1. • \((1 + i)^2 = 2i\)
   • \((1 + i)^3 = -2 + 2i\)
   • \((1 + i)^4 = -4\)
   • \((1 + i)^5 = -4 - 4i\)
   Patrón: Las potencias de (1 + i) se mueven en espiral en el plano complejo.
2. • \((1 - i)^2 = -2i\)
   • \((1 - i)^3 = -2 - 2i\)
   • \((1 - i)^4 = -4\)
   • \((1-i)^5=-4+4i\)
   Patrón: Similar al anterior, pero la espiral gira en sentido contrario.
3. Geométricamente, las potencias sucesivas de 1 + i y 1 - i forman puntos que se alejan del origen en espiral.
4. Para valores grandes de n, las potencias de (1 + i) y (1 - i) seguirán alejándose del origen, siguiendo un patrón espiral.
5. (Avanzado) Sí, existe una fórmula general, pero involucra la forma polar de los números complejos (que no hemos cubierto explícitamente). La idea clave es que el módulo de (1 + i) es √2, y el ángulo es 45 grados (π/4 radianes). Al elevar a la potencia *n*, el módulo se eleva a la potencia *n*, y el ángulo se multiplica por *n*.

Se espera que los estudiantes observen que \( z \cdot \bar{z} = |z|^2 \) para todos los números complejos que prueben.

Demostración (ya la vimos en una página anterior): Si \( z = a + bi \), entonces \( \bar{z} = a - bi \).
\( z \cdot \bar{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 - abi + abi - b^2i^2 = a^2 + b^2 \)
\( |z|^2 = (\sqrt{a^2 + b^2})^2 = a^2 + b^2 \)
Por lo tanto, \( z \cdot \bar{z} = |z|^2 \)

1. Los números complejos con el mismo módulo se encuentran en una circunferencia con centro en el origen y radio igual al módulo.
2. Los números complejos con la misma parte real se encuentran en una línea vertical.
3. Los números complejos con la misma parte imaginaria se encuentran en una línea horizontal.
4. Si el producto de dos números complejos es real, sus argumentos (ángulos) suman un múltiplo de 180 grados (π radianes). Geométricamente, esto significa que los vectores que representan a los números complejos son simétricos con respecto al eje real, o bien uno es un múltiplo real del otro.

12345/ 4= 3086.25= 3086+1/4, por lo que el resto es 1. Por lo tanto \(i^{12345} = i^1= i\)