Libro de Permutaciones y Combinatoria
4. Conteo con repetición y sin repetición
Objetivos de la página
- Distinguir situaciones de conteo con repetición y sin repetición.
- Aplicar el principio multiplicativo considerando si las opciones se pueden repetir o no.
- Calcular la cantidad de resultados posibles en códigos, selecciones y ordenamientos simples.
- Usar el conteo con y sin repetición para calcular probabilidades.
¿Qué significa que haya repetición?
En algunos experimentos o elecciones, una opción puede volver a usarse. En ese caso, hablamos de conteo con repetición.
Por ejemplo, en una clave de tres dígitos como \(255\), el dígito \(5\) se repite.
En otros casos, una opción usada ya no puede volver a usarse. En ese caso, hablamos de conteo sin repetición.
Por ejemplo, si se eligen tres estudiantes distintos para tres cargos, una misma persona no puede ocupar dos cargos al mismo tiempo.
Conteo con repetición
Si en cada etapa se puede repetir una opción, la cantidad de opciones no disminuye.
Por ejemplo, si se forma una clave de \(3\) dígitos usando los dígitos del \(0\) al \(9\), y se permite repetir, entonces:
\[ 10\cdot 10\cdot 10=10^3=1000 \]
Hay \(1000\) claves posibles.
Conteo sin repetición
Si no se puede repetir una opción, la cantidad disponible disminuye en cada etapa.
Por ejemplo, si se forma una clave de \(3\) dígitos usando los dígitos del \(0\) al \(9\), sin repetir dígitos, entonces:
\[ 10\cdot 9\cdot 8=720 \]
Hay \(720\) claves posibles.
Ejemplo 1: clave con repetición
Una clave se forma con \(3\) dígitos. Cada dígito puede ser cualquiera entre \(0\) y \(9\), y se permite repetir dígitos.
Como hay \(10\) opciones en cada posición:
\[ 10\cdot 10\cdot 10=1000 \]
Hay \(1000\) claves posibles.
Si todas las claves son igualmente probables, calculemos la probabilidad de que la clave comience con \(5\).
Casos favorables:
\[ 1\cdot 10\cdot 10=100 \]
Casos posibles:
\[ 1000 \]
Entonces:
\[ P(\text{comienza con }5)=\frac{100}{1000}=\frac{1}{10} \]
Ejemplo 2: clave sin repetición
Una clave se forma con \(3\) dígitos distintos. Cada dígito puede ser cualquiera entre \(0\) y \(9\), pero no se permite repetir.
Para la primera posición hay \(10\) opciones.
Para la segunda posición quedan \(9\) opciones.
Para la tercera posición quedan \(8\) opciones.
Entonces:
\[ 10\cdot 9\cdot 8=720 \]
Hay \(720\) claves posibles.
Si la clave comienza con \(5\), la primera posición queda fija. Luego quedan \(9\) opciones para la segunda posición y \(8\) para la tercera:
\[ 1\cdot 9\cdot 8=72 \]
Por lo tanto:
\[ P(\text{comienza con }5)=\frac{72}{720}=\frac{1}{10} \]
Ejemplo 3: cargos distintos en un curso
En un curso se elige una presidencia y una secretaría entre \(6\) estudiantes.
Una misma persona no puede ocupar ambos cargos.
Además, los cargos son distintos: no es lo mismo que Ana sea presidenta y Bruno secretario, a que Bruno sea presidente y Ana secretaria.
Para elegir la presidencia hay \(6\) opciones.
Después de elegir la presidencia, quedan \(5\) opciones para la secretaría.
Entonces:
\[ 6\cdot 5=30 \]
Hay \(30\) formas posibles de asignar los dos cargos.
Si queremos calcular la probabilidad de que Ana sea presidenta, Ana queda fija en la presidencia y la secretaría puede ser ocupada por cualquiera de los otros \(5\) estudiantes:
\[ 1\cdot 5=5 \]
Por lo tanto:
\[ P(\text{Ana presidenta})=\frac{5}{30}=\frac{1}{6} \]
Error frecuente
No se debe usar siempre la misma cantidad de opciones en todas las etapas.
Si se permite repetir, la cantidad de opciones se mantiene. Si no se permite repetir, la cantidad de opciones disminuye.
Por ejemplo:
\[ \text{Con repetición: }10\cdot 10\cdot 10 \]
\[ \text{Sin repetición: }10\cdot 9\cdot 8 \]
Pregunta clave
Antes de contar, pregunta:
¿Una opción usada puede volver a usarse?
Si la respuesta es sí, el conteo es con repetición. Si la respuesta es no, el conteo es sin repetición.
Ejercicio 1
Clasifica cada situación como conteo con repetición o sin repetición.
a) Formar una clave de \(4\) dígitos, permitiendo repetir dígitos.
b) Elegir presidente y secretario de un curso, sin que una persona ocupe ambos cargos.
c) Lanzar un dado tres veces.
d) Elegir tres estudiantes distintos para representar al curso.
a) Es conteo con repetición, porque un dígito puede aparecer más de una vez.
b) Es conteo sin repetición, porque una misma persona no puede ocupar ambos cargos.
c) Es conteo con repetición, porque en cada lanzamiento puede volver a salir el mismo número.
d) Es conteo sin repetición, porque deben ser tres estudiantes distintos.
Ejercicio 2
Una clave se forma con dos letras. Cada letra puede ser \(A\), \(B\), \(C\) o \(D\), y se permite repetir letras.
a) ¿Cuántas claves posibles hay?
b) Calcula la probabilidad de que la primera letra sea \(A\).
c) Calcula la probabilidad de que ambas letras sean iguales.
a) Como se permite repetir, hay \(4\) opciones para la primera letra y \(4\) para la segunda:
\[ 4\cdot 4=16 \]
Hay \(16\) claves posibles.
b) Si la primera letra es \(A\), la primera posición queda fija y la segunda tiene \(4\) opciones:
\[ 1\cdot 4=4 \]
Entonces:
\[ P(\text{primera letra }A)=\frac{4}{16}=\frac{1}{4} \]
c) Ambas letras iguales puede ocurrir como:
\[ AA,\quad BB,\quad CC,\quad DD \]
Hay \(4\) casos favorables de \(16\) posibles:
\[ P(\text{ambas iguales})=\frac{4}{16}=\frac{1}{4} \]
Ejercicio 3
Una clave se forma con dos letras distintas. Cada letra puede ser \(A\), \(B\), \(C\) o \(D\), y no se permite repetir letras.
a) ¿Cuántas claves posibles hay?
b) Calcula la probabilidad de que la primera letra sea \(A\).
c) Calcula la probabilidad de que la clave contenga la letra \(A\).
a) Para la primera letra hay \(4\) opciones. Como no se permite repetir, para la segunda quedan \(3\):
\[ 4\cdot 3=12 \]
Hay \(12\) claves posibles.
b) Si la primera letra es \(A\), la primera posición queda fija y para la segunda quedan \(3\) opciones:
\[ 1\cdot 3=3 \]
Entonces:
\[ P(\text{primera letra }A)=\frac{3}{12}=\frac{1}{4} \]
c) La letra \(A\) puede estar en la primera o en la segunda posición.
Si \(A\) está primero, hay \(3\) opciones para la segunda letra.
Si \(A\) está segundo, hay \(3\) opciones para la primera letra.
Casos favorables:
\[ 3+3=6 \]
Entonces:
\[ P(\text{contiene }A)=\frac{6}{12}=\frac{1}{2} \]
Ejercicio 4
Se forma un código de tres dígitos usando los dígitos \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\) y \(5\). Se permite repetir dígitos.
a) ¿Cuántos códigos posibles hay?
b) Calcula la probabilidad de que el código comience con \(2\).
c) Calcula la probabilidad de que todos sus dígitos sean pares.
a) Hay \(6\) opciones para cada posición:
\[ 6\cdot 6\cdot 6=216 \]
Hay \(216\) códigos posibles.
b) Si el código comienza con \(2\), la primera posición queda fija. Las otras dos posiciones tienen \(6\) opciones cada una:
\[ 1\cdot 6\cdot 6=36 \]
Entonces:
\[ P(\text{comienza con }2)=\frac{36}{216}=\frac{1}{6} \]
c) Los dígitos pares disponibles son \(0\), \(2\) y \(4\), es decir, \(3\) opciones. Como se permite repetir:
\[ 3\cdot 3\cdot 3=27 \]
Entonces:
\[ P(\text{todos pares})=\frac{27}{216}=\frac{1}{8} \]
Ejercicio 5
Se forma un código de tres dígitos usando los dígitos \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\) y \(5\). No se permite repetir dígitos.
a) ¿Cuántos códigos posibles hay?
b) Calcula la probabilidad de que el código comience con \(2\).
c) Calcula la probabilidad de que todos sus dígitos sean pares.
a) Para la primera posición hay \(6\) opciones, luego quedan \(5\), y después \(4\):
\[ 6\cdot 5\cdot 4=120 \]
Hay \(120\) códigos posibles.
b) Si el código comienza con \(2\), la primera posición queda fija. Luego quedan \(5\) opciones para la segunda posición y \(4\) para la tercera:
\[ 1\cdot 5\cdot 4=20 \]
Entonces:
\[ P(\text{comienza con }2)=\frac{20}{120}=\frac{1}{6} \]
c) Los dígitos pares disponibles son \(0\), \(2\) y \(4\), es decir, \(3\) opciones. Como no se permite repetir y se necesitan tres dígitos:
\[ 3\cdot 2\cdot 1=6 \]
Entonces:
\[ P(\text{todos pares})=\frac{6}{120}=\frac{1}{20} \]
Ejercicio 6
En un curso se elige una presidencia y una vicepresidencia entre \(8\) estudiantes. Una misma persona no puede ocupar ambos cargos.
a) ¿Cuántas formas posibles hay de asignar los cargos?
b) Si Camila pertenece al curso, calcula la probabilidad de que Camila sea presidenta.
c) Calcula la probabilidad de que Camila ocupe alguno de los dos cargos.
a) Para la presidencia hay \(8\) opciones. Luego quedan \(7\) opciones para la vicepresidencia:
\[ 8\cdot 7=56 \]
Hay \(56\) formas posibles.
b) Si Camila es presidenta, la presidencia queda fija. Para la vicepresidencia quedan \(7\) opciones:
\[ 1\cdot 7=7 \]
Entonces:
\[ P(\text{Camila presidenta})=\frac{7}{56}=\frac{1}{8} \]
c) Camila puede ser presidenta o vicepresidenta.
Si Camila es presidenta: \(7\) casos.
Si Camila es vicepresidenta: \(7\) casos.
Casos favorables:
\[ 7+7=14 \]
Por lo tanto:
\[ P(\text{Camila ocupa un cargo})=\frac{14}{56}=\frac{1}{4} \]
Ejercicio 7
Una caja tiene tres tarjetas: roja, azul y verde. Se extrae una tarjeta, se observa su color y luego se devuelve a la caja. Después se extrae una segunda tarjeta.
a) ¿El conteo es con repetición o sin repetición?
b) ¿Cuántos resultados posibles hay?
c) Calcula la probabilidad de obtener dos tarjetas del mismo color.
a) Es con repetición, porque la tarjeta se devuelve a la caja y puede volver a salir el mismo color.
b) Hay \(3\) opciones en la primera extracción y \(3\) en la segunda:
\[ 3\cdot 3=9 \]
Hay \(9\) resultados posibles.
c) Obtener dos tarjetas del mismo color puede ocurrir como:
\[ (\text{roja},\text{roja}),\quad (\text{azul},\text{azul}),\quad (\text{verde},\text{verde}) \]
Hay \(3\) casos favorables de \(9\) posibles:
\[ P(\text{mismo color})=\frac{3}{9}=\frac{1}{3} \]
Ejercicio 8
Una caja tiene tres tarjetas: roja, azul y verde. Se extrae una tarjeta y no se devuelve. Luego se extrae una segunda tarjeta.
a) ¿El conteo es con repetición o sin repetición?
b) ¿Cuántos resultados posibles hay?
c) Calcula la probabilidad de obtener dos tarjetas del mismo color.
a) Es sin repetición, porque la primera tarjeta no se devuelve a la caja.
b) Hay \(3\) opciones en la primera extracción. Luego quedan \(2\) opciones para la segunda:
\[ 3\cdot 2=6 \]
Hay \(6\) resultados posibles.
c) No se puede obtener dos veces el mismo color, porque la tarjeta extraída no se devuelve y solo hay una tarjeta de cada color.
Por lo tanto:
\[ P(\text{mismo color})=0 \]
Ejercicio 9
Se ordenan \(3\) libros distintos en una repisa, escogidos entre \(5\) libros disponibles.
a) ¿El conteo es con repetición o sin repetición?
b) ¿Cuántas formas distintas hay de elegir y ordenar los \(3\) libros?
c) Si uno de los libros es de matemática, calcula la probabilidad de que quede en la primera posición.
a) Es sin repetición, porque un mismo libro no puede ocupar más de una posición.
b) Para la primera posición hay \(5\) opciones. Luego quedan \(4\) para la segunda y \(3\) para la tercera:
\[ 5\cdot 4\cdot 3=60 \]
Hay \(60\) formas distintas.
c) Si el libro de matemática queda en la primera posición, esa posición queda fija. Luego quedan \(4\) opciones para la segunda posición y \(3\) para la tercera:
\[ 1\cdot 4\cdot 3=12 \]
Entonces:
\[ P(\text{matemática primero})=\frac{12}{60}=\frac{1}{5} \]
Ejercicio 10
Una contraseña se forma con dos letras seguidas de dos dígitos.
Las letras pueden ser \(A\), \(B\) o \(C\), y los dígitos pueden ser \(0\), \(1\) o \(2\). Se permite repetir letras y dígitos.
a) ¿Cuántas contraseñas posibles hay?
b) Calcula la probabilidad de que las dos letras sean iguales.
c) Calcula la probabilidad de que el último dígito sea \(0\).
a) Hay \(3\) opciones para cada letra y \(3\) opciones para cada dígito:
\[ 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81 \]
Hay \(81\) contraseñas posibles.
b) Para que las dos letras sean iguales, hay \(3\) posibilidades: \(AA\), \(BB\) o \(CC\). Los dígitos pueden ser cualesquiera:
\[ 3\cdot 3\cdot 3=27 \]
Entonces:
\[ P(\text{letras iguales})=\frac{27}{81}=\frac{1}{3} \]
c) Si el último dígito es \(0\), queda fijo. Las dos letras y el primer dígito tienen \(3\) opciones cada uno:
\[ 3\cdot 3\cdot 3\cdot 1=27 \]
Entonces:
\[ P(\text{último dígito }0)=\frac{27}{81}=\frac{1}{3} \]
Ejercicio 11
Una contraseña se forma con dos letras distintas seguidas de dos dígitos distintos.
Las letras pueden ser \(A\), \(B\) o \(C\), y los dígitos pueden ser \(0\), \(1\) o \(2\). No se permite repetir letras ni dígitos.
a) ¿Cuántas contraseñas posibles hay?
b) Calcula la probabilidad de que la primera letra sea \(A\).
c) Calcula la probabilidad de que la contraseña termine en \(0\).
a) Para las letras hay \(3\) opciones en la primera posición y \(2\) en la segunda. Para los dígitos hay \(3\) opciones en la primera posición y \(2\) en la segunda:
\[ 3\cdot 2\cdot 3\cdot 2=36 \]
Hay \(36\) contraseñas posibles.
b) Si la primera letra es \(A\), la primera posición queda fija. Para la segunda letra quedan \(2\) opciones. Para los dígitos hay \(3\) y luego \(2\) opciones:
\[ 1\cdot 2\cdot 3\cdot 2=12 \]
Entonces:
\[ P(\text{primera letra }A)=\frac{12}{36}=\frac{1}{3} \]
c) Si la contraseña termina en \(0\), el último dígito queda fijo. El primer dígito no puede ser \(0\), por lo que tiene \(2\) opciones. Las letras tienen \(3\) y \(2\) opciones:
\[ 3\cdot 2\cdot 2\cdot 1=12 \]
Entonces:
\[ P(\text{termina en }0)=\frac{12}{36}=\frac{1}{3} \]
Ejercicio 12
Un estudiante debe contar claves de \(3\) dígitos usando los dígitos del \(0\) al \(9\), sin repetir dígitos.
El estudiante calcula:
\[ 10\cdot 10\cdot 10=1000 \]
a) ¿Cuál es el error?
b) Calcula correctamente la cantidad de claves posibles.
c) Calcula la probabilidad de que la clave comience con \(7\).
a) El error es contar como si se permitiera repetir dígitos. Pero el enunciado dice que no se pueden repetir.
b) Para la primera posición hay \(10\) opciones. Luego quedan \(9\), y después \(8\):
\[ 10\cdot 9\cdot 8=720 \]
Hay \(720\) claves posibles.
c) Si la clave comienza con \(7\), la primera posición queda fija. Para la segunda posición quedan \(9\) opciones y para la tercera \(8\):
\[ 1\cdot 9\cdot 8=72 \]
Entonces:
\[ P(\text{comienza con }7)=\frac{72}{720}=\frac{1}{10} \]
Para continuar
En la próxima página se estudiarán las permutaciones simples, que permiten contar ordenamientos sin repetición de manera más eficiente.