La Función Exponencial
| Sitio: | PROFEARAUCO.CL |
| Curso: | Media 3 |
| Libro: | La Función Exponencial |
| Imprimido por: | Invitado |
| Día: | sábado, 6 de septiembre de 2025, 12:58 |
1. Crecimiento y Decrecimiento Exponencial
Crecimiento y Decrecimiento Exponencial: Un Cambio Acelerado
En la página anterior, vimos que las funciones lineales tienen una tasa de cambio constante. Pero en muchas situaciones del mundo real, las cosas cambian de una manera muy diferente: cada vez más rápido (crecimiento) o cada vez más lento (decrecimiento).
🌍 Crecimiento Exponencial: El Poder de la Multiplicación
Imagina una situación donde una cantidad se multiplica por un factor constante en cada intervalo de tiempo. Por ejemplo, una población de bacterias que se duplica cada hora.
| Hora | N° de Bacterias |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
| 3 | 8 |
| 4 | 16 |
Al principio el crecimiento parece lento, pero luego se acelera drásticamente. Esto se debe a que el cambio es proporcional a la cantidad actual.
Una ciudad con 1,000 habitantes triplica su población cada 10 años. ¿Cuántas personas habrá en 50 años?
En 50 años, hay 5 periodos de 10 años. La población se triplicará 5 veces.
Población Final = \(1000 \cdot 3^5 = 1000 \cdot 243 = 243,000\) habitantes.
🌍 Decrecimiento Exponencial: Reducción Fraccional
Aquí, una cantidad se divide por un factor constante (o se multiplica por una fracción) en cada intervalo de tiempo. Por ejemplo, la cantidad de un medicamento en el cuerpo que se reduce a la mitad cada 8 horas.
El yodo-131 se reduce a un tercio cada 8 días. Si tenemos 81 gramos, ¿cuánto quedará en 40 días?
En 40 días, hay 5 periodos de 8 días. La cantidad se reducirá a un tercio 5 veces.
Cantidad Final = \(81 \cdot (\frac{1}{3})^5 = 81 \cdot \frac{1}{243} = \frac{81}{243} = \frac{1}{3}\) gramos.
💡 Lineal vs. Exponencial: La Gran Diferencia
- Lineal: El cambio es aditivo. Se suma o resta la misma cantidad en cada paso (ej: +10, +10, +10...).
- Exponencial: El cambio es multiplicativo. Se multiplica por el mismo factor en cada paso (ej: x2, x2, x2...).
Ejercicios
- Un tanque de agua pierde 5 litros cada hora.
- Una inversión aumenta un 10% cada año.
- Una población de conejos se triplica cada mes.
- Un automóvil recorre 80 km cada hora.
- La cantidad de un isótopo radiactivo se reduce a la mitad cada 100 años.
- Decrecimiento lineal (se resta una cantidad fija).
- Crecimiento exponencial (se multiplica por 1.10 cada año).
- Crecimiento exponencial (se multiplica por 3).
- Crecimiento lineal (se suma una cantidad fija).
- Decrecimiento exponencial (se multiplica por 1/2).
- Completa la tabla para las primeras 4 semanas.
- ¿Cuántos insectos habrá después de 6 semanas?
| Semana | Población |
|---|---|
| 0 | 50 |
| 1 | ? |
| 2 | ? |
| 3 | ? |
| 4 | ? |
- La población será: 100 (semana 1), 200 (semana 2), 400 (semana 3), 800 (semana 4).
- Después de 6 semanas: \(50 \cdot 2^6 = 50 \cdot 64 = 3200\) insectos.
- ¿Cuántos gramos quedarán después de 15 años?
- ¿Cuántos gramos quedarán después de 40 años?
- En 15 años hay 3 periodos. Cantidad = \(200 \cdot (\frac{1}{2})^3 = 200 \cdot \frac{1}{8} = 25\) gramos.
- En 40 años hay 8 periodos. Cantidad = \(200 \cdot (\frac{1}{2})^8 = \frac{200}{256} \approx 0.78\) gramos.
2. La Función Exponencial
La Función Exponencial: Definición y Propiedades
En la página anterior, vimos ejemplos de situaciones donde una cantidad se multiplica por un factor constante en cada intervalo de tiempo. Este es el comportamiento característico del crecimiento y decrecimiento exponencial, el cual es modelado por la función exponencial.
📐 Definición Formal de la Función Exponencial
Una función exponencial tiene la forma general:
\( f(x) = a \cdot b^x \)
- \( a \): Es el valor inicial (el valor de \(f(x)\) cuando \(x=0\)). Debe ser \(a \neq 0\).
- \( b \): Es la base o factor de cambio. Debe ser un número positivo y distinto de 1 (\(b > 0\) y \(b \neq 1\)).
- Si \( b > 1 \), la función modela un crecimiento exponencial.
- Si \( 0 < b < 1 \), la función modela un decrecimiento exponencial.
- \( x \): Es la variable independiente, usualmente el tiempo.
🤓 Dominio y Recorrido
- Dominio: El dominio de una función exponencial es el conjunto de todos los números reales (\( \mathbb{R} \)).
- Recorrido (Rango): Si \(a > 0\), el recorrido son todos los números reales positivos (\( (0, \infty) \)). La función nunca es cero ni negativa.
🤓 Gráfica de la Función Exponencial
- Asíntota Horizontal: La gráfica se acerca cada vez más al eje X (la recta y=0) pero nunca lo toca.
- Intersección Eje Y: La gráfica siempre cruza el eje Y en el punto (0, a), que es el valor inicial.
- Comportamiento: Es una curva suave que siempre crece (si b > 1) o siempre decrece (si 0 < b < 1).
Ejemplos y Ejercicios
Esta restricción es fundamental para que la función exponencial se comporte de manera predecible. Las razones son:
- Si b fuera negativo (ej: \((-2)^x\)): La función no estaría definida en los reales para exponentes fraccionarios como \(x=1/2\), ya que tendríamos \(\sqrt{-2}\).
- Si b fuera 1 (ej: \(1^x\)): La función sería constante (\(f(x)=a\)), no exponencial.
- Si b fuera 0 (ej: \(0^x\)): La función sería 0 para \(x>0\) y no estaría definida para \(x \le 0\), lo que no es útil.
Estas reglas aseguran que la función sea continua y sirva para modelar fenómenos de crecimiento y decrecimiento de forma consistente.
Para \( f(x) = 2 \cdot 3^x \):
- Valor inicial \(a = 2\).
- Base \(b = 3\). Como \(b > 1\), es crecimiento exponencial.
Para \( g(x) = 100 \cdot (0.5)^x \):
- Valor inicial \(a = 100\).
- Base \(b = 0.5\). Como \(0 < b < 1\), es decrecimiento exponencial.
🤓 Nota sobre la Base 'e'
En muchos modelos científicos, verás la función escrita como \( f(x) = a \cdot e^{kx} \), donde e es el número de Euler (\(\approx 2.718\)). Esta forma es equivalente a \(a \cdot b^x\) y es especialmente útil en cálculo. Por ahora, nos centraremos en la forma con la base b.
- \( f(x) = 7 \cdot 3^x \)
- \( g(x) = 200 \cdot (0.6)^x \)
- \( h(x) = 0.2 \cdot 5^x \)
- \( y = 50 \cdot (1/4)^x \)
- \( y = 0.1 \cdot (1.1)^x \)
- Crecimiento (b=3), a=7
- Decrecimiento (b=0.6), a=200
- Crecimiento (b=5), a=0.2
- Decrecimiento (b=1/4), a=50
- Crecimiento (b=1.1), a=0.1
- f(0)
- f(1)
- f(3)
- f(-1)
- f(-2)
- f(0) = \(4 \cdot 2^0 = 4 \cdot 1 = 4\)
- f(1) = \(4 \cdot 2^1 = 4 \cdot 2 = 8\)
- f(3) = \(4 \cdot 2^3 = 4 \cdot 8 = 32\)
- f(-1) = \(4 \cdot 2^{-1} = 4 \cdot (1/2) = 2\)
- f(-2) = \(4 \cdot 2^{-2} = 4 \cdot (1/4) = 1\)
Dominio: Todos los números reales (\(\mathbb{R}\)).
Recorrido: Todos los números reales positivos (\((0, \infty)\)).
La forma general es \( f(x) = a \cdot b^x \). Sabemos que la base \(b=4\). El punto (0, 3) nos dice que el valor inicial \(a=3\). Por lo tanto, la ecuación es \(f(x) = 3 \cdot 4^x\).
- \( f(x) = 200 \cdot (1.02)^x \)
- \( g(x) = 10 \cdot (0.7)^x \)
- \( h(x) = 0.5 \cdot 6^x \)
Descripciones:
- Crecimiento exponencial muy rápido con valor inicial pequeño.
- Crecimiento exponencial muy lento con valor inicial grande.
- Decrecimiento exponencial con valor inicial intermedio.
I → b, II → c, III → a
- I. \(f(x)\): Crecimiento lento (b=1.02, cercano a 1) con valor inicial grande (a=200).
- II. \(g(x)\): Decrecimiento (b=0.7) con valor inicial intermedio (a=10).
- III. \(h(x)\): Crecimiento rápido (b=6) con valor inicial pequeño (a=0.5).
- \( f(x) = 100 \cdot 2^x \)
- \( g(x) = 10 \cdot 3^x \)
- \( h(x) = 1 \cdot 4^x \)
Respuesta: c) \( h(x) = 1 \cdot 4^x \)
Explicación: A largo plazo, la función con la base (b) más grande siempre crecerá más rápido, sin importar el valor inicial.
| Función | Crecimiento/Decrecimiento | Valor Inicial |
|---|---|---|
| \( f(x) = 200 \cdot (1.02)^x \) | ? | ? |
| \( g(x) = 10 \cdot (0.7)^x \) | ? | ? |
| \( h(x) = 0.5 \cdot 6^x \) | ? | ? |
| Función | Crecimiento/Decrecimiento | Valor Inicial |
|---|---|---|
| \( f(x) = 200 \cdot (1.02)^x \) | Crecimiento | 200 |
| \( g(x) = 10 \cdot (0.7)^x \) | Decrecimiento | 10 |
| \( h(x) = 0.5 \cdot 6^x \) | Crecimiento | 0.5 |
Respuesta: 10%
Una base de 0.9 significa que se retiene el 90% del valor. Por lo tanto, la pérdida es del 100% - 90% = 10%.
- \( f(x) = 50 \cdot 2^x \)
- \( f(x) = 50 \cdot 3^x \)
- \( f(x) = 3 \cdot 50^x \)
- \( f(x) = 150^x \)
- \( f(x) = 50 \cdot x^3\)
Respuesta correcta: b) \( f(x) = 50 \cdot 3^x \)
Explicación: El valor inicial es 50 (a = 50). La población se triplica (se multiplica por 3) cada hora, por lo que la base es 3 (b = 3).
- \( f(x) = 20000 \cdot (1.2)^x \)
- \( f(x) = 20000 \cdot (0.8)^x \)
- \( f(x) = 20000 \cdot (0.2)^x \)
- \( f(x) = 20000 - 0.2x \)
Respuesta correcta: b) \( f(x) = 20000 \cdot (0.8)^x \)
Explicación: El valor inicial es $20,000 (a = 20000). Si pierde el 20% de su valor, retiene el 80% (100% - 20% = 80%). Por lo tanto, la base (factor de cambio) es 0.8.
- Una curva que sube rápidamente de izquierda a derecha.
- Una curva que baja rápidamente de izquierda a derecha.
- Una línea recta que sube de izquierda a derecha.
- Una línea recta que baja de izquierda a derecha.
Respuesta correcta: b)
Explicación: Las funciones exponenciales decrecientes tienen una base entre 0 y 1, lo que hace que la gráfica (una curva) disminuya a medida que x aumenta.
- y = 0
- y = 2
- y = 3
- y = 0.5
Respuesta correcta: c) y = 3
Explicación: La función base \( 2 \cdot (0.5)^x \) tiene una asíntota en y = 0. Al sumarle 3, toda la gráfica se desplaza 3 unidades hacia arriba, incluida la asíntota.
- (0, 0)
- (5, 0)
- (0, 5)
- (2, 0)
Respuesta correcta: c) (0, 5)
Explicación: La intersección con el eje y ocurre cuando x = 0. \( f(0) = 5 \cdot 2^0 = 5 \cdot 1 = 5 \). El punto es (0, 5).
- El dominio es todos los reales.
- El recorrido es todos los reales positivos.
- La gráfica siempre intersecta el eje y.
- La gráfica siempre tiene una asíntota horizontal.
- La gráfica siempre intersecta el eje x.
Respuesta correcta: e)
Explicación: La gráfica de una función exponencial básica se acerca al eje x (su asíntota en y=0) pero nunca lo intersecta.
| Tiempo(s) | Distancia(m) |
|---|---|
| 0 | 5 |
| 1 | 7 |
| 2 | 9 |
| 3 | 11 |
- Lineal
- Cuadrática
- Exponencial
Respuesta correcta: a) Lineal
Explicación: La distancia aumenta en una cantidad constante (+2 metros) cada segundo. Este es un comportamiento aditivo, no multiplicativo, por lo que es lineal.
\( f(t) = 10000 \cdot (0.9)^t \)
\( g(t) = 8000 \cdot (0.95)^t \)
- ¿Cuál era el valor inicial de cada máquina?
- ¿Cuál máquina se deprecia más rápidamente? Explica.
- ¿Qué porcentaje de su valor pierde cada máquina al año?
- Máquina f: $10,000. Máquina g: $8,000. (Es el valor de "a").
- La máquina f se deprecia más rápido porque su base (0.9) es menor que la de g (0.95), lo que indica una mayor pérdida de valor por año.
- Máquina f: Pierde el 10% anual (1 - 0.9 = 0.1). Máquina g: Pierde el 5% anual (1 - 0.95 = 0.05).
3. Modelado con Funciones Exponenciales (Parte 1)
Modelado con Funciones Exponenciales (Parte 1)
¿Qué es Modelar?
Modelar matemáticamente una situación significa encontrar una función (en este caso, una función exponencial) que *represente* el comportamiento de esa situación. El modelo nos permite entenderla mejor, hacer predicciones y tomar decisiones.
📐 Pasos para Modelar con Funciones Exponenciales
- Leer y comprender el problema.
- Identificar las variables:
- Variable independiente (x): Generalmente el tiempo.
- Variable dependiente (f(x) o y): La cantidad que crece o decrece.
- Identificar los parámetros en la fórmula \( f(x) = a \cdot b^x \).
- Escribir la ecuación de la función exponencial.
- Usar el modelo para hacer predicciones (evaluar la función).
- Interpretar los resultados en el contexto del problema.
💡 Idea Clave: El Valor Inicial (a) y la Base (b)
El modelo matemático \( f(x) = a \cdot b^x \) depende de dos pilares:
- 'a' (Valor Inicial): Es el punto de partida. Siempre corresponde al valor de la cantidad cuando el tiempo (x) es cero.
- 'b' (Base o Factor de Cambio): Nos dice cómo cambia la cantidad en cada período.
- Si la cantidad crece un r%, la base es \( b = 1 + \frac{r}{100} \). Por ejemplo, un crecimiento del 5% significa que \( b = 1.05 \).
- Si la cantidad decrece un r%, la base es \( b = 1 - \frac{r}{100} \). Por ejemplo, una depreciación del 15% significa que \( b = 1 - 0.15 = 0.85 \).
Ejemplo Resuelto Paso a Paso
🌍 Ejemplo: Crecimiento de Bacterias
Problema: Una población de bacterias se duplica cada 3 horas. Inicialmente, hay 500 bacterias.
1. Variables:
- x: Tiempo (en horas)
- f(x): Número de bacterias
2. Parámetros:
- a = 500 (valor inicial)
- b = 2 (se duplica)
- El tiempo esta en horas, y como el factor de crecimiento es por cada 3 horas, el exponente será \( \frac{x}{3} \)
3. Ecuación: \( f(x) = 500 \cdot 2^{\frac{x}{3}} \)
4. Predicción: ¿Cuántas bacterias habrá después de 12 horas?
\( f(12) = 500 \cdot 2^{\frac{12}{3}} = 500 \cdot 2^4 = 500 \cdot 16 = 8000 \)
5. Interpretación: Después de 12 horas, habrá 8000 bacterias.
⚠️ ¡Cuidado con el exponente!
Un error común es no ajustar el exponente al período de tiempo dado. Si el crecimiento o decrecimiento ocurre cada "k" unidades de tiempo, el exponente siempre será \( \frac{x}{k} \). En el ejemplo de las bacterias, como se duplican cada 3 horas, el exponente es \( \frac{x}{3} \).
Ejercicios
Ejercicio 1: Una inversión de $2000 crece a una tasa de interés compuesto del 4% anual. Encuentra la función exponencial que modela el valor de la inversión.
Función: \( f(x) = 2000 \cdot (1.04)^x \), donde x es el tiempo en años.
Ejercicio 2: Un auto nuevo que vale $25000 se deprecia a una tasa del 15% anual. Encuentra la función que modela el valor del auto después de *x* años.
Función: \( f(x) = 25000 \cdot (0.85)^x \)
Explicación: Si se deprecia el 15%, retiene el 85% de su valor (100% - 15% = 85% = 0.85).
Ejercicio 3: Una población de aves tiene 500 individuos inicialmente y crece un 8% cada año. Encuentra la función que modela la población después de *x* años.
Función: \( f(x) = 500 \cdot (1.08)^x \)
Ejercicio 4: Una sustancia radiactiva se reduce a la mitad cada 100 años. Si inicialmente hay 80 gramos, encuentra la función que modela la cantidad restante después de *x* años.
Función: \( f(x) = 80 \cdot (0.5)^{x/100} \). Nota el exponente: x/100 representa el número de períodos de 100 años.
Ejercicio 5: Una población de conejos se duplica cada mes. Inicialmente hay 20 conejos. ¿Cuántos conejos habrá después de 6 meses?
Función: \( f(x) = 20 \cdot 2^x \). Después de 6 meses: \( f(6) = 20 \cdot 2^6 = 20 \cdot 64 = 1280 \) conejos.
Ejercicio 6: Un medicamento se elimina del cuerpo a una tasa del 25% por hora. Si la dosis inicial es de 500 mg, ¿cuántos mg quedarán después de 4 horas?
Función: \( f(x) = 500 \cdot (0.75)^x \) (Si se elimina el 25%, queda el 75% = 0.75). Después de 4 horas: \( f(4) = 500 \cdot (0.75)^4 \approx 158.20 \) mg.
Ejercicio 7: El valor de una máquina se deprecia exponencialmente. Su valor inicial es de $12,000 y después de 3 años es de $9,000. ¿Cuál es la base (b) de la función exponencial que modela esta situación?
Planteamiento: \( f(x) = 12000 \cdot b^x \). Sabemos que f(3) = 9000. Entonces:
\( 9000 = 12000 \cdot b^3 \)
\( \frac{9000}{12000} = b^3 \)
\( 0.75 = b^3 \)
\( b = \sqrt[3]{0.75} \approx 0.9086 \)
Problemas
Problema 1: Una ciudad tiene una población inicial de 100,000 habitantes y crece a una tasa del 3% anual.
- Encuentra la función exponencial que modela la población después de *x* años.
- ¿Cuál será la población aproximada después de 5 años?
- ¿Y después de 10 años?
- \( f(x) = 100000 \cdot (1.03)^x \)
- f(5) ≈ 115927 habitantes.
- f(10) ≈ 134392 habitantes.
Problema 2: Se invierten $5000 en una cuenta que paga un interés compuesto del 6% anual. Si no se hacen retiros ni depósitos adicionales, ¿cuánto dinero habrá en la cuenta después de 7 años?
Función: \( f(x) = 5000 \cdot (1.06)^x \). Después de 7 años: \( f(7) = 5000 \cdot (1.06)^7 \approx 7518.15 \). Habrá aproximadamente $7518.15.
Problema 3: La cantidad de un fármaco en el torrente sanguíneo disminuye exponencialmente. Se administra una dosis de 400 mg. Después de 6 horas, quedan 200 mg.
- Encuentra la función exponencial que modela la cantidad de fármaco restante en función del tiempo (en horas).
- ¿Cuántos mg quedarán después de 12 horas?
- ¿Y después de 18 horas?
- \( f(x) = 400 \cdot (0.5)^{x/6} \) (La base es 0.5 porque se reduce a la mitad, y el exponente es x/6 porque la vida media es de 6 horas).
- f(12) = 400 * (0.5)(12/6) = 400 * (0.5)2 = 100 mg.
- f(18) = 400 * (0.5)(18/6) = 400 * (0.5)3 = 50 mg.
Problema 4: Un bosque tenía 10,000 árboles en el año 2000. Debido a la tala ilegal, la cantidad de árboles disminuye un 4% cada año.
- Encuentra la función exponencial que modela la cantidad de árboles en función del tiempo (en años, desde el año 2000).
- ¿Cuántos árboles quedarán, aproximadamente, en el año 2025?
- \( f(x) = 10000 \cdot (0.96)^x \) (Si disminuye un 4%, queda el 96% = 0.96).
- El año 2025 corresponde a x = 25. f(25) = 10000 * (0.96)25 ≈ 3603.95. Quedarán aproximadamente 3604 árboles.
Problema 5: Una población de aves migratorias disminuye a un ritmo exponencial. En el año 2010, había 8000 aves. En el año 2020, había 5000 aves.
- Encuentra la función exponencial que modela la población de aves en función del tiempo (en años, desde el año 2010).
- ¿Cuál es la tasa de decrecimiento *anual* de la población (en porcentaje)?
- ¿Cuál será la población aproximada en el año 2030?
- Forma general: \( f(x) = a \cdot b^x \). a = 8000 (población inicial).
Sabemos que f(10) = 5000 (en 2020, x = 10). Entonces:
\( 5000 = 8000 \cdot b^{10} \)
\( \frac{5000}{8000} = b^{10} \)
\( 0.625 = b^{10} \)
\( b = \sqrt[10]{0.625} \approx 0.954 \)
La función es, aproximadamente: \( f(x) = 8000 \cdot (0.954)^x \) - La base es 0.954, lo que significa que la población retiene el 95.4% de su tamaño cada año. Por lo tanto, la tasa de decrecimiento anual es 100% - 95.4% = 4.6%.
- El año 2030 corresponde a x = 20. f(20) = 8000 * (0.954)20 ≈ 3121. Habrá aproximadamente 3121 aves.
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4. Modelado con Funciones Exponenciales (Parte 2)
Modelado con Funciones Exponenciales (Parte 2)
📐 Repaso: Pasos para Modelar
Recordemos los pasos para modelar con funciones exponenciales:
- Leer y comprender el problema.
- Identificar las variables: x (independiente, usualmente tiempo), f(x) (dependiente).
- Identificar los parámetros en \( f(x) = a \cdot b^x \): a (valor inicial) y b (base o factor de cambio).
- Escribir la ecuación que modela la situación.
- Usar el modelo para hacer predicciones.
- Interpretar los resultados en el contexto original.
Problemas de Modelado (Nivel Intermedio y Avanzado)
🌍 Problema 1: Crecimiento Poblacional
Una ciudad tiene una población inicial de 50,000 habitantes. Se estima que la población crece un 2.5% cada año.
- Encuentra la función exponencial que modela la población de la ciudad después de x años.
- ¿Cuál será la población aproximada después de 10 años?
- ¿Después de cuántos años, aproximadamente, la población se duplicará?
- \( f(x) = 50000 \cdot (1 + 0.025)^x = 50000 \cdot (1.025)^x \)
- \( f(10) = 50000 \cdot (1.025)^{10} \approx 64004 \). Aproximadamente 64,004 habitantes.
- Buscamos *x* tal que \( f(x) = 100000 \).
\( 100000 = 50000 \cdot (1.025)^x \)
\( 2 = (1.025)^x \)
Usando logaritmos o probando valores, encontramos que \(x \approx 28.07\). La población se duplicará en aproximadamente 28 años.
🤓 Explicación: Interés Compuesto y Capitalización
El problema siguiente introduce la "capitalización". Esto significa que el interés se calcula y se suma al capital varias veces al año. Para resolver esto:
- Divide la tasa de interés anual (r) entre el número de períodos de capitalización
en un año. (Ej: 6% anual capitalizado trimestralmente es 6%/4 = 1.5% por trimestre).
- Multiplica el exponente (x) por ese mismo número de períodos
La fórmula general es: \( A = P \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt} \)
🌍 Problema 2: Inversión con Interés Compuesto
Se invierten $10,000 en una cuenta que paga un interés compuesto del 6% anual, capitalizado trimestralmente.
- ¿Cuál es la tasa de interés trimestral?
- ¿Cuántos períodos de capitalización hay en un año?
- Encuentra la función que modela el valor de la inversión después de x años.
- ¿Cuál será el valor de la inversión después de 5 años?
- Tasa trimestral = Tasa anual / 4 = 6% / 4 = 1.5% = 0.015.
- Hay 4 trimestres (períodos de capitalización) en un año.
- \( f(x) = 10000 \cdot (1 + 0.015)^{4x} = 10000 \cdot (1.015)^{4x} \).
- \( f(5) = 10000 \cdot (1.015)^{(4 \cdot 5)} = 10000 \cdot (1.015)^{20} \approx 13468.55 \). El valor será aproximadamente $13,468.55.
💡 Estrategia Clave: ¿Cómo encontrar la base 'b'?
En los siguientes problemas, no te dan la tasa de crecimiento (b), pero te dan dos puntos de datos (ej: valor inicial y valor después de un tiempo). Para encontrar 'b':
- Plantea la ecuación \( f(x) = a \cdot b^x \).
- Sustituye el valor inicial 'a' y el otro punto de dato (x, f(x)).
- Despeja 'b', lo que generalmente implica dividir y luego sacar una raíz.
🌍 Problema 3: Decaimiento Radioactivo
Un científico estudia una muestra de 200 gramos de una sustancia radiactiva. Después de 2 días, la masa se ha reducido a 150 gramos.
- Encuentra la función que modela la masa en función del tiempo (en días).
- ¿Cuál es la vida media de la sustancia (tiempo para que se reduzca a la mitad)?
- ¿Cuánta sustancia quedará después de 10 días?
- Valor inicial a = 200. Sabemos que f(2) = 150.
\( 150 = 200 \cdot b^2 \)
\( \frac{150}{200} = b^2 \implies 0.75 = b^2 \)
\( b = \sqrt{0.75} \approx 0.866 \).
La función es: \( f(x) = 200 \cdot (0.866)^x \) - Buscamos x tal que \( f(x) = 100 \).
\( 100 = 200 \cdot (0.866)^x \implies 0.5 = (0.866)^x \)
Resolviendo (con logaritmos o probando valores), \(x \approx 4.8\). La vida media es de aproximadamente 4.8 días. - \( f(10) = 200 \cdot (0.866)^{10} \approx 49.98 \). Quedarán aproximadamente 50 gramos.
🌍 Problema 4: Crecimiento de una Red Social
El número de usuarios de una red social crece exponencialmente. El 1 de enero, había 10,000 usuarios. El 1 de marzo (60 días después), había 40,000 usuarios.
- Encuentra la función que modela el número de usuarios en función del tiempo (en días).
- ¿Cuál es la tasa de crecimiento diaria (en porcentaje)?
- ¿Cuántos usuarios se esperan para el 1 de junio (151 días después del 1 de enero)?
- Valor inicial a = 10000. Sabemos que f(60) = 40000.
\( 40000 = 10000 \cdot b^{60} \)
\( 4 = b^{60} \)
\( b = \sqrt[60]{4} \approx 1.0233 \)
La función es: \( f(x) = 10000 \cdot (1.0233)^x \) - La base es 1.0233, lo que corresponde a un crecimiento del 2.33% diario.
- \( f(151) = 10000 \cdot (1.0233)^{151} \approx 324,918 \). Se esperan aproximadamente 324,918 usuarios.
🌍 Problema 5: Propagación de un Rumor
Un rumor se propaga exponencialmente en una escuela. Al principio, solo 5 personas lo conocen. Después de 3 horas, 80 personas lo conocen. Si la escuela tiene 500 estudiantes, ¿cuánto tiempo (aproximadamente) tardará el rumor en llegar a toda la escuela?
Valor inicial a = 5. Sabemos que f(3) = 80.
\( 80 = 5 \cdot b^3 \)
\( 16 = b^3 \)
\( b = \sqrt[3]{16} \approx 2.52 \)
La función es: \( f(x) = 5 \cdot (2.52)^x \)
Buscamos x tal que f(x) = 500:
\( 500 = 5 \cdot (2.52)^x \)
\( 100 = (2.52)^x \)
Resolviendo con logaritmos (\( x = \frac{\log(100)}{\log(2.52)} \)), encontramos que \( x \approx 5.0\).
El rumor llegará a toda la escuela en aproximadamente 5 horas.
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5. Ejercicios de Selección Múltiple - Función Exponencial
Ejercicios de Selección Múltiple - Función Exponencial
Instrucciones: Elige la alternativa correcta. Haz clic en "Mostrar solución" para ver la respuesta y la explicación.
💡 Estrategia para Resolver
Para cada pregunta, identifica primero el concepto clave que se está evaluando:
- Crecimiento vs. Decrecimiento: Mira la base b. Si \(b > 1\), es crecimiento. Si \(0 < b < 1\), es decrecimiento.
- Parámetros Clave: Recuerda siempre la forma \(f(x) = a \cdot b^x\), donde 'a' es el valor inicial (intersección con el eje y) y 'b' es el factor de cambio.
- Resolver Ecuaciones: Intenta igualar las bases. Si tienes \(b^P = b^Q\), entonces puedes igualar los exponentes: \(P = Q\).
1. ¿Cuál de las siguientes funciones representa un crecimiento exponencial?
- \( f(x) = 100 - 2x \)
- \( f(x) = 5 \cdot (0.8)^x \)
- \( f(x) = 2 \cdot 3^x \)
- \( f(x) = x^2 + 1 \)
- \( f(x) = \log(x) \)
Respuesta correcta: c) \( f(x) = 2 \cdot 3^x \)
Explicación: Una función exponencial creciente tiene una base (b) mayor que 1. En este caso, la base es 3.
2. ¿Cuál de las siguientes funciones representa un decrecimiento exponencial?
- \( f(x) = 5x + 10 \)
- \( f(x) = 100 \cdot 2^x \)
- \( f(x) = 0.5 \cdot 4^x \)
- \( f(x) = 50 \cdot (0.75)^x \)
- \( f(x) = x^3 \)
Respuesta correcta: d) \( f(x) = 50 \cdot (0.75)^x \)
Explicación: Una función exponencial decreciente tiene una base (b) entre 0 y 1. Aquí, la base es 0.75.
3. ¿Cuál es el valor inicial de la función \( f(x) = 10 \cdot (1.5)^x \)?
- 10
- 1.5
- x
- 11.5
- 15
Respuesta correcta: a) 10
Explicación: El valor inicial es el parámetro "a" en la forma \( f(x) = a \cdot b^x \). Corresponde al valor de la función cuando x = 0.
4. ¿Cuál es la base de la función exponencial \( g(x) = 200 \cdot (0.8)^x \)?
- 200
- 0.8
- x
- 0
- 200.8
Respuesta correcta: b) 0.8
Explicación: En la forma \( f(x) = a \cdot b^x \), "b" es la base.
5. Para la función \( f(x) = 3 \cdot 4^x \), calcula f(2).
- 12
- 36
- 48
- 144
- 7
Respuesta correcta: c) 48
Desarrollo: \( f(2) = 3 \cdot 4^2 = 3 \cdot 16 = 48 \)
6. Para la función \( g(x) = 50 \cdot (0.5)^x \), calcula g(3).
- 25
- 12.5
- 6.25
- 250
- 75
Respuesta correcta: c) 6.25
Desarrollo: \( g(3) = 50 \cdot (0.5)^3 = 50 \cdot 0.125 = 6.25 \)
7. ¿Cuál es la asíntota horizontal de la función \( f(x) = 5 \cdot 2^x \)?
- x = 0
- y = 5
- y = 2
- y = 0
- x = 5
Respuesta correcta: d) y = 0
Explicación: La función exponencial básica \( f(x) = a \cdot b^x \) tiene una asíntota horizontal en y = 0 (el eje x).
8. ¿En qué punto la gráfica de \( f(x) = 8 \cdot 3^x \) intersecta el eje y?
- (8, 0)
- (0, 8)
- (3, 0)
- (0, 3)
- (0, 0)
Respuesta correcta: b) (0, 8)
Explicación: La intersección con el eje y ocurre cuando x = 0. \( f(0) = 8 \cdot 3^0 = 8 \cdot 1 = 8 \). El punto es (0, 8).
9. Una población de bacterias se duplica cada hora. Si inicialmente hay 1000 bacterias, ¿cuál es la función que modela esta situación?
- \( P(t) = 1000 \cdot t^2 \)
- \( P(t) = 1000 + 2t \)
- \( P(t) = 1000 \cdot 2^t \)
- \( P(t) = 2 \cdot 1000^t \)
- \( P(t) = 1000 + 2^t \)
Respuesta correcta: c) \( P(t) = 1000 \cdot 2^t \)
Explicación: Valor inicial a = 1000. Se duplica, entonces la base b = 2.
10. Una sustancia radiactiva se reduce a la mitad cada 50 años. Si inicialmente hay 200 gramos, ¿cuál es la función que modela la cantidad restante después de *t* años?
- \( f(t) = 200 \cdot (0.5)^t \)
- \( f(t) = 200 \cdot 2^t \)
- \( f(t) = 200 \cdot (0.5)^{t/50} \)
- \( f(t) = 200 - 50t \)
- \( f(t) = 200 \cdot (0.5)^{50t}\)
Respuesta correcta: c) \( f(t) = 200 \cdot (0.5)^{t/50} \)
Explicación: Valor inicial a = 200. Se reduce a la mitad, b = 0.5. El exponente debe ajustarse al período, por lo que es t/50.
11. Resuelve la ecuación exponencial: \( 3^{x+2} = 27 \)
- x = 1
- x = 2
- x = 3
- x = 5
- x = 9
Respuesta correcta: a) x = 1
Desarrollo: \( 3^{x+2} = 3^3 \). Igualando exponentes: x + 2 = 3. Por lo tanto, x = 1.
12. Resuelve: \( 2^{2x-1} = 8 \)
- x = 1
- x = 2
- x = 3
- x = 4
- x = 0
Respuesta correcta: b) x = 2
Desarrollo: \( 2^{2x-1} = 2^3 \). Igualando exponentes: 2x - 1 = 3. Resolviendo, 2x = 4, y x = 2.
13. Resuelve: \( 5^{x^2} = 25 \)
- x = 1
- x = 2
- \( x = \pm \sqrt{2} \)
- x = -2
- No tiene solución.
Respuesta correcta: c) \( x= \pm \sqrt{2} \)
Desarrollo: \( 5^{x^2} = 5^2 \). Igualando exponentes: \( x^2 = 2 \). Por lo tanto, \( x = \pm\sqrt{2} \).
14. ¿Cuál de las siguientes descripciones corresponde mejor a la gráfica de la función \( f(x) = 100 \cdot (0.9)^x \)?
- Una curva creciente que pasa por (0, 100).
- Una curva decreciente que pasa por (0, 100).
- Una línea recta decreciente.
- Una curva creciente que pasa por (0, 0.9).
- Una curva decreciente que pasa por (0, 0.9)
Respuesta correcta: b) Una curva decreciente que pasa por (0, 100).
Explicación: Es decreciente porque la base (0.9) está entre 0 y 1. El valor inicial es 100, por lo que cruza el eje y en (0, 100).
15. Si una población crece un 5% cada año, ¿cuál es el valor de *b* en la función exponencial \( P(t) = P_0 \cdot b^t \)?
- 0.05
- 0.95
- 1.05
- 1.5
- 5
Respuesta correcta: c) 1.05
Explicación: Un crecimiento del 5% significa que cada año la cantidad se multiplica por \( 1 + \frac{5}{100} = 1.05 \). Por lo tanto, b = 1.05.
16. ¿Cuál de las siguientes funciones *no* es una función exponencial?
- \( f(x) = 2^x \)
- \( g(x) = (1/3)^x \)
- \( h(x) = x^2 \)
- \( y = 5 \cdot (1.1)^x \)
- \( y = 1^x \)
Respuesta correcta: c) y e)
Explicación: En una función exponencial, la variable está en el exponente. \( h(x) = x^2 \) es una función cuadrática. Por definición, la base de una función exponencial debe ser un número positivo distinto de 1, por lo que \(y = 1^x\) (que es una función constante y=1) tampoco se considera exponencial.
17. La función \( f(x) = 100 \cdot (1.03)^x \) modela el crecimiento de una inversión. ¿Qué representa el número 1.03?
- El valor inicial de la inversión.
- El valor de la inversión después de 1 año.
- La tasa de crecimiento anual expresada como decimal.
- El factor por el cual se multiplica la inversión cada año.
- La cantidad de años que tarda la inversión en duplicarse.
Respuesta correcta: d) El factor por el cual se multiplica la inversión cada año.
Explicación: En la forma \( f(x) = a \cdot b^x \), *b* es el factor de crecimiento. El valor se multiplica por 1.03 cada año.
18. La función \( f(x) = 500 \cdot (0.95)^x \) modela la cantidad de un medicamento en el cuerpo. ¿Qué porcentaje del medicamento se *elimina* cada hora?
- 95%
- 5%
- 9.5%
- 0.95%
- 50%
Respuesta correcta: b) 5%
Explicación: La base es 0.95, lo que significa que queda el 95% del medicamento cada hora. Por lo tanto, se elimina el 100% - 95% = 5%.
19. ¿Cuál es el valor de *x* que satisface la ecuación \( 2^{2x} = \frac{1}{8} \)?
- 3
- -3
- 3/2
- -3/2
- 1/3
Respuesta correcta: d) -3/2
Desarrollo: \( 2^{2x} = \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3} \). Igualando exponentes: 2x = -3. Por lo tanto, x = -3/2.
20. Un cultivo de bacterias comienza con 200 bacterias y se duplica cada 2 horas. ¿Cuántas bacterias habrá después de 7 horas?
- 800
- 1600
- Aproximadamente 2263
- Aproximadamente 1131
- 1400
Respuesta correcta: c) Aproximadamente 2263
Desarrollo: La función es \( f(x) = 200 \cdot 2^{x/2} \).
\( f(7) = 200 \cdot 2^{7/2} = 200 \cdot 2^{3.5} \approx 200 \cdot 11.3137 \approx 2262.7 \). El valor más cercano es 2263.