Libro de Permutaciones y Combinatoria
11. Problemas combinatorios integrados
Objetivos de la página
- Resolver problemas que combinan principio multiplicativo, permutaciones y combinaciones.
- Decidir si el orden importa y si se permite repetir elementos.
- Calcular casos posibles y favorables en situaciones combinatorias variadas.
- Justificar probabilidades usando estrategias de conteo adecuadas.
Problemas integrados
En los problemas combinatorios integrados no siempre se indica directamente qué fórmula usar.
Primero se debe interpretar la situación: puede tratarse de una clave, un sorteo, una selección, un ordenamiento o una situación con restricciones.
Ruta de resolución
- Identifica qué se está formando: clave, grupo, ordenamiento, sorteo o selección.
- Decide si el orden importa.
- Decide si se permite repetir elementos.
- Calcula los casos posibles.
- Calcula los casos favorables.
- Usa: \[ P(A)=\frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}} \]
Error frecuente
No se debe elegir una fórmula solo porque aparecen números grandes o porque se seleccionan varios elementos.
La decisión depende del significado del resultado: si el orden cambia el resultado, se cuenta de forma ordenada; si no cambia, se usan combinaciones.
Ejemplo 1: clave con condiciones
Una clave se forma con una letra entre \(A\), \(B\), \(C\) y \(D\), seguida de dos dígitos entre \(0\) y \(9\). Se permite repetir dígitos.
Calculemos la probabilidad de que la clave comience con \(A\) y termine en un dígito par.
Casos posibles:
\[ 4\cdot 10\cdot 10=400 \]
Casos favorables:
- letra \(A\): \(1\) opción;
- primer dígito cualquiera: \(10\) opciones;
- último dígito par: \(0,2,4,6,8\), es decir, \(5\) opciones.
\[ 1\cdot 10\cdot 5=50 \]
Por lo tanto:
\[ P(\text{comienza con }A\text{ y termina en par})=\frac{50}{400}=\frac{1}{8} \]
Ejemplo 2: selección con composición
En un grupo hay \(5\) estudiantes de primero medio y \(4\) estudiantes de segundo medio. Se eligen \(3\) estudiantes para una actividad.
Calculemos la probabilidad de elegir exactamente \(2\) estudiantes de primero medio y \(1\) de segundo medio.
Casos posibles:
En total hay \(9\) estudiantes y se eligen \(3\):
\[ \binom{9}{3}=84 \]
Casos favorables:
\[ \binom{5}{2}\cdot \binom{4}{1}=10\cdot 4=40 \]
Entonces:
\[ P(\text{exactamente }2\text{ de primero y }1\text{ de segundo})=\frac{40}{84}=\frac{10}{21} \]
Ejemplo 3: ordenamiento con restricción
Se ordenan \(6\) libros distintos en una repisa. Dos de ellos son de matemática y ciencias.
Calculemos la probabilidad de que esos dos libros queden juntos.
Casos posibles:
\[ 6!=720 \]
Casos favorables:
Tratamos matemática y ciencias como un bloque. Entonces se ordenan \(5\) objetos: el bloque y los otros \(4\) libros.
\[ 5!=120 \]
Dentro del bloque, los dos libros pueden ordenarse de \(2\) formas:
\[ 2\cdot 5!=2\cdot 120=240 \]
Por lo tanto:
\[ P(\text{matemática y ciencias juntos})=\frac{240}{720}=\frac{1}{3} \]
Ejercicio 1
Indica qué estrategia corresponde usar en cada situación: principio multiplicativo, permutación, combinación o conteo con restricción.
a) Formar una clave de \(3\) dígitos, permitiendo repetir.
b) Ordenar \(5\) estudiantes distintos en una fila.
c) Elegir \(3\) estudiantes entre \(10\) para una comisión.
d) Ordenar \(6\) libros, con dos libros específicos juntos.
a) Corresponde usar principio multiplicativo con repetición, porque cada dígito puede volver a usarse.
b) Corresponde usar permutación simple, porque se ordenan todos los estudiantes distintos.
c) Corresponde usar combinación, porque se forma una comisión y el orden no importa.
d) Corresponde usar conteo con restricción, porque dos libros específicos deben quedar juntos. Se puede usar la estrategia de formar un bloque.
Ejercicio 2
Una clave se forma con una letra entre \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) y \(E\), seguida de dos dígitos entre \(0\) y \(9\). Se permite repetir dígitos.
a) ¿Cuántas claves posibles hay?
b) ¿Cuántas claves comienzan con vocal, si se consideran vocales \(A\) y \(E\)?
c) Calcula la probabilidad de que la clave comience con vocal.
a) Hay \(5\) opciones de letra y \(10\) opciones para cada dígito:
\[ 5\cdot 10\cdot 10=500 \]
b) Las vocales disponibles son \(A\) y \(E\), es decir, \(2\) opciones. Los dos dígitos pueden ser cualesquiera:
\[ 2\cdot 10\cdot 10=200 \]
c) La probabilidad es:
\[ P(\text{comienza con vocal})=\frac{200}{500}=\frac{2}{5} \]
Ejercicio 3
Una clave se forma con tres dígitos distintos elegidos entre \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\) y \(6\).
a) ¿Cuántas claves posibles hay?
b) ¿Cuántas claves comienzan con un dígito par?
c) Calcula la probabilidad de que la clave comience con un dígito par.
a) Hay \(7\) dígitos disponibles. Como no se permite repetir:
\[ 7\cdot 6\cdot 5=210 \]
b) Los dígitos pares disponibles son \(0\), \(2\), \(4\) y \(6\), es decir, \(4\) opciones para la primera posición.
Después de elegir el primer dígito, quedan \(6\) opciones para la segunda posición y \(5\) para la tercera:
\[ 4\cdot 6\cdot 5=120 \]
c) La probabilidad es:
\[ P(\text{comienza con par})=\frac{120}{210}=\frac{4}{7} \]
Ejercicio 4
En un sorteo hay \(80\) números, del \(1\) al \(80\). Se extrae un número al azar.
a) ¿Cuántos casos posibles hay?
b) ¿Cuántos casos favorables hay para obtener un múltiplo de \(8\)?
c) Calcula la probabilidad de obtener un múltiplo de \(8\).
a) Hay \(80\) números posibles.
b) Los múltiplos de \(8\) entre \(1\) y \(80\) son:
\[ 8,16,24,32,40,48,56,64,72,80 \]
Hay \(10\) casos favorables.
c) La probabilidad es:
\[ P(\text{múltiplo de }8)=\frac{10}{80}=\frac{1}{8} \]
Ejercicio 5
Se ordenan \(7\) participantes distintos para exponer. Uno de ellos es Laura.
a) ¿Cuántos ordenamientos posibles hay?
b) ¿Cuántos ordenamientos tienen a Laura en la primera o última posición?
c) Calcula la probabilidad de que Laura quede en un extremo.
a) Se ordenan \(7\) participantes distintos:
\[ 7!=5040 \]
b) Laura puede quedar en el primer o último lugar: \(2\) opciones.
Los otros \(6\) participantes se ordenan libremente:
\[ 6!=720 \]
Casos favorables:
\[ 2\cdot 6!=2\cdot 720=1440 \]
c) La probabilidad es:
\[ P(\text{Laura en un extremo})=\frac{1440}{5040}=\frac{2}{7} \]
Ejercicio 6
En un grupo hay \(7\) estudiantes de primero medio y \(5\) estudiantes de segundo medio. Se eligen \(4\) estudiantes al azar para una actividad.
a) ¿Cuántas selecciones posibles hay?
b) ¿Cuántas selecciones tienen exactamente \(2\) estudiantes de cada nivel?
c) Calcula la probabilidad de seleccionar exactamente \(2\) estudiantes de cada nivel.
En total hay:
\[ 7+5=12 \]
estudiantes.
a) Se eligen \(4\) estudiantes entre \(12\):
\[ \binom{12}{4}=495 \]
b) Elegimos \(2\) estudiantes de primero medio entre \(7\):
\[ \binom{7}{2}=21 \]
Elegimos \(2\) estudiantes de segundo medio entre \(5\):
\[ \binom{5}{2}=10 \]
Casos favorables:
\[ 21\cdot 10=210 \]
c) La probabilidad es:
\[ P(\text{exactamente }2\text{ de cada nivel})=\frac{210}{495}=\frac{14}{33} \]
Ejercicio 7
Una caja contiene \(5\) tarjetas rojas, \(4\) azules y \(3\) verdes. Se extraen \(3\) tarjetas al azar, sin devolución y sin importar el orden.
a) ¿Cuántas extracciones posibles hay?
b) ¿Cuántas extracciones tienen una tarjeta de cada color?
c) Calcula la probabilidad de obtener una tarjeta de cada color.
En total hay:
\[ 5+4+3=12 \]
tarjetas.
a) Se extraen \(3\) tarjetas entre \(12\), sin importar el orden:
\[ \binom{12}{3}=\frac{12\cdot 11\cdot 10}{3\cdot 2\cdot 1}=220 \]
b) Para obtener una tarjeta de cada color:
\[ \binom{5}{1}\cdot \binom{4}{1}\cdot \binom{3}{1}=5\cdot 4\cdot 3=60 \]
c) La probabilidad es:
\[ P(\text{una de cada color})=\frac{60}{220}=\frac{3}{11} \]
Ejercicio 8
De un grupo de \(11\) estudiantes se elegirá una comisión de \(4\) personas. Ana y Bruno pertenecen al grupo.
a) ¿Cuántas comisiones posibles hay?
b) ¿Cuántas comisiones incluyen a Ana y Bruno?
c) Calcula la probabilidad de que Ana y Bruno queden en la comisión.
a) Se eligen \(4\) estudiantes entre \(11\):
\[ \binom{11}{4}=330 \]
b) Si Ana y Bruno están en la comisión, ya hay \(2\) lugares ocupados. Faltan elegir \(2\) estudiantes entre los otros \(9\):
\[ \binom{9}{2}=36 \]
c) La probabilidad es:
\[ P(\text{Ana y Bruno en la comisión})=\frac{36}{330}=\frac{6}{55} \]
Ejercicio 9
Se ordenan \(6\) libros distintos en una repisa. Dos libros específicos deben quedar separados, es decir, no pueden quedar juntos.
a) ¿Cuántos ordenamientos posibles hay en total?
b) ¿Cuántos ordenamientos tienen esos dos libros juntos?
c) ¿Cuántos ordenamientos tienen esos dos libros separados?
d) Calcula la probabilidad de que queden separados.
a) El total de ordenamientos es:
\[ 6!=720 \]
b) Para contar cuando están juntos, los tratamos como un bloque. Entonces se ordenan \(5\) objetos:
\[ 5!=120 \]
Dentro del bloque, los dos libros pueden cambiar de orden:
\[ 2\cdot 5!=2\cdot 120=240 \]
c) Usamos complemento:
\[ 720-240=480 \]
Hay \(480\) ordenamientos donde los libros quedan separados.
d) La probabilidad es:
\[ P(\text{separados})=\frac{480}{720}=\frac{2}{3} \]
Ejercicio 10
Una contraseña se forma con dos letras distintas seguidas de dos dígitos distintos.
Las letras pueden ser \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) o \(E\), y los dígitos pueden ser \(0\), \(1\), \(2\), \(3\) o \(4\).
a) ¿Cuántas contraseñas posibles hay?
b) ¿Cuántas contraseñas comienzan con \(A\) y terminan en un dígito par?
c) Calcula la probabilidad de que la contraseña comience con \(A\) y termine en un dígito par.
a) Para las letras hay \(5\) opciones en la primera posición y \(4\) en la segunda, porque deben ser distintas.
Para los dígitos hay \(5\) opciones en la primera posición y \(4\) en la segunda:
\[ 5\cdot 4\cdot 5\cdot 4=400 \]
b) Si comienza con \(A\), la primera letra queda fija. La segunda letra tiene \(4\) opciones.
La contraseña debe terminar en un dígito par. Los dígitos pares disponibles son \(0\), \(2\) y \(4\), es decir, \(3\) opciones para el último dígito.
Como los dígitos deben ser distintos, una vez elegido el último dígito, para el primer dígito quedan \(4\) opciones:
\[ 1\cdot 4\cdot 4\cdot 3=48 \]
c) La probabilidad es:
\[ P(\text{comienza con }A\text{ y termina en par})=\frac{48}{400}=\frac{3}{25} \]
Ejercicio 11
En una caja hay \(6\) tarjetas numeradas del \(1\) al \(6\). Se eligen \(3\) tarjetas al azar, sin importar el orden.
a) ¿Cuántas selecciones posibles hay?
b) ¿Cuántas selecciones tienen suma \(10\)?
c) Calcula la probabilidad de que la suma sea \(10\).
a) Se eligen \(3\) tarjetas entre \(6\):
\[ \binom{6}{3}=20 \]
b) Buscamos grupos de tres números distintos entre \(1\) y \(6\) que sumen \(10\):
\[ 1+3+6=10 \]
\[ 1+4+5=10 \]
\[ 2+3+5=10 \]
Hay \(3\) selecciones favorables.
c) La probabilidad es:
\[ P(\text{suma }10)=\frac{3}{20} \]
Ejercicio 12
Un estudiante debe resolver el siguiente problema:
“De \(9\) estudiantes se eligen \(3\) para una comisión. ¿Cuál es la probabilidad de que dos estudiantes específicos, Sofía y Tomás, queden seleccionados?”.
El estudiante calcula los casos favorables como:
\[ 2\cdot 7=14 \]
a) ¿Cuál es el error?
b) Resuelve correctamente el problema.
a) El error es no interpretar correctamente la comisión. Si Sofía y Tomás deben quedar seleccionados, ellos ya ocupan \(2\) de los \(3\) cupos.
No se debe multiplicar por \(2\), porque no importa el orden dentro de la comisión.
b) Casos posibles:
\[ \binom{9}{3}=\frac{9\cdot 8\cdot 7}{3\cdot 2\cdot 1}=84 \]
Casos favorables: Sofía y Tomás quedan fijos, y falta elegir \(1\) estudiante entre los otros \(7\):
\[ \binom{7}{1}=7 \]
Por lo tanto:
\[ P(\text{Sofía y Tomás seleccionados})=\frac{7}{84}=\frac{1}{12} \]
Para continuar
En la próxima página se realizará una evaluación integradora del libro, aplicando conteo combinatorio y cálculo de probabilidades en distintos contextos.