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Capitulo 0.2 N° enteros (nivelacion)

1. Números Enteros

Números Enteros

🤓 Definición

El conjunto de los números enteros se representa con el símbolo \( \mathbb{Z} \) y se define como la unión de los números naturales \( \mathbb{N} \), el cero (0), y los opuestos de los números naturales (los negativos).

\( \mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\} \)

O también, de forma más formal:

\( \mathbb{Z} = \mathbb{N} \cup \{0\} \cup \{ -n \mid n \in \mathbb{N} \} \)

Donde \( -n \) representa el opuesto aditivo de \( n \).

Los números enteros positivos son los mismos números naturales \( (1, 2, 3, ...) \), los números enteros negativos son sus opuestos \( (-1, -2, -3, ...) \) y es importante recordar que el cero no es ni positivo ni negativo.

En las próximas secciones, veremos cómo estos números se ubican en una recta numérica, cómo se comparan, y qué propiedades tienen al operar con ellos.

🌍 Números Negativos en Nuestro Día a Día

Los números negativos no son solo una idea abstracta, ¡están por todas partes! Los usamos para representar deudas, faltantes o movimientos en sentido contrario.

  • 🌡️ Temperatura: Una temperatura de -5°C indica que estamos 5 grados Celsius por debajo del punto de congelación del agua (0°C).
  • 💰 Dinero: Si debes $10.000, puedes representar esa deuda como -$10.000.
  • 🗺️ Altitud: El Mar Muerto se encuentra a -430 metros, es decir, 430 metros bajo el nivel del mar (0 metros).
  • ↕️ Movimiento: En un ascensor, si estás en el piso 1 y bajas 2 pisos hasta el subterráneo, hiciste un movimiento de -2 pisos.

En la recta numérica, los números negativos se ubican a la izquierda del cero, como un espejo de los positivos.

Recta numérica con números enteros

Propiedades de los Números Enteros

📐 1. Clausura (o Cerradura)

La suma, resta y multiplicación de dos números enteros siempre da como resultado otro número entero. El conjunto \( \mathbb{Z} \) es "cerrado" para estas operaciones.

Si \( a, b \in \mathbb{Z} \), entonces:

  • \( a + b \in \mathbb{Z} \)
  • \( a - b \in \mathbb{Z} \)
  • \( a \cdot b \in \mathbb{Z} \)

Ejemplo: \( 5 + (-3) = 2 \), \( 7 - 10 = -3 \), \( 4 \cdot (-2) = -8 \). Todos los resultados son enteros.

Ejercicios de Clausura:

  1. \( -8 + 5 \)
  2. \( 12 - 15 \)
  3. \( -6 \cdot 3 \)
  4. \( -4 + (-7) \)

📐 2. Asociatividad

Al sumar o multiplicar tres o más enteros, no importa cómo los agrupes, el resultado será el mismo.

Si \( a, b, c \in \mathbb{Z} \), entonces:

  • \( (a + b) + c = a + (b + c) \)
  • \( (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \)

Ejemplo: \( (2 + 3) + (-1) = 5 - 1 = 4 \), que es lo mismo que \( 2 + (3 + (-1)) = 2 + 2 = 4 \).

Comprueba la Asociatividad:

  1. Calcula \( (-5 + 2) + 7 \) y luego \( -5 + (2 + 7) \).
  2. Calcula \( (3 \cdot -2) \cdot 4 \) y luego \( 3 \cdot (-2 \cdot 4) \).
  3. Calcula \( (-1 + (-4)) + 6 \) y luego \( -1 + (-4 + 6) \).

💡 3. Conmutatividad

¡El orden de los factores no altera el producto! Y en este caso, tampoco altera la suma. Puedes cambiar el orden de los números al sumar o multiplicar y el resultado no cambiará.

Si \( a, b \in \mathbb{Z} \), entonces:

  • \( a + b = b + a \)
  • \( a \cdot b = b \cdot a \)

Ejemplo: \( -5 + 7 = 2 \), que es lo mismo que \( 7 + (-5) = 2 \).

Comprueba la Conmutatividad:

  1. ¿Es \( -9 + 4 \) igual a \( 4 + (-9) \)?
  2. ¿Es \( -2 \cdot 6 \) igual a \( 6 \cdot (-2) \)?
  3. ¿Es \( 0 + (-3) \) igual a \( -3 + 0 \)?

🤓 4. Existencia del Elemento Neutro

Hay números que, al operar con ellos, no alteran al otro número.

  • El 0 es el neutro aditivo: cualquier entero sumado con 0 queda igual. \( a + 0 = a \)
  • El 1 es el neutro multiplicativo: cualquier entero multiplicado por 1 queda igual. \( a \cdot 1 = a \)

Ejemplo: \( 9 + 0 = 9 \) y \( -6 \cdot 1 = -6 \).

Aplica el Elemento Neutro:

  1. \( -15 + 0 \)
  2. \( 7 \cdot 1 \)
  3. \( 0 + 23 \)
  4. \( -8 \cdot 1 \)

🤓 5. Existencia del Elemento Opuesto (o Inverso Aditivo)

Para cada número entero \( a \), siempre existe otro entero \( -a \) (su opuesto) que, al sumarlos, el resultado es 0 (el neutro aditivo).

Para todo \( a \in \mathbb{Z} \), existe \( (-a) \in \mathbb{Z} \) tal que \( a + (-a) = 0 \).

Ejemplo: El opuesto de 5 es -5, porque \( 5 + (-5) = 0 \). El opuesto de -3 es 3, porque \( -3 + 3 = 0 \).

Encuentra el Elemento Opuesto:

  1. ¿Qué número sumado a 12 da 0?
  2. ¿Qué número sumado a -9 da 0?
  3. \( ? + 7 = 0 \)
  4. \( ? + (-4) = 0 \)

⚠️ ¡Cuidado! No existe el inverso multiplicativo para todos los enteros.

Si bien existe un inverso aditivo para cada entero, no ocurre lo mismo con la multiplicación. Por ejemplo, para el número 5, no existe un número entero que al multiplicarlo por 5 dé como resultado 1 (el neutro multiplicativo). El número sería \( \frac{1}{5} \), pero \( \frac{1}{5} \) no es un número entero. Esta es la razón por la que la división no es una operación cerrada en \( \mathbb{Z} \).

📐 6. Distributividad

Esta propiedad conecta la multiplicación con la suma. La multiplicación "se distribuye" sobre la suma.

Si \( a, b, c \in \mathbb{Z} \), entonces:

\( a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c) \)

Ejemplo: \( 2 \cdot (3 + (-1)) = 2 \cdot 2 = 4 \), que es lo mismo que \( (2 \cdot 3) + (2 \cdot (-1)) = 6 - 2 = 4 \).

Comprueba la Distributividad:

  1. Calcula \( -3 \cdot (4 + 2) \) y luego \( (-3 \cdot 4) + (-3 \cdot 2) \).
  2. Calcula \( (5 + (-2)) \cdot 3 \) y luego \( (5 \cdot 3) + (-2 \cdot 3) \).
  3. Calcula \( 4 \cdot (-1 + 6) \) y luego \( (4 \cdot -1) + (4 \cdot 6) \).