1. guia imaginarios

Guía de Ejercicios: Números Imaginarios

1. Potencias de \(i\)

Simplifica:

  1. \( i^5 \)
  2. \( i^8 \)
  3. \( i^{11} \)
  4. \( i^{20} \)
  5. \( i^{37} \)
  6. \( i^{100} \)
  7. \( i^{245} \)
  8. \( i^{2025} \)

2. Exponentes negativos

Simplifica:

  1. \( i^{-1} \)
  2. \( i^{-2} \)
  3. \( i^{-3} \)
  4. \( i^{-7} \)
  5. \( i^{-12} \)
  6. \( i^{-25} \)

3. Raíces cuadradas negativas

Expresa en términos de \(i\):

  1. \( \sqrt{-1} \)
  2. \( \sqrt{-16} \)
  3. \( \sqrt{-49} \)
  4. \( \sqrt{-100} \)
  5. \( \sqrt{-121} \)
  6. \( \sqrt{-196} \)

4. Operaciones simples con \(i\)

Simplifica:

  1. \( 2i + 5i \)
  2. \( 7i - 3i \)
  3. \( (3i)(2i) \)
  4. \( (5i)(-4i) \)
  5. \( \dfrac{12i}{3i} \)
  6. \( \dfrac{-8i}{2i} \)

5. Desafíos combinados

  1. \( i^{15} + i^{-2} \)
  2. \( (i^7)(i^4) \)
  3. \( i^{30} - i^{29} \)
  4. \( \dfrac{i^{12}}{i^5} \)
  5. \( (2i)(3i)(4i) \)

Ecuaciones cuadráticas con soluciones imaginarias

Ejemplo introductorio (resuelto, caso real)

Resolver \( x^2 = 1 + 0 \).

Observamos que \(1 + 0 = 1\). Entonces:

\[ x^2 = 1 \;\Rightarrow\; x = \pm 1. \]

Casos con soluciones imaginarias puras (sin mostrar soluciones)

  1. \( x^2 + 9 = 0 \)
  2. \( x^2 + 25 = 0 \)
  3. \( x^2 + 100 = 0 \)
  4. \( 4x^2 + 36 = 0 \)
  5. \( 9x^2 + 81 = 0 \)