Libro de Permutaciones y Combinatoria
10. Probabilidad en sorteos, claves y selecciones
Objetivos de la página
- Aplicar técnicas de conteo en sorteos, claves y selecciones.
- Identificar si una situación se cuenta con orden o sin orden.
- Distinguir situaciones con repetición y sin repetición.
- Calcular probabilidades usando casos favorables y casos posibles.
Situaciones frecuentes
Las técnicas de conteo permiten calcular probabilidades en situaciones como:
- sorteos: elegir una o más personas, tarjetas o números;
- claves: formar códigos con letras, números o símbolos;
- selecciones: formar grupos, comisiones o equipos.
En todos los casos, es importante reconocer si el orden importa y si se permite repetir elementos.
Probabilidad en situaciones equiprobables
Si todos los resultados posibles tienen la misma probabilidad, se usa:
\[ P(A)=\frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}} \]
El conteo ayuda a determinar ambos valores de manera ordenada.
Preguntas para elegir la estrategia
- ¿Se está formando una clave o código? Entonces suele importar el orden.
- ¿Se está formando un grupo o comisión? Entonces suele no importar el orden.
- ¿Se devuelve el elemento extraído o se puede repetir? Entonces hay repetición.
- ¿No se devuelve o los elementos deben ser distintos? Entonces no hay repetición.
Ejemplo 1: probabilidad en una clave
Una clave se forma con una letra entre \(A\), \(B\), \(C\) y \(D\), seguida de dos dígitos entre \(0\) y \(9\). Se permite repetir dígitos.
Queremos calcular la probabilidad de que la clave comience con \(A\) y termine en un dígito par.
Casos posibles:
\[ 4\cdot 10\cdot 10=400 \]
Casos favorables:
- la letra debe ser \(A\): \(1\) opción;
- el primer dígito puede ser cualquiera: \(10\) opciones;
- el último dígito debe ser par: \(0,2,4,6,8\), es decir, \(5\) opciones.
\[ 1\cdot 10\cdot 5=50 \]
Por lo tanto:
\[ P(\text{comienza con }A\text{ y termina en par})=\frac{50}{400}=\frac{1}{8} \]
Ejemplo 2: probabilidad en un sorteo
En un sorteo escolar hay \(40\) tarjetas numeradas. Un curso tiene \(8\) tarjetas en el sorteo.
Si se extrae una tarjeta al azar, la probabilidad de que gane una tarjeta de ese curso es:
Casos favorables:
\[ 8 \]
Casos posibles:
\[ 40 \]
Entonces:
\[ P(\text{gana ese curso})=\frac{8}{40}=\frac{1}{5} \]
Ejemplo 3: probabilidad en una selección
En un grupo hay \(6\) estudiantes de primero medio y \(4\) estudiantes de segundo medio. Se eligen \(3\) estudiantes al azar para una actividad.
Queremos calcular la probabilidad de elegir exactamente \(2\) estudiantes de primero medio y \(1\) de segundo medio.
Casos posibles:
En total hay \(10\) estudiantes, y se eligen \(3\):
\[ \binom{10}{3}=120 \]
Casos favorables:
Elegimos \(2\) de primero medio entre \(6\):
\[ \binom{6}{2}=15 \]
Elegimos \(1\) de segundo medio entre \(4\):
\[ \binom{4}{1}=4 \]
Entonces:
\[ 15\cdot 4=60 \]
Por lo tanto:
\[ P(\text{exactamente }2\text{ de primero y }1\text{ de segundo})=\frac{60}{120}=\frac{1}{2} \]
Error frecuente
En sorteos y selecciones, no siempre importa el orden.
Si se eligen personas para formar un grupo, normalmente el orden no importa. Pero si se asignan cargos o posiciones, el orden sí importa.
Ejercicio 1
En un sorteo escolar hay \(50\) tarjetas. Un curso tiene \(10\) tarjetas.
a) ¿Cuántos casos posibles hay?
b) ¿Cuántos casos favorables hay para que gane ese curso?
c) Calcula la probabilidad de que gane ese curso.
a) Hay \(50\) tarjetas en total, por lo tanto hay \(50\) casos posibles.
b) El curso tiene \(10\) tarjetas, así que hay \(10\) casos favorables.
c) La probabilidad es:
\[ P(\text{gana el curso})=\frac{10}{50}=\frac{1}{5} \]
Ejercicio 2
Una clave se forma con una letra entre \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) y \(E\), seguida de un dígito entre \(0\) y \(9\).
a) ¿Cuántas claves posibles hay?
b) ¿Cuántas claves comienzan con vocal, si se consideran vocales \(A\) y \(E\)?
c) Calcula la probabilidad de que la clave comience con vocal.
a) Hay \(5\) opciones de letra y \(10\) opciones de dígito:
\[ 5\cdot 10=50 \]
b) Las vocales disponibles son \(A\) y \(E\), es decir, \(2\) opciones. El dígito puede ser cualquiera de los \(10\):
\[ 2\cdot 10=20 \]
c) Entonces:
\[ P(\text{comienza con vocal})=\frac{20}{50}=\frac{2}{5} \]
Ejercicio 3
Una clave se forma con tres dígitos entre \(0\) y \(9\). Se permite repetir dígitos.
a) ¿Cuántas claves posibles hay?
b) ¿Cuántas claves terminan en \(5\)?
c) Calcula la probabilidad de que una clave termine en \(5\).
a) Como se permite repetir, hay \(10\) opciones para cada posición:
\[ 10\cdot 10\cdot 10=1000 \]
b) Si la clave termina en \(5\), el último dígito queda fijo. Los dos primeros dígitos tienen \(10\) opciones cada uno:
\[ 10\cdot 10\cdot 1=100 \]
c) La probabilidad es:
\[ P(\text{termina en }5)=\frac{100}{1000}=\frac{1}{10} \]
Ejercicio 4
Una clave se forma con tres dígitos distintos elegidos entre \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\) y \(5\).
a) ¿Cuántas claves posibles hay?
b) ¿Cuántas claves comienzan con \(0\)?
c) Calcula la probabilidad de que la clave comience con \(0\).
a) Como no se permite repetir, hay \(6\) opciones para la primera posición, \(5\) para la segunda y \(4\) para la tercera:
\[ 6\cdot 5\cdot 4=120 \]
b) Si la clave comienza con \(0\), la primera posición queda fija. Para la segunda quedan \(5\) opciones y para la tercera \(4\):
\[ 1\cdot 5\cdot 4=20 \]
c)
\[ P(\text{comienza con }0)=\frac{20}{120}=\frac{1}{6} \]
Ejercicio 5
En un sorteo hay \(30\) tarjetas numeradas del \(1\) al \(30\). Se extrae una tarjeta al azar.
a) ¿Cuántos casos posibles hay?
b) ¿Cuántos casos favorables hay para obtener un múltiplo de \(5\)?
c) Calcula la probabilidad de obtener un múltiplo de \(5\).
a) Hay \(30\) tarjetas, por lo tanto hay \(30\) casos posibles.
b) Los múltiplos de \(5\) entre \(1\) y \(30\) son:
\[ 5,\quad 10,\quad 15,\quad 20,\quad 25,\quad 30 \]
Hay \(6\) casos favorables.
c) La probabilidad es:
\[ P(\text{múltiplo de }5)=\frac{6}{30}=\frac{1}{5} \]
Ejercicio 6
En una caja hay \(4\) tarjetas rojas y \(6\) tarjetas azules. Se extraen \(2\) tarjetas al azar, sin devolución y sin importar el orden.
a) ¿Cuántas extracciones posibles hay?
b) ¿Cuántas extracciones tienen dos tarjetas rojas?
c) Calcula la probabilidad de obtener dos tarjetas rojas.
En total hay:
\[ 4+6=10 \]
tarjetas.
a) Como se extraen \(2\) tarjetas sin importar el orden:
\[ \binom{10}{2}=\frac{10\cdot 9}{2}=45 \]
b) Para obtener dos rojas, elegimos \(2\) tarjetas rojas entre las \(4\):
\[ \binom{4}{2}=\frac{4\cdot 3}{2}=6 \]
c) La probabilidad es:
\[ P(\text{dos rojas})=\frac{6}{45}=\frac{2}{15} \]
Ejercicio 7
En una caja hay \(4\) tarjetas rojas y \(6\) tarjetas azules. Se extraen \(2\) tarjetas al azar, sin devolución y sin importar el orden.
a) ¿Cuántas extracciones tienen una roja y una azul?
b) Calcula la probabilidad de obtener una roja y una azul.
El total de extracciones posibles es:
\[ \binom{10}{2}=45 \]
a) Para obtener una roja y una azul:
\[ \binom{4}{1}\cdot \binom{6}{1}=4\cdot 6=24 \]
b) La probabilidad es:
\[ P(\text{una roja y una azul})=\frac{24}{45}=\frac{8}{15} \]
Ejercicio 8
De un grupo de \(12\) estudiantes se eligen \(4\) para una comisión. En el grupo está Valentina.
a) ¿Cuántas comisiones posibles hay?
b) ¿Cuántas comisiones incluyen a Valentina?
c) Calcula la probabilidad de que Valentina quede en la comisión.
a) Como se forma una comisión, el orden no importa:
\[ \binom{12}{4}=\frac{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=495 \]
b) Si Valentina queda fija en la comisión, faltan elegir \(3\) estudiantes entre los otros \(11\):
\[ \binom{11}{3}=\frac{11\cdot 10\cdot 9}{3\cdot 2\cdot 1}=165 \]
c) La probabilidad es:
\[ P(\text{Valentina en la comisión})=\frac{165}{495}=\frac{1}{3} \]
Ejercicio 9
De un grupo de \(10\) estudiantes se eligen \(3\) para una actividad. Ana y Bruno están en el grupo.
a) ¿Cuántas selecciones posibles hay?
b) ¿Cuántas selecciones incluyen a Ana y Bruno?
c) Calcula la probabilidad de que Ana y Bruno sean seleccionados.
a) Se eligen \(3\) estudiantes entre \(10\):
\[ \binom{10}{3}=120 \]
b) Si Ana y Bruno quedan seleccionados, ya hay \(2\) cupos ocupados. Falta elegir \(1\) estudiante entre los otros \(8\):
\[ \binom{8}{1}=8 \]
c) La probabilidad es:
\[ P(\text{Ana y Bruno seleccionados})=\frac{8}{120}=\frac{1}{15} \]
Ejercicio 10
Una comisión de \(4\) estudiantes se elige desde un grupo formado por \(5\) estudiantes de primero medio y \(7\) estudiantes de segundo medio.
a) ¿Cuántas comisiones posibles hay?
b) ¿Cuántas comisiones tienen exactamente \(2\) estudiantes de cada nivel?
c) Calcula la probabilidad de elegir exactamente \(2\) estudiantes de cada nivel.
En total hay:
\[ 5+7=12 \]
estudiantes.
a) Se eligen \(4\) estudiantes entre \(12\):
\[ \binom{12}{4}=495 \]
b) Elegimos \(2\) estudiantes de primero medio entre \(5\):
\[ \binom{5}{2}=10 \]
Elegimos \(2\) estudiantes de segundo medio entre \(7\):
\[ \binom{7}{2}=21 \]
Casos favorables:
\[ 10\cdot 21=210 \]
c) La probabilidad es:
\[ P(\text{exactamente }2\text{ de cada nivel})=\frac{210}{495}=\frac{14}{33} \]
Ejercicio 11
Se ordenan \(6\) participantes distintos para exponer. Dos de ellos son Sofía y Tomás.
a) ¿Cuántos ordenamientos posibles hay?
b) ¿Cuántos ordenamientos tienen a Sofía y Tomás juntos?
c) Calcula la probabilidad de que Sofía y Tomás queden juntos en el orden de exposición.
a) Se ordenan \(6\) participantes distintos:
\[ 6!=720 \]
b) Tratamos a Sofía y Tomás como un bloque. Entonces se ordenan \(5\) objetos: el bloque y los otros \(4\) participantes.
\[ 5!=120 \]
Dentro del bloque, Sofía y Tomás pueden ordenarse de \(2\) formas:
\[ 2\cdot 5!=2\cdot 120=240 \]
c) La probabilidad es:
\[ P(\text{Sofía y Tomás juntos})=\frac{240}{720}=\frac{1}{3} \]
Ejercicio 12
Un estudiante resuelve el siguiente problema:
“De \(9\) estudiantes se eligen \(3\) para una comisión. ¿Cuál es la probabilidad de que Camila quede seleccionada?”.
El estudiante dice:
“Como son \(3\) cupos, la probabilidad es \(\frac{1}{3}\)”.
a) ¿La respuesta es correcta?
b) Resuelve el problema usando conteo.
c) Explica por qué el resultado tiene sentido.
a) La respuesta no está justificada. La probabilidad no se obtiene solo mirando la cantidad de cupos. Hay que comparar casos favorables y casos posibles.
b) Casos posibles:
\[ \binom{9}{3}=\frac{9\cdot 8\cdot 7}{3\cdot 2\cdot 1}=84 \]
Casos favorables: Camila queda fija, y faltan elegir \(2\) estudiantes entre los otros \(8\):
\[ \binom{8}{2}=\frac{8\cdot 7}{2}=28 \]
Entonces:
\[ P(\text{Camila seleccionada})=\frac{28}{84}=\frac{1}{3} \]
c) En este caso el resultado coincide con \(\frac{1}{3}\), pero no porque haya \(3\) cupos directamente, sino porque al elegir \(3\) personas entre \(9\), cada estudiante tiene la misma posibilidad de ocupar uno de esos \(3\) cupos. La justificación correcta se obtiene con el conteo.
Para continuar
En la próxima página se resolverán problemas combinatorios integrados, mezclando claves, sorteos, selecciones, permutaciones y combinaciones.