Libro de Permutaciones y Combinatoria
6. Permutaciones con restricciones
Objetivos de la página
- Reconocer restricciones en problemas de ordenamiento.
- Calcular permutaciones cuando algunos elementos deben ocupar posiciones específicas.
- Aplicar estrategias como fijar elementos, formar bloques o usar el complemento.
- Calcular probabilidades usando permutaciones con restricciones.
¿Qué es una restricción?
Una restricción es una condición que limita los ordenamientos posibles.
Por ejemplo, al ordenar \(5\) estudiantes en una fila, algunas restricciones pueden ser:
- Ana debe quedar primera.
- Bruno no puede quedar último.
- Carla y Diego deben quedar juntos.
- Un libro de matemática debe quedar en uno de los extremos.
Estas condiciones reducen la cantidad de ordenamientos posibles.
Estrategias para contar con restricciones
Según la restricción, se puede usar una de estas estrategias:
- Fijar posiciones: si un elemento debe quedar en una posición específica, se fija ahí y se ordenan los demás.
- Formar bloques: si dos o más elementos deben quedar juntos, se tratan como un solo bloque.
- Usar el complemento: si una condición es difícil de contar directamente, se puede restar desde el total.
Ejemplo 1: un elemento fijo
Se ordenan \(5\) libros distintos en una repisa. Uno de ellos es de matemática y debe quedar en la primera posición.
Como el libro de matemática queda fijo, solo se deben ordenar los otros \(4\) libros:
\[ 4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24 \]
Por lo tanto, hay \(24\) ordenamientos posibles con el libro de matemática en la primera posición.
Si todos los ordenamientos de los \(5\) libros son igualmente probables, la probabilidad de que matemática quede primero es:
\[ P(\text{matemática primero})=\frac{4!}{5!}=\frac{24}{120}=\frac{1}{5} \]
Ejemplo 2: dos elementos juntos
Se ordenan \(5\) estudiantes distintos en una fila. Ana y Bruno deben quedar juntos.
Tratamos a Ana y Bruno como un bloque:
\[ (\text{Ana-Bruno}) \]
Entonces se deben ordenar \(4\) objetos: el bloque y los otros \(3\) estudiantes.
\[ 4!=24 \]
Pero dentro del bloque Ana y Bruno pueden ordenarse de \(2\) formas:
\[ (\text{Ana},\text{Bruno})\quad \text{o}\quad (\text{Bruno},\text{Ana}) \]
Por lo tanto:
\[ 4!\cdot 2=24\cdot 2=48 \]
Hay \(48\) ordenamientos donde Ana y Bruno quedan juntos.
Ejemplo 3: usar el complemento
Se ordenan \(5\) libros distintos. Uno de ellos es de matemática. Queremos contar los ordenamientos donde el libro de matemática no queda primero.
Primero contamos todos los ordenamientos posibles:
\[ 5!=120 \]
Luego contamos los ordenamientos donde matemática sí queda primero:
\[ 4!=24 \]
Entonces, los ordenamientos donde matemática no queda primero son:
\[ 120-24=96 \]
Error frecuente
Cuando dos elementos deben quedar juntos, no basta con fijarlos como un bloque. También hay que considerar el orden interno del bloque, salvo que el enunciado indique un orden específico.
Por ejemplo, si Ana y Bruno deben quedar juntos, pueden aparecer como Ana-Bruno o Bruno-Ana.
Idea clave
Antes de calcular, identifica qué restringe el problema:
- ¿Hay elementos fijos?
- ¿Hay elementos que deben quedar juntos?
- ¿Hay elementos que no pueden ocupar cierta posición?
- ¿Conviene contar directamente o usar el complemento?
Ejercicio 1
Se ordenan \(5\) estudiantes distintos en una fila. Clasifica cada restricción según la estrategia más adecuada: fijar posición, formar bloque o usar complemento.
a) Ana debe quedar primera.
b) Bruno y Carla deben quedar juntos.
c) Diego no puede quedar último.
a) Corresponde fijar posición, porque Ana debe ocupar un lugar específico: la primera posición.
b) Corresponde formar bloque, porque Bruno y Carla deben quedar juntos.
c) Conviene usar complemento: contar todos los ordenamientos y restar aquellos donde Diego queda último.
Ejercicio 2
Se ordenan \(6\) libros distintos en una repisa. Uno de ellos es de matemática.
a) ¿Cuántos ordenamientos posibles hay en total?
b) ¿Cuántos ordenamientos hay si el libro de matemática debe quedar primero?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el libro de matemática quede primero?
a) Se ordenan \(6\) libros distintos:
\[ 6!=720 \]
b) Si matemática queda primero, esa posición queda fija. Los otros \(5\) libros se ordenan libremente:
\[ 5!=120 \]
c) La probabilidad es:
\[ P(\text{matemática primero})=\frac{120}{720}=\frac{1}{6} \]
Ejercicio 3
Se ordenan \(5\) estudiantes distintos en una fila. Uno de ellos es Diego.
a) ¿Cuántos ordenamientos posibles hay en total?
b) ¿Cuántos ordenamientos hay si Diego debe quedar último?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que Diego quede último?
a) El total de ordenamientos es:
\[ 5!=120 \]
b) Si Diego queda último, se fija esa posición. Los otros \(4\) estudiantes se ordenan en los lugares restantes:
\[ 4!=24 \]
c)
\[ P(\text{Diego último})=\frac{24}{120}=\frac{1}{5} \]
Ejercicio 4
Se ordenan las letras distintas \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) y \(E\).
a) ¿Cuántos ordenamientos posibles hay en total?
b) ¿Cuántos ordenamientos comienzan con \(A\) y terminan con \(E\)?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que un ordenamiento comience con \(A\) y termine con \(E\)?
a) Como hay \(5\) letras distintas:
\[ 5!=120 \]
b) Si el ordenamiento comienza con \(A\) y termina con \(E\), esas dos posiciones quedan fijas.
Quedan \(3\) letras para ordenar en los espacios centrales:
\[ 3!=6 \]
c) La probabilidad es:
\[ P(\text{comienza con }A\text{ y termina con }E)=\frac{6}{120}=\frac{1}{20} \]
Ejercicio 5
Se ordenan \(6\) fotografías distintas en una fila. Una fotografía es de un paisaje.
a) ¿Cuántos ordenamientos posibles hay en total?
b) ¿Cuántos ordenamientos hay donde la fotografía de paisaje queda primera?
c) ¿Cuántos ordenamientos hay donde la fotografía de paisaje no queda primera?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que la fotografía de paisaje no quede primera?
a) El total es:
\[ 6!=720 \]
b) Si la fotografía de paisaje queda primera, las otras \(5\) se ordenan libremente:
\[ 5!=120 \]
c) Usamos complemento:
\[ 720-120=600 \]
Hay \(600\) ordenamientos donde la fotografía de paisaje no queda primera.
d)
\[ P(\text{paisaje no primero})=\frac{600}{720}=\frac{5}{6} \]
Ejercicio 6
Se ordenan \(5\) estudiantes distintos en una fila. Ana y Bruno deben quedar juntos.
a) ¿Cuántos ordenamientos posibles hay en total?
b) ¿Cuántos ordenamientos cumplen que Ana y Bruno quedan juntos?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que Ana y Bruno queden juntos?
a) El total de ordenamientos es:
\[ 5!=120 \]
b) Tratamos a Ana y Bruno como un bloque. Entonces se ordenan \(4\) objetos: el bloque y los otros \(3\) estudiantes.
\[ 4!=24 \]
Dentro del bloque, Ana y Bruno pueden ordenarse de \(2\) formas:
\[ (\text{Ana},\text{Bruno})\quad \text{o}\quad (\text{Bruno},\text{Ana}) \]
Por lo tanto:
\[ 4!\cdot 2=24\cdot 2=48 \]
c) La probabilidad es:
\[ P(\text{Ana y Bruno juntos})=\frac{48}{120}=\frac{2}{5} \]
Ejercicio 7
Se ordenan \(6\) estudiantes distintos en una fila. Ana y Bruno deben quedar juntos, pero Ana debe quedar antes que Bruno.
a) ¿Cuántos ordenamientos posibles hay en total?
b) ¿Cuántos ordenamientos cumplen la condición?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que Ana y Bruno queden juntos y Ana quede antes que Bruno?
a) El total de ordenamientos es:
\[ 6!=720 \]
b) Como Ana y Bruno deben quedar juntos, se tratan como un bloque.
Ahora se ordenan \(5\) objetos: el bloque y los otros \(4\) estudiantes:
\[ 5!=120 \]
Como el orden interno debe ser Ana-Bruno, no se multiplica por \(2\).
Hay \(120\) ordenamientos que cumplen la condición.
c)
\[ P(\text{Ana-Bruno juntos en ese orden})=\frac{120}{720}=\frac{1}{6} \]
Ejercicio 8
Se ordenan \(6\) libros distintos en una repisa. Dos de ellos son de matemática y ciencias.
a) ¿Cuántos ordenamientos posibles hay en total?
b) ¿Cuántos ordenamientos hay si los libros de matemática y ciencias deben quedar en los extremos?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que esos dos libros queden en los extremos?
a) El total de ordenamientos es:
\[ 6!=720 \]
b) Los libros de matemática y ciencias pueden ocupar los dos extremos de \(2\) formas:
\[ \text{Matemática-Ciencias}\quad \text{o}\quad \text{Ciencias-Matemática} \]
Los otros \(4\) libros se ordenan en los espacios centrales:
\[ 4!=24 \]
Entonces:
\[ 2\cdot 4!=2\cdot 24=48 \]
c) La probabilidad es:
\[ P(\text{matemática y ciencias en extremos})=\frac{48}{720}=\frac{1}{15} \]
Ejercicio 9
Se ordenan \(5\) libros distintos en una repisa. Dos de ellos son de matemática y ciencias.
a) ¿Cuántos ordenamientos posibles hay en total?
b) ¿Cuántos ordenamientos hay si matemática y ciencias quedan juntos?
c) ¿Cuántos ordenamientos hay si matemática y ciencias no quedan juntos?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que no queden juntos?
a) El total de ordenamientos es:
\[ 5!=120 \]
b) Si matemática y ciencias quedan juntos, se tratan como un bloque. Entonces se ordenan \(4\) objetos:
\[ 4!=24 \]
Dentro del bloque, los dos libros pueden ordenarse de \(2\) formas:
\[ 2\cdot 4!=2\cdot 24=48 \]
c) Usamos complemento:
\[ 120-48=72 \]
Hay \(72\) ordenamientos donde matemática y ciencias no quedan juntos.
d)
\[ P(\text{no quedan juntos})=\frac{72}{120}=\frac{3}{5} \]
Ejercicio 10
Se ordenan \(6\) estudiantes distintos en una fila. Uno de ellos es Carla. Además, Ana debe quedar antes que Bruno.
a) ¿Cuántos ordenamientos posibles hay en total?
b) ¿Cuántos ordenamientos cumplen que Carla queda última y Ana queda antes que Bruno?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que Carla quede última y Ana quede antes que Bruno?
a) Se ordenan \(6\) estudiantes distintos:
\[ 6!=720 \]
b) Primero fijamos a Carla en la última posición. Quedan \(5\) estudiantes para ordenar:
\[ 5!=120 \]
De esos ordenamientos, en la mitad Ana queda antes que Bruno, y en la otra mitad Bruno queda antes que Ana.
Entonces:
\[ \frac{120}{2}=60 \]
Hay \(60\) ordenamientos que cumplen ambas condiciones.
c)
\[ P(\text{Carla última y Ana antes que Bruno})=\frac{60}{720}=\frac{1}{12} \]
Ejercicio 11
Se ordenan \(7\) libros distintos en una repisa. Uno de ellos es de historia.
a) ¿Cuántos ordenamientos posibles hay en total?
b) ¿Cuántos ordenamientos hay si el libro de historia queda en uno de los extremos?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el libro de historia quede en uno de los extremos?
a) El total es:
\[ 7!=5040 \]
b) El libro de historia puede quedar en el extremo izquierdo o en el extremo derecho: \(2\) opciones.
Los otros \(6\) libros se ordenan libremente:
\[ 6!=720 \]
Por lo tanto:
\[ 2\cdot 6!=2\cdot 720=1440 \]
c) La probabilidad es:
\[ P(\text{historia en un extremo})=\frac{1440}{5040}=\frac{2}{7} \]
Ejercicio 12
Un estudiante quiere contar los ordenamientos de \(5\) estudiantes distintos donde Ana y Bruno deben quedar juntos. Calcula:
\[ 4!=24 \]
a) ¿Cuál es el error?
b) Calcula correctamente la cantidad de ordenamientos.
c) Calcula la probabilidad de que Ana y Bruno queden juntos.
a) El estudiante trató a Ana y Bruno como un bloque, lo cual es correcto, pero olvidó considerar el orden interno del bloque.
Ana y Bruno pueden quedar como:
\[ (\text{Ana},\text{Bruno})\quad \text{o}\quad (\text{Bruno},\text{Ana}) \]
b) Se ordenan \(4\) objetos: el bloque y los otros \(3\) estudiantes.
\[ 4!=24 \]
Luego se multiplica por \(2\), porque el bloque puede ordenarse internamente de dos formas:
\[ 4!\cdot 2=24\cdot 2=48 \]
Hay \(48\) ordenamientos correctos.
c) El total de ordenamientos de \(5\) estudiantes es:
\[ 5!=120 \]
Entonces:
\[ P(\text{Ana y Bruno juntos})=\frac{48}{120}=\frac{2}{5} \]
Para continuar
En la próxima página se estudiarán las combinaciones simples, donde se seleccionan elementos y el orden no importa.