Introducción a los Logaritmos

¿Por qué Logaritmos?

Hasta ahora, hemos trabajado con funciones exponenciales, donde la variable *x* está en el *exponente*: \( f(x) = a \cdot b^x \). Hemos visto cómo calcular el valor de la función para un *x* dado.

Pero, ¿qué pasa si queremos resolver problemas como estos?

• Una población crece exponencialmente según la función \( P(t) = 1000 \cdot 2^t \). ¿En *cuánto tiempo* la población llegará a 8000 habitantes?
• Un material radiactivo se desintegra según la función \( M(t) = 500 \cdot (0.8)^t \). ¿En *cuánto tiempo* la masa se reducirá a la mitad?
• Si inviertes $100 a una tasa de interés del 5% anual, ¿cuántos *años* tardarás en duplicar tu dinero?

En estos casos, *conocemos* el valor de la función (la población, la masa, el dinero), y queremos encontrar el valor de la variable *x* (el tiempo) que corresponde a ese valor. Es decir, necesitamos *despejar la x del exponente*. Para eso, necesitamos una nueva operación: el *logaritmo*.

Definición de Logaritmo

El logaritmo es la operación *inversa* de la exponenciación. Así como la resta es la inversa de la suma, y la división es la inversa de la multiplicación, el logaritmo es la inversa de la exponenciación.

Definición formal: Si \( b^y = x \), entonces \( \log_b(x) = y \) (donde b > 0 y b ≠ 1).

Se lee: "El logaritmo en base *b* de *x* es igual a *y*".

Significado: El logaritmo en base *b* de un número *x* es el *exponente* al que hay que elevar la base *b* para obtener *x*.

Componentes:

• \( b \): base del logaritmo (debe ser un número positivo y diferente de 1).
• \( x \): argumento del logaritmo (debe ser un número positivo).
• \( y \): resultado del logaritmo (el exponente).

Ejemplos (entendiendo la definición):

• \( \log_2(8) = 3 \) porque \( 2^3 = 8 \) (¿A qué exponente hay que elevar 2 para obtener 8? A 3).
• \( \log_{10}(100) = 2 \) porque \( 10^2 = 100 \) (¿A qué exponente hay que elevar 10 para obtener 100? A 2).
• \( \log_5(25) = 2 \) porque \( 5^2 = 25 \)
• \( \log_3(1) = 0 \) porque \( 3^0 = 1 \)
• \( \log_2(\frac{1}{2}) = -1 \) porque \( 2^{-1} = \frac{1}{2} \)

Logaritmos Comunes y Naturales

• Logaritmo Común (base 10): Se escribe simplemente como \( \log(x) \). Si no se escribe la base, se asume que es 10. Es decir: \( \log(x) = \log_{10}(x) \).
• Logaritmo Natural (base *e*): Se escribe como \( \ln(x) \). La base es el número de Euler, *e* (aproximadamente 2.71828). Es decir: \( \ln(x) = \log_e(x) \).

Cálculo de Logaritmos Sencillos (Sin Calculadora)

Para calcular logaritmos sencillos sin calculadora, debes *pensar en la definición*: "¿A qué exponente debo elevar la base para obtener el argumento?".

Ejemplo: \( \log_4(16) = ? \) Pregúntate: "¿A qué exponente debo elevar 4 para obtener 16?". La respuesta es 2, porque \( 4^2 = 16 \). Por lo tanto, \( \log_4(16) = 2 \).

Uso de la Calculadora

Para calcular logaritmos con bases diferentes a 10 y *e*, o con argumentos más complicados, necesitarás una calculadora científica o una hoja de cálculo.

• Busca las teclas "log" (para logaritmo común, base 10) y "ln" (para logaritmo natural, base *e*).
• Para logaritmos en otras bases, usarás la *propiedad de cambio de base* (que veremos en la siguiente página).

Ejercicios

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Propiedades de los Logaritmos

Repaso: Definición de Logaritmo

Recordemos: Si \( b^y = x \), entonces \( \log_b(x) = y \) (donde b > 0, b ≠ 1, y x > 0).

Propiedades Fundamentales

Las siguientes propiedades son *válidas para cualquier base* 'b' (que cumpla las condiciones: b > 0 y b ≠ 1), y para cualesquiera números positivos 'x' e 'y'.

1. Logaritmo de 1: \[ \log_b(1) = 0 \]

   Justificación: Cualquier número (excepto 0) elevado a la potencia 0 es igual a 1 (b⁰ = 1).

   Ejemplo: \( \log_5(1) = 0 \), \( \log(1) = 0 \), \( \ln(1) = 0 \)

2. Logaritmo de la base: \[ \log_b(b) = 1 \]

   Justificación: Cualquier número elevado a la potencia 1 es igual a sí mismo (b¹ = b).

   Ejemplo: \( \log_2(2) = 1 \), \( \log(10) = 1 \), \( \ln(e) = 1 \)

3. Logaritmo de un producto: \[ \log_b(x \cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y) \]

   El logaritmo de un producto es igual a la *suma* de los logaritmos de los factores.

   Ejemplo: \( \log_2(8 \cdot 4) = \log_2(8) + \log_2(4) = 3 + 2 = 5 \) (Verifica: 8 * 4 = 32, y 2⁵ = 32)

4. Logaritmo de un cociente: \[ \log_b(\frac{x}{y}) = \log_b(x) - \log_b(y) \]

   El logaritmo de un cociente es igual a la *resta* del logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

   Ejemplo: \( \log_{10}(100/10) = \log_{10}(100) - \log_{10}(10) = 2 - 1 = 1 \) (Verifica: 100/10 = 10, y 10¹ = 10)

5. Logaritmo de una potencia: \[ \log_b(x^n) = n \cdot \log_b(x) \]

   El logaritmo de una potencia es igual al *exponente multiplicado* por el logaritmo de la base.

   Ejemplo: \( \log_2(8^3) = 3 \cdot \log_2(8) = 3 \cdot 3 = 9 \) (Verifica: 8³ = 512, y 2⁹ = 512)

6. Cambio de Base (Opcional, según el currículo): \[ \log_a(x) = \frac{\log_b(x)}{\log_b(a)} \]

   Esta fórmula permite calcular un logaritmo en cualquier base *a* usando logaritmos en otra base *b* (generalmente, se usan logaritmos comunes (base 10) o naturales (base *e*), que están disponibles en la calculadora).

   Ejemplo: Para calcular \( \log_2(5) \) con una calculadora que solo tiene logaritmos comunes (log) y naturales (ln):

   • Usando logaritmos comunes: \( \log_2(5) = \frac{\log(5)}{\log(2)} \approx \frac{0.699}{0.301} \approx 2.32 \)
   • Usando logaritmos naturales: \( \log_2(5) = \frac{\ln(5)}{\ln(2)} \approx \frac{1.609}{0.693} \approx 2.32 \)

Ejercicios (Graduados por Dificultad)

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La Función Logarítmica

Repaso: Logaritmos

Recordemos que el logaritmo es la operación inversa de la exponenciación. Si \( b^y = x \), entonces \( \log_b(x) = y \) (donde b > 0, b ≠ 1, y x > 0).

Definición de la Función Logarítmica

La función logarítmica, con base *b*, se define como:

\[ f(x) = \log_b(x) \]

Donde:

• \( x \) es la variable independiente (el *argumento* del logaritmo). Debe ser un número *positivo* (x > 0).
• \( f(x) \) es la variable dependiente (el valor del logaritmo).
• \( b \) es la *base* del logaritmo (b > 0 y b ≠ 1).

Restricciones sobre la Base y el Argumento

Es importante notar que en la definición de la función logarítmica, \( f(x) = \log_b(x) \), hay restricciones sobre los valores que pueden tomar *b* (la base) y *x* (el argumento):

• \( x > 0 \) (El argumento debe ser positivo)
• \( b > 0 \) y \( b \neq 1 \) (La base debe ser positiva y diferente de 1)

Ejemplo: \( f(x) = \log_2(x) \)

La función logarítmica es la *función inversa* de la función exponencial con la misma base. Esto significa que:

• Si \( f(x) = b^x \) y \( g(x) = \log_b(x) \), entonces:
  • \( f(g(x)) = b^{\log_b(x)} = x \) (para todo x > 0)
  • \( g(f(x)) = \log_b(b^x) = x \) (para todo x real)
• Las gráficas de \( f(x) = b^x \) y \( g(x) = \log_b(x) \) son *simétricas* con respecto a la recta \( y = x \).

Ejemplo: \( f(x) = \log_2(x) \)

• Base: 2
• \( f(4) = \log_2(4) = 2 \) porque \( 2^2 = 4 \)
• \( f(8) = \log_2(8) = 3 \) porque \( 2^3 = 8 \)
• \( f(1) = \log_2(1) = 0 \) porque \( 2^0 = 1 \)
• \( f(\frac{1}{2}) = \log_2(\frac{1}{2}) = -1 \) porque \( 2^{-1} = \frac{1}{2} \)
• \( f(0) \) *no está definido* (no existe ningún exponente al que podamos elevar 2 para obtener 0).
• \( f(-1) \) *no está definido* (no podemos tomar el logaritmo de un número negativo).

Dominio y Recorrido

• Dominio: El dominio de la función logarítmica \( f(x) = \log_b(x) \) es el conjunto de todos los números reales *positivos* (\( (0, \infty) \)). No se puede calcular el logaritmo de 0 ni de un número negativo.
• Recorrido (Rango): El recorrido de la función logarítmica es el conjunto de *todos* los números reales (\( \mathbb{R} \)). El resultado de un logaritmo puede ser cualquier número real (positivo, negativo o cero).

Gráfica de la Función Logarítmica

La gráfica de una función logarítmica tiene características importantes:

• Forma General: Es una curva suave.
  • Si b > 1: La función es *creciente* (sube de izquierda a derecha).
  • Si 0 < b < 1: La función es *decreciente* (baja de izquierda a derecha).
• Asíntota Vertical: La gráfica se acerca cada vez más al eje y (x = 0), pero *nunca* lo toca. El eje y (x = 0) es una *asíntota vertical*.
• Intersección con el Eje x: La gráfica siempre cruza el eje x en el punto (1, 0) (ya que \( \log_b(1) = 0 \) para cualquier base b).

(En Moodle, aquí insertarías imágenes de gráficos de funciones logarítmicas: una con b > 1 y otra con 0 < b < 1, mostrando la asíntota vertical y el punto (1, 0). Idealmente, usar un graficador interactivo).

Ejercicios

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Ecuaciones Exponenciales (Parte 1: Igual Base)

¿Qué es una Ecuación Exponencial?

Una ecuación exponencial es aquella en la que la *incógnita* (generalmente "x") aparece en el *exponente*. Resolver una ecuación exponencial significa encontrar el valor (o valores) de la incógnita que hace que la igualdad sea verdadera.

Ejemplos:

• \( 2^x = 8 \)
• \( 3^{x-1} = 9 \)
• \( 5^{2x} = 125 \)
• \( 10^{x+2} = 0.01 \)

Ecuaciones Exponenciales con Igual Base

El tipo más sencillo de ecuación exponencial es aquel en el que podemos expresar *ambos lados* de la ecuación como potencias de la *misma base*. En este caso, la solución es muy directa.

Propiedad fundamental: Si \( b^m = b^n \) (y b > 0, b ≠ 1), entonces \( m = n \).

Es decir, si tenemos dos potencias *iguales* con la *misma base*, entonces sus *exponentes* deben ser iguales.

Ejemplo Resuelto Paso a Paso

Resolver: \( 3^{x+1} = 81 \)

1. Expresar ambos lados con la misma base: Observamos que 81 se puede expresar como una potencia de 3: \( 81 = 3^4 \). Entonces, la ecuación se convierte en: \[ 3^{x+1} = 3^4 \]
2. Igualar los exponentes: Como las bases son iguales (ambas son 3), los exponentes deben ser iguales: \[ x + 1 = 4 \]
3. Resolver la ecuación lineal resultante: \[ x = 4 - 1 \] \[ x = 3 \]
4. Verificar (opcional, pero recomendado): Sustituimos x = 3 en la ecuación original: \[ 3^{3+1} = 3^4 = 81 \] La solución es correcta.

Ejercicios

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Ecuaciones Exponenciales (Parte 2) y Logarítmicas

Repaso: Ecuaciones Exponenciales (Igual Base)

En la página anterior, vimos cómo resolver ecuaciones exponenciales donde podíamos expresar ambos lados con la misma base. Pero, ¿qué pasa si esto no es posible?

Ecuaciones Exponenciales (Diferente Base): Uso de Logaritmos

Cuando no podemos igualar las bases, utilizamos *logaritmos* para resolver ecuaciones exponenciales. La idea clave es aplicar un logaritmo (generalmente logaritmo común (log) o natural (ln)) a *ambos lados* de la ecuación.

Propiedad clave: \( \log_b(a^x) = x \cdot \log_b(a) \)

Esta propiedad nos permite "bajar" el exponente (donde está la incógnita) y convertir la ecuación exponencial en una ecuación lineal (o de otro tipo, pero más fácil de resolver).

Ejemplo Resuelto Paso a Paso

Resolver: \( 2^x = 7 \)

1. Aplicar logaritmos a ambos lados (usaremos logaritmo común, pero podríamos usar ln): \[ \log(2^x) = \log(7) \]
2. Usar la propiedad del logaritmo de una potencia: \[ x \cdot \log(2) = \log(7) \]
3. Despejar x: \[ x = \frac{\log(7)}{\log(2)} \]
4. Calcular con calculadora: \[ x \approx \frac{0.845}{0.301} \approx 2.807 \]
5. Verificar (opcional): \( 2^{2.807} \approx 7 \) (la solución es aproximada debido al redondeo).

Ecuaciones Logarítmicas

Una ecuación logarítmica es aquella en la que la incógnita aparece *dentro* de un logaritmo.

Ejemplos:

• \( \log_2(x) = 3 \)
• \( \log(x + 1) = 2 \)
• \( \ln(2x - 1) = 0 \)
• \( \log_3(x) + \log_3(x - 2) = 1 \)

Estrategias para resolver ecuaciones logarítmicas:

1. Usar la definición de logaritmo: Si tienes una ecuación de la forma \( \log_b(x) = y \), puedes reescribirla en forma exponencial: \( x = b^y \).
2. Usar las propiedades de los logaritmos: Simplifica la ecuación usando las propiedades (producto, cociente, potencia) para obtener un solo logaritmo a un lado de la ecuación.
3. "Exponenciar" ambos lados: Si tienes una ecuación de la forma \( \log_b(A) = \log_b(B) \), entonces puedes concluir que A = B. (Esto es esencialmente "tomar la función exponencial con base b a ambos lados").
4. Verificar las soluciones: *Siempre* verifica las soluciones en la ecuación *original*. Es posible que obtengas soluciones *extrañas* (que no son válidas) debido a las restricciones del dominio de los logaritmos (el argumento debe ser positivo).

Ejemplo Resuelto Paso a Paso 1

Resolver: \( \log_2(x) = 3 \)

1. Usar la definición: Reescribimos en forma exponencial: \[ x = 2^3 \]
2. Calcular: \[ x = 8 \]
3. Verificar: \( \log_2(8) = 3 \) (Correcto).

Ejemplo Resuelto Paso a Paso 2

Resolver: \( \log(x + 1) + \log(x) = \log(6) \)

1. Usar la propiedad del logaritmo de un producto: \[ \log((x+1) \cdot x) = \log(6) \]
2. "Exponenciar" ambos lados (base 10): \[ (x+1) \cdot x = 6 \]
3. Resolver la ecuación cuadrática: \[ x^2 + x = 6 \] \[ x^2 + x - 6 = 0 \] \[ (x + 3)(x - 2) = 0 \] \[ x = -3 \text{ o } x = 2 \]
4. Verificar:
   • x = -3: \( \log(-3 + 1) \) y \( \log(-3) \) *no están definidos* (logaritmos de números negativos). Por lo tanto, x = -3 *no es una solución válida*.
   • x = 2: \( \log(2 + 1) + \log(2) = \log(3) + \log(2) = \log(3 \cdot 2) = \log(6) \) (Correcto).

Resultado: La única solución es x = 2.

Ejercicios

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Ejercicios de Selección Múltiple - Función Logarítmica

Instrucciones: Elige la alternativa correcta. Haz clic en "Mostrar/Ocultar Solución" para ver la respuesta.