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Libro Números Enteros

Sitio: MATEMÁTICAS × Profe Arauco
Curso: Media 1
Libro: Libro Números Enteros
Imprimido por: Invitado
Día: domingo, 7 de junio de 2026, 17:17

Tabla de contenidos

1. Números Enteros

Definición

El conjunto de los números enteros se representa con el símbolo \( \mathbb{Z} \). Está formado por los números naturales positivos, el cero y los opuestos de los números naturales.

\[ \mathbb{Z} = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\} \]

También puede escribirse, considerando \( \mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\} \), como:

\[ \mathbb{Z}=\mathbb{N}\cup\{0\}\cup\{-n \mid n\in\mathbb{N}\} \]

Donde \( -n \) representa el opuesto aditivo de \( n \).

Los números enteros positivos son \(1,2,3,\ldots\), los enteros negativos son \(-1,-2,-3,\ldots\), y el cero no es positivo ni negativo.

Ubicación en la recta numérica

En la recta numérica, los números negativos se ubican a la izquierda del cero y los positivos a la derecha.

Mientras más a la derecha esté un número, mayor es su valor; mientras más a la izquierda esté, menor es su valor.

Números negativos en nuestro día a día

Los números negativos se usan para representar deudas, faltantes o movimientos en sentido contrario.

  • Temperatura: una temperatura de \(-5^\circ\text{C}\) indica 5 grados Celsius bajo \(0^\circ\text{C}\).
  • Dinero: si debes \(\$10\,000\), esa deuda puede representarse como \(-\$10\,000\).
  • Altitud: una altitud de \(-430\) metros indica 430 metros bajo el nivel del mar.
  • Movimiento: si bajas 2 pisos en un ascensor, el movimiento puede representarse como \(-2\).

Propiedades de los Números Enteros

1. Clausura o cerradura

La suma, la resta y la multiplicación de dos números enteros siempre dan como resultado otro número entero.

Si \(a,b\in\mathbb{Z}\), entonces:

  • \(a+b\in\mathbb{Z}\)
  • \(a-b\in\mathbb{Z}\)
  • \(a\cdot b\in\mathbb{Z}\)

Por ejemplo:

\[ 5+(-3)=2,\qquad 7-10=-3,\qquad 4\cdot(-2)=-8 \]

Todos los resultados son números enteros.

Ejercicios de Clausura

Calcula y verifica que el resultado sea un número entero.

  1. \( -8 + 5 \)
  2. \( 12 - 15 \)
  3. \( -6 \cdot 3 \)
  4. \( -4 + (-7) \)

2. Asociatividad

Al sumar o multiplicar tres o más números enteros, no importa cómo se agrupen: el resultado será el mismo.

Si \(a,b,c\in\mathbb{Z}\), entonces:

  • \((a+b)+c=a+(b+c)\)
  • \((a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)\)

Por ejemplo:

\[ (2+3)+(-1)=5-1=4 \]

y

\[ 2+(3+(-1))=2+2=4 \]

Comprueba la Asociatividad

Calcula ambas expresiones y compara sus resultados.

  1. \( (-5+2)+7 \) y \( -5+(2+7) \)
  2. \( (3\cdot -2)\cdot 4 \) y \( 3\cdot(-2\cdot 4) \)
  3. \( (-1+(-4))+6 \) y \( -1+(-4+6) \)

3. Conmutatividad

En la suma y en la multiplicación de números enteros, el orden de los números no cambia el resultado.

Si \(a,b\in\mathbb{Z}\), entonces:

  • \(a+b=b+a\)
  • \(a\cdot b=b\cdot a\)

Por ejemplo:

\[ -5+7=2 \]

y

\[ 7+(-5)=2 \]

Comprueba la Conmutatividad

Determina si las siguientes igualdades son verdaderas.

  1. ¿Es \( -9+4 \) igual a \( 4+(-9) \)?
  2. ¿Es \( -2\cdot 6 \) igual a \( 6\cdot(-2) \)?
  3. ¿Es \( 0+(-3) \) igual a \( -3+0 \)?

4. Existencia del elemento neutro

Hay números que, al operar con ellos, no alteran al otro número.

  • El 0 es el neutro aditivo, porque \(a+0=a\).
  • El 1 es el neutro multiplicativo, porque \(a\cdot 1=a\).

Por ejemplo:

\[ 9+0=9,\qquad -6\cdot 1=-6 \]

Aplica el Elemento Neutro

Calcula cada expresión usando el elemento neutro correspondiente.

  1. \( -15+0 \)
  2. \( 7\cdot 1 \)
  3. \( 0+23 \)
  4. \( -8\cdot 1 \)

5. Existencia del elemento opuesto o inverso aditivo

Para cada número entero \(a\), siempre existe otro entero \(-a\), llamado opuesto, tal que al sumarlos se obtiene cero.

\[ a+(-a)=0 \]

Por ejemplo:

  • El opuesto de \(5\) es \(-5\), porque \(5+(-5)=0\).
  • El opuesto de \(-3\) es \(3\), porque \(-3+3=0\).

Encuentra el Elemento Opuesto

Determina el número que debe sumarse para obtener cero.

  1. ¿Qué número sumado a \(12\) da \(0\)?
  2. ¿Qué número sumado a \(-9\) da \(0\)?
  3. \( \square +7=0 \)
  4. \( \square +(-4)=0 \)

No existe inverso multiplicativo entero para todos los enteros

Si bien todo número entero tiene inverso aditivo, no todo número entero tiene inverso multiplicativo dentro de \( \mathbb{Z} \).

Por ejemplo, para el número \(5\), el número que multiplicado por \(5\) da \(1\) es:

\[ \frac{1}{5} \]

Pero \( \frac{1}{5} \notin \mathbb{Z} \). Por esta razón, la división no es una operación cerrada en \( \mathbb{Z} \).

6. Distributividad

La distributividad conecta la multiplicación con la suma.

Si \(a,b,c\in\mathbb{Z}\), entonces:

\[ a\cdot(b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c) \]

Por ejemplo:

\[ 2\cdot(3+(-1))=2\cdot 2=4 \]

y

\[ (2\cdot 3)+(2\cdot(-1))=6-2=4 \]

Comprueba la Distributividad

Calcula ambas formas y verifica que el resultado sea el mismo.

  1. \( -3\cdot(4+2) \) y \( (-3\cdot 4)+(-3\cdot 2) \)
  2. \( (5+(-2))\cdot 3 \) y \( (5\cdot 3)+(-2\cdot 3) \)
  3. \( 4\cdot(-1+6) \) y \( (4\cdot -1)+(4\cdot 6) \)

2. Construcción de los Números Enteros a partir de los Naturales (complemento)

¿Por qué construir algo que ya conocemos?

Aunque usamos los números negativos y el cero en muchas situaciones cotidianas, en matemática es importante contar con una base lógica clara y sin contradicciones.

La construcción formal de los números enteros \( \mathbb{Z} \) a partir de los números naturales \( \mathbb{N} \) permite definir rigurosamente qué es un número negativo y cómo se opera con él, usando ideas conocidas de los números naturales.

Definición matemática formal

Los números enteros se pueden construir formalmente mediante los siguientes pasos:

  1. Conjunto base: se parte del producto cartesiano de los números naturales consigo mismos: \[ \mathbb{N}\times\mathbb{N} \] Este conjunto está formado por todos los pares ordenados \((a,b)\), donde \(a\) y \(b\) son números naturales. \[ \mathbb{P}=\{(a,b)\mid a,b\in\mathbb{N}\} \]
  2. Relación de equivalencia: se define una relación \( \sim \) sobre este conjunto de pares. Diremos que dos pares son equivalentes si representan la misma diferencia: \[ (a,b)\sim(c,d)\iff a+d=b+c \]
  3. Clases de equivalencia: cada conjunto de pares equivalentes entre sí forma una clase de equivalencia. Cada una de estas clases representa un número entero: \[ \mathbb{Z}=\{[(a,b)]\mid (a,b)\in\mathbb{P}\} \]

Por lo tanto, el conjunto de los números enteros \( \mathbb{Z} \) se construye como el conjunto de clases de equivalencia de \( \mathbb{N}\times\mathbb{N} \) bajo la relación \( \sim \).

La idea clave: la resta escondida

La intuición detrás del par \((a,b)\) es que representa la diferencia \(a-b\).

Como la resta no siempre se puede realizar dentro de los números naturales, usamos pares ordenados para representar esa idea sin salir del conjunto \( \mathbb{N} \).

  • El par \((5,2)\) representa la idea de \(5-2\), es decir, el entero \(+3\).
  • El par \((2,5)\) representa la idea de \(2-5\), es decir, el entero \(-3\).
  • El par \((4,4)\) representa la idea de \(4-4\), es decir, el entero \(0\).

La condición \(a+d=b+c\) permite expresar que \(a-b=c-d\), pero sin escribir directamente la resta.

Explicación de las clases de equivalencia

Cada número entero puede representarse mediante muchos pares ordenados. La diferencia entre los componentes del par determina qué número entero representa.

  • Si \(a>b\), la clase \([(a,b)]\) representa un entero positivo. Por ejemplo, \([(3,1)]\) representa al entero \(+2\).
  • Si \(a<b\), la clase \([(a,b)]\) representa un entero negativo. Por ejemplo, \([(1,3)]\) representa al entero \(-2\).
  • Si \(a=b\), la clase \([(a,b)]\) representa al cero. Por ejemplo, \([(2,2)]\) representa al entero \(0\).

Aunque hay muchas formas de escribir el mismo número entero, la relación de equivalencia las agrupa. Por ejemplo:

\[ [(3,1)]=[(5,3)]=[(100,98)] \]

Todos esos pares representan al mismo número entero: \(2\).

No es un punto ni una fracción

El par \((a,b)\), en este contexto, no representa un punto en el plano cartesiano ni la fracción \( \frac{a}{b} \).

Es una forma específica de construir números enteros usando pares de números naturales.

Definición de operaciones en \( \mathbb{Z} \)

La suma y el producto de enteros se definen a partir de sus representantes como pares ordenados.

Suma:

\[ [(a,b)]+[(c,d)]=[(a+c,b+d)] \]

Producto:

\[ [(a,b)]\cdot[(c,d)]=[(ac+bd,ad+bc)] \]

Estas definiciones son consistentes: no importa qué representante se elija de cada clase, el resultado representa siempre el mismo número entero.

Ejemplo numérico: suma

Sumemos \(+2\) y \(+2\).

Usaremos los representantes \([(3,1)]\) para el primer \(+2\) y \([(4,2)]\) para el segundo.

Aplicamos la definición de suma:

\[ [(3,1)]+[(4,2)]=[(3+4,1+2)] \]

Entonces:

\[ [(3,1)]+[(4,2)]=[(7,3)] \]

La clase \([(7,3)]\) representa el entero:

\[ 7-3=4 \]

Por lo tanto:

\[ 2+2=4 \]

Ejemplo numérico: producto

Calculemos el producto de \(+2\) y \(-2\).

Usaremos los representantes \([(3,1)]\) para \(+2\) y \([(1,3)]\) para \(-2\).

Aplicamos la definición de producto:

\[ [(3,1)]\cdot[(1,3)]=[(3\cdot1+1\cdot3,\;3\cdot3+1\cdot1)] \]

Calculamos:

\[ [(3\cdot1+1\cdot3,\;3\cdot3+1\cdot1)]=[(3+3,9+1)] \]

Entonces:

\[ [(3,1)]\cdot[(1,3)]=[(6,10)] \]

La clase \([(6,10)]\) representa el entero:

\[ 6-10=-4 \]

Por lo tanto:

\[ 2\cdot(-2)=-4 \]

Conclusión

Esta construcción permite extender los números naturales \( \mathbb{N} \) al conjunto de los enteros \( \mathbb{Z} \) de manera lógica y consistente.

Así, los números negativos y el cero pueden entenderse como clases de pares ordenados, y sus operaciones se definen a partir de reglas basadas en los números naturales.

3. Números Enteros: Orden y Recta Numérica

La recta numérica

La recta numérica es una línea recta que se extiende infinitamente en ambas direcciones. Sirve como una representación visual para ubicar, comparar y ordenar los números enteros.

¿Cómo la construimos?

  1. Dibujamos una línea recta horizontal.
  2. Marcamos un punto de referencia: el cero.
  3. A la derecha del cero, a distancias iguales, ubicamos los enteros positivos: \(1,2,3,4,\ldots\)
  4. A la izquierda del cero, con la misma separación, ubicamos los enteros negativos: \(-1,-2,-3,-4,\ldots\)

La regla de oro del orden

  • Un número es mayor que otro si está más a la derecha en la recta numérica.
  • Un número es menor que otro si está más a la izquierda en la recta numérica.

Orden en los Números Enteros

Símbolos de comparación

La recta numérica permite comparar dos números enteros. Para eso usamos los siguientes símbolos:

  • \(<\): menor que
  • \(>\): mayor que
  • \(=\): igual a
  • \(\leq\): menor o igual que
  • \(\geq\): mayor o igual que

Ejemplos de comparación

  • \(2<5\), porque \(2\) está a la izquierda de \(5\).
  • \(-3>-7\), porque \(-3\) está a la derecha de \(-7\).
  • \(0>-2\), porque \(0\) está a la derecha de \(-2\).
  • \(-1<4\), porque \(-1\) está a la izquierda de \(4\).

Ejercicio 1

Completa con \( < \), \( > \) o \( = \), según corresponda.

  1. \(-4\ \_\_\_\ 2\)
  2. \(0\ \_\_\_\ -6\)
  3. \(-1\ \_\_\_\ -1\)
  4. \(-10\ \_\_\_\ -1\)
  5. \(5\ \_\_\_\ 1\)
  6. \(7\ \_\_\_\ 7\)

Ejercicio 2

Ordena los siguientes números de menor a mayor, visualizándolos en la recta numérica:

\[ \{-3,\ 5,\ 0,\ -2,\ 4,\ -6\} \]

Ejercicio 3

Escribe tres números enteros que sean menores que \(-2\).

Ejercicio 4

Escribe tres números enteros que sean mayores que \(-5\) y menores que \(3\).

Número opuesto

Cada número entero tiene un opuesto, que es el mismo número con signo contrario.

Dos números opuestos están a igual distancia del cero, pero en sentidos contrarios sobre la recta numérica.

Se dice que dos números son opuestos porque al sumarlos el resultado es cero, que es el neutro aditivo.

  • El opuesto de \(3\) es \(-3\), porque \(3+(-3)=0\).
  • El opuesto de \(-8\) es \(8\), porque \(-8+8=0\).
  • El opuesto de \(0\) es \(0\), porque \(0+0=0\).

Comprensión del número opuesto

Determina el opuesto de cada número o expresión.

  1. ¿Cuál es el opuesto de \(-15\)?
  2. ¿Cuál es el opuesto de \(12\)?
  3. ¿Cuál es el opuesto de \(0\)?
  4. ¿Cuál es el opuesto de \(-1\)?
  5. ¿Cuál es el opuesto de \(-999\)?
  6. ¿Cuál es el opuesto de \(x\)?
  7. ¿Cuál es el opuesto de \(-a\)?

Opuesto del opuesto

El opuesto del opuesto de un número es el mismo número:

\[ -(-a)=a \]

Esto ocurre porque cambiar el signo dos veces devuelve el número original.

Opuesto del opuesto

Calcula cada expresión.

  1. \(-(-3)\)
  2. \(-(-10)\)
  3. \(-(-0)\)
  4. \(-(-7)\)
  5. \(-(-(-2))\)
  6. \(-(-x)\)
  7. \(-(-(-a))\)

Valor Absoluto

Valor absoluto

El valor absoluto de un número entero es su distancia al cero en la recta numérica.

Como representa una distancia, el valor absoluto siempre es positivo o cero.

Se representa encerrando el número entre dos barras verticales:

\[ |a| \]

  • \(|5|=5\), porque la distancia de \(5\) al \(0\) es \(5\) unidades.
  • \(|-3|=3\), porque la distancia de \(-3\) al \(0\) es \(3\) unidades.
  • \(|0|=0\), porque la distancia de \(0\) a sí mismo es \(0\).

Ejercicio 5

Calcula el valor absoluto de los siguientes números.

  1. \(|-8|\)
  2. \(|7|\)
  3. \(|-1|\)
  4. \(|0|\)
  5. \(|15|\)
  6. \(|-10|\)

No confundas el orden con la distancia al cero

Un error común es pensar que un número negativo como \(-8\) es mayor que \(2\) porque su distancia al cero es mayor.

Sin embargo, en la recta numérica \(-8\) está más a la izquierda que \(2\), por lo tanto:

\[ -8<2 \]

Para comparar números enteros, siempre debemos mirar su ubicación en la recta numérica:

  • El número que está más a la derecha es mayor.
  • El número que está más a la izquierda es menor.

Aclaración: “más grande” y “más pequeño” pueden ser ambiguos

Las expresiones “más grande” y “más pequeño” pueden causar confusión, porque a veces se usan para hablar del valor del número y otras veces para hablar de su valor absoluto.

Por ejemplo:

\[ |-8|=8 \qquad \text{y} \qquad |2|=2 \]

Entonces, \(-8\) tiene mayor valor absoluto que \(2\), porque está más lejos del cero.

Pero eso no significa que \(-8\) sea mayor que \(2\). En la recta numérica se cumple:

\[ -8<2 \]

Por eso, cuando comparamos enteros, es mejor usar las palabras mayor y menor, y reservar el valor absoluto para hablar de la distancia al cero.

Piensa en deudas

Si representamos una deuda como un número negativo, deber \(\$2\) corresponde a \(-2\), mientras que deber \(\$8\) corresponde a \(-8\).

Aunque \(8\) es mayor que \(2\) como distancia al cero, es mejor deber \(\$2\) que deber \(\$8\).

Por eso, en términos de orden:

\[ -2>-8 \]

4. Operaciones con Números Enteros: Suma y Resta

Entendiendo los números enteros con dinero

Imagina que el dinero que tienes son números positivos y el dinero que debes son números negativos. Esta interpretación ayuda a comprender la suma y la resta de números enteros.

  • Si tienes \(\$5\) y recibes \(\$3\) más: \(5+3=8\). Ahora tienes \(\$8\).
  • Si debes \(\$4\) y pides prestado \(\$2\) más: \((-4)+(-2)=-6\). Ahora tu deuda total es de \(\$6\).
  • Si debes \(\$7\) pero solo tienes \(\$5\): \((-7)+5=-2\). Después de pagar, todavía debes \(\$2\).
  • Si tienes \(\$8\) y pagas una deuda de \(\$3\): \(8+(-3)=5\). Después de pagar, te quedan \(\$5\).

Suma de Números Enteros

Reglas para sumar enteros

1. Números con el mismo signo: se suman sus valores absolutos y se mantiene el signo común.

  • \(3+5=8\)
  • \((-4)+(-2)=-6\)

Suma de números enteros con el mismo signo

2. Números con distinto signo: se restan sus valores absolutos y el resultado queda con el signo del número que tiene mayor valor absoluto.

  • \(7+(-2)=5\), porque \(7\) tiene mayor valor absoluto que \(2\).
  • \((-8)+3=-5\), porque \(8\) tiene mayor valor absoluto que \(3\).

Suma de números enteros con distinto signo

Visualizando la suma en la recta numérica

Usar la recta numérica es una estrategia visual para comprender cómo se comportan los números enteros.

  • Sumar un número positivo significa moverse hacia la derecha.
  • Sumar un número negativo significa moverse hacia la izquierda.

Caso 1: positivo + positivo

Calculemos:

\[ 3+2 \]

Partimos del \(3\). Como sumamos \(2\), nos movemos 2 unidades hacia la derecha.

Entonces:

\[ 3+2=5 \]

Caso 2: negativo + negativo

Calculemos:

\[ (-4)+(-1) \]

Partimos del \(-4\). Como sumamos \(-1\), nos movemos 1 unidad hacia la izquierda.

Entonces:

\[ (-4)+(-1)=-5 \]

Caso 3: positivo + negativo

Calculemos:

\[ 5+(-3) \]

Partimos del \(5\). Como sumamos \(-3\), nos movemos 3 unidades hacia la izquierda.

Entonces:

\[ 5+(-3)=2 \]

Caso 4: negativo + positivo

Calculemos:

\[ (-2)+6 \]

Partimos del \(-2\). Como sumamos \(6\), nos movemos 6 unidades hacia la derecha.

Entonces:

\[ (-2)+6=4 \]

Resta de Números Enteros

Idea clave: transformar la resta en suma

Restar un número entero es lo mismo que sumar su opuesto.

En general:

\[ a-b=a+(-b) \]

Por ejemplo:

\[ 5-3=5+(-3) \]

Cuidado al restar un número negativo

Restar un número negativo significa sumar su opuesto positivo.

Por ejemplo:

\[ 4-(-1)=4+1=5 \]

Este paso es importante porque dos signos menos seguidos se transforman en una suma.

Restar es sumar el opuesto

Para resolver una resta de enteros, primero se transforma en una suma del opuesto.

  • \(5-3=5+(-3)=2\)
  • \(-2-6=-2+(-6)=-8\)
  • \(4-(-1)=4+1=5\)
  • \(-7-(-3)=-7+3=-4\)

Estrategias para operaciones combinadas

Cuando aparece una cadena de sumas y restas, conviene transformar primero todas las restas en sumas del opuesto.

Luego se puede usar una de estas estrategias:

  • Método directo: operar de izquierda a derecha, paso a paso.
  • Método de agrupar: juntar los términos positivos, juntar los términos negativos y luego sumar ambos resultados.

Ejemplo 1: operaciones combinadas

Resolvamos:

\[ 2+(-5)-(-3)+1-4 \]

Paso 1: transformamos las restas en sumas del opuesto.

\[ 2+(-5)+3+1+(-4) \]

Método directo:

\[ 2+(-5)=-3 \]

\[ -3+3=0 \]

\[ 0+1=1 \]

\[ 1+(-4)=-3 \]

Método de agrupar:

Positivos:

\[ 2+3+1=6 \]

Negativos:

\[ (-5)+(-4)=-9 \]

Resultado:

\[ 6+(-9)=-3 \]

Por lo tanto:

\[ 2+(-5)-(-3)+1-4=-3 \]

Ejemplo 2: operaciones combinadas

Resolvamos:

\[ -6-2+(-1)-(-7)+4 \]

Paso 1: transformamos las restas en sumas del opuesto.

\[ -6+(-2)+(-1)+7+4 \]

Método directo:

\[ -6+(-2)=-8 \]

\[ -8+(-1)=-9 \]

\[ -9+7=-2 \]

\[ -2+4=2 \]

Método de agrupar:

Positivos:

\[ 7+4=11 \]

Negativos:

\[ (-6)+(-2)+(-1)=-9 \]

Resultado:

\[ 11+(-9)=2 \]

Por lo tanto:

\[ -6-2+(-1)-(-7)+4=2 \]

Práctica Guiada: Suma y Resta de Enteros

Instrucción

Los ejercicios están organizados en niveles. Resuelve cada nivel y luego presiona el botón correspondiente para revisar las soluciones.

Nivel 1: Suma de números positivos

  1. \((+7)+(+3)=\)
  2. \((+9)+(+8)=\)
  3. \((+2)+(+6)+(+4)=\)
  4. \((+5)+(+1)+(+9)=\)
  5. \(11+4=\)
  6. \(15+8=\)
  7. \(20+12=\)
  8. \(3+6+9=\)
  9. \(10+20+5=\)
  10. \(7+2+11=\)

Nivel 2: Suma de números negativos

  1. \((-5)+(-4)=\)
  2. \((-8)+(-6)=\)
  3. \((-10)+(-2)=\)
  4. \((-15)+(-5)=\)
  5. \((-1)+(-9)=\)
  6. \((-2)+(-3)+(-4)=\)
  7. \((-7)+(-1)+(-2)=\)
  8. \((-5)+(-5)+(-5)=\)
  9. \((-10)+(-20)+(-30)=\)
  10. \((-8)+(-2)+(-10)=\)

Nivel 3: Suma con signos mixtos

  1. \(12+(-5)=\)
  2. \(8+(-10)=\)
  3. \(20+(-25)=\)
  4. \((-7)+3=\)
  5. \((-15)+20=\)
  6. \((-9)+9=\)
  7. \(6+(-10)+2=\)
  8. \((-8)+12+(-3)=\)
  9. \(20+(-5)+(-15)=\)
  10. \(-3+13+(-10)=\)

Nivel 4: Resta de números enteros

Recuerda: restar un número es lo mismo que sumar su opuesto.

  1. \(20-8=\)
  2. \(10-17=\)
  3. \(30-(+10)=\)
  4. \(-15-5=\)
  5. \(-9-11=\)
  6. \((-7)-(+8)=\)
  7. \(14-(-6)=\)
  8. \(10-(-10)=\)
  9. \(5-(-15)=\)
  10. \((-8)-(-5)=\)
  11. \((-12)-(-20)=\)
  12. \((-9)-(-9)=\)

Nivel 5: Operaciones combinadas

Usa la estrategia que prefieras: operar de izquierda a derecha o agrupar positivos y negativos.

  1. \(8-10+3=\)
  2. \(-5-4+12=\)
  3. \(10+(-5)-6=\)
  4. \(15-20+5-1=\)
  5. \(-7-3+10-2=\)
  6. \(20-(-10)-5=\)
  7. \(-8-(-4)+(-5)=\)
  8. \(14-9-(-2)+1=\)
  9. \(-3+(-7)-(-10)+1=\)
  10. \(30-40+(-5)-(-15)=\)

Encuentra el sumando faltante

  1. \(4+\_\_\_=1\)
  2. \(\_\_\_+(-3)=-8\)
  3. \(-2+\_\_\_=5\)
  4. \(\_\_\_+7=0\)
  5. \(-9+\_\_\_=-4\)
  6. \(\_\_\_+(-1)=-1\)

Problemas con Números Enteros

Problema 1: temperatura

La temperatura en la mañana era de \(-3^\circ\text{C}\). Al mediodía, la temperatura subió \(8^\circ\text{C}\). Por la noche, bajó \(5^\circ\text{C}\). ¿Cuál fue la temperatura al final del día?

Problema 2: submarino

Un submarino se encuentra a \(-120\) metros, es decir, 120 metros bajo el nivel del mar. Primero asciende 40 metros. Luego desciende 65 metros. ¿A qué profundidad se encuentra finalmente?

Problema 3: cuenta bancaria

Ana tenía \(\$50\) en su cuenta bancaria. Hizo un retiro de \(\$80\), luego depositó \(\$35\) y finalmente hizo otro retiro de \(\$20\). ¿Cuál es el saldo de su cuenta?

Problema 4: pasos en un juego

En un juego, Juan avanzó 5 pasos, retrocedió 9 pasos, luego avanzó 3 pasos y finalmente retrocedió 2 pasos. ¿Cuál es su posición final respecto al punto de inicio?

Problema 5: ascensor

Un ascensor se encuentra en el piso 3. Sube 5 pisos, luego baja 9 pisos, sube 2 pisos y finalmente baja 6 pisos. ¿En qué piso se encuentra al final?

5. Problemas de Variación con Números Enteros

¿Qué es una variación?

En este tipo de problemas, nos interesa encontrar la variación entre dos valores.

La variación muestra cómo ha cambiado una cantidad, ya sea aumentando, disminuyendo o manteniéndose igual.

Fórmula clave de variación

Para encontrar la variación entre dos números enteros, usamos siempre la siguiente fórmula:

\[ \text{Variación}=\text{Valor final}-\text{Valor inicial} \]

  • Si el resultado es positivo, indica un aumento o incremento.
  • Si el resultado es negativo, indica una disminución o decremento.
  • Si el resultado es cero, indica que no hubo cambio.

Ejemplos Resueltos

1. Variación de temperatura

Problema: La temperatura a las 8:00 AM era de \(-3^\circ\text{C}\) y a las 12:00 PM era de \(7^\circ\text{C}\). ¿Cuál fue la variación de temperatura?

Identificamos los datos:

  • Valor inicial: \(-3^\circ\text{C}\)
  • Valor final: \(7^\circ\text{C}\)

Aplicamos la fórmula:

\[ \text{Variación}=7-(-3) \]

Restar un número negativo equivale a sumar su opuesto:

\[ 7-(-3)=7+3=10 \]

La variación de temperatura fue de \(10^\circ\text{C}\). Como el resultado es positivo, hubo un aumento de \(10^\circ\text{C}\).

2. Cambio de altitud

Problema: Un buzo se encontraba a \(-15\) metros y descendió hasta \(-25\) metros. ¿Cuál fue la variación en su altitud?

Identificamos los datos:

  • Valor inicial: \(-15\) m
  • Valor final: \(-25\) m

Aplicamos la fórmula:

\[ \text{Variación}=-25-(-15) \]

Restar un número negativo equivale a sumar su opuesto:

\[ -25-(-15)=-25+15=-10 \]

La variación fue de \(-10\) metros. Como el resultado es negativo, hubo un descenso de 10 metros.

3. Diferencia de dinero

Problema: Ana tenía \(\$12\) en su cuenta y luego de una transacción su saldo quedó en \(-\$5\). ¿Cuál fue la variación en su saldo?

Identificamos los datos:

  • Valor inicial: \(12\)
  • Valor final: \(-5\)

Aplicamos la fórmula:

\[ \text{Variación}=-5-12 \]

Calculamos:

\[ -5-12=-17 \]

La variación en el saldo fue de \(-\$17\). Como el resultado es negativo, hubo una disminución de \(\$17\).

4. Cambio de posición

Problema: Un objeto se mueve desde la posición \(-4\) en una recta numérica hasta la posición \(3\). ¿Cuál fue la variación en su posición?

Identificamos los datos:

  • Valor inicial: \(-4\)
  • Valor final: \(3\)

Aplicamos la fórmula:

\[ \text{Variación}=3-(-4) \]

Restar un número negativo equivale a sumar su opuesto:

\[ 3-(-4)=3+4=7 \]

La variación fue de \(7\) unidades. Como el resultado es positivo, hubo un desplazamiento de 7 unidades hacia la derecha.

Cuidado: diferencia no siempre significa variación

En el lenguaje común, a veces se usa la palabra “diferencia” para referirse solo a qué tan lejos están dos números, sin importar el orden.

En cambio, en matemática y ciencias, la variación indica tanto la magnitud como la dirección del cambio.

Por eso, en estos problemas usaremos siempre:

\[ \text{Variación}=\text{Valor final}-\text{Valor inicial} \]

Ejemplo de la diferencia entre distancia y variación

Si la temperatura baja de \(8^\circ\text{C}\) a \(2^\circ\text{C}\), alguien podría decir que la diferencia es de \(6^\circ\text{C}\). Esa cantidad indica solo la distancia entre ambos valores.

Pero la variación se calcula como valor final menos valor inicial:

\[ 2-8=-6 \]

El signo negativo es importante, porque indica que la temperatura disminuyó.

Ejercicios de Práctica

Variaciones con números enteros

  1. La temperatura en la mañana era de \(2^\circ\text{C}\) y en la tarde era de \(-1^\circ\text{C}\). ¿Cuál fue la variación de temperatura?
  2. Un submarino estaba a \(-180\) metros y ascendió a \(-120\) metros. ¿Cuál fue la variación en su posición?
  3. Juan tenía una deuda de \(\$25\), representada como \(-\$25\), y luego de hacer un pago su deuda quedó en \(-\$10\). ¿Cuál fue la variación en su saldo?
  4. Un ascensor estaba en el piso \(8\) y bajó al piso \(-1\). ¿Cuál fue la variación en su posición?
  5. En un juego, un jugador tenía \(-7\) puntos y luego llegó a \(15\) puntos. ¿Cuál fue la variación en su puntaje?
  6. Un auto se mueve de la posición \(5\) a la posición \(-2\) en una carretera recta. ¿Cuál fue la variación en su posición?
  7. La temperatura al inicio de un experimento era de \(-5^\circ\text{C}\) y al final era de \(-12^\circ\text{C}\). ¿Cuál fue la variación de temperatura?

6. Multiplicación, Operaciones con Números Enteros

Entendiendo la regla de los signos

Para multiplicar números enteros, no basta con multiplicar los valores numéricos: también debemos determinar el signo del resultado.

Las reglas pueden memorizarse, pero comprender su sentido ayuda a aplicarlas con mayor seguridad.

Multiplicación como saltos repetidos

Cuando multiplicamos un número positivo por otro número, podemos interpretarlo como una suma repetida.

Por ejemplo:

\[ 3\cdot 4=4+4+4=12 \]

Positivo por negativo

Si repetimos varias veces un número negativo, avanzamos hacia la izquierda en la recta numérica.

Por ejemplo:

\[ 5\cdot(-3)=(-3)+(-3)+(-3)+(-3)+(-3)=-15 \]

Negativo por negativo

Para entender un producto como \((-5)\cdot(-3)\), primero observamos el producto \(5\cdot(-3)\):

\[ 5\cdot(-3)=-15 \]

Luego, multiplicar por \(-5\) en lugar de \(5\) se puede interpretar como tomar el opuesto del resultado anterior:

\[ (-5)\cdot(-3)=-(5\cdot(-3))=-(-15)=15 \]

Por eso, el resultado final queda al lado contrario de \(-15\), es decir, en \(15\).

Patrón numérico para entender menos por menos

Otra forma de comprender por qué negativo por negativo da positivo es observar un patrón.

\[ 2\cdot(-2)=-4 \]

\[ 1\cdot(-2)=-2 \]

\[ 0\cdot(-2)=0 \]

Para mantener el patrón, los resultados aumentan de 2 en 2:

\[ (-1)\cdot(-2)=2 \]

\[ (-2)\cdot(-2)=4 \]

Por eso, el producto de dos números negativos es positivo.

Reglas formales de la multiplicación

  • Si los signos son iguales, el resultado es positivo.
  • Si los signos son distintos, el resultado es negativo.
  • Cualquier número multiplicado por cero da como resultado cero.

En resumen

Signo factor 1 Signo factor 2 Signo resultado
+ + +
- - +
+ - -
- + -

Ejemplos: números con el mismo signo

Cuando los dos factores tienen el mismo signo, el resultado es positivo.

  • Positivo por positivo: \[ 4\cdot 6=24 \]
  • Negativo por negativo: \[ (-5)\cdot(-3)=15 \]

Ejemplos: números con distinto signo

Cuando los dos factores tienen signos distintos, el resultado es negativo.

  • Positivo por negativo: \[ 7\cdot(-2)=-14 \]
  • Negativo por positivo: \[ (-8)\cdot 3=-24 \]

Ejemplos: multiplicación por cero

Cualquier número entero multiplicado por cero da como resultado cero.

  • \(9\cdot 0=0\)
  • \((-5)\cdot 0=0\)
  • \(0\cdot 0=0\)

Atajo para multiplicar varios números

Cuando multiplicas varios números enteros, puedes determinar el signo final contando cuántos factores negativos hay.

  • Si la cantidad de factores negativos es par, el resultado final será positivo.
  • Si la cantidad de factores negativos es impar, el resultado final será negativo.

Ejemplos: multiplicación de varios factores

  • \[ 2\cdot(-3)\cdot 4=-24 \]

    Hay 1 factor negativo. Como 1 es impar, el resultado es negativo.

  • \[ (-1)\cdot(-5)\cdot 2=10 \]

    Hay 2 factores negativos. Como 2 es par, el resultado es positivo.

  • \[ (-2)\cdot(-3)\cdot(-4)=-24 \]

    Hay 3 factores negativos. Como 3 es impar, el resultado es negativo.

  • \[ (-1)\cdot 2\cdot(-3)\cdot 4=24 \]

    Hay 2 factores negativos. Como 2 es par, el resultado es positivo.

Problemas Resueltos

Ejemplo 1: descenso de temperatura

Problema: Si la temperatura baja \(2^\circ\text{C}\) cada hora, ¿cuál será el cambio total de temperatura después de 4 horas?

Una baja de \(2^\circ\text{C}\) se representa como \(-2\).

  • Cambio por hora: \(-2^\circ\text{C}\)
  • Tiempo: \(4\) horas

Calculamos:

\[ (-2)\cdot 4=-8 \]

La temperatura habrá bajado \(8^\circ\text{C}\) en total.

Ejemplo 2: deuda acumulada

Problema: Juan le debe \(\$5\) a cada uno de sus 3 amigos. ¿Cuánto dinero debe en total?

Una deuda de \(\$5\) se representa como \(-5\).

  • Deuda por amigo: \(-\$5\)
  • Cantidad de amigos: \(3\)

Calculamos:

\[ (-5)\cdot 3=-15 \]

Juan debe \(\$15\) en total.

Ejercicios de Práctica

Cálculos básicos: multiplicación con dos factores

  1. \(8\cdot 5=\)
  2. \(7\cdot 9=\)
  3. \(12\cdot 4=\)
  4. \(6\cdot(-7)=\)
  5. \(10\cdot(-3)=\)
  6. \(5\cdot(-11)=\)
  7. \((-9)\cdot 4=\)
  8. \((-6)\cdot 8=\)
  9. \((-12)\cdot 2=\)
  10. \((-7)\cdot(-5)=\)
  11. \((-10)\cdot(-10)=\)
  12. \((-4)\cdot(-9)=\)

Cálculos básicos: multiplicación con varios factores

  1. \(2\cdot(-3)\cdot 5=\)
  2. \((-4)\cdot 6\cdot 2=\)
  3. \((-1)\cdot(-2)\cdot(-3)=\)
  4. \(7\cdot(-2)\cdot(-1)\cdot(-2)=\)
  5. \((-5)\cdot(-4)\cdot 2=\)
  6. \(3\cdot(-3)\cdot(-6)=\)
  7. \((-2)\cdot 5\cdot(-3)\cdot 2=\)
  8. \((-1)\cdot(-1)\cdot(-2)\cdot(-5)=\)

Encuentra el factor faltante

  1. \(4\cdot\_\_\_=-12\)
  2. \(\_\_\_\cdot(-5)=20\)
  3. \(-7\cdot\_\_\_=-14\)
  4. \(\_\_\_\cdot 8=-32\)
  5. \(-2\cdot\_\_\_\cdot 3=18\)
  6. \(-5\cdot(-2)\cdot\_\_\_=-40\)

Resolución de problemas

  1. Un submarino desciende 30 metros por minuto. Si comienza en la superficie, es decir, en \(0\) metros, ¿a qué profundidad estará después de 5 minutos?
  2. Una empresa pierde \(\$100\) por cada hora que no produce. Si la producción estuvo detenida durante 8 horas, ¿cuál fue la pérdida total?
  3. En un juego, un jugador pierde 4 puntos por cada error que comete. Si comete 6 errores, ¿cuál será su puntaje final si partió en \(0\)?
  4. Si la temperatura baja \(3^\circ\text{C}\) cada hora y la temperatura actual es de \(5^\circ\text{C}\), ¿cuál será la temperatura después de 6 horas?
  5. Un buzo se encuentra a \(-12\) metros y desciende a una velocidad de 2 metros por segundo durante 7 segundos. ¿A qué profundidad final estará?

7. División, Operaciones con Números Enteros

Idea clave: la división es la inversa de la multiplicación

La división de números enteros se puede entender como la operación inversa de la multiplicación.

Por ejemplo, si sabemos que:

\[ 5\cdot 3=15 \]

Entonces también sabemos que:

  • \(15\div 3=5\)
  • \(15\div 5=3\)

En otras palabras, \(15\div 3=5\) responde a la pregunta: ¿cuántos grupos de \(3\) forman \(15\)?

Usaremos esta idea para comprender la regla de los signos en la división.

Deduciendo la regla de los signos

Como la división es la operación inversa de la multiplicación, podemos preguntarnos:

¿Por qué número debo multiplicar el divisor para obtener el dividendo?

Caso 1: positivo dividido por positivo
Razonamiento Conclusión
Para resolver \(12\div 4\), preguntamos: \[ 4\cdot ?=12 \] La respuesta es \(3\). \[ (+)\div(+)=(+) \]
Caso 2: negativo dividido por positivo
Razonamiento Conclusión
Para resolver \((-12)\div 4\), preguntamos: \[ 4\cdot ?=-12 \] La respuesta debe ser negativa: \(-3\). \[ (-)\div(+)=(-) \]
Caso 3: positivo dividido por negativo
Razonamiento Conclusión
Para resolver \(12\div(-4)\), preguntamos: \[ (-4)\cdot ?=12 \] La respuesta debe ser negativa: \(-3\). \[ (+)\div(-)=(-) \]
Caso 4: negativo dividido por negativo
Razonamiento Conclusión
Para resolver \((-12)\div(-4)\), preguntamos: \[ (-4)\cdot ?=-12 \] La respuesta debe ser positiva: \(3\). \[ (-)\div(-)=(+) \]

La regla de los signos para la división es la misma que para la multiplicación.

Resumen: regla de los signos para la división

  • Si los signos son iguales, el resultado es positivo.
  • Si los signos son distintos, el resultado es negativo.
Dividendo Divisor Signo del cociente
+ + +
- - +
+ - -
- + -

Cuidado con el cero en la división

El cero requiere atención especial cuando trabajamos con divisiones.

  • Cero dividido por un número distinto de cero: el resultado es \(0\). \[ 0\div(-5)=0 \]
  • Un número dividido por cero: no está definido en matemática. \[ 8\div 0 \text{ no está definido} \]

La división no siempre da un número entero

A diferencia de la suma, la resta y la multiplicación, la división de dos números enteros no siempre da como resultado otro número entero.

Por ejemplo:

\[ 8\div 2=4 \]

El resultado es entero. Pero:

\[ 8\div 5=1{,}6 \]

El resultado no es un número entero.

Cuidado con las divisiones consecutivas

La división no es asociativa. Esto significa que cambiar la forma de agrupar puede cambiar el resultado.

Por ejemplo:

\[ (8\div 4)\div 2=2\div 2=1 \]

Pero:

\[ 8\div(4\div 2)=8\div 2=4 \]

Por eso, cuando aparecen divisiones consecutivas sin paréntesis, se resuelven de izquierda a derecha:

\[ 8\div 4\div 2=(8\div 4)\div 2=1 \]

Una mirada más profunda

Cada división puede interpretarse como una multiplicación por el inverso multiplicativo.

Por ejemplo, al interpretar de izquierda a derecha:

\[ 8\div 4\div 2=(8\div 4)\div 2 \]

Esto equivale a:

\[ 8\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}=1 \]

Pero si se escriben paréntesis de otra manera, como \(8\div(4\div 2)\), la expresión cambia y el resultado también cambia.

Por eso, usar paréntesis es una buena costumbre cuando se quiere evitar confusión.

Problemas Resueltos

Ejemplo 1: repartir una deuda

Problema: Cuatro amigos tienen una deuda de \(\$28\) y quieren repartirla en partes iguales. ¿Cuánto dinero debe pagar cada uno?

Una deuda se representa con un número negativo, por lo tanto la deuda total es \(-28\).

Como se reparte entre 4 personas, calculamos:

\[ (-28)\div 4=-7 \]

Cada amigo debe pagar \(\$7\).

Ejemplo 2: temperatura promedio

Problema: Durante 5 días se registraron las temperaturas: \(-2^\circ\text{C}\), \(-4^\circ\text{C}\), \(1^\circ\text{C}\), \(-3^\circ\text{C}\) y \(0^\circ\text{C}\). ¿Cuál fue la temperatura promedio?

Primero sumamos todas las temperaturas:

\[ (-2)+(-4)+1+(-3)+0=-8 \]

Luego dividimos por la cantidad de días:

\[ (-8)\div 5=-1{,}6 \]

La temperatura promedio fue de \(-1{,}6^\circ\text{C}\).

Ejercicios de Práctica

Cálculos básicos

  1. \((-20)\div 4=\)
  2. \(18\div(-2)=\)
  3. \((-30)\div(-5)=\)
  4. \(24\div 8=\)
  5. \((-10)\div 1=\)
  6. \(0\div(-9)=\)
  7. \((-16)\div(-4)=\)
  8. \(35\div(-7)=\)

Encuentra el valor faltante

  1. \(-20\div\_\_\_=5\)
  2. \(\_\_\_\div(-3)=6\)
  3. \(-14\div\_\_\_=-2\)
  4. \(\_\_\_\div 7=-4\)

Resolución de problemas

  1. Un submarino se encuentra a \(-150\) metros y desciende a velocidad constante hasta \(-450\) metros en 6 minutos. ¿Cuál fue la variación total y cuántos metros descendió por minuto?
  2. Seis amigos tienen que pagar una deuda total de \(\$90\). Si la deuda se reparte en partes iguales, ¿cuánto debe pagar cada uno?
  3. En un experimento, la temperatura de una sustancia disminuyó \(24^\circ\text{C}\) en 3 horas. Si la disminución fue constante, ¿cuál fue la variación por hora?
  4. Un jugador perdió 36 puntos en 4 rondas de un juego. Si perdió la misma cantidad en cada ronda, ¿cuántos puntos perdió por ronda?

8. Potencias de Números Enteros

Potencias de números enteros

Ahora ampliaremos el estudio de las potencias a los números enteros, incluyendo bases negativas.

Cuando una base negativa se eleva a un exponente natural, el signo del resultado depende de si el exponente es par o impar.

Analizando el signo con la base \(-1\)

La base más simple para entender el comportamiento del signo es \(-1\).

Observa el patrón:

\[ (-1)^1=-1 \]

\[ (-1)^2=1 \]

\[ (-1)^3=-1 \]

\[ (-1)^4=1 \]

Cuando el exponente es impar, el resultado es negativo. Cuando el exponente es par, el resultado es positivo.

Regla para potencias de base negativa

Cuando la base de una potencia es un número negativo, el signo del resultado depende del exponente:

  • Si el exponente es par, el resultado es positivo.
  • Si el exponente es impar, el resultado es negativo.

Ejemplos: potencias de base negativa

Veamos cómo se aplica la regla usando la base \(-2\).

  • \[ (-2)^2=(-2)\cdot(-2)=4 \]

    El exponente \(2\) es par, por eso el resultado es positivo.

  • \[ (-2)^3=(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)=-8 \]

    El exponente \(3\) es impar, por eso el resultado es negativo.

  • \[ (-2)^4=16 \]

    El exponente \(4\) es par, por eso el resultado es positivo.

  • \[ (-2)^5=-32 \]

    El exponente \(5\) es impar, por eso el resultado es negativo.

No es lo mismo \( (-a)^n \) que \( -a^n \)

Los paréntesis son muy importantes. Cambian cuál es la base de la potencia.

Con paréntesis: la base es negativa Sin paréntesis: la base es positiva
\[ (-3)^2=(-3)\cdot(-3)=9 \] \[ -3^2=-(3\cdot3)=-9 \]
\[ (-5)^2=(-5)\cdot(-5)=25 \] \[ -5^2=-(5\cdot5)=-25 \]

En \( (-2)^4 \), la base completa es \(-2\):

\[ (-2)^4=(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)=16 \]

En cambio, en \( -2^4 \), la base de la potencia es solo \(2\), y el signo negativo queda fuera:

\[ -2^4=-(2\cdot2\cdot2\cdot2)=-16 \]

¿Por qué funciona la regla?

Una potencia de base negativa se puede descomponer de esta manera:

\[ (-a)^n=(-1)^n\cdot a^n \]

Como \(a^n\) es positivo si \(a\) es positivo, el signo final depende de \( (-1)^n \).

  • Si \(n\) es par, \( (-1)^n=1 \).
  • Si \(n\) es impar, \( (-1)^n=-1 \).

Ejercicios de Práctica

Cálculos directos

  1. \((-4)^2\)
  2. \((-2)^5\)
  3. \((-1)^7\)
  4. \((-5)^3\)
  5. \((-3)^4\)
  6. \(-10^2\)
  7. \((-6)^3\)
  8. \(-3^3\)
  9. \((-1)^{20}\)
  10. \(-7^2\)
  11. \((-10)^3\)
  12. \(-1^{100}\)
  13. \((-5)^4\)
  14. \(-2^6\)

Encontrar el exponente y simplificar

  1. Si \( (-2)^x=-8 \), ¿cuánto vale \(x\)?
  2. Si \( (-3)^x=81 \), ¿cuánto vale \(x\)?
  3. Simplifica \( (-a)^8 \).
  4. Simplifica \( (-a)^9 \).
  5. Simplifica \( (-2a)^3 \).
  6. Simplifica \( (-1)^x \), donde \(x\) es un número par.

Resolución de problemas

  1. En una actividad de cálculo, se pide elevar \(-3\) a la tercera potencia. ¿Cuál es el resultado?
  2. En un juego, cada vez que pierdes, tu puntaje se multiplica por \(-2\). Si inicias con 5 puntos y pierdes 3 veces seguidas, ¿cuál es tu puntaje final?
  3. Si \( (-2)^x=16 \) y \( (-2)^y=-32 \), ¿cuáles son los valores de \(x\) e \(y\)?

9. Potencias de Base Entera y Exponente Entero

Potencias de Base Entera y Exponente Entero

Potencias con exponente entero

En esta página estudiaremos potencias donde la base es un número entero y el exponente también es un número entero.

Nos enfocaremos especialmente en los exponentes negativos, cuidando siempre que la base no sea cero cuando el exponente sea negativo.

Descubriendo el patrón con exponentes decrecientes

Una forma clara de entender los exponentes negativos es observar qué ocurre cuando el exponente disminuye de uno en uno.

Usemos como ejemplo la base \(2\).

Potencia Resultado Verificación Fracción en potencia
\(2^3\) \(8\) \(2\cdot2\cdot2\) -
\(2^2\) \(4\) \(2\cdot2\) -
\(2^1\) \(2\) \(2\) -
\(2^0\) \(1\) \(2\div2\) -
\(2^{-1}\) \(\frac{1}{2}\) \(1\div2\) \(\frac{1}{2^1}\)
\(2^{-2}\) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{2}\div2\) \(\frac{1}{2^2}\)
\(2^{-3}\) \(\frac{1}{8}\) \(\frac{1}{4}\div2\) \(\frac{1}{2^3}\)

Al observar la tabla, vemos que cada vez que el exponente disminuye en \(1\), el resultado se divide por la base.

Por eso:

\[ 2^{-1}=\frac{1}{2},\qquad 2^{-2}=\frac{1}{2^2},\qquad 2^{-3}=\frac{1}{2^3} \]

Definición de exponente negativo

Una potencia con exponente negativo se transforma en una fracción, dejando la potencia con exponente positivo en el denominador.

Si \(a\neq 0\) y \(n\) es un número natural, entonces:

\[ a^{-n}=\frac{1}{a^n} \]

Un exponente negativo no significa que el resultado sea negativo. Significa que debemos escribir el inverso de la potencia correspondiente.

Cuidado con la base cero

La expresión \(a^{-n}\) solo está definida si \(a\neq 0\).

Por ejemplo:

\[ 2^{-3}=\frac{1}{2^3} \]

Pero:

\[ 0^{-3}=\frac{1}{0^3} \]

no está definida, porque no se puede dividir por cero.

Ejemplo: base negativa con exponente negativo

Ahora apliquemos la regla a una base negativa, como \(-3\).

En este caso se combinan dos ideas:

  • El exponente negativo transforma la potencia en una fracción.
  • El signo final depende de si el exponente positivo resultante es par o impar.
Potencia Resultado Fracción en potencia
\((-3)^{-1}\) \(-\frac{1}{3}\) \(\frac{1}{(-3)^1}\)
\((-3)^{-2}\) \(\frac{1}{9}\) \(\frac{1}{(-3)^2}\)
\((-3)^{-3}\) \(-\frac{1}{27}\) \(\frac{1}{(-3)^3}\)

Por ejemplo:

\[ (-3)^{-2}=\frac{1}{(-3)^2} \]

Como:

\[ (-3)^2=9 \]

Entonces:

\[ (-3)^{-2}=\frac{1}{9} \]

Cómo resolver potencias con exponente negativo

  1. Reescribe la potencia como una fracción, usando \(1\) como numerador.
  2. Escribe la misma base en el denominador, pero con exponente positivo.
  3. Resuelve la potencia del denominador, considerando el signo de la base.

Ejemplos:

  • \[ 5^{-2}=\frac{1}{5^2}=\frac{1}{25} \]
  • \[ (-2)^{-3}=\frac{1}{(-2)^3}=\frac{1}{-8}=-\frac{1}{8} \]
  • \[ (-3)^{-4}=\frac{1}{(-3)^4}=\frac{1}{81} \]

Ejercicios de Práctica

1. Cálculos con bases enteras

Aplica la regla:

\[ a^{-n}=\frac{1}{a^n} \]

No olvides considerar el signo cuando la base sea negativa.

  1. \(4^{-2}\)
  2. \(2^{-5}\)
  3. \(7^{-1}\)
  4. \((-5)^{-2}\)
  5. \((-2)^{-3}\)
  6. \(10^{-3}\)
  7. \(6^{-3}\)
  8. \((-1)^{-7}\)

2. Encontrar el valor faltante

  1. Si \(2^{-x}=\frac{1}{16}\), ¿cuánto vale \(x\)?
  2. Si \(a^{-3}=\frac{1}{27}\), ¿cuánto vale \(a\)?
  3. Si \(3^{-x}=\frac{1}{81}\), ¿cuánto vale \(x\)?
  4. Si \(a^{-2}=\frac{1}{49}\), ¿cuánto vale \(a\)?
  5. Si \(5^{-x}=\frac{1}{125}\), ¿cuánto vale \(x\)?
  6. Si \(x^{-4}=\frac{1}{16}\), ¿cuánto vale \(x\)?

3. Problemas de aplicación

  1. Una población de bacterias se reduce a la mitad cada hora. ¿Qué fracción de la población inicial quedará después de 3 horas? Expresa la respuesta como una potencia de \(2\).
  2. Si la velocidad de un objeto es \(5^{-1}\) metros por segundo, ¿qué fracción de un metro recorre en un segundo?
  3. La intensidad de la luz disminuye con el cuadrado de la distancia. Si a \(1\) metro la intensidad es \(1\), ¿cómo se expresaría la intensidad a \(4\) metros usando una potencia con exponente negativo?

10. Propiedades de las Potencias

Propiedades de las potencias

Ahora que ya comprendes las potencias de base entera y exponente entero, repasaremos las propiedades fundamentales que ayudan a simplificar y resolver operaciones con ellas.

En las expresiones con cocientes o exponentes negativos, se debe considerar que las bases correspondientes no pueden ser cero.

Mapa de la lección: las 7 propiedades clave

La siguiente tabla resume las propiedades que se trabajarán en esta página.

Propiedad Fórmula
1. Producto de potencias de igual base \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\)
2. Cociente de potencias de igual base \(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\), con \(a\neq 0\)
3. Potencia de una potencia \((a^m)^n=a^{m\cdot n}\)
4. Potencia de exponente cero \(a^0=1\), con \(a\neq 0\)
5. Potencia de exponente uno \(a^1=a\)
6. Potencia de un producto \((a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n\)
7. Potencia de un cociente \(\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\), con \(b\neq 0\)

1. Producto de Potencias de Igual Base

Producto de potencias de igual base

Cuando se multiplican potencias con la misma base, se mantiene la base y se suman los exponentes.

\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n} \]

Ejemplo:

\[ (-2)^3\cdot(-2)^2=(-2)^{3+2}=(-2)^5=-32 \]

Ejercicios

  1. \((-3)^2\cdot(-3)^2\)
  2. \(5^2\cdot5^3\)
  3. \(2^5\cdot2^{-3}\)
  4. \((-4)^{-1}\cdot(-4)^{-2}\)
  5. \(10^3\cdot10^{-5}\cdot10^4\)
  6. \(7^{-4}\cdot7^2\)
  7. \((-5)^3\cdot(-5)^{-5}\)
  8. \(x^7\cdot x^2\)
  9. \(y^{-3}\cdot y^8\)
  10. \((3b)^4\cdot(3b)^{-2}\)
  11. \((-3a)^2\cdot(-3a)^5\)

2. Cociente de Potencias de Igual Base

Cociente de potencias de igual base

Cuando se dividen potencias con la misma base, se mantiene la base y se restan los exponentes.

\[ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n} \]

Esta propiedad requiere que \(a\neq 0\).

Ejemplo:

\[ (-3)^5\div(-3)^2=(-3)^{5-2}=(-3)^3=-27 \]

Ojo al restar un exponente negativo

Un error común es olvidar que restar un número negativo equivale a sumar su opuesto.

Por ejemplo:

\[ 5^{4-(-2)}=5^{4+2}=5^6 \]

Ejercicios

  1. \((-4)^8\div(-4)^6\)
  2. \(10^7\div10^3\)
  3. \(5^2\div5^{-1}\)
  4. \((-2)^{-5}\div(-2)^{-2}\)
  5. \(7^{-3}\div7^2\)
  6. \(8^{-3}\div8^{-4}\)
  7. \((-6)^2\div(-6)^5\)
  8. \(\frac{x^9}{x^3}\)
  9. \(\frac{a^3}{a^5}\)
  10. \(y^4\div y^{-3}\)
  11. \((-2b)^7\div(-2b)^3\)

3. Potencia de una Potencia

Potencia de una potencia

Cuando una potencia se eleva a otro exponente, se mantiene la base y se multiplican los exponentes.

\[ (a^m)^n=a^{m\cdot n} \]

Ejemplo:

\[ \left((-2)^3\right)^2=(-2)^{3\cdot2}=(-2)^6=64 \]

Ejercicios

  1. \(\left((-1)^5\right)^3\)
  2. \((4^2)^3\)
  3. \((2^{-2})^4\)
  4. \(\left((-3)^3\right)^{-1}\)
  5. \((5^{-2})^{-2}\)
  6. \(\left((-2)^{-3}\right)^{-2}\)
  7. \((7^3)^{-2}\)
  8. \((x^5)^2\)
  9. \((a^{-3})^4\)
  10. \(\left((2y)^2\right)^3\)
  11. \(\left((-4x^2)^3\right)^2\)

4. Potencia de Exponente 0

Potencia de exponente cero

Cualquier número distinto de cero elevado a \(0\) es igual a \(1\).

\[ a^0=1,\qquad a\neq 0 \]

Ejemplo:

\[ (-5)^0=1 \]

¿De dónde viene esta regla?

Si dividimos una potencia por sí misma, el resultado es \(1\). Pero usando la propiedad del cociente, también obtenemos exponente cero.

\[ \frac{a^n}{a^n}=a^{n-n}=a^0 \]

Como además:

\[ \frac{a^n}{a^n}=1 \]

Entonces:

\[ a^0=1 \]

Ejercicios

  1. \((-8)^0\)
  2. \(12^0\)
  3. \(-5^0\)
  4. \((3^4)^0\)
  5. \((-2)^5\cdot(-2)^{-5}\)
  6. \(x^4\div x^4\), con \(x\neq 0\)

5. Potencia de Exponente 1

Potencia de exponente uno

Cualquier número elevado a \(1\) es igual a sí mismo.

\[ a^1=a \]

Ejemplo:

\[ (-7)^1=-7 \]

Ejercicios

  1. \((-15)^1\)
  2. \(20^1\)
  3. \((-3)^4\div(-3)^3\)
  4. \(10^{-2}\cdot10^3\)
  5. \((x^5)^1\)
  6. \((ab^2)^1\)

6. Potencia de un Producto

Potencia de un producto

La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de cada factor.

\[ (a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n \]

Ejemplo:

\[ (-2\cdot3)^2=(-2)^2\cdot3^2=4\cdot9=36 \]

Ejercicios: aplicación directa

Aplica la propiedad para reescribir cada potencia como un producto de potencias con bases positivas, cuando corresponda.

  1. \((-6)^2\)
  2. \((-10)^3\)
  3. \((-15)^2\)
  4. \((-2x)^4\)
  5. \((-3ab)^3\)
  6. \((-14)^2\)
  7. \((-20)^3\)
  8. \((-5y)^4\)
  9. \((-yz)^7\)
  10. \((-100)^2\)

Pensando al revés: descomponiendo una potencia

Así como podemos distribuir un exponente en un producto, también podemos agrupar potencias con el mismo exponente.

Por ejemplo:

\[ (-2)^2\cdot(-5)^2=\left((-2)\cdot(-5)\right)^2=10^2=100 \]

Ejercicios: descomposición como producto

Expresa cada número como un producto de dos potencias con el mismo exponente, usando al menos una base negativa.

  1. \(36\)
  2. \(100\)
  3. \(64\)
  4. \(225\)
  5. \(49\)
  6. \(-27\)
  7. \(-125\)
  8. \(144\)

7. Potencia de un Cociente

Potencia de un cociente

La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias del numerador y del denominador.

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n} \]

Esta propiedad requiere que \(b\neq 0\).

Ejemplo:

\[ \left(\frac{-2}{3}\right)^2=\frac{(-2)^2}{3^2}=\frac{4}{9} \]

Ejercicios: aplicación directa

Aplica la propiedad para reescribir cada potencia como un cociente de potencias con bases positivas, cuando corresponda.

  1. \(\left(\frac{-10}{5}\right)^3\)
  2. \(\left(\frac{12}{-4}\right)^2\)
  3. \(\left(\frac{-9}{3}\right)^3\)
  4. \(\left(\frac{-2x}{y}\right)^4\)
  5. \(\left(\frac{a}{-2b}\right)^3\)
  6. \(\left(\frac{15}{-3}\right)^3\)
  7. \(\left(\frac{-20}{-10}\right)^2\)
  8. \(\left(\frac{x}{-y}\right)^5\)
  9. \(\left(\frac{-a}{-b}\right)^6\)
  10. \(\left(\frac{4x}{-2y}\right)^3\)

Pensando al revés: descomponiendo un cociente

También podemos expresar un número como un cociente de potencias con el mismo exponente.

Por ejemplo:

\[ 9=\left(\frac{-6}{-2}\right)^2=\frac{(-6)^2}{(-2)^2} \]

Ejercicios: descomposición como cociente

Expresa cada número como un cociente de dos potencias con el mismo exponente, usando al menos una base negativa.

  1. \(4\)
  2. \(25\)
  3. \(8\)
  4. \(9\)
  5. \(16\)
  6. \(100\)
  7. \(-27\)
  8. \(-32\)

Desafío final: propiedades combinadas

Aplica dos o más propiedades de las potencias para simplificar cada expresión.

  1. \((x^2\cdot x^3)^2\)
  2. \(\frac{(a^5)^2}{a^3}\)
  3. \(\left((-2)^3\cdot(-2)\right)^{-1}\)
  4. \(\left(\frac{y^4}{y^6}\right)^3\)
  5. \((3x^2)^3\cdot x^{-4}\)
  6. \(\frac{(-a)^7}{(-a)^3\cdot a^2}\)
  7. \(\left((b^{-2})^{-3}\right)^{-1}\)
  8. \(\left(\frac{x^2y^{-1}}{xy^2}\right)^{-2}\)
  9. \(\frac{(2^3\cdot3^2)^2}{2^4\cdot3^5}\)
  10. \(\left((-5)^0\cdot4^2\right)^{-1}\)
  11. \(\left(\frac{a^{-3}}{a^{-5}}\right)^3\)
  12. \(\frac{(-x^2y)^3}{-(xy^2)^2}\)

11. Multiplicación de Monomios

Procedimiento para multiplicar monomios

Para multiplicar monomios, sigue estos pasos:

  1. Multiplica los coeficientes: son los números que acompañan a las letras, incluyendo sus signos.
  2. Multiplica las partes literales: si las bases son iguales, se conserva la base y se suman los exponentes.
  3. Junta los resultados: une el nuevo coeficiente con la nueva parte literal.

Herramientas clave que necesitarás

Antes de practicar, recuerda estas dos reglas fundamentales:

  • Ley de los signos en la multiplicación: signos iguales dan resultado positivo; signos distintos dan resultado negativo.
  • Producto de potencias de igual base: se conserva la base y se suman los exponentes: \[ a^m\cdot a^n=a^{m+n} \]

Los exponentes se suman, no se multiplican

Un error común al multiplicar potencias de igual base es multiplicar los exponentes en vez de sumarlos.

Por ejemplo:

\[ x^2\cdot x^3=x^{2+3}=x^5 \]

No corresponde escribir \(x^6\). La multiplicación de exponentes se usa en la potencia de una potencia, como en \((x^2)^3=x^6\).

Ejemplo: coeficiente por monomio

Multipliquemos:

\[ (-6)\cdot(3x^2) \]

  1. Identificamos los coeficientes: \(-6\) y \(3\).
  2. Multiplicamos los coeficientes: \[ (-6)\cdot 3=-18 \]
  3. Conservamos la parte literal \(x^2\).

Por lo tanto:

\[ (-6)\cdot(3x^2)=-18x^2 \]

Ejercicios iniciales: coeficiente por monomio

  1. \(3\cdot(4x)\)
  2. \(-5\cdot(2y)\)
  3. \(6\cdot(-3b)\)
  4. \(-2\cdot(-7a)\)
  5. \(8\cdot(5m)\)
  6. \(-9\cdot(3n)\)
  7. \(11\cdot(-2p)\)
  8. \(-10\cdot(-4q)\)

Ejemplo: variable por variable

Multipliquemos:

\[ y^3\cdot(-y^2) \]

  1. Aplicamos la regla de signos: positivo por negativo da negativo.
  2. Como las bases son iguales, sumamos los exponentes: \[ y^3\cdot y^2=y^{3+2}=y^5 \]

Por lo tanto:

\[ y^3\cdot(-y^2)=-y^5 \]

Ejercicios iniciales: variable por variable

  1. \(a\cdot a\)
  2. \(b\cdot b^2\)
  3. \(m^3\cdot m\)
  4. \(c\cdot(-c)\)
  5. \(p\cdot p^3\)
  6. \(q^5\cdot q^2\)
  7. \(x\cdot(-x^4)\)
  8. \((-y^3)\cdot(-y^3)\)

Ejemplo: monomios simples

Multipliquemos:

\[ (-4a^2)\cdot(-2a^3) \]

  1. Multiplicamos los coeficientes: \[ (-4)\cdot(-2)=8 \]
  2. Multiplicamos la parte literal: \[ a^2\cdot a^3=a^{2+3}=a^5 \]

Por lo tanto:

\[ (-4a^2)\cdot(-2a^3)=8a^5 \]

Ejercicios iniciales: monomios simples

  1. \((2x)\cdot(5x)\)
  2. \((-4y)\cdot y\)
  3. \((3a)\cdot(-6a^2)\)
  4. \((-5b^2)\cdot(-2b^2)\)
  5. \((6p)\cdot(3p^2)\)
  6. \((-7q^3)\cdot(4q)\)
  7. \((10r^2)\cdot(-3r^2)\)
  8. \((-2s)\cdot(-8s)\)

Paso Final: Juntando Todo

Ejemplo 1: \((-4a^2b)\cdot(3ab^3)\)

Multipliquemos:

\[ (-4a^2b)\cdot(3ab^3) \]

Coeficientes:

\[ -4\cdot3=-12 \]

Parte literal:

  • \(a^2\cdot a=a^{2+1}=a^3\)
  • \(b\cdot b^3=b^{1+3}=b^4\)

Resultado final:

\[ (-4a^2b)\cdot(3ab^3)=-12a^3b^4 \]

Ejemplo 2: \(\left(\frac{2}{5}xy^2z\right)\cdot(-10xz^2)\)

Multipliquemos:

\[ \left(\frac{2}{5}xy^2z\right)\cdot(-10xz^2) \]

Coeficientes:

\[ \frac{2}{5}\cdot(-10)=\frac{-20}{5}=-4 \]

Parte literal:

  • \(x\cdot x=x^{1+1}=x^2\)
  • \(y^2\) se mantiene, porque no hay otro factor con \(y\).
  • \(z\cdot z^2=z^{1+2}=z^3\)

Resultado final:

\[ \left(\frac{2}{5}xy^2z\right)\cdot(-10xz^2)=-4x^2y^2z^3 \]

Práctica Final: Monomios Completos

Multiplicación de monomios completos

Resuelve las siguientes multiplicaciones de monomios.

  1. \((-2x)\cdot(4xy)\)
  2. \((6a^2b)\cdot(-3ab^2)\)
  3. \((-5mn)\cdot(-8m^2n^3)\)
  4. \(\left(\frac{1}{2}xy^2\right)\cdot(-4x^3y)\)
  5. \((-7)\cdot(3a^2bc)\)
  6. \((9p^2q)\cdot(-2pq)\)
  7. \((-4xyz)\cdot(-6x^2yz^3)\)
  8. \(\left(\frac{3}{4}ab^2\right)\cdot(8a^2b)\)
  9. \((-10m)\cdot(5m^3n)\)
  10. \((-12x^2y)\cdot\left(-\frac{1}{3}xy^2\right)\)
  11. \((5c^3d^2)\cdot(5cd^3)\)
  12. \((-z^5)\cdot(12z)\)
  13. \((7x^2y^3)\cdot(-xy)\)
  14. \(\left(-\frac{2}{3}m^2n\right)\cdot(-9mn^3)\)
  15. \((20a^4b^2c)\cdot\left(\frac{1}{4}a^2b^2c^2\right)\)
  16. \((-8p^3q^2)\cdot(-2p^2q^3)\)
  17. \((x^3y^2z)\cdot(-xyz)\)
  18. \((-1{,}5a^2b)\cdot(4ab^3)\)
  19. \((11m^2n^2)\cdot(-3mn)\)
  20. \((6x^4)\cdot(-3y^4)\)

12. Simplificación de Términos Semejantes (Adición y Sustracción)

¿Qué son los términos semejantes?

Los términos semejantes son aquellos que tienen exactamente la misma parte literal, es decir, las mismas letras elevadas a los mismos exponentes.

Por ejemplo, si pensamos en frutas, podemos juntar manzanas con manzanas, pero no manzanas con peras. En álgebra ocurre algo parecido: solo podemos sumar o restar términos que sean del mismo tipo.

  • \(7x\) y \(-2x\) son semejantes.
  • \(4a^2b\) y \(a^2b\) son semejantes.
  • \(5x\) y \(5y\) no son semejantes, porque tienen distinta letra.
  • \(8m^2\) y \(3m^3\) no son semejantes, porque tienen la misma letra, pero distinto exponente.

Procedimiento para simplificar expresiones

  1. Identifica y agrupa los términos semejantes.
  2. Suma o resta los coeficientes de cada grupo, aplicando las reglas de los signos.
  3. Mantén la parte literal exactamente igual.

Práctica Inicial: Habilidades Fundamentales

1. Identificando términos semejantes

En la siguiente lista, agrupa los términos que son semejantes entre sí:

\[ 5x,\quad -3y^2,\quad 4xy,\quad -x,\quad 6xy,\quad 2x^2,\quad y^2,\quad -8x^2 \]

2. Sumando y restando pares semejantes

  1. \(7a+4a\)
  2. \(10b-3b\)
  3. \(-8m-2m\)
  4. \(-5x+12x\)
  5. \(9p-15p\)
  6. \(-4z+(-3z)\)
  7. \(15c-25c\)
  8. \(-y+8y\)
  9. \(6a^2+3a^2\)
  10. \(12b^3-5b^3\)
  11. \(-9x^2y-3x^2y\)
  12. \(-7mn^3+15mn^3\)
  13. \(20p^4-25p^4\)
  14. \(-ab+(-5ab)\)
  15. \(18x^2y^2-9x^2y^2\)
  16. \(-3c^5+3c^5\)
  17. \(15mn+(-8mn)\)
  18. \(-11p^2q-5p^2q\)
  19. \(x^3y-10x^3y\)
  20. \(25a^3b^2+15a^3b^2\)

Ejemplos Guiados: Expresiones Completas

Ejemplo 1: \(3x-5y+2x+7y\)

Identificamos y agrupamos términos semejantes:

\[ (3x+2x)+(-5y+7y) \]

Operamos los coeficientes de cada grupo:

\[ (3+2)x+(-5+7)y \]

Entonces:

\[ 5x+2y \]

Cuidado con los paréntesis y el signo negativo

Cuando hay un signo de resta delante de un paréntesis, ese signo cambia el signo de todos los términos que están dentro.

Por ejemplo:

\[ -(5m+2n)=-5m-2n \]

Ejemplo 2: \(8m-3n-(5m+2n)\)

Eliminamos el paréntesis distribuyendo el signo negativo:

\[ 8m-3n-5m-2n \]

Agrupamos términos semejantes:

\[ (8m-5m)+(-3n-2n) \]

Operamos los coeficientes:

\[ (8-5)m+(-3-2)n \]

Resultado final:

\[ 3m-5n \]

Práctica Final: Expresiones Algebraicas

Simplifica las siguientes expresiones

  1. \(5a+3a-2a+7a\)
  2. \(10x-4x-8x+3x\)
  3. \(-9m+4p-6p+3m\)
  4. \(-p-7p+4q-2q\)
  5. \(6c-5c+8d+2d-3c\)
  6. \(4x-2y-3x+5y\)
  7. \(-7a+5b-8a+4a-3b\)
  8. \(9xy-3x+4xy-2x-5\)
  9. \(5a+3b-(2a-7b)\)
  10. \(-9x^2+4x-6+3x^2-2x\)
  11. \(10mn-4m^2n+8mn-5m^2n\)
  12. \(6a^2b^2-4ab+8a^2b^2+2ab-3\)
  13. \(-7a+5b-8c+4a-3b+5c\)
  14. \((5x-3y)+(2x+8y)\)
  15. \(10a-(4b+6a)-3b\)

Práctica Final: Expresiones con Paréntesis

Simplifica las siguientes expresiones. Recuerda eliminar los paréntesis primero, prestando atención a los signos negativos.

  1. \((3x+2y)+(5x-y)\)
  2. \((7a-4b)-(3a+2b)\)
  3. \((-m+2n)+(3m-3n)\)
  4. \((a^2+b^2)-(2a^2-b^2)\)
  5. \(-(p-q)+(p+q)\)
  6. \(-(x^2+3y)-(5y-x^2)\)
  7. \(10m+(5n-8m)-2n\)
  8. \(8p-(4q-6p)+3q\)
  9. \(x^2+(3x-x^2)+5x\)
  10. \(ab-(2ab+4a)-3a\)
  11. \(15a-2b-(10a+3b)\)
  12. \(-y^2+(x^2-y^2)-(x^2)\)
  13. \((a^2-3ab)-(b^2+2ab)+(a^2-b^2)\)
  14. \(-(x+y)+(2x-3y)-(x-5y)\)
  15. \(5a-[6b-(3a+2b)]\)
  16. \(x^2-(y^2-[2x^2-(y^2+x^2)])\)

13. Ley Distributiva y Factor Común

Ley distributiva y factor común

En esta lección trabajaremos dos conceptos relacionados: la ley distributiva, que permite expandir expresiones, y el factor común, que permite escribir una suma o resta como una multiplicación.

Parte 1: La Ley Distributiva (Expandir)

Procedimiento para aplicar la ley distributiva

La ley distributiva indica que, para multiplicar un término por una suma o resta, se debe multiplicar ese término por cada uno de los términos que están dentro del paréntesis.

Fórmulas:

  • \[ a(b+c)=ab+ac \]
  • \[ a(b-c)=ab-ac \]

Ejemplos Numéricos

Ejemplo 1: \(3(4+5)\)

  1. Multiplicamos el término de afuera por el primero: \[ 3\cdot4=12 \]
  2. Multiplicamos el término de afuera por el segundo: \[ 3\cdot5=15 \]
  3. Sumamos los resultados: \[ 12+15=27 \]

Comprobación:

\[ 3(4+5)=3\cdot9=27 \]

Ejemplo 2: \(-2(6-3)\)

  1. Multiplicamos el término de afuera por el primero: \[ (-2)\cdot6=-12 \]
  2. Multiplicamos el término de afuera por el segundo: \[ (-2)\cdot(-3)=6 \]
  3. Sumamos los resultados: \[ -12+6=-6 \]

Comprobación:

\[ -2(6-3)=-2\cdot3=-6 \]

Ejemplos Algebraicos

Ejemplo 3: \(2(x+y)\)

  1. Multiplicamos \(2\) por \(x\): \[ 2\cdot x=2x \]
  2. Multiplicamos \(2\) por \(y\): \[ 2\cdot y=2y \]

Resultado:

\[ 2(x+y)=2x+2y \]

Ejemplo 4: \(-5(a-3b)\)

  1. Multiplicamos \(-5\) por \(a\): \[ (-5)\cdot a=-5a \]
  2. Multiplicamos \(-5\) por \(-3b\): \[ (-5)\cdot(-3b)=15b \]

Resultado:

\[ -5(a-3b)=-5a+15b \]

Ejemplo 5: \(x(y-z)\)

  1. Multiplicamos \(x\) por \(y\): \[ x\cdot y=xy \]
  2. Multiplicamos \(x\) por \(-z\): \[ x\cdot(-z)=-xz \]

Resultado:

\[ x(y-z)=xy-xz \]

Práctica: aplicando la ley distributiva

  1. \(5(6+2)\)
  2. \(-3(8-4)\)
  3. \(7(2-5)\)
  4. \(-4(-3-6)\)
  5. \(6(x+3)\)
  6. \(4(y-5)\)
  7. \(-2(a+8)\)
  8. \(-5(b-2)\)
  9. \(8(-m-3)\)
  10. \(-1(p-7)\)
  11. \(a(x+y)\)
  12. \(x(y-z)\)
  13. \(-b(c+d)\)
  14. \(m(-n+p)\)
  15. \(2x(3a-4b)\)
  16. \(-3c(2m+5n)\)
  17. \(x(x+5)\)
  18. \(a(3-a)\)
  19. \(-y(y+2)\)
  20. \(3m(m^2+2m)\)
  21. \(-2p^2(p-4)\)
  22. \(4(a+b-c)\)
  23. \(-2(x-y+z)\)
  24. \(a(x+y-z)\)
  25. \(3x(x^2+2x-1)\)
  26. \(-5y^2(y-3y^2+1)\)
  27. \(2x(3a-2b+c)\)
  28. \(-mn(m^2-n^2-mn)\)
  29. \(x^2(3x+2x^2+4)\)
  30. \((a+b-c)(-3)\)

Conectando las ideas: la factorización como proceso inverso

La ley distributiva permite expandir una expresión. La factorización hace el proceso inverso: busca un factor que se repite y lo escribe fuera de un paréntesis.

Por ejemplo:

\[ 4(x+y)=4x+4y \]

Distribuir va desde \(4(x+y)\) hacia \(4x+4y\). Factorizar va desde \(4x+4y\) hacia \(4(x+y)\).

Parte 2: Factor Común (Factorizar)

¿Qué es factorizar?

Factorizar es reescribir una suma o resta como una multiplicación.

Para ello, buscamos el factor común, que es el factor que se repite en todos los términos de la expresión.

Procedimiento para encontrar el factor común

  1. Para los coeficientes: encuentra el máximo común divisor de los números.
  2. Para la parte literal: busca las letras que se repiten en todos los términos y escoge la que tenga el menor exponente.
  3. Arma el factor común: junta el factor numérico y la parte literal común.
  4. Divide y escribe el paréntesis: dentro del paréntesis coloca el resultado de dividir cada término original por el factor común.

Ejemplos Guiados de Factorización

Ejemplo 1: factorizar \(5x-10y\)

El MCD entre \(5\) y \(10\) es \(5\). No hay letras que se repitan en ambos términos.

Factor común:

\[ 5 \]

Dividimos cada término por \(5\):

\[ 5x\div5=x,\qquad -10y\div5=-2y \]

Resultado:

\[ 5x-10y=5(x-2y) \]

Ejemplo 2: factorizar \(-3a-6b\)

El MCD entre \(3\) y \(6\) es \(3\). Como el primer término es negativo, conviene extraer \(-3\).

Factor común:

\[ -3 \]

Dividimos:

\[ -3a\div(-3)=a,\qquad -6b\div(-3)=2b \]

Resultado:

\[ -3a-6b=-3(a+2b) \]

Ejemplo 3: factorizar \(x^2+xy\)

La letra que se repite en ambos términos es \(x\). El menor exponente de \(x\) es \(1\).

Factor común:

\[ x \]

Dividimos:

\[ x^2\div x=x,\qquad xy\div x=y \]

Resultado:

\[ x^2+xy=x(x+y) \]

Ejemplo 4: factorizar \(2a^2+4a\)

Para los coeficientes \(2\) y \(4\), el MCD es \(2\).

En la parte literal, la letra \(a\) se repite y el menor exponente es \(a^1\).

Factor común:

\[ 2a \]

Dividimos:

  • \(2a^2\div2a=a\)
  • \(4a\div2a=2\)

Resultado:

\[ 2a^2+4a=2a(a+2) \]

Práctica: encontrando el factor común

  1. \(8x+12y\)
  2. \(9a-6\)
  3. \(-5m-10n\)
  4. \(14p+21q\)
  5. \(xy+xz\)
  6. \(ab-ac\)
  7. \(m^2+mn\)
  8. \(p^3-p^2\)
  9. \(6x^2+3x\)
  10. \(10y^3-15y^2\)
  11. \(-8a^2b+4ab^2\)
  12. \(9m^2n-12mn^2\)
  13. \(16p^3q^2+24p^2q^3\)
  14. \(-25x^4y+15x^2y^3\)
  15. \(10a-15b+20c\)
  16. \(9x^2-6x+3\)
  17. \(-8m^3-12m^2-4m\)
  18. \(14a^2b-21ab^2+7ab\)
  19. \(18x^3y^2-27x^2y^3+9x^2y^2\)
  20. \(-10m^4n^2-20m^3n^3-5m^2n^4\)

Estrategia: expandir y simplificar en dos pasos

  1. Expandir: usa la ley distributiva para eliminar paréntesis.
  2. Simplificar: agrupa y reduce términos semejantes.

Desafío: expandir y simplificar

Aplica la estrategia de dos pasos para resolver las siguientes expresiones.

  1. \(4(x-3y)+2(x+5y)\)
  2. \(3a(2b+c)-2(3ab+4ac)\)
  3. \(-5(2m-n)+4(-m+3n)\)
  4. \(2(3p-q)-(5p+2q)+4(p-3q)\)
  5. \(x(y+2)-y(x-3)\)
  6. \(a(a+b)-b(a+b)\)
  7. \(5(x^2-2x)+3x(x-1)\)
  8. \(-3(a+2b)+4b(a-1)-2(b-a)\)
  9. \(2[x-3(y-x)]\)
  10. \(3a-\{2b+[5a-(4b-a)]\}\)
  11. \(2x^2-[x^2-\{y-(3x^2-y)\}]\)
  12. \(m-(2m+[-(m-n)+(2n-m)])\)

Estrategia avanzada: factorizar para simplificar

A veces conviene factorizar antes de expandir. Esto permite ver una parte común y reducir la expresión con más orden.

Por ejemplo:

\[ 3x+3y-x-y \]

Agrupamos:

\[ (3x+3y)-(x+y) \]

Factorizamos cada grupo:

\[ 3(x+y)-1(x+y) \]

Como \((x+y)\) es común:

\[ 2(x+y)=2x+2y \]

Desafío final: factorizar para simplificar

Usa la estrategia de factorizar primero para simplificar las siguientes expresiones.

  1. \(3(a+b)+5(a+b)\)
  2. \(7(x-y)-4(x-y)\)
  3. \(6(m+n)-(m+n)\)
  4. \(2(p-q)-8(p-q)\)
  5. \(2x+2y+5x+5y\)
  6. \(8a-8b-3a+3b\)
  7. \(5m+10n-(m+2n)\)
  8. \(3x(a+1)-5(a+1)\)

14. Jerarquía de Operaciones y Paréntesis

Jerarquía de operaciones

Cuando una expresión matemática tiene varias operaciones, como suma, resta, multiplicación, división o potencias, es necesario seguir un orden específico para resolverla correctamente.

Este orden se conoce como jerarquía de operaciones.

Orden de las operaciones

Para resolver una operación combinada, se sigue este orden:

  1. Paréntesis: primero se resuelven las operaciones dentro de paréntesis \(( )\), corchetes \([ ]\) o llaves \(\{ \}\), desde el más interno hacia el más externo.
  2. Potencias: luego se calculan las potencias y raíces, si aparecen.
  3. Multiplicación y división: después se resuelven multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha.
  4. Adición y sustracción: finalmente se resuelven sumas y restas, de izquierda a derecha.

Recordatorio: PAPOMUDAS

Una forma útil de recordar el orden es con la palabra PAPOMUDAS:

PAréntesis, POtencias, MUltiplicación y División, Adición y Sustracción.

Recuerda que multiplicación y división tienen la misma prioridad, por eso se resuelven de izquierda a derecha. Lo mismo ocurre con la adición y la sustracción.

Ejemplos Guiados

Ejemplo 1: sin paréntesis

Resolvamos:

\[ 5+3\cdot 2^2-6\div 3 \]

Paso 1: Potencias.

\[ 2^2=4 \]

Entonces:

\[ 5+3\cdot 4-6\div 3 \]

Paso 2: Multiplicación y división, de izquierda a derecha.

\[ 3\cdot 4=12,\qquad 6\div 3=2 \]

Entonces:

\[ 5+12-2 \]

Paso 3: Suma y resta, de izquierda a derecha.

\[ 5+12=17 \]

\[ 17-2=15 \]

Resultado final:

\[ 15 \]

Ejemplo 2: con paréntesis

Resolvamos:

\[ (5+3)\cdot(2^2-6)\div 2 \]

Paso 1: Resolver los paréntesis.

\[ 5+3=8 \]

\[ 2^2-6=4-6=-2 \]

Entonces:

\[ 8\cdot(-2)\div 2 \]

Paso 2: Multiplicación y división, de izquierda a derecha.

\[ 8\cdot(-2)=-16 \]

\[ -16\div 2=-8 \]

Resultado final:

\[ -8 \]

Ejemplo 3: con paréntesis anidados

Resolvamos:

\[ 10-[3+(4-2)\cdot 5] \]

Paso 1: Resolver el paréntesis más interno.

\[ 4-2=2 \]

Entonces:

\[ 10-[3+2\cdot 5] \]

Paso 2: Resolver dentro del corchete respetando la jerarquía.

\[ 2\cdot 5=10 \]

\[ 3+10=13 \]

Entonces:

\[ 10-13=-3 \]

Resultado final:

\[ -3 \]

Ejercicios de Práctica Numérica

Jerarquía de operaciones con números

  1. \(7+3\cdot4-5\)
  2. \(10-2\cdot3+4\)
  3. \((-2)^3+4\cdot5-2\)
  4. \(6\div2+3\cdot4-1\)
  5. \(15-3\cdot2^2+1\)
  6. \((7+3)\cdot2-5\)
  7. \(10-(2\cdot3)+4\)
  8. \((-2)^3+(4\cdot5-2)\)
  9. \((6\div2+3)\cdot4-1\)
  10. \(15-(3\cdot2^2)+1\)
  11. \(5\cdot[3+(2-1)\cdot4]\)
  12. \(12\div[8-(2+1)\cdot2]\)
  13. \((-3)^2+[4-(5-2)\cdot3]\)
  14. \([8-(6\div3+1)]\cdot2\)
  15. \(20-[(3+2)\cdot4-10]\)

Desafío Algebraico: Jerarquía de Operaciones con Variables

Jerarquía en expresiones algebraicas

Las mismas reglas de jerarquía se aplican a expresiones con variables.

El objetivo es seguir el orden correcto, expandir cuando corresponda y luego simplificar términos semejantes.

Ejemplo 1: \(5x+2(x^2-4x)-3x^2\)

Primero aplicamos la ley distributiva:

\[ 5x+2(x^2-4x)-3x^2=5x+2x^2-8x-3x^2 \]

Agrupamos términos semejantes:

\[ (2x^2-3x^2)+(5x-8x) \]

Simplificamos:

\[ -x^2-3x \]

Resultado final:

\[ -x^2-3x \]

Ejemplo 2: \(3[a-(2a+1)]+7\)

Primero eliminamos el paréntesis interno distribuyendo el signo negativo:

\[ 3[a-2a-1]+7 \]

Simplificamos dentro del corchete:

\[ 3[-a-1]+7 \]

Aplicamos la ley distributiva:

\[ -3a-3+7 \]

Simplificamos:

\[ -3a+4 \]

Resultado final:

\[ -3a+4 \]

Desafío final: combinando propiedades y operaciones

Usa la jerarquía de operaciones, las propiedades de las potencias y la simplificación de términos semejantes.

  1. \(5(x+3)+2x\)
  2. \(4a+3(a-2)\)
  3. \(8y-2(3y+4)\)
  4. \(x(x+6)-x^2\)
  5. \(3m(m-2)+6m\)
  6. \(-4b(2-b)+5b^2\)
  7. \((2x^2\cdot3x)+4(x^3-2x)\)
  8. \(10p^2-(p\cdot5p)+3p\)
  9. \(2[3(x+5)-x]\)
  10. \(a[4a-(a+2)]+5a\)
  11. \(-3[b^2-2(b^2+b)]\)
  12. \(x^2+2[x(x-3)-(x^2-6x)]\)

Problemas de Aplicación

Problemas contextualizados

  1. Un camión transporta 25 cajas de manzanas de 30 kg cada una y 10 sacos de papas de 50 kg cada uno. Si descarga 5 cajas de manzanas y 3 sacos de papas, ¿cuántos kilogramos de carga le quedan?
  2. En un torneo, un jugador con 200 puntos gana 3 partidas, recibiendo 150 puntos por cada una, y luego pierde 2 partidas, perdiendo 80 puntos por cada una. ¿Cuál es su puntaje final?
  3. Una tienda tiene una oferta: “Compre 2 camisas a $25 cada una y la tercera a mitad de precio”. Si un cliente compra 5 camisas, ¿cuánto paga?
  4. Un restaurante ofrece un menú con 4 entradas, 5 platos principales y 3 postres. ¿Cuántas combinaciones diferentes de menú se pueden formar?
  5. Un automovilista conduce 3 horas a 80 km/h, se detiene 30 minutos y luego conduce 2 horas más a 70 km/h. ¿Cuántos kilómetros recorrió en total?

15. Operaciones con Valor Absoluto

Operaciones con Valor Absoluto

¿Qué significa operar con valor absoluto?

Cuando aparece una expresión como \( |a-b| \), primero se calcula lo que está dentro de las barras, y luego se aplica el valor absoluto.

El valor absoluto representa la distancia al cero, por lo tanto su resultado siempre es positivo o cero.

Pasos para resolver

  1. Resuelve primero lo que está dentro de las barras de valor absoluto.
  2. Aplica el valor absoluto: si el resultado interno es negativo, se transforma en positivo.

Ejemplo:

\[ |3-7|=|-4|=4 \]

Práctica guiada

  1. \(|5-8|\)
  2. \(|-3+4|\)
  3. \(|(-2)^2-5|\)
  4. \(\left||4|-|7|\right|\)
  5. \(|(-6)\cdot3|\)
  6. \(|-(-8)|\)
  7. \(|10-(-5)|\)
  8. \(\left||-9|-3\right|\)
  9. \(|(-4)^2-20|\)
  10. \(|0-(-7)|\)
  11. \(|-(3\cdot4)|\)
  12. \(\left||2|+|-5|\right|\)

Consejo

Resuelve siempre primero lo que está dentro de las barras de valor absoluto.

Si la expresión tiene varias operaciones, recuerda usar la jerarquía de operaciones:

\[ \text{paréntesis} \rightarrow \text{potencias} \rightarrow \text{multiplicación/división} \rightarrow \text{suma/resta} \]

Valor absoluto dentro de expresiones con varias operaciones

Ahora usaremos el valor absoluto dentro de expresiones con varias operaciones.

Las barras de valor absoluto funcionan como un agrupador: primero se resuelve todo lo que está dentro de ellas, respetando la jerarquía de operaciones, y después se aplica el valor absoluto.

Luego, si la expresión tiene operaciones fuera de las barras, se continúa resolviendo normalmente.

El valor absoluto no cambia toda la expresión

El valor absoluto solo afecta a lo que está dentro de sus barras.

Por ejemplo:

\[ |-5|+2=5+2=7 \]

Pero si el signo negativo está fuera del valor absoluto, se conserva:

\[ -|-5|=-5 \]

Por eso, una expresión completa que contiene valores absolutos puede tener resultado negativo, si hay operaciones fuera de las barras.

Ejemplos con Jerarquía de Operaciones

Ejemplo 1: valor absoluto dentro de una suma

Resolvamos:

\[ 3+|2-9| \]

Primero resolvemos dentro del valor absoluto:

\[ 2-9=-7 \]

Luego aplicamos valor absoluto:

\[ |-7|=7 \]

Finalmente sumamos:

\[ 3+7=10 \]

Por lo tanto:

\[ 3+|2-9|=10 \]

Ejemplo 2: potencias y multiplicación dentro del valor absoluto

Resolvamos:

\[ |(-3)^2-4\cdot5|+6 \]

Primero resolvemos la potencia y la multiplicación:

\[ (-3)^2=9 \]

\[ 4\cdot5=20 \]

Luego resolvemos dentro del valor absoluto:

\[ 9-20=-11 \]

Aplicamos valor absoluto:

\[ |-11|=11 \]

Finalmente:

\[ 11+6=17 \]

Por lo tanto:

\[ |(-3)^2-4\cdot5|+6=17 \]

Ejemplo 3: valor absoluto multiplicado por un número

Resolvamos:

\[ 2|5-8|-|-4+1| \]

Primero resolvemos dentro de cada valor absoluto:

\[ 5-8=-3 \]

\[ -4+1=-3 \]

Aplicamos valor absoluto:

\[ |-3|=3,\qquad |-3|=3 \]

Reemplazamos:

\[ 2|5-8|-|-4+1|=2\cdot3-3 \]

Finalmente:

\[ 6-3=3 \]

Por lo tanto:

\[ 2|5-8|-|-4+1|=3 \]

Ejemplo 4: valores absolutos anidados

Resolvamos:

\[ \left||-6|-|10-3^2|\right| \]

Primero resolvemos los valores absolutos internos.

\[ |-6|=6 \]

Para el segundo valor absoluto interno, resolvemos primero la potencia:

\[ 3^2=9 \]

Entonces:

\[ |10-3^2|=|10-9|=|1|=1 \]

Reemplazamos en la expresión original:

\[ \left||-6|-|10-3^2|\right|=|6-1| \]

Finalmente:

\[ |6-1|=|5|=5 \]

Práctica con jerarquía y valor absoluto

Resuelve las siguientes expresiones respetando la jerarquía de operaciones.

  1. \(4+|3-9|\)
  2. \(2|5-8|\)
  3. \(|(-2)^3+10|\)
  4. \(15-|4-11|\)
  5. \(|6-2^3|+5\)
  6. \(3\cdot|-4+9|-2\)
  7. \(\left||-7|-|2-9|\right|\)
  8. \(|(-5)\cdot2+3^2|\)
  9. \(|12\div(-3)-5|\)
  10. \(-|4-10|+2^3\)

Desafíos con literales

  1. Si \(x=-3\), calcula \(|x+5|\).
  2. Si \(a=-4\) y \(b=2\), calcula \(\left||a|-|b|\right|\).
  3. Si \(m=-6\), calcula \(|m|+|-m|\).
  4. Si \(y=-2\), calcula \(|y^2-5|\).

Desafíos con literales y varias operaciones

Sustituye el valor indicado y luego resuelve respetando la jerarquía de operaciones.

  1. Si \(x=-3\), calcula \(2|x+5|-1\).
  2. Si \(a=-4\) y \(b=2\), calcula \(|a-b|+|ab|\).
  3. Si \(m=-6\), calcula \(|m^2-40|\).
  4. Si \(y=-2\), calcula \(3|y-4|-|y^2-1|\).
  5. Si \(p=5\) y \(q=-1\), calcula \(|p+2q|-p|q|\).

16. mapa de contenidos

Mapa de contenidos: Números Enteros

Esta página presenta una síntesis visual de la unidad de números enteros. El diagrama organiza los contenidos principales para ayudarte a comprender cómo se conectan las ideas: definición, orden, operaciones, propiedades y aplicaciones.

Objetivo de aprendizaje

Reconocer y relacionar los contenidos principales de la unidad de números enteros mediante un diagrama que permita ubicar conceptos, procedimientos y aplicaciones.

Cómo leer este diagrama

Comienza en el nodo central y sigue la secuencia principal. Las ramas laterales agregan ideas de apoyo, advertencias o conexiones útiles.

Idea central de la unidad

Los números enteros amplían a los números naturales al incorporar el cero y los números negativos.

\[ \mathbb{Z}=\{..., -3,-2,-1,0,1,2,3,...\} \]

Diagrama general de la unidad

Interpretación del diagrama

La unidad comienza con la definición del conjunto \(\mathbb{Z}\), continúa con su representación en la recta numérica y luego se organiza según el tipo de tarea matemática: operar o interpretar situaciones.

Aplicaciones en la vida real

  • Temperaturas bajo cero.
  • Deudas y ganancias.
  • Alturas bajo el nivel del mar.
  • Desplazamientos verticales o retrocesos.