1. \( \log_2(32) = 5 \)
2. \( \log_{10}(1000) = 3 \) (o \( \log(1000) = 3 \))
3. \( \log_3(\frac{1}{9}) = -2 \)
4. \( \log_{16}(4) = \frac{1}{2} \)

1. \( 5^2 = 25 \)
2. \( 10^2 = 100 \)
3. \( 2^{-3} = \frac{1}{8} \)
4. \( 9^{\frac{1}{2}} = 3 \)

1. 4 (porque \( 2^4 = 16 \))
2. 2 (porque \( 3^2 = 9 \))
3. 3 (porque \( 10^3 = 1000 \))
4. 0 (porque cualquier base elevada a 0 es 1)
5. 1/2 (porque \( 4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2 \))
6. -2 (porque \( 2^{-2} = \frac{1}{4} \))
7. 1 (porque \( e^1 = e \))
8. 3 (porque el exponente de 'e' es 3)

1. log(50) ≈ 1.70
2. ln(10) ≈ 2.30
3. log(0.1) = -1
4. ln(1) = 0

Debemos buscar las potencias de 2 que "rodean" a 50:

• Sabemos que \( 2^5 = 32 \)
• Y que \( 2^6 = 64 \)

Como 50 está entre 32 y 64, entonces \( \log_2(50) \) debe estar entre 5 y 6.

1. 0 (Logaritmo de 1)
2. 1 (Logaritmo de la base)
3. 1 (Logaritmo de la base 10)
4. 1 (Logaritmo de la base e)

1. \( \log_2(5 \cdot 3) = \log_2(15) \)
2. \( \log(\frac{100}{10}) = \log(10) = 1 \)
3. \( \log_5(4^3) = \log_5(64) \)
4. \( \log_3(\frac{10 \cdot 2}{4}) = \log_3(5) \)
5. \( \log(5^2 \cdot 4) = \log(25 \cdot 4) = \log(100) = 2 \)
6. \( \log_2(20) - \log_2(5^2) = \log_2(\frac{20}{25}) = \log_2(\frac{4}{5})\)

1. \( \log_3(9) + \log_3(27) = 2 + 3 = 5 \)
2. \( \log_2(64) - \log_2(16) = 6 - 4 = 2 \)
3. \( 4 \cdot \log_5(25) = 4 \cdot 2 = 8 \)
4. \( 6 \cdot \log(1000) = 6 \cdot 3 = 18 \)
5. \( 3 + 2 - 1 = 4 \)
6. \( 2 \cdot 2 + 1 - 3 = 4 + 1 - 3 = 2\)
7. \( \log_4(8 \cdot 2) = \log_4(16) = 2 \)
8. \( \log(10^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2}\log(10) = \frac{1}{2} \)

1. \( \log_2(x) + \log_2(y) = 3 + 4 = 7 \)
2. \( \log_2(x) - \log_2(y) = 3 - 4 = -1 \)
3. \( 5 \cdot \log_2(x) = 5 \cdot 3 = 15 \)
4. \( \frac{1}{2}\log_2(x) = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1.5 \)
5. \( 2\log_2(x) + 3\log_2(y) = 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 = 6 + 12 = 18 \)
6. \( -1 \cdot \log_2(x) = -3 \)

\( \log_2(7) = \frac{\log(7)}{\log(2)} \approx \frac{0.845}{0.301} \approx 2.807 \)

\( \log(6) = \log(2 \cdot 3) = \log(2) + \log(3) \approx 0.301+0.477 = 0.778 \)

\( \log(18) = \log(2 \cdot 3^2) = \log(2) + 2\log(3) \approx 0.301 + 2(0.477) = 1.255 \)

\( \log(100a) = \log(100) + \log(a) = 2 + x \)

1. Base: 3. Como \(3 > 1\), es creciente.
2. Base: 1/2. Como \(0 < 1/2 < 1\), es decreciente.
3. Base: 10. Como \(10 > 1\), es creciente.
4. Base: e (\(\approx 2.718\)). Como \(e > 1\), es creciente.

1. 3
2. 0
3. 2
4. 1
5. -2
6. 1/2

Dominio: \( (0, \infty) \) (todos los números reales positivos).

Recorrido: \( \mathbb{R} \) (todos los números reales).

En el punto (1, 0). Todas las funciones logarítmicas básicas lo hacen.

Si la gráfica pasa por (9, 2), entonces \( \log_b(9) = 2 \). Pasando a forma exponencial, esto significa que \( b^2 = 9 \). Por lo tanto, b = 3 (la base debe ser positiva).

Esto demuestra la propiedad de la función inversa:

1. \( f(g(8)) = 2^{\log_2(8)} = 8 \)
2. \( g(f(4)) = \log_2(2^4) = 4 \)

Respuesta correcta: d) f(10) = 1

Explicación: \( \log(10) = \log_{10}(10) = 1 \), porque \( 10^1 = 10 \).

Respuesta correcta: a) Una curva creciente (porque la base 2 > 1) que pasa por (1, 0) y se acerca al eje Y (asíntota vertical).

Para que el logaritmo esté definido, el argumento debe ser estrictamente positivo. Por lo tanto, planteamos la inecuación:

\( x - 5 > 0 \)

\( x > 5 \)

Dominio: \( (5, \infty) \)

La recta de simetría entre una función y su inversa es siempre \( y = x \).

Calculamos cada valor:

• \( \log_3(9) = 2 \), porque \(3^2=9\).
• \( \log_3(1) = 0 \), porque \(3^0=1\).
• \( \log_3(1/3) = -1 \), porque \(3^{-1}=1/3\).

La asíntota vertical de una función logarítmica ocurre en el valor de 'x' que hace que su argumento sea igual a cero.

Igualamos el argumento a cero y resolvemos:

\( x - 5 = 0 \)

\( x = 5 \)

Por lo tanto, la ecuación de la asíntota vertical es \( x = 5 \).

Nota: Fíjate que la asíntota vertical (\(x=5\)) es precisamente la frontera del dominio de la función, que es \( (5, \infty) \).

No intersecta el eje Y.

La intersección con el eje Y ocurre cuando \(x=0\), pero el dominio de cualquier función logarítmica básica son los reales positivos (\(x > 0\)). Como 'x' nunca puede ser 0, la gráfica nunca tocará o cruzará el eje Y. De hecho, el eje Y (la recta \(x=0\)) es su asíntota vertical.

La intersección con el eje X ocurre cuando el valor de la función es 0, es decir, cuando \(f(x) = 0\).

Planteamos la ecuación:

\( \log_2(x - 8) = 0 \)

Para resolverla, la pasamos a su forma exponencial:

\( 2^0 = x - 8 \)

\( 1 = x - 8 \)

\( x = 9 \)

Por lo tanto, la intersección con el eje X es en el punto (9, 0).

Respuesta correcta: b). La definición de logaritmo es \( \log_b(x) = y \Longleftrightarrow b^y = x \).

Respuesta correcta: c). El logaritmo de 1 en cualquier base válida es siempre 0, ya que \( b^0 = 1 \).

Respuesta correcta: b). Cuando la base no se escribe, se asume que es 10. \( \log_{10}(1000) = 3 \) porque \( 10^3 = 1000 \).

Respuesta correcta: d). El logaritmo natural, denotado como \( \ln \), tiene como base el número de Euler, \( e \).

Respuesta correcta: a). Buscamos el exponente al que se debe elevar 4 para obtener 64. \( 4^3 = 64 \).

Respuesta correcta: c). El argumento de un logaritmo debe ser siempre un número real positivo.

Respuesta correcta: b). Siguiendo la equivalencia, la base de la potencia (3) es la base del logaritmo, y el resultado (81) es el argumento.

Respuesta correcta: b). Se busca un exponente 'y' tal que \( 9^y = 3 \). Como \( \sqrt{9} = 3 \), entonces \( 9^{1/2} = 3 \).

Respuesta correcta: c). 'b' es la base, 'y' es el logaritmo (o exponente) y 'x' es el argumento.

Respuesta correcta: d). La base de un logaritmo debe ser un número real positivo y distinto de 1.

Respuesta correcta: b). Es la propiedad del logaritmo de un producto.

Respuesta correcta: a). Se aplica la propiedad del cociente: \( \log_2(8) - \log_2(M) \). Como \( \log_2(8) = 3 \), el resultado es \( 3 - \log_2(M) \).

Respuesta correcta: c). La propiedad establece que \( \log(A^P) = P \cdot \log(A) \).

Respuesta correcta: a). \( \log_b(6) = \log_b(2 \cdot 3) = \log_b(2) + \log_b(3) = 0.3 + 0.47 = 0.77 \).

Respuesta correcta: c). Primero se aplica la propiedad de la potencia: \( 2\log(x) = \log(x^2) \). Luego la del cociente: \( \log(x^2) - \log(y) = \log(x^2 / y) \).

Respuesta correcta: b). El logaritmo de una suma NO es la suma de los logaritmos. Esta es una de las confusiones más frecuentes.

Respuesta correcta: b). \( \log_b(25) = \log_b(5^2) = 2 \cdot \log_b(5) = 2k \).

Respuesta correcta: c). Es una suma de términos semejantes, que es igual a \( 3\log_3(x) \). También se podría reescribir como \( \log_3(x^3) \).

Respuesta correcta: d). La fórmula es \( \log_b(x) = \log_c(x) / \log_c(b) \). Se usa comúnmente con logaritmo base 10 o natural.

Respuesta correcta: a). Se calcula cada término por separado: \( \log_2(16) = 4 \), \( \log_3(9) = 2 \), \( \log_5(5) = 1 \). La operación es \( 4 + 2 - 1 = 5 \).

Respuesta correcta: c). El dominio de una función logarítmica básica es \( (0, \infty) \).

Respuesta correcta: b). La función logarítmica es decreciente si su base 'b' cumple que \( 0 < b < 1 \).

Respuesta correcta: c). Todas cortan el eje X en el punto (1, 0), ya que \( \log_b(1) = 0 \).

Respuesta correcta: d). La gráfica de la función logarítmica se acerca indefinidamente al eje Y sin tocarlo.

Respuesta correcta: d). Una función y su inversa son siempre simétricas respecto a la recta diagonal \( y = x \).

Respuesta correcta: b). El argumento debe ser positivo: \( x + 2 > 0 \), lo que implica \( x > -2 \).

Respuesta correcta: c). La asíntota vertical se encuentra donde el argumento es cero: \( x - 3 = 0 \), es decir, en \( x = 3 \).

Respuesta correcta: c). La información nos da la ecuación \( \log_b(8) = 3 \). En forma exponencial es \( b^3 = 8 \). La única base real que cumple esto es \( b = 2 \).

Respuesta correcta: a). La intersección ocurre cuando \( f(x) = 0 \). Resolvemos \( \log(x - 99) = 0 \). En forma exponencial: \( 10^0 = x - 99 \), lo que da \( 1 = x - 99 \), y por tanto \( x = 100 \).

Respuesta correcta: c). El recorrido de cualquier función logarítmica, incluso si está desplazada verticalmente, es siempre el conjunto de todos los números reales (\( \mathbb{R} \)).