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Ecuaciones exponenciales

Sitio: PROFEARAUCO.CL
Curso: Media 3
Libro: Ecuaciones exponenciales
Imprimido por: Invitado
Día: sábado, 6 de septiembre de 2025, 12:34

Tabla de contenidos

1. Introducción a las Ecuaciones Exponenciales

Ecuaciones Exponenciales: Introducción y Hoja de Ruta

¡Bienvenido/a al estudio de las ecuaciones exponenciales! Una ecuación es "exponencial" cuando nuestra incógnita, la letra \(x\), se encuentra en el exponente de una potencia.

El objetivo principal siempre será el mismo: encontrar el valor de ese exponente que hace que la igualdad sea cierta.

🌍 ¿Dónde se usan estas ecuaciones?

Aunque no lo parezca, las ecuaciones exponenciales modelan muchísimos fenómenos del mundo real. Las usamos para calcular desde el interés compuesto en una cuenta bancaria hasta el crecimiento de una población de bacterias, el decaimiento radiactivo de un fósil o la depreciación del valor de un auto. ¡Dominarlas te da una herramienta muy poderosa!

🗺️ Nuestro Itinerario de Aprendizaje

Hemos dividido el tema en 6 niveles, ordenados por dificultad. Cada nivel introduce una nueva técnica o un nuevo tipo de problema. Aquí tienes el mapa completo:

  1. Nivel 1: Método Básico: Bases Iguales
    El punto de partida. Aprenderás la regla fundamental cuando las bases a ambos lados ya son iguales.
  2. Nivel 2: Método de Base Común
    Subimos un peldaño. ¿Qué hacer cuando las bases son distintas? Aprenderás a encontrar una base común oculta.
  3. Nivel 3: Potencias en Ambos Lados
    Aplicamos el método anterior a ecuaciones un poco más complejas, con potencias en ambos miembros de la igualdad.
  4. Nivel 4: Sumas y Restas (Cambio de Variable)
    Introducimos una nueva y potente técnica, el cambio de variable, para resolver ecuaciones con sumas o restas de potencias.
  5. Nivel 5: Resolución con Logaritmos
    ¿Y si es imposible igualar las bases? Aprenderás a usar logaritmos, la herramienta definitiva para despejar el exponente.
  6. Nivel 6: Ecuaciones de Tipo Cuadrático
    El nivel final, donde combinamos el cambio de variable con la resolución de ecuaciones cuadráticas.

✅ Antes de empezar...

Para sacar el máximo provecho, es recomendable que te sientas cómodo/a con las propiedades de las potencias, como:
• \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)
• \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\)
• \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\)
• \(a^0 = 1\)

2. Formulario

Formulario: Potencias y Logaritmos

📊 Propiedades de las Potencias

Propiedad Fórmula Ejemplo
Base positiva Si \(a > 0\), entonces \(a^x > 0\) \(3^2 = 9\); \(3^{-2} = \frac{1}{9}\). El resultado siempre es positivo.
Base negativa \((-a)^{\text{par}} \rightarrow \text{Positivo}\)
\((-a)^{\text{impar}} \rightarrow \text{Negativo}\)		 \((-2)^4 = 16\), pero \((-2)^3 = -8\).
Multiplicación (igual base) \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) \(2^3 \cdot 2^2 = 2^{3+2} = 2^5 = 32\)
División (igual base) \(\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) \(\dfrac{3^5}{3^3} = 3^{5-3} = 3^2 = 9\)
Potencia de una potencia \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\) \((5^2)^3 = 5^{2 \cdot 3} = 5^6 = 15625\)
Potencia de un producto \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\) \((2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36\)
Exponente cero \(a^0 = 1\) (si \(a \neq 0\)) \(7^0 = 1\)
Exponente negativo \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\) \(4^{-2} = \dfrac{1}{4^2} = \dfrac{1}{16}\)
Exponente fraccionario \(a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}\) \(8^{2/3} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4\)

📐 Propiedades de los Logaritmos

(Para estas propiedades, se asume que la base \(b > 0, b \neq 1\) y que los argumentos \(x, y > 0\))

Propiedad Fórmula Ejemplo
Logaritmo de un producto \(\log_b(x \cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y)\) \(\log_2(8 \cdot 4) = \log_2(8) + \log_2(4) = 3 + 2 = 5\)
Logaritmo de un cociente \(\log_b\left(\dfrac{x}{y}\right) = \log_b(x) - \log_b(y)\) \(\log_3\left(\dfrac{81}{3}\right) = \log_3(81) - \log_3(3) = 4 - 1 = 3\)
Logaritmo de una potencia \(\log_b(x^n) = n \cdot \log_b(x)\) \(\log_4(16^3) = 3 \cdot \log_4(16) = 3 \cdot 2 = 6\)
Logaritmo de la base \(\log_b(b) = 1\) \(\log_7(7) = 1\)
Logaritmo de 1 \(\log_b(1) = 0\) \(\log_5(1) = 0\)
Cambio de base \(\log_c(x) = \dfrac{\log_b(x)}{\log_b(c)}\) \(\log_2(10) = \dfrac{\log_{10}(10)}{\log_{10}(2)} \approx 3.32\)
💡 Tip para la Calculadora: La fórmula de cambio de base es tu mejor amiga para calcular logaritmos que no sean de base 10 o base \(e\). La regla es simple: "el logaritmo del número de arriba (argumento) dividido por el logaritmo del número de abajo (base)".

3. Nivel 1: Método Básico: Bases Iguales

En este primer nivel encontrarás el tipo más sencillo de ecuación exponencial, donde las bases a ambos lados del igual ya son las mismas. El objetivo es simplemente igualar los exponentes y resolver la ecuación resultante.

💡 El Principio Clave

Si tenemos una igualdad entre dos potencias que tienen la misma base, como \(a^P = a^Q\), es obligatorio que sus exponentes también sean iguales (\(P=Q\)). Este es el fundamento para resolver todas estas ecuaciones.

¿Cómo se resuelven?

📐 Procedimiento
  1. Verifica que las bases a ambos lados de la igualdad sean las mismas.
  2. Iguala los exponentes.
  3. Despeja la incógnita \(x\) en la ecuación resultante.

Ejemplos resueltos paso a paso

🧪 Ejemplo A: \(5^{x} = 5^{4}\)
Paso 1: Las bases ya son iguales (ambas son 5).
Paso 2: Igualamos los exponentes.
\(x = 4\)

¡Y ya está resuelto!
🧪 Ejemplo B: \(2^{x+3} = 2^{5}\)
Paso 1: Las bases son iguales (ambas son 2).
Paso 2: Igualamos los exponentes.
\(x+3 = 5\)

Paso 3: Despejar x.
\(x = 5 - 3\)
\(x = 2\)
🧪 Ejemplo C: \(7^{3x-2} = 7^{x+6}\)
Paso 1: Las bases son iguales (ambas son 7).
Paso 2: Igualamos los exponentes.
\(3x-2 = x+6\)

Paso 3: Despejar x.
\(3x - x = 6 + 2\)
\(2x = 8 \;\Rightarrow\; x = 4\)

Ejercicios propuestos (1 – 10)

Pulsa el botón a la derecha de cada enunciado para mostrar u ocultar la solución.

1. \(3^{x} = 3^{9}\)
2. \(10^{x-1} = 10^{3}\)
3. \(6^{2x} = 6^{10}\)
4. \(5^{x+4} = 5^{2x}\)
5. \(4^{3x-1} = 4^{2x+2}\)
6. \(11^{5x} = 11^{4x+7}\)
7. \(3^{-x} = 3^{5}\)
8. \(8^{4x+1} = 8^{2x+7}\)
9. \(2^{x} = 2^{3x-8}\)
10. \(9^{1-x} = 9^{x+5}\)

4. Nivel 2: Método de Base Común

En este nivel las ecuaciones tienen bases distintas pero un mismo factor primo de fondo. El procedimiento consiste en reescribir cada base como una potencia de una base común (por lo general 2, 3 o 5), igualar exponentes y despejar \(x\).

📐 Procedimiento
  1. Descompón cada base (los números grandes) como una potencia de un mismo número primo (la base común).
  2. Aplica la propiedad de "potencia de una potencia" para simplificar los exponentes.
  3. Una vez que las bases son iguales, iguala los exponentes y despeja \(x\).
⚠️ ¡Cuidado con los exponentes!

Un error común es no distribuir bien el exponente. Recuerda que en una expresión como \((a^m)^{P+Q}\), el nuevo exponente es \(m \cdot (P+Q)\), no solo \(m \cdot P + Q\). ¡Siempre usa paréntesis al multiplicar!

Ejemplos resueltos paso a paso

🧪 Ejemplo A: \(9^{x} = 81\)
Paso 1: Igualar bases. Sabemos que \(9 = 3^{2}\) y \(81 = 3^{4}\).
\((3^{2})^{x} = 3^{4}\)
\(3^{2x} = 3^{4}\)

Paso 2: Igualar exponentes y despejar.
\(2x = 4\)
\(x = \dfrac{4}{2} \;\Rightarrow\; x = 2\)
🧪 Ejemplo B: \(8^{2x-1} = 32\)
Paso 1: Igualar bases. Sabemos que \(8 = 2^{3}\) y \(32 = 2^{5}\).
\((2^{3})^{2x-1} = 2^{5}\)
\(2^{3(2x-1)} = 2^{5}\)

Paso 2: Igualar exponentes y despejar.
\(3(2x-1) = 5\)
\(6x - 3 = 5\)
\(6x = 8 \;\Rightarrow\; x = \dfrac{8}{6} \;\Rightarrow\; x = \dfrac{4}{3}\)
🧪 Ejemplo C: \(27^{x+2} = 243\)
Paso 1: Igualar bases. Sabemos que \(27 = 3^{3}\) y \(243 = 3^{5}\).
\((3^{3})^{x+2} = 3^{5}\)
\(3^{3(x+2)} = 3^{5}\)

Paso 2: Igualar exponentes y despejar.
\(3(x+2) = 5\)
\(3x + 6 = 5\)
\(3x = 5 - 6\)
\(3x = -1 \;\Rightarrow\; x = -\dfrac{1}{3}\)

Ejercicios propuestos (11 – 20)

Pulsa el botón a la derecha de cada enunciado para mostrar u ocultar la solución.

11. \(2^{x+1} = 16\)
12. \(9^{x} = 27\)
13. \(5^{2x} = 125\)
14. \(3^{x+2} = 81\)
15. \(4^{x-1} = 2^{4}\)
16. \(6^{2x-1} = 216\)
17. \(8^{x+2} = 512\)
18. \(27^{x} = 9\)
19. \(3^{2x+1} = 27\)
20. \(25^{x-2} = 5\)

5. Nivel 3: Potencias en Ambos Lados

En este nivel la ecuación tiene términos exponenciales en ambos lados. El truco es reescribir cada base para que sea la misma (por ejemplo, potencias de 2 o 3), y luego igualar exponentes. No se necesitan logaritmos.

⚠️¿Por qué funciona este método?

La razón por la que podemos igualar los exponentes es que la función exponencial (\(y=a^x\)) es "uno a uno". Esto significa que para una base 'a' dada, cada valor de 'x' produce un resultado único. Por lo tanto, si tenemos la igualdad \(a^P = a^Q\), la única forma de que sea cierta es que los exponentes también sean iguales: \(P = Q\).

📐 Procedimiento
  1. Expresa cada base como una potencia de un mismo número (base común).
  2. Usa las propiedades de las potencias para simplificar ambos lados de la ecuación.
  3. Una vez que las bases son iguales, iguala los exponentes.
  4. Despeja \(x\) en la ecuación lineal resultante.
⚠️ ¡Ojo! Algunas ecuaciones no tienen solución

Si al resolver la ecuación de los exponentes llegas a una contradicción (por ejemplo, \(2 = -1\)), no te asustes. No es un error. Significa que la ecuación original no tiene solución en los números reales, y esa es la respuesta correcta.

Ejemplos resueltos paso a paso

🧪 Ejemplo A: \(2^{x} = 8^{x-2}\)
Paso 1: Igualar bases. Sabemos que \(8 = 2^{3}\).
\(2^{x} = (2^{3})^{x-2}\)
\(2^{x} = 2^{3(x-2)}\)

Paso 2: Igualar exponentes y despejar.
\(x = 3(x-2)\)
\(x = 3x - 6\)
\(6 = 2x \;\Rightarrow\; x = 3\)
🧪 Ejemplo B: \(3^{2x+1} = 27^{x}\)
Paso 1: Igualar bases. Sabemos que \(27 = 3^{3}\).
\(3^{2x+1} = (3^{3})^{x}\)
\(3^{2x+1} = 3^{3x}\)

Paso 2: Igualar exponentes y despejar.
\(2x+1 = 3x\)
\(1 = 3x - 2x \;\Rightarrow\; x = 1\)
🧪 Ejemplo C (Sin Solución): \(4^{x+1} = 2^{2x-1}\)
Paso 1: Igualar bases. Sabemos que \(4 = 2^{2}\).
\((2^{2})^{x+1} = 2^{2x-1}\)
\(2^{2(x+1)} = 2^{2x-1}\)

Paso 2: Igualar exponentes y despejar.
\(2(x+1) = 2x-1\)
\(2x+2 = 2x-1\)
\(2 = -1\) (¡Esto es una contradicción!)

Conclusión: La ecuación no tiene solución real.

Ejercicios propuestos (21 – 30)

Pulsa el botón a la derecha de cada enunciado para mostrar u ocultar la solución.

21. \(2^{x} = 4^{x-1}\)
22. \(3^{x+1} = 9^{x-2}\)
23. \(5^{x+2} = 25^{x}\)
24. \(2^{x+1} = 8^{x-1}\)
25. \(7^{x+3} = 49^{x}\)
26. \(6^{x-2} = 36^{x-3}\)
27. \(4^{x+2} = 16^{x}\)
28. \(9^{x-1} = 3^{2x-4}\)
29. \(2^{3x} = 8^{2x-2}\)
30. \(5^{x} = 125^{x-1}\)

6. Nivel 4: Sumas y Restas (Cambio de Variable)

En este nivel surgen sumas o restas de potencias con la misma base. El método consiste en factorizar y aplicar la técnica del cambio de variable (por ejemplo, \(y = a^{x}\)) para transformar la ecuación exponencial en una ecuación lineal o polinómica más sencilla.

📐 Procedimiento: Cambio de Variable
  1. Usando propiedades de potencias (ej: \(a^{x+n} = a^x \cdot a^n\)), descompón cada término para aislar la potencia base (como \(a^x\)).
  2. Define el cambio de variable. Por ejemplo, haz que \(y = a^x\).
  3. Sustituye 'y' en la ecuación. Ahora tendrás una ecuación más simple (normalmente lineal) en términos de 'y'.
  4. Resuelve para 'y'.
  5. Una vez que tengas el valor de 'y', "deshaz" el cambio (si \(y=k\), ahora resuelve \(a^x=k\)) para encontrar el valor de \(x\).
⚠️ ¡Error Típico! No se suman los exponentes

Recuerda que \(a^m + a^n \neq a^{m+n}\). La propiedad de la suma de exponentes solo aplica cuando se multiplican potencias de la misma base (\(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)), nunca cuando se suman o restan.

Ejemplos resueltos paso a paso

🧪 Ejemplo A: \(2^{x}+2^{x+2}=20\)

Paso 1 y 2: Descomponer y definir variable.
Hacemos \( y = 2^{x}\). Entonces \(2^{x+2}= 2^{x}\cdot 2^{2}= 4y\).

Paso 3 y 4: Sustituir y resolver para 'y'.
La ecuación se convierte en: \(y + 4y = 20\)
\(\Rightarrow\; 5y = 20\)
\(\Rightarrow\; y = 4\)

Paso 5: Volver a la variable original 'x'.
\(2^{x} = y \;\Rightarrow\; 2^{x} = 4 \;\Rightarrow\; 2^{x} = 2^{2} \;\Rightarrow\; x = 2\)

🧪 Ejemplo B: \(3^{x+1}-3^{x}=54\)

Variable: \( y = 3^{x}\). Entonces \(3^{x+1}= 3^{x}\cdot 3^{1}= 3y\).

Resolver para 'y':
\(3y - y = 54\)
\(\Rightarrow\; 2y = 54\)
\(\Rightarrow\; y = 27\)

Volver a 'x':
\(3^{x} = y \;\Rightarrow\; 3^{x} = 27 \;\Rightarrow\; 3^{x} = 3^{3} \;\Rightarrow\; x = 3\)

🧪 Ejemplo C: \(4^{x-1}+4^{x}=80\)

Variable: \( y = 4^{x}\). Entonces \(4^{x-1}= 4^{x}\cdot 4^{-1}= \dfrac{y}{4}\).

Resolver para 'y':
\(\dfrac{y}{4} + y = 80\)
\(\Rightarrow\; \dfrac{5y}{4} = 80\)
\(\Rightarrow\; y = \dfrac{80 \cdot 4}{5} = 64\)

Volver a 'x':
\(4^{x} = y \;\Rightarrow\; 4^{x} = 64 \;\Rightarrow\; 4^{x} = 4^{3} \;\Rightarrow\; x = 3\)

Ejercicios propuestos (31 – 40)

Pulsa el botón para mostrar u ocultar la solución.

31. \(2^{x}+2^{x+1}=48\)
32. \(3^{x}+3^{x-1}=36\)
33. \(5^{x}-5^{x-1}=100\)
34. \(2^{x+2}-2^{x}=24\)
35. \(4^{x}+2^{2x}=64\)
36. \(3^{x+2}-3^{x}=72\)
37. \(2^{x}+2^{x-1}=96\)
38. \(5^{x+1}-5^{x}=100\)
39. \(3^{x+1}+3^{x}=108\)
40. \(4^{x+1}-2^{2x}=192\)

7. Nivel 5: Resolución con Logaritmos

En este nivel, las bases no se pueden igualar fácilmente (como \(2^x = 7\)). Por lo tanto, necesitamos una nueva herramienta: los logaritmos.

💡 Idea clave: ¿Cuándo y por qué usar logaritmos? 

Usamos logaritmos cuando es imposible o muy difícil expresar ambos lados de la ecuación con la misma base.  La "magia" de los logaritmos está en su propiedad principal: \(\log(a^P) = P \cdot \log(a)\).  Esta regla nos permite tomar un exponente (donde está nuestra incógnita \(x\)) y "bajarlo" para convertirlo en un factor que podemos despejar fácilmente. 

📐 Procedimiento
  1. Aplica logaritmo (usualmente logaritmo decimal, `log`, o natural, `ln`) a ambos lados de la ecuación. 
  2. Usa la propiedad \(\log(a^{P}) = P \cdot \log(a)\) para "bajar" el exponente. 
  3. Despeja \(x\) como en cualquier ecuación lineal. 
🤓 Consejo Estratégico: Elige el Logaritmo Correcto

Aunque cualquier logaritmo funciona, eres más eficiente si eliges:

  • Logaritmo decimal (log) cuando la base es 10, porque \(\log(10)=1\).
  • Logaritmo natural (ln) cuando la base es e, porque \(\ln(e)=1\).
Esto simplifica el despeje y te ahorra pasos.

Ejemplos resueltos paso a paso

🧪 Ejemplo A: \(2^{x}=7\)
Paso 1: Aplicar logaritmos.
\(\log(2^{x})=\log(7)\)

Paso 2: Bajar el exponente.
\(x \cdot \log(2) = \log(7)\)

Paso 3: Despejar x.
\(x = \dfrac{\log(7)}{\log(2)} \approx 2.807\)
🧪 Ejemplo B (Corregido): \(10^{2x-1}=5\)
Paso 1: Aplicar logaritmo base 10.
\(\log(10^{2x-1})=\log(5)\)

Paso 2: Bajar el exponente (usando \(\log(10)=1\)).
\((2x-1) \cdot \log(10) = \log(5)\)
\(2x-1 = \log(5)\)

Paso 3: Despejar x.
\(2x = 1 + \log(5)\)
\(x = \dfrac{1+\log(5)}{2} \approx \dfrac{1+0.699}{2} \approx 0.850\)
🧪 Ejemplo C: \(e^{2x}=17\)
Paso 1: Aplicar logaritmo natural.
\(\ln(e^{2x})=\ln(17)\)

Paso 2: Bajar el exponente (usando \(\ln(e)=1\)).
\(2x \cdot \ln(e) = \ln(17)\)
\(2x = \ln(17)\)

Paso 3: Despejar x.
\(x = \dfrac{\ln(17)}{2} \approx 1.418\)

Ejercicios propuestos (41 – 50)

Pulsa el botón a la derecha de cada enunciado para mostrar u ocultar la solución.

41. \(3^{x}=14\)
42. \(10^{x+2}=45\)
43. \(5^{x+1}=20\)
44. \(4^{x}=11\)
45. \(e^{x-1}=10\)
46. \(8^{x}=30\)
47. \(9^{x-2}=50\)
48. \(7^{2x}=100\)
49. \(6^{x+1}=40\)
50. \(2^{x}=15\)

8. Nivel 6: Ecuaciones de Tipo Cuadrático

En este nivel avanzado, las potencias aparecen en una estructura similar a las ecuaciones cuadráticas, conteniendo términos como \(a^{2x}\) y \(a^{x}\). El método consiste en usar un cambio de variable para transformar la ecuación en una cuadrática, resolverla y, finalmente, deshacer el cambio para encontrar \(x\).

📐 Procedimiento: Ecuaciones de Tipo Cuadrático
  1. Reconoce la estructura cuadrática. Verás un término con \(a^{2x}\) (que es \((a^x)^2\)) y un término con \(a^x\).
  2. Define el cambio de variable: \(y = a^x\).
  3. Sustituye 'y' en la ecuación para obtener una ecuación cuadrática estándar: \(Ay^2 + By + C = 0\).
  4. Resuelve la ecuación cuadrática para 'y' (factorizando o usando la fórmula general).
  5. Descarta cualquier solución para 'y' que sea negativa o cero.
  6. Para cada solución válida de 'y', "deshaz" el cambio (resuelve \(a^x = y\)) para encontrar los valores de \(x\).
⚠️ ¡Importante! Descarta soluciones para 'y'

Cuando haces el cambio de variable \(y = a^{x}\), recuerda que el resultado de una potencia con base positiva (\(a > 0\)) es siempre positivo. Por lo tanto, si al resolver la ecuación cuadrática obtienes un valor de \(y\) que es negativo o cero (\(y \le 0\)), esa solución para \(y\) se debe descartar, ya que \(a^x\) nunca puede ser negativo ni cero.

Ejemplos resueltos paso a paso

🧪 Ejemplo A: \(2^{2x}-5\cdot 2^{x}+6=0\)
Paso 1: Cambio de Variable.
Sea \(y = 2^{x}\). La ecuación se convierte en: \(y^{2}-5y+6=0\)

Paso 2: Resolver para 'y'.
Factorizamos: \((y-2)(y-3)=0\). Las soluciones son \(y_1=2\) y \(y_2=3\). Ambas son positivas y válidas.

Paso 3: Volver a 'x'.
• Para \(y_1=2\): \(2^{x}=2 \;\Rightarrow\; 2^x = 2^1 \;\Rightarrow\; x_1=1\)
• Para \(y_2=3\): \(2^{x}=3 \;\Rightarrow\; x_2=\log_2(3) = \dfrac{\log(3)}{\log(2)} \approx 1.585\)
🧪 Ejemplo B: \(4^{x}+3\cdot 4^{-x}-4=0\)
Paso 1: Reescribir y cambiar variable.
La ecuación es \(4^x + \dfrac{3}{4^x} - 4 = 0\). Sea \(y = 4^{x}\). Multiplicando todo por \(y\) nos queda:
\(y^2 + 3 - 4y = 0 \;\Rightarrow\; y^2 - 4y + 3 = 0\)

Paso 2: Resolver para 'y'.
Factorizamos: \((y-3)(y-1)=0\). Soluciones: \(y_1=3\) y \(y_2=1\). Ambas válidas.

Paso 3: Volver a 'x'.
• Para \(y_1=3\): \(4^x = 3 \;\Rightarrow\; x_1 = \log_4(3) = \dfrac{\log(3)}{\log(4)} \approx 0.792\)
• Para \(y_2=1\): \(4^x = 1 \;\Rightarrow\; 4^x = 4^0 \;\Rightarrow\; x_2 = 0\)

🌍 ¿Dónde aparecen estas ecuaciones?

Las ecuaciones exponenciales de tipo cuadrático son más que un ejercicio académico. Modelan fenómenos del mundo real donde hay un crecimiento que eventualmente se satura o se regula, como en:

  • Ecología: El modelo de crecimiento logístico de una población.
  • Química: La cinética de ciertas reacciones químicas.
  • Medicina: La concentración de un fármaco en el torrente sanguíneo a lo largo del tiempo.
Dominar este nivel te permite entender modelos matemáticos mucho más sofisticados.

Ejercicios propuestos (51 – 60)

Pulsa el botón al lado del enunciado para mostrar u ocultar la solución.

51. \(5^{2x}-6\cdot 5^{x}+5=0\)
52. \(3^{2x}-10\cdot3^{x}+9=0\)
53. \(5^{2x}-13\cdot 5^{x}+36=0\)
54. \(4^{x}+3\cdot 4^{-x}-4=0\)
55. \(10^{2x}-7=3\cdot 10^{x}\)
56. \(2^{2x}-8\cdot2^{x}+12=0\)
57. \(3^{2x}-4\cdot3^{x}-21=0\)
58. \(6^{2x}-13\cdot6^{x}+40=0\)
59. \(e^{2x}-2e^{x}-8=0\)
60. \(4^{2x}-20\cdot4^{x}+64=0\)

9. Aplicaciones de Ecuaciones Exponenciales

Aplicaciones y Modelado: Ecuaciones Exponenciales

Has aprendido a resolver las ecuaciones, ahora veamos dónde se usan. En esta página, exploraremos cómo las ecuaciones exponenciales nos ayudan a modelar situaciones del mundo real, desde cómo crece tu dinero en el banco hasta cómo se expande una población.

💡 Estrategia General para Modelar

Al enfrentar un problema de aplicación, sigue estos pasos:

  1. Identifica el Modelo: ¿Es un problema de interés compuesto, crecimiento poblacional, decaimiento radiactivo, etc.? Elige la fórmula correcta.
  2. Asigna las Variables: Lee el problema y anota los valores que conoces (capital inicial, tasa, cantidad inicial, etc.) y cuál es tu incógnita.
  3. Plantea la Ecuación: Sustituye los valores conocidos en la fórmula.
  4. Resuelve para la Incógnita: Usa las técnicas que aprendiste (igualar bases, logaritmos, etc.) para despejar la variable que buscas.

💰 Aplicación 1: Interés Compuesto

El interés compuesto es el interés que se calcula sobre el capital inicial más todo el interés acumulado de periodos anteriores. ¡Es el motivo por el cual las inversiones crecen cada vez más rápido!

La Fórmula Clave:

\(C(t) = C_0 \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}\)

Donde:
• \(C(t)\): Capital final.
• \(C_0\): Capital inicial.
• \(r\): Tasa de interés anual (en decimal).
• \(n\): Número de capitalizaciones por año.
• \(t\): Número de años.

Ejemplo: Si inviertes $500.000 a una tasa del 6% anual capitalizable mensualmente, ¿cuánto tiempo tomará para que tu inversión alcance los $700.000?
1. Identificar datos:
\(C(t)=700000\), \(C_0=500000\), \(r=0.06\), \(n=12\), \(t=?\)

2. Plantear la ecuación:
\(700000 = 500000\left(1 + \frac{0.06}{12}\right)^{12t}\)
\(1.4 = (1.005)^{12t}\)

3. Resolver para t (usando logaritmos):
\(\log(1.4) = 12t \cdot \log(1.005)\)
\(t = \frac{\log(1.4)}{12 \cdot \log(1.005)} \approx 5.62\) años.

📈 Aplicación 2: Crecimiento y Decaimiento Exponencial

Muchos procesos naturales, como el crecimiento de una población o el decaimiento radiactivo, siguen este modelo.

La Fórmula Clave:

\(N(t) = N_0 e^{kt}\)

Donde:
• \(N(t)\): Cantidad final.
• \(N_0\): Cantidad inicial.
• \(e\): Base del logaritmo natural.
• \(k\): Constante de crecimiento (\(k>0\)) o decaimiento (\(k<0\)).
• \(t\): Tiempo.

Ejemplo: La vida media del Carbono-14 es de 5730 años. Si un fósil tiene el 20% del Carbono-14 original, ¿cuál es su antigüedad?
1. Encontrar k (constante de decaimiento):
\(0.5 N_0 = N_0 e^{k \cdot 5730} \;\Rightarrow\; 0.5 = e^{5730k}\)
\(\ln(0.5) = 5730k \;\Rightarrow\; k = \frac{\ln(0.5)}{5730} \approx -0.000121\)

2. Resolver el problema principal:
\(0.20 N_0 = N_0 e^{-0.000121 t}\)
\(\ln(0.20) = -0.000121 t\)
\(t = \frac{\ln(0.20)}{-0.000121} \approx 13301\) años.

Ejercicios propuestos

Pulsa el botón al lado del enunciado para mostrar u ocultar la solución.

1. Depositas $2.000 en una cuenta que paga 4% de interés anual capitalizable trimestralmente (n=4). ¿Cuánto dinero tendrás después de 10 años?
2. ¿Cuánto dinero necesitas invertir hoy al 7% anual capitalizable anualmente (n=1) para tener $15.000 en 18 años?
3. Una tarjeta de crédito cobra un interés del 24% anual (0.24) capitalizable mensualmente. Si tienes una deuda de $500 y no haces pagos, ¿cuánto deberás después de 2 años?
4. ¿Cuánto tiempo tomará para que una inversión de $1.000 se duplique si se invierte al 8% anual capitalizable semestralmente (n=2)?
5. Si inviertes $3.000 y después de 5 años tienes $4.000 con capitalización anual (n=1), ¿cuál fue la tasa de interés anual (r)?
6. Una población de conejos se duplica cada 6 meses. Si comienzas con 20 conejos, ¿cuántos tendrás después de 4 años?
7. Un isótopo radiactivo tiene una vida media de 120 días. ¿Qué porcentaje de la sustancia original quedará después de un año (360 días)?
8. La población de una ciudad crece a una tasa del 2% anual (k=0.02). Si la población actual es de 50.000 habitantes, ¿cuál será la población en 10 años?
9. Un medicamento se elimina del cuerpo a una tasa tal que su cantidad se reduce a la mitad cada 4 horas. Si tomas una dosis de 200 mg, ¿cuánto tiempo pasará hasta que solo queden 25 mg en tu cuerpo?
10. Se estima que el número de usuarios de una nueva app crece según el modelo \(U(t) = 1000e^{0.5t}\), donde t es el tiempo en meses. ¿En cuántos meses la app alcanzará los 50.000 usuarios?