Crecimiento y Decrecimiento Exponencial: Un Cambio Acelerado

Más Allá del Cambio Constante

En la página anterior, vimos que las funciones lineales tienen una tasa de cambio *constante*. Pero en muchas situaciones del mundo real, las cosas cambian de una manera *muy diferente*: cada vez más rápido (crecimiento) o cada vez más lento (decrecimiento).

Crecimiento Exponencial: Duplicación, Triplicación...

Imagina una situación donde una cantidad se *duplica* cada cierto tiempo. Por ejemplo:

• Una población de bacterias que se duplica cada hora.
• Una inversión que duplica su valor cada año.
• Un rumor que se propaga y llega al doble de personas cada día.

Veamos una tabla de valores para el caso de las bacterias, si empezamos con una sola bacteria:

Observa que:

• El número de bacterias *no* aumenta en una cantidad fija cada hora (como en un crecimiento lineal).
• El número de bacterias se *multiplica* por 2 cada hora.
• Al principio, el crecimiento parece lento, pero luego se vuelve *muy rápido*.

Este es un ejemplo de *crecimiento exponencial*. La característica clave es que la cantidad se *multiplica* por un factor constante (en este caso, 2) en cada intervalo de tiempo igual.

(En Moodle, aquí insertarías un gráfico que muestre los puntos de la tabla y una curva exponencial que los une. También, podrías agregar un gráfico de una función lineal para *comparar*).

Ejemplo 2

Supongamos que en una ciudad cada 10 años se triplica la población, si inicialmente hay 1000 personas ¿Cuántas personas hay en 50 años?

A los 10 años la población se multiplica por 3, a los 20 años se vuelve a multiplicar por 3, es decir \(3 \cdot 3 = 3^2\), a los 30 años \(3 \cdot 3 \cdot 3= 3^3\) y asi sucesivamente.

Notemos que la base es 3, que es el factor por el cual se multiplica cada 10 años, y el exponente es la cantidad de veces que ha pasado este periodo de 10 años, para el caso de 30 años, el exponente sería 3, para el caso de 50 años, el exponente es 5.

Luego en 50 años la población seria de \(1000 \cdot 3^5= 243000\)

Decrecimiento Exponencial: Reducción a la Mitad, a un Tercio...

Ahora imagina una situación donde una cantidad se *reduce a la mitad* cada cierto tiempo. Por ejemplo:

• La cantidad de un medicamento en el cuerpo que se reduce a la mitad cada 8 horas.
• La intensidad de la luz que disminuye a la mitad cada vez que atraviesa un filtro.
• El valor de un automóvil que se deprecia (disminuye) a la mitad cada año.

Veamos una tabla de valores para el caso del medicamento, si empezamos con 100 mg:

Observa que:

• La cantidad de medicamento *no* disminuye en una cantidad fija cada 8 horas.
• La cantidad de medicamento se *divide* por 2 (o se multiplica por 1/2) cada 8 horas.
• Al principio, la disminución parece rápida, pero luego se vuelve *más lenta*.

Este es un ejemplo de *decrecimiento exponencial*. La característica clave es que la cantidad se *divide* por un factor constante (o, equivalentemente, se multiplica por un factor entre 0 y 1) en cada intervalo de tiempo igual.

(En Moodle, aquí insertarías un gráfico que muestre los puntos de la tabla y una curva exponencial decreciente).

Ejemplo 2

El yodo 131 es un isotopo radiactivo que se usa en medicina, cada 8 días la cantidad de yodo 131, se reduce a un tercio. Si tenemos 81 gramos de yodo 131. ¿Cuánto quedará en 40 días?.

A los 8 días la cantidad de yodo se multiplica por 1/3, a los 16 días se vuelve a multiplicar por 1/3, es decir \(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = (\frac{1}{3})^2 \), a los 24 días es \(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = (\frac{1}{3})^3 \) y así sucesivamente.

Luego a los 40 días, se habrá multiplicado 5 veces por 1/3, es decir, \( 81 \cdot (\frac{1}{3})^5\), en este caso la base es 1/3 y el exponente es 5.

\( 81 \cdot (\frac{1}{3})^5 = \frac{1}{3} \)

Comparación con el Crecimiento Lineal

Es *fundamental* distinguir entre crecimiento/decrecimiento exponencial y crecimiento/decrecimiento lineal:

• Lineal: Cambio *constante* (se suma o resta la *misma cantidad* en cada intervalo).
• Exponencial: Cambio *proporcional* (se multiplica o divide por el *mismo factor* en cada intervalo).

(En Moodle, aquí podrías incluir un gráfico que muestre, en el mismo sistema de coordenadas, una función lineal creciente, una función exponencial creciente, una función lineal decreciente y una función exponencial decreciente, para que los estudiantes comparen visualmente).

Ejercicios

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