La Función Exponencial
1. Crecimiento y Decrecimiento Exponencial
Crecimiento y decrecimiento exponencial: un cambio acelerado
Cambio lineal y cambio exponencial
En la página anterior, vimos que las funciones lineales tienen una tasa de cambio constante. Pero en muchas situaciones del mundo real, las cosas cambian de una manera diferente: cada vez más rápido, como en el crecimiento exponencial, o cada vez más lento, como en el decrecimiento exponencial.
Crecimiento exponencial
En una situación de crecimiento exponencial, una cantidad se multiplica por un factor constante en cada intervalo de tiempo. Por ejemplo, una población de bacterias que se duplica cada hora.
Ejemplo 1: crecimiento de bacterias
La siguiente tabla muestra una población de bacterias que se duplica cada hora.
| Hora | Número de bacterias |
|---|---|
| \(0\) | \(1\) |
| \(1\) | \(2\) |
| \(2\) | \(4\) |
| \(3\) | \(8\) |
| \(4\) | \(16\) |
En cada hora, la cantidad se multiplica por \(2\). Por eso el modelo puede escribirse como:
\[ B(t)=2^t \]
Al principio el crecimiento parece lento, pero luego se acelera. Esto ocurre porque el cambio es proporcional a la cantidad actual.
Ejemplo 2: crecimiento de una ciudad
Una ciudad con \(1000\) habitantes triplica su población cada \(10\) años. ¿Cuántas personas habrá en \(50\) años?
Primero calculamos cuántos períodos de \(10\) años hay en \(50\) años:
\[ \frac{50}{10}=5 \]
Como la población se triplica en cada período, se multiplica por \(3^5\):
\[ 1000\cdot 3^5 \]
Calculamos:
\[ 3^5=243 \]
\[ 1000\cdot 243=243000 \]
En \(50\) años habrá \(243000\) habitantes.
Decrecimiento exponencial
En una situación de decrecimiento exponencial, una cantidad se multiplica por una fracción en cada intervalo de tiempo. Por ejemplo, una sustancia que se reduce a la mitad cada cierto número de años.
Ejemplo 3: isótopo radiactivo
El yodo-131 se reduce a un tercio cada \(8\) días. Si tenemos \(81\) gramos, ¿cuánto quedará en \(40\) días?
Calculamos cuántos períodos de \(8\) días hay en \(40\) días:
\[ \frac{40}{8}=5 \]
Como la cantidad se reduce a un tercio en cada período, se multiplica por \(\left(\frac{1}{3}\right)^5\):
\[ 81\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^5 \]
Calculamos:
\[ \left(\frac{1}{3}\right)^5=\frac{1}{243} \]
\[ 81\cdot \frac{1}{243}=\frac{81}{243}=\frac{1}{3} \]
Después de \(40\) días quedará \(\frac{1}{3}\) gramo.
Modelo exponencial
Una situación exponencial puede representarse mediante un modelo de la forma:
\[ Q(n)=Q_0\cdot a^n \]
- \(Q_0\) es la cantidad inicial.
- \(a\) es el factor por el que se multiplica en cada período.
- \(n\) es el número de períodos transcurridos.
Si \(a>1\), hay crecimiento exponencial. Si \(0<a<1\), hay decrecimiento exponencial.
Lineal vs. exponencial
- Lineal: el cambio es aditivo. Se suma o resta la misma cantidad en cada paso.
- Exponencial: el cambio es multiplicativo. Se multiplica por el mismo factor en cada paso.
Ejercicios
Ejercicio 1
Identifica el tipo de crecimiento o decrecimiento en cada caso:
- Un tanque de agua pierde \(5\) litros cada hora.
- Una inversión aumenta un \(10\%\) cada año.
- Una población de conejos se triplica cada mes.
- Un automóvil recorre \(80\) km cada hora.
- La cantidad de un isótopo radiactivo se reduce a la mitad cada \(100\) años.
- Decrecimiento lineal: se resta una cantidad fija, \(5\) litros, en cada hora.
- Crecimiento exponencial: aumentar un \(10\%\) cada año equivale a multiplicar por \(1{,}10\) en cada año.
- Crecimiento exponencial: la población se multiplica por \(3\) cada mes.
- Crecimiento lineal: se suma una distancia fija, \(80\) km, en cada hora.
- Decrecimiento exponencial: la cantidad se multiplica por \(\frac{1}{2}\) cada \(100\) años.
Ejercicio 2
Una población de \(50\) insectos se duplica cada semana.
- Completa la tabla para las primeras \(4\) semanas.
- ¿Cuántos insectos habrá después de \(6\) semanas?
| Semana | Población |
|---|---|
| \(0\) | \(50\) |
| \(1\) | ? |
| \(2\) | ? |
| \(3\) | ? |
| \(4\) | ? |
-
Como la población se duplica cada semana, multiplicamos por \(2\):
Semana Población \(0\) \(50\) \(1\) \(100\) \(2\) \(200\) \(3\) \(400\) \(4\) \(800\) -
El modelo es:
\[ P(n)=50\cdot 2^n \]
Para \(n=6\):
\[ P(6)=50\cdot 2^6 \]
\[ P(6)=50\cdot 64=3200 \]
Después de \(6\) semanas habrá \(3200\) insectos.
Ejercicio 3
Una sustancia radiactiva de \(200\) gramos se reduce a la mitad cada \(5\) años.
- ¿Cuántos gramos quedarán después de \(15\) años?
- ¿Cuántos gramos quedarán después de \(40\) años?
-
En \(15\) años hay:
\[ \frac{15}{5}=3 \]
períodos de \(5\) años.
Entonces:
\[ 200\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 200\cdot \frac{1}{8} = 25 \]
Después de \(15\) años quedarán \(25\) gramos.
-
En \(40\) años hay:
\[ \frac{40}{5}=8 \]
períodos de \(5\) años.
Entonces:
\[ 200\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^8 = 200\cdot \frac{1}{256} = \frac{200}{256} \]
\[ \frac{200}{256}\approx 0{,}78 \]
Después de \(40\) años quedarán aproximadamente \(0{,}78\) gramos.