Libro de Permutaciones y Combinatoria
5. Permutaciones simples
Objetivos de la página
- Reconocer situaciones donde se ordenan elementos distintos sin repetición.
- Comprender el significado de una permutación simple.
- Calcular permutaciones simples usando factorial.
- Usar permutaciones simples para calcular probabilidades en situaciones equiprobables.
¿Qué es una permutación simple?
Una permutación simple es un ordenamiento de elementos distintos, usando todos los elementos y sin repetir ninguno.
Por ejemplo, si se ordenan los estudiantes Ana, Bruno y Carla en una fila, algunos ordenamientos posibles son:
\[ (\text{Ana},\text{Bruno},\text{Carla}) \]
\[ (\text{Bruno},\text{Ana},\text{Carla}) \]
Estos ordenamientos son distintos porque el orden cambia.
Factorial de un número
Para calcular permutaciones simples se usa el factorial.
El factorial de un número natural \(n\) se escribe \(n!\) y se define como:
\[ n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1 \]
Por ejemplo:
\[ 4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24 \]
\[ 5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120 \]
Permutaciones simples de \(n\) elementos
Si se ordenan \(n\) elementos distintos, usando todos los elementos y sin repetir, la cantidad de ordenamientos posibles es:
\[ P_n=n! \]
Esto coincide con el principio multiplicativo: para el primer lugar hay \(n\) opciones, para el segundo quedan \(n-1\), para el tercero quedan \(n-2\), y así sucesivamente.
Ejemplo 1: ordenar libros distintos
Se quieren ordenar \(4\) libros distintos en una repisa.
Como se usan los \(4\) libros y no se repite ninguno, corresponde calcular una permutación simple:
\[ 4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24 \]
Por lo tanto, los \(4\) libros pueden ordenarse de \(24\) formas distintas.
Ejemplo 2: ordenar letras distintas
¿Cuántos ordenamientos distintos se pueden formar con las letras de la palabra \(MESA\)?
Las letras \(M\), \(E\), \(S\) y \(A\) son distintas.
Entonces se deben ordenar \(4\) elementos distintos:
\[ 4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24 \]
Por lo tanto, se pueden formar \(24\) ordenamientos distintos.
Ejemplo 3: probabilidad usando permutaciones
Se ordenan al azar \(5\) libros distintos en una repisa. Uno de ellos es de matemática.
Queremos calcular la probabilidad de que el libro de matemática quede en la primera posición.
Total de ordenamientos posibles:
\[ 5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120 \]
Casos favorables: el libro de matemática queda fijo en la primera posición, y los otros \(4\) libros se pueden ordenar en las posiciones restantes:
\[ 4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24 \]
Por lo tanto:
\[ P(\text{matemática primero})=\frac{24}{120}=\frac{1}{5} \]
Error frecuente
No toda situación de conteo es una permutación simple.
Para que sea una permutación simple deben cumplirse estas condiciones:
- los elementos son distintos;
- se usan todos los elementos;
- no se repite ningún elemento;
- el orden importa.
Idea clave
Cuando se ordenan todos los elementos distintos de un conjunto, se usa factorial.
Por ejemplo, ordenar \(6\) objetos distintos se calcula como:
\[ 6!=720 \]
Ejercicio 1
Calcula:
a) \(3!\)
b) \(4!\)
c) \(5!\)
a)
\[ 3!=3\cdot 2\cdot 1=6 \]
b)
\[ 4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24 \]
c)
\[ 5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120 \]
Ejercicio 2
Se ordenan \(3\) libros distintos en una repisa.
¿Cuántos ordenamientos posibles hay?
Como se ordenan \(3\) libros distintos y se usan todos, corresponde calcular:
\[ 3!=3\cdot 2\cdot 1=6 \]
Hay \(6\) ordenamientos posibles.
Ejercicio 3
Cuatro estudiantes distintos se forman en una fila.
¿De cuántas maneras distintas pueden ordenarse?
Se deben ordenar \(4\) estudiantes distintos, usando a todos y sin repetir.
Entonces:
\[ 4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24 \]
Pueden ordenarse de \(24\) maneras distintas.
Ejercicio 4
¿Cuántos ordenamientos distintos se pueden formar con las letras de la palabra \(SOL\)?
Las letras \(S\), \(O\) y \(L\) son distintas.
Por lo tanto, se ordenan \(3\) elementos distintos:
\[ 3!=3\cdot 2\cdot 1=6 \]
Se pueden formar \(6\) ordenamientos distintos.
Ejercicio 5
¿Cuántos ordenamientos distintos se pueden formar con las letras de la palabra \(ROMA\)?
Las letras \(R\), \(O\), \(M\) y \(A\) son distintas.
Entonces:
\[ 4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24 \]
Se pueden formar \(24\) ordenamientos distintos.
Ejercicio 6
Se ordenan \(5\) fotografías distintas en una fila.
a) ¿Cuántos ordenamientos posibles hay?
b) Si una fotografía es de un paisaje, ¿cuál es la probabilidad de que quede en la primera posición?
a) Se ordenan \(5\) fotografías distintas:
\[ 5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120 \]
Hay \(120\) ordenamientos posibles.
b) Si la fotografía de paisaje queda fija en la primera posición, las otras \(4\) fotografías se ordenan en las posiciones restantes:
\[ 4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24 \]
Entonces:
\[ P(\text{paisaje primero})=\frac{24}{120}=\frac{1}{5} \]
Ejercicio 7
Cinco estudiantes distintos se ordenan en una fila.
a) ¿Cuántos ordenamientos posibles hay?
b) Si uno de ellos es Ana, ¿cuál es la probabilidad de que Ana quede en la última posición?
a) Se ordenan \(5\) estudiantes distintos:
\[ 5!=120 \]
Hay \(120\) ordenamientos posibles.
b) Si Ana queda fija en la última posición, los otros \(4\) estudiantes pueden ordenarse en las otras posiciones:
\[ 4!=24 \]
Entonces:
\[ P(\text{Ana última})=\frac{24}{120}=\frac{1}{5} \]
Ejercicio 8
Se ordenan \(6\) libros distintos en una repisa.
a) ¿Cuántos ordenamientos posibles hay?
b) Si uno de los libros es de matemática, ¿cuál es la probabilidad de que quede en la primera posición?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el libro de matemática quede en la última posición?
a) Se ordenan \(6\) libros distintos:
\[ 6!=6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=720 \]
Hay \(720\) ordenamientos posibles.
b) Si el libro de matemática queda primero, los otros \(5\) libros se ordenan libremente:
\[ 5!=120 \]
Entonces:
\[ P(\text{matemática primero})=\frac{120}{720}=\frac{1}{6} \]
c) Si el libro de matemática queda último, los otros \(5\) libros se ordenan libremente:
\[ 5!=120 \]
Entonces:
\[ P(\text{matemática último})=\frac{120}{720}=\frac{1}{6} \]
Ejercicio 9
Se ordenan \(5\) estudiantes distintos en una fila. Uno de ellos es Bruno.
a) ¿Cuántos ordenamientos posibles hay?
b) Calcula la probabilidad de que Bruno quede primero o último.
a) Se ordenan \(5\) estudiantes distintos:
\[ 5!=120 \]
b) Bruno puede quedar primero o último.
Si Bruno queda primero, los otros \(4\) estudiantes se ordenan así:
\[ 4!=24 \]
Si Bruno queda último, los otros \(4\) estudiantes se ordenan así:
\[ 4!=24 \]
Casos favorables:
\[ 24+24=48 \]
Entonces:
\[ P(\text{Bruno primero o último})=\frac{48}{120}=\frac{2}{5} \]
Ejercicio 10
Se ordenan las letras distintas \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) y \(E\).
a) ¿Cuántos ordenamientos posibles hay?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el ordenamiento comience con \(A\)?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que termine con \(E\)?
a) Se ordenan \(5\) letras distintas:
\[ 5!=120 \]
b) Si comienza con \(A\), las otras \(4\) letras se ordenan en los lugares restantes:
\[ 4!=24 \]
Entonces:
\[ P(\text{comienza con }A)=\frac{24}{120}=\frac{1}{5} \]
c) Si termina con \(E\), las otras \(4\) letras se ordenan en los lugares restantes:
\[ 4!=24 \]
Entonces:
\[ P(\text{termina con }E)=\frac{24}{120}=\frac{1}{5} \]
Ejercicio 11
Se ordenan \(4\) estudiantes distintos en una fila: Ana, Bruno, Carla y Diego.
a) ¿Cuántos ordenamientos posibles hay?
b) Calcula la probabilidad de que Ana quede antes que Bruno.
a) Se ordenan \(4\) estudiantes distintos:
\[ 4!=24 \]
b) En cualquier ordenamiento donde aparecen Ana y Bruno, hay dos posibilidades respecto de ellos:
- Ana antes que Bruno;
- Bruno antes que Ana.
Como no hay ninguna condición que favorezca a uno sobre el otro, la mitad de los ordenamientos tiene a Ana antes que Bruno.
Entonces:
\[ P(\text{Ana antes que Bruno})=\frac{1}{2} \]
También se puede calcular con casos:
\[ \frac{12}{24}=\frac{1}{2} \]
Ejercicio 12
Un estudiante dice:
“Para ordenar \(5\) objetos distintos, se calcula \(5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\), porque en cada posición hay \(5\) opciones”.
¿Cuál es el error? Corrige el cálculo.
El error es contar como si se pudieran repetir objetos.
Al ordenar \(5\) objetos distintos, una vez que un objeto se usa en una posición, ya no puede usarse nuevamente.
Por eso, las opciones disminuyen:
\[ 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 \]
Entonces:
\[ 5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120 \]
Por lo tanto, hay \(120\) ordenamientos posibles, no \(3125\).
Para continuar
En la próxima página se estudiarán permutaciones con restricciones, donde algunos elementos deben ocupar posiciones específicas o cumplir ciertas condiciones.