Construcción de los Números Enteros a partir de los Naturales

Introducción

Los números enteros, denotados como ℤ, son una extensión de los números naturales (ℕ) que incluye los números negativos y el cero. Formalmente, los números enteros se construyen a partir de los naturales utilizando pares ordenados y una relación de equivalencia.

Definición Matemática

Los números enteros se pueden construir mediante los siguientes pasos:

1. Conjunto base: Consideramos el conjunto de pares ordenados de números naturales: \[ \mathbb{P} = \{(a, b) \mid a, b \in \mathbb{N}\} \] Aquí, cada par representa la diferencia entre \(a\) y \(b\).
2. Relación de equivalencia: Definimos una relación de equivalencia \(\sim\) sobre \(\mathbb{P}\) como: \[ (a, b) \sim (c, d) \iff a + d = b + c \] Esta relación indica que dos pares son equivalentes si sus diferencias relativas son iguales.
3. Clases de equivalencia: Cada clase de equivalencia \([(a, b)]\) bajo esta relación representa un número entero. Por ejemplo:
   • \([(3, 1)]\) representa el entero positivo \(+2\), porque \(3 - 1 = 2\).
   • \([(1, 3)]\) representa el entero negativo \(-2\), porque \(1 - 3 = -2\).
   • \([(2, 2)]\) representa el entero \(0\), porque \(2 - 2 = 0\).
4. Definición del conjunto: El conjunto de números enteros es el conjunto de estas clases de equivalencia: \[ \mathbb{Z} = \mathbb{P} / \sim \]

Asi que z es el conjunto de los pares ordenados que cumplen la equivalencia definida mas arriba

Clases de Equivalencia: Explicación Detallada

Cada número entero \(z\) se puede representar mediante una clase de equivalencia \([(a, b)]\), donde \(a, b \in \mathbb{N}\). La diferencia entre \(a\) y \(b\) determina el valor del número entero:

• Si \(a > b\), entonces \([(a, b)]\) representa un entero positivo: \(a - b > 0\).
• Si \(a = b\), entonces \([(a, b)]\) representa el cero: \(a - b = 0\).
• Si \(a < b\), entonces \([(a, b)]\) representa un entero negativo: \(a - b < 0\).

Aunque hay infinitas formas de escribir un mismo número entero usando diferentes pares ordenados, la relación de equivalencia garantiza que siempre sean tratados como iguales. Por ejemplo: \ [(3, 1 = (5, 3) = (100, 98) \] Todos estos pares representan al entero \(+2\), ya que cumplen \(a + d = b + c\).

Operaciones en ℤ

Las operaciones de suma y producto se definen en términos de los pares ordenados:

• Suma: Dados \((a, b)\) y \((c, d)\), definimos la suma como: \[ (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). \]
• Producto: Dados \((a, b)\) y \((c, d)\), definimos el producto como: \[ (a, b) \cdot (c, d) = (ac + bd, ad + bc). \]

Ejemplo Numérico: Suma

Supongamos que queremos sumar los números representados por \([(3, 1)]\) (que es \(+2\)) y \([(4, 2)]\) (que también es \(+2\)). Usando la definición de la suma: \[ [(3, 1)] + [(4, 2)] = [(3 + 4, 1 + 2)] = [(7, 3)]. \] El resultado es la clase de equivalencia \([(7, 3)]\), que representa el número \(+4\), porque \(7 - 3 = 4\).

Ejemplo Numérico: Producto

Ahora calculemos el producto de \([(2, 0)]\) (que es \(+2\)) y \([(1, 3)]\) (que es \(-2\)). Usando la definición del producto: \[ [(2, 0)] \cdot [(1, 3)] = [(2 \cdot 1 + 0 \cdot 3, 2 \cdot 3 + 0 \cdot 1)] = [(2 + 0, 6 + 0)] = [(2, 6)]. \] El resultado es la clase de equivalencia \([(2, 6)]\), que representa el número \(-4\), porque \(2 - 6 = -4\).

Conclusión

Esta construcción formal nos permite extender los números naturales (\( \mathbb{N} \)) hacia los enteros (\( \mathbb{Z} \)), incluyendo el cero y los números negativos, de manera consistente y lógica dentro de la teoría de conjuntos. Los ejemplos muestran cómo las operaciones básicas de suma y producto pueden entenderse utilizando pares ordenados y relaciones de equivalencia.