Libro de Permutaciones y Combinatoria
7. Combinaciones simples
Objetivos de la página
- Reconocer situaciones donde se seleccionan elementos sin importar el orden.
- Distinguir una combinación simple de una permutación.
- Calcular combinaciones simples usando factoriales.
- Usar combinaciones para calcular probabilidades en situaciones equiprobables.
¿Qué es una combinación simple?
Una combinación simple es una selección de elementos distintos donde el orden no importa y no se repiten elementos.
Por ejemplo, si se eligen \(2\) estudiantes entre Ana, Bruno y Carla para representar al curso, elegir Ana y Bruno es lo mismo que elegir Bruno y Ana.
En una combinación interesa quiénes fueron elegidos, no el orden en que aparecen.
Fórmula de combinaciones simples
La cantidad de formas de elegir \(k\) elementos entre \(n\) elementos distintos, sin repetir y sin importar el orden, se escribe:
\[ \binom{n}{k} \]
y se calcula con la fórmula:
\[ \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} \]
Pregunta clave
Antes de usar combinaciones, pregúntate:
¿Importa el orden?
Si el orden no importa y solo se seleccionan elementos, entonces corresponde usar combinaciones.
Ejemplo 1: elegir representantes
En un curso se eligen \(2\) representantes entre \(5\) estudiantes.
Como solo interesa quiénes son elegidos y no el orden, corresponde usar combinaciones:
\[ \binom{5}{2}=\frac{5!}{2!(5-2)!} \]
\[ \binom{5}{2}=\frac{5!}{2!3!} \]
Simplificamos:
\[ \binom{5}{2}=\frac{5\cdot 4\cdot 3!}{2\cdot 1\cdot 3!} \]
\[ \binom{5}{2}=\frac{5\cdot 4}{2}=10 \]
Por lo tanto, hay \(10\) formas de elegir \(2\) representantes entre \(5\) estudiantes.
Ejemplo 2: elegir libros
Una estudiante debe elegir \(3\) libros entre \(6\) disponibles.
Como no importa el orden en que los elige, usamos combinaciones:
\[ \binom{6}{3}=\frac{6!}{3!(6-3)!} \]
\[ \binom{6}{3}=\frac{6!}{3!3!} \]
\[ \binom{6}{3}=\frac{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3!}{3\cdot 2\cdot 1\cdot 3!} \]
\[ \binom{6}{3}=\frac{6\cdot 5\cdot 4}{3\cdot 2\cdot 1}=20 \]
Hay \(20\) formas distintas de elegir \(3\) libros entre \(6\).
Ejemplo 3: probabilidad usando combinaciones
En una caja hay \(5\) tarjetas: \(2\) rojas y \(3\) azules. Se extraen \(2\) tarjetas al azar, sin importar el orden.
Queremos calcular la probabilidad de que ambas tarjetas sean rojas.
Primero contamos los casos posibles:
\[ \binom{5}{2}=10 \]
Ahora contamos los casos favorables. Para obtener dos rojas, se deben elegir las \(2\) tarjetas rojas entre las \(2\) disponibles:
\[ \binom{2}{2}=1 \]
Entonces:
\[ P(\text{dos rojas})=\frac{\binom{2}{2}}{\binom{5}{2}}=\frac{1}{10} \]
Error frecuente
No se debe usar permutaciones cuando el orden no importa.
Por ejemplo, elegir Ana y Bruno como representantes es lo mismo que elegir Bruno y Ana. Por eso se cuenta una sola selección, no dos.
Ejercicio 1
Calcula las siguientes combinaciones:
a) \(\binom{4}{2}\)
b) \(\binom{5}{2}\)
c) \(\binom{6}{3}\)
a)
\[ \binom{4}{2}=\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{4!}{2!2!} \]
\[ \binom{4}{2}=\frac{4\cdot 3\cdot 2!}{2\cdot 1\cdot 2!}=\frac{4\cdot 3}{2}=6 \]
b)
\[ \binom{5}{2}=\frac{5!}{2!3!} \]
\[ \binom{5}{2}=\frac{5\cdot 4\cdot 3!}{2\cdot 1\cdot 3!}=\frac{5\cdot 4}{2}=10 \]
c)
\[ \binom{6}{3}=\frac{6!}{3!3!} \]
\[ \binom{6}{3}=\frac{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3!}{3\cdot 2\cdot 1\cdot 3!}=20 \]
Ejercicio 2
En un curso se deben elegir \(2\) estudiantes entre \(6\) para formar una comisión.
a) ¿Importa el orden de elección?
b) ¿Cuántas comisiones distintas se pueden formar?
a) No importa el orden. Si se elige a Ana y Bruno, es la misma comisión que elegir a Bruno y Ana.
b) Se deben elegir \(2\) estudiantes entre \(6\), sin importar el orden:
\[ \binom{6}{2}=\frac{6!}{2!4!} \]
\[ \binom{6}{2}=\frac{6\cdot 5\cdot 4!}{2\cdot 1\cdot 4!}=\frac{6\cdot 5}{2}=15 \]
Se pueden formar \(15\) comisiones distintas.
Ejercicio 3
Una biblioteca ofrece \(7\) libros distintos. Un estudiante debe elegir \(3\) para leer durante el mes.
¿Cuántas selecciones distintas puede hacer?
El estudiante elige \(3\) libros entre \(7\), sin importar el orden.
Por lo tanto, corresponde calcular:
\[ \binom{7}{3}=\frac{7!}{3!4!} \]
\[ \binom{7}{3}=\frac{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4!}{3\cdot 2\cdot 1\cdot 4!} \]
\[ \binom{7}{3}=\frac{7\cdot 6\cdot 5}{6}=35 \]
Puede hacer \(35\) selecciones distintas.
Ejercicio 4
Un equipo deportivo debe seleccionar \(4\) titulares entre \(9\) jugadores disponibles.
a) ¿Corresponde usar permutaciones o combinaciones?
b) ¿Cuántas selecciones posibles hay?
a) Corresponde usar combinaciones, porque solo importa qué jugadores son seleccionados, no el orden en que se nombran.
b) Se eligen \(4\) jugadores entre \(9\):
\[ \binom{9}{4}=\frac{9!}{4!5!} \]
\[ \binom{9}{4}=\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5!}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 5!} \]
\[ \binom{9}{4}=\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{24}=126 \]
Hay \(126\) selecciones posibles.
Ejercicio 5
En una caja hay \(8\) tarjetas distintas. Se extraen \(2\) tarjetas al azar, sin importar el orden.
a) ¿Cuántas parejas de tarjetas se pueden obtener?
b) Si una tarjeta especial está en la caja, ¿cuántas parejas contienen esa tarjeta?
c) Calcula la probabilidad de que la pareja contenga la tarjeta especial.
a) Se eligen \(2\) tarjetas entre \(8\):
\[ \binom{8}{2}=\frac{8\cdot 7}{2}=28 \]
Hay \(28\) parejas posibles.
b) Si la tarjeta especial debe estar en la pareja, falta elegir \(1\) tarjeta entre las otras \(7\):
\[ \binom{7}{1}=7 \]
Hay \(7\) parejas que contienen la tarjeta especial.
c) La probabilidad es:
\[ P(\text{contiene tarjeta especial})=\frac{7}{28}=\frac{1}{4} \]
Ejercicio 6
En un grupo hay \(5\) mujeres y \(4\) hombres. Se eligen \(3\) personas al azar para una actividad.
a) ¿Cuántas selecciones posibles hay en total?
b) ¿Cuántas selecciones están formadas solo por mujeres?
c) Calcula la probabilidad de elegir solo mujeres.
En total hay:
\[ 5+4=9 \]
personas.
a) Se eligen \(3\) personas entre \(9\):
\[ \binom{9}{3}=\frac{9\cdot 8\cdot 7}{3\cdot 2\cdot 1}=84 \]
b) Para elegir solo mujeres, se eligen \(3\) mujeres entre \(5\):
\[ \binom{5}{3}=\frac{5\cdot 4\cdot 3}{3\cdot 2\cdot 1}=10 \]
c) La probabilidad es:
\[ P(\text{solo mujeres})=\frac{10}{84}=\frac{5}{42} \]
Ejercicio 7
En un grupo hay \(6\) estudiantes de primero medio y \(5\) estudiantes de segundo medio. Se eligen \(4\) estudiantes al azar.
a) ¿Cuántas selecciones posibles hay en total?
b) ¿Cuántas selecciones tienen exactamente \(2\) estudiantes de primero medio y \(2\) de segundo medio?
c) Calcula la probabilidad de seleccionar exactamente \(2\) de cada nivel.
En total hay:
\[ 6+5=11 \]
estudiantes.
a) Se eligen \(4\) estudiantes entre \(11\):
\[ \binom{11}{4}=\frac{11\cdot 10\cdot 9\cdot 8}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=330 \]
b) Se eligen \(2\) estudiantes de primero medio entre \(6\):
\[ \binom{6}{2}=15 \]
Se eligen \(2\) estudiantes de segundo medio entre \(5\):
\[ \binom{5}{2}=10 \]
Como ambas elecciones ocurren juntas, multiplicamos:
\[ 15\cdot 10=150 \]
c) La probabilidad es:
\[ P(\text{exactamente }2\text{ y }2)=\frac{150}{330}=\frac{5}{11} \]
Ejercicio 8
En una urna hay \(4\) bolitas rojas y \(6\) bolitas azules. Se extraen \(3\) bolitas al azar, sin importar el orden.
a) ¿Cuántas extracciones posibles hay en total?
b) ¿Cuántas extracciones tienen exactamente \(2\) rojas y \(1\) azul?
c) Calcula la probabilidad de obtener exactamente \(2\) rojas y \(1\) azul.
En total hay:
\[ 4+6=10 \]
bolitas.
a) Se extraen \(3\) bolitas entre \(10\):
\[ \binom{10}{3}=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{3\cdot 2\cdot 1}=120 \]
b) Elegimos \(2\) rojas entre \(4\):
\[ \binom{4}{2}=6 \]
Elegimos \(1\) azul entre \(6\):
\[ \binom{6}{1}=6 \]
Casos favorables:
\[ 6\cdot 6=36 \]
c) La probabilidad es:
\[ P(\text{exactamente }2\text{ rojas y }1\text{ azul})=\frac{36}{120}=\frac{3}{10} \]
Ejercicio 9
En una caja hay \(5\) tarjetas numeradas del \(1\) al \(5\). Se eligen \(2\) tarjetas al azar, sin importar el orden.
a) ¿Cuántas selecciones posibles hay?
b) ¿Cuántas selecciones tienen suma \(6\)?
c) Calcula la probabilidad de que la suma sea \(6\).
a) Se eligen \(2\) tarjetas entre \(5\):
\[ \binom{5}{2}=10 \]
b) Buscamos parejas de números distintos entre \(1\) y \(5\) que sumen \(6\):
\[ 1+5=6 \]
\[ 2+4=6 \]
La pareja \(3+3\) no sirve, porque solo hay una tarjeta con el número \(3\) y no se repite.
Hay \(2\) selecciones favorables.
c) La probabilidad es:
\[ P(\text{suma }6)=\frac{2}{10}=\frac{1}{5} \]
Ejercicio 10
De un grupo de \(10\) estudiantes se elegirá una comisión de \(3\) personas. En el grupo está Martina.
a) ¿Cuántas comisiones posibles hay?
b) ¿Cuántas comisiones incluyen a Martina?
c) Calcula la probabilidad de que Martina sea parte de la comisión.
a) Se eligen \(3\) estudiantes entre \(10\):
\[ \binom{10}{3}=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{3\cdot 2\cdot 1}=120 \]
b) Si Martina debe estar en la comisión, queda fija una persona. Faltan elegir \(2\) estudiantes entre los otros \(9\):
\[ \binom{9}{2}=\frac{9\cdot 8}{2}=36 \]
c) La probabilidad es:
\[ P(\text{Martina pertenece a la comisión})=\frac{36}{120}=\frac{3}{10} \]
Ejercicio 11
En un taller hay \(4\) cupos disponibles y \(12\) estudiantes interesados.
a) ¿Cuántos grupos de \(4\) estudiantes pueden formarse?
b) Si dos estudiantes específicos, Ana y Bruno, quieren quedar juntos en el taller, ¿cuántos grupos los incluyen a ambos?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos queden en el grupo si se elige al azar?
a) Se eligen \(4\) estudiantes entre \(12\):
\[ \binom{12}{4}=\frac{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=495 \]
b) Si Ana y Bruno deben estar en el grupo, ya hay \(2\) cupos ocupados. Faltan elegir \(2\) estudiantes entre los otros \(10\):
\[ \binom{10}{2}=\frac{10\cdot 9}{2}=45 \]
c) La probabilidad es:
\[ P(\text{Ana y Bruno en el grupo})=\frac{45}{495}=\frac{1}{11} \]
Ejercicio 12
Un estudiante debe contar las formas de elegir \(3\) estudiantes entre \(8\) para una comisión. Calcula:
\[ 8\cdot 7\cdot 6=336 \]
a) ¿Cuál es el error?
b) Calcula correctamente la cantidad de comisiones posibles.
c) Explica por qué se divide por \(3!\).
a) El estudiante usó un conteo ordenado, como si importara el orden en que se eligen los \(3\) estudiantes.
Pero en una comisión no importa el orden: elegir Ana, Bruno y Carla es la misma comisión que elegir Carla, Ana y Bruno.
b) Corresponde usar combinaciones:
\[ \binom{8}{3}=\frac{8!}{3!5!} \]
\[ \binom{8}{3}=\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5!}{3\cdot 2\cdot 1\cdot 5!} \]
\[ \binom{8}{3}=\frac{8\cdot 7\cdot 6}{6}=56 \]
Hay \(56\) comisiones posibles.
c) Se divide por \(3!\) porque cada grupo de \(3\) estudiantes fue contado varias veces en distintos órdenes.
Por ejemplo, un mismo grupo formado por Ana, Bruno y Carla puede ordenarse de:
\[ 3!=6 \]
formas distintas. Como esos \(6\) ordenamientos representan la misma comisión, se debe dividir por \(6\).
Para continuar
En la próxima página se distinguirá entre permutaciones y combinaciones, para decidir correctamente cuándo importa el orden y cuándo no.