Libro de Permutaciones y Combinatoria

a) Corresponde usar permutaciones, porque se ordenan libros y el orden en la repisa importa.

b) Corresponde usar combinaciones, porque se forma una comisión y el orden de elección no importa.

c) Corresponde usar permutaciones o conteo ordenado, porque presidente y secretario son cargos distintos.

d) Corresponde usar combinaciones, porque se seleccionan canciones sin importar el orden.

a) Sí importa el orden, porque los cargos son distintos.

No es lo mismo que una persona sea presidenta y otra secretaria, a que ocupen los cargos al revés.

b) Para la presidencia hay \(7\) opciones. Luego quedan \(6\) opciones para la secretaría:

\[ 7\cdot 6=42 \]

Hay \(42\) formas posibles de asignar los cargos.

a) No importa el orden, porque solo interesa quiénes serán representantes.

b) Se eligen \(2\) estudiantes entre \(7\):

\[ \binom{7}{2}=\frac{7!}{2!5!} \]

\[ \binom{7}{2}=\frac{7\cdot 6}{2}=21 \]

Se pueden formar \(21\) parejas de representantes.

a) Para presidente hay \(8\) opciones. Luego quedan \(7\) opciones para vicepresidente:

\[ 8\cdot 7=56 \]

b) Para una comisión de \(2\) estudiantes, el orden no importa:

\[ \binom{8}{2}=\frac{8\cdot 7}{2}=28 \]

c) Los resultados son distintos porque en los cargos sí importa quién ocupa cada puesto. En cambio, en la comisión solo importa el grupo formado.

a) Corresponde usar permutaciones, porque se ordenan todos los libros y el orden importa.

b) Se ordenan \(5\) libros distintos:

\[ 5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120 \]

Hay \(120\) ordenamientos posibles.

a) Corresponde usar combinaciones, porque solo importa qué libros elige, no el orden en que los elige.

b) Se eligen \(3\) libros entre \(5\):

\[ \binom{5}{3}=\frac{5!}{3!2!} \]

\[ \binom{5}{3}=\frac{5\cdot 4}{2}=10 \]

Hay \(10\) selecciones posibles.

a) Sí importa el orden, porque \(AB\) y \(BA\) son claves distintas.

b) Para la primera letra hay \(4\) opciones. Como deben ser distintas, para la segunda quedan \(3\):

\[ 4\cdot 3=12 \]

Hay \(12\) claves posibles.

a) Como se eligen \(2\) tarjetas y el orden no importa:

\[ \binom{5}{2}=\frac{5\cdot 4}{2}=10 \]

Hay \(10\) selecciones posibles.

b) Si la tarjeta \(1\) debe estar en la selección, falta elegir \(1\) tarjeta entre las otras \(4\):

\[ \binom{4}{1}=4 \]

Hay \(4\) selecciones que contienen la tarjeta \(1\).

c) La probabilidad es:

\[ P(\text{contiene tarjeta }1)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5} \]

a) Sí importa el orden, porque no es lo mismo quedar en el primer, segundo o tercer puesto.

b) Para el primer puesto hay \(6\) opciones. Luego quedan \(5\) para el segundo y \(4\) para el tercero:

\[ 6\cdot 5\cdot 4=120 \]

Hay \(120\) formas posibles.

a) No importa el orden, porque solo interesa quiénes forman el equipo.

b) Se eligen \(3\) estudiantes entre \(6\):

\[ \binom{6}{3}=\frac{6!}{3!3!} \]

\[ \binom{6}{3}=\frac{6\cdot 5\cdot 4}{3\cdot 2\cdot 1}=20 \]

Hay \(20\) equipos posibles.

c) En el ejercicio anterior había \(120\) formas porque el orden en los puestos importaba. Aquí hay \(20\) equipos porque cada grupo de \(3\) estudiantes se cuenta una sola vez.

a) Corresponde usar combinaciones, porque solo importa quiénes ocupan los cupos, no el orden.

b) Se eligen \(4\) estudiantes entre \(9\):

\[ \binom{9}{4}=\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=126 \]

c) Si Martina queda seleccionada, falta elegir \(3\) estudiantes entre los otros \(8\):

\[ \binom{8}{3}=\frac{8\cdot 7\cdot 6}{3\cdot 2\cdot 1}=56 \]

Entonces:

\[ P(\text{Martina seleccionada})=\frac{56}{126}=\frac{4}{9} \]

a) El error es contar como si el orden importara. El cálculo \(8\cdot 7\cdot 6\) distingue entre primer, segundo y tercer elegido.

Pero en una comisión no hay posiciones distintas; solo importa el grupo elegido.

b) Corresponde usar combinaciones:

\[ \binom{8}{3}=\frac{8!}{3!5!} \]

\[ \binom{8}{3}=\frac{8\cdot 7\cdot 6}{3\cdot 2\cdot 1}=56 \]

Hay \(56\) comisiones posibles.

c) Se decide observando si el orden cambia el resultado. En una comisión, elegir Ana, Bruno y Carla es lo mismo que elegir Carla, Ana y Bruno. Como el orden no cambia el grupo, se usa combinación.