Libro de Permutaciones y Combinatoria
9. Cálculo de probabilidades usando conteo
Objetivos de la página
- Calcular probabilidades usando casos favorables y casos posibles.
- Aplicar técnicas de conteo en situaciones equiprobables.
- Distinguir cuándo usar principio multiplicativo, permutaciones o combinaciones.
- Justificar probabilidades mediante conteo ordenado o no ordenado.
Probabilidad usando conteo
Cuando todos los resultados posibles son igualmente probables, la probabilidad de un evento \(A\) se calcula como:
\[ P(A)=\frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}} \]
Las técnicas de conteo permiten calcular esos casos sin tener que listar todos los resultados.
Procedimiento general
- Identifica qué se está contando.
- Decide si el orden importa o no importa.
- Calcula la cantidad total de casos posibles.
- Calcula la cantidad de casos favorables al evento.
- Forma la fracción y simplifica si es posible.
Idea clave
Para calcular una probabilidad con conteo, los casos favorables y los casos posibles deben contarse con el mismo criterio.
Si los casos posibles se cuentan como ordenados, los favorables también deben contarse como ordenados. Si los casos posibles se cuentan sin importar el orden, los favorables también deben contarse sin importar el orden.
Ejemplo 1: clave con letras distintas
Una clave se forma con dos letras distintas elegidas entre \(A\), \(B\), \(C\) y \(D\). El orden importa.
Queremos calcular la probabilidad de que la clave comience con \(A\).
Casos posibles:
\[ 4\cdot 3=12 \]
Casos favorables: si la clave comienza con \(A\), la primera letra queda fija y para la segunda quedan \(3\) opciones.
\[ 1\cdot 3=3 \]
Entonces:
\[ P(\text{comienza con }A)=\frac{3}{12}=\frac{1}{4} \]
Ejemplo 2: comisión de estudiantes
De un grupo de \(8\) estudiantes se elige una comisión de \(3\) personas. En el grupo está Martina.
Queremos calcular la probabilidad de que Martina quede en la comisión.
Como se forma una comisión, el orden no importa.
Casos posibles:
\[ \binom{8}{3}=\frac{8\cdot 7\cdot 6}{3\cdot 2\cdot 1}=56 \]
Casos favorables: Martina queda fija en la comisión, por lo que faltan elegir \(2\) estudiantes entre los otros \(7\):
\[ \binom{7}{2}=\frac{7\cdot 6}{2}=21 \]
Entonces:
\[ P(\text{Martina en la comisión})=\frac{21}{56}=\frac{3}{8} \]
Ejemplo 3: ordenar libros
Se ordenan \(5\) libros distintos en una repisa. Uno de ellos es de matemática y otro es de historia.
Queremos calcular la probabilidad de que matemática e historia queden juntos.
Casos posibles:
\[ 5!=120 \]
Casos favorables: tratamos matemática e historia como un bloque. Entonces se ordenan \(4\) objetos: el bloque y los otros \(3\) libros.
\[ 4!=24 \]
Dentro del bloque, los dos libros pueden ordenarse de \(2\) formas:
\[ 2\cdot 4!=2\cdot 24=48 \]
Entonces:
\[ P(\text{matemática e historia juntos})=\frac{48}{120}=\frac{2}{5} \]
Error frecuente
Un error común es contar los casos posibles de una forma y los casos favorables de otra.
Por ejemplo, si se cuentan comisiones sin importar el orden, no se deben contar los casos favorables como si el orden importara.
Ejercicio 1
Una clave se forma con una letra entre \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) y \(E\), seguida de un dígito entre \(0\) y \(9\).
a) ¿Cuántas claves posibles hay?
b) ¿Cuántas claves comienzan con \(A\)?
c) Calcula la probabilidad de que la clave comience con \(A\).
a) Hay \(5\) opciones de letra y \(10\) opciones de dígito:
\[ 5\cdot 10=50 \]
Hay \(50\) claves posibles.
b) Si la clave comienza con \(A\), la letra queda fija y el dígito puede ser cualquiera de los \(10\):
\[ 1\cdot 10=10 \]
c) La probabilidad es:
\[ P(\text{comienza con }A)=\frac{10}{50}=\frac{1}{5} \]
Ejercicio 2
Una clave se forma con tres dígitos usando \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\) y \(5\). Se permite repetir dígitos.
a) ¿Cuántas claves posibles hay?
b) ¿Cuántas claves tienen solo dígitos pares?
c) Calcula la probabilidad de que la clave tenga solo dígitos pares.
a) Hay \(6\) opciones para cada posición:
\[ 6\cdot 6\cdot 6=216 \]
b) Los dígitos pares disponibles son \(0\), \(2\) y \(4\), es decir, \(3\) opciones. Como se permite repetir:
\[ 3\cdot 3\cdot 3=27 \]
c) La probabilidad es:
\[ P(\text{solo pares})=\frac{27}{216}=\frac{1}{8} \]
Ejercicio 3
Una clave se forma con tres dígitos usando \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\) y \(5\), sin repetir dígitos.
a) ¿Cuántas claves posibles hay?
b) ¿Cuántas claves comienzan con \(2\)?
c) Calcula la probabilidad de que la clave comience con \(2\).
a) Para la primera posición hay \(6\) opciones, luego quedan \(5\), y finalmente \(4\):
\[ 6\cdot 5\cdot 4=120 \]
b) Si la clave comienza con \(2\), la primera posición queda fija. Luego quedan \(5\) opciones para la segunda posición y \(4\) para la tercera:
\[ 1\cdot 5\cdot 4=20 \]
c)
\[ P(\text{comienza con }2)=\frac{20}{120}=\frac{1}{6} \]
Ejercicio 4
Se ordenan \(6\) libros distintos en una repisa. Uno de ellos es de ciencias.
a) ¿Cuántos ordenamientos posibles hay?
b) ¿Cuántos ordenamientos tienen el libro de ciencias en la primera posición?
c) Calcula la probabilidad de que el libro de ciencias quede primero.
a) Se ordenan \(6\) libros distintos:
\[ 6!=720 \]
b) Si ciencias queda primero, los otros \(5\) libros se ordenan libremente:
\[ 5!=120 \]
c) La probabilidad es:
\[ P(\text{ciencias primero})=\frac{120}{720}=\frac{1}{6} \]
Ejercicio 5
Se ordenan \(5\) estudiantes distintos en una fila. Uno de ellos es Ana.
a) ¿Cuántos ordenamientos posibles hay?
b) ¿Cuántos ordenamientos tienen a Ana en uno de los extremos?
c) Calcula la probabilidad de que Ana quede en uno de los extremos.
a) El total de ordenamientos es:
\[ 5!=120 \]
b) Ana puede quedar en el primer lugar o en el último lugar: \(2\) opciones.
Los otros \(4\) estudiantes se ordenan libremente:
\[ 4!=24 \]
Casos favorables:
\[ 2\cdot 4!=2\cdot 24=48 \]
c) La probabilidad es:
\[ P(\text{Ana en un extremo})=\frac{48}{120}=\frac{2}{5} \]
Ejercicio 6
De un grupo de \(9\) estudiantes se elige una comisión de \(3\) personas.
a) ¿Cuántas comisiones posibles hay?
b) Si Pedro pertenece al grupo, ¿cuántas comisiones incluyen a Pedro?
c) Calcula la probabilidad de que Pedro quede en la comisión.
a) Como se forma una comisión, el orden no importa:
\[ \binom{9}{3}=\frac{9\cdot 8\cdot 7}{3\cdot 2\cdot 1}=84 \]
b) Si Pedro queda fijo en la comisión, faltan elegir \(2\) estudiantes entre los otros \(8\):
\[ \binom{8}{2}=\frac{8\cdot 7}{2}=28 \]
c) La probabilidad es:
\[ P(\text{Pedro en la comisión})=\frac{28}{84}=\frac{1}{3} \]
Ejercicio 7
En una urna hay \(4\) bolitas rojas y \(6\) bolitas azules. Se extraen \(3\) bolitas al azar, sin importar el orden.
a) ¿Cuántas extracciones posibles hay?
b) ¿Cuántas extracciones tienen exactamente \(2\) rojas y \(1\) azul?
c) Calcula la probabilidad de obtener exactamente \(2\) rojas y \(1\) azul.
En total hay \(10\) bolitas.
a) Se extraen \(3\) bolitas entre \(10\):
\[ \binom{10}{3}=120 \]
b) Elegimos \(2\) rojas entre \(4\) y \(1\) azul entre \(6\):
\[ \binom{4}{2}\cdot \binom{6}{1}=6\cdot 6=36 \]
c) La probabilidad es:
\[ P(\text{exactamente }2\text{ rojas y }1\text{ azul})=\frac{36}{120}=\frac{3}{10} \]
Ejercicio 8
En una caja hay \(5\) tarjetas numeradas del \(1\) al \(5\). Se eligen \(2\) tarjetas al azar, sin importar el orden.
a) ¿Cuántas selecciones posibles hay?
b) ¿Cuántas selecciones tienen suma \(7\)?
c) Calcula la probabilidad de que la suma sea \(7\).
a) Se eligen \(2\) tarjetas entre \(5\):
\[ \binom{5}{2}=10 \]
b) Las parejas que suman \(7\) son:
\[ \{2,5\},\quad \{3,4\} \]
Hay \(2\) casos favorables.
c) La probabilidad es:
\[ P(\text{suma }7)=\frac{2}{10}=\frac{1}{5} \]
Ejercicio 9
En un curso hay \(6\) mujeres y \(5\) hombres. Se eligen \(4\) estudiantes al azar para una actividad.
a) ¿Cuántas selecciones posibles hay?
b) ¿Cuántas selecciones tienen solo mujeres?
c) Calcula la probabilidad de elegir solo mujeres.
En total hay:
\[ 6+5=11 \]
estudiantes.
a) Se eligen \(4\) estudiantes entre \(11\):
\[ \binom{11}{4}=330 \]
b) Para elegir solo mujeres, se eligen \(4\) mujeres entre \(6\):
\[ \binom{6}{4}=15 \]
c) La probabilidad es:
\[ P(\text{solo mujeres})=\frac{15}{330}=\frac{1}{22} \]
Ejercicio 10
Se ordenan \(5\) libros distintos. Dos de ellos son de matemática e historia.
a) ¿Cuántos ordenamientos posibles hay?
b) ¿Cuántos ordenamientos tienen matemática e historia juntos?
c) Calcula la probabilidad de que matemática e historia queden juntos.
a) El total de ordenamientos es:
\[ 5!=120 \]
b) Tratamos matemática e historia como un bloque. Entonces se ordenan \(4\) objetos:
\[ 4!=24 \]
Dentro del bloque, los dos libros pueden ordenarse de \(2\) formas:
\[ 2\cdot 4!=2\cdot 24=48 \]
c) La probabilidad es:
\[ P(\text{matemática e historia juntos})=\frac{48}{120}=\frac{2}{5} \]
Ejercicio 11
En un taller hay \(12\) estudiantes interesados y solo \(4\) cupos disponibles. Ana y Bruno están entre los interesados.
a) ¿Cuántos grupos posibles de \(4\) estudiantes se pueden formar?
b) ¿Cuántos grupos incluyen a Ana y Bruno?
c) Calcula la probabilidad de que Ana y Bruno queden seleccionados.
a) Se eligen \(4\) estudiantes entre \(12\):
\[ \binom{12}{4}=495 \]
b) Si Ana y Bruno quedan seleccionados, ya hay \(2\) cupos ocupados. Faltan elegir \(2\) estudiantes entre los otros \(10\):
\[ \binom{10}{2}=45 \]
c) La probabilidad es:
\[ P(\text{Ana y Bruno seleccionados})=\frac{45}{495}=\frac{1}{11} \]
Ejercicio 12
Un estudiante resuelve el siguiente problema:
“De \(10\) estudiantes se elige una comisión de \(3\). ¿Cuál es la probabilidad de que Camila quede en la comisión?”.
El estudiante calcula los casos posibles como:
\[ 10\cdot 9\cdot 8=720 \]
y los casos favorables como:
\[ \binom{9}{2}=36 \]
a) ¿Cuál es el error?
b) Resuelve correctamente el problema.
a) El error es mezclar criterios de conteo. Los casos posibles se contaron como si el orden importara, pero los casos favorables se contaron como combinación.
Como se trata de una comisión, el orden no importa. Entonces ambos conteos deben hacerse con combinaciones.
b) Casos posibles:
\[ \binom{10}{3}=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{3\cdot 2\cdot 1}=120 \]
Casos favorables: Camila queda fija, y se eligen \(2\) estudiantes entre los otros \(9\):
\[ \binom{9}{2}=36 \]
Por lo tanto:
\[ P(\text{Camila en la comisión})=\frac{36}{120}=\frac{3}{10} \]
Para continuar
En la próxima página se aplicará el cálculo de probabilidades a sorteos, claves y selecciones.