La Función Logarítmica
1. Logaritmo como inversa de la función exponencial
Objetivos
- Interpretar el logaritmo como la operación inversa de una potencia.
- Relacionar la función exponencial y la función logarítmica mediante sus gráficas.
- Resolver preimágenes simples usando la equivalencia entre forma logarítmica y forma exponencial.
El logaritmo como pregunta
El logaritmo responde una pregunta de exponentes. Por ejemplo:
\[ \log_2(8)=3 \]
significa: ¿a qué exponente hay que elevar \(2\) para obtener \(8\)? La respuesta es \(3\), porque:
\[ 2^3=8 \]
Equivalencia fundamental
Para \(a>0\), \(a\neq 1\) y \(x>0\):
Esta equivalencia conecta la función logarítmica con la función exponencial.
Visualización con Cartesiano
Las gráficas de \(y=2^x\) y \(y=\log_2(x)\) son inversas. Se reflejan respecto de la recta \(y=x\).
Ejemplo 1: pasar de logaritmo a potencia
Resolver \(\log_2(x)=5\) significa encontrar la preimagen de \(5\) para la función \(f(x)=\log_2(x)\).
Usamos la equivalencia:
\[ \log_2(x)=5 \Longleftrightarrow 2^5=x \]
\[ x=32 \]
La preimagen de \(5\) es \(x=32\).
Ejemplo 2: leer puntos inversos
Si \(2^3=8\), entonces la función exponencial \(y=2^x\) pasa por \((3,8)\).
La función logarítmica inversa cumple \(\log_2(8)=3\), por lo que pasa por \((8,3)\).
Los puntos de funciones inversas intercambian sus coordenadas.
Ejercicio 1
Convierte \(\log_3(81)=4\) a forma exponencial.
Usamos la equivalencia:
\[ \log_a(x)=y \Longleftrightarrow a^y=x \]
En este caso, la base es \(3\), el argumento es \(81\) y el resultado es \(4\). Entonces:
\[ 3^4=81 \]
Ejercicio 2
Resuelve \(\log_5(x)=3\).
Pasamos de forma logarítmica a forma exponencial:
\[ \log_5(x)=3 \Longleftrightarrow 5^3=x \]
Calculamos:
\[ 5^3=125 \]
Por lo tanto, \(x=125\).
Ejercicio 3
Si \(4^2=16\), ¿qué igualdad logarítmica equivalente se obtiene?
En la expresión \(4^2=16\):
- la base es \(4\),
- el exponente es \(2\),
- el resultado es \(16\).
Entonces, en forma logarítmica:
\[ \log_4(16)=2 \]
Ejercicio 4
La función exponencial \(y=2^x\) pasa por \((4,16)\). ¿Por qué punto pasa su inversa \(y=\log_2(x)\)?
En funciones inversas, los puntos intercambian sus coordenadas.
Si \(y=2^x\) pasa por:
\[ (4,16) \]
entonces su inversa \(y=\log_2(x)\) pasa por:
\[ (16,4) \]
La función logarítmica pasa por \((16,4)\).
Ejercicio 5
Explica por qué \(\log_2(x)=0\) tiene solución \(x=1\).
Usamos la equivalencia entre logaritmo y potencia:
\[ \log_2(x)=0 \Longleftrightarrow 2^0=x \]
Como cualquier número distinto de cero elevado a \(0\) es \(1\), se tiene:
\[ 2^0=1 \]
Por lo tanto, \(x=1\).
Para recordar
Antes de aplicar reglas, conviene leer el logaritmo como una pregunta de exponentes. Esa idea sostiene la función logarítmica y también las ecuaciones logarítmicas.