables de \(9\) posibles:
\[ P(\text{matemática})=\frac{3}{9}=\frac{1}{3} \]
Ejercicio 7
Una tenida se forma eligiendo una polera, un pantalón y un par de zapatillas.
Hay \(2\) poleras, \(3\) pantalones y \(2\) pares de zapatillas.
a) ¿Cuántas etapas tiene el experimento?
b) ¿Cuántos caminos completos tendría el árbol?
c) Si una polera es roja, calcula la probabilidad de elegir polera roja.
a) Tiene \(3\) etapas:
- elegir polera;
- elegir pantalón;
- elegir zapatillas.
b) La cantidad de caminos completos es:
\[ 2\cdot 3\cdot 2=12 \]
c) Si la polera roja queda fija, el pantalón puede ser cualquiera de los \(3\) y las zapatillas cualquiera de los \(2\):
\[ 1\cdot 3\cdot 2=6 \]
Entonces:
\[ P(\text{polera roja})=\frac{6}{12}=\frac{1}{2} \]
Ejercicio 8
Un estudiante dice:
“En un árbol, si la primera etapa tiene \(3\) ramas y la segunda tiene \(2\), entonces hay \(3+2=5\) resultados posibles”.
¿Cuál es el error? Corrige la afirmación.
El error es sumar las ramas de etapas distintas.
Si cada rama de la primera etapa se conecta con cada opción de la segunda, se debe multiplicar:
\[ 3\cdot 2=6 \]
Por lo tanto, hay \(6\) caminos completos, no \(5\).
Ejercicio 9
Una clave se forma con una letra entre \(A\), \(B\), \(C\) y \(D\), y luego dos dígitos. Cada dígito puede ser \(0\), \(1\) o \(2\), y se permite repetir dígitos.
a) ¿Cuántos caminos completos tendría el árbol?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la clave comience con \(A\)?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos dígitos sean \(2\)?
a) Hay \(4\) opciones de letra, \(3\) opciones para el primer dígito y \(3\) opciones para el segundo dígito:
\[ 4\cdot 3\cdot 3=36 \]
El árbol tendría \(36\) caminos completos.
b) Si la clave comienza con \(A\), la letra queda fija. Los dígitos pueden variar:
\[ 1\cdot 3\cdot 3=9 \]
Entonces:
\[ P(\text{comienza con }A)=\frac{9}{36}=\frac{1}{4} \]
c) Si ambos dígitos son \(2\), los dígitos quedan fijos, pero la letra puede ser cualquiera de las \(4\):
\[ 4\cdot 1\cdot 1=4 \]
Entonces:
\[ P(\text{ambos dígitos son }2)=\frac{4}{36}=\frac{1}{9} \]
Ejercicio 10
Un menú se forma eligiendo entrada, plato de fondo y postre.
Hay \(2\) entradas, \(4\) platos de fondo y \(3\) postres.
a) ¿Cuántos menús posibles hay?
b) Si una entrada es ensalada, ¿cuál es la probabilidad de elegir ensalada?
c) Si un postre es fruta, ¿cuál es la probabilidad de elegir ensalada y fruta?
a) La cantidad de menús posibles es:
\[ 2\cdot 4\cdot 3=24 \]
b) Si la entrada es ensalada, la entrada queda fija. El plato de fondo tiene \(4\) opciones y el postre \(3\):
\[ 1\cdot 4\cdot 3=12 \]
Entonces:
\[ P(\text{ensalada})=\frac{12}{24}=\frac{1}{2} \]
c) Si la entrada es ensalada y el postre es fruta, ambas etapas quedan fijas. El plato de fondo puede ser cualquiera de los \(4\):
\[ 1\cdot 4\cdot 1=4 \]
Entonces:
\[ P(\text{ensalada y fruta})=\frac{4}{24}=\frac{1}{6} \]
Ejercicio 11
Un experimento compuesto tiene tres etapas:
- la primera etapa tiene \(2\) opciones;
- la segunda etapa tiene \(5\) opciones;
- la tercera etapa tiene \(3\) opciones.
a) ¿Cuántos caminos completos hay?
b) Si en la primera etapa se fija una opción específica, ¿cuántos caminos quedan?
c) Si en la primera y tercera etapa se fija una opción específica, ¿cuántos caminos quedan?
a) La cantidad total de caminos completos es:
\[ 2\cdot 5\cdot 3=30 \]
b) Si se fija una opción de la primera etapa, quedan libres la segunda y tercera etapa:
\[ 1\cdot 5\cdot 3=15 \]
c) Si se fija una opción de la primera etapa y una opción de la tercera, solo queda libre la segunda etapa:
\[ 1\cdot 5\cdot 1=5 \]
Ejercicio 12
Una plataforma genera una recomendación eligiendo:
- un formato entre video, texto o actividad;
- una asignatura entre matemática, ciencias, lenguaje o historia;
- un nivel entre inicial o avanzado.
a) ¿Cuántos caminos completos tendría el árbol?
b) Calcula la probabilidad de que la recomendación sea de matemática.
c) Calcula la probabilidad de que sea video y de nivel avanzado.
d) Explica por qué el árbol ayuda a organizar el conteo.
a) Hay \(3\) formatos, \(4\) asignaturas y \(2\) niveles:
\[ 3\cdot 4\cdot 2=24 \]
El árbol tendría \(24\) caminos completos.
b) Si la recomendación es de matemática, la asignatura queda fija. El formato tiene \(3\) opciones y el nivel \(2\):
\[ 3\cdot 1\cdot 2=6 \]
Entonces:
\[ P(\text{matemática})=\frac{6}{24}=\frac{1}{4} \]
c) Si la recomendación es video y de nivel avanzado, el formato y el nivel quedan fijos. La asignatura puede ser cualquiera de las \(4\):
\[ 1\cdot 4\cdot 1=4 \]
Entonces:
\[ P(\text{video y avanzado})=\frac{4}{24}=\frac{1}{6} \]
d) El árbol ayuda porque separa el experimento en etapas y permite ver que cada camino completo representa un resultado posible.
Para continuar
En la próxima página se distinguirá entre conteo con repetición y conteo sin repetición, una diferencia fundamental para calcular correctamente la cantidad de resultados posibles.