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5. Interés aplicado al crédito
Interés aplicado al crédito
Interés aplicado al crédito
En la página anterior estudiamos el interés aplicado al ahorro, donde una persona gana dinero por mantener un capital guardado durante un tiempo.
Ahora analizaremos la situación opuesta: el interés aplicado al crédito. Cuando una persona pide dinero prestado, normalmente debe devolver no solo el capital recibido, sino también un monto adicional llamado interés.
Por eso, al trabajar con crédito es muy importante distinguir entre el dinero prestado, el interés cobrado y el total que finalmente se paga.
Objetivo de la página
- Comprender qué significa interés en contextos de crédito.
- Identificar capital prestado, tasa de interés, interés cobrado y total a pagar.
- Calcular el monto a pagar en situaciones simples de crédito.
- Relacionar el crédito con crecimiento porcentual constante de una deuda.
- Usar fórmulas de crédito en forma directa e inversa para encontrar capital, tasa, total a pagar o número de períodos en casos sencillos.
- Comparar alternativas de crédito considerando el costo total.
- Al finalizar esta página deberías poder:
- Calcular el interés cobrado en un período.
- Calcular el total a pagar después de uno o varios períodos.
- Interpretar una tasa de interés de crédito en contexto.
- Comparar créditos simples y justificar cuál tiene menor costo.
- Distinguir entre capital prestado, interés y deuda final.
Conceptos básicos
En problemas de crédito usaremos estas ideas:
- Capital prestado: dinero que la persona recibe al inicio.
- Tasa de interés: porcentaje que se cobra por período sobre la deuda.
- Interés: monto adicional que se paga por usar ese dinero.
- Total a pagar: capital prestado más interés.
Crédito en un período
Si se pide prestado un capital \(C\) y la tasa por período es \(i\), entonces:
\[ I=C\cdot i \]
\[ M=C+I \]
Equivalentemente:
\[ M=C(1+i) \]
donde \(i\) se expresa en forma decimal. Por ejemplo, \(6\%=0{,}06\).
Crédito durante varios períodos
Si la deuda no se paga y sigue creciendo con la misma tasa en cada período, entonces puede modelarse por:
\[ D_n=C_0(1+i)^n \]
donde:
- \(C_0\) es el capital inicialmente prestado,
- \(i\) es la tasa por período,
- \(n\) es el número de períodos.
El interés total acumulado después de \(n\) períodos es:
\[ I_{\text{total}}=D_n-C_0 \]
Uso directo e inverso de las fórmulas
Las fórmulas de crédito pueden usarse en distintos sentidos, según el dato que falte.
Para encontrar el interés en un período:
\[ I=C\cdot i \]
Para encontrar el capital prestado en un período:
\[ C=\frac{I}{i} \qquad \text{o} \qquad C=\frac{M}{1+i} \]
Para encontrar la tasa en un período:
\[ i=\frac{I}{C} \qquad \text{o} \qquad i=\frac{M}{C}-1 \]
Para encontrar el capital prestado en varios períodos:
\[ C_0=\frac{D_n}{(1+i)^n} \]
Idea clave
En un crédito, el interés representa un costo. Mientras mayor sea la tasa o mayor sea el tiempo, normalmente mayor será el total a pagar.
Error frecuente
No confundas el capital prestado con el total a pagar. Si te prestan $200.000 y la tasa genera $20.000 de interés, entonces no se pagan $20.000 en total: se pagan $220.000.
Resumen de fórmulas
Tabla de fórmulas
| Situación | Fórmula | Interpretación |
|---|---|---|
| Interés en un período | \(I=C\cdot i\) | Costo adicional del crédito en un período |
| Total a pagar en un período | \(M=C(1+i)\) | Capital más interés |
| Deuda en varios períodos | \(D_n=C_0(1+i)^n\) | Crecimiento de la deuda con tasa constante |
| Interés total acumulado | \(D_n-C_0\) | Diferencia entre deuda final y capital prestado |
Ejemplo guiado 1: crédito en un período
Una persona pide un crédito de $300.000 con una tasa de 6% mensual por 1 mes.
Primero expresamos la tasa en decimal:
\[ 6\%=0{,}06 \]
Luego calculamos el interés:
\[ I=300.000\cdot 0{,}06=18.000 \]
El total a pagar es:
\[ M=300.000+18.000=318.000 \]
La persona debe pagar $18.000 de interés y el total a devolver es $318.000.
Ejemplo guiado 2: deuda que crece durante varios meses
Una deuda inicial de $100.000 crece a una tasa de 5% mensual durante 3 meses.
El multiplicador mensual es:
\[ 1+0{,}05=1{,}05 \]
Entonces:
\[ D_3=100.000(1{,}05)^3 \]
\[ D_3=100.000\cdot 1{,}157625=115.762{,}5 \]
La deuda final es aproximadamente $115.763.
El interés total acumulado es:
\[ 115.762{,}5-100.000=15.762{,}5 \]
Es decir, aproximadamente $15.763.
Ejemplo guiado 3: comparación básica de dos créditos
Una persona necesita pedir un crédito de $200.000 por 1 mes y tiene estas dos opciones:
- Opción A: 4% mensual.
- Opción B: 6% mensual.
Opción A
\[ M=200.000(1{,}04)=208.000 \]
Opción B
\[ M=200.000(1{,}06)=212.000 \]
La opción A conviene más, porque genera un menor total a pagar.
Ejemplo guiado 4: encontrar el capital prestado
Después de aplicar una tasa de 8% en un período, el total a pagar por un crédito es $270.000. ¿Cuál fue el capital prestado?
La tasa es \(i=0{,}08\), por lo tanto el multiplicador es:
\[1+i=1{,}08\]
Usamos la fórmula inversa:
\[C=\frac{M}{1+i}\]
Reemplazamos:
\[C=\frac{270.000}{1{,}08}=250.000\]
El capital prestado fue $250.000.
Ejemplo guiado 5: encontrar la tasa de interés
Una persona recibe un crédito de $400.000 y debe pagar $424.000 al final de un período. ¿Cuál fue la tasa de interés?
Primero calculamos el interés:
\[I=424.000-400.000=24.000\]
Luego calculamos la tasa:
\[i=\frac{I}{C}=\frac{24.000}{400.000}=0{,}06\]
La tasa de interés fue de 6% en ese período.
Ahorro y crédito no se interpretan igual
En el ahorro, una tasa mayor suele ser conveniente porque hace crecer más rápido el capital. En cambio, en el crédito, una tasa mayor suele significar un mayor costo, porque hace crecer más rápido la deuda.
Aplicación en el mundo real
El interés aplicado al crédito aparece en préstamos, avances, compras financiadas y deudas que no se pagan de inmediato. Entenderlo permite interpretar mejor cuánto cuesta realmente pedir dinero prestado.
Ejercicios
Ejercicio 1
Completa la información de cada crédito.
| Situación | Capital prestado | Tasa por período | Número de períodos | Modelo |
|---|---|---|---|---|
| Se pide un crédito de $150.000 al 5% mensual durante 1 mes. | ? | ? | ? | ? |
| Se reciben $500.000 con una tasa de 3% mensual durante 2 meses. | ? | ? | ? | ? |
| Se solicita un préstamo de $80.000 al 4% mensual durante 6 meses. | ? | ? | ? | ? |
Fila 1:
Capital prestado: $150.000; tasa: \(5\%=0{,}05\); períodos: \(1\).
\[D_1=150.000(1{,}05)^1\]
Fila 2:
Capital prestado: $500.000; tasa: \(3\%=0{,}03\); períodos: \(2\).
\[D_2=500.000(1{,}03)^2\]
Fila 3:
Capital prestado: $80.000; tasa: \(4\%=0{,}04\); períodos: \(6\).
\[D_6=80.000(1{,}04)^6\]
| Capital prestado | Tasa por período | Número de períodos | Modelo |
|---|---|---|---|
| $150.000 | 5% mensual | 1 mes | \(D_1=150.000(1{,}05)^1\) |
| $500.000 | 3% mensual | 2 meses | \(D_2=500.000(1{,}03)^2\) |
| $80.000 | 4% mensual | 6 meses | \(D_6=80.000(1{,}04)^6\) |
Ejercicio 2
Una persona pide un crédito de $250.000 a una tasa de 8% por 1 período.
- Calcula el interés.
- Calcula el total a pagar.
- Verifica el total usando el multiplicador.
- Explica por qué el interés no es lo mismo que el total a pagar.
a) Calculamos el interés:
\[ I=250.000\cdot 0{,}08=20.000 \]
El interés es $20.000.
b) El total a pagar es:
\[ M=250.000+20.000=270.000 \]
El total a pagar es $270.000.
c) El multiplicador es:
\[1+0{,}08=1{,}08\]
\[250.000(1{,}08)=270.000\]
Se obtiene el mismo total.
d) El interés es solo el costo adicional, es decir, $20.000. El total a pagar incluye el capital prestado más ese interés: $270.000.
Ejercicio 3
Una persona pagó $18.000 de interés en un período con una tasa de 6%.
- ¿Cuál fue el capital prestado?
- ¿Cuál fue el total a pagar?
- Verifica que el interés corresponde al 6% del capital prestado.
a) Usamos la fórmula:
\[I=C\cdot i\]
Sabemos que \(I=18.000\) e \(i=0{,}06\). Entonces:
\[18.000=C\cdot 0{,}06\]
\[C=\frac{18.000}{0{,}06}=300.000\]
El capital prestado fue $300.000.
b) El total a pagar fue:
\[M=300.000+18.000=318.000\]
El total a pagar fue $318.000.
c) Verificamos:
\[300.000\cdot 0{,}06=18.000\]
El interés corresponde al 6% del capital prestado.
Ejercicio 4
Después de un período con una tasa de 12%, el total a pagar por un crédito es $280.000.
- Calcula el capital prestado.
- Calcula el interés cobrado.
- Verifica el resultado usando el multiplicador.
a) La tasa es \(i=0{,}12\), por lo tanto el multiplicador es:
\[1+i=1{,}12\]
Como conocemos el total a pagar, usamos la fórmula inversa:
\[C=\frac{M}{1+i}\]
\[C=\frac{280.000}{1{,}12}=250.000\]
El capital prestado fue $250.000.
b) El interés cobrado fue:
\[280.000-250.000=30.000\]
El interés fue de $30.000.
c) Verificamos:
\[250.000(1{,}12)=280.000\]
El resultado coincide con el total a pagar.
Ejercicio 5
Un crédito de $120.000 tiene una tasa de 5% mensual durante 2 meses, sin pago intermedio.
- Escribe la expresión que modela la deuda final.
- Calcula la deuda final.
- Calcula el interés total acumulado.
- Calcula el porcentaje total de aumento de la deuda respecto del capital prestado.
a) El multiplicador mensual es:
\[1+0{,}05=1{,}05\]
La expresión es:
\[ D_2=120.000(1{,}05)^2 \]
b) Calculamos:
\[ D_2=120.000\cdot 1{,}1025=132.300 \]
La deuda final es $132.300.
c) El interés total acumulado es:
\[ 132.300-120.000=12.300 \]
El interés total acumulado es $12.300.
d) El porcentaje total de aumento es:
\[\frac{12.300}{120.000}=0{,}1025=10{,}25\%\]
La deuda aumentó un 10,25% en total.
Ejercicio 6
Completa la tabla para una deuda inicial de $100.000 que crece un 10% por período.
| Período | Deuda | Interés del período |
|---|---|---|
| 0 | $100.000 | - |
| 1 | ? | ? |
| 2 | ? | ? |
| 3 | ? | ? |
Luego explica por qué el interés del período no es siempre el mismo.
El multiplicador es:
\[1+0{,}10=1{,}10\]
Período 1:
\[100.000(1{,}10)=110.000\]
Interés del período: \(110.000-100.000=10.000\).
Período 2:
\[110.000(1{,}10)=121.000\]
Interés del período: \(121.000-110.000=11.000\).
Período 3:
\[121.000(1{,}10)=133.100\]
Interés del período: \(133.100-121.000=12.100\).
| Período | Deuda | Interés del período |
|---|---|---|
| 0 | $100.000 | - |
| 1 | $110.000 | $10.000 |
| 2 | $121.000 | $11.000 |
| 3 | $133.100 | $12.100 |
El interés del período aumenta porque el 10% se calcula cada vez sobre una deuda mayor.
Ejercicio 7
Un préstamo de $400.000 tiene una tasa de 3% mensual y no se paga durante 2 meses.
- Calcula la deuda final.
- Calcula el interés total acumulado.
- Calcula cuánto se pagaría si el 3% se aplicara solo una vez al final de los 2 meses.
- Compara ambos resultados.
a) Como la tasa se aplica durante 2 meses:
\[ D_2=400.000(1{,}03)^2 \]
\[ D_2=400.000\cdot 1{,}0609=424.360 \]
La deuda final es $424.360.
b) El interés total acumulado es:
\[ 424.360-400.000=24.360 \]
El interés total acumulado es $24.360.
c) Si el 3% se aplicara solo una vez:
\[400.000(1{,}03)=412.000\]
El interés sería:
\[412.000-400.000=12.000\]
d) Al aplicar 3% mensual durante 2 meses, la deuda aumenta $24.360. Si se aplicara 3% solo una vez, aumentaría $12.000. La diferencia aparece porque en el primer caso la tasa se aplica cada mes sobre una deuda actualizada.
Ejercicio 8
Compara estas dos alternativas para pedir un crédito de $200.000:
- Alternativa A: 2% mensual durante 3 meses.
- Alternativa B: 6% total al final de los 3 meses.
Calcula el total a pagar en cada caso y decide cuál conviene más.
Alternativa A:
\[D_A=200.000(1{,}02)^3\]
\[D_A=200.000\cdot 1{,}061208=212.241{,}6\]
El total a pagar es aproximadamente $212.242.
Alternativa B:
Un 6% total usa multiplicador \(1{,}06\):
\[D_B=200.000(1{,}06)=212.000\]
El total a pagar es $212.000.
Conviene más la Alternativa B, porque genera un menor total a pagar.
La diferencia aproximada es:
\[212.241{,}6-212.000=241{,}6\]
La Alternativa B cuesta aproximadamente $242 menos.
Ejercicio 9
Una deuda se modela por:
\[ D_n=500.000(1{,}04)^n \]
- ¿Cuál es el capital inicial prestado?
- ¿Cuál es la tasa por período?
- Calcula la deuda al cabo de 2 períodos.
- Calcula el interés total acumulado en esos 2 períodos.
- Explica si el interés total equivale exactamente a 8% del capital inicial.
a) El capital inicial prestado es el número que multiplica a la potencia:
\[C_0=500.000\]
El capital inicial prestado es $500.000.
b) El multiplicador es \(1{,}04\), entonces:
\[1{,}04=1+0{,}04\]
La tasa es 4% por período.
c) Calculamos:
\[D_2=500.000(1{,}04)^2\]
\[D_2=500.000\cdot 1{,}0816=540.800\]
La deuda al cabo de 2 períodos es $540.800.
d) El interés total acumulado es:
\[540.800-500.000=40.800\]
El interés total acumulado es $40.800.
e) No equivale exactamente a 8%, porque:
\[(1{,}04)^2=1{,}0816\]
El aumento total de la deuda es \(0{,}0816=8{,}16\%\), no 8% exacto.
Ejercicio 10
Después de 2 períodos a una tasa de 10% por período, una deuda llega a $121.000.
- ¿Cuál fue el capital inicialmente prestado?
- ¿Cuál fue el interés total acumulado?
- Verifica el resultado calculando la deuda período a período.
a) El multiplicador por período es:
\[1+0{,}10=1{,}10\]
Usamos:
\[D_2=C_0(1{,}10)^2\]
Reemplazamos:
\[121.000=C_0(1{,}10)^2\]
Como \((1{,}10)^2=1{,}21\), entonces:
\[C_0=\frac{121.000}{1{,}21}=100.000\]
El capital inicialmente prestado fue $100.000.
b) El interés total acumulado fue:
\[121.000-100.000=21.000\]
El interés total fue $21.000.
c) Verificamos período a período:
\[100.000(1{,}10)=110.000\]
\[110.000(1{,}10)=121.000\]
El resultado coincide con la deuda final indicada.
Ejercicio 11
Una deuda pasa de $200.000 a $242.000 después de 2 períodos con una tasa constante. ¿Cuál fue la tasa de interés por período?
Usamos el modelo:
\[D_2=C_0(1+i)^2\]
Reemplazamos:
\[242.000=200.000(1+i)^2\]
Dividimos por 200.000:
\[1{,}21=(1+i)^2\]
Como:
\[1{,}10^2=1{,}21\]
Entonces:
\[1+i=1{,}10\]
\[i=0{,}10=10\%\]
La tasa de interés fue de 10% por período.
Ejercicio 12
Un crédito inicial de $50.000 crece a una tasa de 20% por período y llega a $72.000. ¿Cuántos períodos pasaron?
El multiplicador es:
\[1+0{,}20=1{,}20\]
El modelo es:
\[72.000=50.000(1{,}20)^n\]
Dividimos por 50.000:
\[1{,}44=(1{,}20)^n\]
Probamos potencias sencillas:
\[(1{,}20)^1=1{,}20\]
\[(1{,}20)^2=1{,}44\]
Por lo tanto:
\[n=2\]
Pasaron 2 períodos.
Ejercicio 13
Un estudiante afirma: “Si un crédito cobra 5% mensual, entonces en 3 meses basta con sumar 15% al capital inicial para saber cuánto se debe”.
¿Es correcta esa afirmación? Justifica.
No, la afirmación es incorrecta.
Cuando la deuda crece con interés cada período, el porcentaje vuelve a aplicarse sobre un monto actualizado.
Por eso corresponde multiplicar por \((1{,}05)^3\), no sumar directamente 15%.
\[ (1{,}05)^3=1{,}157625 \]
Eso equivale a un crecimiento aproximado de 15,76%, no exactamente 15%.
Ejercicio 14
Una persona necesita recibir $300.000 hoy. Tiene dos alternativas:
- Alternativa A: pagar $330.000 al final de 1 período.
- Alternativa B: pagar $315.000 al final de 1 período más un cargo fijo de $12.000.
- Calcula el total a pagar en cada alternativa.
- Determina cuál alternativa tiene menor costo total.
- Calcula el costo adicional respecto del capital recibido en cada alternativa.
a) En la Alternativa A, el total a pagar es:
\[$330.000\]
En la Alternativa B, se debe sumar el cargo fijo:
\[315.000+12.000=327.000\]
El total a pagar en la Alternativa B es $327.000.
b) Conviene más la Alternativa B, porque $327.000 es menor que $330.000.
c) Costo adicional de la Alternativa A:
\[330.000-300.000=30.000\]
Costo adicional de la Alternativa B:
\[327.000-300.000=27.000\]
La Alternativa B tiene un costo adicional menor.
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
Una persona pide un crédito de $100.000 a una tasa de 6% por un período. ¿Cuál es el interés que debe pagar?
- $6.000
- $16.000
- $106.000
- $600
El interés se calcula con:
\[I=C\cdot i\]
\[I=100.000\cdot 0{,}06=6.000\]
Alternativa correcta: a
PAES 2
Una persona recibe $250.000 en un crédito a una tasa de 4% por un período. ¿Cuál es el total a pagar?
- $254.000
- $260.000
- $240.000
- $275.000
El multiplicador es:
\[1+0{,}04=1{,}04\]
Entonces:
\[M=250.000(1{,}04)=260.000\]
Alternativa correcta: b
PAES 3
Si una deuda se modela por \(D_n=C_0(1{,}03)^n\), entonces la tasa por período es:
- 0,03%
- 3%
- 30%
- 103%
El factor \(1{,}03\) se puede escribir como:
\[1{,}03=1+0{,}03\]
Por lo tanto, la tasa es:
\[0{,}03=3\%\]
Alternativa correcta: b
PAES 4
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
- En un crédito, una tasa más alta suele reducir el total a pagar.
- El interés es el capital inicial.
- En un crédito, una tasa positiva hace crecer la deuda.
- El total a pagar siempre es menor que el capital prestado.
En un crédito, una tasa positiva representa un costo adicional, por lo que la deuda crece.
El interés no es el capital inicial: es el monto adicional que se paga por usar el dinero prestado.
Alternativa correcta: c
PAES 5
Después de un período con una tasa de 8%, una deuda llega a $270.000. ¿Cuál fue el capital prestado?
- $20.000
- $250.000
- $291.600
- $278.000
La tasa es \(i=0{,}08\), por lo tanto el multiplicador es:
\[1+i=1{,}08\]
Como conocemos el total a pagar, usamos la fórmula inversa:
\[C=\frac{270.000}{1{,}08}=250.000\]
Alternativa correcta: b
PAES 6
Una deuda pasa de $300.000 a $330.000 en un período. ¿Cuál fue la tasa de interés?
- 3%
- 10%
- 30%
- 110%
El interés fue:
\[330.000-300.000=30.000\]
La tasa es:
\[i=\frac{30.000}{300.000}=0{,}10=10\%\]
Alternativa correcta: b
PAES 7
Un crédito de $100.000 llega a $121.000 después de 2 períodos con una tasa constante. ¿Cuál fue la tasa por período?
- 5%
- 10%
- 21%
- 121%
Usamos:
\[121.000=100.000(1+i)^2\]
Dividimos por 100.000:
\[1{,}21=(1+i)^2\]
Como \(1{,}10^2=1{,}21\), entonces:
\[1+i=1{,}10\]
\[i=0{,}10=10\%\]
Alternativa correcta: b
PAES 8
Un crédito de $50.000 crece al 20% por período. ¿Después de cuántos períodos llega a $72.000?
- 1 período
- 2 períodos
- 3 períodos
- 4 períodos
El multiplicador es:
\[1+0{,}20=1{,}20\]
El modelo es:
\[72.000=50.000(1{,}20)^n\]
Dividimos por 50.000:
\[1{,}44=(1{,}20)^n\]
Como \((1{,}20)^2=1{,}44\), entonces:
\[n=2\]
Alternativa correcta: b
PAES 9
Una persona necesita recibir $200.000 y evalúa dos créditos:
- Crédito A: pagar $210.000 al final del período.
- Crédito B: pagar $208.000 al final del período más un cargo fijo de $5.000.
¿Cuál afirmación es correcta?
- Conviene el crédito A, porque se paga menos en total.
- Conviene el crédito B, porque $208.000 es menor que $210.000.
- Ambos créditos cuestan exactamente lo mismo.
- Conviene el crédito B, porque el cargo fijo no se suma al total.
En el Crédito A se paga:
\[$210.000\]
En el Crédito B se debe sumar el cargo fijo:
\[208.000+5.000=213.000\]
Por lo tanto, conviene el Crédito A, porque $210.000 es menor que $213.000.
Alternativa correcta: a
PAES 10
Un crédito cobra 5% por período durante 2 períodos. Otro crédito cobra 10% total al final de los 2 períodos. Para un capital de $100.000, ¿cuál afirmación es correcta?
- Ambos créditos generan exactamente el mismo total a pagar.
- El crédito de 5% por período genera un total a pagar $250 mayor.
- El crédito de 10% total genera un total a pagar $250 mayor.
- El crédito de 5% por período genera un total menor que el capital prestado.
Crédito de 5% por período:
\[100.000(1{,}05)^2=100.000\cdot 1{,}1025=110.250\]
Crédito de 10% total:
\[100.000(1{,}10)=110.000\]
El crédito de 5% por período genera:
\[110.250-110.000=250\]
Por lo tanto, genera un total a pagar $250 mayor.
Alternativa correcta: b
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Resumen de la página
En esta página aplicamos porcentajes y tasas al contexto del crédito. Vimos cómo calcular interés, total a pagar e interés acumulado, y también cómo modelar el crecimiento de una deuda durante varios períodos.
La siguiente página trabajará la lectura e interpretación de información financiera, especialmente cuotas, costo total y comparación de alternativas, para poder analizar situaciones más cercanas a decisiones reales.
Para recordar
- El capital prestado es el dinero recibido al inicio.
- El interés es el costo adicional por usar ese dinero.
- El total a pagar es capital más interés.
- Con tasa constante, la deuda crece multiplicativamente.
- En créditos, normalmente conviene la alternativa con menor total a pagar.
- Las fórmulas pueden usarse directamente para encontrar la deuda final o inversamente para encontrar capital, tasa o número de períodos.