La Función Exponencial
| Sitio: | MATEMÁTICAS × Profe Arauco |
| Curso: | Media 3 |
| Libro: | La Función Exponencial |
| Imprimido por: | Invitado |
| Día: | jueves, 23 de julio de 2026, 21:01 |
1. Crecimiento y Decrecimiento Exponencial
Crecimiento y decrecimiento exponencial: un cambio acelerado
Cambio lineal y cambio exponencial
En la página anterior, vimos que las funciones lineales tienen una tasa de cambio constante. Pero en muchas situaciones del mundo real, las cosas cambian de una manera diferente: cada vez más rápido, como en el crecimiento exponencial, o cada vez más lento, como en el decrecimiento exponencial.
Crecimiento exponencial
En una situación de crecimiento exponencial, una cantidad se multiplica por un factor constante en cada intervalo de tiempo. Por ejemplo, una población de bacterias que se duplica cada hora.
Ejemplo 1: crecimiento de bacterias
La siguiente tabla muestra una población de bacterias que se duplica cada hora.
| Hora | Número de bacterias |
|---|---|
| \(0\) | \(1\) |
| \(1\) | \(2\) |
| \(2\) | \(4\) |
| \(3\) | \(8\) |
| \(4\) | \(16\) |
En cada hora, la cantidad se multiplica por \(2\). Por eso el modelo puede escribirse como:
\[ B(t)=2^t \]
Al principio el crecimiento parece lento, pero luego se acelera. Esto ocurre porque el cambio es proporcional a la cantidad actual.
Ejemplo 2: crecimiento de una ciudad
Una ciudad con \(1000\) habitantes triplica su población cada \(10\) años. ¿Cuántas personas habrá en \(50\) años?
Primero calculamos cuántos períodos de \(10\) años hay en \(50\) años:
\[ \frac{50}{10}=5 \]
Como la población se triplica en cada período, se multiplica por \(3^5\):
\[ 1000\cdot 3^5 \]
Calculamos:
\[ 3^5=243 \]
\[ 1000\cdot 243=243000 \]
En \(50\) años habrá \(243000\) habitantes.
Decrecimiento exponencial
En una situación de decrecimiento exponencial, una cantidad se multiplica por una fracción en cada intervalo de tiempo. Por ejemplo, una sustancia que se reduce a la mitad cada cierto número de años.
Ejemplo 3: isótopo radiactivo
El yodo-131 se reduce a un tercio cada \(8\) días. Si tenemos \(81\) gramos, ¿cuánto quedará en \(40\) días?
Calculamos cuántos períodos de \(8\) días hay en \(40\) días:
\[ \frac{40}{8}=5 \]
Como la cantidad se reduce a un tercio en cada período, se multiplica por \(\left(\frac{1}{3}\right)^5\):
\[ 81\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^5 \]
Calculamos:
\[ \left(\frac{1}{3}\right)^5=\frac{1}{243} \]
\[ 81\cdot \frac{1}{243}=\frac{81}{243}=\frac{1}{3} \]
Después de \(40\) días quedará \(\frac{1}{3}\) gramo.
Modelo exponencial
Una situación exponencial puede representarse mediante un modelo de la forma:
\[ Q(n)=Q_0\cdot a^n \]
- \(Q_0\) es la cantidad inicial.
- \(a\) es el factor por el que se multiplica en cada período.
- \(n\) es el número de períodos transcurridos.
Si \(a>1\), hay crecimiento exponencial. Si \(0<a<1\), hay decrecimiento exponencial.
Lineal vs. exponencial
- Lineal: el cambio es aditivo. Se suma o resta la misma cantidad en cada paso.
- Exponencial: el cambio es multiplicativo. Se multiplica por el mismo factor en cada paso.
Ejercicios
Ejercicio 1
Identifica el tipo de crecimiento o decrecimiento en cada caso:
- Un tanque de agua pierde \(5\) litros cada hora.
- Una inversión aumenta un \(10\%\) cada año.
- Una población de conejos se triplica cada mes.
- Un automóvil recorre \(80\) km cada hora.
- La cantidad de un isótopo radiactivo se reduce a la mitad cada \(100\) años.
- Decrecimiento lineal: se resta una cantidad fija, \(5\) litros, en cada hora.
- Crecimiento exponencial: aumentar un \(10\%\) cada año equivale a multiplicar por \(1{,}10\) en cada año.
- Crecimiento exponencial: la población se multiplica por \(3\) cada mes.
- Crecimiento lineal: se suma una distancia fija, \(80\) km, en cada hora.
- Decrecimiento exponencial: la cantidad se multiplica por \(\frac{1}{2}\) cada \(100\) años.
Ejercicio 2
Una población de \(50\) insectos se duplica cada semana.
- Completa la tabla para las primeras \(4\) semanas.
- ¿Cuántos insectos habrá después de \(6\) semanas?
| Semana | Población |
|---|---|
| \(0\) | \(50\) |
| \(1\) | ? |
| \(2\) | ? |
| \(3\) | ? |
| \(4\) | ? |
-
Como la población se duplica cada semana, multiplicamos por \(2\):
Semana Población \(0\) \(50\) \(1\) \(100\) \(2\) \(200\) \(3\) \(400\) \(4\) \(800\) -
El modelo es:
\[ P(n)=50\cdot 2^n \]
Para \(n=6\):
\[ P(6)=50\cdot 2^6 \]
\[ P(6)=50\cdot 64=3200 \]
Después de \(6\) semanas habrá \(3200\) insectos.
Ejercicio 3
Una sustancia radiactiva de \(200\) gramos se reduce a la mitad cada \(5\) años.
- ¿Cuántos gramos quedarán después de \(15\) años?
- ¿Cuántos gramos quedarán después de \(40\) años?
-
En \(15\) años hay:
\[ \frac{15}{5}=3 \]
períodos de \(5\) años.
Entonces:
\[ 200\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 200\cdot \frac{1}{8} = 25 \]
Después de \(15\) años quedarán \(25\) gramos.
-
En \(40\) años hay:
\[ \frac{40}{5}=8 \]
períodos de \(5\) años.
Entonces:
\[ 200\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^8 = 200\cdot \frac{1}{256} = \frac{200}{256} \]
\[ \frac{200}{256}\approx 0{,}78 \]
Después de \(40\) años quedarán aproximadamente \(0{,}78\) gramos.
2. La Función Exponencial
La función exponencial: definición y propiedades
Función exponencial
En la página anterior, vimos situaciones donde una cantidad se multiplica por un factor constante en cada intervalo de tiempo. Este comportamiento es característico del crecimiento y del decrecimiento exponencial, y se modela mediante la función exponencial.
Definición formal de la función exponencial
Una función exponencial tiene la forma general:
- \(a\): es el valor inicial, es decir, el valor de \(f(x)\) cuando \(x=0\). Debe cumplirse \(a\neq 0\).
- \(b\): es la base o factor de cambio. Debe ser positiva y distinta de \(1\): \(b>0\) y \(b\neq 1\).
- Si \(b>1\), la función representa crecimiento exponencial.
- Si \(0<b<1\), la función representa decrecimiento exponencial.
- \(x\): es la variable independiente, que muchas veces representa el tiempo.
Dominio y recorrido
- Dominio: el dominio de una función exponencial básica es el conjunto de todos los números reales: \(\mathbb{R}\).
- Recorrido: si \(a>0\), el recorrido es el conjunto de todos los números reales positivos: \((0,\infty)\). La función nunca toma el valor \(0\) ni valores negativos.
Gráfica de la función exponencial
- Asíntota horizontal: la gráfica se acerca cada vez más al eje \(X\), es decir, a la recta \(y=0\), pero no lo toca.
- Intersección con el eje \(Y\): la gráfica cruza el eje \(Y\) en el punto \((0,a)\), que corresponde al valor inicial.
- Comportamiento: es una curva suave que crece si \(b>1\) o decrece si \(0<b<1\).
Ejemplos y ejercicios
Ejemplo 1: ¿por qué la base \(b\) debe ser positiva y distinta de \(1\)?
La restricción sobre la base \(b\) es importante para que la función exponencial tenga un comportamiento consistente en los números reales.
- Si \(b\) fuera negativa, por ejemplo \((-2)^x\), la función no estaría definida en los reales para algunos exponentes fraccionarios, como \(x=\frac{1}{2}\), porque aparecería \(\sqrt{-2}\).
- Si \(b=1\), por ejemplo \(1^x\), la función sería constante y no representaría crecimiento ni decrecimiento exponencial.
- Si \(b=0\), por ejemplo \(0^x\), la expresión no estaría definida para ciertos valores de \(x\), como \(x=0\) o exponentes negativos.
Por eso, en \(f(x)=a\cdot b^x\), se exige que \(b>0\) y \(b\neq 1\).
Ejemplo 2: identificar \(a\), \(b\) y el tipo de comportamiento
Consideremos la función:
\[ f(x)=2\cdot 3^x \]
- El valor inicial es \(a=2\).
- La base es \(b=3\).
- Como \(3>1\), representa crecimiento exponencial.
Ahora consideremos:
\[ g(x)=100\cdot (0{,}5)^x \]
- El valor inicial es \(a=100\).
- La base es \(b=0{,}5\).
- Como \(0<0{,}5<1\), representa decrecimiento exponencial.
Nota sobre la base \(e\)
En muchos modelos científicos, la función exponencial también puede aparecer escrita como:
\[ f(x)=a\cdot e^{kx} \]
donde \(e\) es el número de Euler, aproximadamente \(2{,}718\). Esta forma es equivalente a usar una base positiva \(b\), pero por ahora nos centraremos en la forma \(a\cdot b^x\).
Ejercicio 1
Identifica si las siguientes funciones representan crecimiento o decrecimiento, y señala su valor inicial \(a\):
- \(f(x)=7\cdot 3^x\)
- \(g(x)=200\cdot (0{,}6)^x\)
- \(h(x)=0{,}2\cdot 5^x\)
- \(y=50\cdot \left(\frac{1}{4}\right)^x\)
- \(y=0{,}1\cdot (1{,}1)^x\)
- \(f(x)=7\cdot 3^x\): \(a=7\) y \(b=3\). Como \(3>1\), es crecimiento exponencial.
- \(g(x)=200\cdot (0{,}6)^x\): \(a=200\) y \(b=0{,}6\). Como \(0<0{,}6<1\), es decrecimiento exponencial.
- \(h(x)=0{,}2\cdot 5^x\): \(a=0{,}2\) y \(b=5\). Como \(5>1\), es crecimiento exponencial.
- \(y=50\cdot \left(\frac{1}{4}\right)^x\): \(a=50\) y \(b=\frac{1}{4}\). Como \(0<\frac{1}{4}<1\), es decrecimiento exponencial.
- \(y=0{,}1\cdot (1{,}1)^x\): \(a=0{,}1\) y \(b=1{,}1\). Como \(1{,}1>1\), es crecimiento exponencial.
Ejercicio 2
Para la función \(f(x)=4\cdot 2^x\), calcula:
- \(f(0)\)
- \(f(1)\)
- \(f(3)\)
- \(f(-1)\)
- \(f(-2)\)
- \[ f(0)=4\cdot 2^0=4\cdot 1=4 \]
- \[ f(1)=4\cdot 2^1=4\cdot 2=8 \]
- \[ f(3)=4\cdot 2^3=4\cdot 8=32 \]
- \[ f(-1)=4\cdot 2^{-1}=4\cdot \frac{1}{2}=2 \]
- \[ f(-2)=4\cdot 2^{-2}=4\cdot \frac{1}{4}=1 \]
Los valores son \(4\), \(8\), \(32\), \(2\) y \(1\), respectivamente.
Ejercicio 3
¿Cuál es el dominio y el recorrido de la función \(f(x)=2\cdot (0{,}8)^x\)?
La función es exponencial con \(a=2>0\) y \(0<0{,}8<1\).
Su dominio es:
\[ \mathbb{R} \]
Como \(a>0\), todos los valores de la función son positivos. Por lo tanto, su recorrido es:
\[ (0,\infty) \]
Dominio: \(\mathbb{R}\). Recorrido: \((0,\infty)\).
Ejercicio 4
La gráfica de una función exponencial pasa por el punto \((0,3)\) y tiene una base de \(4\). ¿Cuál es la ecuación de la función?
La forma general es:
\[ f(x)=a\cdot b^x \]
Sabemos que la base es \(b=4\).
Además, el punto \((0,3)\) indica el valor de la función cuando \(x=0\):
\[ f(0)=3 \]
Como \(f(0)=a\cdot b^0=a\), entonces:
\[ a=3 \]
La función es \(f(x)=3\cdot 4^x\).
Ejercicio 5
Empareja cada función con su descripción:
- \(f(x)=200\cdot (1{,}02)^x\)
- \(g(x)=10\cdot (0{,}7)^x\)
- \(h(x)=0{,}5\cdot 6^x\)
Descripciones:
- Crecimiento exponencial muy rápido con valor inicial pequeño.
- Crecimiento exponencial muy lento con valor inicial grande.
- Decrecimiento exponencial con valor inicial intermedio.
- I → b: \(f(x)=200\cdot (1{,}02)^x\) tiene valor inicial grande y base cercana a \(1\), por lo que crece lentamente.
- II → c: \(g(x)=10\cdot (0{,}7)^x\) tiene base entre \(0\) y \(1\), por lo que representa decrecimiento.
- III → a: \(h(x)=0{,}5\cdot 6^x\) tiene valor inicial pequeño y base grande, por lo que crece rápidamente.
La correspondencia correcta es I → b, II → c, III → a.
Ejercicio 6
¿Cuál de las siguientes funciones crece más rápido para valores grandes de \(x\)?
- \(f(x)=100\cdot 2^x\)
- \(g(x)=10\cdot 3^x\)
- \(h(x)=1\cdot 4^x\)
Para valores grandes de \(x\), la base de la potencia tiene un rol principal en la rapidez de crecimiento.
Las bases son:
- \(2\) para \(f(x)\),
- \(3\) para \(g(x)\),
- \(4\) para \(h(x)\).
La mayor base es \(4\), por lo que \(h(x)=1\cdot 4^x\) crecerá más rápido a largo plazo.
La respuesta correcta es \(h(x)=1\cdot 4^x\).
Ejercicio 7
Completa la siguiente tabla:
| Función | Crecimiento/Decrecimiento | Valor inicial |
|---|---|---|
| \(f(x)=200\cdot (1{,}02)^x\) | ? | ? |
| \(g(x)=10\cdot (0{,}7)^x\) | ? | ? |
| \(h(x)=0{,}5\cdot 6^x\) | ? | ? |
| Función | Crecimiento/Decrecimiento | Valor inicial |
|---|---|---|
| \(f(x)=200\cdot (1{,}02)^x\) | Crecimiento | \(200\) |
| \(g(x)=10\cdot (0{,}7)^x\) | Decrecimiento | \(10\) |
| \(h(x)=0{,}5\cdot 6^x\) | Crecimiento | \(0{,}5\) |
Ejercicio 8
Para la función \(f(x)=100\cdot (0{,}9)^x\), ¿qué porcentaje de disminución representa la base \(0{,}9\) en cada paso?
Una base de \(0{,}9\) significa que se conserva el \(90\%\) del valor en cada paso.
Entonces, la pérdida porcentual es:
\[ 100\%-90\%=10\% \]
La función representa una disminución del \(10\%\) en cada paso.
Ejercicio 9
Una población de \(50\) bacterias se triplica cada hora. ¿Cuál es la función exponencial que modela esta situación?
- \(f(x)=50\cdot 2^x\)
- \(f(x)=50\cdot 3^x\)
- \(f(x)=3\cdot 50^x\)
- \(f(x)=150^x\)
- \(f(x)=50\cdot x^3\)
El valor inicial es \(50\), por lo que \(a=50\).
Como la población se triplica cada hora, el factor de cambio es \(3\), por lo que \(b=3\).
Entonces:
\[ f(x)=50\cdot 3^x \]
Alternativa correcta: b.
Ejercicio 10
Un automóvil se deprecia, es decir, pierde valor, un \(20\%\) anual. Si su valor inicial es de \(\$20000\), ¿qué función modela esta situación?
- \(f(x)=20000\cdot (1{,}2)^x\)
- \(f(x)=20000\cdot (0{,}8)^x\)
- \(f(x)=20000\cdot (0{,}2)^x\)
- \(f(x)=20000-0{,}2x\)
El valor inicial es \(20000\), por lo que \(a=20000\).
Si pierde el \(20\%\) anual, conserva el \(80\%\) de su valor:
\[ 100\%-20\%=80\%=0{,}8 \]
Por lo tanto, la base es \(0{,}8\).
Alternativa correcta: b, \(f(x)=20000\cdot (0{,}8)^x\).
Ejercicio 11
¿Cuál de las siguientes descripciones corresponde a una gráfica de una función exponencial decreciente?
- Una curva que sube rápidamente de izquierda a derecha.
- Una curva que baja rápidamente de izquierda a derecha.
- Una línea recta que sube de izquierda a derecha.
- Una línea recta que baja de izquierda a derecha.
Una función exponencial decreciente tiene base entre \(0\) y \(1\). Su gráfica es una curva que disminuye a medida que \(x\) aumenta.
Alternativa correcta: b.
Ejercicio 12
¿Cuál es la asíntota horizontal de la función \(f(x)=2\cdot (0{,}5)^x+3\)?
- \(y=0\)
- \(y=2\)
- \(y=3\)
- \(y=0{,}5\)
La función base \(2\cdot (0{,}5)^x\) tiene asíntota horizontal \(y=0\).
Al sumar \(3\), toda la gráfica se desplaza \(3\) unidades hacia arriba. Por lo tanto, la asíntota también se desplaza:
\[ y=3 \]
Alternativa correcta: c.
Ejercicio 13
¿En qué punto la gráfica de \(f(x)=5\cdot 2^x\) intersecta el eje \(Y\)?
- \((0,0)\)
- \((5,0)\)
- \((0,5)\)
- \((2,0)\)
La intersección con el eje \(Y\) ocurre cuando \(x=0\).
\[ f(0)=5\cdot 2^0 \]
\[ f(0)=5\cdot 1=5 \]
Por lo tanto, el punto de intersección es \((0,5)\).
Alternativa correcta: c.
Ejercicio 14
¿Cuál afirmación sobre \(f(x)=a\cdot b^x\), con \(a>0\), \(b>0\) y \(b\neq 1\), es falsa?
- El dominio es todos los reales.
- El recorrido es todos los reales positivos.
- La gráfica siempre intersecta el eje \(Y\).
- La gráfica siempre tiene una asíntota horizontal.
- La gráfica siempre intersecta el eje \(X\).
Para \(a>0\), una función exponencial básica siempre toma valores positivos. Por eso, su gráfica se acerca al eje \(X\), pero no lo intersecta.
Es decir, tiene asíntota horizontal \(y=0\), pero no corta el eje \(X\).
Alternativa falsa: e.
Ejercicio 15
¿Qué tipo de función se ajusta mejor a los datos de la tabla?
| Tiempo (s) | Distancia (m) |
|---|---|
| \(0\) | \(5\) |
| \(1\) | \(7\) |
| \(2\) | \(9\) |
| \(3\) | \(11\) |
- Lineal
- Cuadrática
- Exponencial
Observamos los cambios en la distancia:
\[ 7-5=2,\qquad 9-7=2,\qquad 11-9=2 \]
La distancia aumenta siempre en la misma cantidad: \(2\) metros por segundo.
Alternativa correcta: a. El modelo es lineal.
Ejercicio adicional
Compara los modelos de depreciación de dos máquinas:
\[ f(t)=10000\cdot (0{,}9)^t \]
\[ g(t)=8000\cdot (0{,}95)^t \]
- ¿Cuál era el valor inicial de cada máquina?
- ¿Cuál máquina se deprecia más rápidamente? Explica.
- ¿Qué porcentaje de su valor pierde cada máquina al año?
- En \(f(t)=10000\cdot (0{,}9)^t\), el valor inicial es \(10000\). En \(g(t)=8000\cdot (0{,}95)^t\), el valor inicial es \(8000\).
- La máquina modelada por \(f(t)\) se deprecia más rápidamente, porque su base \(0{,}9\) es menor que \(0{,}95\). Esto significa que conserva una menor proporción de su valor cada año.
- Para \(f(t)\), la base \(0{,}9\) indica que conserva el \(90\%\), por lo tanto pierde el \(10\%\) anual. Para \(g(t)\), la base \(0{,}95\) indica que conserva el \(95\%\), por lo tanto pierde el \(5\%\) anual.
3. Modelado con Funciones Exponenciales (Parte 1)
Modelado con funciones exponenciales (Parte 1)
¿Qué es modelar?
Modelar matemáticamente
Modelar matemáticamente una situación significa encontrar una función que represente su comportamiento. En esta página, trabajaremos con modelos exponenciales.
Un modelo permite entender mejor una situación, hacer predicciones y tomar decisiones a partir de la información disponible.
Pasos para modelar con funciones exponenciales
- Leer y comprender el problema.
- Identificar las variables:
- Variable independiente \(x\): generalmente el tiempo.
- Variable dependiente \(f(x)\) o \(y\): la cantidad que crece o decrece.
- Identificar los parámetros en la fórmula: \[ f(x)=a\cdot b^x \]
- Escribir la ecuación de la función exponencial.
- Usar el modelo para hacer predicciones, evaluando la función.
- Interpretar los resultados en el contexto del problema.
Valor inicial y base
El modelo exponencial \[ f(x)=a\cdot b^x \] depende de dos elementos principales:
- \(a\), valor inicial: corresponde al valor de la cantidad cuando \(x=0\).
- \(b\), base o factor de cambio: indica cómo cambia la cantidad en cada período.
- Si la cantidad crece un \(r\%\), entonces: \[ b=1+\frac{r}{100} \] Por ejemplo, un crecimiento del \(5\%\) corresponde a \(b=1{,}05\).
- Si la cantidad decrece un \(r\%\), entonces: \[ b=1-\frac{r}{100} \] Por ejemplo, una depreciación del \(15\%\) corresponde a \(b=0{,}85\).
Ejemplo resuelto paso a paso
Ejemplo: crecimiento de bacterias
Una población de bacterias se duplica cada \(3\) horas. Inicialmente hay \(500\) bacterias.
1. Variables:
- \(x\): tiempo, medido en horas.
- \(f(x)\): número de bacterias.
2. Parámetros:
- \(a=500\), porque inicialmente hay \(500\) bacterias.
- \(b=2\), porque la población se duplica.
- Como la duplicación ocurre cada \(3\) horas, el número de períodos es \(\frac{x}{3}\).
3. Ecuación:
\[ f(x)=500\cdot 2^{\frac{x}{3}} \]
4. Predicción: ¿cuántas bacterias habrá después de \(12\) horas?
\[ f(12)=500\cdot 2^{\frac{12}{3}} \]
\[ f(12)=500\cdot 2^4 \]
\[ f(12)=500\cdot 16=8000 \]
Después de \(12\) horas habrá \(8000\) bacterias.
Cuidado con el exponente
Un error común es no ajustar el exponente al período de tiempo indicado.
Si el crecimiento o decrecimiento ocurre cada \(k\) unidades de tiempo, el exponente debe ser: \[ \frac{x}{k} \]
En el ejemplo de las bacterias, como se duplican cada \(3\) horas, el exponente es \(\frac{x}{3}\).
Ejercicios
Ejercicio 1
Una inversión de $2000 crece a una tasa de interés compuesto del \(4\%\) anual. Encuentra la función exponencial que modela el valor de la inversión.
El valor inicial es:
\[ a=2000 \]
Como crece un \(4\%\) anual, la base es:
\[ b=1+\frac{4}{100}=1{,}04 \]
Entonces, la función es:
\[ f(x)=2000\cdot (1{,}04)^x \]
La función es \(f(x)=2000\cdot (1{,}04)^x\), donde \(x\) es el tiempo en años.
Ejercicio 2
Un auto nuevo que vale $25000 se deprecia a una tasa del \(15\%\) anual. Encuentra la función que modela el valor del auto después de \(x\) años.
El valor inicial es:
\[ a=25000 \]
Si se deprecia un \(15\%\), conserva el \(85\%\) de su valor:
\[ 100\%-15\%=85\%=0{,}85 \]
Por lo tanto, la base es \(b=0{,}85\).
\[ f(x)=25000\cdot (0{,}85)^x \]
La función es \(f(x)=25000\cdot (0{,}85)^x\).
Ejercicio 3
Una población de aves tiene \(500\) individuos inicialmente y crece un \(8\%\) cada año. Encuentra la función que modela la población después de \(x\) años.
El valor inicial es:
\[ a=500 \]
Como crece un \(8\%\), la base es:
\[ b=1+\frac{8}{100}=1{,}08 \]
Entonces:
\[ f(x)=500\cdot (1{,}08)^x \]
La función es \(f(x)=500\cdot (1{,}08)^x\).
Ejercicio 4
Una sustancia radiactiva se reduce a la mitad cada \(100\) años. Si inicialmente hay \(80\) gramos, encuentra la función que modela la cantidad restante después de \(x\) años.
El valor inicial es:
\[ a=80 \]
Como la sustancia se reduce a la mitad, el factor de cambio es:
\[ b=\frac{1}{2}=0{,}5 \]
Pero este cambio ocurre cada \(100\) años, por lo que el número de períodos es \(\frac{x}{100}\).
Entonces:
\[ f(x)=80\cdot (0{,}5)^{\frac{x}{100}} \]
La función es \(f(x)=80\cdot (0{,}5)^{\frac{x}{100}}\).
Ejercicio 5
Una población de conejos se duplica cada mes. Inicialmente hay \(20\) conejos. ¿Cuántos conejos habrá después de \(6\) meses?
El valor inicial es \(20\) y la base es \(2\), porque la población se duplica.
El modelo es:
\[ f(x)=20\cdot 2^x \]
Evaluamos en \(x=6\):
\[ f(6)=20\cdot 2^6 \]
\[ f(6)=20\cdot 64=1280 \]
Después de \(6\) meses habrá \(1280\) conejos.
Ejercicio 6
Un medicamento se elimina del cuerpo a una tasa del \(25\%\) por hora. Si la dosis inicial es de \(500\) mg, ¿cuántos mg quedarán después de \(4\) horas?
Si se elimina el \(25\%\), queda el \(75\%\) en cada hora:
\[ b=0{,}75 \]
El modelo es:
\[ f(x)=500\cdot (0{,}75)^x \]
Evaluamos en \(x=4\):
\[ f(4)=500\cdot (0{,}75)^4 \]
\[ (0{,}75)^4\approx 0{,}3164 \]
\[ f(4)\approx 500\cdot 0{,}3164=158{,}2 \]
Después de \(4\) horas quedarán aproximadamente \(158{,}2\) mg.
Ejercicio 7
El valor de una máquina se deprecia exponencialmente. Su valor inicial es de $12000 y después de \(3\) años es de $9000. ¿Cuál es la base \(b\) de la función exponencial que modela esta situación?
Usamos el modelo:
\[ f(x)=12000\cdot b^x \]
Sabemos que después de \(3\) años el valor es \(9000\):
\[ 9000=12000\cdot b^3 \]
Dividimos por \(12000\):
\[ \frac{9000}{12000}=b^3 \]
\[ 0{,}75=b^3 \]
Aplicamos raíz cúbica:
\[ b=\sqrt[3]{0{,}75} \]
\[ b\approx 0{,}9086 \]
La base aproximada es \(b\approx 0{,}9086\).
Problemas
Problema 1
Una ciudad tiene una población inicial de \(100000\) habitantes y crece a una tasa del \(3\%\) anual.
- Encuentra la función exponencial que modela la población después de \(x\) años.
- ¿Cuál será la población aproximada después de \(5\) años?
- ¿Y después de \(10\) años?
-
El valor inicial es \(100000\) y la base es:
\[ b=1+\frac{3}{100}=1{,}03 \]
Por lo tanto:
\[ f(x)=100000\cdot (1{,}03)^x \]
-
Después de \(5\) años:
\[ f(5)=100000\cdot (1{,}03)^5 \]
\[ f(5)\approx 115927 \]
-
Después de \(10\) años:
\[ f(10)=100000\cdot (1{,}03)^{10} \]
\[ f(10)\approx 134392 \]
La población aproximada será de \(115927\) habitantes en \(5\) años y \(134392\) habitantes en \(10\) años.
Problema 2
Se invierten $5000 en una cuenta que paga un interés compuesto del \(6\%\) anual. Si no se hacen retiros ni depósitos adicionales, ¿cuánto dinero habrá en la cuenta después de \(7\) años?
El valor inicial es \(5000\) y la base es:
\[ b=1+\frac{6}{100}=1{,}06 \]
El modelo es:
\[ f(x)=5000\cdot (1{,}06)^x \]
Después de \(7\) años:
\[ f(7)=5000\cdot (1{,}06)^7 \]
\[ f(7)\approx 7518{,}15 \]
Después de \(7\) años habrá aproximadamente $7518,15.
Problema 3
La cantidad de un fármaco en el torrente sanguíneo disminuye exponencialmente. Se administra una dosis de \(400\) mg. Después de \(6\) horas, quedan \(200\) mg.
- Encuentra la función exponencial que modela la cantidad de fármaco restante en función del tiempo, en horas.
- ¿Cuántos mg quedarán después de \(12\) horas?
- ¿Y después de \(18\) horas?
-
La cantidad se reduce a la mitad cada \(6\) horas. Por eso, el modelo es:
\[ f(x)=400\cdot (0{,}5)^{\frac{x}{6}} \]
-
Después de \(12\) horas:
\[ f(12)=400\cdot (0{,}5)^{\frac{12}{6}} \]
\[ f(12)=400\cdot (0{,}5)^2=400\cdot 0{,}25=100 \]
Quedarán \(100\) mg.
-
Después de \(18\) horas:
\[ f(18)=400\cdot (0{,}5)^{\frac{18}{6}} \]
\[ f(18)=400\cdot (0{,}5)^3=400\cdot 0{,}125=50 \]
Quedarán \(50\) mg.
El modelo es \(f(x)=400\cdot (0{,}5)^{\frac{x}{6}}\); después de \(12\) horas quedarán \(100\) mg y después de \(18\) horas quedarán \(50\) mg.
Problema 4
Un bosque tenía \(10000\) árboles en el año \(2000\). Debido a la tala ilegal, la cantidad de árboles disminuye un \(4\%\) cada año.
- Encuentra la función exponencial que modela la cantidad de árboles en función del tiempo, en años desde el año \(2000\).
- ¿Cuántos árboles quedarán, aproximadamente, en el año \(2025\)?
-
El valor inicial es \(10000\). Si disminuye un \(4\%\), queda el \(96\%\):
\[ b=0{,}96 \]
Entonces:
\[ f(x)=10000\cdot (0{,}96)^x \]
-
El año \(2025\) corresponde a:
\[ x=2025-2000=25 \]
Evaluamos:
\[ f(25)=10000\cdot (0{,}96)^{25} \]
\[ f(25)\approx 3604 \]
En el año \(2025\) quedarán aproximadamente \(3604\) árboles.
Problema 5
Una población de aves migratorias disminuye a un ritmo exponencial. En el año \(2010\), había \(8000\) aves. En el año \(2020\), había \(5000\) aves.
- Encuentra la función exponencial que modela la población de aves en función del tiempo, en años desde el año \(2010\).
- ¿Cuál es la tasa de decrecimiento anual de la población, en porcentaje?
- ¿Cuál será la población aproximada en el año \(2030\)?
-
La forma general es:
\[ f(x)=a\cdot b^x \]
Como en \(2010\) había \(8000\) aves, se tiene \(a=8000\).
El año \(2020\) corresponde a \(x=10\), entonces:
\[ 5000=8000\cdot b^{10} \]
Dividimos por \(8000\):
\[ \frac{5000}{8000}=b^{10} \]
\[ 0{,}625=b^{10} \]
Aplicamos raíz décima:
\[ b=\sqrt[10]{0{,}625} \]
\[ b\approx 0{,}954 \]
Por lo tanto, un modelo aproximado es:
\[ f(x)=8000\cdot (0{,}954)^x \]
-
La base \(0{,}954\) indica que la población conserva aproximadamente el \(95{,}4\%\) de su tamaño cada año.
Entonces, la tasa de decrecimiento anual es:
\[ 100\%-95{,}4\%=4{,}6\% \]
-
El año \(2030\) corresponde a \(x=20\). Usando el modelo exacto:
\[ f(20)=8000\cdot \left(\sqrt[10]{0{,}625}\right)^{20} \]
\[ f(20)=8000\cdot (0{,}625)^2 \]
\[ f(20)=8000\cdot 0{,}390625=3125 \]
La función aproximada es \(f(x)=8000\cdot (0{,}954)^x\), la tasa de decrecimiento anual es aproximadamente \(4{,}6\%\), y en \(2030\) habrá aproximadamente \(3125\) aves.
4. Modelado con Funciones Exponenciales (Parte 2)
Modelado con funciones exponenciales (Parte 2)
Repaso: pasos para modelar
Recordemos los pasos para modelar con funciones exponenciales:
- Leer y comprender el problema.
- Identificar las variables: \(x\), variable independiente usualmente asociada al tiempo, y \(f(x)\), variable dependiente.
- Identificar los parámetros en \[ f(x)=a\cdot b^x \] donde \(a\) es el valor inicial y \(b\) es la base o factor de cambio.
- Escribir la ecuación que modela la situación.
- Usar el modelo para hacer predicciones.
- Interpretar los resultados en el contexto original.
Problemas de modelado (nivel intermedio y avanzado)
Problema 1: crecimiento poblacional
Una ciudad tiene una población inicial de \(50000\) habitantes. Se estima que la población crece un \(2{,}5\%\) cada año.
- Encuentra la función exponencial que modela la población de la ciudad después de \(x\) años.
- ¿Cuál será la población aproximada después de \(10\) años?
- ¿Después de cuántos años, aproximadamente, la población se duplicará?
-
El valor inicial es:
\[ a=50000 \]
Como la población crece un \(2{,}5\%\) anual, la base es:
\[ b=1+\frac{2{,}5}{100}=1{,}025 \]
Entonces, el modelo es:
\[ f(x)=50000\cdot (1{,}025)^x \]
-
Evaluamos el modelo en \(x=10\):
\[ f(10)=50000\cdot (1{,}025)^{10} \]
\[ f(10)\approx 64004 \]
Después de \(10\) años, la población será aproximadamente de \(64004\) habitantes.
-
Para que la población se duplique, debe llegar a \(100000\):
\[ 100000=50000\cdot (1{,}025)^x \]
Dividimos por \(50000\):
\[ 2=(1{,}025)^x \]
Aplicando logaritmos:
\[ x=\frac{\log(2)}{\log(1{,}025)} \]
\[ x\approx 28{,}07 \]
La población se duplicará aproximadamente después de \(28\) años.
En el gráfico, la población está expresada en miles de habitantes:
El modelo es \(f(x)=50000\cdot (1{,}025)^x\). Después de \(10\) años habrá aproximadamente \(64004\) habitantes, y la población se duplicará en aproximadamente \(28\) años.
Interés compuesto y capitalización
En el problema siguiente aparece la capitalización. Esto significa que el interés se calcula y se suma al capital varias veces al año.
- Se divide la tasa de interés anual \(r\) entre el número de períodos de capitalización \(n\) en un año.
- Se multiplica el exponente por ese mismo número de períodos \(n\).
La fórmula general es:
\[ A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt} \]
Problema 2: inversión con interés compuesto
Se invierten $10000 en una cuenta que paga un interés compuesto del \(6\%\) anual, capitalizado trimestralmente.
- ¿Cuál es la tasa de interés trimestral?
- ¿Cuántos períodos de capitalización hay en un año?
- Encuentra la función que modela el valor de la inversión después de \(x\) años.
- ¿Cuál será el valor de la inversión después de \(5\) años?
-
Como el interés anual es \(6\%\) y se capitaliza trimestralmente, se divide entre \(4\):
\[ \frac{6\%}{4}=1{,}5\% \]
En forma decimal:
\[ 1{,}5\%=0{,}015 \]
-
Hay \(4\) trimestres en un año, por lo tanto hay \(4\) períodos de capitalización al año.
-
El valor inicial es \(10000\). La base por trimestre es:
\[ 1+0{,}015=1{,}015 \]
Como hay \(4x\) trimestres en \(x\) años, la función es:
\[ f(x)=10000\cdot (1{,}015)^{4x} \]
-
Evaluamos en \(x=5\):
\[ f(5)=10000\cdot (1{,}015)^{4\cdot 5} \]
\[ f(5)=10000\cdot (1{,}015)^{20} \]
\[ f(5)\approx 13468{,}55 \]
Después de \(5\) años, el valor de la inversión será aproximadamente $13468,55.
Estrategia clave: cómo encontrar la base \(b\)
En algunos problemas no se entrega directamente la tasa de crecimiento o decrecimiento, pero sí se entregan dos datos: el valor inicial y otro valor después de cierto tiempo.
- Plantea la ecuación \(f(x)=a\cdot b^x\).
- Sustituye el valor inicial \(a\) y el otro dato conocido.
- Despeja \(b\), dividiendo y luego aplicando una raíz.
Problema 3: decaimiento radiactivo
Un científico estudia una muestra de \(200\) gramos de una sustancia radiactiva. Después de \(2\) días, la masa se ha reducido a \(150\) gramos.
- Encuentra la función que modela la masa en función del tiempo, en días.
- ¿Cuál es la vida media de la sustancia?
- ¿Cuánta sustancia quedará después de \(10\) días?
-
La forma general es:
\[ f(x)=a\cdot b^x \]
El valor inicial es \(a=200\). Además, sabemos que \(f(2)=150\):
\[ 150=200\cdot b^2 \]
Dividimos por \(200\):
\[ 0{,}75=b^2 \]
Aplicamos raíz cuadrada:
\[ b=\sqrt{0{,}75} \]
\[ b\approx 0{,}866 \]
Entonces, un modelo aproximado es:
\[ f(x)=200\cdot (0{,}866)^x \]
También se puede escribir de forma exacta como:
\[ f(x)=200\cdot (0{,}75)^{\frac{x}{2}} \]
-
La vida media es el tiempo necesario para que la masa se reduzca a \(100\) gramos:
\[ 100=200\cdot (0{,}75)^{\frac{x}{2}} \]
Dividimos por \(200\):
\[ 0{,}5=(0{,}75)^{\frac{x}{2}} \]
Aplicando logaritmos:
\[ \frac{x}{2}=\frac{\log(0{,}5)}{\log(0{,}75)} \]
\[ x=2\cdot \frac{\log(0{,}5)}{\log(0{,}75)} \]
\[ x\approx 4{,}82 \]
La vida media es aproximadamente \(4{,}82\) días.
-
Evaluamos en \(x=10\):
\[ f(10)=200\cdot (0{,}75)^{\frac{10}{2}} \]
\[ f(10)=200\cdot (0{,}75)^5 \]
\[ f(10)\approx 47{,}46 \]
Después de \(10\) días quedarán aproximadamente \(47{,}46\) gramos.
Problema 4: crecimiento de una red social
El número de usuarios de una red social crece exponencialmente. El 1 de enero había \(10000\) usuarios. El 1 de marzo, \(60\) días después, había \(40000\) usuarios.
- Encuentra la función que modela el número de usuarios en función del tiempo, en días.
- ¿Cuál es la tasa de crecimiento diaria, en porcentaje?
- ¿Cuántos usuarios se esperan para el 1 de junio, \(151\) días después del 1 de enero?
-
La forma general es:
\[ f(x)=a\cdot b^x \]
El valor inicial es \(a=10000\). Además, sabemos que \(f(60)=40000\):
\[ 40000=10000\cdot b^{60} \]
Dividimos por \(10000\):
\[ 4=b^{60} \]
Aplicamos raíz de índice \(60\):
\[ b=\sqrt[60]{4} \]
\[ b\approx 1{,}02337 \]
Entonces, un modelo aproximado es:
\[ f(x)=10000\cdot (1{,}02337)^x \]
También se puede escribir de forma exacta como:
\[ f(x)=10000\cdot 4^{\frac{x}{60}} \]
-
La base \(1{,}02337\) significa que cada día se multiplica por aproximadamente \(1{,}02337\).
Por lo tanto, el crecimiento diario es:
\[ 1{,}02337-1=0{,}02337 \]
\[ 0{,}02337=2{,}337\% \]
La tasa diaria es aproximadamente \(2{,}34\%\).
-
Usamos el modelo exacto en \(x=151\):
\[ f(151)=10000\cdot 4^{\frac{151}{60}} \]
\[ f(151)\approx 327480 \]
Para el 1 de junio se esperan aproximadamente \(327480\) usuarios.
Problema 5: propagación de un rumor
Un rumor se propaga exponencialmente en una escuela. Al principio, solo \(5\) personas lo conocen. Después de \(3\) horas, \(80\) personas lo conocen. Si la escuela tiene \(500\) estudiantes, ¿cuánto tiempo aproximadamente tardará el rumor en llegar a toda la escuela?
La forma general del modelo es:
\[ f(x)=a\cdot b^x \]
El valor inicial es \(a=5\). Además, sabemos que \(f(3)=80\):
\[ 80=5\cdot b^3 \]
Dividimos por \(5\):
\[ 16=b^3 \]
Aplicamos raíz cúbica:
\[ b=\sqrt[3]{16} \]
\[ b\approx 2{,}52 \]
El modelo aproximado es:
\[ f(x)=5\cdot (2{,}52)^x \]
Buscamos el tiempo en que \(f(x)=500\):
\[ 500=5\cdot (2{,}52)^x \]
Dividimos por \(5\):
\[ 100=(2{,}52)^x \]
Aplicamos logaritmos:
\[ x=\frac{\log(100)}{\log(2{,}52)} \]
\[ x\approx 5{,}0 \]
El rumor llegará aproximadamente a toda la escuela después de \(5\) horas, según este modelo.
5. Ejercicios de Selección Múltiple - Función Exponencial
Ejercicios de selección múltiple - Función exponencial
Instrucciones
Elige la alternativa correcta. Haz clic en "Mostrar solución" para ver la respuesta y la explicación.
Estrategia para resolver
Para cada pregunta, identifica primero el concepto clave que se está evaluando:
- Crecimiento vs. decrecimiento: observa la base \(b\). Si \(b>1\), es crecimiento. Si \(0<b<1\), es decrecimiento.
- Parámetros clave: recuerda la forma \[ f(x)=a\cdot b^x \] donde \(a\) es el valor inicial y \(b\) es el factor de cambio.
- Resolver ecuaciones: intenta igualar las bases. Si \(b^P=b^Q\), entonces se pueden igualar los exponentes: \(P=Q\).
Ejercicio 1
¿Cuál de las siguientes funciones representa un crecimiento exponencial?
- \(f(x)=100-2x\)
- \(f(x)=5\cdot (0{,}8)^x\)
- \(f(x)=2\cdot 3^x\)
- \(f(x)=x^2+1\)
- \(f(x)=\log(x)\)
Una función exponencial de la forma \(f(x)=a\cdot b^x\) representa crecimiento cuando la base cumple \(b>1\).
En \(f(x)=2\cdot 3^x\), la base es \(3\), y como \(3>1\), representa crecimiento exponencial.
Alternativa correcta: c.
Ejercicio 2
¿Cuál de las siguientes funciones representa un decrecimiento exponencial?
- \(f(x)=5x+10\)
- \(f(x)=100\cdot 2^x\)
- \(f(x)=0{,}5\cdot 4^x\)
- \(f(x)=50\cdot (0{,}75)^x\)
- \(f(x)=x^3\)
Una función exponencial representa decrecimiento cuando su base \(b\) cumple:
\[ 0<b<1 \]
En \(f(x)=50\cdot (0{,}75)^x\), la base es \(0{,}75\), que está entre \(0\) y \(1\).
Alternativa correcta: d.
Ejercicio 3
¿Cuál es el valor inicial de la función \(f(x)=10\cdot (1{,}5)^x\)?
- \(10\)
- \(1{,}5\)
- \(x\)
- \(11{,}5\)
- \(15\)
En la forma general:
\[ f(x)=a\cdot b^x \]
el valor inicial es \(a\), ya que:
\[ f(0)=a\cdot b^0=a\cdot 1=a \]
En \(f(x)=10\cdot (1{,}5)^x\), se tiene \(a=10\).
Alternativa correcta: a.
Ejercicio 4
¿Cuál es la base de la función exponencial \(g(x)=200\cdot (0{,}8)^x\)?
- \(200\)
- \(0{,}8\)
- \(x\)
- \(0\)
- \(200{,}8\)
En la forma:
\[ f(x)=a\cdot b^x \]
\(b\) es la base. En \(g(x)=200\cdot (0{,}8)^x\), la base es \(0{,}8\).
Alternativa correcta: b.
Ejercicio 5
Para la función \(f(x)=3\cdot 4^x\), calcula \(f(2)\).
- \(12\)
- \(36\)
- \(48\)
- \(144\)
- \(7\)
Reemplazamos \(x=2\) en la función:
\[ f(2)=3\cdot 4^2 \]
\[ f(2)=3\cdot 16=48 \]
Alternativa correcta: c.
Ejercicio 6
Para la función \(g(x)=50\cdot (0{,}5)^x\), calcula \(g(3)\).
- \(25\)
- \(12{,}5\)
- \(6{,}25\)
- \(250\)
- \(75\)
Reemplazamos \(x=3\):
\[ g(3)=50\cdot (0{,}5)^3 \]
\[ (0{,}5)^3=0{,}125 \]
\[ g(3)=50\cdot 0{,}125=6{,}25 \]
Alternativa correcta: c.
Ejercicio 7
¿Cuál es la asíntota horizontal de la función \(f(x)=5\cdot 2^x\)?
- \(x=0\)
- \(y=5\)
- \(y=2\)
- \(y=0\)
- \(x=5\)
Una función exponencial básica de la forma \(f(x)=a\cdot b^x\), con \(a>0\), tiene asíntota horizontal en el eje \(X\).
El eje \(X\) corresponde a:
\[ y=0 \]
Alternativa correcta: d.
Ejercicio 8
¿En qué punto la gráfica de \(f(x)=8\cdot 3^x\) intersecta el eje \(Y\)?
- \((8,0)\)
- \((0,8)\)
- \((3,0)\)
- \((0,3)\)
- \((0,0)\)
La intersección con el eje \(Y\) ocurre cuando \(x=0\).
\[ f(0)=8\cdot 3^0 \]
\[ f(0)=8\cdot 1=8 \]
Por lo tanto, el punto de intersección es \((0,8)\).
Alternativa correcta: b.
Ejercicio 9
Una población de bacterias se duplica cada hora. Si inicialmente hay \(1000\) bacterias, ¿cuál es la función que modela esta situación?
- \(P(t)=1000\cdot t^2\)
- \(P(t)=1000+2t\)
- \(P(t)=1000\cdot 2^t\)
- \(P(t)=2\cdot 1000^t\)
- \(P(t)=1000+2^t\)
El valor inicial es \(1000\), por lo tanto \(a=1000\).
Como la población se duplica cada hora, la base es \(b=2\).
Entonces:
\[ P(t)=1000\cdot 2^t \]
Alternativa correcta: c.
Ejercicio 10
Una sustancia radiactiva se reduce a la mitad cada \(50\) años. Si inicialmente hay \(200\) gramos, ¿cuál es la función que modela la cantidad restante después de \(t\) años?
- \(f(t)=200\cdot (0{,}5)^t\)
- \(f(t)=200\cdot 2^t\)
- \(f(t)=200\cdot (0{,}5)^{\frac{t}{50}}\)
- \(f(t)=200-50t\)
- \(f(t)=200\cdot (0{,}5)^{50t}\)
El valor inicial es \(200\), por lo tanto \(a=200\).
Como se reduce a la mitad, el factor de cambio es:
\[ b=0{,}5 \]
Pero esta reducción ocurre cada \(50\) años, por lo que el número de períodos es \(\frac{t}{50}\).
\[ f(t)=200\cdot (0{,}5)^{\frac{t}{50}} \]
Alternativa correcta: c.
Ejercicio 11
Resuelve la ecuación exponencial \(3^{x+2}=27\).
- \(x=1\)
- \(x=2\)
- \(x=3\)
- \(x=5\)
- \(x=9\)
Escribimos \(27\) como potencia de base \(3\):
\[ 27=3^3 \]
Entonces:
\[ 3^{x+2}=3^3 \]
Igualamos exponentes:
\[ x+2=3 \]
\[ x=1 \]
Alternativa correcta: a.
Ejercicio 12
Resuelve \(2^{2x-1}=8\).
- \(x=1\)
- \(x=2\)
- \(x=3\)
- \(x=4\)
- \(x=0\)
Escribimos \(8\) como potencia de base \(2\):
\[ 8=2^3 \]
Entonces:
\[ 2^{2x-1}=2^3 \]
Igualamos exponentes:
\[ 2x-1=3 \]
\[ 2x=4 \]
\[ x=2 \]
Alternativa correcta: b.
Ejercicio 13
Resuelve \(5^{x^2}=25\).
- \(x=1\)
- \(x=2\)
- \(x=\pm\sqrt{2}\)
- \(x=-2\)
- No tiene solución.
Escribimos \(25\) como potencia de base \(5\):
\[ 25=5^2 \]
Entonces:
\[ 5^{x^2}=5^2 \]
Igualamos exponentes:
\[ x^2=2 \]
Por lo tanto:
\[ x=\pm\sqrt{2} \]
Alternativa correcta: c.
Ejercicio 14
¿Cuál de las siguientes descripciones corresponde mejor a la gráfica de la función \(f(x)=100\cdot (0{,}9)^x\)?
- Una curva creciente que pasa por \((0,100)\).
- Una curva decreciente que pasa por \((0,100)\).
- Una línea recta decreciente.
- Una curva creciente que pasa por \((0,0{,}9)\).
- Una curva decreciente que pasa por \((0,0{,}9)\).
Como la base es \(0{,}9\), y \(0<0{,}9<1\), la función es decreciente.
Además, la intersección con el eje \(Y\) ocurre cuando \(x=0\):
\[ f(0)=100\cdot (0{,}9)^0=100 \]
Por eso la curva pasa por el punto \((0,100)\).
Alternativa correcta: b.
Ejercicio 15
Si una población crece un \(5\%\) cada año, ¿cuál es el valor de \(b\) en la función exponencial \(P(t)=P_0\cdot b^t\)?
- \(0{,}05\)
- \(0{,}95\)
- \(1{,}05\)
- \(1{,}5\)
- \(5\)
Crecer un \(5\%\) significa que cada año se conserva el \(100\%\) y se agrega un \(5\%\).
\[ b=1+\frac{5}{100} \]
\[ b=1+0{,}05=1{,}05 \]
Alternativa correcta: c.
Ejercicio 16
¿Cuáles de las siguientes funciones no son funciones exponenciales?
- \(f(x)=2^x\)
- \(g(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^x\)
- \(h(x)=x^2\)
- \(y=5\cdot (1{,}1)^x\)
- \(y=1^x\)
En una función exponencial, la variable está en el exponente y la base debe ser positiva y distinta de \(1\).
- \(h(x)=x^2\) no es exponencial, porque la variable está en la base y no en el exponente. Es una función cuadrática.
- \(y=1^x\) no se considera exponencial, porque la base es \(1\). En ese caso, la función sería constante: \(y=1\).
Respuestas correctas: c y e.
Ejercicio 17
La función \(f(x)=100\cdot (1{,}03)^x\) modela el crecimiento de una inversión. ¿Qué representa el número \(1{,}03\)?
- El valor inicial de la inversión.
- El valor de la inversión después de \(1\) año.
- La tasa de crecimiento anual expresada como decimal.
- El factor por el cual se multiplica la inversión cada año.
- La cantidad de años que tarda la inversión en duplicarse.
En la forma \(f(x)=a\cdot b^x\), el número \(b\) es el factor de cambio.
En \(f(x)=100\cdot (1{,}03)^x\), se tiene \(b=1{,}03\), lo que significa que la inversión se multiplica por \(1{,}03\) cada año.
Esto equivale a un crecimiento del \(3\%\) anual.
Alternativa correcta: d.
Ejercicio 18
La función \(f(x)=500\cdot (0{,}95)^x\) modela la cantidad de un medicamento en el cuerpo. ¿Qué porcentaje del medicamento se elimina cada hora?
- \(95\%\)
- \(5\%\)
- \(9{,}5\%\)
- \(0{,}95\%\)
- \(50\%\)
La base \(0{,}95\) indica que queda el \(95\%\) del medicamento cada hora.
Por lo tanto, el porcentaje eliminado es:
\[ 100\%-95\%=5\% \]
Alternativa correcta: b.
Ejercicio 19
¿Cuál es el valor de \(x\) que satisface la ecuación \(2^{2x}=\frac{1}{8}\)?
- \(3\)
- \(-3\)
- \(\frac{3}{2}\)
- \(-\frac{3}{2}\)
- \(\frac{1}{3}\)
Escribimos \(\frac{1}{8}\) como potencia de base \(2\):
\[ \frac{1}{8}=\frac{1}{2^3}=2^{-3} \]
Entonces:
\[ 2^{2x}=2^{-3} \]
Igualamos exponentes:
\[ 2x=-3 \]
\[ x=-\frac{3}{2} \]
Alternativa correcta: d.
Ejercicio 20
Un cultivo de bacterias comienza con \(200\) bacterias y se duplica cada \(2\) horas. ¿Cuántas bacterias habrá después de \(7\) horas?
- \(800\)
- \(1600\)
- Aproximadamente \(2263\)
- Aproximadamente \(1131\)
- \(1400\)
Como el cultivo se duplica cada \(2\) horas, el modelo es:
\[ f(x)=200\cdot 2^{\frac{x}{2}} \]
Evaluamos en \(x=7\):
\[ f(7)=200\cdot 2^{\frac{7}{2}} \]
\[ f(7)=200\cdot 2^{3{,}5} \]
\[ 2^{3{,}5}\approx 11{,}3137 \]
\[ f(7)\approx 200\cdot 11{,}3137=2262{,}74 \]
Alternativa correcta: c. Habrá aproximadamente \(2263\) bacterias.
6. Preimagen en funciones exponenciales: de la función a la ecuación
Objetivos
- Interpretar \(f(x)=k\) como búsqueda de una preimagen en una función exponencial.
- Relacionar modelos exponenciales con ecuaciones exponenciales.
- Usar una representación cartesiana para estimar o verificar soluciones.
De la función a la ecuación
Una función exponencial puede modelar una cantidad que cambia multiplicándose por un mismo factor en cada intervalo.
Por ejemplo:
\[ f(t)=100\cdot 2^t \]
Si preguntamos cuándo la cantidad llega a \(800\), no estamos construyendo una función nueva: estamos buscando una entrada \(t\) que produzca esa salida.
\[ f(t)=800 \]
Entonces aparece una ecuación exponencial:
\[ 100\cdot 2^t=800 \]
Idea clave
Resolver una ecuación exponencial puede interpretarse como encontrar la preimagen de un valor en una función exponencial.
En otras palabras, si \(f(x)=a\cdot b^x\), resolver \(f(x)=k\) significa buscar el valor de \(x\) cuya imagen es \(k\).
Visualización con Cartesiano
La solución de \(100\cdot 2^t=800\) se puede ver como la intersección entre la curva \(y=100\cdot 2^t\) y la recta horizontal \(y=800\).
Ejemplo 1: crecimiento duplicado
Una población de bacterias se modela por:
\[ f(t)=100\cdot 2^t \]
donde \(t\) representa el tiempo en horas. ¿En qué momento la población llega a \(800\) bacterias?
Buscamos la preimagen de \(800\):
\[ f(t)=800 \]
\[ 100\cdot 2^t=800 \]
Dividimos por \(100\):
\[ 2^t=8 \]
Como \(8=2^3\), entonces:
\[ 2^t=2^3 \]
\[ t=3 \]
La población llega a \(800\) bacterias después de \(3\) horas.
Ejemplo 2: decrecimiento exponencial
La cantidad de una sustancia se modela por:
\[ A(t)=640\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^t \]
¿Cuándo quedan \(80\) unidades de la sustancia?
Buscamos la preimagen de \(80\):
\[ A(t)=80 \]
\[ 640\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^t=80 \]
Dividimos por \(640\):
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^t=\frac{80}{640} \]
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^t=\frac{1}{8} \]
Como \(\frac{1}{8}=\left(\frac{1}{2}\right)^3\), se obtiene:
\[ t=3 \]
Quedan \(80\) unidades después de \(3\) unidades de tiempo.
Procedimiento
- Identifica la función exponencial \(f(x)=a\cdot b^x\).
- Reconoce el valor objetivo \(k\).
- Plantea la ecuación \(f(x)=k\).
- Resuelve usando potencias equivalentes o logaritmos, según corresponda.
- Interpreta la solución en el contexto del problema.
Ejercicio 1
Sea \(f(t)=50\cdot 2^t\). Encuentra la preimagen de \(400\).
Planteamos:
\[ 50\cdot 2^t=400 \]
Dividimos por \(50\):
\[ 2^t=8 \]
Como \(8=2^3\), entonces:
\[ 2^t=2^3 \]
\[ t=3 \]
La preimagen de \(400\) es \(3\).
Ejercicio 2
Sea \(g(x)=3^x\). Encuentra \(x\) si \(g(x)=81\).
Buscamos:
\[ 3^x=81 \]
Como \(81=3^4\), se tiene:
\[ 3^x=3^4 \]
\[ x=4 \]
La solución es \(x=4\).
Ejercicio 3
Una cantidad se modela por \(A(t)=500\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^t\). ¿Cuándo llega a \(125\)?
Planteamos:
\[ 500\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^t=125 \]
Dividimos por \(500\):
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^t=\frac{125}{500} \]
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^t=\frac{1}{4} \]
Como \(\frac{1}{4}=\left(\frac{1}{2}\right)^2\), entonces:
\[ t=2 \]
La cantidad llega a \(125\) cuando \(t=2\).
Ejercicio 4
Sea \(h(x)=20\cdot 5^x\). Encuentra la ecuación que permite determinar cuándo \(h(x)=2500\), y resuélvela.
La ecuación es:
\[ 20\cdot 5^x=2500 \]
Dividimos por \(20\):
\[ 5^x=125 \]
Como \(125=5^3\), entonces:
\[ 5^x=5^3 \]
\[ x=3 \]
La ecuación es \(20\cdot 5^x=2500\), y su solución es \(x=3\).
Ejercicio 5
La función \(P(t)=1000\cdot 1{,}1^t\) modela una población. ¿Qué ecuación permite encontrar cuándo la población llega a \(2000\)?
Para encontrar cuándo la población llega a \(2000\), se plantea:
\[ 1000\cdot 1{,}1^t=2000 \]
Dividimos por \(1000\):
\[ 1{,}1^t=2 \]
Esta ecuación no se resuelve fácilmente igualando bases simples. Usando logaritmos:
\[ t=\frac{\log(2)}{\log(1{,}1)} \]
\[ t\approx 7{,}27 \]
La ecuación es \(1000\cdot 1{,}1^t=2000\), y la población llega a \(2000\) aproximadamente cuando \(t=7{,}27\).
Ejercicio 6
Explica con tus palabras qué significa resolver \(f(x)=k\) cuando \(f\) es una función exponencial.
Significa buscar el valor de entrada \(x\) que hace que la función tome el valor \(k\).
En el plano cartesiano, corresponde a encontrar dónde la curva exponencial \(y=f(x)\) intersecta la recta horizontal \(y=k\).
Resolver \(f(x)=k\) es encontrar la preimagen de \(k\).
Para recordar
La función exponencial describe cómo cambia una cantidad. La ecuación exponencial aparece cuando preguntamos cuándo esa cantidad alcanza un valor determinado.