Ecuaciones exponenciales
| Sitio: | MATEMÁTICAS × Profe Arauco |
| Curso: | Media 3 |
| Libro: | Ecuaciones exponenciales |
| Imprimido por: | Invitado |
| Día: | jueves, 23 de julio de 2026, 20:04 |
Tabla de contenidos
- 1. Introducción a las Ecuaciones Exponenciales (cc2)
- 2. Formulario (cc2)
- 3. Nivel 1: Método Básico: Bases Iguales (cc2)
- 4. Nivel 2: Método de Base Común (cc2)
- 5. Nivel 3: Potencias en Ambos Lados (cc2)
- 6. Nivel 4: Sumas y Restas (Cambio de Variable) (cc2)
- 7. Nivel 5: Resolución con Logaritmos (cc2)
- 8. Nivel 6: Ecuaciones de Tipo Cuadrático (cc2)
- 9. Aplicaciones de Ecuaciones Exponenciales (cc2)
1. Introducción a las Ecuaciones Exponenciales (cc2)
Ecuaciones Exponenciales: Introducción y Hoja de Ruta
Idea central
¡Bienvenido/a al estudio de las ecuaciones exponenciales! Una ecuación es "exponencial" cuando nuestra incógnita, la letra \(x\), se encuentra en el exponente de una potencia.
El objetivo principal siempre será el mismo: encontrar el valor de ese exponente que hace que la igualdad sea cierta.
¿Dónde se usan estas ecuaciones?
Aunque no lo parezca, las ecuaciones exponenciales modelan muchísimos fenómenos del mundo real. Las usamos para calcular desde el interés compuesto en una cuenta bancaria hasta el crecimiento de una población de bacterias, el decaimiento radiactivo de un fósil o la depreciación del valor de un auto. ¡Dominarlas te da una herramienta muy poderosa!
Nuestro Itinerario de Aprendizaje
Hemos dividido el tema en 6 niveles, ordenados por dificultad. Cada nivel introduce una nueva técnica o un nuevo tipo de problema. Aquí tienes el mapa completo:
- Nivel 1: Método Básico: Bases Iguales
El punto de partida. Aprenderás la regla fundamental cuando las bases a ambos lados ya son iguales. - Nivel 2: Método de Base Común
Subimos un peldaño. ¿Qué hacer cuando las bases son distintas? Aprenderás a encontrar una base común oculta. - Nivel 3: Potencias en Ambos Lados
Aplicamos el método anterior a ecuaciones un poco más complejas, con potencias en ambos miembros de la igualdad. - Nivel 4: Sumas y Restas (Cambio de Variable)
Introducimos una nueva y potente técnica, el cambio de variable, para resolver ecuaciones con sumas o restas de potencias. - Nivel 5: Resolución con Logaritmos
¿Y si es imposible igualar las bases? Aprenderás a usar logaritmos, la herramienta definitiva para despejar el exponente. - Nivel 6: Ecuaciones de Tipo Cuadrático
El nivel final, donde combinamos el cambio de variable con la resolución de ecuaciones cuadráticas.
Antes de empezar
Para sacar el máximo provecho, es recomendable que te sientas cómodo/a con las propiedades de las potencias, como:
• \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)
• \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\)
• \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\)
• \(a^0 = 1\)
2. Formulario (cc2)
Formulario: Potencias y Logaritmos
Propiedades de las Potencias
| Propiedad | Fórmula | Ejemplo |
|---|---|---|
| Base positiva | Si \(a > 0\), entonces \(a^x > 0\) | \(3^2 = 9\); \(3^{-2} = \frac{1}{9}\). El resultado siempre es positivo. |
| Base negativa | \((-a)^{\text{par}} \rightarrow \text{Positivo}\) \((-a)^{\text{impar}} \rightarrow \text{Negativo}\) |
\((-2)^4 = 16\), pero \((-2)^3 = -8\). |
| Multiplicación (igual base) | \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) | \(2^3 \cdot 2^2 = 2^{3+2} = 2^5 = 32\) |
| División (igual base) | \(\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) | \(\dfrac{3^5}{3^3} = 3^{5-3} = 3^2 = 9\) |
| Potencia de una potencia | \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\) | \((5^2)^3 = 5^{2 \cdot 3} = 5^6 = 15625\) |
| Potencia de un producto | \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\) | \((2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36\) |
| Exponente cero | \(a^0 = 1\) (si \(a \neq 0\)) | \(7^0 = 1\) |
| Exponente negativo | \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\) | \(4^{-2} = \dfrac{1}{4^2} = \dfrac{1}{16}\) |
| Exponente fraccionario | \(a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}\) | \(8^{2/3} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4\) |
Propiedades de los Logaritmos
(Para estas propiedades, se asume que la base \(b > 0, b \neq 1\) y que los argumentos \(x, y > 0\))
| Propiedad | Fórmula | Ejemplo |
|---|---|---|
| Logaritmo de un producto | \(\log_b(x \cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y)\) | \(\log_2(8 \cdot 4) = \log_2(8) + \log_2(4) = 3 + 2 = 5\) |
| Logaritmo de un cociente | \(\log_b\left(\dfrac{x}{y}\right) = \log_b(x) - \log_b(y)\) | \(\log_3\left(\dfrac{81}{3}\right) = \log_3(81) - \log_3(3) = 4 - 1 = 3\) |
| Logaritmo de una potencia | \(\log_b(x^n) = n \cdot \log_b(x)\) | \(\log_4(16^3) = 3 \cdot \log_4(16) = 3 \cdot 2 = 6\) |
| Logaritmo de la base | \(\log_b(b) = 1\) | \(\log_7(7) = 1\) |
| Logaritmo de 1 | \(\log_b(1) = 0\) | \(\log_5(1) = 0\) |
| Cambio de base | \(\log_c(x) = \dfrac{\log_b(x)}{\log_b(c)}\) | \(\log_2(10) = \dfrac{\log_{10}(10)}{\log_{10}(2)} \approx 3.32\) |
Tip para la Calculadora
La fórmula de cambio de base es tu mejor amiga para calcular logaritmos que no sean de base 10 o base \(e\). La regla es simple: "el logaritmo del número de arriba (argumento) dividido por el logaritmo del número de abajo (base)".3. Nivel 1: Método Básico: Bases Iguales (cc2)
Nivel 1: Método Básico: Bases Iguales
Idea central
En este primer nivel encontrarás el tipo más sencillo de ecuación exponencial, donde las bases a ambos lados del igual ya son las mismas. El objetivo es simplemente igualar los exponentes y resolver la ecuación resultante.
El Principio Clave
Si tenemos una igualdad entre dos potencias que tienen la misma base, como \(a^P = a^Q\), es obligatorio que sus exponentes también sean iguales (\(P=Q\)). Este es el fundamento para resolver todas estas ecuaciones.
Procedimiento
- Verifica que las bases a ambos lados de la igualdad sean las mismas.
- Iguala los exponentes.
- Despeja la incógnita \(x\) en la ecuación resultante.
Ejemplos resueltos paso a paso
Ejemplo A: \(5^{x} = 5^{4}\)
Paso 2: Igualamos los exponentes.
\(x = 4\)
¡Y ya está resuelto!
Ejemplo B: \(2^{x+3} = 2^{5}\)
Paso 2: Igualamos los exponentes.
\(x+3 = 5\)
Paso 3: Despejar x.
\(x = 5 - 3\)
\(x = 2\)
Ejemplo C: \(7^{3x-2} = 7^{x+6}\)
Paso 2: Igualamos los exponentes.
\(3x-2 = x+6\)
Paso 3: Despejar x.
\(3x - x = 6 + 2\)
\(2x = 8 \;\Rightarrow\; x = 4\)
Ejercicios propuestos (1 – 10)
Pulsa el botón a la derecha de cada enunciado para mostrar u ocultar la solución.
Ejercicio 1
\(3^{x} = 3^{9}\)
Como las bases son iguales, se igualan los exponentes:
\(x=9\)
Ejercicio 2
\(10^{x-1} = 10^{3}\)
Como las bases son iguales, se igualan los exponentes:
\(x-1 = 3 \;\Rightarrow\; x = 4\)
Ejercicio 3
\(6^{2x} = 6^{10}\)
Como las bases son iguales, se igualan los exponentes:
\(2x = 10 \;\Rightarrow\; x = 5\)
Ejercicio 4
\(5^{x+4} = 5^{2x}\)
Como las bases son iguales, se igualan los exponentes:
\(x+4 = 2x \;\Rightarrow\; x = 4\)
Ejercicio 5
\(4^{3x-1} = 4^{2x+2}\)
Como las bases son iguales, se igualan los exponentes:
\(3x-1 = 2x+2 \;\Rightarrow\; x = 3\)
Ejercicio 6
\(11^{5x} = 11^{4x+7}\)
Como las bases son iguales, se igualan los exponentes:
\(5x = 4x+7 \;\Rightarrow\; x = 7\)
Ejercicio 7
\(3^{-x} = 3^{5}\)
Como las bases son iguales, se igualan los exponentes:
\(-x = 5 \;\Rightarrow\; x = -5\)
Ejercicio 8
\(8^{4x+1} = 8^{2x+7}\)
Como las bases son iguales, se igualan los exponentes:
\(4x+1 = 2x+7 \;\Rightarrow\; 2x=6 \;\Rightarrow\; x=3\)
Ejercicio 9
\(2^{x} = 2^{3x-8}\)
Como las bases son iguales, se igualan los exponentes:
\(x = 3x-8 \;\Rightarrow\; 8=2x \;\Rightarrow\; x=4\)
Ejercicio 10
\(9^{1-x} = 9^{x+5}\)
Como las bases son iguales, se igualan los exponentes:
\(1-x = x+5 \;\Rightarrow\; -4=2x \;\Rightarrow\; x=-2\)
4. Nivel 2: Método de Base Común (cc2)
Nivel 2: Método de Base Común
Idea central
En este nivel las ecuaciones tienen bases distintas pero un mismo factor primo de fondo. El procedimiento consiste en reescribir cada base como una potencia de una base común (por lo general 2, 3 o 5), igualar exponentes y despejar \(x\).
Procedimiento
- Descompón cada base (los números grandes) como una potencia de un mismo número primo (la base común).
- Aplica la propiedad de "potencia de una potencia" para simplificar los exponentes.
- Una vez que las bases son iguales, iguala los exponentes y despeja \(x\).
¡Cuidado con los exponentes!
Un error común es no distribuir bien el exponente. Recuerda que en una expresión como \((a^m)^{P+Q}\), el nuevo exponente es \(m \cdot (P+Q)\), no solo \(m \cdot P + Q\). ¡Siempre usa paréntesis al multiplicar!
Ejemplos resueltos paso a paso
Ejemplo A: \(9^{x} = 81\)
\((3^{2})^{x} = 3^{4}\)
\(3^{2x} = 3^{4}\)
Paso 2: Igualar exponentes y despejar.
\(2x = 4\)
\(x = \dfrac{4}{2} \;\Rightarrow\; x = 2\)
Ejemplo B: \(8^{2x-1} = 32\)
\((2^{3})^{2x-1} = 2^{5}\)
\(2^{3(2x-1)} = 2^{5}\)
Paso 2: Igualar exponentes y despejar.
\(3(2x-1) = 5\)
\(6x - 3 = 5\)
\(6x = 8 \;\Rightarrow\; x = \dfrac{8}{6} \;\Rightarrow\; x = \dfrac{4}{3}\)
Ejemplo C: \(27^{x+2} = 243\)
\((3^{3})^{x+2} = 3^{5}\)
\(3^{3(x+2)} = 3^{5}\)
Paso 2: Igualar exponentes y despejar.
\(3(x+2) = 5\)
\(3x + 6 = 5\)
\(3x = 5 - 6\)
\(3x = -1 \;\Rightarrow\; x = -\dfrac{1}{3}\)
Ejercicios propuestos (11 – 20)
Pulsa el botón a la derecha de cada enunciado para mostrar u ocultar la solución.
Ejercicio 11
\(2^{x+1} = 16\)
\(2^{x+1} = 2^{4}\)
\(x+1 = 4 \;\Rightarrow\; x = 3\)
Ejercicio 12
\(9^{x} = 27\)
\((3^2)^x = 3^3\)
\(3^{2x} = 3^3\)
\(2x = 3 \;\Rightarrow\; x = \dfrac{3}{2}\)
Ejercicio 13
\(5^{2x} = 125\)
\(5^{2x} = 5^{3}\)
\(2x = 3 \;\Rightarrow\; x = \dfrac{3}{2}\)
Ejercicio 14
\(3^{x+2} = 81\)
\(3^{x+2} = 3^{4}\)
\(x+2 = 4 \;\Rightarrow\; x = 2\)
Ejercicio 15
\(4^{x-1} = 2^{4}\)
\((2^{2})^{x-1} = 2^{4}\)
\(2(x-1) = 4\)
\(2x-2 = 4 \;\Rightarrow\; 2x=6 \;\Rightarrow\; x=3\)
Ejercicio 16
\(6^{2x-1} = 216\)
\(6^{2x-1} = 6^{3}\)
\(2x-1 = 3 \;\Rightarrow\; 2x=4 \;\Rightarrow\; x=2\)
Ejercicio 17
\(8^{x+2} = 512\)
\(8^{x+2} = 8^{3}\)
\(x+2 = 3 \;\Rightarrow\; x = 1\)
Ejercicio 18
\(27^{x} = 9\)
\((3^3)^x = 3^2\)
\(3^{3x} = 3^2\)
\(3x = 2 \;\Rightarrow\; x = \dfrac{2}{3}\)
Ejercicio 19
\(3^{2x+1} = 27\)
\(3^{2x+1} = 3^{3}\)
\(2x+1 = 3 \;\Rightarrow\; 2x=2 \;\Rightarrow\; x=1\)
Ejercicio 20
\(25^{x-2} = 5\)
\((5^2)^{x-2} = 5^1\)
\(2(x-2) = 1\)
\(2x-4=1 \;\Rightarrow\; 2x=5 \;\Rightarrow\; x=\dfrac{5}{2}\)
5. Nivel 3: Potencias en Ambos Lados (cc2)
Nivel 3: Potencias en Ambos Lados
Idea central
En este nivel la ecuación tiene términos exponenciales en ambos lados. El truco es reescribir cada base para que sea la misma (por ejemplo, potencias de 2 o 3), y luego igualar exponentes. No se necesitan logaritmos.
¿Por qué funciona este método?
La razón por la que podemos igualar los exponentes es que la función exponencial (\(y=a^x\)) es "uno a uno". Esto significa que para una base 'a' dada, cada valor de 'x' produce un resultado único. Por lo tanto, si tenemos la igualdad \(a^P = a^Q\), la única forma de que sea cierta es que los exponentes también sean iguales: \(P = Q\).
Procedimiento
- Expresa cada base como una potencia de un mismo número (base común).
- Usa las propiedades de las potencias para simplificar ambos lados de la ecuación.
- Una vez que las bases son iguales, iguala los exponentes.
- Despeja \(x\) en la ecuación lineal resultante.
¡Ojo! Algunas ecuaciones no tienen solución
Si al resolver la ecuación de los exponentes llegas a una contradicción (por ejemplo, \(2 = -1\)), no te asustes. No es un error. Significa que la ecuación original no tiene solución en los números reales, y esa es la respuesta correcta.
Ejemplos resueltos paso a paso
Ejemplo A: \(2^{x} = 8^{x-2}\)
\(2^{x} = (2^{3})^{x-2}\)
\(2^{x} = 2^{3(x-2)}\)
Paso 2: Igualar exponentes y despejar.
\(x = 3(x-2)\)
\(x = 3x - 6\)
\(6 = 2x \;\Rightarrow\; x = 3\)
Ejemplo B: \(3^{2x+1} = 27^{x}\)
\(3^{2x+1} = (3^{3})^{x}\)
\(3^{2x+1} = 3^{3x}\)
Paso 2: Igualar exponentes y despejar.
\(2x+1 = 3x\)
\(1 = 3x - 2x \;\Rightarrow\; x = 1\)
Ejemplo C (Sin Solución): \(4^{x+1} = 2^{2x-1}\)
\((2^{2})^{x+1} = 2^{2x-1}\)
\(2^{2(x+1)} = 2^{2x-1}\)
Paso 2: Igualar exponentes y despejar.
\(2(x+1) = 2x-1\)
\(2x+2 = 2x-1\)
\(2 = -1\) (¡Esto es una contradicción!)
Conclusión: La ecuación no tiene solución real.
Ejercicios propuestos (21 – 30)
Pulsa el botón a la derecha de cada enunciado para mostrar u ocultar la solución.
Ejercicio 21
\(2^{x} = 4^{x-1}\)
\(2^{x} = 2^{2(x-1)}\)
\(x = 2(x-1) \;\Rightarrow\; x = 2x-2 \;\Rightarrow\; x = 2\)
Ejercicio 22
\(3^{x+1} = 9^{x-2}\)
\(3^{x+1} = 3^{2(x-2)}\)
\(x+1 = 2x-4 \;\Rightarrow\; x = 5\)
Ejercicio 23
\(5^{x+2} = 25^{x}\)
\(5^{x+2} = 5^{2x}\)
\(x+2 = 2x \;\Rightarrow\; x = 2\)
Ejercicio 24
\(2^{x+1} = 8^{x-1}\)
\(2^{x+1} = 2^{3(x-1)}\)
\(x+1 = 3x-3 \;\Rightarrow\; 4 = 2x \;\Rightarrow\; x = 2\)
Ejercicio 25
\(7^{x+3} = 49^{x}\)
\(7^{x+3} = 7^{2x}\)
\(x+3 = 2x \;\Rightarrow\; x = 3\)
Ejercicio 26
\(6^{x-2} = 36^{x-3}\)
\(6^{x-2} = 6^{2(x-3)}\)
\(x-2 = 2x-6 \;\Rightarrow\; x = 4\)
Ejercicio 27
\(4^{x+2} = 16^{x}\)
\(4^{x+2} = 4^{2x}\)
\(x+2 = 2x \;\Rightarrow\; x = 2\)
Ejercicio 28
\(9^{x-1} = 3^{2x-4}\)
\(3^{2(x-1)} = 3^{2x-4}\)
\(2x-2 = 2x-4 \;\Rightarrow\; -2 = -4\) (Imposible)
Sin solución real.
Ejercicio 29
\(2^{3x} = 8^{2x-2}\)
\(2^{3x} = 2^{3(2x-2)}\)
\(3x = 6x-6 \;\Rightarrow\; 6 = 3x \;\Rightarrow\; x=2\)
Ejercicio 30
\(5^{x} = 125^{x-1}\)
\(5^{x} = 5^{3(x-1)}\)
\(x = 3x-3 \;\Rightarrow\; 3 = 2x \;\Rightarrow\; x = \dfrac{3}{2}\)
6. Nivel 4: Sumas y Restas (Cambio de Variable) (cc2)
Nivel 4: Sumas y Restas (Cambio de Variable)
Idea central
En este nivel surgen sumas o restas de potencias con la misma base. El método consiste en factorizar y aplicar la técnica del cambio de variable (por ejemplo, \(y = a^{x}\)) para transformar la ecuación exponencial en una ecuación lineal o polinómica más sencilla.
Procedimiento: Cambio de Variable
- Usando propiedades de potencias (ej: \(a^{x+n} = a^x \cdot a^n\)), descompón cada término para aislar la potencia base (como \(a^x\)).
- Define el cambio de variable. Por ejemplo, haz que \(y = a^x\).
- Sustituye 'y' en la ecuación. Ahora tendrás una ecuación más simple (normalmente lineal) en términos de 'y'.
- Resuelve para 'y'.
- Una vez que tengas el valor de 'y', "deshaz" el cambio (si \(y=k\), ahora resuelve \(a^x=k\)) para encontrar el valor de \(x\).
¡Error Típico! No se suman los exponentes
Recuerda que \(a^m + a^n \neq a^{m+n}\). La propiedad de la suma de exponentes solo aplica cuando se multiplican potencias de la misma base (\(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)), nunca cuando se suman o restan.
Ejemplos resueltos paso a paso
Ejemplo A: \(2^{x}+2^{x+2}=20\)
Paso 1 y 2: Descomponer y definir variable.
Hacemos \( y = 2^{x}\). Entonces \(2^{x+2}= 2^{x}\cdot 2^{2}= 4y\).
Paso 3 y 4: Sustituir y resolver para 'y'.
La ecuación se convierte en: \(y + 4y = 20\)
\(\Rightarrow\; 5y = 20\)
\(\Rightarrow\; y = 4\)
Paso 5: Volver a la variable original 'x'.
\(2^{x} = y \;\Rightarrow\; 2^{x} = 4 \;\Rightarrow\; 2^{x} = 2^{2} \;\Rightarrow\; x = 2\)
Ejemplo B: \(3^{x+1}-3^{x}=54\)
Variable: \( y = 3^{x}\). Entonces \(3^{x+1}= 3^{x}\cdot 3^{1}= 3y\).
Resolver para 'y':
\(3y - y = 54\)
\(\Rightarrow\; 2y = 54\)
\(\Rightarrow\; y = 27\)
Volver a 'x':
\(3^{x} = y \;\Rightarrow\; 3^{x} = 27 \;\Rightarrow\; 3^{x} = 3^{3} \;\Rightarrow\; x = 3\)
Ejemplo C: \(4^{x-1}+4^{x}=80\)
Variable: \( y = 4^{x}\). Entonces \(4^{x-1}= 4^{x}\cdot 4^{-1}= \dfrac{y}{4}\).
Resolver para 'y':
\(\dfrac{y}{4} + y = 80\)
\(\Rightarrow\; \dfrac{5y}{4} = 80\)
\(\Rightarrow\; y = \dfrac{80 \cdot 4}{5} = 64\)
Volver a 'x':
\(4^{x} = y \;\Rightarrow\; 4^{x} = 64 \;\Rightarrow\; 4^{x} = 4^{3} \;\Rightarrow\; x = 3\)
Ejercicios propuestos (31 – 40)
Pulsa el botón para mostrar u ocultar la solución.
Ejercicio 31
\(2^{x}+2^{x+1}=48\)
Haciendo \( y = 2^{x}\), la ecuación es \(y + 2y = 48 \Rightarrow 3y = 48 \Rightarrow y = 16\).
Volviendo: \(2^{x} = 16 = 2^{4} \Rightarrow x = 4\).
Ejercicio 32
\(3^{x}+3^{x-1}=36\)
Haciendo \( y = 3^{x}\), la ecuación es \(y + \dfrac{y}{3} = 36 \Rightarrow \dfrac{4y}{3} = 36 \Rightarrow y = 27\).
Volviendo: \(3^{x} = 27 = 3^{3} \Rightarrow x = 3\).
Ejercicio 33
\(5^{x}-5^{x-1}=100\)
Haciendo \( y = 5^{x}\), la ecuación es \(y - \dfrac{y}{5} = 100 \Rightarrow \dfrac{4y}{5} = 100 \Rightarrow y = 125\).
Volviendo: \(5^{x} = 125 = 5^{3} \Rightarrow x = 3\).
Ejercicio 34
\(2^{x+2}-2^{x}=24\)
Haciendo \( y = 2^{x}\), la ecuación es \(4y - y = 24 \Rightarrow 3y = 24 \Rightarrow y = 8\).
Volviendo: \(2^{x} = 8 = 2^{3} \Rightarrow x = 3\).
Ejercicio 35
\(4^{x}+2^{2x}=64\)
Notamos que \(4^{x} = (2^{2})^{x} = 2^{2x}\). Haciendo \( y = 2^{2x}\), la ecuación es \(y+y=64 \Rightarrow 2y=64 \Rightarrow y=32\).
Volviendo: \(2^{2x} = 32 = 2^{5} \Rightarrow 2x=5 \Rightarrow x = \dfrac{5}{2}\).
Ejercicio 36
\(3^{x+2}-3^{x}=72\)
Haciendo \( y = 3^{x}\), la ecuación es \(9y - y = 72 \Rightarrow 8y = 72 \Rightarrow y = 9\).
Volviendo: \(3^{x} = 9 = 3^{2} \Rightarrow x = 2\).
Ejercicio 37
\(2^{x}+2^{x-1}=96\)
Haciendo \( y = 2^{x}\), la ecuación es \(y + \dfrac{y}{2} = 96 \Rightarrow \dfrac{3y}{2} = 96 \Rightarrow y = 64\).
Volviendo: \(2^{x} = 64 = 2^{6} \Rightarrow x = 6\).
Ejercicio 38
\(5^{x+1}-5^{x}=100\)
Haciendo \( y = 5^{x}\), la ecuación es \(5y - y = 100 \Rightarrow 4y = 100 \Rightarrow y = 25\).
Volviendo: \(5^{x} = 25 = 5^{2} \Rightarrow x = 2\).
Ejercicio 39
\(3^{x+1}+3^{x}=108\)
Haciendo \( y = 3^{x}\), la ecuación es \(3y + y = 108 \Rightarrow 4y = 108 \Rightarrow y = 27\).
Volviendo: \(3^{x} = 27 = 3^{3} \Rightarrow x = 3\).
Ejercicio 40
\(4^{x+1}-2^{2x}=192\)
Notamos que \(4^{x+1} = 4 \cdot 4^x = 4 \cdot (2^2)^x = 4 \cdot 2^{2x}\). Haciendo \(y = 2^{2x}\), la ecuación es \(4y - y = 192 \Rightarrow 3y = 192 \Rightarrow y = 64\).
Volviendo: \(2^{2x} = 64 = 2^{6} \Rightarrow 2x=6 \Rightarrow x=3\).
7. Nivel 5: Resolución con Logaritmos (cc2)
Nivel 5: Resolución con Logaritmos
Idea central
En este nivel, las bases no se pueden igualar fácilmente (como \(2^x = 7\)). Por lo tanto, necesitamos una nueva herramienta: los logaritmos.
Idea clave: ¿Cuándo y por qué usar logaritmos?
Usamos logaritmos cuando es imposible o muy difícil expresar ambos lados de la ecuación con la misma base. La "magia" de los logaritmos está en su propiedad principal: \(\log(a^P) = P \cdot \log(a)\). Esta regla nos permite tomar un exponente (donde está nuestra incógnita \(x\)) y "bajarlo" para convertirlo en un factor que podemos despejar fácilmente.
Procedimiento
- Aplica logaritmo (usualmente logaritmo decimal, log, o natural, ln) a ambos lados de la ecuación.
- Usa la propiedad \(\log(a^{P}) = P \cdot \log(a)\) para "bajar" el exponente.
- Despeja \(x\) como en cualquier ecuación lineal.
Consejo Estratégico: Elige el Logaritmo Correcto
Aunque cualquier logaritmo funciona, eres más eficiente si eliges:
- Logaritmo decimal (log) cuando la base es 10, porque \(\log(10)=1\).
- Logaritmo natural (ln) cuando la base es e, porque \(\ln(e)=1\).
Ejemplos resueltos paso a paso
Ejemplo A: \(2^{x}=7\)
\(\log(2^{x})=\log(7)\)
Paso 2: Bajar el exponente.
\(x \cdot \log(2) = \log(7)\)
Paso 3: Despejar x.
\(x = \dfrac{\log(7)}{\log(2)} \approx 2.807\)
Ejemplo B (Corregido): \(10^{2x-1}=5\)
\(\log(10^{2x-1})=\log(5)\)
Paso 2: Bajar el exponente (usando \(\log(10)=1\)).
\((2x-1) \cdot \log(10) = \log(5)\)
\(2x-1 = \log(5)\)
Paso 3: Despejar x.
\(2x = 1 + \log(5)\)
\(x = \dfrac{1+\log(5)}{2} \approx \dfrac{1+0.699}{2} \approx 0.850\)
Ejemplo C: \(e^{2x}=17\)
\(\ln(e^{2x})=\ln(17)\)
Paso 2: Bajar el exponente (usando \(\ln(e)=1\)).
\(2x \cdot \ln(e) = \ln(17)\)
\(2x = \ln(17)\)
Paso 3: Despejar x.
\(x = \dfrac{\ln(17)}{2} \approx 1.418\)
Ejercicios propuestos (41 – 50)
Pulsa el botón a la derecha de cada enunciado para mostrar u ocultar la solución.
Ejercicio 41
\(3^{x}=14\)
Aplicamos logaritmos y usamos la propiedad de la potencia para despejar el exponente:
\(x \cdot \log(3) = \log(14) \Rightarrow x = \dfrac{\log(14)}{\log(3)} \approx 2.402\)
Ejercicio 42
\(10^{x+2}=45\)
Aplicamos logaritmos y usamos la propiedad de la potencia para despejar el exponente:
Aplicamos \(\log\) base 10: \(x+2 = \log(45) \Rightarrow x = \log(45) - 2 \approx -0.347\)
Ejercicio 43
\(5^{x+1}=20\)
Aplicamos logaritmos y usamos la propiedad de la potencia para despejar el exponente:
\((x+1)\log(5) = \log(20) \Rightarrow x+1 = \dfrac{\log(20)}{\log(5)} \Rightarrow x = \dfrac{\log(20)}{\log(5)} - 1 \approx 0.861\)
Ejercicio 44
\(4^{x}=11\)
Aplicamos logaritmos y usamos la propiedad de la potencia para despejar el exponente:
\(x \cdot \log(4) = \log(11) \Rightarrow x = \dfrac{\log(11)}{\log(4)} \approx 1.730\)
Ejercicio 45
\(e^{x-1}=10\)
Aplicamos logaritmos y usamos la propiedad de la potencia para despejar el exponente:
Aplicamos \(\ln\): \(x-1 = \ln(10) \Rightarrow x = \ln(10) + 1 \approx 3.303\)
Ejercicio 46
\(8^{x}=30\)
Aplicamos logaritmos y usamos la propiedad de la potencia para despejar el exponente:
\(x \cdot \log(8) = \log(30) \Rightarrow x = \dfrac{\log(30)}{\log(8)} \approx 1.636\)
Ejercicio 47
\(9^{x-2}=50\)
Aplicamos logaritmos y usamos la propiedad de la potencia para despejar el exponente:
\((x-2)\log(9) = \log(50) \Rightarrow x-2 = \dfrac{\log(50)}{\log(9)} \Rightarrow x = \dfrac{\log(50)}{\log(9)} + 2 \approx 3.778\)
Ejercicio 48
\(7^{2x}=100\)
Aplicamos logaritmos y usamos la propiedad de la potencia para despejar el exponente:
\(2x \cdot \log(7) = \log(100) \Rightarrow 2x \log(7) = 2 \Rightarrow x = \dfrac{1}{\log(7)} \approx 1.183\)
Ejercicio 49
\(6^{x+1}=40\)
Aplicamos logaritmos y usamos la propiedad de la potencia para despejar el exponente:
\((x+1)\log(6) = \log(40) \Rightarrow x+1 = \dfrac{\log(40)}{\log(6)} \Rightarrow x = \dfrac{\log(40)}{\log(6)} - 1 \approx 1.059\)
Ejercicio 50
\(2^{x}=15\)
Aplicamos logaritmos y usamos la propiedad de la potencia para despejar el exponente:
\(x \cdot \log(2) = \log(15) \Rightarrow x = \dfrac{\log(15)}{\log(2)} \approx 3.907\)
8. Nivel 6: Ecuaciones de Tipo Cuadrático (cc2)
Nivel 6: Ecuaciones de Tipo Cuadrático
Idea central
En este nivel avanzado, las potencias aparecen en una estructura similar a las ecuaciones cuadráticas, conteniendo términos como \(a^{2x}\) y \(a^{x}\). El método consiste en usar un cambio de variable para transformar la ecuación en una cuadrática, resolverla y, finalmente, deshacer el cambio para encontrar \(x\).
Procedimiento: Ecuaciones de Tipo Cuadrático
- Reconoce la estructura cuadrática. Verás un término con \(a^{2x}\) (que es \((a^x)^2\)) y un término con \(a^x\).
- Define el cambio de variable: \(y = a^x\).
- Sustituye 'y' en la ecuación para obtener una ecuación cuadrática estándar: \(Ay^2 + By + C = 0\).
- Resuelve la ecuación cuadrática para 'y' (factorizando o usando la fórmula general).
- Descarta cualquier solución para 'y' que sea negativa o cero.
- Para cada solución válida de 'y', "deshaz" el cambio (resuelve \(a^x = y\)) para encontrar los valores de \(x\).
¡Importante! Descarta soluciones para 'y'
Cuando haces el cambio de variable \(y = a^{x}\), recuerda que el resultado de una potencia con base positiva (\(a > 0\)) es siempre positivo. Por lo tanto, si al resolver la ecuación cuadrática obtienes un valor de \(y\) que es negativo o cero (\(y \le 0\)), esa solución para \(y\) se debe descartar, ya que \(a^x\) nunca puede ser negativo ni cero.
Ejemplos resueltos paso a paso
Ejemplo A: \(2^{2x}-5\cdot 2^{x}+6=0\)
Sea \(y = 2^{x}\). La ecuación se convierte en: \(y^{2}-5y+6=0\)
Paso 2: Resolver para 'y'.
Factorizamos: \((y-2)(y-3)=0\). Las soluciones son \(y_1=2\) y \(y_2=3\). Ambas son positivas y válidas.
Paso 3: Volver a 'x'.
• Para \(y_1=2\): \(2^{x}=2 \;\Rightarrow\; 2^x = 2^1 \;\Rightarrow\; x_1=1\)
• Para \(y_2=3\): \(2^{x}=3 \;\Rightarrow\; x_2=\log_2(3) = \dfrac{\log(3)}{\log(2)} \approx 1.585\)
Ejemplo B: \(4^{x}+3\cdot 4^{-x}-4=0\)
La ecuación es \(4^x + \dfrac{3}{4^x} - 4 = 0\). Sea \(y = 4^{x}\). Multiplicando todo por \(y\) nos queda:
\(y^2 + 3 - 4y = 0 \;\Rightarrow\; y^2 - 4y + 3 = 0\)
Paso 2: Resolver para 'y'.
Factorizamos: \((y-3)(y-1)=0\). Soluciones: \(y_1=3\) y \(y_2=1\). Ambas válidas.
Paso 3: Volver a 'x'.
• Para \(y_1=3\): \(4^x = 3 \;\Rightarrow\; x_1 = \log_4(3) = \dfrac{\log(3)}{\log(4)} \approx 0.792\)
• Para \(y_2=1\): \(4^x = 1 \;\Rightarrow\; 4^x = 4^0 \;\Rightarrow\; x_2 = 0\)
¿Dónde aparecen estas ecuaciones?
Las ecuaciones exponenciales de tipo cuadrático son más que un ejercicio académico. Modelan fenómenos del mundo real donde hay un crecimiento que eventualmente se satura o se regula, como en:
- Ecología: El modelo de crecimiento logístico de una población.
- Química: La cinética de ciertas reacciones químicas.
- Medicina: La concentración de un fármaco en el torrente sanguíneo a lo largo del tiempo.
Ejercicios propuestos (51 – 60)
Pulsa el botón al lado del enunciado para mostrar u ocultar la solución.
Ejercicio 51
\(5^{2x}-6\cdot 5^{x}+5=0\)
Resolución y: \((y-5)(y-1)=0 \Rightarrow y=5\) ó \(y=1\).
Volver a x:
• \(5^x=5 \Rightarrow x=1\).
• \(5^x=1 \Rightarrow x=0\).
Ejercicio 52
\(3^{2x}-10\cdot3^{x}+9=0\)
Resolución y: \((y-9)(y-1)=0 \Rightarrow y=9\) ó \(y=1\).
Volver a x:
• \(3^x=9 \Rightarrow x=2\).
• \(3^x=1 \Rightarrow x=0\).
Ejercicio 53
\(5^{2x}-13\cdot 5^{x}+36=0\)
Resolución y: \((y-4)(y-9)=0 \Rightarrow y=4\) ó \(y=9\).
Volver a x:
• \(5^x=4 \Rightarrow x=\log_5(4) \approx 0.861\).
• \(5^x=9 \Rightarrow x=\log_5(9) \approx 1.365\).
Ejercicio 54
\(4^{x}+3\cdot 4^{-x}-4=0\)
Resolución y: \((y-3)(y-1)=0 \Rightarrow y=3\) ó \(y=1\).
Volver a x:
• \(4^x=3 \Rightarrow x=\log_4(3) \approx 0.792\).
• \(4^x=1 \Rightarrow x=0\).
Ejercicio 55
\(10^{2x}-7=3\cdot 10^{x}\)
Resolución y: \(y = \frac{3+\sqrt{37}}{2} \approx 4.541\) (la raíz negativa se descarta).
Volver a x:
• \(10^x \approx 4.541 \Rightarrow x = \log(4.541) \approx 0.657\).
Ejercicio 56
\(2^{2x}-8\cdot2^{x}+12=0\)
Resolución y: \((y-6)(y-2)=0 \Rightarrow y=6\) ó \(y=2\).
Volver a x:
• \(2^x=6 \Rightarrow x=\log_2(6) \approx 2.585\).
• \(2^x=2 \Rightarrow x=1\).
Ejercicio 57
\(3^{2x}-4\cdot3^{x}-21=0\)
Resolución y: \((y-7)(y+3)=0 \Rightarrow y=7\) (se descarta \(y=-3\)).
Volver a x:
• \(3^x=7 \Rightarrow x=\log_3(7) \approx 1.771\).
Ejercicio 58
\(6^{2x}-13\cdot6^{x}+40=0\)
Resolución y: \((y-8)(y-5)=0 \Rightarrow y=8\) ó \(y=5\).
Volver a x:
• \(6^x=8 \Rightarrow x=\log_6(8) \approx 1.161\).
• \(6^x=5 \Rightarrow x=\log_6(5) \approx 0.898\).
Ejercicio 59
\(e^{2x}-2e^{x}-8=0\)
Resolución y: \((y-4)(y+2)=0 \Rightarrow y=4\) (se descarta \(y=-2\)).
Volver a x:
• \(e^x=4 \Rightarrow x=\ln(4) \approx 1.386\).
Ejercicio 60
\(4^{2x}-20\cdot4^{x}+64=0\)
Resolución y: \((y-16)(y-4)=0 \Rightarrow y=16\) ó \(y=4\).
Volver a x:
• \(4^x=16 \Rightarrow x=2\).
• \(4^x=4 \Rightarrow x=1\).
9. Aplicaciones de Ecuaciones Exponenciales (cc2)
Aplicaciones y Modelado: Ecuaciones Exponenciales
Idea central
Has aprendido a resolver las ecuaciones, ahora veamos dónde se usan. En esta página, exploraremos cómo las ecuaciones exponenciales nos ayudan a modelar situaciones del mundo real, desde cómo crece tu dinero en el banco hasta cómo se expande una población.
Estrategia General para Modelar
Al enfrentar un problema de aplicación, sigue estos pasos:
- Identifica el Modelo: ¿Es un problema de interés compuesto, crecimiento poblacional, decaimiento radiactivo, etc.? Elige la fórmula correcta.
- Asigna las Variables: Lee el problema y anota los valores que conoces (capital inicial, tasa, cantidad inicial, etc.) y cuál es tu incógnita.
- Plantea la Ecuación: Sustituye los valores conocidos en la fórmula.
- Resuelve para la Incógnita: Usa las técnicas que aprendiste (igualar bases, logaritmos, etc.) para despejar la variable que buscas.
Aplicación 1: Interés Compuesto
El interés compuesto es el interés que se calcula sobre el capital inicial más todo el interés acumulado de periodos anteriores. ¡Es el motivo por el cual las inversiones crecen cada vez más rápido!
La Fórmula Clave
\(C(t) = C_0 \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}\)
Donde:
• \(C(t)\): Capital final.
• \(C_0\): Capital inicial.
• \(r\): Tasa de interés anual (en decimal).
• \(n\): Número de capitalizaciones por año.
• \(t\): Número de años.
Ejemplo: Si inviertes $500.000 a una tasa del 6% anual capitalizable mensualmente, ¿cuánto tiempo tomará para que tu inversión alcance los $700.000?
\(C(t)=700000\), \(C_0=500000\), \(r=0.06\), \(n=12\), \(t=?\)
2. Plantear la ecuación:
\(700000 = 500000\left(1 + \frac{0.06}{12}\right)^{12t}\)
\(1.4 = (1.005)^{12t}\)
3. Resolver para t (usando logaritmos):
\(\log(1.4) = 12t \cdot \log(1.005)\)
\(t = \frac{\log(1.4)}{12 \cdot \log(1.005)} \approx 5.62\) años.
Aplicación 2: Crecimiento y Decaimiento Exponencial
Muchos procesos naturales, como el crecimiento de una población o el decaimiento radiactivo, siguen este modelo.
La Fórmula Clave
\(N(t) = N_0 e^{kt}\)
Donde:
• \(N(t)\): Cantidad final.
• \(N_0\): Cantidad inicial.
• \(e\): Base del logaritmo natural.
• \(k\): Constante de crecimiento (\(k>0\)) o decaimiento (\(k<0\)).
• \(t\): Tiempo.
Ejemplo: La vida media del Carbono-14 es de 5730 años. Si un fósil tiene el 20% del Carbono-14 original, ¿cuál es su antigüedad?
\(0.5 N_0 = N_0 e^{k \cdot 5730} \;\Rightarrow\; 0.5 = e^{5730k}\)
\(\ln(0.5) = 5730k \;\Rightarrow\; k = \frac{\ln(0.5)}{5730} \approx -0.000121\)
2. Resolver el problema principal:
\(0.20 N_0 = N_0 e^{-0.000121 t}\)
\(\ln(0.20) = -0.000121 t\)
\(t = \frac{\ln(0.20)}{-0.000121} \approx 13301\) años.
Ejercicios propuestos
Pulsa el botón al lado del enunciado para mostrar u ocultar la solución.
Ejercicio 1
Depositas $2.000 en una cuenta que paga 4% de interés anual capitalizable trimestralmente (n=4). ¿Cuánto dinero tendrás después de 10 años?
Se sustituyen los datos del problema en el modelo correspondiente:
\(C(10) = 2000(1 + 0.04/4)^{4 \cdot 10} = 2000(1.01)^{40} \approx \$2977.73\)
Ejercicio 2
¿Cuánto dinero necesitas invertir hoy al 7% anual capitalizable anualmente (n=1) para tener $15.000 en 18 años?
Se sustituyen los datos del problema en el modelo correspondiente:
\(15000 = C_0(1+0.07)^{18} \;\Rightarrow\; C_0 = \frac{15000}{1.07^{18}} \approx \$4438.13\)
Ejercicio 3
Una tarjeta de crédito cobra un interés del 24% anual (0.24) capitalizable mensualmente. Si tienes una deuda de $500 y no haces pagos, ¿cuánto deberás después de 2 años?
Se sustituyen los datos del problema en el modelo correspondiente:
\(C(2) = 500(1 + 0.24/12)^{12 \cdot 2} = 500(1.02)^{24} \approx \$804.22\)
Ejercicio 4
¿Cuánto tiempo tomará para que una inversión de $1.000 se duplique si se invierte al 8% anual capitalizable semestralmente (n=2)?
Se sustituyen los datos del problema en el modelo correspondiente:
\(2000 = 1000(1.04)^{2t} \;\Rightarrow\; 2 = (1.04)^{2t} \;\Rightarrow\; \log(2) = 2t \cdot \log(1.04) \;\Rightarrow\; t \approx 8.84\) años.
Ejercicio 5
Si inviertes $3.000 y después de 5 años tienes $4.000 con capitalización anual (n=1), ¿cuál fue la tasa de interés anual (r)?
Se sustituyen los datos del problema en el modelo correspondiente:
\(4000 = 3000(1+r)^5 \;\Rightarrow\; 1.333 = (1+r)^5 \;\Rightarrow\; \sqrt[5]{1.333} = 1+r \;\Rightarrow\; r \approx 0.0592\), o 5.92%.
Ejercicio 6
Una población de conejos se duplica cada 6 meses. Si comienzas con 20 conejos, ¿cuántos tendrás después de 4 años?
Se sustituyen los datos del problema en el modelo correspondiente:
En 4 años hay 8 periodos de 6 meses. \(N(4) = 20 \cdot 2^8 = 20 \cdot 256 = 5120\) conejos.
Ejercicio 7
Un isótopo radiactivo tiene una vida media de 120 días. ¿Qué porcentaje de la sustancia original quedará después de un año (360 días)?
Se sustituyen los datos del problema en el modelo correspondiente:
En 360 días hay 3 vidas medias. \(N(360) = N_0 \cdot (0.5)^3 = 0.125 N_0\). Quedará el 12.5%.
Ejercicio 8
La población de una ciudad crece a una tasa del 2% anual (k=0.02). Si la población actual es de 50.000 habitantes, ¿cuál será la población en 10 años?
Se sustituyen los datos del problema en el modelo correspondiente:
\(N(10) = 50000 \cdot e^{0.02 \cdot 10} \approx 61070\) habitantes.
Ejercicio 9
Un medicamento se elimina del cuerpo a una tasa tal que su cantidad se reduce a la mitad cada 4 horas. Si tomas una dosis de 200 mg, ¿cuánto tiempo pasará hasta que solo queden 25 mg en tu cuerpo?
Se sustituyen los datos del problema en el modelo correspondiente:
De 200 a 100 mg (1 vida media = 4h). De 100 a 50 mg (2 vidas medias = 8h). De 50 a 25 mg (3 vidas medias = 12h). Total: 12 horas.
Ejercicio 10
Se estima que el número de usuarios de una nueva app crece según el modelo \(U(t) = 1000e^{0.5t}\), donde t es el tiempo en meses. ¿En cuántos meses la app alcanzará los 50.000 usuarios?
Se sustituyen los datos del problema en el modelo correspondiente:
\(50000 = 1000e^{0.5t} \;\Rightarrow\; 50 = e^{0.5t} \;\Rightarrow\; \ln(50)=0.5t \;\Rightarrow\; t = 2\ln(50) \approx 7.82\) meses.