Libro de Permutaciones y Combinatoria
12. Evaluación integradora: conteo combinatorio y cálculo de probabilidades
Objetivos de la página
- Integrar principio multiplicativo, conteo con y sin repetición, permutaciones y combinaciones.
- Seleccionar la estrategia de conteo adecuada según el contexto.
- Calcular probabilidades usando casos favorables y casos posibles.
- Justificar respuestas con procedimientos claros y lenguaje matemático correcto.
Indicaciones
En esta evaluación integradora no se introduce contenido nuevo. El propósito es aplicar las estrategias estudiadas durante el libro.
Antes de calcular, identifica si el orden importa, si se permite repetir y si estás contando una clave, un ordenamiento, un sorteo o una selección.
Ejercicio 1
Indica la estrategia de conteo más adecuada en cada situación: principio multiplicativo, conteo con repetición, conteo sin repetición, permutación, combinación o conteo con restricción.
a) Formar una clave de \(4\) dígitos, permitiendo repetir.
b) Ordenar \(6\) estudiantes distintos en una fila.
c) Elegir \(4\) estudiantes entre \(12\) para una comisión.
d) Ordenar \(7\) libros, sabiendo que dos libros específicos deben quedar juntos.
a) Corresponde usar principio multiplicativo con repetición, porque cada dígito puede volver a usarse.
b) Corresponde usar permutación simple, porque se ordenan todos los estudiantes distintos y el orden importa.
c) Corresponde usar combinación, porque se forma una comisión y el orden no importa.
d) Corresponde usar conteo con restricción, porque dos libros específicos deben quedar juntos. Una estrategia adecuada es formar un bloque con esos dos libros.
Ejercicio 2
Una clave se forma con dos letras distintas elegidas entre \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) y \(E\), seguidas de un dígito entre \(0\) y \(9\).
a) ¿Cuántas claves posibles hay?
b) ¿Cuántas claves comienzan con \(A\) y terminan en un dígito par?
c) Calcula la probabilidad de que la clave comience con \(A\) y termine en un dígito par.
a) La primera letra tiene \(5\) opciones. Como las letras deben ser distintas, la segunda letra tiene \(4\) opciones. El dígito tiene \(10\) opciones.
\[ 5\cdot 4\cdot 10=200 \]
Hay \(200\) claves posibles.
b) Si la clave comienza con \(A\), la primera letra queda fija. La segunda letra tiene \(4\) opciones.
Los dígitos pares entre \(0\) y \(9\) son:
\[ 0,\quad 2,\quad 4,\quad 6,\quad 8 \]
Hay \(5\) opciones para el dígito.
\[ 1\cdot 4\cdot 5=20 \]
Hay \(20\) claves favorables.
c) La probabilidad es:
\[ P(\text{comienza con }A\text{ y termina en par})=\frac{20}{200}=\frac{1}{10} \]
Ejercicio 3
Una clave se forma con \(4\) dígitos usando los dígitos \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\) y \(5\). Se permite repetir dígitos.
a) ¿Cuántas claves posibles hay?
b) ¿Cuántas claves tienen solo dígitos pares?
c) Calcula la probabilidad de que la clave tenga solo dígitos pares.
a) Como se permite repetir, cada posición tiene \(6\) opciones:
\[ 6\cdot 6\cdot 6\cdot 6=6^4=1296 \]
b) Los dígitos pares disponibles son \(0\), \(2\) y \(4\), es decir, \(3\) opciones.
Como se permite repetir:
\[ 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=3^4=81 \]
c) La probabilidad es:
\[ P(\text{solo dígitos pares})=\frac{81}{1296}=\frac{1}{16} \]
Ejercicio 4
De un grupo de \(12\) estudiantes se elige una comisión de \(4\) personas. Ana y Bruno pertenecen al grupo.
a) ¿Cuántas comisiones posibles hay?
b) ¿Cuántas comisiones incluyen a Ana?
c) ¿Cuántas comisiones incluyen a Ana y Bruno?
d) Calcula la probabilidad de que Ana y Bruno queden en la comisión.
a) Como se forma una comisión, el orden no importa:
\[ \binom{12}{4}=\frac{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=495 \]
b) Si Ana queda fija en la comisión, faltan elegir \(3\) estudiantes entre los otros \(11\):
\[ \binom{11}{3}=\frac{11\cdot 10\cdot 9}{3\cdot 2\cdot 1}=165 \]
c) Si Ana y Bruno quedan fijos, ya hay \(2\) cupos ocupados. Faltan elegir \(2\) estudiantes entre los otros \(10\):
\[ \binom{10}{2}=\frac{10\cdot 9}{2}=45 \]
d) La probabilidad es:
\[ P(\text{Ana y Bruno en la comisión})=\frac{45}{495}=\frac{1}{11} \]
Ejercicio 5
En un grupo hay \(5\) estudiantes de primero medio y \(7\) estudiantes de segundo medio. Se eligen \(4\) estudiantes al azar para una actividad.
a) ¿Cuántas selecciones posibles hay?
b) ¿Cuántas selecciones tienen exactamente \(2\) estudiantes de cada nivel?
c) Calcula la probabilidad de elegir exactamente \(2\) estudiantes de cada nivel.
d) Calcula la probabilidad de elegir al menos un estudiante de primero medio.
En total hay:
\[ 5+7=12 \]
estudiantes.
a) Se eligen \(4\) estudiantes entre \(12\):
\[ \binom{12}{4}=495 \]
b) Para elegir exactamente \(2\) de cada nivel:
\[ \binom{5}{2}\cdot \binom{7}{2}=10\cdot 21=210 \]
c) La probabilidad es:
\[ P(\text{exactamente }2\text{ de cada nivel})=\frac{210}{495}=\frac{14}{33} \]
d) Para calcular “al menos un estudiante de primero medio”, usamos el complemento.
El caso contrario es elegir \(0\) estudiantes de primero medio, es decir, elegir los \(4\) estudiantes solo entre los \(7\) de segundo medio:
\[ \binom{7}{4}=35 \]
Casos favorables para “al menos uno de primero medio”:
\[ 495-35=460 \]
Entonces:
\[ P(\text{al menos uno de primero medio})=\frac{460}{495}=\frac{92}{99} \]
Ejercicio 6
Se ordenan \(6\) libros distintos en una repisa. Dos de ellos son de matemática e historia.
a) ¿Cuántos ordenamientos posibles hay?
b) ¿Cuántos ordenamientos tienen matemática e historia juntos?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que matemática e historia queden juntos?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que no queden juntos?
a) Se ordenan \(6\) libros distintos:
\[ 6!=720 \]
b) Tratamos matemática e historia como un bloque. Entonces se ordenan \(5\) objetos: el bloque y los otros \(4\) libros.
\[ 5!=120 \]
Dentro del bloque, matemática e historia pueden ordenarse de \(2\) formas:
\[ 2\cdot 5!=2\cdot 120=240 \]
c) La probabilidad de que queden juntos es:
\[ P(\text{juntos})=\frac{240}{720}=\frac{1}{3} \]
d) El evento contrario es que no queden juntos:
\[ P(\text{no juntos})=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} \]
Ejercicio 7
En un curso de \(9\) estudiantes se elegirán dos personas.
Primero, se asignan los cargos de presidencia y secretaría. Luego, se compara con formar una comisión de \(2\) estudiantes sin cargos.
a) ¿Cuántas formas hay de asignar presidencia y secretaría?
b) ¿Cuántas comisiones de \(2\) estudiantes se pueden formar?
c) Si Martina pertenece al curso, calcula la probabilidad de que ocupe algún cargo.
d) Si se forma una comisión de \(2\), calcula la probabilidad de que Martina pertenezca a la comisión.
a) Para la presidencia hay \(9\) opciones. Luego quedan \(8\) opciones para la secretaría:
\[ 9\cdot 8=72 \]
b) Para una comisión el orden no importa:
\[ \binom{9}{2}=\frac{9\cdot 8}{2}=36 \]
c) Martina puede ocupar presidencia o secretaría.
Si Martina es presidenta, hay \(8\) opciones para secretaría.
Si Martina es secretaria, hay \(8\) opciones para presidencia.
Casos favorables:
\[ 8+8=16 \]
Entonces:
\[ P(\text{Martina ocupa algún cargo})=\frac{16}{72}=\frac{2}{9} \]
d) Si Martina pertenece a la comisión, falta elegir \(1\) estudiante entre los otros \(8\):
\[ \binom{8}{1}=8 \]
Entonces:
\[ P(\text{Martina en la comisión})=\frac{8}{36}=\frac{2}{9} \]
En ambos casos la probabilidad coincide, aunque el conteo usado es distinto.
Ejercicio 8
Una caja contiene \(4\) tarjetas rojas, \(3\) azules y \(2\) verdes. Se extraen \(3\) tarjetas al azar, sin devolución y sin importar el orden.
a) ¿Cuántas extracciones posibles hay?
b) ¿Cuántas extracciones tienen una tarjeta de cada color?
c) Calcula la probabilidad de obtener una tarjeta de cada color.
d) Calcula la probabilidad de obtener exactamente \(2\) rojas y \(1\) no roja.
En total hay:
\[ 4+3+2=9 \]
tarjetas.
a) Se extraen \(3\) tarjetas entre \(9\):
\[ \binom{9}{3}=\frac{9\cdot 8\cdot 7}{3\cdot 2\cdot 1}=84 \]
b) Para obtener una tarjeta de cada color:
\[ \binom{4}{1}\cdot \binom{3}{1}\cdot \binom{2}{1}=4\cdot 3\cdot 2=24 \]
c) La probabilidad es:
\[ P(\text{una de cada color})=\frac{24}{84}=\frac{2}{7} \]
d) Para obtener exactamente \(2\) rojas y \(1\) no roja:
Elegimos \(2\) rojas entre \(4\):
\[ \binom{4}{2}=6 \]
Hay \(5\) tarjetas no rojas, porque:
\[ 3+2=5 \]
Elegimos \(1\) no roja entre \(5\):
\[ \binom{5}{1}=5 \]
Casos favorables:
\[ 6\cdot 5=30 \]
Entonces:
\[ P(\text{exactamente }2\text{ rojas y }1\text{ no roja})=\frac{30}{84}=\frac{5}{14} \]
Ejercicio 9
Se ordenan \(7\) estudiantes distintos en una fila. Entre ellos están Ana, Bruno y Carla.
a) ¿Cuántos ordenamientos posibles hay?
b) ¿Cuántos ordenamientos tienen a Carla en la última posición y a Ana antes que Bruno?
c) Calcula la probabilidad de que Carla quede última y Ana quede antes que Bruno.
a) Se ordenan \(7\) estudiantes distintos:
\[ 7!=5040 \]
b) Si Carla queda fija en la última posición, quedan \(6\) estudiantes para ordenar:
\[ 6!=720 \]
De esos ordenamientos, en la mitad Ana queda antes que Bruno y en la otra mitad Bruno queda antes que Ana.
Por lo tanto:
\[ \frac{720}{2}=360 \]
Hay \(360\) ordenamientos favorables.
c) La probabilidad es:
\[ P(\text{Carla última y Ana antes que Bruno})=\frac{360}{5040}=\frac{1}{14} \]
Ejercicio 10
En una caja hay \(8\) tarjetas numeradas del \(1\) al \(8\). Se eligen \(3\) tarjetas al azar, sin importar el orden.
a) ¿Cuántas selecciones posibles hay?
b) ¿Cuántas selecciones tienen suma \(12\)?
c) Calcula la probabilidad de que la suma sea \(12\).
a) Se eligen \(3\) tarjetas entre \(8\):
\[ \binom{8}{3}=\frac{8\cdot 7\cdot 6}{3\cdot 2\cdot 1}=56 \]
b) Buscamos grupos de tres números distintos entre \(1\) y \(8\) que sumen \(12\):
\[ 1+3+8=12 \]
\[ 1+4+7=12 \]
\[ 1+5+6=12 \]
\[ 2+3+7=12 \]
\[ 2+4+6=12 \]
\[ 3+4+5=12 \]
Hay \(6\) selecciones favorables.
c) La probabilidad es:
\[ P(\text{suma }12)=\frac{6}{56}=\frac{3}{28} \]
Ejercicio 11
Un estudiante debe resolver el siguiente problema:
“De \(10\) estudiantes se elige una comisión de \(3\). ¿Cuál es la probabilidad de que Paula y Diego queden seleccionados?”.
El estudiante calcula los casos favorables así:
\[ 2\cdot 8=16 \]
a) ¿Cuál es el error?
b) Resuelve correctamente el problema.
a) El error es multiplicar por \(2\), como si el orden de Paula y Diego importara dentro de la comisión.
En una comisión el orden no importa. Si Paula y Diego deben quedar seleccionados, ellos ya ocupan \(2\) de los \(3\) cupos.
b) Casos posibles:
\[ \binom{10}{3}=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{3\cdot 2\cdot 1}=120 \]
Casos favorables: Paula y Diego quedan fijos, y falta elegir \(1\) estudiante entre los otros \(8\):
\[ \binom{8}{1}=8 \]
Entonces:
\[ P(\text{Paula y Diego seleccionados})=\frac{8}{120}=\frac{1}{15} \]
Ejercicio 12
Una plataforma genera una recomendación eligiendo:
- un formato entre \(4\) posibles;
- una asignatura entre \(6\) posibles;
- un nivel entre inicial o avanzado.
Todas las recomendaciones son igualmente probables.
a) ¿Cuántas recomendaciones posibles hay?
b) Si una asignatura es matemática, ¿cuál es la probabilidad de que la recomendación sea de matemática y de nivel avanzado?
c) Si solo uno de los formatos es video, ¿cuál es la probabilidad de que la recomendación no sea video?
d) Explica qué estrategia de conteo se usó.
a) Se aplica el principio multiplicativo:
\[ 4\cdot 6\cdot 2=48 \]
Hay \(48\) recomendaciones posibles.
b) Para que la recomendación sea de matemática y de nivel avanzado:
- el formato puede ser cualquiera de los \(4\): \(4\) opciones;
- la asignatura matemática queda fija: \(1\) opción;
- el nivel avanzado queda fijo: \(1\) opción.
\[ 4\cdot 1\cdot 1=4 \]
Entonces:
\[ P(\text{matemática y avanzado})=\frac{4}{48}=\frac{1}{12} \]
c) Si solo uno de los \(4\) formatos es video, entonces hay \(3\) formatos que no son video.
Casos favorables:
\[ 3\cdot 6\cdot 2=36 \]
Entonces:
\[ P(\text{no video})=\frac{36}{48}=\frac{3}{4} \]
d) Se usó el principio multiplicativo, porque la recomendación se forma por etapas: formato, asignatura y nivel.
Cierre
El cálculo de probabilidades mediante conteo requiere interpretar correctamente la situación antes de aplicar una fórmula.
La clave es decidir si el orden importa, si hay repetición y si conviene contar directamente o usar una estrategia como formar bloques o usar el complemento.