1. Introducción a los Logaritmos

Introducción a los Logaritmos

¿Por qué Logaritmos?

Hasta ahora, hemos trabajado con funciones exponenciales, donde la variable *x* está en el *exponente*: $ f(x) = a \cdot b^x $. Hemos visto cómo calcular el valor de la función para un *x* dado.

Pero, ¿qué pasa si queremos resolver problemas como estos?

Una población crece exponencialmente según la función $ P(t) = 1000 \cdot 2^t $. ¿En *cuánto tiempo* la población llegará a 8000 habitantes?
Un material radiactivo se desintegra según la función $ M(t) = 500 \cdot (0.8)^t $. ¿En *cuánto tiempo* la masa se reducirá a la mitad?
Si inviertes $100 a una tasa de interés del 5% anual, ¿cuántos *años* tardarás en duplicar tu dinero?

En estos casos, *conocemos* el valor de la función (la población, la masa, el dinero), y queremos encontrar el valor de la variable *x* (el tiempo) que corresponde a ese valor. Es decir, necesitamos *despejar la x del exponente*. Para eso, necesitamos una nueva operación: el *logaritmo*.

Definición de Logaritmo

El logaritmo es la operación *inversa* de la exponenciación. Así como la resta es la inversa de la suma, y la división es la inversa de la multiplicación, el logaritmo es la inversa de la exponenciación.

Definición formal: Si $ b^y = x $, entonces $ \log_b(x) = y $ (donde b > 0 y b ≠ 1).

Se lee: "El logaritmo en base *b* de *x* es igual a *y*".

Significado: El logaritmo en base *b* de un número *x* es el *exponente* al que hay que elevar la base *b* para obtener *x*.

Componentes:

$ b $: base del logaritmo (debe ser un número positivo y diferente de 1).
$ x $: argumento del logaritmo (debe ser un número positivo).
$ y $: resultado del logaritmo (el exponente).

Ejemplos (entendiendo la definición):

$ \log_2(8) = 3 $ porque $ 2^3 = 8 $ (¿A qué exponente hay que elevar 2 para obtener 8? A 3).
$ \log_{10}(100) = 2 $ porque $ 10^2 = 100 $ (¿A qué exponente hay que elevar 10 para obtener 100? A 2).
$ \log_5(25) = 2 $ porque $ 5^2 = 25 $
$ \log_3(1) = 0 $ porque $ 3^0 = 1 $
$ \log_2(\frac{1}{2}) = -1 $ porque $ 2^{-1} = \frac{1}{2} $

Logaritmos Comunes y Naturales

Logaritmo Común (base 10): Se escribe simplemente como $ \log(x) $. Si no se escribe la base, se asume que es 10. Es decir: $ \log(x) = \log_{10}(x) $.
Logaritmo Natural (base *e*): Se escribe como $ \ln(x) $. La base es el número de Euler, *e* (aproximadamente 2.71828). Es decir: $ \ln(x) = \log_e(x) $.

Cálculo de Logaritmos Sencillos (Sin Calculadora)

Para calcular logaritmos sencillos sin calculadora, debes *pensar en la definición*: "¿A qué exponente debo elevar la base para obtener el argumento?".

Ejemplo: $ \log_4(16) = ? $ Pregúntate: "¿A qué exponente debo elevar 4 para obtener 16?". La respuesta es 2, porque $ 4^2 = 16 $. Por lo tanto, $ \log_4(16) = 2 $.

Uso de la Calculadora

Para calcular logaritmos con bases diferentes a 10 y *e*, o con argumentos más complicados, necesitarás una calculadora científica o una hoja de cálculo.

Busca las teclas "log" (para logaritmo común, base 10) y "ln" (para logaritmo natural, base *e*).
Para logaritmos en otras bases, usarás la *propiedad de cambio de base* (que veremos en la siguiente página).

Ejercicios

Ejercicio 1: Escribe las siguientes expresiones exponenciales en forma logarítmica:

$ 2^5 = 32 $
$ 10^3 = 1000 $
$ 3^{-2} = \frac{1}{9} $
$ 16^{\frac{1}{2}} = 4 $

Ejercicio 2: Escribe las siguientes expresiones logarítmicas en forma exponencial:

$ \log_5(25) = 2 $
$ \log(100) = 2 $
$ \log_2(\frac{1}{8}) = -3 $
$ \log_9(3) = \frac{1}{2} $

Ejercicio 3: Calcula los siguientes logaritmos (sin calculadora):

$ \log_2(16) $
$ \log_3(9) $
$ \log_{10}(1000) $
$ \log_5(1) $
$ \log_4(2) $
$ \log_2(\frac{1}{4}) $

Ejercicio 4: Usa la calculadora para encontrar los siguientes logaritmos (aproxima a dos decimales):

log(50)
ln(10)
log(0.1)
ln(1)

Ejercicio 5: ¿Entre qué dos números enteros consecutivos está log₂(50) ?

Media 3

La Función Logarítmica