La Función Logarítmica
| Sitio: | MATEMÁTICAS × Profe Arauco |
| Curso: | Media 3 |
| Libro: | La Función Logarítmica |
| Imprimido por: | Invitado |
| Día: | jueves, 23 de julio de 2026, 20:04 |
Tabla de contenidos
- 1. Logaritmo como inversa de la función exponencial
- 2. Repaso: definición de logaritmo
- 3. Introducción a la funcion logaritmica
- 4. Representación gráfica de funciones logarítmicas
- 5. Comparación de bases en funciones logarítmicas
- 6. Transformaciones y dominio de funciones logarítmicas
- 7. Preimagen en funciones logarítmicas
1. Logaritmo como inversa de la función exponencial
Objetivos
- Interpretar el logaritmo como la operación inversa de una potencia.
- Relacionar la función exponencial y la función logarítmica mediante sus gráficas.
- Resolver preimágenes simples usando la equivalencia entre forma logarítmica y forma exponencial.
El logaritmo como pregunta
El logaritmo responde una pregunta de exponentes. Por ejemplo:
\[ \log_2(8)=3 \]
significa: ¿a qué exponente hay que elevar \(2\) para obtener \(8\)? La respuesta es \(3\), porque:
\[ 2^3=8 \]
Equivalencia fundamental
Para \(a>0\), \(a\neq 1\) y \(x>0\):
Esta equivalencia conecta la función logarítmica con la función exponencial.
Visualización con Cartesiano
Las gráficas de \(y=2^x\) y \(y=\log_2(x)\) son inversas. Se reflejan respecto de la recta \(y=x\).
Ejemplo 1: pasar de logaritmo a potencia
Resolver \(\log_2(x)=5\) significa encontrar la preimagen de \(5\) para la función \(f(x)=\log_2(x)\).
Usamos la equivalencia:
\[ \log_2(x)=5 \Longleftrightarrow 2^5=x \]
\[ x=32 \]
La preimagen de \(5\) es \(x=32\).
Ejemplo 2: leer puntos inversos
Si \(2^3=8\), entonces la función exponencial \(y=2^x\) pasa por \((3,8)\).
La función logarítmica inversa cumple \(\log_2(8)=3\), por lo que pasa por \((8,3)\).
Los puntos de funciones inversas intercambian sus coordenadas.
Ejercicio 1
Convierte \(\log_3(81)=4\) a forma exponencial.
Usamos la equivalencia:
\[ \log_a(x)=y \Longleftrightarrow a^y=x \]
En este caso, la base es \(3\), el argumento es \(81\) y el resultado es \(4\). Entonces:
\[ 3^4=81 \]
Ejercicio 2
Resuelve \(\log_5(x)=3\).
Pasamos de forma logarítmica a forma exponencial:
\[ \log_5(x)=3 \Longleftrightarrow 5^3=x \]
Calculamos:
\[ 5^3=125 \]
Por lo tanto, \(x=125\).
Ejercicio 3
Si \(4^2=16\), ¿qué igualdad logarítmica equivalente se obtiene?
En la expresión \(4^2=16\):
- la base es \(4\),
- el exponente es \(2\),
- el resultado es \(16\).
Entonces, en forma logarítmica:
\[ \log_4(16)=2 \]
Ejercicio 4
La función exponencial \(y=2^x\) pasa por \((4,16)\). ¿Por qué punto pasa su inversa \(y=\log_2(x)\)?
En funciones inversas, los puntos intercambian sus coordenadas.
Si \(y=2^x\) pasa por:
\[ (4,16) \]
entonces su inversa \(y=\log_2(x)\) pasa por:
\[ (16,4) \]
La función logarítmica pasa por \((16,4)\).
Ejercicio 5
Explica por qué \(\log_2(x)=0\) tiene solución \(x=1\).
Usamos la equivalencia entre logaritmo y potencia:
\[ \log_2(x)=0 \Longleftrightarrow 2^0=x \]
Como cualquier número distinto de cero elevado a \(0\) es \(1\), se tiene:
\[ 2^0=1 \]
Por lo tanto, \(x=1\).
Para recordar
Antes de aplicar reglas, conviene leer el logaritmo como una pregunta de exponentes. Esa idea sostiene la función logarítmica y también las ecuaciones logarítmicas.
2. Repaso: definición de logaritmo
Repaso: definición de logaritmo
El logaritmo como exponente
Recordemos que el logaritmo indica el exponente al que se debe elevar una base para obtener un número.
La forma exponencial y la forma logarítmica son equivalentes:
\[ b^y=x \quad\Longleftrightarrow\quad \log_b(x)=y \]
Propiedades fundamentales
Reglas de los logaritmos
Las siguientes propiedades son válidas para bases permitidas, es decir, \(b>0\) y \(b\neq 1\), y para argumentos positivos.
| Propiedad | Regla |
|---|---|
| Logaritmo de un producto | \(\log_b(x\cdot y)=\log_b(x)+\log_b(y)\) |
| Logaritmo de un cociente | \(\log_b\left(\frac{x}{y}\right)=\log_b(x)-\log_b(y)\) |
| Logaritmo de una potencia | \(\log_b(x^n)=n\cdot \log_b(x)\) |
| Logaritmo de la base | \(\log_b(b)=1\) |
| Logaritmo de \(1\) | \(\log_b(1)=0\) |
| Cambio de base | \(\log_a(x)=\dfrac{\log_b(x)}{\log_b(a)}\) |
Ejemplos de las propiedades en acción
Ejemplos de aplicación
Veamos cómo se aplican las propiedades principales con ejemplos concretos.
Logaritmo de un producto:
\[ \log_2(8\cdot 4)=\log_2(8)+\log_2(4) \]
\[ \log_2(8\cdot 4)=3+2=5 \]
Verificación: \[ 8\cdot 4=32 \qquad\text{y}\qquad 2^5=32 \]
Logaritmo de un cociente:
\[ \log\left(\frac{100}{10}\right)=\log(100)-\log(10) \]
\[ \log\left(\frac{100}{10}\right)=2-1=1 \]
Verificación: \[ \frac{100}{10}=10 \qquad\text{y}\qquad \log(10)=1 \]
Logaritmo de una potencia:
\[ \log_2(8^3)=3\cdot \log_2(8) \]
\[ \log_2(8^3)=3\cdot 3=9 \]
Verificación: \[ 8^3=512 \qquad\text{y}\qquad 2^9=512 \]
Cambio de base:
Para calcular \(\log_2(5)\) usando una calculadora que tenga \(\log\), se puede escribir:
\[ \log_2(5)=\frac{\log(5)}{\log(2)} \]
\[ \log_2(5)\approx \frac{0{,}699}{0{,}301}\approx 2{,}32 \]
La propiedad clave
La propiedad del logaritmo de una potencia, \[ \log_b(x^n)=n\cdot \log_b(x) \] es especialmente importante para resolver ecuaciones exponenciales, porque permite bajar el exponente y trabajar con él como factor.
Errores comunes que debes evitar
Los logaritmos no se distribuyen sobre sumas o restas. Las siguientes igualdades son falsas:
- \(\log_b(x+y)\neq \log_b(x)+\log_b(y)\)
- \(\log_b(x-y)\neq \log_b(x)-\log_b(y)\)
- \(\dfrac{\log_b(x)}{\log_b(y)}\neq \log_b(x-y)\)
Ejercicios
Ejercicio 1
Calcula sin usar calculadora:
- \(\log_7(1)\)
- \(\log_5(5)\)
- \(\log(10)\)
- \(\ln(e)\)
- \[ \log_7(1)=0 \] porque \(7^0=1\).
- \[ \log_5(5)=1 \] porque \(5^1=5\).
- Como \(\log\) sin base escrita corresponde a base \(10\): \[ \log(10)=1 \] porque \(10^1=10\).
- \[ \ln(e)=1 \] porque \(e^1=e\).
Ejercicio 2
Expresa como un solo logaritmo:
- \(\log_2(5)+\log_2(3)\)
- \(\log(100)-\log(10)\)
- \(3\cdot \log_5(4)\)
- \(\log_3(10)+\log_3(2)-\log_3(4)\)
- \(2\log(5)+\log(4)\)
- \(\log_2(20)-2\log_2(5)\)
- Usamos la propiedad del producto: \[ \log_2(5)+\log_2(3)=\log_2(5\cdot 3)=\log_2(15) \]
- Usamos la propiedad del cociente: \[ \log(100)-\log(10)=\log\left(\frac{100}{10}\right)=\log(10) \] Además, \(\log(10)=1\).
- Usamos la propiedad de la potencia: \[ 3\log_5(4)=\log_5(4^3)=\log_5(64) \]
- Primero unimos los productos y luego el cociente: \[ \log_3(10)+\log_3(2)-\log_3(4) = \log_3\left(\frac{10\cdot 2}{4}\right) \] \[ \log_3\left(\frac{20}{4}\right)=\log_3(5) \]
- Bajamos el coeficiente \(2\) como exponente: \[ 2\log(5)+\log(4)=\log(5^2)+\log(4) \] Luego usamos la propiedad del producto: \[ \log(25)+\log(4)=\log(25\cdot 4)=\log(100) \] Además, \(\log(100)=2\).
- Primero aplicamos la propiedad de la potencia: \[ \log_2(20)-2\log_2(5)=\log_2(20)-\log_2(5^2) \] Luego usamos la propiedad del cociente: \[ \log_2(20)-\log_2(25)=\log_2\left(\frac{20}{25}\right) \] Simplificamos: \[ \log_2\left(\frac{20}{25}\right)=\log_2\left(\frac{4}{5}\right) \]
Ejercicio 3
Simplifica las siguientes expresiones:
- \(\log_3(9\cdot 27)\)
- \(\log_2\left(\frac{64}{16}\right)\)
- \(\log_5(25^4)\)
- \(\log(1000^6)\)
- \(\log_2(8)+\log_2(4)-\log_2(2)\)
- \(2\log_3(9)+\log_3(3)-\log_3(27)\)
- \(\log_4(8)+\log_4(2)\)
- \(\log(\sqrt{10})\)
- \[ \log_3(9\cdot 27)=\log_3(9)+\log_3(27) \] \[ 2+3=5 \]
- \[ \log_2\left(\frac{64}{16}\right)=\log_2(64)-\log_2(16) \] \[ 6-4=2 \]
- \[ \log_5(25^4)=4\log_5(25) \] \[ 4\cdot 2=8 \]
- \[ \log(1000^6)=6\log(1000) \] \[ 6\cdot 3=18 \]
- \[ \log_2(8)+\log_2(4)-\log_2(2)=3+2-1=4 \]
- \[ 2\log_3(9)+\log_3(3)-\log_3(27) \] \[ 2\cdot 2+1-3=4+1-3=2 \]
- \[ \log_4(8)+\log_4(2)=\log_4(8\cdot 2) \] \[ \log_4(16)=2 \]
- Como \(\sqrt{10}=10^{\frac{1}{2}}\): \[ \log(\sqrt{10})=\log\left(10^{\frac{1}{2}}\right) \] \[ \log\left(10^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}\log(10)=\frac{1}{2} \]
Ejercicio 4
Si \(\log_2(x)=3\) y \(\log_2(y)=4\), calcula:
- \(\log_2(xy)\)
- \(\log_2\left(\frac{x}{y}\right)\)
- \(\log_2(x^5)\)
- \(\log_2(\sqrt{x})\)
- \(\log_2(x^2y^3)\)
- \(\log_2\left(\frac{1}{x}\right)\)
- \[ \log_2(xy)=\log_2(x)+\log_2(y) \] \[ 3+4=7 \]
- \[ \log_2\left(\frac{x}{y}\right)=\log_2(x)-\log_2(y) \] \[ 3-4=-1 \]
- \[ \log_2(x^5)=5\log_2(x) \] \[ 5\cdot 3=15 \]
- Como \(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\): \[ \log_2(\sqrt{x})=\log_2\left(x^{\frac{1}{2}}\right) \] \[ \frac{1}{2}\log_2(x)=\frac{1}{2}\cdot 3=\frac{3}{2} \]
- \[ \log_2(x^2y^3)=\log_2(x^2)+\log_2(y^3) \] \[ 2\log_2(x)+3\log_2(y) \] \[ 2\cdot 3+3\cdot 4=6+12=18 \]
- Como \(\frac{1}{x}=x^{-1}\): \[ \log_2\left(\frac{1}{x}\right)=\log_2(x^{-1}) \] \[ -1\cdot \log_2(x)=-3 \]
Ejercicio 5
Usa la propiedad de cambio de base para calcular \(\log_2(7)\) con tres decimales.
Usamos la propiedad de cambio de base:
\[ \log_2(7)=\frac{\log(7)}{\log(2)} \]
Aproximando:
\[ \log(7)\approx 0{,}845 \qquad\text{y}\qquad \log(2)\approx 0{,}301 \]
Entonces:
\[ \log_2(7)\approx \frac{0{,}845}{0{,}301} \]
\[ \log_2(7)\approx 2{,}807 \]
\(\log_2(7)\approx 2{,}807\).
Ejercicio 6
Sabiendo que \(\log(2)\approx 0{,}301\) y que \(\log(3)\approx 0{,}477\), calcula \(\log(6)\) y \(\log(18)\).
Para \(\log(6)\), escribimos \(6=2\cdot 3\):
\[ \log(6)=\log(2\cdot 3) \]
\[ \log(6)=\log(2)+\log(3) \]
\[ \log(6)\approx 0{,}301+0{,}477=0{,}778 \]
Para \(\log(18)\), escribimos \(18=2\cdot 3^2\):
\[ \log(18)=\log(2\cdot 3^2) \]
\[ \log(18)=\log(2)+\log(3^2) \]
\[ \log(18)=\log(2)+2\log(3) \]
\[ \log(18)\approx 0{,}301+2(0{,}477)=1{,}255 \]
\(\log(6)\approx 0{,}778\) y \(\log(18)\approx 1{,}255\).
Ejercicio 7
Si \(\log(a)=x\), ¿cuál es el valor de \(\log(100a)\)?
Usamos la propiedad del producto:
\[ \log(100a)=\log(100)+\log(a) \]
Como \(\log(100)=2\) y \(\log(a)=x\), entonces:
\[ \log(100a)=2+x \]
\(\log(100a)=x+2\).
3. Introducción a la funcion logaritmica
Introducción a la funcion logaritmica
¿Por qué logaritmos?
La incógnita en el exponente
Hasta ahora, hemos trabajado con funciones exponenciales, donde la variable \(x\) está en el exponente:
\[ f(x)=a\cdot b^x \]
Pero surge una nueva pregunta: ¿qué pasa si la incógnita es el exponente?
El desafío: despejar el exponente
Considera estas preguntas:
- Una población de \(1000\) bacterias se duplica cada hora, según \(P(t)=1000\cdot 2^t\). ¿En cuánto tiempo llegará a \(8000\)?
- Inviertes $100 al \(5\%\) anual. ¿Cuántos años tardarás en duplicar tu dinero?
Para resolver este tipo de preguntas, necesitamos “bajar” la incógnita del exponente. La herramienta para hacerlo es el logaritmo.
Definición de logaritmo
Definición formal de logaritmo
El logaritmo es la operación inversa de la exponenciación.
La expresión exponencial y la logarítmica son equivalentes:
Se lee: “el logaritmo en base \(b\) de \(x\) es igual a \(y\)”.
Condiciones importantes
- La base \(b\) debe ser positiva y distinta de \(1\): \[ b>0,\qquad b\neq 1 \]
- El argumento \(x\) debe ser positivo: \[ x>0 \]
Logaritmos comunes y naturales
Dos logaritmos especiales
- Logaritmo común: es el logaritmo en base \(10\). Si la base no está escrita, se asume que es \(10\). Se denota como \(\log(x)\). Por ejemplo: \[ \log(100)=\log_{10}(100)=2 \]
- Logaritmo natural: es el logaritmo en base \(e\), donde \(e\approx 2{,}718\). Se denota como \(\ln(x)\). Por ejemplo: \[ \ln(e)=\log_e(e)=1 \]
Cálculo mental de logaritmos
El truco para calcular logaritmos simples
Para calcular \(\log_b(x)\), puedes preguntarte:
¿A qué exponente debo elevar la base \(b\) para obtener el argumento \(x\)?
Por ejemplo, para \(\log_4(16)\), preguntamos: ¿\(4\) elevado a qué número da \(16\)? La respuesta es \(2\), porque:
\[ 4^2=16 \]
Entonces:
\[ \log_4(16)=2 \]
Aplicando la definición: ejemplos clave
La mejor forma de entender los logaritmos es ver la definición en acción. Cada ejemplo responde a la pregunta: ¿a qué exponente debo elevar la base para obtener el argumento?
- \(\log_2(8)=3\), porque \(2^3=8\).
- \(\log_{10}(100)=2\), porque \(10^2=100\).
- \(\log_5(25)=2\), porque \(5^2=25\).
- \(\log_3(1)=0\), porque \(3^0=1\).
- \(\log_2\left(\frac{1}{2}\right)=-1\), porque \(2^{-1}=\frac{1}{2}\).
- \(\ln(e^2)=2\), porque \(e^2=e^2\).
Ejercicios de práctica
Ejercicio 1
Escribe las siguientes expresiones exponenciales en forma logarítmica:
- \(2^5=32\)
- \(10^3=1000\)
- \(3^{-2}=\frac{1}{9}\)
- \(16^{\frac{1}{2}}=4\)
Usamos la equivalencia:
\[ b^y=x \quad\Longleftrightarrow\quad \log_b(x)=y \]
- \[ 2^5=32 \quad\Longleftrightarrow\quad \log_2(32)=5 \]
- \[ 10^3=1000 \quad\Longleftrightarrow\quad \log_{10}(1000)=3 \] También se puede escribir \(\log(1000)=3\).
- \[ 3^{-2}=\frac{1}{9} \quad\Longleftrightarrow\quad \log_3\left(\frac{1}{9}\right)=-2 \]
- \[ 16^{\frac{1}{2}}=4 \quad\Longleftrightarrow\quad \log_{16}(4)=\frac{1}{2} \]
Ejercicio 2
Escribe las siguientes expresiones logarítmicas en forma exponencial:
- \(\log_5(25)=2\)
- \(\log(100)=2\)
- \(\log_2\left(\frac{1}{8}\right)=-3\)
- \(\log_9(3)=\frac{1}{2}\)
Usamos la equivalencia:
\[ \log_b(x)=y \quad\Longleftrightarrow\quad b^y=x \]
- \[ \log_5(25)=2 \quad\Longleftrightarrow\quad 5^2=25 \]
- Como \(\log(100)=\log_{10}(100)\), entonces: \[ \log(100)=2 \quad\Longleftrightarrow\quad 10^2=100 \]
- \[ \log_2\left(\frac{1}{8}\right)=-3 \quad\Longleftrightarrow\quad 2^{-3}=\frac{1}{8} \]
- \[ \log_9(3)=\frac{1}{2} \quad\Longleftrightarrow\quad 9^{\frac{1}{2}}=3 \]
Ejercicio 3
Calcula los siguientes logaritmos sin calculadora:
- \(\log_2(16)\)
- \(\log_3(9)\)
- \(\log(1000)\)
- \(\log_5(1)\)
- \(\log_4(2)\)
- \(\log_2\left(\frac{1}{4}\right)\)
- \(\ln(e)\)
- \(\ln(e^3)\)
- \[ \log_2(16)=4 \] porque \(2^4=16\).
- \[ \log_3(9)=2 \] porque \(3^2=9\).
- Como \(\log\) sin base escrita es base \(10\): \[ \log(1000)=3 \] porque \(10^3=1000\).
- \[ \log_5(1)=0 \] porque \(5^0=1\).
- \[ \log_4(2)=\frac{1}{2} \] porque \(4^{\frac{1}{2}}=\sqrt{4}=2\).
- \[ \log_2\left(\frac{1}{4}\right)=-2 \] porque \(2^{-2}=\frac{1}{4}\).
- \[ \ln(e)=1 \] porque \(e^1=e\).
- \[ \ln(e^3)=3 \] porque \(e^3=e^3\).
Ejercicio 4
Usa una calculadora para encontrar los siguientes logaritmos. Aproxima a dos decimales cuando sea necesario:
- \(\log(50)\)
- \(\ln(10)\)
- \(\log(0{,}1)\)
- \(\ln(1)\)
- \[ \log(50)\approx 1{,}70 \]
- \[ \ln(10)\approx 2{,}30 \]
- \[ \log(0{,}1)=-1 \] porque \(10^{-1}=0{,}1\).
- \[ \ln(1)=0 \] porque \(e^0=1\).
Ejercicio 5
¿Entre qué dos números enteros consecutivos está \(\log_2(50)\)?
Para ubicar \(\log_2(50)\), buscamos potencias de \(2\) que estén cerca de \(50\).
\[ 2^5=32 \]
\[ 2^6=64 \]
Como \(50\) está entre \(32\) y \(64\), se cumple:
\[ 2^5<50<2^6 \]
Por lo tanto:
\[ 5<\log_2(50)<6 \]
\(\log_2(50)\) está entre \(5\) y \(6\).
4. Representación gráfica de funciones logarítmicas
Representación gráfica de funciones logarítmicas
Características gráficas principales
La gráfica de una función logarítmica de la forma \[ f(x)=\log_b(x) \] depende de la base \(b\), pero siempre cumple ciertas condiciones.
- Su dominio es \(x>0\), es decir, \((0,\infty)\).
- Pasa por el punto \((1,0)\), porque \(\log_b(1)=0\).
- Tiene una asíntota vertical en \(x=0\).
- Si \(b>1\), la función es creciente.
- Si \(0<b<1\), la función es decreciente.
Ejemplo 1: gráfica de \(f(x)=\log_2(x)\)
La función \(f(x)=\log_2(x)\) tiene base \(2\). Como \(2>1\), su gráfica es creciente.
| \(x\) | \(\log_2(x)\) | Justificación |
|---|---|---|
| \(\frac{1}{4}\) | \(-2\) | \(2^{-2}=\frac{1}{4}\) |
| \(\frac{1}{2}\) | \(-1\) | \(2^{-1}=\frac{1}{2}\) |
| \(1\) | \(0\) | \(2^0=1\) |
| \(2\) | \(1\) | \(2^1=2\) |
| \(4\) | \(2\) | \(2^2=4\) |
| \(8\) | \(3\) | \(2^3=8\) |
La gráfica crece lentamente, pasa por \((1,0)\) y se acerca al eje \(Y\) sin tocarlo.
Ejemplo 2: gráfica de \(g(x)=\log_{\frac{1}{2}}(x)\)
La función \(g(x)=\log_{\frac{1}{2}}(x)\) tiene base \(\frac{1}{2}\). Como \(0<\frac{1}{2}<1\), su gráfica es decreciente.
| \(x\) | \(\log_{\frac{1}{2}}(x)\) | Justificación |
|---|---|---|
| \(\frac{1}{4}\) | \(2\) | \(\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\) |
| \(\frac{1}{2}\) | \(1\) | \(\left(\frac{1}{2}\right)^1=\frac{1}{2}\) |
| \(1\) | \(0\) | \(\left(\frac{1}{2}\right)^0=1\) |
| \(2\) | \(-1\) | \(\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}=2\) |
| \(4\) | \(-2\) | \(\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}=4\) |
| \(8\) | \(-3\) | \(\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}=8\) |
La gráfica decrece, pasa por \((1,0)\) y también se acerca al eje \(Y\) sin tocarlo.
Ejemplo 3: comparación entre \(b>1\) y \(0<b<1\)
Comparemos las funciones:
\[ f(x)=\log_2(x) \qquad\text{y}\qquad g(x)=\log_{\frac{1}{2}}(x) \]
Ambas tienen dominio \(x>0\), pasan por \((1,0)\) y tienen asíntota vertical en \(x=0\). La diferencia principal está en el comportamiento:
- \(\log_2(x)\) es creciente, porque \(2>1\).
- \(\log_{\frac{1}{2}}(x)\) es decreciente, porque \(0<\frac{1}{2}<1\).
La base determina si la función logarítmica crece o decrece.
Ejemplo 4: relación entre exponencial y logaritmo
La función \(y=2^x\) y la función \(y=\log_2(x)\) son inversas. Por eso, sus gráficas se reflejan respecto de la recta \(y=x\).
Algunos puntos intercambian sus coordenadas:
- En \(y=2^x\), el punto \((2,4)\) pertenece a la gráfica.
- En \(y=\log_2(x)\), el punto correspondiente es \((4,2)\).
Esta relación muestra que el logaritmo deshace una potencia.
Ejercicios gráficos
Ejercicio 1
Completa la tabla para \(f(x)=\log_3(x)\):
| \(x\) | \(\log_3(x)\) |
|---|---|
| \(\frac{1}{9}\) | ? |
| \(\frac{1}{3}\) | ? |
| \(1\) | ? |
| \(3\) | ? |
| \(9\) | ? |
Buscamos el exponente al que se debe elevar \(3\) para obtener cada valor de \(x\).
| \(x\) | \(\log_3(x)\) | Justificación |
|---|---|---|
| \(\frac{1}{9}\) | \(-2\) | \(3^{-2}=\frac{1}{9}\) |
| \(\frac{1}{3}\) | \(-1\) | \(3^{-1}=\frac{1}{3}\) |
| \(1\) | \(0\) | \(3^0=1\) |
| \(3\) | \(1\) | \(3^1=3\) |
| \(9\) | \(2\) | \(3^2=9\) |
Como la base \(3\) es mayor que \(1\), la función \(f(x)=\log_3(x)\) es creciente.
Ejercicio 2
Determina si cada función logarítmica es creciente o decreciente:
- \(f(x)=\log_5(x)\)
- \(g(x)=\log_{\frac{1}{3}}(x)\)
- \(h(x)=\log_{10}(x)\)
- \(p(x)=\log_{0{,}8}(x)\)
Para decidir, observamos la base:
- Si \(b>1\), la función es creciente.
- Si \(0<b<1\), la función es decreciente.
- \(\log_5(x)\): como \(5>1\), es creciente.
- \(\log_{\frac{1}{3}}(x)\): como \(0<\frac{1}{3}<1\), es decreciente.
- \(\log_{10}(x)\): como \(10>1\), es creciente.
- \(\log_{0{,}8}(x)\): como \(0<0{,}8<1\), es decreciente.
Crecientes: a) y c). Decrecientes: b) y d).
Ejercicio 3
Para la función \(f(x)=\log_2(x)\), identifica:
- El dominio.
- La asíntota vertical.
- El punto donde intersecta el eje \(X\).
- Si es creciente o decreciente.
- El dominio es \(x>0\), es decir, \((0,\infty)\), porque el argumento de un logaritmo debe ser positivo.
- La asíntota vertical es \(x=0\).
- La intersección con el eje \(X\) ocurre cuando \(f(x)=0\): \[ \log_2(x)=0 \] Esto equivale a: \[ 2^0=x \] Por lo tanto, \(x=1\). El punto es \((1,0)\).
- Como la base es \(2\), y \(2>1\), la función es creciente.
Dominio: \((0,\infty)\). Asíntota: \(x=0\). Intersección con el eje \(X\): \((1,0)\). Función creciente.
Ejercicio 4
Para la función \(g(x)=\log_{\frac{1}{4}}(x)\), identifica:
- El dominio.
- La asíntota vertical.
- El punto donde intersecta el eje \(X\).
- Si es creciente o decreciente.
- El dominio es \((0,\infty)\), porque el argumento del logaritmo debe ser positivo.
- La asíntota vertical es \(x=0\).
- Toda función \(y=\log_b(x)\) pasa por \((1,0)\), porque: \[ \log_b(1)=0 \] Entonces, la intersección con el eje \(X\) es \((1,0)\).
- Como la base es \(\frac{1}{4}\), y \(0<\frac{1}{4}<1\), la función es decreciente.
Dominio: \((0,\infty)\). Asíntota: \(x=0\). Intersección con el eje \(X\): \((1,0)\). Función decreciente.
Ejercicio 5
Compara \(f(x)=\log_2(x)\) y \(g(x)=\log_{\frac{1}{2}}(x)\). Calcula ambas funciones para \(x=\frac{1}{2}\), \(x=1\) y \(x=2\).
| \(x\) | \(\log_2(x)\) | \(\log_{\frac{1}{2}}(x)\) |
|---|---|---|
| \(\frac{1}{2}\) | ? | ? |
| \(1\) | ? | ? |
| \(2\) | ? | ? |
| \(x\) | \(\log_2(x)\) | \(\log_{\frac{1}{2}}(x)\) |
|---|---|---|
| \(\frac{1}{2}\) | \(-1\) | \(1\) |
| \(1\) | \(0\) | \(0\) |
| \(2\) | \(1\) | \(-1\) |
Justificación:
- \(2^{-1}=\frac{1}{2}\), por eso \(\log_2\left(\frac{1}{2}\right)=-1\).
- \(\left(\frac{1}{2}\right)^1=\frac{1}{2}\), por eso \(\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2}\right)=1\).
- Ambas funciones valen \(0\) cuando \(x=1\).
- \(2^1=2\), por eso \(\log_2(2)=1\).
- \(\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}=2\), por eso \(\log_{\frac{1}{2}}(2)=-1\).
Las funciones tienen valores opuestos para estos casos, porque sus bases son recíprocas.
5. Comparación de bases en funciones logarítmicas
Objetivos
- Comparar funciones logarítmicas con distintas bases.
- Reconocer cuándo una función logarítmica es creciente o decreciente.
- Interpretar gráficamente el punto común \((1,0)\) y la asíntota vertical.
La base cambia la forma
La función \(f(x)=\log_a(x)\) depende de la base \(a\). Si \(a>1\), la función es creciente. Si \(0
En todos los casos, el dominio es \(x>0\), el recorrido es \(\mathbb{R}\), la gráfica pasa por \((1,0)\) y tiene asíntota vertical \(x=0\).
Visualización con Cartesiano
Compara las funciones \(y=\log_2(x)\), \(y=\log_{10}(x)\) y \(y=\log_{1/2}(x)\).
Ejemplo 1: base mayor que 1
La función \(f(x)=\log_2(x)\) es creciente. Por ejemplo:
\[ \log_2(2)=1,\qquad \log_2(4)=2,\qquad \log_2(8)=3 \]
Al aumentar \(x\), también aumenta \(f(x)\), aunque lentamente.
Ejemplo 2: base entre 0 y 1
La función \(g(x)=\log_{1/2}(x)\) es decreciente. Por ejemplo:
\[ \log_{1/2}\left(\frac{1}{2}\right)=1,\qquad \log_{1/2}(1)=0,\qquad \log_{1/2}(2)=-1 \]
Al aumentar \(x\), el valor de \(g(x)\) disminuye.
Ejercicio 1
Indica si \(f(x)=\log_3(x)\) es creciente o decreciente.
Como la base es \(3\) y \(3>1\), la función es creciente.
Ejercicio 2
Indica si \(g(x)=\log_{1/3}(x)\) es creciente o decreciente.
Como \(0<\frac{1}{3}<1\), la función es decreciente.
Ejercicio 3
¿Por qué todas las funciones \(y=\log_a(x)\), con \(a>0\) y \(a\neq 1\), pasan por \((1,0)\)?
Porque:
\[ \log_a(1)=0 \]
Esto ocurre ya que \(a^0=1\) para toda base válida \(a\).
Ejercicio 4
Compara \(\log_2(8)\) y \(\log_{10}(8)\). ¿Cuál es mayor? Justifica sin calculadora exacta.
\(\log_2(8)=3\), porque \(2^3=8\).
En cambio, \(\log_{10}(8)\) está entre \(0\) y \(1\), porque \(10^0=1\) y \(10^1=10\).
Por lo tanto, \(\log_2(8)\) es mayor.
Ejercicio 5
¿Cuál es la asíntota vertical de \(f(x)=\log_5(x)\)?
La asíntota vertical es:
\[ x=0 \]
La función solo está definida para \(x>0\).
Error frecuente
No todas las funciones logarítmicas crecen. Si la base está entre \(0\) y \(1\), la función es decreciente.
6. Transformaciones y dominio de funciones logarítmicas
Objetivos
- Reconocer desplazamientos horizontales y verticales en funciones logarítmicas.
- Determinar el dominio y la asíntota vertical de funciones de la forma \(\log(x-h)\) o \(\log(x+h)\).
- Interpretar transformaciones usando representación gráfica.
La restricción se mueve
La función \(f(x)=\log(x)\) está definida solo para \(x>0\). Si se transforma a \(g(x)=\log(x-3)\), el argumento debe ser positivo:
\[ x-3>0 \]
\[ x>3 \]
Por eso la asíntota vertical pasa de \(x=0\) a \(x=3\).
Visualización con Cartesiano
Compara \(\log(x)\), \(\log(x-3)\), \(\log(x+5)\) y \(\log(x)+2\).
| Función | Dominio | Asíntota vertical |
|---|---|---|
| \(f(x)=\log(x)\) | \(x>0\) | \(x=0\) |
| \(g(x)=\log(x-3)\) | \(x>3\) | \(x=3\) |
| \(h(x)=\log(x+5)\) | \(x>-5\) | \(x=-5\) |
| \(p(x)=\log(x)+2\) | \(x>0\) | \(x=0\) |
Ejemplo 1: dominio y asíntota
Determina el dominio y la asíntota vertical de \(f(x)=\log(x+4)\).
El argumento debe ser positivo:
\[ x+4>0 \]
\[ x>-4 \]
El dominio es \(x>-4\) y la asíntota vertical es \(x=-4\).
Ejemplo 2: desplazamiento vertical
La función \(g(x)=\log(x)+3\) mantiene el mismo dominio que \(\log(x)\):
\[ x>0 \]
El \(+3\) desplaza la gráfica 3 unidades hacia arriba, pero no cambia el argumento ni la asíntota vertical.
Ejercicio 1
Determina el dominio de \(f(x)=\log(x-7)\).
\[ x-7>0 \]
\[ x>7 \]
El dominio es \(x>7\).
Ejercicio 2
Determina la asíntota vertical de \(g(x)=\log(x+2)\).
La frontera del dominio se obtiene con:
\[ x+2=0 \]
\[ x=-2 \]
La asíntota vertical es \(x=-2\).
Ejercicio 3
¿Cuál es el dominio de \(h(x)=\log(x)+5\)?
El \(+5\) está fuera del logaritmo, así que no cambia el argumento. Se requiere:
\[ x>0 \]
El dominio es \(x>0\).
Ejercicio 4
Determina dominio y asíntota vertical de \(p(x)=\log(2x-6)\).
El argumento debe ser positivo:
\[ 2x-6>0 \]
\[ 2x>6 \]
\[ x>3 \]
El dominio es \(x>3\) y la asíntota vertical es \(x=3\).
Ejercicio 5
Explica por qué \(f(x)=\log(x-3)\) no puede evaluarse en \(x=2\).
Si \(x=2\), el argumento es:
\[ 2-3=-1 \]
El logaritmo real no está definido para argumentos negativos. Por eso \(x=2\) no pertenece al dominio.
Error frecuente
No confundas \(\log(x)+5\) con \(\log(x+5)\). En la primera, el dominio sigue siendo \(x>0\); en la segunda, el dominio cambia a \(x>-5\).
7. Preimagen en funciones logarítmicas
Objetivos
- Interpretar \(f(x)=k\) como búsqueda de una preimagen.
- Resolver preimágenes en funciones logarítmicas simples y desplazadas.
- Relacionar la solución algebraica con la intersección gráfica.
¿Qué significa encontrar una preimagen?
Si \(f(x)=\log_2(x+1)\), pedir la preimagen de \(3\) significa buscar el valor de \(x\) que hace que la función valga \(3\):
\[ f(x)=3 \]
Eso conduce a una ecuación logarítmica, pero el significado sigue siendo funcional: buscamos qué entrada produce cierta salida.
Visualización con Cartesiano
La solución de \(f(x)=3\) se interpreta como la intersección entre la curva \(y=\log_2(x+1)\) y la recta horizontal \(y=3\).
Ejemplo 1: preimagen directa
Sea \(f(x)=\log_2(x)\). Encuentra la preimagen de \(4\).
Buscamos:
\[ f(x)=4 \]
\[ \log_2(x)=4 \]
\[ x=2^4=16 \]
La preimagen de \(4\) es \(16\).
Ejemplo 2: preimagen con desplazamiento
Sea \(g(x)=\log_2(x+1)\). Encuentra \(x\) si \(g(x)=3\).
\[ \log_2(x+1)=3 \]
\[ x+1=2^3 \]
\[ x+1=8 \]
\[ x=7 \]
Además, la restricción es \(x+1>0\), es decir \(x>-1\). La solución \(7\) cumple la restricción.
Ejercicio 1
Sea \(f(x)=\log_3(x)\). Encuentra la preimagen de \(2\).
\[ \log_3(x)=2 \Longleftrightarrow x=3^2 \]
\[ x=9 \]
Ejercicio 2
Sea \(g(x)=\log(x-4)\). Encuentra \(x\) si \(g(x)=2\).
\[ \log(x-4)=2 \]
\[ x-4=10^2=100 \]
\[ x=104 \]
La restricción es \(x-4>0\), o sea \(x>4\). La solución cumple.
Ejercicio 3
Sea \(h(x)=\log_2(x+1)\). Encuentra \(x\) si \(h(x)=5\).
\[ \log_2(x+1)=5 \]
\[ x+1=2^5=32 \]
\[ x=31 \]
La restricción es \(x+1>0\), entonces \(x>-1\). La solución cumple.
Ejercicio 4
Para \(f(x)=\log(x+9)\), ¿cuál es la preimagen de \(0\)?
\[ \log(x+9)=0 \]
\[ x+9=10^0=1 \]
\[ x=-8 \]
La restricción es \(x>-9\), y \(-8\) cumple.
Ejercicio 5
Explica por qué resolver \(f(x)=3\) puede verse como una intersección entre dos gráficas.
Porque \(f(x)=3\) significa buscar los puntos de la gráfica de \(y=f(x)\) cuya altura es \(3\). Eso equivale a intersectar la curva \(y=f(x)\) con la recta horizontal \(y=3\).
Para recordar
Las preimágenes conectan funciones y ecuaciones. Resolver una ecuación logarítmica simple puede interpretarse como buscar una entrada de la función.