Números Enteros

Definición

Propiedades

1. Clausura (o Cerradura)

2. Asociatividad

3. Conmutatividad

Ejercicios:

1. \( -9 + 4 = \) y \( 4 + (-9) = \)
2. \( -2 \cdot 6 = \) y \( 6 \cdot (-2) = \)
3. \( 0 + (-3) = \) y \( -3 + 0 = \)

4. Existencia del Elemento Neutro

5. Existencia del Elemento Opuesto (Inverso Aditivo)

6. Distributividad

Construcción de los Números Enteros a partir de los Naturales

Introducción

Los números enteros, denotados como ℤ, son una extensión de los números naturales (ℕ) que incluye los números negativos y el cero. Formalmente, los números enteros se construyen a partir de los naturales utilizando pares ordenados y una relación de equivalencia.

Definición Matemática

Los números enteros se pueden construir mediante los siguientes pasos:

1. Conjunto base: Consideramos el conjunto de pares ordenados de números naturales: \[ \mathbb{P} = \{(a, b) \mid a, b \in \mathbb{N}\} \] Aquí, cada par representa la diferencia entre \(a\) y \(b\).
2. Relación de equivalencia: Definimos una relación de equivalencia \(\sim\) sobre \(\mathbb{P}\) como: \[ (a, b) \sim (c, d) \iff a + d = b + c \] Esta relación indica que dos pares son equivalentes si sus diferencias relativas son iguales.
3. Clases de equivalencia: Cada clase de equivalencia \([(a, b)]\) bajo esta relación representa un número entero. Por ejemplo:
   • \([(3, 1)]\) representa el entero positivo \(+2\), porque \(3 - 1 = 2\).
   • \([(1, 3)]\) representa el entero negativo \(-2\), porque \(1 - 3 = -2\).
   • \([(2, 2)]\) representa el entero \(0\), porque \(2 - 2 = 0\).
4. Definición del conjunto: El conjunto de números enteros es el conjunto de estas clases de equivalencia: \[ \mathbb{Z} = \mathbb{P} / \sim \]

Asi que z es el conjunto de los pares ordenados que cumplen la equivalencia definida mas arriba

Clases de Equivalencia: Explicación Detallada

Cada número entero \(z\) se puede representar mediante una clase de equivalencia \([(a, b)]\), donde \(a, b \in \mathbb{N}\). La diferencia entre \(a\) y \(b\) determina el valor del número entero:

• Si \(a > b\), entonces \([(a, b)]\) representa un entero positivo: \(a - b > 0\).
• Si \(a = b\), entonces \([(a, b)]\) representa el cero: \(a - b = 0\).
• Si \(a < b\), entonces \([(a, b)]\) representa un entero negativo: \(a - b < 0\).

Aunque hay infinitas formas de escribir un mismo número entero usando diferentes pares ordenados, la relación de equivalencia garantiza que siempre sean tratados como iguales. Por ejemplo: \ [(3, 1 = (5, 3) = (100, 98) \] Todos estos pares representan al entero \(+2\), ya que cumplen \(a + d = b + c\).

Operaciones en ℤ

Las operaciones de suma y producto se definen en términos de los pares ordenados:

• Suma: Dados \((a, b)\) y \((c, d)\), definimos la suma como: \[ (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). \]
• Producto: Dados \((a, b)\) y \((c, d)\), definimos el producto como: \[ (a, b) \cdot (c, d) = (ac + bd, ad + bc). \]

Ejemplo Numérico: Suma

Supongamos que queremos sumar los números representados por \([(3, 1)]\) (que es \(+2\)) y \([(4, 2)]\) (que también es \(+2\)). Usando la definición de la suma: \[ [(3, 1)] + [(4, 2)] = [(3 + 4, 1 + 2)] = [(7, 3)]. \] El resultado es la clase de equivalencia \([(7, 3)]\), que representa el número \(+4\), porque \(7 - 3 = 4\).

Ejemplo Numérico: Producto

Ahora calculemos el producto de \([(2, 0)]\) (que es \(+2\)) y \([(1, 3)]\) (que es \(-2\)). Usando la definición del producto: \[ [(2, 0)] \cdot [(1, 3)] = [(2 \cdot 1 + 0 \cdot 3, 2 \cdot 3 + 0 \cdot 1)] = [(2 + 0, 6 + 0)] = [(2, 6)]. \] El resultado es la clase de equivalencia \([(2, 6)]\), que representa el número \(-4\), porque \(2 - 6 = -4\).

Conclusión

Esta construcción formal nos permite extender los números naturales (\( \mathbb{N} \)) hacia los enteros (\( \mathbb{Z} \)), incluyendo el cero y los números negativos, de manera consistente y lógica dentro de la teoría de conjuntos. Los ejemplos muestran cómo las operaciones básicas de suma y producto pueden entenderse utilizando pares ordenados y relaciones de equivalencia.

Operaciones con Números Enteros: División

La División como Operación Inversa a la Multiplicación

Antes de ver las reglas de la división, es importante recordar que la división es la operación inversa de la multiplicación. Esto significa que si multiplicamos un número por otro y luego dividimos el resultado por el mismo segundo número, volvemos al número original.

Ejemplo:

• 5 × 3 = 15
• 15 ÷ 3 = 5

Usando esta relación, podemos deducir las reglas de los signos para la división a partir de las reglas de la multiplicación.

Deduciendo las Reglas de los Signos en la División

1.-Positivo ÷ Positivo = Positivo

• Sabemos  de las multiplicaciones que: (+) × (+) = (+).
• Si tenemos 4 × 3 = 12, entonces podemos escribir la división relacionada: 12 ÷ 4 = 3.
• Como positivo por positivo da positivo en la multiplicación, entonces positivo entre positivo da positivo en la división.
• Esquemáticamente: 

\( \boxed{ + \bullet +=+ } \Rightarrow 4 \bullet 3 = 12 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{lcr} 12:4=3 \\ \color{gray}{ 12:3=4 } \end{array} \right. \Rightarrow \boxed{ +: +=+ } \)

2.-Positivo ÷ Negativo = Negativo

• Sabemos de las multiplicaciones  que: (-) × (-) = (+).
• Si tenemos (-4) × (-3) = 12, entonces podemos escribir la división relacionada: 12 ÷ (-4)= (-3).
• Vemos que un numero positivo siendo dividido por uno negativo, da como resultado un número negativo.
• Esquemáticamente:

\( \boxed{ - \bullet -=+ } \Rightarrow (-4) \bullet (-3) = 12 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{lcr} 12:(-4)=(-3) \\ \color{gray}{ 12:(-3)=(-4) } \end{array} \right. \Rightarrow \boxed{ +: -=- } \)

3.-Negativo ÷ Positivo = Negativo

• Sabemos de las multiplicaciones que: (+) × (-) = (-).
• Si tenemos 4 × (-3) = (-12), entonces podemos escribir la división relacionada: (-12) ÷ 4 = (-3).
• Como positivo por negativo da negativo en la multiplicación, entonces negativo entre positivo da negativo en la división.
• Esquemáticamente:
  \( \boxed{ + \bullet -=- } \Rightarrow 4 \bullet (-3) = (-12) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{lcr} (-12):4=(-3) \\ \color{gray}{ (-12):(-3)=4 } \end{array} \right. \Rightarrow \boxed{ -: +=- } \) 

4.-Negativo ÷ Negativo = Positivo

• Usaremos el mismo ejemplo del punto anterior pero nos fijaremos en la segunda multipliocación
  Sabemos de las multiplicaciones que: (+) × (-) = (-).
• Si tenemos 4 × (-3) = (-12), entonces podemos escribir la división relacionada: (-12) ÷ (-3) = 4.
• Como positivo por negativo da negativo en la multiplicación, entonces negativo entre negativo da positivo en la división.
• Esquemáticamente:
  \( \boxed{ + \bullet -=- } \Rightarrow 4 \bullet (-3) = (-12) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{lcr} \color{gray}{ (-12):4=(-3) } \\  (-12):(-3)=4  \end{array} \right. \Rightarrow \boxed{ -: -=+ } \) 

Tabla de la División con Números Enteros

La siguiente tabla resume las reglas de los signos en la división:

Operando con las Reglas de la División de Números Enteros

Las reglas para dividir números enteros son similares a las de la multiplicación. Debemos prestar atención a los signos:

1. Números con el mismo signo:

El resultado es positivo. Se dividen sus valores absolutos y el cociente es positivo.

Ejemplos:

• 12 ÷ 4 = 3 (Positivo entre positivo da positivo)
• (-15) ÷ (-3) = 5 (Negativo entre negativo da positivo)

2. Números con distinto signo:

El resultado es negativo. Se dividen sus valores absolutos y el cociente es negativo.

Ejemplos:

• 14 ÷ (-2) = -7 (Positivo entre negativo da negativo)
• (-18) ÷ 3 = -6 (Negativo entre positivo da negativo)

3. División entre cero:

No se puede dividir entre cero. La división entre cero no está definida.

Ejemplos:

• 5 ÷ 0 = No se puede realizar
• (-8) ÷ 0 = No se puede realizar

4. Cero dividido entre cualquier numero:

Cero dividido entre cualquier número distinto de cero es igual a cero.

Ejemplos:

• 0 ÷ 4 = 0
• 0 ÷ -7 = 0

Ejercicios

1. (-20) ÷ 4 = ?
2. 18 ÷ (-2) = ?
3. (-30) ÷ (-5) = ?
4. 24 ÷ 8 = ?
5. (-10) ÷ 1 = ?
6. 0 ÷ (-9) = ?
7. (-16) ÷ (-4) = ?
8. 35 ÷ (-7) = ?

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Ejercicios: Encuentra el Valor Faltante

1. -20 ÷ ___ = 5
2. ___ ÷ (-3) = 6
3. -14 ÷ ___ = -2
4. ___ ÷ 7 = -4

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Problemas con División de Números Enteros

Aquí tienes algunos ejemplos de problemas que se resuelven utilizando la división de números enteros:

Ejemplo 1: Repartir una Deuda

Problema: Cuatro amigos tienen una deuda de $28 y quieren repartirla en partes iguales. ¿Cuánto dinero debe pagar cada uno?

Solución:

• Deuda total: -$28
• Número de amigos: 4
• Operación: (-28) ÷ 4 = -7
• Respuesta: Cada amigo debe pagar $7.

Ejemplo 2: Temperatura Promedio

Problema: Durante 5 días se registraron las siguientes temperaturas: -2°C, -4°C, 1°C, -3°C y 0°C. ¿Cuál fue la temperatura promedio durante esos días?

Solución:

• Temperaturas: -2, -4, 1, -3, 0
• Suma de temperaturas: (-2) + (-4) + 1 + (-3) + 0 = -8
• Número de días: 5
• Operación: (-8) ÷ 5 = -1.6
• Respuesta: La temperatura promedio fue de -1.6°C.

Ejercicios de Problemas

1. Un submarino se encuentra a -150 metros (150 metros bajo el nivel del mar) y desciende a una velocidad constante hasta llegar a -450 metros en 6 minutos. ¿Cuántos metros desciende por minuto?
2. Seis amigos tienen que pagar una deuda total de $90. Si la deuda se reparte en partes iguales, ¿cuánto debe pagar cada uno?
3. En un experimento, la temperatura de una sustancia disminuyó 24°C en 3 horas. Si la temperatura disminuyó a un ritmo constante, ¿cuántos grados bajó por hora?
4. Un jugador perdió 36 puntos en 4 rondas de un juego. Si perdió la misma cantidad de puntos en cada ronda, ¿cuántos puntos perdió por ronda?
5. Se reparten equitativamente 50 canicas entre varios niños. Si cada niño recibe -5 canicas (es decir, da 5 canicas), ¿Cuántos niños eran?

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¡Practica con estos ejercicios y dominarás la división de números enteros!

Potencias de Números Enteros

Hasta ahora, hemos trabajado con potencias de números naturales, donde la base y el exponente son números positivos. Ahora, ampliaremos nuestro estudio a las potencias de **números enteros**, incluyendo bases negativas y exponentes enteros (positivos o cero).

Analizando el caso de la base unitaria negativa (-1)

\( \begin{array}{lcr}

(-1)^1 & = (-1)  & =-1 & (Exponente Par, Resultado Positivo) \\
(-1)^2 & = (-1) \times (-1) & =1 & (Exponente Par, Resultado Positivo) \\
(-1)^3 & = (-1) \times (-1) \times (-1) & =-1 & (Exponente Impar, Resultado Negativo) \\
(-1)^4 & = (-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1) & =1 & (Exponente Par, Resultado Positivo) \\
(-1)^5 & = (-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1) & =-1 & (Exponente Impar, Resultado Negativo)\\
(-1)^6 & = (-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1) & =1 & (Exponente Impar, Resultado Negativo)\\
(-1)^7 & = (-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1) & =-1 & (Exponente Impar, Resultado Negativo)

 \end{array} \)

Potencias de Base Negativa

Cuando la base de una potencia es un número entero negativo, el signo del resultado depende de si el exponente es par o impar.

• Exponente par: Si el exponente es par, el resultado será **positivo**. Esto se debe a que un número negativo multiplicado por sí mismo un número par de veces se convierte en positivo.
• Exponente impar: Si el exponente es impar, el resultado será **negativo**. Esto se debe a que un número negativo multiplicado por sí mismo un número impar de veces permanece negativo.

Ejemplos:

Potencias con Exponente Par e Impar

Resumiendo lo anterior:

• Base Negativa y Exponente Par:
  • Ejemplo: \((-3)^4\)
  • Explicación: \((-3)^4 = (-3) \times (-3) \times (-3) \times (-3) = 81\)
  • Resultado: Positivo
• Base Negativa y Exponente Impar:
  • Ejemplo: \((-3)^5\)
  • Explicación: \((-3)^5 = (-3) \times (-3) \times (-3) \times (-3) \times (-3) = -243\)
  • Resultado: Negativo
• Base Positiva: No importa si el exponente es par o impar, el resultado siempre será positivo.

Descomposición de Potencias de Base Negativa

Cuando tenemos una potencia con base negativa, como \((-a)^n\), podemos descomponerla en un producto de \((-1)^n\) y \(a^n\). Esto nos permite simplificar los cálculos y entender mejor el efecto del signo negativo.

Ejemplo:

\((-a)^5\) puede descomponerse como \((-1)^5 \times a^5\).

Explicación:

• Caso con exponente impar (Ejemplo: 5):
  \((-a)^5 = (-a) \times (-a) \times (-a) \times (-a) \times (-a)\)
  Esto es equivalente a \((-1) \times a \times (-1) \times a \times (-1) \times a \times (-1) \times a \times (-1) \times a\)
  Reordenando, obtenemos \((-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1) \times a \times a \times a \times a \times a\)
  Que es igual a \((-1)^5 \times a^5\)
  Como \((-1)\) elevado a un exponente impar es -1, el resultado es \(-1 \times a^5 = -a^5\)
• Caso con exponente par (Ejemplo: 4):
  \((-a)^4 = (-a) \times (-a) \times (-a) \times (-a)\)
  Esto es equivalente a \((-1) \times a \times (-1) \times a \times (-1) \times a \times (-1) \times a\)
  Reordenando, obtenemos \((-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1) \times a \times a \times a \times a\)
  Que es igual a \((-1)^4 \times a^4\)
  Como \((-1)\) elevado a un exponente par es 1, el resultado es \(1 \times a^4 = a^4\)

Ejercicios:

1. \((-4)^2\)
2. \((-2)^5\)
3. \((-1)^7\)
4. \((-5)^3\)
5. \((-3)^4\)
6. \((-10)^2\)
7. \((-1)^6\)
8. \((-2)^7\)
9. Si \((-2)^x = -8\), ¿cuánto vale \(x\)?
10. Si \((-3)^x = 81\), ¿cuánto vale \(x\)?
11. \((-a)^8\) (Simplificar)
12. \((-a)^9\) (Simplificar)
13. \((-2 \times a)^3\) (Simplificar)
14. \((-b \div 2)^2\) (Simplificar)
15. \((-1)^x\), donde \(x\) es un número par. (Simplificar)

Problemas:

1. La temperatura en una ciudad en la noche es de \(-3^1\) grados Celsius, y al amanecer la temperatura se multiplica por si misma 3 veces. ¿A qué temperatura amaneció la ciudad?
2. En un juego, cada vez que pierdes, tu puntaje se multiplica por \((-2)^1\). Si inicias con 5 puntos y pierdes 3 veces seguidas, ¿cuál es tu puntaje final?
3. Si \((-2)^x = 16\), ¿cuál es el valor de \(x\)? Y si \((-2)^y = -32\), ¿cuál es el valor de \(y\)? ¿Qué puedes concluir sobre la relación entre el signo del resultado y la paridad del exponente?

Potencias de Base Entera y Exponente Entero

En esta página, exploraremos las potencias donde la base es un número entero (positivo, negativo o cero) y el exponente también es un número entero (positivo, negativo o cero). Nos enfocaremos especialmente en el caso de los **exponentes negativos**.

Descubriendo el Patrón: Exponentes Decrecientes

Para entender qué significa un exponente negativo, observemos el patrón que se forma cuando disminuimos el exponente de una potencia en uno, comenzando con un exponente positivo.

Ejemplo con base 2:

La mejor forma de entender los exponentes negativos es observar el patrón que surge al disminuir sucesivamente el exponente. Usaremos una tabla para ilustrar este patrón con una base de 2. Observa cómo cambian los valores a medida que el exponente disminuye:

\begin{array}{|c|c|l|c|} \hline \text{Potencia} & \text{Fracción Calculada} & \text{Desarrollo} & \text{Fracción en Potencia} \\ \hline 2^3 & 8 & 2 \times 2 \times 2 & - \\ \hline 2^2 & 4 & 2 \times 2 & - \\ \hline 2^1 & 2 & 2 & - \\ \hline 2^0 & 1 & \frac{2}{2} & - \\ \hline 2^{-1} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2^1} \\ \hline 2^{-2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} & \frac{1}{2^2} \\ \hline 2^{-3} & \frac{1}{8} & \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} & \frac{1}{2^3} \\ \hline 2^{-4} & \frac{1}{16} & \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} & \frac{1}{2^4} \\ \hline 2^{-5} & \frac{1}{32} & \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} & \frac{1}{2^5} \\ \hline 2^{-n} & \frac{1}{2^n} & \underbrace{\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \dots \times \frac{1}{2}}_{n \text{ veces}} & \frac{1}{2^n} \\ \hline \end{array}

Análisis de la Tabla

• Exponentes Positivos: En la parte superior de la tabla, vemos las potencias familiares con exponentes positivos (\(2^3\), \(2^2\), \(2^1\)). Cada vez que el exponente disminuye en 1, el resultado se divide entre la base (2).
• Exponente Cero: Llegamos a \(2^0 = 1\). Este es un resultado importante: cualquier número (excepto 0) elevado a la potencia 0 es igual a 1.
• Exponentes Negativos: Aquí es donde la magia ocurre. Continuamos el patrón de dividir entre la base (2) a medida que el exponente se vuelve negativo.
  • \(2^{-1}\) es lo mismo que dividir 1 entre 2, lo que resulta en 1/2.
  • \(2^{-2}\) es lo mismo que dividir 1/2 entre 2, lo que resulta en 1/4.
  • Y así sucesivamente...
• La Columna Clave: "Fracción en Potencia": Esta columna revela la regla fundamental: un exponente negativo indica el recíproco de la base elevada al exponente positivo correspondiente. Es decir: \[a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad (\text{donde 'a' es la base y 'n' es un entero positivo})\]

En Resumen

Un exponente negativo no significa un número negativo. Significa que estamos trabajando con el recíproco de la base elevada a una potencia positiva. La tabla muestra claramente cómo los exponentes negativos generan fracciones, y cómo estas fracciones están directamente relacionadas con las potencias positivas correspondientes. La multiplicación repetida por la fracción del denominador, muestra como se comporta un exponente negativo.

Potencias de Base Entera y Exponente Entero: Base Negativa

Ahora, exploremos el comportamiento de las potencias cuando la base es un número negativo, específicamente -3. Usaremos la siguiente tabla para visualizar el patrón de los exponentes, tanto positivos como negativos:

Ejemplo con base (-3):

\( \begin{array}{|c|c|l|c|} \hline \text{Potencia} & \text{Fracción Calculada} & \text{Desarrollo} & \text{Fracción en Potencia} \\ \hline (-3)^3 & -27 & (-3) \times (-3) \times (-3) & - \\ \hline (-3)^2 & 9 & (-3) \times (-3) & - \\ \hline (-3)^1 & -3 & (-3) & - \\ \hline (-3)^0 & 1 & \frac{-3}{-3} & - \\ \hline (-3)^{-1} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{1}{(-3)^1} \\ \hline (-3)^{-2} & \frac{1}{9} & -\frac{1}{3} \times -\frac{1}{3} & \frac{1}{(-3)^2} \\ \hline (-3)^{-3} & -\frac{1}{27} & -\frac{1}{3} \times -\frac{1}{3} \times -\frac{1}{3} & \frac{1}{(-3)^3} \\ \hline (-3)^{-4} & \frac{1}{81} & -\frac{1}{3} \times -\frac{1}{3} \times -\frac{1}{3} \times -\frac{1}{3} & \frac{1}{(-3)^4} \\ \hline (-3)^{-5} & -\frac{1}{243} & -\frac{1}{3} \times -\frac{1}{3} \times -\frac{1}{3} \times -\frac{1}{3} \times -\frac{1}{3} & \frac{1}{(-3)^5} \\ \hline (-3)^{-n} & \frac{(-1)^n}{3^n} & \underbrace{-\frac{1}{3} \times -\frac{1}{3} \times \dots \times -\frac{1}{3}}_{n \text{ veces}} & \frac{1}{(-3)^n} \\ \hline \end{array} \)

Análisis de la Tabla (Base -3)

• Exponentes Positivos: En la parte superior, vemos cómo se comportan los exponentes positivos con una base negativa. La clave aquí es recordar las reglas de multiplicación de signos:
  • \((-3)^1 = -3\)
  • \((-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9\) (negativo por negativo = positivo)
  • \((-3)^3 = (-3) \times (-3) \times (-3) = -27\) (tres negativos dan negativo)
  • Y así sucesivamente. El signo del resultado alterna con cada incremento del exponente.
• Exponente Cero: Al igual que con cualquier base distinta de cero, \((-3)^0 = 1\).
• Exponentes Negativos: A medida que el exponente se vuelve negativo, continuamos el patrón, pero ahora dividiendo por la base (-3), o, equivalentemente, multiplicando por el inverso \(-\frac{1}{3}\).
• \((-3)^{-1} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}\)

• \((-3)^{-2} = \frac{-\frac{1}{3}}{-3} = \left(-\frac{1}{3}\right) \times \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{9}\)

• \((-3)^{-3} = \frac{\frac{1}{9}}{-3} = \left(\frac{1}{9}\right) \times \left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{27}\)

• ... y así sucesivamente. Observa que el signo sigue alternando con cada exponente negativo, al igual que con los exponentes positivos.

• La Columna Clave: "Fracción en Potencia" y la Fórmula General: La columna "Fracción en Potencia" muestra que la regla fundamental de los exponentes negativos sigue siendo válida incluso con una base negativa: \[ a^{-n} = \frac{1}{a^n} \] Pero, al tener una base negativa, es crucial usar paréntesis: \[ (-3)^{-n} = \frac{1}{(-3)^n} \] o de forma mas general \[ (-3)^{-n} = \frac{(-1)^n}{3^n} \] Esta expresión, \((-1)^n / 3^n\), captura tanto la alternancia de signos (gracias al \((-1)^n\)) como la magnitud del denominador (gracias al \(3^n\)).

En Resumen (Base Negativa)

• Un exponente negativo con una base negativa no convierte el resultado en negativo automáticamente. El signo del resultado final depende de si el exponente es par o impar.
• La regla del recíproco sigue aplicándose: un exponente negativo indica que debemos tomar el recíproco de la base elevada al exponente positivo.
• La tabla y la fórmula general dejan claro que las potencias con base negativa y exponente negativo también generan fracciones, pero con la importante característica de la alternancia de signos. Comprender esta alternancia es crucial para trabajar correctamente con bases negativas.

Exponente Negativo: Definición General

De los ejemplos anteriores, podemos deducir la regla general para potencias con exponente negativo:

Fórmula: \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) (si \(a \neq 0\))

En palabras, una potencia con exponente negativo es igual al **inverso multiplicativo** de la base elevada al exponente positivo correspondiente.

Ejemplos con Exponentes Negativos

• \(5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}\)
• \(10^{-1} = \frac{1}{10^1} = \frac{1}{10}\)
• \((-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^3} = \frac{1}{-8} = -\frac{1}{8}\)
• \((-3)^{-4} = \frac{1}{(-3)^4} = \frac{1}{81} \)

Ejercicios con Exponentes Negativos

1. \(4^{-2}\)
2. \(2^{-5}\)
3. \(7^{-1}\)
4. \((-5)^{-2}\)
5. \((-2)^{-3}\)
6. \(10^{-3}\)
7. \(6^{-3}\)
8. \((-1)^{-7}\)
9. \((1/3)^{-2}\)
10. \((2/5)^{-3}\)
11. Si \(2^{-x} = \frac{1}{16}\), ¿cuánto vale \(x\)?
12. Si \(a^{-3} = \frac{1}{27}\), ¿cuánto vale \(a\)?
13. Si \(3^{-x} = \frac{1}{81}\), ¿cuánto vale \(x\)?
14. Si \(a^{-2} = \frac{1}{49}\), ¿cuánto vale \(a\)?
15. Si \(5^{-x} = \frac{1}{125}\), ¿cuánto vale \(x\)?
16. Si \(x^{-4} = \frac{1}{16}\), ¿cuánto vale \(x\)?
17. Si \(2^{-x} = \frac{1}{64}\), ¿cuánto vale \(x\)?

Problemas con Exponentes Negativos

1. Una población de bacterias se reduce a la mitad cada hora. Si inicialmente hay \(2^4\) bacterias, ¿qué fracción de la población inicial quedará después de 3 horas? (Expresa la respuesta como una potencia de 2 con exponente negativo)
2. Si la velocidad de un objeto es \(5^{-1}\) metros por segundo, ¿qué fracción de un metro recorre en un segundo?
3. La intensidad de la luz disminuye con el cuadrado de la distancia. Si a una distancia de 1 metro la intensidad es 1, ¿cómo se expresaría la intensidad a una distancia de 4 metros usando una potencia con exponente negativo?

Propiedades de las Potencias

Ahora que ya comprendemos las potencias de base entera y exponente entero, repasaremos las propiedades fundamentales que nos ayudan a simplificar y resolver operaciones con ellas.

1. Producto de Potencias de Igual Base

Cuando se multiplican potencias con la misma base, se mantiene la base y se suman los exponentes.

Fórmula: \(a^m \times a^n = a^{m+n}\)

Ejemplo: \(2^3 \times 2^2 = 2^{3+2} = 2^5 = 32\)

Ejercicios:

Base entera y exponente natural:

   
1. \(3^2 \times 3^3\)
   
2. \((-2)^2 \times (-2)^3\)
   
3. \(5^4 \times 5^0\)
   
4. \((-4)^2 \times (-4)^2\)
   
5. \(10^3 \times 10^1 \times 10^2\)

Base entera y exponente entero:

   
6. \(2^4 \times 2^{-2}\)
   
7. \((-3)^{-1} \times (-3)^{-3}\)
   
8. \(5^{-5} \times 5^{3}\)

Simplificaciones algebraicas:

   
9. \(x^5 \cdot x^3\)
   
10. \(y^{-2} \cdot y^6\)
   
11. \(a^4 \cdot a^{-1} \cdot a\)
   
12. \((2x)^2 \cdot (2x)^3\)

2. Cociente de Potencias de Igual Base

Cuando se dividen potencias con la misma base, se mantiene la base y se restan los exponentes.

Fórmula: \(a^m \div a^n = a^{m-n}\) (donde \(a \neq 0\))

Ejemplo: \(5^4 \div 5^2 = 5^{4-2} = 5^2 = 25\)

Ejercicios:

Base entera y exponente natural:

   
1. \(2^5 \div 2^2\)
   
2. \((-3)^4 \div (-3)^2\)
   
3. \(10^6 \div 10^3\)
   
4. \(4^3 \div 4^1\)
   
5. \((-2)^5 \div (-2)^2\)

Base entera y exponente entero:

   
6. \(5^2 \div 5^{-1}\)
   
7. \((-2)^{-2} \div (-2)^{-4}\)
   
8. \(3^{-3} \div 3^{-1}\)

Simplificaciones algebraicas:

   
9. \(\frac{x^7}{x^4}\)
   
10. \(\frac{a^{-3}}{a^2}\)
   
11. \(y^5 \div y^{-2}\)
   
12. \(\frac{(3x)^4}{(3x)^2}\)

3. Potencia de una Potencia

Cuando se tiene una potencia elevada a otro exponente, se mantiene la base y se multiplican los exponentes.

Fórmula: \((a^m)^n = a^{m \times n}\)

Ejemplo: \((3^2)^3 = 3^{2 \times 3} = 3^6 = 729\)

Ejercicios:

Base entera y exponente natural:

1. \((2^2)^3\)
2. \((4^3)^2\)
3. \((-1)^3)^5\)
4. \((5^2)^0\)
5. \((10^2)^4\)

Base entera y exponente entero:

6. \((2^{-2})^3\)
7. \((-3)^2)^{-1}\)
8. \((5^{-1})^{-4}\)

Simplificaciones algebraicas:

9. \((x^3)^4\)
10. \((a^{-2})^5\)
11. \((y^2)^{-3}\)
12. \(((2x)^3)^2\)

4. Potencia de Exponente 0

Cualquier número (excepto 0) elevado a la potencia 0 es igual a 1.

Fórmula: \(a^0 = 1\) (si \(a \neq 0\))

Ejemplo: \(8^0 = 1\)

Ejercicios:

Base entera y exponente natural:

1. \(5^0\)
2. \((-3)^0\)
3. \(10^0\)
4. \((2^5)^0\)
5. \((-1)^0\)

Base entera y exponente entero:

6. \((4^{-2})^0\)
7. \((-2)^3 \times (-2)^{-3}\)
8. \(7^2 \div 7^2\)

Simplificaciones algebraicas:

9. \((x^2)^0\) (si \(x \neq 0\))
10. \((ab)^0\) (si \(a, b \neq 0\))
11. \(\frac{y^5}{y^5}\) (si \(y \neq 0\))
12. \((3x^2y^{-3})^0\) (si \(x,y \neq 0\))

5. Potencia de Exponente 1

Cualquier número elevado a la potencia 1 es igual al mismo número.

Fórmula: \(a^1 = a\)

Ejemplo: \(6^1 = 6\)

Ejercicios:

Base entera y exponente natural:

1. \(9^1\)
2. \((-4)^1\)
3. \(15^1\)
4. \((3^3)^1\)
5. \((-2)^1\)

Base entera y exponente entero:

6. \((10^{-2})^1\)
7. \((-5)^3 \div (-5)^2\)
8. \(2^{-4} \times 2^5\)

Simplificaciones algebraicas:

9. \(x^1\)
10. \((a^2b)^1\)
11. \(\frac{y^{-3}}{y^{-4}}\)
12. \((2xy)^1\cdot (3z)^0\)

6. Potencia de un Producto de igual Exponente

La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de cada factor.

Fórmula: \((a \times b)^n = a^n \times b^n\)

Ejemplo: \((2 \times 3)^2 = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36\)

Ejercicios:

Base entera y exponente natural:

1. \((4 \times 2)^2\)
2. \((3 \times 5)^3\)
3. \((-2 \times 3)^2\)
4. \((5 \times 1)^4\)
5. \((2 \times 3 \times 4)^2\)

Base entera y exponente entero:

6. \((2 \times 3)^{-2}\)
7. \((-1 \times 4)^{-3}\)
8. \((5 \times 2)^{-1}\)

Simplificaciones algebraicas:

9. \((xy)^3\)
10. \((2a)^4\)
11. \((3x^2y)^2\)
12. \((-ab)^5\)

7. Potencia de un Cociente de Igual Exponente

La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias del dividendo y el divisor.

Fórmula: \((a \div b)^n = a^n \div b^n\) (si \(b \neq 0\))

Ejemplo: \((6 \div 3)^2 = 6^2 \div 3^2 = 36 \div 9 = 4\)

Ejercicios:

Base entera y exponente natural:

1. \((8 \div 4)^2\)
2. \((12 \div 3)^3\)
3. \((-6 \div 2)^2\)
4. \((10 \div 2)^4\)
5. \((20 \div 5)^3\)

Base entera y exponente entero:

6. \((4 \div 2)^{-3}\)
7. \((-9 \div 3)^{-1}\)
8. \((1/2)^{-4}\)

Simplificaciones algebraicas:

9. \((x \div y)^5\) (si \(y\neq 0\))
10. \((2a \div b)^3\) (si \(b\neq 0\))
11. \(\left(\frac{x^2}{y}\right)^4\) (si \(y\neq 0\))
12. \(\left(\frac{-2a}{b}\right)^3\) (si \(b\neq 0\))

Multiplicación de Monomios

Explicación Corta:

Para multiplicar monomios:

1. Multiplica los coeficientes (números) con sus signos.
2. Multiplica las partes literales (letras), sumando los exponentes de las variables iguales.
3. Junta los resultados.

Ejemplos Desarrollados:

Ejemplo 1:

Multiplicar: \( (-4a^2b) \times (3ab^3) \)

Desarrollo:

1. Multiplicar los coeficientes con sus signos:
   \( -4 \times 3 = -12 \)
2. Multiplicar las partes literales (sumar exponentes de variables iguales):
   
   • \( a^2 \times a = a^{2+1} = a^3 \)
   • \( b \times b^3 = b^{1+3} = b^4 \)
3. Combinar los resultados:
   \( -12a^3b^4 \)

Resultado: \( (-4a^2b) \times (3ab^3) = -12a^3b^4 \)

Ejemplo 2:

Multiplicar: \( (\frac{2}{5}xy^2z) \times (-10xz^2) \)

Desarrollo:

1. Multiplicar los coeficientes con sus signos:
   \( \frac{2}{5} \times -10 = \frac{-20}{5} = -4 \)
2. Multiplicar las partes literales (sumar exponentes de variables iguales):
   
   • \( x \times x = x^{1+1} = x^2 \)
   • \( y^2 \) (no hay otra 'y' en el segundo monomio)
   • \( z \times z^2 = z^{1+2} = z^3 \)
3. Combinar los resultados:
   \( -4x^2y^2z^3 \)

Resultado: \( (\frac{2}{5}xy^2z) \times (-10xz^2) = -4x^2y^2z^3 \)

Ejercicios de Práctica:

Resuelve las siguientes multiplicaciones de monomios:

1. \( (-2x) \times (4xy) = \) ?
2. \( (6a^2b) \times (-3ab^2) = \) ?
3. \( (-5mn) \times (-8m^2n^3) = \) ?
4. \( (\frac{1}{2}xy^2) \times (-4x^3y) = \) ?
5. \( (-7) \times (3a^2bc) = \) ?
6. \( (9p^2q) \times (-2pq) = \) ?
7. \( (-4xyz) \times (-6x^2yz^3) = \) ?
8. \( (\frac{3}{4}ab^2) \times (8a^2b) = \) ?
9. \( (-10m) \times (5m^3n) = \) ?
10. \( (-12x^2y) \times (-\frac{1}{3}xy^2) = \) ?

Recuerda:

• Ley de los signos:
  • (+) * (+) = (+)
  • (-) * (-) = (+)
  • (+) * (-) = (-)
  • (-) * (+) = (-)
• Ley de los exponentes: Al multiplicar potencias de la misma base, se suman los exponentes.

Simplificación de Términos Semejantes (Adición y Sustracción)

¿Qué son Términos Semejantes?

Términos semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal (las mismas letras elevadas a los mismos exponentes). Los coeficientes numéricos pueden ser diferentes.

Reglas para Simplificar:

1. Identifica los términos semejantes: Busca términos con las mismas letras y exponentes.
2. Suma o resta los coeficientes: Mantén la parte literal igual y opera solo con los números (coeficientes), respetando la ley de los signos.

Ley de los Signos (para Suma y Resta):

• Signos iguales se suman y se mantiene el signo:
  • \( (+a) + (+a) = +2a \)
  • \( (-a) + (-a) = -2a \)
• Signos diferentes se restan y se mantiene el signo del número con mayor valor absoluto:
  • \( (+3a) + (-a) = \) Signo del mayor \(|3a| \text{ o } |-a| \)
  • \( (-5a) + (+2a) = \) Signo del mayor \(|-5a| \text{ o } |2a| \)
• Sustracción: Para restar, cambia el signo del sustraendo (el término que se resta) y luego suma:
  • \( a - b = a + (-b) \)

Ejemplos Desarrollados:

Ejemplo 1:

Simplificar: \( 3x - 5y + 2x + 7y \)

Desarrollo:

1. Identificar términos semejantes:
   • \( 3x \) y \( 2x \) son semejantes.
   • \( -5y \) y \( 7y \) son semejantes.
2. Sumar o restar los coeficientes:
   \( (3x + 2x) + (-5y + 7y) = 5x + 2y \)

Resultado: \( 3x - 5y + 2x + 7y = 5x + 2y \)

Ejemplo 2:

Simplificar: \( -6a^2b + 9ab - 4ab + 2a^2b \)

Desarrollo:

1. Identificar términos semejantes:
   • \( -6a^2b \) y \( 2a^2b \) son semejantes.
   • \( 9ab \) y \( -4ab \) son semejantes.
2. Sumar o restar los coeficientes:
   \( (-6a^2b + 2a^2b) + (9ab - 4ab) = -4a^2b + 5ab \)

Resultado: \( -6a^2b + 9ab - 4ab + 2a^2b = -4a^2b + 5ab \)

Ejemplo 3:

Simplificar: \( 8m - 3n - (5m + 2n) \)

Desarrollo:

1. Distribuir el signo negativo a los terminos dentro del parentesis:
   • \(8m - 3n -5m -2n\)
2. Identificar términos semejantes:
   • \( 8m \) y \( -5m \) son semejantes.
   • \( -3n \) y \( -2n\) son semejantes.
3. Sumar o restar los coeficientes:
   • \( (8m - 5m) + (-3n - 2n) = 3m -5n\)

Resultado:\(8m - 3n - (5m + 2n) = 3m - 5n\)

Ejercicios de Práctica:

Simplifica las siguientes expresiones:

1. \( 5a + 3b - 2a + 7b = \) ?
2. \( -9x^2 + 4x - 6 + 3x^2 - 2x = \) ?
3. \( 10mn - 4m^2n + 8mn - 5m^2n = \) ?
4. \( 2/3xy + 1/2x - 5/6xy + 3/4x = \) ?
5. \( -3p - 7q + (4p - 2q) = \) ?
6. \( 6a^2b^2 - 4ab + 8a^2b^2 + 2ab - 3 = \) ?
7. \( 4x - 2y - (3x - 5y) = \)?
8. \( -7a + 5b -8c + 4a -3b + 5c = \)?
9. \( 9xy - 3x + (4xy -2x) -5 = \)?
10. \( 2/5m^2 - 1/3mn + 3/10m^2 - 2/3mn =\)?

Ley Distributiva y Factor Común

Ley Distributiva

La ley distributiva establece que multiplicar una suma por un número es lo mismo que multiplicar cada sumando por el número y luego sumar los productos. En términos generales:

Forma 1: \( a(b + c) = ab + ac \)

Forma 2: \( (a + b)c = ac + bc \)

Esto tambien se aplica a las restas:

\( a(b - c) = ab - ac \)

\( (a - b)c = ac - bc \)

Ejemplos Numéricos:

Ejemplo 1:

\( 3(4 + 5) = 3 \times 4 + 3 \times 5 = 12 + 15 = 27 \)

Comprobación: \( 3(4 + 5) = 3(9) = 27 \)

Ejemplo 2:

\( -2(6 - 3) = -2 \times 6 + (-2) \times (-3) = -12 + 6 = -6 \)

Comprobación: \( -2(6 - 3) = -2(3) = -6 \)

Ejemplos Literales:

Ejemplo 1:

\( 2(x + y) = 2x + 2y \)

Ejemplo 2:

\( -5(a - 3b) = -5a + 15b \)

Ejemplo 3:

\( x(y - z) = xy - xz \)

Ejercicios de Ley Distributiva (Parte 1):

1. \( 4(2 + 3) = \) ?
2. \( -3(5 - 2) = \) ?
3. \( 6(x + 4) = \) ?
4. \( -2(y - 7) = \) ?
5. \( a(b + c) = \) ?
6. \( -7(3p - 2q) = \) ?
7. \( 5(2x + 3y - 4) = \) ?
8. \( -x(y - z + 4) = \) ?
9. \( (4 - a)b = \) ?
10. \( (x + y - z)3 = \) ?

Factor Común y Factorización

Factorizar es el proceso inverso de la ley distributiva. Consiste en encontrar el factor común (un número o variable que divide a todos los términos) y expresarlo como una multiplicación.

Ejemplos de Factorización:

Ejemplo 1:

Factorizar: \( 12 + 18 \)

El factor común es 6. \( 12 + 18 = 6(2 + 3) \)

Ejemplo 2:

Factorizar: \( 5x - 10y \)

El factor común es 5. \( 5x - 10y = 5(x - 2y) \)

Ejemplo 3:

Factorizar: \( -3a - 6b \)

El factor común es -3. \( -3a - 6b = -3(a + 2b) \)

Ejemplo 4:

Factorizar: \( x^2 + xy \)

El factor común es x. \( x^2 + xy = x(x + y) \)

Ejemplo 5:

Factorizar: \( 4a^2b - 6ab^2 \)

El factor común es 2ab. \( 4a^2b - 6ab^2 = 2ab(2a - 3b) \)

Ejercicios de Factor Común (Parte 2):

1. \( 8 + 12 = \) ?
2. \( 9x - 6y = \) ?
3. \( -4a - 8 = \) ?
4. \( -5m + 10n = \) ?
5. \( ab + ac = \) ?
6. \( 6x^2 + 3xy = \) ?
7. \( -2x^2y + 4xy^2 =\) ?
8. \( 10a - 15b + 20c = \) ?
9. \( 9p^2q - 12pq^2 + 15p^3q^3 = \) ?
10. \( -14x^3y^2 - 7x^2y^3 - 21xy^4 = \) ?

Ejercicios combinados de Ley Distributiva y Factor comun (Parte 3):

1. \( 4(x - 3y) + 2(x + 5y) = \) ?
2. \( 3a(2b + c) - 2(3ab + 4ac) = \) ?
3. \( -5(2m - n) + 4(-m + 3n) = \) ?
4. Factorizar: \( 6xy^2 + 9x^2y - 12xy = \) ?
5. Factorizar: \( -8a^3b^2 - 4a^2b^3 + 12a^2b^2 = \) ?
6. \( 2(3p - q) - (5p + 2q) + 4(p - 3q) =\) ?
7. Factorizar: \( 10x^3y^2z - 15x^2yz^2 + 20xy^3z^3 = \) ?
8. \( -3(a + 2b) + 4b(a - 1) - 2(b - a) = \) ?

Ley Distributiva y Factor Común

Ley Distributiva

La ley distributiva establece que multiplicar una suma por un número es lo mismo que multiplicar cada sumando por el número y luego sumar los productos.

Forma 1: \( a(b + c) = ab + ac \)

Forma 2: \( (a + b)c = ac + bc \)

También se aplica a las restas:

\( a(b - c) = ab - ac \)

Ejemplos Numéricos:

Ejemplo 1:

\( 3(4 + 5) = 3 \times 4 + 3 \times 5 = 12 + 15 = 27 \)

Ejemplo 2:

\( -2(6 - 3) = -2 \times 6 - (-2) \times 3 = -12 + 6 = -6 \)

Ejemplos Literales:

Ejemplo 1:

\( 2(x + y) = 2x + 2y \)

Ejemplo 2:

\( -5(a - 3b) = -5a + 15b \)

Ejercicios de Ley Distributiva (Parte 1):

1. \( 4(2 + 3) = \) ?
2. \( -3(5 - 2) = \) ?
3. \( 6(x + 4) = \) ?
4. \( -2(y - 7) = \) ?
5. \( a(b + c) = \) ?
6. \( -7(3p - 2q) = \) ?
7. \( 5(2x + 3y - 4) = \) ?
8. \( -x(y - z + 4) = \) ?
9. \( (4 - a)b = \) ?
10. \( (x + y - z)3 = \) ?

Factor Común (Encontrando el Máximo Factor Común - MCD)

Factorizar es escribir una expresión como una multiplicación. Buscamos el Máximo Factor Común (MCD), que es lo más grande (número y/o letra) que divide a todos los términos.

Pasos rápidos:

1. Encuentra el MCD de los números.
2. Encuentra las letras comunes con su menor exponente.
3. Multiplica ambos para obtener el MCD total.
4. Escribe el MCD y abre paréntesis. Dentro, pon lo que queda de cada término al dividirlo por el MCD.

Ejemplos de Factorización (Estilo Pizarrón):

Ejemplo 1: Factorizar \( 4x + 4y \)

MCD: El número 4 es común. No hay letras comunes.
Descomponemos: \( (\mathbf{4})x + (\mathbf{4})y \)
Resultado: \( \mathbf{4}(x + y) \)

Ejemplo 2: Factorizar \( 3a + 9b - 6c \)

MCD de 3, 9 y 6 es 3. No hay letras comunes.
Descomponemos: \( (\mathbf{3})a + (\mathbf{3})3b - (\mathbf{3})2c \)
Resultado: \( \mathbf{3}(a + 3b - 2c) \)

Ejemplo 3: Factorizar \( 2a^2 + 4a \)

MCD de 2 y 4 es 2. Letra común 'a', menor exponente es 1 (a). MCD total: 2a.
Descomponemos: \( (\mathbf{2a})a + (\mathbf{2a})2 \)
Resultado: \( \mathbf{2a}(a + 2) \)

Ejemplo 4: Factorizar \( 10ab - 15a^2b \)

MCD de 10 y 15 es 5. Letra 'a' común (menor exp. 1 -> a). Letra 'b' común (menor exp. 1 -> b). MCD total: 5ab.
Descomponemos: \( (\mathbf{5ab})2 - (\mathbf{5ab})3a \)
Resultado: \( \mathbf{5ab}(2 - 3a) \)

Ejemplo 5: Factorizar \( -14x^2 - 21x \)

MCD de 14 y 21 es 7. Como ambos son negativos, usamos -7. Letra 'x' común (menor exp. 1 -> x). MCD total: -7x.
Descomponemos: \( (\mathbf{-7x})2x + (\mathbf{-7x})3 \)
Resultado: \( \mathbf{-7x}(2x + 3) \)

Ejercicios de Factor Común (Parte 2):

1. \( 8 + 12 = \) ?
2. \( 9x - 6y = \) ?
3. \( -4a - 8 = \) ?
4. \( -5m + 10n = \) ?
5. \( ab + ac = \) ?
6. \( 6x^2 + 3xy = \) ?
7. \( -2x^2y + 4xy^2 =\) ?
8. \( 10a - 15b + 20c = \) ?
9. \( 9p^2q - 12pq^2 + 15p^3q^3 = \) ?
10. \( -14x^3y^2 - 7x^2y^3 - 21xy^4 = \) ?

Ejercicios combinados de Ley Distributiva y Factor comun (Parte 3):

1. \( 4(x - 3y) + 2(x + 5y) = \) ?
2. \( 3a(2b + c) - 2(3ab + 4ac) = \) ?
3. \( -5(2m - n) + 4(-m + 3n) = \) ?
4. Factorizar: \( 6xy^2 + 9x^2y - 12xy = \) ?
5. Factorizar: \( -8a^3b^2 - 4a^2b^3 + 12a^2b^2 = \) ?
6. \( 2(3p - q) - (5p + 2q) + 4(p - 3q) =\) ?
7. Factorizar: \( 10x^3y^2z - 15x^2yz^2 + 20xy^3z^3 = \) ?
8. \( -3(a + 2b) + 4b(a - 1) - 2(b - a) = \) ?

Jerarquía de Operaciones y Paréntesis con Números Enteros

Cuando tenemos una expresión matemática con varias operaciones (suma, resta, multiplicación, división, potencias), es fundamental seguir un orden específico para resolverla correctamente. Este orden se conoce como la jerarquía de operaciones, y los paréntesis juegan un papel crucial para modificar o clarificar este orden.

Jerarquía de Operaciones

El orden en que se deben realizar las operaciones es el siguiente:

1. Paréntesis, corchetes y llaves: Primero se resuelven todas las operaciones que se encuentran dentro de los paréntesis, corchetes y llaves, comenzando por los más internos y avanzando hacia los más externos.
2. Potencias y raíces: Luego, se calculan todas las potencias y raíces. (En este contexto de números enteros, nos enfocaremos en las potencias).
3. Multiplicación y división: Después, se realizan todas las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.
4. Suma y resta: Finalmente, se realizan todas las sumas y restas de izquierda a derecha.

Mnemotecnia: Una forma de recordar el orden es con la palabra PEMDAS (Paréntesis, Exponentes, Multiplicación/División, Adición/Sustracción), o también con alguna frase como "Papá Emilio Me Da Almuerzo y Sopa".

Uso de Paréntesis

Los paréntesis se utilizan para:

• Alterar el orden de las operaciones: Indicar que las operaciones dentro del paréntesis deben realizarse primero, sin importar la jerarquía estándar.
• Agrupar términos: Facilitar la lectura y comprensión de expresiones complejas.
• Eliminar ambigüedades: Aclarar el orden de las operaciones cuando podría haber dudas.

Ejemplos

Ejemplo 1: Sin paréntesis

\(5 + 3 \times 2^2 - 6 \div 3 = ?\)

1. Potencias: \(2^2 = 4\). La expresión queda: \(5 + 3 \times 4 - 6 \div 3\)
2. Multiplicación y división: \(3 \times 4 = 12\) y \(6 \div 3 = 2\). La expresión queda: \(5 + 12 - 2\)
3. Suma y resta: \(5 + 12 - 2 = 15\)

Resultado: \(5 + 3 \times 2^2 - 6 \div 3 = 15\)

Ejemplo 2: Con paréntesis

\((5 + 3) \times (2^2 - 6) \div 2 = ?\)

1. Paréntesis internos: \(5 + 3 = 8\) y \(2^2 - 6 = 4 - 6 = -2\). La expresión queda: \(8 \times (-2) \div 2\)
2. Multiplicación y división: \(8 \times (-2) = -16\) y \(-16 \div 2 = -8\)

Resultado: \((5 + 3) \times (2^2 - 6) \div 2 = -8\)

Ejemplo 3: Con paréntesis anidados

\(10 - [3 + (4 - 2) \times 5] = ?\)

1. Paréntesis más interno: \((4-2)=2\). La expresión queda: \(10 - [3 + 2 \times 5]\)
2. Siguiente paréntesis: \([3 + 2 \times 5] = [3 + 10] = 13\). La expresión queda: \(10 - 13\)
3. Resta: \(10 - 13 = -3\)

Resultado: \(10 - [3 + (4 - 2) \times 5] = -3\)

Ejercicios

Ejercicios de operaciones combinadas con números enteros (sin variables):

1. \(7 + 3 \times 4 - 5 = \) ?
2. \(10 - 2 \times 3 + 4 = \) ?
3. \((-2)^3 + 4 \times 5 - 2 = \) ?
4. \(6 \div 2 + 3 \times 4 - 1 = \) ?
5. \(15 - 3 \times 2^2 + 1 = \) ?
6. \((7 + 3) \times 2 - 5 = \) ?
7. \(10 - (2 \times 3) + 4 = \) ?
8. \((-2)^3 + (4 \times 5 - 2) = \) ?
9. \((6 \div 2 + 3) \times 4 - 1 = \) ?
10. \(15 - (3 \times 2^2) + 1 = \) ?
11. \(5 \times [3 + (2 - 1) \times 4] = \) ?
12. \(12 \div [6 - (2 + 1) \times 2] = \) ?
13. \((-3)^2 + [4 - (5 - 2) \times 3] = \) ?
14. \([8 - (6 \div 3 + 1)] \times 2 = \) ?
15. \(20 - [(3 + 2) \times 4 - 10] = \) ?

Ejercicios de simplificación algebraica (con variables):

16. Simplificar: \((2a^2b)^3 \div (ab^2)^2 = \) ?
17. Simplificar: \(\frac{4x^3y^{-2}}{2xy^{-4}} = \) ?
18. Simplificar: \((-3m^2n)^2 \cdot (2mn^3)^{-1} = \) ?
19. Simplificar: \(\frac{(x^2y)^3 \cdot x^{-2}}{y^2} = \) ?
20. Simplificar: \((a^{-1}b^2)^3 \div (ab^{-2})^2 = \) ?
21. Simplificar: \(\frac{9x^4y^2}{3xy^3} \cdot \frac{1}{x^{-1}} = \) ?
22. Simplificar: \((-2p^3q^{-1})^2 \cdot (p^{-2}q)^3 = \) ?
23. Simplificar: \(\frac{(m^3n^{-2})^2}{m^{-1}n^4} = \) ?

Problemas de Aplicación

Ejemplo:

Maria fue a la tienda a comprar los siguientes articulos, una calculadora a 8 pesos , 2 cuadernos a 3 pesos cada uno , y 3 lapices a 2 pesos cada uno, si llevaba un billete de 50 pesos, y por la compra de la calculadora dan un descuento de 3 pesos. ¿Cuanto dinero gasto Maria en la tienda? ¿Cuanto dinero le quedo a Maria si llevaba un billete de 50 pesos?

Solución:

• Primero, se calcula el gasto de los cuadernos que seria \(2 \times 3 = 6\) pesos.
• Luego, se calcula el gasto de los lapices que seria \(3 \times 2 = 6\) pesos.
• Despues, al costo de la calculadora se le hace el descuento quedando \(8-3=5\) pesos.
• Se suman todos los gastos parciales teniendo \(5 + 6 + 6 = 17\) pesos en total.
• Finalmente, para saber cuanto le quedo, se hace una resta entre lo que tenia y lo que gasto, quedando \(50 - 17 = 33\) pesos.

24. Un camión transporta 25 cajas de manzanas, cada caja pesa 30 kg. Además, lleva 10 sacos de papas de 50 kg cada uno. En el camino, descarga 5 cajas de manzanas y 3 sacos de papas. ¿Cuántos kilogramos de carga lleva ahora el camión?
25. En un torneo de videojuegos, un jugador gana 3 partidas seguidas, obteniendo 150 puntos por partida. Luego, pierde 2 partidas, perdiendo 80 puntos por partida. Si inicialmente tenía 200 puntos, ¿cuántos puntos tiene al final?
26. Una tienda de ropa tiene la siguiente oferta: "Compre 2 camisas a 25 pesos cada una y llévese la tercera a mitad de precio". Si un cliente compra 5 camisas, ¿cuánto debe pagar en total?
27. Un restaurante ofrece un menú del día que incluye una entrada, un plato principal y un postre. Hay 4 opciones de entrada, 5 opciones de plato principal y 3 opciones de postre. ¿Cuántas combinaciones diferentes de menú se pueden formar?
28. Si un automovilista conduce a una velocidad promedio de 80 km/h durante 3 horas, luego se detiene durante 30 minutos y finalmente conduce durante 2 horas más a 70 km/h, ¿cuántos kilómetros habrá recorrido en total?